nota matematik-pembezaan

FAKULTI PENDIDIKAN DAN BAHASA SEMESTER SEPTEMBER 2012 HBMT4403 TEACHING MATHEMATICS IN FORM SIX

NAMA PELAJAR

:

MARSHIZAWATI BINTI RASIP

NO. TELEFON E-MEL

: :

0176143324 [email protected]

1

DISEDIAKAN OLEH: PN MARSHIZAWATI BINTI RASIP

2

Merupakan operasi atau konsep matematik yang digunakan dalam kalkulus di mana sesuatu terbitan fungsi atau pembolehubah ditentukan Ia juga merupakan songsangan bagi konsep pengamiran

Nota : Pembezaan

3

KONSEP PEMBEZAAN

Pembezaan boleh ditakrifkan sebagai proses mencari Terbitan Fungsi. Pembezaan boleh digunakan sebagai alat untuk mengira atau mengkaji kadar perubahan kuantiti berkenaan dengan perubahan dalam kuantiti lain. Contoh yang paling biasa adalah pengiraan halaju dan pecutan. Halaju diberi oleh v = dx / dt, dimana 'x' adalah jarak yang diliputi oleh badan yang bergerak dalam masa 't'.

Nota : Pembezaan

4

Definisi :Terbitan Pengiraan kecerunan garis tangen, kadar serta-merta perubahan fungsi, dan halaju seketika objek pada semua yang diperlukan untuk mengira had berikut.

Perubahan kecil notasi had ini juga boleh ditulis sebagai,

Ini adalah apa-apa had yang penting dan ia timbul di banyak tempat maka ia diberikan nama. Itulah terbitan. Berikut adalah definisi rasmi terbitan. Terbitan

berkenaan dengan x adalah fungsi

Nota : Pembezaan

dan ditakrifkan sebagai,

5

TERBITAN FUNGSI Pembezaan Daripada Prinsip Pertama Terbitan fungsi y = f (x) pada titik (x, f (x)) bersamaan dengan kecerunan garis tangen kepada graf pada ketika itu. Ia boleh ditakrifkan sebagai:

Di mana 'h' menghampiri sifar sebagai had. Rajah di bawah menggambarkan konsep ini secara grafik:

Formula terbitan (atas) memberikan kecerunan garis sekan di antara kedua-dua titik. Ketika nilai 'h' menjadi lebih kecil, kedua-dua titik menjadi lebih dekat dan kecerunan sekan menghampiri garis tangen kepada lengkung itu pada (x, f (x)): Nota : Pembezaan(HBMT4403)

6

KAEDAH PEMBEZAAN

Jika y = x n maka

= n x n-1 , n

= f ' (x) = e x

Jika y = f (x) = e x maka Jika y = e f(x) maka

Jika y = ln x maka

Nota : Pembezaan

R

= e f(x) . f ' (x)

=

7

Imbas Kembali: Fungsi terbitan ditakrifkan hanya untuk x positif, bukan untuk x = 0. Apabila r = 0, peraturan ini menunjukkan bahawa f '(x) adalah sifar untuk x ≠ 0, yang hampir kepada peraturan malar(seperti yang dinyatakan di bawah). Fungsi Eksponen dan Logaritma

Fungsi Trigonometri

Nota : Pembezaan

Fungsi Songsangan Trigonometri

8

Imbas Kembali Mengenai Petua Pembezaan Bagi Satu Fungsi Pembolehubah

1)

2)

3)

d k 0 dx

=

d n x  nx n1 dx

d  f x   g x   f x   g x  dx

Nota : Pembezaan

=

9

Petua Fungsi Malar Terbitan bagi fungsi malar adalah bersamaan 0 untuk setiap nilai x

d 1) k 0 dx Buktikan jika:

f(x)  k,

f '(N)  lim

x N

f ( N )  0

Maka :

f(N) k

f ( x)  f ( N ) k k  lim 0 x N x  N xN

Maka :

Nota : Pembezaan

f '(x)  0

10

Petua Fungsi Kuasa d n n 1 x  nx dx

2)

Terbitan fungsi xn adalah bersamaan

f(x)  x n ,

Jika, Maka, Contohnya: Jika

f '(x)  nx n-1 x

4

Nota : Pembezaan

Maka,

dy/dx  4x 3

11

KAEDAH PEMBEZAAN • Petua Hasil Tambah - Hasil Tolak • Petua Hasil Darab • Petua Hasil Bahagi • Fungsi Gubahan • Fungsi Mutlak

Nota : Pembezaan 12

3)

d  f x   g x   f x   g x  dx

Terbitan bagi Hasil Tambah(atau Hasil Tolak) Dua Fungsi adalah sama denganHasil Tambah (atau Hasil Tolak) Terbitan bagi Dua Fungsi. C  Q3  4Q 2  10Q  75 dC d 3 d d d 2  Q  4Q  10Q  75 dQ dQ dQ dQ dQ dC  3Q 2  8Q  10  0 dQ Nota : Pembezaan

13

Petua Hasil Darab 4)

d  f x g x   g x  f x   f x g x  dx Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan fungsi kedua didarabkan dengan terbitan hasil tambah fungsi pertama didarabkan dengan terbitan fungsi kedua

Algoritma Mnemonik:

(2d1 1d2)

Nota : Pembezaan

14

Tinjauan Semula Petua-petua Pembezaan Bagi Fungsi Satu Pembolehubah Petua Hasil Darab

d  f x g x   g x  f x   f x g x  4) dx algorithm mnemonic : 2d1 1d2 5a)

d cx  c Petua Malar dan Petua Hasil Darab dx d cx  x 0  c  1x 0  c dx

 

5b)

d n cx  cnxn1 dx

 

Petua Malar , Petua Hasil Darab dan Petua Kuasa





d n cx  x n 0  c  nx n1  cnxn1 dx Nota : Pembezaan

15

f x  g x 

6)

d  f x  g x  f x   f x g x     2 dx  g x   g x   2d1 - 1d2  Algorithm mnemonic :   2  2 

Nota : Pembezaan

16

Untuk membezakan fungsi gubahan kita menggunakan aturan rantai yang ditulis seperti berikut; [ f (g (x)) ] = f ' (g (x)) g' (x) = f ' ( ) . g' (x)

Ini bermaksud membezakan fungsi luar, meninggalkan hujah fungsi luar sahaja, dan kemudian darabkan dengan terbitan di dalam fungsi.

Nota : Pembezaan

17

Untuk mencari

, daripada Fungsi Mutlak yang diberikan, kita perlu menggunakan

Petua rantai

dan petua hasil darab

Teknik untuk mencari

kita namakan sebagai Fungsi Mutlak

Nota : Pembezaan

18

Petua Pembezaan Melibatkan Fungsi Yang Pembolehubahnya Berbeza

Nota : Pembezaan

19

chain rule w/ one exog. variable let z  f  g  x  dz dz dy 7)   f  y g  x  dx dy dx chain rule w/ more than one exog. variable let z  f  g  x1 ,...,xn  8)

dz dx1

dx2. .n  0

dz y  dy x1

Nota : Pembezaan

20

Petua Rantaian Ini adalah kes di mana dua atau lebih fungsi diterbezakan, yang mana setiap satunya mempunyai pembolehubah tak bersandar

z  f(g(x)), i.e.,

Dimana,

7)

z  f(y), i.e.,

Z adalah fungsi pembolehubah y dan

y  g(x), i.e.,

Y adalah fungsi pembolehubah x

dz dz dy  dx dy dx df  y  df  y  dg x    f  y g x  dx dy dx Nota : Pembezaan

21

Petua Rantaian Ini adalah kes di mana dua atau lebih fungsi diterbezakan, yang mana setiap satunya mempunyai pembolehubah tak bersandar

7)

dz dz dy  dx dy dx

Jika,

R  f(Q)

dR dL

dR dQ   dQ dL  f Q   g L 

Dan jika, Q  g(L)

 MR  MPPL  MRPL

Nota : Pembezaan 22

Cari

dz dx1 ,

Prosedur:

dimana

z  f(y)

dan

y  g(x1, x 2 ).

Gantikan kebezaan jumlah y ke dalam z dan bahagikan kepada Dengan mengandaikan dx  0

dx1

2

dz 1) dz  dy dy

 dz  y y 3) dz   dx1  dx2  dy  x1 x2 

y y 2) dy  dx1  dx2 x1 x2

dz 4) dx1

Nota : Pembezaan

dz y dx2  0  dy x1 23

Kecerunan lengkungan, y = f(x), pada

y

titik R atas lengkungan diberi oleh

B T

lengkungan tangen di R. Ia juga diberi oleh nilai

R

di atas titik R, yang mana

ia boleh dikira menggunakan

A x

persamaan lengkungan. Oleh itu, kita boleh mengira kecerunan tangen bagi lengkungan pada sebarang titik R

Nota : Pembezaan

24

Jika A (x1 , y1) ialah titik pada garisan y = f(x), kecerunan garis (pada garis lurus) atau kecerunan tangen di atas garis (lengkungan) nilai apabila x = x1 Kecerunan Tangent pada A (x1 , y1): = Kecerunan Tangen

Persamaan Tangen:

y – y1 = m tangent (x - x1)

Kecerunan Normal pada A (x1 , y1): m normal = - 1 __ m tangent

Kecerunan normal

Persamaan Normal : y – y1 = = m normal (x - x1)

Nota : Pembezaan

25

Jika y suatu fungsi x, maka

merupakan kadar

perubahan y terhadap x. Sebagai contoh jika r mewakili jejari dalam meter dan tmewakili masa dalam saat, r ialah

fungsi t, maka

mewakili kadar perubahan jejari terhadap

masa.

Nilai

yang positif mewakili kadar perubahan menokok

bagi y terhadap x manakala nilai

yang negatif mewakili

kadar perubahan menyusut bagi y terhadap x.

Nota : Pembezaan

26

CONTOH-CONTOH SOALAN BERKAITAN TOPIK PEMBEZAAN

Nota : Pembezaan

27

.

SOALAN-SOALAN PEMBEZAAN

Soalan 1: Cari pembezaan bagi

Jawapan

Soalan 2: Cari pembezaan bagi

Jawapan

Soalan 3: Cari kecerunan fungsi y = 3x2 apabila x = 5.

Jawapan

Soalan 4: Bezakan terhadap x.

2x3 + x +

Soalan 5: Bezakan

x 2  2x x2

Jawapan

Jawapan

Nota : Pembezaan

28

Jawapan soalan 1:

Nota : Pembezaan

29

Jawapan soalan 1:

Nota : Pembezaan

30

Jawapan soalan 3:

Dengan itu, apabila x = 5

Nota : Pembezaan

31

14.  12 x 2

Jawapan soalan 4:

Bahagikan : 1 + 2x1

Bezakan:

6x2 +  2x2

Nota : Pembezaan

32

Jawapan soalan 5: Pemboleh ubah adalah m dan oleh itu terbitan fungsi adalah terhadap m. Pembezaan mesti diselesaikan dengan menggunakan hukum rantai. Ia adalah:

Nota : Pembezaan

33

TAMAT SEKIAN TERIMA KASIH Nota : Pembezaan

34

RUJUKAN Nor Hayati Md Yusof.Aisah Ali. (2011)HBMT4403Teaching Mathematics In Form Six. OUM.Meteor.Doc.Sdn.Bhd.Selangor Mohd Nasir Mahmud.et.al. (2011)HBMT4303Teaching Mathematics In Form Five. OUM.Meteor.Doc.Sdn.Bhd.Selangor Expert Math Tutoring http://www.expertmathtutoring.com/Differentiation-Knowledge-Examples.php Bab 3:Penggunaan Pembezaan http://www.oocities.org/enotebvp/bab3/bab_3_penggunaan_pembezaan.htm Differentiation http://www.mathslearn.co.uk/core2differentiation.html Differentiation From First Principle http://www.mathsrevision.net/alevel/pages.php?page=23

http://math2.org/math/derivatives/more/trig.htm

Nota : Pembezaan

35