Nicholson Capitulo 8 Ejercicios

 

La Maximización de los Beneficios y la Oferta  María Luque, Diego Amaya Amaya 20172020006,, 20172015103 20172020006  Docente: Laura Marcela Marcela Giraldo  Facultad de Ingeniería Ingeniería - Economía 1 Universidad Distrital Francisco José de Caldas (21/12/2020)

Capítulo 8 Problemas 8.1 En un famoso artículo (J. Viner. “Cost Curves and Supply Curves”, Zeitschrift fur 

Nationalokonomie 3, septiembre de 1931, pp. 23-46), Viner criticaba a su asistente porque no sabía dibujar una familia de curvas curvas del CPcp cuyos puntos puntos de tangencia tangencia con la curva del CP con forma de “U” también fueran los puntos mínimos mínimos en cada curva del CPcp. El asistente alegaba que era imposible dibujar esa gráfica. ¿A quién respaldaría usted en este debate? Solución

Respaldaría al asistente, debido a que los puntos mínimos en tangencia no se pueden formarr con una curva en U ya que la función CPcp forma CPcp tendría una pendiente pendiente constante constante cosa que es irracional para este factor.

8.3 Los catedráticos Smith y Jones van a escribir un libro nuevo de introducción a la

economía. Como auténticos científicos, han determinado que la función de producción del libro es 1 2

1 2

q = S J 

Donde q = número de páginas del libro terminado, S = el número de horas-hombre empleadas por Smith y J = el número de horas empleadas por Jones. Smith considera que su trabajo vale $3 por hora. Ha invertido 900 horas en la preparación del primer  borrador. Jones, cuyo trabajo se valora en $12 por hora, revisará el borrador de Smith para terminar el libro. -

¿Cuántas horas tendrá que emplear Jones para producir un libro terminado que tendrá 150 páginas? ¿Uno que tendrá 300? ¿Uno que tendrá 450? ¿Cuál es el costo marginal de la página número 150 del libro terminado? ¿De la número 300? ¿De la 450?

Solución

a) 900

q=

0.5

0.5

J  =

30 √ 

J 

 

Si q =150 ; J =25

 y J =100Cuando q =300. J =225 q = 450 b)

Costostotales =3∗900 + 12∗ J  2

J =   q

900

CTC = 2700+ CMC =

12 q

2

900

dCTC  24 q 2 q  = = 900 75 dq

q =150 CM =4 q =300 CM =8 q = 450 CM =12

8.4 Supongamos que la función de producción de proporciones fijas de una empresa está

determinada por 

q =min ( 5 k , 10 l ) 1

3.

Y que las tasas de alquiler del capital y el trabajo están determinadas por v = , w= a. Calcul Calcule e las curvas curvas del costo costo promedio promedio,, el marginal marginal y el tot total, al, a largo plazo, plazo, de la empresa. b. Supo Supong nga a que que k está está fijo fijo en 10 a co cort rto o pl plaz azo. o. Calcu Calcule le las curva curvas s de dell co cost sto o promedio, el marginal y el total, a corto plazo, de la empresa. ¿Cuál es el costo marginal de la décima unidad? ¿De la número 50? ¿De la número 100? Solución

q =min ( 5 K , 10 L ) v =1 , w =3 CT =vK + wL= K + 3 L a) En el largo plazo, 5 K =10 L , K =2 L

CT =2 L + 3 L=5 L

 

Como q =10 L , ⟶ L=

 q 10

Por lo que,

CT q =

5∗q 10

=

q 2

q ∗1 CT  2 1  = CM e =   = q q 2

CM =

) (  =  = q

∂

∂CT q ∂q

2

1

∂q

2

b)   K = 10 q= min ( 50 , 10 L )

Si  L < 5, Entonces:

q =10 L CT =10 + 3 L=10 + 10

3q 10

 3

CM e =   + q 10 CM =

 3 10

Si  L ≥ 5, Entonces:

q =50 CT =10 + 3 L=¿ CM e =

10 + 3 L 50

CM =esinf esinfin init ito o yaque K est está á fijo fijo y mayo mayorr Lno aume aument nta aq . CM ( q =10 ) =

 3 10

CM ( q =50 ) =CM ( q =100 ) esinfinito.

 

8.5 Una empresa que produce bastones de hockey tiene una función de producción

determinada por 

q =2 √ kk ∗   l  A corto plazo, la cantidad de equipo de capital de la empresa es fija fija en k = 100. La tasa de alquiler de k es  p= $ 1y la tasa del salario de l es w = $ 4. a. Calcul Calcule e la curva del del costo costo total, total, a corto corto plazo, plazo, de la empres empresa. a. Calcul Calcule e la curva curva del costo promedio a corto plazo. b. ¿Cuál es la funció función n del costo costo marginal marginal,, a corto corto plazo, plazo, de la la empresa? empresa? ¿Cuále ¿Cuáles s son los CT CP ,  lo los CP CP  y lo los CM g  si la empres empresa a produc produce e 25 baston bastones? es? ¿Cinc ¿Cincuen uenta ta bastones? ¿Cien bastones? ¿Doscientos bastones? c. Dibuje las las cu curvas de de los los CP CP  y lo los CM gCP de la empresa. Indique los puntos calculados en el inciso anterior. d. ¿La cu curva de de lo los CM gCP dónde interseca la curva del CPCP? Explique por qué la curva de los CM gCP siempre intersecará la curva de los CP CP en su punto más bajo. Supongamos ahora que el capital para fabricar bastones de hockey es fijo en  k  al  al corto plazo. e.

Calcul Calcule e el costo costo tota totall de la la empres empresa a como como una func función ión de de q , w , v y k .

f. Dados q , w y v, ¿la empresa cómo debe elegir el acervo de capital para minimizar  el costo total? g. Utilic Utilice e sus resulta resultados dos del incis inciso o f para para calcula calcularr el costo total total,, a lar largo go plazo, plazo, de la fabricación de bastones de hockey. h. Suponga qu que w = $ 4 , v = $ 1, y dibuje la curva del costo total a largo plazo de la producción de bastones de hockey. Demuestre que es una envolvente de las curvas a corto plazo que calculó en el inciso a tomando los valores de k , 100 , 200 y 400. Solución

a)   A corto corto plazo, plazo, si K =100 , 100∗ L q =20 √  L q =2 √  K ∗ L=2 √ 100  L

L= √   L

 q 20

 L=

⟶

 q

2

400

 q CTC = vK + wL= I   (( 100 ) + 4

2

 q

=100 + 100

( ) 400

2

 

CM e C =

CTC  100   q  =  + q q 100

b)

CMC =

 q 50

Si q =25 ,CTC =100 +

CM e C =

100 25

+

  25 100

100

+

50

  50

100 100

106.25

100

( )=  50

100 100

50

=0.5

125

100

100

+

25

2

=2.5 CMC =

50

=1

50

Si q =100 ,CTC =100 +

CM e C =

2

=4.25 CMC =

Si q =50 ,CTC =100 +

CM e C =

( )=  25

(  )= 100

2

200

100

=2 CMC =

100 50

(  )=

=2

2

Si q =200 ,CTC =100+

CM  C = e

100 200

+

200

200

500

100

=2.5 CMC =

100

100

=4

50

c) 7 6 5 4     m     c

CMg CMe

3

a s

2 1 0

d) M ie n tr 

0

50

100

150

200 Q 

250

300

350

 

la CMC   es está tá por deba debajo jo de la CMeC , CMeC   ba baja ja ya que que los CMe  decrecen. Similarmente, si la CMC  está   está por encima del CMeC  ésta   ésta debe subir ya que CM  mayores a los CMe hacen subir los CMe. Por lo tanto, la CMC  debe   debe cortar a la  en el punto mínimo. CMeC  en e) 2

 q q =2 √  K ∗ L , q = 4 KL L= 4 K  2

2

 w q CT =vK + wL=vK + 4 K  f) 2

∂ CT    =v − w q2 = 0 ∂ K  4 K  q 0.5 −0.5  K = w v 2

g)

CT =vK + wL=¿

(

q

w

0.5

v∗

q 2

q

2

w

0.5

−0.5

v

 q + w∗ =¿ 4 K 

(

0.5

 

v + w∗

0.5

2w

) (  ) 2

0.5

0.5

q

v +2w

qw v

(

4∗

0.5

q q 2

2

0.5

− 0.5

w v

)

)

0.5

v =¿

0.5

h) Sds Si Siw w = 4 v =1 ; CT =2 q 2

CTC ( K   K =100 ) =100 +

 q

CTC ( K   K =200 )=200 +

 q

100

;CTC =CT paraq =100

2

200

;CTC =CT paraq =200

 

CTC ( K   K = 400 )= 400 +

 q

2

400

;CTC =CT para para q = 400

8.6 Un empresario adquiere dos empresas que producen artefactos. Cada una fabrica

productos idénticos y tiene una función de producción determinada por:

q =√ kk  i i =1,2. Sin embargo, cada empresa tiene una cantidad distinta de equipo de capital. En concreto, la empresa 1 tienek 1=25, y la empre empresa sa 2 tien tiene e k 2=100, las tasas de alquiler de k y l están determinadas por w = v = $ 1. a. Si el empresario empresario quiere quiere minimizar minimizar el costo costo total total de su producción producción de artefac artefactos tos a corto plazo, ¿cómo debe asignar la producción entre las dos empresas? b. Dado Dado que que la prod produc ucci ción ón ha si sido do asig asigna nada da de fo form rma a óp ópti tima ma en entr tre e la las s do dos s empresas, calcule las curvas del costo marginal, el promedio y el total a corto plazo. ¿Cuál es el costo marginal del artefacto número 100? ¿Del artefacto número 125? ¿Del artefacto número 200? c. ¿El empres empresari ario o cómo debe asignar asignar la producc producción ión de artefact artefactos, os, a lar largo go plazo, plazo, entre las dos empresas? Calcule las curvas del costo promedio, el marginal y el total de la producción a largo plazo. d. ¿Cóm ¿Cómo o resp respon onde derí ría a al in inc cis iso o ante anteri rior or si la las s do dos s empr empres esas as mos mostr trar aran an rendimientos decrecientes a escala? Solución

a) Sad q Total =q1 + q 2 ; q1=√ 25 25 L1=5 √  L  Li q 2=10 √  L  L2 2

C 1=25 + L1=25 + 2

C Total =C 1 + C 2=125 +

 q1 25

2

q1   q2 25

+

100

  2

 Min .cost   :: L=125 +

( 1) ∂ L =

2 q1

∂ q1

25

( 2 )  ∂ L =

2 q2

∂ q2

100

 q1

− λ =0

− λ =0

25

2

+

  q2 100

+ λ ( q −q1− q2 )

2

C 2=100 +

  q2 100

 

De donde sale que 4 q1= q2 (esta relación es lo mismo que decir que los costos marginales en ambas empresas son iguales.

b) 4 q1= q2 q1=

 1

 4

 q2 = 5q 5q

Para obtener esto se debe recodar que q =q 1+ q2  y sustuir.

C =125 +

 q

2

125

CM ( 100 )=

CM =

200 125

 2 q 125

CMe =

125

 q

q

125

 +

= $ 1.60

CM ( 125 )= $ 2.00 CM ( 200 ) =$ 3.20 c) En el largo largo plazo plazo K puede cambiar cambiar.. Por lo que que en realidad realidad no importa importa como como la distribuye. Puede producir mitad y mitad o producir todo en una (tener una sola planta), etc.

CTL= K + L Minimizando con respecto a la función de producción te queda como condición que  K = L. Eso significa C =2 L y q = L , de donde sale que CTL =2 q

CMeL=2 =CML d) Si hubiera hubiera rendimiento rendimientos s decrecientes decrecientes a escala escala con funcio funciones nes de producción producción idénticas, entonces debería repartir de forma igual la producción en cada planta (mitad y mitad). CMeL y CML ya no son constantes, sino que creciente enq . 8.7 Solución a) α 

 β

q = K   L

La minimización de costos exige: α   β − 1 w  PM  L  β K   L  βK  = α −1  β =  RST =  = v  PM   K  αL α K   L K 

 

w  βK   wL vK   =  ;   = α  v αL  β b)

C =wL + vK  C  vK  α  α + β w = L + w   = L l + β = L  β

( ) (  ) +   = ( +  )= (   )

α   β  β wL C   = K +  K  l  K  α  α  v v

(  ) (   ) (  ) (   )  β

α + β C  = L β  β w  β

α 

α + β C  = K α  α  v

α 

α + β C  = L β K α   β v

α 

 β

α + β =B ´ q α 

1

α + β

C 

α 

(  ) (  )

(  ) (  ) C  w

 β

´ 

 β

α 

= B q w v o C = B q

α + β

w

 β α + β

v

α  α + β

l

Donde  B=( B ¿¿ ´ ) α + β ¿ c) Si α + β =1, C = Bq w β v α  . Esto es una función de costos Cobb-Douglas.

El costo es proporcional a q , dados w y v. d) Dsd

C =b q

l α + β

w

 β α + β

v

α  α + β

l

 β

α 

α + β

α + β

α + β

CM = ∂C  =   1 q w v ∂q α + β Recordando que los exponentes representan las elasticidades esto da:

( )

eCM,w=

 β α + β

Similarmente,

eCM ,v=

  α  α + β

8.9 Supongamos que la función de costo total de una empresa está determinada por:

 

1

2

CT =q w v 3

3

a) Ut Utililic ice e el le lema ma de Shep Shepha hard rd pa para ra calc calcul ular ar la las s fu func ncio ione nes s de demand demanda a con con producción constante de los factores l y k. b) Util Utilic ice e lo los s re resu sult ltad ados os del del apar aparta tado do an ante teri rior or pa para ra ca calc lcul ular ar la fu func nció ión n de producción subyacente de q. Solución

a)

(  )

∂ CT  w   = K = 1 q ∂v 3 v

2 3

(  )

1  v ∂ CT    = L= q ∂w 3 w

1 3

w b) Despejando v de L

(  ) (  ) ( )

2  L

 v = 3q w

1 3

⟶

2q w = 3 L v

3

Sustituyendo en K 1

 K = q 3

(( ) ) = ( ) 2q

3 L

3 2 3

1 3

q

 2 q

3 L

1

2 ⟶

3

1

2

 K  ( 3 L ) =

3

3

3

 3 1

4

1

2

3

 K   L 3

3

La cual es una función de producción Cobb-Douglas.

8.10 Supongamos que la función de costo total de una empresa está determinada por:

CT =q ( 2+ v √ vw vw + w ) a. Util Utilic ice e el le lema ma de Shep Shepha hard rd para para ca calc lcul ular ar la fu func nció ión n de de dema mand nda a co con n producción constante del factor, k y l . b. Utilice Utilice los resultad resultados os del inciso inciso anterior anterior para obtener obtener la función función de producció producción n subyacente de q .

 

c. Comp Compru rueb ebe e el resu result ltad ado o util utiliz izan ando do lo los s re resu sult ltad ados os de dell ej ejem empl plo o 8. 8.2 2 pa para ra demostrar que la función de costos CES, cuando  X =0.5 , q = – 1 genera esta función de costo total. Solución

CT =q ( 2+ v √ vw vw + w ) a)

 √  ) ( √)

∂ CT    = K = q ∂v

(

0.5

+1 2

w v

1 ∂ CT    = L=q 0.5 +  v 2 w ∂w

b) De la demanda de  L sale que: 2 L

 v

1

q − = w

(

√

)) (

(

(

2

  q 1   q = 0.5 q +  K = q 0.5 + 2 2 L −q 2 2 L −q

(

1

2

)

))

  q 2 K −q = =4 KL−2 Lq −2 Kq + q2=q 2 2 L− q 2 KL

( L + K )

=q