NotasSAP2000

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I sti ut Tecn ló ico d T pa hula Ma ual B sico d SAP2 00 v14 Este d cumento p etende ser na guía para resolver problemas de análisis estruc ural a través del software SAP2000 14. La met dología em leada en este anual incluye la solució de ejercici s contenidos en la literatura, princi almente en los libros “Análisis Estructural” (Cue as, 2005) y “Análisis de Estruc uras con M todos Matriciales” (Tena, 2007), co ayuda del oftware SA2000 v14. Se es era que esta guía sea d utilidad para todos aq ellos estudi ntes y prof  sores que se inician en l uso de los recursos comp tacionales para el desarrollo y buen entendimiento del análisis estruc ural aplicado a la Ingeniería Civil.

Darío Espinoza Figueroa Egresa o del Instit to Tecnoló ico de Tapa hula. Gene ación 2002‐2006

Instituto Tecnológico de Tapachula CONTENIDO INTRODUCCIÓN A SAP2000 V14 ......................................................................................................... 1 UNIDADES ...................................................................................................................................................1 OBJETOS Y ELEMENTOS...................................................................................................................................1 GRUPOS ......................................................................................................................................................2 SISTEMA DE COORDENADAS Y MALLA ................................................................................................................2 PROPIEDADES ...............................................................................................................................................2 FUNCIONES ..................................................................................................................................................2 PATRONES DE CARGA .....................................................................................................................................3 CASOS DE CARGA ..........................................................................................................................................3 COMBINACIONES DE CARGA ............................................................................................................................3 HERRAMIENTAS DE DISEÑO .............................................................................................................................3 EJERCICIOS RESUELTOS CON SAP2000 V14.......................................................................................... V14.......................................................................................... 4 VIGAS ISOSTÁTICAS........................................................................................................................................4 Ejercicio 1. Ejemplo 2.4 de Cuevas (2005). Determinación de reacciones, Diagramas de V, M y N. y  N. ...4 ... 4 Ejercicio 2. Ejemplo 2.7  2.7 de de Cuevas (2005). Obtener  los diagramas de fuerza de  fuerza cortante y momento y  momento  flexionante  flexionante  para la estructura mostrada. ..........................................................................................14 14

VIGA HIPERESTÁTICA ...................................................................................................................................22 22 Ejercicio 3. Ejemplo 4.7  4.7 de de Cuevas (2005). Resolución de una viga continua de diferentes  propiedades  propiedades por   por el  el método método de las fuerzas. las  fuerzas......................................................................................... ........................................................................................22 22

ARMADURA ISOSTÁTICA...............................................................................................................................25 25 Ejercicio 4. Ejemplo 2.8 de Cuevas (2005).Determinación de las fuerzas las  fuerzas internas de una armadura  por el   por  el método método de los nudos................................................................................................................ nudos ................................................................................................................25 25

ARMADURA HIPERESTÁTICA .........................................................................................................................28 28 Ejercicio 5. Ejemplo 4.8 de Cuevas (2005). Resolución de una armadura continua de dos claros, externamente indeterminada,  por el   por  el método método de las fuerzas. las  fuerzas............................................................. ............................................................28 28

MARCOS HIPERESTÁTICOS............................................................................................................................30 30 Ejercicio 6. Ejemplo 6.3 de Cuevas (2005). Análisis (2005). Análisis de un marco con una columna de doble altura . 30 Ejercicio 7. Ejemplo 3.1 de Tena Colunga (2007). Obtener  los elementos mecánicos del marco del  marco de dos niveles sujeto al sistema al  sistema de cargas laterales que se muestra en la figura. la  figura. Todos los elementos son viga‐columna bidimensional, cuyas propiedad cuyas  propiedades es se indican en la figura la  figura citada. Desprecie las deformaciones  por cortante.  por cortante. El módulo El  módulo de elasticidad  de todos los elementos es igual  y constante. y  constante. ........................................................................................................................................................... 33 Ejercicio 8. Ejemplo 3.4 de Tena Colunga (2007). Obtener  los elementos mecánicos del marco del  marco de dos niveles sujeto al sistema al  sistema de cargas verticales y laterales y  laterales que se muestra en la figura, la  figura, utilizando métodos matriciales, despreciando las deformaciones  por cortante  por cortante y las y  las deformaciones axiales. Todos los elementos son tipo viga‐columna bidimensional, cuyas propieda cuyas propiedades des se indican en la  figura citada. El módulo El  módulo de elasticidad  de todos los elementos es E................................................. E. ................................................37  37 

CÁLCULO DE DEFORMACIONES .......................................................................................................................39 39 Ejercicio 9. Ejemplo 3.2 de Tena Colunga (2007). Obtener  los desplazamientos globales del marco del  marco de dos niveles sujeto al sistema al  sistema de cargas laterales que se muestra en la figura. la  figura. Todos los elementos son tipo viga‐columna bidimensional, cuyas propiedad cuyas propiedades es se indican en la figura la  figura citada. Desprecie las deformaciones  por cortante.  por cortante. El módulo El  módulo de elasticidad  de todos los elementos es igual  y constante. y  constante. .......................................................................................................................................39

REFERENCIAS .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................41 41

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Instituto Tecnológico de Tapachula INDICE DE TABLAS TABLA 1.‐ COMPARACIÓN ENTRE DEFORMACIONES OBTENIDAS CON SAP2000 Y TENA (2007)........... (2007) ...........41 41

INDICE DE FIGURAS FIGURA 1.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 1. CUEVAS (2005)........................................................................ (2005) ........................................................................ 4 FIGURA 2.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 1. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN ............................................. CONTINUACIÓN ............................................. 5 FIGURA 3.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 1. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN ............................................. CONTINUACIÓN ............................................. 5 FIGURA 4.‐ CREAR UN NUEVO MODELO. EJERCICIO 1 .......................................................................... 8 FIGURA 5.‐ DEFINICIÓN DE UNIDADES. EJERCICIO 1 ............................................................................ 8 FIGURA 6.‐ DEFINICIÓN DE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DEL MODELO. (SPANS=CLAROS). EJERCICIO 1 ........................................................................................................................................ 9 FIGURA 7.‐VISUALIZACIÓN DE LA VIGA EN EL PLANO XZ. EJERCICIO 1 .................................................. 9 FIGURA 8.‐ DEFINICIÓN DE LOS PATRONES DE CARGA DEL EJERCICIO. EJERCICIO 1 .............................10 .............................10 FIGURA 9.‐ DEFINICIÓN DE LAS CARGAS UTILIZANDO LA DISTANCIA RELATIVA DEL APOYO I (EL DE LA IZQUIERDA). EJERCICIO 1 ................................................................................................................... ...................................................................................................................10 10 FIGURA 10.‐ DEFINICIÓN DE LAS CARGAS UTILIZANDO LA DISTANCIA ABSOLUTA DEL APOYO I. (EL DE LA IZQUIERDA). EJERCICIO 1 .............................................................................................................. ..............................................................................................................11 11 FIGURA 11.‐ PROCEDIMIENTO PARA VISUALIZAR LAS REACCIONES. EJERCICIO 1 ................................11 ................................11 FIGURA 12.‐ DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES. EJERCICIO 1 ......................................................... .........................................................12 12 FIGURA 13.‐ DIAGRAMA DE MOMENTOS FLEXIONANTES. EJERCICIO 1 ............................................... ...............................................12 12 FIGURA 14.‐ DIAGRAMA DE FUERZAS NORMALES (AXIALES). EJERCICIO 1 .......................................... ..........................................13 13 FIGURA 15.‐ VISUALIZACIÓN DE LOS DIAGRAMAS V, M Y N EN UNA MISMA VENTANA ......................13 ......................13 FIGURA 16.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 2. CUEVAS (2005) ..................................................................... .....................................................................14 14 FIGURA 17.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 2. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................14 14 FIGURA 18.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 2. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................15 15 FIGURA 19.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 2. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................16 16 FIGURA 20.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 2. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................17 17 FIGURA 21.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 2. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................17 17 FIGURA 22.‐ MALLA DESPLEGADA DESPUÉS DE DEFINIR PRELIMINARMENTE LA GRID EN SAP2000. EJERCICIO 2 ....................................................................................................................................... .......................................................................................................................................19 19 FIGURA 23.‐ CREACIÓN DEL MODELO DE VIGA Y ASIGNACIÓN DE LOS APOYOS (EXCEPTO LAS ARTICULACIONES GERBER). EJERCICIO 2 ............................................................................................ ............................................................................................20 20 FIGURA 24.‐ ASIGNACIÓN DE LIBERACIONES PARA CREAR LAS ARTICULACIONES GERBER. EJERCICIO 2. ......................................................................................................................................................... 20 FIGURA 25.‐ CARGAS APLICADAS AL MODELO. EJERCICIO 2................................................................ ................................................................21 21 FIGURA 26.‐ DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES. EJERCICIO 2 ......................................................... .........................................................21 21 FIGURA 27.‐ DIAGRAMA DE MOMENTOS FLEXIONANTES. EJERCICIO 2 ............................................... ...............................................22 22 FIGURA 28.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 3. CUEVAS (2005) ..................................................................... .....................................................................22 22

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Instituto Tecnológico de Tapachula FIGURA 29.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 3. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................22 22 FIGURA 30.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 3. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................23 23 FIGURA 31.‐ CREACIÓN DEL MODELO DE VIGA Y ASIGNACIÓN DE LOS APOYOS. EJERCICIO 3 ..............24 ..............24 FIGURA 32.‐ DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES. EJERCICIO 3 ......................................................... .........................................................25 25 FIGURA 33.‐ DIAGRAMA DE MOMENTOS FLEXIONANTES. EJERCICIO 3 ............................................... ...............................................25 25 FIGURA 34.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 4. CUEVAS (2005) ..................................................................... .....................................................................25 25 FIGURA 35.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 4. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................26 26 FIGURA 36.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 4. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................26 26 FIGURA 37.‐ DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL. EJERCICIO 4. ................................................................... ...................................................................28 28 FIGURA 38.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 5. CUEVAS (2005) ..................................................................... .....................................................................28 28 FIGURA 39.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 5. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................28 28 FIGURA 40.‐ DIAGRAMA DE FUERZAS AXIALES. EJERCICIO 5. .............................................................. ..............................................................29 29 FIGURA 41.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 6. CUEVAS (2005) ..................................................................... .....................................................................30 30 FIGURA 42.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 6. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................30 30 FIGURA 43.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 6. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................30 30 FIGURA 44.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 6. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................31 31 FIGURA 45.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 6. CUEVAS (2005). CONTINUACIÓN .......................................... CONTINUACIÓN ..........................................31 31 FIGURA 46.‐ DIAGRAMA DE FUERZAS AXIALES. EJERCICIO 6. .............................................................. ..............................................................32 32 FIGURA 47.‐ DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES. EJERCICIO 6. ........................................................ ........................................................33 33 FIGURA 48.‐ DIAGRAMA DE MOMENTOS FLEXIONANTES. EJERCICIO 6. .............................................. ..............................................33 33 FIGURA 49.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 7. TENA (2007)......................................................................... (2007). ........................................................................34 34 FIGURA 50.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 7. TENA (2007). CONTINUACIÓN ...............................................34 ...............................................34 FIGURA 51.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 7. TENA (2007). CONTINUACIÓN ...............................................35 ...............................................35 FIGURA 52.‐ DIAGRAMA DE FUERZAS AXIALES. EJERCICIO 7 ............................................................... ...............................................................36 36 FIGURA 53.‐ DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES. EJERCICIO 7 ......................................................... .........................................................36 36 FIGURA 54.‐ DIAGRAMA DE MOMENTOS FLEXIONANTES. EJERCICIO 7 ............................................... ...............................................37 37 FIGURA 55.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 8. TENA (2007)......................................................................... (2007). ........................................................................37 37 FIGURA 56.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 8. TENA (2007). CONTINUACIÓN ...............................................38 ...............................................38 FIGURA 57.‐ DIAGRAMA DE MOMENTOS FLEXIONANTES. EJERCICIO 8 ............................................... ...............................................39 39 FIGURA 58.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 9. TENA (2007)......................................................................... (2007). ........................................................................39 39 FIGURA 59.‐ SOLUCIÓN DE EJERCICIO 9. TENA (2007). CONTINUACIÓN ...............................................40 ...............................................40

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Instituto Tecnológico de Tapachula

INTRODUCCIÓN A SAP2000 v141 En los manuales contenidos dentro del programa SAP2000, que generalmente pueden encontrarse en el menú de ayuda y que son la base para la parte introductoria de esta guía, se hace un especial reconocimiento al Dr. Edward L. Wilson, Profesor Emérito de la Universidad de California en Berkeley, puesto que es el responsable de la concepción y el desarrollo de las series originales de programas SAP y cuyas contribuciones han permitido la implementación de conceptos únicos originales en la versión 14. De forma general el programa SAP2000 analiza y diseña estructuras usando un modelo gráfico que es definido por el usuario. Estos modelos están compuestos principalmente por los siguientes elementos: • • • • • • • • • •

Unidades Objetos y elementos Grupos Sistema de coordenadas y malla Propiedades Funciones Patrones de carga Casos de carga Combinaciones de carga Herramientas de diseño

Unidades SAP2000 incluye cuatro unidades básicas: fuerza, longitud, temperatura y tiempo. Se pueden escoger distintas combinaciones de estas unidades para trabajar como mejor convenga. El tiempo se mide siempre en segundos, excepto para el flujo plástico, contracción, efectos de envejecimiento, los cuales se miden en días. Objetos y elementos Los miembros físicos estructurales que componen un modelo en SAP2000 están representados por objetos. Específicamente, en el programa se dibujan objetos, tales como columnas, vigas, losas, etc. y posteriormente se le asignan propiedades (como resistencia, dimensiones, esfuerzo de fluencia, etc.) y cargas (como carga viva, carga muerta, etc.). Los tipos de objetos y elementos se listan a continuación: o

o

1

Puntos, hay dos tipos:  Joint (Nodos). Son creados automáticamente en las esquinas o en los extremos de otros tipos de elementos como vigas, columnas, losas, etc.  Grounded (Adheridos). Son usados para modelar comportamientos especiales de soporte tales como aisladores sísmicos, amortiguadores, resortes equivalentes del terreno, etc. Líneas, hay dos tipos:  Frame/cable/tendon. Son usados para modelar vigas, columnas, contravientos, cables y tendones.

Getting Started with SAP2000. CSI Computers and Structures INC. (2009)

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Instituto Tecnológico de Tapachula Conectores. Son utilizados para modelar miembro con comportamientos como aisladores, amortiguadores, resortes. A diferencia de un frame/cable/tendón, estos elementos pueden tener una longitud cero. Áreas. Utilizados para modelar muros, losas, y otros elementos con una dimensión muy corta con respecto a las otros dos, así  como sólidos en dos dimensiones (esfuerzos planos, deformación plana y sólidos axisimétricos). Las áreas se denominan como “Shell”. Sólidos. Usados para modelar sólidos en tres dimensiones. 

o

o

Grupos Un grupo es una colección de objetos con determinadas características, a las cuales se le otorga un nombre como por ejemplo: Columas‐1Piso (Se refiere al grupo de columnas del primer piso). Los grupos son muy útiles para, por ejemplo, seleccionar objetos de forma gráfica, analizar etapas constructivas, definir secciones de corte en el modelo, agrupar objetos que compartan el mismo diseño o hacer una selección selectiva. Sistema de coordenadas y malla Los modelos en SAP2000 están definidos con respecto a un único Sistema Global de Coordenadas (X, Y, Z). Es muy importante tener presente que el eje  –Z se encuentra en la dirección de la gravedad. Para el Sistema Global de Coordenadas es necesario también definir una malla (“grid”) que consiste en una serie de intersecciones que permiten construir el modelo de una forma sencilla. Es más o menos como nuestro papel milimétrico sobre el que se dibujan figuras geométricas. Las intersecciones en la malla tienden a forzar el cursor para facilitar la construcción del modelo, característica similar a la de “Forzcursor” en Autocad. También es importante entender el concepto de Sistema Local de Coordenadas. Los ejes locales en los elementos tipo frame, quizá los que cuesta más trabajo comprender, se definen como sigue: o

El eje local 1 se encuentra a lo largo de la longitud del elemento. Por default, el eje local 2 es el mismo que el eje global Z, excepto si el elemento es vertical y entonces el eje 2 es paralelo al eje global X.

Propiedades Las propiedades se asignan a cada objeto con el fin de determinar su comportamiento estructural. Algunas propiedades, tales como propiedades de material o de sección, deben definirse antes de ser asignadas. Algunas propiedades por ejemplo pueden ser: o o

o

Una propiedad de material llamada “250kg/cm2” Una propiedad de sección llamada “Viga principal” que incluya un material denominado “250kg/cm2” Una propiedad de área que se llame “Losa”, que incluya un material denominado “250 kg/cm2”

Funciones Las funciones sirven para definir o describir el comportamiento de cargas a través de un periodo de tiempo. Esas funciones son necesarias únicamente para cierto tipo de análisis. Los cuatro tipos de funciones disponibles son: funciones de espectros de respuesta, funciones para

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Instituto Tecnológico de Tapachula un análisis sísmico paso a paso o “Time‐history”, funciones para estados establecidos y funciones para espectros de densidad de potencia. Patrones de carga Las cargas representan acciones sobre la estructura, tales como fuerzas, presiones, desplazamientos, efectos térmicos, aceleraciones del terreno entre otras. Típicamente, los patrones de carga utilizados sirven para separar la carga muerta, carga viva, acciones de viento, acciones térmicas, acciones sísmicas, etc. Casos de carga Un caso de carga define la forma en la que dichas cargas serán aplicadas a la estructura y cómo debe ser calculada su respuesta. Los casos de carga disponibles son los siguientes: o

o o

o

o o

o

o o

Estático. Es el tipo de análisis más común. Las cargas son aplicadas in efectos dinámicos. Modal. Cálculo de los modos dinámicos de la estructura Espectro de respuesta. Cálculo estadístico de la respuesta causada por las cargas de aceleración. Requiere una función o espectro como el de las Normas técnicas complementarias del DF Tiempo‐historia. Las cargas aplicadas varían con el tiempo en una función establecida, como una acelerograma Pandeo. Cálculo de los modos de pandeo bajo la aplicación de cargas Hiperestático. Cálculo de las fuerzas secundarias debidas a fuerzas de presfuerzo y otras cargas equilibrantes Líneas de influencia. Determinadas por ejemplo, a través del movimiento de un vehículo a lo largo de una estructura Estado establecido. Cargas que varían de forma armónica Espectros de densidad de potencia. Cargas que varían armónicamente aplicadas de acuerdo a una especificación probabilística de carga sobre un rango de frecuencias

Combinaciones de carga Una combinación, también llamada “Combo”, es el resultado de una o más casos de cargas o la combinación entre ellas. Hay cinco tipos de combinaciones disponibles: o

o o

o

o

Lineal. Los resultados de los casos de cargas incluidos y combos se toman en cuenta linealmente Absoluto. Se toman en cuenta los valores absolutos de los resultados SRSS. Se calcula la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los resultados de los distintos casos de carga Máximos o mínimos. Se encuentra el máximo y mínimo valor de los casos de carga incluidos Rango. Se toman en cuenta los valores positivos al máximo, y los negativos al mínimo

Herramientas de diseño Se pueden usar características de diseño del programa para secciones de concreto, acero, acero rolado en frío o aluminio. Los diseños pueden ser afectados por varios aspectos como los siguientes:

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Instituto Tecnológico de Tapachula o o o o

El código de diseño especificado Preferencias de cómo deben ser aplicados dichos códigos Combinaciones para las cuales se debe verificar el diseño Grupos de objetos que deben compartir el mismo diseño

Todos o algunos de los elementos descritos anteriormente formarán parte del modelo estructural. Es importante siempre recordar que los modelos numéricos constituyen únicamente una herramienta en la que se forma un “modelo” y se le asignan una gran cantidad de valores de entrada por lo que a menudo es necesario utilizar el criterio ingenieril.

EJERCICIOS RESUELTOS CON SAP2000 V14 Los ejercicios que se describen a continuación fueron obtenidos de distintas fuentes bibliográficas sobre análisis estructural. El objetivo principal recae en obtener la solución a través del programa SAP2000 v14. El color de las ventanas gráficas del programa ha sido modificado para efectos de impresión y de una mejor visualización. Vigas Isostáticas Ejercicio 1. Ejemplo 2.4 de Cuevas (2005). Determinación de reacciones, Diagramas de V, M y  N.



Solución en libro:

Figura 1.‐ Solución de ejercicio 1. Cuevas (2005)

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Figura 2.‐ Solución de ejercicio 1. Cuevas (2005). Continuación

Figura 3.‐ Solución de ejercicio 1. Cuevas (2005). Continuación

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Instituto Tecnológico de Tapachula Solución con SAP2000 v14: 1. Como primer paso se elige un modelo nuevo para crear una hoja en donde se realizará el ejercicio. Para ello, dar click en el botón New  Model como se muestra en la Figura 4 (ver flechas rojas) 

2. Seleccionar las unidades. Para este ejercicio las unidades son KN, m, C (ver Figura 5) 3. El siguiente paso es definir la geometría del modelo. Esto puede hacerse, para cualquier modelo, mediante dos formas: 1) Utilizando las plantillas (Template) que trae definidas el programa como: Beam (viga), 2D Trusses (armadura en 2 dimensiones), 2D Frames (marco en 2D), 3D Frames (marcos en 3D), Wall  (muro), Flat  Slab (Losa), Shells (Superficies), Staircases (rampas o escaleras), Storage structures (Estructuras de almacenamiento como silos), underground  concrete (Estructuras de concreto subterráneas), Solid  models (Modelos de sólidos), Cable Bridge (Puentes colgantes), Caltrans‐BAG (Análisis de puentes según el sistema de transportes de California), Pipes y  Plates (Tubos y placas) y 2) Utilizando la forma general a través de la opción grid only. Aunque la primera opción tiende a facilitar la introducción de la geometría del modelo, es con la segunda opción con la que se puede tener un mejor entendimiento de los ejes globales del modelo. Para este ejercicio utilizaremos la primera forma, a través de la opción Beam. Cuando se selecciona la plantilla “Beam” se desplegará una venta como la que se muestra en la Figura 6. Es necesario introducir el número y la longitud de los claros (Spans). Para este ejercicio únicamente se considera un claro con una longitud de 14 metros. Los valores deben escribirse conforme a la Figura 6. Después dar OK  4. Para que la viga pueda ser visualizada de mejor forma, asegúrese de que la ventana despliegue el plano Global X‐Z. Esto se logra seleccionando el botón  xz localizado en la parte central superior de la ventana del programa (ver Figura 7). Nótese que la geometría de la viga ha quedado definida tal y como en el ejercicio de Cuevas (2005), en la Figura 1, incluidos los apoyos 5. Guarde el modelo tal y como lo haría con cualquier otro programa. Se recomienda crear una carpeta para cada ejercicio realizado 6. A continuación se definirán los patrones de carga. Para ello ir al menú Define‐Load  Patterns. Aparecerá una ventana con nombre “Define Load  Patterns”. En la opción Load  Pattern Name, borrar la palabra DEAD y escribir el nombre de la carga, para este caso, se llamará “CARGAS EJERCICIO” o escriba cualquier otro nombre que sea de su preferencia. En la opción Type, se dejará la opción por default “DEAD”, ya que no está estipulado en el ejercicio a que patrón de carga se refieren las cargas concentradas. En la opción Self  Weight Multiplier se borrará el número 1, y se escribirá el número 0 (cero). Esto se debe a que no se tomará en cuenta el peso propio de la viga porque el ejercicio no lo menciona. Después dar click en el botón  Add  New  Load  Pattern. Antes de dar OK , las opciones de patrón de carga deberán estar tal y como se muestra en la Figura 8. Después dar OK  7. Ahora bien, ya definidos los patrones, se aplicarán las cargas correspondientes. En el ejercicio hay tres cargas concentradas, dos de 60 KN a 3 m de cada apoyo y una de 90 KN al centro del claro de la viga. Para aplicar las cargas primero se seleccionará la viga, esto se puede hacer cubriendo toda la viga con una ventana de selección de izquierda a derecha o tocando la viga con una selección de derecha a izquierda, tal y como si se tratara de un dibujo de Autocad. Si por algún motivo desea quitar la selección oprima el botón Esc del teclado. Después de seleccionar la viga ir al menú  Assign‐Frame Loads‐Point . Aparecerá una ventana con nombre Frame‐Points‐Loads. En la opción Load  Patterns Name Pág. [6]

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Instituto Tecnológico de Tapachula seleccione la opción CARGAS EJERCICIO porque es el patrón que creamos y al que se le asignarán las cargas del ejercicio. En la opción Load  Type and  Direction deben estar seleccionadas las opciones Forces, GLOBAL y Gravity  porque corresponden a las características del ejercicio. En el cuadro de la izquierda (Options), hay tres opciones: Add  to Existing Loads, Replace Existing Loads y Delete Existing Loads, la opción Replace debe estar seleccionada. Ahora, en el cuadro Points Loads se van a definir las fuerzas del ejercicio. Existen dos formas: 1) utilizar la distancia relativa y 2) Utilizar la distancia absoluta. Para la primera forma, las distancias de las cargas estarían definidas de la siguiente forma (en los cuadros 1, 2, 3 y 4 de Distance): la primera carga estaría a 3/14=0.2143 del primer apoyo; la segunda carga estaría a 7/14=0.5 y la tercera carga estaría a 11/14=0.7857. Es decir, las cargas deben tomarse de forma relativa a partir del nodo I, que para este caso, el SAP2000 definió por default que es el de la izquierda. Si se decide esta forma, los datos deberán quedar como se muestra en la Figura 9. Si se selecciona la segunda opción ( Absolute Distance), entonces las distancias de las cargas estarían a 3, 7 y 11 m. Se utilizará la segunda opción porque al parecer es la más clara de entender. Después escriba la magnitud de la carga (Load ) correspondiente a cada distancia (ver Figura 10). Después dar OK . Inmediatamente se visualizarán las cargas concentradas aplicadas en la viga. 8. Después de asignar las cargas, se procederá a correr el modelo. Para ello ir al menú  Analyze‐Run Analysis (de forma alternativa se puede oprimir la tecla F5). Después dar click en el botón Run Now . El programa comenzará a realizar los cálculos correspondientes. Al finalizar, se mostrará en la pantalla la forma deformada de la viga por las cargas a las que fue sometida. 9. Para visualizar las reacciones, ir al menú Display ‐Show  Foces‐Stresses‐ Joints. Aparecerá una ventana con nombre Joint Reactions Forces. Ahí, en el cuadro Case/Combo Name se debe seleccionar el patrón CARGAS EJERCICIO. También debe activarse la opción Show  Results as Arrows para que nos muestre el sentido de las flechas de reacciones (Figura 11). Después dar click en OK . Inmediatamente se desplegarán las reacciones, de 105 kN en cada apoyo. Ahora bien, para visualizar el diagrama de fuerzas cortantes ir al menú Display ‐Show  Foces‐Stresses‐Frames/Cables. Aparecerá una ventana con nombre Member Force Diagram for Frames. Seleccionar en la opción Case/Combo Name el patrón CARGAS EJERCICIOS. En el cuadro Component , activar la casilla Shear 2‐2 (el número 2 se refiere al eje local 2), en el cuadro Scaling, seleccionar la opción Auto y en el cuadro Options, seleccionar la opción Show  Values on Diagram. Después dar OK . El diagrama aparecerá como se muestra en la Figura 12. Para visualizar el diagrama de momentos flexionantes (Figura 13) y el de fuerzas normales (Figura 14), seguir el mismo procedimiento pero activando las opciones Moment 3‐3 y Axial Force, para cada diagrama respectivamente. Si se desea ver los diagramas en una misma ventana, basta con dar click con el botón derecho del mouse sobre la viga y aparecerá una ventana donde se desplegarán los diagramas V, M y N (Figura 15). Los diagramas son muy similares a los que presenta Cuevas (2005), excepto por la convención de signos utilizada. El SAP2000 considera como positivas las fuerzas en el sentido del eje local ‐ 2 (sentido de la gravedad, para miembros horizontales). Los resultados son iguales.

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Figura 4.‐ Crear un nuevo modelo. Ejercicio 1

Figura 5.‐ Definición de unidades. Ejercicio 1

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Figura 6.‐ Definición de características geométricas del modelo. (Spans=Claros). Ejercicio 1

Figura 7.‐Visualización de la viga en el plano xz. Ejercicio 1

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Figura 8.‐ Definición de los patrones de carga del ejercicio. Ejercicio 1

Figura 9.‐ Definición de las cargas utilizando la distancia relativa del apoyo I (el de la izquierda). Ejercicio 1

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Figura 10.‐ Definición de las cargas utilizando la distancia absoluta del apoyo I. (El de la izquierda). Ejercicio 1

Figura 11.‐ Procedimiento para visualizar las reacciones. Ejercicio 1

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Figura 12.‐ Diagrama de fuerzas cortantes. Ejercicio 1

Figura 13.‐ Diagrama de momentos flexionantes. Ejercicio 1

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Figura 14.‐ Diagrama de fuerzas normales (Axiales). Ejercicio 1

Figura 15.‐ Visualización de los diagramas V, M y N en una misma ventana

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Instituto Tecnológico de Tapachula Ejercicio 2. Ejemplo 2.7  de Cuevas (2005). Obtener  los diagramas de  fuerza cortante y  momento flexionante para la estructura mostrada.

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Solución en libro:

Figura 16.‐ Solución de ejercicio 2. Cuevas (2005)

Figura 17.‐ Solución de ejercicio 2. Cuevas (2005). Continuación

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Figura 18.‐ Solución de ejercicio 2. Cuevas (2005). Continuación

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Figura 19.‐ Solución de ejercicio 2. Cuevas (2005). Continuación

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Figura 20.‐ Solución de ejercicio 2. Cuevas (2005). Continuación

Figura 21.‐ Solución de ejercicio 2. Cuevas (2005). Continuación

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Instituto Tecnológico de Tapachula Solución con SAP2000 v14: 1. Crear un modelo nuevo y seleccionar las unidades KN, m, C. Para este caso, utilizaremos la opción grid only para definir la malla (grid). En la dirección X, habrán tantos grid como número de apoyos y articulaciones haya, por lo que entonces, al tratarse de 3 articulaciones y 3 rodillos, entonces el número a escribir en el cuadro Number of  Grid Lines, en la opción X direction será 6. Tanto en la dirección Y, como en la Z se escribirá el número uno. Este número en estas direcciones será mayor a uno cuando se trate por ejemplo, de armaduras o marcos en 2D y 3D. Ahora bien, en el cuadro Grid Spacing no importa el número porque la malla será refinada más adelante ya que las dimensiones entre apoyos o articulaciones no es constante. Dar click en OK. El programa desplegará una malla como la que se muestra en la Figura 22 

2. Para refinar la malla (grid), dar click con botón derecho del mouse en cualquier parte de la ventana del modelo y seleccionar la opción Edit Grid Data. Después, dar click en el botón Modify/Show System. Aparecerá una ventana nombrada Define Grid System Data. En el cuadro X Grid Data, se modificarán las dimensiones entre apoyos de acuerdo a la Figura 16. El primer apoyo (articulación) se encontrará a una distancia de 0 m, el segundo (rodillo) a 6 m, el tercero (articulación Gerber) a 9 m, el cuarto (apoyo Gerber) a 13 m, el quinto a 16 m y el sexto a 22 m. Estos números se escribirán, reemplazando a los que aparecen por default en la columna Ordinate, en forma progresiva. Después dar click en OK. 3. Las dimensiones estarán ahora de acuerdo al ejemplo 2.4 de Cuevas (2005). 4. Para dibujar la viga, ir al menú Draw‐Draw Frame/Cable/Tendon. Aparecerá una ventana con nombre Properties of  Object que se debe cerrar porque en este ejercicio no asignaremos ninguna sección. El apuntador del mouse tendrá como símbolo una flecha hacia arriba, que colocaremos (dando click) en el primer eje A y lo llevaremos hasta los demás ejes, en forma ordenada y de izquierda a derecha. Al llegar al último eje, presionar la tecla Enter. 5. Para asignar los apoyos, primeramente se seleccionara el Grid Point del eje A. Esto se logra colocando el apuntador del mouse en la parte de la viga que se dibujó por debajo del eje A (en los ejes globales X‐Z) que aparecen en pantalla. La selección se muestra en forma de una cruz con líneas punteadas. Después de esto ir al menú Assign‐Joint‐Restraints y seleccionaremos el caso de una articulación, simbolizada con un triángulo. Después dar click en OK. Automáticamente se dibujará el apoyo en la viga. Hacer esto para los demás apoyos (excepto las articulaciones Gerber) por lo que la viga quedará de acuerdo a la Figura 23. Los rodillos son la opción cuyo símbolo es un triángulo sobre un círculo. Para asignar las articulaciones se deberán seleccionar únicamente las porciones de la viga entre las secciones B‐C y C‐D. Después de seleccionadas estas porciones, ir al menú Assign‐ Frame‐Releases/Partial Fixity y aparecerá una ventana llamada Assign Frame Releases. Se deberán seleccionar las casillas de la columna End para las opciones Axial Load, Shear Force 3 (Minor), Torsion, Moment 22 (Minor) y Moment 33 (Major), dejando libre únicamente la opción Shear Force 2 (Major) tal y como se muestra en la Figura 24. Después dar OK. En el modelo aparecerán automáticamente dos símbolos que muestran las articulaciones Gerber. 6. Teniendo la viga dibujada, se definirán un patrón de cargas con nombre “CARGAS EJERCICIO” o cualquier otro nombre. Esto se hace tal y como se realizó en el ejercicio 1 descrito anteriormente. 7. Una vez definido el patrón, se asignarán las cargas. Primeramente se aplicará la carga distribuida en la porción de la viga entre las secciones A y B. Para ello, se deberá Pág. [18]

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Instituto Tecnológico de Tapachula seleccionar esta porción de viga y después ir al menú Assign‐Frame Loads‐Distributed. En el cuadro Load Pattern Name se seleccionará el patrón CARGAS EJERCICIO, y al final, en el cuadro Uniform Load se escribirá 450 (que es la carga según el ejemplo 2.7 de Cuevas, 2005). Después dar OK. Automáticamente se visualizará en la viga una carga distribuida en la porción seleccionada. Las cargas concentradas (puntuales) se asignarán de la misma forma que en el ejercicio 1. Teniendo cuidado de siempre aplicarlas con el patrón CARGAS EJERCICIO. Al final, para poder visualizar todas las cargas aplicadas al modelo, ir al menú Display‐Show Load Assigns‐Frame/Cable/Tendon, en el cuadro Load Pattern Name, seleccionar CARGAS EJERCICIO y después dar click en OK. Se desplegarán todas las cargas en pantalla, tal y como el ejemplo a resolver y conforme a la Figura 16 y Figura 25. 8. Para correr el modelo presionar la tecla F5 y presionar el botón Run Now. 9. Para visualizar el diagrama de fuerzas cortantes ir al menú Display‐Show Forces/Stresses‐ Frame/Cables. Después en el cuadro Case/Combo seleccionar el patrón CARGAS EJERCICIO y luego seleccionar las opciones Shear 2‐2. En el cuadro Scaling, activar la opción Scale Factor y escribir el número 0.005 (para visualizar en mejor escala el diagrama. Se recomienda ensayar con otros valores) y en el cuadro Options, activar la opción Show Values on Diagram. El diagrama deberá ser como el de la Figura 26. Para visualizar los demás diagramas seguir el mismo procedimiento (para momento seleccionar la opción Moment 3‐3).

Figura 22.‐ Malla desplegada después de definir preliminarmente la grid en SAP2000. Ejercicio 2

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Figura 23.‐ Creación del modelo de viga y asignación de los apoyos (excepto las articulaciones Gerber). Ejercicio 2

Figura 24.‐ Asignación de liberaciones para crear las articulaciones Gerber. Ejercicio 2.

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Figura 25.‐ Cargas aplicadas al modelo. Ejercicio 2

Figura 26.‐ Diagrama de fuerzas cortantes. Ejercicio 2

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Figura 27.‐ Diagrama de momentos flexionantes. Ejercicio 2

Viga Hiperestática Ejercicio 3. Ejemplo 4.7  de Cuevas (2005). Resolución de una viga continua de diferentes  propiedades por el método de las fuerzas.

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Solución en libro:

Figura 28.‐ Solución de ejercicio 3. Cuevas (2005)

Figura 29.‐ Solución de ejercicio 3. Cuevas (2005). Continuación

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Figura 30.‐ Solución de ejercicio 3. Cuevas (2005). Continuación

Solución con SAP 2000 v14 1. Crear un modelo nuevo y cambiar las unidades a Tonf, m, C . La geometría puede introducirse a través de la opción Grid Only o mediante la opción Beam. Para este caso, y dado que la dimensión de los claros de la viga es constante (5m), se elegirá la opción Beam. En el cuadro Beam Dimensions, se debe especificar el número de claros y la dimensión entre ellos. Para este ejemplo, son 4 claros a 5 m cada uno. Dar click en OK. 

2. Visualice una sola ventana en el plano x‐z y verifique que los apoyos estén de acuerdo a la Figura 28 del ejemplo. En caso contrario, se deben seleccionar los apoyos que sean incorrectos e ir al menú Assign‐Joint‐Restraint y active la opción de articulación que se asemeja a un triángulo. Dar click en OK. 3. Será conveniente guardar el modelo, a través del menú File‐Save y seleccionar la carpeta destino. Como se observa en la Figura 28 del ejercicio en libro, los claros tienen diferentes rigideces, EI, 2EI, 3EI y EI para los claros 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Para realizar el cambio de rigideces, ir al menú Define‐Section Properties‐Frame sections. En esta parte se crearán 3 diferentes secciones a las que llamaremos EI1, EI2 y EI3. La primera sección puede quedar definida modificando la sección por default FSEC1. Para ello, seleccionar la sección FSEC1 y dar click en Modify/Show Property. En el cuadro Section Name, escribir el nombre de la primera sección (EI1). Posteriormente dar click en Set Modifiers del cuadro Property Modifiers, aparecerá un cuadro llamado Property/Stiffness Modifiers for Analysis. En este cuadro, en la opción Cross‐section (axial) Area se deberá escribir un número grande, por ejemplo 1000, para despreciar las deformaciones por carga axial. Además, se deberá cambiar el número 1 por el 0, en todas las opciones, excepto en Moment of Inertia about 3 axis. Este cambio se puede hacer ya que el ejercicio en el libro no especifica ninguna sección, sino que las rigideces están dadas en términos de rigideces relativas y además, se desprecian las deformaciones por cortante. Dar click en OK y nuevamente OK. Para crear las otras secciones, se puede seleccionar la sección recientemente creada, EI1, y dar click en Add copy of property. Esto nos permitirá realizar una copia de la sección EI1. El nombre deberá ser EI2, y nuevamente dar click en el cuadro Set modifiers para dejar en 0 todas las opciones, excepto en la parte de Moment of Inertia about 3 axis, en donde deberá colocarse el número 2. Para crear la tercera sección, puede procederse de igual forma, excepto que en la opción Moment of Inertia about 3 deberá colocarse el número 3. 4. Una vez definidas las secciones, deberán asignarse a los respectivos claros. Como primer paso, se seleccionará el primero y el cuarto claro (A‐B y D‐E) e ir al menú Assign‐Frame‐Frame Sections, seleccionar la sección EI1 y dar click en OK.

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Instituto Tecnológico de Tapachula Posteriormente, se deberá seleccionar el segundo claro (B‐C), ir al menú Assign‐ Frame‐Frame Sections, seleccionar la sección EI2 y dar click en OK. Finalmente, se deberá asignar la sección 3 al tercer claro siguiendo el mismo procedimiento. 5. Ahora se creará un patrón de carga llamado “Cargas ejercicio” mediante el menú Define‐Load Patterns. Ahí, se creará dicho patrón cuidando que el multiplicador de peso propio (Self Weight Multiplier) sea 0. 6. El siguiente paso consiste en asignar la carga de 10 ton/m que estipula el ejercicio. Para ello, se deberán seleccionar todos los claros e ir al menú Assign‐FrameLoads‐ Distributed y en el cuadro Load Pattern Name seleccionar el patrón “Cargas ejercicio”. En el último cuadro (Uniform Load) se deberá escribir el valor de la carga, que para este caso es 10. Dar click en OK. 7. La geometría y las cargas del problema se encuentran definidas por lo que se procederá a correr el programa. Para ello, presionar la tecla F5 y dar click en el botón Run Now. Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes se muestran en la Figura 32 y Figura 33, respectivamente. Los resultados son similares. Las reacciones del ejemplo en libro suman 197 ton (deben ser 200 ton) debido probablemente a los decimales utilizados para resolver el ejercicio. Por el contrario, las reacciones en SAP 2000 suman 200 ton.

Figura 31.‐ Creación del modelo de viga y asignación de los apoyos. Ejercicio 3

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Figura 32.‐ Diagrama de fuerzas cortantes. Ejercicio 3

Figura 33.‐ Diagrama de momentos flexionantes. Ejercicio 3

 Armadura Isostática Ejercicio 4. Ejemplo 2.8 de Cuevas (2005).Determinación de las  fuerzas internas de una armadura por el método de los nudos

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Solución en libro:

Figura 34.‐ Solución de ejercicio 4. Cuevas (2005)

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Figura 35.‐ Solución de ejercicio 4. Cuevas (2005). Continuación

Figura 36.‐ Solución de ejercicio 4. Cuevas (2005). Continuación

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Instituto Tecnológico de Tapachula Solución con SAP 2000 v14 1. Definir las unidades, para este ejercicio las unidades están dadas en kN y m, por lo que será necesario seleccionar las unidades kN, m y C. 

2. Se seleccionará la opción Grid Only para dibujar la geometría del modelo. En el cuadro Quick grid lines, en la opción X direction del cuadro Number of grid lines se escribirá el número 5; en la opción Y direction el número 1 y en Z direction 2. El Grid Spacing para X, Y y Z direction será de 6, 1 y 6. Para visualizar la malla de mejor forma seleccione la vista x‐z. 3. Se definirán las secciones a partir del menú Define‐Section Properties‐Frame Section y en el cuadro Frame Properties seleccionar la opción Add New Property. Seleccione cualquiera de las secciones predefinidas que aparecen en el cuadro Add Frame Section Property, ya que el ejercicio no proporciona ninguna sección. 4. En el cuadro de sección, dar click en el botón Set Modifiers del cuadro Property modifiers. Cambie el número 1, por el 0 en todas las opciones del cuadro Frame Properties/Stiffness Modification Factors excepto en la opción de Cross‐section (axial) Area. Esto puesto que las armaduras trabajan a carga axial, por lo que únicamente se considerarán las deformaciones por carga axial. De click en OK, en todas las ventanas de Frame section. 5. Ahora se dibujará la geometría del modelo. Para ello ir al menú Draw‐Draw Frame/Cable/Tendon y dibuje las líneas conforme al ejercicio. 6. A continuación se definirán los apoyos, por lo que se deberá seleccionar, en primera instancia, el nodo exterior izquierdo e ir al menú Assign‐Joint‐Restraints y seleccionar la articulación simbolizada por un triángulo. Posteriormente se debe seleccionar el nodo exterior derecho e ir nuevamente al menú Assign‐Joint‐Restraints para asignar el apoyo tipo rodillo. 7. El siguiente paso consiste en definir el patrón de cargas y aplicarla a los nodos correspondientes. Para definir el patrón de carga, ir al menú Define‐Load Patterns y en el cuadro Load Pattern‐Name cambiar la palabra DEAD por “Cargas ejercicio” o el nombre que sea de su preferencia. Además, no se debe olvidar poner el número 0 en el cuadro Self  Weight Multiplier. Posteriormente de click en el botón Add New Load Pattern. Después de click en OK. Para asignar las cargas, seleccione los nodos entre los apoyos y vaya al menú Assign‐Joint Loads‐Forces. En la ventana Joint Forces, en el cuadro Load Pattern Name selecciones el patrón Cargas ejercicio. Posteriormente, en la opción Force Global Z del cuadro Loads escriba el número ‐100, para asignar los 100 kN que indica el ejercicio. 8. Una vez definido el modelo, se pueden realizar los cálculos. Para ello presione la tecla F5 y de click en el botón Run Now. El diagrama de fuerza axial se muestra en la Figura 37 con los mismos resultados que en Cuevas (2005).

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Figura 37.‐ Diagrama de fuerza axial. Ejercicio 4.

 Armadura Hiperestática Ejercicio 5. Ejemplo 4.8 de Cuevas (2005). Resolución de una armadura continua de dos claros, externamente indeterminada, por el método de las fuerzas.

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Solución en libro:

Figura 38.‐ Solución de ejercicio 5. Cuevas (2005)

Figura 39.‐ Solución de ejercicio 5. Cuevas (2005). Continuación

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Instituto Tecnológico de Tapachula Solución con SAP 2000 v14 1. Abra un modelo nuevo y seleccione las unidades kN, m y C. Para este caso, el modelo se definirá a través de la opción Grid Only con 5, 1 y 2 puntos de la malla (Number of  Grid Lines) para las direcciones X, Y y Z, respectivamente. El espaciamiento será de 7.5 en la dirección X y de 6 en la dirección Z. En Y, el valor es indistinto. 

2. Nótese que en este ejercicio existen dos secciones transversales de barras, una con un área de 19.4 cm2 y otra con un área de 25.8 cm2. Las secciones se definirán a través de un área relativa como sigue. Para definir la primera sección, vaya al menú Define‐ Section properties‐Frame Section y de click en el botón Add New Property. En la lista desplegable de la opción Frame Section Property Type, elija la opción Other y posteriormente elija General. Deberá cambiar todos los valores a 0, excepto para la opción Cross‐section (axial) area. Para definir la segunda sección, realice el mismo procedimiento pero en la opción Cross‐setion (axial) area deberá ir el número 1.33 (25.8/19.4). 3. Dibuje las barras tal y como se indican en el ejercicio a través del menú Draw‐Draw Frame/Cable/Tendon. 4. Para definir los apoyos, seleccione el nodo izquierdo y vaya al menú Assign‐Joint‐ Restraints y seleccione la articulación simbolizada por un triángulo. Para los demás apoyos (dos rodillos) realice el mismo procedimiento. 5. Defina el patrón de cargas “Cargas ejercicio” a través del menú Define‐Load Patterns. No olvide asignar un multiplicador de peso propio 0. 6. Una vez definido el patrón de carga, se asignarán los valores de carga en los nodos respectivos a partir del menú Assign‐Joint Loads, no sin antes seleccionar los nodos correspondientes y corra el modelo. Los resultados se muestran en la Figura 40 idénticos a los que presenta Cuevas (2005).

Figura 40.‐ Diagrama de fuerzas axiales. Ejercicio 5.

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Instituto Tecnológico de Tapachula Marcos Hiperestáticos Ejercicio 6. Ejemplo 6.3 de Cuevas (2005).  Análisis de un marco con una columna de doble altura

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Solución en libro:

Figura 41.‐ Solución de ejercicio 6. Cuevas (2005)

Figura 42.‐ Solución de ejercicio 6. Cuevas (2005). Continuación

Figura 43.‐ Solución de ejercicio 6. Cuevas (2005). Continuación

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Figura 44.‐ Solución de ejercicio 6. Cuevas (2005). Continuación

Figura 45.‐ Solución de ejercicio 6. Cuevas (2005). Continuación

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Solución con SAP 2000 v14

Antes de describir el procedimiento para resolver el marco, cabe mencionar que el ejercicio desprecia las deformaciones axiales y deformaciones por cortante, por lo que habrán de ser considerados en el modelo. Aunque esta afirmación no viene aclarada en el ejercicio, Cuevas (2005) hace mención en la pág. 99 sobre el hecho de que la determinación de las deformaciones axiales y por corte queda fuera del alcance del texto. 1. Las unidades utilizadas en este ejercicio son kN y m. 2. Para definir la geometría del modelo, se usará la opción Grid Only con 3, 1 y 3 puntos de la malla (Number of  Grid Lines) para las direcciones X, Y y Z, respectivamente. El espaciamiento será de 5 en la dirección X y de 3 en la dirección Z. En Y, el valor es indistinto. La malla aun no está definida como en el ejercicio, por lo que se necesitará modificar la malla a través del menú Define‐Cordinate Systems/Grid. En la ventana Coordinate/Grid Systems de click en el botón Modify/Show System y los valores de Z1, Z2 y Z3, del cuadro Z Grid Data, deberán modificarse a 0, 4 y 7, respectivamente. 3. Para definir las secciones vaya al menú Define‐Section Properties‐Frame Sections y de click en el botón Add New Property y seleccione la opción General. En la opción Cross section (axial) area escriba un número elevado (1000 por ejemplo, para despreciar

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Instituto Tecnológico de Tapachula deformaciones axiales). Además, deberá asignar un valor de 0 en todas las opciones excepto en la opción Moment of Inertia about 3 axis. 4. Dibuje las barras a través del menú Draw‐Draw Frame/Cable/Tendon. 5. Para asignar los apoyos, seleccione los nodos y vaya al menú Assign‐Joint‐Restraints y elija el empotramiento. 6. A continuación se definirá el patrón de carga a través del menú Define‐Load Patterns en donde se deberá asignar un multiplicador de peso propio de 0. 7. Para asignar la carga concentrada, seleccione la barra C‐F y vaya al menú Assign‐Frame Loads‐Point. En el cuadro Load Pattern Name elija el patrón definido y en el cuadro Points Loads escriba en un cuadro del renglón Distance el número 0.5 e inmediatamente abajo escriba el valor de la carga (50 kN). Para asignar las cargas distribuidas, seleccione la barra F‐H y vaya al menú Assign‐Frame Loads‐Distributed. En el cuadro Load Pattern Name elija el patrón definido. En el último cuadro (Uniform Load) escriba el valor de la carga, para este caso de 20. Realice el mismo procedimiento para la barra B‐E y asigne una carga distribuida de 30 kN. Corra el modelo. Los diagramas de fuerza axial, fuerzas cortantes y momentos flexionantes se muestran en la Figura 46, Figura 47 y Figura 48, respectivamente. Los resultados son idénticos que en Cuevas (2005).

Figura 46.‐ Diagrama de fuerzas axiales. Ejercicio 6.

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Figura 47.‐ Diagrama de fuerzas cortantes. Ejercicio 6.

Figura 48.‐ Diagrama de momentos flexionantes. Ejercicio 6.

Ejercicio 7. Ejemplo 3.1 de Tena Colunga (2007). Obtener  los elementos mecánicos del  marco de dos niveles sujeto al  sistema de cargas laterales que se muestra en la  figura. Todos los elementos son viga‐columna bidimensional, cuyas  propiedades se indican en la  figura citada. Desprecie las deformaciones  por  cortante. El  módulo de elasticidad  de todos los elementos es igual y constante.

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Solución en libro:

Figura 49.‐ Solución de ejercicio 7. Tena (2007).

Figura 50.‐ Solución de ejercicio 7. Tena (2007). Continuación

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Figura 51.‐ Solución de ejercicio 7. Tena (2007). Continuación

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Solución con SAP 2000 v14

Es importante notar que existen 3 secciones diferentes en este ejercicio, cuyas propiedades diferentes están dadas en términos del momento de inercia. La primera sección, correspondiente a las vigas tienen un momento de inercia de I, las columnas de la planta baja tienen una inercia de 3I y las del primer piso de 2I. 1. Las unidades están dadas en ton y m. La malla se definirá a través de la opción Grid Only con 2, 1 y 3 puntos de la malla (Number of Grid Lines) para las direcciones X, Y y Z, respectivamente. El espaciamiento será de 8 en la dirección X y de 4 en la dirección Z. En Y, el valor es indistinto. La malla aun no está definida como en el ejercicio, por lo que se necesitará modificar la malla a través del menú Define‐Cordinate Systems/Grid. En la ventana Coordinate/Grid Systems de click en el botón Modify/Show System y los valores de Z1, Z2 y Z3, del cuadro Z Grid Data, deberán modificarse a 0, 4 y 7, respectivamente. 2. Para definir la primera sección (I), ir al menú Define‐Section Properties‐Frame Sections y dar click en el botón Add New Property. Seleccione alguna sección ya que el ejercicio no contempla ninguna en especial. En el cuadro Property Modifiers, de click en el botón Set Modifiers y cambie los valores a cero, excepto en Cross‐Sectional (axial) area y Moment of  Inertia about 3 axis. Para definir las demás secciones realice el mismo procedimiento, pero en Moment of Inertia about 3 axis escriba el número 2 (2I) y 3 (3I) según la sección que se trate. 3. Dibuje el modelo tal y como se establece en el ejercicio. Cuide asignar las respectivas secciones (con diferentes I) al modelo. 4. Para asignar los apoyos, seleccione los nodos y vaya al menú Assign‐Joint‐Restraints y elija el empotramiento. 5. A continuación se definirá el patrón de carga a través del menú Define‐Load Patterns en donde se deberá asignar un multiplicador de peso propio de 0.

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Manual Básico de SAP2000 v.14

Instituto Tecnológico de Tapachula 6. Para asignar las cargas, seleccione los nodos y asigne las cargas a través del menú Assign‐Joint Loads‐forces, seleccionando el patrón definido y asignando el valor de la carga correspondiente (7.5 y 5 ton). Corra el modelo. Los resultados se muestran en la Figura 52, Figura 53 y Figura 54. Los resultados son similares. Excepto por los decimales.

Figura 52.‐ Diagrama de fuerzas axiales. Ejercicio 7

Figura 53.‐ Diagrama de fuerzas cortantes. Ejercicio 7

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Figura 54.‐ Diagrama de momentos flexionantes. Ejercicio 7

Ejercicio 8. Ejemplo 3.4 de Tena Colunga (2007). Obtener  los elementos mecánicos del  marco de dos niveles sujeto al  sistema de cargas verticales y  laterales que se muestra en la  figura, utilizando métodos matriciales, despreciando las deformaciones  por  cortante y  las deformaciones axiales. Todos los elementos son tipo viga‐columna bidimensional, cuyas  propiedades se indican en la  figura citada. El  módulo de elasticidad  de todos los elementos es E.

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Solución en libro:

Figura 55.‐ Solución de ejercicio 8. Tena (2007).

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Figura 56.‐ Solución de ejercicio 8. Tena (2007). Continuación

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Solución con SAP 2000 v14 Las unidades están dadas en ton y m. La malla se definirá a través de la opción Grid Only con 3, 1 y 3 puntos de la malla (Number of Grid Lines) para las direcciones X, Y y Z, respectivamente. El espaciamiento será de 5 en la dirección X y de 3 en la dirección Z. En Y, el valor es indistinto. La malla aun no está definida como en el ejercicio, por lo que se necesitará modificar la malla a través del menú Define‐Cordinate Systems/Grid. En la ventana Coordinate/Grid Systems de click en el botón Modify/Show System y los valores de Z1, Z2 y Z3, del cuadro Z Grid Data, deberán modificarse a 0, 5 y 8, respectivamente.

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Para definir la primera sección (IViga), ir al menú Define‐Section Properties‐Frame Sections y dar click en el botón Add New Property. Seleccione alguna sección ya que el ejercicio no contempla ninguna en especial. En el cuadro Property Modifiers, de click en el botón Set Modifiers y cambie los valores a cero, excepto en Moment of Inertia about 3 axis. Además, en la opción Cross‐section (axial) Area escriba un valor elevado (1000 por ejemplo, para despreciar las deformaciones por carga axial). Para definir la otra sección (Icols) realice el mismo procedimiento, pero en Moment of Inertia about 3 axis escriba el número 3.

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Dibuje el modelo tal y como se establece en el ejercicio. Cuide asignar las respectivas secciones (con diferentes I) al modelo.

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Para asignar los apoyos, seleccione los nodos y vaya al menú Assign‐Joint‐Restraints y elija el empotramiento.

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A continuación se definirá el patrón de carga a través del menú Define‐Load Patterns en donde se deberá asignar un multiplicador de peso propio de 0.

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Para asignar las cargas, seleccione los nodos y asigne las cargas a través del menú Assign‐Joint Loads‐forces, seleccionando el patrón definido y asignando el valor de la carga correspondiente tal y como se ha descrito en ejercicios anteriores. Corra el modelo. Los resultados se muestran en la Figura 59. Excepto por los decimales.

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Figura 57.‐ Diagrama de momentos flexionantes. Ejercicio 8

Cálculo de deformaciones

Ejercicio 9. Ejemplo 3.2 de Tena Colunga (2007). Obtener  los desplazamientos globales del  marco de dos niveles sujeto al  sistema de cargas laterales que se muestra en la  figura. Todos los elementos son tipo viga‐columna bidimensional, cuyas  propiedades se indican en la  figura citada. Desprecie las deformaciones  por  cortante. El  módulo de elasticidad  de todos los elementos es igual y constante.

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Solución en libro:

Figura 58.‐ Solución de ejercicio 9. Tena (2007).

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Figura 59.‐ Solución de ejercicio 9. Tena (2007). Continuación

Solución con SAP 2000 v14 1. Las unidades están dadas en ton y m. La malla se definirá a través de la opción Grid Only con 2, 1 y 3 puntos de la malla (Number of Grid Lines) para las direcciones X, Y y Z, respectivamente. El espaciamiento será de 8 en la dirección X y de 4 en la dirección Z. En Y, el valor es indistinto. La malla aun no está definida como en el ejercicio, por lo que se necesitará modificar la malla a través del menú Define‐Cordinate Systems/Grid. En la ventana Coordinate/Grid Systems de click en el botón Modify/Show System y los valores de Z1, Z2 y Z3, del cuadro Z Grid Data, deberán modificarse a 0, 4 y 7, respectivamente. 

2. Para definir la primera sección (I), ir al menú Define‐Section Properties‐Frame Sections y dar click en el botón Add New Property. Seleccione alguna sección ya que el ejercicio no contempla ninguna en especial. En el cuadro Property Modifiers, de click en el botón Set Modifiers y cambie los valores a cero, excepto en Cross‐Sectional (axial) area y Moment of  Inertia about 3 axis. Para definir las demás secciones realice el mismo procedimiento, pero en Moment of Inertia about 3 axis escriba el número 2 (2I) y 3 (3I) según la sección que se trate. 3. Dibuje el modelo tal y como se establece en el ejercicio. Cuide asignar las respectivas secciones (con diferentes I) al modelo. 4. Para asignar los apoyos, seleccione los nodos y vaya al menú Assign‐Joint‐Restraints y elija el empotramiento. 5. A continuación se definirá el patrón de carga a través del menú Define‐Load Patterns en donde se deberá asignar un multiplicador de peso propio de 0. 6. Para asignar las cargas, seleccione los nodos y asigne las cargas a través del menú Assign‐Joint Loads‐forces, seleccionando el patrón definido y asignando el valor de la carga correspondiente (15 y 10 ton). Corra el modelo. 7. Para visualizar los desplazamientos, vaya al menú Display‐Show Deformed Shape y en el cuadro Case/Combo Name seleccione el patrón de carga definido. Después de click

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Manual Básico de SAP2000 v.14