Notacion Kendall Lineas Espera
July 27, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Investigación de Operaciones
Modelo Monoservidor
Teoría Colas Notación de de Kenda Kendall ll – Lee Ejercicios Sesión Teórico/Práctica No. 2 Nelson José Pérez Díaz
s
• Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS , son realidades cotidianas • Personas esperando !ara realizar s"s transacciones ante "na ca#a en "n $anco, • Estudiantes esperando !or o$tener co!ias en la %otoco!iadora, • Vehículos esperando !a&ar ante "na estación de !ea#e o contin"ar s" ca'ino, ante "n se'á%oro en ro#o, • M!uinas da(adas a la espera de ser re)a$ilitadas. Se forman debido a un dese!uili"rio te#poral te#poral entre la de#anda del ser$icio y ser$icio y la capacidad del siste#a para su#inistrarlo%
s
• Los Modelos de Líneas de Espera son de &ran "tilidad tanto en las áreas de Man"%act"ra co'o en las de Servicio. • Los Anlisis de Colas relacionan * la lon&itud de la línea de espera , * el pro#edio de tie#po de espera + otros %actores co'o * la conducta de los usuarios a la lle&ada + en la cola, Los Anlisis de Colas a+"dan a entender el comportamiento de estos siste'as de servicio la atención de las ca#eras de "n $anco, actividades de 'anteni'iento 'anteni'iento + re!aración de ' 'a-"inaria, a-"inaria, el control de las o!eraciones en !lanta, etc..
s
perspecti$a de la nvesti&ación • de Desde la 0!eraciones, los !acientes -"e es!eran ser atendidos !or el odontólo&o o las !rensas da(adas es!erando re!aración, tienen '"c)o en co'1n. • '$os &ente + 'á-"inas 'á-"inas re!uieren de recursos hu#anos ' recursos #ateriales co#o e!uipos !ara -"e se los
c"re o se los )a&a %"ncionar n"eva'ente.
s
COLAS MAS COM(NES SI)IO
ARRI*OS EN COLA
SERVICIO
S"!er'ercado
3o'!radores
Pa&o en ca#as
Pea#e
4e)íc"los
Pa&o de !ea#e
3ons"ltorio Pacientes Sist Si ste' e'a a de 3ó'! 3ó'!"t "to o Pro& Pro&ra ra'a 'ass a se serr corridos 3o'!a(ía de Lla'adas
3ons"lta Proceso de datos
telé%onos 6anco
3lientes
co'"nicación De!ósitos + 3o$ros
Manteni'iento
Má-"inas da(adas
7e!aración
M"elle
6arcos
3ar&a + descar&a
5%ect"ar
s
3aracterísticas de "na LN5 D5 5SP57 CARAC)ERIS)ICAS DE ARRI*O+
• DIS)RI*(CION DE POISSON e − λ λ x P ( x ) = para _ x = 0,1,2,3,4,... x!
• P8 9 Pro$a$ilidad de 8 arri$os • .89 n1'ero de arri$os !or "nidad de tie'!o ∀ λ 9 rata !ro'edio de arri$o .e 9 2.:;#ero de
clientes en el siste'a.
s
Medidas de dese'!e(o Medidas de dese'!e(o
=tilización de Servicio Tasa de entrada Pro'edio N1'ero
Pro'edio de 3lientes en el siste'a
N1'ero
!ro'edio de 3lientes en la %ila Ti Tie'!o e'!o !ro'edio de es!era en el siste'a Ti Tie'!o e'!o
!ro'edio de es!era en la %ila
3oe%iciente
c"adrado de variación
s
Modelo Monoservidor Área de almacenamien to temporal
Servidor
λ Llegada de paquetes
Salida de paquetes
µ
odelo de cola en un servidor único
• Los !a-"etes son Iclientes Iclientes %or'ando cola en es!era del servicio
s
Modelo Monoservidor
• 5#e'!los de 'odelos de "n solo servidor
* Ta-"illa de Pa&o 3NT4 * 3a#a de =NT53 * 3a%etin * 3o$ro de 5staciona'iento Par-"eadero Par-"eaderos s
s
Modelo Monoservidor
• Los !a-"etes lle&an en %or'a aleatoria a "na velocidad !ro'edio de
− de − tiempo λ paquetes / unidad Forman una cola en espera de sservicio ervicio en el área de almacenamiento temporal y luego, con alguna política de servicio especicada, son atendidos a ra!"n de un prom promedio edio de
µ paquetes / unidad − de − tiempo
s
Monoservidor • La colaModelo e'!ieza a %or'arse c"ando →
λ λ
µ Llegada de paquetes
µ
Capacidad de transmisi"n del paque
#ara un área de almacenamiento temporal nita, la cola llegaría a λ µ cuando e$ceda saturaci"n e$ceda . Cuando el área de almacenamiento temporal se satura, se %loquean las llegadas de todos
s
Modelo Monoservidor • Si se s"!one "n área de al'acena'iento te'!oral in%inita, la cola se v"elve inesta$le a 'edida -"e
λ → µ #ara la cola con un solo servidor&
λ 〈 µ Asegura esta%ilidad
s
Modelo Monoservidor • =n !ará'etro crítico en el análisis de la teoría de %or'ación de colas es =tilización o intensidad de trá%ico en el enlace ρ λ ρ ≡ µ ρ 's la ra!"n entre la carga y la
capacidad del sistema #ara el caso de un solo servidor se presenta congesti"n cuando& →; ρ
ρ 〉;
Investigación de Operaciones
T507 D5 30LS Modelo M/M/; •
s"'i'os -"e e8isten las las si&"ientes condiciones ;. Los clientes son servidos con "na política PEPS + cada arri"o espera a ser ser$ido sin i#portar la lon&itud de la línea o cola% 2. Los arri"os son independientes de arri$os anteriores, !ero el !ro'edio de arri$os, no ca#"ia con el tie'!o. G. Los arri"os son descritos 'ediante la distri$"ción de !ro$a$ilidad K. . .
de Poisson + !roceden de "na po"laci0n #u' &rande o in8inita% Los tie#pos de ser$icio $arían de cliente a cliente + son independientes entre sí, !ero s" rata pro#edio es conocida% Los tie#pos de ser$icio se re!resentan 'ediante la distri"uci0n de pro"a"ilidad eBponencial ne&ati$a. La rata de servicio es #s rpida -"e la rata de arri$o.
Investigación de Operaciones
@7M=LS P7 30LS @7M=LS M0D5L0 M/M/; λ = N)"ero #ro"edio de arri+os #or #eríodo de tie"#o µ = N)"ero #ro"edio de *ente o cosas seridos #or #eríodo de tie"#o n
= n)"ero de %nidades en el siste"a
LS
= N)"ero #ro"edio de %nidades $clientes! en el siste"a
ρ = (actor de %tili'ación del siste"a = W S
=
λ µ − λ
λ µ
= Tie"#o #ro"edio &%e %na %nidad #er"anece en el siste"a = $tie"#o de es#era + tie"#o de sericio!
W S
LS
=
1
µ − λ
Investigación de Operaciones
@7M=LS P7 30LS @7M=LS M0D5L0 M/M/; λ 2 Lq = N)"ero #ro"edio de %nidades en la cola = µ ( µ − λ )
= ρ ∗ L
S
W q
= Tie"#o #ro"edio &%e %na %nidad es#era en la cola = µ ( µ λ − λ ) = ρ ∗ W P = 0ro+a+ilid ad de &%e . n. clientes est,n en el siste"a = λ λ P = 1 − = (1 − ρ ) ∗ ρ ∗ µ µ P = 0ro+a+ilidad de cero %nidades en el siste"a $la %nidad de sericio est/ acía! = S
n
n
n
n
o
P o
= 1 − λ = (1 − ρ )
P n 〉 k
µ
= 0ro+a+ilidad de &%e "/s de . -. %nidades est,n en el siste"a = k +1
P n 〉 k
λ = µ
s
Nomenclatura pii Pn L L! !
Ct Ce C!
Pro$a$ilidad de -"e el siste'a ca'$ie del estado i a a "n estado j des!"és de "n intervalo de tie'!o Pro$a$ilidad en estado esta$le de -"e e8istan n clientes en el siste'a N1'ero !ro'edio de clientes en el siste'a N1'ero !ro'edio de clientes en la %ila Tie'!o Tie' !o !ro'edio de !er'anencia en el siste'a Tie'!o Tie' !o !ro'edio de !er'anencia en la %ila @actor de "tilización !ro'edio del servicio 3osto total !ro'edio del siste'a de líneas de es!era !or "nidad de tie'!o 3osto !ro'edio de servicio !or cliente !or "nidad de tie'!o 3osto !ro'edio de es!era !or cliente !or "nidad de tie'!o
COL!"
Medida
del !er%or'ance en !eríodos estacionarios.
PH 9 Pro$a$ilidad de -"e no e8istan clientes en el sist. Pn 9 Pro$a$ilidad de -"e e8istan n clientes en el siste'a. L 9 n1'ero de clientes !ro'edio en el siste'a. L de clientesde!ro'edio en la de cola. O 99 n1'ero Tie'!o Tie'!o !ro'edio !er'anencia "n cliente en el siste'a. O- 9 Tie'!o !ro'edio de !er'anencia de "n cliente en la cola. P 9 Pro$a$ilidad de -"e "n cliente -"e lle&a de$a es!erar !ara ser atendido. ρ 9 Ta Tasa de "so de cada c ada servidor !orcenta#e !orce nta#e del tie'!o t ie'!o -"e cada servidor es oc"!ado.
COL!"
Medidas del Dese#peo para la cola
PH 9 ;? λ # µ P 9 Q; ? λ # µR λ/ µn n L 9 λ # µ ? λ L- 9 λ 2 # Qµµ ? λR
O 9 ; # µ ? λ O- 9 λ # Qµµ ? λR P 9 λ # µ ρ
9 λ # µ
M 6 M 6.
La probabilidad de que un cliente espere en el sistema más de “t” es P(X>t)= e-(µ - λ)t
COL!"
apatería Mar's
Los clientes -"e lle&an a la za!atería Mar+s son en !ro'edio ;2 !or 'in"to, de ac"erdo a la distri$"ción Poisson.
5l tie'!o de atención se distri$"+e e8!onencial'ente con "n !ro'edio de < 'in"tos !or cliente.
La &erencia esta interesada en deter'inar las 'edidas de !er%or'ance !ara este servicio.
COL!"
S0L=30N * Datos de entrada λ 9 ;/ ;2 clientes !or 'in"to 9 H / ;2 9 !or )ora. µ 9 ;/ < clientes !or 'in"to 9 H/ < 9 :. !or )ora. PP00 = 1((λλ // µµ))==11--(5 // !5) ==0!"""" = 1(5 !5) 0!"""" * 3alc"lo del !er%or'ance n n
=#1#1--((λλ // µµ)$)$((λλ// µµ))==(0!"""")(0!%%%) (0!"""")(0!%%%) PPnn = P * = λ / µ = 0.6667 LL ==λλ // ( (µµ - -λλ))==&& ρ = λ / µ = 0.6667 & &
1!"""" LLqq ==λλ // # #µµ((µµ - -λλ)$)$==1!""""
' ' == 11// ( (µµ - -λλ))==0! 0!oras oras==& &minutos minutos
s
5#e'!lo • =n !el"-"ero atiende s"s clientes sin cita !revia, el !ri'ero en lle&ar es el !ri'ero en ser atendido. La lle&ada de los clientes se distri$"+e de ac"erdo con "n !roceso de Poisson con "n !ro'edio de /)ora. Los clientes !re%ieren es!erar el tie'!o necesario antes de ser atendidos. 5l tie'!o de corte del ca$ello está e8!onencial'ente distri$"ido con "n tie'!o de corte !ro'edio de ;H 'in"tos. • 3"al es el n1'ero !ro'edio de clientes en el ne&ocio + el n1'ero !ro'edio de !ersonas es!erando a ser atendidasU
COL!"
5#e'!lo 3ont... λ =
hora
1
0 "in
µ = 10 "in X 1hora = hora
ρ =
λ µ
LES =
=
ρ 1 − ρ
LES =
1−
LES =
COL!"
5#e'!lo 3ont... 2
λ LEC = µ ( µ − λ ) LEC =
• La !ro$a$ilidad de -"e los clientes no de$an es!erar antes de ser atendidos es P H
P 0
= 1−
λ µ
COL!"
5#e'!lo 3ont... • 5sta !ro$a$ilidad es P 0
= 1 − = 0.1222 2
'sto indica que el ().*+ de los clientes son atendidos sin acer cola y el -.+ de%en esperar algn tiempo en la cola antes de pasar a la silla del peluquero. peluquero.
COL!"
5#e'!lo 3ont... • Sólo )a+ c"atro sillas en la !el"-"ería + el d"e(o desea conocer -"é !orcenta#e de clientes -"e es!eran de$en )acerlo !arados. La !ro$a$ilidad de no encontrar silla es P
+ P + P + ...+ =
∞
∑
P n
n =
= 0.40
COL!"
5#e'!lo 3ont... • 5l KHV del tie'!o los clientes no enc"entran silla dis!oni$le. • 3"ánto de$e el cliente es!erar en !ro'edio en la cola + en el siste'a, está dado !or la %or'"las + L53 + L5S 2
λ LEC = µ ( µ − λ )
ρ LES = 1 − ρ
'n el 'n el e e 0 0em emp plo lo L'C y L'S 'S es de 12 y y
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