No Lineal (Metodos Numericos)

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA NÚCLEO ARAGUA EXTENSIÓN MARACAY

Métodos Numéricos para Modelos de Optimización sin Restricciones

Bac hilleres: Gómez Osnel C.I: 19.864.140 López Noreidy C.I: 17.576.664 Sección: SIN-701

Maracay, Enero de 2011

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Método de Newton

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Reseña histórica

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en su libro “De analysi per aequationes número terminorum infinitas” (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en “De metodis fluxionum et serierum infinitarum” (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas x n , sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo. Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.

Método de Newton En análisis numérico, el método de Newton es un eficiente algoritmo para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.

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Aplicación y Descripción Supongamos una función f de una variable a ser minimizada y supongamos que en

x

k

es posible

evaluar f( xk ), f ’( xk ) y f ”(

x

k ). Entonces

es posible construir una función cuadrática a partir del desarrollo de Taylor:

Se puede estimar x k +1 determinando el punto donde la derivada de q se hace cero.

Nótese que no depende

de

El método puede ser visto como la resolución iterativa de ecuaciones de la forma g(x)=0, donde, cuando es aplicada a minimización, hacemos g(x) f ’(xk)

Implementación Para la implementación de este método es necesario calcular la primera y segunda derivada de la función como derivadas direccionales, obteniendo un valor escalar, de la siguiente manera,

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Donde d es el vector unitario de la dirección de descenso Observaciones: 1) La dirección del Método de Newton:

Es una dirección de descenso si y sólo si: ∇2 f ( x k ) es definida positiva, es decir: ( −∇f ( x k ))d k > 0 ⇔ ∇2 f ( x k ) Es definida positiva 2) El método de Newton en cada iteración, considera una aproximación cuadrática de la función objetivo, y define el nuevo punto de la sucesión minimizante como el óptimo de la aproximación cuadrática de la función objetivo. Cerca de un óptimo local de f, la aproximación exacta. 3) El punto inicial x 0 no puede ser arbitrario, ya que para que el método converja, la dirección d k debe ser de descenso. Esta corresponde a la principal desventaja del método: su convergencia local. Sin embargo, su rapidez de convergencia es su mayor ventaja, posee convergencia de velocidad cuadrática, es decir: 1 xk+ −x ≤λx k −x

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para

λ