Newton Raphson

Ing Yamil Armando Cerquera Rojas

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RAÌCES DE ECUACIONES Método Newton Raphson

Ing Yamil Armando Cerquera Rojas – [email protected] Especialista en Sistemas Universidad Nacional Docente Universidad Surcolombiana Neiva - Huila

Contenido Grado de un polinomio ......................................................................... 6 Raíces de un polinomio ......................................................................... 6 Factorización de un polinomio ................................................................ 7 Representación gráfica de las raíces de un polinomio ..................................... 7 Raíces Únicas y Múltiples:...................................................................... 9 Teorema fundamental del Álgebra ......................................................... 12 Todo polinomio de grado n tiene n raíces. ................................................ 12 Regla de los signos de Descartes ............................................................ 12 Conjunto de posibles raíces.................................................................. 13 ¿Qué hacer cuando se tenga una raíz?...................................................... 14 Método de Newton-Raphson .................................................................... 15 Definición:...................................................................................... 15 Derivación de la fórmula ..................................................................... 16 Orden de Convergencia....................................................................... 17 Análisis de Convergencia .................................................................. 18 Consideraciones especiales del método de Newton Raphson: .......................... 20 Ejemplo 1: Ecuación polinomial de orden 3 ............................................... 21 −x Ejemplo 2: Ecuación f ( x) = e − ln( x ) .................................................. 23 Ejemplo 3: Aplicación en cinemática v (t ) = t − 2t .................................... 25 3

2

Ejemplo 4: Función f ( x) = 2 x + x − x + 1 ............................................. 26 3

2

Ejemplo 5: Función F (t ) = 1.21e −6.6t sin(11.4t − 111.7 o ) + 0.28e −55.9t sin(18t + 26.1o ) .............. 27 Ejemplo 6: función f ( x) = 3x 2 − e x ......................................................... 30 Ejemplo 7: Función f ( x) = x 3 + 4 x 2 − 10 ................................................... 31 Ejemplo 8: Función f ( x) = x − 3 x − 4 .................................................. PRACTICA: Newton-Raphson para ecuaciones no lineales ............................... Trabajo de Laboratorio ....................................................................... Ejercicios Propuestos ......................................................................... Recursos Bibliograficos ....................................................................... Bibliografia OnLine: ........................................................................... 3

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ISAAC NEWTON (1642 - 1727) Físico, matemático, astrónomo y filósofo inglés. La obra en la que desarrolla los principios fundamentales de la mecánica y su teoría de la atracción universal se publicó en 1687 con el título de "Principios matemáticos de la filosofía natural". La mayoría de las personas están familiarizadas en cierto grado con el nombre de Isaac Newton, debido a que su fama universal como descubridor de la ley de la gravedad ha seguido intacta durante los dos siglos y medio que han transcurrido desde su muerte. Sin embargo, no es tan conocido el hecho de que, entre sus colosales realizaciones, creó virtualmente las ciencias físicas modernas y, en consecuencia, ha tenido una influencia más profunda en la dirección de la vida civilizada que el auge y la decadencia de los imperios. Quienes tienen autoridad para emitir juicios a este respecto, le consideran, unánimemente, uno de los pocos intelectuales supremos que ha producido la raza humana. Newton nació en el seno de una familia campesina, en la aldea de Woolsthorpe, en Inglaterra. Se sabe muy poco sobre sus primeros años y al parecer su vida como estudiante en Cambridge fue poco distinguida. En 1665, una epidemia de peste hizo que las universidades cerraran sus puertas y Newton regresó a su casa, en el campo, donde permaneció hasta 1667. Allí, en dos años de soledad rústica -de los 22 a los 24 años de edad- su ingenio creativo explotó en un torrente de descubrimientos no superados en toda la historia del pensamiento humano: 9 Las series binomiales para exponentes negativos y fraccionarios; 9 El cálculo diferencial e integral; 9 La gravitación universal como clave para explicar el mecanismo del sistema solar y 9 La resolución de la luz solar en el espectro visual, por medio de un prisma, con sus implicaciones para la comprensión de los colores del arco iris y la naturaleza de la luz en general. En sus últimos años, escribió las siguientes reminiscencias, sobre el periodo milagroso de su juventud: "En esos días, estaba en la mejor edad para los descubrimientos, y las matemáticas y la filosofía (o sea, las ciencias) me interesaron más que nada, desde entonces". Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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Newton fue siempre un hombre discreto y retraído y, en su mayor parte, se guardó para sí sus descubrimientos monumentales. No tenía interés en publicarlos y la mayor parte de sus grandes obras fueron arrancadas por los ruegos y la persistencia de sus amigos. De todos modos, su capacidad única era tan evidente para su maestro Isaac Barrow quien, en 1669, dimitió su profesorado en favor de su alumno (¡un caso sin precedentes en la vida académica!) y Newton se estableció en Cambridge durante los 27 años siguientes. Sus descubrimientos matemáticos nunca se publicaron realmente en forma conexa y llegaron a conocerse, en forma limitada, casi por accidente, por medio de conversaciones y de las respuestas a preguntas que le hicieron por carta. Consideró sus descubrimientos en matemáticas primordialmente como un instrumento fructífero para el estudio de problemas científicos y como algo que, en sí mismo, tenía relativamente poco interés. Mientras tanto, en Alemania, Leibniz había inventado también el cálculo, de manera independiente; y debido a su constante correspondencia con los Bernoulli y a los trabajos posteriores de Euler, el nuevo análisis se extendió en todo el continente, donde permaneció a la cabeza durante 200 años No se sabe gran cosa sobre la vida de Newton en Cambridge, en los primeros años de su profesorado; pero es seguro que entre sus principales intereses se contaron la óptica y la construcción de telescopios. Experimentó muchas técnicas para esmerilar vidrios (con herramientas diseñadas por él mismo) y hacia 1670 construyó el primer telescopio de reflexión, el antepasado de los grandes instrumentos que se utilizan actualmente en monte Palomar y en todo el mundo. La pertinencia y la simplicidad de su análisis prismático de la luz solar, marcó ese trabajo inicial como uno de los clásicos sin limitaciones de tiempo de las ciencias experimentales. No obstante, eso era sólo el comienzo, puesto que fue penetrando cada vez más en los misterios de la luz y todos sus esfuerzos en ese sentido siguieron dando muestras de un ingenio experimental del más alto orden. Publicó algunos de sus descubrimientos; pero los científicos más destacados de su tiempo los recibieron con tanta estupidez contenciosa, que Newton se retrajo nuevamente en su concha, con una mayor resolución de trabajar, a partir de entonces, para su exclusiva satisfacción. Veinte años después, confió a Leibniz las palabras siguientes: "En cuanto a los fenómenos de los colores... Estoy convencido de haber descubierto la explicación más segura; pero no quiero publicarla en libros, por temor de que los ignorantes inicien disputas y controversias contra mi" Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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A fines de la década de 1670, Newton tuvo uno de sus lapsos periódicos de desagrado por las ciencias y dirigió sus energías hacia otros cauces. Todavía no había publicado nada sobre dinámica o la gravedad y sus numerosos descubrimientos en esos campos permanecías olvidados sobre su escritorio. Sin embargo, al fin, estimulado y enojado por las pretensiones y las críticas de Robert Hooke y calmado por la intervención diplomática de Edmund Halley, dedicó su atención nuevamente a esos problemas y comenzó a escribir su obra principal, el Principia. Cuando Newton se dedicaba al trabajo científico se parecía a un volcán activo, con largos periodos de inactividad, contrastados, de vez en cuando, por grandes erupciones de una actividad casi sobrehumana. El libro Principia lo escribió en 18 meses de increíble concentración, y cuando se publicó, en 1687, se reconoció inmediatamente que era una de las realizaciones supremas de la mente humana. En esa obra, estableció los principios básicos de la mecánica teórica y la dinámica de los fluidos, aplicó el primer tratamiento matemático al movimiento ondulado, dedujo las leyes de Kepler a partir de la ley de cuadrados inversos de la gravitación y explicó las órbitas de los cometas; calculó las masas de la Tierra, el Sol y los planetas con sus satélites, explicó la forma aplastada de la Tierra y utilizó esta idea para explicar la precesión de los equinoccios, además de que estableció la teoría de las mareas. Estas son tan sólo unas cuantas de las numerosas maravillas de su obra prodigiosa. El Principia es un libro de lectura difícil, porque tiene un estilo de inhumana lejanía que quizá sea el más apropiado para la grandeza del tema. Asimismo contiene densas ecuaciones matemáticas de geometría clásica, poco cultivada en su época y todavía menos en la actualidad. En cuanto a la dinámica y mecánica celeste, logró concluir magníficamente la obra que habían iniciado Copérnico, Kepler y Galileo. Ese triunfo fue tan completo que los trabajos de los principales científicos en esos campos, durante los dos siglos siguientes, fueron poco más que notas calcadas de esta síntesis colosal. También vale la pena recordar que la espectroscopia ha contribuido, más que ninguna otra ciencia, al progreso de los conocimientos astronómicos del universo en general; tuvo su origen en el análisis prismático de la luz del Sol, que realizó Newton. Después de la poderosa erupción de su ingenio que lo llevó a la creación de Principia, Newton volvió a alejarse de las ciencias. En 1696, abandonó Cambridge para ir a Londres, con el fin de convertirse en Warden of the Mint (y posteriormente en Master), y durante el resto de su larga vida, se introdujo un poco en la sociedad e inclusive comenzó a gozar un poco de su posición única, en el pináculo de la fama como científico.

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Esos cambios de intereses y de ambiente no se reflejaron en una disminución de su capacidad intelectual inigualable. Por ejemplo, un atardecer, al final de un día de trabajo agotador en la Moneda, se enteró del problema de la braquistócrona de Johann Bernoulli -presentado como un desafío "para los matemáticos más brillantes del mundo"- y lo resolvió esa misma noche, antes de acostarse. La publicación de su obra Opticks, en 1704, fue mucho más importante para la ciencia. En ese libro, reunió y amplió sus trabajos anteriores sobre la luz y los colores. A Isaac Newton se debe el cálculo de raíces de una función o ecuación por aproximaciones sucesivas usando la tangente.

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Polinomios Un polinomio es una suma de términos llamados monomios. Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre x o y) elevada a un exponente (entero positivo). Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo: 2

9 Monomio (un término): 5x En este caso el coeficiente es 5, la variable es x el exponente 2 7

9 Binomio (dos términos): 6 x − 2 9 Trinomio (tres términos): 3 x 5 + 4 x 3 − x 2 En este trabajo se utilizaran polinomios con coeficientes enteros y potencias enteras positivas.

Grado de un polinomio El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo:

5x 2

Es un polinomio de grado 2

6x7 − 2

Es de grado 7

3x 5 + 4 x 3 − x 2 Es de grado 5 2 x 4- x 3 - x 2 5

¿De qué grado es?

2

6 x - 4 x - 19 x ¿De qué grado es? 3 x15 + x13 - x2

¿De qué grado es?

13

¿De qué grado es?

Nota cómo se deben escribir los polinomios. Se deben escribir en orden decreciente con respecto al grado de cada término.

Raíces de un polinomio La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polinomio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio. Por ejemplo el polinomio f ( x) = x 2 + x − 12 , cuando se iguala a cero y se resuelve se tiene: Igualando a cero. x 2 + x − 12 = 0 ( x + 4)( x − 3) = 0 Factorizando.

x = −4 x=3 Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

Raíz 1 Raíz 2 6 de 38

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Puesto que x1 = −4 y x 2 = 3 , son soluciones de f(x) entonces f (−4) = 0 y f (3) = 0 . Se dice entonces que x1 = −4 y x 2 = 3 , son raíces del polinomio f ( x) = x 2 + x − 12 Las raíces de f ( x) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3 ¿Por qué?

Factorización de un polinomio El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio. Para poder factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces. Cuando se tengan estas, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma (x-r) donde r es una de las raíces. Esto es, si r1, r2, ... , rn son raíces del polinomio f(x) entonces la factorización de f(x) es: f ( x) = ( x − r1 )( x − r2 )...( x − rn ) Por ejemplo, si 1.

f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 : Como sus raíces son x = - 1, x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como f ( x) = ( x − (−1))( x − 2)( x − 3) = ( x + 1)( x − 2)( x − 3)

2.

f ( x) = x 2 + x − 12 : Como sus raíces son x = - 4 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como f ( x) = ( x − (−4))( x − 3) = ( x + 4)( x − 3)

Representación gráfica de las raíces de un polinomio Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto se identifica como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas). Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa la raíz del polinomio graficado. A continuación se presentan algunas funciones con sus raíces, factores y gráficas:

Descripción Función Raíces

Factorización

Gráfica

f ( x) = x 2 + x − 12

-4y3

f ( x) = ( x + 4)( x − 3)

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Descripción Función Raíces

- 1, 2 y 3

f ( x) = ( x + 1)( x − 2)( x − 3)

Función

f ( x) = x 4 − 5 x 2 + 4

- 2, - 1, 1 y 2

Factorización

f ( x) = ( x + 1)( x + 2)( x − 1)( x − 2)

Función

f ( x) = x 3 + 4 x 2 + 3x

Raíces

¿Cuáles son?

Factorización

f(x) =

Función Raíces

Factorización

Gráfica

f ( x) = x 3 − 4 x 2 + x + 6

Factorización

Raíces

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f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6

1, - 2 y 3

f ( x) = ( x − 1)( x + 2)( x − 3)

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Raíces Únicas y Múltiples: Los polinomios pueden tener raíces únicas en un punto determinado del eje x o raíces que se repiten en un número par o impar veces, es decir una raíz sobre el eje x puede ser la misma par o impar veces. Dicho de otra manera una raíz por ejemplo dos (2) puede ser la misma raíz pero repetida tres (3) veces (impar) o repetida 2 veces (par). La tabla siguiente muestra la función f ( x ) = x 2 − 4 , y en la gráfica se observa como esta corta el eje x tanto en el punto -2 y 2 de un lado a otro siguiendo la forma de la figura. Se puede decir que la figura pasa de un lado al otro el eje x en el punto de corte o raíz. Por lo tanto la raíz es única en el valor de menos dos (-2) y única en el valor de dos (2). Es un polinomio de orden dos por lo tanto solo tendrá dos (2) raíces. En la parte donde se muestra el polinomio factorizado f ( x) = ( x − 2)( x + 2) se puede observar que si la variable x toma el valor de 2 o toma el valor de -2 la función tomará el valor de cero.

Descripción Función Raíces

Factorización

Gráfica

f ( x) = x 2 − 4

- 2, 2

f ( x) = ( x − 2)( x + 2)

Para el caso del siguiente ejemplo la función f ( x) = x 2 − 2 x + 1 tiene dos (2) raíces, y si observa la gráfica, esta no corta el eje x en ningún sector. Ahora si observa el valor de uno (1) en el eje x, es un punto donde la función se vuelve cero (0). Se debe considerar al valor de uno (1) como raíz de la función. Lo que pasa es que dicha raíz se repite par veces (para el caso del ejemplo 2 veces), por esta razón la gráfica no corta el eje x, sino que lo toca tangencialmente en el punto raíz y cambia su pendiente. Se puede decir matemáticamente que en el punto raíz, la derivada de la función es igual a cero (0) ó dicho de otra manera en este punto la tangente es igual a cero (0). En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que hace que la función tome el valor de cero (0) es el punto uno (1) sobre el eje x, y Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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puede ser en el término de la izquierda o en el término de la derecha, es decir dos veces.

Descripción Función Raíces

Factorización

Gráfica

f ( x) = x 2 − 2 x + 1

1, 1

f ( x) = ( x − 1)( x − 1)

Para el caso del siguiente ejemplo la función f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 12 x + 8 tiene 3 raíces, y si observa la gráfica, esta corta el eje x aparentemente en varios puntos cercanos a 2. Ahora si observa el valor de 2 en el eje x, es un punto donde la función se vuelve cero. Se debe considerar al valor de 2 como raíz de la función. Lo que pasa es que dicha raíz se repite impar veces (para el caso del ejemplo 3 veces), por esta razón la gráfica corta el eje x de la forma como se observa en la figura. En el punto de corte sobre el eje x, este y la gráfica son paralelos superpuestos. Se puede decir matemáticamente que en el punto raíz la derivada de la función es igual a cero. En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que hace que la función tome el valor de cero es 1, y puede ser en el término de la izquierda o en el término de la derecha, es decir dos veces.

Descripción Función Raíces

Factorización

Gráfica

f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 12 x + 8

2, 2, 2

f ( x) = ( x − 2)( x − 2)( x − 2)

Para el caso del siguiente ejemplo la función f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 4 tiene 3 raíces, y si observa la gráfica, esta corta el eje x aparentemente en un punto igual a menos uno (-1) y toca tangencialmente dicho eje en un valor igual a uno (1). Ahora si observa el valor de -1 en el eje Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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x, es un punto donde la función cruza el eje de las x con cierta pendiente, esto indica que ese punto de corte es una raíz única. Ahora en le punto 1 sobre el eje de las x la curva o grafica de la función toca tangencialmente el eje y cambia de pendiente. Esto debe asumirse como una raíz que se repite par veces. Como el polinomio de es orden 3 y ya se sabe de una raíz única se puede decir que dicha raíz es par veces repetida. Se puede decir matemáticamente que en el punto 1 considerado como raíz repetida par veces, la derivada de la función es igual a cero. En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que hace que la función tome el valor de cero es -1, en el término de la izquierda o 1 en los dos términos de la derecha. En el caso de que la raíz 1 se repitiera 4 veces diferenciaría la forma de la gráfica en que la pendiente de esta es mayor o menor al acercarse al eje.

Descripción Función Raíces

Factorización

Gráfica

f ( x) = x 3 − 3x 2 + 4

- 1, 2, 2

f ( x) = ( x + 1)( x − 2)( x − 2)

En el siguiente ejemplo muestra la combinación de las tres formas que toma la gráfica dependiendo si sus raíces se repiten par o impar veces o son raíces únicas.

Descripción Función Raíces

Factorización

Gráfica

f ( x) = x 6 − 17 x 5 + 102 x 4 − .... − 248 x 3 + 160 x 2 + 240 x − 288 - 1, 2, 2, 2, 6, 6

f ( x) = ( x + 1)( x − 2) 3 ( x − 6) 2

Que análisis de acuerdo con lo mostrado anteriormente le puede realizar a las siguientes funciones. Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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f ( x) = ( x + 1)( x − 1) 2 ( x − 1)

f ( x) = ( x + 1)( x − 2) 5 ( x − 6) 4

f ( x) = ( x + 2)( x − 2) 3 ( x)

f ( x) = ( x − 1) 2 ( x + 1) + 1

f ( x) = ( x + 1)( x − 2)5 ( x − 6) 4 + 1

f ( x) = ( x − 1) 2 − 1

f ( x) = ( x − 1) 2 + ( x − 1)

f ( x) = (( x − 1) 2 + 1) 2 ( x − 1)

Teorema fundamental del Álgebra Carl Friedrch Gauss ha sido uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Contribuyó a muchas ramas de las matemáticas. En 1798, ¡ a los 20 años de edad !, Gauss demostró el teorema fundamental del Álgebra que dice lo siguiente:

Todo polinomio de grado n tiene n raíces. Si se toma una ecuación en términos generales, tal como la ecuación siguiente: a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n−2 + a n −3 x n −3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a 0 = 0 .

Se puede decir entornes que es una ecuación de orden n y por tanto tiene n soluciones. Recuerde que en es este apartado sólo se tiene polinomios con coeficientes enteros. Observa la tabla anterior, donde se da la función, las raíces y la gráfica y verifica que efectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces. Una forma en la que se puede interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio, dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces si: f ( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n− 2 + a n −3 x n−3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a 0 ,

Se puede decir que: f ( x) = ( x − r1 )( x − r2 )...( x − rn )

Donde r1, r2, ... , rn son las raíces de f(x). La demostración de este teorema queda lejos del objetivo de esta página sin embargo daremos algunas herramientas para encontrar las n raíces.

Regla de los signos de Descartes Rene Descartes encontró un método para indicar el número de raíces positivas en un polinomio. Esta regla dice lo siguiente:

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"El número de raíces reales positivas (+) de un polinomio f (x) es igual al número de cambios de signo de término a término de f (x) " Hay que recordar que los polinomios se deben escribir en orden decreciente conforme al grado de cada término. Por ejemplo el polinomio f(x)= x2 + x - 12 tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz positiva. g(x)= +x3 - 4 x2 + x + 6 tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas h(x)= +x4 - 5 x2 + 4 tiene dos raíces positivas i(x)= x3 + 4 x2 + 3 x No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene raíces reales positivas. j(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 ¿Cuántas raíces positivas tiene? También puede evaluar la expresión en los valores 1 y -1 teniendo en cuenta solo el signo de cada término de la expresión. En caso de que un término no exista se toma como 0 (positivo). En el ejemplo de la siguiente tabla para el caso de la primera función al evaluar la función en 1, el primer término de la función toma un valor positivo y el segundo toma un valor negativo, por tanto se dice que tiene una raíz positiva en razón a un solo cambio de signo (de positivo a negativo). Como se trata de una ecuación de una recta pues tan solo tiene una raíz. Pero por probar se ha evaluado la función en -1, resultando en ambos términos un signo -, o sea que no hay cambio de signo, indicando con esto que no hay raíces negativas, en la función f ( x) = x − 1 . Nro

Ecuación

1

f ( x) = x − 1

2

f ( x) = x 2 + x − 12

3

f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6

4

f ( x) = x 3 + 4 x 2 + 3x

5

f ( x) = x 4 − 5 x 2 + 4

6

f ( x) = x 3 − 4 x 2 + x + 6

Signo f (1) = + −

Rai_Pos Rai_Neg 1

0

f (1 ) = + + − f ( − 1) = + − −

1

1

f (1) = + − − + f ( − 1) = − − + +

2

1

0

3

2

2

2

1

f ( − 1) = − −

f (1 ) = + + + + f ( − 1) = − + − + f (1 ) = + + − + + f ( − 1) = + + − + + f (1 ) = + − + + f ( − 1) = − − − +

Conjunto de posibles raíces Existe un método para encontrar un conjunto de números, los cuales pueden ser raíces de un polinomio. La regla que mencionaremos aquí es aplicable sólo para polinomios con el coeficiente de la potencia mayor de x igual a 1. Es decir, si Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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f ( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n− 2 + a n −3 x n−3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a 0 , se a 0 = 1 . Esto es que sólo se trabaja con polinomios de la siguiente forma:

toma

a

f ( x) = x n + a n−1 x n −1 + a n−2 x n−2 + a n −3 x n −3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a 0

El conjunto de posibles raíces de f (x) se forma con los divisores de a0 (del término independiente), hay que considerar estos divisores tanto con signo positivo como con negativo. La forma en que se puede usar esta información del término independiente es la siguiente, puesto que cualquier elemento de este conjunto puede ser raíz de f (x) hay que evaluar a f (x) en algún valor de este conjunto y si el resultado de la evaluación es cero, entonces ese valor escogido es raíz de f (x) . En la siguiente tabla se muestran varios polinomios, los divisores del término independiente y las raíces de los polinomios: Función

Divisores del término independiente Raíces 1, 2, 3, 4, 6, 12, -4y3 f ( x) = x 2 + x − 12 -1, -2, -3, -4, -6, -12 1, 2, 3, 6, f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 - 1, 2 y 3 -1, -2, -3, -6 1, 2, 4, f(x)= x4 - 5 x2 + 4 - 2, - 1, 1 y 2 -1, -2, -4 1, 2, 3, 6, f(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 1, - 2 y 3 -1, -2, -3, -6

¿Qué hacer cuando se tenga una raíz? Con lo visto en los apartados anteriores se tiene las herramientas necesarias para encontrar las n raíces de un polinomio. Recuerde que para encontrar una raíz es necesario saber los divisores del término independiente y evaluar nuestro polinomio en con el valor escogido. Además de haber encontrado una raíz usando el método anterior se ha hallado un factor del polinomio. Se puede estar seguro de que si r es una raíz de f(x) entonces al dividir f ( x) /( x − r ) tendrá como resultado un polinomio de un grado menor a f(x) y como residuo cero. Así se ha reducido el problema de encontrar n raíces en otro problema, el encontrar sólo n-1 raíces.

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Método de Newton-Raphson Definición: El método de Newton es una extensión directa del método del mismo nombre para buscar ceros de funciones de una variable. La idea es realizar el desarrollo de las series de Taylor de una función alrededor de una estimación de la raíz x0 f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f `( x0 ) +

1 ( x − x0 ) f ``( x0 ) + .... 2

Truncando la serie a primer orden e igualando f ( x) = 0 se tiene.

x = x0 −

f ( x0 ) f `( x0 )

Este Método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el Método de diferencias divididas para aproximar f `(x) . El Método de Newton-Raphson asume que la función f (x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f (x) tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en ( x0 , f ( x0 )) es una aproximación a la curva de f (x) cerca del punto ( x0 , f ( x0 )) . En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de denominada raíz de f(x).

f (x)

o

Figura 1 Modelo general del método de Newton Raphson Si ha intentado encontrar una raíz de una función complicada algebraicamente alguna vez, usted puede haber tenido alguna dificultad. Usando algunos conceptos básicos de cálculo, se tienen maneras de evaluar raíces de funciones complicadas numéricamente. Normalmente, se usa el método de Newton-Raphson. Este proceso iterativo sigue una pauta fija para aproximar una raíz, considerado la función, su derivada, y un valor x inicial. Usted puede recordar del álgebra que una raíz de una función es un cero de la función. Esto significa que la raíz de una función, se calcula cuando la función se iguala a cero. Se puede encontrar las raíces de una función simple como f ( x) = x 2 − 4 simplemente colocando la función igual a cero, y resolviendo: f ( x) = x 2 − 4 = 0 , de aquí se tiene que f ( x) = ( x + 2)( x − 2) = 0 , para concluir que la igualdad se

cumple solo si x = 2 ó x = -2, que son consideradas como raíces de la ecuación. Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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Figura 2. Gráfica de la función f ( x) = x 2 − 4 en el intervalo [-3,3] En el gráfico anterior se observa que el punto x = −2 y x = 2 , la curva corta al eje x, considerando estos puntosa como raíz de la función. El Método de Newton Raphson usa un proceso iterativo para encontrar la raíz de una función. La raíz especifica que el proceso localiza un valor que depende del valor x inicial, valor x escogido arbitrariamente. Se Calcula la primera aproximación, x1, como el cero de la línea tangente en un punto inicial x0 dado. Se calcula la segunda aproximación, x2, como el cero de la línea tangente en la primera aproximación x1. Siguiendo el esquema mostrado más abajo, las primeras dos aproximaciones de raíces usando el Método Newton-Raphson, se buscan con el mismo criterio del Método de la Bisección:

Figura 3

Derivación de la fórmula El Método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, de hecho, el Método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto ( x0 , f ( x0 )) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f ( x0 ) . La nueva aproximación a la raíz, lineal con el eje X de ordenadas.

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x1 , se obtiene de la intersección de la función

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La ecuación de la recta que pasa por el punto ( x0 , f ( x0 )) y de pendiente f ' ( x0 ) es:

y − f ( x0 ) = f ' ( x0 )( x − x0 )

De donde, haciendo y = 0 y despejando x se obtiene la ecuación de Newton-Raphson

xn +1 = xn − f ( xn ) / f ' ( xn ) Figura 4

Demostración: Sea x0 la raíz supuesta inicial o valor inicial de las iteraciones y si se aplican funciones trigonométricas al ángulo α de la figura 4 se tiene que tan(α ) = f ( x0 ) /( xo − x1) , a

− x1 ) = f ( x0 ) / tan(α ) . y despejando x1 se tendría la fórmula de Newton. La pendiente en x0 esta dada por tan(α ) = f ' ( x0 ) . Teniendo en cuenta lo anterior se tendría entonces que: x1 = x0 − f ( x0 ) / f ' ( x0 ) .

partir de esta fórmula se puede decir que: ( x0

También se puede deducir de teniendo en cuenta que la ecuación de la línea tangente en x0 esta dada por: y − f ( x0 ) = f ' ( x0 )( x − x0 ) . La primera aproximación x1 es obtenida como la raíz de (1). Así

( x1 ,0)

es un punto sobre la ecuación anterior.

0 − f ( x0 ) = f `( x0 )( x1 − x0 ) x1 − x0 = − f ( x0 ) / f `( x0 ) x1 = x0 − f ( x0 ) / f `( x0 ) xn +1 = xn − f ( xn ) / f ' ( xn )

De aquí, Despejando, Finalmente se obtiene: Por construcción similar se obtiene: Donde,

xn

es una valor para x conocido actualmente,

f ( xn )

representa el valor de la

función evaluada en xn , y f ' ( xn ) es la derivada evaluada en xn , xn +1 representa el próximo valor para x que se está tratando de encontrar como raíz al aplicar el modelo.

f ' ( x0 ) , la derivada representa f ( x) dx , (dx = delta-x) embargo, el término f ( x ) / f `( x ) representa un valor de dx = ∆x . Esencialmente,

ó dx = x0 − x1 . Sin

f ( x) f ( x) = = ∆x f ' ( x ) f ( x ) / ∆x

Orden de Convergencia Sean x0, x1, x2. . . una secuencia que converge a r y sea en = xn - r. Si existe un número m y una constante C (distinta de cero), tal que: lim

e n +1 en

m

=c

Cuando

n → ∞,

Entonces m es

llamado orden de convergencia de la secuencia y C el error asintótico constante. Para m=1,2,3, la convergencia se dice lineal, cuadrática y cúbica respectivamente. Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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Análisis de Convergencia

x0 , x1 , x2 ,..., xn , xn +1 las aproximaciones en sucesivas iteraciones. Sea r el verdadero valor de la raíz. Si se toma como error en la n-esima iteración a en . Entonces el error en estará dado por: en = xn − r y en consecuencia en +1 = xn +1 − r Sean

xn +1 = xn − f ( xn ) / f ' ( xn )

Si se tiene que

en +1 = xn − f ( xn ) / f ' ( xn ) − r en +1 = xn − r − f ( xn ) / f ' ( xn ) en +1 = en − f ( xn ) / f ' ( xn )

en +1 = (en f ' ( xn ) − f ( xn ) ) / f ' ( xn )....Ec1 Ahora, expandiendo f ( xn − en ) en serie de Taylor se obtiene,

f ( xn − en ) = f ( xn ) − f ' ( xn )en + ( f ' ' (c) / 2)en2 f (r ) = f ( xn ) − en f ' ( xn ) + ( f ' ' (c) / 2)en2 0 = f ( xn ) − en f ' ( xn ) + ( f ' ' (c) / 2)en2 en f ' ( xn ) − f ( xn ) = ( f ' ' (c) / 2)en2 ,....Ec 2 De las ecuaciones 1 y 2 se obtiene,

en +1 = ( f " (c) / 2)en2 / f ' ( xn ) , en +1 = 1 ( f " (c) / f ' ( xn ))en2 2 2 Esto es, en +1 = cen , donde c = 1 ( f " (c) / f ' ( xn )) 2 De aquí

2

en+1 0.00001) fx=2*x.^3+x.^2-x+1; dfx=6*x^2+2*x-1; xn=x-fx/dfx; disp ([x fx dfx fx/dfx xn]); x=xn; end

Ejemplo 6: Función

F (t ) = 1.21e −6.6t sin(11.4t − 111.7 o ) + 0.28e −55.9t sin(18t + 26.1o )

En la función F (t ) = 1.21e −6.6t sin(11.4t − 111.7 o ) + 0.28e −55.9t sin(18t + 26.1o ) , t es el tiempo, y el intervalo de interés es para los valores tal que t > 0. La función seno es oscilatoria, afectada de la función exponencial. Tiende a cero cuando t tiene valores superiores a 1; se lleva tanto sus factores como la función F(t) a dicho valor, con lo cual la grafica de F(t) se confunde con el eje t para t ≥ 1 . Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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Estas funciones son conocidas como oscilatorias amortiguadas. Si el exponente de e es positivo, al tender t a infinito ( ∞ ), la función es creciente y tiende rápidamente a infinito ( ∞ ); esta función se conoce como función oscilatoria no amortiguada. Ahora se dan algunos valores a t en la función: format short; t=0:0.2:1; ft=1.21*exp(-6.6*t).*sin(11.4*t-111.7*pi/180)+... 0.28*exp(-55.9*t).*sin(18*t+26.1*pi/180);

t

f(t)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1.00106744399655 0.10488140145009 0.04373517406561 -0.02270159505605 0.00477763344408 -0.00004228104332

Para efectos de la gráfica se puede ejecutar el siguiente código en MatLab. format short; t=0:0.02:1; ft=1.21*exp(-6.6*t).*sin(11.4*t-111.7*pi/180)+... 0.28*exp(-55.9*t).*sin(18*t+26.1*pi/180); plot(t,ft) grid on

Figura 9. Función F (t ) = 1.21e −6.6t sin(11.4t − 111.7 o ) + 0.28e −55.9t sin(18t + 26.1o ) Estos valores señalan la presencia de raíces reales en los intervalos (0.1,0.2), (0.4,0.5), (0.6,0.8) y pudiese inducir que habría otra posiblemente en (0.8,1.0).

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Luego pues, se aplica el Método de Newton-Raphson para encontrar las raíces en cada uno de los intervalos. Utilizando la primera derivada de la función que es:

F ′( t ) = 13 . 794 e − 6 .6 t cos( 11 . 4 t − 111 . 7 º ) − 7 .986 e − 6 .6 t sin( 11 .4 t − 111 .7 º ) + 5 .04 e − 55 .9 t cos( 18 t + 26 . 1º ) − 15 . 652 e − 55 .9 t sin( 18 t + 26 .1º ) = 0 Utilizando la fórmula:

t n +1 = t n −

f (t n ) f ′(t n )

Intervalo (0,0.2) t1 0,1 0,15757928 0,17000929 0,17100677 0,17101334 0,17101334 0,17101334 0,17101334

F(t) -0,45195045 -0,06523934 -0,00450956 -2,9291E-05 -1,2686E-09 1,2584E-16 -4,7963E-17 -4,7963E-17

F'(t) 7,84918551 5,2485353 4,52093195 4,46220075 4,46181423 4,46181422 4,46181422 4,46181422

ea 0,05757928 0,01243001 0,00099749 6,5643E-06 2,8432E-10 2,7756E-17 0

er 0,3653988 0,0731137 0,00583302 3,8385E-05 1,6626E-09 1,623E-16 0

ep 36,5398801 7,31137024 0,58330153 0,0038385 1,6626E-07 1,623E-14 0

Intervalo (0.4,0.6) t2 0,5 0,39743657 0,43780928 0,44613527 0,44658859 0,44658995 0,44658995 0,44658995 0,44658995 0,44658995

F(t) -0,02552511 0,04667494 0,00672327 0,00033008 9,8171E-07 8,7878E-12 -3,1234E-17 2,5156E-17 -3,1234E-17 2,5156E-17

F'(t) -0,24887142 -1,15610121 -0,80750436 -0,72812975 -0,72379864 -0,72378568 -0,72378568 -0,72378568 -0,72378568 -0,72378568

ea

er

0,10256343 0,04037271 0,00832599 0,00045333 1,3563E-06 1,2141E-11 5,5511E-17 5,5511E-17 5,5511E-17

0,2580624 0,09221529 0,01866248 0,00101509 3,0371E-06 2,7187E-11 1,243E-16 1,243E-16 1,243E-16

ea

er

0,01970633 0,00242318 3,8727E-05 9,8987E-09 5,5511E-16

0,02738107 0,00335561 5,3627E-05 1,3707E-08 7,6867E-16

ep 25,8062397 9,2215292 1,86624756 0,10150903 0,00030371 2,7187E-09 1,243E-14 1,243E-14 1,243E-14

Intervalo (0.6,0.8) t3 0,7 0,71970633 0,72212952 0,72216824 0,72216825 0,72216825

F(t) -0,00298091 -0,00029375 -4,5493E-06 -1,1622E-09 -6,5918E-17 -1,1033E-17

F'(t) 0,15126648 0,12122588 0,11747079 0,11741077 0,11741076 0,11741076

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ep 2,73810731 0,33556084 0,00536265 1,3707E-06 7,6867E-14 29 de 38

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0,72216825 7,262E-18 0,11741076 0,72216825 -1,1033E-17 0,11741076

1,1102E-16 1,1102E-16

1,5373E-16 1,5373E-14 1,5373E-16 1,5373E-14

Intervalo (0.8,1.0) t4 0,9 0,98197861 0,99640129 0,99773482 0,99774655 0,99774656 0,99774656

F(t) 0,00285866 0,00033146 2,585E-05 2,2353E-07 1,731E-11 6,1406E-19 6,1406E-19

F'(t) -0,0348708 -0,02298212 -0,01938429 -0,01904904 -0,01904609 -0,01904609 -0,01904609

ea

er

0,08197861 0,01442268 0,00133353 1,1735E-05 9,0884E-10 0

0,08348309 0,01447477 0,00133656 1,1761E-05 9,1089E-10 0

ep 8,34830928 1,44747656 0,13365611 0,00117612 9,1089E-08 0

Entonces se encuentra que las raíces son t1=0.17101 En t2=0.44658 En t3=0.72216 En t4=0.99774 En

el el el el

intervalo (0,0.2) intervalo (0.4,0.6) intervalo (0.6,0.8) intervalo (0.8,1.0)

Tiempos donde la función se vuelve cero.

Ejemplo 7: función

f ( x) = 3 x 2 − e x

f ( x) = 3 x 2 − e x . Si se grafica la función se tendría lo siguiente.

Figura 10 Se puede observar que la curva corta el eje x en los intervalos [-1,0],[0,1], y [3,4]. También se pudiera graficar las dos curvas por aparte tal como se ilustra en la siguiente grafica. Las raíces corresponderían a los puntos sobre el eje x donde las dos curvas se cortan. Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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Figura 6

Ejemplo 8: Función

f ( x) = x 3 + 4 x 2 − 10

Encontrar la raíz de la ecuación f ( x) = x 3 + 4 x 2 − 10 , tomando como aproximación inicial para la raíz el valor de x=1.0 y N=10 (número máximo de iteraciones) y una tolerancia máxima TOL=0.0000001. f ( x) = x 3 + 4 x 2 − 10 f `( x) = 3 x 2 + 8 x

La raíz exacta es x=1.36523001. Código Fuente en C //************************************** //Método de Newton-Rapson para aproximar //las raíces de la ecuación f(x)=0 //************************************** #include #include #include #define N 10 //número máximo de iteraciones #define TOL 0.0000001 //tolerancia máxima 3 2 double f(double x) //f(x)= x + 4 x − 10 función a aproximar { return (x*x*x + 4*x*x - 10); } double df(double x) //derivada de la función f(x) es f'(x)=3*x^2 + 8.0*x { return (3*x*x + 8*x); } int main(void) { double x, x0; int i; clrscr(); i=1; x0=1.0; //aproximación inicial de la raíz, de f(x) Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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printf("%d %15.12lf\n", i, x0); while (i Cont) printf("\n La raíz de la ecuación es %.5lf ",Xn); else printf("\n\n No converge en %3d Ciclos !!!! Dar nuevos valores",Ciclos); getch(); return 0; } void Lee_Datos(void) { clrscr(); printf("\n Dar el Valor inicial de X -> "); scanf("%lf",&Xo); printf("\n Cual es el error Permitido ->"); scanf("%f",&Tolera); printf("\n Numero de ciclos máximos ->"); scanf("%d",&Ciclos); } double Funcion(double Xo) { return Xo*Xo*Xo-3*Xo*Xo-4; double Derivada(double Xo) { return 3*Xo*Xo-6*Xo; double Segunda(double Xo) { return 6*Xo-6;

} } }

PRÀCTICA: Newton-Raphson para ecuaciones no lineales 1 Introducción Recuerde que el Método de Newton-Raphson consiste en calcular las iteraciones

xn = xn −1 −

f ( xn−1 ) f `( xn −1 )

A partir de un valor inicial x0 . El algoritmo se puede interpretar como la iteración de punto fijo con la función

g ( x) = x −

f ( x) f `( x)

En esta práctica se estudiará las regiones de convergencia del Método de Newton para una función concreta, así como la influencia de las raíces múltiples en las propiedades de convergencia. Trabajo de laboratorio Escriba una función de MATLAB, llamada fnewton, con el siguiente encabezamiento: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

function [x,xvect,nit]=fnewton(f,fprima,x0,maxiter,tolerancia) % Implementa el algoritmo de Newton % usando la función puntofijo.m % f = expresión de la función cuyas raíces se buscan % fprima = su derivada % x0 = valor inicial % Como criterios de parada se usan: % maxiter = cantidad max de iteraciones admitidas % tolerancia = margen para error absoluto

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10. 11. 12. 13.

% % % %

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En la salida: x = resultado de la ultima iteración xvect = vector de los resultados de todas las iteraciones nit = cantidad de iteraciones realizadas

Emplee la función puntofijo; function [x,xvect,nit]=puntofijo(g,x0,maxiter,tolerancia) % Implementa la iteración de punto fijo % g = expresión de la función de iteración % x0 = valor inicial % Como criterios de parada se usan: % maxiter = cantidad max de iteraciones admitidas % tolerancia = margen para error absoluto % En la salida: % x = resultado de la ultima iteración % xvect = vector de los resultados de todas las iteraciones % nit = cantidad de iteraciones realizadas nit=0; xvect=x0; x=x0; % Inicializando err=tolerancia+1; % Garantiza al menos 1 ejecución while (nit < maxiter & err > tolerancia), nit=nit+1; xn=g(x); xvect=[xvect;xn]; % Agregue el valor nuevo err=abs(xn-x); % Calcula el error absoluto x=xn; end if nit == maxiter, disp('Alcanzado el máximo de iteraciones admisible') end

14. Pruebe la función creada calculando las dos raíces reales, x=1 y x=-5, de

f ( x ) = 2 x 2 + 8 x − 10 15. Vamos a estudiar las regiones de convergencia del algoritmo de Newton para la función f del apartado anterior. Sean I1 e I-5 los conjuntos de R tales que si x(0) N I1 (respectivamente, si x(0) N I-5) entonces el algoritmo converge a la raíz 1 (resp., a -5) en # 200 iteraciones. Asumiendo que I1 e I-5 son intervalos abiertos, estime experimentalmente los extremos de esos intervalos, tomado tolerancia=2 eM(donde eM es el epsilon de la maquina). 16. Vea la influencia de una raíz doble, en la convergencia del Método de Newton, aplicándolo ahora a la función

h( x) = ( x − 1) y f ( x) = 2 x 3 + 6 x 2 − 18 x + 10 ,

h( x) f ( x) Con una raíz doble en x=1 y otra simple en x=-5. Tomando como valores iniciales x0 = 0 y x0 = −4 , estudie la cantidad de iteraciones que se

necesitan para aproximar por medio de fnewton las dos raíces con tolerancia=2 eM para las funciones f y h? Donde se observan las diferencias? Dibuje las graficas de los errores cometidos en las iteraciones correspondientes en la misma escala semilogarítmica (semilogy) para apreciar la convergencia geométrica. 17. Aplique el algoritmo D2 de Aitken para acelerar la convergencia de la sucesión de aproximaciones a la raíz x=1 de h. Dibuje las gráficas de los errores Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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cometidos en las sucesiones original y acelerada en la misma escala semilogarítmica, y compare la velocidad de convergencia en cada caso. Sugerencia: para implementar la fórmula de Aitken es conveniente utilizar la función diff de MATLAB. Utilice la ayuda para conocer la sintaxis y el objetivo de dicha función. 18. Modifique el Método de Newton para tomar en cuenta la multiplicidad de la raíz, tal como se indica en el texto: f ( xn −1 ) xn = xn −1 − f `( xn −1 ) 19. donde m es la multiplicidad. Para ello escriba la función newtmod, usando como modelo la función fnewton, pero que acepte como parámetro adicional el valor de m. Aplique esta función con m=2 para hallar la raíz doble de h, y comente el resultado.

Trabajo de Laboratorio Dos elipses pueden tener como máximo 4 puntos de intersección. Se desea encontrar las coordenadas de las intersecciones de las elipses dadas por sus ecuaciones ( x − 2) 2 + ( y − 3 + 2 x) 2 = 5 , y 2( x − 3) 2 + ( y − 3 + 2 x) 2 = 5 1. Para obtener una idea grafica de la situación, se dibujan las elipses por medio de la función contour de MATLAB que permite crear curvas de nivel. Se utilizará el formato contour(x,y,Z,[n n]), donde x e y son los vectores de valores xi e yj a lo largo de los ejes correspondientes, Z es la matriz de los valores de la función en los puntos (xi,yj) y n es el nivel que se desea dibujar. Mas exactamente, con x=linspace(-1,5,1000); y=linspace(-10,10,1000); Se generan los vectores x e y (si no recuerda, busque en la ayuda de MATLAB que hace el comando linspace); con [X,Y]=meshgrid(x,y); se crea el conjunto de pares ordenados (xi,yj) como producto cartesiano, y con Z=(X-2).^2+(Y3+2*X).^2; se obtiene la matriz Z. Solo queda ejecutar contour(x,y,Z,[5 5]); para dibujar la primera elipse. Ahora se va por la segunda. Antes de dibujarla, no deje de ejecutar la orden hold on para que el nuevo gráfico no borre el anterior (y termine el script con hold off). Tome nota de las posiciones aproximadas de los 4 puntos de intersección. 2. Plantee explícitamente las funciones fk para el sistema de ecuaciones que expresa la intersección de las elipses y halle la matriz Jacobiana. 3. Implemente el algoritmo de Newton-Raphson para este problema en forma de función : function [y,niter] = newt_raph(x0,maxiter,tolerancia), que admita como datos de entrada el valor inicial x0, el máximo de iteraciones admisible maxiter, y el valor de tolerancia para el criterio de parada ||x(k)-x(k-1)|| # tolerancia, (donde ||7 || es la norma euclidea, que MATLAB calcula con norm) y devuelva el Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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vector Solución y junto con la cantidad de iteraciones empleadas niter. Puede usar como modelo la función puntofijo. Observación: Recuerde que el sistema lineal Ax=b se resuelve en MATLAB por medio del comando x=A\b. 4. Experimente con diferentes vectores de valores iniciales para encontrar los 4 puntos de intersección.

Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones por el Método Newton-Raphson: -

f ( x) = e x + x , con error menor a 0.01 f ( x) = cos( x) + x , con error menor de 0.001 Use el Método de Newton-Raphson para resolver f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 3 x + 10 , con un valor inicial para x=1.9.

-

Halle la raíz de 0.1* x 2 − x * ln( x) = 0 en [1,2] Halle el valor de PI con cinco cifras decimales exactos. Emplee únicamente funciones trigonométricas.

-

Halle una fórmula iterativa que le permita calcular a1 / 2 ⇔ a , para a>0 Calcular la raíz de la función f ( x) = e x − 2.7182 x con un error relativo aproximado al 0.05%.

-

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la

ecuación

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