No_Lineal_nofondo.pdf

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Análisis no lineal  Hipótesis en el análisis lineal: • • • • •

Mate Materia riall elást elástic ico o linea lineall Peque Pequeños ños despl desplaz azami amien ento tos s Peque Pequeñas ñas def defor orma maci cion ones es Condic Con dicion iones es de de borde borde cons constan tantes tes Cargas independient independientes es de de los los desplazamien desplazamientos tos

Fuentes de no linealidades: •No linealidades materiales: • Material Material no lineal (elástico (elástico o elasto-p elasto-plásti lástico) co) • Gran Grandes des defo deform rmaci acion ones es

•No linealidades geométricas: • Grandes desplazamie desplazamientos ntos (ej: (ej: mecanism mecanismos os + cuerpos cuerpos rígidos) rígidos) • Condiciones Condiciones de borde borde dependie dependientes ntes de los los desplazamien desplazamientos tos (ej: contac contacto) to) • Cargas dependie dependientes ntes de los desplaza desplazamient mientos os (ej: viga viga flexible, flexible, acoplados) acoplados)

    

Análisis no lineal  En el análisis del problema elástico-estático lineal, aplicando alguno de los métodos variacionales se llega a la forma de equilibrio:

∫   dΩ  = ∫   dδ  Ω + ∫   dΩ + 

Ω

Ω

⇒  = 

Ω

δ  

Si en el término de la derecha se introduce el vector desplazamientos nodales dentro de la integral:

∫   dΩ = 

Ω

⇒ ∫  Ω

 dΩ = 

⇒ ∫ 

dΩ = 

⇒ () = 

Ω

Ahora el término de la derecha es identificable como el    Este vector estará determinado por la relación, no lineal ahora, entre el esfuerzo, la deformación y los desplazamientos despla zamientos nodales. El problema no lineal general se puede expresar como: dado un instante   inicial en equilibrio, equili brio, encontrar el vector de desplazamientos que permite obtener un vector de fuerzas internas que equilibra las fuerzas f uerzas externas conocidas en un instante   (instante o incremento de carga).  .

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    

Análisis no lineal  Instante inicial: =  = Encontrar  (

+1 )

−

+1

+1

⇒ ( )−  = 0 tal que :

=0

con 

+1

=  + ∆

y 

+1

=  + ∆

La última ecuación puede ser aproximada por una serie de taylor de primer orden:

Ψ ( +1 ) = ( +1 )− 

+1

    = 0 ⇒ Ψ ( ++11 ) ≈ Ψ ( +1 )+  ∂Ψ     δ   = 0   ∂   +1

∂Ψ = ∂ =  Matriz de rigidez tangente ∂ ∂ −1  δ   = − Ψ ( +1 ) ⇒ δ   = −( ) Ψ +1 corrección iterativa  ++11 = 

+ ∆ = 

+1

+ δ  

⇒ ∆ = ∑ δ   =1

    

Análisis no lineal  n+1

n+1 n

n

Newton-Raphson n

Procedimiento caro: •Matriz T debe formarse y factorizarse (resolver) en cada iteración •Podría transformarse en no simétrica Solución: NR modificado, (ver manual Samcef), Quasi-Newton.

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Análisis no lineal  n+1

n+1 n

n

Newton-Raphson Modificado

n

Se mantiene la T inicial para el incremento

    

Análisis no lineal    Ej: Plasticidad, creep (viscoplasticidad), Conductividad k(T), etc. ⇒Relación entre esfuerzos y deformaciones no es constante Para cada incremento e iteración, podemos calcular:

∆

= ∆

∆ = ∑ δ   =1

δ  

=

δ  

⇒∆

∆

= ∫ 0



δ  

por lo que se debe integrar para cada iteración.

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    

Análisis no lineal    Ej: estructuras flexibles, mecanismos etc. ⇒Relación entre deformaciones y desplazamientos no es lineal Ahora:   =    donde  no es lineal  = 0 +  () dΨ d

=  = ∫  

dΩ + 

= ∫  

dΩ +  d

con 

como dΨ

∫ 

Ω

Ω

0

= ∫ 

 dΩ

 

dΩ ;

 

=  

;  

=    =    

Ω

= ∫ 

  dΩ =  0

+

y

Ω

debido a pequeños desplazami entos

Ω



= ∫ (0   + 



+

 0 )dΩ

debido a grandes desplazami entos

Ω

dΨ

=

d

    

Análisis no lineal   1. Encontrar solución elástica inicial  = 0 y calcular 1 inicial

=  0 + ∆ 0 y determinar Ψ (11 ) = (0 )− 1 ≠ 0 −1 3. Determinar el corrector con δ  10 = −(1 ) Ψ11 4. Calcular 12 = 11 + δ  10 y Ψ (12 ) 5. Comparar con tolerancia. Si es menor 12 = 1 , si no 2. Incrementa r 1

6. Calcular  2 con 12 ( u otra estrategia ) y un nuevo corrector δ  20

−1

= −( 2 ) Ψ12

7. Una vez que converge se obtiene 1 que satisface (1 )− 1 ≈ 0 8. Incrementa r nuevamente a  2

= 1 + ∆ 1 y repetir desde 2.

9. Repetir el procedimie nto incrementa l hasta alcanzar la carga solicitada.

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