Notacion Indicial

c.3) Notación indicial Todas las relaciones (1.1-15) a (1.1-17) se pueden resumir en notación indicial con ayuda de dos símbolos especiales, conocidos como símbolos indiciales, y de los Convenios de notación indicial. ●Símbolos indiciales

Son la delta de Kronecker y los símbolos de permutación, que se definen así: 1 si i  j ij   0 si i  j

delta de Kronecker:

(1.1- ###)

símbolos de permutación tridimensionales ijk son las signaturas de las permutaciones [ijk], que se forman con los valores distintos de tres índices en el conjunto {1,2,3}, o sea: ijk

 1, si (i,j,k) es una permutaión par de (1,2,3)  :=  1, si (i,j,k) es una permutación impar  0, si (i,j,k) repite alguno de sus índices 

(1.1- ###)

Obsérvese: 1) para que ij  0 es necesario y suficiente que i = j, lo que permitirá efectuar operaciones con este símbolo. Por ejemplo:

pq xp = 1 xq = xq

2) para que ijk  0 los índices deben formar una permutación (no tener repeticiones), lo que, en el espacio, reduce de 27 (= 33) a 6 (= factorial de 3 = 3!) la cantidad de ´s no nulos, y esto facilita su uso. Ejemplo 1.1-.18. La propiedad de alternancia del producto mixto se puede enunciar con precisión y brevedad utilizando la distinción de los vectores mediante índices: si se denotan a1, a2, a3 los vectores factores, se tiene: [ai, aj, ak] = ijk[a1, a2, a3] (1.1- ###) cualquiera que sea la permutación {i, j, k} de los índices {1, 2, 3}. ●Convenios de notación indicial

Además de los símbolos indiciales la notación de Einstein, se basa en los siguientes convenios: 1) Convenio de introducción de los índices: Se utilizan subíndices (o superíndices) para distinguir tanto los vectores de cada base como las componentes de los mismos. Los índices son variables naturales valoradas en el conjunto {1,2,3} en el espacio, y en el conjunto {1,2} en el plano. Cada índice toma siempre obligatoriamente sus tres valores (ó sus dos valores, en el plano) en cada expresión en que intervenga. 2) Convenio de los índices mudos o contraídos: Se suprimen los signos de sumatorio para resumir las sumas, y se conviene en la simple repetición de un índice en dos factores de un mismo término7 para representarlas. De modo que se denota: i=3

v e  v e i i

i i

(1.1- ###)

i=1

y siempre que un índice se repita en un mismo término se entenderá un sumatorio resumido. Los índices que cumplen este papel en una expresión indicial, se llaman índices mudos, debido a que pueden cambiarse por otro índice cualquiera (que no aparezca ya usado en la expresión) sin afectar al valor de la misma: o sea, viei 7

Se emplea la terminología clásica del álgebra de polinomios: se distinguen los miembros de una igualdad o ecuación; dentro de cada miembro, se distinguen los términos, monomios o sumandos; y normalmente los términos son productos indicados, de manera que se distinguen finalmente los factores de cada término o monomio.

es lo mismo que vheh o que vjej. También se llaman índices contraídos. Al dar valores a un índice mudo o contraído, se deben dar los tres (o dos) valores posibles, sumando los resultados en el mismo miembro de la igualdad; así …+ pq xp + … = … + (1qx1+2qx2+3qx3) + … y se observa que los índices mudos resumen sumas en un mismo miembro de una ecuación. 3) Convenio de los índices libres: El otro papel de los índices se presenta cuando se separa una igualdad por componentes, aplicando el teorema de unicidad de las mismas en cualquier base, como la {ei}: u = v  u1 = v1 , u2 = v2 , u3 = v3  (en resumen) ui = vi y los índices utilizados para el resumen no se repiten en un mismo término de la expresión, sino en todos los términos de ambos miembros de una ecuación. Este tipo de índices se llama índices libres. Al dar cada valor a un índice libre, debe sustituirse simultáneamente en todas sus apariciones, dando lugar a 3 ecuaciones distintas (o 2 ecuaciones en el plano) por cada índice libre: los índices libres resumen sistemas de ecuaciones. Ejemplo 1.1-.19. La expresión indicial yq = pq xp cuenta con un índice mudo, p, y otro libre, q, y resume tres ecuaciones distintas (al dar valores a q), en cuyos segundos miembros hay tres sumandos distintos (al dar sus tres valores a p). La escritura íntegra de la expresión se llama la forma desarrollada de la expresión indicial original:

y1 = p1 xp = 11x1+21x2+31x3 y2 = p2 xp = 12x1+22x2+32x3 y3 = p3 xp = 13x1+23x2+33x3 Ejemplo 1.1-.20. Escribir la forma desarrollada de la expresión indicial: aij = ijk ck sabiendo que c es un vector de componentes ck en una base ortonormal {e1, e2, e3}. Deducir la matriz A := [aij] con i = fila, j = columna. Ejemplo 1.1-.21. El producto de dos matrices 3×3, A = [aij] y B = [bij] da como resultado otra matriz C = A·B cuyo elemento genérico se puede describir cómodamente en notación indicial, porque resulta que, denotando C = [cij], se cumple que cij es el producto matricial de la fila i-esima de A por la columna j-ésima de B, es decir:

b1j    cij = [ ai1 ai2 ai3 ] · b2j  := ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j = aihbhj b3j    de manera que podemos decir:

C = A·B  cij = aih bhj

(1.1- ###)

Se observa que el algoritmo del producto matricial, llamado “algoritmo fila  columna”, se formula en términos indiciales mediante una ecuación con dos índice libres, i y j, y un índice mudo o contraído, h. Puede decirse: el producto de dos matrices consiste en contraer el índice de columnas del prefactor con el índice de filas del posfactor. Naturalmente, sólo se pueden contraer índices que tengan el mismo conjunto o recorrido indicial. Ejemplo 1.1-.22. Si A = [aij] 33 y B = [vi] 31, interpretar, en términos vectoriales de los vectores fila de A, el producto matricial A·B, de la matriz A por el vector columna B. Misma cuestión, pero en términos de los vectores columna de A. En cada caso los vectores se consideran en una base ortonormal dada {ei}. solución: Llamando C := A·B  31 se tiene ci = aij vj , lo que se puede interpretar de dos modos compatibles, según se observe qué se hace con las filas o con las columnas del prefactor A:

 c1   a1 jv j   a11v1  a12 v2  a13v3   c2    a2jv j    a21v1  a22 v2  a23v3  algoritmo filas (de A) por columna (B) (1.1- ###)   c     3   a3jv j   a31v1  a32 v2  a33v3   c1   a1 j   a11   a12   a13   c2    a2j  v j   a21  v1   a22  v2   a23  v3  algmº. combinación lineal de columnas (de A) (1.1- ###) c    a  a  a   3   a3j   31   32   33  Ejemplo 1.1-.23. Siendo A, B matrices 33, escribir en notación indicial los elementos genéricos cij y dij de los productos matriciales: C = At·B, D = A·Bt.

Ejemplo 1.1-.24. El determinante de una matriz 3×3 también se puede expresar de modo muy simple utilizando notación indicial, ya que se tiene:

 a11 det[aij] = det  a21  a31

a12 a22 a32

a13  a23  = ijk ai1aj2ak3 = ijka1ia2ja3k a33 

(1.1- ###)