Notas de Clase Gradientes Resueltos

MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES EJERCICIOS RESUELTOS

1. Un documento exige hacer 12 pagos mensuales vencidos. Si el primer pago es de $6.000 y c/u disminuye en $800; a) ¿Cuál será el valor del último pago? b) ¿cuál será el valor final de todos ellos, suponiendo una tasa del 36% NM (CM)?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Valor de las cuotas de cada periodo Periodo

Pago

1

6.000

2

5.200

3

4.400

4

3.600

5

2.800

6

2.000

7

1.200

8

400

9

(400)

10

(1.200)

11

(2.000)

12

(2.800)

Tasa de Interés J=ixm 0,36/12 = i 0,03 = i = 3% EM Valor final P = (A/i)[1-(1+i)-n]+(g/i)[(1-(1+i)-n)/i)-(n*(1+i)-n)] P = (6.000/0,03)[1-(1+0,03)-12]+(-800/0,03)[(1-(1+0,03)-12)/0,03)-(12*(1+0,03)-12)] = 18.725,06

S = P (1+i)n S = 18.725,06 (1+0,03)12 S = 26.698,06

1 CARLOS MARIO MORALES C – NOVIEMBRE 2009

MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES EJERCICIOS RESUELTOS

2. Hallar el valor de $X del siguiente flujo de caja, con intereses al 30% 160 80

0

1

80

2

3

200

8

9

220

140

120 80

180

100 4

5

6

7

10

X El Valor de X debe ser igual a: El valor de la serie valorada en 5 más el valor de (1 y 2), valorado en 5 Valor en 2 de la serie base 80 y gradiente aritmético de 20 P = (80/0,3)[1-(1+0,3)-8]+(20/0,3)[(1-(1+0,3)-8)/0,3)-(8*(1+0,3)-8)] = $363,58

363,58 80

80 0

1

2

3

4

El valor de (1) y (2) valorado en 5

5

6

7

8

9

10

X

80(1+0,3)4 + 80(1+0,3)3 El valor de X será igual: X = 80(1+0,3)4 + (80+363,58)(1+0,3)3 = 1.203,02

3. Hallar el primer pago de un gradiente lineal creciente en $300, que tenga 50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen un 20%, con primer pago de $1.000, suponga una tasa del 20% Para hallar el primer pago de la serie aritmética con g=300 y 50 pagos; debemos hallar primero el valor presente de la serie geométrica con t=20% y un A= 1.000. P = A ((1+t)n(1+i)-n –1)/(t-i); si t ≠i Ya que t = i entonces debemos utilizar P = An/(1+i); si t = i P = 1.000*50/(1+0,2) = 41.666 A partir de este valor presente se puede calcular el valor de A de la serie aritmética con un g=300. P = (A/i)[1-(1+i)-n]+(g/i)[(1-(1+i)-n)/i)-(n*(1+i)-n)] 41.666 = (A/0,2)[1-(1+0,2)-50]+ (300/0,2) [1-(1+0,2)-50/0,2]-(50(1+0,2)-50)

2 CARLOS MARIO MORALES C – NOVIEMBRE 2009

MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES EJERCICIOS RESUELTOS A = $6.835

4. Con interés efectivo del 14% hallar el valor final de la siguiente serie: Periodo Valor

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

300

500

700

900

1.100

1.300

1.000

700

400

100

-200

-500

1300 1000

1100

900

700 400

700 300

0

100

500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 -200

11

12

-500

El Valor final será igual a la suma de las dos series creciente y decreciente valoradas en (12) El Valor S en la serie creciente Primero hallamos P y después S P = (A/i)[1-(1+i)-n]+(g/i)[(1-(1+i)-n)/i)-(n*(1+i)-n)] P = (300/0,14)[1-(1+0,14)-6]+(200/0,14)[(1-(1+0,14)-6)/0,14)-(6*(1+0,14)-6)] P = 2.816,81 S1 = 2.816,81(1+0,14)12 = 13.571,13 El Valor S de la serie decreciente P en 6: P = (1000/0,14)[1-(1+0,14)-6]+(-300/0,14)[(1-(1+0,14)-6)/0,14)-(6*(1+0,14)-6)] P = 1.413,35 S2 = 1.413,35(1+0,14)6 = 3.102,26 El valor futuro de las dos series, será entonces: S = S1 + S2 = 13.571,13 + 3.102,26 = 16.673,39

5. Con una tasa del 6% hallar el valor presente de la siguiente serie utilizando gradientes: Periodo 1 60 Valor

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

60

60

60

72

86,4

103,68

124,42

149,3 + 9,4

179,16

215

El valor presente P será igual al Valor Presente de la anualidad más Valor Presente Serie geométrica + Valor presente 9,4 Valor presente de la anualidad P = A (1-(1+i)-n)/i P = 60(1-(1+0,06)-3/0,06) = 160,38

3 CARLOS MARIO MORALES C – NOVIEMBRE 2009

MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES EJERCICIOS RESUELTOS La serie geométrica a partir del periodo 3; con cuota base de 60 y un crecimiento t= 20%; para hallar el valor presente procedemos como sigue: Se calcula el P en 3, así: P = 60((1+0,2)9(1+0,06)-9 –1)/(0,2-0,06) =880,31 P en 0, será igual a: P = 880,31/(1+0,06)3 = 739,13 El valor presente de 9,4 P = 9,4/(1+0,06)9 = 5,56 Valor Presente = 160,38 + 739,13 + 5,56 = 905,07

6. Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos si el primero vale $1.000 y son crecientes en un 10%. Suponga una tasa efectiva del 8% Considerando que es una serie geométrica infinita, entonces: P = A/(i-t) si t i Ya que t > i entonces P es infinito

7. ¿Cuál es el valor presente de una serie infinita de pagos mensuales que crecen cada mes en $3 000 y cuyo primer pago es de $20.000. Suponga una tasa del 2.5% efectivo mensual. Respuesta: $5´600.000 Considerando que es una serie aritmética infinita, entonces: P = (A/i) + (g/i2) P = (20.000/0,025) + (3.000/(0,025)2) P = $5´600.000

8. Para mantener en buen estado una carretera veredal los hacendados de la región desean establecer un fondo, para proveer las reparaciones futuras. Estas se estiman en un millón de pesos para el próximo año; también, se estima que su costo se incrementará todos los años en un 18%. Hallar el valor del fondo, suponiendo un interés del 28% efectivo anual. Considerando que es una serie geométrica infinita, entonces: P = A/(i-t) si t