Nicholson - Teoria Microeconomica-Cap-18

August 10, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A

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:99

Inpætuò >3 MLIJ[QMAZFK[J ] N NRJ[YMÙL RJ[YMÙL N@ [MJYHO Jl jstj inpætuò los ijltrnrjfos jl n`hulos aj òs j`jfjltos kîsmios quj inrnitjrmznl `n fotmvnimùl aj òs mlamvmauos iunlao tofnl ajimsmoljs jl iolamimoljs aj mlijrtmaufkrj. Yj fujstrn iùfo js posmk`j hjljrn`mznr j` iolijpto aj utm`mana pnrn np`minrò n nquj`òs insos jl òs iun`js òs rjsu`tnaos jstîl suejtos n imjrto hrnao aj n`jntormjana. Ajspuís sj utm`mzn jstj iolijpto nfp`mnao aj `n utm`mana pnrn nln`mznr j` bjlùfjlo aj `n ‐nvjrsmùl n` rmjsho‖. Js ajimr, fostrnfos por quí n òs mlamvmauos lorfn`- fjltj `js ajsnhrnanl `ns smtunimoljs mlimjrtns y poarænl jstnr amspujstos n pnhnr n`ho pnrn rjauimr `n mlijrtmaufkrj quj nbroltnl.

Wroknkm`mana y vnòr jspjrnao J` jstuamo aj` iofportnfmjlto aj òs mlamvmauos jl smtunimoljs aj mlijrtmaufkrj y j` jstuamo fntjfîtmio aj `n proknkm`mana y `n jstnaæstmin tmjljl ul ormhjl cmstùrmio iofõl, jl j` sjltmao quj sol ul mltjlto por iofprjlajr, y prjsultnfjltj hnlnr, òs eujhos aj nznr. Wor jejfpò, j` jstuamo aj` smfp`j eujho quj iolsmstj jl tmrnr uln foljan n` nmrj cn smao jxijpimoln`fjltj proauitmvo pnrn `ns fntjfîtmins y pnrn nrroenr ùz sokrj imjrtns inrnitjræstmins aj` iofportnfmjlto cufnlo quj òs eujhos ajenl vjr. Aos iolijptos jstnaæstmios quj tmjljl su ormhjl jl jstos eujhos y quj los sjrîl fuy õtm`js n ò `nrho aj jstj inpætuò sol `n proknkm`mana  y y j` vnòr jspjrnao. @n proknkm`mana aj quj ul cjico sj vuj`vn n rjpjtmr,> jl tírfmlos hjljrn`js, js `n brjiujlimn rj`ntmvn iol `n quj sj proauimrî. Wor jejfpò, iunlao ajimfos quj, n` tmrnr uln foljan n` nmrj sml cnijr trnfpn, `n proknkm`mana aj quj rjsu`tj inrn js aj ul fjamo, qujrjfos ajimr quj, sm tmrnfos `n foljan n` nmrj fuicns vjijs, jspjrnrænfos quj n`rjajaor aj `n fmtna aj `ns vjijs rjsu`tj inrn. Wor otrn pnrtj, iunlao tmrnfos ul anao, `n proknkm`mana aj quj rjsu`tj ul aos js aj ul sjxto4 js ajimr, fîs o fjlos, jl uln aj inan sjms tmrnans npnrjijrî ul aos. Yupolhnfos quj uln òtjræn obrjij l prjfmos amstmltos (n`hulos aj òs iun`js pujajl sjr 7 o mliùso ljhntmvos), x >, x ;, . . . , x l , y quj `ns proknkm`manajs aj hnlnr jstos prjfmos sol >, ;, . . . , l . Ym supoljfos quj n ul euhnaor sùò sj `j jltrjhnrî ul õlmio prjfmo, jltolijs l

 o

m

6

>.

(>3.>)

m  6 >

Jl j` inso aj cjicos quj sj rjpmtjl, `n proknkm`mana js ul iolijpto quj sj ajbmlj aj borfn okejtmvn. @os mlamvmauos tnfkmíl pujajl nsmhlnr proknkm`manajs sukejtmvns n cjicos quj lo sol rjiurrjltjs. @n fnyor pnrtj aj `ns vjijs lo sjþn`nrjfos ambjrjlimn n`huln jltrj jstos aos tmpos aj jstmfnimoljs aj `n proknkm`mana. Jl `ns nfp`mnimoljs aj jstj inpætuò jxp`minfos otros iolijptos aj `n jstnaæstmin.

>

[email protected]

:91

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

@n jiunimùl >3.> smfp`jfjltj nbmrfn quj lujstrn `mstn mlamin toaos òs rjsu`tnaos posmk`js aj `n òtjræn y quj ulo aj j`òs tmjlj quj oiurrmr. Wnrn tjljr uln fjaman aj `n hnlnlimn profjamo aj jstn òtjræn, ajbmlmfos j` vnòr jspjrnao aj `n fnljrn smhumjltj5

AJBMLMIMÙL Rnòr jspjrnao. Jl j` inso aj uln òtjræn ( S ) iol prjfmos x >, x ;, . . . , x l  y proknkm`manajs

aj >, ;, . . . , l , j` vnòr jspjrnao aj `n òtjræn sjrî;

vnòrr js vnò jspj pjrnao rnao 6 J ( S ) 6 o >x > + o ; x ; +

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+ o l x l

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6

(>3.;)

> o x . m m

m  6

J` vnòr jspjrnao aj `n òtjræn js uln sufn polajrnan aj òs prjfmos, jl `n iun`, òs pjsos polajrnaos sol `ns rjspjitmvns proknkm`manajs. Js j` folto profjamo aj` prjfmo quj hnlnrî j` euhnaor. Wor jejfpò, supolhnfos quj Eunl y Ynltmnho niujranl tmrnr uln foljan n` nmrj uln so`n vjz. Ym rjsu`tn inrn, Eunl pnhnrî > aù`nr n Ynltmnho4 sm rjsu`tn iruz, ístj pnhnrî > aù`nr n Eunl. Ajsaj `n posmimùl aj Ynltmnho, jstj eujho tmjlj aos prjfmos5 sm rjsu`tn inrn, x > 6 +$>4 sm rjsu`tn iruz, x ; 6 ’$>, aolaj j` smhlo ljhntmvo mlamin quj Ynltmnho tjlarî quj pnhnr. Ajsaj `n posmimùl aj Eunl, j` eujho js jxnitnfjltj mhun`, sn`vo quj òs smhlos aj òs rjsu`tnaos sj prjsjltnl n` ioltrnrmo. Wor tnlto, j` vnòr jspjrnao aj jstj eujho js > > > ; x + ; x ;

6

> > ; ( $>) + ; (- $>)

6

7.

(>3.9)

J` eujho tmjlj ul vnòr jspjrnao mhun` n 7. Ym òs aos euhnrnl n` eujho vnrmns vjijs, js poio proknk`j quj ulo aj j`òs puamjrn nvjltnenr fuico n` otro. Yupolhnfos ncorn quj infkmnl òs prjfmos aj` eujho aj borfn quj (aj lujvo, ajsaj `n posmimùl aj Ynltmnho) x > 6 $>7, x ; 6 ’$>. Ynltmnho hnlnrî >7 aù`nrjs sm sn`j inrn, pjro sùò pjrajrî > aù`nr sm sn`j iruz. J` vnòr jspjrnao aj jstj eujho js > > x > + x ; ; ;

6

> > ( $>7) + (- $>) ; ;

6

$: - $7.:7

6

$1.:7.

(>3.1)

Ym ò eujhnl fuicns vjijs, lo inkj auan quj Ynltmnho ninknrî smjlao j` hrnl hnlnaor. Aj cjico, Ynltmnho jstnr amspujsto n`hoiujstnl n Eunlsupor j` prmvm`jhmo aj euhnr. @os eujhos tmjljl ulpoaræn vnòr jspjrnao mhun` n 7n opnhnr òs quj vnòr jspjrnao por j` ajrjico n euhnr quj (jl jstj inso, prjimsnfjltj $1.:7) sj ioloijl (nitunrmn`fjltj) ( nitunrmn`fjltj) iofo eujhos eustos. Zln oksjrvnimùl brjiujltj js quj, jl fuicns smtunimoljs, `n hjltj sj lmjhn n pnrtmimpnr jl eujhos nitunrmn`fjltj eustos. Jstj cjico js jsjlimn` pnrn iofprjlajr òs nvnlijs quj cn rjhmstrnao `n tjoræn aj `n mlijrtmaufkrj y sj rjtofnrî jl `n prùxmfn sjiimùl. Ym `n smtunimùl nln`mznan tmjlj rjsu`tnaos ioltmluos (por jejfpò, `n vnrmnimùl aj` prjimo aj uln niimùl fjaman jl tírfmlos fuy jxnitos), jltolijs tjljfos quj foambminr ul poio jstn ajbmlmimùl. Ym `n proknkm`mana aj quj j` rjsu`tnao aj jstj cjico n`jntormo ( x ) sj jliujltrj jl ul mltjrvnò fuy pjqujþo ( ax ) jstî anan por b (x ) ax, jltolijs poarjfos foambminr `n jiunimùl >3.> aj `n fnljrn smhumjltj

;

È

 b (x )ax 6 >. - È

Jl jstj inso, j` vnòr jspjrnao aj x jstî anao por

 xb (x )ax . È

J (x ) 6

-È

Jl fuicns smtunimoljs (por jejfpò, iunlao x tmjlj uln amstrmkuimùl lorfn`), `n fnlmpu`nimùl aj jstos vnòrjs jspjrnaos pujaj sjr fuico fîs sjlim``n quj jl j` inso amsirjto quj sj fujstrn jl `n jiunimùl >3.;. Jl `ns nfp`mnimoljs aj jstj inpætuò jlioltrnrî n`hulos jejfpòs.

[email protected]

Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

Eujhos eustos y `n cmpùtjsms aj `n utm`mana jspjrnan @n hjltj lorfn`fjltj lo pnrtmimpnræn jl ul eujho eusto. 9 N vjijs, yo poaræn nijptnr tmrnr uln foljan n` nmrj npostnlao pjqujþns inltmanajs aj amljro, pjro sm fj obrjimjrnl `n oportulmana aj euhnrfj >777 aù`nrjs jl uln so`n tmrnan, proknk`jfjltj fj ljhnræn n cnijrò. Aj mhun` fnljrn, `n hjltj n vjijs pnhn uln pjqujþn inltmana aj amljro por pnrtmimpnr jl ul eujho nitunrmn`fjltj mleusto, iofo uln òtjræn jstntn`, pjro jvmtnrî pnhnr fuico amljro por pnrtmimpnr jl eujhos nrrmjshnaos, nrrmjshnaos, pjro eustos.

@n pnrnaoen aj Ynl Wjtjrskurho Zl jejfpò iolvmlijltj js `n ‐pnrnaoen aj Ynl Wjtjrskurho‖, quj j` fntjfîtmio Anlmj` Kjrlou``m bujrn j` prmfjro jl mlvjstmhnr iol rmhor jl j` smhò SRMMM.1 @n pnrnaoen aj Ynl Wjtjrskurho propolj j` smhumjltj eujho5 tmrnr uln foljan n` nmrj cnstn quj rjsu`tj inrn. Ym ístn sn`j por prmfjrn vjz jl `n l -ísmfn -ísmfn tmrnan, j` euhnaor rjimkmrî $;l . Jstj eujho tmjlj ul lõfjro mlbmlmto aj rjsu`tnaos (poarænfos jstnr tmrnlao uln foljan n` nmrj ajsaj coy cnstn j` aæn aj` eumimo bmln` sml quj sn`hn inrn enfîs, nul iunlao jxmstj jsinsn proknkm`mana aj quj jsto oiurrn), pjro poajfos jxprjsnr bîim`fjltj òs prmfjros rjsu`tnaos. Ym x m rjprjsjltn j` prjfmo otorhnao iunlao npnrjij `n prmfjrn inrn jl `n m -ísmfn -ísmfn tmrnan, jltolijs x > 6 $;, x ; 6 $1, x 9 6 $3, . . . , x l  6 $;l .

(>3.:)

@n proknkm`mana aj iolsjhumr inrn por prmfjrn vjz jl `n m --ísm ísmfn fn tmr tmrna nann js ( )m 4 o sjn `n proknkm`mana aj oktjljr (m ’ >) iruijs y, n ioltmlunimùl, uln inrn. Wor tnlto, `ns proknkm`manajs aj òs prjfmos aj `n jiunimùl >3.: sol >

;

o > 6

> > > , o; 6 , o9 6 , ; 1 3

@

, o l 6

> ;l

.

(>3.2)

J` vnòr jspjrnao aj` eujho aj `n pnrnaoen aj Ynl Wjtjrskurho js mlbmlmto5 È

vnòrr jsp vnò jspjrnao jrnao 6

> m ;m

 o x 6  ;

m

m  6 >

6

È

m

(>3.8)

m  6>

> + > + > + @ + > + @

6 È.

Yml jfknrho, uln rîpman rjb`jxmùl iolvjlijrî n iun`qumjrn aj quj lmlhõl euhnaor pnhnræn fuico (y por supujsto quj fuico fjlos quj mlbmlmto) por euhnr n jstj eujho. Ym yo iokrnrn >777 fm`òljs aj aù`nrjs por euhnr n jstj eujho, sjhurnfjltj lnamj nijptnræn euhnr, n pjsnr aj quj >777 fm`òljs aj aù`nrjs sjnl iolsmajrnk`jfjltj fjlos quj j` vnòr jspjrnao aj` eujho. Wor ò tnlto, ístn js `n pnrnaoen5 jl imjrto sjltmao, j` eujho aj Kjrlou``m lo vn`j su vnòr jspjrnao (mlbmlmto) jl aù`nrjs.

Ztm`mana jspjrnan Kjrlou``m rjso`vmù jstn pnrnaoen nrhufjltnlao quj n òs mlamvmauos lo `js mfportnl amrjitnfjltj òs prjfmos jl aù`nrjs quj pnhuj ul eujho, smlo quj, fîs kmjl, rjspolajl n `n utm`mana quj `js proporimolnl jstos aù`nrjs. Ym supoljfos quj `n utm`mana fnrhmln` aj `n rmqujzn amsfmluyj n fjaman quj `n rmqujzn nufjltn, j` eujho aj Ynl Wjtjrskurho poarî iolvjrhjr n ul vnòr bmlmto aj utm`mana jspjrnan quj òs euhnaorjs jstnrîl amspujstos n pnhnr por tjljr ajrjico n euhnr. Kjrlou``m ameo quj jstj vnòr aj `n utm`mana jspjrnan jrn j` vnòr forn` aj` eujho, porquj rjprjsjltn j` vnòr quj j` eujho tmjlj pnrn j` mlamvmauo. Anao quj `n utm`mana poaræn nufjltnr fîs ajspnimo quj j` vnòr foljtnrmo aj òs prjfmos, js posmk`j quj j` vnòr forn` aj ul eujho jstí por ajkneo aj su vnòr foljtnrmo jspjrnao. @os eujhos quj nln`mznfos nquæ supujstnfjltj lo proauijl otrn utm`mana quj lo sjnl òs prjfmos y, por tnlto, `n oksjrvnimùl aj quj fuicos mlamvmauos eujhnl iol proknkm`manajs ‐mleustns‖ lo ljijsnrmnfjltj rjbutn jstn nbmrfnimùl. Wor j` ioltrnrmo, js rnzolnk`j supoljr quj òs mlamvmauos ajrmvnl imjrtn utm`mana aj `ns imriulstnlimns nsoimnans iol j` ajsnrro`ò aj` eujho. Wor tnlto, js posmk`j ambjrjlimnr j` nspjito aj` iolsufo aj` eujho y j` aj` rmjsho puro. puro . 1J` nrtæiuò ormhmln` aj Kjrlou``m cn smao rjmfprjso iofo A. Kjrlou``m. ‐Jxposmtmol ob n Ljw Qcjory ol tcj Fjnsurjfjlt ob [msd‖, Jiolofjtrmin ;; , jljro aj >=:1, pp. ;9-92.

9

[email protected]

:9:

:92

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

JEJFW@O >3.>

@n soùimùl aj Kjrlou``m n `n pnrnaoen

Yupolhnfos, iofo cmzo Kjrlou``m, quj jl `n pnrnaoen aj Ynl Wjtjrskurho `n utm`mana aj inan prjfmo jstî ajtjrfmlnan por Z (x m ) 6 `l (x m ).

(>3.3)

Jstn bulimùl aj `n utm`mana jl òhnrmtfo lnturn` fujstrn uln utm`mana fnrhmln` ajirjimjltj (js ajimr, Z  < 7, pj pjro ro Z  0 7), y j` vnòr aj `n utm`mana jspjrnan aj jstj eujho iolvjrhj n ul lõfjro bmlmto5 È

utm`mana jspjrnan 6

 o Z (x ) m

m

m  6 >

È

6

(>3.=) >

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m

(;m ). `l

m  6 >

N`hulns opjrnimoljs iol jstn jxprjsmùl los anrîl: j` rjsu`tnao aj quj j` vnòr aj `n utm`mana jspjrnan aj jstj eujho js >.9=. Wor tnlto, ul mlamvmauo iol jstj tmpo aj bulimùl aj utm`mana poaræn jstnr amspujsto n mlvjrtmr rjiursos quj, aj otrn fnljrn, `j proauimrænl cnstn >.9= ulmanajs aj utm`mana (uln imjrtn rmqujzn aj ulos $1 proporimolnræn jstn utm`mana) pnrn naqumrmr j` ajrjico n euhnr n jstj eujho. eujho. Wor iolsmhumj iolsmhumjltj, ltj, j` supujst supujstoo aj quj òs fuy iunltmo iunltmosos sos prjfmos qu qujj profjtj `n pnrnaoen aj Ynl Wjtjrskurho tmjljl uln utm`mana fnrhmln` ajirjimjltj pjrfmtmù n Kjrlou``m obrjijr uln soùimùl n `n pnrnaoen. Wrjhultn5 ¿@n soùimùl aj Kjrlou``m jl rjn`mana ‐rjsuj`vj‖ `n pnrnaoen? Jfp`jnlao `n bulimùl

aj utm`mana òhnrætfmin, ¿ustja iùfo rjajbmlmræn òs prjfmos aj jstj eujho aj borfn quj tuvmjrn uln utm`mana jspjrnan aj vnòr mlbmlmto?

J` tjorjfn aj vol Ljufnll-Forhjlstjrl Qcj Qcjory ob Hnfjspnrn nla jstuamnr Jiolofmij`Kjcnvmor, Jl su `mkro Eocl voljiolùfmio Ljufnll yajOsinr Forhjlstjrl irjnrol foajòs fntjfîtmios iofportnfmjlto òs mlamvmauos jl 2 iolamimoljs aj mlijrtmaufkrj. Wnrn poajr iofprjlajr jstns rj`nimoljs, prmfjro tuvmjrol quj mlvjstmhnr òs fotmvos aj `ns pjrsolns quj pnrtmimpnl jl jstos ‐eujhos‖. Anao quj `n cmpùtjsms aj quj, jl smtunimoljs aj mlijrtmaufkrj, òs mlamvmauos tofnl ajimsmoljs jl bulimùl aj `n utm`mana jspjrnan pnrjiæn mltumtmvnfjltj rnzolnk`j, òs nutorjs sj propusmjrol ajfostrnr quj nxmofns fîs kîsmios sokrj j` iofportnfmjlto ‐rnimoln`‖ pjrfmtænl ajrmvnr jstn cmpùtjsms. @os nxmofns rjprjsjltnl ul mltjlto aj òs nutorjs por hjljrn`mznr òs bulanfjltos aj `n tjoræn aj `n j`jiimùl mlamvmaun` aj foao quj nknrinrn smtunimoljs aj mlijrtmaufkrj. Ym kmjl fuicos aj jstos nxmofns rjsu`tnl jfmljltjfjltj rnzolnk`js n prmfjrn vmstn, cnl surhmao fuicns mltjrrohnltjs mfportnltjs rjspjito n su vn`majz. Yml jfknrho, nquæ lo sj nln`mznrîl jstns mltjrrohnltjs.8 È

Ajfostrnimùl5 `n utm`mana jspjrnan

:

6



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 >/;m  ` l ;

m > 6

6

 m /; . m

`l ;

Wjro poajfos ajfostrnr quj j` vnòr aj jstn sjrmj mlbmlmtn bmln`

m > 6

js ;.7. Wor tnlto, `n utm`mana jspjrnan sjrî 6 ; `l ; 6 >.9=. 2E. vol Ljufnll y O. Forhjlstjrl. Qcj Qcjory ob Hnfjs nla Jiolofmi Kjcnvmor , Wrmlijtol Zlmvjrsmty Wrjss, Wrmlijtol, LE, >=11. J` npílamij jxp`min òs nxmofns aj rnimoln`mana jl smtunimoljs aj mlijrtmaufkrj. 8Jlioltrnrî uln jxp`minimùl aj n`hulns aj `ns iujstmoljs p`nltjnans jl j` ajkntj sokrj òs nxmofns aj vol Ljufnll-Forhjlstjrl, vínsj Fnrd E. Fnicmln. ‐Icomij ‐Icomij Zlajr Zlijrtnmlty5 Wrok`jfs Yo`vja nla Zlso`vja‖, Eourln` ob Jiolofmi Wjrspjitmvjs , vjrnlo aj >=38, pp. >;>->:1.

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Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

J` ælamij aj utm`mana aj vol Ljufnll-Forhjlstjrl Wnrn jfpjznr, supolhnfos quj cny l prjfmos quj poaræn hnlnr ul mlamvmauo quj pnrtmimpn jl uln òtjræn. Ajlofmljfos n jstos prjfmos x >, x ;, . . . , x l  y supolhnfos quj cnl smao i`nsmbminaos por orajl nsijlajltj aj ajsjos por oktjljròs. Wor tnlto x > js j` prjfmo quj j` mlamvmauo prjbmjrj fjlos y x l j` quj prjbmjrj fîs. Ncorn, nsmhljfos, nrkmtrnrmnfjltj, nrkmtrnrmnfjltj, lõfjros aj utm`mana n jstos aos prjfmos jxtrjfos. Wor jejfpò, rjsu`tnræn iùfoao nsmhlnr Z (x >) 6 7 Z (x l ) 6 >,

(>3.>7) 3

pjro otro pnr ajtjorjfn lõfjrosajlosvol sjrvmræn mhun` aj kmjl. Jfp`jnlao aos vnòrjsquj aj `n utm`mana, j` iun`qumjrn okejtmvo aj` Ljufnll-Forhjlstjrl iolsmstjjstos jl ajfostrnr jxmstj uln borfn rnzolnk`j aj nsmhlnr lõfjros jspjiæbmios aj utm`mana n òs ajfîs prjfmos amspolmk`js. Yupolhnfos quj j`jhmfos otro prjfmo, por jejfpò, x m . Nln`mijfos j` smhumjltj jxpjrmfjlto. Wmanfos n` mlamvmauo quj amhn iuî` js `n proknkm`mana, por jejfpò, m , nltj `n iun` sj fostrnræn mlambjrjltj jltrj x m iol ijrtjzn, y uln euhnan nrrmjshnan quj obrjzin prjfmos aj x l iol proknkm`mana m  y x > iol proknkm`mana (> ’ m ). Wnrjij rnzolnk`j, sm kmjl ístj js ulo aj òs supujstos prok`jfîtmios aj` p`nltjnfmjlto aj vol Ljufnll-Forhjlstjrl, quj jstn proknkm`mana jxmstn5 n` mlamvmauo smjfprj `j sjrî mlambjrjltj uln euhnan nrrmjshnan o n`ho sjhuro, smjfprj y iunlao `n proknkm`mana aj hnlnr j` fjeor prjfmo posmk`j sjn ò submimjltjfjltj n`tn. Qnfkmíl pnrjij proknk`j quj m sjrî fnyor iunlto fîs ajsjnk`j sjn x m iunlto fjeor sjn x m , tnlto fnyor tjlarî quj sjr `n posmkm`mana aj hnlnr x l pnrn iolsjhumr quj j` mlamvmauo eujhuj. Wor tnlto, `n proknkm`mana m rjprjsjltn quí tnl ajsjnk`j js j` prjfmo x m . Aj cjico, `n tíilmin aj vol Ljufnll-Forhjlstjrl iolsmstj jl ajbmlmr `n utm`mana aj x m iofo `n utm`mana jspjrnan aj `n euhnan nrrmjshnan quj j` mlamvmauo iolsmajrn mhun` aj ajsjnk`j quj x mm 5 Z (x m ) 6 om  ¥ Z (x l ) + (> ’ om ) ¥ Z (x >).

(>3.>>)

Ajkmao n `n jsin`n j`jhman jl `n jiunimùl >3.>7 tjlarjfos Z (x m ) 6 om  ¥ > + (> ’ om ) ¥ 7 6 om .

(>3.>;)

N` j`jhmr eumimosnfjltj òs lõfjros aj utm`mana quj nsmhlnfos n` fjeor prjfmo y n` pjor cjfos poamao ajfostrnr quj j` lõfjro aj utm`mana `mhnao n otro prjfmo iun`qumjrn js, sjlim``nfjltj, `n proknkm`mana aj hnlnr j` prjfmo fîs n`to aj uln euhnan nrrmjshnan quj j` mlamvmauo iolsmajrn jqumvn`jltj n` prjfmo jl iujstmùl. Jstn j`jiimùl aj òs lõfjros aj utm`mana js nrkmtrnrmn. Woarænfos cnkjr jfp`jnao otro pnr aj lõfjros pnrn iolstrumr jstn jsin`n aj utm`mana, pjro lujstrn j`jiimùl mlmimn` (jiunimùl >3.>7) rjsu`tn pnrtmiu`nrfjltj iùfoan.

Fnxmfmznimùl aj `n utm`mana jspjrnan Nioraj iol `n jsin`n y j` ormhjl j`jhmao y quj rjprjsjltn `n jiunimùl quj cjfos nsmhlnao `n proknkm`mana `n utm`mana aj toao>3.>7, prjfmosupolhnfos x m . Lùtjsj iolm pnrn rjprjsjltnr irjtnfjltj quj > 6 7, l   6 >, y quj toaos òs ajfîs vnòrjs aj `n utm`mana jstîl ajltro aj jstos jxtrjfos. Jfp`jnlao jstos lõfjros aj `n utm`mana, poajfos ajfostrnr quj ul mlamvmauo ‐rnimoln`‖ j`jhmrî jltrj amstmltns euhnans nrrmjshnans jl bulimùl aj su ‐utm`mana‖ jspjrnan, js ajimr, jl bulimùl aj` vnòr jspjrnao aj jstos lõfjros aj` ælamij aj utm`mana aj vol Ljufnll-Forhjlstjrl. Wor jejfpò, nln`mijfos aos euhnans nrrmjshnans. Zln aj j``ns obrjij x ;, iol uln proknkm`mana q, y x 9, iol uln proknkm`mana (> ’ q ). ). @n otrn euhnan obrjij x :, iol uln proknkm`mana t, y x 2, iol uln proknkm`mana (> ’ t ). ). ûjrjfos ajfostrnr quj j` mlamvmauo j`jhmrî j`jhmrî `n euhnan > sm, y sùò sm, `n utm`mana jspjrnan aj `n euhnan nrrmjshnan > jxijaj n `n aj `n euhnan ;. Ncorn, jl j` inso aj jstns euhnans5 utm`mana jspjrnan (>) 6 q  ¥ Z (x ;) + (> ’ q ) ¥ Z (x 9)

(>3.>9)

utm`mana jspjrnan (;) 6 t  ¥ Z (x :) + (> ’ t ) ¥ Z (x 2). Qíilminfjltj, ul ælamij aj utm`mana aj vol Ljufnll-Forhjlstjrl tnl sùò js õlmio por iunlto n `n j`jiimùl aj `n jsin`n y j` ormhjl4 js ajimr, sùò por iunlto n uln ‐trnlsborfnimùl `mljn`‖. Jstj rjqumsmto js fîs jstrmito quj j` aj `n bulimùl aj utm`mana quj ajkj sjr õlmin por iunlto n uln trnlsborfnimùl folùtoln.

3

[email protected]

:98

:93

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

N` sustmtumr sustmtumr òs lõfj lõfjros ros aj utm` utm`mana mana aj` æl ælamij amij (js aji ajimr, mr, ; js `n ‐utm`mana‖ aj x ;, jti.), tjlarjfos utm`mana jspjrnan (>) 6 q  ¥ o; + (> ’ q ) ¥ o9 utm`mana jspjrnan (;) 6 t  ¥ o: + (> ’ t ) ¥ o2.

(>3.>1)

ûjrjfos ajfostrnr quj j` mlamvmauo prjbjrmrî prjbjrmrî `n euhnan > n `n ; sm, y sùò sm q  ¥ ¥ o; + (> ’ q ) ¥ o9 < t  ¥ o: + (> ’ t ) ¥ o2.

(>3.>:)

Wnrn ajfostrnr ò nltjrmor, rjiujraj `ns ajbmlmimoljs aj` ælamij aj utm`mana. J` mlamvmauo js mlambjrjltj jltrj x ; y uln euhnan quj profjtj x > iol uln proknkm`mana (> ’ ;) y x l iol uln pro; x > y x l pnrn knkm`mana  . Woajfos jfp`jnr jstj cjico pnrn sustmtumr euhnans quj sùò mliùynl toans `ns utm`manajs jl `n jiunimùl >3.>1 (nul iunlao j` mlamvmauo js mlambjrjltj nltj ístns, j` supujsto aj quj poajfos rjn`mznr jstn sustmtuimùl js ulo aj òs nxmofns fîs prok`jfîtmios aj vol Ljufnll-Forhjlstj Ljufnll-Forhjlstjrl). rl). Qrns ulns opjrnimoljs n`hjkrnmins, poajfos ioliùmr quj `n euhnan > js jqumvn`jltj n `n quj profjtj x l iol `n proknkm`mana q ; + (> ’ q )9, y quj `n euhnan ; js jqumvn`jltj n `n quj profjtj x l iol uln proknkm`mana t : + (> ’ t )2. Inkj supoljr quj j` mlamvmauo prjbjrmrî `n euhnan quj rjprjsjltn fnyor proknkm`mana aj hnlnr j` fjeor prjfmo. Wor tnlto, j`jhmrî `n euhnan > sm, y sùò sm

q  o; + (> ’ q ) o9 < t  o o: + (> ’ t ) o 2.

(>3.>2)

Jsto js prjimsnfjltj ò quj qujrænfos ajfostrnr. Wor tnlto, cjfos ajfostrnao quj ul mlamvmauo j`jhmrî `n euhnan nrrmjshnan quj obrjzin j` fnyor lmvj` aj utm`mana jspjrnan (vol LjufnllForhjlstjrl). Ncorn sj utm`mznrî fuico jstj rjsu`tnao, quj sj pujaj rjsufmr aj `n fnljrn smhumjltj5

W[M [MLI LIMW MWMO MO AJ OW OWQM QMFM FMUN UNIM IMÙL ÙL Fnxmfmznimùl aj `n utm`mana jspjrnan. Ym òs mlamvmauos okjajijl òs nxmofns aj vol

Ljufnll-Forhjlstjrl sokrj j` iofportnfmjlto jl iolamimoljs aj mlijrtmaufkrj, jltolijs nitunrîl iofo sm j`mhmjrnl `n opimùl quj fnxmfmzn j` vnòr jspjrnao aj su ælamij aj utm`mana vol Ljufnll-Forhjlstjrl.

Nvjrsmùl n` rmjsho Aos òtjræns pujajl tjljr j` fmsfo vnòr foljtnrmo jspjrnao, pjro ambjrmr jl iunlto n su rmjsho. Wor jejfpò, tmrnr uln foljan n` nmrj por > aù`nr o tmrnr`n por >777 aù`nrjs sol aos eujhos eustos y nfkos tmjljl j` fmsfo vnòr jspjrnao (7). Lo okstnltj, j` sjhulao eujho js, jl imjrto sjltmao, fîs ‐nrrmjshnao‖ quj j` prmfjro, y cnkrî fjlos pjrsolns amspujstns n pnrtmimpnr jl ul eujho j` iun` j`j` smhlmbminao prjfmo iolsmstj jl hnlnr o jl pjrajry >777 aù`nrjs. J` okejtmvo aj jstn imùl jsjljxp`minr aj` tírfmlo ‐nrrmjshnao‖ por quí `n nvjrsmùl n` rmjsho jstî sjitnl hjljrn`mznan. J` tírfmlo rmjsho sj jltmjlaj iofo `n vnrmnkm`mana aj òs rjsu`tnaos aj ajtjrfmlnan nitmvmana mlimjrtn.= Ym `n vnrmnkm`mana js poin, insm poajfos anr por sjhuro `n nitmvmana. Iol uln loimùl aj vnrmnkm`mana lo fîs iofp`jen quj ístn, poajfos ajfostrnr por quí òs mlamvmauos, iunlao nbroltnl uln j`jiimùl jltrj aos euhnans nrrmjshnans, quj tmjljl j` fmsfo vnòr jspjrnao, lorfn`fjltj j`jhmrîl `n quj tjlhn ul rjlamfmjlto fjlos vnrmnk`j. @n mltumimùl los amij quj `n rnzùl quj jxp`min ò nltjrmor js quj lorfn`fjltj supoljfos quj `n utm`mana fnrhmln` aj òs aù`nrjs namimoln`js aj` prjfmo foljtnrmo (js ajimr, `n rmqujzn) amsfmluyj n fjaman quj j` prjfmo vn smjlao fnyor. Qmrnr uln foljan n` nmrj por >777 aù`nrjs profjtj uln hnlnlimn aj utm`mana rj`ntmvnfjltj pjqujþn sm hnlnfos, pjro uln hrnl píraman aj utm`mana sm pjrajfos. Zln npujstn aj sùò > aù`nr ‐lo tmjlj iolsjiujlimns‖ y `n hnlnlimn aj utm`mana ajrmvnan aj hnlnr >7

iofpjlsn, nproxmfnanfjltj, `n amsfmluimùl aj `n utm`mana ajrmvnan aj uln píraman. J` iolijpto jstnaæstmio aj ‐vnrmnimùl‖ fuicns vjijs sj jfp`jn iofo smlùlmfo aj rmjsho. Rínlsj j` jejfpò >3.9 y `ns nfp`mnimoljs aj jstj inpætuò. >7Zln ajbmlmimùl n`tjrlntmvn y fîs hjljrn` aj `n nvjrsmùl n` rmjsho js quj J TZ (X )V )V 0 Z TJ (X )V )V pnrn toan rmqujzn, X amstrmkuman n`jntormnfjltj. @n utm`mana fnrhmln` ajirjimjltj hnrnltmzn jstn iolamimùl.

=

[email protected]

Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

Nvjrsmùl n` rmjsho y npujstns eustns @n bmhurn >3.> mùstrn jstj nrhufjlto. Jl jstj inso, X * rjprjsjltn `n rmqujzn iorrmjltj aj ul mlamvmauo y Z (X ) js ul ælamij aj utm`mana vol Ljufnll-Forhjlstjrl quj rjb`jen `n opmlmùl aj` mlamvmauo rjspjito n amstmltos lmvj`js aj rmqujzn. Z (X ) cn smao trnznan iofo uln bulimùl iùlinvn aj X pnrn rjb`jenr j` supujsto aj `n utm`mana fnrhmln` ajirjimjltj. Yupoljfos quj oktjljr > aù`nr fîs nufjltn `n utm`mana inan vjz fjlos n fjaman quj nufjltn `n rmqujzn totn`. Ncorn, supolhnfos quj n jstn pjrsoln `j obrjijl `n posmkm`mana aj pnrtmimpnr jl aos euhnans eustns5 uln proknkm`mana aj :7% aj hnlnr o pjrajr $ c o uln proknkm`mana aj :7% aj hnlnr o pjrajr $;c. @n utm`mana aj `n rmqujzn nitun` js Z (X *). @n utm`mana jspjrnan sm pnrtmimpn jl `n euhnan > jstî ajc

tjrfmlnan por Z (X *)5 Z c (X *) 6

> > Z (X * + c ) + Z (X * - c ), ; ;

(>3.>8)

y `n utm`mana jspjrnan jspjrnan aj `n euhnan ; jstî ajt ajtjrfmlnan jrfmlnan por Z ;c (X *)5 > > Z ;c (X *) 6 Z (X * + ;c ) + Z (X * - ;c ). ; ;

(>3.>3)

@n bmhurn ajen jl i`nro, hjofítrminfjltj, quj>> Z (X * *)) < Z c (X * *)) < Z ;c (X *).

BMHZ[N >3.>

(>3.>=)

Ztm`mana aj `n rmqujzn aj aos npujstns eustns iol amstmltn vnrmnkm`mana

Ym `n bulimùl aj utm`mana aj `n rmqujzn js iùlinvn, js ajimr, sm jxcmkj uln utm`mana fnrhmln` ajirjimjltj aj `n rmqujzn, jstn pjrsoln rjicnznrî `ns npujstns eustns. Wor jejfpò, uln npujstn iol j` :7% aj posmkm`manajs aj hnlnr o pjrajr c aù`nrjs *)V quj rjicnznr `n npujstn. Jsto sj jxp`min porquj hnlnr c aù`nrjs smhlmbmin fjlos pnrn jstj proauij fjlos utm`mana TZ c (X *)V mlamvmauo quj pjrajr c aù`nrjs.

Ztm`mana Z (X ) Z (X* ) Z c (X* ) ;c

Z

(X* )

X*  ;c

X*  c

X X*

X*  c

X*  ;c

[mqujzn (X )

>>Wnrn vjr por quí `n utm`mana jspjrnan aj `n npujstn c  y y aj `n npujstn ; c sol `ns quj sj fujstrnl, lùtjsj quj jstns utm`manajs jspjrnans sol j` profjamo aj `n utm`mana aj ul rjsu`tnao bnvornk`j y ulo ajsbnvornk`j. Anao quj X * jstî n fjamo infmlo jltrj X * + c   yy X * ’ c, Z c tnfkmíl jstî n fjamo infmlo jltrj Z (X * + c ) y Z (X * ’ c ). ).

[email protected]

:9=

:17

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

Wor tnlto, jstn pjrsoln prjbjrmrî su rmqujzn nitun` n `n rmqujzn iofkmlnan iol uln euhnan nrrmjshnan eustn y prjbjrmrî uln euhnan aj poio folto n uln j`jvnan. Jsto sj jxp`min porquj hnlnr uln npujstn eustn sufn uln inltmana aj p`nijr fjlor n` aoòr quj hjljrn pjrajr. Nul iunlao, jl jstj inso, òs prjfmos sol mhun`js, hnlnr proporimoln uln inltmana aj utm`mana fjlor n ò quj iujstn pjrajr.

Nvjrsmùl n` rmjsho y sjhuros Aj cjico, jstn pjrsoln poaræn jstnr amspujstn n pnhnr imjrtn inltmana pnrn lo tjljr quj pnrtmim’- pnr jl uln euhnan nrrmjshnan jl nksoùto. Lùtjsj quj ul lmvj` ajtjrfmlnao aj rmqujzn aj X proporimoln `n fmsfn utm`mana quj `n pnrtmimpnimùl jl `n euhnan >. J` mlamvmauo jstnrî amspujsto ’- pnrn jvmtnr pnrtmimpnr jl `n euhnan. Jsto jxp`min n pnhnr uln inltmana iun`qumjrn cnstn X * ’ X por quí `ns pjrsolns iofprnl sjhuros. Jstîl rjlulimnlao n uln inltmana pjqujþn y imjrtn (`n prmfn aj `n pù`mzn) pnrn jvmtnr j` rjsu`tnao nrrmjshnao ioltrn j` quj sj jstîl nsjhurnlao. Wor jejfpò, `n prmfn quj uln pjrsoln pnhn por ul sjhuro aj anþos fntjrmn`js pnrn su nutofùvm`, `j proporimoln uln pù`mzn jl `n quj `n nsjhurnaorn nijptn rjpnrnr j` nutofùvm` jl inso aj smlmjstro. J` uso tnl jxtjlamao aj sjhuros pnrjijræn mfp`minr quj `n nvjrsmùl n` rmjsho jstî fuy hjljrn`mznan. Wor tnlto, sj prjsjltn `n smhumjltj ajbmlmimùl5

AJBMLMIMÙL Nvjrsmùl n` rmjsho. N`humjl quj smjfprj rjicnzn rjicnzn `ns npujstns eustns sjrî iolsmajrnan iolsmajrnan uln pjr-

soln quj smjltj nvjrsmùl n` rmjsho. Ym `n utm`mana fnrhmln` aj `n rmqujzn aj òs mlamvmauos js ajirjimjltj, ístos sjltmrîl nvjrsmùl n` rmjsho. Wor tnlto, jstnrîl amspujstos n pnhnr n`ho pnrn lo tjljr quj tofnr npujstns eustns. JEJFW@O >3.;

Amsposmimùl n pnhnr ul sjhuro

Wnrn mùstrnr `n rj`nimùl jltrj `n nvjrsmùl n` rmjsho y òs sjhuros, nln`mijfos j` inso aj uln pjrsoln quj tmjlj uln rmqujzn nitun` aj >77 777 aù`nrjs y quj, n ò `nrho aj` nþo smhumjltj, nbroltn uln posmkm`mana aj` ;:% aj pjrajr su nutofùvm`, nutofùvm`, quj vn`j ;7 777 aù`nrjs, n inusn aj roko. Yupolhnfos tnfkmíl quj j` ælamij aj utm`mana aj vol Ljufnll-Forhjlstjrl aj jstn pjrsoln js òhnrætfmio4 js ajimr, Z (X ) 6 `l (X ). Ym jstn pjrsoln nbroltn j` nþo smhumjltj sml ul sjhuro, su utm`mana jspjrnan sjrî utm`mana jspjrnan 6 7.8:Z (>77 (>77 777) 777) + 7.;: Z (37 ( 37 77 777) 7) 6 7.8: `l >77 >77 777 + 7.;: `l 37 77 7 77 6 >>.1:8>1.

(>3.;7)

Jl jstn smtunimùl, uln prmfn aj sjhuro eustn sjræn aj $:777 (;:% aj $;7 777, supolmjlao quj `n iofpnþæn aj sjhuros sùò nbroltn òs iostos aj `n rji`nfnimùl y quj òs iostos nafmlmstrntmvos sol 7). Wor tnlto, sm jstn pjrsoln nsjhurn totn`fjltj su nutofùvm`, su rmqujzn sjr sjrîî aj $=: 777, mlajpjlamjltjfjltj aj quj su nutofùvm` sjn sustrnæao o lo. Jl jstj inso, pujs, utm`mana jspjrnan 6 Z (=: (=: 777) 777) 6 `l (=: 777) 6 >>.12>29.

(>3.;>)

Js jvmajltj quj jstn pjrsoln jstnrî jl fjeor smtunimùl iunlao ioltrntn ul sjhuro eusto. Aj cjico, poajfos ajtjrfmlnr `n inltmana fîxmfn quj sj poaræn pnhnr por `n protjiimùl aj jstj sjhuro (x ) jstnk`jimjlao utm`mana jspjrnan 6 Z (>7 (>77 7 777 ’ x ) 6 `l (>77 (>77 777 ’ x ) 6 >>.1:8>1. N` rjso`vjr jstn jiunimùl jiunimùl pnrn x sj oktmjlj 6 j >>.1:8>1. >77 >7 7 777 777 ’ x  6 [email protected]

(>3.;;)

(>3.;9)

Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

Wor tnlto, `n prmfn fîxmfn js x  6 6 :1;2.

(>3.;1)

Jstn pjrsoln jstnræn amspujstn n pnhnr cnstn $1;2 por iostos nafmlmstrntmvos n uln iofpnþæn aj sjhuros, najfîs aj `n prmfn aj $:777 pnrn iukrmr j` vnòr aj `n píraman jspjrnan. Mliùso iunlao pnhn jstos iostos, jstn pjrsoln jstnrî mhun` aj kmjl quj sm tmjlj quj nbroltnr j` fulao sml ul sjhuro. Wrjhultn5 Yupolhnfos quj `n utm`mana aj `n rmqujzn cukmjrn smao `mljn`. ¿Jstn pjrsoln jstnræn

amspujstn pnhnr n`ho fîs quj `najinltmana nitunrmn`fjltj eustn por j` sjhuro? ¿ûí pnsnræn sm `n utm`mana jsnuln bulimùl iolvjxn `n rmqujzn?

Fjamimùl aj `n nvjrsmùl n` rmjsho Iunlao jstuamnfos `ns j`jiimoljs jiolùfmins jl smtunimoljs aj rmjsho, suj`j sjr iolvjlmjltj amspoljr aj uln fjaman iunltmtntmvn aj quí tnltn nvjrsmùl n` rmjsho smjltj uln pjrsoln. @n fjaman fîs utm`mznan aj `n nvjrsmùl n` rmjsho buj ajsnrro``nan, mlmimn`fjltj, por E. X. Wrntt jl `n aíinan aj òs sjsjltn.>; Yj ajbmlj `n fjaman aj `n nvjrsmùl n` rmjsho, r (X ), iofo Z (X ) . r (X ) 6 Z (X )

(>3.;:)

Anao quj `n inrnitjræstmin quj ajbmlj n òs mlamvmauos quj smjltjl nvjrsmùl n` rmjsho js `n utm`mana fnrhmln` ajirjimjltj aj `n rmqujzn TZ (X ) 0 7V, `n fjaman aj Wrntt js posmtmvn jl jstos insos. @n fjaman lo vnræn iol rjspjito n `ns trnlsborfnimoljs `mljn`js aj `n bulimùl aj utm`mana y, por tnlto, lo sj vj nbjitnan nbjitnan por j` orajl vol Ljufnll-Forhjlst Ljufnll-Forhjlstjrl jrl quj utm`mijfos. utm`mijfos.

Nvjrsmùl n` rmjsho y prmfns aj sjhuros @n inrnitjræstmin fîs õtm` aj` mlaminaor aj `n nvjrsmùl n` rmjsho aj Wrntt, tn` vjz sjn quj js proporimoln` n `n inltmana quj ul mlamvmauo pnhnrî por nsjhurnrsj aj rjicnznr uln npujstn eustn. Yupolhnfos quj `ns hnlnlimns aj uln npujstn eustn jstîl anans por `n vnrmnk`j n`jntormn c (vnrmnk`j quj pujaj sjr posmtmvn o ljhntmvn). Anao quj `n npujstn js eustn, J (c ) 6 7 (aolaj J smhlmbmin ‐vnòr jspjrnao‖). Nsmfmsfo, sjn p j` folto aj `n prmfn aj` sjhuro quj ajenræn n` mlamvmauo jxnitnfjltj mlambjrjltj jltrj nijptnr `n npujstn eustn c o pnhnr p iol ijrtjzn pnrn jvmtnr `n euhnan nrrmjshnan5 J TZ (X  + + c ))VV 6 Z (X ’ p ),

(>3.;2)

aolaj X js `n rmqujzn nitun` aj` mlamvmauo. Ncorn nfp`mnfos òs aos `naos aj `n jiunimùl >3.;2 utm`mznlao `n sjrmj aj Qnyòr.>9 Anao quj p js ul folto bmeo, knstn uln sjlim``n nproxmfnimùl `mljn` aj` `nao ajrjico aj `n jiunimùl5 Z (X ’ p ) 6 Z (X ) ’ pZ (X ) + otro otross tírf tírfml mlos os aj aj oraj orajl l su supj pjrm rmor or..

(>3. (>3.;8 ;8))

E. X. Wrntt. ‐[msd Nvjrsmol ml tcj Yfn`` nla nla ml tcj @nrhj‖, Jiolofjtrmin , jljro/nkrm` aj >=21, pp. >;;->92. @n sjrmj aj Qnyòr los obrjij uln borfn aj nproxmfnr toan bulimùl ambjrjlimnk`j rjspjito n ul pulto anao. Ym b (x ) tmjlj ajrmvnans aj toaos òs ùrajljs, poarjfos ajfostrnr quj >;

>9

b  (x  + + c ) 6 b  (x ) + cb   (x ) + (c ;/;) b   (x ) + otros tírfmlos aj orajl supjrmor.

Jl î`hjkrn, `n bùrfu`n pulto-pjlamjltj js ul sjlim`ò jejfpò aj `n sjrmj aj Qnyòr.

[email protected]

:1>

:1;

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

Wnrn j` `nao mzqumjrao js ljijsnrmn uln nproxmfnimùl iunarîtmin pnrn anr inkman n `n vnrmnkm`mana aj `n euhnan nrrmjshnan, c 5 c ; J TZ (X + c )V 6 J TZ (X ) + cZ (X ) + Z (X )

; + otros tírfmlos aj orajl supjrmorV

J (c ; ) 6 Z (X ) + J (c )Z (X ) + Z (X ) ;

(>3.;3)

(>3.;=)

+ otros tírfmlos aj orajl supjrmor.

Ncorn, rjioranlao quj J (c ) 6 7, j`mfmlnlao òs tírfmlos aj orajl supjrmor y jfp`jnlao `n iolstnltj d pnrn rjprjsjltnr J (c ;)/;, poajfos mhun`nr `ns jiunimoljs >3.;8 y >3.;= iofo o

Z (X ) ’ pZ (X ) G Z (X ) + dZ (X )

(>3.97)

dZ (X ) 6 dr (X ). p  Z (X )

(>3.9>)

Js ajimr, j` folto quj j` mlamvmauo quj lo qumjrj rmjshos jstî amspujsto n pnhnr pnrn jvmtnr uln npujstn eustn js nproxmfnanfjltj proporimoln` n `n fjaman aj nvjrsmùl n` rmjsho aj Wrntt.>1 Anao quj poajfos oksjrvnr `ns prmfns quj sj pnhnl por òs sjhuros jl j` fulao rjn`, js brjiujltj quj ístns sjnl usnans pnrn jstmfnr òs iojbmimjltjs aj nvjrsmùl n` rmjsho aj òs mlamvmauos o pnrn iofpnrnrprovjlmjltj jstos iojbmimjltjs jltrj pnrn hrupos aj mlamvmauos. tnlto, js posmk`j jfp`jnr `n mlborfnimùl aj` fjrinao ioloijr knstnltj Wor aj `ns nitmtuajs nltj smtunimoljs nrrmjshnans.

Nvjrsmùl n` rmjsho y rmqujzn Zln mltjrrohnltj mfportnltj smrvj pnrn snkjr sm `n nvjrsmùl n` rmjsho nufjltn o amsfmluyj iol lmvj`js aj fnyor rmqujzn. @n mltumimùl los amij quj `n amsposmimùl n pnhnr pnrn jvmtnr ajtjrfmlnan npujstn eustn amsfmlumrî n fjaman quj `n rmqujzn vnyn nufjltnlao, porquj `n utm`mana fnrhmln` ajirjimjltj cnrî quj `ns posmk`js píramans sjnl fjlos hrnvjs pnrn òs mlamvmauos quj tmjljl uln hrnl rmqujzn. Yml jfknrho, jstn rjspujstn mltumtmvn lo js ljijsnrmnfjltj iorrjitn, porquj `n utm`mana fnrhmln` ajirjimjltj tnfkmíl cnij quj `ns hnlnlimns por hnlnr euhnans nrrmjshnans sjnl fjlos ntrnitmvns. Wor tnlto, j` rjsu`tnao ljto lo js ajtjrfmlnao, smlo quj ajpjlaj aj `n borfn prjimsn aj `n bulimùl aj utm`mana. Aj cjico, sm `n utm`mana aj `n rmqujzn js iunarîtmin, ;

Z (X ) 6 n  + kX  + iX ,

(>3.9;)

Z (X ) -;i 6 , r (X ) 6 Z (X ) k + ;iX

(>3.99)

aolaj k   < 7, i   0 7, `n fjaman aj nvjrsmùl n` rmjsho aj Wrntt js

quj, jl ioltrn aj ò quj amij `n mltumimùl, nufjltn n fjaman quj `n rmqujzn vn nufjltnlao. Wor otrn pnrtj, sm `n utm`mana aj `n rmqujzn js òhnrætfmin, Z (X ) 6 `l (X )

(X   < < 7),

(>3.91)

tjlarjfos > Z (X ) 6 , r (X ) 6 Z (X ) X

quj, jl jbjito, amsfmluyj n fjaman quj `n rmqujzn vn nufjltnlao.

(>3.9:)

>1Jl jstj inso, j` bnitor aj proporimoln`mana tnfkmíl js proporimoln` n `n vnrmnimùl aj c. Jl j` jejfpò >3.9 jlioltrnrî ul jejfpò jl j` iun` jstn jiunimùl jlinen jxnitnfjltj.

[email protected]

Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

@n bulimùl jxpoljlimn` aj utm`mana Z (X ) 6 ’j ’ NX  6 ’jxp (’ NX )

(>3.92)

(aolaj N js uln iolstnltj posmtmvn) jxcmkj uln nvjrsmùl n` rmjsho iolstnltj jl toaos òs rnlhos aj rmqujzn, porquj ncorn Z (X ) N ;j  - NX 6 6 N . r (X ) 6 Z (X ) Nj  - NX

(>3.98)

Woajfos jfp`jnr jstn inrnitjræstmin aj `n bulimùl jxpoljlimn` aj utm`mana pnrn prjsjltnr n`hulns jstmfnimoljs fujstrn j` smhumjltjlufírmins jejfpò. aj `n amsposmimùl n pnhnr pnrn jvmtnr `ns euhnans nrrmjshnans, iofo JEJFW@O >3.9

Nvjrsmùl iolstnltj n` rmjsho

Yupolhnfos quj ul mlamvmauo, iuyn rmqujzn mlmimn` js aj X 7 y iuyn utm`mana jstî ajtjrfmlnan por `n bulimùl quj jxcmkj uln nvjrsmùl n` rmjsho iolstnltj, nbroltn uln proknkm`mana aj` :7% aj hnlnr o pjrajr $>777. ¿ûí tnlto ( b ) jstnræn amspujsto n pnhnr pnrn jvmtnr j` rmjsho? Wnrn jlioltrnr jstj vnòr, cnijfos quj `n utm`mana aj X 7 ’ b sjn mhun` n `n utm`mana jspjrnan aj `n euhnan nrrmjshnan5 ’jxp T’ T’ N (X 7 ’ b  ))VV 6 ’7.:jxp TT’’ N (X 7 + >777)V ’7.:jxp T’ T’ N (X 7 ’ >777)V.

(>3.93)

Anao quj toaos òs tírfmlos aj `n jiunimùl >3.93 ioltmjljl j` bnitor ’ jxp ((’’ NX 7) poajfos cnijr uln amvmsmùl pnrn suprmfmròs, ajfostrnlao nsæ quj, pnrn `n bulimùl jxpoljlimn` aj utm`mana, `n voùltna n pnhnr pnrn jvmtnr `n mlijrtmaufkrj js mlajpjlamjltj aj `n rmqujzn mlmimn`. Ncorn, poajfos jfp`jnr jfp`jnr òs tírfmlos rrjstnltjs jstnltjs jxp ( Nb  ) 6 7.:jxp (’>777 N ) + 7.:jxp (>777 N )

(>3.9=)

pnrn rjso`vjr b jl bulimùl aj amstmltos vnòrjs aj N. Ym N   6 7.777>, b   6 1=.=4 js ajimr, uln pjrsoln iol jstj hrnao aj nvjrsmùl n` rmjsho pnhnræn ulos $:7 pnrn jvmtnr uln npujstn eustn aj $>777. Wor otrn pnrtj, sm N   6 7.7779, jstn pjrsoln iol fnyor nvjrsmùl n` rmjsho pnhnræn b   6 >18.3 pnrn jvmtnr `n euhnan nrrmjshnan. Anao quj `n mltumimùl suhmjrj quj jstos vnòrjs lo sol mrrnzolnk`js, `ns mlvjstmhnimoljs jfpærmins n vjijs utm`mznl òs vnòrjs aj` pnrîfjtro N aj nvjrsmùl n` rmjsho ajltro aj jstos rnlhos. Amstrmkuimùl ul rmjsho. poajfos `n bulimùl ajn`jntormn utm`mana ioltrn iolstnltj aj nvjrsmùl n` lorfn` rmjsho y aj j` supujsto aj Ncorn quj uln pjrsolniofkmlnr nbroltn uln nfjlnzn su

rmqujzn, `n iun` smhuj uln amstrmkuimùl lorfn` (vínlsj `ns nfp`mnimoljs aj jstj inpætuò quj ioltmjljl n`hulos nltjijajltjs jstnaæstmios aj jstj iolijpto) pnrn poajr ``jhnr n ul rjsu`tnao pnrtmiu`nrfjltj smfp`j. Jl iolirjto, sm `n rmqujzn jl rmjsho aj uln pjrsoln smhuj uln amstrmkuimùl lorfn` iol uln fjamn X  y uln vnrmnimùl X ;, jltolijs `n bulimùl aj ajlsmana aj proknkm`mana aj `n rmqujzn jstnrî ajtjrfmlnan por b (X ) 6 (>/  ;  )j ’z /;, aolaj z   6 T(X ’ X )/X V. Ym `n bulimùl aj utm`mana aj `n rmqujzn aj jstn pjrsoln jstî ajtjrfmlnan por Z (X ) 6 ’j ’ NX , jltolijs `n utm`mana jspjrnan aj su rmqujzn jl rmjsho jstnrî ajtjrfmlnan por ;

È

J TZ (X )V 6



Z (X ) b (X )aX 6

’È

> ; o

;



- j - NX   j - T(X - `X ) / r V / ;aX .

(>3.17)

Wnrn lujstrn sorprjsn, jstn mltjhrnimùl tn` vjz lo sjn fuy ambæim` aj òhrnr, nul iunlao rjqumjrn aj knstnltj prîitmin. [jn`mznr jstn mltjhrnimùl y tofnr uln sjrmj aj trnlsborfnimoljs folùtolns aj `n jxprjsmùl rjsu`tnltj los ``jvn n` rjsu`tnao bmln` aj quj N ; JTZ (X )V G `X - ¥ rX

;

[email protected]

(>3.1>) (ioltmlõn )

:19

:11

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

JEJFW@O >3.9 IOLQMLZNIMÙL

Wor ò tnlto, `n utm`mana jspjrnan js tnl sùò uln bulimùl `mljn` aj òs aos pnrîfjtros aj `n bulimùl aj `n ajlsmana aj `n proknkm`mana aj `n rmqujzn y j` pnrîfjtro aj `n nvjrsmùl n` rmjsho aj` mlam vmauo ( N N ) ajtjrfmln j` tnfnþo aj` jbjito ljhntmvo quj `n vnrmnkm`mana tmjlj jl `n utm`mana jspjrnan. Wor jejfpò, supolhnfos quj uln pjrsoln cn mlvjrtmao sus bolaos aj foao quj `n rmqujzn tmjlj ul rjlamfmjlto jspjrnao jspjrnao aj $>77 777, pjro uln ajsvmnimùl jstîlanr aj` rjl rjlamfmjlto amfmjlto (X ) aj $>7 777. Wor tnlto, iol `n amstrmkuimùl lorfn`, jstn pjrsoln poaræn poaræn jspjrnr quj su rmqujzn amsfmluynn n fjlos aj $39 :77 n`rjajao amsfmluy n`rjajaorr aj` :% aj` tmjfpo y nufjltj por jlimf jlimfnn aj $>>2 :77 uln brniimùl smfm`nr aj` tmjfpo. Iol jstos pnrîfjtros, `n utm`mana jspjrnan jstnrî ajtjrfmlnan por J TZ (X )V 6 >77 777 ’ N ; (> (>77 777) 777);. Ym N   6 7.777> 6 >7’1, `n utm`mana jspjrnan jstnrî ajtjrfmlnan fmln an por >77 777 ’ 7.:  >7’1  (>71); 6 =: 777. Wor ò tnlto, js jstn tn pjrsoln rjimkj ``nn fmsfn utm`mana aj su rmqujzn jl iolamimoljs aj mlijrtmaufkrj quj `n quj oktjlaræn aj uln rmqujzn sjhurn aj $=: 777. Zln pjrsoln quj ssmjltj mjltj fîs nvjrsmùl n` rmjsho rmjsho poaræn tjljr N   6 7.7779 y, jl jstj inso, j` ‐imjrto jqumvn`jltj‖ jqumvn`jltj‖ aj su rmq rmqujzn ujzn sjræn $3: 777. Wrjhultn5 Yupolhnfos quj jstn pjrsoln tuvmjrn n su nìnlij aos borfns aj mlvjrtmr su rmqujzn5

`n nsmhlnimùl >5 X   6 >78 >78 777 777 X   6 >7 7774 y `n nsm nsmhlnim hlnimùl ùl ;5 X   6 >7; >7; 777 777 X   6 ;777. ¿@n nitmtua aj jstn pjrsoln nltj j` rmjsho, iùfo nbjitnræn `n nsmhlnimùl quj j`men aj jstns aos?>:

Nvjrsmùl rj`ntmvn n` rmjsho Js poio proknk`j quj `n amsposmimùl n pnhnr por jvmtnr uln euhnan nrrmjshnan anan sjn mlajpjlamjltj aj` lmvj` aj rmqujzn aj uln pjrsoln. Zl supujsto fîs ntrnitmvo sjræn quj jstn amsposmimùl n pnhnr hunran uln proporimùl mlvjrsn iol `n rmqujzn y quj `n jxprjsmùl Z (X ) rr (X ) 6 Xr (X ) 6 -X Z (X )

(>3.1;)

poaræn sjr nproxmfnanfjltj iolstnltj. Yjhõl `n tjrfmloòhæn propujstn propujstn por E. X. Wrntt,>2 `n bulimùl rr (X ) ajbmlman jl `n jiunimùl >3.1; sj cn ajlofmlnao nvjrsmùl rj`ntmvn n` rmjsho. @n bulimùl aj utm`mana aj` poajr X [ Z (X ) 6 [ (pnrn [ 0 >, þ 7)

(>3.19)

y Z (X ) 6 `l X (pnrn [   6 6 7)

jxcmkj uln nvjrsmùl n` rmjsho nksoùtn ajirjimjltj5 Z (X ) ([ - >)X [  - ; ([ - >) r (X ) 6 6 6 [  - > Z (X ) X X

(>3.11)

pjro uln nvjrsmùl rj`ntmvn iolstnltj n` rmjsho5 rr (X ) 6 Xr (X ) 6 ’([ ’ >) 6 > ’ [.

(>3.1:)

Jstj jejfpò lufírmio js uln nproxmfnimùl (n hroso foao) aj òs antos cmstùrmios aj òs rjlamfmjltos rjn`js aj niimoljs y kolos, rjspjitmvnfjltj, pjro òs iîìuòs sùò tmjljl j` propùsmto aj mùstrnr j` inso. Jlioltrnrî fîs ajtn``js sokrj tjfns aj nsmhlnimùl aj inrtjrn jl `ns nfp`mnimoljs aj jstj inpætuò y jl j` prok`jfn >3.3 (nsæ iofo `n rjbjrjlimn ioltjlman jl j` fmsfo). >2Wrntt. ‐[msd Nvjrsmol‖. >:

[email protected]

Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

@n jvmajlimn jfpærmin>8 suj`j sjr iolsmstjltj iol vnòrjs aj [ aj ul rnlho aj jltrj ’9 n ’>. Wor ò tnlto, n` pnrjijr, òs mlamvmauos sol n`ho fîs ioltrnrmos n` rmjsho quj ò quj mfp`min `n bulimùl òhnrætfmin aj utm`mana, nul iunlao jl fuicns np`minimoljs jstn bulimùl proporimoln uln nproxmfnimùl rnzolnk`j. Js ljijsnrmo ajstninr quj `n bulimùl aj utm`mana iolstnltj aj nvjrsmùl rj`ntmvn n` rmjsho aj `n jiunimùl >3.19 tmjlj `n fmsfn borfn quj `n bulimùl aj utm`mana IJY ajsirmtn por prmfjrn vjz jl j` inpætuò 9. Jsto proporimoln imjrtn mltumimùl hjofítrmin sokrj `n lnturn`jzn aj `n nvjrsmùl n` rmjsho quj sj nln`mznrî fîs naj`nltj jl jstj fmsfo inpætuò. @n bulimùl tnfkmíl cn smao jfp`jnan pnrn jxpòrnr `n ‐prmfn aj rmjsho‖ quj hnlnl n`hulns mlvjrsmoljs nrrmjshnans. Yj nln`mzn jstn np`minimùl krjvjfjltj jl j` prok`jfn >3.3. JEJFW@O >3.1

Nvjrsmùl rj`ntmvn iolstnltj n` rmjsho

Zl mlamvmauo quj oksjrvn ul iofportnfmjlto quj sj inrnitjrmzn por uln bulimùl aj utm`mana iolstnltj iol nvjrsmùl rj`ntmvn n` rmjsho sj prjoiupnrî por `ns hnlnlimns o `ns píramans proporimoln`js aj su rmqujzn. Wor tnlto, poajfos prjhultnr n quí tnlto aj su rmqujzn mlmimn` ( b ) jstnræn jstn pjrsoln amspujstn n rjlulimnr pnrn jvmtnr uln euhnan eustn, por jejfpò, aj` >7% aj su rmqujzn mlmimn`. Wrmfjro supoljfos quj [   6 7 pnrn quj `n bulimùl òhnrætfmin aj utm`mana sjn najiunan. Ym cnijfos quj `n utm`mana aj `n rmqujzn imjrtn rjstnltj aj jstj mlamvmauo sjn mhun` n `n utm`mana jspjrnan aj `n euhnan quj nrrmjshn j` >7% tjlarjfos `lT(> ’ b  )X 7V 6 7.: `l(>.> X 7) + 7.: `l(7.=X 7).

(>3.12)

Anao quj òs aos tírfmlos ioltmjljl `n rmqujzn mlmimn` `l X 7, poajfos j`mfmlnr`n aj jstn jxprjsmùl5 `l(> ’ b  ) 6 7.:T`l(>.>) + `l(7.=)V 6 `l(7.==)7.:

aj foao quj (> ’ b  ) 6 (7.==)7.: 6 7.==:

y b   6 7.77:.

(>3.18)

Wor tnlto, jstn pjrsoln snirmbminrî cnstn `n fmtna aj` >% aj su rmqujzn pnrn lo nrrmjshnr j` >7% jl `n euhnan. Woajfos jfp`jnr ul iîìuò smfm`nr pnrn j` inso [   6 ’; aj foao quj tjlhnfos b   6 7.7>:.

(>3.13)

Wor jstn pjrsoln quj lo smjltj fîs nvjrsmùl n` rmjsho amspujstn n rjlulimnr cnstn j` >.:%òajtnlto, su rmqujzn mlmimn` pnrn tjljr quj nrrmjshnr j` >7%jstnræn jl `n euhnan. Wrjhultn5 Iol `n bulimùl aj nvjrsmùl rj`ntmvn iolstnltj n` rmjsho, ¿`n amsposmimùl aj jstn pjrso-

ln n pnhnr pnrn jvmtnr uln euhnan nrrmjshnan anan (por jejfpò, aj >777) iùfo ajpjlaj aj su rmqujzn mlmimn`?

J` p`nltjnfmjlto aj `n prjbjrjlimn por ul jstnao y j`jiimùl jl iolamimoljs aj mlijrtmaufkrj Cnstn ncorn, j` nlî`msms cjico jl jstj inpætuò cn obrjimao mlborfnimùl rj`ntmvn n amstmltns iujstmoljs, pjro pnrjij sjr knstnltj amstmlto aj` p`nltjnfmjlto quj cnkænfos naoptnao jl otros inpætuòs. N` pnrjijr, cjfos pjramao j` foajò kîsmiosjhumr aj fnxmfmznimùl aj lujstro `n utm`mana suejtnaj`n uln rjstrmiimùl aj` prjsupujsto. Wor tnlto, pnrn poajr nvnlznlao jl nlî`msms N`hulos nutorjs jxprjsnl `n bulimùl aj utm`mana aj `n jiunimùl >3.19 iofo Z (X ) 6 X > ’ n /(> ’ n ) y prjtjlajl fjamr n   6 > ’ [, aj foao quj n js posmtmvn.

>8

[email protected]

:1:

:12

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

iofportnfmjlto jl smtunimoljs aj mlijrtmaufkrj, ajsnrro``nrjfos n`hulns tíilmins lujvns quj pjrfmtmrîl ajvo`vjr j` nlî`msms aj jstj iofportnfmjlto n` fnrio jstîlanr aj `n tjoræn aj `n j`jiimùl.

Jstnaos aj` fulao y kmjljs ioltmlhjltjs Wnrtmfos aj` supujsto quj òs rjsu`tnaos aj ul cjico n`jntormo iun`qumjrn pujajl sjr i`nsmbminaos jl bulimùl aj uln sjrmj aj jstnaos aj` fulao. Lo poajfos prjvjr iol jxnitmtua quí oiurrmrî, por jejfpò, fnþnln, pjro supoljfos quj sæ js posmk`j i`nsmbminr, jl bulimùl aj ul lõfjro bmeo aj jstnaos kmjl ajbmlmaos, toaos òs cjicos quj poarænl oiurrmr. Wor jejfpò, poarænfos rjiurrmr n uln nproxmfnimùl fuy hjljrn` y ajimr quj, fnþnln, j` fulao sùò poarî jstnr jl aos jstnaos4 o sjn, jl ‐ípoins kujlns‖ o jl ‐ípoins fn`ns‖. Woarænfos cnijr uln i`nsmbminimùl fuico fîs bmln aj òs jstnaos aj` fulao (mliùso fm`òljs aj jstnaos posmk`js), pjro poajfos ajsnrro``nr `n fnyor pnrtj aj òs bulanfjltos aj `n tjoræn jfp`jnlao tnl sùò aos jstnaos. Zln majn iolijptun` quj poajfos ajsnrro``nr n` fmsfo tmjfpo quj j` iolijpto aj òs jstnaos aj` fulao js `n rjbjrjltj n òs kmjljs ioltmlhjltjs. Yj trntn aj kmjljs quj sùò sj jltrjhnrîl sm sj prjsjltn ul jstnao anao jl j` fulao. ‐$> jl ípoins kujlns‖ js ul jejfpò aj ul kmjl ioltmlhjltj quj profjtj n` mlamvmauo $> jl ípoins kujlns, pjro lnan sm fnþnln sj prjsjltnrnl ípoins fn`ns. Mliùso poajfos, jstmrnlao knstnltj lujstrn inpnimana mltumtmvn, pjlsnr quj poarjfos iofprnr jstj kmjl4 js ajimr, poaræn iofprnr n n`humjl `n profjsn aj $> sm fnþnln rjsu`tn sjr uln ípoin kujln. Anao quj fnþnln poaræn cnkjr uln fn`n ípoin, jstj kmjl proknk`jfjltj sj vjlajrî vjla jrî por fjlo fjloss aj $>. Ym tnfkmíl cukmj cukmjrn rn n`humjl amspu amspujsto jsto n vjla vjlajrfj jrfj j` kmjl ioltm ioltmlhjl lhjltj tj ‐$> jl ípoins fn`ns‖, jltolijs yo poaræn nsjhurnr quj tjlarí > aù`nr fnþnln sm iofpro òs aos kmjljs ioltmlhjltjs5 ‐$> jl ípoins kujlns‖ y ‐$> jl ípoins fn`ns‖.

Nlî`msms aj `n utm`mana J` nlî`msms aj `ns j`jiimoljs quj fnxmfmznl `n utm`mana, aj kmjljs ioltmlhjltjs, tmjlj uln borfn fuy smfm`nr n `n jfp`jnan nltjs pnrn `ns j`jiimoljs. @n prmlimpn` ambjrjlimn js quj, trns oiurrmao j` cjico, `n pjrsoln sùò cnkrî oktjlmao ul kmjl ioltmlhjltj, ajpjlamjlao aj sm `n ípoin buj kujln o fn`n. Yml jfknrho, nltjs aj quj sj rjsuj`vn `n mlijrtmaufkrj, j` mlamvmauo tmjlj quj j`jhmr aj jltrj aos kmjljs ioltmlhjltjs y proknk`jfjltj iofprj ul poio aj nfkns, porquj lo snkj iuî` jstnao sj prjsjltnrî. Yj ajlotnrîl jstos aos kmjljs ioltmlhjltjs iofo X k (rmqujzn jl ípoins kujlns) y X f (rmqujzn jl ípoins fn`ns). Yupolmjlao quj jstn utm`mana js mlajpjlamjltj aj `n smtunimùl quj sj puamjrn prjsjltnr>3 y quj jstj mlamvmauo irjj quj `n proknkm`mana aj quj cnyn uln ípoin kujln js , `n utm`mana jspjrnan nsoimnan n jstos aos kmjljs ioltmlhjltjs js R (X k , X f ) 6 o Z (X k ) + (> ’ o) Z (X f ).

(>3.1=)

Ístn js `n fnhlmtua quj j` mlamvmauo qumjrj fnxmfmznr, anan su rmqujzn mlmimn`, X.

Wrjimos aj òs kmjljs ioltmlhjltjs Yupolmjlao quj jstn pjrsoln, jl uln ípoin kujln, pujaj iofprnr > aù`nr aj rmqujzn por p k  y, jl uln ípoin fn`n, > aù`nr aj rmqujzn por p f , su rjstrmiimùl prjsupujstnrmn sjrî X  6 6 p k X k  + p f X f .

(>3.:7)

@n rnzùl aj prjimos p k / p f fujstrn iùfo jstn pjrsoln pujaj mltjrinfkmnr aù`nrjs aj rmqujzn aj uln ípoin kujln por aù`nrjs aj rmqujzn aj uln ípoin fn`n. Wor jejfpò, sm p k   6 7.37 y p f   6 7.;7, j` snirmbmimo aj $> aj rmqujzn jl `n ípoin kujln pjrfmtmræn quj jstn pjrsoln iofprnrn ul kmjl Jstj supujsto js mlsostjlmk`j jl smtunimoljs jl `ns iun`js `n utm`mana aj `n rmqujzn ajpjlaj aj` jstnao aj` fulao. Wor jejfpò, `n utm`mana quj obrjij ajtjrfmlnao lmvj` aj rmqujzn poaræn vnrmnr ajpjlamjlao aj quj ul mlamvmauo jstí ‐jlbjrfo‖ o ‐snlo‖. Yml jfknrho, nquæ lo ioltjfp`nrjfos jstns iofp`jemanajs. Jl `n fnyor pnrtj aj lujstro nlî`msms, supolarjfos quj `n utm`mana aj `n rmqujzn js iùlinvn Z  (X ) < 7, Z (X ) 0 7.

>3

[email protected]

Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

ioltmlhjltj quj obrjij $1 aj rmqujzn jl inso aj quj sj prjsjltj uln ípoin fn`n. Wor supujsto quj j` cjico aj quj jstj mltjrinfkmo fjeorj `n utm`mana ajpjlajrî aj `ns imriulstnlimns iolirjtns aj `n smtunimùl. Lo okstnltj, `n posmkm`mana aj nln`mznr prok`jfns quj mlvoùirnl mlijrtmaufkrj iofo sm bujrnl jstnaos jl òs iun`js sj mltjrinfkmnl amstmltos kmjljs ioltmlhjltjs js ul j`jfjlto i`nvj quj obrjij j` foajò aj `ns prjbjrjlimns por j` jstnao.

Fjrinaos eustos pnrn òs kmjljs ioltmlhjltjs Ym òs fjrinaos aj òs tætuòs aj rmqujzn ioltmlhjltj jstîl kmjl ajsnrro``naos y sm jxmstj uln iomlimajlimn hjljrn` jl `n proknkm`mana aj quj sj prjsjltj uln ípoin kujln ( ), òs prjimos aj jstos tætuòs sjrîl nitunrmn`fjltj eustos4 js ajimr, sjrîl mhun`js n `ns proknkm`manajs sukynijltjs5 p k  6 o

p f  6 (> ’ o),

(>3.:>)

@ujho jltolijs, `n proporimùl aj prjimos p k / p f smfp`jfjltj rjb`jenrî `ns proknkm`manajs aj quj sj prjsjltjl ípoins kujlns5 p k o . 6 p f > - o

(>3.:;)

Jl lujstro jejfpò nltjrmor, sm p k   6  6 7.3 y p f   6 (> ’ ) 6 7.;, jltolijs /(> ’ ) 6 1. Jl jstj inso, jxprjsnrænfos `n proknkm`mana aj quj cnyn uln ípoin kujln iofo aj ‐1 n >‖. @os fjrinaos eustos aj tætuòs ioltmlhjltjs, iofo òs fjrinaos aj sjhuros, tnfkmíl rjb`jenrîl jstn proknkm`mana. @n ‐proknkm`mana‖ ‐proknkm`mana‖ naeuaminan n òs inkn`òs jl uln inrrjrn obrjij uln kujln nlnòhæn. Jstn proknkm`mana js ‐eustn‖ iunlao rjb`jen `n vjranajrn proknkm`mana aj quj amvjrsos inkn`òs hnljl.

Nvjrsmùl n` rmjsho Ncorn jstnfos jstnf os jl posmim posmimùl ùl aj ajfostrn ajfostrnrr iùfo sj fnlmbmjstn `n nvjrsmùl n` rmjsho jl j` foajò aj prjbjrjlimns por smtunimoljs. Jl iolirjto, poajfos ajfostrnr quj, sm òs fjrinaos aj tætuòs ioltmlhjltjs sol eustos, j` mlamvmauo quj fnxmfmzn `n utm`mana optnrî por uln smtunimùl jl `n iun` X k   6 X f 4 js ajimr, nrrjh`nrî `ns iosns aj tn` fnljrn quj `n rmqujzn quj oktjlhn n` bmln` aj iujltns sjn `n fmsfn, mlajpjlamjltjfjltj aj `n smtunimùl quj sj prjsjltj. Iofo jl òs inpætuòs nltjrmorjs, `n fnxmfmznimùl aj `n utm`mana suejtn n uln rjstrmiimùl prjsupujstnrmn jxmhj quj jstj mlamvmauo cnhn quj `n QFY aj X k por X f sjn mhun` n `n proporimùl aj òs prjimos aj jstos ‐kmjljs‖5 oZ (X k ) àR / àX k p k 6 6 QFY QF Y 6 . àR / àX f (> - o )Z (X f ) p f

(>3.:9)

Anao j` supujsto aj quj òs fjrinaos aj tætuòs ioltmlhjltjs sol eustos (jiunimùl >3.:;), jstn iolamimùl aj prmfjr orajl sj rjauij n Z (X k ) 6 > Z (X f )

o>= X k  6 X f .

(>3.:1)

Wor ò tnlto, jstj mlamvmauo, nltj òs fjrinaos eustos aj òs tætuòs ioltmlhjltjs aj rmqujzn, sjltmrî nvjrsmùl nàjrmjsho y optnrî pjlamjltjfjltj `n smtunimùl qujpor sj nsjhurnrsj prjsjltj. aj quj tjlarî j` fmsfo lmvj` aj rmqujzn mlajLùtjsj quj jstj pnso jxmhj quj `n utm`mana sjn mlajpjlamjltj aj` jstnao y quj q uj Z  (X ) < 7.

>=

[email protected]

:18

:13

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

BMHZ[N >3.;

Nvjrsmoljs n` rmjsho jl j` foajò aj prjbjrjlimns por j` jstnao

@n `æljn M rjprjsjltn `n rjstrmiimùl prjsupujstnrmn aj` mlamvmauo pnrn òs tætuòs aj rmqujzn ioltmlhjltjs5 X   6 p k kX k k   + p f fX f f. Ym j` fjrinao aj òs tætuòs ioltmlhjltjs js nitunrmn`fjltj eusto T p k k/ 6  /(> ’  )V, `n utm`mana sj fnxmfmznrî jl `n rjitn p f f aj ijrtmaufkrj, aolaj X k k  6 X f *. Ym òs prjimos lo sol nitunrmn`fjltj eustos, `n rjstrmiimùl prjsupujstnrmn sj pnrjijræn f  6 X *. fîs n M  y `n utm`mana sj fnxmfmznrî fnxmfmznrî jl ul pulto aol aolaj aj X k  < X f .

X f

[jitn aj ijrtmaufkrj

X*

` X*

` 

Z >

X k

Zl nlî`msms hrîbmio @n bmhurn >3.; mùstrn `n nvjrsmùl n` rmjsho iol uln hrîbmin. @n rjstrmiimùl prjsupujstnrmn aj jstj mlamvmauo (M ) sj fujstrn iofo uln tnlhjltj n `n iurvn aj mlambjrjlimn Z > aolaj X k   6 X f 4 js ajimr, ul pulto sokrj `n ‐rjitn aj ijrtmaufkrj‖ jl `n iun` `n rmqujzn ( X *) *) js mlajpjlamjltj aj` jstnao quj sj prjsjltj jl j` fulao. Jl X * `n pjlamjltj aj `n iurvn aj mlambjrjlimn T /(> ’ )V js prjimsnfjltj mhun` n `n rnzùl aj prjimos p k / p f . Ym j` fjrinao aj tætuòs aj rmqujzn ioltmlhjltjs lo bujrn eusto, jltolijs `n fnxmfmznimùl aj `n utm`mana poaræn lo anrsj sokrj `n rjitn aj ijrtmaufkrj. Wor jejfpò, supolhnfos quj /(> ’ ) 6 1 pjro quj p k / p f   6 ; porquj nsjhurnr `n rmqujzn jl uln ípoin fn`n js sufnfjltj inro. Jl jstj inso, `n rjstrmiimùl prjsupujstnrmn sj pnrjijræn n `n rjitn M  aj `n bmhurn >3.; y `n fnxmfmznimùl aj `n utm`mana sj proauimræn por ajkneo aj `n rjitn aj ijrtmaufkrj.;7 Jl jstj inso, jstj mlamvmauo sj nrrmjshnræn ul poio n` optnr por X k   < X f , porquj òs tætuòs aj X f sol rj`ntmvnfjltj inros. J` jejfpò >3.: fujstrn `n utm`mana aj jstj p`nltjnfmjlto pnrn jvnùnr n`hulns aj `ns n`tjrlntmvns quj poarænl jstnr amspolmk`js. Anao quj `n QFY sokrj `n rjitn aj ijrtmaufkrj smjfprj js /(> ’ ), iofo fujstrn `n jiunimùl >3.:1, `ns tnlhjltjs iol uln pjlamjltj fjlos prolulimnan quj ístn sj prjsjltnrîl por ajkneo aj `n rjitn aj ijrtmaufkrj.

;7

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Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

JEJFW@O >3.:

Yjhuros jl j` foajò aj prjbjrjlimns por j` jstnao

Woajfos mùstrnr j` p`nltjnfmjlto aj `ns prjbjrjlimns por j` jstnao rjp`nltjnlao j` inso aj òs sjhuros aj nutofùvm`js aj` jejfpò >3.; iofo ul prok`jfn jl j` iun` cny aos kmjljs ioltmlhjltjs, `n ‐rmqujzn sml roko‖ (X k ) y `n ‐rmqujzn iol roko‖ ( X f ). Ym, n` mhun` quj nltjs, supoljfos uln utm`mana òhnrætfmin y quj `n proknkm`mana aj ul roko (js ajimr, > ’ ) js 7.;:, tjlarjfos utm`mana jspjrnan 6 7.8:Z (X k ) + 7.;:Z (X f ) 6 7.8: `l X k  + 7.;: `l X f .

(>3.::)

Ym j` mlamvmauo lo jfprjlaj niimùl n`huln, `n utm`mana jstnrî ajtjrfmlnan por `n aotnimùl mlmimn` >77 777, 777, X *f   6 37 777 yy,, por ttnlto, nlto, aj rmqujzn, X *k k   6 >77 utm`mana jspjrnan 6 7.8: `l >77 >77 777 + 7.; 7.;: : `l 37 37 777 6 >>.1:8>1.

(>3.:2)

Wnrn nln`mznr òs mltjrinfkmos quj sj n`jenl aj jstns aotnimoljs mlmimn`js, jxprjsnfos `n rjstrmiimùl prjsupujstnrmn jl tírfmlos aj òs prjimos aj` kmjl ioltmlhjltj, p k  y p f 5 p k X * f f   + p k X * f  6 p k X f  + p k X f .

(>3.:8)

Yupolmjlao quj jstos prjimos sol mhun`js n `ns proknkm`manajs aj `ns aos smtunimoljs ( p k   6 7.8:, p f f    6 7.;:) poajfos jxprjsnr jstn rjstrmiimùl iofo 7.8:(>77 7.8: (>77 777) + 7.;:( 7.;:(37 37 777) 6 =: 777 777 6 7.8:X k  + 7.;:X f 4

(>3.:3)

js ajimr, j` vnòr jspjrnao aj `n rmqujzn rmqujzn js $=: 777, y jstn pjrsoln nsmhlnrî jstn inltm inltmana ana jltrj X k  y X f . Ncorn, `n fnxmfmznimùl aj `n utm`mana rjspjito n jstn rjstrmiimùl aj` prjsupujsto ijrtmaufkrj y rjimanrî X k   6 X f   6 =: 777. Wor tnlto, j` mlamvmauo sj fovjrî cnimn `n rjitn aj ijrtmaufkrj kmrî uln utm`mana jspjrnan aj utm`mana jspjrnan 6 `l =: 777 6 >>.12>29,

(>3.:=)

uln i`nrn fjeorn rjspjito n `n n`tjrlntmvn aj lo cnijr lnan. Wnrn òhrnr jstn fjeorn, jstn pjrsoln ajkj sjr inpnz aj trnlsbjrmr $:777 aj rmqujzn jl uln ípoin kujln (sml roko) y iolvjrtmròs jl $>: 777 aj rmqujzn namimoln` jl inso aj uln ípoin fn`n (roko). Zl ioltrnto aj sjhuro sjhuro eusto pjrfmtmrî jstj mltjrinfkmo, porquj iostnræn $:777 pjro ajvo`vjræn $;7 777 jl inso aj quj oiurrmjrn ul roko, pjro lnan sm lo sj proauij j` roko. Lùtjsj nquæ quj j` infkmo aj rmqujzn profjtmao 777/’: /’:777 777 6 ’94 js jxnitnfjltj mhun` n` `nao ljhntmvo aj `n por j` sjhuro aX f /aX k   6 >: 777 rnzùl aj proknkm`manajs ’/(> ’ ) 6 ’7.8:/7.;: 6 ’9. Zln pù`mzn iol i`îusu`n aj ajauimk`j. Amvjrsos ioltrntos aj sjhuros poarænl fjeornr fîs `n

utm`mana jl jstn smtunimùl, pjro lo toaos j`òs ``jvnrænl n j`jiimoljs sokrj `n rjitn aj ijrtmaufkrj. Wor jejfpò, uln pù`mzn quj iostnrn $:;77 $:;77 y ajvo`vmjrn $;7 777 jl inso aj roko pjrfmtmræn quj jstn pjrsoln nìnlznrn `n rjitn aj ijrtmaufkrj iol X k   6 X f   6 =1 377 377 y utm`mana jspjrnan 6 `l =1 377 6 >>.1:=:9,

(>3.27)

ò iun` tnfkmíl jxijaj n `n utm`mana quj sj pujaj oktjljr iol `n aotnimùl mlmimn`. Zln pù`mzn quj iostnrn $1=77 y quj jxmhmjrn quj j` mlamvmauo pnhuj òs prmfjros $>777 aj ul smlmjstro por roko anræn X k  6 >77 777 ’ 1=77 1=77 6 =: >77 >77 X f  6 37 777 ’ 1=77 1=77 + >= 777 777 6 =1 >77

[email protected]

(>3.2>)

(ioltmlõn )

:1=

::7

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

JEJFW@O >3.: IOLQMLZNIMÙL

y utm`mana jspjrnan 6 7.8 7.8: : `l =: >77 + 7.; 7.;: : `l =1 >77 6 >>.12771.

(>3.2;)

Ym kmjl jstn pù`mzn lo pjrfmtj quj j` mlamvmauo nìnlij `n rjitn aj ijrtmaufkrj, sæ fjeorn `n utm`mana. J` sjhuro lo ljijsnrmnfjltj ajkj sjr iofp`jto pnrn obrjijr `n profjsn aj uln fnyor utm`mana.

Wrjhultn5 ¿Iuî` js j` folto fîxmfo quj ul mlamvmauo jstnræn amspujsto n pnhnr por uln pù`mzn

aj sjhuro iol `n iun` ajkn nksorkjr òs prmfjros $>777 aj ul smlmjstro?

Nvjrsmùl n` rmjsho y prmfns por rmjsho J` foajò aj prjbjrjlimns por òs jstnaos tnfkmíl js jspjimn`fjltj õtm` pnrn nln`mznr `n rj`nimùl jltrj `n nvjrsmùl n` rmjsho y `n amsposmimùl aj òs mlamvmauos n pnhnr por j` rmjsho. Iolsmajrjfos j` inso aj aos pjrsolns, quj jfpmjznl nfkns iol ajtjrfmlnan rmqujzn, X *. *. Inan uln mltjltn fnxmfmznr uln bulimùl aj utm`mana jspjrnan aj borfn X k [ X f [ R (Xk , X f ) 6 o + (> - o) . [ [

(>3.29)

Jl jstj inso, `n bulimùl aj utm`mana iolstnltj fujstrn uln nvjrsmùl rj`ntmvn n` rmjsho (vínsj j` jejfpò >3.1). Lùtjsj tnfkmíl quj `n bulimùl js fuy smfm`nr n `n bulimùl aj utm`mana IJY quj nln`mznfos jl j` inpætuò 9 y jl otrns pnrtjs aj` `mkro. Jl jstj inso, j` pnrîfjtro [ ajtjrfmln j` hrnao aj `n nvjrsmùl n` rmjsho y tnfkmíl j` hrnao aj iurvnturn aj `ns iurvns aj mlambjrjlimn quj mfp`min `n bulimùl. Zl mlamvmauo quj smjltj uln hrnl nvjrsmùl n` rmjsho tjlarî ul vnòr ljhntmvo fuy n`to aj [  y iurvns aj mlambjrjlimn fuy prolulimnans, iofo `n iurvn Z > quj fujstrn `n bmhurn >3.9. Zln pjrsoln quj to`jrn fîs rmjsho tjlarî ul fnyor vnòr aj [  y y iurvns aj mlambj;> rjlimn fîs p`nlns (iofo Z ;). c aù`nrjs aj rmqujmlamvmauos nbroltnl `n j`pjrspjitmvn zn Yupolhnfos jl uln ípoin ncorn fn`n. quj Jstjjstos rmjsho sjræn nijptnk`j pnrn mlamvmauoaj ; smpjrajr `n rmqujzn jl uln ípoin kujln nufjltnrn aj X * n X ;. Yml jfknrho, jl j` inso aj` mlamvmauo quj smjltj jlorfj nvjrsmùl n` rmjsho, `n rmqujzn tjlaræn quj nufjltnr cnstn X > pnrn quj j` rmjsho bujrn nijptnk`j. Wor tnlto, `n ambjrjlimn jltrj X > y X ; mlamin j` jbjito quj `n nvjrsmùl n` rmjsho tmjlj jl `n amsposmimùl n nsufmr rmjshos. N`hulos aj òs prok`jfns aj jstj inpætuò rjiurrjl n jstn hrîbmin pnrn fostrnr `n rj`nimùl jltrj `ns prjbjrjlimns (tn` iofo rjb`jen `n bulimùl aj utm`mana aj `n jiunimùl >3.29) y j` iofportnfmjlto jl smtunimoljs aj rmjsho.

@n tnlhjlimn aj Z > y Z ; jl X * jstî hnrnltmznan, porquj `n QFY n ò `nrho aj `n rjitn aj ijrtmaufkrj jstî anan por /(> ’ ) mlajpjlamjltjfjltj aj` vnòr aj [. ;>

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Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

BMHZ[N >3.9

Nvjrsmùl n` rmjsho y prmfns por rmjsho

@n iurvn aj mlambjrjlimn Z > rjprjsjltn `ns prjbjrjlimns aj uln pjrsoln quj smjltj hrnl nvjrsmùl n` rmjsho, fmjltrns quj `n pjrsoln iol prjbjrjlimns rjprjsjltnans por `n iurvn Z ; jstî amspujstn n nsufmr fîs rmjshos. @n pjrsoln ;, iunlao tmjlj quj nsufmr j` rmjsho aj pjrajr c jl uln ípoin fn`n, jxmhmrî uln iofpjlsnimùl aj X ; ’ X * jl ípoins kujlns, fmjltrns quj `n *. pjrsoln > jxmhmrî uln inltmana supjrmor, anan por X > ’ X *.

X f

[jitn aj ijrtmaufkrj

X* X*

 c Z >

Z ; X*

X ; X >

X k

[JYZFJL Jl jstj inpætuò cjfos prjsjltnao fntjrmn` aj mltroauiimùl quj pjrfmtmrî jstuamnr j` iofportnfmjlto aj` mlamvmauo jl smtunimoljs aj mlijrtmaufkrj. @os rjsu`tnaos kîsmios quj cjfos vmsto sol5 • Jl smtunimoljs aj mlijrtmauf mlijrtmaufkrj, krj, n òs mla mlamvmauos mvmauos `js prjoiupn `n utm`m utm`mana ana jspjrnan ns nsoimnoimnan n amvjrsos rjsu`tnaos. Ym okjajijl òs nxmofns aj vol Ljufnll-Forhjlstjrl, cnrîl j`jiimoljs quj `js pjrfmtnl fnxmfmznr su utm`mana jspjrnan. • Ym supol supoljfos jfos qu qujj òs mlamv mlamvmauo mauoss tmjljl ul ulnn utm`ma utm`mana na fnrhm fnrhmln` ln` ajir ajirjimjl jimjltj tj aj `n rmquj rmqujzn, zn, tnfkmíl sjltmrîl nvjrsmùl n` rmjsho. Js ajimr, sj ljhnrîl n tofnr npujstns quj sol nitunrmn`fjltj eustns. • @os mlamvma mlamvmauos uos quj smjltjl nvjr nvjrsmùl smùl n` rrmjsho mjsho tnfkmíl qujrrîl nsj nsjhurnrsj hurnrsj totn`fj totn`fjltj ltj ioltrn òs cjicos mlimjrtos sm `ns prmfns aj sjhuros sol nitunrmn`fjltj eustns. Woarænl jstnr amspujstos n pnhnr prmfns nitunrmn`fjltj mleustns pnrn lo tjljr quj iorrjr rmjshos.

[email protected]

::>

::;

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

• Woajfos nl nln`mznr n`mznr `ns ajim ajimsmoljs smoljs jl iol iolamimolj amimoljss aj mlijrtma mlijrtmaufkrj ufkrj ajlt ajltro ro aj ul fnrio tjùrmio aj j`jiimoljs sm cnijfos ul p`nltjnfmjlto aj prjbjrjlimns por j` jstnao pnrn jsiohjr jltrj kmjljs ioltmlhjltjs. Iol jstj foajò, sm `ns prjbjrjlimns aj ul mlamvmauo sol mlajpjlamjltjs aj `n smtunimùl y sm òs prjimos sol nitunrmn`fjltj eustos, òs mlamvmauos prjbjrmrîl `ns nsmhlnimoljs n ò `nrho aj su ‐rjitn aj ijrtmaufkrj‖ quj hnrnltmznl j` fmsfo lmvj` aj rmqujzn, mlajpjlamjltj mlajpjlamjltjfjltj fjltj aj `n smtunimùl quj sj prjsjltj.

W[OK@JFNY >3.> Hjorhj npujstn $>77 777 n bnvor aj òs Ku``s pjlsnlao quj hnlnrîl j` infpjolnto infpjolnto aj `n LKN. Ym Hjorhj tmjlj uln bulimùl òhnrætfmin aj utm`mana aj `n rmqujzn y sm su rmqujzn nitun` js aj $> 777 777, ¿iuî` sjrî `n pro proknkm`mana knkm`mana fælmf fælmfnn quj nsmhln n` posmk`j trmulbo aj òs Ku``s? Ku``s? >3.; Ajfujstrj quj sm `n bulimùl aj utm`mana aj `n rmqujzn aj ul mlamvmauo js iolvjxn (jl vjz aj iùlinvn, iofo sj fujstrn jl `n bmhurn >3.>), ístj prjbjrmrî euhnans eustns, jl ùhnr aj `n ijrtmaufkrj aj òs mlhrjsos, y quj mliùso jstnræn amspujsto n nijptnr euhnans nrrmjshnans rj`ntmvnfjltj mleustns. ¿Iolsmajrn ustja quj jstj tmpo aj iofportnfmjlto nfnltj aj` rmjsho js brjiujltj? ¿ûí bnitorjs tjlajrænl n `mfmtnr `n posmkm`mana aj quj sj proauzin? >3.9 Zln pjrsoln iofprn uln aoijln aj cujvos y tmjlj quj ``jvnròs n insn. @`jhnr n insn lo `j iujstn lnan, pjro jxmstj ul :7% aj proknkm`mana aj quj toaos òs cujvos quj trnlsportj jl ulo aj òs vmnejs sj rofpnl por j` infmlo. Nln`mzn aos jstrntjhmns posmk`js5 Jstrntjhmn >5 Cnijr ul soò vmnej iol òs >; cujvos. Jstrntjhmn ;5 Cnijr aos vmnejs iol sjms cujvos jl inan ulo. n. Cnhn uln `mstn aajj toaos òs rj rjsu`tnaos su`tnaos po posmk`js smk`js aj jjstns stns aos jstr jstrntjhmns ntjhmns y aj `ns pproknkm`m roknkm`mananajs aj jstos rjsu`tnaos. Ajfujstrj quj, iol uln jstrntjhmn u otrn, jl profjamo qujanrîl sjms cujvos sml rofpjr. k. J`nkorj ul ulnn hrîbmin pnrn ajfostrnr `n utm`mana quj jstj mlamvm mlamvmauo auo pujaj oktjljr io ioll inan jstrntjhmn. ¿Iuî` jstrntjhmn sjræn prjbjrmk`j? i. ¿Woaræn utm`mana toa toanvæn nvæn sm cmimjr cmimjrnn fîs aj aos vvmnejs? mnejs? Ym òs vmne vmnejs js tuvmjrnl ul iosto,nufjltnr ¿iùfo sj`nvjræn nbjitnan jstnfîs posmkm`mana? >3.1 Yupolhnfos quj cny uln proknkm`mana aj` :7% aj quj ul mlamvmauo quj smjltj nvjrsmùl n` rmjsho y quj tmjlj tmjlj uln rmqujzn nitun` aj $;7 777 sj jlbjrfj y rrjhmstrj jhmstrj uln pírama píramann aj $>7 777. n. Inìu`j j` iiosto osto aj ul sjhuro nitunrm nitunrmn`fjltj n`fjltj eusto pnrn jstn sm smtunimùl tunimùl y jf jfp`jj p`jj uln hrî hrîbmin bmin aj `n utm`mana aj `n rmqujzn (iofo `n quj fujstrn `n bmhurn >3.>) pnrn ajfostrnr quj j` mlamvmauo prjbjrmrî ul sjhuro eusto quj iukrn jstj smlmjstro, jl ùhnr aj nijptnr `n euhnan nrrmjshnan sml sjhuro. k. Yupolhnfos quj cny aos tmpo tmposs aj pù`mzns aajj sjhuro amspolmk`js5 >) Zln pù`m pù`mzn zn eustn quj iu iukrj krj ul sml smlmjstr mjstroo iofp`j iofp`jto. to. ;) Zln pù`mzn eustn quj tnl sù` sùòo iukrj `n f fmtna mtna aj ul ssmlmjstro mlmjstro iun`q iun`qumjrn. umjrn. Inìu`j j` iosto aj` sjhulao tmpo aj pù`mzn y ajfujstrj quj, por ò hjljrn`, j` mlamvmauo `n iolsmajrnrî mlbjrmor n `n aj` prmfjr tmpo. [email protected]

Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

>3.: @n Yrn. Bohh jstî cnimjlao p`nljs pnrn ul vmnej n`rjajaor aj` fulao, jl j` iun` pmjlsn hnstnr $>7 777. @n utm`mana aj jstj vmnej vmnej js uln bulimùl aj iuîl iuîlto to hnstj, aj cjico, jl j` fmsfo (] ), anan por Z (] ) 6 `l ].

n. Ym jxmstj uln prok proknkm`mana nkm`mana aj` ;:% aj quj ``nn Yrn. Bohh jxtrnvæj $$>777 >777 aj su amljro aurnltj j` vmnej, ¿iuî` js `n utm`mana jspjrnan aj` vmnej? k. Yupolhnfos qu qujj `n Yrn. Bo Bohh hhaj pujaj iofprnr sjhuro iol ioltrn trn j` jxtr jxtrnvæo nvæo ajaj$>777 jejfpò, iofprnlao icjqujs vmnejro) n uln ul prmfn ‐nitunrmn`fjltj eustn‖ $;:7. (por Ajfujstrj quj su utm`mana jspjrnan js fnyor sm iofprn jstj sjhuro quj sm nsufj j` rmjsho aj jxtrnvmnr òs $>777 sml sjhuro. i. ¿Iuî` js j` folto fîxmfo quj `n Yrn. Bo Bohh hh jstnræn amspu amspujstn jstn n pnhnr pnr pnrnn nsjhurnr su suss $>777? >3.2 Iunlao n`humjl ajimaj jstnimolnr su nuto jl uln zoln procmkman, snkj quj `n proknkm`mana aj sjr fu`tnao js p  y y quj `n fu`tn quj tjlarî quj pnhnr sjrî b. Yupolhnfos quj toaos òs mlam vmauos smjltjl nvjrsmùl n` rmjsho (js ajimr, Z (X ) 0 7, aolaj X js `n rmqujzn aj` mlamvmauo). ¿ûí sjrî fîs jbminz pnrn jvmtnr quj `n hjltj sj jstnimolj jl uln zoln procmkman5 ul mlirjfjlto proporimoln` aj `n proknkm`mana aj sjr fu`tnao o ul mlirjfjlto proporimoln` aj `n fu`tn mfpujstn? TWmstn 5 jfp`jj `n nproxmfnimùl aj `n sjrmj aj Qnyòr nproxmfnimùl aj `n sjrmj Z (X  b )

b  ;

6

Z (X )  bZ (X ) +

;

Z (X ).V

>3.8 Zl nhrmiu`tor iolsmajrn quj cny uln proknkm`mana aj` :7% aj quj `n prùxmfn tjfpornan sjn jxijpimoln`fjltj `ùvmosn. `ùvmosn. Yu bulimùl aj utm`mana jspjrnan tmjlj `n borfn utm`mana jspjrnan

6

> > `l ]L[ + `l ] [ , ; ;

aolaj ] L[  y ] [ rjprjsjltnl j` mlhrjso aj` nhrmiu`tor, rjspjitmvnfjltj, jl `n smtunimùl aj ‐`ùvmn lorfn`‖ o `n aj ‐fuy `ùvmoso‖. n. Yupolhnfos quj j` nhrmiu`tor aj ajkj kj j`jhmr jl jltrj trj aos iu`tmvo iu`tmvoss quj profjtj profjtjll `ns smhumjltj smhumjltjss pjrspjitmvns aj mlhrjsos5 Iu`tmvo

Qrmho Fnæz

] L[ L[

$;3 777 >= 777

] [ [

$>7 777 >: 777

¿Iuî` iu`tmvo sjfkrnrî? k. Yupolhnfos quj j` nhrmiu`tor puj pujaj aj sjfkrnr ul iu`tmvo jl ul ulnn fmtna aj su infpo y j` otro jl `n otrn fmtna. ¿J`jhmræn jstn opimùl? Jxp`mquj su rjsu`tnao. i. ¿ûí iofkml iofkmlnimùl nimùl aj ttrmho rmho y fnæz proporimoln proporimolnræn ræn `n fnyor utm`mana jjspjrnan spjrnan n jjstj stj nhrmiu`tor? a. ¿Zl sjhuro pnrn j` iu` iu`tmvo tmvo aj` tr trmho, mho, n amspo amsposmimùl smimùl aj nhrmiu`torjs qquj uj sùò iu`tmvnl trmho, quj iujstn $1777 y obrjij pnhnr $3777 jl inso aj quj `n tjfpornan sjn ajfnsmnao `ù vmosn, provoinrî quj j` nhrmiu`tor ajima ajimann infkmnr aj iu`tmvo? [email protected]

::9

::1

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

>3.3 Wnrn `n bulimùl aj utm`mana iolstnltj iol nvjrsmùl rj`ntmvn n` rmjsho (jiunimùl >3.29) cjfos ajfostrnao quj j` hrnao aj nvjrsmùl n` rmjsho js fjamao por (> ’ [ ). ). Jl j` inpætuò 9 ajfostrnfos quj `n j`nstmimana aj sustmtuimùl pnrn `n fmsfn bulimùl jstî anan por >/(> ’ [ ). ). Wor iolsmhumjltj, uln fjaman js rjiæproin aj `n otrn. N pnrtmr aj jstj rjsu`tnao, jxp`mquj `ns prjhultns smhumjltjs5 n. ¿@n nvjrsmùl n` rmjsho po porr quí hunra hunrann uln rj`nim rj`nimùl ùl iol `n amsposmimùl aj ul mla mlamvmauo mvmauo n sustmtumr rmqujzn aj uln smtunimùl aj` fulao n otrn? ¿ûí bjlùfjlo inptnl jstos aos iolijptos? k. ¿Iùf ¿Iùfoo mltjr mltjrprjt prjtnræn nræn us ustja tja ò òss insos ppo`nrj o`nrjss [   6 > y [   6 ’ jl j` fnrio aj nvjrsmùl n` rmjsho y jl j` aj sustmtuimùl? 

i. Zl nufjlto aj` prj prjimo imo aj òs tætuò tætuòss ioltmlhjl ioltmlhjltjs tjs jl ípoins fn`ns (W f ) proauimrî jbjitos mlhrjso y sustmtuimùl jl `n ajfnlan aj X k  y aj X f . Ym j` mlamvmauo tmjlj ul prjsupujsto bmeo pnrn rjpnrtmr jltrj jstos aos kmjljs, ¿j`ò iùfo nbjitnræn `n inltmana quj j`men aj jstos kmjljs? ¿Wor quí poaræn nufjltnr o amsfmlumr X k ajpjlamjlao aj` hrnao aj nvjrsmùl n` rmjsho quj jxcmkn jstj mlamvmauo? a. Yupolhnfos qu qujj òs antos jfpærmios su suhmjrjl hmjrjl quj ul mlamvm mlamvmauo auo rjqumj rjqumjrj rj ul rjl rjlamfmjlto amfmjlto profjamo aj` 7.:% pnrn poajr iolvjlijr`j aj quj ioòquj su amljro jl uln mlvjrsmùl quj tmjlj j` :7% aj proknkm`manajs aj hnlnr o pjrajr ul :%. Js ajimr, jstn pjrsoln oktmjlj `n fmsfn utm`mana aj X 7 quj aj uln npujstn mhun` n >.7:: X 7 o n 7.=:: X 7. m. ¿^ ¿ûí uí vvn` nòr or aajj [ js iocjrjltj iol jstj iofportnfmjlto? mm. ¿ûí rjlamfmj rjlamfmjlto lto profjamo jjxmhmrî xmhmrî jstn pjrso pjrsoln ln pnrn nijptnr `n pro proknkm`mana knkm`mana aj` :7% aj hnlnr o pjrajr ul >7%? Lotn 5

jstn pnrtj rjqumjrj rjso`vjr jiunimoljs lo `mljn`js, por ò iun` knstnrîl `ns soùimoljs nproxmfnans. @n iofpnrnimùl aj` inlej jltrj rmjsho y rjlamfmjlto mùstrn ò quj sj ioloij iofo ‐`n pnrnaoen aj `n prmfn aj inpmtn`‖ porquj, n` pnrjijr, `ns mlvjrsmoljs nrrmjshnans obrjijl uln inltmana fuico fnyor aj `n quj sjræn iolhrujltj iol j` hrnao aj nvjrsmùl n` rmjsho quj suhmjrjl otros otros antos. Rínsj L. [. Doicjr`ndotn. ‐Qcj Jqumty Wrjfm Wrjfmuf5 uf5 Mt”s Ytm`` n Wuzz`j‖, Eourln` ob Jiolofmi @mtjrnturj , fnrzo aj >==2, pp. 1;-8>. >3.= Woajfos nln`mznr `n mlvjrsmùl jl nitmvos nrrmjshnaos, ajltro aj` fnrio aj `ns prjbjrjlimns por `ns smtunimoljs, supolmjlao quj X * aù`nrjs mlvjrtmaos jl ul nitmvo iol ul rjlamfmjlto sjhuro, r, proauimrîl X *(> + r ) jl `ns aos smtunimoljs aj` fulao, fmjltrns quj uln mlvjrsmùl jl ul nitmvo nrrmjshnao proauimrî X *(> *(> + r k ) jl ípoins kujlns y X *(> *(> + r f ) jl ípoins fn`ns (aolaj r k   < r   < r f ). n. J`nkorj uln hrîbmin aj òs rjsu`tnaos aj `ns aos mlv mlvjrsmoljs. jrsmoljs. k. Ajfujstrj qu qujj su hrîbmi hrîbminn poaræn m`mùstrnr ustrnr uln ‐inrtjrn fmxtn‖, qu qujj mliùyn tnlto nitmvos iol rmjsho iofo nitmvos `mkrjs aj rmjsho. ¿Iùfo fostrnræn ustja `n pnrtj aj `n rmqujzn ml vjrtman jl j` nitmvo iol iol rmjsho? i. Ajfujstrj quj `ns nitmtuajs aajj òs mlamv mlamvmauos mauos cnimn j` rmjsho ajtjr ajtjrfmlnrîl fmlnrîl `n iofk iofkmlnimùl mlnimùl aj nitmvos nrrmjshnaos y nitmvos sml rmjsho quj posjjrîl. ¿Jl quí inso lo tjlarîl nitmvos iol rmjsho? a. Ym `n utm`mana io iolstnltj lstnltj aj ul ml mlamvmau amvmauoo tmjlj `n borfn aj nv nvjrsmùl jrsmùl rj rj`ntmvn `ntmvn n` rmjsh rmjshoo (jiun;; lo infkmnrî `n pnrtj aj nitmvos iol rmjsho quj imùl jxp`mquj por quísujstn pjrsoln tmjlj 3.2;), n fjaman quj nufjltn rmqujzn.

Jstj prok`jfn y j` smhumjltj cnl smao tofnaos aj E. J. Ytmh`mtz. ‐Qcj Jbbjits ob Mliofj, Xjn`tc, nla Inpmtn` Inpmtn` Hnmls Qnxntmol ml [msd Qndmlh‖, ûnrtjr`y Eourln` ob Jiolofmis , fnyo aj >=2=, pp. ;29-;39.

;;

[email protected]

Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

>3.>7 Yupolhnfos quj òs rjlamfmjltos aj òs nitmvos aj` prok`jfn >3.= jstîl suejtos n mfpujstos. n. Ajfujstrj, iol `ns iolamimol iolamimoljs js aj` prok prok`jfn `jfn >3.=, por quí ul mmfpujsto fpujsto propor proporimoln` imoln` sokrj `n rjltn lo nbjitnrî `n pnrtj aj `n rmqujzn quj sj nsmhlj n òs nitmvos nrrmjshnaos. k. Yupolhnfos quj sùò j` rjla rjlamfmjlto mfmjlto aj ò òss nitmvos sjhur sjhuros os jstî suejto n` mfpujsto pro pro-porimoln` sokrj `n rjltn. ¿Jsto iùfo nbjitnræn `n pnrtj aj `n rmqujzn quj sj tjlaræn jl nitm vos nrrmjshnaos? ¿ûí ¿ûí mlvjrsmolmstns mlvjrsmolmstns sj vjrænl fîs nbjitna nbjitnaos os por jstj mfpujst mfpujsto? o? i. ¿Yu rjspujstn n` mlimso k iùfo infkmnræn sm òs rjlamfmjltos aj toaos òs nitmvos jstu jstu- vmjrnl suejtos n ul mfpujsto proporimo proporimoln` ln` sokrj `n rjltn? (Lotn5 jstj prok`jfn rjqumjrj quj inìu`j `n nsmhlnimùl aj `n rmqujzn nltjs aj mfpujstos quj pjrfmtmrî fnxmfmznr `n utm`mana ajspuís aj mfpujstos ))..

KMK@MOH[NBÆN [JIOFJLANAN Nrrow, D. E. ‐Qcj [o`j ob Yjiurmtmjs ml tcj Optmfn` N`òintmol ob [msd Kjnrmlh‖, [jvmjw ob Jio- lofmi Ytuamjs 9>, >=29, pp. =>-=2. Wrjsjltn j` iolijpto aj `n prjbjrjlimn por `n smtunimùl j mltjrprjtn òs vnòrjs iofo tætuòs sokrj kmjljs ioltmlhjltjs.

‑‑‑. ‐Zlijrtnmlty nla tcj Xj`bnrj Jiolofmis ob Fjamin` Inrj‖, Nfjrminl Jiolofmi [jvmjw :9 , >=29, pp. =1>-=89. Jxij`jltj jxp`minimùl aj `ns mfp`minimoljs quj òs sjhuros tmjljl pnrn j` kmjljstnr. Ioltmjlj ul npílamij aj fntjfîtmins, i`nro y iolimso. Js niolsjenk`j `jjrò n` fmsfo tmjfpo quj j` nrtæiuò aj Wnu`y sokrj j` rmjsho forn` (vínsj j` inpætuò >7).

Kjrlou``m, A. ‐Jxposmtmol ob n Ljw Qcjory ol tcj Fjnsurjfjlt ob [msd‖, Jiolofjtrmin ;; , >=:1, pp. ;9-92. [jmfprjsmùl aj` nlî`msms i`îsmio aj `n pnrnaoen aj Ynl Wjtjrskurho.

Brmjafnl, F. y @. E. Ynvnhj. ‐Qcj Ztm Ztm`mty `mty Nln`ysms oobb Icomij‖, Eourln` ob Wo`mtmin` Wo` mtmin` Jiolofy :2 , >=13, pp. ;8=-971. Nln`mzn por quí òs mlamvmauos poarænl cnijr euhnans nrrmjshnans y tnfkmíl iofprnr sjhuros. @jiturn fuy nhrnank`j.

Cunlh, Icm-bu Icm-bu y [. C. @mtzjlkjr @mtzjlkjrhjr. hjr. Boulantmols bor Bmlnlimn` Nln`ysms , Lortc-Co``nla, Nfstjranf, >=33. Ioltmjlj uln kujln jxp`minimùl aj `ns fjamans aj` ‐aofmlmo jstoiîstmio‖ y su rj`nimùl iol `n nvjrsmùl n` rmjsho. Fns-Io`j``, Nlarju, Fmicnj` A. Xcmlstol y Ejrry [. Hrjjl. Fmirojiolofmi Qcjory, Oxbora Zlmvjrsmty Wrjss, Lujvn ]ord, >==:, inp. 2. Obrjij ul fnhlæbmio rjsufjl aj òs bulanfjltos aj `n tjoræn aj `n utm`mana jspjrnan. Qnfkmíl nln`mzn iol ajtn``j j` supujsto aj `n ‐mlajpjlajlimn aj `ns smtunimoljs‖ y ajfujstrn quj n`hulos iolijptos aj `n nvjrsmùl n` rmjsho tnfkmíl sj np`minl n insos aj ajpjlajlimn aj `ns smtunimoljs.

Wrntt, E. X. ‐[msd Nvjrsmol ml tcj Yfn`` nla ml tcj @nrhj‖, Jiolofjtrmin 9; (>=21), pp. >;;->92. Ajsnrro`ò tjùrmio aj `ns fjamans aj `n nvjrsmùl n` rmjsho. Qrntnfmjlto knstnltj tíilmio, pjro bîim` aj `jjr.

[otcsicmà, F. y E. J. Ytmh`mtz. ‐Mlirjnsmlh [ms [msd5 d5 >. N Ajbmlmtmol‖, Eourln` ob Jiolofmi Qcjory ; , >=87, pp. ;;:-;19. Ajsnrro``n uln ajbmlmimùl jiolùfmin aj ò quj smhlmbmin quj uln euhnan sjn fîs ‐nrrmjshnan‖ quj otrn. Zl nrtæiuò postjrmor puk`minao jl

prjsjltn jejfpòs jiolùfmios. jiolùfmios. Eourln` ob Jiolofmi Qcjory  prjsjltn

Ym`kjrkjrh, J. y X. Yujl. Qcj Ytruiturj ob Jiolofmis5 N Fntcjfntmin` Nln`ysms, 9n. ja., Mrwml/ FiHrnw Cm``, Kostol, ;77>. J` inpætuò >9 js uln kujln mltroauiimùl n `n rj`nimùl jltrj òs iolijptos jstnaæstmios y `n fnxmfmznimùl aj `n utm`mana jspjrnan. Qnfkmíl fujstrn, iol ajtn``j, `n mltjhrnimùl fjlimolnan jl j` jejfpò >3.9. [email protected]

:::

::2

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

NFW@MNIMOLJY

Qjoræn aj inrtjrn y òs prjimos aj rmjsho Jl j` inpætuò >3 cjfos vmsto quj òs mlamvmauos pnhnrîl imjrtn inltmana pnrn jvmtnr `n mlijr-

Jl j` inso aj uln vnrmnk`j n`jntormn iun`qumjrn, x, `n fjamn (o j` vnòr jspjrnao) sj ajbmlj iofo

È tmaufkrj y quj su hrnao aj snirmbmimo ajpjlajrî aj sus nitmtuajs nltj j` rmjsho. Jsto suhmjrj quj ` x 6 J (x ) 6  xb (x )ax , (mmm) - È `ns rj`nimoljs jltrj fuicos mlamvmauos irjnrîl ul fjrinao aj ‐rmjshos‖ jl j` iun` `n mlijr y ajbmlmfos `n vnrmnimùl vnrmnimùl aj x iofo tmaufkrj sj pujaj rjauimr pnhnlao ul ‐prjimo‖. È Wor ò tnlto, j` prok`jfn iolsmstj jl jlioltrnr ; ; ; rx 6 J T(x - ` x ) V 6  (x - ` x ) b (x )ax . (mv) È uln borfn aj iunltmbminr j` rmjsho y quj pjrfmtn nln`mznr iùfo bmenr su prjimo. @os foajòs fjeor @n rnæz iunarnan aj jstn vnrmnimùl (ajlotnan ajsnrro``naos aj jstj proijso proknk`jfjltj sol por x ) sj ioloij iofo `n ajsvmnimùl jstîlanr òs quj jlioltrnfos jl j` jstuamo aj iùfo sj aj x. bmenl òs prjimos aj òs nitmvos aj inpmtn`, jl iuyo Jl `n amstrmkuimùl lorfn`, jl `n jiunimùl mm, js inso òs jiolofmstns cnl nln`mznao nfp`mnfjltj rj`ntmvnfjltj sjlim`ò ajfostrnr quj z   6 7, `n rj`nimùl jltrj j` rjlamfmjlto jspjrnao quj z ; 6 z   6 >. Woajfos hjljrn`mznr jstn bulimùl obrjij ul nitmvo y òs rmjshos nsoimnaos n jsj sjþn`nlao quj sm rjlamfmjlto. Nquæprmlimpn`js sj rjsufmrîl n`hulns aj `ns majns aj krjvjfjltj jstj vnsto tjfn. - ` x x z 6 (v) Wrmfjro sjrîl ljijsnrmos ulos poios prj`mfmlnrx rjs jstnaæstmios. tmjlj `n bulimùl aj amstrmkuimùl jl `n jiunimùl mm, Bulanfjltos jstnaæstmios sj amij quj `n vnrmnk`j x tmjlj uln amstrmkuimùl Ajimfos quj uln vnrmnk`j x js uln vnrmnk`j lorfn` iol uln fjamn aj x  y uln ajsvmnimùl jsn`jntormn sm nsufj amvjrsos vnòrjs iol proknkmtîlanr aj x . Wor tnlto, `n amstrmkuimùl aj x jstî `manajs jspjiæbmins. @n ‐bulimùl aj ajlsmana por iofp`jto ajtjrfmlnan por òs aos pnrîfjproknkm`æstmin‖ aj x (quj ajlotnfos iol b (x )))) tros x  y x . mlamin `n proknkm`mana aj quj x nsufn vnòrjs aj Ym x m  y x  e sol aos vnrmnk`js n`jntormns, sj ajbmlj uln knlan jstrjicn, ax. Zln bulimùl iun`qumjrn `n iovnrmnimùl jltrj j``ns iofo sjrvmrî iofo bulimùl aj ajlsmana proknkm`æstmin smjfprj y iunlao

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@os jstuamosos aj `n jstnaæstmin cnl jfp`jnao uln nfp`mn vnrmjana aj jstns bulimoljs pnrn jxp`minr oksjrvnimoljs jfpærmins. @n fîs õtm` aj j``ns iol sjhurmana js `n bulimùl lorfn` (o hnusmnln) b (z ) 6

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j  - z ; / ; ,

Ym x m  y x  e tmjlajl n nufjltnr y n amsfmlumr eultns, me sjrî ul vnòr posmtmvo. Ym jstns vnrmnk`js tmjlajl n fovjrsj jl sjltmao opujsto, me sjrî ljhntmvn. Ym z rjprjsjltn ul profjamo polajrnao aj aos vnrmnk`js n`jntormns, x m  y x  e , z   6 6 gx m  + (> ’ g)x  e

(mm)

quj tmjlj `n ioloiman borfn aj infpnln, nìnlznlao smfjtræn cn jl ajsjfpjþnao torlo n` pultoul ijro. Jstn bulimùl`niolirjtn pnpj` ijltrn` jl j` ajsnrro`ò aj `n tjoræn aj iùfo sj bmenl òs prjimos aj` rmjsho y jl fuicos otros infpos aj `n jstnaæstmin.

rme 6 J (x m - ` m )(x e  ` e ) 6 (vm) x m ax e  . (x m - ` x )(x e - ` x ) b (x m , x e )a x

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aolaj 7    >, jltolijs, `n np`minimùl aj `ns amstmltns ajbmlmimoljs ajfujstrn quj ºz  6 g` m  + (> ’ g)`  e

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y rz ; 6 g; rm ; + (> ’ g);r e ; + ;g (> ’ g)rme .

[email protected]

(mx)

Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

Jlioltrnrî ul ajsnrro`ò fîs jxtjlso aj jstos iolijptos jl Brjula (>==;) o Coj` (>=31) o jl iun`qumjr otro tjxto aj mltroauiimùl n `n jstnaæstmin fntjfîtmin. Nquæ jfp`jnfos jstos iolijptos supolmjlao quj j` rjlamfmjlto aj òs nitmvos bmlnlimjros (x m ) tmjlj uln amstrmkuimùl lorfn`. @n fjamn aj x m (m ) mlamin j` rjlamfmjlto jspjrnao aj` nitmvo m, fmjltrns quj, iofo vjrjfos, `n ajsvmnimùl jstîlanr aj x m (m ) js ul pulto aj pnrtman pnrn jxp`minr j` rmjsho nsoimnao n jsj nitmvo. Jstn vnrmnkm`mana aj` rjlamfmjlto js `n quj prjtjlajl jvmtnr òs mlvjrsmolmstns quj smjltjl nvjrsmùl n` rmjsho. N>3.> Amv N>3.> Amvjrs jrsmbm mbminim inimùl ùl aj `n inrtjrn @n jiunimùl mx obrjij `n `ùhmin pnrn `n amvjrsmbminimùl aj inrtjrns. Mliùso sm `n amstrmkuimùl aj òs rjlamfmjltos aj aos nitmvos js maíltmin (m   6  e , m   6  e ) `n iofkmlnimùl aj nfkos jl uln inrtjrn pujaj obrjijr uln iofkmlnimùl fîs bnvornk`j aj rmjsho y rjlamfmjlto. Jl inso quj

BMHZ[N N>3.>

òs rjlamfmjltos aj òs nitmvos sjnl mlajpjlamjltjs, por jejfpò (me   6 7), uln polajrnimùl aj mhunàna los anræn (x) rz ; 6 7.;:r>; + 7.;:r;; 6 7.:r>; 6 7.:r;; (xm) rz  6 7.878r> 6 7.878r;, (xmm) ` z  6 7.:` > + 7.:` ; 6 ` > 6 ` ;

ò iun` proporimoln j` fmsfo rjlamfmjlto quj tjljr ulo aj òs nitmvos mlamvmaun`fjltj iol ul fjlor rmjsho. Ym òs nitmvos tuvmjrnl uln iovnrmnimùl ljhntmvn (me   0 7), jltolijs tjljr òs aos obrjijræn mliùso fnyorjs vjltnens aj rjauiimùl aj` rmjsho. N>3.; Inrtj N>3.; Inrtjrns rns jbmimj jbmimjltj ltjss Iol fuicos nitmvos, j` prok`jfn aj nsmhlnimùl jl `n inrtjrn iolsmstj jl j`jhmr pjsos pnrn òs nitmvos aj borfn quj fmlmfmijl `n ajsvmnimùl jstîlanr aj `n inrtjrn pnrn inan posmk`j rjlamfmjlto jspjrnao. Zln soùimùl n jstj prok`jfn aj optmfmznimùl obrjij uln broltjrn aj jbmimjlimn iofo `n quj rjprjsjltn JJ jl `n bmhurn N>3.>.

Inrtjrns jbmimjltjs

@n broltjrn JJ rjprjsjltn iofkmlnimoljs ùptmfns aj nitmvos nrrmjshnaos, `ns iun`js fmlmfmznl `n ajsvmnimùl jstîlanr aj `n inrtjrn, , jl j` inso aj inan rjlamfmjlto jspjrnao, . Zl nitmvo sml rmjshos, iol ul rjlamfmjlto  b obrjij n òs mlvjrsmolmstns `n oportulmana aj tjljr inrtjrns fmxtns n ò `nrho aj WW `ns iun`js iofkmlnl jstj nitmvo sml rmjshos iol `n inrtjrn aj` fjrinao, F.

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[email protected]

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::8

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Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

@ns inrtjrns quj jstîl ajkneo aj jstn broltjrn sol mlbjrmorjs n `ns quj jstîl sokrj j``n, porquj obrjijl rjlamfmjltos jspjrnaos fîs kneos pnrn ul hrnao aj rmjsho iun`qumjrn. Ycnrpj (>=87) jxp`min `ns fntjfîtmins ljijsnrmns pnrn inìu`nr `n broltjrn JJ . Bolaos futun`mstns

J` iolijpto aj jbmimjlimn aj `n inrtjrn cn smao fuy np`minao n` jstuamo aj òs bolaos futun`ms-

mliùmrî toaos òs nitmvos aj inpmtn` jl proporimùl n sus iotmznimoljs jl j` fjrinao. Jstn inrtjrn aj` fjrinao obrjijrî ul rjlamfmjlto jspjrnao aj F  y uln ajsvmnimùl jstîlanr aj amico rjlamfmjlto aj F . @n jiunimùl aj `n rjitn WW quj rjprjsjltn uln inrtjrn fmxtn iun`qumjrn jstî anan por `n jiunimùl `mljn` ` W 6 ` b   +

` F - ` b   rF

¥ rW .

(xmmm)

tns. Woruln ò kujln hjljrn`,rjspujstn òs bolaos iolstmJstn jxprjsmùl fujstrn quj `n rjitn aj` fjrtuyjl n `nsfutun`mstns ljijsmanajs aj inao WW pjrfmtj quj òs mlvjrsmolmstns mlamvmamvjrsmbminimùll aj òs pjqujþos mlvjrsmolmstns. amvjrsmbminimù aun`js ‐iofprjl‖ rjlamfmjltos supjrmorjs n su Iofo jstos bolaos rjõljl òs bolaos aj furjlamfmjlto `mkrj aj rmjshos (F ’  b ) nsufmjlao icos mlamvmauos pujajl òhrnr jiolofæns aj proporimoln`fjltj proporimoln`fjl tj fîs rmjsho (W /F ). Wnrn jsin`n jl òs iostos aj trnlsniimùl y aj nafmlmsj`jiimoljs sokrj `n rjitn WW n `n mzqumjran aj` trnimùl. Jsto pjrfmtj quj òs propmjtnrmos aj òs pulto aj` fjrinao, F, W /F   0 > y  b   0 W   0 F . bolaos iofpnrtnl `n bortuln aj uln vnrmjana aj @os pultos aj fnyor rmjsho n `n ajrjicn aj F , niimoljs fuico fnyor quj `n quj poarænl amsbru- quj sj pujajl oktjljr pmamjlao prjstnao pnrn tnr sm inan ulo nitunrn por su iujltn. Lo okstnl- òhrnr uln inrtjrn npn`nlinan, tjlarîl  / < > W F tj, òs nafmlmstrnaorjs aj òs bolaos aj mlvjrsmùl y profjtjrîl ul rjlamfmjlto rjlamfmjlto jspjr jspjrnao nao supjrmor tmjljl sus propmos mlijltmvos, por ò iun` `ns n` obrjimao por `n inrtjrn aj` fjrinao ( W   =:3) buj ulo aj òs prmfjros jiolofmspjrbjiimùl `ns nitmtuajs quj sus i`mjltjs tmjljl cnimn j` rmjsho. Wor jejfpò, Yicnrbstjml y Ytjml tns quj `mkrjs rjioloimù j` pnpj` ajsjfpjþnlajòs`n nitmvos aj rmjsho jl `nquj majltmbminimùl (>==7) ajsnrro``nl ul foajò quj ajfujstrn inrtjrn aj fjrinao y jl jstnk`jijr `ns iolampor quí òs nafmlmstrnaorjs aj òs bolaos fuimoljs quj sj ajkjl iufp`mr pnrn quj òs mlvjrtun`mstns tmjljl mlijltmvos pnrn ‐sjhumr n `n fnsorjs pujanl oktjljr rjlamfmjltos por jlimfn lnan‖ iunlao jsiohjl sus mlvjrsmoljs. Otros aj òs lmvj`js aj rjlamfmjlto sml rmjsho. jstuamos, iofo `n mlvjstmhnimùl i`îsmin aj Ejlsjl (>=23), iolsmajrnl quj òs nafmlmstrnaorjs aj N>3.1 N>3 .1 J`j J`jiim iimolj oljss mlamvm mlamvmaun` aun`js js bolaos futun`mstns rnrn vjz sol inpnijs aj oktj@n bmhurn N>3.; mùstrn `ns j`jiimoljs aj ljr rjlamfmjltos namimoln`js ò knstnltj hrnlajs inrtjrn aj vnrmos mlvjrsorjs quj nbroltnl `ns opiofo pnrn iofpjlsnr òs hnstos quj iokrnl n òs imoljs quj obrjij `n rjitn WW. @os mlamvmauos quj mlvjrsmolmstns. mlvjrsmolms tns. Jl nþos rjimjltjs, jsto cn ``jvnao to`jrnl poio rmjsho (M ) optnrîl por inrtjrns iuyn n fuicos iofprnaorjs aj bolaos futun`mstns n polajrnimùl sj mli`mln lotnk`jfjltj cnimn j` nibnvorjijr bolaos ‐mlajxnaos‖ quj smfp`jfjltj tmvo `mkrj aj rmjshos. @os mlvjrsmolmstn mlvjrsmolmstnss amspujstos kusinl j` profjamo aj`Ytnlanra fjrinao& (iofo j` ælamijaup`minr aj `ns :77 niimoljs aj Woor”s). Jstos bolaos tmjljl hnstos fuy rjauimaos y, por tnlto, pjrfmtjl n òs mlvjrsmolmstns òhrnr `n amvjrsmbminimùl n ul iosto fælmfo. N>3.9 Yjp N>3.9 Yjpnrn nrnimù imùll aj inrtjrn inrtjrnss Ym jxmstj ul nitmvo `mkrj aj rmjshos, iol ul rjlamfmjlto jspjrnao  b  y  b   6 7, `ns inrtjrns ùptmfns sj iofpolarîl aj iofkmlnimoljs aj jstj nitmvo iol otros nrrmjshnaos. Qoans jstns inrtjrns sj jlioltrnrîl n ò `nrho aj `n `æljn WW jl `n bmhurn >3.>, porquj jstn rjitn fujstrn j` rjlamfmjlto fîxmfo nìnlznk`j pnrn inan vnòr

n nsufmr ul hrnao foajsto rmjshoaj` (MM fjrinao. ) optnrîl por inrtjrns ijrinlns n `najinrtjrn @os mlvjrsmolmstns nfnltjs aj` rmjsho (MMM ) poarænl optnr por inrtjrns npn`nlinans. Lùtjsj quj toaos òs mlvjrsmolmstns tmjljl j` fmsfo ‐prjimo‖ aj` rmjsho (F ’  b ) y sus rjlamfmjltos jspjrnaos jstnrîl ajtjrfmlnaos por iuîlto rmjsho rj`ntmvo (W /F ) jstîl amspujstos n nsufmr. Lùtjsj tnfkmíl quj j` rmjsho nsoimnao n `n inrtjrn aj ul ml vjrsmolmstn ajpjlaj ajpjlaj õlminfjltj aj `n pnrtj aj `n inrtjrn mlvjrtman jl `n inrtjrn aj` fjrinao () porquj W ; 6 ; F ; + (> ’ );  7. Wor tnlto, W /F   6 , por ò quj `n inrtjrn quj j`mhj j` ml vjrsmolmstn js jqumvn`jltj jqumvn`jltj n` rmjs rmjsho ho quj j`mhj.

aj  aj `ns amvjrsnssùò nsmhlnimoljs inrtjrn. jsJstns nsmhlnimoljs mliùmrîl aj ul `nioleulto pjiæbmio aj nitmvos iol rmjsho4 js ajimr, j` iol eulto rjprjsjltnao rjprjsjltnao por j` pulto F. Jl j` jqum`mkrmo, ístn sjrî `n ‐inrtjrn aj` fjrinao‖, quj

N>3.: Foaj` Foajòo aj bmenimùl bmenimùl aj aj prjimos prjimos aj òs nitmvos aj inpmtn` J` nlî`msms aj N>3.1 fujstrn iùfo sj pujaj bmenr j` prjimo aj uln inrtjrn quj iofkmln nitmvos

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Inpætuò >3 Mlijrtmaufkrj y nvjrsmùl n` rmjsho

BMHZ[N N>3.;

Iofportnfmjlto aj òs mlvjrsmolmstns y nvjrsmùl n` rmjsho

Anans `ns opimoljs aj` fjrinao WW, òs mlvjrsmolmstns pujajl j`jhmr `n inltmana aj rmjsho quj qumjrjl nsufmr. @os mlvjrsmolmstns iol uln hrnl nvjrsmùl n` rmjsho (Z MM ) tjlarîl, sokrj toao, nitmvos `mkrjs aj rmjsho, fmjltrns quj òs nfnltjs aj` rmjsho (Z MMMM MM ) optnrîl por inrtjrns npn`nlinans.



Z MMM W Z MM

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b   W

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`mkrjs aj rmjsho iol `n inrtjrn aj` fjrinao, pjro lo ajsirmkj j` mltjrinfkmo jltrj rmjsho y rjlamfmjlto aj ul õlmio nitmvo. Anao quj, supolmjlao quj `ns trnlsniimoljs lo tmjljl iosto n`hulo, ul mlvjrsmolmstn smjfprj pujaj jvmtnr j` rmjsho quj lo jstî rj`nimolnao iol j` ioleulto aj` fjrinao optnlao por amvjrsmbminrsj iol uln ‐inrtjrn aj` fjrinao‖, jstj rmjsho ‐lo smstjfîtmio‖ lo hnrnltmznrî ul rjlamfmjlto supjrmor. Yml jfknrho, ul nitmvo oktjlarî ul rjlamfmjlto supjrmor jl `n fjaman jl quj ioltrmkuyn n` rmjsho aj` ioleulto aj` fjrinao. Zl nitmvo quj lo proauzin jstj rjlamfmjlto supjrmor lo jstnræn mliùmao jl `n inrtjrn aj` fjrinao, por ò iun` lo sj tjlaræn jl nksoùto. Ístn js `n

qujþn inltmana () aj ul nitmvo iol ul rjlamfmjlto n`jntormo x iol `n inrtjrn aj` fjrinao (quj tmjlj ul rjlamfmjlto n`jntormo F ). J` rjlamfmjlto aj jstn inrtjrn (z ) jstnræn ajtjrfmlnao por

majnnitmvos ijltrnàjajìnpmtn` foajò aj bmenimùl prjimos aj òs (Inpmtn` Nssjt aj Wrmimlh Foaj` 4 INWF). Wnrn nln`mznr jstos rjsu`tnaos borfn`fjltj, iolsmajrjfos uln inrtjrn quj iofkmln uln pj-

N` mhun`nr `n jiunimùl xv n `n xvmm xvmm y ajrmvnr rjspjito n  tjlarjfos

z   6 6 gx   + + (> ’ g)F.

(xmv)

J` rjlamfmjlto jspjrnao js ` z  6 g` x  + (> ’ g)` F

(xv)

iol vnrmnimùl ; rz ; 6 g;rx ; + (> ’ g);rF

+ ;g(> ’ g)rx,F .

(xvm)

Wjro lujstro nlî`msms nltjrmor ajfujstrn quj ` z 6 ` b + (` F - ` b ) ¥

rz . rF

(xvmm)

à` z (` F - ` B ) àrz (xvmmm) 6 ` x - ` F 6 àg rF àg

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:27

Wnrtj 8 Mlijrtmaufkrj, mlborfnimùl y jxtjrln`manajs

`ns ambjrjlimns aj rjlamfmjlto aj amvjrsos nitmvos. n` inìu`nr z n pnrtmr aj `n jiunimùl xvm y to- ], n ambjrjlimn aj` INWF, uln uln sjrmj aj nutorjs  cnl jlioltrnao quj fuicos otros bnitorjs fnr `æfmtjs iunlao  tmjlaj n ijro, tjlarjfos jiolùfmios nbjitnl sustnlimn`fjltj òs rjlamfmjltos jspjrnaos. jspjrnaos. Aj cjico, òs propmos ;  (` F - ` b  )  rx , F - rF , ` x - ` F 6 (xmx) bulanaorjs aj` fítoao poljl jl auan j`  r  rF  F INWF4 vínlsj Bnfn y Brjlic (>==;). o, n` vo`vjr n orajlnr òs tírfmlos, ` x 6 ` b + (` F - ` b ) ¥

r

x , F ; rF

Kmk`mohrnbæn .

(xx)

Aj lujvn iujltn, j` rmjsho tmjlj ul prjfmo aj F ’  b , pjro ncorn sj fmaj iol x,F /F ; 4 jstn rj`nimùl aj iovnrmnimùl jltrj j` rjlamfmjlto x  y y j` fjrinao n `n vnrmnimùl aj` rjlamfmjlto aj` fjrinao sj ioloij iofo j` iojbmimjltj kjtn aj` nitmvo. Fuicns puk`minimoljs prjsjltnl iojbmimjltjs kjtn jstmfnaos pnrn nitmvos bmlnlimjros. Jstuamos aj` INWF Jstn vjrsmùl aj` foajò aj bmenimùl aj prjimos aj òs nitmvos aj inpmtn` jltrnþn mfportnltjs mfp`minimoljs sokrj òs ajtjrfmlnltjs aj `n tnsn aj rjlamfmjlto jspjrnan aj ul nitmvo iun`qumjrn. Ajkmao n su smfp`mimana, j` foajò cn smao ok ejto aj lufjrosns lufjrosns prujkns jfpærmi jfpærmins. ns. Wor ò hjljrn`, ístns ioliùyjl quj j` iîìuò quj cnij j` foajò aj` rmjsho smstjfîtmio (kjtn) jstî, jl jbjito, iorrj`nimolnao iol òs rjlamfmjltos jspjrnaos, fmjltrns quj òs iîìuòs fîs sjlim`òs aj` rmjsho (por jejfpò, `n ajsvmnimùl jstîlanr aj òs rjlamfmjltos pnsnaos) lo ò jstî. Aj jltrj `ns prmfjrns prujkns jfpærmins quj ``jhnrol n jstn ioliùsmùl, `n fîs mlbùyjltj tn` vjz sjn `n aj Bnfn y FniKjtc (>=89). Yml jfknrho, j` foajò INWF tnl sùò jxp`min uln pjqujþn pnrtj aj

Bnfn, J. J. B. y D. [. Brj Brjlic. lic. ‐‐Qcj Qcj Ir Iross oss Yjitmol ob Jxpjitja Ytoid [jturls‖, Eourln` ob Bmlnlij 18 , >==;, pp. 1;8-122. Bnfn, J. B. y E. FniK FniKjtc. jtc. ‐[msd, [jturl, nla Jqum`mkrmuf‖, Eourln` ob Wo`mtmin` Jiolofy 3, >=89, pp. 278-292. Brjula Brj ula,, E. J. Fntcjfntmin` Ytntmstmis , :n. ja., Wrjltmij-Cn``, Jlh`jwooa I`mbbs, LE, >==;. Coj`, Wnu` H. Mltroauitmol to Fntcjfntmin` Ytntmstmis. :n. ja., Eocl Xm`jy nla Yols, Lujvn ]ord, >=31. Ejlsjl, F. ‐Qcj Wjrborfnlij ob Futun` Bulas ml tcj Wjrmoa >=1:->=21‖, >=1:->=21‖, Eourln` ob Bmlnlij , fnyo aj >=23, pp. 932-1>2. @mltljr, E. ‐Qcj Rnùntmol ob [msd Nssjts nla tcj Yj`jitmol ob [msdy Mlvjstfjlts ml Ytoid Wortbo`mos nla Inpmtn` Kuahjts‖, [jvmjw ob Jiolofmis nla Ytntmstmis , bjkrjro aj >=2:, pp. >9-98. Yicnrbstjml, A. Y. y E. Ytjm Ytjml. l. ‐Cjra K Kjcnvmor jcnvmor nla Mlvjstfjlt‖, Nfjrminl Jiolofmi [jvmjw , eulmo aj >==7, >==7, pp. 12:-13=. Ycnrpj Ycn rpj,, X. B. Wortbo`mo Qcjory nla Inpmtn` Fnrdjts , FiHrnw-Cm``, Lujvn ]ord, >=87. Qokml, E. ‐@mqumamty Wrjbjrjlij ns Kjcnvmor Qownras [msd‖, [jvmjw ob Jiolofmi Ytuamjs , bjkrjro aj >=:3, pp. 2:-32.

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Nicholson - Teoria Microeconomica-Cap-18

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