Notions de Cristallographique

 

Chapitre I Notions de cristallographie géométrique I- Réseau direct ;définitions 1- Motif  Un cristal peut être considéré comme formé d’atomes, d’ions ou de molécules qui constituent le motif  cristallin. Ce motif se répète de façon périodique dans les trois dimensions de l’espace. 2- Nœud C’est le point qui se déduit de l’origine par translation; c’est l’extrémité du vecteur avec les vecteurs du 1 réseau.

 

• 3- Réseau : • C’est un ensemble de points qui matérialisent la façon dont le motif se répète dans l’espace. • Exemple 2D

b

a

2

 

• 4- Rangée :  :  • Toute droite orientée contenant au moins deux nœuds. Elle est notée [uvw] avec u, v, v , w les coordonnées du nœud le plus proche de l’origine. • On appelle aussi rangée [uvw] toute droite parallèle à l’axe joignant l’origine au nœud de coordonnées u, v, w. • Le symbole [uvw] désigne à la fois l’orientation de la droite dans l’espace et le vecteur période qui sépare deux nœuds le long de la droite. La période de la rangée est donnée par le vecteur v ecteur

u, v, w entiers premiers entre eux. 

n





=

ua

+

vb



+

wc

3

 

• 5- Maille (3D) : • Tout parallélépipède construit sur trois vecteurs ayant même origine. c

α

n1

=

u1 a

+

v1 b

+

w1 c

n2

=

u2 a

+

v2 b

+

w2 c

n3

= u3a + v3b + w3c

b a

4

 

• 6- Plans cristallographiques (réticulaires) : • Les nœuds du réseau sont répartis sur des plans appelés plans réticulaires. Trois nœuds non alignés définissent un plan réticulaire. c

Z0

Y0 0

Q

b

a 5

 

• Un plan réticulaire est défini par trois indices de Miller h, k, l tels que : • h = a/x0 ; k = b/y0 ; l = c/z0. • a, b et c sont les paramètres de la maille • x0, y0, et z0 sont les abscisses des points d’intersection du plan avec les axes. •  Notation du plan : (hkl)

6

 

• 7- Distance réticulaire : • Les trois indices hkl définissent en fait toute une famille de plans parallèles et équidistants d’une longueur dhkl (distance réticulaire) égale à la distance de l’origine à ce plan. Il y a toujours un  plan qui passe par l’origine.

7

 

  

c

 

Famille des plans (010)



b

 



a 

d010  

8

 

II- Réseau réciproque 1- Définition : Soit un monocristal placé sur le trajet d’un rayonnement X :

9

 

RX(λ)

Taches de diffraction (I>0) RD

Rayons diffractés RC

10

 

Les taches de diffraction constituent le réseau réciproque. c’est un réseau imaginaire qui n’a aucune signification physique. Il facilite les calculs dans le RD et  permet d’interpréter les spectres de diffraction X. 11

 

RD

RR 

 

  





a*, b *, c *

a, b , c , α , β , γ   





,  α *, β *,

γ *

RD et RR ont même origine. 





a *, b *, c 

a

*









que : (a , c ) * ⊥ (b , csont ) tels b *⊥ 







c



* ⊥ (a , b ) 



aa * = b b * = c c * = 1 12

 

Le réseau réciproque est constitué par des nœuds qui 

sont à l’extrémité des vecteurs  R* tels que: h, k, l sont les indices de Miller du plan direct (hkl). 







  R * = ha* + kb* + lc*

h, k, l sont les indices de Miller du plan direct (hkl).

⇒





a . R* = h





b . R* = k 





c . R* = l 

13

 

2- Propriétés du réseau réciproque  réciproque 

• a- Les rangées réticulaires d’un réseau réciproque [hkl]* sont perpendiculaires à la famille de plans réticulaires (hkl) du réseau direct càd : [hkl]*⊥ (hkl) ; • b- le module du vecteur du réseau *  R réciproque hkl  est égal à l’inverse de la distance réticulaire dhkl : 1 



 R * =

d hkl  14

 

3- Application : • calcul de dhkl : 







* = ha* + kb* + lc*   R 

*

  R hkl 

2

2

2

2











= ha* + kb* + lc* +2 hka* b* +2 klb* c* +2 hla* c*

Systèmes orthogonaux : α  = β = γ  = π /2 

*



 Rhkl 

2

=

1 2

d hkl 

2

= h a*

2

2

+k b *

2

2

+l c *

2

h

2

a

2

=

k  +

b

2

2

2

l  +

c

2

15

 

h

1 d hkl 

=

a

2 2 +

k  b

2

2 +

2

l  c

2

16

 

1

Système 

d 

Cubique

h

Quadratique

2

h

k

2

a

2

+

2

Hexagonal

4 3

Monoclinique

1 2

[

(

h

h

2

a

2

2

2

a

2 +

+

2

+

l 

2

b hk

+

2

k 

2

+

2

abc

2

+

c

2

2

k  

sin2 β 2

c

l 

2

b

a2c

2

+

k 

a3 

2

l 

2

a

h

k 

+

a

Orthorhombique

Volume 

2

2

)+

l  c

2

l  +

c

2 −

1

2

2 2hl cos β  ]

2 ( 3a c)

abc sinβ  

ac

sin β 

Triclinique

h2 b2c2sin2α + k 2a2c2sin2β 2 +V  l2a2 b2sin2γ  + 2hkabc2 (cosα cosβ -cosγ  ) + 2kla2 bc(cosβ cosα -cosγ  ) + 2hlab2c(cosα cosγ  -cosβ )] 1[

abc (1- cos2α - cos2β - cos2γ  - 2 cosα .cosβ .cosγ  )1/2  

17