nociones de logica simbolica

Amarilis Sagredo - Eduardo Luna

NOCIONES DE LOGICA SIMBOLICA

UCMM 1988

NOCIONES DE LOGICA SIMBOLICA Amarilis Sagredo - Eduardo Luna (Sexta

Edición)

©, 1988, para la Sexta Edición, Colección de "Textos" UCMM Director. Bienvenida Polanco Impreso en la República Dominicana Printed in Dominican Republic

Taller,

Isabel

la Católica

309, Santo

Domingo,

República

Dominicana

TABLA PE CONTENIDO PAGINA NOTA DE LOS AUTORES........................................

.1V

CAPITULOS 1.

CALCULO PROPOSICIONAL

.•..••.•.•••..•.•..••••......•

1

1.1

Propo~ici6n

1.2

Proposiciones

1

1.3

Npgaci6n..................................

8

1.4

Conjunci6n..

9

1.S

Disyunci6n ••••.•••••.•..••.••.•.•.•...••••

12

1.6

Tablas de verdad..........................

14

1.7

Equivalencia

22

1.8

Bicondicional ••.••••••••.••••..•.•.•••••••

1.9

Condicional

compuestas... •..•..•••.••••. ..............................

de formas proposicionales •••. ~

6

24 .

26

1.10 Totalidad de formas proposicionales con Jos componentes at6mic0d •••••.••••.••• :.••

32

1.11 Clasificaci6n les

de las fo~as

proposiciona-

compues t..:.as

1.12 Condicionales 1.13 Negaci6n

.

der~vadas ....•..••••••.••.••

de proposiciones

1.14 Tautolog!as

·compuestas .•••.•

33 36 38

de mayor uso •.•••••••••..••••.

42

l6gicas •.••••••••..••.•.•••••••

43

1.16 Formas argumentales .•.•..••.••••••••••••.•

55

1...

60

1.18 Procedimientos para determinar la validez de una forma argumental •••••••••••••••••••

63

1.15 Relaciones 1.17

Argumentos

1.19 M~todos Materriá

2.

.••••••••..•....••• •.• • •••••

de demostraci6n

usados en

tic a • • . • • . . . . . . . . . • . . . . . • • . . • . • . . • • •

CALCULO DE PREDICAPOS

DE PRIMER ORDEN ••••••••••••

69

75

2.1

Proposiciones

abiertas....................

75

2.2

Cuantificador

unive~sal •••••••.•••.•

78

i •••••

PAGINA 2.3

Argumentos que contienen proposiciones un!versales.

..............................

83

2.4 2.5

Cuantificador existencial •••••••••.•••.••• 87 Otro cuantificador existencial •••••••••••• 93 2.6 Argumentos que ~ontienen proposiciones existenciales .•••••••••••••.•••••••••••••. 93 2.7 Relaci6n entre el cuantificador universal y el cuantificador existencial •..•••••.••• 96 2.8 Proposiciones que contienen varios cuantificadores ••••••••••••.•.•••••••••••. 99 2.9' Negaci6n de proposiciones y formas proposicionales con dos o mas cuantificadores •• 102 IND 1 CE. • • • • • • • • • . ~ . • • • • • • • • • • • .'. • • • • • • • • • • • • • • • ••

\

10 5

NOTA DE LOS AUTORES EN LA PRIMERA EDICION

Nociones a estudiantes Matem~tica

de L6gica Simbólica

de Escuela Secundaria

esenciales

proporcionar

de Lógica Simb61ica

estudio de la Matem~tica Hacemos hincapié ejercicios.

los profesores

necesarios

en dos aspectos

para abordar el

fundamentales:

elevado monto de ejemplos

y referencias

y

de autores.

ven ocasionalmente Queremos

para fortalecer dejar constancia

al profesor

Alina Morales,

Federico

Sosa, y especialmente

su mundo cultural. de nuestro profundo

Apolinar

Velázquez,

NGñez, a Eddy D1az, Carmen Liriano, Reina

a la Universidad

a través de su Vicerrector y del Director

Católica

edici6n de esta obra. Nuestra sus estimulos

sosteniqa

Madre y

Administrativo,

del Departamento

Danilo de los Santos. Ellos hicieron

constantemente

que

para los alumnos de este nivel, sir-

agradecimiento

Pablo Cordero,

Esperamos

llenen esos vac10s que, aunque no tienen

mucha trascendencia

nosotros

los conocimientos

No pretendernos agotar temas ni abultar con

historiograf1as

caciones,

universita-

Contemporánea.

sencillo y preciso,

Maestra,

y alumnos que cursan

en el Ciclo Básico de sus estudios

rios. Tiene un objetivo:

lenguaje

es una obra dirigida

labor intelectual

Pedro

de Publiposible la estuvo

por su trabajo desinteresado

enaltecedores.

esa extraordinaria

Sie~pre estará presente ayuda •. Los Autores

y en

CAPITULO

1

.CALCULO PROPOSICIONAL En nuestro. lenguaj e ordinario

se perciben

ambigüedades-:

Pienso en mi habitaci6n. Yo nunca me sienta en un banco. Ayer hice una operaci6n. Además, comunidad,

en cuanto instrumento

de grupos sociales,

bras o expresiones

adquieren

de comunicaci6n

de profesionales,

matices

Debido a esto, en Matemática, distinto,

que no est~ viciado

universalidad.

tud ~ue el lenguaje serie de reglas

simb61ico,

muchas

significativos

por la ambigüedad

diferentes.

y la falta de

a la L6gica que, aunque

aporta mayor precisi6n

ordinario.

p~la-

ha de usarse un-lenguaje

Para ello, se recurre

maneja un lenguaje

de una

o exacti-

Esto se logra mediante -una

bien claras y definidas.

La presentaci6n

de esas reglas es el prop6sito

de estos

apuntes. 1.1 Proposici6n Al concepto Recordemos oraciones:

de proposici6n

que el lenguaje

reconoce

las declarativas,

tivas y las imperativas. la conformidad

nos acercaremos

cuatro tipos básicos de

la~ exclamativas,

De ellas,

o disconformidad

dicado, por lo cual estamos

intuitivamente. las interroga-

las declarativas

objetiva

en capacidad

enuncian

del sujeto con el prede decidir

si lo que

se dice es cierto' o no. Definici6n

1.1

Proposici6n:

Es una oraci6n

de la cual se puede .afirmar que es verdadera que es ambas cosas al mismo Entendemos,

declarativa

o falsa, pero no

tiempo.

que una proposici6n

es verdadera,

cuando

lo

2

que declara está en conformidad con los hechos, con la realidad. 'observemos con cuidado íos sigufentes ejemplos: La oraci6n: Miguel de ~Cervantes escri'bi6'la obra El Inge. , . ,. nioso Hidalgo" Don Qui jote de 'la Mancha, es una pz'oposfcfén ver-dade ra-,

Ahora bí.eri , la oraci6n: Un cuadrado es una figura plana que tiene tres lados, es una proposici6n falsa, porque sabemos que la figura a la cual se le llama cuadr-ado tiene cuatro lados y no tres. Por otra parte, si consideramos la oraci6n: E*isten seres vivientes en el planeta Venus, aceptamos que es una proposici6n, puesto que es una oraci6n declarativa que es verdadera o falsa, y no ambas'cosas' al mismo tiempo, pero tambi~n aceptamos que no tenemos los suficientes conocimientos para asegurar su veracidad o su'falsedad. Estos ejemplos ilustran ~na situaci6n muy interesante: que no es a ¡a L6gica'a quien le toca informar acerca de la veracidad o falsedad de una proposici6n, sino a la experiencia. Definici6n 1.2 A la verdad o falsedad de una proposici6n se le l~ama valor de verdad de la proposici6n. Es importante hacer notar que no todas las oraciones declarativas son proposiciones, puesto que para que lo ~ean es necesario que podamos a.s qna.rLe s un ün co valor de verdad. Por ejemplo, la oraci6n: Esta oraci6n declarativa es falsa, no es una proposici6n porque no tiene u~ {Ínico valor de verdad. Veamos: si decimo$ que ,su valor de verdad es falso, entonces la oraci6n declarativa es verdadera, porque, precisamente, lo que establece es que es una oraci6n f a Laa , Tampoco es verdadera, porque en este caso no está de acuerdo con lo establecido por la oraci6n. N?te, que este tipo de oraci6n lleva implicita una contradicci6n en si misma. Consideremos la oraci6n: x es ~~ n{Ímero par~ A esta oraci6n no es posible asignarle un {Ínico valor de verdad, puesto qua didho valor depende del objeto por el cual sustituyamos a x. Al susti,t~iJ:,,~,a x por e L objeto. '.'dos",por ~jemplo, la oraci6n í

í

3

declarativa se convierte en: Dos es un nOmero par, que es una oraci6n verdad~~a, pero si sust!tuimo~ a x ~r el obje~o "tres·, obtenemos: Tres es un ndmero .pa~, que , es una oraci6n falsa. En consecuencia, una oraci6n como dsta no es una.proposici6n .• Por otra parte, una oraci6n como: El mundo es así, no es susceptible de asignarsele un valor de verdad sin conocer el contexto donde esta referida. Est.o es, por sí sola es una orac16n que carece de sentido ~r t~nto, d~ valor de verdad, asf que no'es una proposici6n. ,

"

y,

BjerCi'cios 1.1 1. Clasifique'las siguientes oraciones, en declarativas, interrogativas, exclamativas o imperativa.s.. a) Haga fila y c'llese. b) ¿Qui~n te pe16 que las orejas.te,d.j6? e) Los mdsicos son animales domesticado,s·., eh) La· lluvia cae y moja. d)~tC6mo me martirizas cuando no me al;>razas! e) Saque la lenq'ua. f) El ruido es un conjunto de silencios. q) Un cretense dijo: Los cretenses siempre mienten. h) Si es capaz de razonar, entonces .es humano. i) ¿Cuando brilla la luna? j) x + 2 es igual a cero. k) El hombre es un, animal implume. 1) lOud comiste que te ensuciaste el ,bigote? 11) Hay tanto para contar. m) ,Cuanto me d~ele la cabeza! n) Esta oraci6n declarativa es verdadera. ñ). S6 razonable frente a sus peticiones. o) No es ei~rto que 25 + 7 = 31. p) ll)(5ndepasaste las vacaciones? q) Hoyes domingo. 2. Identifique las proposiciones del ejercício"an~tiot.

------

,

4

3,.Complete .. las siguientes .proposiciones: a) El número es par y b) La suma de es un número par. c) Los ángulos son congruentes. 9h) Los triángulos con igual ·base y altura d) El número uno es menor .que e) Un número entero compuesto se puede expresar

-----

f) Si el triángulo ABe es congruente con el triángulo A'B'C', entonces g) Un rectángulo es un con un ángulo h) El orden de los f ac'coz-e s , i) La intersecci6n de

.

Nos interesa ,trabajar con representaciones simb6liqas de las proposiciones más que con pro.posiciones específicas, parauu fi~usaremos letras minüsculas, tales como p, q, r, etc. Ahora bien, en estos casos nos enfrentarnos a un problema de terminología ya que, dichos símbolos, por sí solos, no constituyen una :.¡ proposici6n, pues-ce.que no, son susoept.i.b Le s de asignárseles un valor de verdad corno requiere la definici6n de·'proposici6n, sin antes conocer la oraci6n que representan. Sin embargo, dichos símbolos se conv er t en en proposiciones en el momento en que se reemplazan por proposiciones específicas. Definici6n 1.3 Un símbolo p que puede ser sus~itu!do por..una proposici6n 'cualquiera recibe el nombre de, forma proposicional. La importancia de trabajar con for~as proposicionales estriba en que pueden establecerse propiedades de ellas, que seguirán siendo válidas no importando' qué proposici6n repre. " 'senten, y sin Los problemas de inte.rpretaci6n que acarrearía el cono.cer dichas proposiciones. í

5

Si P denota una proposici6n o una forma proposicional~ escribiremos

v(p) para indicar el ~alor de verdad de p. '.

Ejemplos:

q:

La colecci6n de los ndmeros primos es infinita.

r:

El agua del mar es dulce.

s:

HaY'perros que muerden.

t:

4 + 6

=

10.

En estos ejemplos: v(q)= V, v(r)= F, v(s)= V y v(t)= V Ejercicios 1.2 1. ¿Cuáles

de

las siguientes expresiones son proposiciones?

a) sé cauteloso. b) Juan fue mordido por un perro. c) l-1aríatiene 16 años y Elena es rubia" ch) El profesor de Biología no es simpático. d) ¿Cuándo viene tu hermano? e) Pedro me acompañará o Antonio se enfadará. f) ¡Me gusta ese cantante~ g) Hay ~uchas butacas vacías en el cine. 'h) Dejé de ver televisi6n y lo acompañé a la fiesta. i) Deja de ver televisi6n y acompáñame a la fiesta. j)

(85

+ 78) 2 =' 852 + 2 (85) (78)

+ 782•

k) Si te esfuerzas, no repetirás el curso. 1) ¿Compraste un'auto? 11) C6mprate un auto. m) Todos los ratones le temen a los gatos. n) ¡Qué obra tan noble~ ñ) x2 + 1. o) Asunci6n s~be jugar canasta o tiene mucha suerte. p) Si vas a casa de Julia, entonces encontrarás a Virginia. q) No es verdad que los leones comen queso. r) Existen seres vivientes en Marte. s) Crist6bal Co16n cultiv6 el estudio de la Matemática. 2. Escriba tres proposiciones que tengan valor de verdad

6

verdadero y tres proposiciones cuyo valor de verdad sea falso. 1.2 Proposiciones

Compuestas

Las oraciones: Siete es un ndmero primo, Pepe estudia ingeniería, El profesor me cae mal, son llamadas proposiciones simples 0·at6micas. Pero este tipo de proposici6n es insuficiente para expresar la terminología matemática. '.Ejemplos: 1) Seis no es un divisor de trece. 2) Dos es un n6mero primo y par. 3) Un ndmero entero es par o impar. 4) Un triángulo es is6sceles si y,s6lo si tiene dos lados congruentes. 5) Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces es un rectángulo. Definici6n 1.4 Usando los llamados conectivos l6gicoS2 "no", "y", "o", "si Y s6lo si", "si •••, entonces •••", conseguimos nuevas proposiciones a partir de 'las proposiciones 's~pIes. Las proposiciones así formadas se llaman proposiciones compuestas. * Ejercicios

1.s

1. Indique si las proposiciones siguientes. son simples o compuestas. a) El 25 por ciento de $200 es $50. b) Veintiuno es un ndmero impar y es m6ltiplo de. siete. e) El afio 1979 es bisiesto. eh) Tres tercios es un entero o dos monedas de veinticinco centavos valen lo mismo que Ulla de cincuenta. d) Cuatro es el cuadrado de dos.

*

De manera análoga podemos definir las f0r..mas_.proposicionales simples y compuestas.

7

e) El número seis no es menor que el número tr.es. f) El inverso mul tiplicati vo de un número real es único.' 'g) Si dos rectas son perpendiculares, entonces forman cuatro ángulos rectos. h) La suma de las medidas de los ángulos de un cuadri~ látero es 360. i)

q~

p'aralelogramo es un rectángulo si y s6lo si tiene

un ángulo recto~ 2. Construya proposiciones llenando los espacios en planco: a) Un cuadrado es un

y un y

b) Un triángulo is6sceles tiene

o acutángulo o

c~ Un triángulo es

o

ch) Un número entero positivo es

ángulos aguds.

d)'Un cuadrado

cornodivi~or.

e) Un número impar f) Dos rectas son paralelas si y s6lo si y están en un mismo plano. g) Dos rectas coinciden si y s6lo si en común. h) Si un número es primo entonces,

_

son s6lo uno y él mismo. i) Si un paralelogramo es

------------------- ~entonces

sus diagonales 'son congruentes. 3. Construya proposiciones llenando los espacios en blanco: no

a) b)

y

c)

o

ch) Si }i)

entonces si y s610 si

Utilizando las formas proposicionales suelen representarse los posibles valores de v~rdad de las proposiciones compuestas

8

en las llamadas tablas .de verdad.

Estas no son más que'

arreglos de filas y columnas donde 'se contemplan todas las po. , sibíes combinaciones de valores de verdad de los componentes at6micos de las proposiciones

compuestas,

y el valor de ver- -

dad en cada combinaci6n, de dichas proposiciones. Veamos, a continuaci6n, las proposiciones

los nombres y característiéas

de

compuestas.

1.3 Negaci6n Definici6n

1.5

forma anteponiendo

Dada una proposici6n, a la proposici6n

su negaci6n se

las expresiones:

Es

falso que, no es verdad que. También, siempre que sea posible, Ln se'r tiando la partícula Ejemplos:

1)

una proposici6n,

"no" en la proposici6n.

Venezuela

es un país petrolero,

y su negaci6n puede ser escrita:

Es falso que Venezuela

es un país petrolero.

No "es verdad que Venezuela Venezuela

es:

Los ángulos de un trián-

no son congruentes.

3) La negaci6n de:

El número dos es el primer número

El número dos no es el primer número primo.

4) La negaci6n de: triá~gulos

Los án~ulos de un triángulo

son congruentes,

gulo equilátero primo, es:

es un país petrolero.

no es un país petrolero.

2) La ~egaci6n de: equilátero

es

semejantes

correspondientes

Los lados correspondientes

son congruentes,

en triángulos

es:

en

Los lados

semejantes no son con-

gruentes. ~) Pedro no sembr6 esa mata de guineo, es la negaci6n de la proposici6n:

Pedro sembr6 esa mata de guineo ..

6) Es falso que Juan es antipático,

es una de lak fbr-

mas en que se puede escribir la negaci6n de la proposici6n: Juan es antipático. 7) La negaci6n de: Felipe vive en Egipt~ es: dad que Felipe vive en Egipto.

No es ver-

9

Notaci6n: denota

-cp.

Valor

Sea:p una propo~ici6n,

'Es decir,

la notaci6n

oe verdad:

entonces

La negaci6n

sa es una proposici6n

se

"no", es: -v ,

para el conectivo de una proposici6n

falsa y la negaci6n

es una proposici6n

sU negaci6n

verdadera

de una proposici6n

fal-"

verdadera. 1.1:

Tabla de verdad

Utilizando

las formas

proposicionales, I

podemos

resumir

lo anterior

en una tabla de verdad

de la manera

siguiente: Col.

Ejercicio

1

Col.

Fila

1:

V

F

Fila

2:

F

V

2

1.4

1. Escriba indique

la negaci6n su valor

sici6n

proposiciones

e

de' verdad.

a) Una proposici6n b) La negaci6n

de las siguientes

tiene un único

de una proposici6n

valor

de verdad.

falsa es una propo-

falsa.

c) Una forma

proposicional

ch) La expresi6n

"'p es una forma

d) Las proposiciones conecti~os

es una proposici6n.

compuestas

se forman

utilizando

los

l6gicos. es una proposici6n.

e) Una oraci6n

declarativa

f) Una oraci6n

interrogativa

g) Un cuadrado

es un rectángulo.

h) Un rombo

p-roposicional.

puede

ser una proposici6n.

es un cuadrado.

i) La suma de números

enteros

es conmutativa.

1.4 Conjunci6n Definici6n conectivo

y, obtenemos

Ejemplos: La gallina .de ellas

1.6

Al unir dos proposiciones ia conjunci6n

1) lo es un satélite

es un mamífero,

05:

mediante

de dichas natural

son proposiciones.

el

proposiciopes.

de Júpiter, La conjunci6n

10

lo es un satélite natural. ' de '.Júpiter y la gallina .es un ~ mamífero .' Al lector le llamará la atenci6n el ejemplo a~terior p~I "

estar acostumbrado a que el uso de la conjunci6n

"y", en el

I

le~guaje ordinario, supone una estr~cha relaci6n entre las \......

..

-

.

oraciones'ertlazadas por dicha conjunci6n, 1, claramente, tal re~aci~n n~ ex st e entre los componentes de la conjunci6n aní

terior.

Por esta raz6n es opor~uno aclarar qu~ a la L6gica

le interesa obtener nuevas proposiciones y no los contenidos de esas proposiciones. 2) El gorri6n es un ave y los lagartos son reptiles. 3) El roble es una gramínea y la yuca es un tubérculo.

41 El triáng'ulo e,qu;il'átero es'equiángulo y no es un polígono regular. 5) El número dieciocho es un ndmexo .par y es divisible por tres. 6)

.

Tomás fue

a

la librería Y: Evelyn al cine.

,

7) Un ángulo inscrito en una semicircunferencia

es un

ángulo re~ct