Notas de Clase de Dinamica Estructural

1 Conceptos básicos de dinámica estructural Fundamentos de dinámica de estructuras Septiembre de 2009

Conceptos básicos de dinámica 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

CONTENIDO

Introducción Estructura simple Grados de libertad Sistemas elásticos Amortiguamiento Ecuación de movimiento Excitación sísmica

Fundamentos de dinámica de estructuras

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Introducción • La Dinámica de Estructuras es un área del análisis mecánico de las construcciones que estudia el efecto de las acciones externas que producen vibraciones. Su desarrollo comienza en el siglo XIX con las investigaciones de Lord Rayleigh sobre los efectos del sonido en cuerpos elásticos las cuales aun tienen validez. • Actualmente esta área de la Mecánica presenta un estado avanzado de desarrollo pues se ha logrado establecer métodos de cálculo para estructuras lineales y no lineales sometidas a acciones deterministas o aleatorias. Fundamentos de dinámica de estructuras

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Introducción • El análisis dinámico de estructuras consiste en determinar la respuesta (desplazamientos, velocidades y aceleraciones) de estructuras sometidas a excitaciones (acciones dinámicas). • Los parámetros más significativos de la respuesta son los desplazamientos relativos máximos y aceleraciones absolutas.

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Introducción • Este capítulo introductorio comienza con la definición de algunos términos básicos en la dinámica estructural. • Se hace la deducción de las ecuaciones del movimiento dinámico de un sistema sencillo es decir de un grado de libertad.

• Luego se describen brevemente las principales cargas dinámicas que actúan sobre las estructuras y se discute la utilidad de los sistemas sencillos para representar el comportamiento de estructuras más complejas. Fundamentos de dinámica de estructuras

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Introducción • Las principales acciones dinámicas que actúan sobre las estructuras son las siguientes: – – – – –

Motores y equipos mecánicos. Terremotos. Vientos. Oleaje. Otras: • Impacto. • Paso de vehículos o personas. • Explosiones.

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Estructura simple • Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que está constituido por una masa concentrada “en la parte superior” soportada por un elemento estructural que proporciona rigidez en la dirección considerada.

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Estructura simple

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Grados de libertad • El grado de libertad es definido como el número de desplazamientos independientes requerido para definir las posiciones desplazadas de todas las masas relativas a sus posiciones originales.

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Grados de libertad • Un grado de libertad corresponde a cualquier movimiento posible de los nodos de los elementos en una dirección no restringida.

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Grados de libertad • En el caso dinámico el modelo empleado aquí está basado en la suposición de que la rigidez se concentra en un resorte que carece de masa mientras que la masa se ubica en un cuerpo rígido que no se deforma.

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Grados de libertad

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Grados de libertad • Para un marco plano básico tenemos: – Análisis estático: – Análisis dinámico:

3 DOF 1 DOF

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Grados de libertad • Obviamente, cualquier estructura posee un número infinito de grados de libertad debido a su continuidad pero el proceso de discretización en elementos supone un número finito aunque elevado de ellos.

• Discretización de una viga simple: – Modelo continuo: – Modelo discreto:

∞ DOF 3 DOF

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Sistemas elásticos • Un material es elástico cuando recupera su forma original después de retirar la carga aplicada si además existe una proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientos se dice que el material es lineal.

– Donde k es la rigidez lateral del sistema y su unidad es [fuerza/longitud]. Fundamentos de dinámica de estructuras

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Amortiguamiento • El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente. • En sistemas simples la mayor parte de la disipación de la energía proviene de efectos térmicos causados por repetidos esfuerzos elásticos del material y de la fricción interna cuando el sólido es deformado.

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Amortiguamiento • En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idealizada; para efectos prácticos el amortiguamiento actual en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un amortiguamiento lineal viscoso.

– A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamaño de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las estructuras actuales. Fundamentos de dinámica de estructuras

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Ecuación de movimiento • Modelo matemático de un sistema SDF sujeto a la acción de una fuerza dinámica p(t) aplicada en la dirección del desplazamiento u las cuales varían con el tiempo.

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Ecuación de movimiento

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Ecuación de movimiento

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Excitación sísmica • Si lo que se tiene es un movimiento inducido no por una fuerza aplicada sino por un movimiento aplicado en la base de la estructura.

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2 Vibraciones libres de sistemas con un grado de libertad Fundamentos de dinámica de estructuras Septiembre de 2009

Vibraciones libres 1. 2. 3. 4. 5.

CONTENIDO

Introducción Teoría general de vibraciones Definición de vibración libre Vibración libre no amortiguada Vibración libre amortiguada

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Introducción • En los problemas de ingeniería no es siempre posible obtener soluciones matemáticas rigurosas. En realidad solo en algunos casos simples puede obtenerse soluciones analíticas • Cuando los problemas implican propiedades de materiales, distribución de cargas y condiciones de contorno complejas es necesario introducir simplificaciones, esto teniendo a la vista el cumplimiento de los criterios de seguridad y economía.

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Introducción • El nexo entre el sistema físico y la posible solución matemática se obtiene con el modelo matemático.

• El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. • Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar

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Teoría general de vibraciones • Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio.

• El sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. Fundamentos de dinámica de estructuras

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Teoría general de vibraciones

Tipos de vibraciones

Amortiguadas Libres No amortiguadas Vibraciones Amortiguadas

Forzadas No amortiguadas Fundamentos de dinámica de estructuras

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Teoría general de vibraciones

Conceptos generales

• Periodo de vibración: Es el intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento.

• Frecuencia: Es el número de ciclos por unidad de tiempo. • Amplitud de vibración: Es el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio.

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Definición de vibración libre • Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna.

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 Vibración libre no amortiguada • El sistema de marco mostrado es sacado de su posición de equilibrio por la aplicación de una fuerza o un desplazamiento, debido a las fuerzas de restitución el sistema entra en vibración.

• Este sistema puede reducirse a un solo grado de libertad para el análisis dinámico, si se desprecian las deformaciones axiales y se supone una viga de gran rigidez.

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Vibración libre no amortiguada • La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:

• Donde por conveniencia ωn es la frecuencia natural o frecuencia circular natural en vibración libre del sistema y es igual a: • De acuerdo a la teoría de ecuaciones diferenciales la ecuación anterior es una EDH de segundo orden con coeficientes constantes y su solución es:

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Vibración libre no amortiguada • Donde A y B son constantes que se hallan a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad:

• Obteniéndose por lo tanto:

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Vibración libre no amortiguada • El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra tiempo:

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Vibración libre no amortiguada • A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración:

• La frecuencia cíclica natural de vibración, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 segundo de tiempo y su valor es:

• Las propiedades de vibración natural, dependen de la masa y rigidez de la estructura. Fundamentos de dinámica de estructuras

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Vibración libre no amortiguada • Si se hace una representación vectorial del movimiento, puede obtenerse una ecuación alterna para la solución de la EDH:

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Vibración libre no amortiguada • Esta ecuación auxiliándose de un ángulo de fase o de desfase es:

• Que tiene como soluciones de sus constantes uo y ø:

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 Vibración libre amortiguada • Si en el sistema anterior consideramos la perdida de energía en el tiempo, lo que tenemos será un sistema con amortiguación viscosa:

• El cual puede representarse por el siguiente modelo:

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Vibración libre amortiguada • La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es:

• Dividiendo la ecuación por la masa se obtiene:

• Además se ha introducido la razón de amortiguamiento crítico: • Y el coeficiente de amortiguamiento crítico:

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Vibración libre amortiguada • Las soluciones de la ecuación diferencial anterior dependerá de los valores que tome la razón de amortiguamiento. Así tenemos: – Sistema con amortiguamiento crítico ξ=1 (c=ccr): El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar. – Sistema sobreamortiguado ξ >1 (c>ccr): El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente. – Sistema subamortiguado ξ