No Me Salen - Ricardo Cabrera

www.full-ebook.com

www.full-ebook.com

www.full-ebook.com

Cabrera, Ricardo Ejercicios de física. - 1a ed. - Buenos Aires : Eudeba, 2010. 272 p. ; 28x25 cm. ISBN 978-950-23-1732-8 1. Física. I. Título CDD 530

Eudeba Universidad de Buenos Aires Primera edición: agosto de 2010

© 2010 Editorial Universitaria de Buenos Aires Sociedad de Economía Mixta Av. Rivadavia 1571/73 (1033) Ciudad de Buenos Aires Tel: 4383-8025 / Fax: 4383-2202 www.eudeba.com.ar Composición general: Eudeba Impreso en Argentina Hecho el depósito que establece la ley 11.723  

No se permite la reproducción total o parcial de este libro, ni su almacenamiento en un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio, electrónico, mecánico, fotocopia u otros métodos, sin el permiso previo del editor.

www.full-ebook.com

Índice Prólogo

7

Capítulo 1. Cinemática El esquema Los gráficos Movimiento rectilíneo uniforme, MRU Movimiento rectilíneo uniformemente variado, MRUV Movimientos libres - El signo de g Movimiento relativo Movimiento circular uniforme Vectores Vectores y versores

Ejercicios resueltos

9 10 11 14 17 19 21 23 25 30 30 34 43 68 76 89

1. Cinemática vectorial 2. MRU 3. MRUV 4. Movimiento relativo 5. Tiro oblicuo 6. Movimiento circular uniforme

Capítulo 2. Dinámica y estática Dinámica

93 93 94 96

Diagrama de cuerpo libre Fuerzas Leyes de Newton Ley de Gravitación Universal Fuerzas gravitatorias Fuerzas de rozamiento

98 101

www.full-ebook.com

Naturaleza de las fuerzas de rozamiento Fuerzas elásticas Centro de masa

Ejercicios resueltos 1. Leyes de la dinámica 2. Tipos de fuerzas

103 105 107 109 109 149

Capítulo 3. Trabajo y energía Leyes de conservación Trabajo Potencia Energía y leyes de conservación Trabajo de la resultante - energía cinética Trabajo de fuerzas conservativas Trabajo de fuerzas no-conservativas Impulso y cantidad de movimiento Choques Tipos de choques 

Ejercicios resueltos 1. Trabajo y energía 2. Energía mecánica 3. Impulso y cantidad de movimiento

www.full-ebook.com

197 197 198 200 202 203 204 205 207 208 210 210 228 250

Prólogo

Los libros de la colección No me salen son recopilaciones de ejercicios resueltos de Física, que incluyen los conceptos teóricos necesarios para su resolución. Surgieron en formato de apuntes para estudiantes del primer año de la universidad (CBC, UBA), para diversas carreras. La serie completa de ejercicios y apuntes –en permanente corrección y crecimiento– se halla on line en mi sitio personal: neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti, donde seguirá estando en forma gratuita y sin fines de lucro. La gran cantidad de lectores del sitio me impulsa a completar un curso de Física General que excede – temáticamente– los cursos del CBC con los que nació. Además, en el sitio, en la sección miscelánea, podrán hallar más consejos, guías, tablas, exámenes de autoevaluación y otros accesorios de diversa utilidad. Y fundamentalmente constituye un canal abierto por el que los lectores me envían sus pareceres, opiniones y correcciones. Tal vez el mayor desafío de esta obra consiste en plantear la enseñanza de la Física en un lenguaje absolutamente llano y desacartonado, desprovisto de solemnidad, despojado al máximo de jerga innecesaria sin resignar nada en rigor científico. Poblado de tips, ayudas, advertencias, consejos, desafíos, chismes importantes, preguntas capciosas y algunos chistes malos, las páginas de No me salen (Ejercicios de Física) apuestan a que el aprendizaje de la Física sea placentero para todos.

Ricardo Cabrera

www.full-ebook.com

www.full-ebook.com

Capítulo 1

Cinemática El esquema Es una herramienta cinemática utilísima, que consiste en dibujar la trayectoria y consignar sobre ella la información cinemática de la que se disponga, en la proximidad (lo más junto posible) de la posición correspondiente. Es la más sencilla de las herramientas cinemáticas. Tiene la capacidad de organizar espacial y temporalmente toda la información de la que se dispone incluso de los datos que se buscan. Tiene la virtud de ordenar y nombrar todo lo que interviene en un problema, tanto dato como incógnita. Lo que está en el esquema no se pierde. Un esquema bien hecho y completo es garantía casi absoluta de que el ejercicio estará bien resuelto. Vamos a hacerlo paso a paso. Te propongo hacerlo para un problema muy bonito que figuraba en la guía vieja de Física. Era el 3.6. Leé atentamente el enunciado.

3.6 Un trineo parte del reposo por una rampa inclinada, con aceleración constante. Pasa por el primer puesto de control con una velocidad de 5 m/s, y por el segundo puesto con una velocidad de 15 m/s. Si ambos puestos están distanciados 60 metros, calcular la aceleración que experimenta, la distancia del punto de partida al primer puesto, y el tiempo transcurrido desde que partió hasta que pasó por el segundo puesto.

Lo primero que hacemos es dibujar la trayectoria. Luego detectamos los puntos relevantes, o sea aquellos que son mencionados en el enunciado, y les ponemos un nombre: O, 1, 2, 3... o A, B, C... El que vos quieras. Pero ponele un nombre arbitrario y sencillo. Podés agregarle al dibujo todos los chiches que gustes y que te ayuden a representarte el movimiento: los puestos, el trineo...

www.full-ebook.com

| 9 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

De cada punto marcado y al que le pusimos nombre se descuelga una ventana automática. Siempre la misma ventana: t, x, v, a, con su subíndice, por supuesto. Supongamos que el punto M me interesa, entonces inevitablemente voy a tener que hablar de tM, xM, vM y aM. Así siempre. Es una ventana automática. Fijate que en los puntos 1 y 2 no puse aceleración: ¿es que no hay aceleración ahí? No, es que la aceleración vale lo mismo en todo el recorrido (lo dice el enunciado), entonces no vale la pena ni ponerle subíndice ni consignarlo más de una vez.

NOTA:

Tomá, te hice un resumen: Pasos para confeccionar un esquema: 1) Dibujar la trayectoria. 2) Indicar sobre la trayectoria todos los sucesos mencionados en el enunciado. 3) Ponerle un nombre “N” a cada suceso. 4) Descolgar la ventana tN , xN , vN y aN para cada suceso. 5) llenar la ventana con todo lo que puedas: datos, decisiones... 6) contrastar lo que dice el enunciado con lo que dibujaste y ver si es lo mismo.

Por último llenás cada ventana (cada globito) con todos los datos que consigas, y con las decisiones que vos tomes, como -generalmente- el cero de los tiempos. Todo lo que dice el enunciado termina volcado al esquema. Si hay algo que dice el enunciado y no está en el esquema... es para sospechar. A los datos que ignores, o sea, las incógnitas, poneles un signo de interrogación. Pero ya tienen nombre, lo cual no es poco. El esquema es la mejor herramienta para contrastar la interpretación del enunciado con el enunciado en sí mismo, una especie de ejercicio de interpretación de textos.

Los gráficos Son una herramienta cinemática utilísima; nunca dejes de hacerlos con cada ejercicio que resuelvas. Puede ser antes o después, no importa. Ayudan a entender el enunciado, ayudan a resolver el problema. Son herramientas tan claras y didácticas que hoy todo el mundo explica sus cosas con gráficos. En cinemática tratá de hacerlos siempre de esta forma: de a tres, posición en función del tiempo, velocidad en función del tiempo y aceleración en función del tiempo. En el orden en que los escribí, encolumnados, y con la misma escala de tiempo. Te lo muestro con este ejemplo que saqué del problema 3.5 Fijate, el orden es éste: 1ro.- posición - tiempo 2do.- velocidad - tiempo 3ro.- aceleración - tiempo

| 10 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Este orden no es arbitrario, tiene su lógica (ya te vas a enterar cuando seas más grande, pero te adelanto que tiene que ver con la derivación). El hecho de que estén encolumnados y con la misma escala de tiempo te ofrece información simultánea en un solo golpe de vista, y te permite pensar cosas interesantes. Por ejemplo fijate la curva de posición, la de arriba: el único momento en que la curva no tiene inclinación es en el instante inicial; justo ahí el segundo gráfico te dice que la velocidad es cero. A veces sombreamos algunas áreas. Los gráficos suelen albergar mucha más información que la que muestran en primera instancia. Los gráficos no necesariamente deben ser cuantitativos, o sea, no necesariamente deben contener escalas proporcionales ni contener los números que aparecen en los problemas. Es más importante que aprendas a interpretarlos y confeccionarlos en forma cualitativa, “a mano alzada”. Sin embargo, cuando cuentes con algún dato, indicalo por su nombre o por su valor. En este último caso, no te olvides de consignar en qué unidades estás considerando esos valores.

Movimiento rectilíneo uniforme, MRU Se trata del tipo de movimiento más sencillo que se pueda imaginar. Ideal para aprender a hacer cinemática. Su nombre lo caracteriza: la palabra rectilíneo indica que la trayectoria coincide con una recta; y la palabra uniforme que la velocidad,v, del móvil es constante. Por velocidad debés entender lo que siempre entendiste por velocidad (te lo pongo así porque -aunque no lo creas- el concepto de velocidad no es muy sencillo de definir matemáticamente... pero confío en que no hace falta: vos sabés a qué nos estamos refiriendo). Mirá el esquema: Un móvil animado con un MRU avanza distancias iguales en tiempos iguales. Un gráfico posición-tiempo típico de un MRU es el siguiente: Cualquier recta oblicua bien puede representar un MRU. Si la inclinación es como ésta la llamamos ascendente o creciente y decimos que se trata de un movimiento de avance. Si la recta se inclina hacia

www.full-ebook.com

| 11 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

abajo decimos que es descendente o decreciente y representa un movimiento de retroceso. Si la recta fuese horizontal representaría un móvil que no cambia la posición, está detenido o en reposo. Aunque parezca ridículo también lo incluimos dentro de los MRU. La orientación prohibida es la vertical: indicaría que el móvil se encuentra en infinitas posiciones en un mismo instante... imposible. Fijate que la recta no necesariamente debe pasar por la posición x = 0 en el instante t = 0. Inventemos un ejempo, cuyos datos voy a volcar es esta Tabla de Valores: x (m)

en matemática se le dice curva a cualquier gráfica... aún si se trata de una recta

t (s)

0

9

–12

15

18

0

12

3

24

–3

Para inventar el ejemplo procedí de esta manera: hice un gráfico de un MRU sobre una cuadrícula procurando que coincidiera con varios vértices. Después inventé una escala arbitraria y listo. Si representamos los puntos en un gráfico aparece el que tenemos ahí abajo. Tratá de agregar vos tres o cuatro pares t–x simplemente con observar el gráfico. Tal vez te diste cuenta que los pares que yo volqué en la tabla no tienen ningún orden preestablecido... La tabla de valores en una estantería para almacenar información relevante, pero en poca cantidad, para que sea fácil de buscar. Ahora viene lo más saliente del MRU: si tomamos cualquier desplazamiento y lo dividimos por el intervalo de tiempo correspondiente a ese desplazamiento, siempre nos va a dar el mismo número; ese cociente es constante (independiente de los pares que elijas para considerar el desplazamiento y el intervalo)... y es la velocidad media, vm, (que en el MRU-y sólo en el MRU- concuerda con la velocidad propiamente dicha.

Velocidad media igual desplazamiento sobre intervalo de tiempo correspondiente. Los subíndices sirven para remarcar esa correspondencia. | 12 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

De la tabla de valores elijamos al azar dos pares cualesquiera y armemos el cociente. Por ejemplo el segundo y el tercer renglón de la tabla. vm = Si lo hubiésemos armado al revés daba lo mismo: vm Lo importante es que respetes la correspondencia entre cada posición y su instante. Probá vos con cualquier otro par de pares sacados de la tabla y vas a ver que el cociente da siempre lo mismo. En el MRU -y sólo en él- no hace falta recordar que se trata de la velocidad media y lo vamos a llamar directamente velocidad, v. La herramienta cinemática que describe con mayor precisión y generosidad los movimientos es la ecuación horaria. En los MRU tiene siempre esta pinta: x = xo + v ( t – to ) x y t en negro son las variables. Si no aparecen, fuiste; no hay ecuación horaria. El resto, en gris: xo ,v y to , son constantes, o sea números. Con suerte te dan el valor de esas constantes. Si no te los dan, tal vez los puedas encontrar o quizás los puedas decidir vos. ¡Pero no son variables, son constantes! Es decir, una vez que te los dan, o que los encontrás, o que los decidís, ya está, son constantes, no cambian, valen siempre lo mismo... cómo querés que te lo diga... En nuestro ejemplo de más arriba la velocidad era v = – 2 m/s, y podríamos tomar como xo y to los que figuran en el cuarto renglón de la tabla ya que el único requisito que deben tener xo y to son: corresponderse entre sí y ser pertenecer al movimiento. Nuestra ecuación quedaría así: x = 12 m – 2

(t –3s)

eso es una ecuación horaria, no cabe duda, porque contiene x y contiene t. Además te puedo asegurar que xo = 12 m, v = – 2 m/s y to = 3 s. También podríamos haberla armado eligiendo el quinto renglón de la tabla: x = 24 m – 2

(t +3s)

www.full-ebook.com

| 13 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Chismes importantes:

• La velocidad propiamente dicha, llamada

velocidad real, (a veces también velocidad lineal o velocidad tangencial) no es un concepto sencillo de definir matemáticamente. Hay que hacer uso de herramientas matemáticas sofisticadas como el límite, o la derivada. Por suerte en el MRU no hace falta, porque coincide plenamente con el concepto de velocidad media, que matemáticamente es una pavada. • ¿Por qué el modelo de ecuación horaria del MRU tiene la forma que tiene? Sencillamente, si la gráfica de un MRU es una recta oblicua, entonces la función matemática que describe ese movimiento no puede ser otra que la función de una recta... y eso es justamente lo que es. • La inclinación de la recta (a los físicos les gusta llamarla pendiente) nos informa sobre la rapidez del movimiento: cuanto más inclinada más rápido es el movimiento; cuanto menos inclinada más lento es.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• ¿Se podrá demostrar que las dos ecuaciones que escribí en este apunte son la misma? Entonces... será que cada movimiento tiene una y solo una ecuación horaria que lo describe... pero esa ecuación horaria se puede escribir de infinitas formas diferentes? • ¿Qué movimientos de la naturaleza conocés, que sean MRU?

Si a cualquiera de las dos ecuaciones (que en realidad son la misma) le hacemos la misma pregunta, nos darán la misma respuesta. Por ejemplo; dónde se hallaría el móvil en el instante t6 = 5 s... En cualquiera de las dos, donde dice t escribimos 5 s, luego hacemos la cuentita, y del otro lado del igual aparece x6 = 8 m. Los agregué en el último renglón de la tabla. x (m)

t (s)

0

9

–12

15

18

0

12

3

24

–3

8

5

Fijate que siempre se puede distinguir qué es una constante y qué es una variable por la presencia de subíndice. t6 vale 5 s. Le puse 6 al subíndice porque había que ponerle un nombre, sólo por eso; se me ocurrió 6, pero se me podría haber ocurrido 10, A, Q... pero elegí 6. Luego x6 es la posición que se corresponde con ese instante. En cambio t es el símbolo de un conjunto infinito, representa a cualquier instante de tiempo, puede representar a to , t6 , tA , el minuto 34 o la hora 78. Una ecuación horaria es una expresión capaz de decirte en qué posición se encuentra un móvil en cualquier instante de tiempo. Es un almacén de información cinemática, guarda infinitos pares de información posición-tiempo. Si de un movimiento cualquiera, vos conocés la ecuación horaria, ya está, ese movimiento no tiene más secretos para vos.

Movimiento rectilíneo uniformemente variado, MRUV Se trata de un tipo de movimiento muy característico, que además de sencillo, aparece bastante seguido en la naturaleza. Su nombre lo caracteriza: la palabra rectilíneo indica que la trayectoria coincide con una recta; y la palabra variadoalude a la velocidad, que ya no es constante... pero que varía uniformemente . Ojo: la velocidad -ahora variable- ya no se puede homologar a la velocidad media. Mirá el esquema: en tiempos iguales, aumentos iguales de velocidad.

| 14 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Los desplazamientos ya no son iguales, dado que a mayor velocidad, tendremos mayores desplazamientos.

v

La flecha de abajo del ciclista representa la velocidad. Un gráfico velocidad-tiempo típico de un MRUV podría ser el siguiente: Una recta oblicua bien puede representar un MRUV. Si la inclinación es como ésta la llamamos ascendente o creciente y decimos que se trata de un movimiento de aumento de velocidad; y a la inversa: descendente o decreciente, que se corresponde con disminuciones de la velocidad. Pero la inclinación nada nos informa sobre si el móvil avanza o retrocede.

t

Para saber si el móvil avanza o retrocede hay que prestar atención al signo de la velocidad (o sea, gráficamente: si está arriba o abajo del eje de los tiempos). Si la recta fuese horizontal representaría un móvil que no cambia la velocidad, y en ese caso se trataría de un MRU. Aunque parezca ridículo también lo incluimos dentro de los MRUV. La orientación prohibida es la vertical: indicaría que el móvil posee infinitas velocidades en un mismo instante. Fijate que la recta no necesariamente pasa por la posición v = 0 en el instante t = 0. Como ves, la velocidad se comporta en el MRUV como la posición en el MRU. Seguro que hay una ecuación horaria (la llamamos segunda ecuación horaria) que describe cómo varía la velocidad a través del tiempo: v = vo + a ( t – to ) v y t, en negro, son las variables. Si no aparecen, fuiste; no hay ecuación horaria. El resto, en gris: vo ,a y to , son constantes, o sea números. vo y to son una velocidad cualquiera que el móvil tenga y el instante en que la haya tenido (o sea, se corresponden entre sí). Y a es la magnitud que describe el cambio de velocidad y se llama aceleración. Justamente, la característica fundamental del MRUV es a = cte. Gracias a eso, podemos calcularla como una aceleración media, am.

Lógicamente, el plato fuerte del MRUV es su primera ecuación horaria, que describe cuál es la posición del móvil en cualquier instante de tiempo. Es ésta: x = xo + vo ( t – to ) +

las unidades de la aceleración son m/s² o cualquier otra unidad de longitud sobre cualquier unidad de tiempo al cuadrado

a . ( t – to )²

www.full-ebook.com

| 15 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

x y t, en negro, son las variables. Si no aparecen, fuiste, no hay ecuación horaria. El resto: xo , vo , a y to , son constantes, o sea números (con unidades). Con suerte te dan el valor de esas constantes. Si no te los dan, tal vez los puedas encontrar, o quizás los puedas decidir vos. ¡Pero no son variables, son constantes! Es decir, una vez que te los dan, o que los encontrás, o que los decidís, ya está, son constantes, no cambian, valen siempre lo mismo... cómo querés que te lo diga... Te voy a presentar un ejemplo. Supongamos un MURV en el que xo = 10 m , vo = 2

,a=–2

y to = 4 s

Sus ecuaciones horarias serían las siguientes: 10

x (m)

x = 10 m + 2 t (s)

2

4

6

8

-20

v (m/s)

5

t (s) 2

4

8

a (m/s2)

-2

habrás notado que 4s no era el inicio del movimiento... ni tampoco lo era 0s | 16 |

.(t–4s)

Vos podrías agregarles más preguntas a esas ecuaciones... por ejemplo para instantes impares.

-30

-5

–2

. ( t – 4 s )²

Le voy a ir dando valores a t y obteniendo las posiciones y velocidades correspondientes a esos instantes. Y los voy volcando en la tabla. Por ejemplo donde dice t (en gris) escribo –2 s, y hago la cuentita. La de posición me da – 38 m, (tuve que escribir –2 s dos veces) y la de velocidad 14 m/s. Y así.

-10

15

v=2

.(t–4s)–1

t (s)

x (m)

v (m/s)

–2

–38

14

0

–14

10

2

2

6

4

10

2

6

10

–2

8

2

–6

También voy volcando los valores encontrados a sendos gráficos posición-tiempo y velocidad-tiempo. Los puntos volcados en la gráfica de posición parecen encajar bastante bien en una curva conocida con el nombre de parábola. Efectivamente, la gráfica de una ecuación cuadrática -como la primera ecuación horaria- se representa con una parábola. Toda parábola tiene un eje de simetría vertical que pasa por su vértice. En ese punto la inclinación de la parábola es nula: no va para arriba ni para abajo, está horizontal. Eso concuerda perfectamente

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

con la idea de velocidad que nos daba la inclinación -pendiente- de la curva. Veamos cómo coincide esta información de la rapidez dada por la inclinación, con la información de velocidad que nos brinda el gráfico de velocidades. La velocidad del móvil parece hacerse nula en el instante 5 s, el mismo instante en que tenemos el vértice de la parábola. Ahora prestale atención a los instantes 0 s y 2 s. La velocidad disminuye (pasa de 10 a 6 m/s) y el móvil avanza (cada vez más lento) desde – 14 hasta 2 m. Y ahora prestale atención a los instantes 6 s y 8 s. La velocidad disminuye (pasa de – 2 a –6 m/s... aumenta la rapidez, pero disminuye la velocidad) y el móvil retrocede (cada vez más rápido) desde 10 hasta 2 m. Vayamos resumiendo: Si la aceleración es positiva la velocidad (no la rapidez) aumentará siempre y en forma constante. La gráfica de posición será una parábola de concavidad positiva (sonriente). Si la aceleración es negativa (como en nuestro ejemplo) la velocidad (no la rapidez) disminuirá siempre y en forma constante. La gráfica de posición será una parábola de concavidad negativa (triste).

CHISMES IMPORTANTES:

• Para hallar el modelo de ecuación horaria

(1ra.) del MRUV es necesario hacer uso del concepto de integración, del análisis matemático. Sin embargo suelen encontrarse en los libros de texto del secundario desarrollos de tipo geométrico que pueden llegar a conformarte. • Leete esta perla: “Podemos, en consecuencia, admitir la siguiente definición del movimiento el cual hemos de tratar: llamo movimiento igualmente, o lo que es lo mismo, uniformemente acelerado a aquel que, partiendo del reposo, adquiere en tiempos iguales iguales incrementos de velocidad”. Galileo Galilei, Dos nuevas ciencias.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

¿Puede un cuerpo arrancar desde el reposo e ir cada vez más rápido con una aceleración negativa? (Ojo, que la respuesta es SI).

Movimientos libres - El signo de g

Si elegimos un SR positivo hacia abajo... g = + 10

g = +10 sm2

Si elegimos un SR positivo hacia arriba... g = – 10

y

s

El signo de g depende exclusivamente del sistema de referencia (SR) y NO de si el móvil sube o baja.

g = -10 m2

Una de las consecuencias más resistidas sobre los movimientos libres es la cuestión del signo de g. Es comprensible, porque todo el mundo piensa que si un cuerpo sube libremente debe tener una aceleración distinta que cuando baja libremente. Sin embargo el signo de g depende exclusivamente del Sistema de Referencia (SR), y para nada de lo que haga el móvil.

y

El motivo es bien sencillo: la aceleración de los cuerpos libres, g, siempre apunta hacia abajo... haga lo que haga el cuerpo. Luego en

www.full-ebook.com

| 17 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

0 m/s

6 m/s

-6 m/s

10 m/s

-10 m/s

g

un SR que apunte hacia arriba deben tener signos opuestos, y en un SR que apunte hacia abajo el mismo signo que g. -2 m/s

2 m/s

y

rapidez es el módulo de la velocidad (la cantidad sola, sin el signo)

Pensá en un cuerpo que arrojás hacia arriba con toda tu fuerza y el cuerpo regresa a tu mano despues de un rato. Una experiencia sencilla. Te consta que al salir de tu mano lo hace muuuy rápido, despues se va deteniendo, llega un momento en que se detiene por completo (justo ahí deja de subir y empieza a bajar) y luego emprende el camino de regreso... primero lentamente después cada vez más rápido. Hasta aquí vamos bien? Bueno, para más datos: llega a tu mano con la misma rapidez que la que partió. Bueno, ahora vamos a asignarle velocidades (estimadas, inventadas) para 7 momentos diferentes (los puntos negros): apenas sale, ya alcanzó 1 m de altura, ya está a 2 m de altura, alcanzó la altura máxima, vuelve a pasar por los 2 m , ahora esta de vuelta a 1 m y por último llega de nuevo a tu mano. Si las velocidades las asigno con un SR que apunta hacia arriba, podrían ser (no te olvides que son velocidades estimadas)... 10, 6, 2, 0, –2, –6, –10... (en las unidades correspondientes). Fijate algunas cosas: a iguales alturas igual rapidez (módulo de la velocidad). Y lo más importante: con un SR que apunta hacia arriba las velocidades de bajada (a la derecha) son negativas (movimiento de retroceso).

-2 m/s

2 m/s

-6 m/s

6 m/s

0 m/s

g

Pero como estoy seguro que seguís sin creerme, vamos a poner un ejemplo sencillo, que podamos discutir juntos.

Fijate que la VELOCIDAD (no la rapidez) siempre disminuye (–10 es más chico que –6). Luego la aceleración debe ser SIEMPRE negativa. Ahora volvemos a inventar velocidades pero evaluadas desde un SR que apunta hacia abajo. Acá la aceleración de la gravedad debe ser positiva, de modo que debemos encontrar que la velocidad siempre aumenta. Veamos. Las velocidades iniciales, de subida, deben ser negativas (flechas de la izquierda) ya que representan un retroceso para ese SR. Y las velocidades de bajada (a la derecha) deben ser positivas (avance según nuestro SR).

| 18 |

10 m/s

y

-10 m/s

Podrían ser: –10, –6, –2, 0, 2, 6, 10 (con las unidades correspondientes). Y ahora, fijate: la VELOCIDAD (no la rapidez) SIEMPRE aumenta... luego la aceleracion debe ser siempre positiva. No importa si el cuerpo sube o baja... la velocidad aumenta en todo momento.

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

y

y

t

t

v

v t

a (m/s2)

t

-10

t

a (m/s2) 10

t

Por último, fijate cómo tendríamos que graficar EL MISMO MOVIMIENTO ) de nuestro ejemplo (un tiro vertical) con dos SR diferentes: apuntando hacia arriba (izquierda) y apuntando hacia abajo (derecha). Bueno... más no puedo hacer.

Movimiento relativo Explicación breve y definición de la nomenclatura que usa No me salen En todo problema de MOVIMIENTO RELATIVO (MR) tenés que identificar tres personajes: uno de ellos es un observador “fijo”. Le puse comillas porque nada está fijo en este universo... o te olvidaste de que la Tierra está en movimiento. Pero podemos ignorar esa cuestión y hacer de cuenta de que estamos en el siglo V y suponemos que la Tierra está quieta y sostenida por tortugas, y entonces los problemas de MR salen con fritas.

CHISMES IMPORTANTES:

La aceleración de caída de los cuerpos sobre la superficie terrestre depende la de altura a la que estén cayendo. Es mayor cuanto más cerca de la superficie (del nivel del mar) se encuentran. De todos modos varía muy poco. El valor más aproximado para el nivel del mar sobre las latitudes centrales es 9,81 m/s², pero en casi todo No me salen, se redondea a 10 m/s².

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

Un cuerpo apoyado sobre una mesa... ¿está sometido a la aceleración de la gravedad?

El segundo personaje de estas historias (que son siempre la misma) es un espacio, un lugar, un medio, que se mueve con velocidad constante en la Tierra. Este espacio tiene la particularidad de permitir movimientos adentro suyo. Ejemplos típicos son: a) un río, que se mueve respecto de la Tierra y permite que adentro barcos, lanchas y nadadores hagan la suya; b) el aire, que al moverse se llama viento y permite que aves, aviones y superhéroes vuelen a su aire (valga la redundancia); c) un tren, que se mueve en las vías y permite que el cocacolero lo recorra de una punta a la otra vendiendo gaseosas.

www.full-ebook.com

| 19 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Es conveniente (sobre todo para vos) que este espacio móvil lleve adentro un sujeto quieto; por ejemplo: si es un río, un tipo en una balsa; si es el aire, un fulano en un globo aerostático; si es un tren, una mina sentada. Fijate que en los tres ejemplos este observador “quieto” tiene la misma velocidad que el espacio móvil que lo contiene: a este lo suelen llamar el observador móvil, se entiende por qué. Es el personaje hecho persona. El tercer personaje de estas historias es el móvil propiamente dicho, aquel cuya posición o velocidad en el tiempo queremos describir. En nuestros ejemplos podría ser un avión, una lancha, un cocacolero, o lo que sea. La relación entre los tres personajes es muy sencilla: la velocidad del móvil -tal como la puede medir el observador atornillado a la Tierra- (VMT), es igual a la suma de la velocidad propia del móvil (tal como la observa el sujeto que va subido al espacio que se mueve, o sea, el observador móvil), (VMR), más la velocidad del espacio móvil -elrío, por ejemplo- (VRT). En muchos libros a esta velocidad la llaman velocidad de arrastre. VMT = VMR + VRT Esta relación es francamente trivial, obvia, tonta, estúpida... Te invento un ejemplo: Un tren se mueve a 60 km/h y en el mismo sentido en el que avanza el tren camina un cocacolero vendiendo cocas. El paso del cocacolero es de 2 km/h, según observa una señorita que está sentada en el tren pero que no toma gaseosas (por la dieta). Vos estás subido a un árbol y ves pasar al tren. Como tenés muy buen ojo estimás velocidades con una precisión increíble. No te cabe ninguna duda de que el tren avanza a 60 km/h. También ves avanzar al cocacolero a través de las ventanillas... y le medís la velocidad... ¿cuánto le das? ¡62 km/h!, ¡obvio!, ¿viste qué difícil? 62

=2

+ 60

Te desafío: suponete que ves al cocacolero pero caminando hacia el furgón del tren, para atriqui, ¿cuánto medís ahora? Obvio... 58. ¡Chau, loco, qué difícil que es la física! Mirá, en todos los problemas de MR están estos tres mismos personajes relacionados de la misma manera. El único problema es que se cambian de ropa, de traje, de disfraz, y vos tenés que descubrir quién es quién. Hay otra dificultad adicional (no para vos, claro) y es que la relación entre velocidades no sólo vale para movimientos unidireccionales | 20 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

sino para cualquier tipo de velocidades. O sea, se trata de una relación vectorial, y para escribirla correctamente hay que ponerle las flechitas que te indican que se trata de vectores. VMT = VMR + VRT Cuando te enfrentes con un problema de MR en el que las velocidades implicadas no son unidireccionales tenés básicamente dos formas de resolverlo. Una es gráficamente, representando la suma vectorial y fijándote si tenés suficientes datos para resolver las incógnitas. Y la otra es analítica, operando algebraicamente la suma vectorial; para eso vas a tener que descomponer cada uno de los tres vectores implicados en dos direcciones, según un SR que vos elijas. Luego la relación vectorial se transforma en estas dos, que son numéricas, y que podés plantear y resolver. En x

VMTx = VMRx + VRTx

En y

VMTy = VMRy + VRTy

Reitero, en esas ecuaciones ya estás trabajando con escalares, pero ojo con los signos de esos números, que dependerán del sentido positivo de cada eje. Acordate que para sumar gráficamente dos vectores tenés que dibujar uno a continuación del otro, y no importa el orden. El vector suma será aquel que tenga inicio en el inicio del par, y extremo en el extremo del par. El orden de la suma no importa, fijate que el resultado es el mismo. En No me salen voy a usar siempre el mismo orden para que no te confundas, vMT y además te podés generar una regla mnemotécnica: MT=MR+RT (R se mete en el medio, como en un sandwich).

CHISMES IMPORTANTES:

• La ley de suma de velocidades del movimiento relativo es otra de las proezas de Galileo Galilei. Y aunque te parezca una pavada resume una cuestión que se halla en los cimientos de una revolución del conocimiento. En época de Galileo todavía se discutía si la Tierra estaba quieta o no. Si se movía (o sea si tenía una velocidad no nula) esa velocidad debía sumarse automáticamente a la velocidad de cualquier móvil que anduviese sobre ella. De no ser así, la Física habría estado en serios problemas. Pero, como casi siempre, Galileo tenía razón, y la Iglesia Católica no. • La Ley de suma de velocidades se aparta de la verdad cuando la suma se acerca al valor de la velocidad de la luz. Más se aparta cuanto más se acerca.

vRT

vMR

vMT vMT

vMR

vRT vM R

Bueno, en No me salen vas a encontrar esta nomenclatura. Decidí elegir estas letras por lo siguiente: M por móvil, T por Tierra y R por río, que es un buen representante de un espacio móvil. Que te aproveche.

vRT

vMT

vRT

vM R

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

En época de Einstein todas las analogías se montaban sobre trenes en movimiento... ¿Qué bicho móvil usaba Galileo?

Movimiento circular uniforme Un movimiento es circular cuando la trayectoria coincide con una circunferencia o una parte (un arco) de una circuferencia. Y es uniforme si el módulo de la velocidad se mantiene constante (está claro que la dirección debe cambiar necesariamente).

www.full-ebook.com

| 21 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Como los desplazamientos son curvilíneos (circunferencias o arcos de circunferencia) suelen denominarse arco recorrido, y denominarse ΔS, en lugar de ΔX o ΔY. Luego, la velocidad real (que en este capítulo llamaremos habitualmente velocidad tangencial) será:

La diferencia fundamental entre arco recorrido y desplazamiento es que ΔS se mide sobre la curva. Por ejemplo si un movil recorre una circunferencia completa (ni más ni menos) el desplazamiento ΔS es igual a 6,28 veces, más o menos, el radio de esa circunferencia, y no 0, como hubiésemos respondido con el concepto de desplazamiento utilizado antes. La variación de ángulo (en la jerga: ángulo barrido), se simboliza ΔΘ. Y la velocidad angular, ω:

físicamente los ángulos son adimensionales por eso, para medirlos, se utiliza el sistema radián que asocia a cada ángulo un número real

Una de las relaciones fundamentales es la que vincula estas dos velocidades: v=ω.R donde R es el radio de la circunferencia por la que está transitando el móvil. Período, T, es el intervalo de tiempo necesario para completar una circunferencia entera, pegar una vuelta completa, una revolución exacta (mirá cuántos sinónimos para decir lo mismo), un giro, 360 grados... Se mide en cualquier unidad de tiempo; para hacer el cálculo tratá de elegir siempre segundos. Frecuencia, ƒ, (algunos textos usan la letra griega nu, ν) es la cantidad de giros, o vueltas, o... que el móvil da por unidad de tiempo. Si la unidad de tiempo es el segundo (la más usada), la unidad de frecuencia es el s–1 o lo que es lo mismo, el Hz (Hertz).

como los ángulos se expresan sin unidad, las unidades de la velocidad angular serán:

Entre período y frecuencia existe una relación obvia: uno es el inverso del otro.

[ω]=1/s [ω]= s–1 o con la inversa de cualquier otra unidad de tiempo | 22 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Sistema radián para medición de ángulos Como los ángulos son adimensionales requieren un sistema numérico que permita operar con ellos. Ese es el sistema radián que asigna a cada ángulo un número. El número pi, π, 3,14... se corresponde con el ángulo de 180 grados. Haciendo una regla de tres simple (la regla del almacenero) vos podés saber qué número (radián) le toca a cada ángulo (sexagesimal). Por ejemplo 360º = 2π = 6,28... Así surgen algunas relaciones interesantes... ω = 2π . ƒ = Por último aparece la aceleración centrípeta, ac, que tiene varias expresiones equivalentes:

ac v

CHISMES IMPORTANTES:

• Cuando a una persona normal se le pregunta cuánto vale el período de rotación de la Tierra sobre su propio eje, responde 24 horas. Me intriga sobremanera por qué no responden 1 día, que es más sencillo y directo. • Cuando a una persona normal se le pregunta cuánto vale el período de rotación de la Tierra al rededor del Sol responde 365 días. Me intriga sobremanera por qué no responden 1 año, que es más sencillo y directo. Somos complicados los humanos...

R



Y hay otras más, pero buscalas vos. Que te aproveche.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

¿Cuál se mueve más rápido de los caballitos de la calesita, el que va por adentro o el que va por afuera y me saco la sortija?

Vectores Existen algunas magnitudes (de sumo interés para la Física) de las que que no basta decir cuánto valen, también importa saber hacia dónde apuntan. Ese tipo de magnitudes se llaman magnitudes vectoriales. Magnitudes vectoriales típicas son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, y muchas otras. Las que no son vectoriales se llaman escalares; por ejemplo, el volumen, la masa, la guita... fijate que alcanza un número (y una unidad) para indicar la magnitud. Si decimos esta botella tiene un volumen de 750 cc, no tiene gollete preguntar 750 cc hacia dónde. Para representar esas magnitudes se inventaron unos instrumentos matemáticos llamados vectores. Son flechitas cuya longitud indica la cantidad y su dirección y sentido, indica la dirección y el sentido de la magnitud que representan.

www.full-ebook.com

Magnitudes vectoriales:

• posición • velocidad • aceleración • fuerza • impulso

| 23 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Las magnitudes vectoriales se pueden sumar y restar y multiplicar, pero estas operaciones son diferentes a las que conocemos para los números, y en algunos casos un poquito más elaborados. Vamos de a una.

Elementos de un vector Magnitudes escalares:

• masa • volumen • densidad • energía • trabajo • presión

Los elementos o características de los vectores son: módulo, dirección y sentido (y en algunos casos punto de aplicación). El módulo (muchas veces también llamado intensidad) es la parte cuantitativa de la magnitud, cuánto vale. Se trata de un número positivo y una unidad. Por ejemplo un vector velocidad puede tener un módulo de 6 m/s. La dirección y el sentido es lo que indica hacia dónde apunta. Nosotros distinguimos dos sentidos para cada dirección

Suma de vectores, resultante F1 F2

Res

Para no hacerlo tan árido voy a presentar las operaciones ejemplificadas. Voy a trabajar con vectores que representan fuerzas, operación que posee un potencial intuitivo que podemos aprovechar. Acá va: Si dos personas hacen fuerza en la misma dirección y sentido, sus fuerzas se suman. Los vectores que representan sus fuerzas también se suman y el resultado de esa suma se denomina Resultante, Res. En este caso, la resultante tiene la misma dirección y sentido que las fuerzas originales y su módulo es igual a la suma de ellos.

F1 F2

Res

| 24 |

Por ejemplo, si el grande empuja con una fuerza de 15 kgf y el chico con una fuerza de 8 kgf, la cosa funciona como si hubiese una sola persona empujando con una fuerza de 23 kgf . (23 = 15 + 8) Si dos personas hacen fuerzas en la misma dirección pero con sentidos opuestos la resultante tendrá la misma dirección de ambas, el sentido de la más grande (módulo mayor) y su módulo será igual a la resta entre los módulos

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Fijate que la operación sigue llamándose suma. Y la resultante se sigue llamando sumatoria (no digas nunca restatoria porque se van a reír mucho de vos). Por ejemplo, si el grande empuja con una fuerza de 15 kgf y el chico resiste con una fuerza de 8 kgf, la cosa funciona como si hubiese una sola persona empujando con una fuerza de 7 kgf . (7 = 15 – 8). Imaginate que dos personas tiran de una caja con sogas. Ambos tirarn con fuerzas de distinta intensidad, y también, con distinatas direcciones.

F2

F1

La caja reacciona como si una sola soga estuviera tirando de ella, es la fuerza resultante, que tendrá una dirección intermedia y un módulo que se puede obtener gráfica o analíticamente... y hay que aprender ambas modalidades. Pero voy a destacar que la suma de vectores, salvo en los casos unidireccionales que te comenté arriba, no ocurre alegremente como si de números se tratara. Por ejemplo en nuestro caso el tipito rojo puede estar haciendo una fuerza de F1 = 15 kgf (la gris oscuro), el otro una de F2= 8 kgf (la gris claro), y la resultante, o sea, la suma de ambas (que representé en negro) puede valer, digamos, 19 kgf , dependiendo del ángulo que forman F1 con F2.

Res

Las operaciones con vectores (suma, resta y multiplicación) son necesarias para este curso. Al conjunto de operaciones se lo llama álgebra vectorial. En la página siguiente vas a encontrar el álgebra vectorial necesaria para este curso de física.

Vectores y versores Multiplicación por un número Los vectores pueden multiplicarse por un número (real) cualquiera. Por ejemplo, si tenemos un vector V y lo multiplicamos por 3, el resultado es un nuevo vector que tiene la misma dirección y el mismo sentido que V, y un módulo 3 veces mayor.

Los símbolos para los vectores contienen una flecha arriba de la letra.

De modo que multiplicar por un número es una operación que sólo afecta al módulo de los vectores. En muchos libros de texto a esta operación se la llama producto por un escalar (pero no lo confundas con producto escalar, que es otra cosa).

www.full-ebook.com

V

x3

U

| 25 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

La operación la escribiríamos así (usando símbolos correctos para los vectores, es decir, con flechita arriba):

El número por el que se multiplica no necesariamente debe ser entero. Por ejemplo:

El número por el que se multiplica un vector puede ser negatiivo. En ese caso además de alterar el módulo, invierte el sentido.

V

x -3

W

El signo menos del escalar cambia el sentido original del vector de partida de la operación. Simbólicamente:

Esta operación permite expresar cualquier vector en función de otro. En particular, de otro vector cuyo módulo vale uno y sólo por eso recibe el nombre de versor.

A û

Los versores son vectores cuyo módulo (o intensidad) vale 1. Los versores suelen indicarse con un sombrerito o con un bonete, en lugar de una flechita... pero no dejan de ser vectores como cualquier otro. Así, si yo tengo un vector cualquiera, por ejemplo el vector A, me busco un versor que tenga su misma dirección y lo multiplico por su módulo. Por ejemplo, si el módulo de A vale 5...

Se trata de un método práctico para construir vectores: partiendo de un versor que tenga la dirección y sentido necesario, se lo multiplica por un número y se obtiene el vector que uno quiera. El versor, principalmente, contagia el carácter vectorial a un número. Esa es la idea.

Suma de vectores, método gráfico Para sumar gráficamente dos vectores hay dos métodos que, en el fondo, son el mismo método. El primero se llama método del paralelogramo.

| 26 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Consiste en colocar los dos vectores que se desean sumar en un mismo origen, luego construir un paralelogramo (un cuadrilátero que posee sus lados no consecutivos paralelos) tomando como lados los dos vectores.

B A

El vector suma es aquel que tiene origen en el mismo origen de los vectores que se suman y extremo en el vértice opuesto del paralelogramo. Coincide así, con una de las diagonales del paralelogramo.

S

B A

A+B=S La otra diagonal se corresponde con la resta de los vectores. La resta no es conmutativa, con los vectores tampoco:

R1 B

R2

B A

B – A = R1

A

A – B = R2 S

El segundo método de sumar vectores se llama método de la poligonal y consiste en dibujar un vector a continuación de otro: Lo que tiene de bueno el método de la poligonal es que se puede iterar repetidas veces sin mucha dificultad para sumar un número grande de vectores. (Un poco más laborioso es el del paralelogramo.)

A

El vector suma, también suele llamarse resultante. La suma sí es conmutativa, y es fácil ver (miralo en el gráfico de suma por el método del paralelogramo) que A + B = B + A = S.

Descomposición de vectores

CHISMES IMPORTANTES:

Si te cuesta resolver la resta, podes probar convertirla en una suma, que es más fácil. Por ejemplo, no sabés cuál de los sentidos (R1 o R2) es el correcto para resolver la resta A – B. Entonces te puede resultar más sencillo resolver la suma A +(–B). ¿Te cierra ahora?

Para poder operar analíticamente con vectores (por ejemplo hacer sumas y restas) es apropiado previamente hacer una descomposición, en componentes paralelas a los ejes de un sistema de referencia. El mejor modo de explicar qué significa todo esto es mostrar cómo se hace, paso a paso. Aquí va: Supongamos que tenemos el vector A, que podría representar cualquier magnitud vectorial: una fuerza, una velocidad, una aceleración... Para descomponerlo necesitamos primero un sistema de referencia, x–y, que ya coloqué acá. Por el extremo de A trazo rectas paralelas a los ejes del SR.

www.full-ebook.com

B

B

En el ejemplo, el módulo de Ax vale 7 y el módulo de Ay vale 2.

y A 1 1

x | 27 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Cuando esas rectas cortan los ejes queda definido un punto (llamado coordenada) que es el extremo de los vectores componentes de A.

y A

Ay

1

Ax

1

x

En el ejemplo, el módulo de A resulta valer 7,28

Entonces quedan definidas las componentes de A, también llamadas proyecciones de A sobre los ejes del SR. La componente de A sobre el eje x suele recibir el nombre Ax. Y la componente sobre el eje y, Ay. Entre el vector original y sus componentes hay establecidas ciertas relaciones matemáticas, por ejemplo la relación pitagórica: Ax² + Ay² = A² Si te cabe duda de de dónde viene eso, prestale atención al triangulito sombreado:

y

Y también deberás admitir que: A

1

Ay

Ay α

1

Ax

x

En el ejemplo, el valor de α resulta 16°

Y lo más interesante que tienen las componentes es que (si recordás el asunto de la suma de vectores por el método de la poligonal o por el método del paralelogramo) la suma de las componente es igual al vector original. Ax + Ay = A

y

(¡Ojo! ¡esto que acabo de escribir es una suma vectorial!)

A Ĵ x

Î

Acá se ve qué importante sería contar con flechitas para colocar arriba de las letras...

El broche de oro. Si para cada eje hubiéramos definido previamente un versor, entonces podríamos expresar al vector A de esta manera:

Chismes importantes:

donde î y ĵ son los nombres habituales que reciben los versores de eje x e y respectivamente.

Si los los ejes del sistema de referencia no fuesen ortogonales (es decir: no formasen 90° entre sí) no habría inconveniente en hacer descomposiciones y luego sumas o restas. Qué loca es la matemática. | 28 |

O sea que la descomposición de vectores es la operación inversa de la suma.

A=7î+2ĵ

La combinación de estas dos operaciones (expresión con múltiplo de un versor y suma) nos ofrece un método apropiado para la operación analítica con vectores.

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Suma analítica de vectores En las páginas anteriores llegamos a la conclusión de que un buen método para expresar analíticamente un vector es la siguiente: V = Vx î + Vy ĵ y

donde V es el vector que queda expresado en la forma analítica; Vx y Vy son las coordenadas de los ejes x e y respectivamente; î y ĵ son los versores en cada eje. Inventemos un ejemplo: los vectores A y B se expresarán de esta manera:

B 1

A 1

x

A=7î+2ĵ B=î+4ĵ

6 y

Expresados de esta manera, hallar el vector suma de A y B es muy sencillo.

S 4

B

Basta con sumar los segundos miembros componente a componente: A

Ĵ

S=8î+6ĵ

7 8

Î

x

Ya que (7 î + î = 8 î) y (2 ĵ + 4 ĵ = 6 ĵ). La explicación de esto es muy sencilla, y podés encararla por dos caminos. Para que los entiendas más fácil dibujé uno de los vectores, el B, a continuación del otro. Así se ve, claramente, que S es la suma de A y B. Además dibujé dos triangulitos debajo de cada vector que se suma, para que tengas en cuenta los catetos, que no son otros que las descomposiciones, las proyecciones x e y de cada vector. Si tenemos éxito, entonces, te habrás dado cuenta de que la componente x del vector suma es igual a la suma de las componentes x de cada vector que se suma. Y lo mismo para las componentes y. ¿Te cerró?

www.full-ebook.com

y

S B

B A

x

CHISMES IMPORTANTES:

En mis clases postergo todo lo que puedo la enseñanza del álgebra vectorial hasta que se torna imprescindible. Pese a que los físicos afirman que la cinemática y la dinámica son totalmente vectoriales (y tienen razón), yo opino que se puede hacer una cinemática muy rica y útil sin necesidad de vectores, y que la vectorialización temprana es un estorbo muchas veces desmoralizador. | 29 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Ejercicios resueltos 1. Cinemática vectorial

1.1

La población A de nuestra provincia de Buenos Aires está situada 160 km al Este y 120 km al Norte, con respecto a la ciudad M. La población B se sitúa 90 km al Este y 120 km al Sur, también con respecto a M. Adoptar un sistema de referencia y determinar el vector posición de las tres localidades. Una avioneta sale de A a las 07:00 h, y llega a B a las 09:00 h. Determinar su vector desplazamiento. Hallar el vector velocidad media de la avioneta, en su viaje de A hasta B, y calcular su módulo. A las 09:30 h la avioneta despega de B, y aterriza en M a las 11:00 h. Carga mercaderías y combustible, y parte a las 15:00 h, para llegar a la población A a las 16:40 h. Hallar el vector velocidad media de la avioneta en cada uno de los intervalos indicados, y también para todo el viaje (desde las 07:00 h hasta las 16:40 h). e) En un esquema del lugar, dibujar dos trayectorias posibles diferentes, para cumplir el mismo viaje total. ¿Cuántas hay? a) b) c) d)

a) A los vectores posición se les suele dar la denominación “r” que viene de radio. También, como a todas las denominaciones de los vectores, se les dibuja una flechita arriba. A los vectores los representé en negro. Elegí un sistema de referencia centrado en M con lo cual el vector posición rM no tiene representación. rA = 160 km î + 120 km ĵ rB = 90 km î – 120 km ĵ rM = 0 km î + 0 km ĵ N

120

y(km) A

80

rA

40 -80 -40

ΔrAB

M -40

-80 -120 -160 -200 -240

| 30 |

x(km) 40

rB

120 160 ΔrAB

80

B

î y ĵ son vectores de módulo 1, se llaman versores y tienen por objeto contagiar el carácter vectorial de un número y decir para dónde apunta. Suelen representarse con un sombrerito o una comita arriba (en lugar del punto típico de la i y la j). El versor î tiene la misma dirección y sentido que el eje x, y el versor ĵ que el eje y. b) El vector desplazamiento, ΔrAB, es la resta vectorial entre los vectores posición posterior menos anterior (final menos inicial), rB – rA; para hallarlo hay que restar componente a componente. Fijate cómo es. ΔrAB = rB – rA ΔrAB = (90 km – 160 km ) î + ( –120 km – 120 km) ĵ ΔrAB = –70 km î – 240 km ĵ

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Lo representé en gris claro. Los vas a encontrar dos veces repetidos. La de arriba es la operación geométrica: para restar dos vectores alcanza con unir ambos extremos. El vector resta siempre tiene origen en el primero y extremo en el segundo (origen en el sustraendo y extremo en el minuendo). Si represento al vector diferencia obtenido analíticamente en el mismo SR que los vectores posición obtengo exactamente el mismo vector, pero centrado en el origen del SR. Miralo bien, ahí lo tenés. c) La velocidad media es

Para obtener al vector vm analíticamente se divide cada componente del vector Δr por el intervalo de tiempo. Fijate lo que obtengo: vm = – 35

ĵ

î – 120

El módulo de un vector (cuánto mide de largo su representación) se obtiene con el teorema de Pitágoras .

d) Esta parte te la voy a dejar a vos. Yo te pongo sólo una guía y los resultados. ΔtBM = 1,5 h, vmBM = – 60 vmMA = 96 vmAA = 0

ΔtMA = 1,66 h ĵ

î + 80 ĵ

î + 72 î+0

ĵ

e) Las dos trayectorias también hacelas vos. Tené en cuenta que hay infinitas trayectorias posibles. No necesariamente debe desplazarse en forma rectilínea sobre los vectores desplazamiento. Vaya por donde vaya, el desplazamiento depende exclusivamente de la posición inicial y de la posición final en el intervalo considerado. Así es la definición, no te enojes. Nos es útil y basta. Recorrido, longitud de la trayectoria, llamalo como quieras... es distinto de desplazamiento (ya sé que en el lenguaje coloquial son sinónimos, pero no en el lenguaje de la física).

www.full-ebook.com

DESAFíO:

Rehacer íntegramente el problema con un SR orientado de la misma manera que el que usé yo, pero cuyo origen se encuentra a 100 km al norte y a 200 km al oeste de M. | 31 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

1.2 La casa de Diego se encuentra a 15 cuadras (1,5 km) al Este y 20 cuadras (2 km) al Sur de la casa de Silvia. Cierta tarde deciden ir juntos al cine, cuya función comienza a las 19:30 h, y que está ubicado a 30 cuadras (3 km) al Este y 40 cuadras (4 km) al Norte de la casa de Diego. Diego pasa a buscar a Silvia: para eso toma un colectivo que lo traslada desde su casa hasta la de ella con un vector velocidad media: vm = – 6 km/h i + 8 km/h j (i hacia el Este; j hacia el Norte). Debe esperar 10 minutos hasta que Silvia termine de maquillarse, y luego toman un taxi que los lleva al cine en 15 minutos. a) Elegir un sistema de referencia, y determinar el vector posición de ambas casas, y del cine. b) Hallar los vectores desplazamiento y velocidad media del taxi. c) Sabiendo que llegaron al cine 5 minutos después de comenzada la función, calcular a qué hora salió Diego de su casa. d) Determinar el vector velocidad media de Diego, y su módulo, en el viaje desde su casa hasta el cine.

Este ejercicio... es una pavada atómica. Lo que más tiempo me llevó es hacerte el esquema. Analizalo con mucho cuidado. Yo te guío.

y(km)

19:35

1

rC

-1

4

3 rS

x(km)

ΔrSC

S 19:10

N

rD

ΔrDS -3

D

C

Lo primero que tenés que revisar es la posición de los tres puntos de encuentro. La casa de Diego, D; la casa de Silvia, S; y el cine, C. Fijate que efectivamente las posiciones relativas entre ellas sean las que dice el enunciado del ejercicio. El centro de coordenadas lo puse en un lugar arbitrario que se me ocurrió a mí (traté de que los ejes no se encimen con los vectores posición ni desplazamiento, pero cualquier otro hubiera servido igual). La cuadrícula representa 5 cuadras, o sea medio kilómetro. a) En base a esa elección de SR, los vectores posición (que representé en negro) me quedaron así: rD = 1 km î – 3 km ĵ rS = – 0,5 km î – 1 km ĵ rC = 4 km î + 1 km ĵ î y ĵ son vectores de módulo 1, se llaman versores y tienen por objeto contagiar el carácter vectorial a un valor numérico y decir para dónde apunta. Suelen representarse con un sombrerito o una comita arriba (en lugar del punto típico de la i y la j). El versor î tiene la misma dirección y sentido que el eje x, y el versor ĵ que el eje y.

| 32 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

b) El vector desplazamiento, ΔrDS (el colectivo desde lo de Diego hasta lo de Silvia) es la resta vectorial entre los vectores posición posterior menos anterior (final menos inicial), rS – rD; para hallarlo hay que restar componente a componente. Fijate cómo salió, no necesito explicarte, es fácil. ΔrDS = rS – rD ΔrDS = – 1,5 km î + 2 km ĵ Lo tenés representado en gris claro, saliendo de lo de Diego y llegando a lo de Silvia. No quiere decir que el Colectivo vaya en línea recta como si fuese un helicóptero. Se trata de un vector desplazamiento, no nos muestra la trayectoria. El vector desplazamiento de lo de Silvia hasta el cine se halla de la misma manera: ΔrSC = rC – rS ΔrSC = 4,5 km î + 2 km ĵ Esos vectores desplazamiento son independientes del SR elegido. Probá vos con otro SR... vas a ver que te dan lo mismo. c) Las velocidades medias son los cocientes entre los desplazamientos y los intervalos de tiempo insumidos en cada desplazamiento. Eso es lo que nos va a permitir saber a qué hora salió Diego de su casa.

Esa velocidad media es uno de los datos del ejercicio... luego: – 6 km î + 8 km ĵ La división también opera componente a componente, o sea...

Lógicamente, ambas cuentas deben dar lo mismo... y lo dan: el intervalo insumido por el colectivo es 0,25 h, o sea 15 minutos. Eso quiere decir que Diego salió a las 18:55. La peli era a las 19:30... pero llegaron a las 19:35 (5 minutos tarde). Salieron 15 minutos antes de llegar, o sea a las 19:20. Pero Diego habia llegado a lo de

www.full-ebook.com

| 33 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Silvia 10 minutos antes, a las 19:10, y la esperó mientras se maquillaba. ¡Mujeres! Si tardó 15 minutos en llegar es que había salido a las 18:55. d) Para calcular el vector velocidad media de Diego, desde su casa hasta el cine, primero tenemos que tener el desplazamiento... (no lo representé en nuestro esquema) y después lo dividimos por el intervalo de tiempo total. ΔrDC = rC – rD ΔrDC = 3 km î + 4 km ĵ El intervalo entre la salida de Diego desde su casa y la llegada al ciene es de cuarenta minutos, o sea 0,66 h

Para conocer el módulo de ese vector, hacemos pitágoras: DESAFíO:

Rehacer íntegramente el problema con un SR orientado de la misma manera que el que usé yo, pero cuyo origen se encuentra a 5 km al norte y a 4 km al oeste de D.

2.1

No está mal para un taxi.

2. MRU

Los siguientes diagramas corresponden a distintos móviles, que realizan movimientos rectilíneos. Hallar las ecuaciones horarias para cada uno de ellos, y en qué instantes pasarán (o pasaron) por la posición tomada como origen de coordenadas.

| 34 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Empecemos con el 1. La consigna es armar la ecuación horaria. Busquemos el modelo de ecuación que tenemos que armar... Se trata de un MRU, no cabe duda... Acá está: x = xo + v ( t – to ) Para armarla tenemos que buscar las tres constantes: to, xo y v. ¿Nos da el gráfico esa información? A ver si nos ponemos de acuerdo en qué información nos da el gráfico exactamente. Volquémosla a una tabla de valores. t (s) 0 6

x (m) 6 24

Para hallar v usaremos el concepto de velocidad media, ya que para el MRU velocidad y velocidad media coinciden perfectamente: v = vm = ΔX / Δt. Esto implica que tenemos que tener un desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente. Justo lo que tenemos.

¿Quiénes serán to y xo?, parecen ser 0 s y 6 m. Pero también podrían ser 6 s y 24 m. Qué dilema... ninguno de los dos pares es el “inicial” del movimiento; tal como figura en el gráfico, parece haber comenzado en el instante –1 s, más o menos. No discutamos más, hagamos de las dos maneras. Entonces por un lado tenemos la terna de constantes to= 0 s, xo= 6 m y v= 3 m/s; la ecuación quedaría así: x=6m+3

.t

versión 1

La segunda terna posible es to= 6 s, xo= 24 m y v= 3 m/s que nos da esta otra ecuación horaria x = 24 m + 3

.(t–6s)

versión 2

¡Qué problema! ¿Será posible que haya dos ecuaciones diferentes para un mismo movimiento? ¿Habrá algún error? Tengo una idea: formulémosle a ambas ecuaciones las mismas preguntas... dónde estaba el móvil en el instante... A ver si contestan lo mismo.

www.full-ebook.com

| 35 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

DESAFíO:

Hacé sin mi ayuda los otros tres que quedan... pero dale... armá dos versiones de cada una y ponelas a prueba.

t (s) 0 6 3 40 –5 –2 2,4

x (m) 6 24 15 126 –9 0 13,2

No cabe duda, responden de la misma manera. Se ve que ambas describen el mismo movimiento. La verdad... te lo voy a confesar... se trata de la misma ecuación, no hay diferencia. Fijate que son exactamente la misma, parecen diferentes... pero no.

Una de las preguntas que hice para armar esa tabla de valores (penúltimo renglón), es -de casualidad- la que pregunta el enunciado: en qué instante el móvil pasa por la posición 0 m. Yo le había preguntado a la ecuación horaria dónde estaba el móvil en el instante –2 s, la respuesta fue x(–2s) = 0 m, de modo que t(0m) = –2 s

YAPA:

Vivimos en una sociedad profundamente dependiente de la ciencia y la tecnología y en la que nadie sabe nada de estos temas. Ello constituye una fórmula segura para el desastre. Carl Sagan

el paso por el origen

Si el “paso por el origen” hubiera querido encontrarlo ex profeso y no de casualidad, ¿cómo habría hecho? Fácil: en cualquiera de las dos versiones de ecuación, reemplazo la variable x por 0 m; luego, operando algebraicamente, despejo t -que ahora será t(0m)- que será el que se corresponde con 0 m.

2.3 Juan, cronómetro en mano y ubicado en un tramo rectilíneo de una ruta, estudia el movimiento de los coches que circulan por la misma con velocidad constante. A su derecha, y a 40 metros de él hay un árbol, y más lejos un cartel. En cierto instante ve que un automóvil se le acerca por la izquierda y dispara el cronómetro cuando lo tiene a 100 metros; el auto pasa frente a él 5 segundos después. Utilizando como origen la posición de Juan y los tiempos que indica el cronómetro: a) Hallar el vector velocidad del auto, y la indicación de su velocímetro en km/h. Escribir su ecuación horaria. b) Hallar en qué instante pasará el auto frente al árbol. c) Si cuando el cronómetro indica 10 segundos el auto pasa frente al cartel, cuántos metros hay entre éste y el árbol. d) Hacer los gráficos x(t) y v(t), indicando el paso del auto frente al árbol y al cartel. e) Con el mismo origen y sentido positivo, hacer los gráficos para otro auto que se mueve en sentido contrario con la misma rapidez, acotando los tiempos que indicará el cronómetro, hasta que llegue a 100 m a la izquierda de Juan. (Elegir en qué instante se pone en marcha el cronómetro).

Bueno, bueno, que no cunda el pánico. Siempre se empieza por un esquema. Esto tiene muchas utilidades pero... ¿cómo se hace? Fácil: a) se dibuja la trayectoria, b) se indican los puntos notables, aquellos de los que habla el enunciado, c) se les pone nombre, d)se indican (al lado de cada punto) las características cinemáticas t, x, v, con su nombre correspondiente, e) se ponen los valores a cada constante indicada. En este caso queda algo así: | 36 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Así eran los esquemas de No me salen cuando lo editaba en papel. Ahora escribimos la ecuación horaria del móvil. Nos remitimos al modelo de ecuación correspondiente, en este caso, el modelo del MRU: x = xo + v ( t – to ) En él reemplazamos las constantes (to, xo y v) por las constantes “iniciales” de nuestro problema, por ejemplo las del punto A. OJO: para armar la ecuación horaria NO TOCAR NI REEMPLAZAR LAS VARIABLES DE LA ECUACION (t y x). Entonces queda así: x = – 100 m + v . t Ahora el problema no tiene más secretos para nosotros. Todo lo que quieras se le puede preguntar a esa ecuación. Fijate que esa ecuación “habla” de todos los infinitos puntos por los que pasa el automóvil y sus respectivos instantes de tiempo. Bien, basta con que le pidamos que “hable” en particular de aquellos puntos que para nosotros tienen interés, o sea, el B, el C y el D. Todavía no sabemos cuánto vale v... no te hagas problema, vos usala igual, confiá en la ecuación horaria. Si habla del B dirá: 0 m = – 100 m + v . 5 s Viste que lo que hice fue reemplazar x y t, las variables. Donde decía x, puse xB y donde decía t puse tB. Lo demás no lo toqué. Ahora hago lo mismo para todos los otros puntos que me interesen. Si habla del C dice: 40 m = – 100 m + v . tC Si habla del D dice: xD = – 100 m + v . 10 s Tenés 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Ya está resuelto. Lo que queda es álgebra, no física. Igual te lo hago para que no llores. De la primera ecuación despejo v.

www.full-ebook.com | 37 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

x (m)

v = 72

100

Con el valor de v, voy a la segunda ecuación, despejo tC

40 5

7

10 t (s)

-100

tC = 7 s Y también voy a la tercera, saco xD

v (m/s)

xD = 100 m, entonces, d = 100 m – 40 m

20

t (s) 2

a (m/s )

t (s)

DESAFíO:

Cuando armamos la ecuación horaria elegimos el punto A como “inicial” para reemplazar las constantes (to , xo , y v). Elijamos ahora el punto B y volvamos a resolver el problema.

d = 60 m Los gráficos los hago en forma encolumnada y con una misma escala de tiempo. Esta disposición tiene algunas ventajas muy interesantes. Ahora no las podés apreciar, pero más adelante, cuando seas grande, vas a ver qué interesantes son. El orden en que los encolumno tampoco es arbitrario, tiene que ver con la teoría de funciones y derivadas. Es un orden lógico y natural. ¡La pucha! Cuando seas grande... vas a ser grande. Yo también, no te creas...

2.5 La casa de Juan se encuentra a 900 m (9 cuadras) de la casa de Diana. Caminando con velocidad constante, Juan tarda 10 minutos en cubrir esa distancia, mientras que Diana la recorre en 15 minutos. Cierto día salen ambos a las 15 h, cada uno desde su casa y dirigiéndose a la casa del otro. Determinar a qué hora y a qué distancia de la casa de Diana se encuentran. Trazar un gráfico posición-tiempo e interpretar.

En este problema te propongo alterar el orden en que resolvemos todos los problemas de cinemática. Mirá, el gráfico es tan sencillo y aleccionador que voy a empezar por ahí. Después sí, la secuencia clásica de esquema, ecuaciones, etc...

x (m)

900 (J)

xe (D)0 60

v (m/min)

-90

| 38 |

te

10

Como te habrás dado cuenta tomé una escala en minutos y puse el cero de los tiempos del problema a las 15 hs del fatídico día. La casa de Diana la puse en el cero de las posiciones y la de Juan en el 900. t (min) También hice, encolumnado, el gráfico de velocidades... anticipé el valor de las velocidades respectivas, que calculé más abajo, y te 15 sombreé dos áreas. Después hablamos de ellas, ¿sí? t (min)

Ahora hagamos el esquema. Ah, me olvidé: ¿viste que a Juan lo representé en gris oscuro y a Diana en gris claro? Acá voy a hacer lo mismo.

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Para armar las ecuaciones de los enamorados necesito sus velocidades. Por suerte hay suficiente información para hallarlas.

0D

E

t0D = 0 min x0D = 0 m v0D = ?

te = ? xe = ?

0J t0J = 0 min x0J = 900 m vJ = ?

Ahora busco el modelo correspondiente, en este caso el de MRU, y reemplazo las constantes de cada uno. v = 72 Juan

→

x = 900 m – 90

Diana

→

x = 60

.t

.t

Esas dos ecuaciones son las que describen los movimientos de Juan y Diana, cada centímetro, cada segundo por el que pasaron antes de encontrarse, o cruzarse... quién sabe. Bien, pidámosle a ambas ecuaciones que hablen del instante que a nosotros nos interesa, el instante de encuentro. la ec. de Juan dirá

→

xe = 900 m – 90

y la de Diana dirá

→

xe = 60

. te

. te

No te digo: quedó un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Acá terminó la física del problema y lo que resta es álgebra. Yo te la hago, no llores. Igualo ambas ecuaciones en xe

te = 15 hs 6 min Ahora con este valor voy a las ecuaciones de ambos y me fijo cuál es la posición de encuentro. Podría ir a una sola, pero voy a la de los dos para verificar que dé lo mismo.

www.full-ebook.com

| 39 |

| RICARDO CABRERA | Ejercicios de Física

xe = 900 m – 90

DESAFÍO:

First: Ahora sí, vamos a las áreas que te sombreé en el gráfico de velocidad. ¿Qué representan y cuánto valen? Second: resolvé de nuevo el problema pero poniendo el cero de posiciones en la casa de Juan y el 900 en lo de Diana. Tercero: ¿A qué casa fueron finalmente el día del encuentro, a la de Diana, a la de Juan, o a algún otro lado...?

. 6 min = 60

. 6 min =

pero acordate que el enunciado pide la distancia a la casa de Diana (no te extrañes, las mujeres siempre piensan que son el centro del universo). Pero como la casa de Diana se halla en la posición 0 m, esa distancia no es otra que xe xe = 360 m Fijate que los resultados que encontramos concuerdan bastante bien con lo que ya nos habían anticipado los gráficos. En la guía de problemas hay dos variaciones más sobre este mismo. Son el 2.6 y el 4.7.

2.7 Andrés va en su bicicleta, con velocidad constante de 14 km/h, en una calle rectilínea siguiendo a Karina, que va corriendo en el mismo sentido, a 5 km/h, también con velocidad constante. Si inicialmente estaban distanciados 100 m, hallar cuánto tiempo después la alcanzará, y qué distancia avanzó cada uno. Trazar los gráficos posición-tiempo y velocidad-tiempo..

¿Por dónde vamos a empezar sino por un esquema bien hecho? ¿Cuántas ecuaciones horarias describen este problema? Dos, ya que hay dos móviles. Ambas surgen del mismo modelo ya que ambos se mueven uniformemente. El modelo es: x = xo + v ( t – to ) Y, por lo tanto, reemplazo las constantes del modelo (grises) mirando las constantes elegidas en el esquema, de modo que las ecuaciones de este problema son: ESTAS SON LAS ECUACIONES QUE DESCRIBEN TODO EL MOVIMIENTO DESCRIPTO EN EL ENUNCIADO.

la de Andrés

x = 14

.t

la de Karina

x = 0,1 km + 5

.t

Ahora, ellas solitas resuelven el problema. Pidámosles que en lugar de hablar de las infinitas posiciones y sus respectivos instantes de tiempo por los que pasan Andrés y Karina, se refieran exclusivamente a la posición e instante de encuentro. (Ahora es cuando reemplazo las variables, las grises). Entonces dicen:

www.full-ebook.com | 40 |

| Capítulo 1. Cinemática |



xe = 14

. te



xe = 0,1 km + 5

. te

¡Listo! Encontramos un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas (2x2); acá terminó la física. Lo que resta es álgebra. (Las ecuaciones son unas genias). Para resolver el sistema hay varios métodos: sustitución, igualación, sumas y restas, determinantes, y (el más saludable) chapuceo algebraico generalizado. Acá va uno... ¿cuál es?

x

te

v

t

te = 0,011 h t

reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones (mejor en las dos)... xe = 0,156 km Los gráficos. Porsupu: Andrés en gris claro y Karina en gris oscuro (eso es importantísimo). ¿Te animás a ponerle a estos gráficos los datos que les faltan? ¿Te animás a calcular las áreas encerradas bajo las curvas x–t? ¿Te animarías a rehacerlos en escala y verificar los resultados gráficamente?

DESAFíO:

Resolver el problema pero con un SR de sentido opuesto, por ejemplo uno en el que Andrés esté en x0A = 100 m y Karina en x0K = 0 m. Y para terminar (aunque esto pertenece a “Cuántica II”), averiguar qué contestó Karina.

2.8 Una cuadrilla de empleados del ferrocarril viaja en una zorra por una vía rectilínea. En un instante dado, por la misma vía y a 180 m por detrás, ven venir un tren que viaja con una velocidad constante de 36 km/h. ¿A qué velocidad mínima y constante deberá moverse la zorra para poder llegar a un desvío, que en ese instante está 120 m más adelante, para evitar el choque? Graficar velocidad y posición en función del tiempo, para ambos móviles. Resolver ahora, considerando que se requieren 10 segundos para accionar el cambio de vías.

Como siempre, hay que empezar con un esquema. Si no lo hacés, perdés. Si lo hacés mal o incompleto, perdés. ¿Te gusta éste? Del tren tomé el punto delantero y de la zorra, el trasero (perdón); y te los marqué con un punto blanco. No parece tan difícil, ¿no? Y te soluciona la vida. Mirá qué fácil que es el

paso 1

180 m 0T t0T = 0 h x0T = 0 km vT = 36 km/h

www.full-ebook.com

120 m 0Z t0Z = 0 h x0Z = 0,18 km vZ = ?

E tE = ? xE = 0,3 km | 41 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

problema ahora. Tenete el modelo de ecuación horaria cerca. Acá está. x = xo + v ( t – to ) Reemplazá las constantes de cada móvil por las constantes en la ecuación. Las de la ecuación son éstas, las que te puse en gris x = xo + v ( t – to ) y las de los móviles las encontrás al lado de cada móvil en el comienzo del movimiento. Las ecuaciones quedan así:

paso 2

Para el tren

→

x = 36

Para la zorra

→

x = 0,18 km + vZ . t

.t

ahora les pedimos a ambas que hablen de los puntos que resulten interesantes. En este caso hay uno solo: el encuentro en el desvío. 0,3 km = 36 paso 3

. tE

[1]

0,3 km = 0,18 km + vZ . tE

[2]

inevitablemente desembocás en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Acá terminó la física del problema. Lo que queda es álgebra... estamos aprendiendo física. ¿Te lo resuelvo yo? de la [1] despejamos tE y lo calculamos paso 4

tE = 0,00833 h

(no te asustes, son sólo 30 segundos)

con ese valor vamos a la ecuación [2] y despejamos la velocidad de la zorra paso 5

vZ = 14,4

¡qué zorra!

Ahora... si los empleados ferroviarios que van en la zorra necesitan 10 segundos como mínimo para hacer el cambio... ¿qué te parece que habrá que cambiar en las ecuaciones? ¡No sigas leyendo! Pensalo vos... ¡QUE NO SIGAS DIJE! Ah, viste que lo podías sacar... lo que cambia es que, para la zorra, el instante de llegada al desvío -llamémoslo tD- será: | 42 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

tD = tE – 10 s Todo el resto no cambia... sólo en el último paso, así que lo hacemos rapidito... pasamos los 10 segundos a horas... a ver... creo que lo saco... paso el 4, me llevo 1... son como... 0,00278 h ¡qué ferroviarios!

vZ´ = 21,6

x

Los gráficos con cambio automático.

x

Los gráficos con ferroviarios listos.

t

t v

paso 6

v DESAFíO:

t

t

Rehacé el problema pero trabajando todo en metros por minuto y tomando instante de tiempo inicial 15 minutos. Dale... parece absurdo pero es una buena ejercitación.

3. MRUV 3.3 Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 2 m/s² y se mueve durante 5 segundos. ¿Cuánto se desplaza durante el primer segundo?; ¿cuánto durante el último? El mismo coche, que viene moviéndose a 20 m/s, frena con aceleración constante hasta detenerse en 8 segundos. Hallar su desplazamiento durante el primero y durante el último segundo de su frenado. ¿Avanzó?

La primera dificultad que tiene este ejercicio es gramática. ¿¡Qué!? Gramática. El 34,71 % de los estudiantes que encaran este problema no pueden resolverlo o lo hacen mal porque no pueden interpretar correctamente este sencillo enunciado. No me salen te lo explica: el primer segundo es el que empieza en el instante que llamaremos 0 segundo y finaliza en el instante 1 segundo. El último segundo es el intervalo que comienza en el instante 4 s y termina en el 5 s. No es difícil, ¿no es cierto?

www.full-ebook.com

| 43 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Las cuestiones que nosotros llamamos de interpretación del enunciado tienen mucha importancia. Tal vez los estudiantes protesten y argumenten que no se trata de una cuestión de Física sino de Lengua. Es probable que algo de razón tengan y habitualmente en los exámenes se admiten consultas sobre interpretación de enunciados. Sin embargo, a mi juicio, la interpretación de enunciados es tan importante como el resto del planteo y solución. Esta sutil diferencia que el 34,71 no llega a pescar, por ejemplo, revela una cuestión física de primerísima importancia: la diferencia entre instante y duración. Quien no sea capaz de discernir entre ambos conceptos nunca puede acceder cabalmente a la idea de ecuación horaria. A veces nos divertimos mucho en un aula cuando le planteo a mis estudiantes de carne y hueso la urticante pregunta: ¿cuánto dura un instante de tiempo? Bueno, basta de cháchara. Empecemos , como siempre, por un esquema.

P tP = 0s xP = 0 m vP = 0 m/s2 a =2 m/s

Q tQ = 1s xQ = ? vQ = ?

Como ves, el ejercicio (esta primera parte) habla de cuatro eventos distintos que son cuando empieza y cuando termina cada uno de los intervalos de los que te habla: el primero y el último segundo. Fijate que al elegir el nombre que le puse a cada evento nunca elijo un nombre que tenga que ver con el instante, la posición o la velocidad. Siempre elijo nombres arbitraS R rios; eso me evita muchas confusiones. Voy a armar las ecuaciones horarias que describen tR = 4s tS = 5s xR = ? xS = ? TODO el movimiento del auto; vR = ? vS = ? para eso me pongo delante de los modelos correspondientes: x = xo + vo ( t – to ) +

a ( t – to )2

v = vo + a ( t – to ) y reemplazo las constantes (voy a tomar las de la situación P), x=1

t2

v=2

t

y les pido que hablen de los eventos en los que tenemos algún interés: Q, R y S. En este caso le voy a dar descanso a la segunda ecuación, ya que el enunciado nada nos dice ni nos pregunta sobre las velocidades del auto.

| 44 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

en Q

xQ = 1

1 s²

en R

xR = 1

16 s²

en S

xS = 1

25 s²

De ahí calculás el valor de xQ, xR y xS ; y luego, recordando que xP = 0 m armamos los intervalos. xQ – xP = 1 m xS – xR = 9 m La segunda parte del ejercicio es un MRUV diferente del primero que en nada se mezcla con éste, de modo que acá sí se justifica adoptar un nuevo SR. Eso sí, por supuesto, tenemos que hacer un nuevo esquema. Armo las ecuaciones usando las constantes del evento T. x = 20

t+

v = 20

+ a2 t

a2 t2

T

U

tT = 0s xT = 0 m vT = 20 m/s a2 =?

tU = 1s xU = ? vU = ?

V

tU = 7s xU = ? vU = ?

W

tW = 8s xW = ? vW = 0 m/s

y les pido que hablen de los otros tres puntos. Fijate que ahora sí hay un dato sobre velocidad... la segunda ecuación va a tener que laburar. en U

xU = 20

.1s+

a2 1 s²

en V

xV = 20

.7s+

a2 49 s2

en W

xW = 20

.8s+

a2 64 s²

2da. en W

0

= 20

+ a2 8 s

de la última sacamos a2 = –2,5 m/s². Eso lo metemos en las otras tres, calculamos las posiciones, y por último los desplazamientos. ¿Alguna duda? xU – xT = 18,75 m xW – xV = 1,25 m

www.full-ebook.com

DESAFíO:

Rehacer íntegramente la segunda parte, pero ahora con el mismo SR de la primera, y suponiendo que el segundo movimiento empieza exactamente cuando alcanza su velocidad inicial. Luego hacer los gráficos que describen todo el movimiento. | 45 |

| RICARDO CABRERA | Ejercicios de Física

3.4 Hallar qué velocidad traía una locomotora, que acelerando a razón de 1 m/s², recorrió 20 m en 5 s.

SIEMPRE empiezo con un esquema. Luego se escriben las ecuaciones horarias. Para eso basta con reemplazar las constantes de los modelos de ecuaciones horarias (to, xo, vo y a) por las constantes “iniciales” del problema (que aquí les puse el mismo nombre, cosa que no tiene por qué ocurrir necesariamente). Estos son los modelos: x = xo + vo ( t – to ) +

a ( t – to )²

v = vo + a ( t – to ) Así quedan después del reemplazo de constantes. Mirá qué bonitas. ESTAS SON LAS ECUACIONES QUE DESCRIBEN TODO EL MOVIMIENTO DE LA LOCOMOTORA

x = vo t + 0,5 v = vo + 1

. t²

.t

Fijate que las ecuaciones horarias no están completas, están medio “rengas” porque no conocemos vo, pero bueno, son nuestros mejores “proyectos” de ecuación horaria. Vas a ver que aún así medio cachusas son capaces de resolver solitas nuestro problema. Les pedimos que hablen del punto 1. Ellas dicen: ESTAS, EN CAMBIO, HABLAN EXCLUSIVAMENTE DEL SITIO 1 DESAFÍO: 1:

(Muy pavo). ¿Cuánto vale v1? (Rta.: 6,5 m/s). DESAFÍO: 2:

(Más piola). Tal vez podría tratarse de un movimiento retardado, en ese caso ¿cuánto valdría la vo? (Rta.: 6,5 m/s).

20 m = vo . 5 s + 0,5 v1 = vo + 1

.25 s²

.5s

Buenísimo, la ecuación de arriba tiene una sola incógnita, y justo es la que me pide el enunciado del problema. La despejo, la calculo y listo. vo= 1,5

DESAFÍO: 3:

(Para los más osados). ¿Qué tal si utilizamos como constantes “iniciales” para armar las ecuaciones horarias las constantes del punto 1? | 46 |

Si quisiera saber qué velocidad tiene en ese instante se lo preguntaría a la segunda ecuación. Pero no me interesa. ¿Te hacés vos los gráficos?

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

3.5 Un avión parte del reposo con aceleración constante y carretea 1800 m por la pista, durante 30 segundos, hasta despegar. ¿Con qué velocidad abandona la pista? Trazar un gráfico velocidad-tiempo.

Obvio, microbio: lo primero es el esquema. Ahora escribimos las ecuaciones horarias que describen el movimiento del avión. Porsupu, como todo MRUV. Para hallarlas reemplazamos las constantes de los modelos del MRUV (to, xo, vo y a) por las “iniciales” de nuestro problema. Estos son los modelos: x = xo + vo ( t – to ) +

a ( t – to )2

v = vo + a ( t – to ) Así quedan después del reemplazo de constantes. Mirá qué bonitas. x=

at2

ESTAS SON LAS ECUACIONES QUE DESCRIBEN TODO EL MOVIMIENTO DELINEADO EN EL ENUNCIADO.

v=a.t

ESTAS DOS, EN CAMBIO, HABLAN EXCLUSIVAMENTE DEL PUNTO D.

Ahora les pedimos que “hablen” del punto D. Ellas dicen: 1800 m =

a (30 s) ²

vD = a . (30 s)

1800

x (m)

Fantástico, quedó un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Acá terminó la física del problema. El resto es álgebra y no es tan peliagudo. Igual te ayudo: de la primera ecuación despejo a. Obtengo

t (s)

a=4 120

v (m/s)

este valor lo meto en la segunda ecuación y calculo la velocidad en el despegue. vD = 120

t (s) 4

Vamos a hacer los gráficos. Fijate: siempre los hago encolumnados, con la misma escala de tiempo y en el mismo orden.

www.full-ebook.com

a (m/s2) t (s) 30 | 47 |

| RICARDO CABRERA | Ejercicios de Física

DESAFÍO:

Tomar como constantes “iniciales” las del punto de despegue D. (Resultados: los mismos)

Sin hacer ningún tipo de cálculos, decir (sin repetir y sin soplar) cuánto valen las áreas sombreadas. (Si no se te ocurre, entonces, bueno, calculalas... ¡y avivate!)

3.6 Un tren reduce uniformemente su velocidad, desde 12 m/s hasta 8 m/s, en una distancia de 100 m. Determinar su aceleración de frenado, y qué distancia recorrerá hasta detenerse si prosigue así.

Como siempre lo primero es lo primero: un esquema. Vemos que en el problema aparecen tres puntos o situaciones diferentes: cuando el tren tiene 12 m/s, lo llamo A; cuando el tren tiene 8 m/s, lo llamo B y cuando el tren se detiene, lo llamo C... ¿Por qué no? Te lo hago en dos etapas, mirá. Automáticamente surgen los nombres de todas las características -sean datos o incógnitas- que aparecen en el problema; de yapa queda establecido el SR. Lo que sigue (en éste y en cualquier otro problema de cinemática) es armar las ecuaciones horarias. ¿Cuántas son? ¡Dos! Todo M.R.U.V. (y aquí hay uno solo) queda totalmente establecido con dos ecuaciones horarias, cuyos modelos son: x = xo + vo ( t – to ) +

a ( t – to )2

v = vo + a ( t – to ) Por supuesto para armarlas hay que reemplazar las constantes (to, xo, vo y a). Lo más fácil es, para ello, elegir el punto A. Entonces queda: ESTAS SON LAS ECUACIONES QUE DESCRIBEN TODO EL FENÓMENO DEL MOVIMIENTO DELINEADO EN EL ENUNCIADO

x = 12

.t+

v = 12

+at

a t2

Mirá qué interesante... no pudimos reemplazar el valor de la aceleración porque no lo conocemos, pero bueno, es nuestro mejor proyecto de ecuación horaria; no nos achicamos y las escribimos igual aún con una incógnita en el medio. Veremos que la ecuación horaria

www.full-ebook.com

| 48 |

| Capítulo 1. Cinemática |

es una herramienta tan potente que aún así “defectuosas” resuelven solitas nuestros problemas. Ahora... ¡las usamos! Es decir, les pedimos que hablen de aquellos puntos que para nosotros tienen interés ya sea porque hay datos o incógnitas: el B y el C (je, je, no hay otros). Si las ecuaciones hablaran del punto B dirían: 100 m = 12 8

. tB +

= 12

Estas hablan sólo del punto B, que es el que a vos te interesa

a tB²

+ a tB

¡Alto!, ¡alto! Qué acabamos de escribir...: un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (dos incógnitas que pedía el enunciado del problema). Esto tiene solución algebraica. ¡Aleluya, hermano! Ya hemos resuelto la mayor parte del problema: el resto es menos dramático. Hay muchos caminos para llegar a los resultados. Debe intentar cada uno el suyo... y recordar que esto es matemática, no física. Acá muestro uno cualquiera, no es el más rápido ni el mejor. Despejo a de la segunda ecuación: a=(–4

) / tB

Reemplazo esto en la primera ecuación, y despejo tB. tB = 10 s Para obtener a no necesitan ayuda. a = – 0,4 Una vez un estudiante, haciendo un esfuerzo por superar la timidez, se me acercó y me dijo: yo ya cursé la materia en otra aula y el profe nos había dado una fórmula complementaria que yo ponía las dos velocidades y aparecía la aceleración. Mi respuesta no se hizo esperar: ¡excelente! ¡Seguramente vas a poder encontrar fácilmente trabajo en una empresa de ferrocarriles! Bueno, loco, sigamos con lo nuestro, que es ciencia (acá la cinemática y los trenes son sólo una excusa). ¿Y la distancia que recorre hasta detenerse? Pidámosles a las ecuaciones del movimiento que hablen del punto C. Ellas dicen: xC = 12 0

= 12

. tC +

Y éstas hablan Exclusivamente del punto C, que también te interesa (supongo).

a tC²

+ a tC

www.full-ebook.com

| 49 |

| RICARDO CABRERA | Ejercicios de Física

Y éstas hablan exclusivamente del punto C, que también te interesa (supongo). ¡Nuevamente un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas! (Ahora la aceleración ya sabés cuánto vale) ¡Qué inteligentes que son las ecuaciones! Ellas solas resuelven el problema. Lo que queda es pura álgebra. De la ecuación de abajo despejo tC

180

tC = 30 s

x (m)

Con ese valor voy a la otra ecuación, y... xC = 180 m

100 t (s) 12 8

v (m/s)

t (s) 2

a (m/s ) t (s) -0,4

10

20

30

DESAFÍO:

¿qué tal si elegimos un SR orientado para el otro lado? ¿Qué resultados deben dar igual y cuáles distinto?

Fijate que podríamos haber usado las ecuaciones de una, pidiéndoles que hablen de B y de C, sin hacer ningún cálculo, y nos hubiese quedado un sistema de 4X4, con solución algebraica. Ahí terminaba la física, el resto era álgebra. Por último los gráficos. Como siempre, los hago encolumnados, con la misma escala de tiempo y en un orden particular. Observá qué inclinación le dibujé a la gráfica de posición (la parábola) en el último instante. Ahora mirá un poquito el gráfico de velocidad. Forma un bonito triangulito con los ejes. Y la superficie de un triángulo era (bxh)/2, ¿te acordabas? Bueno, si hacemos el cálculo da 180 m... Igual que xC... ¡Qué casualidad! Finalmente te pido que repares en esta correspondencia (de abajo para arriba): aceleración negativa, velocidad decreciente, parábola de concavidad negativa...

3.12 Dos carneros (uno blanco y otro negro) están en reposo, uno frente al otro, distanciados 24 m. En un instante dado, ambos parten para chocarse. Suponiendo que sus aceleraciones son constantes, y sus módulos 1,6 m/s² y 1,4 m/s² respectivamente, determinar en qué punto del camino se produce el encuentro, y qué velocidad tiene cada uno en ese instante. Trazar los gráficos correspondientes de velocidad y posición en función del tiempo.

¡Problema cornudo si los hay! Pero no nos achiquemos: nuestras herramientas cinemáticas son tan poderosas que no hay ejercicio que se resista. Empecemos por un esquema.

www.full-ebook.com | 50 |

| Capítulo 1. Cinemática |

(Este es uno de los esquemas originales de No me salen, simpático, ¿no?) Mirá el signo de la aceleración del carnero negro: ¿cómo hubiera sido si el SR elegido tuviese sentido contrario? Y en ese caso, ¿cuánto hubiera valido la aceleración del carnero blanco? Tené a mano los modelos de las ecuaciones horarias de los MRUV, que estamos por usarlos. a ( t – to )2

x = xo + vo ( t – to ) + v = vo + a ( t – to )

Vamos a escribir las ecuaciones que describen el movimiento de ambos carneros. ¿Cuántas son? Dos para el blanco, dos para el negro, total cuatro. Para hallarlas basta con reemplazar las constantes de las ecuaciones generales (to, xo, vo y a) por las constantes iniciales de cada carnero. blanco

negro

x = 0,8

.t2

v = 1,6

.t

x = 24 m – 0,7 v = – 1,4

Estas son las ecuaciones que describen TODO el fenómeno del movimiento que cuenta el enunciado.

.t2

.t

Y ahora, simplemente, ¡las usamos! Es decir, les pedimos a esas ecuaciones que hablen del punto de interés: el encuentro. Ellas dicen: xe = 0,8

. te ²

[1]

vBe = 1,6

. te

[2]

xe = 24 m – 0,7 vNe = – 1,4

. te

. te ²

Estas, en cambio, son las ecuaciones especializadas para los instantes que a vos te interesan.

[3] [4]

Lo sospeché desde un principio: hemos caído en un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas (4x4) en donde las incógnitas son las que pide el enunciado del problema. Si entendiste hasta aquí, el mejor consejo es suspender la lectura y tratar de resolverlo sin ayuda, ya que lo que queda no es física: es álgebra; ya que lo que queda tiene 7.583 modos diferentes de resolución, y uno sólo de aprenderlo: practicando.

www.full-ebook.com

| 51 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Nota:

Este mismo ejercicio está resuelto nuevamente con un criterio diferente: el del movimiento relativo.

¡Ah! Insistís... bueno, para eso está No me salen. Igualo los segundos miembros de [1] y [3] 0,8

. te ² = 24 m – 0,7

. te ²

de ahí despejo te , y lo calculo te = 4 s reemplazo este valor en [1] y [3] xe = 12,8 m y también en [2] y [4] vBe = 6,4 vNe = – 5,6

Por último los gráficos. Fijate cómo los hago: encolumnados, siempre en el mismo orden, y con una misma escala de tiempo; algunos llaman a esta manera “en tándem”.

x (m)

24 12,8

6,4

v (m/s)

4

t (s)

Observá el gráfico de velocidades: ¿qué carnero tiene siempre velocidades positivas?... ¿qué carnero tiene siempre velocidades negativas? t (s)

-5,6 1,6

Las curvas son arcos de parábola. Una parábola con concavidad hacia arriba (sonriente) representa una aceleración positiva. Una parábola con concavidad hacia abajo (triste) representa una aceleración negativa. (Una parábola sin concavidad no es una parábola, es una recta. Ji, ji).

a (m/s2) t (s)

-1,4

El carnero negro, desde que arranca hasta que choca, va aumentando su rapidez... pero va disminuyendo su velocidad. El área sombreada nos revela un hecho importante... ¿cuál es?, ¿cuánto valen esas áreas? ¿Tiene algún significado que una de las áreas se emplace por arriba del eje del tiempo, y la otra por abajo? Todavía hay más detalles interesantes para mirar en los gráficos: animate, buscalos... discutiles a ellos las cosas que sabés de este movimiento.

DESAFíO:

El carnero negro sale 1 s después del blanco. | 52 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

3.13 Un automóvil y un camión parten simultáneamente, desde el reposo, con el auto a cierta distancia detrás del camión. Ambos se mueven con aceleración constante, de 1,8 m/s² para el automóvil y de 1,2 m/s² para el camión, y se cruzan cuando el auto se halla a 45 m de su lugar de partida. Hallar: a) b) c) d)

Cuánto tiempo tardó el auto en alcanzar al camión. Qué distancia los separaba inicialmente. La velocidad de cada vehículo cuando están a la par. Los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo, para ambos.

Como ya es costumbre (aunque no lo hacemos por costumbre) comenzamos con un esquema.

Ahora nos preguntamos, ¿cuántas ecuaciones describen este problema? Exactamente, cuatro. Ya que acá tenemos dos movimientos uniformemente variados, y cada M.R.U.V. se describe con dos ecuaciones del tipo: x = xo + vo ( t – to ) +

a ( t – to )2

v= vo + a ( t – to ) Estas son las “generales”, para todo M.R.U.V. Para hallar las de nuestro problema habrá que reemplazar las constantes de las ecuaciones (to, xo, vo y a) por las “iniciales” de cada movimiento. x = 0,9

. t²

v = 1,8

.t

auto

x = d + 0,6

. t²

ESTAS SON LAS ECUACIONES QUE DESCRIBEN TODO EL FENÓMENO DEL MOVIMIENTO QUE NARRA EL ENUNCIADO.

camión v = 1,2

.t

Ya están las herramientas dispuestas sobre la mesa (las ecuaciones horarias), ahora las usamos. Ellas solitas nos resolverán el problema. Pidámosles que “hablen” del encuentro. Ellas dicen entonces:

www.full-ebook.com

| 53 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Estas, en cambio, son las ecuaciones especializadas para los instantes que a vos te interesan.

45 m = 0,9 vAe = 1,8

. te ² . te

45 m = d + 0,6 vCe = 1,2

[1] [2]

. te ²

. te

[3] [4]

Si todo anduvo bien, el problema ya tiene que estar resuelto, ¿a ver?... Sí, efectivamente, arriba hay escrito un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas (4x4), en el que las incógnitas son las que nos pide el enunciado del problema. ¿Pero realmente aquí termina el problema? Aquí termina la física del problema. El resto es álgebra y no es tan dramático. El sistema es sencillo. Si miramos la primera ecuación, ella tiene una sola incógnita; empezando por ahí, resulta todo muy fácil. te = 7,07 s con eso voy a la tercera, [3] y sale d d = 15 m y por último a las dos que faltan, de donde salen las velocidades en el encuentro vAe = 12,7 vCe = 8,48

x (m)

45

Por último los gráficos. Fijate cómo los hago: encolumnados, siempre en el mismo orden, y con una misma escala de tiempo; algunos llaman a esta manera “en tándem”.

d 12,7

t (s) v (m/s)

8,48 t (s) 1,8 1,2

a (m/s2) te

| 54 |

t (s)

Los gráficos siempre parecen cuatro líneas locas... pero están llenas de información, llenas de técnica... Mirá por ejemplo el tipo de curva de las gráficas de posición. Son arcos de parábola que arrancan en el instante inicial con una inclinación nula (horizontales). Cuando se cruzan tienen inclinaciones diferentes (no podría ser de otra manera). Tienen concavidad positiva (sonriente). Arrancan desplazadas un segmento que representa la distancia de separación de los móviles... Y así podría seguir describiendo un rato más... Las curvas de velocidad son segmentos rectos. Arrancan de la posición cero. Tienen inclinación positiva. Se van separando...

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

¿A que no te animás a decirme cuánto vale el área que te marqué en gris claro, sin hacer cuentas? Bueno, si no te animás... hacelo igual. Y a todo esto tenés que sumarle la correspondencia temporal de la terna de gráficos (la poderosa idea del tándem). ¿Te animarías a rehacer los gráficos para este mismo problema, planteado desde un SR de sentido contrario al de los movimientos?

DESAFíO:

Rehacer todo el problema pero sabiendo que el camión arranca 2 s después que el auto. (Rta.: d = 29,57 m).

3.15 Un automóvil pasa frente a un puesto caminero, moviéndose con velocidad constante de 108 km/h, en una ruta rectilínea. Un policía parte en su motocicleta desde el puesto, 5 segundos más tarde, con una aceleración constante de 4m/s² hasta llegar a su velocidad máxima (144 km/h), que luego mantendrá constante. ¿A qué distancia del puesto se cruzará con el automóvil? Trazar los gráficos correspondientes..

Imaginate dónde, en qué lugar se equivoca el 78,3% de los estudiantes cuando plantean este problema... Te lo digo yo: en el asunto de los 5 segundos. ¿Y todo por qué? Mirá, hay varios motivos, vamos a analizarlo un poquito porque me parece importante; pero el primero y principal es que no hacen esquemas. t0M = 5 s Ahora vamos a armar las t0A = 0 s x0M = 0 m tC = ? v0M = 0 m/s2 x0A = 0 m xC = ? ecuaciones horarias. Tenés v0A = 30 m/s vC = 40 m/s aM = 4 m/s que tener los modelos a mano, ¿los tenés? Fijate, además, que el auto tiene un solo tipo c 0 de movimiento, un MRU. En cambio la moto tiene dos movimientos, uno a continuación del otro. El primero es un MRUV, el segundo un MRU. No sabemos cuándo comienza ese segundo movimiento de la moto, pero a ese evento lo llamé C (por cambio), y el instante ese, entonces, se llama tC aunque no sepamos cuánto vale.

auto

x = 30

.t

moto MRUV

x=2

(t – 5s)²

v=4

(t – 5s)

moto MRU

x = xc + 40

(t – tc )

Ahora que tenemos las herramientas que describen todo el movimiento... las usamos: les pedimos que hablen de los puntos interesantes... aquellos donde hay datos o incógnitas, por ejemplo c, e...

www.full-ebook.com

te = ? xe = ?

e

Estas son las ecuaciones que describen TODO el movimiento de ambos móviles. No hablan sólo de las situaciones que a vos te interesan, hablan de los infinitos instantes que transcurren durante el movimiento.

| 55 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

xe = 30

. te

[1]

(ec. de auto habla de e)

xc = 2

(tc – 5s)²

[2]

(ec. de moto habla de c)

[3]

(ec. de moto habla de c)

[4]

(ec. de moto habla de e)

40

=4

(tc – 5s)

xe = xc + 40

(te – tc)

Me lo temía... desembocamos sin quererlo en un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas (4x4), esto tiene solución. Y eso quiere decir que acá terminó la física, y lo que viene es álgebra... qué porquería. Pero bueno, una vez más se ve que el método es infalible. De la [3]

tc = 15 s meto esto en la [2] xc = 2

(15 s – 5s)²

xc = 200 m Ahora igualo la [1] con la [4] pero le meto adentro tc y xc que ya conozco

x xe

30

. te = 200 m + 40

(te – 15s)

30

. te = 200 m + 40

te – 600 m

– 10 xc

. te = – 400 m

te = 40 s t (s)

v (m/s) 30

ahora voy con este valor a la [1] y a la [4] para verificar que en las dos me da lo mismo, y efectivamente... xe = 1.200 m

t (s)

a (m/s ) 2

4 5 | 56 |

tc

te

Tengo que hacer los gráficos, porque los pide el enunciado. Y si no los pidiese tendría que hacerlos de todas formas. Como siempre... en tándem.

t (s)

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

3.16 Se lanza un paquete hacia arriba, con una velocidad de 3 m/s, por un tablón inclinado con rozamiento no despreciable. El paquete sube en línea recta hasta detenerse, y regresa luego al punto de partida. Asciende durante 2 segundos, y desciende durante 4 segundos. a) Hallar la aceleración que actúa en el ascenso, y la distancia que recorre sobre el plano, hasta detenerse. b) Hallar con qué aceleración desciende, y la velocidad con que llega al lugar de partida. c) Trazar los gráficos de aceleración, velocidad y posición del paquete, en función del tiempo.

Tal vez, lo primero que desconcierta de este ejercicio es que la trayectoria está inclinada. No tenés que hacerte problema por eso... alcanza con que apoyes sobre ese plano inclinado una regla lo suficientemente larga y listo: la usás como sistema de referencia. El esquema -a gusto tuyo- podés hacerlo inclinado u horizontal. Pero hacelo, porque es fundamental. Si no lo hacés... fuiste.

t0i = 0 s x0i = 0 m v0i = 3 m/s ai = ?

tRi = 2 s xRi = ? vRi = 0 m/s

0i

R

Fv

tFv = 6 s xFv = 0 m vFv = ?

tRv = 2 s xRv = xRi = ? vRv = 0 m/s av = ?

Te dibujé en gris oscuro la ida y en gris claro la vuelta. Son dos movimientos diferentes. Son ambos MRUV, pero tienen aceleración diferente. Llamé R -por retorno- al final del viaje de ida e inicio del viaje de vuelta. El enunciado no lo dice, pero regresa al punto de partida. Si hiciste bien el esquema, armar las ecuaciones horarias es un juego de niños. Las constantes del movimiento de ida las tenés en el primer globito de arriba, que describe el inicio de ese movimiento, 0i. Y las constantes para armar las ecuaciones de vuelta las tenés en el globito del punto de retorno, R, abajo a la derecha. Fijate cómo quedan. ida

vuelta

x=3

t+

v=3

+ ai t

x = xR +

ai t²

av ( t – 2s)²

v = av (t – 2s) Donde ai y av son las aceleraciones de ida y vuelta, respectivamente.

www.full-ebook.com

Estas son las ecuaciones que describen TODO el movimiento de ambos móviles. No hablan sólo de las situaciones que a vos te interesan, hablan de los infinitos instantes que transcurren durante el movimiento. | 57 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Ahora que tenemos las herramientas que describen todo el movimiento... las usamos: les pedimos que hablen de los puntos interesantes... aquellos donde hay datos o incógnitas, por ejemplo R, F... xR = 3 0

[1]

(ec. de ida habla de R)

+ ai 2s

[2]

(ec. de ida habla de R)

av (4s)²

[3]

(ec. de vuelta habla de F)

[4]

(ec. de vuelta habla de F)

2s +

=3

0 m = xR +

ai (2s)²

vF = av 4s

Me lo temía... desembocamos sin quererlo en un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas (4x4), esto tiene solución. Eso quiere decir que acá terminó la física, y lo que viene es álgebra... qué porquería. Pero bueno, una vez más se ve que el método es infalible. De la [2] despejo ai y la calculo.

ai = – 1,5

²

Ahora voy con este valor a la [1] y calculo xR xR = 3 x (m)

3

2s – 0,75

4 s² = 3 m

Este ejercicio ya es un paquete. Ahora voy con este valor a la [3] y calculo av (qué aburrido es todo esto...) t (s)

v (m/s)

3

2

0m=3m+

av 16 s²

6

Por último voy a la [4] y calculo la velocidad final del viaje de regreso. t (s)

vF = – 0,37

. 4s = – 1,5

Paquete total. -1,5 2

a (m/s ) -0,375 -1,5 | 58 |

t (s)

Si hay una lección importante en este ejercicio es: ¡qué herramienta enorme es el esquema! Ahora analicemos los gráficos. Te voy a tratar de hacer una descripción acabada de todo lo que puede verse en estos gráficos.

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Lo primero es el formato tándem: encolumnados en el orden posición-velocidad-aceleración y con una misma escala de tiempo. Ahora mirá el de posición: se trata de dos parábolas, ambas de concavidad negativa, la primera más cerrada, la segunda más abierta. En el instante 2s ambas tienen una inclinación nula (una tangente igual a cero). La oscura está más inclinada en 0s que la clara en 6s. Vamos al de velocidad: se trata de dos rectas de función descendente. La oscura, de mayor pendiente que la clara. Las áreas encerradas “debajo” de las respectivas curvas son iguales (si tenés dudas hacé las cuentas, es fácil, son dos triángulos). Ambas rectas están en la velocidad 0 en el instante 2s. Por último el de aceleración: dos rectas horizontales bajo el eje de los tiempos. En el instante 2s salta de un valor a otro. Todo bien.

DESAFíO:

Tratá de resolver esto: ¿en qué instantes y con qué velocidades pasa el paquete por la posición 1,2 m?

3.18 Se dispara un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 30 m/s. Se pide: a) Elegir un sistema de referencia, que mantendrá invariable en todo el desarrollo, y plantear las ecuaciones horarias del movimiento. Justificar los valores y signos asignados. b) Calcular su posición y velocidad al cabo de 2 s; 4 s; y 8 s de su lanzamiento. Hallar los desplazamientos entre 0 y 2 segundos; 2 s y 4 s; 4 s y 8 s. Interpretar. c) Determinar en qué instante vuelve a pasar por el punto de partida. d) Determinar el instante para el que su altura es máxima, y el valor de dicha altura. e) Hallar en qué instante se encuentra a 25 m de altura. f) Graficar la altura alcanzada, la velocidad y la aceleración del objeto, en función del tiempo.

¿Nada más?, ok, nos preparamos unos matecitos amargos (no existe otro tipo de mate)... Y esta vez no voy a hacer un esquema. El motivo es que nos piden tantas cosas... tantas... que el esquema quedaría un mamarracho. Además hay muchas situaciones sobre las que nos habla el enunciado que no podemos predecir dónde localizarlas y las situemos en lugares que no se correspondan con las correctas. (Eso no es nada grave, y es bastante común; el esquema aún así -erradosigue siendo útil). Pero temo confundirte. En cambio, voy a aprovechar este ejercicio para machacarte la fecunda e importantísima idea de la ecuación horaria. Si tenés los modelos de ecuación horaria de tiro vertical a mano: y = yo + vo ( t – to ) +

g ( t – to )²

v = vo + g ( t – to )

www.full-ebook.com

| 59 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

y reemplazás las constantes iniciales (que te dibujé en gris y que son decisiones tuyas)... nos quedan las ecuaciones horarias que describen todo el movimiento de nuestro objeto... y responden todas las preguntas del ejercicio. Tomemos el punto de partida como nivel cero (yo= 0m), que arranca en el instante cero (to= 0s) con un sistema de referencia, SR, que apunta hacia arriba (g = – 10 m/s²). Hecho todo esto las ecuaciones horarias quedan así: y = 30

.t–5

v = 30

– 10

. t² .t

Ahora podés preguntarles a las ecuaciones lo que quieras... ellas van a responder dócil y amablemente todas las preguntas que les hagas. Por ejemplo: querés saber cuáles son su altura y velocidad en el instante 2s... bien, donde dice t, colocá 2s... luego hacé la cuentita, y del otro lado del igual las ecuaciones te responderán cuánto valen esa altura, y2s, y esa velocidad, v2s. y2s = 30

. 2s – 5

v2s = 30

– 10

y2s = 40 m;

. 4s² = 60 m – 20 m . 2s = 30

– 20

v2s = 10

Ahora se te antoja saber cuáles eran las posiciones y velocidades en el instante 4s... procedés igual... las ecuaciones horarias nunca se cansan, siempre responden: y4s = 30

. 4s – 5

v4s = 30

– 10

y4s = 40 m;

. 16 s² . 4s

v4s = – 10

Viste que a los dos y a los cuatro segundos el objeto parece hallarse a la misma altura... tiene su lógica: todo lo que sube, baja. Vos confiá en las ecuaciones horarias... son unas ídolas. Preguntemos por el instante 8s... y8s = 30

. 8s – 5

v8s = 30

– 10

y8s = – 80 m; | 60 |

. 64s² . 8s

v8s = – 50

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Ahora los plomos estos quieren que encontremos los desplazamientos entre esas posiciones que acabamos de encontrar... suponen que van a sorprendernos... Démosles el gusto: Δy02 = 40 m;

Δy24 = 0 m;

Δy48 = – 120 m

Las ecuaciones horarias son tan dúctiles que podés interrogarlas de la manera inversa: en lugar de preguntarles por una posición para un instante les preguntás en qué instante tal posición. Lo único que hay que tocar son las variables... no apretes ningún otro botón, porque cambiás la ecuación y pasa a describir otro movimiento -no el tuyo-; fijate. Te vuelvo a copiar las ecuaciones: y = 30

.t–5

v = 30

– 10

. t² .t

Ahora queremos conocer el instante para la posición 0m... bien: donde dice y (en la primera ecuación) ponemos 0m... y la ecuación responde. 0m = 30

. t0m – 5

. t0m²

Es una cuadrática incompleta, de modo que vamos a obtener dos respuestas. No es que la ecuación sea salame. Es que no tenemos otra forma de preguntarle. Si no te animás a obtener la respuesta solo, yo te ayudo. Saco factor común t0m. 0m = t0m . (30

–5

. t0m)

Si el primer factor es cero, obtenemos la respuesta tonta: t0m = 0. Si el segundo factor es el nulo, obtenemos la respuesta interesante:

t0m = 6 s Y ya que estamos preguntémosle a la segunda ecuación qué velocidad tenía el objeto en ese instante. v0m = 30

– 10

. 6s

v0m = – 30 Ahora vamos a preguntarle por la altura máxima del vuelo. Voy a llamar a ese instante M, ¿te parece? Fijate cómo pregunto:

www.full-ebook.com

| 61 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

yM = 30

. tM – 5

vM = 30

– 10

. tM² . tM

Para encontrar el instante buscado tenés que saber que en ese instante vM = 0 m/s. Si no... fuiste. Acá, las dos ecuaciones deben trabajar juntas. De la segunda despejamos tM, y lo que da lo metemos en la primera:

tM = 3s ;

yM = 45 m

La última es la pregunta más difícil, pero a esta altura ya te diste cuenta de que la cinemática es una papa... todo el secreto está en armar correctamente las ecuaciones horarias, y amasijarlas a preguntas. Si querés saber en qué instante el objeto pasó por la posición 25m, bueno... donde dice y tendrás que escribir 25m y despejar el instante de tiempo correspondiente, que no será otro que t25m. 25 m = 30

. t25m – 5

. t25m²

Es una cuadrática completa. Hay que ordenarla, y usar la formulita de los griegos. 0 = – 25 m + 30

. t25m – 5

. t25m²

Se obtienen dos valores posibles. En este caso los dos son útiles 45 40 30 20 10 30

x (m)

t25m = 1s ;

t’25m = 5s

Y ya que estamos le pedimos a la segunda ecuación que nos cuente qué velocidades tenía el móvil en esos instantes. t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 v (m/s)

v’25m = 30 t (s)

-30 a (m/s 2 ) -10

| 62 |

v25m = 30

t (s)

v25m = 20

– 10 – 10

. 1s . 5s

; v’25m = – 20

Ya que nos gastamos tanto en resolver este ejercicio... los gráficos serán cuantitativos.

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Como siempre, en tándem, o sea, con una misma escala de tiempo, encolumnados en el orden preciso de posición-velocidad-aceleración. Apreciá cómo se corresponden entre sí (por ejemplo velocidad nula con el vértice de la parábola, donde su inclinación es nula). Mirá las áreas sombreadas, calculalas. Puse crucecitas en los instantes calculados. La posición en el instante 8s te la debo, porque se me iba mucho de escala.

DESAFÍO:

Tenés que rehacer todo, pero ahora con un SR idéntico, salvo en el que el instante de la partida vale 30 s.

3.27 Un globo de gas asciende verticalmente con velocidad constante de 10 m/s. Cuando se encuentra a 16 m del piso, un muchacho que está debajo le dispara con su gomera una piedra, la que parte verticalmente a 30 m/s desde una altura de 1 m. ¿A qué distancia del piso alcanzará la piedra al globo? ¿Cuánto tiempo después de partir? ¿Cuál será la velocidad de la piedra (respecto a la Tierra) en ese instante? Trazar los gráficos correspondientes.

De todas las herramientas cinemáticas, el esquema es la más idónea para organizar la información, para dar la idea general del movimiento con un solo golpe de vista. Aquí va. Observemos detenidamente el esquema. Puse el cero de las alturas en el piso, ya que el enunciado del problema refiere todas las alturas (datos e incógnitas) desde el piso, ¿por qué llevarle la contra? Marqué tres puntos notables: A es el evento en el que parte la piedra. B es el evento en el que el globo se encuentra a 16 m de altura. (Ya puede verse que los eventos A y B son simultáneos). Y e el evento en el que la piedra alcanza al globo. Después veremos que la piedra se cruza con el globo en dos oportunidades, pero bueno, nosotros no teníamos por qué apiolarnos de eso de antemano, ni tampoco es necesario. Además el enunciado pregunta sólo por el primer encuentro. Y además seguro que la piedra pincha al globo. Ahora escribimos las ecuaciones horarias que describen el problema... ¿Cuántas son? Tres, porsupu, porque el globo se mueve con MRU (se describe con una ecuación) y la piedra con un MRUV (dos). Con los modelos a mano: y = yo + v ( t – to ) y = yo + vo ( t – to ) + v = vo + g ( t – to )

g ( t – to )²

MODELOS.

www.full-ebook.com | 63 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Para armar las ecuaciones que describen los movimientos de nuestro problema reemplazamos las constantes (to , yo , vo y a) por las constantes iniciales de cada uno: para la piedra las del punto A, para el globo las del punto B. Estas son las ecuaciones que describen TODO el fenómeno del movimiento contado en el enunciado.

globo

y = 16 m + 10

.t

piedra

y = 1 m + 30

.t–5

– 10

v = 30

. t²

.t

Y les pedimos que hablen del punto e. Ellas dicen... Estas, en cambio, son las ecuaciones especializadas para los instantes que a vos te interesan.

ye = 16 m + 10

. te

ye = 1 m + 30

. te – 5

vpe = 30

– 10

[1] . te²

[2]

. te

[3]

¡Oh! ¡Albricias! Hemos encontrado (y no de casualidad, es algo casi inevitable) un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas (3x3) donde las incógnitas son aquellas que pregunta el enunciado del problema (miralas bien). Pues... la física del problema ha concluido, el resto es fundamentalmente álgebra, es menos dramático. (Este material me parece un poco reiterativo, todos los problemas me parecen iguales... ¿Por qué no usás algo más divertido?) Aquí una de las 254.328 resoluciones posibles: igualo los segundos miembros de [1] y [2] 16 m + 10

. te= 1 m + 30

. te – 5

. te²

esto es una única ecuación con una única incógnita, te. Lo siento, pero te está al cuadrado, vas a tener que operar para igualarla a 0 y usar la fórmula salvadora. 0 = 15 m – 20

. te + 5

. te²

Y obtenemos dos valores de te, uno usando el “+” y otro usando el “–”. ¿Los dos sirven? ¡Sí!, la piedra alcanza al globo, y si no lo pincha lo sobrepasa. Pero después se va frenando y regresa... y se vuelven a encontrar: te1 = 1 s | 64 |

www.full-ebook.com

te2 = 3 s

| Capítulo 1. Cinemática |

Con estos valores voy a las ecuaciones [1] y [2] (en ambas debo obtener los mismos resultados) y así obtengo las alturas en las que piedra y globo se encuentran ye1 = 26 m

ye2 = 46 m

También los llevo a la ecuación [3] y obtengo la velocidad de la piedra en los cruces vpe1 = 20

vpe2 = 0

26

x (m)

16 t (s)

1 30

Este último resultado es pura casualidad. Significa que el globo alcanza a la piedra justo cuando ésta está por comenzar a bajar. Se hallaba en su altura máxima.

10

Los gráficos tal vez te sirvan para terminar de cerrar las ideas. Siempre hay que hacerlos en tándem. Acá tenés la piedra en gris claro y el globo en gris oscuro.

0 -10

v (m/s)

1

3

t (s) 2

a (m/s )

t (s)

En el gráfico de velocidad en función del tiempo hay dos puntos notables, ¿te animás a encontrarlos, a decir qué significan y a decir si coinciden o no con la información que da el gráfico de alturas? También tenés que encontrar en el gráfico de velocidad (sólo para practicar) dos áreas iguales. Si te acordás cuál es el significado de las áreas de los gráficos v–t vas a ir al gráfico de y–t para saber qué buscar... y lo vas a encontrar.

DESAFíO:

Reescribir el enunciado del problema pero eligiendo valores tales que piedra y globo se encuentren una sola vez. (No vale pinchar el globo).

3.29 Una cañita voladora, que parte del reposo a nivel del piso, es impulsada verticalmente hacia arriba con una aceleración que se supone constante, mientras dura el combustible. Este se agota a los 5 segundos de partir, cuando está a 100 m de altura. Desde ese instante se mueve libremente, hasta que regresa al punto de partida. a) Determinar la máxima velocidad que alcanzará al ascender. b) A qué altura (máxima) del piso llegará la cañita. c) Trazar los gráficos de aceleración, velocidad y posición en función del tiempo, desde que parte hasta que vuelve al piso.

De todas las herramientas cinemáticas, el esquema es la más idónea para organizar la información, para dar la idea general del movimiento con un solo golpe de vista. Aquí va.

www.full-ebook.com

| 65 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

y M

tM = ? yM = ? vM = 0m/s

tA = 5s yA = 100m vA = ? A g

a

tP = 0s yP = 0m vP = 0m/s 0

F

Como el movimiento es vertical y la cañita sube y baja por la misma recta, se me superponían puntos de la trayectoria dificultando la comprensión, así que separé la subida de la bajada aunque en realidad esto no ocurre. Detecté que en el enunciado se mencionaban cuatro puntos o situaciones diferentes y las ubiqué en la trayectoria poniéndoles nombres. A la partida la llamé 0, al punto en que se agota el combustible lo llamé A, al punto donde alcanza la altura máxima M, y cuando llega al piso F. (Qué original). Hasta que se agota el combustible, ¿qué tipo de movimiento es? Un MRUV sencillo y cualunque como cualquier otro. Con una aceleración constante que no sabemos cuánto vale, pero valga lo que valga... eso valdrá; acá g no tiene nada que opinar. Hay muchos estudiantes que piensan que la gravedad es una condición omnipresente, cuando simplemente es una característica cinemática que describe cómo varía la velocidad. Mientras la cañita está empujada por su propio motor a chorro va aumentando su velocidad con una aceleración, a, que lo único que hace es describir ese aumento. Después de que se agota el combustible -desde A en adelante- se trata de otro MRUV, este sí con una aceleración igual a g, y continúa así... subiendo y bajando hasta tocar el piso. Y cuántas ecuaciones describirán todo este movimiento. Cuatro, porsu, ya que hay dos movimientos variados y cada movimiento variado se describe con dos ecuaciones: una de posición y otra de velocidad. Esto es como llenar un formulario impreso; tomo los “modelos” de ecuación horaria... ¿los tenés a mano? Son estos: y = yo + vo ( t – to ) +

g ( t – to )2

v = vo + g ( t – to ) Y ahora reemplazo las constantes (to , yo , vo y a) por los valores iniciales: para el primer movimiento las del punto 0, y para el segundo movimiento las del punto A. Estas son las ecuaciones que describen TODO el fenómeno del movimiento contado en el enunciado.

tramo con combustible

y=

a. t²

v=a.t tramo libre (tiro vertical) y = 100 m + v (t – 5s) – 5 A v = vA – 10

| 66 |

www.full-ebook.com

. ( t – 5s )

. (t – 5s)²

| Capítulo 1. Cinemática |

Y ahora que tenemos las ecuaciones horarias, ellas solas resolverán el problema. Pidámosles que “hablen” de aquellos puntos de los que pueden decir algo interesante. O sea: usémoslas. A las dos primeras, que hablen del punto A; y a las dos del movimiento libre (¿por qué se llamará “libre”?), que hablen del punto M. A ver qué pasa... 100 m =

a . 25 s ²

[1]

vA = a . 5 s yM = 100 m + vA ( tM – 5s ) – 5 0

= vA – 10

Estas, en cambio, son las ecuaciones especializadas para los instantes que a vos te interesan.

[2] . ( tM – 5s )²

. ( tM – 5s )

[3] [4]

Me lo temía... un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas. En este caso 4x4, pero muy pero muy fácil. Mirá: de la ecuación [1] despejamos a y calculamos: a=8 esto lo reemplazo en la ecuación [2] y obtengo vA = 40 Ahora, de la ecuación [4] despejo tM

NOTA:

tM = 9 s con estos resultados voy a la última ecuación que queda, la [3]

vF, la velocidad con la que llega al piso, ¡no es cero! De hecho llega al piso con la mayor rapidez de todo el movimiento. y

yM = 180 m La velocidad vA es la máxima de todo el ascenso, la que nos pide el enunciado, ya que hasta allí fue aumentando, y desde allí irá disminuyendo, frenando hasta alcanzar la altura máxima. Ah, me olvidaba de los gráficos. Hacelos siempre como yo, en este orden, encolumnados y con la misma escala de tiempo. Así les decimos: “en tándem”... ¿Tendrá alguna ventaja hacerlo de este modo?

v

tA

tM

tF

t

t

Usé el mismo código de grises que en el esquema: claro para el movimiento con motor y oscuro para el libre. Fijate la tangente (la inclinación) de la curva en el instante tM. ¿Cuánto vale?

t0

a t

Animate a decirme sin hacer cuentas, cuál de las dos áreas es mayor, ¿la clara o la oscura?

www.full-ebook.com

| 67 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

DESAFíO:

Hallar tF y vF. Hallar en qué instantes la altura de la cañita vale 50 m, en qué instantes vale 120 m, y en cuál 200 m. Si aceptás el desafío hacelo íntegro, ya que -aunque lo parece- NO es reiterativo: cada una de las alturas implica una dificultad diferente.

Mirá esto otro: la inclinación de la gráfica de velocidad, de 0 a A, es una inclinación (pendiente, como le gusta a los físicos) positiva; a partir de A, es una pendiente negativa... ¡que no cambia en el instante M! Ahora saltá al gráfico de aceleración y decime si no describe perfectamente la discusión que acabamos de hacer en el párrafo anterior.

4. Movimiento relativo 4.2 Un avión para dirigirse hacia el Este debe volar orientado como se indica en la figura. En una hora recorre 300 km en la dirección Oeste-Este. Si el viento sopla hacia el Norte, ¿con qué velocidad lo hace?

Se ve que el piloto de este avión sí es experto. Quiere dirigirse hacia el Este, y para lograrlo apunta la nariz del aparato un poco hacia el Sur.

avió

n-ai

re

viento

avión-Tierra

vMT

 vMR vMT

= vMR + vRT

vRT

Mirá estos esquemitas que nos muestran el vuelo del avión en la dirección O-E con velocidad de 300 km/h (la palabra recorre, del enunciado indica que está medido desde la Tierra). Y la representé con un vector gris claro. Por lo tanto ese vector no es otro que VMT. (Fijate la nomenclatura que uso acá). Su velocidad en el aire, VMR, debe apuntar ligeramente hacia el Sur. Y el viento es el medio que se mueve respecto de la Tierra y su velocidad la represento con el vector VRT. apunta hacia el Norte. Luego, y como siempre, los tres vectores se combinan en esta suma, cuya única disposición posible es la del esquema. En ese triángulo que queda formado entre los 3 vectores, tenemos dos datos: el ángulo marcado como α = 17°, el cateto adyacente a él, VMT = 300 km/h. Los otros elementos salen por trigonometría. En especial la incógnita planteada por el enunciado, que es el cateto opuesto a α, la velocidad del viento, VRT. Acordate que

| 68 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Luego: DESAFÍO:

VRT = VMT . tg α VRT = 300

¿Cuánto vale la velocidad del avión en el aire?

. tg 17°

VRT = 92 Fotografiado desde un satélite nuestro avioncito se vería de esta manera:

4.3 Un bote cruza un río de 60 m de ancho con una velocidad de 4 m/s respecto del agua, orientada de tal forma que, si las aguas estuvieran quietas, cruzaría perpendicularmente a las orillas. El bote parte de un punto A ubicado sobre una de las márgenes y llega a otro punto B en la margen opuesta, distante 100 m de A. ¿Cuál es el módulo de la velocidad del bote respecto de tierra y cuánto tarda en cruzar el río?

a) 5,33 m/s y 25 s d) 6,66 m/s y 25 s

b) 5,33 m/s y 15 s e) 6,66 m/s y 15 s

c) 5,33 m/s y 10 s f) 6,66 m/s y 10 s

Vamos a repasar un poquito así te familiarizás con la nomenclatura y los subíndices. A la velocidad del río, que representé en gris oscuro, la llamé VAT (velocidad del agua vista desde la Tierra). A la velocidad del bote en el agua, VBA (velocidad del bote vista desde el agua). Y a la velocidad del bote vista desde la orilla, VBT (velocidad del bote vista desde tierra firme).

B

A’ VAT VBA VBT

A

Galileo Galilei advirtió por primera vez que se cumple esta ley vectorial entre las velocidades. Si sos cuidadoso en el uso de los subíndices, verás que se forma un sanguchito donde el medio móvil (en nuestro caso el agua) es el jamón (BT y BAAT). =

+ VBT

Por un lado tenemos que

Así se ve al bote avanzar si estás afirmado a la Tierra (desde arriba de un puente, por ejemplo).

www.full-ebook.com | 69 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

y es dato del problema que VBA = 4 m/s entonces

Ahora que sabemos cuánto tarda en cruzar el río, también podemos saber con qué velocidad lo ven cruzar desde la orilla.

e) 6,66

y

15 s

Ya que estamos... Si reemplazamos en la ecuación de Galileo las tres definiciones de velocidad (recordá que son constantes) y cancelamos Δt (operación absolutamente lícita ya que Δt es sólo un número, una magnitud escalar) lo que nos queda es una relación entre tres segmentos, AB, AA’ y A’B, que forman un triángulo rectángulo y que por lo tanto entre ellos se verifica el Teorema de Pitágoras. AB es la hipotenusa y vale 100 metros. AA’ es el cateto menor y vale 60 metros. A’B es el cateto mayor y no sabemos cuánto vale, pero la calculadora seguro que sí. A’B² = AB² – AA’² A’B² = 80 m Si hacemos lo mismo con las velocidades, verificamos que

y también ²=

²+

²

Todo cierra. Ojo, esto vale sólo para este problema y para aquellos otros en los que el docente sea tan gentil de poner dos velocidades normales entre sí. Nada lo obliga.

| 70 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

4.4 Entre los muelles A y B, que están en la misma orilla de un canal rectilíneo, hay una distancia de 400 m. Un bote de remos tarda 40 segundos en ir de A hasta B, y 50 segundos en regresar. Considerando constantes los módulos de las velocidades del bote respecto del agua y de la corriente respecto a la orilla, hallar el valor de los mismos.

Acá tenemos dos movimientos; el primero es el bote yendo de A hacia B, y el segundo es el regreso. Y ambos son movimientos efectuados en un medio que tiene movimiento propio: el río. O sea, tenés dos problemas en uno. Mirá el esquema: te hice los dos movimientos por separado, pero usé el mismo sistema de referencia.

B

A 400 m

Para cada uno de los movimientos se cumple que la velocidad del bote (nuestro móvil), medida desde la orilla (desde la Tierra), es igual a la velocidad del bote en el agua más la velocidad del agua, o sea la del río. ¿Identificaste a los tres protagonistas de esta historia? Son siempre los mismos. Acá, como subíndice, usé B (de bote) en lugar de M (de móvil). VBT = VBR + VRT Acá lo voy a aplicar dos veces, una para el movimiento de la ida y otra para la vuelta. VBT ida = VBR + VRT VBT vuelta = VBR + VRT La velocidad del río no cambia durante los dos movimientos, por eso no le puse subíndice ida ni vuelta. Lo mismo para la velocidad del remero (que se supone que no está más cansado a la ida que a la vuelta). Fijate que el largo de los vectores gris oscuro y negro es en los dos casos el mismo.

www.full-ebook.com | 71 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Es fácil entender que AB = – BA, y por lo tanto VBT ida es positivo y VBT vuelta es negativo. No tan sencillo es razonar que en un caso el bote va a favor de la corriente y en el otro en contra. O sea: VBR ida = – VBR vuelta. Si reescribimos las ecuaciones metiendo esta información... 10

= VBR + VRT

–8

= – VBR + VRT

Hoy es nuestro día... encontramos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. El resto es álgebra. Es fácil: sumemos ambas ecuaciones miembro a miembro 2

= 2 VRT VRT = 1

la velocidad del río

Con ese valor vamos a las dos ecuaciones y verificamos que dan igual.

DESAFíO:

¿qué pasará el día que el río tenga una crecida y avance a 9 m/s?

VBR = 9

la velocidad del bote

4.11 Felipe mide el tiempo de caída de una moneda que tiene sujeta con sus dedos a una altura h del piso de un ascensor, cuando el mismo está en reposo. Repite la experiencia cuando el ascensor sube con velocidad constante de 2 m/s, y nuevamente la realiza cuando desciende a 2 m/s, siempre desde la misma altura h. ¿En cuál de las experiencias registró un intervalo de tiempo mayor?

?

Para que te vayas ambientando te hice un dibujito que vamos a usar como esquema, y nos va a servir para las tres situaciones descriptas en el enunciado. tic - tac tic - tac

| 72 |

El flaquito ése es Felipe, con un cronómetro en la derecha y jugando con moneditas con la izquierda. Como tiene un cronómetro que le permite poner el cero en el inicio de la caída, en lugar de considerar intervalos voy a considerar instantes de la caída (supongo que tenés claro que Δt es igual a t cuando t0 es igual a 0).

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

El modo tradicional de resolver el problema sería plantearlo como un encuentro entre la moneda y el piso del ascensor, que puede estar quieto, subir a velocidad constante o bajar también a velocidad constante. La ecuación de la moneda (MRUV) sería y = h + vM . t – 5

. t²

y la del piso del ascensor (MRU) y = vA . t En el encuentro la altura de ambos será la misma, por lo tanto puedo igualar los segundos miembros de ambas ecuaciones. Quedaría una cosa así: vA . te = h + v0M . te – 5

. te²

y acá viene el pase mágico: ¡tenés que apiolarte de que la velocidad inicial de la moneda es la misma para ambos móviles! ¡Patrañas!, pensarás vos... el enunciado dice que Felipe suelta la moneda... no que la arroja (tampoco dice “suelta” pero lo da a entender)... y desde que tenías 5 años te enseñaron que “suelta”, o “deja caer”, significa velocidad inicial igual a cero. Temo que no entendiste del todo correctamente... Es cierto que “suelta” significa velocidad inicial nula, ¡pero con respecto a los dedos que sueltan! Vamos de otra manera: cuando el ascensor sube a 2 m/s la mano de Felipe también sube a 2 m/s, y la moneda de la mano de Felipe también sube a 2 m/s. Y pasará lo mismo en cualquier otra situación. De modo que cuando Felipe suelta la moneda, en ese preciso instante, la moneda tendrá la misma velocidad que el ascensor... valga lo que valga. O sea: vA = v0M eso hace que dos términos se cancelen, y te queda... 0=h–5

. te²

de donde el tiempo en llegar al suelo valdrá siempre lo mismo, es independiente de lo que haga el ascensor (mientras sólo se mueva a velocidad constante), y será

www.full-ebook.com

| 73 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

y

Acá te hice tres gráficos en la misma escala de tiempo. La posición de la moneda en gris oscuro, y la del piso del ascensor en gris claro. Quieto, subiendo y bajando, respectivamente. ascensor parado

t

y

iendo

or sub

ascens

t

y

t

ascen

sor ba

jando

Prestale atención al detalle de esa rayita gris que coloqué sobre la parte inicial de la gráfica de la moneda. La tracé exactamente tangente a la curva. O sea que el tramo inicial de la curva, y la rayita ésa, tienen la misma inclinación. Acordate que la inclinación de la curva posición-tiempo nos revela la velocidad de móvil. Fijate también que la rayita es paralela a la gráfica de posición-tiempo del piso del ascensor. Estos detalles no son casuales; nos indican que los gráficos son gráficos No me salen, que vienen con garantía de cinco años, y que nos muestran que la velocidad inicial de la moneda al dejarla caer es igual a la velocidad del ascensor, o sea... nada. Y ahora vamos a resolver la cuestión con consideraciones galileanas.

Discusión:

Ni tirar monedas, ni ningún otro experimento (esto es lo que le interesaba a Galileo) sirve para decidir si un espacio (en este caso el ascensor) se está moviendo uniformemente o si está quieto. Todavía más, te digo: ES LO MISMO.

DESAFíO:

Buscá una expresión que te permita calcular la velocidad con que llega la moneda al piso del ascensor, vista por el chabón de planta baja.

Voy a llamar VMA, a la velocidad de la moneda vista por Felipe, un habitante del ascensor. VAT será la velocidad del ascensor vista por un terrícola parado en planta baja (u otro piso cualquiera, eso es a gusto tuyo). Y VMT, la velocidad de la moneda vista por el terrícola que, obviamente, debe tener vista de rayos X. Galileo estableció que: VMT = VMA + VAT Las velocidades que nos interesan son las que tiene la moneda antes de ser soltada. De modo que para nuestro análisis: VMA = 0, de lo que concluimos que VMT = VAT que no es otra cosa que lo que razonamos antes cuando planteamos el encuentro entre dos cuerpos independientes, ambos observados desde Tierra. THE END.

4.12 Resolver el problema 3.12 a partir de un sistema de referencia en el cual el carnero blanco está en reposo, determinando sus ecuaciones horarias respecto al mismo. Trazar los gráficos correspondientes..

¿Te acordás del problema 3.12 de los carneros? Pegale una ojeada, o resolvelo, si no lo hiciste. | 74 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

La propuesta es rehacer el mismo problema pero con un SR montado en el lomo del carnero blanco. De modo que si él se mueve para allá o para acá, su posición va a ser cero, siempre cero, ¿se entiende? Si el tipo decide arrancar con todo y acelerar a fondo para atropellar al negro, él va a seguir estando en la posición cero, con velocidad cero y con aceleración cero... Y todo el universo se va a estar moviendo, y acelerando hacia atrás... ¡ni qué hablar de lo que le ocurre al carnero negro! Pero no te asustes, todo tiene solución. El sistema móvil que permite movimientos adentro suyo es la imaginación del carnero blanco. Es el carnero blanco. De modo que serán: VNB, la velocidad del carnero Negro visto por el carnero Blanco. VBT, la velocidad del carnero Blanco visto desde la Tierra por un observador asustadísimo. Y VNT, la velocidad del carnero Negro visto por el mismo observador. Como siempre se cumple que

Carnero: Ovis aries. Macho de la oveja; rumiante ungulado que nunca hace paro; de la familia de los bovidae.

VNT = VNB + VBT Pero qué pasa con las aceleraciones. Exactamente lo mismo. Si dividimos la igualdad anterior toda por el mismo intervalo de tiempo nos queda: aNT = aNB + aBT Visto desde la Tierra, las aceleraciones son las que se describían en el problema 3.12, o sea aNT = – 1,4 m/s² (acordate que habíamos puesto el sentido positivo de las x apuntando del blanco hacia el negro), y aBT = 1,6 m/s². Despejando aNB = aNT – aBT aNB = – 3 O sea, para el carnero blanco, que se siente el centro del universo, el carnero negro retrocede hacia el centro, hacia él, con una aceleración de 3 m/s². ¡Era lo lógico! ¡Podría haberlo predicho sin saber jota de física! Armemos las ecuaciones del carnero negro (las del blanco son todas cero, cero, cero). x = 24 m – 1,5 v=–3

. t2

.t

Pedirles a estas ecuaciones que hablen del encuentro es lo mismo que pedirles que hablen de la posición cero, o sea del carnero blanco, centro del mundo.

www.full-ebook.com

| 75 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

0 m = 24 m – 1,5 ve = – 3 x (m)

24

24

. te Ya lo sabía... dos ecuaciones con dos incógnitas. ¡Es mucho más fácil este planteo que el original! (el original terminaba en un 4x4). De la primera ecuación:

x (m)

12,8 t (s) 6,4

4

v (m/s)

v (m/s)

4

t (s)

1,6

¡lo mismo que en el original!

Ahora con este resultado voy a la segunda ecuación y me queda... -12 a (m/s2)

a (m/s2) t (s)

-1,4

te = 4 s

t (s)

t (s) -5,6

. te2

t (s)

ve = – 3

.4s

ve = – 12

-3

¿lo mismo que en el original?

Miremos cómo quedan los gráficos. Te voy a hacer dos columnas. A la izquierda los mismos gráficos que tenés en el problema 3.12, o sea, los carneritos vistos por el observador fijo a la Tierra. Y la columna de la derecha, el universo visto por el carnero blanco. DESAFíO:

El mismo que en el 3.12, o sea, que el carnero negro sale con toda la furia, pero 1 segundo después que el blanco.

Si te ponés a contemplar los gráficos tenés muchas cosas para descubrir, áreas que son iguales, diferencias entre magnitudes que valen lo mismo, etc., etc. Inspirate.

5. Tiro oblicuo 5.4 Un gato maúlla con ganas, instalado sobre un muro de 2 m de altura. Juan está en su jardín, frente a él y a 18 m del muro, y pretende ahuyentarlo arrojándole un zapato. El proyectil parte con una velocidad de 15 m/s, formando 53° con la horizontal, desde una altura de 1,25 m. a) Hallar a qué altura por encima del gato pasó el zapato. b) Determinar a qué distancia del otro lado del muro llegó el zapato al piso.

En los ejercicios de Tiro Oblicuo, más que nunca, hay que empezar por un esquema. Este de aquí me quedó de cuando hacía los No me salen a mano. Qué loco, ¿no?

| 76 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Por qué puse el origen de referencia en el piso, bueno, porque algunos datos que da el enunciado ya vienen referidos al piso: “un muro de 2 m de altura”, etc. Me resulta más fácil pensar las cosas así. Pero cualquier otro sistema de referencia hubiera servido igual. ¿Cuántas ecuaciones horarias describen este problema? Tres, porsupu, como todo TO. Para hallarlas basta con reemplazar las constantes (to , xo , yo , vx ,voy , y g) de las ecuaciones generales de los tiros oblicuos: x = xo + vx ( t – to ) y = yo + voy ( t – to ) +

g ( t – to )²

vy = voy+ g ( t – to ) vx y voy no son datos del enunciado. En cambio nos dan la velocidad real, vo , con la que sale disparado el zapato y el ángulo de disparo. Bien, con eso alcanza... vx = vo cos 53° = 15 voy = vo sen 53° = 15

. 0,6 = 9 . 0,8 = 12

Esos son los valores que puse en el esquema, en el globito que habla del punto 0. Con todas esas constantes, entonces, armamos las ecuaciones que describen el movimiento del zapato. x=9

. t1

y = 1,25 m + 12 vy = 12

ESTAS SON LAS ECUACIONES QUE DESCRIBEN TODO EL FENÓMENO DEL MOVIMIENTO CONTADO EN EL ENUNCIADO.

– 10

.t–5

. t²

.t

Lo que resta ahora es muy sencillo; basta con que les pidamos a las ecuaciones del zapato que hablen de los puntos de interés en el problema: el 1 y el 2. Pero a la ecuación de velocidad vertical le vamos a dar descanso: ningún dato aportan sobre velocidad los puntos 1 ni

www.full-ebook.com

| 77 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

2. Ni tampoco nos preguntan nada sobre velocidad en esos puntos. Veamos. 18 m = 9 Estas, en cambio, son las ecuaciones especializadas para los instantes que a vos te interesan.

. t1

y1 = 1,25 m + 12 x2 = 9

[1] . t1 – 5

. t1²

. t2

0 m = 1,25 m + 12

[2] [3]

. t2 – 5

. t22

[4]

Me lo temía: quedó un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas (4x4), en las que las incógnitas, si sabemos interpretarlas, son las que nos pide el enunciado del problema. Quiere decir que acá terminó la física del problema... lo que resta es álgebra. Y es bastante sencilla. Si lo mirás con cariño te das cuenta de que las dos primeras forman un sistema chiquito (2x2) y las dos últimas, otro. Se resuelven por separado. Fijate: De la ecuación [1] despejás t1; alcanza con que pases dividiendo los 9 m/s al primer miembro. Te queda t1 = 2 s. Ese es el instante en el que el zapato pasa justo por arriba del gato (o lo estampa, todavía no sabemos). Andá haciéndolo conmigo, no seas vago. Ahora ese resultado, t1 = 2 s, lo metemos en la ecuación [2]. Volvé a escribirla, pero cada vez que dice t1, escribí 2 s. Tené cuidado, mirá que (2 s)² = 4 s². Después de reemplazar, multiplicás, sumás, restás y obtenés y1 que te da: y1 = 5,25 m. Pero el enunciado preguntaba cuánto por encima del gato pasó el zapato, y el gato estaba a 2 m. Llamemos h a la altura que buscamos, entonces h = 5,25 m – 2 m h = 3,25 m Ahora vamos a trabajar con las otras dos ecuaciones, la [3] y la [4]. Siempre hay que empezar con la ecuación que tiene menos incógnitas, en este caso la [4], cuya única incógnita es t2, el instante en que el zapato toca el piso. Hay un problema: no se puede despejar así nomás (si no me creés probá) porque aparece una vez elevada al cuadrado, pero no te preocupes... los griegos inventaron una formulita que resuelve el problema y que hay que tener siempre a mano:

| 78 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

x1.2 representa la variable que sea, en nuestra ecuación es t2, pero como en toda cuadrática vamos a tener dos resultados, uno es el que buscamos, el otro es un colado. Para usar la formulita de los griegos hay que tener cuidado de que la ecuación esté igualada a cero. Por suerte es nuestro caso: c es el término independiente, b es el coeficiente lineal y a el coeficiente cuadrático. Te los paso en limpio: c = 1,25 m,

b = 12

,

a=–5

Usando una vez el “+” y otra vez el “–”, encontramos los dos valores de t2 que nos dan: t2 = 2,5 s y t2´= – 0,1 s No cabe duda de cuál es el bueno y cuál el colado. Ahora metemos ese resultado en la ecuación [3] y resulta x2 = 9

. 2,5 s = 22,5 m

Entonces la distancia desde el muro es

DESAFíO:

d = 22,5 m – 18 m d = 4,5 m A buscar el zapato del otro lado. ¿Te diste cuenta de que sólo recuadro las respuestas al enunciado?

El gato no vio salir el zapato por la ventana y por lo tanto no sabe desde qué altura salió. Es más, él cree que el zapato es un objeto volador de tiros oblicuos que salió lanzado desde el piso. Sin hacer operaciones que no sea mentalmente, decir cuánto debe suponer el gato que duró el vuelo del zapato. (Rta.: 2,6 s)

5.8 Susana arroja horizontalmente su llavero desde la ventana de su departamento, y Andrés lo recibe a 1,2 m de altura sobre el piso, 0,8 segundos después. Sabiendo que Andrés se encuentra a 4,8 m del frente de la casa de Susana, hallar: a) A qué altura del piso partió el llavero. b) Con qué velocidad llegó a las manos de Andrés. c) Cuál es la ecuación de la trayectoria.

Repasemos cómo se hace un esquema: 1) dibujo la trayectoria; 2) indico en la trayectoria los puntos (o, si querés: eventos) de interés, ya sea porque contienen datos o porque contienen incógnitas que son preguntadas en el problema; 3) LES PONGO NOMBRE; 4) automáticamente surge el nombre de cada ins-

www.full-ebook.com

| 79 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

y

escalera apoyada en el SR

0 t0 = 0 s x0 = 0 m y0 = ? vx = ? vy0 = 0 m/s ax = 0 m/s2 ay = -10m/s2

tante, posición, velocidad y aceleración (las características cinemáticas) de cada punto; 5) a cada característica le pongo el valor que corresponde, ya sea por ELECCION o por obligación. El SR quedó automáticamente determinado. Mirá el que hice yo:

v0

t1 = 0,8 s x1 = 4,8 m y1 = 1,2 m vx = ? vy1 = ?

Luego escribimos las ecuaciones horarias. Para eso basta con reemplazar las constantes (to , xo , yo , vx , voy , y g) de las ecuaciones 1 generales de cada movimiento (horizontalx mente un MRU y verticalmente un MRUV), por las constantes iniciales de nuestro movimiento. Estos son los modelos, los de todo tiro oblicuo: x = xo + vx ( t – to ) y = yo + voy ( t – to ) +

g ( t – to )²

vy = voy+ g ( t – to ) Y estas ecuaciones son las del llavero de Susana, que se obtienen al reemplazar las constantes (to , xo , yo , vx , voy , y g) que, fijate, están todas en el globito del esquema, al lado del punto 0. Estas son las ecuaciones que describen TODO el movimiento del llavero de la felicidad.

x = vx . t y = yo – 5

. t²

vy = – 10

.t

Fijate que lo que acabo de escribir son las ecuaciones que describen TODO el movimiento del llavero; hablan de las infinitas posiciones que ocupa, y de sus respectivos instantes de tiempo. ¿OK? El resto es automático: les pedimos a las ecuaciones que “hablen” de los puntos (como diría un físico: las especializamos) que tienen interés, en este caso sólo el punto 1. Estas son las ecuaciones especializadas para el instante que a Andrés y a vos les interesan.

4,8 m = vx . 0,8 s

[1]

1,2 m = yo – 5

[2]

vy1 = – 10

. (0,8 s)²

. 0,8 s

[3]

Inevitablemente desembocamos en un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas. Lo que sigue es álgebra. Quede claro que acá ter| 80 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

minó la física del problema. Igual te lo resuelvo: para eso están los No me salen. De la ecuación [1] despejamos vx y calculamos vx = 6 De la ecuación [2], despejando, sale directamente yo, que es una de las cosas que pide el enunciado del problema: la altura de la que parte el llavero. yo = 4,4 m Ahora, de la ecuación [3], también sale directamente vy1 vy1= – 8 Para saber con qué velocidad llega el llavero a manos de Andrés, hay que componer las velocidades horizontal y vertical en ese instante. Pitágoras lo hace por nosotros.

v1 = 10 El toque de distinción lo das indicando con qué ángulo llega el llavero a manos de Andrés. α1, respecto a la horizontal, es aquel cuya tangente vale vy1/vx. De modo que

1

vx 1

v1y v1

La ecuación de la trayectoria consiste en relacionar la altura con la posición de avance,y con x, y podemos obtenerla fácilmente, ya que contamos con una ecuación de y y una de x que dependen de la misma variable, t. Despejemos t de una de ellas y reemplacémosla en la otra. Mirá: x=6

.t

entonces

esta expresión de t la meto en la ecuación de alturas, y = 4,4 m – 5 m/s² . t²

www.full-ebook.com

| 81 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Fijate: es una función posición-posición, altura en función de posición lateral, y en función de x, y = f (x). En el curso de Física del CBC no la usamos casi nunca. Los gráficos sí... atenti.

x

Gráficos horizontales

NOTA:

Agradezco las lecturas atentas de Daniel Benegas y de Emanuel Muiño que reportaron sendos errores en este ejercicio.

Gráficos verticales

t

t vy

vx

t

DESAFíO:

Rehacer el problema con un SR cuyo origen de coordenadas se halle localizado en el punto 0’ (2;2) del SR anterior. (Rta.: los resultados no cambian, salvo la ecuación de la trayectoria).

y

t ax

t

ay t

5.10 Un jugador de fútbol efectúa un saque de arco. La pelota pica en la cancha 60 m más adelante y 4 segundos después de haber partido. Hallar la velocidad de la pelota en el punto más alto y con qué velocidad llega a tierra. y 1 t0 = 0 s x0 = 0 m y0 = 0 m vx = ? vy0 = ? ax = 0 m/s2 2 ay = -10 m/s

t1 = ? x1 = ? y1 = ? vy1 = 0 m/s 0

t2 = 4 s x2 = 60 m y2 = 0 m vy2 = ?

A esta altura del partido ya no hay duda de por dónde hay que empezar. Pegale un vistazo al esquema.

¿Cuántas ecuaciones horarias describen este problema? Tres, porsupu, como todo TO. Para x hallarlas basta con reemplazar 2 las constantes (to , xo , yo , vx , voy , y g) de las ecuaciones generales de los tiros oblicuos: x = xo + vx ( t – to ) y = yo + voy ( t – to ) +

g ( t – to )²

vy = voy+ g ( t – to ) | 82 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

En el esquema, en el globito que habla del punto 0, están todas las constantes que necesitamos para armar las ecuaciones que describen el movimiento del cuerpo. x = vx . t y = voy . t – 5

. t²

vy = voy – 10

.t

Esta es la parte importante del problema; miralas, disfrutalas, esas tres ecuaciones que quedaron ahí escritas describen todo el movimiento, todo el fenómeno. Mirá cómo hablan de todos los instantes, de todas las posiciones. Lo que resta ahora es muy sencillo; basta con que les pidamos a las ecuaciones del cuerpo que hablen de los puntos de interés en el problema: el 1 y el 2. A la ecuación de velocidad vertical le vamos a dar descanso en el punto 2. x1 = vx . t1

[1]

y1 = voy . t1 – 5

. t1²

[2]

0

. t1

[3]

= voy – 10

60 m = vx . 4 s

[4]

0 m = voy . 4 s – 5 v2y = voy – 10

. 16 s ²

. 4 s

Estas son las ecuaciones especializadas para los instantes que a vos te interesan.

[5] [6]

Me lo temía: quedó un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas (6x6), en las que las incógnitas, si sabemos interpretarlas, son las que nos pide el enunciado del problema. Quiere decir que acá terminó la física del problema... lo que resta es álgebra. Y es bastante sencilla. Si lo mirás con cariño te das cuenta de que las dos últimas forman un sistema chiquito (2x2). De la ecuación [4] despejás

lo mismo hacés con la [5], que también tiene una sola incógnita

sabiendo cuánto vale voy vamos a la [3] y despejamos t1

www.full-ebook.com

| 83 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

algo que ya sabíamos por el criterio de simetría. Con todos estos datos recién hallados nos vamos a las ecuaciones [1] y [2] x1 = 15

. 2 s = 30 m

algo que también ya sabíamos por el criterio de simetría. Por último: y1 = 20

.2s–5

. 4 s² = 20 m

lo único que falta es interpretar que en el punto más alto la velocidad del cuerpo no es otra que su velocidad en x, ya que ahí, justo ahí, su velocidad vertical es cero v1 = vx = 15 Por último, de [6] v2y = 20

– 10

. 4 s = –20

Para hallar v2 hay que componer v2y con vx. Haciendo Pitágoras... y buscando el arco cuya tangente vale v2y / vx...

v2 = 25

60

; α2 = 59º

x (m)

20

y (m)

t (s) vx (m/s)

2

t (s)

15

DESAFíO:

Hallar en qué instante la pelota forma un ángulo de 30 grados con la horizontal. | 84 |

4

ax (m/s2)

20

4

t (s)

t (s)

2

ay (m/s )

t (s) -10

www.full-ebook.com

vy (m/s)

2

t (s)

| Capítulo 1. Cinemática |

5.12 Desde un punto en el suelo se lanza una piedra con una velocidad de 5 m/s en una dirección que forma un ángulo de 37° con la horizontal. Simultáneamente desde otro punto se deja caer una piedra, chocando ambas a los 0,3 s de haber sido lanzadas. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de encuentro? ¿Desde qué altura se dejó caer la segunda piedra? Realice las gráficas de x, y, vx, vy, en función del tiempo para ambas piedras. Dibuje en escala las trayectorias de ambas piedras (en el mismo gráfico). Compare el ángulo de tiro con el de mira. y 02 t02 = 0 s Parece que se complica, ¿no?... no desesx02 = ? peres... el suicidio siempre es la última t01 = 0 s y02 = ? opción. Antes, probemos el método te = 0,3 s x01 = 0 m v01 vy02 = 0 m/s xe = ? No me salen; vas a ver que al final y01 = 0 m ye = ? vx1 = 4 m/s era tan difícil y tan fácil como cualvy01 = 3 m/s quier otro problema de cinemática. e ax1 = 0 m/s2 Empecemos por el esquema. ay1 = -10m/s2 x No te olvides que dado un vector y el 01 a) b) c) d)

ángulo que forma con x, hay que considerar dato también a sus componentes: v01x = v01 cos 37°, y v01y = v01 sen 37°

Ok, ahí donde se cruzan ocurre el encuentro. Vamos a armar las ecuaciones. Tomamos las constantes iniciales de cada movimiento y ya. A las ecuaciones de velocidad les damos vacaciones ya que el problema no pregunta ni afirma nada sobre las velocidades en el encuentro. Para la piedra 1 (tiro oblicuo) x=4

.t

y=3

.t–5

. t²

Para la piedra 2 (caída libre) y = y02 – 5

. t²

Ahora les pedimos a estas 3 ecuaciones que describen todas las posiciones que hablen exclusivamente del encuentro. xe = 4

. 0,3 s

ye = 3

. 0,3 s – 5

ye = y02 – 5

[1] . 0,09 s²

. 0,09 s²

[2]

Estas son las ecuaciones especializadas para los instantes que a vos te interesan.

[3]

www.full-ebook.com

| 85 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

¿Viste?, tanto drama... quedó un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Todos los problemas son iguales... las ecuaciones horarias son herramientas muy poderosas. Bueno, te hago el álgebra: de la [1] xe = 1,2 m de la [2] ye = 0,9 m – 0,45 m = – 0,45 m E: ( 1,2 m î ; 0,45 m ĵ

las coordenadas del punto de encuentro

Por último vamos a la [3], de donde despejo y02 y02 = 0,45 m + 0,45 m altura inicial de la segunda piedra

y02 = 0,9 m

Para hacer los gráficos en escala hay que calcular algunas cositas más. Con lo que tenemos no alcanza. Por ejemplo... cuál fue la altura máxima del tiro oblicuo, o cuándo la alcanzó. Si hacés ese cálculo te vas a encontrar con que la altura máxima se alcanzó justo a los 0,3 s, justo en el encuentro. No tiene ningún significado físico, es sólo falta de imaginación del autor del problema. Bueno, ahora sí podemos hacer los gráficos. x (m)

0,9

1,2

y (m)

0,45 t (s) vx (m/s)

4

Bueno, rehacé vos el esquema... pero a escala, y fijate si hay alguna relación entre los ángulos que te digo ahora: el que forma la recta que une los puntos iniciales de ambas piedras, el del tiro oblicuo y el que forma la recta que une el inicial del tiro oblicuo con el punto de encuentro... Vos buscá... después hablamos. | 86 |

0,3

vy (m/s) t (s)

DESAFíO:

ax (m/s2)

t (s)

3

-10

www.full-ebook.com

t (s)

ay (m/s2)

t (s)

0,3

t (s)

| Capítulo 1. Cinemática |

5.13 ¿Cuál es el ángulo de inclinación para el que es mayor el alcance de un tiro oblicuo? Puede trabajar con la parábola de tiro usando las relaciones entre las funciones trigonométricas.

Cualquiera lo sabe, en especial los lanzadores de jabalina o de martillo, o de piedras o de cualquier porquería. El ángulo que mayor alcance le da a un tiro oblicuo es el de 45º. Te lo voy a tratar de demostrar. Partamos de las ecuaciones horarias de posición para el TO. x = xo + vx ( t – to ) y = yo + voy ( t – to ) +

y

g ( t – to )²

Para hacer las cosas más sencillas tomemos to = 0 s y xo = yo = 0 m, con un SR vertical hacia arriba; mirá el esquema. Entonces las ecuaciones quedan así:

0

Vo

M

x

x = vx . t y = voy . t –

g . t²

recordemos que vx = vo cos α voy = vo sen α Llamemos xM al alcance que, como ya te diste cuenta, se alcanza (valga la redundancia) en un punto que llamamos M, en una altura yM = 0 m xM = vo cos α . tM 0 m = vo sen α . tM –

g . tM²

de la ecuación de xM despejo tM

y esto lo reemplazo en la ecuación siguiente, la de y

Escrito así parece medio complicado; si vos lo hacés con rayas fraccionarias horizontales no lo es tanto. Hay un vo cos α que se puede cancelar

www.full-ebook.com

| 87 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

saco factor común xM

Hay dos resultados posibles para xM. Uno es cuando vale cero: ése es el que no nos sirve. El otro se encuentra cuando todo el paréntesis vale cero.

Ya estamos llegando, tené paciencia. Hay una relación trigonométrica que podés buscar en cualquier libro de matemática y que yo no te voy a demostrar pero que si vos querés podés poner a prueba con tu calculadora. Es ésta: 2 . sen α . cos α = sen (2α) A eso justamente se refería el enunciado, ¿te acordás? Por último, entonces, la expresión para el alcance queda así... y después la analizamos:

Qué nos dice esta expresión. Por un lado, que el alcance va a ser tanto mayor cuanto mayor sea la velocidad inicial del disparo...: chocolate por la noticia. Pero mirá que dice algo que vos no sabías... que el alcance es proporcional al cuadrado de la velocidad, o sea, depende fuertemente de ella. Otra cosa que dice es que es inversamente proporcional a la gravedad, o sea que en un planeta con mayor gravedad las cosas que tirás no llegan tan lejos, y en la Luna tenés que tener más cuidado porque tirás algo y después ir a buscarlo te cuesta un fangote de viáticos. Pero lo que nos interesa viene ahora. El alcance es directamente proporcional al seno de (2α). La función seno varía entre 1 y –1, y alcanza el valor máximo, 1, cuando el argumento (en este caso 2α) vale 90° . De modo que si 2α = 90° α = 45°

| 88 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Todavía podemos sacarle un poquito más de provecho a tanto laburo de álgebra. Fijate: dos ángulos que suman 90°, por ejemplo 27° y 63° (los acabo de inventar), sus duplos, 54° y 126°, tienen el mismo valor de seno (corroboralo con tu calculadora). La generalización de esto sería: Si ( α + β ) = 90° entonces sen (2α) = sen (2β) Lo cual significa que si lanzás con 27° o con 63° da lo mismo, obtenés el mismo alcance. Y lo mismo con cualquier par de ángulos que sumen 90°. Bueno, no se me ocurre nada más. Terminamos.

DESAFÍO:

Que con dos ángulos diferentes obtengas el mismo alcance no quiere decir que tarden lo mismo... Hallar una expresión para la diferencia de tiempo en la tardanza de dos disparos con ángulos de igual alcance. (Sólo para genios de la talla de Einstein o Maradona).

6. Movimiento circular uniforme 6.2 Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra, completando un ciclo en aproximadamente 90 minutos. Suponiendo que su órbita es circular, que el radio medio de la Tierra es 6.370 km, y que la altura media del satélite sobre su superficie es 280 km, determinar su velocidad tangencial..

Obvio, microbio: lo primero es el esquema. R

Salta a la vista que la altura a la que orbita el satétile, h, más el radio terrestre, RT , es igual al radio de órbita, R. Ese es el que nos interesa.

RT

h

R = RT + h = 6.370 km + 280 km = 6.650 km Te conviene tener a mano las fórmulas que relacionan las magnitudes del movimiento circular. Luego

No te olvides de expresar todas las magnitudes en las unidades del sistema internacional: T, el período, en segundos y R, el radio, en metros.

V = 7.737

DESAFÍO:

First: intentá hacer el esquemita pero en una escala con las proporciones correctas. Second: suponete que ese satélite orbitara de Norte a Sur y justo lo veo pasar arriba nuestro, ¿cuánto tiempo pasará hasta que lo vuelva a ver pasar sobre nuestras cabezas? (R: 12 horas)

más rápido que Superman

www.full-ebook.com | 89 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

6.4 Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. Determinar el radio de ésta. Si el automóvil tiene aceleración en algún instante, determinar su módulo, dirección y sentido.

ac

R

v

Si a esta altura del partido te resistís a hacer un esquema... No me salen no es para vos. Acá lo tenés, ¿te cierra? Fijate que de paso ya te dibujé el vector velocidad tangencial (en gris oscuro) y la aceleración centrípeta (en negro). Los largos de los vectores son arbitrarios (se miden en escalas diferentes). En cambio las direcciones y sentidos que les puse no pueden ser otros. Pasemos los datos a las unidades internacionales (viste...) V = 72

= 20

T = 1 min = 60 s Te conviene tener a mano las fórmulas que relacionan las magnitudes del movimiento circular. Luego

de donde DESAFíO:

Cuando un auto toma una curva... ¿cuál es la rueda que menos gira? (R: la de auxilio).

R = 191 m Ahora la aceleración:

ac = 2,09

6.11 Dos ruedas dentadas, cuyos ejes A y B se encuentran a una distancia fija, se vinculan mediante una cadena para formar un mecanismo de transmisión similar al que puede observarse en una bicicleta. Sus radios son rA = 3 cm, y rB = 9 cm, respectivamente. Se hace girar a la rueda A con velocidad angular constante en el sentido indicado, a 100 rpm. Considerando el pasaje de un eslabón sucesivamente por los puntos X, Y, Z, determinar: a) El módulo de su velocidad, en cada punto. b) La frecuencia con que gira la rueda B. c) La aceleración que experimenta el eslabón en cada punto.

| 90 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 1. Cinemática |

Te queda claro que la rueda A es el piñón y la B es el plato, ¿no? OK. Pasemos esa velocidad a unidades internacionales.

ωA = 10,47 s–1 También te quedará claro que la velocidad lineal con que se mueven los eslabones de la cadena es la misma para todos los eslabones, o sea, es la misma en todas las posiciones. Lo contrario implicaría que la cadena se estiraría o se contraería según fuera más o menos rápido... ridículo. Tené a mano las fórmulas de MCU. vA = vB = v = ωA . rA = 10,47 s–1. 0,03 m a.

v = 0.3141

v = 2π . ƒB . rB

b.

ƒB = 0.5557 s-1

Las aceleraciones. Empecemos con X, el piñón acX = ωA² . RA = ( 10,47)² s–2. 0,03 m Sigamos con Y, la parte recta de la cadena. No olvides que en MCU |v| = cte. Por lo tanto, aY... Por último, la aceleración en el plato, Z. acZ = 4π² . ƒB². R = 4 . 3,14 ² . ( 0.5557)² s–². 0,09 m c.

acX = 3.29 aY = 0 acZ = 1,096

Fijate que siempre elegí -dentro de lo posible- las relaciones que me permitían calcular lo que estaba buscando partiendo de los datos aportados por el enunciado del problema, y no de cálculos que hubiera hecho durante su resolución. Así es más prolijo: si cometo error en algún cálculo, no contamino el resto. No lo propago.

www.full-ebook.com

DESAFíO:

Hay algo en esa bici que no cierra del todo. No importa si es una de piñón fijo o libre, el asunto está en otro lado. ¿Lo descubrís?

| 91 |

www.full-ebook.com

Capítulo 2

Dinámica y estática Dinámica Diagrama de cuerpo libre El diagrama de cuerpo libre o desvinculado, DCL, consiste en dibujar cada uno de los cuerpos que aparezca en un problema y sobre el cual querramos establecer su dinámica por separado (un DCL para cada uno), y sobre él indicar con vectores todas las fuerzas que obran sobre el cuerpo (NO las que él ejerce sobre otros... ¡sólo las que él sufre, las que él recibe!). Suelen tener esta pinta. Es bueno no encimar los vectores. No hace falta que concurran todos en un punto. Es sólo una cuestión esquemática. Si encimaras por ejemplo F2 con F3 te quedaría muy engorroso y no alcanzarías a identificar correctamente las fuerzas. (Distinto sería el caso si estuvieras trabajando con cuerpos extensos, en los que sí importa el lugar exacto -dentro del cuerpo- sobre el que actúa la fuerza, cuerpos en los que la posibilidad de que haya rotaciones es cierta). Lo que sí importa es que el origen de cada vector lo dibujes adentro del cuerpo sobre el que se ejerce esa fuerza. El esquema te va a guiar para establecer las ecuaciones de Newton,  , y digo las ecuaciones porque si las fuerzas no son codireccionales vas a tener que escribir dos ecuaciones por cada DCL, una para x y otra para y, según el SR que vos decidas. Luego, descomponer las fuerzas que no coincidan con las direcciones de los ejes. Te conviene repetir los DCLs después de la descomposición. Acá lo tenés nuevamente pero sólo con las fuerzas que tienen la misma dirección que los ejes del SR. Entonces me olvido de la fuerza F5 que era muy molesta y que fue reemplazada por sus componentes F5x y F5y.

www.full-ebook.com

F4

F5

F3 F2 F1 F5 y

y

F5

F4

x

F3 F5 x

F2 F1

| 93 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Ahora resulta muy fácil armar las ecuaciones de la 2da. Ley. ΣFx = m ax

F5x – F2 – F3 = m ax

ΣFy = m ay

F5y + F4 – F1 = m ay

En un DCL nunca tenés que dibujar vectores que no sean las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Si necesitás dibujar una aceleración, o más infrecuentemente una velocidad, hacelo cerca, pero afuera del cuerpo. ¿Ok? Sólo fuerzas. No olvides que este capítulo de la dinámica se ocupa de cuerpos puntuales

El ejercicio 1.1 es especial para fijar el concepto de DCL, te lo recomiendo.

Fuerzas La clave de la dinámica está en el diagrama de cuerpo libre, DCL... donde se dibujan las fuerzas, ¿pero qué son las fuerzas? La pregunta parece tarada, todo el mundo sabe qué son las fuerzas. Tampoco es difícil entender por qué se representan con flechitas (vectores), cualquiera se da cuenta de eso... Pero... Creeme si te digo que el 80% de los fracasos en la resolución de problemas de dinámica surgen de lo siguiente: a) los estudiantes suelen inventar fuerzas que en realidad no están actuando o directamente no existen. b) los estudiantes se saltean fuerzas que están actuando pero no llegaron a percibir su presencia. c) los estudiantes advierten la presencia de una fuerza pero la ubican mal, o le invierten el sentido o no se dan cuenta que es el par de interacción de otra fuerza conocida y por lo tanto no es una incógnita. Te aseguro que el intríngulis de la dinámica está acá: en establecer las fuerzas con las que nos enfrentamos en cada ejercicio y hacerlo bien. Te voy a comentar los errores más comunes y darte algunos consejos de estilo tómalo o déjalo. Las fuerzas no son entes corpóreos, tangibles, visibles, más bien son invenciones humanas para explicarnos los fenómenos naturales. Un tipo sometido a varias fuerzas, por ejemplo, no está atravesado con flechas como John Wayne en el final de la película. Cada vector tenés que razonarlo, deducirlo vos. | 94 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Para empezar tenés que hacerte a la idea de que por familiar que te resulte una fuerza tiene que haber un cuerpo que la ejerce, que la produce y otro cuerpo que la recibe, que la padece. Y cuando digo cuerpo (no te rías por lo que viene ahora) me refiero a algo tocable, visible, con masa, con color, con cierta dureza o cierta blandeza... un OBJETO, algo que exista... me entendés. No, parece que no. A ver... La gravedad ¿es un objeto?  ¡Nooooo! ¡Bravooo! la gravedad no es un objeto, entonces no puede hacer ni recibir fuerzas. Vas entendiendo. Todas las fuerzas que intervienen en la dinámica de un cuerpo hay que dibujarlas en un DCL. Por ejemplo estos dos que tomé prestado de un ejercicio en el que juegan dos carritos, el A y el B.

Dos carretones, A y B, cuyas masas son mA = 80 kg, mB = 120 kg, se encuentran uno junto al otro, como muestra la figura, apoyados sobre un piso horizontal sin rozamiento. Sobre el carretón A se aplica una fuerza horizontal de 30 kgf. Hallar la intensidad de la fuerza de contacto entre ambos.

Acá vienen los diagramas de cuerpo libre, fijate. Voy a empezar analizando las fuerzas que obran sobre el carrito A. Aparece una fuerza horizontal hacia la derecha llamada F. Me pregunto ¿quién hace esa fuerza? No lo sé pero esa es justamente un dato del problema que dice “sobre el carretón A se aplica una fuerza...” o sea el autor del problema certifica la existencia de esa fuerza. Alguien o algo la estará haciendo, una locomotora, Tarzán, lo que sea, pero algo o alguien la hace.

y x A

VA es la fuerza que las vías hacen sobre el carrito A. ¿Qué otra fuerza actúa sobre A? Seguro que si hago esa pregunta en clase algún osado contesta “¡la normal!”, Ok, le respondo , y la dibujo... (una flechita vertical hacia arriba) y después le pregunto “¿y quién hace esa fuerza, quién empuja al carrito hacia arriba...? Esa pregunta no tiene respuesta eso indica que estabas a punto de inventar una fuerza. La borramos.

www.full-ebook.com

F

FBA mA = 80 kg PA

FBA es la fuerza que el carro B le hace a A. En la situación del problema se están tocando, de ahí sale esa fuerza. PA es el peso de A. Quién tira de A hacia abajo... la Tierra... bien ése es el objeto, redondo, voluminoso, soleado, bonito...

aA

VA

VB

aB

B FAB

mB = 120 kg PB | 95 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

CHISMES IMPORTANTES:

• El concepto de fuerza fue introducido originalmente por Arquímedes, aunque únicamente en términos estáticos. Galileo fue el primero en dar una definición dinámica. Se considera que el primero que formuló matemáticamente la moderna definición de fuerza fue Newton.

• Actualmente se reconoce básicamente la existencia de cuatro fuerzas fundamentales: la fuerza gravitatoria, la electromagnética, la nuclear débil y la nuclear fuerte. La gravitatoria modela el universo en su escala macroscópica. La electromagnética gobierna la estructura de la materia desde la escala atómica hasta la molecular y particular. Las nucleares gobiernan la escala subatómica. Y después está la fuerza de voluntad, te das una idea.

Alguno, en ayuda de su compañero puede decir “¡las vías!” “macanudo, pero a esa fuerza ya la pusimos y la llamamos VA... ¿no te gusta el nombre? ¿querés llamarla normal? Ponele el nombre que quieras (dentro de ciertos límites)... ¡pero no la pongas dos veces! Insisto con la pregunta ¿qué otra fuerza? “La fuerza de la velocidad”, “Y quién la ejerce, quién la ejecuta”, ¿no hay quién?, entonces no existe. Y así. Nunca llames con el mismo nombre a dos fuerzas diferentes. En este problema, por ejemplo, el 65,3% de los estudiantes que hacen DCL llaman P al peso de cada carrito... MAL. En álgebra, que es el idioma de la física, P = P. Son dos fuerzas diferentes, tienen que tener nombre diferente. Podrían valer lo mismo, pero aún así deben tener nombres distintos. Usá los subíndices, están para eso. Algunos mocosos insolentes me responden (se me está pegando el personaje del maestro Ciruela) “pero si yo sé a qué cuerpo me estoy refiriendo, cuando lo reemplace le voy a poner a cada uno el valor que le corresponde”. Igual está mal. Tal vez vos no lo sepas, pero lo que tenés que aprender es a confeccionar un mensaje para otro, no para vos. Eso no quita que escribiste un error matemático, y está muy bien que tu profesor te lo corrija. Pero además no te olvides de que cada fuerza que vos encuentres se convierte en un número que después se va a viajar por un bosque de desarrollos algebraicos. Lo más probable es que se confundan y se pierdan. Cuando dos cuerpos interactúan entre sí, y de ambos te interesa su dinámica (como en este caso de los carretones) la mejor manera de denominar las fuerzas es con el doble subíndice, que además denuncia claramente su filiación de par de interacción... el módulo de FBA es igual al de FAB.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• ¿En qué unidades se miden las fuerzas?

Tengo más consejos pero también la sensación de que ya estás podrido. La práctica te dará el resto. Te felicito por haber llegado hasta acá.

Leyes de Newton Las Leyes de Newton, atribuidas a Isaac Newton (1643-1727), tienen, en realidad, demasiados autores. Pero fue Newton quien se las puso al hombro (y al bolsillo), las explotó y las utilizó en su conjunto, edificando con ellas una Teoría Mecánica (conocida actualmente como Mecánica Clásica) que goza de excelente salud y que seguimos utilizando con todo éxito. | 96 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Además de su probada utilidad y eficacia constituye un ejemplo arquetípico de teoría (epistemológicamente hablando), destacada por su belleza intrínseca, ya que con muy pocas premisas (o principios) algebraicamente sencillas, logra una explicación muy acabada del universo. Son en total cuatro leyes. Se llaman también principios porque no se pueden probar a partir de leyes anteriores o más básicas, pero que el universo cumple a rajatabla, aunque no sepamos por qué. Voy a presentar los tres primeros aquí, y el cuarto, gravitación universal, aparte.

Primera Ley de la Dinámica, o Ley de la inercia, o Principio de Galileo Ya te imaginaste quién fue el que lo cocinó unas décadas antes que Newton. Hay decenas de redacciones alternativas. Acá va la mía. Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, o actúan varias pero que se compensan entre sí, entonces el cuerpo permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. Y viceversa.

A la derecha hay un chisme requete importante sobre este Principio.

Segunda Ley de la Dinámica, o Ley de la masa, o Principio de Newton Se llama de la masa, porque en él juega un papel importantísimo esa propiedad de la materia llamada masa, que nadie sabe qué es (a la derecha hay un chisme sobre la masa, que aclara y que oscurece), pero no hace falta, tenemos una idea aproximada. La sumatoria de todas las fuerzas que recibe un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración.

La Segunda Ley es una ecuación vectorial: dice que la sumatoria de todas las fuerzas que recibe un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración, y que la dirección y el sentido de la resultante (la suma de todas las fuerzas) es igual a la dirección y el sentido de la aceleración (la masa es un escalar). En muchos textos,

www.full-ebook.com

CHISMES IMPORTANTES:

• A golpe de vista, pareciera que el Primer Principio es apenas un caso particular del Segundo. Efectivamente, partiendo de la Segunda Ley, si ΣF = 0, lo que debe valer cero es la aceleración, ya que la masa no puede valer cero... Sin embargo el primer principio es el que asegura la existencia de los otros dos, y exige el establecimiento de un Sistema de Referencia acorde. Puede ocurrir que la elección del SR (por ejemplo uno montado en una calesita o en un tren que arranca) nos lleve a un universo en el que no se cumplen las Leyes de Newton. Esos sistemas -que son ampliamente estudiados- se llaman Sistemas No Inerciales. Vos dejalos para más adelante. • Tanto masa como fuerza son magnitudes dificilísimas de definir. Con sólo definir una de las dos basta, ya que la otra saldría definida por inferencia utilizando la Segunda Ley. El pobre Newton se murió muy triste sabiendo que su teoría hacía agua por el agujero de la falta de definición para esas dos magnitudes tan importantes en la Mecánica. Hubo que esperar 200 años para que un físico llamado Ernst Mach (1838-1916) lograse una definición de masa que convenciese a la comunidad científica. Sin embargo Newton se las arregló perfectamente con la aproximación más intuitiva del concepto de masa: es un escalar -un número- que nos indica la cantidad de materia que forma a un cuerpo. • Leete la definición de Mach de la masa: “la masa inercial no es una característica intrínseca de un móvil, sino una medida de su acoplamiento con el resto del universo”. Señor Mach: ¿usted me quiere volver loco? • Una de las inferencias inmediatas del Principio de Acción y Reacción, es que los pares de interacción nunca están aplicados sobre el mismo cuerpo. Siempre estan aplicados en distintos cuerpos (justamente: los que están interactuando). | 97 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

sin embargo (y también en este sitio) aparece esa misma expresión pero escrita sin la notación vectorial, así: ΣF = m a. Es perdonable, no trae graves consecuencias. Lo que no es perdonable es que en muchos textos te presenten la Ley así: (MAL, PESIMO, EXECRABLE, SENSURABLE, IMPERDONABLE)

F = m a  Esa expresión tiene validez únicamente en aquellos casos en los que hay una única fuerza actuando sobre un cuerpo. No puede ser presentado como una ley (de validez eterna y universal). Además lleva a una confusión muy negativa: hace creer que se trata de una propiedad de las fuerzas (como si cada fuerza tuviese una aceleración), cuando se trata de una propiedad de los cuerpos. A cada cuerpo se aplica la Ley, no a cada fuerza. Podría, en todo caso, representarla así: R = m a, aclarando que R significa Resultante y no es otra cosa que la sumatoria de todas las fuerzas que están actuando sobre un cuerpo. R = ΣF.

Tercera Ley de la Dinámica, o Principio de Acción y Reacción Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el otro aplica una fuerza sobre el primero de igual módulo, igual dirección y sentido opuesto a la que el primero ejerce sobre él.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• Si cada vez que aparece una fuerza cualquiera, aparece también una fuerza igual y contraria... ¿cómo es posible que las cosas se muevan? • Si cuando una mariposa choca contra el parabrisas la fuerza que cada uno le hace al otro tiene la misma intensidad... ¿por qué la mariposa se hace moco y el parabrisa sigue sano sin mosquearse? • ¿Qué aspecto de la definición de masa de Mach inspiró en Einstein la Teoría de la Relatividad General? | 98 |

De los tres principios es el más revelador de la naturaleza de las fuerzas. En realidad deberíamos hablar de interacciones. Siempre entre dos cuerpos: se atraen, o se repelen, o se empujan, o se tocan, o se chocan, o lo que sea... pero siempre entre dos cuerpos. Entonces aparecen dos fuerzas (el par de fuerzas de la interacción), una sobre cada cuerpo de los que están interactuando. 

Parece que el universo es un pandemonium de venganzas, en el que reina la Ley de Talion.

Ley de Gravitación Universal Fuerzas gravitatorias La Ley de Gravitación Universal, atribuida a Isaac Newton (16431727), constituyó el remate de una revolución científica. Dice algo

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

bastante sencillo de entender, muy difícil de creer, y catastróficamente revolucionario. Dice que dos cuerpos cualesquiera se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros. Todo ello se puede resumir en esta ecuación:

En la que FG es la fuerza gravitatoria (siempre de atracción, nunca de repulsión); m1y m2 son las masas de los cuerpos que se están atrayendo; d12  es la distancia entre los centros de los cuerpos (después afinaremos la definición de centro); y G es la constante de proporcionalidad, que permite transformar la ley de proporcionalidad en una ley de igualdad. En esta atracción mutua, como en toda interacción, aparecen dos fuerza iguales en módulo y dirección, y contrarias en sentido, una sobre cada cuerpo:  FG12 = FG21 (o sea, no puede dejar de cumplir el Tercer Principio de la Dinámica). En una interacción gravitatoria nos referiremos indistintamente a cualquiera de ambas y la llamaremos directamente FG.

m1

m2 FG21

d12

¿Por qué digo que es sencilla de entender? ¿Qué significa que la fuerza de atracción gravitatoria es directamente proporcional al producto de las masas que se están atrayendo? Si en idénticas condiciones se estuvieran atrayendo dos cuerpos de masas: m1 = 2 Kg y m2 = 10 Kg, se atraerían con menor intensidad que estos otros dos cuerpos, de masas: m’1 = 3 Kg y m’2 = 7 Kg, El segundo par se atrae más intensamente, ya que el producto de las dos segundas es mayor que el de las dos primeras. Fácil. ¿Y qué significa que es inversamente proporcional al cuadrado de las distancia que las separa? Supongamos que tenemos un par de cuerpos de masa unidad... distanciados una distancia d. Si las separo una distancia 10 d... la fuerza con la que se atraerán será 100 veces menor. Y si ahora las acerco para que queden separadas una distancia d/2... entonces la fuerza con la que se atraerán será 4 veces mayor que la inicial. Fácil, ¿no?

www.full-ebook.com

| 99 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

¿Por qué digo que es difícil de creer? CHISMES IMPORTANTES:

• Se cuenta que la ley inversa al cuadrado de la distancia pertenece a Cristian Huygens, y Newton no se lo reconoció nunca. Más aún, la célebre frase “a hombros de gigantes” era una alusión irónica y ofensiva a Huygens, que era bastante petiso. • Newton calló sus convicciones por más de 15 años debido a que no existía en aquella época una matemática suficientemente potente como para sostener sus afirmaciones que, suponía, serían fuertemente resistidas. En el interín desarrolló (paralelemente con Gottfried Leibniz) el análisis matemático. Cuando el cálculo numérico (un sinónimo) fue un hecho entre la comunidad científica, presentó la Ley... y no hubo con qué darle. • La parte de la teoría más difícil de sostener era que los cuerpos se comportaban (para la Ley de Gravitación) como si toda su masa estuviera reunida un un sólo punto, su centro de masa (generalmente el centro geométrico del cuerpo), y las distancias entre los cuerpos había que tomarlas desde ahí. Ese asunto espinoso cedió al ser abordado con una herramienta matemática del cálculo numérico: la integral. • En 1915 Albert Einstein enuncia la Teoría General de la Relatividad que reemplaza la gravedad por la deformación del espacio producida por las masas. La pista que condujo a Einstein hasta la Relatividad fue ésta: la masa a la que alude la Ley de Gravitación no era la misma masa a la que alude la Segunda Ley de la dinámica... es totalmente cierto, y a todos se les había pasado por alto. (Actualmente se las distingue llamándolas masa gravitatoria y masa inercial respectivamente). pero vos no tenés que preocuparte. Aunque sean cosas distintas no está mal que no las distingamos, ya que a los efectos de la dinámica traen las mismas consecuencias. Existe un principio que reconoce ésto, y se llama Principio de Correspondencia. | 100 |

La constante de proporcionalidad,  G, conocida como Constante de Gravitación Universal, no depende de otra cosa que de nuestro universo... o sea, vale lo mismo independientemente de todo tiempo y lugar, toda circusntancia y todo medio material... y vale... G = 6,67 x 10–11  O sea, tiene un valor muuuuy chiquitiiito: G = 0,000.000.000.0667  Casi -te diré- una nada. Las unidades que tiene la constante son las necesarias para que la fuerza gravitatoria se mida en las unidades de fuerza, N. Por lo tanto tiene en el numerador unidades de longitud al cuadrado, m², para que se cancelen con las de la distancia al cuadrado de la Ley; y en el denominador unidades de masa al cuadrado,  kg², para que se cancelen con las de las masas de la Ley. Newton se murió sin conocer el valor de G. Se sabía que era chiquititísima... pero hubo que esperar casi 200 años para conocer su valor con presición, y cuando el señor Henry Cavendish logró hacer la medición no se dio cuenta (ni sus colegas tampoco) lo que en verdad había calculado. La cuestión es que las fuerzas gravitatorias son casi insignificantes cuando consideramos cuerpos de tamaños corrientes: manzanas, biblias, calefones, autos, portaviones... y prácticamente imposibles de medir con instrumentos comunes y corrientes. Si de cuerpos humanos estuviéramos hablando y nos dijeran que hay fuerzas de atracción, jamás podríamos imaginarnos que de gravitación se tratara. ¿Por qué digo que es catastróficamente revolucionaria? La clave está en la palabra universal. Desde Aristóteles en adelante se pensaba que había dos Físicas: una para explicar el universo celestial y otra para el mundo terrenal. La Ley de Gravitación Universal viene a contar que el universo es uno sólo y la Física que lo describe también: una sóla. La fuerza que hace caer los cuerpos (el viejo y familiar peso), no es otra que la fuerza de atracción gravitatoria entre el cuerpo que cae (aquel cuyo peso medimos en la balanza de la verdulería de la

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

esquina) y la Tierra. Actualmente peso es el nombre que le damos a la fuerza gravitatoria, acá, en el barrio de la superficie terrestre. El nombre vulgar (y local). La misma ley que describe la caída de los cuerpos, describe el orbitar de la Luna, los planetas, las estrellas, las galaxias. El mito de la manzana cayendo sobre la cabeza de Newton justo en el momento en que se da cuenta de la Luna también caía con la misma ley, es enormemente descriptiva de la unificación del universo. Una catástrofe en la física aristotélica, que dejó de cotizar en bolsa.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• Johannes Kepler llegó a formular tres leyes celestiales (Leyes de Kepler) bastante antes de que naciera Newton, por la simple observación del cielo (el observador no fue él sino su antesesor, Tycho Brade). Las tres leyes dejaron de ser leyes para convertirse en derivaciones de una ley anterior: la ley de Gravitación Universal. ¿Qué dice cada una de las 3 Leyes de Kepler? • ¿En qué situaciones deja de ser verdadera la Ley de Gravitación Universal?

Fuerzas de rozamiento Esta es la historia de una interacción misteriosa, oculta, escondida. Que cuando salió a la luz sentó las bases de una revolución científica, en la que Galileo Galilei tomó la delantera. Te la presento con este experimento.

N Fm

Supongamos que tenemos un bloque apoyado en el piso y lo empujamos con una fuerza lateral... pero pese a nuestro intento el bloque no se mueve: Ahí aparecen las fuerzas que obran sobre el bloque. El peso del bloque, P, y el apoyo del piso, N, son las fuerzas verticales. Y en la dirección paralela al piso la fuerza con la que empujamos al bloque, F. No vemos que haya nadie más interactuando con el bloque... pero éste no se mueve, luego, su aceleración es cero. Y como confiamos en Newton y su Segunda Ley, ΣFx = m ax, no nos cabe más que concluir que alguna otra fuerza, también horizontal, de igual en módulo que F y sentido contrario debe estar actuando. La llamaremos fuerza misteriosa, Fm.

F

P N F’

F’m

P

N F’’m

F’’

Como somos obstinados y estamos decididos a mover el bloque, podemos hacer una fuerza mayor,  F’; pero si el bloque continúa sin moverse habrá que concluir que la fuerza misteriosa también es capaz de crecer, y ahora habrá adoptado un valor Fm’. Si continuamos aumentando la fuerza de empuje, encontraremos que la fuerza misteriosa también continúa aumentando... pero, por suerte, siempre existe un valor de fuerza de empuje, o de tracción, que la fuerza misteriosa no puede igualar, y a partir de ahí se rompe el equilibrio y se produce el movimiento.

www.full-ebook.com

P N F’’’

F’’’m

P | 101 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

N’

F’’’’m

F’’’’

S P

¿Desaparece la fuerza misteriosa cuando el bloque está moviéndose? El experimento nos dice que no. Si retiro la fuerza del empuje el bloque se vuelve a detener. Y para mantenerlo en movimiento -digamos, a velocidad constante- hay que seguir empujando, por suerte, con una fuerza bastante menor que la que tuvimos que hacer para poner el bloque en movimiento.

Una clave importante sobre la fuerza misteriosa la provee el siguiente experimento: es el mismo que el anterior, pero se realiza con un cuerpo apoyado arriba del bloque. Y el resultado es cualitativamente idéntico al anterior... pero la fuerza máxima que hay que derrotar para poner el bloque en movimiento resulta mayor que antes... Y la fuerza para mantener velocidad constante una vez logrado el movimiento también.Y lo único que cambió entre un experimento y otro es la fuerza de contacto entre el bloque y el piso. Todas las dudas se despejan cuando repetimos una y otra vez el mismo experimento pero cambiando las superficies del apoyo, por ejemplo, sobre un piso de madera, de baldosas, de hielo, de mosaicos encerados... Cuanto más lisas son las superficies menores son las fuerzas; cuanto más rugosas, mayores. La fuerza misteriosa es el rozamiento entre las superficies que quieren deslizar, o que ya están deslizando. Y el resultado de los experimentos lo podemos sintetizar en estas tres brevísimas expresiones:

CHISMES IMPORTANTES:

• En todos los desplazamientos (excepto en el vacío y en las escalas subatómicas) el rozamiento es inevitable. Las mesas de aire para jugar al tejo logran reducir el rozamiento considerablemente, el coeficiente ronda el milésimo. • Los físicos Aristotélicos observaban que para que un carro permaneciese en movimiento había que imprimirle constantemente una fuerza de tiro. Semejante error obedecía a que pasaban por alto la fuerza de rozamiento que frenaba al carro al desaparecer el tiro. En base a ese error se fundaba la mecánica aristotélica. Imaginate el despiole que se armó cuando llegó Galileo y dijo que en ausencia de fuerzas los carros debían proseguir con velocidad constante. | 102 |

Roze = Tracc.

RozeMáx = μe . N

Rozdin = μd . N

La primera ecuación nos dice que la fuerza de rozamiento estática, Roze, es igual a la fuerza de tracción (el empuje en nuestro experimento) que intenta poner los cuerpos en deslizamiento. La segunda ecuación nos dice que la fuerza de rozamiento estática máxima,RozeMáx, que es aquella que actúa justo antes de que los cuerpos entren a deslizar, es igual a un coeficiente de rozamiento estático, μe, un factor que representa la rugosidad de las superficies enfrentadas, por la fuerza de contacto entre el piso y el bloque, o sea la fuerza con que se unen los cuerpos que están rozando, N. La tercera ecuación nos dice que la  fuerza de rozamiento dinámica, Rozdin, que es aquella que actúa cuando los cuerpos ya están deslizando, es igual a un coeficiente de rozamiento dinámico, μd, un factor que representa la rugosidad de las superficies enfrentadas y deslizando, por la fuerza de contacto entre el piso y el bloque, N.

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Mirá el gráfico que cuenta los experimentos: Los coeficientes de rozamiento, tanto estático como dinámico suelen hallarse tabulados para aquellos pares de superficies relevantes para la industria. Si no los hallás, de todos modos, son muy fáciles de calcular.

Roz RozeMáx Rozdin Tracc

Se trata de a-dimensionales, no tienen unidades, son sólo un número, que representa la rugosidad entre un par de superficies cuando se enfrentan quietas, μe, o cuando se enfrentan deslizando una con otra, μd. En general se trata de valores comprendidos entre 0 y 1... pero también los hay mayores. También por lo general (salvo raras excepciones) el coeficiente de rozamiento estático es mayor que el dinámico. μe > μd Como vas a ver en los ejercicios no siempre la fuerza de rozamiento estático se opone al movimiento. Más aún: en general, el movimiento se logra gracias a una fuerza de rozamiento. Recordá esto, que la diferencia es importante: es MENTIRA que LA FUERZA DE ROZAMIENTO SE OPONE AL MOVIMIENTO

Aunque te resulte sorprendente muchos textos de Física incurren en este error gravísimo. La diferencia te puede parecer sutil -ahorapero vas a ver que es fundamental. es VERDAD que LA FUERZA DE ROZAMIENTO SE OPONE AL DESLIZAMIENTO

Te voy a dar un sólo ejemplo, ahora, para que las frases anteriores cobren sentido, pero creeme que la diferencia es importantísima, y no advertirla lleva a cometer muchos errores. El ejemplo: subite a una cinta transportadora, en un aeropuerto. ¿Quién te creés que te mueve hacia adelante? ¿Cuál te pensás que es la fuerza que logra ponerte en movimiento, y que lejos de oponerse es la que gracias a ella llegás hasta el preembarque? ¡El rozamiento, of course, departures gate 10!

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• El rozamiento sobre agua es menor que el rozamiento sobre aceite... ¿por qué entonces se lubrica con aceite y no se lubrica con agua?

Naturaleza de las fuerzas de rozamiento No basta con entender cómo funcionan las fuerzas de rozamiento, poder predecir su aparición, su dirección y sentido y su módulo...

www.full-ebook.com

| 103 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

también hace falta una explicación: ¿a qué se deben las fuerzas de rozamiento? ¿por qué existen? Por suerte, ésas las sabemos... y nos ayudan en muchos casos a predecirlas correctamente. El asunto se relaciona con la naturaleza de la materia. Resulta que la materia es discontinua, particulada, granulada. No es una cosa continua... aunque muchas veces posea la apariencia de serlo. Superficie de un vidrio de silicio visto con un microscopio de efecto túnel. Lo que se observa son átomos.

Uno se da cuenta a simple vista que el hormigón armado es una cosa granulosa. No es tan fácil advertirlo en el acero, o en el agua, o en el vidrio, o en tantos otros materiales de apariencia continua. Sin embargo, si poseyéramos un microscopio suficientemente potente podríamos ver que TODA LA MATERIA ES PARTICULADA (o sea, formada por partículas). Y entre partícula y partícula siempre queda espacio vacío. Esta propiedad de la materia hace que dos superfices cualesquiera, de dos cuerpos cualesquiera, por lisas y pulidas que se sean... en la intimidad del contacto, se trata de una cuestión intrusiva: algunas partes de cada cuerpo se meten dentro del otro.

CHISMES IMPORTANTES:

• Se piensa que las fuerzas de rozamiento dificultan el movimiento, no es así. De hecho hay fuerzas de rozamiento útiles a los fines del movimiento. El tránsito vehicular, por ejemplo, se realiza gracias a la fuerza de rozamiento. Los autos arrancan,  frenan y doblan gracias a la fuerza de rozamiento entre los neumáticos y el pavimento. Los dibujos de las cubiertas de los autos están diseñados para aumentar ese rozamiento, que los automovilistas llaman “agarre”. Salir con las gomas lisas, gastadas, es muy peligroso, ya que el rozamiento es la fuerza primordial de la seguridad vial. • Pero también hay muchas actividades en las que el rozamiento representa una pérdida de esfuerzos y energía. En esos casos, para disminuir el rozamiento, inventaron los lubricantes. Se trata de fluidos con suavidad al tacto, como grasas y aceites, que se colocan entre las superficies que rozan y las mantienen más separadas entre sí, evitando el “encastre” del rozamiento. | 104 |

Una especie de encastre, de enganche. Entonces, cuando se intenta desplazar un cuerpo respecto del otro, las partes enganchadas se resisten al deslizamiento mutuo. La suma de todas esas resistencias constituyen la fuerza de rozamiento. Esta visión microscópica del asunto explica perfectamente todas las propiedades macroscópicas del fenómeno del rozamiento. Por ejemplo, la dependencia directa con la fuerza que une las superficies, N. Es lógico suponer que cuanto más apretadas estén las superficies enfrentadas, mayor será la intrusión mutua, mayor el grado de encastre, y por lo tanto mayor la fuerza que resistirá del desplazamiento mutuo entre las superficies. También es lógico que el rozamiento dependa de la rugosidad del par de superficies enfrentadas, μ, que sea mayor cuanto más rugosas sean las superficies y menos cuanto más lisas y pulidas. Por último, resulta lógico que el coeficiente de rozamiento estático sea mayor al dinámico, μe > μd , ya que si dos superficies enfrentadas estan quietas, sus partículas, sus moléculas, sus átomos, sus lo que sea... tienen suficiente tiempo y oportunidad de intruirse mutuamente, de acomodarse entre sí, de invadirse una a la otra, y luego cuando uno in-

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

tenta deslizarlas las encuentra mucho más unidas. Si ya se encuentran en movimiento se les da tiempo suficiente a las rugosidades microscópicas a acomodarse entre sí, y todo se reduce a los innumerables choques entre las partículas que sobresalen de cada uno de los lados. Te repito una advertencia que ya te hice en el otro apunte de rozamiento: es MENTIRA que LA FUERZA DE ROZAMIENTO SE OPONE AL MOVIMIENTO

Se opone al deslizamiento mutuo entre dos superficies de dos cuerpos en contacto.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• Si durante la mayor parte de la historia evolutiva de la especie humana no había policía... ¿para qué habremos desarrollado huellas digitales en las yemas de los dedos? • Si tuvieses que diseñar dos piezas mecánicas con el menor rozamiento posible y pudieses elegir el material de las piezas, ¿qué par eligirías: aceroacero, bronce-bronce o bronce-acero?

Fuerzas elásticas Empecemos por entender a qué se llama un cuerpo elástico: es aquel que después de deformarlo recupera por sí solo su forma original. Por ejemplo, una pelota de fútbol: uno puede aplastarla un poco ejerciendo una fuerza sobre ella (dos fuerzas, en general); a esa fuerza vamos a llamarla fuerza deformante. Cuando uno retira la fuerza deformante la pelota recupera su forma esférica.

un cuerpo plástico  no recupera su forma original

No siempre los cuerpos elásticos se comportan en forma elástica en todas direcciones de las deformaciones como el caso de la pelota. En esta lección vamos a trabajar con cuerpos que se comportan elásticamente en una sola dirección (y en ambos sentidos). Se trata de los resortes ideales (en la jerga, simplemente: elásticos). Fe X

La elasticidad de los resortes se manifiesta en su dirección longitudinal (si lo aplastás de costado lo más probable es que te quedes sin resorte). Como te imaginás para comprimirlo o estirarlo hay que hacer fuerza en ambos extremos. Pero para entender el funcionamiento de los resortes conviene que experimentemos en un sólo extremo, así que vamos a apoyarlo contra una pared y ahí lo pegamos con poxipol 10 minutos (no tenemos todo el día). Trabajaremos sólo en el extremo libre. Cuando una fuerza deformante actúa sobre un elástico, el elástico responde sobre el cuerpo que lo deforma con una fuerza igual y opuesta. No es que los elásticos sean vengativos, sino que, como todos los cuerpos del universo, están obligados a cumplir con la tercera Ley de la Dinámica: el Principio de Acción y Reacción. A esa fuerza que hacen los elásticos se la llama fuerza elástica.

www.full-ebook.com

Fd

F’e

F’ d Δx’

F’’e

F’’d Δx’’

F’’’d

F’’’e Δx’’’

| 105 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

CHISMES IMPORTANTES:

• Los resortes ideales se pueden estirar tanto

La fuerza que hace el elástico (la fuerza elástica) la representé en gris oscuro. Y la fuerza deformante en gris claro.

como se precise y comprimir también tanto como se necesite, que siempre van a responder con fuerzas elásticas hookianas y siempre van a recuperar su longitud ideal. Todo el mundo sabe que los resortes de verdad no cumplen con ese requisito. El rango de deformaciones en el que un resorte de verdad se comporta como uno ideal se denomina período elástico. muchos resortes de verdad, aún trabajando dentro de su período elástico, se desvían considerablemente de la Ley de Hooke: no son lineales. • En muchos textos, y en varios ejercicios de este sitio, se toma en cuenta la longitud del resorte. Y se distingue la longitud natural, o longitud sin carga, o longitud sin deformación, lo , de la longitud que adopta cuando está deformado,l; resulta obvio que Δx = l – lo. • Como la longitud es una magnitud de fácil medida los resortes hookianos se convirtieron en el instrumento de medida de las fuerzas más confiable y seguro. El adminículo recibe el nombre de dinamómetro y consta de un par de ganchos, un extremo del resorte fijo en una regla y el otro extremo con una aguja deslizante sobre la misma regla. • Las balanzas a resorte (dinamómetros) miden fuerzas; en cambio las balazas de brazos o platillos miden masas usando el principio de comparación. Las balanzas digitales modernas utilizan una propiedad material llamada piezoelectricidad.

Las deformaciones (representadas con flechas negras) se miden siempre desde la posición de la última espira del resorte cuando no está perturbada por fuerzas externas (en la jerga: libre, sin carga, en reposo, y otras expresiones). Hice una marca en el piso indicando la posición desde la que medimos la deformación.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

Los signos que llevan las fuerzas en las ecuaciones de Newton dependen de la discusión que realices en el DCL y del sistema de referencia que arbitrariamente elijas para resolver los ejercicios. A partir de ahí cada fuerza se comporta como un ente algebraico: no podés volver a cambiarle su signo arbitrariamente. De modo que yo te recomiendo usar la ley de Hooke sólo en módulo, Fe = k . Δx, sin el signo menos, que oscurece más que aclara, induce a error demasiadas veces. Siempre es más práctico y sencillo trabajar los sentidos de las fuerzas visualmente que analíticamente.

•  Si quiero pesarme en la Luna, ¿puedo usar una balanza de platillos?, ¿puedo utilizar un dinamómetro? ¿Qué adminículo utilizan los astronautas para medir masas o pesos dentro de la nave espacial? • ¿Es posible que Robert Hooke haya disputado con Newton la paternidad de la Ley de Gravitación Universal? ¿Será Hooke uno de los gigantes? | 106 |

Cuanto mayor es la fuerza deformante más se deforma el elástico, y también mayor es la fuerza elástica. El señor Robert Hooke (16351703), encontró que la deformación y la fuerza elástica eran directamente proporcionales. Fe ~ Δx Esto vale tanto para los estiramientos o elongaciones como para las compresiones. La fuerza elástica y la deformación del elástico siempre tienen sentidos opuestos. Considerando esto, y considerando que cada resorte en particular se estiraba (o se comprimía) de modo diferente a los otros sometidos a una misma fuerza deformante es obvio que el factor de proporcionalidad debía ser una constante que dependiera de cada resorte en particular. El resultado de esto es la Ley de Hooke:  Fe = – k . Δx En la que  k  es la constante elástica, un valor que representa a cada resorte, que se mide en  N/m  o cualquier otra unidad de fuerza dividida por una unidad de longitud; y es mayor cuanto más duro y robusto sea el resorte, y menor cuanto más flacucho y debilucho sea.

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Centro de masa Los cuerpos reales ya sean chicos o grandes tienen su masa distribuida en un volumen. Sin embargo en muchos aspectos se comportan como si toda la masa corporal estuviese reunida en un punto. Esa posición es el  centro de masa,  G, y se trata de un concepto bastante intuitivo, la gente de a pie acierta sin esfuerzo a predecir la posición del centro de masa, xG, de variados cuerpos. Habrás notado que el centro de masa es una posición que no necesariamente pertenece al cuerpo, sino que está afuera de él, por ejemplo en el caso del anillo, la esfera hueca, una silla, etc.

G

G

G

Existe un método analítico para hallar el centro de masa y para que lo entiendas lo voy a desarrollar partiendo de una situación muy sencilla. Sea un cuerpo (más propiamente dicho: un sistema de masas) integrado por dos masas puntuales idénticas. ¿Dónde se halla el centro de masa? Correcto: en el medio de ambas posiciones. Y ese medio lo hallamos promediando las posiciones:

Ahora supongamos que una de las masa es más grande que la otra. ¿Dónde se hallará ahora el centro de masa? No es difícil predecirlo: sobre la recta que une las dos masas y más cerca de la masa mayor. ¿Pero exactamente dónde? m La expresión que lo indica se llama promedio ponderado (pesa más la posición del más pesado). Es ésta:

G

m1

G

m2

x1

xG

x2

1

G

m2

x1

xG

x2

Donde  M  es la masa total del sistema, o sea, la suma de las dos porciones de masa distribuidas por el volumen del sistema. Aunque te cueste creerlo esa posición no depende del sistema de referencia que se te ocurra usar. Si queremos generalizarla para un número cualquiera de corpúsculos discretos:

No me salen no hace desarrollos teóricos... pero la fórmula del promedio ponderado es tan sencilla que podés tratar de deducirla sin ayuda; el único principio físico que se necesita conocer es que la masa es una magnitud aditiva.

www.full-ebook.com

| 107 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Nuevamente, M es la masa total del cuerpo. Podríamos resumirlo de esta manera:

CHISMES IMPORTANTES:

• El asunto más difícil de defender en la Ley de Gravitación Universal, para Newton, fue que un cuerpo celeste cualquiera (la Luna, la Tierra...) se comportaban como si toda la masa de ellos estuviese reunida en un punto. • El centro de masa tiene muchas propiedades notables. Por ejemplo, los equilibrios de cuerpos apoyados se resuelven y plantean teniendo en cuenta el centro de masa: un cuerpo está en equilibrio si su centro de masa se halla sobre una vertical que pase por el área de sustentación (de apoyo). • Otra propiedad notable es que las fuerzas aplicadas en la dirección que contiene el centro de masa no produce rotación en el cuerpo. • Los “sistemas de partículas”(una galaxia, un sistema planetario, los fragmentos de una explosión, por ejemplo) son complicadísimos de describir o plantear o resolver si pretendemos analizarlo como la superposición de la dinámica de cada partícula... pero si en lugar de poner el ojo sobre cada partícula ponemos el ojo sobre el centro de masa del sistema... su descripción se torna asombrosamente simple. Y y1

m1 m3

y3 yG

G y4

m4

m2

y2

x

x1

x2 x3

xG

x4

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• ¿Cuál es la diferencia entre centro de masa y centro de gravedad?

• ¿Puede ser que baricentro sea lo mismo

El resto es simple. Si la masa de un cuerpo se halla distribuida sobre una superficie hallaremos las  coordenadas del centro de masa,  xG  e  yG, operando de la misma manera que antes pero por separado para cada eje. Entonces haremos:

Y si el sistema de distribución de masa ocupara un volumen tridimensional, como todo cuerpo de verdad, entonces procederemos de la misma manera en un sistema de referencia volumétrico, tridimensional, de 3 ejes: Entonces haremos:

Tal vez hayas objetado: qué clase de cuerpos son éstos cuyas partes masivas se encuentran separadas... no es una mala objeción. La respuesta es la siguiente: por un lado la naturaleza de la materia es corpuscular; por más compacto que te parezca un cuerpo, está hecho principalmente por espacio vacío, su masa está concentrada en partículas que se hallan muy separadas unas de otras. Si no fuese por las fuerzas de atracción y repulsión que se establecen entre éstas partículas los cuerpos podrían traspasarse limpiamente y la probabilidad de choque entre partículas sería muy remota. Podríamos atravesar paredes, ingresar a las cajas fuertes de los bancos... eso sí, sería muy difícil hacer el amor. Por otro lado, la idea de cuerpos con su masa concentrada en porciones separadas, nos ofrece un método práctico para hallar el centro de masa de cuerpos no geométricos, o no uniformes. El método consiste en seccionar el cuerpo (mentalmente) en porciones cuyas masas sean fáciles de calcular y cuyos centros de masa (de la porción) fácil de determinar. Luego el cuerpo queda idealmente constituido por un conjunto discreto y manejable de porciones de masa puntuales... su ruta.

que centro de masa? ¿Son sinónimos? ¿Cómo se obtiene el baricentro de un triángulo?

| 108 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Ejercicios resueltos 1. Leyes de la dinámica 1.1 C

Para los cajones de la figura, sustentados por el piso, en equilibrio, dibujar todas las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos. ¿Cuáles son los pares de interacción?

Este ejercicio está planeado simplemente para que aprendas a usar esa herramienta fantástica de la dinámica que se llama diagrama de cuerpo libre o desvinculado, DCL y que consiste en dibujar cada uno de los cuerpos por separado (un DCL para cada uno) y sobre él indicar con vectores todas las fuerzas que obran sobre el cuerpo (¡No las que él ejerce sobre otros... sólo las que él sufre, recibe!) Empecemos por el cuerpo A: Sólo actúan dos fuerzas sobre el cuerpo A. Su propio peso, PA, o sea, la fuerza gravitatoria con que lo atrae la Tierra, que siempre es vertical y hacia abajo. Y la fuerza de contacto con el piso, Fpi/A, que generalmente es normal (o sea perpendicular) al piso y que las masas populares suelen llamar normal, pero hacen mal en adoptar ese nombre: genera confusiones. (Y cuando hay más de un cuerpo en un problema no te olvides de ponerle un subíndice a las fuerzas peso).

A

B Fpi/A

A

PA

P´A

FA/pi

Leyendo el enunciado del problema y según me lo garantiza Newton ( ) no me cabe duda de que estas dos fuerzas que dibujé son iguales en módulo, iguales en dirección y contrarias en sentido... ¿serán pares de interacción? ¡Noooo! Los pares de interacción SIEMPRE actúan sobre cuerpos diferentes, justamente los cuerpos que están interactuando, el par de fuerzas de esa interacción. Para dibujar los pares tendríamos que dibujar los cuerpos que están interactuando con A. Ok, hagámoslo. En la columna de la derecha los tenés, los cuerpos interactuantes y los pares de interacción. Fijate en esto: el nombre que le pongo a las fuerzas denota los cuerpos que estan actuando: pi/A es el piso sobre A, con lo que automáticamente A/pi es el par de interacción, la fuerza que A hace sobre el piso. Sigamos con los cuerpos B y C.

www.full-ebook.com

NOTA:

En la mayoría de los libros de texto de Física se utiliza el orden de subíndices inverso que utilizo yo en No me salen, para indicar los cuerpos interactuantes. Por ejemplo: FZ/M se lee “fuerza que sobre el cuerpo Z realiza el cuerpo M. Lógicamente, como toda convencion es arbitraria y cada uno puede elegir la que prefiera. La general, tomada de la bibliografía anglosajona, concuerda con el uso corriente del inglés. Yo he preferido el orden que concuerda con el uso corriente de nuestro español con la esperanza de que le resulte más natural a mis estudiantes. | 109 |

| RICARDO CABRERA | Ejercicios de Física

Fpi/B

P´C

FB/C P´B

B

C

PB

FC/B

FB/pi

PC

Como ves, soy coherente con la forma de mencionar las fuerzas y queda claro que FB/C y FC/B, los que te didujé en en gris claro, son pares de acción y reacción... (de qué interacción: del contacto entre los cuerpos B y C). Los pares de interacción de las otras fuerzas hay que dibujarlos en DCLs de los otros cuerpos que están interactuando con ellos. A la izquierda están:

Qué nos garantiza Newton, a ver... Primero: que FB/C y PC valen lo mismo; que la suma de FC/B y PB es igual al módulo de Fpi/B. Pero no te confundas. Que valgan lo mismo no quiere decir ni que sean lo mismo, ni que se deban a la misma interacción. Las fuerzas son negocios entre pares de cuerpos (dos, sólo dos) ... terceros abstenerse. DESAFÍO:

Ahora suponete que el piso dibujado en el enunciado del problema es un piso de un ascensor... y que todo el conjunto sube acelerando cada vez más rápido (cosa que suele ocurrir durante los arranques) Sólo cualitativamente... ¿qué vectores de todos los dibujados en este problema cambiarían?

Tomá mate con chocolate, y hacé el desafío que te va a ayudar a reforzar la idea de qué es una interacción. Ah... y no llamés normal a la normal. Ponele un nombre operativo: FM/Z , Fuerza que Menganito hace sobre Zutanito... tenés que dibujarla en el DCL de Zutanito. ¿Querés buscar el par de interacción? Muy simple, es FZ/M , la fuerza que Zutanito hace sobre Menganito, y si querés representarla tenés que hacer un DCL para Menganito.

1.3 Un balde con mezcla cuelga del cable de una grúa. Analizar las interacciones presentes y hacer el diagrama de cuerpo libre del balde en cada caso. Comparar las intensidades de las fuerzas entre un caso y otro. Si la masa del balde es 40 kg, determinar la fuerza que ejerce el cable, cuando el balde: a) Permanece en reposo. b) Sube con velocidad constante de 2 m/s.

c) Sube, aumentando su velocidad a razón de 2 m/s cada segundo. d) Sube, disminuyendo su velocidad a razón de 2 m/s en cada segundo.

Este problema es el más importante de la guía. O debe serlo, porque figura repetido un montón de veces en diferentes versiones y situaciones. Mirá (y si querés hace un toque en cada uno y volvé) se repite, por lo menos en los ejercicios 1.4 (el que sigue), 1.13 más adelante, 20 de los adicionales, 1.4 de energía, y en otros más. Y

www.full-ebook.com

| 110 |

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

de verdad que es un problema bien sencillo, pero que apela a esas cuestiones básicas, absolutamente básicas que si no las cazaste bien, pero BIEN, entonces el resto vale bastante poco. Así que... prestale atención.

T y

0

Primero te advierto, por si no te diste cuenta, que el dibujito de arriba no se condice con la serie de ítems de lo que sigue. Van por separado. Al finalizar el problema vuelvo sobre el dibujo, ¿ok? En los cuatro casos (dinámicamente muy parecidos) actúan sólo dos fuerzas. El peso del balde, P, que es la fuerza con que la Tierra -objeto sólido, redondo y acogedor- lo atrae como si quisiera engullirlo. Y la fuerza que hace la cuerda, T, que tira hacia arriba (las cuerdas sólo pueden hacer eso: tirar en la dirección en que se encuentran, no pueden empujar ni hacer esfuerzos laterales). ¡Y ninguna otra! Si estás tentado de agregar alguna(s) fuerza(s) má(s)... estás fregado(a). Toda esta discusión siempre la hago con un DCL.

P T y

a

En todos los casos usaremos la ecuación de Newton, que dirá:

Alcanza con una sola ecuación pues ambas fuerzas son verticales. Y si elijo un SR positivo hacia arriba la ecuación queda así:

P y

T–P=ma

T

En cada uno de los cuatro casos varía la aceleración (y eso modifica el segundo miembro). Luego, del primer miembro sólo puede modificarse la fuerza que hace la grúa, o sea la tensión de la cuerda, ya que el peso del balde es constante. Casos a y b.  Ambos casos son idénticos desde el punto de vista dinámico. Ya sea que esté parado, que suba o baje a velocidad constante del valor que sea es lo mismo... la aceleración vale cero.

T = 400 N

Caso c. Subir aumentando la velocidad en 2 m/s cada segundo es lo mismo que decir que tiene una aceleración hacia arriba de 2 m/s². (En estos casos uno dice “a papá mono con bananas verdes”... no importa, ellos entienden) T–P=ma T=ma+P

P Discusión: 

T–P=0 T=P

a

T = 480 N

www.full-ebook.com

Como ves, esto es muy sencillo. Hay sólo dos fuerzas, la más grande gana y acelera el cuerpo para su lado. Nada más. Es cierto, exageré un poquito el largo de los vectores que representan la tensión. Pero lo hice para remarcar la idea de cuál es la fuerza que está variando entre caso y caso y cuál es su consecuencia. Si lo hacemos al revés, también vale. De hecho el último caso dibujado, “cae libremente” no está representado por ninguno de los enunciados que resolvimos, ¿cuál será su particularidad? (R.: T = 0 ) | 111 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

DESAFíO: 

¿Cuánto valdrá la tensión para que acelere hacia arriba con una aceleración igual a g? ¿Por qué a mucha gente le cuesta encontrarle el sentido a esta pregunta?

Caso d. Sube pero cada vez más despacio... la aceleración apunta hacia abajo, en nuestro SR será negativa. (a = – 2 m/s² ) T–P=ma T=ma+P

T = 320 N

1.4 Un pasajero que viaja en ascensor está parado sobre una balanza que marca un peso menor en un 40% al que indicaría si el ascensor estuviese detenido. Entonces, es posible que en ese momento el ascensor esté: a) subiendo cada vez más rápido b) subiendo cada vez más despacio c) subiendo con velocidad constante

d) bajando cada vez más despacio e) bajando con velocidad constante f) bajando en caída libre

Mirá este problema es recontra súper híper mega sencillo. Es igualito al 1.3 de dinámica, el anterior a éste. Difiere simplemente en que una de las fuerzas que actua es apenas un poquito menos evidente, y todo ocurre en un cuarto cerrado, el ascensor, mientras que el 1.3 transcurre al aire abierto. Pero es lo mismo. Una pavada atómica. Lo curioso es que a los profesores de física le encanta tomar este ejercicio en los exámenes y el resultado es siempre el mismo: una masacre generacional. Miralo conmigo, y después contame. Como todos los problemas de dinámica tenés que empezar por un DCL. Si no me hacés caso no me hago responsable de tu futuro académico. Es una obligación moral hacer bien el DCL, si lo hacés mal o no lo hacés el problema no te sale ni con la ayuda de Maldacena.

N

a

Ahí tenés el DCL correcto. Sobre el chabón actúan solamente dos fuerzas: su propio peso, P, que es constante y vale siempre lo mismo haga lo que haga el ascensor. P no cambia, siempre es vertical y apunta hacia abajo. Si el pasajero fuese yo, P valdría 80 kgf, o si querés 800 N; puede cambiar con los meses y los años, pero no en el transcurso del problema éste, ¿ta claro? La otra fuerza que actúa sobre el ñato es la fuerza que el piso del ascensor (ok, en este caso el piso de la balanza) hace sobre él. En una fuerza perpendicular al piso, por eso la llamamos normal,  N, porque normal es sinónimo de perpendicular, o sea que forma 90 grados con el piso.

P

| 112 |

La balanza mide la fuerza N. No mide el peso -como todos creen-, o en todo caso lo mide pero en forma indirecta. La próxima vez que vayas

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

a una farmacia a pesarte podés comprobarlo. Basta con que te muevas un poquito arriba de la balanza, que hagas pequeños saltitos o subas y bajes los brazos, vas a ver que la aguja marca cosas raras. No indica un valor constante como tu peso, marca las variaciones de la fuerza que el piso hace sobre tus zapatos (o viceversa, que es lo mismo). Para que esa fuerza, la normal, indique el valor de tu peso hay que estar quieto. Tu aceleración debe ser cero... y esto nos lleva a la resolución del ejercicio. Es muy sencilla, es una aplicación inmediata de la segunda ley de Newton que dice que la sumatoria de todas las fuerzas que actúen sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración, ΣF = m a. Acá todos los vectores: las dos fuerzas y la aceleración, son verticales. No importa el  SR  que elijas, para arriba o para abajo. Lo que apunte para el mismo lado tiene que tener el mismo signo. Por ejemplo en un SR que apunte hacia abajo... P–N=ma Para concretar: si N es mayor que P la aceleración va hacia arriba. Si N es igual a P la aceleración vale cero (y sólo entonces, la balanza indica mi peso, y sé si engordé o mantengo la línea). Y si N es menor que P la aceleración va hacia abajo. Es justamente el último caso el relatado por el enunciado, Dice que la balanza indica un valor un 40% menos que su peso (en mi caso indicaría... a ver... 48 kgf), eso indica que la aceleración va para abajo. El resto es interpretación cinemática. Si la aceleración va para abajo, el ascensor baja cada vez más rápido, o sube cada vez más lento. Por suerte de estas dos sólo hay una entre las opciones.

N

b) subiendo cada vez más despacio Ya que estamos analicemos todas las opciones y nos sacamos bien las dudas. a=0

Las dos opciones que siguen describen situaciones diferentes, pero en ambas la aceleración vale cero. c) subiendo con velocidad constante e) bajando con velocidad constante (A propósito, faltaría una opción más para esta situación dinámica... ¿te animás a decir cuál es?) Bueno, en cualquiera de las tres situaciones se da que la fuerza que hace el piso de la balanza, la normal, es igual al peso del pasajero y es en ése momento en el que debe aprovechar para conocer su peso, si le interesa. (El problema es que los ascensores no suelen tener

www.full-ebook.com

P

| 113 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

un acelerómetro entre el instrumental, de modo que no son buenos lugares para colocar balanzas).

N

Las opciones siguientes describen situaciones en las que la aceleración apunta hacia arriba, espero que te quede claro y concuerdes conmigo, a ver...

a

a) subiendo cada vez más rápido d) bajando cada vez más despacio En ambos casos debe ocurrir que la normal sea mayor que el peso del pasajero. En esos momentos conviene no mirar la balanza para no asustarse. No es tu caso, porque vos ya entendiste cómo viene el asunto, pero la mayoría de los mortales... sobre todo la mayoría de las gorditas... Y nos queda una opción entre las respuestas del enunciado:

P CHISME:

Un pensamiento semejante al del pasajero con la cabeza fría indujo a Albert Einstein a formular la Teoría de la Relatividad General. Pasan cosas raras en los ascensores. Nunca te subas con un desconocido.

DESAFíO: 

¿Cuánto vale la aceleración de este problema? (No vale hacer cuentas con mi peso ni con el tuyo, tenés que hacer las cuentas con el peso de este pasajero que vos no conocés, y no sabés si es gordito o flacucho).

f) bajando en caída libre Cuando las cosas, ascensores, personas, pianos, elefantes, lo que sea, caen en caída libre, su aceleración apunta hacia abajo y adquiere un valor especial que vos conocés, aproximadamente 10m/s². O sea se trata de un caso especial de la primera situación. Pero si hacés las cuentas vas a ver que en ese caso ocurre un fenómeno singular: la normal vale cero. La balanza no marca 48 ni 24 ...¡marca cero! Dicho de otro modo, el pasajero se despega del piso, queda flotando... es más si tiene suficiente sangre fría como para hacer elucubraciones teóricas puede inferir: “O han cortado el interruptor de la gravedad, o... ¡diantres! ¡es probable que se hayan cortado los cables de ascensor!, ¡qué contrariedad!”. Bueno, che, quedó un poco largo pero creo que valía la pena. Un ejercicio como éste va incluído en 1 de cada 3,48 exámenes de física. Después no digas que No me salen no te lo había anticipado. Tenés uno idéntico, pero con un abordaje puramente cuantitativo en el ejercicio 1.13. Y otra variante más en el Adicional 20. Y hay más.

1.8 Si quisieras acostarte en una hamaca paraguaya cuyas cuerdas de suspensión están desgastadas ¿qué es mejor, colgarla de dos árboles cercanos o distantes?

Pregunta fácil si la hay... si quisiera acostarme en una hamaca paraguaya es porque estoy cansado. Luego, me conviene atarla en árboles cercanos y no tener que caminar hasta árboles distantes, ¿hasta dónde quieren que vaya?... ¡Que estoy cansado! ¡No lo entienden! | 114 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Bueno, era una broma, no protestes. Hablando en serio, este problema se puede resolver de varias maneras, algunas muy sencillas e ingeniosas. Pero yo lo voy a hacer del modo clásico. Empecemos con un esquema. Supongo que los esquemitas te ayudan a entender el problema. El peso que va a soportar la hamaca en cualquier caso es el mismo: el tuyo. Pero parece que en un caso se puede romper más fácil, lo mismo que tu columna, y la diferencia pasa por el ángulo con que la hamaca queda amarrada al árbol, que en el esquema llamé α.

árboles cercanos

Para hacer las cosas más sencillas vamos a suponer que tu cuerpo es puntual (sin ánimo de ofenderte) con lo que la hamaca adquiere forma de “V” y vamos a tratar de expresar el problema en función del ángulo. No olvides que el largo de la hamaca es constante. El de la izquierda es el DCL verdadero, como corresponde. P es tu peso, que está sostenido por las tensiones que hacen las dos mitades de la hamaca, que como toda hamaca paraguaya auténtica hace la misma fuerza en ambos extremos de modo que les puse el mismo nombre: T. El DCL de la derecha es el mismo pero ya descompuse las tensiones en dos direcciones x e y, que nos ayuda a plantear las ecuaciones de Newton. Tené en consideración algunas cositas:

T

árboles distantes

Ty

T

Ty

Tx

Tx

y

P

x

P

Tx = T cos α Ty = T sen α

Discusión:

ax = ay = 0                (se supone que no vas a hamacarte) Entonces las ecuaciones de Newton quedan así: en x

→

ΣFx = 0

en y

→ ΣFy = 0

→ T cos α – T cos α = 0 →

2 T sen α – P = 0

de donde fórmula complementaria nro. 635* Basta con que coloques dos valores diferentes para α y te das cuenta que cuanto más juntos esté los árboles menor es la tensión que debe

www.full-ebook.com

El resultado que te recuadré tiene toda la descripción del problema: las unidades son correctas, pues las tensiones se deben medir en N, el peso es una fuerza también de modo que se mide en N, y el divisor son sólo números. Vamos bien. El peso es constante (a menos que adelgaces). Todo parece depender del sen α. Esta función varía de 0 a 1; cuando α vale 90º, sen α vale 1. Y cuando α vale 0º , sen α vale 0... y ya no se puede calcular la tensión porque está prohibido dividir por cero... pero lo peor es que nos damos cuenta que cuando α se va acercando a 0º la tensión crece infinitamente... a sea es imposible subirnos a una hamaca sin que las cuerdas se inclinen un poco o sin romperla. Y, saben, eso es justo lo que yo creía. | 115 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

soportar la hamaca. No deja de ser una situación de compromiso, ya que cuanto más juntos estén los árboles más incómodo es el descanso. Y cuanto más separados, aumenta el peligro de una rotura de hamaca. Demos la respuesta: DESAFíO:

¿Para qué ángulo α la tensión de la hamaca es igual al peso?

Si quisiera acostarme en una hamaca paraguaya cuyas cuerdas de suspensión están desgastadas es mejor colgarla de árboles cercanos, aunque descanse incómodo, añamenhuí.

1.10 Hallar la aceleración de un esquiador que se desliza por la ladera de una colina inclinada 30° con la horizontal, con rozamiento despreciable. ¿Cuál será la inclinación de la pista, cuando su aceleración sea 8 m/s²?

Este es el famoso problema del plano inclinado. Estudiatelo bien, porque reaparece 734 veces metido en otros ejercicios de aquí en más. Hacemos un esquemita y después el DCL.

a

La mención de un esquiador es un sutil indicio de que tenés que despreciar el rozamiento (andá acostumbrándote), o sea... no pongas fuerzas de rozamiento hasta que no entres en ese tema. ¿Cuáles son las fuerzas que actúan entonces sobre el esquiador? Para eso, justamente, está el DCL. Su peso, P, lógicamente. El apoyo en el plano inclinado, A, (que es perpendicular, o  normal, al plano) y ninguna otra más. Los errores típicos de tus compañeros (no tuyo) son agregar fuerzas que no existen, por ejemplo... “la fuerza de la velocidad” (una interacción misteriosa creada por duendes muy veloces) y “la normal” (una interacción omnipresente sobre todos los cuerpos del universo). No inventes.

A

Ahora aplicamos la 2da. ley de Newton... pero hay un problemita: que las fuerzas no son codireccionales. De modo que elegiremos un SR y decompondremos alguna fuerza.

P

y

x

A

No es casualidad que haya elegido ese SR. El eje equis, siempre que puedo, lo hago coincidir con la dirección y sentido de la aceleración del movimiento, entonces en el eje y la aceleración es cero.

Px Py P

| 116 |

Y ahora aplicamos la 2da. Ley por separado para cada uno de los ejes. Empecemos con la dirección paralela al plano. ΣFx = m ax = m a

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

hay una sola fuerza en esa dirección, Px = m a Ahora vamos con la dirección normal al plano: ΣFy = m ay = 0 A – Py = 0 En este problema en particular esta última ecuación no aporta gran cosa. Pero la de equis sí. Mirá el triangulito que quedó formado y que sombreé. Es rectángulo, no cabe duda. Px y Py son los catetos y P es la hipotenusa. El ángulo α no es otro que el ángulo de inclinación del plano inclinado. De modo que

Px

Py P

Px = P . sen α Py = P . cos α Si reemplazo Px en la ecuación x de Newton nos queda... P . sen α = m . a Discusión:

recordando que... P = m . g m . g . sen α = m . a de donde: a = g . sen α  Como α = 30°... entonces a = 5

El resultado que recuadré no es la respuesta al ejercicio... ¡Pero es mucho más importante!  Porque representa la aceleración de cualquier cuerpo que desliza sobre cualquier plano inclinado cualquier ángulo sin rozamiento. “a  = 5 m/s²” dice poco o nada en cambio “a  = g . sen  α” dice mucho, y ese resultado es

www.full-ebook.com

Voy a referirme al resultado general, el que está recuadrado. La primera pregunta que nos hacemos siempre es: ¿tiene las unidades correctas este resultado? Sí, tiene unidades de aceleración ya que es el producto entre g, que es una aceleración (10 m/s²), y sen α que como toda función trigonométrica es adimensional, no tiene unidades. Vamos bien. ¿Y tiene sentido físico el resultado? Y... parece que sí, fijate, si α valiera cero estaríamos frente a un plano horizontal, ahí la aceleración debe valer cero, y es justo lo que dice el resultado ya que sen 0º = 0. Si α crece, sen α también crece; o sea cuanto más inclinado esté el plano mayor será la aceleración lo cual parece muy lógico. ¿Y si α valiera 90º? El esquiador estaría cayendo por un precipicio vertical con una aceleración igual a g, tal como dice el resultado ya que sen 90º = 1. Viste que siempre un planteo no numérico es mucho más aleccionador que uno numérico. | 117 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

DESAFíO:

¿Podría un esquiador estar subiendo por la pendiente y sin que nadie ni nada lo empuje hacia arriba? (R: sí) ¿Cómo? ¿Cuánto valdría su aceleración?

el que vamos a discutir. La segunda pregunta del problema usa justamente este resultado que yo te marco. Basta con colocar  a = 8 m/s2 y despejar α. α = arc sen 0,8

α = 53,13º

1.11 Un péndulo cuelga en reposo del techo de un coche de ferrocarril, detenido en una vía horizontal. Si el tren arranca con aceleración constante, ¿qué ocurre con el péndulo, si se lo coloca en una posición donde permanece sin oscilar?. ¿Cómo hallar, observando el péndulo, la aceleración del tren?

Este es un problema muy bonito. Voy a hacer dos DCL, el de la izquierda cuando el tren está en reposo y el de la derecha cuando todo el conjunto, tren, vagón, y péndulo, están acelerando. Tal vez no puedas predecir cómo debe ser el segundo DCL, yo, sí, porque tengo un poco más de experiencia, aunque es bastante intuitivo. De todos modos lo importante es que entiendas el razonamiento hasta el final y te cerciores de que el DCL del tren acelerado no podía ser de otra manera. a=0

a

T

T

Indudablemente el que nos interesa es el segundo DCL, aquél que representa las fuerzas que obran sobre el péndulo cuando el vagón está acelerado. Observá que no han aparecido nuevas fuerzas. Las únicas dos que actúan son: P, la fuerza con que la Tierra solicita al péndulo, y T, la fuerza que ejerce la cuerda que, por supuesto debe tener la misma dirección que la cuerda.

De ése DCL va a salir la solución del problema. Debemos aplicar ahora la ley de Newton, ΣF = m a P

P

Ty

T

Y ahora aplicamos la 2da ley por separado para cada uno de los ejes. Empecemos con la dirección horizontal

Tx

m

ΣFx = m ax

y P | 118 |

Pero hay un problema: las fuerzas no son codireccionales, son oblicuas entre sí. Debemos hacer una descomposición. Voy a elegir (a propósito) un SR con una coordenada horizontal (la misma dirección de la aceleración) y la otra vertical. El peso no hay que descomponerlo, coincide con la dirección vertical. Sí, en cambio, T.

x

hay una sola fuerza en esa dirección; y ax no es otra que la aceleración del vagón

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Tx = m a Ahora vamos con la dirección vertical ΣFy = m ay Ty – P = 0 Ty = m g Pareciera que no ganamos demasiado... pero tratemos de ver si Tx y Ty , no estan por casualidad, realacionados de alguna manera. Mirá el triangulito que quedó formado y que sombreé en gris. Es rectángulo, no cabe duda. El ángulo α no es otro que el ángulo de inclinación de la cuerda. Tx y Ty son los catetos de ese triángulo yT es la hipotenusa. Entonces... Tx = T sen α

T Ty

Tx

Discusión:

Ty = T cos α Si metemos esta información en las ecuaciones de Newton tal como las habíamos dejado, quedan: T sen α = m a T cos α = m g ahora dividimos miembro a miembro esas dos ecuaciones y mirá lo que queda

La primera pregunta es obvia: ¿tiene las unidades correctas este resultado? Sí, tiene unidades de aceleración ya que es el producto entre g que es una aceleración (10 m/s²) y tg α, que como toda función trigonométrica es adimensional, no tiene unidades. Vamos bien. ¿Y tiene sentido físico el resultado? Y... parece que sí, fijate, si α valiera cero, tg α = 0, estamos en el primer caso y ya sabíamos que ahí la cuerda colgaba vertical. Si α crece tg α también crece, o sea cuanto más acelerado esté el vagón más inclinada estará la cuerda. Parece lógico. ¿Cuánto tendría que valer la aceleración del vagón para que α valiera 90º? 

a = g . tg α  ¡Apareció la solución! Fijate, con sólo observar el ángulo de inclinación de la cuerda se puede conocer la aceleración del vagón. Ya que g es una constante cuyo valor es conocido, valía... mmm... Conviene tener una escuadra y una calculadora, claro, pero eso es otra historia.

www.full-ebook.com

DESAFíO:

Resulta que ahora el péndulo vuelve a la vertical y sabiamente deducís que el vagón está detenido o avanzando a velocidad constante. Por otro lado te consta que el camino va siempre por una llanura y que no hay ningún desnivel, ni el más mínimo. De pronto observás que el péndulo se inclina no hacia adelante ni hacia atrás... sino hacia un costado ¿te animarías a dar una explicación para ese fenómeno? | 119 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

1.12 Un cuerpo oscila dentro de una palangana como indica la figura. Dibuje la fuerza resultante que actúa en los puntos A, B, C, D y E en un camino de ida y en un camino de vuelta (se desprecia el rozamiento).

Ok, yo lo hago... pero te advierto una cosa: no vas a poder sacarle todo el provecho que tiene si antes no estudiaste a fondo la dinámica de los movimientos circulares... la fuerza centrípeta y todo eso. Te propongo que si no lo hiciste, lo dejes para después. Te prometo que va a seguir estando. En lugar de responder directamente el requerimiento del enunciado, voy a realizar un trabajo más pautado y -espero- aleccionador. Voy a empezar por representar todas las fuerzas que están actuando en cada posición. Acá va: El cuerpo (que yo imaginé como una bolita negra) recibe en cada caso dos fuerzas solas, siempre las mismas.

NC NA

NB

ND

P

NE

P P

P

P

Una de ellas es la fuerza peso, P. Se trata de una fuerza constante que siempre es vertical y siempre vale lo mismo para ese cuerpo (salvo que engorde o adelgace). La otra fuerza es el contacto con la palangana que llamaremos normal, N. Su nombre obedece a que forma un ángulo de 90º con la superficie de la palangana.

La palabra normal es sinónimo de perpendicular, recto, ortogonal (la sinonimia de las dos últimas entre sí es obvia). En este ejercicio el hecho de ser normal es suficientemente importante como para ponerle como nombre normal a la fuerza, que tiene esa dirección. En la inmensa mayoría de los ejercicios de Física, esa característia es irrelevante y ponerle ese nombre sólo alimenta la confusión de los estudiantes, pero en este caso, no. Como ves el módulo de la normal no es constante: es mayor cuanto más abajo está rodando el cuerpo, con un máximo en la posición más baja. Incluso en algunas posiciones es mayor que el peso y en otras menor... NC > P , NA < P Ese es un dato interesante. Habitualmente los estudiantes creen que en el punto más bajo la fuerza que tira hacia arriba (puede | 120 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

también ser una cuerda, en el caso de un péndulo) es igual al peso. Y no. Es mayor porque la resultante entre ambas debe ser distinta de cero y apuntar hacia el centro de la circunferencia (en este caso hacia arriba). La Segunda Ley de la Dinámica lo predice: ΣF = m aC Y como en C la aceleración centrípeta es distinta de 0, la fuerza que apunta hacia el centro, N, debe ser mayor que la que apunta hacia afuera, P. La misma línea de razonamiento nos permite conocer el módulo de la normal en otras posiciones. Pongamos por ejemplo la posición extrema de la oscilación, el punto A. El siguiente DCL describe la situación: Tomé un eje de referencia instantáneo que tiene una dirección radial y la otra tangencial (son normales entre sí). En base a ese sistema descompongo la fuerza peso, y así quedan definidas la componente radial PR, y la componente tangencia, PT.

NA PR PT

Como se trataba de la posición extrema, la velocidad de cuerpo debe valer cero, y por ende, la aceleración centrípeta también (acordate que aC = v²/ R) de modo que la normal es esa posición debe ser igual y contraria a la componente radial del peso:

P

NA – PR = 0 Como ves, en este caso extremo (y sólo en él) la componente tangencial de peso es la resultante de las fuerzas. Creo que ya estamos listos para cumplir el requerimiento del ejercicio. Acá va.

RA

RB

RC

RD

RE

Y también podemos completar el panorama de la dinámica de este problema. En la posición extrema, A, el cuerpo tiene velocidad cero pero la componente libre del peso lo acelera hacia abajo. Al pasar por B, la superficie de la palangana lo desvía hacia arriba (si así no fuera, el cuerpo ya la habría perforado) lo cual implica una aceleración centrípeta... pero se sigue acelerando linealmente hacia abajo (menos que antes pero acelerando al fin) y eso hace que tenga más velocidad.

www.full-ebook.com

Discusión:

Si realmente no hubiese rozamiento ni ninguna otra fuerza que quite energía del sistema el cuerpo se mantendría oscilando indefinidamente. Pero esas cosas no ocurren en nuestro universo, al menos en la escala de nuestras palanganas.  | 121 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Al pasar por C, la posición más baja, se extingue la aceleración tangencial. A partir de ahí reaparece, pero contraria al desplazamiento, de modo que desde ahí: comienza a frenarse.

DESAFíO:

¿Cuánto valdría la resultante en C si la altura de la palangana fuese de 10 centímetros?

En el punto D, podemos observar cómo continúa la fuerza frenándolo y desviándolo al mismo tiempo. Y así llega al otro extremo, E, en el que se frena completamente... pero como la resultante es tangencial a la superficie y apunta hacia abajo, el cuerpo pegará la vuelta para iniciar un nuevo recorrido.

1.14 Un hombre está de pie sobre una balanza de resorte. De repente se pone en cuclillas. ¿Qué ocurre con la lectura de la balanza?¿Y si el hombre estuviera inicialmente en cuclillas y se levantara repentinamente?

Este ejercicio es fundamental. Es una suerte que estés acá. Los profesores suelen pasarlo por alto (yo me incluyo). Pero es importantísimo. Ojalá lo aproveches. Lo primero que tenemos que hacer es comprender esa situación simple que significa subirse a una balanza y pesarse... te apuesto que si terminás comprendiéndola y te dedicás a investigar qué cree la gente común (o un estudiante de Física) sobre el asunto, vas a encontrar que nadie entiende una jota. Ahí tenés un tío subido a la balanza en la farmacia de la esquina. Que la balanza funcione con resortes no agrega ni quita nada en este ejercicio, la importancia de esa característica se discute en el problema adicional 17. Vamos a suponer, por comodidad, que las fuerzas que sobre él actúan lo hacen en su centro de masa -que en este ejercicio va a tener un rol protagónico- que te indiqué con un punto celeste, G, cercano al ombligo del chabón.

B G P

| 122 |

Las fuerzas que actúan sobre el hombre en esa situación son: la atracción gravitatoria de la Tierra, P, vulgarmente llamada peso. Y la fuerza con que la balanza lo sostiene, lo ataja, lo empuja hacia arriba, B, y que en cualquier clase de física y cualquier libro de texto la llamarían normal. La balanza lee esa fuerza, B. No lee el peso del hombre. El display de la balanza indica el valor de la fuerza que hace la propia balanza, hacia arriba, con la pequeña plataforma a la que vos te subís.

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Habrás notado que cuando te subís a la balanza la aguja del display oscila un rato hasta que se estabiliza sobre un numerito. Ese numerito es el que te interesa, porque es el que indica también tu peso (una medida de todo lo que comiste los últimos meses, los rollitos... etc.). También aprendiste que para obtener rápidamente ese numerito tenés que subirte y tratar de no moverte lo antes posible. Lógico: porque la clave es que tu aceleración sea cero. Sólo en ese caso: que no te muevas y tu aceleración valga cero, tu peso va a ser igual a la fuerza que hace la balanza y el display va a indicar el numerito que te interesa. Lo afirma la ley de Newton, mirá: B–P=m.a Si te quedás quieto, tu aceleración valdrá cero... B–P=0 B=P Recién ahí la indicación de la balanza te revela lo que pesás. Ahora vamos a ver qué pasa si el ñato decide ponerse en cuclillas. La situación que nos interesa es la representada en el medio, o sea, mientras, el hombre se pone en cuclillas. Al final termina agachado... pero en reposo. A los fines de la dinámica es lo mismo que esté parado o arrodillado: mientras su aceleración valga cero, la lectura de la balanza será igual al peso.

B G

a G

P P

B

B G P

Pero mientras... la aceleración del centro de masa puede ser distinta de cero (no todas las personas se agachan de la misma manera... y también es posible hacerlo sin aceleración alguna, pero lo más común es hacerlo de esta manera). De modo que lo más probable es que haya una aceleración del centro de masa que apunte hacia abajo, y la ecuación de Newton pasará a decir... B–P=m.a De modo que la resultante de las dos fuerzas tenga el mismo sentido que la aceleración... o sea... hacia abajo. La fuerza peso es constante

www.full-ebook.com

| 123 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

(al menos durante una visita a la farmacia), de modo que la que está variando debe ser la fuerza en la plataforma de la balanza, o sea B. Mientras el hombre se esta agachando la indicación de la balanza será menor que su peso. Es probable que en el breve lapso en que termina el movimiento -muy cercano a la última imagen del esquema- el sentido de la aceleración se invierta (ya que nuestra capacidad de plegarnos es finita, y el ombligo suele frenarse con cierta brusquedad). De modo que es probable que en ese breve lapso la indicación de la balanza pegue un salto hacia valores mayores que nuestro peso. Ahora veamos qué pasa cuando el hombre vuelve a pararse. B

B

B G

a G

G

P P

P

Discusión:

Fue largo pero creo que valió la pena. Creeme, aunque la situación narrada en el enunciado es recontra sencilla... tuve que resumirla enormemente, una descripción acabada del proceso podría llevarnos varias carillas más.

Acá, nuevamente, lo que interesa es el durante el estiramiento para volver a estar parado. Lo más probable -no hay una única forma de hacerlo- es que se realice de esta manera: haciendo fuerza con nuestros muslos hacemos una fuerza superior sobre la plataforma de la balanza. Ella nos responde vengativamente (no es que sea mala sino que obedece el Principio de la Acción y Reacción) y realiza sobre el hombre una fuerza de contacto, B, mayor que antes, y la lectura de la balanza lo refleja.

Fijate que siempre dibujé la fuerza peso del mismo largo. La descripción según Newton sería ésta: mientras el tipo se levanta acelerando su centro de masa, la aceleración es distinta de cero y tiene el mismo sentido de la fuerza con que nos sostiene la balanza. La Segunda Ley dice: B–P=m.a

DESAFíO:

Hacer un gráfico de aceleración/tiempo, en tándem con otro de fuerza/tiempo, que describa todo el proceso desde que el hombre se sube en la balanza hasta que se baja, con una encuclillada en el medio. En el gráfico de aceleración debe describir la del centro de masa, y el de fuerza/tiempo indicar la fuerza peso y la fuerza con que sostiene la balanza. Si se lo mostrás a tu profesor para que te lo corrija, a la fuerza de la balanza la tenés que llamar normal (evitemos males mayores). | 124 |

Momentáneamente esa fuerza se hace mayor que el peso... y así lo indica la balanza. Acá también conviene aclarar que cuando el hombre alcanza su elongación máxima (última figura del esquema) su centro de masa -que se venía moviendo hacia arriba- debe detenerse y es probable que se haga necesaria una aceleración hacia abajo. Por eso es probable que en ese breve lapso en que nos terminamos de estirar, la balanza indique brevemente valores oscilantes menores que el peso... no hay que ilusionarse.

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

1.23 Dos carretones, A y B, cuyas masas son mA = 80 kg, mB= 120 kg, se encuentran uno junto al otro, como muestra la figura, apoyados sobre un piso horizontal que presenta rozamiento despreciable. Sobre el carretón A se aplica una fuerza horizontal de 30 kgf. Hallar la intensidad de la fuerza de contacto entre ambos. Repetir para el caso en que se empuje al carretón B con una fuerza horizontal, también de 30 kgf.

Imposible empezar por otro lado que no sea el correspondiente DCL. Como tenemos dos cuerpos, haremos dos DCLs. Fijate bien cómo los hice. Mirá estos detalles, son importantes: como hay dos cuerpos los pesos llevan subíndice, lo contrario significaría que son iguales y eso no es cierto. La fuerza que las vías hacen sobre cada carro la llamé V (por vía) cada una con su subíndice. Vos la hubieras llamado N (por normal), francamente no entiendo esa tozudez tuya. Las fuerzas de contacto, (o mejor aún, la interacción del contacto, que es lo que pregunta el enunciado) las llamé FAB y FBA respectivamente. Fijate que hasta el mismo nombre que le pongo denuncia que son pares de interacción. La fuerza externa que viene con el enunciado actuando sobre el carrito A, la dibujé correctamente, con el origen dentro del carrito A. Cualquier otra cosa que le quieras agregar a un DCL y que no sea una fuerza (velocidad, aceleración, informaciones, lo que quieras) dibujaloafuera del cuerpo. Adentro sólo los orígenes de los vectores fuerza que actúan sobre el cuerpo en cuestión. OK, despues de cada DCL viene la (o las) ecuaciones de Newton (en este caso las, porque las fuerzas que actúan no son codireccionales, necesitamos dos ejes... que ya los dibujé). Fijate que aA = aB = a, en este caso se sobreentiende.

y

aA

VA x A

F

FBA mA = 80 kg

VB PA

aB

B FAB

mB = 120 kg PB

Discusión:

Este otro camino algebraico es más inusual, pero nos hace pasar por un lugar interesante, fijate. En lugar de sumar miembro a miembro voy a restar F – FBA – FAB = mA . a – mB . a F – 2 FAB = a (mA – mB) 2 FAB = F – a (mA – mB)

Carro A (eje x)

→ ΣFx = m ax

→ F – FBA = mA . a

Carro B (eje x)

→ ΣFx = m ax

→

FAB = mB . a

Carro A (eje y)

→ ΣFy = m ay

→

VA – PA = 0

FAB = [ F – a (mA – mB) ] / 2

Carro B (eje y)

→ ΣFy = m ay

→

VB – PB= 0

¿Lo pudiste seguir? Bueno, esta expresión describe perfectamente el valor de la fuerza de contacto. Por ejemplo, ¿cuánto vale si las masas son iguales?, ¿cuánto vale si la masa A o la B fuera cero?, ¿cuánto vale si la masa A es más grande que la B?, ¿puede la fuerza de contacto valer 0... cuándo? ¿puede ser mayor que F? Fijate cuántas cosas nos puede confirmar esa expresión, que nuestra intuición puede también resolver perfectamente.

Las ecuaciones en y, en este caso no aportan gran cosa. Sabemos que la aceleración vertical de los carritos es 0 porque ninguno de los dos levanta vuelo ni se hunde en la Tierra, por lo tanto la fuerza con que los sostiene la vía es igual a su respectivo peso. Las ecuaciones de x, en cambio resultan interesantes. Si las mirás con cariño, juntas forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, una

www.full-ebook.com

| 125 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

de ellas, la que figura en la pregunta del enunciado: la fuerza de contacto. OK, dejemos la física por un rato y dediquémosnos al álgebra. Sumemos miembro a miembro esas dos ecuaciones F – FBA + FAB = mA . a + mB . a Como los pares de interacción valen lo mismo y está uno sumando y el otro restando, se cancelan mutuamente. En el segundo miembro saco factor común a.

con este valor voy a cualquiera de las dos ecuaciones (mejor a las dos) y averiguo la fuerza de contacto. DESAFíO:

¿Pueden los carritos, tal como los dibujé en sus DCLs, estar moviéndose hacia la izquierda? ¿En ese caso... qué cambiaría? (R: Sí; nada).

FAB = FBA = 180 N Volvamos a la física.

1.31 El sistema de la figura asciende por el plano inclinado 30°, que presenta rozamiento despreciable. Las masas de los cuerpos son m1= 60 kg, m2= 40 kg. Hacer los diagramas de cuerpo libre en cada caso, y determinar: a) La intensidad de la fuerza F necesaria, para que se mueva con velocidad constante. b) La fuerza que ejerce la cuerda, en ese caso. c) La intensidad de F necesaria para que se aceleren hacia arriba a razón de 2 m/s², y la fuerza que soporta la cuerda en ese caso. d) La fuerza que soporta la cuerda, la aceleración y el sentido del movimiento, un instante después de suprimir F.

Sin dudarlo un intante... ¡marchen dos DCL! Sobre cada carrito actúa la Tierra atrayendo a ambos con fuerza  P1  y  P2. El plano inclinado les da apoyo a ambos, en ambos casos con fuerzas perpendiculares (normales) al plano, y con fuerza N1 y N2. Sobre cada carrito, también, actúa una soga que al no tener masa apreciable realiza la misma fuerza en ambos extremos, o sea, sobre cada carrito, T. Y sólo sobre el carrito 1 actúa esa fuerza exterior que no sabemos quién la ejerce pero no importa, se trata de un dato del enunciado, F. | 126 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

N1

¡Marche un SR y una descomposición vectorial! Como las fuerzas presentes apuntan en direcciones diversas, elegimos un SR adecuado y las fuerzas que no coinciden con esas direcciones las descomponemos, y las reemplazamos.

N2

F

T

T

P1

Le tocó a las fuerzas peso, ser reemplazadas por sus componentes paralelas y perpendiculares al plano.

P2

Naturalmente, se vienen las ecuaciones de Newton. Cuerpo 1

→

ΣFx = m1 ax

N1

→ F – P1X – T = 0



→

ΣFy = m1 ay

→ N1 – P1y = 0

Cuerpo 2

→

ΣFx = m2 ax

→ T – P2X = 0



→

ΣFy = m2 ay

→ N2 – P2y = 0

Nuevamente, las ecuaciones en y no aportan información relevante para este problema, pero las de x sí. Tené en cuenta que

y x N2 P2x

T

F

T P1x

P1y

P2y

P1X = P1 sen α = m1 g sen α P2X = P2 sen α = m2 g sen α Vamos al álgebra... de la ecuación de x del cuerpo 2 despejo T T = m2 g sen α T = 200 n

la pregunta b)

eso lo meto en la ecuación de x del cuerpo 1 y despejo F F = m1 g sen α + m2 g sen α =  g sen α (m1+ m2) F = 500 n

Discusión:

Fijate la que marqué en amarillo. ¿Tiene unidades de fuerza? ¿Dice cosas razonables, como cuánto debería valer la fuerza para ángulos de 0 y 90 grados? ¿Podés pensar dos o tres preguntas más para hacerle a esa expresión y estar seguro de que es el resultado correcto? ¿Podrás explicar para qué puso el autor del problema una velocidad hacia arriba?

la pregunta b)

No pretendas que siga yo... en las ecuaciones de x de los dos cuerpos, en lugar de igualar a cero, igualá a 2 m/s² y volvé a calcular. Y en cuanto a la última pregunta podés razonarla sin ayuda, simplemente tené en consideración que la aceleración de ambos cuerpos debe ser la de cualquier otro sobre un plano inclinado sin rozamiento ni fuerzas exteriores aplicadas sobre él. O sea, lo que viste en el problema del esquiador, el 1.10.

www.full-ebook.com

DESAFíO:

Resolver este problema con un SR que tenga un eje vertical y otro horizontal, para ambas situaciones: la de aceleración cero y distinta de cero. | 127 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

1.32 En el sistema de la figura la soga y la polea se suponen sin masa y las pérdidas por rozamiento dinámico son insignificantes. La tensión de la soga es: a) 4 m.g / 3 c) m e) ninguna de las anteriores b) 8 m.g / 3 d) 2 m.g

Un problema tan rico, tan físico, tan dinámico... es una pena desperdiciarlo con un caso tan particular en el que un cuerpo tiene el doble de masa que el otro. Voy a hacer una cosa: voy a plantear la situación para un caso general de dos cuerpos A y B de masas cualesquiera. Y una vez que hallo el resultado lo especializo para el problema 1.32 y listo, ¿te parece? Entonces, manos a la obra, rehago el esquemita y al lado los DCL.

B

A

a

Hay que analizar varios detalles. Tal vez te sorprenda que elegí un sistema de referencia diferente para cada cuerpo. Se trata de costumbre nuestra que no es necesaria, pero es cómoda. El motivo es que hay que tener cuidado en que las ecuaciones de Newton, si no diferencian la aceleración de un cuerpo de la del otro (lo cual en este problema es lo más natural, ya que la soga es inextensible), deben ser coherentes con el sistema. Si A acelera hacia arriba B lo hace hacia abajo y viceversa. Pero nunca pueden acelerar los dos hacia arriba o los dos hacia abajo. Con los SR que yo elegí una aceleración positiva es positiva para ambos y una negativa también lo será para ambos y opuesta a mi suposición, pero coherente con el sistema.

y

T

T B

A a

y PA

PB

Otra particularidad interesante es que la tensión, T, que hace la soga en cada extremo, o sea, sobre cada cuerpo es la misma. Por eso no le puse subíndice. OK, vamos a las ecuaciones. Cuerpo A → ΣFy = mA . a

→ PA – T = mA . a

[1]

Cuerpo B → ΣFy = mB . a

→ T – PB = mB . a

[2]

Es mentira, no puede ser tan fácil... dadas las masas, se convierte en un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas. Sumo miembro a miembro [1] y [2]  PA – T +  T – PB = mA . a + mB . a en el primer término se cancela T y en el segundo saco factor común a | 128 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

PA – PB = (mA + mB) . a

Discusión:

recuerdo que P = m . g mA . g – mB . g = (mA + mB) . a saco factor común g y despejo a

Recuadré el resultado de esta incógnita porque vamos a hacer la discusión sobre ella. Despejo a de cada ecuación y las igualo

reemplazo los pesos

distribuyo los cocientes

reagrupo los términos. Andá tranquilo, no te pierdas

Los resultados que te recuadré en gris tienen toda la descripción del sistema, que por otra parte es sencillo de predecir intuitivamente. Probemos. Fijate qué pasaría si las masas fuesen iguales. La respuesta lógica es: la aceleración será nula y la tensión igual al peso de cualquiera de los cuerpos. Ahora chequeá en las ecuaciones si se cumple la predicción... ¡da! Qué pasaría si una de las masas fuera insignificante, por ejemplo la masa de B igual a cero... La tensión sería cero y la aceleración con que caería A sería g, una caída libre. Andá a las ecuaciones... ¡da! ¿Y si mA es igual a cero? Tensión nula y aceleración –g, o sea una caída libre con sentido contrario al supuesto... ¡y los resultados opinan lo mismo! Esta charla física que estamos teniendo con los resultados me asegura que son correctos y valen 1.000 veces más que revisar 42 veces los desarrollos algebraicos... y 1.000.000 de veces más que cualquier planteo cuantificado. Los resultados describen el funcionamiento del sistema. Y dicen muchas más cosas que estas que les acabamos de preguntar.

saco factor común T en el segundo miembro

Tranqui, ¿te acordás cómo sumar dos fracciones?

Sobre esta también vamos a discutir. Ahora volvamos al problema 1.32, no me olvido, ahí una masa era el doble que la otra, entonces el resultado es... DESAFíO:

a) 

Hacele dos preguntas más a estos resultados y que contesten lo que vos, simplemente con tu sentido común ya sabés respecto de cómo funciona este sistema de dos cuerpitos y una polea.

www.full-ebook.com

| 129 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

1.34 En el sistema de la figura, suponiendo conocidas las masas mA, mB y mC  y despreciando las masas de cuerda y polea, así como todos los rozamientos, hallar las expresiones de: a) La aceleración de A. b) La fuerza que ejerce la cuerda. c) La fuerza de contacto entre B y C.

A

y

N

T

B

x T PA

PB

C

FCB

FBC

Este ejercicio es muy parecido al anterior, y me interesa sobremanera compararlos. Pero hay un problema... que en lugar de haber un cuerpo colgando hay dos: el B y el C. Esto tiene solución: lo voy a resolver como si fuese un problema diferente y al finalizar voy a hacer la siguiente consideración: que los cuerpos B y C están unidos y forman uno sólo BC de masa mBC (de todas maneras, aunque haya una fuerza entre ellos, no se separan en todo el viaje; todos los cuerpos poseen fuerzas interiores, y eso no representa problema alguno). Va de suyo que: mBC = mB + mC Vamos a hacer el DCL, esta vez una sola tanda alcanzará. Nuevamente la ecuación vertical de A no aporta gran cosa, ni la escribo.

x

PC Discusión:

Del mismo modo que discutimos las otras se pueden discutir cada una de las expresiones que obtuvimos como resultado en cada una de las preguntas de este problema.. Verificando que concuerden las unidades, y discutiendo intuitivamente el funcionamiento del sistema vos, además de aprender un toco de buena física, podes estar seguro de que resolviste bien, sin tener que revisar 500 veces el álgebra, las ecuaciones ni nada. La expresión describe... escuchá esa descripción, si dice cosas sensatas es correcta si dice cosas estúpidas, entonces algo anda mal. Te tiro un ejemplito: decime vos sin mirar ninguna expresión de las que obtuvimos, ¿cuánto debe valer la fuerza de contacto entre B y C si la masa de A valiese cero, o lo que es lo mismo, si se corta la cuerda? OK, ahora andá y buscá la expresión que te lo certifica, andá, está por allá arriba. | 130 |

d) Explicar por qué sobre A actúa horizontalmente una fuerza cuya intensidad es menor que la suma de los pesos de B y de C. e) Si mB + mC >> mA, analizar y tratar de predecir, sin hacer cálculos, la aceleración del sistema.

Cuerpo A → ΣFx = m a

→ T = mA . a

Cuerpo B → ΣFx = m a

→ PB + FCB – T = mB . a

Cuerpo C → ΣFx = m a

→ PC – FBC = mC . a

Casi lo mismo que antes. Sumamos las tres ecuaciones miembro a miembro  T +  PB + FCB – T +  PC – FBC = mA . a + mB . a + mC . a PB + PC= a . (mA + mB + mC ) la a) del enunciado Para hallar el valor de la tensión de la cuerda basta reemplazar esta de aceleración en cualquiera de las ecuaciones iniciales... más fácil en la primera. la b) del enunciado Para hallar la fuerza de contacto voy a la tercera ecuación

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

mC . g – mC . a = FBC

no te pierdas ahora ¿eh? Tomátelo con tranquilidad y resolvelo solo. Suma de fracciones, ¿remember? FBC =

la c) del enunciado

Las últimas te la dejo a vos y no protestes. Vamos a lo que a mí me interesa. Fijate la respuesta  a)  y apliquemos la transformación mBC = mB + mC

Mirá es la misma respuesta que se obtiene en el problema 1.33 para  α = 0º . Y es la misma de problema 1.26 y así, una generalización de muchos problemas básicamente iguales que se relacionan unos con DESAFíO: otros por las inclinaciones y las distribuciones de las masas. Que respondas la pregunta d)

1.35 En el sistema de la figura pueden despreciarse las masas de la cuerda y la polea, así como el rozamiento en la misma. Se lo deja libre, partiendo del reposo, con el bloque 1 a nivel del piso, y el 2 a 4 m de altura. El bloque 2, cuya masa es 6 kg, tarda 2 s en llegar al piso. Con esa información: a) Hallar la masa del bloque 1. b) Hallar con qué velocidad llegó al piso el bloque 2. c) Hallar qué altura máxima sobre el piso alcanzará la base del bloque 1.

Voy a ir de entrada a los bifes: 17 de cada 18 estudiantes que se me acercan a consultarme por este ejercicio me cuestionan (con tono de indignación) cómo puede ser que les pregunten cuál es la altura máxima del bloque 1... cuando es clarísimo que no va a ir más arriba que 4 metros. (El estudiante número 18 me consulta si ese ejercicio entra para el primer examen parcial). Además de explicarles el significado de la palabra tarambana (a los 18), les cuento que cuando el cuerpo 1 llega a la altura de 4 metros está animado de una velocidad distinta de cero en el sentido hacia arriba. En ese instante la cuerda deja de tironearlo hacia arriba (porque justo el cuerpo 2 tocó piso) pero sigue subiendo como cuerpo libre... hasta que su velocidad se anula y emprende el descenso.

www.full-ebook.com

| 131 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Bueno, tenemos entonces dos movimientos. Ambos acelerados. El primero con una aceleración que está dada por el sistema de la polea, y el segundo con la aceleración de la gravedad. La dinámica del sistema de la polea simple lo tenés acá: 1.32 (yo lo voy a desarrollar igual, aunque algunos detalles puede que pase por alto. Acá va el esquema y más abajo el DCL.

tG = ? xG = ? vG = 0 m/s

Llamé 0 al instante de la partida; H el instante en que el cuerpo dos llega al piso y el 1 a los 4 metros de altura; y G al instante en que el cuerpo 1 alcanza su altura máxima. Dediquémonos al primer tramo. Sus ecuaciones son:

2 tH = 2s xH = 4 m vH = ?

y =  . a . t² v = a . t Si a esas dos ecuaciones les pedimos que hablen del punto H, dirán:

1 CH

AC

t0 = 0 s x0 = 0 m v0 = 0 m/s a=?

4 m =  . a . 4 s² vH = a . 2 s De donde resulta que a = 2  vH = 4  Ahora, teniendo el valor de la aceleración, podemos ir a la dinámica de la primera parte y calcular el valor de la masa 2. El primer tramo, con la soga tensa, mientras el cuerpo 2 todavía no llega al piso, se corresponde con estos diagramas.

T

T

a

y

1 y

a P1

2

Las ecuaciones de Newton para ambos cuerpos quedan así: P2

Cuerpo 1 → ΣF = m1 . a

→ T – P1 = m1 . a

[1]

Cuerpo 2 → ΣF = m2 . a

→ P2 – T = m2 . a

[2]

Sumo miembro a miembro [1] y [2] T – P1 + P2 – T  = m1 . a + m2 . a en el primer término se cancela T y justo acá recuerdo que P = m . g – m1 . g + m2 . g = m1 . a + m2 . a | 132 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Reordeno:

m1 = 4 kg Ahora vamos a la segunda parte del movimiento. El cuerpo 1 sigue de viaje hacia arriba como todo cuerpo libre. Su escuaciones dicen: y = 4 m + 4   . t – 5   . t² v = 4   – 10   . t Si les pedimos que hablen del instante G... yG = 4 m + 4   . tG – 5   . tG² 0 m/s = 4   – 10   . tG De la segunda ecuación surge que tG = 0,4 s

y

Con eso vamos a la ecuación de posición y... yG = 4,8 m En los gráficos (como siempre en tandem, o sea encolumnados en ese orden y con la misma escala temporal) te sombreé la etapa libre del movimiento del cuerpo 1. Analizalo íntegramente. La representación alcanza hasta el instante 2,8 s, en el que el cuerpo 1 regresa a la altura de 4 metros y vuelve a tensar la cuerda. La fuerza que hace la soga, T, la representé en el gráfico inferior (también subido al mismo tándem). No hice el cálculo de su valor... pero es obvio que debe ser inferior a 60 N y superior a 40 N. Hacé vos el cálculo. Cuando la cuerda vuelve a tensarse (cuando el cuerpo 1 regresa de su vuelo libre) el valor de la tensión alcanza un pico cuyo valor no se puede calcular. Se trata de un valor muy alto, que depende de la elasticidad de la cuerda. Te lo representé con un punto gris... sólo de carácter simbólico.

www.full-ebook.com

t

v

t a

t

T t

DESAFíO:

Ponele todos los valores que le faltan a esos gráficos. Y dejate de hacer pucheros. | 133 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

1.37 Un albañil se eleva en una plataforma como la que se muestra en el esquema, con una aceleración constante hacia arriba de 0,5 m/s². Despreciando las masas de la cuerda y de la polea, y el rozamiento en esta última; sabiendo que la plataforma pesa 40 kgf, y el albañil 80 kgf: a) Hacer un diagrama de fuerzas para el albañil, la plataforma y la polea. b) Determinar las intensidades de las fuerzas en los puntos A, B y C. c) Hallar la fuerza que los zapatos del albañil realizan sobre la plataforma.

Este es un problema importantísimo. Si lo hacés bien, de una, podés darte por aprobado en todos los exámenes de dinámica. El punto fundamental está en el DCL (como siempre). Pero esta vez mucho más. Todo el mundo se equivoca al poner las fuerzas interactuantes. No son difíciles, pero parece que son engañosas. No dejes de hacer un intento solo, sin mirar los DCL de No me salen. El resto es muy fácil. La clave está, más que nunca, en el DCL. FPA

y

T T a FAP

PA

PP

Discusión:

Tenés varias fórmulas para discutir. Por supuesto, las más ricas, las más aleccionadoras y físicas son las no-numéricas. Mirá, por ejemplo, la que describe la tensión, T = (a + g ) (mA + mP ) / 2, y jugá con estas ideas: se suelta la mano del albañil, que pasa con la tensión y la aceleración... o qué pasa si el albañil deja de subir... Otro tanto podés hacer con la que describe la fuerza de contacto:  FPA = (a + g ) (mA – mP ) / 2, podés preguntarte las mismas cosas de antes... y también jugar con las masas... qué pasaría, por ejemplo, si las masas del hombre y la plataforma fuesen iguales. Todas estas preguntas y muchas otras tienen una respuesta que vos podés razonar y predecir correctamente gracias a tu intuición mecánica, y después ir a la ecuación y confirmar. Ahí está la física. | 134 |

Bueno, acá van los míos. Son tres, porque hay tres cuerpos independientes y sobre las fuerzas que actúan sobre FT cada uno hay alguna pregunta en el enunciado. PA es el peso del albañil. T es la fuerza que hace la soga en sus dos extremos y sobre cada cuerpo que actúa. FAP y FPA son la fuerza que el albañil hace sobre la plataforma y la que la plataforma hace sobre el albañil, respectivamente, y por supuesto, son par de interacción, son las que el enunciado alude como: la fuerza que hacen los zapaT T tos. PP es el peso de la plataforma. Por último, FT, es la fuerza que hace el techo sobre la polea. Te muestro las aceleraciones de los cuerpos que están acelerados y el SR que voy a usar... qué más querés. El 94,32% de los estudiantes que se equivocan en el DCL (y lógicamente el ejercicio no les sale) ponen invertido el sentido de la tensión en la mano del albañil... (¡como si la soga empujara sus manos hacia abajo!). Se olvidan de la premisa fundamental de los DCL: sólo colocar las fuerzas que el cuerpo RECIBE, NO LAS QUE EL EJECUTA. Todas las fuerzas son paralelas y verticales. Alcanza con una sola ecuación de Newton, ΣFy = m ay , para cada cuerpo. Mirá qué fácil: albañil

→ FPA + T – PA = mA . a

plataforma → T – FAP – PP = mP . a polea

→ FT – T – T = 0

Bueno, si contás... vas a ver que tenés tres ecuaciones y tres incógnitas. No querrás que yo te lo resuelva... un chico de 12 años lo haría en 20 minutos... Ok, ya entendí.

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Restá miembro a miembro las dos primeras ecuaciones: FPA + T – PA – T + FAP + PP = mA . a – mP . a Las tensiones se suprimen, las fuerzas de contacto se agrupan (acordate que eran par de interacción, por lo tanto iguales, y la aceleración es factor común. 2 FPA– PA + PP = a (mA – mP ) Ahora seguime

FPA = 210 N

c) la fuerza que hacen los zapatos

Ahora en lugar de restar miembro a miembro, sumemos las dos primeras ecuaciones FPA + T – PA +  T – FAP – PP = mA . a + mP . a Prácticamente son las mismas operaciones que antes...

T = 630 N

b) la fuerza en A y B

Ahora, por último usamos la tercera ecuación FT = 1260 N

b) la fuerza en C

DESAFíO:

Ahora son dos los albañiles y los dos tiran solidariamente de la cuerda, el nuevo compañero pesa 100 kilos y la aceleración es nula, pero logran subir a velocidad constante. Animate.

1.38 Un cuerpo de 0,2 kg gira apoyado en una mesa horizontal con rozamiento despreciable, sujeto al extremo de una cuerda de 0,5 m de largo (fija a la mesa por el otro extremo). a) Realizar el diagrama de cuerpo libre. b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda si da una vuelta por segundo? c) ¿Cuál será la tensión si se duplica la frecuencia?

Este ejercicio es súper sencillo: una aplicación directa de los conceptos de dinámica del movimiento circular. Espero que te guste el esquema, ya que contiene al DCL.

www.full-ebook.com

| 135 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

y N

c

R P

T

Fijate que indiqué un SR que tiene un eje vertical, y, y un eje (de validez instantánea) que apunta hacia el centro de giro, c. En el eje vertical actúa el peso, P, y el apoyo de la mesa, N. Ninguna de las dos tira para su lado más que la otra, ya que el cuerpo no levanta vuelo ni se hunde en la mesa. Luego: ΣFy = m . ay N – P = 0 Ahora vamos al eje centrípeto. Acá no basta que tenga la dirección del radio... debe tener sentido hacia el centro. Las cosas son distintas. La ley de Newton nos dice: ΣFc = m . ac La única fuerza que actúa en esa dirección (en ese instante) es la fuerza que hace la soga, T. Luego: T = m . ac Recordando una de las equivalencias de aceleración centrípeta:

Discusión:

La dinámica del movimiento circular no es diferente de otras cosas en dinámica. Lo importante es que le saquemos una instantánea, y la resolvamos para ese instante.

DESAFíO:

¿Cuánto valdrá la tensión para hacer girar al cuerpo a 108 rpm?

T = m . 4π² . ƒ² . R = 0,2 kg . 4π² . 1 s –2 . 0,5 m T = 3,94 N Si la frecuencia se duplica es lógico anticipar que la fuerza deberá multiplicarse por cuatro, ya que, como viste recién, la frecuencia afectaba a la tensión cuadráticamente. T’ = m . 4π² . ƒ’² . R = 0,2 kg . 4π² . 4 s –2 . 0,5 m T’ = 15,8 N

1.39 Sobre un objeto que pesa 10 kgf y que se mueve a 10 m/s, actúan fuerzas cuya resultante es de 5 kgf, dirigida perpendicularmente a su velocidad. Hallar el radio de la circunferencia que describirá.

Problema elegante si los hay. Pongamos algunas cosas en claro previamente. Cualquier cuerpo que reciba una fuerza neta perpendicular, RP, a su desplazamiento, gira, dobla. El módulo de su velocidad no va a cambiar, pero su dirección sí. O sea, tendrá una aceleración de tipo centrípeta. | 136 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Además tenés que recordar que ac = v²/ r. También que 1 kgf = 10 N, y también que  P = m g.

r C

Si todas estas cuestiones te cerraban... entonces dale, el resto es una pavada.

Rp 90

V o

m

nte tange

ΣF = m a

Discusión:

Cuando se desplaza a velocidad constante y en línea recta... ¿cuánto vale el radio de la circunferencia que describe? (No te creas que la pregunta va en broma). Y para obtener ese resultado... ¿cuánto debe valer la fuerza neta perpendicular a la velocidad?

En nuestro caso:

DESAFíO:

r = 20 m

Buscar, encontrar, deducir, o como quieras o puedas, eso qué se llama radio de curvatura para una trayectoria cualquiera.

1.40 Un carrito de montaña rusa ejecuta un rizo y se encuentra en la posición que indica la figura. ¿Cuál de todos los vectores dibujados representa la fuerza neta que actúa sobre el carrito en ese instante?

Por supuesto, y como siempre, el mejor modo de empezar a resolver este ejercicio (como cualquier otro de dinámica) es con un  DCL. Vas a ver que si hacemos el  DCL correctamente -lo que es muy fácil- el problema sale con fritas. Discutamos si son esas dos que indiqué en el DCL las únicas fuerzas que actúan sobre el carrito. Como está cerca de la superficie terrestre está sometido a su atracción gravitatoria. A esa fuerza la llamamos vulgarmente peso, P, y es vertical. Sobre ella no hay dudas, ¿estamos? El único objeto con el que carrito está en contacto es la vía, los rieles. Estos, indudablemente, realizan una fuerza sobre el carrito. Esa fuerza de contacto, debe ser perpendicular (normal, si te gusta más) a la superficie de las vías. No le cabe otra posibilidad que apuntar hacia el centro de la curva. De hecho es la fuerza que lo obliga a doblar hacia la izquierda.

N

P

No hay ningún otro cuerpo actuando sobre el carrito, por lo tanto, no hay más fuerzas

www.full-ebook.com

| 137 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Prácticamente tenemos cocinado el asunto. El enunciado pregunta sobre la fuerza neta, o sea sobre la sumatoria de todas las fuerzas que actúan, o sea pregunta por la composición de éstas únicas dos. Hay una sola respuesta posible. el vector que representa la fuerza neta es el 4

Discusión Siempre tenés que tener presente, en cada momento de tu vida, en cada instante sin excluir ninguno, la 2da. ley de la dinámica, o ley de Newton, o principio de la masa, llamalo como quieras, pero es éste:  .

DESAFíO:

Supongamos, para este problema, que agregamos rozamiento... ¿podrían (haciendo cualquier tipo de suposición adicional que se te ocurra...) los vectores 5 o 6 representar la fuerza neta? (Sí). ¿Podría el 7, el 8, el 1, el 2 o el 3 representar la fuerza neta? (No).

En este caso mirá lo que nos dice... sea cual sea la masa del carrito la aceleración y la fuerza neta tienen siempre la misma dirección y sentido. O sea que la aceleración del carrito también debe estar representada por un vector como el 4. Con la misma dirección y sentido. Acordate que aceleración es la magnitud que indica el cambio de velocidad, o sea, que si interpretamos ese vector, lo que nos dice es cómo se está moviendo el carrito. Para interpretarlo mejor siempre conviene descomponerlo en dos direcciones: una tangencial (que lleva la misma dirección que la velocidad) y otra ortogonal a la velocidad (con perdón de la palabra). La tangencial me dice si va más rápido o más lento y la perpendicular, si está doblando. En nuestro caso debemos concluir que el carrito está disminuyendo la velocidad y doblando a la izquierda. ¡Chocolate por la noticia! (El Peso es la que lo frena y las vías las que lo hacen doblar).

1.41 El tambor de un lavarropas tiene 60 cm de diámetro, y gira a 600 rpm alrededor de un eje vertical. Calcular la intensidad de la fuerza horizontal que sus paredes hacen sobre el botón suelto de una camisa, cuya masa es 5 g. Comparar con el peso del botón.

Adivina adivinador ¿por dónde se empieza mejor? Por un  DCL, ofcors. R N

| 138 |

Roz P

Bueno, yo encuentro (y mirá que tengo experiencia) tres fuerzas. El peso, P; lógicamente, no te la tengo que explicar. Algún rozamiento tiene que haber con la pared y debe apuntar hacia arriba ya que no hay ninguna otra fuerza que apunte para arriba, y si no la hubiese el botón no podría quedarse siempre a la misma altura, se iría para abajo tironeada por su peso. (Ya volveré sobre el tema en la discusión). De modo que: Roz.

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Por último la fuerza principal (y ya verás que la mayor) de todas las fuerzas en este problema que es el apoyo en la pared interna del lavarropas, que obviamente es perpendicular -o normal- a la superficie, N. Vos creeme; y si no, no importa. OK, vamos a las ecuaciones: ΣFy = m ay

→

Roz – P = 0

ΣFc = m ac

→

N = m ac

en lugar de escribir ac buscaremos su equivalente que más se aproxime a los datos aportados por el problema, en este caso ac = ω² . R. Como tenemos todo lo que hace falta ya podemos calcular la fuerza de contacto. Pero antes de entrarle a esta ecuación, tenemos que pasar las magnitudes a unidades del sistema internacional (¿viste?) empecemos por la velocidad angular:

Discusión:

La fuerza que hace el tambor es 120 veces mayor que el peso. Fijate hace falta apenas un coeficiente de rozamiento de 0,01 (o sea una nada), para compensar el peso. Siempre, sea lo que sea, se va a quedar pegado contra la pared. Las rotaciones generan aceleraciones muy altas, que a su vez generan fuerzas muy altas. Es el método más práctico para generar fuerzas enormes y capaces de, por ejemplo, separar partículas pequeñas. En un laboratorio cualquiera de bioquímica existen centrífugas que pueden generar aceleraciones centrípetas de 100.000 g, o sea 1.000.000 m/s². Claro, deben funcionar refrigeradas y en vacío, si no, las altas fricciones con el aire la recalentarían.

N = 6 N Si la queremos comparar con el peso debemos conocer primero el peso. P = m . g

DESAFíO:

Hallar la velocidad angular para una ultracentrífuga de 100.000 g con 25cm de radio y la fuerza ejercida sobre una partícula viral de 1 pg.

P = 0,05 N = 120

1.43 Un pescador revolea una plomada de 200 g, atada al extremo de una línea, de modo que gira en una circunferencia horizontal de 1 m de radio, y realiza 2 vueltas por segundo. Hallar con qué velocidad partirá la plomada, cuando suelte la línea. ¿Qué fuerza horizontal se requiere para mantener girando la plomada? Analizar si el hilo puede permanecer horizontal, y si la intensidad de la fuerza que ejerce es o no igual a la calculada.

El pescador sostiene la tansa de la plomada en el punto S (por suspensión). Como ves el piolín de largo l, queda un poco oblicuo (después volvemos sobre ese tema, ¿OK?) y al girar genera un cono (jerga). ¿Vamos bien? La base del cono está horizontal, ese dato lo da el enunciado. La plomada describe una circunferencia de radio r. Si el pescador la suelta sale despedida con la velocidad, vt, que tenga en ese instante.

www.full-ebook.com

| 139 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

S

l ac

Dada la velocidad angular, se puede calcular la tangencial:

r

vt = ω . R = 2 . 2π s –1. 1 m 

vt T

Tomé una instantánea justo cuando la plomada pasaba por el extremo izquierdo. Y te la amplié abajo. Fijate, que la aceleración centrípeta apunta hacia el centro (flecha celeste) de la circunferencia, y no hacia la mano del pescador.

P y

Ty c

vt = 12,56 

Tc P

Discusión:

Sin embargo todos nosotros vimos que los pescadores revolean sus plomadas con mucha velocidad y logran que la tanza quede horizontal... ¡Hay mi pequeño imberbe (y si eres pequeña, con más razón eres imberbe)! cuanto mayor sea la velocidad mayor será la fuerza centrípeta y menor el ángulo de inclinación, hasta el punto de que no podamos detectarlo. Ni hablar de las inevitables (o hechas adrede) aceleraciones verticales que pueden enmascarar el fenómeno que acabamos de describir. ¡Qué plomada!

DESAFíO:

Supongamos que la circunferencia es oblicua, o vertical... ¿qué cosas cambian en esa situación respecto de este ejercicio?

Las fuerzas que actúan sobre la plomada son dos: su propio peso, P, y la tensión que hace la tanza, T. Como no son colineales, descompuse T en dos direcciones Una de ellas  TC  , es la fuerza horizontal por la que pregunta el enunciado. ΣFC = m aC TC = m ω² . R = 0,2 kg 16 π² . s –2. 1 m TC = 31,6 n La componente vertical equilibra al peso. Si esa componente no existiese la plomada estaría animada con una aceleración vertical. De modo que para evitar eso Ty no puede valer cero. De modo que la tensión que hace el hilo, y que necesariamente tiene la misma dirección que el hilo, no puede ser horizontal nunca. no puede

1.45 El sistema de dos cuerpos de la figura gira en una mesa horizontal con rozamiento despreciable, de modo que los cuerpos se hallan alineados con el centro y realizan 2 vueltas por segundo. Si las masas respectivas son: m1 = 0,5 kg; m2= 1,5 kg, determinar las intensidades de las fuerzas sobre cada cuerda. Cada tramo tiene 0,5 m de longitud.  

Pero qué problema más bonito... no se imaginan cómo lo amo debido a las vicisitudes que me trajo en la vida. Empecemos, claro está, con los DCL. | 140 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Como hay dos sogas diferentes, una la que une el clavo con el cuerpo 1 y la otra la que une el cuerpo 1con el 2, le puse a las tensiones nombres diferentes: Ti (tensión interna) a la primera, y Te (tensión externa) a la segunda, que, como toda cuerda del CBC realiza iguales fuerzas en ambos extremos, uno sobre el cuerpo 1 tirando hacia afuera y otro sobre el cuerpo 2 tirando hacia adentro. Ya podemos pasar a las ecuaciones de Newton. En este problema las ecuaciones en el eje vertical no van a aportar información interesante. Igual las escribo. Cuerpo 1 → ΣFy = m1 a

→ N1 – P1 = 0

Cuerpo 2 → ΣFy = m2 a

→ N2 – P2 = 0

y N2

c

R2 N1

Te Te

R1 Ti

P1

P2

Discusión:

Seguramente ya te dijeron (y si todavía no te Las ecuaciones del eje que tiene la dirección radial, en cambio, nos lo dijeron, ya te lo van a decir) que las fuerzas centrífugas no existen. Es mentira. La cuestión van a resolver el problema: es que no existen -per se- ni las fuerzas centrífugas ni las centrípetas. Ser o no ser centrífugo, Cuerpo 1 → ΣFc = m1 aC → Ti – Te = m1 aC 1 1 o centrípeto, es simplemente una característica geométrica, consistente es estar permanenCuerpo 2 → ΣFc = m2 aC → Te = m2 aC   2 2 temente apuntando hacia un centro o desde fijate que le puse un subíndice particular a la aceleración de cada un centro. Del mismo modo en que tampoco cuerpo...  ¡es que son diferentes!  ac1  ≠  ac2. Estamos acostumbra- existe -por naturaleza propia- la fuerza normal. dos a que la aceleración del “sistema” sea una sola y la misma Ser normal sólo significa que forma 90 grados para todos los cuerpos. Pero acá son diferentes, ya que la veloci- con alguna superficie. dad angular es la misma para ambos, pero los radios son diferentes,  Mirá el cuerpo 1 de este problema, por ejemR1 = 0,5 m y R2 = 1,0 m. Por un lado tenemos que: plo. La fuerza Ti apunta permanentemente hacia el centro de giro, luego es centrípeta. Y ω = 2π . ƒ la fuerza Te apunta permanentemente hacia afuera del círculo, y con dirección radial... es inequívocamente centrífuga. ω² = 4π² . ƒ² Lo que afirma Newton (aquí está el error de estos chabones que me echaron) es que la Y siendo que ac = ω² . R resultante (la sumatoria de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo) animado de aC  = 4π² . ƒ² R1 = 4π² . 4 s –2. 0,5 m = 80  1 MCU, es centrípeta. Pero nada dice sobre todas y cada una de las fuerzas que componen esa aC  = 4π² . ƒ² R2 = 4π² . 4 s – 2 . 1 m = 160  2 resultante.

haciendo números... Te = 240 N

DESAFíO:

Ti = 280 N

En este problema hay una fuerza centrífuga más... ¿cuál es?

www.full-ebook.com

| 141 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

1.46 El cuerpo 1 gira sobre una mesa horizontal con rozamiento despreciable, mantenido por una cuerda que pasa por un orificio en su centro, de la que cuelga el cuerpo 2. a) Si ambos cuerpos tienen masas iguales, hallar la frecuencia con que el cuerpo 1 describe una circunferencia de 0,4 m de radio. b) Hallar el nuevo radio para duplicar la frecuencia anterior sin cambiar los cuerpos.  c) Hallar la relación de masas entre el cuerpo 2 y el 1, para que éste gire con la frecuencia calculada en el inciso a y con el radio del inciso b.

El ejercicio éste es más fácil de lo que el común de los mortales anticipa. Lo principal es que te des cuenta de que la soga que une los cuerpitos es una soga ideal, de CBC, sin masa, inextensible, inoxidable, etcétera. De modo que la fuerza que ejerce sobre una masa es la misma que la que ejerce sobre la otra masa. y

N

c

R T

P1

En el caso de la de abajo, es fácil ver que la tensión, T, es igual al peso. Y que deben ser iguales dado que ese cuerpo no sube ni baja. Eso lo sabemos porque el radio de giro de la de arriba (el tramo de soga sobre la mesa) es constante. De modo que (para el cuerpo 2): ΣFy = 0 T – P2 = 0 T = m2 . g

T

Para el cuerpo 1, la tensión es la fuerza centrípeta que lo hace girar. Las otras dos -su peso y el apoyo en la mesa- son verticales y se cancelan entre sí. Eso lo sabemos porque el cuerpo 1 no levanta vuelo ni se hunde en la mesa. P2

T = m1 . ac Si unimos ambas ecuaciones, nos queda: m2 . g = m1 . ac = m1 . ωa² . Ra m2 . g = m1 . 4π² . ƒa² . Ra

Discusión:

Pareciera que toda la dificultad de este ejercicio consistía en admitir que el cuerpo de abajo de la mesa no necesariamente debía estar cayendo: podía estar quieto... o también, subiendo. Todo depende de un entretenido jueguito dinámico. | 142 |

[1]

Guardo esta expresión en mi corazón porque sé que me va a servir después, y despejo la frecuencia recordando que las masas son iguales.   ƒa = 0,8 s –1 = 0,8 hz

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Para resolver la segunda cuestión me basta con arrancar de [1], porque estamos en la misma sólo que con otros datos.

Rb = 0,1 m Para la tercera, lo mismo... arranco otra vez de [1] (ya me aburrí).

DESAFÍO:

Tomá el canuto vacío de una birome gastada. Enhebrale un piolín de más o menos un metro y medio. Atá en ambos extremos del piolín masa de alrededor de 100 gramos cada una, no tienen por qué ser iguales. Andá a un espacio abierto como un jardín, o una vereda. Jugá.

= 0,25

1.47 Cuando un ciclista toma una curva en bici sobre una pista horizontal (curva no peraltada)... a) la inclinación que debe adoptar el ciclista ¿es tanto mayor cuanto mayor sea su peso? b) la inclinación tiene que ver con la velocidad. c) ¿De dónde proviene la fuerza centrípeta que permite tomar la curva?

Este ejercicio puede ser muy, pero muy fácil... o muy pero muy difícil (y eso está por verse) según el camino que agarres con tu bicicleta. El modo difícil es el correcto y consiste en considerar al conjunto, ciclista-bici, como un cuerpo rígido y extenso, o sea, como lo es en la realidad. El camino sencillo es casi, casi, hacer trampa y considerar al móvil como un cuerpo puntual. El modo tramposo es ya una costumbre en este curso de física, lo hemos aplicado hasta el cansancio y nos enorgullecemos de hacerlo. Todas las preguntas de este ejercicio se pueden responder satisfactoriamente con esta ingeniosa consideración, y como ejercicio adicional voy a resolver el problema correctamente y recién ahí vas a poder entender por qué te inclinás para pegar la curva. Para que entiendas mejor el problema hice dos DCL en lugar de uno. El de la izquierda es el ciclista visto de frente cuando avanza en línea recta. El de la derecha es el que nos interesa, y es el ciclista doblando, que quedó bastante parecido al de la foto: se lo muestra también de frente y girando hacia nuestra derecha (la izquierda del ciclista).

www.full-ebook.com | 143 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

N=R

Y

R

N c

Roz

P

P

El de la izquierda es muy sencillo. Hay sólo dos fuerzas actuando sobre el ciclista (vamos a suponer que todo el camino marcha con rapidez constante). Una de ellas es su propio peso, P, y la otra es la reacción, R, del piso, que en este caso es perpendicular al mismo y por eso lo llamé normal, N. R y N no son dos fuerzas diferentes, es la misma y es una sola... si no entendés eso no sigas. Si te cierra, dale para adelante, después te explico por qué le puse dos nombres diferentes a una misma fuerza. El DCL de la derecha es el de nuestro problema. Mientras gira en la curva actúan las dos mismas fuerzas que antes: su peso, P, que no ha cambiado, y la reacción del piso, R, que ahora está inclinada hacia el centro de giro (o sea hacia el lado de giro). Si le prestamos atención a R, la fuerza que hace el piso, vemos que al estar inclinada se puede descomponer en dos direcciones: una vertical y otra horizontal. La componente vertical (que en cualquier otro ejercicio lo hubiéramos llamado Ry) vale lo mismo que N al principio. La componente horizontal (que en cualquier otro ejercicio hubiéramos llamado Rx) es la que cambia la situación, es la responsable de que el ciclista pueda doblar. Rx es un rozamiento. La única deducción posible para esta aseveración (que no es otra que la pregunta c-del ejercicio) es experimental. Pero vos, que tenés bastante imaginación, podés darte cuenta que sería casi imposible pegar la curva sobre una mancha de aceite o sobre hielo. De algún modo tendrías que ingeniártela para lograr un “agarre” con el suelo porque si no seguirías de frente a estrolarte con el público. También podés asociar la idea con otras situaciones, como el aparentemente exagerado relieve que traen las cubiertas modernas de ruedas de bicicleta en las zonas laterales (las que se apoyan cuando estás inclinado), o simplemente con los problemas que ya resolvimos antes en los que giraban otros móviles que, si bien no se inclinaban, doblaban gracias al rozamiento. Por último, debés tener claro que esa fuerza tiene la dirección y el sentido del centro de giro, o sea, es centrípeta (cualidad geométrica). Y en cuanto a su naturaleza se trata de un rozamiento estático (¡no el máximo, es peligroso!), ya que no pretendemos (por nuestra salud y la de todos los ciclistas) que las ruedas deslicen sobre la curva sino que giren apoyándose firmemente cada milímetro que avancemos. Fuerza centrípeta = Roze

pregunta c

No se me escapa que tanto el rozamiento como el apoyo actúan en el punto de contacto entre la rueda y el piso mientras que el peso actúa sobre el centro de masa del móvil, cerca del ombligo del ciclista. | 144 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Pero como por ahora se trata de un cuerpo puntual están todas las fuerzas actuando sobre el mismo punto. De todos modos, la clave de este problema consiste en darse cuenta que el ángulo de inclinación, α, esta directamente relacionado con las componentes de la reacción en el apoyo. Roz = R sen α N = R cos α Y si aplicamos la segunda ley de Newton ΣFc = mac

→

Roz = m

ΣFy = may

→

N – P = 0      →        N = P

A la aceleración centrípeta la reemplacé por su equivalente,  v²/r, donde r es el radio de la curva y v es la rapidez (módulo de la velocidad) del ciclista. Ahora metemos todo en la licuadora algebraica a ver si aparece algo interesante. Si dividimos miembro a miembro las dos primeras ecuaciones nos queda:

Discusión:

El resultado parece muy sensato. Para empezar tiene las unidades correctas (nunca te olvides de chequear eso, tenés que convertirlo en una costumbre automática). Acordate que la función tangente vale 0 cuando α vale 0º. Y que crece infinitamente cuando α se acerca a 90º. Lo cual parece describir muy bien las curvas que pegan los ciclistas, motociclistas y cualquier otro ista que se desplace sobre superficies muy finitas... incluso los patinadores (perdón: patinadoristas). La relación entre el radio de la curva y la inclinación también parece razonable, intuitiva. Fijate que son inversamente proporcionales, si crece una decrece la otra... tal como vos lo hubieras predicho.

= tg α Ahora metemos la tercera y cuarta ecuación ahí adentro y llegamos m

 = m . g . tg α

la masa aparece de ambos lados del igual, así que la cancelo. Y acá está todo: v² = r . g . tg α Si analizás este resultado podés responder las dos preguntas pendientes y muchas otras más. la inclinación es independiente del peso del ciclista

pregunta a

cuanto mayor sea la velocidad mayor deberá ser la inclinación

pregunta b DESAFíO:

¿Cuál es la velocidad máxima a la que se puede tomar una curva de 20 m de radio sobre un asfalto con un coeficiente de rozamiento de 0,34, y con qué inclinación habrá que hacerlo?

www.full-ebook.com

| 145 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

1.49 La Ruta Nacional Nº 5 entre las localidades de Chacabuco y Junín tiene un ancho de calzada de 7,20 m. Para que un automóvil pueda circular a 80 km/h por una curva de 600 m de radio sin experimentar esfuerzos laterales, la diferencia de nivel entre los bordes de la calzada debe ser: a) 0,082 m  b) 4,7 m  c) 0,82 m

d) 0,59 m e) 1,06 m  f) falta la masa del automóvil.

Bueno, mirá la figurita, eso es un peralte, una inclinación en la ruta que coincide con una curva y cuyo nivel inferior es el del lado interior de la curva. Lo construyen los ingenieros de caminos para facilitar la maniobra de doblar sobre la curva. Las curvas peraltadas se pueden tomar a mayor velocidad. Las curvas no peraltadas, o sea, horizontales, hay que tomarlas con menor velocidad porque siempre está el riesgo de salir despedido, o sea despistarse. Parece obvio que todo buen conductor debe cerciorarse de que su vehículo tiene un buen “agarre” entre neumáticos y pavimento. No hay que salir a la ruta con las gomas “lisas”, está claro que conducir bien depende en buena medida del rozamiento. Nadie intentaría doblar a 110 Km/h sobre una mancha de aceite o sobre la escarcha o sobre ripio, porque sabe que se va hacia la banquina. Es la fuerza de rozamiento la que te permite doblar en las curvas, se trata de una fuerza que, en ese momento es lateral, y apunta hacia el centro de la curva. El peraltado ayuda a doblar, y hasta es capaz de hacerte doblar solito, sin necesidad del rozamiento. La propuesta de este problema es justamente ésa: cuando te dice “sin experimentar esfuerzos laterales” está aludiendo a que no hay rozamiento, a que dobles solo por arte de peralte, si tenés ganas... en una pista enmantecada. Manos al volante, digo, a la obra.

h

Las opciones propuestas en el enunciado se refieren a la altura h del esquemita. Un corte transversal de la ruta lo muestra como un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es el ancho de la calzada. Por razones que te vas a dar cuenta más adelante yo prefiero trabajar con el ángulo α en lugar de trabajar con h. De todos modos es lo mismo, ya que están relacionados ambos con la hipotenusa: h = 7,20 m . sen α Como siempre, en dinámica, hay que arrancar por un DCL.

| 146 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

A

Si no hay rozamiento sólo actúan esas dos fuerzas. La que hace la Tierra atrayendo al auto, P, y la que hace el asfalto, A, apoyo, que (te aclaro, para que no desesperes) es perpendicular, o  normal, al pavimento. Como no son co-direccionales hay que descomponer al menos una de las fuerzas. Acá es donde casi todo el mundo mete la pata. No es que esté mal usar cualquier SR, sino que hay algunos más sencillos que otros. Como siempre tratamos de elegir un eje en la dirección (y sentido) de la aceleración y el y A otro ortogonal (con aceleración cero). El 83,56 % de los mortales elige el  SR  incorrecto y se MAL mete en un berenjenal del cual x no es fácil salir. h

El movimiento del auto es circular, específicamente  MCU, con  P v = cte = 80 km/h = 22,22 m/s. La aceleración, pues, es centrípeta... y ¡el centro de la circunferencia está a la misma altura del auto! La aceleración no apunta hacia abajo... es horizontal. En este último DCL la representé con un vector verde.

h P A

BIEN

→

ΣFy = m ay  = 0

Ay – P = 0 eje centrípeto

x

h P Ay

A

y x

Ax

Ahora sí, aplicamos ecuación de Newton para los dos ejes: eje vertical

y

ac

h P

→

ΣFx = m ax = m aC

Ax = m ac = m Ya casi llegamos. Fijate el ángulo formado entre A y Ay... ¡correcto! ¡es α! Lo cual implica que... Ax = A sen α Ay = A cos α si meto estas dos cosas en las ecuaciones de x e y... A sen α = m A cos α = m g

www.full-ebook.com

| 147 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Ahora divido miembro a miembro estas dos últimas ecuaciones, mirá lo que queda: tg α = Esto que acabo de recuadrar no es la respuesta a este problema en particular, pero es la que vamos a discutir luego ya que constituye una descripción más general de los peraltes. Antes, terminemos el ejercicio.

d) 0,59 m

la respuesta correcta

Discusión:  No me digas que el autito de mis esquemas no es más modernoso que el de la guía, ¿viste? OK, ahora discutamos en serio la física del peralte. Fijate, sin rozamiento el auto igual dobla, logra la aceleración centrípeta requerida para doblar. La expresión de la inclinación del peralte (sin rozamiento) es la que te recuadré en gris. No habla estrictamente de α, pero habla de la tg α. ¿Te acordás la función tangente? Si crece α también crece la tg α. Cuando α vale 0º, tg α también; y cuando α  vale  90º,  tg α  creció infinito. Miremos qué dice nuestro resultado. Las unidades son las correctas. A mayor velocidad (directamente proporcional su cuadrado a la tg α) mayor debe ser α. Sumamente lógico. Si la velocidad fuera cero no se necesitaría peralte (ni curva). A mayor radio (es inversamente proporcional) menor inclinación de peralte. Lógico, mayor radio significa curva más suave, luego, no hace falta tanta fuerza para doblar. ¿Cuándo sería necesario un peralte inclinado 90º?

DESAFíO: 

Diseñar un peralte para esa misma curva y esa misma velocidad, pero contando ahora con un coeficiente mínimo de rozamiento estático entre los neumáticos y el pavimento de 0,35. (Si todavía no viste rozamiento dejalo para más adelante... pero regresá y hacelo). | 148 |

Todo cierra, esta discusión física no sólo es fácil y aleccionadora, me indica que llegué al resultado correcto mucho más eficientemente que revisando todo el planteo y el desarrollo algebraico 241 veces y media. La dinámica tiene un potencial intuitivo muy grande, hay que aprovecharlo.

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

2. Tipos de fuerzas 2.6 Se debe construir una cinta transportadora para elevar cajas de cartón. La inclinación de la cinta es 30° y las cajas pesan 30 kgf. Se dispone de tres materiales para hacer la cinta: tela plástica : µe = 0,4 ; µd = 0,3 lona: µe = 0,6 ; µd = 0,4 goma: µe = 0,8 ; µd =0,5 Elija el material que resultaría más adecuado, teniendo en cuenta que la goma es más cara que la lona y ésta que la tela plástica. Justifique. Calcule la fuerza de rozamiento que actúa sobre la caja mientras está subiendo e indique claramente su sentido. ¿Se podrá usar la cinta para transportar cajas del mismo material pero de distinto peso? (Para todas las consideraciones necesarias suponga que las cajas se depositan en la cinta ya en movimiento y que no deben soportar frenadas ni aceleraciones).

Me imagino que alguna vez viste una cinta transportadora. Es como una escalera mecánica, pero no para personas sino para cajas. Las cajas van inclinadas, de modo que si no hubiese rozamiento las cajas no sólo no podrían subir sino que deslizarían y caerían a la vereda y después andá a reclamar que en el cartón decía claramente “frágil”. N

La cinta transportadora, creo, es el más hermoso ejemplo de que la fuerza de rozamiento no necesariamente se opone al movimiento y muchas más veces que lo que pensamos va a favor del movimiento, que se produce GRACIAS y no A PESAR del rozamiento. Tenelo presente, y vamos ya mismo al DCL.

Roz

Acá lo tenés. Actúan sobre la caja, cada vez que depositamos una sobre la cinta sólo tres fuerzas. No hace falta siquiera que te las mencione. Está claro que si la cinta fuese de un material poco rugoso, y con el lustre que mi abuela le aplicaba al piso del comedor no serviría de nada. Pero tampoco necesitamos comprar un material súper rugoso porque es más caro y dura menos. Acá hay un compromiso, entonces lo que vamos a hacer es buscar un límite, un mínimo necesario para que la fuerza de rozamiento se banque las cajas de 30 kg sin que se le escapen. Le vamos a permitir a ese material que use su rozamiento máximo del que sea capaz, cosa que logra cuando: RozeM = μe . N

= 30

y

o

P

N x

Roz

Px

[1]

Las tres fuerzas no son codireccionales, de modo que descompuse una de ellas, el peso,

www.full-ebook.com

= 30

Py

o

P | 149 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Px = P sen 30º Py = P cos 30º Estás de acuerdo, ¿no? Bueno, si estás de acuerdo, vamos a las ecuaciones de Newton para los dos ejes. Y no te olvides que si la velocidad es constante (todas las cintas transportadoras importadas y nacionales trabajan a velocidad constante) la aceleración es nula. En el eje x

→

Roz – Px = 0

[2]

En el eje y

→

N – Py = 0

[3]

Ya está, si contás cuántas incógnitas hay vas a llegar a 3. De modo que esto tiene solución algebraica. ¿Lo hacés solo? Ok, ya entendí. Reemplazamos la ecuación [2] y la [3] en la [1], queda así: P sen 30º = μe . P cos 30º sen 30º = μe . cos 30º μe = tg 30º = 0,577 habría que comprar lona, μe Lona > 0,577 Ahora prestá mucha atención a esto: Para calcular la fuerza de rozamiento no siempre se encuentra aplicando RozeM = μe . N . El 63,35% de los estudiantes cometen ese error (garrafal si lo hacen durante un examen). La fuerza de rozamiento estático es una fuerza variable. Sus valores puede ir desde cero hasta un valor tope, máximo, en cada situación. En el 99% de los casos no estamos en el máximo. Acá la condición es que la caja no deslice, o sea, que su aceleración valga cero. Eso ya lo está diciendo la ecuación [2] Roz = m . g . sen 30º Roz = 150 N DESAFíO:

Mi pregunta es ésta, (no tenés que calcular nada... pero tenés que pensar lo suficiente...) si al tener velocidad constante la aceleración vale cero... ¿por qué no las ponen a funcionar más rápido así el servicio de encomiendas es más eficiente? | 150 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

2.7 Un tractor puede subir o bajar un bloque como indica la figura. ¿Cuál es la fuerza máxima y mínima que puede hacer el tractor sin que la caja deslice sobre el plano? ß = 30°

µe = 0,5

µd = 0,4

Este ejercicio es muy interesante por varias razones, ya vas a ver. Pero una de ellas es que contiene una trampa cazabobos. Una trampa tan pero tan remanida, repetida, conocida y cocinada, que solamente cae el 57,4 % de los estudiantes que lo tratan de resolver. Vamos a los DCL y lo comentamos. Te tengo que avisar un par de cosas de estos dos DCLs. Primero que tienen ya un grado de elaboración. Por ejemplo, sobre la caja actúa su fuerza peso y no la dibujé (en realidad dibujé su huella), pero dibujé sus componentes según el SR que elegí. Lo segundo es que son dos DCLs diferentes, porque describen situaciones diferentes. En el caso de arriba el tractor hace una fuerza Tmin que sería insuficiente para sostener quieta la caja. Sin embargo la caja no desliza. Debemos suponer que el rozamiento acude en su auxilio. Si esa fuerza Tmin fuese realmente la mínima, entonces coincide con que la de rozamiento es la máxima, RozeM. En el segundo caso el tractor realiza una fuerza superior a la necesaria para sostener la caja, y aún así la caja no sube. ¿Qué estará pasando? No cabe duda que el motivo es que está trabada por el rozamiento. Si la fuerza de tractor es la máxima antes de ponerla en movimiento efectivamente, Tmáx , será porque se le opone la fuerza de rozamiento máxima, nuevamente RozeM, pero ahora en sentido opuesto. Me vas a preguntar para qué nos dan el μd, y yo te voy a contestar que efectivamente no sirve para nada excepto para cazar bobos. Pero para hacer honor a la verdad y al autor del problema te voy a agregar que me parece un agregado correcto, ilustre, didáctico. De hecho cuando el universo enfrenta a los científicos con preguntas, intrigas o problemas, no le muestra solamente los datos que va a necesitar para resolverlo. El universo muestra el universo y tiende trampas cazabobos y también cazagenios, ojalá caigas en una.

N

y

Tmín

x

RozeM Px

30

Py

o

P

N

y

Tmáx

x

RozeM Px

30

o

Py P

Bueno basta de cháchara, vamos a resolver el ejercicio. Después de todo  DCL  viene un set de ecuaciones de Newton, acá están. Ojo que sin que deslice significa a = 0.

www.full-ebook.com

| 151 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

caso 1, eje x

→

Tmin + RozeM – Px = 0

caso 2, eje x

→

Tmáx – RozeM – Px = 0

casos 1 y 2, eje y →

N – Py = 0

Y además tenemos que Px = m . g . sen 30º Py = m . g . cos 30º RozeM = μe . N ¿Necesitás algo más? No, metés todo eso en la licuadora algebraica y salen los valores que estás buscando. No llores, yo te lo hago. Pero intentalo sin ayuda antes. Tmin = – μe m . g . cos 30º + m . g . sen 30º Tmin = 0,065 m . g

DESAFíO:

Buscá vos el resultado no-numérico y hacé la discusión más completa que seas capaz. ¿Cuáles serán las fuerzas necesarias para subir o bajar la caja con velocidad constante?

Tmáx = μe m . g . cos 30º + m . g . sen 30º Tmáx = 0,935 m . g

2.9 Un camión lleva apoyado en su caja un paquete de 10 kg. Los coeficientes de rozamiento entre el piso del camión y el bulto son: µe = 0,5; µd = 0,4. ¿Cuál es el máximo de aceleración que puede imprimirse al camión para que el bulto no deslice? a

ACME N ? Roz

ACME P

| 152 |

? Roz

Mi vasta experiencia me dice que este problema acierta de lleno en un error muy común, que proviene en parte de una dificultad grande y de un malentendido popular. Las tres cosas te las voy a marcar a su debido tiempo. Empecemos como si nada... con un DCL. Ya sé, este no es el DCL, pero quería mostrarte el esquemita que armé. ¿Te gusta el camioncito? Cuando yo era chico jugaba con camioncitos... y... mmm... Perdón, me colgué mal, sigamos con el problema... Ahora sí, el DCL. Ah... te agarré... no sabés para dónde apunta la fuerza de rozamiento... Je, je. Bueno, si lo sabés te felicito... pero la dificultad que te anuncié allá arriba es justamente ésta. Más o menos una mitad de los estudiantes piensa que la fuerza de rozamiento

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

apunta hacia la derecha y la otra mitad hacia la izquierda. Y suelen armarse discusiones acaloradas, y a veces sangrientas, por la cuestión.

N

El DCL correcto es éste: Se trata de una fuerza de rozamiento estática, ya que no queremos que el bulto deslice y se caiga y además, se tratará de la fuerza de rozamiento estática máxima, ya que queremos conocer la aceleración máxima que podemos imprimirle al camión en un arranque. Además... si lo que pretendemos es que el bulto no deslice, estamos pretendiendo, también que la aceleración del camión sea la misma, exactamente, que la del bulto.

ACME

y x

Hagamos una cosa. Yo te digo cuál es la correcta y resuelvo el problema. Y después en la discusión te doy varios criterios para que la próxima vez que te enfrentes con un dilema como éste puedas decidir correctamente, ¿OK?

Roz

P

Vamos a Newton ΣFx = m ax

→

RozeM = m a

ΣFy = m ay

→

N–P=0

y el rozamiento

→

RozeM = μe . N

Combinando las tres ecuaciones y recordando que P = m . g μe . m . g = m . a a = μe . g  a=5

(era una pavada atómica)

Discusión Vamos a hacer la discusión prometida... pero ya que estamos, discutamos antes el resultado (no el del problema, el numérico, sino el que te recuadré en gris, o sea el genérico). Como siempre, para empezar... tiene las unidades que debe tener. Para continuar tiene sentido físico, ya que me dice que cuanto mayor sea el coeficiente de rozamiento, o sea, cuanto mayor sea el agarre entre el bulto y el piso del camión mayor puede ser la aceleración que imprima el camionero sin temor a que la caja deslice y se caiga. También me dice que en la Luna hay que atar mejor los bultos para que no se suelten... o sea...

www.full-ebook.com

| 153 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Pero vamos a la discusión interesante... primero voy a tratar de dilucidar por qué tanta gente piensa que la fuerza de rozamiento va para el lado contrario que el correcto (en este caso). Encuentro dos motivos. El primero es el error popular del que te hablé allá arriba: la gente cree que el rozamiento siempre se opone al movimiento... y eso es ¡MENTIRA! Por el contrario, si no fuera gracias al rozamiento, vos no podrías avanzar hacia donde quisieras, no podrías arrancar con tu auto después de que te detuvo un semáforo, no podrías girar en las esquinas, etcétera, etcétera, etcétera. O sea: lejos de oponerse al movimiento, suele ser el rozamiento quien lo produzca, y quien permita que nos manejemos cómodamente en el entorno. Cuando te digan, o cuado leas que el rozamiento se opone al movimiento, no te rías, pero tampoco lo creas. El rozamiento puede oponerse y también puede ir a favor, y también puede ser perpendicular al movimiento, o sea, puede ir para cualquier lado. Y me refiero tanto al rozamiento estático como al dinámico. ¿Pero entonces por qué tanta gente piensa y repite el versito equivocado? Tal vez porque no prestan atención a una sutil diferencia de vocabulario pero importantísima desde el punto de vista físico: el rozamiento se opone al movimiento relativo entre las superficies en contacto, se opone al deslizamiento. ¡Pero no al movimiento! El segundo motivo que encuentro para que la gente piense que la fuerza de rozamiento tiraba para atrás en el caso de este problema es que por un momento se suben (mentalmente) al camión y ven que si el agarre no es bueno la caja desliza hacia atrás (del camión) y se cae. Por lo tanto concluyen que hay alguna fuerza que tira hacia atrás, y la que más a mano tienen es la de rozamiento. Respondo: no te subas al camión, por dos motivos: primero no sabés para dónde va, y segundo, no es un sistema inercial (un SR bueno) donde las leyes de Newton funcionan. Si mirás el problema desde la vereda, que es más seguro, vas a ver que la caja nunca va hacia atrás. A lo sumo, si no hubiese NADA de rozamiento, se quedaría en el lugar hasta que desapareciese el piso del camión, y luego caería al asfalto justo debajo de donde estaba antes. Ahora ¿cómo hacemos para plantear la dirección y sentido correctos para las fuerzas de rozamiento? Esta es la dificultad que te anticipé allá arriba. Reconozco que no es fácil. A la humanidad entera le costó mucho percatarse de la presencia de las fuerzas de rozamiento. El motivo es que obedece a razones de escala microscópica, la interacción entre las moléculas de dos superficies enfrentadas, que por pulidas que las piense, en su intimidad más pequeña son rugosas, y se intruyen mutuamente, dificultando el deslizamiento entre ambas. | 154 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Hay varias maneras de proceder y no equivocarse. La fundamental es confiar en Newton. Cuando la segunda ley afirma que

nos está diciendo no solamente que el módulo de la sumatoria de las fuerzas es igual al producto entre la masa y la aceleración del cuerpo. También nos está diciendo que la dirección y el sentido de la resultante son iguales a la dirección y el sentido de la aceleración, y viceversa. Luego, en nuestro problema... no podía caber ninguna duda:

a

ACME

Roz

ACME

Luego, si la aceleración apuntaba hacia la derecha, ¿qué duda podía caber de que el rozamiento (la única fuerza que está actuando en la dirección x) también apunte hacia la derecha? El segundo criterio consiste en realizar un pequeño esfuerzo con la imaginación. Y aquella interacción de origen microscópico que es el rozamiento, imaginarlo macroscópico... con lo que yo llamo “el diente delator”, tomando la palabra de la jerga de los carpinteros.

a

ACME

Lo que hice (con la imaginación) fue magnificar esa “intrusión” de una superficie sobre la otra, eso que en realidad ocurre, pero a escala molecular. Eso es -groseramente- el rozamiento. Ahora pongamos en marcha al camión y que acelere a gusto: Fijate que ahora queda clarísimo hacia dónde es empujada la caja por las rugosidades del piso del camión. A muchos estudiantes a los que les regalé mi “diente delator” sé que les ha venido muy bien y lo cuidan con Odol. Que te aproveche a vos también. Y terminé.

DESAFíO:

¿Cuál es ángulo de la pendiente más empinada que este camión puede ascender a velocidad constante sin que su caja se le caiga?

2.10 Determinar cuál debe ser la resultante de las fuerzas aplicadas sobre un objeto de 1000 kg que marcha a 72 km/h, para que describa una circunferencia de 200 m de radio. Si el objeto es un automóvil en una ruta horizontal, calcular el mínimo coeficiente de rozamiento (¿cuál?) entre sus neumáticos y el piso, para que pueda mantenerse en la curva.

¿Te suena conocido este problema? Creo que ya lo hicimos... a ver... por qué no vas y te fijás el problema de cinemática 6.4. Es casi idéntico, el auto va a la misma velocidad, cambia un poquito el radio de la curva... pero poco. Te repito el esquema.

ac

R

Roz v

Lógicamente, esa aceleración centrípeta es producto de una sumatoria de fuerzas. En este caso la única fuerza que apunta hacia el cen-

www.full-ebook.com

| 155 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

N

y r Roz

tro, la única fuerza que está haciendo doblar al auto y que lo mantiene sobre la curva es la fuerza de rozamiento. Supongo que nunca habrás probado girar sobre una mancha de aceite (lo más probable es que no estuvieras leyendo esto...) pero lo podés imaginar. Hagamos el DCL. Bueno, ahí tenés. Un ejemplo más de que la fuerza de rozamiento no es opuesta a la velocidad. En este caso es perpendicular a ella, y le permite girar al auto hacia su izquierda (tu derecha).

P

Fijate también, en este caso, que se trata de un rozamiento estático. Que el auto se está moviendo no indica nada para este asunto. Estático o dinámico alude al problema de si hay o no hay deslizamiento entre las superficies. Y a menos que el auto patine, sus cubiertas no deslizan, se van apoyando mientras giran, y si tienen un buen agarre, no tienen por qué deslizar. Bueno, vamos a las ecuaciones de Newton. Los ejes los llamé: y al vertical y r al radial. Eje y

→

ΣFy = m ay

→

N–P=0

Eje r

→

ΣFr = m ac

→

Roz = m ac

Si se pretende el mínimo coeficiente de rozamiento (estático) éste deberá garantizar la fuerza para esta aceleración centrípeta, y será el coeficiente de rozamiento estático. Agreguemos una tercera ecuación. RozeM = μe . N Y no nos olvidemos que la aceleración centrípeta es DESAFíO:

El resultado genérico (recuadro amarillito) lo dice todo. Si el auto quiere ir más rápido tiene que preocuparse de que el coeficiente de rozamiento estático sea mayor que el que calculamos acá. Generalmente lo es... pero a veces no alcanza y eso pone un límite a la velocidad en las curvas. Cuando ese límite no se respeta (en el 96,73 por ciento de los casos) lo autos se despistan. Los ingenieros de vialidad inventaron entonces el peralte. Si te olvidaste qué corno era eso andá a ver el problema 1.49 y volvé, porque lo que te voy a proponer ahora es que combinemos las dos cosas: el peralte y el rozamiento. | 156 |

ac = Ahora metemos todo en la licuadora...

μe= 0,2 La resultante no es otra que el rozamiento. Roz = 2.000 N

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

 

2.12 Un bloque, cuya masa es 15 kg, está y permanece en reposo apoyado en un plano inclinado 37°, con rozamiento. Al atarle un carrito de 5 kg, para el que puede despreciarse el rozamiento, como se muestra en la figura, ambos descienden con una aceleración de 2 m/s². A partir del diagrama y las ecuaciones correspondientes, hallar: a) La intensidad de la fuerza de rozamiento entre el bloque y el plano, antes de atar el carrito. b) La fuerza que soporta la cuerda en el descenso. c) Los coeficientes de rozamiento entre el bloque y el plano, si es posible.

Este ejercicio es bastante clásico y sin demasiados detalles interesantes. Voy a aprovecharlo para destacar trivialidades. Fijate el jaspeadito que hay debajo del bloque: en las costumbres de los físicos, es una indicación de que hay ahí un rozamiento que tenés que tener en cuenta. Las rueditas del carrito... es lo contrario. La redacción del enunciado, aunque no es cien por ciento clara, indica que el bloque está primero quieto y después, al atarle el carrito, deslizando. De manera que el rozamiento entre el bloque y el plano es de tipo estático antes de atarlo y dinámico luego.

NB

T

NC

T

PB

Pc

Voy a resolver primero la segunda parte, cuando el carrito ya está atado y deslizando. Hago los DCL y los comentamos. Los subíndices B y C corresponden a bloque y carrito, obvio. Acá en el DCL parecen innecesarios... pero cuando esos símbolos entran en la licuadora algebraica... son indispensables. Estos DCLs son fundamentales si tu objetivo es entender la dinámica del sistema. Te muestra las interacciones de cada uno de los cuerpos. Ahora, para resolver el ejercicio necesitamos que los DCLs sean operativos, es decir, que las fuerzas que muestran apunten en direcciones ortogonales e independientes -x e y- que permitan operar algebraicamente. Elegimos un SR y descomponemos algunas fuerzas.

Rozd

NB

y x NC

PCx

Rozd

T

T

PBx

PBy

PCy

Cualquier SR hubiera servido... pero éste, cuya dirección x coincide con la dirección y sentido de la aceleración, y que coincide en direcciones con cinco de las siete fuerzas que teníamos... va a ser el más sencillo y económico. Descomponemos las dos fuerzas que no coinciden con las direcciones x e y, y de ahí nos vamos a las ecuaciones. No te olvides que para cada cuerpo

www.full-ebook.com

| 157 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Px = m . g . sen 37° Py = m . g . cos 37° Bueno basta de cháchara, vamos a resolver el ejercicio. Este es el set de ecuaciones de Newton. bloque, eje x

→

T + PBx – Rozd = mB . a

[1]

bloque, eje y

→

NB – PBy = 0

[2]

carrito, eje x

→

PCx – T = mC . a

[3]

carrito, eje y

→

NC – PCy = 0

[4]

Y además agregamos una ecuación que describe la naturaleza del rozamiento Rozd = μd . NB

[5]

Si tenés ganas de contar, vas a ver que hay más ecuaciones que incógnitas. O sea... el ejercicio ya está cocinado. El resto es álgebra, para obtener los resultados numéricos. Si te parece hacemos así: Sumemos la [1] y la [3] T + PBx – Rozd + PCx – T = mB . a + mC . a Rozd = PBx + PCx – mB . a – mC . a Si querés podés hacer las cuentas ahora... pero dejame hacer un pasito más, ¿dale? Rozd = (g sen 37° – a) (mB + mC) Rozd = 80 N De la ecuación [3] sale en forma directa el valor de la tensión. T = PC x– mC . a T = 20 N

respuesta b)

El coeficiente de rozamiento surge de la ecuación [5], teniendo en cuenta la respuesta a) y la ecuación [2]

| 158 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

μd = 0,67

y

respuesta c)

Ahora viene la parte más interesante del ejercicio. Fijate que la pregunta c) pedía por los coeficientes de rozamiento. Como el cuerpo deslizaba pudimos hallar el dinámico, ahí está. ¿Pero el estático? Es sutil, pero importante. Como el cuerpo comienza a deslizar cuando se le engancha el carrito, hay que suponer que sin el enganche, el bloque se hallaba quieto en equilibrio.

NB

Roze

x PBx PBy

De modo que lo que lo sostenía era una fuerza de rozamiento estática. Su valor debe ser igual a la componente x de su peso. Roze = mB . g . sen 37° Roze = 90 N

respuesta a)

Ojo, no necesariamente es la fuerza de rozamiento estática máxima, de modo que no se puede conocer el valor de μe. Pero, si ese fuera el caso, entonces el valor del coeficiente debería ser, por lo menos, μe > 0,75 Si no te das cuenta cómo hice este razonamiento te tiro un centro: fijate qué pasaría con un valor un poquito menor -digamos 0,72-, y otro un poco mayor -por ejemplo: 0,78-. Fijate, hacé cálculos. Ya te va a caer la ficha.

DESAFíO:

¿Cuánto debería valer la masa del carrito para que, si el conjunto desliza hacia abajo, lo haga a velocidad constante?

2.13 Para los diagramas mostrados, hallar la intensidad máxima que podrá tener la fuerza F antes que algún bloque se mueva, y la aceleración que adquieren una vez iniciado el movimiento, si se mantiene aplicada F con la intensidad calculada. Las masas son m1= 30 kg y m2= 20 kg, y los coeficientes de rozamiento entre bloques y con el piso son µe= 0,6 ; µd= 0,25.

Ni por toda la guita del mundo te hago este problema... ¡es larguísimo! Y son los cuatro tan parecidos que sólo un experto los diferencia. Mirá te hago uno sólo de los cuatro y transamos ahí, ¿Te parece? Elijo el más difícil y listo. Es el C. En este problema el 95,43% de la dificultad se halla en plantear correctamente las fuerzas de rozamiento. Es a eso a lo que tenés que prestarle atención. No sólo a su existencia y no a la formulación de cada una. Vos siempre decis “RozeM = μe . N” pero no es tan sencillo. De modo que ahora más que nunca y hay que discutir a fondo los DCLs. No te

www.full-ebook.com

| 159 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

FPi1

1

olvides que nos hallamos en una situación límite, tal que si la fuerza F aumentase un pelito más, se rompería el equilibrio. No cabe duda que el rozamiento es estático y máximo y que la aceleración vale cero.

Roz21

F

T

RozPi1 P1 2

F21

y x

T es la fuerza que hace la soga en cada extremo, son, por supuesto iguales (nuestras sogas son imponderables, no tienen masa), por eso tienen el mismo nombre.

F12 T

Roz12 P2

Tenés que estudiar muy bien uno por uno los DCL y una por una cada fuerza. Los nombres que les puse no son cualquiera, vamos por parte. Usé colorcitos para ayudarte (como siempre).

P1 y P2 son los pesos respectivos de cada cuerpo. Nunca te olvides de ponerles subíndices cuando tengas más de un cuerpo. FP i1 es la fuerza normal que el piso le hace al cuerpo 1. Es la que vos y tus compañeros llaman habitualmente normal, y no hacen bien, pero es normal. F21 es la fuerza normal que el cuerpo 2 le hace al cuerpo 1 aplastándolo, no es otra que el par de reacción de F12 , la fuerza con que el 1 sostiene al 2 y que vos y tus compañeritos llamarían también normal. A todo le ponen normal. RozPi1 es la fuerza de rozamiento entre el piso y el cuerpo 1 . Cuando tengamos que calcularla va a ser RozPi1 = μe . FPi1. ¿Entendiste? FPi1 es la fuerza que comprime ese par de superficies, las que están rozando. Roz21 y Roz12 , como su nombre lo indica, forman un par de interacción. Representan el rozamiento en el par de superficies entre los cuerpos 1 y 2 cuando tengamos que calcularla va a ser Roz21= μe . F21. ¿Entendiste? F21es la fuerza que comprime ese par de superficies, las que estan rozando. Resumiendo: F21 = F12 Roz21 = Roz12 Roz21= μe . F21 RozPi1 = μe . FPi1 Ahora sí, podemos ir a las ecuaciones de Newton: Cuerpo 1

| 160 |

→ ΣFx = m ax → F – Roz21 – T – RozPi1 = 0 [1]

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Cuerpo 1

→ ΣFy = m ay → FPi1 – P1 – F21 = 0

[2]

Cuerpo 2

→ ΣFx = m ax → Roz12 – T = 0

[3]

Cuerpo 2

→ ΣFy = m ay → F12– P2 = 0

[4]

Ya te imaginarás que estamos frente a un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas (qué perspicaz). Bueno, hay que resolverlo. En la [1] y en la [3] reemplazo las fuerzas de rozamiento por sus iguales F – μe. F21– T – μe . FPi1 = 0

[5]

μe . F21 – T = 0

[6]

De la [4] despejo F12 y con eso, en la [2] despejo FPi1 F12 = P2 = m2 . g FPi1 = P2 + P1 = (m1 + m2 ) . g Ahora resto miembro a miembro la [5] con la [6], reemplazo las normales y cancelo las tensiones F – μe . F21– μe . FPi1– μe . F21 = 0 F – 2 μe . m2 . g – μe . (m1 + m2 ) . g = 0 Ahora despejo F y reagrupo F = μe . g (m1 + 3 m2) F = 540 N Al romperse el equilibrio no hace falta que la fuerza F siga creciendo. Con mantener ese valor alcanza para mantener el movimiento, y en forma acelerada. ¿Qué cambia con respecto al planteo anterior? No demasiado, en las ecuaciones de equis en lugar de estar igualadas a cero estarán igualadas a m . a y en lugar de tener μe tendremos μd. Te escribo las ecuaciones, y no pretendas más de mí. Cuerpo 1 → ΣFx = m ax → F – Roz21 – T – RozPi1 = m1 . a Cuerpo 1 → ΣFy = m ay → FPi1 – P1 – F21 = 0 Cuerpo 2 → ΣFx = m ax → Roz12 – T = m2 . a Cuerpo 2 → ΣFy = m ay → F12– P2 = 0

www.full-ebook.com

Discusión:

El resultado no numérico es harto híper archi súper razonable. ¿Por qué 3 veces m2 y sólo una m1? Es una de las tantas preguntas que podés formularte y responderte.

DESAFíO:

Obvio microbio: que termines el problema... tenés como para 3 horas con un descanso en el medio... ahora, que si estás acompañado... | 161 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

2.14 En un sistema como el que muestra la figura, la caja C de 5 kg y el balde B de 2 kg están y permanecen en reposo. Se puede despreciar el rozamiento entre la cuerda y la polea, y sus respectivas masas. Determinar la intensidad y sentido de la fuerza de rozamiento entre la caja y el plano, en este caso. Se va echando arena dentro del balde hasta totalizar con el mismo un peso de 40 Newton. En esas condiciones el sistema comienza a moverse, y adquiere una aceleración de 0,4 m/s2. Calcular los coeficientes de rozamiento entre la caja y el plano.

Acá tenemos tres situaciones diferentes. Hasta que no las tengas a las tres suficientemente identificadas no sigas, ¿OK? La primera es una situación estática que, ya vas a ver... no es tan simple como parece. La segunda es una situación también estática, pero límite: el equilibrio está a punto de romperse. La tercera situación es dinámica. Son tres... si no te cierra estas afuera. Te aclaro que este ejercicio es laaargo como esperanza de pobre. Arremangate. x

y N

Vamos a la primera situación y los DCL correspondientes. T

T

Roz PCx

PCy

PB

Este paso tiene dos dificultades. La primera es que no hay -a prioriforma de saber hacia dónde apunta la fuerza de rozamiento. Tal vez hacia abajo -como la representé-, tal vez hacia arriba -qui lo sá-. En estos casos lo más saludable es tirar una monedita y seguir adelante; el resultado (el signo del resultado) nos dirá si la monedita acertó o si la fuerza apuntaba en el sentido contrario al supuesto. La segunda dificultad es más bien una trampa (un vicio) en la que caen decenas de miles de incautos estudiantes: donde ven una fuerza de rozamiento reemplazan por... Roze = μe . N ¡Nooo...! Sólo la fuerza de rozamiento estática máxima puede reemplazarse así. Hechas todas las aclaraciones, vamos a resolver la primera parte del ejercicio. Este es el set de ecuaciones de Newton. bloque C, eje x

→

T – PCx – Roze = 0

[1]

bloque C, eje y

→

N – PCy = 0

[2]

balde, eje x

→

PB – T = 0

[3]

La segunda ecuación no aporta nada interesante en esta etapa. Las otras dos tienen todo lo que hace falta. Las voy a sumar. | 162 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

T – PCx – Roze + PB – T = 0 Roze = PB – PCx = PB – PC sen 37° Roze = – 10 N

primera respuesta

Eso me indica que apuntaba hacia el otro lado, o sea hacia arriba. Si no fuera por el rozamiento, el bloque empezaría a deslizar hacia abajo, ¿se entiende? Bueno, ahora vamos a la segunda situación. Sigue siendo estática, pero ahora es la situación límite: el rozamiento estático ahora sí es el máximo... y ahora no hay duda que apunta hacia abajo. Para distinguir esta situación de la anterior, el nuevo peso del balde lo voy a llamar PBL (por balde lleno). Un granito más de arena que metas en el balde y se rompe el equilibrio... pero no lo metas, esperá un cacho que resolvemos esta parte del ejercicio. bloque C, eje x

→

T – PCx – RozeM = 0

[4]

bloque C, eje y

→

N – PCy = 0

[5]

balde, eje x

→

PBL – T = 0

[6]

roz. est. máx.

→

RozeM = μe . N

[7]

Esta vez sí, van a tener que laburar las cuatro ecuaciones. Sumo la [4] con la [6], RozeM = PBL – PCx meto esto en la [7] μe . N = PBL – PCx y reemplazo por la [5] (hay otro millón de caminos posibles)

μe= 0,25

segunda respuesta

Ahora sí: meté ese granito más de arena en el balde. Como estábamos en la situación límite, ese último granito rompe el equilibrio y el conjunto comienza a acelerar. El peso del balde no cambia (un granito no es nada). bloque C, eje x

→

T – PCx – Rozd = mC . a

www.full-ebook.com

[8] | 163 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

DESAFíO:

¿Cuánto debería valer la masa del balde para que, si el conjunto desliza lo haga a velocidad constante? Luego, si invirtiéramos el sentido de deslizamiento... ¿también lo haría a velocidad constante?

bloque C, eje y

→

N – PCy = 0

balde, eje x

→

PBL – T = mBL . a

[10]

roz. est. máx.

→

Rozd = μd . N

[11]

[9]

Siguiendo el mismo camino algebraico de arriba llegás a la respuesta. Hacelo solo. μd = 0,16

tercera respuesta

2.16 Una chica de 50 kg desciende esquiando por una pendiente que forma un ángulo de 37° con la horizontal. El rozamiento con el aire es despreciable y el coeficiente de roce dinámico entre los esquíes y la nieve es de 0,25. Entonces el desplazamiento realizado en tres segundos, a partir del reposo, es: a) 36 m ; b) 9 m; c) 12 m ; d) 18 m; e) 24 m

Más allá de que la chica esté refuerte, sea joven, hermosa y millonaria, no deja de ser un problema común y silvestre de plano inclinado con rozamiento.

N Roz a

Si querés entenderlo bien, antes tenés que repasar o recordar perfectamente el de plano inclinado sin rozamiento. Era el 1.10, andá y volvé, yo te espero. Hagamos el DCL. P

Acá tenés. Usé el mismo DCL de antes, pero le agregué la fuerza de rozamiento, Roz, que como te das cuenta es de tipo dinámico.

Px Py P

y

x

Vamos a descomponer el peso. (Por si no te acordás cómo se descompone un vector, te voy a ayudar con el esquemita del medio:)

N Roz

Si mirás el triangulito grisado podés ver que Px= P sen α

Px Py P

| 164 |

Del mismo modo que ocurrió en el otro, para poder aplicar Newton tenemos que elegir un SR y descomponer las fuerzas que no coincidan con las direcciones del SR elegido.

Py= P cos α Vamos a las ecuaciones. Empezamos por la dirección paralela al plano.

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

ΣFx= m ax= m a Ahora hay dos fuerzas en esa dirección Px– Roz = m a Ahora vamos con la dirección normal al plano ΣFy= m ay= 0 N – Py= 0 Acá se acaba Newton, pero nos queda una ecuación más por plantear, ya que conocemos la naturaleza de la fuerza de rozamiento y sabemos que Roz = μd. N Ya con esto alcanza (si querés contar ecuaciones e incógnitas... no es mala idea). Vamos al álgebra. P sen α – Roz = m a P sen α – μd . N = m a

Discusión:

P sen α – μd . P cos α= m a m g sen α – μd . m g cos α= m a La masa de la chica no importa (en este caso) pero convengamos que no está nada mal, 50 kgf es un buen peso. g sen α – μd . g cos α= a a = g (sen α – μd cos α) ¿pudiste seguirme? Bueno, calculemos a y con eso vamos a la cinemática (MRUV) y sacamos el desplazamiento para 3 segundos. Δx =½ aΔt²

El resultado que te recuadré en gris es el que hay que discutir. Fijate que si μd fuera cero, o sea si no hubiese rozamiento estaríamos en el mismo resultado que el problema 1.10, es un buen indicio. Si μd crece, la aceleración decrece, puede llegar a ser cero (la mina baja con velocidad constante, aprovechemos...) o incluso, si μd sigue creciendo podemos tener aceleración negativa, que en este SR significa que la mina se va frenando (para esperarme, obvio). Fijate vos qué pasa variando α. Todo cierra. No dejes de hacer la discusión de los resultados porque es la parte más importante de los ejercicios y, como en mi caso, puede llegar a cambiarte la vida.

a=4 Δx = 18m

la d) DESAFíO:

¿Cuánto debe valer μd para que la mina baje a velocidad constante en una pendiente α cualquiera?

www.full-ebook.com

| 165 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

2.17 En el sistema de la figura, el bloque B de 200 kg y el carrito C, también de 200 kg, se mueven inicialmente en el sentido indicado, vinculados entre sí por un cable que pasa por una polea, estos últimos de masa despreciable. Puede despreciarse el rozamiento en la polea y entre el carrito y el plano en que se apoya, pero entre el bloque B y el plano el coeficiente de rozamiento dinámico es μd = 0,25. a) Determinar el módulo y el sentido de la aceleración que experimentan en ese instante, y la intensidad de la fuerza que soporta el cable. b) Con el sistema en movimiento, se corta el cable. Determinar la nueva aceleración que experimenta cada cuerpo, y describir en forma cualitativa su movimiento. NB

Si el autor del problema no se enoja, voy a llamar β al ángulo de inclinación del plano en el que está apoyado el cuerpo B, y γ al que está enfrente, que tiene apoyado al cuerpo C. Simplemente, eso nos va a permitir encontrar una expresión para un resultado más general.

T RozB

Ok, vamos a los DCL.

PB NC

T

A las fuerzas de apoyo sobre los planos inclinados, NB y NC, las llamé normales para no tener conflictos gremiales. La fuerza que hace la soga, T, es la misma sobre cada carrito ya que es una soga sin masa. Todavía no puedo aplicar la Ley de la Masa porque las fuerzas no son codireccionales.

NB

y

T

x

Rehagamos descomponiendo los pesos, y asignemos un SR coherente con una aceleración posible para el sistema.

PC RozB

PBx

Descompuse las fuerzas peso:

PBy

PBx= PB sen β

PB

y

PCx= PC sen γ NC PCx

PCy | 166 |

PBy= PB cos β

x

T

PC

PCy= PC cos γ Ahora las ecuaciones de Newton. Las aceleraciones son idénticas, porque la soga es inextensible.

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Cuerpo B, eje x

PBX – RozB – T = mB a

[1]

Cuerpo B, eje y

NB – PBy= 0

[2]

Cuerpo C, eje x

T– PCX = mC a

[3]

Cuerpo C, eje y

NC – PCy= 0

[4]

Además de Newton podemos agregar lo que sabemos del rozamiento: Cuerpo B

RozB= μd NB

[5]

Si te tomás el trabajo de contar ecuaciones e incógnitas, verás que la física del problema se merece un descanso. Empieza un ejercicio de álgebra. No te lo voy a hacer, pero te cuento un camino más o menos rápido, ¿dale? Sumás miembro a miembro la [1] con la [3]. En el primer miembro de la ecuación resultante se cancela T y en el segundo sacás factor común a. En lo que queda reemplazás el rozamiento por su igual sacados de [5]. En esta última que quedó reemplazás NB y NC por sus iguales despejados de [2] y [4]. Si me seguiste y hiciste bien habremos llegado acá. Fijate. PBX – μd PBy – PCX = a (mB + mC) ahora reemplazamos pesos por productos m . g y agrupamos por masas

Recién ahora hacemos números...

Discusión:

En el recuadro gris tenés una expresión general para discutir hasta el cansancio.

a=–2 DESAFíO:

T = 1.200 N La pregunta b) es muy sencilla, basta que nos remitamos al problema 2.16 y hagamos el cálculo individualmente para cada cuerpo.

www.full-ebook.com

¿Cuánto debe valer el coeficiente de rozamiento para que el conjunto se deslice con velocidad constante? | 167 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

2.18 Los bloques A, de 200 kg, y B, de 300 kg, del esquema de la figura se mueven inicialmente en el sentido indicado, vinculados entre sí por un cable flexible e inextensible que pasa por una polea. Puede despreciarse la masa y el rozamiento de estos últimos, pero no entre los bloques y los planos inclinados, donde los coeficientes respectivos son µdA = 0,3 y µdB = 0,1. a) Determinar el módulo y el sentido de la aceleración que experimentan en ese instante, y la intensidad de la fuerza que soporta el cable. b) Con el sistema moviéndose, se corta el cable. Determinar la nueva aceleración que experimenta cada cuerpo, y describir en forma cualitativa su movimiento. NA

T

RozA

OK, vamos a los DCL.

PA NB T

PB

y NA

PAx

RozB

PBy | 168 |

x T

RozA

T

Rehagamos descomponiendo los pesos, y asignemos un SR coherente con una aceleración posible para el sistema. Ahora las ecuaciones de Newton

RozB

NB

Si el autor del problema no se enoja, voy a llamar α al ángulo de inclinación del plano en el que está apoyado el cuerpo A, y β al que está enfrente, que no necesariamente deban ser iguales. Simplemente, eso nos va a permitir encontrar una expresión para un resultado más general.

PAy

y x PBx

Cuerpo A, eje x

T – RozA – PAX= mA a

[1]

Cuerpo A, eje y

NA – PAy= 0

[2]

Cuerpo B, eje x

PBX – T – RozB = mB a

[3]

Cuerpo B, eje y

NB – PBy= 0

[4]

Además de Newton podemos agregar lo que sabemos de los rozamientos Cuerpo A

RozA= μdA NA

[5]

Cuerpo B

RozB= μdB NB

[6]

Si te tomás el trabajo de contar ecuaciones e incógnitas, verás que la física del problema se merece un descanso. Empieza un ejercicio de álgebra. No te lo voy a hacer, pero te cuento un camino más o menos rápido, ¿dale? Sumás miembro a miembro la [1] con la [3]. En el primer miembro de la ecuación resultante se cancela T y en el segundo sacás factor común a. En lo que queda reemplazás los rozamientos respectivos

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

por sus iguales sacados de [5] y [6]. En esta última que quedó reemplazás NA y NB por sus iguales despejados de [2] y [4]. Si me seguiste e hiciste bien habremos llegado acá. Fijate. – PAX + PBX – μdA PAy – μdB PBy = a (mA + mB) ahora reemplazamos pesos por productos m . g y agrupamos por masas

Recién ahora hacemos números...

Discusión:

En el recuadro gris tenés una expresión general para discutir hasta morir. Ahí adentro se encuentra la descripción de todos los pares de cuerpos atados por una soga en sendos planos inclinados cualquier ángulo y cualquier rozamiento. Hay una única advertencia en que podría no describir el funcionamiento del sistema: podría darse que las aceleraciones fueran diferentes y la tensión de la soga cero. La segunda pregunta del ejercicio, justamente, previene ese caso

a = – 0,24 DESAFíO:

T = 1.630 N La pregunta b) es muy sencilla, basta que nos remitamos al problema 2.16 y hagamos el cálculo individualmente para cada cuerpo.

¿Cuánto debe valer como mínimo el coeficiente de rozamiento de cada cuerpo para que cuando el conjunto se detenga no comience a deslizar para el otro lado?

2.19 Nicolás tira de su carrito con la caja de sus juguetes encima, aplicándole una fuerza de 30 N como se muestra en la figura. El carrito tiene 10 kg, la caja 2 kg. Despreciando el rozamiento del carrito contra el piso, hallar: a) La aceleración del conjunto. b) El mínimo valor del coeficiente de rozamiento (¿cuál?) entre la caja y el carrito, para que no se despegue del mismo.

NCJ

Como siempre, empezamos TODOS los problemas de dinámica haciendo un DCL. Si no lo hacés, perdés. Si lo hacés mal, perdés. Acá tenés un bonito ejemplo que desmiente esa creencia popular de que la fuerza de rozamiento se opone al movimiento. El juguete se mueve hacia adelante gracias a que la fuerza de rozamiento que le hace el carrito apunta hacia adelante. En este caso es a favor, no en contra. En negro te puse la fuerza normal o (perpendicular) a la superficie de contacto, la que el carrito le hace al juguete, NCJ, y la que el juguete le hace al carrito, NJC. Por supuesto son par de interacción... qué interacción: el contacto entre el carrito y el juguete. Tené en cuenta que FX = F cos 37º y FY = F sen 37º.

www.full-ebook.com

Roz

J PJ Fy

NPC Roz

F

Fx

C NJC PC

| 169 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Hacemos la clásica. Después del DCL vienen las ecuaciones de Newton Juguete → ΣFx = mJ ax → Roz = mJ . a

[1]

Juguete → ΣFy = mJ ay

[2]

→ NCJ – PJ = 0

Carrito → ΣFx = mC ax → FX – Roz = mC . a

[3]

Carrito → ΣFy = mC ay → Fy+ NPC – NJC – PC = 0

[4]

Sumando miembro a miembro la [1] con la [3] nos queda las sencilla ecuación

a=2 El mínimo valor del coeficiente de rozamiento estático, ya que no queremos que el juguete se deslice, se caiga y se rompa, que costó caro, será aquél que produzca una aceleración como mínimo igual a ésta. Roz = μe Min . NCJ donde (de [2]) NCJ= PJ entonces DESAFíO:

Responder sin dudar ¿Por qué no necesitamos usar la ecuación [4]?

μe Min= 0,2

2.22 Un plato cuya masa es m, viaja sobre la bandeja del mozo del bar. Hallar el coeficiente de rozamiento necesario entre el plato y la bandeja para que no se deslice, cuando la bandeja se acelera a 2 m/s² en la dirección indicada, manteniéndose horizontal.

Bonito problema si los hay. Como siempre debemos empezar por un DCL. ¿Probaste vos el tuyo? Esta es la mejor oportunidad para | 170 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

N

que te convenzas: TODO EL ESFUERZO EN DINAMICA TENES QUE PONERLO EN EL DCL... si lo hacés bien, el resto es una papa. Si lo haces mal... nada te salva. Bueno acá va.

Roz

Había varias cosas de qué darse cuenta. Una era que el DCL que había que hacer era del del plato. Otra que la fuerza de rozamiento apuntaba a la derecha. La mayoría mete la pata y lo pone apuntando a la izquierda. Pero no es culpa de ellos, es que vienen escuchando una y mil veces ese error tan espantoso que suelen repetir hasta el cansancio los profesores de física: “la fuerza de rozamiento siempre es contraria al desplazamiento”, y bueno tanto escucharlo, y a veces leerlo, se lo creen. Es una patraña.

a P

¿Cómo sigue la historia? Como siempre, después del DCL vienen las ecuaciones de Newton. Ojo, no te olvides que acá vas a tener que descomponer la aceleración en dos direcciones. Más vale descomponer un solo vector (la aceleración) y no tres (las tres fuerzas). Donde 30

ax= a cos 30º ay

ay= a sen 30º ΣFx = m ax

→

Roz = m a cos 30º

ΣFy = m ay

→

N – P = – m a sen 30º

o

ax

a

No olvidemos lo que sabemos de las fuerzas de rozamiento, que en este caso es estático, ya que no queremos que el plato deslice de la bandeja, y además queremos que sea el estático máximo, así voy a poder mover la bandeja con más aceleración. Roz = μe . N Y lo que sabemos del peso P=m.g Metemos todo esto en las ecuaciones de Newton que quedan así μe . N = m a cos 30º N – m g = – m a sen 30º despejo μe de la primera y reemplazo N con lo que obtengo de la segunda

www.full-ebook.com

| 171 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Veo que no importa la masa del plato ni si hay ravioles o churrascos.

μe= 0,09 Discusión: Para discutir el resultado es mejor verlo así

queda claro que las unidades son correctas, y qué pasaría si variáramos α. DESAFíO:

First Encontrar tres explicaciones diferentes para convencer a un compañero que insiste en que la fuerza de rozamiento va para el otro lado. Second: resolver este mismo problema con un SR paralelo y perpendicular a la aceleración (en lugar de descomponer la aceleración vas a tener que descomponer las tres fuerzas). No le tengas miedo, es una práctica muy buena. El resultado necesariamente es el mismo.

Si α = 90º el μe necesario se hace cero, lógicamente, no hace falta fuerza de rozamiento lateral para subir o bajar la bandeja verticalmente. Y si α = 0º, entonces μe vale a/g, que es un resultado que ya obtuvimos antes. Por último, si la aceleración en lugar de ir hacia abajo fuera hacia arriba... qué cambiaría... Pues fijate, el signo del denominador, en lugar de ser menos es más. O sea el denominador aumenta, por lo tanto el cociente, μe, disminuye. Muy razonable, ya que al acelerar para arriba tiene que hacerse mayor la normal, con lo que aumenta el agarre entre la bandeja y el plato. Me cierra perfecto, puedo laburar de mozo.

2.23 Un hombre quiere mover una caja de 10 kg que está apoyada sobre el piso de un vagón en reposo. Para eso necesita hacer una fuerza de 5 kgf. El vagón está ahora acelerado y el hombre tiene ahora que hacer una fuerza de 3 kgf para mover la caja. ¿Qué aceleración lleva el vagón?

¡Un ejercicio hermoso! Espero que lo disfrutes. La primera parte es bien sencilla. Acá va el DCL, un poco caracterizado.

y

N

x

F

RozeM

P | 172 |

En este caso el vagón y el tío están quietos (en realidad deberíamos decir: no están acelerados, ¡pero quién puede preocuparse por la diferencia!). De modo que ninguna fuerza tira para su lado más que su opuesta. La fuerza que hace el hombre, F, es la que se necesita para mover la caja, por lo tanto es igual a la fuerza de rozamiento estática máxima, RozeM, el resto lo ponemos directamente en las ecuaciones, ¿dale?

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

F – RozeM = 0

[1]

N – P = 0

[2]

y además sabemos que RozeM = μe . N

[3]

Ahora resulta que el tipo quiere empujar la caja de nuevo, pero esta vez para ponerla en movimiento tiene que hacer menos fuerza que antes. Y el autor del problema infiere (y por eso nos pregunta) que el vagón (con caja y tipo incluido) están acelerados. Esta parte también es sencilla. No te dejes asustar. Hacé el planteo de Newton y después vemos. La nueva fuerza que hace el tipo la voy a llamar F´. Va el nuevo DCL.

y

Qué raro para dónde dibujé la aceleración... no te preocupes, no me hagas caso. Fijate que lo único que cambié del anterior es la fuerza que hace el tipo. ¡Las otras son constantes! Pase lo que pase tienen que valer lo mismo.

a

N

x

F’

RozeM

P

El peso es constante. La fuerza que hace el piso (mientras no haya aceleración vertical ni agregado de fuerzas verticales, tiene que valer lo mismo que antes). Las superficies son las mismas... todo igual, menos la fuerza que hace el tío. F´ – RozeM = m a

[4]

las otras ecuaciones no tengo que repetirlas, no es necesario, son iguales. Ahora las meto todas en la licuadora y despejo a. Mirá cómo hago, hay 704 caminos diferentes y a mí se me ocurrió éste (es álgebra), de la [1] despejo RozeM RozeM = 50 N eso lo meto en la [4] y despejo a

a=–2 O sea que apuntaba para el lado contrario a F, la dibujé bien.

www.full-ebook.com

| 173 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Discusión: Primero... ¿qué puede estar haciendo el vagón? Puede estar avanzando en la dirección y sentido de x y estar frenando, ¿te cierra? O también puede estar dando marcha atrás (contra el sentido de las x) e ir cada vez más rápido. Bueno, estas son consideraciones cinemáticas en las que vos ya sos experto. O sea.

DESAFíO:

Andá y busca en algún libro de física un capítulo que se llama Sistemas no-inerciales. Lee la introducción, nada más. Y por arriba. No te enrolles, es sólo para chusmear un poco y para cumplir el desafío evitando así, severas penalidades.

Pero todo esto me hace surgir la siguiente reflexión... ¿cómo puede la aceleración ahorrarme una fracción de la fuerza necesaria para mover la caja? ¡Te la puede ahorrar íntegra! O acaso si frenase de golpe, por ejemplo chocando contra el paragolpes, la caja ¿no saldría “despedida” hacia adelante a estrellarse con la pared delantera del vagón? ¿Acaso para hacer eso no tuvo que ponerse en movimiento (respecto del piso)? ¡Y en este caso el tipo no tuvo que mover un dedo! (salvo para sostenerse él mismo). ¿Entendés ahora? Cuando hay aceleraciones muchos fenómenos se hacen indistinguibles de las fuerzas... Mmm creo que acá tenemos un lindo problema. Pero vamos a dejarlo para más adelante.

2.24 Los carritos A (de 4 kg) y B (de 3 kg) de la figura, permanecen en reposo sobre un riel horizontal, por el cual pueden moverse con rozamiento despreciable. Ambos están vinculados por un resorte de masa despreciable cuya constante elástica es 300 N/m, y su longitud en esas condiciones es 0,3 m. En un instante dado, se aplica una fuerza F horizontal de 50 N sobre el carrito A. a) Hallar la aceleración inicial de cada carrito. b) Hallar la aceleración de cada carrito, cuando la longitud del resorte es 0,2 m.

x A

A

B

F

aA

A

B

Fe

A

aB

F

B

Fe

A a

| 174 |

B

Fe

aB

aA A

B

F

B a

Fe

No te voy a decir que es una aplicación simple y directa de la Ley de Hooke; ni tampoco que es lo más sencillo que vas a encontrar en ejercicios de fuerzas elásticas. pero tampoco es para que dramatices la situación ni quieras pasarte a ciencias sociales, o al profesorado de educación física... Te voy a ayudar con un esquemita que representa tres situaciones diferentes (las dos primeras son las que menciona el enunciado del ejercicio) y al lado de cada esquemita tenés los diagramas de cuerpo libre correspondientes a esa situación.

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Acá, en la parte superior, agregué una representación del resorte tal cual lo compré en la ferretería. Eso te va a ayudar a entender que mientras tenga esa misma longitud (que tenía en el cajoncito donde el ferretero lo guardaba) no hace fuerzas en sus extremos. En el renglón de abajo, la situación a). En ese instante inicial, la compresión del resorte es nula. Eso no va a durar mucho, ya lo sé. pero la pregunta del enunciado alude a ese instante. Sobre el cuerpo A obra una sola fuerza, que es la de 50 N. Y sobre el B, ninguna. Tenés que tener presente dos cuestiones que funcionan diferente cuando trabajamos con sistemas vinculados por cuerdas que sistemas vinculados por elásticos: las aceleraciones de los cuerpos no tienen por qué ser iguales. De modo que habremos de identificarlas con subíndices. Carro A → ΣF = mA . aA → F = mA . aA Carro B → ΣF = mB . aB → 0 = mB . aB No consigné las fuerzas verticales (vos entenderás). Hacé los despejes. aA = 12,5

,

aB = 0

a)

Yo sé que no es fácil imaginar esos estados que existen sólo un instante. Hacé el esfuerzo. Vamos a la segunda situación. Ahora encontrás a los carritos con el resorte en el medio, pero comprimido a 0,2 metros... o sea: comprimido 0,1 metros. (Qué importante que resulta la preposición a, loco). Si no lo cazaste fijate que en el esquemita puse unas líneas verticales de fondo para ayudarte a pensar la cuestión. Carro A → ΣF = mA . aA → F – Fe = mA . aA

Comentario:

Carro B → ΣF = mB . aB → Fe = mB . aB Donde la fuerza elástica vale Fe = k Δx = 300

. 0,1 m = 30 N

Hacé las cuentas... aA = 5

,

aB = 10

b)

Yo te voy a agregar una pregunta (que es la que representé abajo de todo en el esquema. ¿Cuánto debe valer la compresión del resorte para que ambos carritos tengan la misma aceleración? Entonces...

www.full-ebook.com

Tampoco es fácil imaginar una situación dinámica en la que las cosas descriptas en este ejercicio ocurran. Pero son posibles, creelo; y sencillas. Si aplicás una fuerza a un sistema como éste que inicialmente se halla en reposo, los cuerpos se van a acelerar con aceleraciones variables. El resorte acelerará con ellos y su longitud variará en forma oscilante. Ese es el motivo por el cual el carrito B tiene en un momento una aceleración mayor que el A. Si el sistema es real (amortiguado), y se alcanza esa situación en la que el resorte deja de oscilar... ha de estabilizarse en la longitud 0,23 m. | 175 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Carro A → ΣF = mA . aAB → F – Fe = mA . aAB Carro B → ΣF = mB . aAB → Fe = mB . aAB

DESAFíO:

Replantear integralmente este ejercicio, pero suponiendo ahora que la fuerza externa se aplica sobre el carrito A en la dirección contraria.

De ahí surge que aAB debe valer 7,14 m/s² y la fuerza que hace el elástico 21,43 N. Luego, la compresión debe valer...

2.25 Un resorte de masa despreciable, cuya longitud es 40 cm cuando está descargado, tiene un extremo unido al techo a 2,4 m del piso, y en el otro está colgado un objeto que pesa 12 kgf. a) Hallar la constante elástica del resorte, si al quedar en equilibrio su longitud es 60 cm. b) Se eleva al cuerpo 5 cm desde la posición de equilibrio, y se lo suelta. Hallar con qué aceleración parte. c) Determinar cuánto habría que desplazar el cuerpo hacia abajo, respecto de su posición de equilibrio, para que al soltarlo partiera con una aceleración de módulo igual a |g|. d) Trazar los gráficos de la aceleración del cuerpo y de la fuerza que experimenta el techo, en función de la distancia al piso del extremo libre.

Se trata de un problema bien sencillo de aplicación directa de la ley de Hooke. El primer esquema que hice nos va a resultar de mucha utilidad: Acá tenés -a la izquierda- el techo y el resorte colgando. Importa poco o nada en este ejercicio la longitud del resorte, pero lo dibujé para indicarte la posición de la última espira del resorte. Ahí tracé una línea punteada en celeste, que es importantísima, porque desde ahí hay que medir los estiramientos o compresiones. A la derecha figura el mismo resorte, pero estirado porque le colgamos una pesa de 12 kgf, 120 N. Como se trata del estiramiento relatado en el ítem a- lo llamé Δxa, que vale 20 cm (la diferencia entre 60 cm de longitud total menos 40 cm de longitud natural).

k ΔXa

Como en varias partes el enunciado se refiere a ese estiramiento como “posición de equilibrio” la marqué con una línea punteada negra. Abajo aparece el DCL para esa situación. Sólo hay dos fuerzas actuando sobre la pesa: su peso de 120 N y la fuerza elástica que también debe valer 120 N, ya que el cuerpo está en equilibrio. Las ecuaciones lo dirían de este modo:

12

y

Fea

12

Fea– P = 0 → Fea= P P

| 176 |

Por otro lado, la Ley de Hooke nos dice que:

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Fea= k . Δxa de donde

k = 600 Ahora conocemos el valor de la constante elástica del resorte y podemos encarar las restantes preguntas. En el ítem b- nos cuentan que elevan la pesa 5 cm desde la posición de equilibrio (punteada negra) y desde ahí lo sueltan. Queda claro que al elevar la pesa se achica el estiramiento. Antes era de 20 cm, y ahora de 15 cm. Al achicarse el estiramiento también se achica la fuerza elástica (que acá llamaré Feb, que es una forma de llamarla más linda que Fea; es un chiste, no te enojes). Feb= k . Δxb = 600

ΔXb 12

12

y

Feb ab

. 0,15 m

Feb= 90 N

12 12 P

La segunda Ley de Newton nos dice que al soltarlo, saldrá con una aceleración ab...

ab = – 2,5 Para responder la siguiente pregunta tenés que operar casi del mismo modo que la anterior. En el ítem c- nos cuentan que bajan la pesa hasta cierto nivel en el que al soltarla su aceleración es igual a la aceleración de la gravedad, pero hacia arriba. Lógicamente, con ese nuevo estiramiento -que llamaré Δxc- la fuerza elástica, Fec, tendrá otro valor. El nuevo DCL aclara un poco los tantos.

12

ΔXc

12 Fec

y

Fec – P = m . ac

ac

Fec – P = m . g Fec – m . g = m . g

www.full-ebook.com

12 12 P | 177 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Fec= 2 . m . g Fec= 240 N Hooke nos da el valor del estiramiento Fec= k . Δxc

El enunciado, caprichosamente, nos pide el estiramiento adicional desde la posición de equilibrio (punteada negra) de modo que el resultado se obtiene restando el estiramiento para el equilibrio. DESAFíO:

Δx’c = 0,2 m

Hacé vos el gráfico, ¿dale?

2.27

C

B

A

En el sistema mostrado en la figura, un extremo del resorte está unido al cuerpo A, y el otro extremo al piso. Se pueden despreciar las masas del resorte, de la cuerda y de la polea, así como el rozamiento en la misma. Determinar la intensidad de la fuerza que el resorte ejerce sobre A, y la que soporta el techo, para distintos valores de las masas, en equilibrio. Hallar también con qué aceleración comenzará a moverse el cuerpo A en cada caso, un instante después de cortar bruscamente la cuerda en el punto C. a) mA = 4 kg; mB = 6 kg

c) mA = mB.

Tenés que darte cuenta que te están preguntando por seis situaciones distintas.

T y

En la primera de todas, el resorte está estirado y está tirando de la masa A hacia abajo. Es fácil deducir eso por lo siguiente: Al estar el sistema en equilibrio (aceleración nula) la tensión de la soga es igual al peso de B. Eso podés verlo claramente en el DCL para el cuerpo B.

B

PB

T y

T – PBa= 0 → T = PBa A

FeA

| 178 |

b) mA = 4 kg; mB = 1 kg

Sobre el cuerpo A actúan tres fuerzas... y la suma de ellas debe dar 0. Para poder ejercer esa fuerza, el elástico tiene que estar estirado. T – PAa– Fea = 0

PA

PBa– PAa– Fea = 0

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Despejemos la fuerza elástica y la calculamos: Fea = PBa – PAa= 60 N – 40 N Fea = 20 N Acá viene la segunda situación. Si cortás la soga, la fuerza que ella hace, T, desaparece. El nuevo DCL aclara el asunto. Y las otras dos fuerzas no cambian. El peso no cambia porque es constante; y la fuerza elástica es la misma que antes porque nos están preguntando por el instante en que la cuerda se corta, de modo que el resorte todavía no tuvo tiempo de acortarse.

aA y

A

FeA

– PAa– Fea = m aa

PA

aa = – 15 Ahora pasamos a la tercera situación en la que se cambian los cuerpos. En este caso el elástico esta comprimido, no estirado como en el anterior. Los procedimientos son los mismos que antes:

FeB

T

y

A

PBb – PAb+ FeB = 0 PA

Despejemos la fuerza elástica y la calculamos: Feb = PAb – PBb= 40 N – 10 N Feb = 30 N La cuarta situación es la que tiene la misma distribución de masa que la anterior, pero se corta la cuerda. La fuerza elástica es, por supuesto, la que calculamos recién... entonces:

FeB y

A aB

Fea – PAb = m ab

PA

ab = – 2,5 En una quinta situación nos vuelven a cambiar las masas. Ahora ponen dos desconocidas pero iguales entre sí. Como consecuencia de esto, la soga realiza una fuerza igual al peso de A. Por lo tanto el elástico se queda sin nada que hacer. Fec = 0 N

www.full-ebook.com

| 179 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Por último, al desaparecer la tensión, el cuerpo A cae por su propio peso, y nada más. ac = – 10

DESAFíO:

¿Qué resultados cambiarían si se reemplaza el resorte por otro de constante elástica doble?

También nos pedían la fuerza que hace el techo FT. No es difícil. Mirando la roldana (que no tiene masa) vemos que siempre el el doble de la tensión de la cuerda... o sea, el doble del peso de B. FTa= 120 N;

FTb = 20 N; FTc = 2 mB g

2.28 Se utiliza un resorte, cuya longitud sin carga es de 30 cm y cuya constante elástica es 500 N/m, para mantener en equilibrio a una caja de 30 kg sobre el plano inclinado del esquema. a) Suponiendo despreciable el rozamiento, calcular qué longitud tendrá el resorte. b) Si los coeficientes de rozamiento fueran µe= 0,4; µd= 0,15, hallar la máxima longitud que podrá darse al resorte sin romper el equilibrio. c) Con los mismos coeficientes anteriores, hallar la mínima longitud del resorte que conserve el equilibrio.

¡Problema tramposo si los hay! Pero no te llenes de rebeldía tonta, bienvenida sea la trampa si le extraemos una enseñanza duradera. Las trampas cuestionables son las de los exámenes... ¡y solo eso: cuestionables! ¡Te espero en la esquina! ¡Ah...! Arrugaste... Bueno... vamos a ver si entendemos en qué consiste la trampa y cómo haríamos para no caer en ella el fatídico día del examen. Esta trampa más típica que el verdulero se llama los datos que sobran. La usamos 9 de cada 10 veces, y nos reporta un placer enorme ver cómo caen los pajaritos. Los pajaritos que no saben física y que son aplicadores de fórmulas al tun-tún tratan de llenarlas (para eso las tienen en el machete) con los datos disponibles. Vos no hagas eso... ¡never! Vos que sos un pollo de No me salen, vas a usar el DCL para pensar el problema, para discutirlo, para contrastarlo con tu intuición, para contrastarlo con cada cosa que dice el enunciado... Vos, pollito, pollita, no vas a caer en la trampa. (Viste, ya nos amigamos). Vamos entonces a los DCLs, tenemos tres situaciones diferentes, hagamos uno para cada una de ellas. En ellas voy a llamar Δxi al estiramiento del resorte en la primera instancia, cuando no hay rozamiento, ΔxM y Δxm al estiramiento máximo y al mínimo respectivamente. | 180 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

N

Acá tenés la situación inicial, bastante sencilla, hay tres fuerzas actuando sobre la caja. La fuerza elástica, Fe, que es paralela al plano inclinado. La fuerza de apoyo, N, que es perpendicular (o normal, para que te quedes contento) al plano, y la fuerza peso, P, que es vertical. Voy a descomponer a la última en dos direcciones: una dirección normal y otra perpendicular al plano.

Fe

Ahí te coloqué el SR, para que no te pierdas. P

Sigue siendo la situación inicial, en que no hay fuerza de rozamiento y la caja está en equilibrio. Fijate (y controlá) que N

Px= P sen α y

Py= P cos α y acordate que Fe = k Δxi

Fe

x

Px

Como ΣFx = 0 y ΣFy = 0, ya que el cuerpo esta en equilibrio no cabe otra que

Py

P sen α = k Δxi N = P cos α

(esta no aporta nada interesante por ahora)

Li = 0,66 m Vamos a la segunda pregunta, nos piden hallar la máxima longitud que podrá darse al resorte sin romper el equilibrio. Las dos informaciones son relevantes. Si imaginás una máxima longitud imaginarás un resorte que se estira aún más de lo que estaba antes... o sea la fuerza elástica debe ser mayor en este caso que en el anterior. La segunda información dice que aún así se mantiene el equilibrio. No puede ser que Px haya crecido, pues P es constante, la única posibilidad (bastante inducida por el resto de la información) es que aparece una fuerza de rozamiento que “traba” la caja contribuyendo con el peso en oponerse al elástico. Nuevamente ΣFx = 0 y ΣFy = 0, ya que el cuerpo sigue en equilibrio y ahora FeM= k ΔxM. Por otro lado el rozamiento debe ser estático... pero además debe ser el estático máximo, para corresponderse con el máximo estiramiento del resorte (un milímetro más y se rompe el equilibrio). Y no te olvides que ReM = μe . N

www.full-ebook.com

y

N

Px

ReM

x

FeM

Py | 181 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Bueno, con toda esta elucubración, reescribamos las ecuaciones de x e y

Discusión:

Fijate con alguna de las expresiones que hay por ahí arriba cuánto vale la fuerza elástica cuando α vale 90º y cuando α vale 0º. Y, por supuesto, fijate si te parece razonable. Otra cosa interesante de discutir es qué pasa cuando el coeficiente de rozamiento es muy pequeño o muy grande... compará lo que indican las fórmulas con lo que indica tu intuición femenina.

FeM = P sen α + ReM → k ΔxM = P sen α + μe . N N = P cos α

(ahora sí aporta pues la reemplazo arriba)

LM = 0.85 m

N

Y ahora abordemos la última pregunta, que pide hallar la mínima longitud del resorte que conserve el equilibrio. Pide lo mismo que antes pero al revés... mínima longitud... mínima fuerza... equilibrio. Acá es donde todos los pajaritos meten la pata en la trampa... pero vos no.

y x

Fem ReM

¿Cazaste? Los pajaritos ponen una fuerza de rozamiento dinámica... qué tiene que ver... invento puro, para algo me lo habrán dado... qué se yo... Seamos serios. De nuevo ΣFx = 0 y ΣFy = 0, ya que el cuerpo sigue en equilibrio y ahora Fem = k Δxm.

Px Py

Y el rozamiento nuevamente debe ser ReM = μe . N, si no, ese no sería el estiramiento mínimo. Fem + ReM = P sen α → k Δxm + μe . N = P sen α N = P cos α

Lm = 0,47 m DESAFíO:

Inventá una situación lo más parecida a esta posible... pero usando el coeficiente de rozamiento dinámico. (Si no lo sacás no existís). | 182 |

www.full-ebook.com

(igual que antes)

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

2.29 En el esquema de la figura, el cuerpo de 5 kg se mueve apoyado en una mesa horizontal con rozamiento despreciable, sujeto al extremo de un resorte de constante elástica 1000 N/m, cuya longitud sin carga es 20 cm. a) ¿Cuál es la longitud del resorte, cuando el cuerpo gira dando dos vueltas por segundo? Considerar que la trayectoria es una circunferencia y despreciar la masa del resorte. b) Expresar la segunda ley de Newton para el caso general de una masa unida a un resorte de constante elástica k y cuya longitud relajado es l0, cuando gira como se indica en la figura y con una velocidad angular ω. Despejar la longitud l en función de ω y encontrar el rango de valores posibles de ω para que gire con movimiento circular uniforme.

No podemos hacer absolutamente nada si antes no me confesás que entendés que te parece razonable que mientras el cuerpo está girando el resorte esta estirado. Es más... quiero que me informes por escrito y con firma certificada que te das cuenta plenamente de que cuanto más rápido gire el cuerpo, más estirado debe estar el resorte... (y también... por lo tanto, mayor es el radio de giro). y

Ok... entonces... sólo entonces... hagamos el DCL. Vamos a Newton

N

N–P=0

c Δl

Fe = m ac

l=R l0

La primera ecuación no aporta nada relevante, pero la segunda sí. Además sabemos que esa fuerza elástica Fe, tiene naturaleza propia, obedece la ley de Hooke

Fe P

Fe = k Δl (El signo de Fe ya fue puesto por el sistema de referencia, ya Hooke no lo puede cambiar). Podemos igualar esta ecuación con la segunda, y nos queda m ac = k Δl metamos en esta última ecuación la información que razonamos en el esquemita que acompaña al DCL, o sea que R = l = l0 + Δl de donde Δl = R – l0 = l – l0

www.full-ebook.com

| 183 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

recordemos, además que ac = ω² . R OK, ahora sí, metemos todo esto en la licuadora... m ω² l = k ( l – l0) hay que despejar l

Ya me pudrí... hagamos números teniendo en cuenta que ω=2π ƒ y ω²=4𲃲 Discusión:

Bueno, el párrafo anterior es la parte más importante de la discusión, que en este caso (insólito) pedía el enunciado del problema. Podemos agregar el análisis dimensional: ¿todas las partes de la expresión tienen las unidades correctas?

DESAFíO:

¿Cuánto valdrá el estiramiento del resorte cuando el período de giro sea medio segundo?

l = 0,95 m

pregunta a)

la pregunta b) ya la pasamos por alto durante el desarrollo, era ésta: ésta es la b) Y nos dice que si ( k – m ω²) es mayor que cero el problema tiene solución o sea existe una longitud para la cual el cuerpo gira con MCU. Pero a medida que la velocidad angular crece y m ω² se acerca al valor de k, la longitud se hace cada vez más y más grande. Cuando m ω² alcance el valor de k, el denominador de la expresión será cero, la longitud habrá crecido hasta el infinito... y más alláaaa...

2.30 Dos resortes de masa despreciable, cuyas constantes elásticas son k1 y k2, son utilizados para mantener suspendido un objeto cuya masa es m. Para las dos configuraciones posibles que se muestran en el esquema, determinar: a) Cuál de los dos soporta una fuerza mayor. b) Cuál de los dos se alarga más. c) Cuál es el valor de la constante elástica equivalente del sistema que forman ambos. (Se la define como la constante del resorte único, capaz de reemplazarlos produciendo los mismos efectos). | 184 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Ok, problema 2.30... no te tenemos miedo. Sabemos que son dos problemas en uno, que tu caso A no tiene nada que ver con tu casoB. Te los vamos a resolver de a uno y te vamos a dejar sin dudas de ningún tipo. Y te vas a ir a asustar a otros estudiantes, si todavía te quedan ganas... porque te vamos a hacer papilla.

NOTA:

En el caso B, la carga se distribuye de modo que la barra quede siempre horizontal.

Lo primero que vamos a hacer con vos es aclararte, porque te la das de confuso, pero sos una mantequita. Y vas a ver que con el modo que nosotros te aclaramos, ya nos queda el resultado casi a punto de salir. Te vamos a hacer esquema,¡gil! Empezamos con tu caso A, los resortes en serie. A la izquierda pusimos los dos resortes R1 y R2 colgando del techo pero tal como los compramos en la ferretería, o sea, ahí no están estirados para nada. Los compramos de igual largo para simplificarnos un poco las cosas, pero son diferentes, en el sentido que uno es más “fuerte” que el otro (no importa cuál); k1 y k2 son diferentes.

k1

kes

k1 kes

K2

ΔX1

k2 ΔXes

ΔX2

Después nos ponemos a buscar entre todos los estantes del ferretero un resorte que sea equivalente al conjunto R1 y R2 unidos de esa manera, o sea, uno a continuación del otro, o como dicen los físicos, en serie. Que sea equivalente significa que si al conjunto le colgamos un cuerpo y se estira, al colgarle el mismo peso al equivalente, éste se estire lo mismo. Tal como nos lo muestra el esquema Δx1 + Δx2 = Δxes. Ya tenemos una ecuación, que en esto de la física vale oro. Pero igual no alcanza, lo cual no nos extraña, porque no hay problema de dinámica donde no sea necesario un DCL. Acá va. Bueno, a falta de uno, hice tres DCLs. El de la izquierda más que un cuerpo se trata de la atadura entre el resorte 1 y el 2. Esa atadura está en reposo. Su aceleración vale cero.

F1

F2

Fes

F2

P

P

El segundo es el cuerpo colgado del resorte 2. También está en reposo, más bien. El tercero es el mismo cuerpo, pero ahora colgado del resorte equivalente a la serie. También en reposo, porsupu. F1= F2 ; F2= P ; Fes= P De todo esto se puede asegurar que

www.full-ebook.com

| 185 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

F1= F2= Fes= P Por otro lado F1= k1 Δx1 ; F2 = k2 Δx2 y Fes = kes Δxes P = k1 Δx1 ; P= k2 Δx2 y P = kes Δxes de cada una de estas tres ecuaciones despejemos el estiramiento

estas tres las metemos en la primera ecuación, esa que te dije que valía oro...

Sacamos factor común P, cancelamos... Y ya llegamos a la primera respuesta

También podemos escribirlo así:

que me gusta más. No dejes de leer la discusión del problema que voy a analizar los dos resultados juntos. Ahora vamos a hacer el caso B, de los resortes en paralelo. Lógicamente voy, a proceder de la misma manera.

k1

k2

A la izquierda están los tres resortes. R1 y R2 son los mismos de antes, pero el tercero lo tuve que buscar en otro estante diferente. Es el resorte equivalente del conjunto R1/R2 pero dis-

kep ΔX

| 186 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

puestos de esta otra manera, uno al lado del otro, que los físicos llaman en paralelo. Acá es todavía más claro que antes en qué consiste la equivalencia: colgándole el mismo cuerpo el equivalente se estira lo mismo que el conjunto.

F2

Fep

F1

Queda clarísimo, que Δx1=Δx2=Δxep... oro puro. Vamos al DCL. En cada caso tenemos un equilibrio, por lo tanto podemos escribir F1+ F2= P

P

P

Fep= P Con lo que deducimos que F1+ F2= Fep

Discusión:

Fijate los resultados y comparalos. El equivalente del paralelo lo saqué del estante de los resortes fuertes, en cambio el resorte equivalente de la serie lo saqué del estante de los resortes debiluchos. Su constante es menor que la menor de las constantes entre los resortes que están en la serie. En cambio la constante elástica de un resorte equivalente de un paralelo siempre es mayor que la más grande de las constantes de los resortes que integren el paralelo.

[1]

Y no olvidamos que F1= k1 Δx1 = k1 Δx F2= k2 Δx2 = k2 Δx Fep= kes Δxep = kep Δx meto estas igualdades en la ecuación[1] k1 Δx + k2 Δx = kep Δx

DESAFíO:

Ahora saco factor común Δx en el primer miembro y lo cancelo con el del segundo, así arribo al resultado del caso B. kep =k1 + k2

Tengo tres resortes:A, B y C de contantes elásticas kA, kB y kC? que valen respectivamente 100, 250 y 600 N/m, ¿cuántos “resortes equivalentes” puedo armarme y cuánto valen sus constantes?

2.32 En un laboratorio se tiene suspendida en equilibrio una esfera de 10 kg y 12 cm de diámetro, por medio de un dispositivo a resorte muy sensible. Se lleva debajo de la misma otra esfera de plomo, de 2000 kg y 70 cm de diámetro, de modo tal que el equilibrio se establece con ambas esferas a 1 cm de distancia. Hallar la intensidad de la fuerza gravitatoria entre ambas. Si la constante elástica de la suspensión fuera 50 N/m, ¿qué desplazamiento sufriría la esfera de 10 kg?

Si te parece le vamos a dedicar un minuto de discusión para tratar de entender el problema. Sacá la bola grande (con tu mente) que para

www.full-ebook.com

| 187 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

eso está puesta sobre un carrito. ¿Qué queda?: una bola pequeña colgando de un resorte. El resorte está algo estirado, lógicamente, ya que tiene colgando a la bola pequeña (que en adelante llamaré Bola A) que es atraída por la Tierra. A esa fuerza con que la atrae la tierra, que habitualmente llamamos peso, en este problema la llamaremos fuerza gravitatoria terrestre, FGT.

NOTA:

Adoptar constante de Gravitación Universal: G = 6,67.10–11Nm²/kg²

Bien, ahora traé el carrito y poné la bola grande, B, muy cerca y justo abajo de la otra. ¿Qué te parece que se observa? ¡Correcto! Se observa que la bola A desciende un poquitito más, o si querés, que el resorte se estira un poquitito más, no mucho más... apenas un pelito. ¿Pero por qué baja? Porque ahora, a la fuerza que con la Tierra tiraba hacia abajo de la bolita A, se le suma la fuerza con que tira la bola B, de 2.000 kilos, que también interactúa gravitatoriamente con la A. A esa fuerza con que jala la bola B la llamaré fuerza gravitatoria boluda, FGB. F´E

FE

A

Y

A FGB

FGT

FGT

Vamos al DCL, te voy a hacer dos, para reforzar la idea que acabo de explicarte y porque además, los usaremos a ambos. Los dos nos interesan porque el enunciado nos pregunta cuánto se desplaza la esfera, de modo que vamos a tener que comparar las dos fuerzas elásticas, que llamé FE y F´E ; que se corresponden respectivamente con el estiramiento inicial Δx, y el posterior Δx´ después de colocar la bola grande. Vayamos a las ecuaciones y vemos qué pasa. Empecemos con la situación inicial. No olvides que en ambas situaciones la bola A se halla en equilibrio ( a = 0 ). ΣFy= 0 → FE – FGT = 0

[1]

además sabemos que FGT = mA . g

[2]

y que FE = k Δx

[3]

Ahora describamos la nueva situación que se presenta cuando colocamos la bola de plomo debajo de la chiquita. Acá va a aparecer la fuerza gravitatoria boluda, y nos va a interesar poder calcularla, no es difícil si recordamos la Ley de gravitación universal: FGB= G . mA. mB/ d² , donde d es la distancia que separa los centros de masa de los cuerpos que están interactuando, en este caso el A y el B. ¿Tenés claro cuánto vale esa distancia? Te ayudo. | 188 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Ahí tenés, la distancia que separa los centros es RA+ RB+ 1 cm = 42 cm o sea 0,42 m. Y

RA 1cm

d2 = 0,176 m2

d

RB

Por lo tanto

Ok, ahora volvamos a plantear las ecuaciones pero para la situación con bola B incluída. ΣFy= 0 → F´E – FGT – FGB = 0 [4] además sabemos que F´E = k Δx´

[5]

Creo que tenemos todo, a ver... la [2] y la [3] las meto en la [1] k Δx = mA . g Δx = mA . Δx = 2 m

este es el primer estiramiento.

La [5] y la [2] las meto en la [4] Discusión:

k Δx´– mA . g – FGB = 0 de donde Δx´ = Δx´ = 2,00000015 m este es el estiramiento con la bola abajo. La diferencia de estiramiento, que voy a llamar e, es e = Δx´– Δx

Queda claro que las fuerzas gravitatorias son muy pequeñas. Si la gravitatoria con la Tierra, o sea el peso, es notoria, se debe a que la Tierra es un cuerpo muy masivo. Sin embargo puede construirse un aparato muy pero muy sensible y parecido al que te describen en este problema y con ello medir una fuerza gravitatoria entre dos cuerpos manipulables y medibles en el laboratorio. Justamente así fue como se consiguió medir G.

e = 0,00000015 m = 1,5.10–7m = 0,15μm DESAFíO:

un pelito.

Sólo con los datos que aporta este problema y los que se usaron durante la resolución, calcular la masa de la Tierra.

www.full-ebook.com

| 189 |

| RICARDO CABRERA | Ejercicios de Física

2.34 Hallar a qué distancia entre la Luna y la Tierra debería colocarse un objeto, para que las fuerzas de atracción gravitatoria sobre el mismo se compensaran mutuamente. ¿Depende de la masa del objeto? ¿Qué le ocurriría allí al objeto? Las masas son mT = 6 . 1024 kg y mL = 7,38 . 10²² kg respectivamente, y la distancia Tierra-Luna es 384.000 km.

No puedo negar que este es uno de los problemas que más me gusta... ya que me trae hermosos recuerdos de mi último viaje. Empecemos con un esquemita y ahí mismo aparece el DCL, como en todos los de dinámica: A ver si estás de acuerdo: coloqué al objeto un poco más cerca de la Luna que doL de la Tierra, me imagino DTL que sí, ¿verdad? Bueno, si nos llegáramos a equivocar, el resultado del problema deberá decírnoslo. Pero no va a ocurrir, es así nomás. DTL es la distancia TierraLuna, doT es la distancia desde el objeto hasta la Tierra y doL es la distancia desde el objeto hasta la Luna; queda claro que doT + doL = DTL.

FGT doT

m

FGL

FGT es la fuerza gravitatoria entre el objeto y la Tierra, FGL es la fuerza gravitatoria entre el objeto y la Luna, MT la masa de la Tierra, ML la de la Luna y m la del objeto. Ambas deben valer lo mismo para que el cuerpo esté atraído por igual hacia ambos lados (se compensan mutuamente, como dice el enunciado). Vamos a los bifes:

¿hasta acá vamos bien? Lo único que hice fue aplicar la Ley de gravitación universal para cada par de cuerpos. Primero Tierra-objeto, luego Luna-objeto. El par Tierra-Luna en este partido no juega, ya que ése es un negocio entre ellas dos y al objeto ni le va ni le viene. Habíamos visto que esas dos fuerzas tenían que ser iguales, ¿te acordás? O sea, Segunda Ley de Newton, ΣF = m a.

G y m aparecen en los dos miembros multiplicando, vuelan ya mismo

www.full-ebook.com | 190 |

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

Acá nos quedó una ecuación con dos incógnitas, doT y doL, pero hay un dato que no usamos y justamente se puede relacionar con las incógnitas: DTL= doT + doL(ya lo habíamos dicho... cada vez estoy más olvidadizo). Puedo poner una de las incógnitas -cualquiera- en función del dato y de la otra incógnita, por ejemplo: doL= DTL – doT si meto esto en la igualdad que teníamos habré logrado una ecuación con una sola incógnita: la distancia objeto-Tierra, acá va:

El resto es álgebra. No te digo que sea fácil, pero te digo que no es fisica. Y también te digo que te lo voy a resolver yo, así que no hagas pucheros. Si no te incomoda voy a llamar simplemente D a DTL y x a doT, ¿tamos? Los pasos que voy a hacer son sencillos y de a uno, así que no te los voy a relatar... vos seguilos.

Al cociente ML / MT lo voy a llamar C, si no te incomoda (y si te incomoda, también).

Caímos en una cuadrática donde

Discusión:

Como vimos durante el desarrollo, la posición de “equilibrio” es independiente de la masa del objeto. A cualquier cosa que pusiésemos ahí le ocurriría lo mismo. Y entrecomillé la palabra equilibrio porque se trata de un equilibrio inestable. Como cuando colocás una bolita de vidrio justo arriba de una pelota de plástico: aunque logres dejarla ahí, ante la más leve vibración se cae. Acá ocurre lo mismo, un cachito nomás que el objeto se mueva hacia un lado, la fuerza de ese lado crece y la del otro se debilita... chau equilibrio.

www.full-ebook.com

| 191 |

| RICARDO CABRERA | Ejercicios de Física

Tal vez exista un camino más corto; yo por lo menos te muestro uno... x1 = 349.090 km

DESAFÍO:

¿Tendrá algún significado especial x2?

x1 lo obtuve usando el “–” y x2 el “+” (x2 = 426.666,66 km), que lo descarté porque se trata de una distancia a la Tierra del otro lado de la Luna (el que nosotros no vemos), bah, ustedes.

2.37 Hallar a qué altura sobre la superficie terrestre la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad de la que existe a nivel del mar. ¿A qué altura se hace cero? Radio terrestre: 6.360 km.

La aceleración de la gravedad, g, es la que adquiere un cuerpo cualquiera cuando sobre él actúa una sola fuerza: la fuerza gravitatoria (que en las cercanías de la superficie terrestre recibe el nombre de peso) en una caída libre, por ejemplo. Tomemos ése ejemplo, que es el más sencillo: el de la caída libre. El peso, lo acabo de decir, no es otra que la fuerza gravitatoria; entonces podemos escribir que para un cuerpo de masa m se cumple la segunda ley de la dinámica: P = FG = m . g Y también se cumple la Ley de la Gravitación Universal:

Combinando ambas (se están refiriendo a la misma fuerza)... 12 g

lejos

cancelemos la masa del cuerpo, que aparece en ambos miembros,

D g

h sup. RT

[1] Donde -repasemos- M es la masa de la Tierra y RT , su radio (que es la distancia entre los centros de masa de los cuerpos que se están atrayendo: Tierra y el cuerpo de masa m que se halla en la cercanía de la superficie, sup.). Como esta fuerza decrece al aumentar la distancia entre los cuerpos es lógico aceptar que allá lejos, en alguna parte, la fuerza será tal que el cuerpo se acelere en su caída la mitad de lo que se acelera acá en la superficie de la Tierra. Si escribo esto con una ecuación sería algo así:

www.full-ebook.com

| 192 |

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

cancelemos la masa del cuerpo, que aparece en ambos miembros,

o sea:

[2]

donde D es esa distancia desde el centro de la Tierra hasta donde eso ocurre (que la aceleración de caída valga la mitad de lo que vale acá). Si combino ambas ecuaciones [1] y [2] obtenemos: D² = 2 RT²

Discusión:

La Ley de gravitación muestra que por grande que sea la distancia que separa los cuerpos la fuerza gravitatoria no se anula, por lo tanto, la aceleración que produce tampoco. Eso dice la teoría... pero todo dependerá de con qué instrumento seas capaz de medirla.

D = 1,41 RT h = D – RT = 0,41 RT

DESAFíO:

Averiguame en Internet o en alguna enciclopedia a qué se llama velocidad de escape.

h = 2.607 km

2.38 La distancia media Tierra-Sol es de 150.000.000 km. ¿Cuál es la masa aproximada del Sol, si la Tierra recorre su órbita, que puede suponerse una circunferencia, en 365 días aproximadamente?

Me encantan los problemas de tipo gastronómico. Ok, empecemos por el DCL. No vas a negar que es bonito... casi un huevo frito. Bueno, mirá el problema en sí mismo es facilísimo (pan comido). Te puse muchos chiches en el DCL, pero lo que importa es que hay una y solo una fuerza actuando sobre la Tierra (que es el cuerpo del DCL) y esa fuerza es la fuerza gravitatoria con la que el Sol la atrae. Es FG, la que te dibujé en negro, y es la única flechita cuyo origen puse dentro de la figura de la Tierra.

R vt

ac FG

El resto de los chiches los puse para aprender un poco aprovechando la movida. Mirá: te dibujé la aceleración de la Tierra (en su movimiento de translación alrededor del Sol) que obviamente es de tipo centrípeta; la velocidad tangencial, y el radio de la órbita. No hay demasiado secreto... de esa única fuerza que actúa sobre la Tierra qué cosas podemos decir, a ver: que obedece a la 2da. ley de

www.full-ebook.com

| 193 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Newton, y que por ser gravitatoria responde a la Ley Universal. Te las escribo:

Discusión:

Fijate la expresión esta 4π²/ T² = G . MS/ R3 que escribimos por ahí. También la podemos escribir así: T² = R3(4π²/ G MS). Todo lo que está en el paréntesis es constante, lo que significa que el cuadrado de los períodos de los planetas son proporcionales al cubo de sus radios, antigua ley (3ra.) descubierta por el fanático y obsesivo Kepler del cual tendría que hablarte un poco más seguido.

DESAFíO:

Kepler llegó a esta (y otras) magníficas conclusiones haciendo cuentas y más cuentas con todos estos números astronómicos. Y no tenía calculadora de ningún tipo, salvo la de neuronas. Con la notación exponencial no es difícil... más bien es una pavada... Pero vos no te vas a dar cuenta de eso hasta que no lo pruebes una vez en tu &%$# vida. Hacelo, te aseguro que el desafío que te planteo es importante, importantísimo. Hacelo, te juro que es fácil, a veces más fácil que la misma calculadora. Sólo lápiz papel y notación científica.

Como está claro que estoy hablando de la misma fuerza, puedo igualar las ecuaciones, ¿no? En lugar de escribir aceleración centrípeta voy a usar alguna de sus expresiones equivalentes. Voy a elegir alguna que hable del período, porque es uno de los datos del enunciado. Esta, mirá, ac = 4π² . R / T²

mirá qué bueno... la masa de la Tierra se puede cancelar, y R es simultáneamente la distancia desde los centros de los cuerpos, el radio de giro y el radio de órbita (qué novedad), la cuestión es que se pueden juntar.

Me parece que son todos datos o constantes menos una... la masa del Sol. Pelito.

Antes de ponerte a hacer la cuenta no te olvides de pasar todas las cantidades a unidades internacionales (viste), o sea kg, m y s, y que G = 6,67.10–11 Nm²/kg² MS= 2 . 1030 kg queda Sol para rato.

2.39 Los primeros satélites de comunicaciones tenían órbitas aproximadamente circulares a 400 km de la superficie terrestre. ¿Cuál era su período? Datos: radio de la Tierra = 6360 km Gravedad en su superficie: |go| = 9,8 m/s2.

Ahí está el DCL, está chiquitito pero está. ¿Lo ves al satélite? La única fuerza que actúa sobre él es la fuerza gravitatoria, FG, con la que la Tierra lo tiene atrapado. Según dijo Newton (y funciona, se los aseguro) la fuerza esa se puede calcular de esta manera: | 194 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 2. Dinámica y estática |

ita órb Ro

FG h

donde M es la masa de la Tierra, m es la del satélite y RO es la distancia que separa los centros de masa de ambos cuerpos, o sea, el radio terrestre, RT, más la altura de órbita, h.

RT

Pero, además de saber qué fuerza le afecta al satélite, sabemos que como todo cuerpo obedece la 2da ley de la dinámica, ΣF = m a. Siendo FG la única fuerza que obra sobre el artefacto, y siendo su aceleración de tipo centrípeta, podemos escribir también FG = m aC Como el enunciado pide informes sobre un período, de todas las expresiones equivalentes para aceleración centrípeta vamos a elegir aquella que la vincula con el período, ac = 4π² . R / T², donde R no es otro que RO, el radio de la circunferencia en la que está girando.

Si igualamos las dos ecuaciones tenemos:

cancelando la masa del satélite y despejando el período

DISCUSIÓN:

400 km es lo que se llama una órbita baja. A esa altura todavía quedan restos de atmósfera que lentamente van frenando al satélite, le van haciendo perder energía y luego de unas décadas, termina cayendo en Tierra. Como al principio no había suficiente tecnología ni guita para ponerlos a orbitar más arriba, lejos del peligro del rozamiento atmosférico, metieron un montón de satélites en órbita baja. Ese es el motivo por el cual conviene salir de casa con paraguas aunque no llueva.

Como RO = RT+ h DESAFÍO:

Responder esta pregunta capciosa y malintencionada “allá arriba, orbitando, el satélite, ¿no pesa?

T = 5.520 s no te asustes, eso es (1h 32 min).

www.full-ebook.com | 195 |

www.full-ebook.com

Capítulo 3

Trabajo y energía Leyes de conservación Trabajo Trabajo en física no es lo mismo que en el lenguaje coloquial. La diferencia fundamental es que en el lenguaje coloquial el trabajo es el producto de una persona, o de un animal o de un cuerpo. En física, trabajo es un atributo de una fuerza (voy a volver sobre esto, que es muy importante). Se suele representar con L o con W, y con un subíndice se aclara la fuerza a la que pertenece el trabajo expresado. Por ejemplo: WF (el trabajo de la fuerza F) o WRes (el trabajo de la fuerza Resultante) y así. Para que haya un trabajo distinto de cero tiene que haber un desplazamiento del cuerpo sobre el que se ejerce la fuerza. Por ejemplo en la situación siguiente: Se define el trabajo de la siguiente marera (válida exclusivamente para fuerzas constantes): WF = F . Δx . cos α

F Δx

sólo para fuerzas constantes

donde F es el módulo (la intensidad) de la fuerza, Δx es el módulo (el largo) del desplazamiento, y α es el ángulo que forman la fuerza con el desplazamiento. El trabajo es un escalar, o sea un número (con su unidad) que nos indica cuánto aporta una fuerza a desplazar un cuerpo. El trabajo no tiene dirección ni sentido, no es un vector... es un escalar. Las unidades en las que se miden los trabajos deben surgir del producto de las unidades en las que se miden las fuerzas, N, por las unidades en las que se miden los desplazamientos, m, por las unidades en las que se miden los cosenos (ninguna).

www.full-ebook.com

| 197 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

[W] = N . m = J    (Joule) por tratarse de una magnitud de suma importancia, la unidad con la que se mide recibe nombre propio, adoptado en honor al físico James Prescott Joule (1818-1889) del que ya te voy a volver a hablar. Supongamos que tenemos un cuerpo que se desplaza un cierto Δx sobre el que actúan varias fuerzas simultáneamente.

James P. Joule

N

F1

Roz

�x F2

P

Como el trabajo es un atributo (una característica, una magnitud) de las fuerzas yo podría plantear y calcular el trabajo de cada una de ellas; por ejemplo el trabajo de F1, o el de P o el de N... WF1, WF2, WP, WRoz, WN... son todas magnitudes -en principio-calculables. Pero si pregunto por el trabajo del cuerpo, o por el trabajo del observador... esas preguntas no tienen sentido físico. Incluso la resultante de todas las fuerzas que están actuando, si bien no se trata de una interacción en el sentido newtoniano de la palabra, no deja de ser una fuerza con todos los atributos de las fuerzas. Por lo tanto, bien podría preguntarme por el trabajo de la resultante... WRes también es -en principio- calculable.

Res

Δx

Como F . cos α es la componente de la fuerza que apunta en la dirección del desplazamiento (habitualmente llamada Fx) la definición podría escribirse así: WF = Fx . Δx

Fy

sólo para fuerzas constantes

Y cuya representación sería la siguiente:

F Fx

Δx

Fijate que la definición ésta (que es totalmente equivalente a la primera) no considera el trabajo de la componente de F perpendicular al desplazamiento, Fy. Pero eso es absolutamente coherente con la definición inicial, ya que la perpendicular al desplazamiento forma con él un ángulo de 90°, y el coseno de 90° vale 0.

Potencia Si subís cuatro pisos a paso lento, escalón por escalón, con varios descansos en el medio... tardando, digamos 20 minutos... está claro que no tenías ningún apuro. En cambio, si subís los cuatro pisos corriendo, los escalones de dos en dos o de tres en tres y llegás con la lengua afuera y en tiempo récord... la cosa es muy diferente, y me gustaría ver si sos capaz de hacerlo. Efectivamente se trata de dos procesos físicos muy distintos. Sin embargo la variación de energía en ambos casos es la misma. La | 198 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

sustancial diferencia pasa por la velocidad con la que se produjo el cambio de energía.

CHISMES IMPORTANTES:

• Si de fuerzas no constantes se tratara, el

En un extenso abanico de transformaciones físicas no importa tanto cuánto trabajo se realiza o cuánto varía la energía de un sistema, sino con qué tasa ocurre el cambio, con qué velocidad ocurre. La magnitud que describe la rapidez de un cambio energético es la potencia, que se define de esta manera: es el cociente entre una variación de energía y el intervalo de tiempo en que la variación se produce. Pot =

media

Las unidades para medir la potencia pueden ser cualesquiera que sirvan para medir energía divididas por cualesquiera que sirvan para medir tiempos. En el sistema internacional: [Pot] =

=W

•

(Watt)

por tratarse de una magnitud de suma importancia, la unidad con la que se mide recibe nombre propio, adoptado en honor al ingeniero escocés James Watt (1736-1819), conocido como inventor de la máquina de vapor... del que ya te voy a volver a hablar.

trabajo se puede calcular fraccionando los desplazamientos lo más que se pueda, para que en cada pequeña fracción el cambio en la fuerza sea despreciable. Luego, se suman todos los trabajos de todas las fracciones, y ya. Esa estrategia se puede simbolizar de esta manera: WF = ∫ F dx El hecho de que el trabajo sea la suma integral del producto entre la fuerza y el diferencial de desplazamiento nos indica que otro modo de calcular trabajos será calculando áreas encerradas bajo la curva en gráficos F-x. Un par de vectores se puede multiplicar de dos modos diferentes. El producto escalar es el modo que se utiliza para hallar el trabajo y otras magnitudes escalares. También está el producto vectorial, que es el otro modo, y cuando se utiliza, el resultado de la multiplicación es un vector. No es nuestro caso.

También se puede definir como el cociente entre un trabajo realizado y el intervalo de tiempo en que se realizó: Pot =

media

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• ¿Cuánto valdrá el trabajo de una fuerza

Ambas definiciones tienen el pequeño inconveniente de que para conocer (o calcular) la potencia hay que conocer el total del trabajo realizado y el total del tiempo insumido, para realizar el cociente.

• Si la definición de trabajo utiliza sólo los

Aunque, recordado que el trabajo es el producto entre la fuerza y el desplazamiento...

•

Pot = F . Pot = F . v

perpendicular al desplazamiento?

módulos de los vectores implicados, ¿de qué depende el signo de un trabajo?, ¿cuándo un trabajo es negativo? ¿Puede ser que erg (ergio), cal (caloría), eV (electrón volt) y l.atm (litro atmósfera) sean también unidades para trabajo? (Me quieren volver loco).

instantánea

Esta última definición de potencia permite hacer un cálculo instantáneo, ya que no depende de ningún intervalo de ningún tipo. En un instante cualquiera en que se conozca el valor de una fuerza que está trabajando y la velocidad con la que se produce el desplazamiento correspondiente a ese trabajo, se puede conocer la potencia, que (aunque se trata de la misma magnitud) se la llama potencia instantánea.

www.full-ebook.com

James Watt | 199 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

CHISMES IMPORTANTES:

• Las plantas de energía, que suministran energía eléctrica a la población, miden su producción en términos de potencia, ya que lo que interesa en esos casos no es la cantidad de energía que entregan sino en qué tiempo se entrega la cantidad que se entregue. El conjunto de plantas de generación de energía en la Argentina produce a una tasa de 25.000 MW (potencia instalada). • Un transbordador espacial necesita durante el despegue consumir energía a una tasa de 33.000 MW.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• ¿Qué potencia puede desarrollar, más o menos, un caballo?

• ¿Qué otras unidades de potencia existen? • ¿Qué potencia consume el corazón humano? ¿Qué potencia produce?

• ¿Qué potencia le brinda el Sol a la Tierra? ¿Qué potencia a la Argentina? ¿Qué potencia por metro cuadrado? • Utilizando todos los recursos energéticos de la Argentina, ¿cuántas lamparitas de 25 watts podríamos tener encendidas al mismo tiempo?

Una estufa eléctrica convierte energía eléctrica en energía calórica

Si subís los cuatro pisos de la escalera de esta manera: el primer piso a mil por hora y los tres siguientes a paso tortuga, queda claro que la potencia con la que subiste el primero es muy diferente de la potencia con que subiste los restantes. El cálculo de la potencia instantánea puede ser mucho más descriptivo en este ascenso que el cálculo tomando las variaciones totales. En previsión de que cualquier proceso pueda ocurrir a potencias variables, a las primeras definiciones se las llama potencia media.

Energía y leyes de conservación Energía

Resulta que hace unos 150 años (algo relativamente nuevo para la Física) apareció la idea o concepto de energía. La primera en aparecer fue la de energía cinética, EC (inicialmente energía a secas, y recién después se la nombra con el agregado de cinética). Y está asociada a la masa y a la velocidad de un cuerpo. Al poco tiempo se vio que otras magnitudes, asociadas en principio a otras características de los cuerpos, se relacionaban estrechamente con la energía cinética. A cada una de ellas -que no por casualidad terminaba midiéndose en las mismas unidades que la cinética- se las llamó energía, más un segundo nombre descriptivo de las características particulares con las que se asociaban. Así tenemos formas de energía: • Energía cinética, EC, fuertemente asociada con la velocidad de un cuerpo. • Energía potencial, EP, asociada con la posición en la que se encuentra el cuerpo. • Energía mecánica, EM, suma de la cinética más la potencial. • Energía química, asociada a los enlaces atómicos de las moléculas del cuerpo. • Energía calórica, calor, Q, asociada al movimiento de las moléculas. • Energía eléctrica, asociada a las cargas eléctricas. • Energía nuclear, asociada a los núcleos de los átomos de un cuerpo. • Energía radiante, en la radiación electromagnética, luz, radio, equis, gamma, etc. • Energía hidráulica, asociada al agua ambalsada. • Energía eólica, asociada al viento. Etcétera, etcétera, etcétera... Lejos de toda duda, la energía se ha convertido en el concepto más importante de la Física, y su importancia traspasa los límites de la

| 200 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

ciencia. La sociedad en su conjunto se está apropiando del concepto y tomando consciencia de tu importancia. Pero ¿qué es la energía? Para un estudiante de Física, aprender el concepto (y llegar a estar conforme consigo mismo respecto de lo que se entiende por energía) es un proceso que lleva entre uno y dos años (de uso continuado). Ningún estudiante, en su sano juicio, puede pretender entender qué es la energía de un saque leyendo un par de definiciones.

Richard Feynman

El genio Richard Phillips Feynman (1918–1988), premio Nobel de Física en 1965, escribe en uno de sus libros “Es importante notar que en la física de hoy día no tenemos conocimiento acerca de lo que es la energía... Es un algo abstracto en el sentido de que no nos dice el mecanismo o las razones para las diversas fórmulas”. La aproximación al concepto de energía más aceptada académicamente es la siguiente: energía es la capacidad de un cuerpo o sistema para ejercer fuerzas y realizar trabajos sobre otros cuerpos. Por mi parte, suelo decir en mis clases: energía, es la parte divertida del universo. Dónde está la clave El asunto es que si tomamos algunas variables de un sistema y las combinamos entre sí obtenemos una nueva magnitud que llamamos energía... algo que parece muy arbitrario y que sólo puede complicarnos la vida. Pero si dejamos que el sistema evolucione, se transforme, cambie, y volvemos a hacer la operación, volvemos a calcular la energía...¡sorpresa! La cantidad calculada es la misma. Aunque todo haya cambiado, la cantidad de energía: eso no cambia. ¡Ahí hay algo! En esa combinación de variables hay algo, que debe ser importante (o en principio útil a los fines del cálculo y la predicción).

Leyes de conservación Sea lo que sea la energía es perfectamente calculable, caracterizable, su presencia medible y su comportamiento predecible. Y se ha visto que en innumerables transformaciones físicas en las que cambian casi todas las variables presentes, ciertas magnitudes que llamamos energías y que son combinaciones algebraicas de las variables (masa, velocidad, altura...) se mantienen constantes. O cuando no se mantienen constantes, su variación es igual a un trabajo generalmente sencillo de calcular.

www.full-ebook.com

Una planta convierte energía lumínica en energía química

| 201 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Un mamífero convierte energía química en energía calórica y mecánica

Llevado al extremo, y considerando todas las energías presentes en un sistema se ha encontrado un hecho sorprendente que da en llamarse Principio de Conservación de la Energía: La energía no se crea ni se destruye; en una transformación puede cambiar de forma, pero la energía total permanece constante

Una represa convierte energía potencial en energía eléctrica

Estudiar la energía de los cuerpos y sistemas no sólo es una fuente de conocimiento enorme de nuestro universo, también constituye una herramienta de cálculo de gran potencia, simplicidad y economía de recursos. Con las leyes de Conservación surge una estrategia de resolución de ejercicios de mucha utilidad que básicamente consiste en:

CHISMES IMPORTANTES:

• Aunque la palabra energía es muy vieja, el primero en sugerir que se llame energía a lo que hoy conocemos como energía fue William Thompson (Lord Kelvin), en 1850, que lo hizo -en especial- para las energías térmica y mecánica. • En realidad sí se puede variar la cantidad total de energía, ya que esta puede convertirse en materia; y viceversa, la materia puede convertirse en energía. Este es un importante descubrimiento que realizó Einstein en el marco de la Teoría de la Relatividad Especial, que incluye la famosa ecuación de equivalencia entre materia y energía: E=mc². Pero tanto el principio de conservación de la materia como el principio de conservación de la energía se enuncian a implícita excepción de la ocurrencia de fenómenos relativistas que están restringidos a las bombas atómicas, las centrales nucleares, los núcleos estelares y algunas interacciónes subatómicas.

• • •

Elegir un par de situaciones, o estados que te interesen, pueden ser cualesquiera, pero que sean DOS (y sólo dos)... Comparás esos dos estados -energéticamente hablando-, a través del método más sencillo que existe de comparar: restándolos... Con esa diferencia (esa comparación) planteás el teorema de conservación que te sea más útil para encontrar las incógnitas que te preocupen, y ya.

Aplicando el método, una y otra vez, observando cómo esas magnitudes misteriosas llamadas energía van sumando lo mismo con total precisión aún cuando todo o casi todo lo demás haya cambiado de valor; advirtiendo que aunque no tengamos una definición buena tenemos un método robusto, infalible, potente... de a poco, el concepto de energía va a ir ocupando su lugar en tu entendimiento. Y finalmente no podrás dejar de sonreír cuando alguien te quiera explicar cómo funciona una medicina alternativa que trabaja con las energías positivas y negativas de tu cuerpo.

Trabajo de la resultante - energía cinética La fuerza resultante (Res o ΣF) de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en un momento dado, tiene un privilegio especial: se aplica a la Segunda Ley de la Dinámica. Res = m . a

O

Res

Δx

F

Tomemos el ejemplo de un cuerpo que en un instante O tiene una velocidad vO, y sobre él actúa un conjunto de fuerzas de resultante no nula, de modo que se desplaza con una aceleración distinta de cero, y en un instante posterior, F, lo encontramos con otra velocidad, vF. Si multiplicamos la 2da. Ley en ambos miembros por el desplazamiento, Δx,

| 202 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

Res . Δx = m . a . Δx

(Más) CHISMES IMPORTANTES:

en el primero aparece el trabajo de la resultante, y en el segundo (después de un trabajo algebraico bastante largo y divertido)... WRes =

m vF² –

m vO²

El resultado es muy interesante, ya que en el segundo miembro aparece una misma cosa evaluada en dos momentos, dos instantes, dos situaciones diferentes, que hemos llamado inicial y final (O y F), y que nos desvincula de todo lo que ocurrió en el medio. Esa cosa, que depende de la masa, pero mucho más depende de la velocidad, recibe el nombre de energía cinética. Tomá esto como una definición: Ec =

m v²

Resumiendo la expresión anterior a la definición... WRes = ΔEc Llegamos a una ley de conservación muy interesante y con muchas aplicaciones.

Trabajo de fuerzas conservativas Todas las fuerzas pueden clasificarse entre conservativas y noconservativas. Las fuerzas conservativas al ejercerse no implican gastos de ninguna especie, no gastan combustible, no gastan los materiales, son silenciosas... por lo tanto no agregan ni quitan energía total al sistema. De ahí viene su nombre: son conservativas porque la energía total del sistema se conserva. Cualquier otra que no pertenezca a este selecto grupo será no-conservativa, eso es trivial. Las fuerzas conservativas arquetípicas son: peso, elástica y eléctrica. Pero la lista no se agota ahí. Las fuerzas no-conservativas arquetípicas son: rozamiento, tracciones (empujes o tiros que hacen tractores, motores o cualquier artefacto que consuma combustibles), musculares, etc. La lista es larga. Fuerzas intermediarias, como tensiones que efectúan cuerdas o contactos normalesentre dos cuerpos apoyados serán conservativas o no-conservativas según el tipo de fuerza que están intermediando. La pregunta más sencilla para resolver la cuestión, si aparece una

www.full-ebook.com

• Las energías se definen -casi todas- en función

de Sistemas de Referencia, SR, arbitrarios. De modo que según el SR elegido un cuerpo puede tener más o menos energía. Esta condición, que parece socavar la importancia del concepto de energía, nos resulta indiferente, porque la importancia de la energía (incluso su manifestación) ocurre en las transferencias, en los cambios de forma o en su conversión en trabajo. De modo que aquello verdaderamente medible de la energía son su cambios, sus diferencias, sus variaciones (en símbolos, ΔE). Y las variaciones son independientes del SR. (Qué alivio). • Aunque puede representar algunas otras cosas, el dinero representa -fundamentalmente- energía en cualquiera de sus formas. • Desde que se logró una primera cuantificación de la información (en la era de la computación) quedó claro que se trata de una forma -insospechada- de energía.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

¿Qué tiene que ver con la energía el siguiente aviso tomado del diario: “Tarot, Energía Positiva, Ayuda Espiritual, informes al...”

CHISMES IMPORTANTES:

Se puede demostrar fácilmente que el trabajo de la resultante es igual a la suma de los trabajos de todas las n fuerzas que forman la resultante. En símbolos: WRes = WF1 + WF2 + ... + Wn

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• ¿En qué unidades habrá que medir las energías cinéticas?

• Si el valor de la velocidad depende del SR

que se esté utilizando... ¿no afecta el SR el valor del trabajo de la resultante? | 203 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

duda, es: ¿qué gasto está realizando? (Si el gasto es nulo será conservativa y viceversa). Energía potencial Una característica interesantísima de las fuerzas conservativas es que se ha visto que el trabajo que realizan sobre un cuerpo siempre resulta ser igual a menos la diferencia de una energía potencial, o sea, una energía que posee el cuerpo debida a la posición que el cuerpo ocupa. CHISMES IMPORTANTES:

• Hay varios criterios para decidir si una fuerza es conservativa o no-conservativa. Todo ellos son equivalentes aunque no los parezcan. Y todos llevan a las misma conclusiones, o sea, se pueden usar indistintamente. Acá van algunos: -- Una fuerza es conservativa cuando su trabajo es independiente de la trayectoria (sólo depende de las posiciones inicial y final). -- Una fuerza es conservativa cuando su trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo. -- Una fuerza es conservativa si su valor se deriva de una función de energía potencial. • El potencial gravitatorio se define gracias a un sistema de alturas... no de posiciones. La diferencia está en que los sistemas de altura apuntan siempre hacia arriba (los de profundidad hacia abajo, y los de posiciones hacia arriba o hacia abajo a gusto del consumidor).

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

Si un cuerpo baja, la fuerza peso hace un trabajo ¿positivo o negativo?, y la energía potencial del cuerpo ¿aumenta o disminuye?

Por ejemplo: el trabajo de la fuerza peso es igual a menos la diferencia de energía potencial gravitatoria, ΔEPg (donde energía potencial gravitatoria es el producto entre la masa del cuerpo, la aceleración de la gravedad y la altura a la que se halla el cuerpo). Wpeso = – ΔEpg      donde     EPg = m g h Parece razonable pensar que cuanto más alto se halla un cuerpo más energía tiene, ya que al soltarlo desde allá arriba puede hacer más cosas que si lo soltás desde más abajo.  La energía que tiene por situarse en esas posiciones altas se llama enería potencial gravitatoria. Otro ejemplo: el trabajo de la fuerza elástica es igual a menos la diferencia de energía potencial elástica, ΔEPe (donde energía potencial elástica es el producto entre el número ½, la constante elástica del resorte que está empujando o tirando del cuerpo, y la compresión o estiramiento del resorte, al cuadrado). Welást. = – ΔEpe      donde    EPe =

k Δx²

Parece razonable pensar que cuando un cuerpo está apoyado en (o unido a) un elástico estirado o comprimido, tiene más energía que si no estuviera. Y también que cuanto más estirado o comprimido esté el resorte mayor aún es la energía que el resorte le confiere.

Trabajo de fuerzas no-conservativas Pongamos que sobre un cuerpo están actuando varias fuerzas. No importa cuáles ni cuántas. Para esa situación, sabemos que el trabajo de la resultante es igual a la variación de energía cinética. WF1 + WF2 + ... + Wn = WRes = ΔEc Ahora supongamos que algunas de esas fuerzas son conservativas y otras no-conservativas. Bien, separémoslas en los dos grupos. Podemos estar seguros de que ninguna fuerza quedará afuera de esos dos grupos. Y planteemos el trabajo de la resultante, como la

| 204 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

suma del trabajo de las no-conservativas más el trabajo de las conservativas. F5

Wno-cons + Wcons = ΔEc

F1 Res

F4

Pero el trabajo de las fuerzas conservativas siempre resulta igual a menos la variación de una energía potencial (puede tratarse de una energía potencial gravitatoria, o una energía potencial elástica, o cualquier otra energía potencial, o una suma de varias). Wno-cons – ΔEp = ΔEc

F3

Δx

F2

no-cons. cons. Δx

Wno-cons = ΔEc + ΔEp Energía Mecánica Vamos a definir un nuevo tipo de energía, llamada energía mecánica, como la suma de la energía potencial (cualquiera que sea) más la energía cinética. Entonces, obtenemos: Wno-cons = ΔEM          donde          EM = Ec + Ep La energía mecánica es la que poseen los cuerpos debido a sus posiciones y velocidades relativas. No se trata de la suma de todas las energías posibles, pero es un buen recorte para empezar a hacer cálculos. Cuando no actúan fuerzas no-conservativas (rozamientos, musculares, tracciones, motores, etc.) podés estar seguro de que la energía mecánica no varía, se conserva. En la jerga decimos: estamos frente a un proceso conservativo.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

Un sistema en que no actúan fuerzas no-conservativas... ¿puede estar despidiendo calor?

Impulso y cantidad de movimiento El impulso y la cantidad de movimiento son dos conceptos bastante parecidos al trabajo y la energía cinética, pero diferentes en aspectos muy sensibles. Además son protagonistas de un par de leyes de conservación tan importantes como útiles. Vamos con las definiciones. El impulso, I, es el producto entre una fuerza y el intervalo de tiempo durante el que la fuerza actúa. I = F . Δt Se trata de un vector (ya que el producto entre un vector -la fuerza- y un escalar -el tiempo- da por resultado un vector). Una de las cualidades más importantes de los impulsos es su carácter vectorial: tienen módulo, dirección y sentido. Siempre que aparezca un impulso será inteligente preguntarnos hacia dónde

www.full-ebook.com

| 205 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

apunta. Las unidades para medir los impulsos serán las que surgen del producto entre las de fuerza y las de tiempo. En el Sistema Internacional de Medidas, SI: [I] = N . S La cantidad de movimiento, p, es el producto entre la masa de un cuerpo y su velocidad. p=m.v También se trata de un vector, también siempre apunta hacia algún lado. Sus unidades en el SI son: CHISMES IMPORTANTES:

• Suelen llamarse fuerzas impulsivas aquellas que son muy breves y difíciles de estudiar. Suelen ser muy variables y con comportamientos casi caóticos. Ejemplos cásicos son los golpes, los choques, las fuerzas explosivas, etcétera. Bien... que no cunda el pánico: en lugar de tratar de estudiar qué ocurre durante ese brevísimo impacto, se estudia un antes y un después, un simple cambio de velocidad, eso sólo contiene la información que estamos necesitando. • La definición de impulso que tenés más arriba es válida sólo para fuerzas constantes. Cuando la fuerza no es constante el impulso se puede calcular fraccionando el tiempo todo lo que puedas, haciendo los productos en cada pequeña fracción (donde la variación de la fuerza sea despreciable), y luego sumando todos los productos. Esa estrategia se puede simbolizar de esta manera: I = ∫ F dt • La cohetería espacial sólo fue posible cuando se comprendió la relación entre impulso y cantidad de movimiento. Antes se pensaba que, a falta de dónde apoyarse, era imposible moverse en el espacio interestelar.

[p] = kg . Notarás que las unidades de impulso y cantidad de movimiento son equivalentes: Ns = kg . Sin embargo, tenemos la sana costumbre de acompañar con Ns las medidas de impulso y con kg.m/s las medidas de cantidad de movimiento, no es que esté mal no hacerlo. Es sólo por claridad y elegancia. Impulso de la resultante La resultante goza siempre de la Segunda Ley de la Dinámica: R=m.a Si mjltiplicamos ambos miembros por el intervalo de tiempo que actúa la resultante... R . Δt = Δt . m . a El primer miembro se transforma, claramente en el impulso de la resultante; en el segundo miembro podemos expresar la aceleración como el cociente entre el cambio de velocidad y el intervalo de tiempo en que se produce la variación: I = Δt . m .

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

En la relación entre impulso y cantidad de movimiento aparecen 3 vectores... ¿están obligados a tener los tres la misma dirección? | 206 |

= m . Δv = m . vF – m . vO = pF – pO

I = Δp Puesto en palabras: el impulso que recibe un cuerpo es igual a la variación de su cantidad de movimiento.

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

Choques Los conceptos de impulso y cantidad de movimiento permiten encontrar una ley de conservación muy útil e interesante. Miremos lo que pasa en un choque. Acá tenemos un modelo de choque. Dos cuerpos de masas m1 y m2 se mueven con velocidades de encuentro,v01 y v02. En determinado instante chocan. El contacto es muy breve, pero no instantáneo. Dura un cierto intervalo de tiempo, Δt. Multiplicando ese intervalo por la fuerza que cada uno le hace al otro (un par de interacción), podemos definir el impulso que el cuerpo 1 le hace al 2, I12; y un impulso que el 2 le hace al 1, I21.

m1

v01

I21

vF1

v02

m2

I12

vF2

Al igual que las fuerzas de interacción, los impulsos entre ambos son iguales en módulo, iguales en dirección y de sentido contrario. I21 = – I12 El impulso que recibe cada cuerpo es igual a la variación de su cantidad de movimiento. Δp1 = – Δp2 m1 vF1 – m1 v01 = – (m2 vF2 – m2 v02) Podemos reordenar los términos juntando en un miembro lo que tiene que ver con el momento anterior al choque y en el otro miembro lo de después. m1 v01 + m2 v02 = m1 vF1 + m2 vF2 p01 + p02 = pF1 + pF2 Y mirá lo que pasa si definimos cantidad de movimiento total, como la suma de las cantidades de movimiento de ambos cuerpos: p0T = pFT Dicho de otro modo: 0 = ΔpT En un choque la cantidad de movimiento total del sistema no varía. La cantidad de movimiento total del sistema es una magnitud que se conserva.

www.full-ebook.com

| 207 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

La ecuación más práctica en la resolución de problemas de choque es ésta: m1 v01 + m2 v02 = m1 vF1 + m2 vF2

para todos los choques

No es infrecuente que los cuerpos queden unidos después de chocar. A ese tipo de choques se los llama choques plásticos, y se describen con la misma ecuación, pero ya que las velocidades finales de ambos cuerpos son iguales (ya que quedaron unidos) se puede tomar esa velocidad final como factor común:

CHISMES IMPORTANTES:

Lo que encontramos aquí para un choque entre dos cuerpos se puede extender a un sistema de muchos cuerpos. Y también se puede extender a cualquier tipo de interacciónes (no necesariamente de contacto). Lo puedo resumir así: en un sistema aislado la cantidad de movimiento total se conserva. Acá una pequeña listita de sistemas donde podríamos aplicar esa Ley: una explosión, un choque múltiple, una galaxia en movimiento, un sistema planetario...

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

¿Te animarías -al menos en palabras- a definir le ley de conservación de cantidad de movimiento angular?

m1 v01 + m2 v02 = ( m1 + m2 ) vF

para los choques plásticos

El principal recaudo que hay que tomar para usar estas ecuaciones es recordar el carácter vectorial de las velocidades: no hay que olvidarse de establecer un Sistema de referencia y asignarle signo a cada velocidad antes de operar algebraicamente. Si los cuerpos chocan con velocidades de direcciones diversas (no unidireccionales) habrá que hacer un planteo para cada dirección del SR, descomponiendo aquellas que no coinciden con ellas. Por ejemplo, en un choque bi-dimensional habrá que plantear dos ecuaciones: m1 v01x + m2 v02x = m1 vF1x + m2 vF2x m1 v01y + m2 v02y = m1 vF1y + m2 vF2y

para todos los choques bi-dimensionales

Tipos de choques 

(Conservación de la energía durante un choque)

Salvo raras excepciones, durante un choque se pierde energía. La energía perdida va a parar a otras formas de energía (el principio general de conservación de la energía sigue valiendo) que salen del sistema y en general se transforman en energías inservibles, inaprovechables. Por ejemplo: deformación de los cuerpos, calor, ruido...

m1

v01

v02

m2

La pregunta cuánta energía se perdió es pertinente y vale la pena formularla. Como los choques suelen ocurrir localizados en una posición, no solemos evaluar la energía potencial (suponemos que no va a variar), y nos concentramos en la energía cinética. La energía antes de chocar es:

vF1

vF2

E0 =

m1 v01² +

m2 v02²

Y después de chocar: | 208 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

EF =

m1 vF1² +

m2 vF2²

La variación es lo que nos interesa: ΔE = EF – E0 La pérdida de energía suele ser mayor en los choques plásticos, ya que parte de la energía hay que invertirla en unir los cuerpos. La pérdida de energía puede llegar a ser total; en ese caso la energía final valdrá cero. No hay modo de predecir qué porcentaje de energía se va a perder durante el choque, pero suele ser importante.

m1

v01

m2

v02

Las explosiones se abordan exactamente igual que los choques plásticos. Antes de la explosión los fragmentos (futuros fragmentos) están todos unidos; después de la explosión cada fragmento vuela por su cuenta... pero la suma de sus cantidades de movimiento es igual a la cantidad de movimiento que tenía la bomba intacta antes de explotar (habitualmente cero).

vF

En la situación opuesta podemos tener choques en los que no se pierda nada de energía. Este tipo de choque se denominan perfectamente elásticos. (Se trata, habitualmente de situaciones ideales, no reales). Para tener choques en los que no se pierda nada de energía los cuerpos que chocan deben ser perfectamente elásticos o chocar teniendo en medio un elástico perfecto e ideal. El choque perfectamente elástico estará representado por esta ecuación: m1 v01² +

m2 v02² =

m1 vF1² +

m2 vF2²

que nos dice que la energía después del choque es la misma que después del choque. Este es un modo típico de simbolizar un choque perfectamente elástico. Aunque no es necesaria la interposición del resorte: alcanza con que nos digan que los cuerpos son suficientemente elásticos, o -mejor aún- que el choque es perfectamente elástico. Si se da le caso, no vale la pena mantener el factor común (½). Un choque así queda descripto por las dos ecuaciones: la de conservación de la cantidad de movimiento y la de conservación de la energía:

m1

vF1

v01

v02

m2

vF2

Las dos ecuaciones son muy parecidas... pero es sólo apariencia: ¡son totalmente diferentes!

www.full-ebook.com

| 209 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

CHISMES IMPORTANTES:

Supongamos que el universo se comportara de esta manera: que la energía no fuese una magnitud continua sino que sus intercambios fueran de a paquetes, cantidades mínimas que se pudiesen fraccionar. (Esta suposición es tan ridícula que hasta me da vergüenza plantearla). Llamemos cuanto a esa cantidades mínimas de energía. Si un choque entre dos corpúsculos fuera tal que la pérdida de energía fuese menor que un cuanto, entonces, no puede perderla, y el choque se convierte en perfectamente elástico. Cosas de la cuántica.

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• ¿Por qué a las explosiones los físicos a veces

las llaman choque explosivo? • En una explosión, la energía cinética de los fragmentos después de explotar resulta siempre enormemente superior a su energía cinética antes de explotar (relativamente: cero). ¿De dónde salió esa energía?

m1 v01 + m2 v02 = m1 vF1 + m2 vF2 m1 v01² + m2 v02² = m1 vF1² + m2 vF2²

para los choques perfectamente elásticos

Cambios de energía individuales Otra pregunta interesante (y pertinente) es ¿cuánta energía perdió o ganó un cuerpo durante un choque? Efectivamente... se trate del tipo de choque que se trate, cualquiera de los cuerpos que intervienen en un choque puede ganar o perder energía. No importa si esta libre o unido, para conocer el cambio de energía de un cuerpo i de masa mi, procedemos así: ΔEi = EFi – E0i ΔEi =

mi vFi² –

mi v0i²

Y basta. Me cansé.

Ejercicios resueltos 1. Trabajo y energía

1.1

Un joven ejerce una fuerza horizontal constante de 200 N sobre un objeto que avanza 4 m. El trabajo realizado por el joven es de 400 J. El ángulo que forman la fuerza con el desplazamiento es: a) 60° b) 30 c) 45° d) 53° e) ninguna de las anteriores

Este ejercicio es recontrafácil: una aplicación inmediata de la definición de trabajo de fuerzas constantes. La palabra clave de este ejercicio es esta: constante. Andá al enunciado y buscala... se trata de una fuerza constante. El hecho de que diga que es horizontal no agrega ni quita nada... porque no nos dice cómo se desplaza el cuerpo... y lo que cuenta es el ángulo que forman la fuerza con el desplazamiento; nada más. De modo que: Discusión:

Lo más probable es que la palabra horizontal, del enunciado, sea sólo un simple error de los redactores. Sólo hace un poco más difícil la situación descripta. Pero no es imposible.

DESAFíO:

Hacer tres esquemas posibles de la situación narrada en el enunciado. | 210 |

WF = F . Δx . cos α Esa expresión sólo es válida para fuerzas constantes... por suerte éste es el caso.

α = 60º

www.full-ebook.com

respuesta a)

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

1.2 Tres remolcadores llevan un barco hacia su dársena, tirando cada uno con una fuerza constante de 3 x 105 N en un recorrido de 500 m, como indica la figura. Si la fuerza de rozamiento que ejerce el agua sobre el barco es de 1 x 105 N, determinar: a) b) c) d)

La resultante de las fuerzas que actúan sobre el barco. El trabajo que realiza la fuerza resultante. El trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan. La suma de los trabajos calculados en c. Comparar con el resultado del inciso b.

El primer requerimiento que nos hace el ejercicio es, simplemente, una suma de fuerzas que se resuelve del mismo modo que lo hicimos en estática y dinámica. Voy a desestimar las fuerzas verticales: el peso del barco y el empuje que lo hace flotar. Ambas fuerzas -normales a la superficie- sabemos que no aportan a la resultante porque en el eje vertical la aceleración es nula: el barco no se hunde, ni levanta vuelo. Las fuerzas no son colineales, de modo que voy a tener que descomponer alguna de ellas y reemplazarlas por sus componentes paralelas a los ejes de referencia. Tené en cuenta que: R1x = R1 cos 37º,

R1y = R1 sen 37º

R3x = R1 cos 37º,

R3y = R3 sen 37º

R1 R2

Roz y x

R3

El asunto queda así: R1y

ΣFy = R1y – R3y = 0 ΣFx = R1x + R2 + R3x – Roz

Roz

La resultante, Res, será la composición de esas dos sumas... por suerte la componente y de la resultante también es nula (de lo cual ya te habías dado cuenta porque el barco no dobla, ni a babor ni a estribor) así que la resultante sólo tiene componente en x, y vale...

R1 R1x

R2

R3x R3y

R3

ΣFx = Res = R1x + R2 + R3x – Roz ΣFx = Res = 2,4 . 105 N + 3 . 105 N + 2,4 . 105 N – 1 . 105 N Res = 6,8 . 105N

respuesta a)

www.full-ebook.com

| 211 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Para calcular el trabajo de la resultante durante este desplazamiento podemos aprovechar que se trata de una fuerza constante y aplicar: WF = F . Δx . cos α Por lo que vimos, la fuerza resultante tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento, de modo que entre ambas (resultante y desplazamiento) forman un ángulo de 0º, su coseno vale 1. WRes = Res . Δx . cos α = 6,8 . 105 N . 500 m . cos 0º WRes = 3,4 . 108 J

R1 37º

Δx

respuesta b)

Los trabajos de cada una de las fuerzas, por separado, se obtienen de la misma manera que lo hice con la resultante: WR1 = 3 . 105 N . 500 m . cos 37º =

R2

Δx

WR1 = 1,2 . 108 J WR2 = 3 . 105 N . 500 m . cos 0º = WR2 = 1,5 . 108 J

Δx

WR3 = 1,2 . 108 J

37º R3

WRoz = 1 . 105 N . 500 m . cos 180º =

180º Δx

Roz

WR3 = 3 . 105 N . 500 m . cos 37º =

WRoz = – 0,5 . 108 J Ahora, si sumamos los cuatro trabajos obtenidos, así, individualmente, nos da... ΣWFi = 3,4 . 108 J

DESAFíO:

Calculá en cuánto varía la velocidad de este barco en los 500 metros que es remolcado.

| 212 |

respuesta d)

No se trata de una casualidad de este ejercicio. Siempre ocurre que la suma de todos los trabajos de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es igual al trabajo de la resultante. Si lo querés en una fórmula... WRes = ΣWFi

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

1.3 Un balde de 15 kg es levantado 4 m, aplicándole una fuerza vertical F cuyo módulo constante es 18 kgf. Determinar: a) El trabajo que realiza la fuerza F. b) El trabajo que realiza la fuerza peso. c) La velocidad que alcanzará el balde, si inicialmente estaba en reposo.

No problem. Repapa. Con un esquemuchi es más fácil. Como se trata de fuerzas constantes y desplazamientos rectilíneos podemos aplicar esta sencilla definición para cada caso: WF = F . Δx . cos α

WF = 180 N . 4 m . 1 WF = 720 J Vamos con el peso, P. Ahora α = 180º (cos 180º = –1) WP = 150 N . 4 m . (–1)

P=150N

F=180N

Δ x=4m

donde α es el ángulo que (en cada caso) forman la fuerza que estemos considerando con el desplazamiento. En el primer caso α = 0º (cos 0º = 1)

WP = – 600 J Por último vamos al teorema que vincula la resultante, Res, y la energía cinética. No es difícil darse cuenta que la resultante es una fuerza de 30 N que apunta hacia arriba. WRes = ΔEc Res Δx cos α =

m vF² –

m vO²

de nuevo α = 0o,, además la velocidad inicial es cero. Luego Res Δx =

m vF²

30 N 4 m =

15 kg vF²

vF = 4 El trabajo de la resultante (120 J) también lo podíamos calcular sumando los trabajos de las dos fuerzas que la componen: 720 J – 600 J = 120 J

www.full-ebook.com

DESAFíO:

Graficar F (N) vs. x (m) para las dos fuerzas de este problema. | 213 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

1.4 Claudia pesa 60 kgf, y viaja en un ascensor desde el piso 4° hasta planta baja. Hallar el trabajo que realiza la fuerza que hace el piso del ascensor («normal») sobre ella, en los siguientes tramos de 4 m de longitud cada uno: a) Arranque con aceleración constante, de 0,5 m/s². b) Descenso con velocidad constante de 2 m/s. c) Frenado con aceleración constante, de 0,5 m/s².

Bastante rellenita, Claudia... 60 kgf son 600 N, pero la imagino alta y de formas generosas, y morocha, con ojos... perdón, me olvidé dónde estábamos. Ejemmm... El eterno problema del ascensor (iba a decir de los hombres) que ahora aparece en una versión de definición de trabajo. Bueno, el viaje lo devidimos en tres tramos de dinámica diferente, que llamaremos a), b) y c) y que representan un viaje común y silvestre en ascensor bajando del 4to piso hasta la planta baja.

N a

Los tres casos, entonces, son muy parecidos dinámicamente. Para los tres, la ecuación de Newton dirá:

N O

180

Los tres casos. En los tres casos hay sólo dos fuerzas actuando sobre Claudia: su peso, P, o sea la fuerza con que la Tierra la tiene atrapada, y la normal, N, la fuerza con que la sostiene el piso del ascensor, que se llama normál porque forma 90 grados con el piso. Si esa fuerza no estuviera, Claudia caería por el hueco del ascensor, y sería una pena... tan joven, tan bonita...

P

ΣF = m a

N 0

Alcanza con una sola ecuación pues ambas fuerzas son verticales. Y si elijo un SR positivo hacia arriba la ecuación queda así: N–P=ma

P Δx

N

a

En cada uno de los tres casos varía la aceleración (y eso modifica el segundo miembro) Luego, del primer miembro sólo puede modificarse la normal ya que el peso de Claudia no puede variar mucho en el transcurso de su viaje del 4to a la planta baja. Una vez que sabemos cuánto vale, podemos calcular su trabajo en 4 m de descenso. Caso a) Si arranca y se mueve cada vez más rápido la aceleración debe apuntar hacia abajo. (En nuestro SR será negativa, a = – 0,5 m/s²)

P | 214 |

N = – m a + P = 570 N

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

Wa) = 570 N . 4 m (–1)

y

Wa) = – 2.280 J

t

Caso b) cuando baja a velocidad constante, si lo hace a 2 m/s o a 200 m/s es lo mismo a los fines de lo que estamos calculando. El dato ése es simplemente una trampa caza-bobos. La aceleración vale cero. N = P = 600 N Wb) = 600 N . 4 m (–1)

v

t

a

t

ΣF

t

P

t

N

Wb) = – 2.400 J

t

Caso c) Cuando baja frenando la aceleración apunta hacia arriba y en nuestro SR es positiva. N = m a + P = 630 N Wc) = 630 N . 4 m (–1) Wc) = – 2.520 J Fijate que la definición de trabajo (que acá pudimos aplicar porque en cada tramo la fuerza es constante y el desplazamiento rectilíneo) es independiente del SR. El signo del trabajo depende exclusivamente del coseno del ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento. De nada más que eso. En este caso el desplazamiento siempre es hacia abajo y la fuerza que hace el piso siempre apunta hacia arriba. De modo que siempre forman un ángulo de 180 grados y el coseno de 180º es (–1).

Discusión:

No sé si alguna vez lo viste, pero me parece una excelente manera de discutir un problema hacer todos los gráficos posibles que lo describen. Acá te pongo algunos, analizalos con cuidado, fijate cómo se relacionan unos con otros, mantuve ciertas proporcionalidades, y correspondencia entre intervalos... pero no creas que con éstos se agotan las posibilidades, ¿eh?, todavía vas a poder agregarle dos o tres gráficos más.

DESAFíO:

Rehacer los gráficos, a mano alzada, para un viaje similar a éste pero de planta baja hasta el cuarto piso.

1.5 Nicolás corre 4 m tirando de su carrito, con la caja de juguetes encima, con la fuerza constante de 30 N en la dirección indicada en la figura. (Ver Ej. 2.19 de Dinámica). El carrito tiene 10 kg y la caja 2 kg, y el rozamiento entre el carrito y el piso es despreciable. Calcular: a) El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento sobre la caja J. b) El trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el carrito c) La velocidad que alcanza cada objeto, si al partir estaban en reposo.

Por el orden en que están formuladas las preguntas y la disponibilidad de datos, me da la impresión que el autor del problema supone que vas a ir a ver el problema 2.19 de dinámica y vas a utilizar los datos dispo-

www.full-ebook.com

| 215 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

J

NCJ Roz PJ

Fy

NPC Roz NJC

Δx F Fx

C

Δx

PC En este ejercicio hay rozamiento entre el carrito y el juguete. Pero no hay rozamiento entre el carrito y el piso... no te confundas.

nibles y hallados ahí. Pero, si alteramos el orden, podemos responder todas las preguntas con lo que aparece acá y nada más. Apliquemos directamente la definición de trabajo que conocemos (WF = F Δx cos α), ya que todas las fuerzas que actúan son sonstantes. Empiezo por el juguete. WRoz = Roz 4 m cos 0º No podemos calcularla porque no sabemos cuánto vale el rozamiento (a menos que chusmeemos el problema 2.19). El resto de las fuerzas que actúan sobre el juguete forman 90º con el desplazamiento por lo tanto su trabajo vale cero. Vamos al carrito. El trabajo de la fuerza que hace Nicolás es very easy. WF = 30 N . 4 m . cos 37º WF = 96 J

b)

Como la resultante de todas las fuerzas sobre el conjunto carritojuguete es FX (tené presente que tanto el rozamiento -como las otras fuerzas de contacto- son internas del sistema carrito/juguete... tenés que considerarlo como un cuerpo único), podemos aplicarle (al conjunto) el teorema de la resultante. Acordate, además, que FX = F cos 37º De hecho, la definición de trabajo WF = F . Δx . cos α es equivalente a WF = FX . Δx WRes = ΔEc FX . Δx =

mTot vF² –

mTot v0²

Al partir estaban en reposo... 96 J =

12 kg vF²

vF = 4

c)

Ahora vuelvo al juguete. Y aplico el mismo teorema de recién, pero para el juguete la resultante es la fuerza de rozamiento, y sólo ella. De modo que WRoz = | 216 |

mJ vF² =

2 kg ( 4

www.full-ebook.com

)²

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

a)

WRoz = 16 J

Quedaba pendiente una parte de la pregunta del enunciado que se refería a los trabajos sobre el carrito (ahí el rozamiento y el desplazamiento forman 180 grados). WRoz = – 16 J

b)

Todas las demás fuerzas que actúan sobre el carrito son perpendiculares al desplazamiento de modo que el trabajo que realizan es nulo. Y chau.

DESAFíO:

¿Qué ocurriría si no hubiese rozamiento entre el carrito y el juguete?

1.6 En el gráfico de la figura se representa la velocidad escalar de un móvil de 20 kg, en función del tiempo. Determinar el trabajo que realiza la fuerza resultante de las que actúan sobre el mismo, para las distintas etapas de su movimiento, y para el viaje total.

Alcanza y sobra con utilizar el así llamado Teorema de las fuerzas vivas: WRes = ΔEc ya que para cada tramo tenemos todos los datos que hacen falta. Vamos de a uno: Tramo 0-3 s WRes0-3 =

m v(3s)² –

m v(0s)² =

20 kg (6

)² –

20 kg (0

)²

m v(3s)² =

20 kg (6

)² –

20 kg (6

)²

WRes0-3 = 360 J Tramo 3-8 s WRes3-8 =

m v(8s)² –

WRes3-8 = 0 J Tramo 8-11 s WRes 8-11 =

m v(11s)² –

m v(8s)² =

20 kg (0

)² –

20 kg (6

)²

WRes 8-11 = – 360 J Tramo 11-13 s

www.full-ebook.com

| 217 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

WRes11-13 =

m v(13s)² –

m v(11s)² =

20 kg (–4 )² –

20 kg (0 )²

WRes11-13 = 160 J Tramo entero WResTot =

DESAFíO:

m v(13s)² –

m v(0s)²=

20 kg (–4 )² –

20 kg (0 )²

pero también podemos sumar los aportes de cada tramo...

En qué cambian los resultados del problema si el móvil está ascendiendo por una cuesta de 20 grados durante todo el trayecto (salvo el tramo 11-13 s que va descendiendo).

WResTot = ΣWRes i WResTot = 160 J

1.7 El bloque de 50 kg asciende por el plano inclinado de la figura y recorre 2 m sobre el mismo, con la fuerza horizontal constante F1 aplicada, de 600 N. También actúa una fuerza de rozamiento de 100 N.  Hallar: a) b) c) d) e) f)

El trabajo que realiza F1 El que realiza la fuerza de rozamiento. El que realiza el peso del bloque. El que realiza la fuerza de vínculo, normal al plano. La fuerza resultante que actúa sobre el bloque, y su trabajo. La velocidad del bloque luego de ascender los 2 m, si al comienzo tenía una velocidad de 0,6 m/s. g) Las energías cinéticas inicial y final del bloque.

Qué puedo decirte... laaaargo como esperanza de pobre. Pero creo que es un problema bastante aleccionador. Vamos a hacerlo y armate de paciencia. Hagamos un DCL para visualizar todas las fuerzas que están actuando y sus direcciones relativas con el desplazamiento.

N

Dx

F1 Roz

Vamos a calcular el trabajo que hace cada una de las fuerzas a lo largo de ese desplazamiento. Usaremos siempre P

| 218 |

Ahí están, son 4 fuerzas: F1, P, Roz y N. Y en punteado representé el desplazamiento (los largos de las fuerzas son aproximadamente representativos entre sí, y el del desplazamiento tiene un largo arbitrario, ya que es una magnitud diferente).

W = F . Δx . cos α

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

donde α es el ángulo que en cada caso, formen el desplazamiento con la fuerza en cuestión. Empecemos con F1

Δx

WF = F1 . Δx . cos 37º = 600 N . 2 m . 0,8 1

F1

37o

WF1= 960 J Seguimos con Roz

Δx

WRoz = Roz . Δx cos 180º = 100 N . 2 m . (–1) WRoz = – 200 J Ahora le toca al peso. No siempre se distingue claramente cuál es el ángulo que forman entre la fuerza y el desplazamiento. Arreglátelas como puedas. Acá, por ejemplo no es muy difícil verlo como la suma de 37 más 90, o sea 127 grados.

180o Roz

Δx

WP = P . Δx . cos 127º = 500 N . 2 m . (–0,6) 127o

WP = – 600 J El turno de la fuerza de apoyo, N WN = N . Δx . cos 90º = N . 2 m . 0

P

WN = 0 J

N

Δx

90

Y ahora le toca el turno a la resultante de las cuatro fuerzas. Pero no sabemos cuánto vale ni hacia dónde apunta (sospecho que debe ser paralela al plano... ¿vos no tenés la misma sospecha?, bueno... mejor tenela). Descompongamos en x y en y, y sumemos por separado. En x

o

y

N

x

Resx = F1x – Roz – Px = F1 cos 37º – Roz – P sen 37º

F1x

Resx = 80 N Roz

En y

F1y

Px

Resy = N – F1y– Py = 0 Si la resultante en y no fuese cero, el bloque levantaría vuelo o se hundiría en el plano, por eso, aunque no sabemos cuánto vale N,

www.full-ebook.com

Py

| 219 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

sabemos cuánto vale esa suma. Luego, si componemos la resultante obtenemos Res = 80 N paralela al plano y hacia arriba. �x

Res

Su trabajo en el desplazamiento será WRes = Res . Δx . cos 0º = 80 N . 2 m . 1 WRes = 160 J Paremos la pelota un cachito. Dejame que resuma, a ver... 960 J – 200 J – 600 J + 0 J = 160 J No se trata de una casualidad de este problema. Siempre ocurre que la suma de todos los trabajos de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es igual al trabajo de la resultante. Si lo querés en una fórmula... WRes = ΣWFi Bueno, ahora vamos a las últimas preguntas. Vamos a resolverlo por cinemática, ya que, por Newton, si tenemos la resultante también tenemos la aceleración. a=

=

= 1,6

Llamemos 0 y F a los puntos inicial y final del trayecto de los 2 metros. Luego de las ecuaciones correspondientes y tomando to y xo igual a cero... x = 0,6

t + 0,8

v = 0,6

+ 1,6

. t2 t

le pedimos que hablen de punto F 2 m = 0,6 vF = 0,6

tF + 0,8 + 1,6

. tF2

tF

Dos ecuaciones con dos incógnitas. De la primera sacamos tF... eso da... a ver... uso la cuadrática de los griegos, mmm... tF = 1,25 s Con esto voy a la segunda ecuación y obtengo... vF = 2.6

| 220 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

Pero ahora también podemos resolver el problema de un modo más sencillo, fijate, respondamos la última pregunta que nos queda EC0 =

m v0²          y         ECF =

m vF²

EC0 = 9 J          y         ECF = 169 J Con lo cual se ve claramente que WRes = ΔEC Y acá teníamos el otro camino, mucho más sencillo con este teorema que relaciona el trabajo de la resultante con la energía cinética.

Discusión:

La principal lección de este ejercicio es la diferencia de estrategia en la resolución de un mismo problema. El uso del criterio de trabajo y energía es más económico, mas directo, consiste en comparar directamente dos estados de un proceso desinteresándonos de cómo fue el proceso. Hay mucha información que se pierde, pero se gana en economía. También hay una nueva información que aparece, y que es la energía... pero cuyo significado debe madurar largamente, pues no hay una explicación concreta para ella.

DESAFíO:

¿Cuánto vale la fuerza de vínculo? (ese es muy pavo). (Pero este otro...) ¿a qué altura la velocidad del cuerpo será 5 m/s?

1.8 Valiéndose de consideraciones de trabajo y energía cinética, demostrar que si el conductor de un vehículo cuya masa es m y que marcha con velocidad v por una ruta horizontal aplica a fondo los frenos, la distancia en que se detiene es d = v/2µg, en donde µ es el coeficiente de rozamiento dinámico entre sus neumáticos y el pavimento. ¿En qué factor se incrementa la distancia de frenado, si el vehículo duplica su velocidad?

Este es un problema interesantísimo por muchos motivos. Uno de ellos es que resulta ideal para comparar las estrategias de resolución de problemas por la vieja y conocida cinemática y dinámica, y por la estrategia de las consideraciones energéticas. Voy a resolverlo de ambas maneras. Primero por cinemática y dinámica... ¿me acordaré? Arranquemos con la dinámica, eso me va a permitir encontrar una expresión para la aceleración en función de los datos del problema. Dinámica = DCL ΣFx = m ax        →        – Roz = m a

A

y x Roz

ΣFy = m ay        →        A – P = 0 Por otro lado sabemos que...

P

Roz = μ . A

www.full-ebook.com

| 221 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Aunque el enunciado dice que se trata de un rozamiento dinámico, dejemos esa cuestión para un poco más adelante, ya vas a ver que no tenía mucho sentido esa proposición. Si combinamos las tres ecuaciones tenemos, A ver... vamos haciéndolo juntos... P=mg A=P A=mg Roz = μ . m g –ma=μ.mg a=–μ.g d 0

1

t0 = 0 s x0 = 0 m v0 = v a=-µg

t1 = ? x1 = d v1 = 0 m/s

Ahora podemos ir a la cinemática del asunto y ver si encontramos una expresión para la distancia mínima de frenado... que acá llamé d. ¿Cómo era esa cuestión de la cinemática? Ah, ya sé... hay que empezar por un esquema.

Se trata de un MRUV, así que volvemos a buscar los modelos de ese movimiento y reemplazamos las constantes del modelo por las constantes del movimiento, que están todas juntitas en el esquema, en el punto 0. x=v.t–

μ . g t2

v=v–μ.g.t Ahora le pedimos a estas ecuaciones que hablen del punto 1 d = v . t1 – 0

μ . g . t12

= v – μ . g . t1

y lógicamente desembocamos en un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Acá viene el álgebra. De la segunda despejo t1

y esto lo meto en la primera | 222 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

¿te perdiste? Rehacelo vos solo a ver si llegás. Te quedan dos términos semejantes... los podemos juntar en uno sólo, que no es otro que el resultado que estamos buscando costó, pero llegamos Ya que me tomé el trabajo de llegar hasta acá (en una guía de problemas de energía) aprovechemos y hagamos una discusión del resultado. Discusión La primera pregunta es obligada... ¿tiene las unidades que debería tener? Las tiene. ¿Y qué me dice físicamente? Todo: me dice, por ejemplo que si voy más rápido necesito mayor distancia de frenado... tal vez te parezca obvio, pero la física te esta advirtiendo de un peligro en ciernes... porque la distancia mínima necesaria de frenado no aumenta linealmente con la velocidad, ¡sino con su cuadrado! A ver si alguna vez aprendemos los peligros de las altas velocidades. También me dice que es inversamente proporcional al coeficiente de rozamiento. Es decir... si me percato de la necesidad urgente de frenar el vehículo me conviene conservar la calma y frenar sin bloquear las ruedas. Las ruedas bloqueadas se comportan como patines, y el cálculo hay que hacerlo con el coeficiente dinámico, que siempre es menor que el coeficiente de rozamiento estático, μd < μe. Si queremos una distancia menor (para no llevarnos puesta a la abuelita, nos conviene usar el número mayor en el denominador, o sea, el μe, o sea frenar manteniendo el giro de las ruedas, sin bloquearlas. Por el mismo motivo, me dice es un tanto riesgoso salir a la ruta con las gomas lisas... ejemmm... Bueno... no quiero seguir dándome rosca. Dice varias cosas más esa expresión, pero vos podés descubrirlas. Resolución por energía Ahora te propongo que volvamos a resolver el mismo problema pero desde una estrategia de Leyes de Conservación, trabajo y energía. Elegimos dos eventos, los mismos 0 y 1 de allá arriba. Y aplicamos el sencillo teorema WRes = ΔEC No cabe duda de que la resultante es la fuerza de rozamieno (A y P se anulan mutuamente). El desplazamiento es d, el ángulo que forman es 180º y su coseno, –1

www.full-ebook.com

| 223 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

– Roz d = EC1 – EC0

Discusión:

Como ves el método de la aplicación de los teoremas de leyes de conservación es mucho más rápido y económico. Fundamentalmente el motivo es que nos desprendemos de un montón de información, vinculamos -energéticamente- dos estados, dos momentos, directamente, comparándolos del modo más sencillo, a través de una simple resta. Y despreocupándonos de cómo ocurrió la transformación, si fue rectilínea o curvilínea, variada o uniforme, ya no cuenta. Tenés una versión más light de este mismo ejercicio en BIO27, sin embargo hay algunos comentarios que complementan la información que volqué acá. Aprovechala.

DESAFíO:

A que no averiguás qué otra ventaja posee el sistema de frenado ABS, además de lograr el anti-bloqueo y la disminución de la distancia de frenado.

–μ.mg.d=–

m v²

de donde

salió con fritas Yapa Acá tenés una tabla de coeficientes de rozamiento entre neumáticos nuevos (con buen dibujo) y diferentes tipos de calzada. Pavimento

Seco

Mojado

Asfalto rugoso

0,80

0,50

Asfalto brillante

0,70

0,40

Adoquinado

0,60

0,40

Nieve

0,60

0,30

Hielo

0,055

0,20

Fuente: 200.14.84.223/apuntesudp/showDoc.php?id=1338&ramo=FIS1000

1.9 60

El gráfico de la figura representa la componente Fx de una fuerza que actúa sobre un cuerpo que se mueve sobre una recta paralela al eje x, en función de su posición. Calcular el trabajo que realiza dicha fuerza, en las siguientes etapas:

Fx(N)

0 -30

2

4

8

X(m) 10

a) Desde la posición x1= 0 hasta x2= 4 m. b) Entre x2 y x3= 10 m. c) Entre x1 y x3.

Este problema es muy sencillo, se trata simplemente de calcular áreas. Resulta (y esto te lo cuento sólo por agregar algo que pueda interesarte) que la definición extensa de trabajo requiere el concepto de integral. W=

Fx dx

que, si hacés un poco de memoria, se relaciona con el cálculo de áreas encerradas bajo la curva (en este caso la curva de F vs. x). Efectivamente, si vos hallás el área encerrada bajo la curva en cual| 224 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

quier gráfico F vs. x, tenga la forma que tenga, lo que estás haciendo no es un cálculo de superficie sino un cálculo de trabajo. El ítem a) pide calcular este trabajo, el representado por este área: Te la sombreé en gris para que la distingas bien. En definitiva es una figura geométrica bien sencilla, un trapecio. Pero si no te acordás cómo se hallaba el área de un trapecio podés encontrarla como la suma del área de un triángulo (base por altura sobre dos) más el área de un rectángulo (lado por lado). El triángulo da 60 y el rectángulo 120. Fijate las unidades...

0

W1-2 = 180 J El ítem b) pide el trabajo entre 4 y 10 metros. Acá tenés ese área: La pinté en dos tonos diferentes porque tiene significado físico. El área que queda por debajo del eje de las x representa un trabajo negativo. Lo cual es lógico ya que el desplazamiento y la fuerza, al tener signo contrario, formarían un ángulo de 180 grados, y su coseno valdría –1. Calculamos ambas áreas y las sumamos, cada una con su signo. W2-3 = 90 J

2

W1-3 = 270 J

4

8

X(m) 10

4

8

X(m) 10

4

8

X(m) 10

-30 60

0

Fx(N)

2

-30 60

Por último, el ítem c) pide el trabajo entero. Como siempre el trabajo total es la suma de los trabajos parciales (siempre y cuando no se superpongan). Igual te hice el gráfico.

0

Fx(N)

2

-30

Ya en cinemática podíamos hacer algunos cálculos integrando áreas, ¿te acordás? En toda gráfica v vs. t el área encerrada bajo la curva representaba el desplazamiento del móvil en el intervalo de tiempo encerrado. Es exactamente la misma idea que ahora, solo que entonces era: Δx =

Fx(N)

60

DESAFíO:

Si la operación inversa de la integración es la derivación, ¿te animás a formular relaciones entre magnitudes físicas en términos de funciones derivadas?

v dt

y nadie salió lastimado.

1.11 Una máquina eleva verticalmente una carga de 200 kg mediante una cuerda que se arrolla en un tambor de 20 cm de radio. Determinar la potencia desarrollada por la fuerza que ejerce el cable, cuando el tambor gira a 300 rpm, con velocidad angular constante.

¿Es en serio este problema? Supongamos que sí... y hagamos un esquema para ponernos de acuerdo. Bueno, acá lo tenemos, con DCL incluido.

www.full-ebook.com

| 225 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

ω

Esto se acaba muy rápido, así que prestá atención: la caja sube a velocidad constante, o sea, la aceleración es cero. Según Newton (ΣFy = m ay) la sumatoria de fuerza también debe ser nula, por lo tanto

R

F v

P

F–P=0 F=P=m.g

F v

P

Nota:

Acordate que tenés que trabajar todas las magnitudes en el mismo sistema de unidades... en particular: 300 rpm = 31,4 s–1

donde F es la fuerza que hace el motor a través de la cuerda. La velocidad con la que asciende el paquete no es otra que la velocidad tangencial con que se arrolla la cuerda, o sea: v=ω.R Finalmente la potencia del motor (en este caso constante) será: Pot = F . v Haciendo números...

DESAFíO:

¿Cómo harías para subir la caja si el motor con el que contás es de sólo 7.000 W?

Pot = m . g . ω . R = 200 kg . 10

. 31,4 s–1 . 0,2 m

Pot = 12.560 W

1.14 La potencia del motor de un vehículo le alcanza para subir por una pendiente de 60° con una velocidad de 10 km/h. Si subiera por otra pendiente de 30°, sin modificar la velocidad, ¿en qué porcentaje disminuiría la potencia? a) 13% b) 30% c) 42% d) 50% e) 58% f) 87%

El problema éste, ya lo vas a ver, es muy, pero muy sencillo. Sin embargo esta lleno de dificultades y suele catalogarse entre los “tramposos”. La primera consideración, el primer vistazo general, que va a guiar la resolución del problema es la siguiente. Nos preguntan por una potencia. Hay básicamente dos formas de calcular una potencia, y son a) obtener la cantidad total de energía que se entrega y dividirla por el intervalo en que dicho intercambio ocurre y b) multiplicar el módulo de la fuerza por la velocidad que ésta produce. Queda claro que la nuestra es la segunda opción, con una velocidad de 10 km/h. | 226 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

v

Lógicamente, si hablamos de fuerza necesariamente tenemos que hacer un DCL. Acá está.

Roz

Ya sé, no me digas... no aparece F la fuerza del motor. Bueno mirá la fuerza que hace el auto con su motor está aplicada sobre el pavimento, de modo que en el DCL del auto no puede verse. Pero es el par de interacción del rozamiento, Roz, ésa es entonces, la fuerza que nos interesa. No voy a ahondar mucho más en este asunto de la fuerza. Acá se ve claramente que para que el auto suba a velocidad constante (el enunciado no lo dice explícitamente pero se desprende del contexto) la fuerza de rozamiento (la del motor, F) tiene que ser igual a...

N

y

x

Py

Px P 60

F = Roz Roz = Px Px = P sen 600 Luego Pot60 = P sen 600 . v Ahora resulta que nuestro autito sube por una pendiente más suave y a la misma velocidad. Lógicamente estará exigiendo mucho menos de su motor, que le entregará menos potencia, ya que le están pidiendo menos. Cuánto menos. Ok la fuerza que hace ahora el motor es Px = P sen 300

v

N y

Roz

x Px

y como la hace con la misma velocidad 30

Pot30 = P sen 300 . v me parece que va a alcanzar con que comparemos ambas potencias y ya.

Py P

O sea que la potencia en la pendiente suave es el 58 % de la potencia en la pendiente empinada. Justo 58% es una de las respuestas posibles... pero fijate que la pregunta precisa del enunciado fue ¿en

www.full-ebook.com

| 227 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

qué porcentaje disminuiría la potencia? no ¿a qué porcentaje disminuiría la potencia?, no “a” sino “en” ¿captás la diferencia? de modo que la disminución es la diferencia con el 100% que representa la primera potencia. DESAFíO:

Si la potencia desarrollada por el motor en la pendiente empinada era la máxima que podía desarrollar, ¿a qué velocidad puede subir por la pendiente de 30 grados?

ΔPot % = 42 %

respuesta c)

Esta sutieleza, en un No me salen, es anecdótica. En un examen de respuesta múltiple puede significar un potencial suicidio.

2. Energía mecánica 2.5 La figura representa la ladera de una montaña, por la que se desliza con rozamiento despreciable un esquiador de 80 kg. Se sabe que pasa por el punto A con una velocidad de 5 m/s, y pasa por el punto C con una velocidad de 10 m/s. Determinar la energía potencial gravitatoria, la energía cinética y la energía mecánica del esquiador en los puntos indicados. Hallar la distancia que necesitará para detenerse en la planicie horizontal, si a partir del punto G actúa una fuerza de rozamiento cuya intensidad constante es 500 N.

Este es un ejercicio archi-típico de los que los físicos y profesores de física llamamos: ejercicios de montaña rusa, creo que no hace falta que explique por qué. La idea general es que vincules -de a dos- estados, momentos, situaciones o como quieras llamarlos y los compares energéticamente... siempre de a dos. En principio conviene elegir para la comparación algún estado en que puedas conocer el valor de la energía mecánica, en nuestro caso el punto C, ya que nos ofrecen datos suficientes para conocerlo. Fui volcando toda la información en un cuadro. Eso nos va a permitir ordenar la búsqueda o la obtención de información. Las energías potenciales y las cinéticas las calculé así, para cada altura y cada velocidad de cada posición cualesquiera (N): EPN= m g hN ECN =

m vN²

Fijate si coincidís conmigo en los valores que consigné en la tabla. | 228 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

  h (m) EP (kJ) v( ) EC (kJ) EM (kJ)

A     5 1  

B 7 5,6      

C 9 7,2 10 4 11,2

D 3 2,4      

E 7 5,6      

G 5 4      

H 5 4 0 0 4

Ahora, en todo el recorrido hay dos lugares solos en los que la informacion suministrada permite calcular la energía mecánica: el C y el H (las columnas grisadas). De modo que las energías mecánicas valen...        EMC = ECC + EPC        EMC = 4 kJ + 7,2 kJ Desde A hasta G el viaje es conservativo; eso quiere decir que aunque la altura (y por lo tanto la energía potencial) y la velocidad (la energía cinética) varíen... la energía mecánica se mantiene constante.   h (m) EP (kJ) v( ) EC (kJ) EM (kJ)

A     5 1 11,2

B 7 5,6     11,2

C 9 7,2 10 4 11,2

D 3 2,4     11,2

E 7 5,6     11,2

G 5 4     11,2

H 5 4 0 0 4

Por lo tanto las energías mecánicas de cualquiera de los otros instantes (antes de ingresar al tramo con rozamiento debe valer lo mismo, 11,2 kJ y eso es lo que volqué al cuadro (en gris claro). Fijate qué patente resulta la conservación de la energía mecánica hasta G. Conociendo el valor de la energía mecánica y alguna de sus componentes (cinética o potencial) se puede conocer la otra. Te muestro dos ejemplos: EPA = EMA – ECA = 11,2 kJ – 1 kJ = 10,2 kJ ECB = EMA – EPB = 11,2 kJ – 5,6 kJ = 5,6 kJ Volqué toda esa información nueva a la tabla. Además, conociendo las energías cinéticas o las potenciales, puedo calcular las velocidades y las alturas, respectivamente. Lo hice,

www.full-ebook.com

| 229 |

| RICARDO CABRERA | Ejercicios de Física

aunque el enunciado no lo pide, y lo volqué en la tabla (también en gris claro).

DISCUSIÓN:

Los resultados impresos en la guía difieren de los que yo obtuve. El motivo es que eligieron (y lo consignaron) un nivel cero para las alturas diferente del que utilicé yo. El nuestro fue inducido por los datos del enunciado, y me imagino que es el mismo que hubieras elegido vos. Pero la elección de los autores de la guía que pusieron el cero en el nivel de G y H conlleva una enseñanza importante: los valores de las energías son relativos. Así y todo las alturas relativas y las velocidades coinciden con las nuestras... y eso es independiente del SR que cada uno haya elegido.

DESAFÍO:

A h (m) 12,75 EP (kJ) 10,2 v( ) 5 1 EC (kJ) EM (kJ) 11,2

B 7 5,6 11,8 5,6 11,2

C 9 7,2 10 4 11,2

D 3 2,4 14 8,8 11,2

E 7 5,6 11,8 5,6 11,2

G 5 4 13,4 7,2 11,2

H 5 4 0 0 4

Finalmente, te darás cuenta que entre el punto G y el H, el esquiador pierde (a manos del trabajo del rozamiento) 7,2 kJ. No te compadezcas del esquiador que lo hace a propósito colocando sus esquíes en forma de cuña, para no estrolarse contra el resto de los turistas. Lo cierto es que sabiendo que el planteo de esa variación de energía nos permite encontrar la distancia GH, ΔXGH. ΔEMGH = WRozGH

¿Rehacé el ejercicio tomando como nivel cero al de G y H? Hacé un gráfico de energías en función de la altura para el tramo A-G (Ji, ji, ji...).

EMH – EMG = Roz . ΔXGH . cos180º – 7,2 kJ = – 500 N . ΔXGH

E

ΔXGH = 14,4 m

mecánica

cinética potencial

A

B

C

D

E

G

H

Para terminar... mirá lo que te traje. Un gráfico de energía a lo largo del recorrido. Analizalo y aprovechalo, mirá que me llevó como media hora hacerlo.

2.7 Una cinta transportadora hace subir cajas a velocidad constante por una pendiente inclinada 35° respecto la horizontal. Durante este proceso... La energía mecánica de las cajas: a) disminuye; b) aumenta; c) permanece constante.

La fuerza de rozamiento: a) le quita energía; b) le agrega energía; c) no influye.

Supongo que tenés una buena idea de lo que es una cinta transporadora (en este caso elevadora) que es común verla actuar en el estibaje, o en la carga y descarga de camiones. Acá te hice un esquemita:

www.full-ebook.com

| 230 |

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

Respondamos de una: la energía mecánica de las cajas (o de cualquier otra cosa) es la suma de la energía cinética y la energía potencial. EM = EC + EP La energía cinética no cambia, ya que -lo indica el enunciado- las cajas avanzan a velocidad constante. Y la energía potencial (en este caso se trata de energía potencial gravitatoria) aumenta, ya que las cajas se elevan, ganan altura a medida que avanzan.

N

Roz

P

La energía mecánica de las cajas aumenta

La segunda pregunta también podríamos contestarla a ciegas... pero te hice el DCL porque me parece muy aleccionador. Las únicas tres fuerzas que actúan sobre cada caja son: su peso, P, (una fuerza conservativa que no agrega ni quita energía mecánica); el apoyo sobre la cinta, N, que permanentemente forma un ángulo de 90º con el desplazamiento y por lo tanto realiza un trabajo nulo que -por consiguiente- no puede cambiar la energía mecánica de las cajas; y la fuerza de rozamiento, Roz, que se convierte en la única candidata a ser la responsable del aumento de energía mecánica que dedujimos en el ítem anterior. Efectivamente, la fuerza de rozamiento es no conservativa, de modo que puede hacer variar la energía mecánica. En este caso la aumenta... y por si te cabe alguna duda se hace fácil ver que forma un ángulo de cero grados con el desplazamiento, de modo que realiza un trabajo positivo... o sea aumentando la energía mecánica de las cajas. La fuerza de rozamiento le agrega energía

Discusión:

Este es un típico -y aleccionador- caso en el que la fuerza de rozamiento es la responsable de hacer avanzar a las cajas (contrariamente al clamor popular de que el rozamiento se opone al movimiento). Es gracias al rozamiento, y no a pesar del rozamiento que las cajas sube. Si te cabe alguna duda... imaginá qué pasaría si aceitáramos la cinta.

DESAFíO:

¿De dónde sale la energía que el rozamiento le aporta alas cajas?

2.8 Se levanta un cuerpo de masa m a una altura h con velocidad constante y luego se lo deja caer libremente desde el reposo. Grafique la energía potencial, cinética y mecánica del cuerpo en función de su altura y del tiempo.

Los gráficos en función de la altura tienen que ser necesariamente dos. Ya que el cuerpo sube con un tipo de movimiento y baja con otro, de modo que para cada altura hay dos valores de función (no sería una función si tratase de considerar los dos movimiento como uno solo). A la izquierda representé el S.R. desde el cual considero los movimientos, eso sí, debe ser el mismo para ambos (por principios religiosos).

www.full-ebook.com

| 231 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

SR

E

Ascenso

y

a mecánic

Abajo te puse una lista de destacados, estoy seguro que no está agotada. Mandame por mail aquellas observaciones que se te ocurran y quieras compartir con los demás lectores.

l

potencia cinética

B

1) Los dos gráficos de altura tienen la misma escala, el de tiempo otra diferente ya que representan (el eje de ordenadas) magnitudes diferentes. 2) Algo que a tus compañeros les cuesta mucho cinética entender es cómo leer el segundo gráfico si de deA recha a izquierda o de izquierda a derecha, porque h claro el cuerpo se mueve desde el punto más alto hacia el más bajo. La respuesta es así: la pregunta E a c i n no tiene sentido. Los gráficos no tienen una diá mec mecánica l a i rección de lectura, leelo el la dirección que se te c potencial poten cante, o salteado, o por partes, o en ambas direccinética ciones, o a golpe de vista simultáneo. Los gráficos t cinética son almacenes de información donde la mercadetO tA tB ría está guardada y no se mueve, la información esta quieta y dispuesta a que vos la leas cuando quieras y en orden que quieras. En fin... meditalo. 3) El valor relativo de la energía cinética (EC) inicial respecto de la energía potencia (EP) o la energía mecánica (EM) fue arbitrario, porque el enunciado no ofrece pistas ni datos para evaluar eso. Podría haberle dado un valor más alto, que fuese siempre mayor que la EP y sus gráficas no se cruzaran, pero elegí así, arbitrariamente, vaya a saber por qué. 4) La EM siempre es suma de la EC más la EP (si no entendés qué es la suma de funciones, gráficamente hablando no sigas, hay una explicación en un párrafo en el problema que sigue). 5) Supuse (el problema no es suficientemente claro en ese aspecto) que cuando el cuerpo llega a B, su posición más alta, se detiene antes de ser soltado. Por eso la segunda etapa, la de bajada la empiezo con EC igual a cero. Queda para vos como desafío hacer el empalme de este modo: el cuerpo se suelta en B, mientras conserva todavía la velocidad con la que realizó el ascenso (se lo suelta sin frenarlo). 6) En el gráfico de energía en la bajada en función del tiempo es fácil predecir la curva de EP= f (t), ya que es pariente cercana de una función que estudiaste en profundidad en MRUV, precisamente caída libre, y= f (t) . Una cuadrática, ¿te acordás? La EM también es fácil de predecir ya que la caida LIBRE es conservativa, o sea EM es una constante. La EC no es tan DESAFíO: fácil de predecir, pero conociendo previamente las otras dos, Construir nuevamente los tres gráficos pero podemos construirla por diferencia. Alcanza con dibujar una incluyendo el dato ausente en el enunciado curva simétrica en torno a un eje de simetría horizontal que que consigné en negrita en el análisis 5. pasa por EM/2. E

| 232 |

Descenso

mecánica l potencia

h

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

2.9 Graficar en forma aproximada la energía cinética, potencial y mecánica en función del tiempo de un péndulo ideal oscilando (muestre al menos dos oscilaciones completas). Indique las condiciones iniciales que E aparecen en su gráfico.

potenc

cinética

Casi siempre que te pidamos un grafico de energías es para que las grafiques todas juntas en un mismo espacio E – t o E – y o algún otro. Pero tiene mucho sentido hacerlos juntos. Así puede verse que la energía mecánica (EM), por ejemplo es la suma de la energía cinética (EC) más la energía potencial (EP), cosa que si las graficaras por separado no podría apreciarse.

ial

mecánica

Ok, lo hice. Pero no sólo hay que hacerlo, hay que analizarlo, desmenuzarlo, masticarlo... Vamos juntos.

t

Es muy importante que entiendas el mecanismo de la suma gráfica, si no... no sigas adelante. En el párrafo siguiente trato de explicarlo, si no lo necesitás saltealo. Suponete que la línea negra superior (EM) esta en el valor 100. Si le asignás un valor a la línea oscilatoria negra (EP) y otro a la linea oscilatoria gris (EC) para el mismo instante verás que esos tres valores se relacionan así: EP + EC = EM. Por ejemplo mirá la primera línea de puntos, representa un instante en el que EC=0, EP=100 y EM=100 (se cumple la igualdad de la suma). Mirá, por ejemplo los puntos donde se cruzan las gráficas de EC y EP; en ese punto ambas valen lo mismo (obvio) y ese valor debe ser 50, ya que sólo 50 por 2 es 100. Y así en todos los instantes. Mirá el último representado, el que esta justo arriba de la flechita y la t. EC=40 (más o menos), EP=60 (más o menos), luego EC + EP = 100 EP y EC son curvas absolutamente simétricas respecto de un eje horizontal de valor 50. La EM es constante porque se trata de un péndulo ideal, De no ser así, tendría una pequeñna pendiente (no necesariamente constante) y asintótica a cero. EP y EC son curvas llamadas senusoides (por la gráfica de la función seno) ya que el péndulo y todos los movimientos armónicos simples (así se llaman) se describen con funciones senoidales. Arriba te indiqué a qué posición de la masa se corresponden algunos instantes notables. El resto se repite ya que se trata de un movimiento periódico.

www.full-ebook.com

DESAFíO:

Graficá EP, EC y EM para un péndulo simple e ideal en función de la altura de la masa. | 233 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

2.11 Una maquinaria de 2800 N de peso, es elevada a un camión de 1,2 m de altura mediante un plano inclinado de 3 m de longitud. Si se desprecian las fuerzas de roce, el trabajo realizado es de: a) 3360 J

b) 336 J

c) 8400 J

d) 840 J

e) ninguna de los anteriores

Qué lindo problema: fácil, recontra súper archi mega fácil... pero enormemente aleccionador. La cuestión es que hay unas 126 formas distintas, más o menos, de resolverlo. Si no estás familiarizado con las estrategias de leyes de conservación seguramente vas a resolver el problema por alguna vía larga y laboriosa. Si estás familiarizado, en cambio, sale en menos de un pestañeo. Te propongo lo siguiente: yo lo resuelvo del modo más económico, pero vos después te tomás el trabajo de leer e interpretar toda la discusión que le sigue... ¿hacemos el trato? Mirá el esquema: h= 1,2 m

N F

P

Ahí está nuestro camioncito que tiene la caja a 1,2 m de altura. La maquinaria esta embalada en esa caja roja y el plano inclinado es ese tablón negro que mide 3 metros que los operarios llevan en la caja del camión y lo usan para subir cosas pesadas haciendo un trabajo por el que cobran su salario, con el que alimentan a sus hijos y le compran flores a... Perdón. Mirá, te hice un DCL para aclarar la cuestión un poco más. Ahí figura el peso de la maquinaria, P, de 2800 N, 280 kgf, subir eso es un bardo. Pero también está N, que te podría decir que es “la parte del peso que se banca el tablón”, y está F, que es la fuerza que tienen que hacer los operarios... y toda esa historia romántica que no me dejás contarte. WFnc = ΔEM La única fuerza no conservativa es la de los operarios, cuyo trabajo es el que le interesa al enunciado del problema, y la variación de energía mecánica es puramente potencial porque a los operarios no les interesa dejar el paquete en movimiento, sólo depositarlo arriba del camión. Luego

DESAFíO:

Un día tienen que subir una caja de 1000 kg y tienen dos tablones uno de 3 m con un coeficiente de rozamiento de 0,4 y otro de 4,5 m y un rozamiento de 0,5. ¿cuál sería la mejor elección para los operarios, qué plano inclinado armarían? | 234 |

WF = ΔEPG WF = m g Δh WF = 280 kg 10

1,2 m

WF = 3.360 J

www.full-ebook.com

respuesta a)

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

Discusión Fijate que para resolver el problema no utilicé el dato de los 3 m del largo del tablón, ni el ángulo que forma con la horizontal, ni el valor de la fuerza F que hacen los operarios, ni el trabajo de esa fuerza como resultado de la definición operativa de trabajo... ni ningún otro cálculo de los 125 que podría haber planteado para resolver el asunto. Si vos lo resolvés por otra vía está bien igual... es así como se aprende y se gana experiencia. Tal vez te surjan preguntas interesantes como... ¿y si Ricuti lo resolvió sin utilizar los 3 m... será que el resultado no depende del largo del plano? Pregunta harto interesante. Cuya respuesta es NO, si el tablón hubiese sido de 2 metros el trabajo hubiese sido el mismo. ¿Entonces para qué llevan un tablón tan largo? Mirá bien el esquema, le agregué algunos detalles. Cuanto más largo sea el tablón, menor será el ángulo que forma con la horizontal. Y también menor será la fuerza que tienen que hacer los operarios... F = P sen α

α

α

(Subiendo la caja despacio, como corresponde) Cuanto más largo sea el tablón de los operarios menor será la fuerza que tiene que hacer, más fácil será su trabajo. El plano inclinado es uno de los inventos de los que la humanidad debe sentirse más orgullosa, y generalmente lo ignora. Que el salario de los operarios sea malo no quiere decir que sean tontos.

2.12 Un bloque de 6 kg que está en reposo, se deja caer desde una altura de 5 m por una rampa curva que finaliza en un tramo recto horizontal, como muestra la figura, para el que puede despreciarse el rozamiento en todo el viaje. En la cabecera hay un resorte, inicialmente no deformado,cuya constante elástica es 15000 N/m. a) Determinar el desplazamiento máximo del extremo del resorte. b) Calcular la intensidad máxima de la fuerza que el resorte ejerce sobre la pared. c) Describir el movimiento del bloque.

www.full-ebook.com

| 235 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

La gran mayoría de los problemas de energía comienzan por elegir dos situaciones, dos estados, dos lo que quieras... pero dos. En este caso voy a llamar A a la situación en que se suelta el carrito y B aquella en el que el carrito comprime todo lo que puede al resorte. Luedo de eligir los eventos, los comparamos energéticamente, y decimos ΔEM = WFnc Empecemos con el segundo término. En este problema no actúan fuerzas no-conservativas... no hay rozamiento y nada ni nadie empuja ni frena agregando ni quitando energía. Luego el segundo miembro vale cero. ΔEMAB = 0 EMB – EMA = 0 EMB = EMA ECB + EPGB + EPEB = ECA + EPGA + EPEA Discusión:

¿Qué ocurrirá después de esa compresión máxima? y... lógicamente, el carrito rebotará... y ¿hasta dónde creés que trepará por la pendiente circular?... y yo creo que hasta una altura de 5 m... ¿y después qué hará?... y volverá a caer, y comprimirá el resorte lo mismo que antes... y volverá a rebotar y a subir y a comprimir y a subir y... así hasta el infinitoooooooooo, y más alláaaaaaa. Porque justamente esta transformación es conservatiivaaaaaa... No te ilusiones, en nuestro universo no pasan esas cosas. No es posible anular completamente el rozamiento, y sólo es una aproximación que muchas veces nos resulta útil, nada más.

Algunos términos se anulan, veamos: la energía cinética en A es cero pues el carrito se suelta desde ahí, eso es velocidad cero. La energía cinética en B también es cero pues se trata de la máxima compresión del resorte. Si tomo el nivel cero de alturas en la posición de abajo, entonces la energía potencial gravitatoria de B se hace cero. Sigamos, la energía potencial elástica en A también vale cero (¡si en A no hay ningún resorte confiriéndole energía al carrito!) ¿Qué queda? EPEB = EPGA k Δx² = m g hA

Δx = 0,2 m Lo que sigue es dinámica de la fuerza elástica. Una vez conocida la compresión máxima, la fuerza es

DESAFíO:

¿Qué cambiará si la constante elástica valiese 10 veces menos? ¿Qué pasaría si tomásemos el cero de las alturas 134,6 metros bajo el nivel de B? ¿Y 8 metros sobre el nivel de A? | 236 |

Fe = k Δx Fe = 3.000 N

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

2.13 Una caja de 30 kg se desliza por una superficie horizontal con rozamiento, cuyo coeficiente dinámico es µd = 0,4, hasta chocar con un resorte horizontal de masa despreciable, cuya constante es 7200 N/m y que inicialmente no posee deformación, al que comprime hasta detenerse en 0,5m. Determinar la velocidad de la caja al llegar al resorte, y la que tenía a 10 m de su extremo.

Mirá yo no sé contarte cómo resolver un problema sin hacerte un esquema, un dibujo, un algo... ¿me entendés? Ojalá a vos te pase lo mismo cuando le quieras contar cómo resolvés los problemas a tu docente en un examen... ¿me entendés? En el esquema aprovechamos y le ponemos nombre a las situaciones o eventos... y todos contentos. Te lo dije en broma, pero esta cuestión es un problema serio. Acá va el esquema secuencial.

A

Todos los problemas de leyes de conservación se resuelven comparando dos estados o dos situaciones, llamalos como quieras... pero siempre de a dos. Cuáles dos, eso es cuestión de experiencia; dos cualesquiera, se puede, pero generalmente sabiendo elegir el par se llega más rápido al resultado.

10 m B

C 0,5 m

Elijo comparar B con C. Entonces... WFncBC = ΔEMBC Hay una fuerza no-conservativa actuando en el trayecto BC, y es el rozamiento, de modo que puedo escribir: WRozBC = EMC – EMB Por definición de lo que es trabajo y energía mecánica Roz ΔxBC cos 180º = EcC + EPgC + EPeC – ( EcB + EPgB + EPeB) Si tomamos como nivel de altura cero la horizontal por la que se mueve el objeto, las energías potenciales gravitatorias se anulan. (Si no quisieras tomarlas como cero tambien se anularían... entre sí). La cinética de C es cero (si no, no sería la compresión máxima) y la potencial elástica de B es cero ya que cuando apenas toca al elástico su compresión es cero. – μd m g ΔxBC =

k ΔxC² –

m vB²

ΔxBC = ΔxC = 0,5 m, (el desplazamiento desde B hasta C es igual a la compresión del resorte en la situación C), de modo que si

www.full-ebook.com

| 237 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

mirás la ecuación con cariño te vas a dar cuenta que tiene una sola incógnita que es la que pregunta el enunciado del problema, vB. La despejamos...

vB = 8 Discusión:

¿Te diste cuenta que en el desarrollo del problema no hice una sola cuenta? Sólo usé la calculadora para dar la respuesta... eso que va en el recuadro de los resultados. Si vos hacés lo mismo en un examen te vas a ganar el aprecio (casi te diría: el amor) de tu docente. Y lo que es mejor... vas a demostrar que estás combatiendo la epidemia de reemplacismo numérico que azota despiadadamente a la población estudiantil.

Ahora podemos comparar A con B o A con C, con cualquiera de las dos comparaciones vamos a llegar al mismo resultado que es la velocidad que tenía en A.Voy a preferir la comparación A con C porque no necesita de ningun dato que hayamos calculado durante la resolución, sólo usa datos del enunciado. WRozAC = ΔEMAC Roz ΔxAC cos 180º = EcC + EPgC + EPeC – ( EcA + EPgA + EPeA) – μd m g ΔxAC =

k ΔxC² –

m vA²

Llegamos casi, casi a lo mismo de antes. Pero ojo, que el desplazamiento desde A hasta C vale 10,5 m, ¿Ok? Despejemos vA.

DESAFíO:

¿En qué posición la velocidad del cuerpo vale 2 m/s?

vA = 162,92

2.17 Una pesa de 0,3 kg está suspendida del techo por un hilo de 1 m de longitud. Se la aparta de la posición de equilibrio, hasta que el hilo forme un ángulo de 37° con la vertical, y se la deja libre. Despreciando los rozamientos y la masa del hilo, determinar con qué velocidad pasará por el punto más bajo de la trayectoria, y la fuerza que soportará el hilo en ese instante. Hallar a qué distancia mínima del techo llegará al otro lado.

Acá tenés un esquemita, espero que te guste. Aproveché e hice algo importantísimo: le puse nombre a los eventos, o posiciones, o estados, o como vos quieras llamarlos, que están mencionados en el problema de los cuales hay que decir algo, como responder preguntas, o utilizar datos.

α

L A C hA

B

Trataremos en primer lugar de responder con qué velocidad pasa por B, la posición más baja. Elegí un SR de alturas tal que hB es igual a cero, ¿te parece? Comparemos energéticamente A con B. WFncAB = ΔEMAB

| 238 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

Las únicas fuerzas que actúan durante este proceso son el peso, P, que es conservativa y la que realiza la cuerda, T, que estoy muy tentado de decirte que también es conservativa, pero no lo voy a hacer para no entrar en polémicas. Pero de todos modos su trabajo a lo largo de toda oscilación es nulo, ya que permanentemente forma un ángulo de 90 grados con el desplazamiento. Por todo lo dicho, el primer miembro de la ecuación vale cero. 0 = ΔEMAB EMA = EMB ECA + EPA = ECB + EPB m vA² + m g hA =

m vB² + m g hB

la frase “ y se la deja libre” quiere decir que vA es cero. Y la elección del SR permite hace de hB otro tanto. Entonces m g hA =

m vB²

Esto se va simplificando demasiado. La masa se cancela (no deja de sorprenderme que el movimiento de los péndulos sea independiente de la masa) g hA =

vB²

Hasta acá tenemos una ecuación, bastante sencilla, pero con dos incógnitas. Una de ellas, vB , no nos extraña, porque es la que estamos buscando; pero la otra, hA , podemos expresarla en función de algunos datos del problema que todavía no utilizamos: el ángulo de apartamiento de la vertical y la longitud del hilo. Mirá este grafiquito. El triangulito gris es rectángulo, no cabe duda. Y la hipotenusa es L, la longitud de la cuerda que es dato, y α también es dato... entonces mirá el cateto adyacente a α, llamémoslo CA.

α

L CA A hA

B

CA = L . cos α Si a CA le sumamos hA obtenemos... L. De modo que hA = L – L . cos α = L . (1 – cos α) lo metemos en la ecuación que quedó pendiente y tenemos g L . (1 – cos α) =

vB²

Ahora sí, despejamos nuestra incógnita

www.full-ebook.com

| 239 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

(una vez más te repito: habrás notado que hasta ahora no reemplacé ni un sólo número) vB = 2 Para responder la segunda pregunta, cuánto vale la fuerza que hace el hilo en esta posición, hay que recurrir a la dinámica. Hacemos el DCL... TB B P

En esta instancia, 17 de cada 18 estudiantes meten la pata. Ven el DCL (que es correcto por cierto) y afirman sin la menor duda:TB = P. ¡Falso! Si eso fuera cierto el cuerpo estaría en equilibrio, no podría estar oscilando, debería estar quieto o animado de un MRU. Pero está girando en una circunferencia de radio igual a L, la longitud del hilo y con una velocidad vB (que bastante nos costó hallar). Lo correcto es

O sea: sumatoria de fuerzas igual a masa por aceleración, en este caso centrípeta. De donde

TB = 4,2 N NOTA:

En el esquema inicial te dibujé a C a una altura deliberadamente distinta de A... pese a que yo ya conocía el resultado. Bien, es una buena costumbre de los exáctidos que se precien, tomar esos recaudos que evitan que, por descuido, utilices propiedades del sistema que no son dato.

DESAFíO:

¿Cuántas oscilaciones haría el péndulo antes de detenerse, suponiendo que lo consideramos detenido cuando oscila menos de 2 milímetros, y suponiendo que pierde energía por rozamiento de forma constante a razón de un centésimo de su energía inicial por oscilación? | 240 |

Para responder la última pregunta, hay que saber hasta dónde sube del otro lado, punto que llamé C. Lo comparo energéticamente con A. EMA = EMC ECA + EPA = ECB + EPC m vA² + m g hA =

m vC² + m g hC

Si C es la máxima altura a la que llega, vC es cero. Luego m g hA = m g hC hA = hC Me lo temía, ya que estamos frente a un problema absolutamente conservativo. Y también αA es igual a αC . Ojo que nos piden la distancia al techo, que es L menos h (no pienso explicártelo, ni menos que menos calcuarlo).

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

2.19 Un resorte de masa despreciable está apoyado contra el piso, con su eje vertical. Al colocarle encima una caja, el equilibrio se consigue con el resorte comprimido 10 cm por debajo de su posición original. ¿Desde qué altura por encima de su posición inicial deberá dejarse caer la caja sobre él, para que llegue a comprimirse hasta 30 cm por debajo de la misma? Hallar también la velocidad con que pasará por la posición de equilibrio, y hasta qué altura ascenderá luego del rebote, si se desprecian los rozamientos.

Siempre, en los problemas de leyes de conservación se comparan situaciones, estados, eventos, o lo que quieras... pero se compara de a dos. Y en casi todos los problemas, también, se habla de muchas situaciones... muchas más que dos. De modo que para entender cuáles dos estamos comparando (de a una comparación por vez) hay que ponerle nombre a todas las situaciones mencionadas en el enunciado. Fijate si te cierra este esquemita que hice para aclarar la descripción, y de paso, ponerle nombre a cada situación. Tal vez notaste que falta la última situación mencionada en el problema: “hasta dónde llega cuando rebota”, en efecto no la puse, soy caprichoso.

A

B

C

D

E

La situación A te muestra al resorte apoyado en el piso tal como lo compramos en la ferretería. Ahí su compresión vale cero, no esta ni comprimido h=0 ni estirado. Arbitrariamente alegí la posición de su espira superior como nivel cero de alturas. Podría haber elegido otro cualquiera, por ejemplo el piso. Preferí ése porque las compresiones están definidas desde ese nivel y eso me desliga de la longitud del resorte, sobre el cual el problema nada dice. El único recaudo que hay que tomar cuando se define un sistema de alturas es que todo lo que esté debajo del nivel cero debe tener una altura negativa. Por ejemplo, la altura del cuerpo en la situación B es –10 cm o sea –0,1 m. Entre la situación A y B no hay nada que comparar energéticamente. A la situación B se llega apoyando suavemente la caja y se hace simplemente para que puedas acceder a alguna información extra. Te lo muestro en un DCL de la situación B.

B

Fe

P

El enunciado te dice claramente que en B la caja se halla en equilibrio, eso te permite afirmar que Fe = P o sea k . ΔxB = m . g

www.full-ebook.com

| 241 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Ahora ya podés considerar dato la constante elástica, que te estaba faltando (no la calcules, por favor, combatí tu reemplacismo, que es dañino). Dejalo así:

Ahora sí, empecemos con las comparaciones energéticas. Qué eventos comparar, eso lo vas a adquirir con la experiencia. Podés comparar cualquier par de eventos, si no hallás las incógnitas, probás con otro par... y así. Voy a comparar primero C con E. WFncCE = ΔEMCE No hay ninguna fuerza no-conservativa actuando, de modo que el primer miembro vale cero y puedo escribir: EMC = EME por definición de lo que es energía mecánica ECC + EPGC + EPEC = ECE + EPGE + EPEE m vC² + m g hC +

k ΔxC² =

m vE² + m g hE +

k ΔxE²

hay varias cosas que valen cero. Por ejemplo ECC = 0 (dice deberá dejarse caer) eso significa vC = 0. También es cero la velocidad en E ya que se trata de la compresión máxima lograda al dejar caer la caja desde C. Por último, la energía elástica en C también vale cero... si ni siquiera están en contacto la caja y el resorte... cómo iba a poder conferirle energía... m g hC = m g hE +

k ΔxE²

hE es igual a ΔxE (pero negativo, no te olvides) de modo que la única incógnita ahí es hC, sólo hay que despejarla.

acá reemplazo k (viste que no era necesario calcularla)

hC = 0,15 m Para saber con qué velocidad pasa por D, puedo comparar C con D o D con E. Siempre es preferible no utilizar datos que uno halló en | 242 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

el mismo ejercicio, es obvio por qué. Así que voy a comparar energéticamente D con E. EMD = EME ECD + EPGD + EPED = ECE + EPGE + EPEE m vD² + m g hD +

k ΔxD² =

m vE² + m g hE +

k ΔxE²

tiro un término nulo m vD² + m g hD +

k ΔxD² = m g hE +

k ΔxE²

hD es igual a ΔxB, es igual a ΔxD (pero negativo, no te olvides, hD= –ΔxB = –ΔxD ) de modo que la única incógnita ahí es vD, sólo hay que despejarla.

DESAFíO:

vD = 2 La altura a la que llegará después de rebotar no es difícil de predecir, habida cuenta que despreciamos todas las fuerzas no-conservativas que puedieran actuar.

¿Con qué velocidad pasa por el nivel cero? R: 1,73 m/s. ¿Cuál resultado de este problema no cambiaría si reemplazase el resorte por uno de constante doble?

2.21 Un cuerpo de 4 kg es impulsado por un resorte de constante elástica k1= 6400 N/m por una pista horizontal en la que el rozamiento es despreciable, salvo en la zona BC donde el coeficiente respectivo es µd = 0,3; rebota contra otro resorte de constante k2 , e ingresa nuevamente a la zona con rozamiento, deteniéndose exactamente en el punto B. Hallar: a) La compresión inicial máxima del resorte de constante k1. b) La constante elástica del otro resorte, sabiendo que ambos sufrieron idéntica compresión máxima. c) En qué punto se detendrá al repetir la experiencia con las mismas condiciones iniciales, sustituyendo el resorte 2 por otro con una constante 13 veces mayor.

Escuchá esto: un matrimonio de jardineros está trabajando en un jardín, cortando tallos... el marido le dice: “Seamos felices, mientras podamos” ¡Jua, jua, jua! ¿Lo entendiste...? “mientras podamos”. Ok, ok, ya sé, no tiene nada que ver... preferís este problema que es un plomazo. (Podamos... no puede ser...)

www.full-ebook.com

| 243 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Te lo repito una vez más... para aplicar el método (ojo que me puse serio) de leyes de conservación tenés que tener en claro (¡y a tu lector también le tiene que quedar claro!) qué eventos estás comparando. Te voy a hacer una secuencia de todos los sucesos notables por los que vamos a ir pasando y le voy a poner nombre a cada uno de ellos. Acá va: 3m

El resorte 1 comprimido un cierto Δx empuja al cuerpo, que adquiere una velocidad entra al tramo con rozamiento, sale de él con una velocidad menor, comprime al resorte 2. Te cuentan que esa compresión es igual a la del 1 al principio. El cuerpo rebota, vuelve a entrar al tramo con rozamiento. ahora en el sentido opuesto y se le acaba la cuerda justo cuando estaba por salir del rozamiento.

A B C

A cada evento le puse un nombre y podría haber destacado más... pero de todos éstos ya hay varios que sobran, no importa.

D E F G

Tenés que tener en cuenta, además, algunas otras cositas. Por ejemplo, que durante la pasada por el tramo con rozamiento, el sentido del desplazamiento y el sentido de la fuerza de rozamiento son opuestos (sus vectores representativos forman 180 grados. Eso ocurre tanto cuando el cuerpo va para un lado como cuando va para el otro. La longitud del tramo, BC, es dato y vale 3m. (A BC le tendria que poner una rayita arriba -segmento BC-). Y lo más importante que tenés que tener en cuenta es que el método de leyes de conservación te permite comparar dos eventos cualesquiera, no necesitás que sean consecutivos, ni siquiera cercanos. Por ejemplo, para responder la primer pregunta del enunciado voy a comparar directamente los eventos A con G (!) WFncAG = ΔEMAG = EMG – EMA El primer término te está pidiendo que sumes todos los trabajos de todas las fuerzas no-conservativas que hayan actuado entre A y G. La única (ya no hace falta que repasemos todas) es la de rozamiento y su trabajo en cada paso es WRoz = – μe m g

| 244 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

como entre A y G se realizan dos trabajos de esos WFncAG = – 2 μe m g eso es lo que vale el primer miembro de la ecuación inicial. Sigamos con el segundo término. Acordate que energía mecánica es la suma de la cinética más la potencial gravitatoria más la potencial elástica. – 2 μe m g

= ECG + EPgG + EPeG – ECA – EPgA – EPeA

si tomamos altura igual a cero en el nivel en el que ocurre todo el problema, las energías potenciales gravitatorias valdrán cero. (Y si elegimos otro cero igual se cancelan, porque serán iguales). La cienética de A y de G también valen cero. Lo mismo la elástica de G. ¿Qué queda? – 2 μe m g

=–

2 . 0,3 . 4 kg . 10

k1 ΔxA² .3m=

. 6.400

. ΔxA²

La única incógnita era ΔxA, o sea, lo que nos pedían. Despejala y listo. ΔxA = 0,15 m Para responder la segunda pregunta comparo A con E. Siempre del mismo modo (ya voy más rápido, ¿sí?) WFncAE = ΔEMAE – μe m g

=

k2 ΔxA² –

k1 ΔxE²

Discusión:

La lección importante de este ejercicio es que el método energético puede aplicarse para comparar cualquier PAR (siempre de a dos) de eventos, incluyendo en el primer miembro todos los trabajos de las fuerzas no conservativas que hayan ocurrido durante esas dos situaciones. Quienes no conocen esta potencialidad pierden mucho tiempo calculando variables (alturas, posiciones, velocidades, estiramientos, etc, etc, intermedios, cuando en realidad pueden ir directo a la caza de la incógnita que les interesa tomando el evento que lo incluye como estado en la comparación.

acordate que ΔxA = ΔxE, entonces sólo nos falta k2 k2 = 3.200 Para la última pregunta no hace falta hacer ninguna cuenta. Fijate que entre el evento C y el F no actúa ninguna fuerza no-conservativa. Sea cual sea el elástico que coloques en la posición del 2 (mientras sea un elástico ideal como los del CBC) su trabajo será conservativo, y no modificará la energía mecánica del cuerpo, por lo tanto se va a detener en el mismo lugar que donde se detiene ahora. v = 0 en el punto B “podamos, podamos...” ¿lo entendiste?

www.full-ebook.com

DESAFíO:

Acá tenés un desafío con una lección importantísima. Hacela y si no te sale en 5 minutos es porque no cazaste la idea que te quiero mostrar (no es la misma idea que discutí arriba, es otra cosa). Si no te sale consultalo con tu docente... porque, ya te digo, es súper importante. Si en cada pasaje por el tramo con rozamiento el cuerpo pierde 36 J, ¿dónde se detendrá (en qué lugar exacto) si el resorte 1 le confiere una energía inicial de 891 J? | 245 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

2.23 Un cuerpo es impulsado por un resorte como muestra el esquema de la figura. Considerando que el rozamiento es despreciable en el primer tramo, hasta llegar a B. Hallar: a) La compresión del resorte para la cual se deja libre la masa si pasa por el punto A con la mínima velocidad posible. b) El trabajo de la fuerza de rozamiento si es apreciable desde B en adelante, y el cuerpo llega justo hasta el punto C. Datos: R = 1m m = 2 kg k = 200 N/m

Vamos por partes, como decía el fantasma de la ópera. A la posición en que se encuentra la bolita en la figura, o sea, quietita y al lado del resorte la voy a llamar posición (o mejor dicho, estado) 0. Y voy a comparar energéticamente 0 con A. WFnc0A = ΔEM0A No me voy a cansar nunca de remarcarte lo importante que es el uso de subíndices, que indican qué tramo estamos considerando en la comparación de estados energéticos. Empecemos con el primer miembro. No hay tracciones, no hay rozamientos... no hay fuerzas no-conservativas actuando ni trabajando... el primer miembro vale cero. 0 = ΔEM0A EM0 = EMA EC0 + EPG0 + EPe0 = ECA + EPGA + EPeA m v0² + m g h0 +

k Δx0² =

m vA² + m g hA +

k ΔxA²

Elijamos astutamente altura igual a cero la posición en 0, y adviertamos que en ese punto la velocidad de la bolita vale cero, que en el punto A la energía potencial elástica vale cero, y la altura vale 2 R, entonces... k Δx0² =

m vA² + m g 2 R

Y acá aparece una dificultad importante... ¡despertate! Ok, decia... que acá aparece una dificultad importante y es la siguiente: si te fijás bien en esa ecuación hay dos incógnitas. Una de ellas es Δx0, lo cual era esperable ya que es lo que nos pregunta el enunciado; y la otra es vA. Ahí está el problema. El enunciado nos sugería que vAfuese la mínima posible. Muchos estudiantes, para ser más precisos 47 de cada 72, inventan que vA sea igual a cero... craso error... si vA fuera cero la bolita caería libremente ¡y en forma vertical! como cualquier | 246 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

vA

caida libre común y silvestre. Está claro que no es el caso y que vA es distinto de cero... ¿pero cuánto vale? La respuesta no la hallaremos en la energía sino en la dinámica. Mirá el DCL.

R

N P

¿Estás de acuerdo con esas dos fuerzas? Ok, no hay otra... de hecho sobra una. La cuestión es que cuanto más rápido vaya la bolita más fuerza tiene que hacer el riel para hacerla girar (la fuerza que hace el riel es normal al riel, y la llamé normal, N, para que vos no chilles). Eso es algo que no le podés pedir al peso, que es una constante. La cuestión es que cuando la velocidad es la mínima... la normal se hace cero. Es sólo por un instante, al toque vuelve a tomar contacto la bolita con el riel, pero por un instante se hace cero. Yo sé que no es algo inmediato, ni obvio, ni fácil, ni divertido. Es lo que nosotros llamamos una situación límite, y los físicos y los matemáticos siempre estamos al acecho de esas situaciones (y esas situaciones al acecho nuestro). Y la dinámica (que como siempre se la dejamos a Newton) nos dice que la sumatoria de fuerzas que actúa sobre un cuerpo (nos ha quedado solito el peso) es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración... en este caso centrípeta.

Esto lo meto en la ecuación de energía que nos había quedado pendiente por exceso de incógnitas... k Δx0² =

mgR+mg2R

Δx0 = 0,707 m Ahora que sabemos cuanto vale Δx0 y cuánto vale vA, podemos comparar energéticamente cualquiera de esas dos situaciones, 0 o A, con C. No hay preferencias. Voy a comparar A con C.

www.full-ebook.com

| 247 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

WRozAC = ΔEMAC = EMC – EMA WRozAC =

m vC² + m g hC –

m vA² – m g hA

como hA = hC y como vC = 0... DESAFíO:

¿Hasta qué altura hubiera llegado la bolita si no hubiese rozamiento?

WRozAC = –

m vA² = –

mgR

WRozAC = – 10 J

2.24 El sistema esquematizado en la figura parte del reposo; se puede despreciar la masa de la cuerda y de la polea, y el rozamiento en la misma, pero entre el bloque 1 y el plano el coeficiente dinámico es µd = 0,16. La masa del bloque 1 es 80 kg, y la del bloque 2 es 20 kg. Por consideraciones energéticas, hallar con qué velocidad llegará al piso el bloque 2.

Este ejercicio está planeado para mostrarte una particularidad del método de leyes de conservación bastante práctico. Vamos a ponerlo en uso y después te voy a mostrar que si no conocés esta propiedad del método, igual podías resolver el problema por la vía clásica. A

La idea consiste en considerar al conjunto de los dos cuerpos como un sistema cerrado. La ventaja de este planteo es que las fuerzas que los cuerpos se hacen entre sí -en este caso las fuerzas que se ejercen a través de la soga que los une- se considera una fuerza interna y por lo tanto incapaz de modificar su energía mecánica.

1

Δx

2 Δx

Si adoptamos este criterio el planteo energético debe ignorar el trabajo hecho por la soga. Vamos a comparar energéticamente los estados A y B

B 1

WFncAB = ΔEMAB

Δx Δx 2

La única fuerza no conservativa que actúa sobre el sistema (acordate que, como sistema, la fuerza de la soga es interna) es el rozamiento del cuerpo 1 con la superfifie. Su desplazamiento, que llamaré Δx, vale lo mismo que el cuerpo 2, ya que la soga es inextensible. Lo mismo podemos decir de sus velocidades. WRoz = EMB – EMA – μd m1 g Δx = ECB + EPB – (ECA + EPA)

| 248 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

Cuando hable de la energía del sistema, estaré hablando de la suma de las energías de sus componentes (en este caso los cuerpos 1 y 2). Voy a tomar nivel cero de alturas en el piso. Además los cuerpos parten del reposo. Y la energía potencial del cuerpo 1 vale lo mismo en A que en B, puedo no ponerla ya que se va a cancelar. – μd m1 g Δx =

m1 vB1² +

m2 vB2² – m2 g Δx

Ya te había dicho que tienen siempre la misma velocidad. La saco como factor común y hago pasajes de términos.

vB = 1,2 Ahora suponete que no tenías esa triquiñuela del “sistema”, hubieras considerado a cada cuerpo por separado. Está claro que para cada cuerpo por separado el trabajo que hace la cuerda es no-conservativo (si no... cómo hace para arrancar el cuerpo 1, o por qué no llega con más velocidad el cuerpo 2). Considerando a cada cuerpo por separado, la soga realiza un trabajo que le agrega energía al cuerpo 1 y se la quita al cuerpo 2. Roz

Mirá los DCL y sacate las dudas. Ahora planteo energía (WFncAB = ΔEMAB) para cada cuerpo por separado, agregando, lógicamente el trabajo que hace la cuerda sobre cada cuerpo. En el caso del cuerpo 1 forma un ángulo de cero grados con el desplazamiento, y en el caso del cuerpo 2, un ángulo de 180. Cuerpo 1 Cuerpo 2

– μd m1 g Δx + T Δx = – T Δx =

N T

1

T Δx

P1

2 P2 Δx

m1 vB1²

m2 vB2² – m2 g Δx

No importa cuánto vale T, si sumamos miembro a miembro estas dos ecuaciones llegamos a la misma que teníamos antes cuando hicimos el planteo al “sistema”.

DESAFíO:

¿Cuánto vale el trabajo que hace la soga?

www.full-ebook.com

| 249 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

3. Impulso y cantidad de movimiento

3.1

Determinar el impulso que produjo una fuerza horizontal constante, tal que aplicada a un objeto de 6 kg que estaba en reposo sobre un plano horizontal sin rozamiento le hizo recorrer 5 m en 2 s.

Este es uno de esos problemas que bien podría ilustrar el artículo de las trampas 39 de cada 53 estudiantes lo resuelven mal porque caen en esta trampa de mal gusto, traicionera, canalla, hipócrita y maricona que te tendieron los autores de esta guía. Trataré de no caer yo. Cuando la encuentro te la marco, y después volvemos a hablar de ella. I = m vF – m vO como la velocidad inicial es cero (dato del enunciado) el problema queda simplente así: I = m vF donde lo único que tenés que averiguar para poder obtener el impulso es la velocidad final del objeto. Acá es donde casi todos meten la pata: para averiguar la velocidad final hacen vF = Δx / Δt. ¡FALSO! ¡Más falso que discurso de Menem! Esa definición de velocidad es válida solamente para movimientos uniformes donde la velocidad es constante y vF = vO. ¡Acá estamos frente a un MRUV! Te la hago sencilla: Δx =

a Δt²

vF = a Δt combinando ambas Discusión:

Hagamos un trato... no respondas ahora, tomate 24 horas de meditación y decime cuánto tiene de trampa la trampa y cuánto tiene simplemente de distracción, inexperiencia, automatismo, ingenuidad o alguna otra virtud de los 20 años.

por lo tanto I=m.

= 6 kg . 2 .

I = 30 Ns

DESAFíO:

¿Cuál hubiese sido la velocidad final si inicialmente el objeto se movía a 10 m/s en la misma dirección y sentido contrario a la fuerza? | 250 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

3.5 Una bala de fusil de 40 g que se mueve a 300 m/s choca contra un bloque de madera de 2 kg que descansa en reposo sobre una superficie horizontal. El proyectil atraviesa el bloque, y sale del mismo con una velocidad de 100 m/s. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso es μd= 0,2, hallar a qué distancia de su posición inicial se detendrá.

Hay cierta dificultad en este enunciado, y es comprensible que deje una cantidad de gente afuera. Mirá es así: cuando la bala atraviesa el bloque, eso es un choque, lo planteás y lo resolvés como un choque común y silvestre. Después del choque los cuerpos (bala y bloque) salen despedidos con diferentes velocidades. La bala se pierde. El bloque desliza con rozamiento y se frena. Vamos a verlo en un esquemita que te preparé en tres etapas. ¿Te cierra ahora? En ese caso te imaginarás que es un problema sencillísimo. Primero planteamos y resolvemos el choque (no dejes de leer la discusión del choque). Después, pérdida de energía por rozamiento. Y ya.

M

vma m A x

vMd

vmd

D D

Te voy a aclarar las iniciales que usé. m es la masa de la bala, es dato. M es la masa del bloque, es dato. vma es la velocidad de la bala antes del choque, es dato. vMa es la velocidad del bloque antes del choque, es dato y es cero. vmd es la velocidad de la bala después del choque, y es dato. Y vMd es la velocidad del bloque después del choque y es nuestra primera incógnita. Ahí va el choque.

d

F

m vma + M vMa = m vmd + M vMd vMd = ( vma – vmd )

=4

Ahora, nos olvidamos de la bala y nos concentramos en el bloque. En el tramo DFpierde toda la energía por el rozamiento. La ecuación que describe esa pérdida es la que dice que el trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de energía mecánica. WFncDF = ΔEMDF WRozDF = EMF – EMD – μd M g d = –

M vMd²

d=4m Bueno, yo te había avisado que era fácil.

www.full-ebook.com

| 251 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Discusión: Lo más interesante que tiene este ejercicio es que te muestra un choque interesante. Es un choque raro, no te lo voy a negar, pero tiene la virtud de señalarte la existencia de los choques que no son absolutamente elásticos ni absolutamente plásticos. Los absolutamente elásticos son aquellos en los que durante el choque no se pierde nada de energía. Los absolutamente plásticos ocurren cuando los cuerpos quedan pegados o unidos después del choque. Son dos extremos de un abanico enorme de posibilidades que representa el 99,99 % de los choques reales. No te quedes sólo con los dos extremos, quedate con la realidad. DESAFíO:

Suponiendo que la bala ejerce sobre el bloque una fuerza constante... ¿cuánto vale esa fuerza? ¿cuánto dura la interación entre la bala y el bloque? ¿Qué cantidad de energía se perdió durante el paso de la bala a través del bloque?

No hay uniformidad de criterio en cómo nombrar los tipos de choque. Hay quien llama a los intermedios inelásticos. También hay quien llama plástico a todo aquel que no sea perfectamente elástico sin importar que hayan quedado o no unidos los cuerpos.

3.6 Un proyectil de 10 g que se mueve horizontalmente a 400 m/s se incrusta en una caja de 5 kg que se halla en reposo, suspendida de un hilo largo de masa despreciable. Determinar con qué velocidad se moverá la caja con el proyectil dentro, luego del choque. Hallar también hasta qué altura máxima se elevará el conjunto.

0 vm

M

Re papa. Acá viene la bala, más veloz que un rayo... andá a medirle la velocidad con una cinta y un cronómetro. El que sigue es un método sencillo para medir (indirectamente) la velocidad de la bala, vm. Llamaré vM a la velocidad del bloque antes de chocar; y vc a la velocidad del conjunto después de incrustarse la bala. La bala se incrusta en el bloque de madera: se trata de un choque plástico:

m

m vm + M vM = vc (M + m)

1

Como el bloque de madera estaba esperando en reposo su velocidad antes de chocar, vM, es nula. Entonces queda: m vm = vc (M + m)

M+m

vC

La masa de la bala es despreciable con respecto a la masa del bloque; de modo que M+m es prácticamente igual a M. La cuestión queda así: m vm = vc M

| 252 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

2

vc = 0,8

M+m

Aunque se trata de una velocidad lenta, tampoco es fácil de medir por el método corriente de regla y cronómetro; es muchísimo menor que vm, pero cambia rápidamente. Hay un método más sencillo, que es medir la altura a la que llega el conjunto, y vincular ese estado, 2, con el estado inmediatamente posterior al choque, 1.

h

Como es un proceso -el balanceo- conservativo:

Discusión:

Este dispositivo se utilizó no demasiado antiguamente para medir las altas velocidades de los proyectiles. El procedimiento era justamente el inverso al que te propone este ejercicio. Se medía la altura a la que llegaba el bloque con el proyectil incrustado y a partir de ese dato se infería la velocidad del proyectil.

DESAFíO:

¿Cuánto vale la energía de la bala? ¿Cuánto de esa energía se destina a la destrucción del bloque? ¿Qué velocidad tendría el proyectil si el bloque hubiese ascendido 6 cm?

h2 = 0,032 m

3.9 Un automóvil de 1000 kg llega a la bocacalle en un cruce, moviéndose a 2 m/s en dirección Norte-Sur, y también llega un camión de 3000 kg, moviéndose a 0,5 m/s en dirección Oeste-Este. Determinar la cantidad de movimiento de cada uno, y la del sistema formado por ambos vehículos. Suponiendo que chocan y quedan enganchados, determinar con qué velocidad se moverán un instante después de chocar.

Aca está, disfrutalo porque hay pocos en la guía: choque en dos dimensiones. En este caso, un choque plástico y sangriento.

x

Se trata de la misma idea que cualquier choque plástico: y

Llamemos A al auto y C al camión mA vOA + mC vOB = vF (mA+ mC) pero planteado dos veces por separado, una para el eje x y otra para el eje y. Se refuerza el carácter vectorial de la cantidad de movimiento.

www.full-ebook.com

| 253 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Eje x

mA vOXA + mC vOXC = vFX (mA + mC )

Eje y

mA vOYA + mC vOYC = vFY (mA + mC )

La velocidad del camión no tiene componente y, y la del auto no tiene componente en x. Dicho de otro modo: vOYC = 0 ,y vOXA = 0 Reemplazamos esto en cada ecuación y despejamos la velocidad final del conjunto en cada eje. Eje x Eje y Para calcular la velocidad del bodoque de carne y chatarra justo después del choque componemos por pitágoras, y el ángulo que forma con el eje x es aquel cuya tangente vale vFY / vFX

vF = 0.625

           αF = 53º

Ah, me olvidaba... también nos pedían calcular las cantidades de movimiento inicial de cada vehículo... a ver... Camión

pOC = mC vOXC pOC = 1.500 Ns

Auto

pOA = mA vOYA pOA = 2.000 Ns

Y fuera de programa... ya que estamos... qué tal si nos fijamos cuánto vale la cantidad de movimiento del conjunto y de sus componentes en cada eje... DESAFíO:

Si aprendiste la lección vas a poder contestarme esto sin hacer ninguna cuenta: ¿Cuánto vale la cantidad de movimiento inicial del sistema formado por auto y camión?

| 254 |

pF   = vF  (mA + mC ) = 2.500 Ns pFX = vFX (mA + mC ) = 1.500 Ns pFY = vFY (mA + mC ) = 2.000 Ns

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

3.10 En los extremos de la pista de la figura hay dos carritos, que pueden moverse con rozamiento despreciable. Al carrito A, de 3 kg, se lo tiene en reposo, a 1,8 m por encima del tramo horizontal. El carrito B, de 2 kg, es mantenido en reposo contra un resorte de constante elástica 1800 N/m, acortándolo 40 cm a partir de su estado sin deformación. Se liberan ambos, y corren por la pista de modo que se encuentran en el tramo horizontal. Allí se enganchan y prosiguen juntos. a) Determinar con qué velocidad se moverán después de engancharse. b) Si primero se dirigen hacia el resorte, hallar qué longitud máxima lo desplazarán; en caso contrario, a qué altura máxima llegarán sobre la rampa. c) Hallar el impulso recibido por B, y la variación de energía cinética que experimenta:          - debido al resorte          - debido a su choque con A. A 0 Este es uno de esos típicos problemas de física que ΔX0 antes de empezar a resolver tenés que tener seguh0A B ridad plena de que ni el amor de tu vida, ni el de

esta semana, te va a interrumpir. Es largo. Vamos a ponerle nombre a cada evento para poder compararlos a través de alguna ley de conservación.

Llamé 0 a la situación inicial, los dos carritos están llenos de energía, pero todavía no los sueltan.

x

1

A

B

1. Llegan abajo con mucha velocidad, o sea cada uno transformó su energía inicial en cinética. Todavía no chocaron. Voy a empezar con el carrito A, su proceso 0-1. Es una bajada conservativa, ya que no hay rozamiento ni tracciones. EMA0 = EMA1 mA g h0A = g h0A =

mA v1A²

v1A²

Sigo con el carrito B, su proceso 0-1. También es conservativo, ya que no hay rozamiento ni tracciones.

www.full-ebook.com

| 255 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

Si tenés ganas de ir haciendo números, estás en tu derecho... a mí los números me dan un poco de alergia. Me alcanza con saber que tanto a v1A como v1B los tenemos. x 1

2. Ahí chocan. Y quedan pegados, o enganchados, es lo mismo. A partir de ahí se comportarán como un cuerpo único cuya masa será la suma de las masas individuales.

B

A

3. Después del choque podrían ocurrir tres cosas. O que el conjunto se quede detenido, o que salga hacia la izquierda o que salga hacia la derecha. Veremos veremos después lo sabremos.

2

AB

3 AB

AB

1. Están por chocar

Resolvamos este choque. Sabés que no tenemos ecuaciones que describan el choque, pero tenemos una ley de conservación que permite vincular un instante antes del choque con un instante después. Justamente el 1 con el 3.

Se trata de la ley de conservación de la cantidad total de movimiento. Es una relación vectorial y por suerte las velocidades son unidireccionales. Pero hay que asignar un SR que le dará signo a las velocidades. Justamente, analizando el signo de la velocidad del conjunto sabremos para qué lado sale.

v3 = – 1,2 como es negativo se dirigen hacia la rampa. 3 AB

AB h4AB | 256 |

4

4. Si hubieran salido para la derecha habrían terminado comprimiendo un poco al resorte, pero salieron para la izquierda de modo que terminarán subiendo cierta altura por la rampa. Entonces comparo la situación 3 con la 4 correcta, o sea arriba de la rampa, por energía mecánica para el cuerpo del conjunto unido.

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

EMAB3 = EMAB4 (mA + mB ) v3² = (mA + mB ) g h4 v3² = g h4

h4 = 0,072 m Ojo, a partir de ahora sólo me ocupo de B, por pedido del enunciado. El impulso es igual a la variación de la cantidad de movimiento, entonces I01B = mB v1B – mB v0B I01B = mB v1B I01B = – 24 Ns Ahora la energía cinética. La variación de energía cinética debe ser positiva, ya que antes de ser impulsado estaba quieto y después no. ΔEc01B =

mB v1B2 –

ΔEc01B =

mB v1B2

mB v0B²

ΔEc01B = 144 J Ahora los mismos cálculos pero para el choque con el carrito A. I13B = mB v3B – mB v1B fijate que no importa que haya quedado unido a A, para calcular el impulso que recibió (lo mismo su energía) mantiene su individualidad, pobrecito. I13B = 21,6 Ns Finalmente la variación de energía cinética que sufre B debido al choque será ΔEc13B =

mB v3B2 –

mB v1B²

DESAFíO:

Modificar un dato cualquiera para que el resultado del problema sea que el conjunto comprime al resorte en 40 cm, lo mismo que estaba acortado al principio... ¿será posible?

ΔEc13B = – 142,56 J

www.full-ebook.com

| 257 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

3.12 Dos esferas de igual masa están suspendidas de modo tal que en su posición de equilibrio sus centros quedan a la misma altura. Se separa la esfera A de la posición inicial y se la deja caer desde una altura h contra la B, con la que choca en forma perfectamente elástica. Hallar las velocidades de cada esfera después del primer choque, las alturas a las que llegará cada una, y describir el comportamiento posterior del sistema. Las esferas se mueven en un único plano. 

Bueno, mirá... este problema es muy largo y tiene muchas etapas que hay que plantear por separado en forma independiente. Hay que ponerles nombre a cada situación que sea el inicio y el fin de cada etapa, si no, es muy fácil perderse. Tenemos un primer proceso que es el descenso de la bola A (más oscura). El inicio de esa etapa lo llamé ii (inicio) y el final ac (antes del choque). Después viene el choque cuyo inicio es ac y termina en dc (después del choque). Por último el ascenso de las bolas, la A y la B, hasta su posición más alta ff (final). Esta primera etapa sólo le compete a la bola A y se puede resolver por conservación de la energía mecánica ya que no está actuando ninguna fuerza no conservativa.

ii h0

ac

EMAii = EMAac ECAii + EPAii = ECAac + EPAac Si tomamos altura igual a cero en la posición más baja de las bolas nos queda EPAii = ECAac m g hO = g hO =

m vAac² vAac²

No hay mucho más que desconociéramos de esta etapa. Podemos continuar. ch

Le toca el turno al choque mA vAac + mB vBac = mA vAdc + mB vBdc

| 258 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

si nos acordamos de que las masas de las bolas eran iguales y la bola B estaba quieta y esperando... vAac = vAdc + vBdc

[1]

Pero el enunciado afirma que el choque es perfectamente elástico, eso quiere decir que la energía (cinética) antes del choque es igual a la energía (cinética) después del choque mA vAac² +

mB vBac² =

mA vAdc² +

mB vBdc²

cancelando todo lo cancelable vAac² = vAdc² + vBdc²

[2]

Si las mirás con cariño, las ecuaciones [1] y [2] son parecidas pero no son iguales y entre las dos forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y tiene solución. Voy a proceder así: elevo [1] al cuadrado (acordate de cómo se multiplica por sí mismo un binomio, ojito) y a lo que me da le resto la [2]. vAac² = vAdc2 + vBdc2 + 2 vAdc vBdc vAac² = vAdc² + vBdc² 0 = 2 vAdc vBdc Ese producto puede valer cero sólo cuando VAdc = 0 o cuando VBdc = 0 , no cabe duda que que la velocidad de B después del choque no puede ser cero de modo que lo que tiene que anularse es la velocidad de A después del choque. Esa era una de las preguntas del enunciado. vAdc = 0 Vale decir: después del choque elástico la bola A se queda muerta y la B sale despedida. Para saber con qué velocidad sale despedida, podemos volver a la ecuación [1] vAac = vBdc Aparece otra respuesta más

www.full-ebook.com

| 259 |

| RICARDO CABRERA | Ejercicios de Física

v F dc

hF

Ahora le toca el turno a la última etapa, el ascenso de la bola B (ahora sabemos que sólo asciende ella). Valen las mismas consideraciones que hice para la primera etapa EMBdc = EMBff ECBdc = EPBff m vBdc² = m g hff 2 g hO = g hff hff = hO

DESAFÍO:

Este que te voy a plantear ahora es el desafío más difícil que les planteo a mis estudiantes de este curso. Con lo que sabés de conservación de energía y choques elásticos tenés que poder hacerlo. Demostrar que cuando dos bolas de billar (o pool) chocan de forma excéntrica, como muestra el esquema, el ángulo que forman sus velocidades después del choque es siempre de 90 grados.

Discusión: Interpretando a fondo el resultado de este problema concluimos que si el choque es perfectamente elástico las bolas estarán eternamente chocando y rebotando sin perder altura ni energía. Sabemos que esto no ocurre en nuestro universo, pero a veces inventamos jueguitos muy simpáticos y divertidos que se aproximan bastante a esta consideración y que además, no dejan de maravillarnos.

3.13 Se tienen dos carritos A y B que pueden desplazarse con rozamiento despreciable sobre el riel horizontal de la figura. La masa del carrito A es 2 kg. a) El carrito A es lanzado con una velocidad de 7 m/s contra el B, que está en reposo. Ambos experimentan un choque perfectamente elástico, y luego de separarse se observa que A retrocede moviéndose a 5 m/s. Determinar la masa del carrito B, y su velocidad luego del choque. b) (transcripto abajo)

Bueno, planteemos todo lo que sabemos de un choque perfectamente elástico. Primero la conservación de la cantidad de movimiento total, y segundo, la conservación de la energía cinética total. mA vOA+ mB vOB = mA vFA + mB vFB mA vOA² +

mB vOB² =

www.full-ebook.com | 260 |

mA vFA² +

mB vFB²

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

Tiremos las cosas que sobran: las que son cero, y las que se pueden cancelar porque aparecen multiplicando en todos los términos. mA vOA = mA vFA + mB vFB mA vOA² = mA vFA² + mB vFB² Si lo mirás adecuadamente, tenés frente a los ojos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (te las puse en gris): mB y vFB. Eso quiere decir que operando algebraicamente podés hallar las incógnitas... que no son otras que las que te pide el enunciado del ejercicio. No te preocupes... yo te lo hago, no es nada difícil. Primero paso los primeros términos de los segundos miembros, al primero. Ahí saco la masa de A como factor común. Queda ésto, mirá: mA (vOA – vFA ) = mB vFB mA (vOA² – vFA² ) = mB vFB² Ahora podés dividir miembro a miembro ambas ecuaciones (la de abajo sobre la de arriba), y una de las incógnitas queda sola, solita, para que hagas la cuenta.

Tené en cuenta que si ponemos positiva a la velocidad de ida (7 m/s) entonces la velocidad de regreso debe ser negativa: – 5 m/s.

vFB = 2

respuesta a)

Este resultado lo metés en las dos ecuaciones (para chequear que te da lo mismo) y obtenés el valor de la otra incógnita: mB = 12 kg

respuesta a)

Vamos entonces al segundo ítem del ejercicio. b- En otra experiencia, se lanza al carrito B contra el A, ahora en reposo, y se mide una velocidad vA= 12 m/s luego de separarse. Hallar las velocidades inicial y final de B.

Nuevamente aplicaremos las dos ecuaciones que describen los choques perfectamente elásticos. No hay nada nuevo.

www.full-ebook.com

| 261 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

mA vO’A + mB vO’B = mA vF’A + mB vF’B mA vO’A² +

mB vO’B² =

mA vF’A² +

mB vF’B²

Se trata de los mismos cuerpos, de modo que ahora hay que considerar dato, también, la masa de B. La velocidad inicial de A es nula... así que nos queda: mB vO’B = mA vF’A + mB vF’B mB vO’B² = mA vF’A² + mB vF’B² Y nuevamente se nos aparece un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas... que tiene solución algebraica y no es Física... es Algebra. Es muy importante que visualices este límite... eso te va a ayudar a entender la Física. Algunos profesores de Física suelen darle a los estudiantes unas fórmulas especiales para resolver estos casos algebraicos problemáticos. Mi opinión es que eso es contraproducente para la enseñanza de la Física. Prefiero que hagas tu experiencia algebraica sin fórmulas mágicas; yo sé que hay que batallar bastante antes de arribar al resultado. Pero así es como se aprende el álgebra. No hay otro camino. Te muestro mi resolución: Paso los segundos términos de los segundos miembros al primero, y saco como factor común la masa de B. mB (vO’B – vF’B ) = mA vF’A mB (vO’B² – vF’B² ) = mA vF’A² En la ecuación de abajo aplico el quinto caso de factoreo (ya sé que vos te lo olvidaste y que jamás se te ocurriría... bueno, vos probaste por otro camino más largo... pero podés llegar igual... y vos estás aprendiendo) Discusión:

Esto indica que el carrito B viene corriendo de derecha a izquierda... choca... y el rebote se produce en la misma dirección y sentido. O sea, se continúa moviendo de derecha a izquierda: es un rebote en sentido figurado. Algunos estudiantes se quedan mirando al infinito cuando se topan con este resultado: no les cierra. Habitualmente les propongo esta imagen: -suponete que un tren choca frontalmente con una mariposa... -ah, ya está. No sigas. -me interrumpen alegremente. Acaba de cerrarles. | 262 |

mB (vO’B – vF’B ) = mA vF’A mB (vO’B – vF’B ) (vO’B + vF’B ) = mA vF’A² Ahora divido miembro a miembro ambas ecuaciones (la de abajo sobre la de arriba) y me queda ésto: (vO’B + vF’B ) = vF’A Y la ecuación de cantidad de movimiento estaba en esto otro:

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

Sumando miembro a miembro me quedo con 2 veces vO’B. Y restando miembro a miembro con 2 veces vF’B. No te olvides que la velocidad con la que viene sale el carrito A después de que B lo choque es vF’A= – 12 m/s, para usar el mismo criterio que antes. vO’B = – 7

,        vF’B = – 5

respuesta b)

DESAFíO:

Calcular el impulso que recibe cada carrito en cada uno de los choques.

3.14



Un bloque de masa mA se desplaza sobre un plano horizontal sin rozamiento de izquierda a derecha con una velocidad vA. En igual dirección pero con sentido contrario se desplaza otro bloque B de masa mB= 4 mA y velocidad vB = vA/4. Si se produce un choque plástico entre ambos bloques, la pérdida de energía cinética del sistema será: a) 0 % b) 25 % c) 50 % d) 60 % e) 80 % f) 100 %

Fácil. Fácil y cortito, como escupida de músico (qué chancho). No hay misterio, lo dice el enunciado, se trata de un choque plástico: mA vA + mB vB = vF (mA + mB )

x mA

Reemplacemos en esta ecuación las dos relaciones entre magnitudes que nos indica el enunciado: mB = 4 mA y vB = – vA / 4

vB

vA

mB

operando (no te pierdas...) mA vA – mA vA = vF (mA + mB ) ¡sorpresa! 0 = vF (mA + mB ) como sabemos que las masas no valen cero, y su suma menos... 0 = vF De modo que los cuerpos, unidos, quedaron detenidos (me salió en versito). ¿Hace falta que calculemos cuánto vale la energía cinética final? ¿Hace falta que calculemos cuánto valía la inicial? ¿Hace falta que calculemos qué porcentaje se perdió? pérdida de EC = 100 %

respuesta f)

www.full-ebook.com

DESAFíO:

Modificar la relación entre las masas para que la pérdida sea del 50% | 263 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

3.16 Un bloque de 2 kg se desplaza sobre un plano horizontal sin rozamiento con 5 m/s y choca plásticamente con otro bloque de 3 kg que estaba en reposo. La variación de energía cinética del sistema es: a) – 15 J b) – 20 J c) – 25 J d) – 30 J e) – 35 J f ) – 40 J

El problema es muy tontito, pero hagamos igual un esquema para ponerle nombre a las cosas. El panel de arriba muestra los cuerpos antes de chocar (lo llamo instante 0) y el panel de abajo después del choque (que llamé F). En todo choque plástico... mA vOA + mB vOB = (mA + mB ) vF

vOA A

B

x

vF

como B espera el choque detenido vOB=0 AB

mA vOA = (mA + mB ) vF luego

Ya lo tenemos. La variación de energía será: DESAFíO:

¿Y cuánto hubiese variado la energía cinética si los cuerpos hubieran chocado en forma perfectamente elástica? A que no lo sacás...

ΔEC = ECF – EC0 =

(mA + mB ) vF² –

ΔEC = – 15 J

respuesta a)

mA vOA²

3.18 Una masa de 2,00 kg en reposo que contiene una pequeña carga explosiva de masa despreciable se desintegra en tres fragmentos. Dos de ellos tienen masas idénticas de 0,50 kg cada uno; el tercero tiene una masa de 1,00 kg. Las velocidades de los fragmentos de 0,50 kg forman un ángulo de 60º entre sí y la magnitud de dichas velocidades es de 100 m/s. Entonces el módulo de la velocidad del fragmento de 1,00 kg será: a) v3 = 6,6 m/s b) v3 = 86,6 m/s c) v3 = 50,5 m/s d) v3 = 22,2 m/s d) v3 = 70,1 m/s d) v3 = 100 m/s y

V1 x

o

V3

30 o 30

V2

Una explosión funciona, mecánicamente, igual que un choque plástico. Es lo mismo que un choque plástico pero visto en cámara reversa: el antes es el después y viceversa. Lo que a nosotros nos interesa es: la cantidad de movimiento total del sistema se conserva durante la explosión (lo que valía antes de explotar es lo mismo que lo que vale después). ΔPT = 0 PTa = PTd

| 264 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

(Cantidad de movimiento total antes de la explosión, igual a la cantidad de movimiento total después de la explosión). La cantidad de movimiento antes de la explosión vale cero, porque la masa estaba en reposo, en ese lugar, que arbitrariamente elegí como origen del SR. Y la cantidad de movimiento después de la explosión esta repartida en tres fragmentos, de masas m1, m2 y m3, donde las dos primeras valen medio kilo y la tercera 1 kilo. La ecuación queda así: 0 = m1 v1 + m2 v2 + m3 v3 Claro está, se trata de una relación vectorial. Y encima es una relación vectorial bidimensional, de modo que descomponemos las velocidades en dos direcciones y planteamos nuevamente la relación pero ahora componente por componente. en el eje x

→

0 = m1 v1x + m2 v2x + m3 v3x

en el eje y

→

0 = m1 v1y + m2 v2y + m3 v3y

Queda claro que v3y vale cero. Y también te debe quedar claro que v1x = v1 cos 30º

y

V1y

v1y = v1 sen 30º

30o

v2x = v2 cos 30º

V3 30o

v2y = v2 sen 30º

V1x

x

V2x

V2y

entonces las ecuaciones de movimiento quedarán así: 0 = m1v1 cos 30º + m2 v2 cos 30º – m3 v3x 0 = m1v1 sen 30º – m2 v2 sen 30º Esta segunda no aporta gran cosa (por ahora), pero de la primera, recordadndo que m1 = m2 = ½ m3, se puede despejar 2 m v3 = m v1 cos 30º + m v2 cos 30º v3 = 86,6

respuesta b)

Discusión: La discusión va a tener dos partes. La primera tiene que ver con un error de planteo. El ejercicio éste esta mal resuleto. El motivo es que se da por supuesta una obviedad, que es que el fragmento 3 sale despedido en la dirección bisectriz de las direcciones de los otros dos

www.full-ebook.com

| 265 |

| Ricardo Cabrera | Ejercicios de Física

fragmentos (o sea que el problema es simétrico respecto del eje x). Y así ocurre, efectivamente. Pero una cosa es que sea obvia y otra cosa es demostrarlo. Deberíamos haberlo hecho previamente, y después sí resolver como resolvimos. No hubiese sido muy grave, pero temía confundirte de entrada si ponía en duda semejante obviedad. Basta con suponer una velocidad v3 que forme un ángulo α3 con el eje x, descomponer ese vector y meterlo en las ecuaciones. La ecuación del eje y te hubiera avisado (viste que yo puse “por ahora”) que α3 valía cero. DESAFíO:

Para que te lo tomes con calma. El mismo problema, pero los únicos datos que se disponen son: que las masas guardan la relación m1 = 2 m2 = 3 m3, y la velocidad del fragmento 1 es 100 m/s, y se quiere saber qué ángulo forman las velocidades entre sí y cuánto valen las dos que faltan.

La segunda parte de la discusión es más interesante. Te habrás dado cuenta que la ley de conservación de la cantidad de movimiento es reversible, o sea, no distinge el antes del después, ni el después del antes. Lo mismo ocurre con el resto de las leyes de conservación de las que disponemos. De hecho hay una sola Ley que distinge el sentido natural del discurrir del tiempo, se trata de la 2da Ley de la Termodinámica (a mi juicio la más bonita de la física), que debido a esa notable característica ha recibido el mote de “la flecha del tiempo”.

3.20 En un choque frontal perfectamente elástico con una masa en reposo, la masa incidente retrocede hacia atrás con una velocidad mitad de su velocidad incidente. Entonces, la razón m1 /m2 de sus masas es a) 1/3 b) 1 c) 1/6 d) 1/2 e) 1/4 f) 1/5 m1

v01

Bueno, planteemos todo lo que sabemos de un choque elástico. Primero la conservación de la cantidad de movimiento total, y también, la conservación de la energía total.

m2

m1 vO1 + m2 vO2 = m1 vF1 + m2 vF2 vF1

vF2

m1 vO1² +

m2 vO2² =

m1 vF1² +

m2 vF2²

Tiremos las cosas que sobran, las que son cero, y reemplacemos ese dato interesante del enunciado que nos dice que vF1 = – ½ vO1. (El signo menos indica que la velocidad del rebote tiene sentido opuesto a la inicial). m1 vO1 = m1 (–

vO1 ) + m2 vF2

m1 vO1² = m1 (–

vO1 )² + m2 vF2²

Me parece que ya lo tenemos... pasemos el primer término de los segundos miembros a los primeros. Hacelo con calma y despacio. Fijate si llegás a lo mismo que yo. | 266 |

www.full-ebook.com

| Capítulo 3. Trabajo y energía |

(3/2) m1 vO1 = m2 vF2

[1]

(3/4) m1 vO1² = m2 vF2²

[2]

¡Ya te tengo, problema inmundo...! La ecuación [1] la elevo al cuadrado (o sea: la multiplico miembro a miembro por sí misma). Sale ésto: (9/4) m1² vO1² = m2² vF2²

[3]

y la divido por la segunda. O sea hago [3] / [2]. Las velocidades al cuadrado se cancelan... y... Mirá lo que queda. 3 m1 = m2 respuesta a)

Discusión: Se puede demostrar (tomalo como un desafío) que cuanto mayor sea la masa contra la cual rebotamos mayor es nuestra velocidad de rebote y menor la velocidad con la que la otra masa sale despedida. Si la masa 2 fuese enoooorme (como la Tierra, por ejemplo) la velocidad del rebote sería la máxima permitida para la masa 1 y la mínima permitida para la masa 2...

www.full-ebook.com

DESAFíO:

Hallar la velocidad con la que sale despedida la masa 2 después del choque. (R: vF2 = ½ vO1). Y demostrar que esta velocidad es siempre la diferencia entre los módulos de las velocidades de encuentro y rebote de la masa 1. ( vF2 = vO1+ vF1)

| 267 |

www.full-ebook.com

www.full-ebook.com