Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Matriks Berordo 3x3 - Adri Priadana

Aljabar Linier Matriks – Nilai Eigen dan Vektor Eigen Nilai Eigen dan Vektor Eigen Berordo 3x3

− − − 

0 Tentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen untuk matriks A = 2 2 Jawab

1 3 1

3 3  ! 1

Nilai Eigen

| A – λ   – λ I | = 0

− − λ  −   λ  λ  0 2 2

1 3 1

3 3 1

0

 – 

0 0

0 0

−λ −− λ  −  − − λ  1

=0

→

0

2 2

3 3  = 0

3

1

1

 ((3 – λ  )(1 – λ   – λ   – λ  ((3  – λ )(1  – λ ) – 3.1)

+

(1) (2(1 – λ   (3 * – 2)) + ( –  3) (2*1 –  (3  (3 – λ  )(-2)) = 0  – λ ) –  (3  – 3)  – λ )(-2))

 ((3 – λ  )(1 – λ   – λ   – λ  ((3  – λ )(1  – λ ) – 3)

+

(2(1 – λ   ( –  6))  – λ ) –  (  – 6))

2

 (λ   –  4  4λ  +  +  – λ   – λ  (

3 – 3)

+ (2 –  2  2λ + 6)

 (λ   –  4  4λ )  – λ   – λ  (

2

+

( –   2λ + 8) + ( –   6 –  18  18 + 6λ )  –  2  –  6

2

+

( –   2λ + 8) + ( –   24 + 6λ )  –  2  –  24

 (λ   –  4  4λ )  – λ   – λ  ( 3

4λ 

3

4λ  + 4λ  –   16 = 0  –  16

 – λ   – λ   +  – λ   – λ   +

2

 2λ  +  +  –  2

+ ( –  3) (2 –  (  ( –  6  6 + 2 λ )) ))  – 3)

=0

+ ( –  3) (2 + 6 –  2  2 λ )  – 3)

=0

=0 =0

8  –  24  24 + 6λ  = 0

2

Metode Horner  – 1

4 2 6

 2  –  2  1  –  1

4  – 12  8  –  8

 16  –  16 16 0

+

2

(λ  +  + 2) ( –λ   8) = 0  –λ   + 6λ  –   –  8) (λ  +  + 2) ( –λ   + 4) (λ  –   2) = 0  –λ  +  –  2) λ + λ + 2 = 0 → λ  =  =  –  2  2

 =  – λ   – λ + + 4 = 0 → λ  =

 2 = 0 → λ  =  = λ  –   –  2

4

2

Adri Priadana – ilkomadri.com

Halaman 1

Aljabar Linier Matriks – Nilai Eigen dan Vektor Eigen Vektor Eigen

Untuk  λ  =  –  2 maka

−λ −−λ  −    − −λ   − −  −   1

1

1 2 3

1 5 1

3 3 3

1 2  = 0 3

1

2 2 2 2 2

3 3

3

− − −− − −   − −−  ( 2) 2 2

=0→

3

1  ( 2) 1

1

3 3  ( 2)

1 2  = 0 → 3

2x1 –  x2 –  3x3 = 0 2x1 + 5x2 + 3x3 = 0

Bila persamaan tersebut dijumlahkan diperoleh 4x1 + 4x2 = 0 atau x1 =  –  x2, dan Bila persamaan tersebut dikurangkan diperoleh –  6x2 –  6x3 = 0 atau –  x2 = x3 Maka diperoleh vektor eigen: x =

−  − 1 1 1

Begitu juga untuk λ  = 2 dengan cara yang sama diperoleh x =

Dan untuk λ  = 4 diperoleh x =

Adri Priadana – ilkomadri.com

−  1 1 1

−  1 1 1

Halaman 2