Nikvistov kriterijum stabilnosti

7. NIKVISTOV KRITERIJUM STABILNOSTI Posmatra se sistem sa negativnom jediničnom povratnom spregom (NJPS). X(s) +

E(s)

Y(s) W(s)

-

Funkcija prenosa W(s) se zove funkcija povratnog prenosa ili funkcija prenosa otvorenog sistema. Signal E(s) se naziva signal greške. Funkcija prenosa sistema je jednaka: Y ( s) W (s )  G (s )  . X (s) 1  W (s)

i naziva se funkcija spregnutog prenosa ili funkcija prenosa zatvorenog sistema. Nikvistova kriva se crta tako što se u funkciji povratnog prenosa s zamjeni sa jω, a zatim se realni dio rezultujuće krive crta na horizontalnoj ( Re{W ( j )} ), a imaginarni dio na vertikalnoj osi ( Im{W ( j )} ). Nikvistova kriva oko koordinatnog početka napravi ugao koji je jednak (N-P)2π, gdje je N broj nula, a P broj polova funkcije povratnog prenosa koji leže u desnoj poluravni s ravni (vektor W(jω) napravi priraštaj (N-P)2π oko koordinatnog početka). j

R



Slika 1. Kontura po kojoj obilazimo funkciju povratnog prenosa Dokažimo prethodno tvrđenje. Košijeva teorema argumenata: Ako neku kompleksnu funkciju obiđemo po zatvorenoj kompleksnoj konturi C u negativnom smjeru, pod uslovom da na toj konturi funkcija nema ni

polova ni nula, rezultujuća kriva će oko koordinatnog početka napraviti ugao koji jednak (NP)2π, gdje je N broj nula, a P broj polova kompleksne funkcije koje leže unutar konture C. Neka se kontura C sastoji sastoji od imaginarne ose jω i polukruga beskonačnog poluprečnika - e j ,  ( / 2,  / 2) , tj. desne poluravni s-ravni, slika 1. Ako funkciju W(s) obiđemo po krivoj C u negativnom smjeru, po Košijevoj teoremi rezultujuća kriva će oko koordinatnog početka napraviti ugao (N-P)2π, gdje je N broj nula, a P broj polova funkcije povratnog prenosa koje leže u desnoj poluravni s ravni. Kako je imenilac funkcije povratnog prenosa istog ili većeg stepena od brojioca, vrijednost rezultujuće krive na polukrugu beskonačnog poluprečnika je uvijek jednaka konstanti ili nuli, te će priraštaj argumenta kompleksne krive na polukrugu beskonačnog poluprečnika uvijek biti jednak nuli. Ostaje da vektor W(jω) za   (, ) napravi ugao ugao (N-P)2π oko koordiantnog početka, što je i trebalo dokazati. Nikvist je iskoristio Košijevu teoremu tako da na osnovu poznavanja Nikvistove krive funkcije povratnog prenosa zaključi o stabilnosti spregnutog sistema (sistema sa NJPS). Neka je funkcija povratnog prenosa jednaka:

W ( s) 

P( s ) Q (s)

Karakteristična jednačina spregnutog sistema biće:

F ( s)  1  W ( s) 

Q ( s )  P ( s) D ( s )  Q( s ) Q (s)

Brojilac funkcije F(s) biće imenilac funkcije spregnutog prenosa, dok će Q(s) pokratiti i neće uticati na stabilnost. Može se uočiti i to da Q(s) predstavlja imenilac funkcije W(s) za koji je rečeno da ima P korijena u desnoj poluravni. Ako se kriva W(s) obiđe po konturi C, prikazanoj na slici 1, rezulutujuća kriva će oko koordinatnog početka napraviti ugao (N-P)2π, odnosno ako se po istoj krivoj obiđe funkcija F ( s )  1  W (s ) , rezultujuća kriva će oko tačke (-1, j0) napraviti ugao od (N-P)2π stepeni. Pretpostavimo da je sistem sa NJPS stabilan. To znači da D(s) ne smije imati nestabilnih korijena i u tom slučaju kriva F ( s )  1  W (s ) oko tačke (0, j0) mora napraviti ugao -P2π u negativnom smjeru. Dugim riječima, Nikvistova kriva W(jω) oko tačke (-1,j0) će napraviti ugao -P2π u negativnom smjeru, odnosno ugao P2π u pozitivnom smjeru. Kako je Nikvistova kriva simetrična za pozitivne i negativne frekvencije, posmatraju se samo pozitivne frekvencije. Dakle, za stabilne sisteme Nikvisotva kriva obiđe kritičnu tačku (-1, j0) za ugao +Pπ. Konačno, Nikvistov kriterijum se formuliše na sljedeći način: 

Ako je broj nestabilnih polova funkcije povratnog prenosa jednak nuli (P=0), sistem sa negativnom jediničnom povratnom spregom će biti stabilan samo ukoliko je ukupni ugao za koji Nikvistova kriva obuhvata kritičnu tačku (-1,j0) jednak nuli.



Ako je broj nestabilnih polova različit od nule sistem sa NJPS će biti stabilan ukoliko Nikvistova kriva obuhvati kritičnu tačku (-1,j0) za ugao od Pπ u pozitivnom smjeru (smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu).

Ako je funkcija prenosa zadata u obliku KW(s), a želimo da ispitamo stabilnost sistema u zavisnosti od K, pri čemu je Nikvistova kriva W(s) poznata, tada ulogu kritične tačke igra tačka (-1/K,j0). Važno je napraviti razliku između Nikvistovog i Rausovog kriterijuma. Nikvistovim kriterijumom ispitujemo stabilnost spregnutog sistema sa negativnom jediničnom spregom na osnovu poznavanja Nikvistove krive funkcije povratnog prenosa W(s). Sa druge strane, ako želimo da ispitamo stabilnost sistema koristeći Rausov metod onda nam je potreban imenilac funkcije spregnutog prenosa G(s). Ako funkcija povratnog prenosa W(s) ima polove koji leže na imaginarnoj osi, tada se ista mora obići po modifikovanoj konturi koja isključuje date polove (slika 2). Ukoliko pol funkcije povratnog prenosa leži u koordinatnom početku (astatizam), tada se Nikvistova kriva koja se dobija pomoću Matlab-a mora dopuniti sa krivom W(s), pri čemu s odgovara vrijednostima  e j ,   0,  (0,  / 2) . Ako pol leži na imaginarnoj osi onda se Nikvistova kriva mora dopuniiti krivom W(s), j j1   e ,   0,  (  / 2,  / 2) , slika 2.

s

gdje

odgovara

vrijednostima

j

j1 R



 j1

Slika 2. Kontura obilaska u slučaju kada funkcija povratnog prenosa sadrži polove na imaginarnoj osi Sa slike 2 se uočava da modifikovana kontura isključuje polove na imaginarnoj osi, tako da se oni računaju u stabilne polove. Drugi način je da se polovi zaobiđu sa desne strane i uključe u nestabilne polove (zadatak 7.10).

Zadatak 7.1 Koristeći Nikvistov kriterijum ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa jednaka

W ( s) 

1 . ( s  2)(s  3)

Prvo je potrebno u Matlab-u definasati kompleksnu promjenljivu s, funkciju porenosa W(s) i nacrtati krivu pomoću komande nyquist. >> s=tf('s') >> W=1/(s-2)/(s+3) >> nyquist(W)

Im W ( j )

0.167

Re W ( j )

Slika 7.1 Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa Po default-u Matlab prikazuje i pozitivne i negativne frekvencije. Nakon uklanjanja dijela krive koji odgovara negativnim frekvencijama dobija se kriva koja je prikazana na slici 7.1. Sistem ima jedan nestabilan pol. Da bi sistem bio stabilan Nikvistova kriva mora da obuhvati kritičnu tačku (-1, j0) za ugao π u pozitivnom smjeru. Kako kritična tačka nije obuhvaćena krivom, donosi se zaključak da je sistem sa NJPS nestabilan.

Zadatak 7.2 Koristeći Nikvistov kriterijum u zavisnosti od parametra K ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa jednaka: a) W ( s ) 

K ( s  2)(s  3)

b) W ( s ) 

K ( s  2)( s  3)

K ( s  2)( s  3) K d) W ( s )  ( s  2)( s  3)

c) W ( s ) 

a) Nikvistova kriva povratnog sistema je prikazana na slici 7.2 a) Im W ( j )

0.167

Re W ( j )

Slika 7.2 a) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa Kritična tačka je (-1/K,j0) i ona leži na realnoj osi. Kako sistem ima jedan nestabilni pol, sistem sa NJPS će biti stabilan ako je kritična tačka obuhvaćena za ugao +π. Na segmentu  , 0.167  Nikvistova kriva uopšte ne obuhvata kritičnu tačku, dok je na segmentu

 0.167, 0 

kritična tačka obuhvaćena za ugao +π, što je i uslov zadatka. Dakle, 1/ K treba

da bude tako odabrano da se nalazi unutra segmenta  0.167, 0  : 1  0.167  -1>-0.167K  K  6 K

Odnosno, sistem je stabilan za K  (6, ) . Za K=6 sistem se nalazi na granici stabilnosti. Provjeriti da li je riječ o oscilatornoj ili aperiodičnoj granici stabilnosti. Rezultat se može provjeriti Rausovim kriterijumom. Potrebno je naći funkciju spregnutog prenosa:

G (s ) 

KW (s ) K  2 1  KW ( s) s  s  K  6

Na osnovu imenioca funkcije spregnutog prenosa formira se Rausova tabela: s3 s2 s1

1 1 K-6

K-6

Svi koeficijenti u Rasuovoj koloni moraju biti istog znaka, odakle se zaključuje da je je uslov stabilnosti K  (6, ). b) Nikvistova kriva povratnog sistema je prikazana na slici 7.2 b) Im W ( j )

0.167

Re W ( j )

Slika 7.2 b) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa Funkcija povratnog prenosa nema nestabilnih polova. Da bi sistem sa NJPS bio stabilan Nikvisitova kriva ne smije da obuhvati kritičnu tačku (ili preciznije rečeno treba da je obuhvati za ugao od nula stepeni). Na segmentu  , 0  Nikvistova kriva ne obuhvata kritičnu tačku, na segmentu  0, 0.167  kritična tačka je obuhvaćena za ugao –π (negativan smjer), dok na segmentu  0.167,   kritična tačka nije obuhvaćena. Kako Nikvistova kriva ne smije obuhvatiti kritičnu tačku postavljaju se uslovi: 1 1 0   0.167 , K K

Odakle se dobija da je sistem sa NJPS stabilan za K  ( 6,  ) . Napomena: Ako je K negativno kritična tačka -1/K leži u lijevoj poluravni. Za pozitivno K kritična tačka 1/K leži u desnoj poluravni. S obzirom da je u ovom primjeru traženo rešenje i za pozitivno i negativno K, prilikom rješavanja nejednačine 1 / K  0.167 uzeto je u obzir da je K0, osim ako se ne naglasi, pa se samo razmatra segment  , 0 (kao što je bio slučaj u prethodnom primjeru). c) Nikvistova kriva povratnog sistema je prikazana na slici 7.2 c)

Im W ( j )

0.167

Re W ( j )

Slika 7.2 c) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa Funkcija povratnog prenosa ima dva nestabilna pola. Da bi sistem sa NJPS bio stabilan Nikvistova kriva treba da obuhvati kritičnu tačku za ugao +2π. Kako ovaj uslov nije zadovoljen na segmentu  , 0 , sistem sa NJPS je nestabilan za bilo koje K>0. e) Nikvistova kriva povratnog sitema je prikazana na slici 7.2 d)

Im W ( j )

0.167

Re W ( j )

Slika 7.2 d) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa

Sistem ima jedan nestabilni pol, te će stoga sistem sa NJPS biti stabilan ako je kritična obuhvaćena za ugao +π. Na segmentu  , 0.167  Nikvistova kriva uopšte ne obuhvata kritičnu tačku, dok je na segmentu

 0.167, 0 

kritična tačka obuhvaćena za ugao –π

(negativan smjer). Može se zaključiti da je sistem nestabilan za bilo koje K.

Zadatak 7.3 Koristeći Nikvistov kriterijum u zavisnosti od parametra K ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa jednaka:

W ( s) 

(1  s )2 s (3s  1)2

Nikvistova kriva povratnog sitema je prikazana na slici 7.3, plavom bojom. Funkcija povratnog prenosa ima astatizam prvog reda te se Nikvistova kriva mora dopuniti. Potrebno je naći:

 limj W (s ), za   0, i   (0, ) s  e 2   e ,  (0, ) 2 Dakle, Nikvistova kriva se dopunja sa četvrtinom kruga beskonačnog poluprečnika za uglove (0, π/2) u negativnom smjeru. Im W ( j )

0.117

8

Re W ( j ) R

Slika 7.3) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa

Funkcija povratnog prenosa ima dva nestabilna pola. Da bi sistem sa NJPS bio stabilan Nikvistova kriva treba da obuhvati kritičnu tačku za ugao +2π. Na segmentu  , 0.117  kritična tačka nije obuhvaćena, dok je na segmentu  0.117, 0  kritična tačka obuhvaćena za +2π što je i uslov stabilnosti. Dakle: 1  0.117  K  8.547 K

Zadatak 7.4 Koristeći Nikvistov kriterijum u zavisnosti od parametra K ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa jednaka:

W ( s)  K

(s  1)5 s 3 (s  2)( s  3)

Prenosna funkcija ima astatizam trećeg reda. S obzirom da je lim W ( s )   s 0

Nikvistovu krivu treba dopuniti sa lukom od 3π/2 u negativnom smjeru, počevši od tačke . Funkcija prenosa ima dva nestabilna pola, te da bi sistem sa NJPS bio stabilan Nikvistova kriva mora obuhvatiti kritičnu tačku za ugao 2π. Dopunjena Nikvistova kriva je prikazana na slici 7.4. Im W ( j )

0.74 9.34

Re W ( j )

R

Slika 7.4) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa

Na segmentu

 , 9.34 

 9.34, 0.74 

za 0π (+π-π), dok je na segmentu  0.74, 0  kritična tačka obuhvaćena za

kritična tačka je obuhvaćena za ugao -2π, na segmentu

ugao 2π (+π+π+π-π). Dakle, sistem će biti stabilan za: 1  0.74  K  1.3513 K

Zadatak 7.5 Koristeći Nikvistov kriterijum u zavisnosti od parametra K ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa jednaka:

W ( s) 

s 1 s (s  2)(s  K )

S obzirom da se parametar K nalazi u imeniocu prenosne funkcije Nikvistov kriterijum se ne može direktno iskoristiti. Funkcija spregnutog prenosa je:

G (s) 

W ( s) s 1  3 , 1  W (s ) s  ( K  2)s 2  (2 K  1) s  1

dok je karakteristični polinom:

f ( s )  s 3  ( K  2) s 2  (2 K  1) s  1   s 3  2s 2  s  1  K (s 2  2s) Karakteristični polinom se može izračunati na lakši način tako što se saberu brojilac i imenilac funkcije povratnog prenosa: f ( s )  s  1  s (s  2)( s  K )  s3  2s 2  s  1  K ( s 2  2s)

K ( s 2  2s) i spregnuti sistem s3  2s 2  s  1 čija je funkcija povratnog prenosa W(s) imaju istu karakterističnu jednačinu. To znači da oba sistema imaju iste osobine stabilnosti, tako da stabilnost polaznog sistema možemo ispitivati koristeći funkciju povratnog prenosa W1(s). Nikvistova kriva funkcije W1(s) je prikazana na slici 7.5. Spregnuti sistem čija je funkcija povratnog prenosa W1 ( s ) 

Svi polovi sistema su stabilni (komanda roots u Matalab-u), što znači da će sistem biti stabilan ako kritična tačka nije obuhvaćena. Ako posmatramo čitav segment od  ,   , može se donijeti zaključak da je sistem stabilan za:

1/ K  0  -1/K  4.56 ,

Ondosno sistem je stabilan za K  ( 0.2193,  )

Im W ( j )

4.56

Re W ( j )

Slika 7.5 Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa

Dobijeni rezultat možemo provjeriti pomoću Rausovog kriterijuma. Na osnovu karakteristične jednačine spregnutog sistema formira se sljedeća Rasova tabela: s3 s2 s1 s0

1 K+2 2 K 2  5K  1 K 2 1

2K+1 1

Da bi sistem bio stabilan svi koeficijenti u Rasuovoj koloni moraju biti istog znaka, odnosno: K  2  0  2K 2  5 K  1  0

Kada se presjeku traženi uslovi dobija se da je spregnuti sistem stabilan za K  (-0.2192,  ).

Zadatak 7.6 Na slici 7.6 a) je prikazana Nikvistova kriva nekog sistema W(s) koji ima jedan nestabilni pol. Da li je sistem sa slike 7.6 b) stabilan?

Im W ( j )

0.5 Re W ( j )

Slika 7.7 a) Nikvistova kriva b) Blok dijagram sistema Na osnovu Nikvistove krive sa slike 7.6 a) se može zaključiti da će spregnuti sistem čija je funkcija povratnog prenosa KW(s) biti stabilan ukoliko je -1/K>-0.5, odnosno ako je K>2. Da bi zaključili o stabilnosti sistema sa slike 7.6 b) prvo je potrebno naći funkciju spregnutog sistema, a zatim dobijeni sistem predstaviti u vidu sistema sa NJPS kako bi mogli koristiti Nikvistov kriterijum. X(s) +

E(s)

Y(s) KW(s)

-

Signal greške je jednak:

E ( s )  X ( s )  75W ( s) E ( s ) , dok je izlazni signal jedanak:

Y (s )  5W ( s ) E (s ) . Rješavanjem se dobija funkcija spregnutog prenosa: G s ) 

5W ( s ) 5 75W (s )  1  75W (s ) 75 1  75W ( s )

Blok spregnutog sistem sa NJPS je prikazan sa slici ispod.

Kako je za posmatrani sistem K=75, može se donijeti zaključak da je sistem stabilan.

ZADACI ZA VJEŽBU Zadatak 7.7 Koristeći Nikvistov kriterijum ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa:

s 1 , ( s  4)(s  3)( s  5) s 1 b) W ( s)  K 3 , 2 s  2 s  23s  60 s 1 c) W ( s)  K 3 , 2 s  2 s  23s  60 a) W ( s )  K

d) W  K

( s  3)3 , (2 s  1) 3

R: K>60 R: nestabilan za svako K R: nestabilan za svako K R: K>2.366

e) W ( s )  K

(s  3)2 , s( s 2  3s  5)

R: K>0.44

f) W ( s)  K

s 1 , s ( s  10)(s  1)

R: nestabilan za svako K

2

( s  1)2 , R: K>18.65 s 2 ( s  10)(s  1) 9s  9 h) W ( s )  K 6 5 , R: nestabilan za svako K s  s  24 s 4  36 s 3 ( K  2)( s  1) i) W ( s )  R: K>4 s 2  2s g) W ( s)  K

Smatrati da je K>0.

Zadatak 7.8 Sistem je zadat modelom u prostoru stanja:

k 0 3  1   A   2 4 1  , B   1 , C  1 0 0.  1 0 7   0  Koristeći Rausov kriterijum ispitati stabilnost sistema. Rezultat potvrditi Nikvistovim kriterijumom. Rješenje: K210.52