Nosaci Greda Konzola, projektanti, statika

Nosa i: Greda i konzola 7. dio

1

Dijagrami:

1. Uzdužnih sila N

2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My 2

Prosta greda 1. Optere ena koncentriranom silom F

x z

3

x z

I. Reaktivne sile:

1. M A = 0

RB ⋅l − F ⋅ a = 0

2. M B = 0

R A ⋅l − F ⋅b = 0

3. Fx = 0

F ⋅a RB = l F ⋅b RA = l

zadovoljena 4

x z

Kontrola : Fz = 0

-RA -RB + F = 0 F ⋅b F ⋅ a − − +F =0 l l F ⋅ (a + b ) − +F =0 l 0=0

5

II. Dijagrami unutarnjih sila Dijagram uzdužnih sila N N – dijagram nema

x z

Uzdužna sila N u nekom presjeku nosa a jednaka je sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne strane presjeka u os nosa a) u promatranom presjeku. 6

Dijagram popre nih sila Tz – dijagram x z

Za karakteristi ne to ke: A, 1 i B T1d = RA – F= - RB TA = RA (T1l = RA) TB = - RB 7

Tz – dijagram

8

Dijagram momenata savijanja My x z

Izme u to aka A i 1

Izme u to aka 1 i B

My= RA. x

My= RA. x – F. (x-a)

- za x = 0; MA = 0 - za x= a; M1 = RA. a

M1l = M1d

- za x = a; M1 = RA. a - za x = l; MB = 0 9

My – dijagram

10

A-1

M y = RA ⋅ x

1–B

M y = R A ⋅ x − F ⋅ (x − a ) 11

Veza izme u dijagrama My i TZ To ka A – 1

To ka 1 – B

M y = RA ⋅ x

M y = RA ⋅ x − F ⋅ (x − a )

dM y

dM y

dx

= R A = T( A−1 )

Diferencijalna veza:

M y = (R A − F ) ⋅ x + F ⋅ a dx

dM y dx

= R A − F = T( 1− B )

= Tz 12

Veza izme u dijagrama momenata savijanja My i dijagrama popre nih silaTZ dM y dx

= Tz

Derivacija momenta savijanja po nosa u jednaka je popre noj sili. 13

14

Primjer:

• F=8,66 kN • l=4m • a=1m

RA= 6,50 kN RB= 2,16 kN 15

Prosta greda 1 b) Kosa sila F ! • F=10 kN α = 60° • l=4m • a=1m Reakcije:

RAH= 5,0 kN ; RAV= 6,50 kN RB= 2,16 kN Dijagrami: N, Tz i My 16

Prosta greda 2. Optere ena kontinuiranim optere enjem q

17

x z

I. Reaktivne sile

1.

MA = 0

2.

MB = 0

3.

Fx = 0

l RB ⋅l − q ⋅l⋅ = 0 2 l RA ⋅l − q⋅l⋅ = 0 2 zadovoljena

q⋅l RB = 2 q ⋅l RA = 2 18

x z

Kontrola : Fz = 0

- RA - RB + q ⋅l = 0 q ⋅l q ⋅l − − + q ⋅l = 0 2 2 − q ⋅l + q ⋅l = 0 0=0

19

II. Dijagrami unutarnjih sila N – dijagram • Uzdužnih (normalnih) sila nema. Tz – dijagram • Popre na ili transverzalna sila Tz u nekom presjeku nosa a jednaka je sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne strane presjeka u normalu na os nosa a u promatranom presjeku. 20

Dijagram popre nih sila Tz Od to ke A do to ke B jedno podru je: TZ = RA – q . x (jednadžba pravca) x z

x=0; TA = RA x=l; TB = RA – q l = - RB

21

Tz - dijagram

22

Dijagram momenata savijanja My x z

x q 2 M y = RA ⋅ x − q ⋅ x ⋅ = RA ⋅ x − ⋅ x 2 2 - za x = 0; MA = 0 - za x = l; MB = 0

23

Traženje mjesta ekstrema: Prvu derivaciju izjedna imo s nulom i dobivamo vrijednost x za koji je moment savijanja ekstreman (maksimalan).

q 2 M y = RA ⋅ x − ⋅ x 2 dM y

q = RA − ⋅ 2 x = 0 2 dx ql RA l 2 = = x= q q 2 24

Vrijednost maksimalnog momenta savijanja:

q 2 M y = RA ⋅ x − ⋅ x 2

l x= 2 M ekst

q 2 ql l q l = RA ⋅ x − ⋅ x = ⋅ − ⋅ 2 2 2 2 2

M ekst

ql 2 = 8

2

2

2

ql ql = − 4 8

25

Dijagrami:

26

My - funkcija:

q 2 M y = RA ⋅ x − ⋅ x 2 Tz - prva derivacija:

dM y dx

= R A − q ⋅ x = Tz

Optere enje q - druga derivacija:

d 2M y dx

2

= −q 27

Diferencijalne veze izme u unutarnjih sila i optere enja: dM y dx 2

d My dx

2

= Tz dTz = −q dx

Druga derivacija momenta savijanja po nosa u jednaka je – q (optere enju nosa a). 28

Primjer: • q = 10 kN/m` • l=4m Reakcije: RA = 20 kN RB = 20 kN M1 = Mmaks.=ql2/8= 20 kNm 29

Konzola Optere enje: 1. Vektor sile F kolinearan sa osi štapa 2. Vektor momenta M kolinearan sa osi štapa 3. Vektor momenta M okomit na os štapa 4. Vektor sile F okomit na os štapa 5. Vektor sile F pod kutom u odnosu na os štapa 6. Kontinuiranim optere enjem q

30

1.a Vektor sile F kolinearan s osi štapa

31

1.b Vektor sile F kolinearan sa osi štapa

32

2. Vektor momenta M kolinearan sa os štapa

33

3. Vektor momenta M okomit na os štapa

34

4. Optere ena koncentriranom silom F – vektor sile okomit na os štapa

35

x z

I. Reakcije:

1. Fx = 0

zadovoljena

2. Fz = 0

RA − F = 0

RA = F

3. M A = 0

MA − F ⋅l = 0

MA = F ⋅l

36

x z

Kontrola : Fz = 0

-RA + F = 0 −F +F =0 0=0 37

N - dijagram • nema

38

Tz - dijagram TA = RA

39

40

My - dijagram M y = −M A + RA ⋅ x

(jednadžba pravca)

- za x=0 M A = - MA - za x=l MB = 0 41

Dijagrami

42

4. Vertikalna sila

F = 8,66 kN l = 0,5 m

Rješenje: RA = 8,66 kN MA = 4,33 kNm Dijagrami: Tz i My

43

5. Kosa sila

44

5. Kosa sila F F = 10 kN l = 0,5 m

α = 60°

Rješenje: FV = F sin α = 10 sin 60° = 8,66 kN FH = F cos α = 10 cos 60° = 5,00 kN RAV = 8,66 kN RAH = 5,00 kN MA = 4,33 kNm

Dijagrami: N, Tz i My

45

“Desna” konzola ! • Desni kraj uklješten (upet) oslonac. • Za optere enje vertikalnom silom F nacrtajte dijagrame unutarnjih sila.

46

6. Konzola optere ena kontinuiranim optere enjem q

47

x z

I. Reakcije

1. Fx = 0

zadovoljena

2. Fz = 0

RA − q ⋅l = 0

3. M A = 0

RA = q ⋅l

l MA − q ⋅l ⋅ = 0 2

q ⋅l 2 MA = 2

48

x z

Kontrola : Fz = 0

- RA + q ⋅l = 0 - q ⋅l + q ⋅l = 0 0=0 49

Dijagrami: • N – dijagrama – nema

• Tz – dijagram Tz = RA – q x - za x = 0; TA = RA - za x = l; TB = 0

50

Tz - dijagram

x

51

My - dijagram x M y = −M A + RA ⋅ x − q ⋅ x ⋅ 2

- za x = 0

M A = - MA A

- za x = l

M B= 0 B

52

Dijagrami:

53

Ponovo: Greda

3. Trokutno optere enje q0 qx x x

z

x q x = q0 l 54

Reaktivne sile

1 q ⋅l RA = ⋅ 3 2

2 q⋅l RB = ⋅ 3 2

x q x = q0 l

Popre na sila

q x ⋅ x q ⋅ l q0 ⋅ x = − Tz = R A − 2 6 2⋅l

2

Moment savijanja

q0 ⋅ x q ⋅l qx ⋅ x 1 ⋅ ⋅x = ⋅x −− My = RA ⋅ x − 6⋅l 6 2 3 55

3

Tz dijagram

56

Dijagrami:

57

Greda s prepustom

1

58

x 1

I. Reaktivne sile

1. M A = 0 2. M B = 0 3. Fx = 0

z

F ⋅ (l + a ) R B ⋅ l − F ⋅ (l + a ) = 0 RB = l F ⋅a R A ⋅l − F ⋅ a = 0 RA = l zadovoljena 59

x 1

Kontrola : Fz = 0

z

RA -RB + F = 0

F ⋅ a F ⋅ (l + a ) − +F =0 l l F ⋅a F ⋅a −F − +F =0 l l 0=0

60

1

TA = − R A T = − RA l B

T = − R A + RB = F d B

T1 = F 61

Tz - dijagram x 1

z

62

x 1 z

MA =0 M y = − RA ⋅ x M B = − RA ⋅ l = − F ⋅ a M1 = 0 63

1

64