Nota Matematik Tingkatan 4

nota matematik tingkatan 4

BAB 1: BENTUK PIAWAI 1.1 ANGKA BERERTI Angka bererti (significant figures, s.f.) merujuk kepada angka yang berkaitan integer atau perpuluhan, yang telah digenapkan kepada ketepatan darjah yang ditentukan (specified degree of accuracy). Contoh

   

1

Nyatakan bilangan angka bererti (a.b.) dalam setiap nombor berikut; 5 Jwb: 4 angka bererti 52 Jwb: 5 angka bererti 0.001 Jwb: 3 angka bererti 0.010 Jwb: 4 angka bererti Contoh



279 009 25 41

2

Ungkapkan setiap nombor yang berikut tepat kepada 1 angka bererti (1 a.b.), 2 angka bererti (2 a.b.) dan 3 angka bererti (a.b.). 87 310



9 875



1 009



0.045 62



0.002 31 Jwb: Nombor 87 310 9 875 1 009 0.045 62 0.002 31

1 angka bererti 90 000 10 000 1 000 0.05 0.002

2 angka bererti 87 000 9 900 1 000 0.046 0.002 3

3 angka bererti 87 300 9 880 1 010 0.045 6 0.002 31

1.2 BENTUK PIAWAI Adalah lebih mudah untuk menulis suatu nombor yang sangat/terlalu besar atau nombor yang sangat/terlalu kecil dalam bentuk piawai (standard form) atau tatatanda saintifik (scientific notation). Nombor yang diungkap dalam bentuk piawai adalah ditulis sebagai A x 10n, di mana 1 ≤ A < 10 dan n ialah integer positif atau negatif.

Mengungkapkan

nombor

positif

dalam

bentuk

piawai

Nombor positif yang lebih besar daripada, atau sama dengan 10, boleh ditulis dalam bentuk piawai A x 10n, di mana 1 ≤ A < 10 dan n adalah integer positif, iaitu n = 1, 2, 3, ...

 

Contoh i: 90 = 9 x 10 9 803 000 = 9.803 x 106 * Nilai n adalah sama dengan bilangan tempat titik perpuluhan yang digerakkan ke kiri.

Nombor positif yang kurang daripada 1, boleh ditulis dalam bentuk piawai A x 10n, di mana 1 ≤ A < 10 dan n ialah integer negatif, iaitu n = ..., -3, -2, -1.

 

Contoh ii: 0.563 = 5.63 x 10-1 0.00709 = 7.09 x 10-3 ** Nilai n adalah sama dengan bilangan tempat titik perpuluhan yang digerakkan ke kanan.

Contoh





Tulis nombor-nombor berikut dalam bentuk piawai. 8383 Jwb: 8383 = 8383.0 → [gerakkan titik perpuluhan 3 = 8.383 x 10 31 Jwb:

1:

3 tempat

ke kiri] 584



31 584 = = 3.1584 x 104 240 Jwb: 240 000 = = 2.4 x 105

31

584.0

→ [gerakkan

titik

perpuluhan

4 tempat

000 240

000.0

→ [gerakkan

titik

perpuluhan

5 tempat

Contoh







ke kiri]

2:

Tulis nombor-nombor berikut dalam bentuk piawai. 0.9233 Jwb: 0.9233 → [gerakkan titik perpuluhan -1 = 8.383 x 10 0.0463 Jwb: 0.0463 → [gerakkan titik perpuluhan -2 = 4.63 x 10 0.0005452 Jwb: 0.0005452 → [gerakkan = 5.452 x 10-4

ke kiri]

titik

1 tempat

ke kanan]

2 tempat

ke kanan]

perpuluhan

4 tempat

ke kanan]

Menukar nombor dalam bentuk piawai kepada nombor tunggal (single number)



Nombor dalam bentuk piawai, iaitu A x 10n boleh ditukar kepada nombor tunggal (single number) dengan menggerakkan titik perpuluhan pada A. n ditempatkan ke kanan jika n adalah positif. n ditempatkan ke kiri jika n adalah negatif.



Contoh





3:

Ungkapkan bentuk piawai berikut kepada nombor tunggal (single number). 8.09 x 103 Jwb: = 8.090 → [gerakkan titik perpuluhan 3 tempat ke kanan] = 8090 6.228 x 10-4 Jwb:

= 6.228 → [gerakkan = 0.0006228

Pengiraan

perpuluhan 4 tempat

titik

nombor

dalam

ke kiri]

bentuk

Dua nombor dalam bentuk piawai boleh ditambah atau dua nombor mempunyai indeks

piawai

ditolakkan jika keduayang

sama.

Contoh





4:

Cari nilai yang berikut, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai. 5.8 x 104 2.7 x 104 Jwb: Kedua-dua nombor mempunyai indeks yang sama, iaitu 4 = (5.8 - 2.7) x 10 4 ← [104 adalah faktor sepunya (common factor)] 4 = 3.1 x 10 3.5 x 10-3 + 5.6 x 10-3 Jwb: Kedua-dua nombor mempunyai indeks yang sama, iaitu -3 = (3.5 + 5.6) x 10 -3 ← [10-3 adalah faktor sepunya (common factor)] = 9.1 x 10-3 Dua nombor dalam bentuk piawai yang mempunyai indeks yang berbeza hanya boleh ditambah atau ditolak jika indeks yang berbeza tersebut dijadikansama. Contoh



5:

Cari nilai yang berikut, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai. 6.6 x 106 + 5 x Jwb: 6.6 x 106 + 5 x Tukarkan indeks 5 kepada indeks 6 iaitu, indeks yang lebih = 6.6 x 106 + 5 x 10-1 x ** 5 = 6.6 = (6.6 + 6 = 7.1 x 10

x

10-1 = 106 +

x 0.5)

x

10 6

←

0.5 6 [10 adalah

105 105 besar. 106 0.5

x faktor

106 sepunya]

8.4



Jwb: 8.4 Tukarkan =

x x indeks 8.4

-5

** 8 = 8.4 = (8.4 -4 = 7.6 x 10

10-4 10-4 kepada indeks -4 x 10-4 - 8 x

0.8)

x x

8 8 iaitu,

indeks x

x yang lebih 10-1 x

10-1 = 10-4 10-4

←

10-5

x

0.8 -4 [10 adalah

10-5 besar. 10-4 0.8

x faktor

10-4 sepunya]

Apabila dua nombor dalam bentuk piawai didarab atau dibahagi, nombor-nombor biasa akan didarab atau dibahagi diantara satu sama lain, manakala indeks mereka pula akan ditambah atau ditolak.





Contoh 6: Cari nilai yang berikut, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai. 9.5 x 103 x 2.2 x 102 Jwb: Asingkan dan susun semula nombor-nombor biasa dalam satu kumpulan, manakala nombor-nombor indeks dalam kumpulan lain. 3 = 9.5 x 2.2 x 10 x 102 * 10m x 10n = 10m+n = 9.5 x 2.2 x 103+2 = 20.9 x 105 ** Menulis 20.9 dalam bentuk piawai, iaitu 2.09 x 10 1 1 = 2.09 x 10 x 105 = 2.09 x 106 (7.2 x 105) ÷ (6 x 10-2) Jwb: Asingkan dan susun semula nombor-nombor biasa dalam satu kumpulan, manakala nombor-nombor indeks dalam kumpulan lain. = (72 ÷ 6) x 105-(-2) = 1.2 x 107 Contoh Kira (7.2 x 60 000) piawai.

7:

÷ (9 x 107), dan ungkapkan jawapan dalam bentuk

Jwb: Tukarkan mana-mana nombor yang diberi kepada bentuk piawai sebagai langkah pertama. = (7.2 x 6 x 10 4) ÷ (9 x 107)

Asingkan dan susun semula nombor-nombor biasa dalam satu kumpulan, manakala nombor-nombor indeks dalam kumpulan lain. 4 = ((7.2 x 6) ÷ 9) x {10 ÷ 107) * 10m ÷ 10n = 10m-n = 4.8 x 104-7 = 4.8 x 10-3

BAB2: UNGKAPAN DAN PERSAMAAN KUADRATIK 2.1 UNGKAPAN KUADRATIK

Ungkapan kuadratik (quadratic expressions) adalah ungkapan yang memenuhi ciriciri berikut: 1. Mempunyai hanya satu pemboleh ubah. 2.

Mempunyai 2 sebagai kuasa tertinggi pemboleh-ubah. Contoh: 3x + 2x + 3 adalah ungkapan kuadratik, di mana 2

(i) pemboleh-ubahnya adalah x, (ii) kuasa tertinggi x ialah 2. Ungkapan kuadratik dengan tiga sebutan (three terms) adalah ungkapan berbentuk ax + bx + c, dimana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0, contohnya 2x + 3x + 5. 2

 

2

Berikut adalah juga ungkapan kuadratik: dengan dua sebutan, contohnya 2x + 4x, c = 0 2

dengan satu sebutan, contohnya 5p , b = c = 0 2

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk dengan mendarab dua ungkapan linear, contohnya (x - 1) (2x + 3) = 2x + x - 3. 2

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk untuk mewakili situasi dengan mewakilkan pembolehubah dalam masalah tersebut dengan simbol. Simbol biasanya adalah huruf, contohnya x. Dalam kes-kes tertentu, simbol yang digunakan adalah dinyatakan dalam permasalahan tersebut.

Contoh 1: 

Nyatakan samada setiap yang berikut adalah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh-ubah. Beri alasan-alasan bagi jawapan. 5x - 2x + 1 2

Jwb: Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, x, dan kuasa tertinggi x ialah 2. -3g



2

Jwb: Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, g, dan kuasa tertinggi g ialah 2.

3b - 4



Jwb: Tidak. Walaupun tertinggi b ialah 1. a -b



2

terdapat

hanya

satu

pemboleh

ubah, b,

tetapi

kuasa

2

Jwb: Tidak. Ia mempunyai dua pemboleh ubah, a dan b. p +1



2

Jwb: Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, p, dan kuasa tertinggi p ialah 2. x(x + x - 2)



3

Jwb: Tidak. Ia tidak boleh ditulis dalam bentuk ax + bx + c. 2

Contoh 

2:

Darabkan ungkapan linear berikut. (2x Jwb: = 2x(x + 1) = 2x + = 2x - x - 3 -y(y Jwb: = -y x y + = -y + 5y

3)(x +

1)

-

3(x + 2x -

2

1) 3x -3

2



5) (-y)

x

(-5)

2

Contoh Tulis ungkapan bagi luas segi empat tepat yang ditunjukkan dalam gambar rajah.

3:

Jwb: Luas = = x(x + =x + = x + 4x + 3

=

Panjang (x + 3)

2

x 1)(x +

+ 3x + x +

1(x +

Lebar 3) 3) 3

2

2.2 PEMFAKTORAN UNGKAPAN KUADRATIK Pemfaktoran ungkapan kuadratik (factorisation of quadratic expressions) ialah suatu proses mencari dua ungkapan linear (linear expressions) yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik tersebut. Contohnya; x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2) Ungkapan kuadratik berbentuk ax2 + bx dan ax2 + c boleh difaktorkan dengan mengenal pasti faktor sepunyanya (common factors).

Contoh 1

 

Faktorkan setiap yang berikut. 6 – Jwb: 3(2 – 5m2) ; 3 ialah faktor sepunya bagi 6 dan 15m2. 10k2 – Jwb: 5k(2k – 3)

15m2 15k

; 5k ialah faktor sepunya bagi 10k2 dan 15k.

Ungkapan kuadratik px2 – q dengan p dan q sebagai kuasa dua sempurna (perfect squares) boleh ditulis semula sebagai (ax) 2 – b2 dengan a2 = p dan b2= q.

Seterusnya

(ax) 2 – b2 difaktorkan

dengan

menggunakan

identiti.

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

Contoh 2



Faktorkan setiap yang berikut. x2 – 16 Jwb: = x2 – 42 ; = (x – 4)(x + 4)



1

=

12 dan

16

=

42 adalah

kuasa

dua

sempurna.

9m2 – 25 Jwb: = (3m) 2 – 52 = (3m – 5)(3m + 5)

;9

dan

25

adalah

kuasa

dua

sempurna.

Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk x2 + bx + c memberi (x + p)(x +q), manakala ungkapan kuadratik ax2 + bx + c boleh difaktorkan kepada bentuk (mx + p) (nx + q).

Contoh 3 Faktorkan x2 – 8x + 15. Jwb: Dengan menggunakan kaedah cuba jaya (pemerinyuan) = (x – 5)(x – 3) Dimana x2 – 3x – 5x + 15 = x2 – 8x + 15

Contoh 4 Faktorkan 5x2 – 12x – 9 Jwb: Dengan menggunakan kaedah cuba jaya = (5x + 3)(x – 3) Dimana 5x2 – 15x + 3x – 9 = 5x2 – 12x – 9

Contoh 5 Faktorkan 4x2 – 32x + 64 Jwb: Keluarkan faktor sepunya, iaitu 4 = 4(x2 – 8x + 16) Kemudian faktorkan ungkapan (x2 – 8x + 16) = 4(x – 4)(x – 4) 2 = 4(x – 4)

BAB 3: SET 3.1 TAKRIFKAN SET

Set ialah himpunan (collection or group) sepunya (common characteristics) tertentu. sebagai unsur (elements).

sekumpulan objek dengan ciri Setiap objek tersebut dikenali

Set kebiasaanya dinyatakan atau ditulis dengan menggunakan tatatanda set, { } dalam 3 cara. Contohnya, bagi satu set yang ditakrifkan sebagai ‘set nombor perdana yang kurang daripada 11’: 1. Secara perihalan (description) {Nombor perdana yang kurang daripada 11} 2.

Menyenaraikan {2, 3, 5, 7}

unsur

3.

Menggunakan pembolehubah {x: x ialah nombor perdana yang atau { x: x ialah nombor perdana dan x < 11}

(roster) (set-builder notation) kurang daripada 11}

Set juga boleh dilabel dengan huruf besar (capital letters), contohnya B = {2, 3, 5, 7} Unsur yang sama (same elements) dalam sesuatu set tidak perlu diulang(need not be repeated). Contohnya, {huruf bagi perkataan KATAK} = {K, A, T} Simbol ∈ digunakan bagi menunjukkan sesuatu objek adalah unsur bagi(element of) sesuatu set.

Simbol ∉ bermakna

‘bukan

unsur

bagi’

(does

not

belong

to).

Contohnya, B = {2, 4, 6, 8}, 5 ∉ B

Selain daripada menulis set secara perihalan dan menggunakan tatatanda set { }, bentuk geometri seperti bulatan, segiempat tepat, segitiga dan sebagainya boleh digunakan untuk mewakili sesuatu set. Rajah di bawah dikenali sebagai gambar rajah Venn (Venn diagram). Contohnya:

A = {2, 4, 6, 8} B = {3, 5, 7, 9} Setiap titik di sebelah kiri (dot to the left) objek dalam gambarajah Venn mewakili satu unsur.

BAB 4: PENAAKULAN MATEMATIK 4.1 PERNYATAAN Pernyataan dan nilai kebenarannya Pernyataan (statement) adalah suatu ayat yang bermaksud sama benar(true) atau palsu (false), tetapi bukan kedua-duanya (not both).

ada

Ayat-ayat yang berbentuk soalan (question), arahan (instruction) dan seruan(exclamation) adalah bukan pernyataan.

Contoh 1 

Tentu sama ada ayat-ayat berikut adalah suatu pernyataan atau bukan. 7+2=9 Jwb: Pernyataan. Ia adalah benar.



Sebuah pentagon mempunyai empat sisi. Jwb: Pernyataan. Ia adalah palsu.



Senaraikan tiga nombor pertama dibahagikan dengan 10. Jwb: Bukan pernyataan. Ayat ini adalah arahan.



Jawab semua soalan yang diberi. Jwb: Pernyataan. Ayat ini adalah arahan.



Tolong! Jwb: Bukan pernyataan. Ayat ini adalah seruan.



1 adalah nombor perdana. Jwb: Pernyataan. Ia adalah benar.



a x b x c = ac. Jwb: Pernyataan. Ia adalah palsu.

Contoh 2 

Tentukan samada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu. Sebuah segitiga sisi sama mempunyai tiga sisi. Jwb: Benar.



1 < -6 Jwb: Palsu. 1 > -6.



0 > -9 Jwb: Benar.



2.1 adalah suatu integer. Jwb: Palsu. 2.1 ialah perpuluhan.



2+2