Nehercijanski val Nikole Tesle

Konferencija "Tesla u Zagrebu" 9. srpnja 2016.

Tesla & Friends

Što je i kako načelno funkcionira nehercijanski torzijski val?

Dr. sc. Ivan Šimatović, dipl. inž. el. neovisni istraživač, Krapina, Hrvatska

Posvećujem liku i djelu Nikole Tesle povodom jubilarne 160. obljetnice njegova rođenja.

Hercijanski valovi

Transverzalni EM val (TEM) EM val predstavlja rasprostiranje brzih vremenskih promjena vrtložnih E i H polja.

Transverzalni EM val (TEM) sastoji se od dva uzajamno okomita i neraskidivo povezana poprečna titranja vektora električnog polja E i vektora magnetskog polja H duž valne zrake (z-osi) jednakom frekvencijom f.

Ulančeno E i H polje TEM vala

Vrtložno električno polje E i magnetsko polje H TEM vala međusobno su ulančena i, kao bezizvorna polja, oba imaju silnice u obliku zatvorenih krivulja.

Shematski prikaz poprečnih vektora E i H polja ravnog TEM vala Podalje od emitera (z > 5∙λ) električno polje E titra poprečno na valnu zraku u polarizacijskoj XZ ravnini, a magnetsko polje H titra poprečno na valnu zraku u polarizacijskoj YZ ravnini. Oba polja titraju sinkrono jednakom frekvencijom f i šire se duž valne zrake praznim prostorom brzinom svjetlosti c0

Matematički prikaz putujućih valova E i H polja Matematički izrazi koji u praznom prostoru, podalje od emitera (z > 5∙λ), opisuju trenutne jakosti sinkrono titrajućih te međusobno okomitih lokalnih vektora E i H polja ravnog neprigušenog harmonijskog putujućeg hercijanskog vala duž pozitivnog smjera z-osi jesu:

Ex ( z , t ) = EM × sin (w × t - k × z ) , E y = Ez = 0 H y ( z , t ) = H M × sin (w × t - k × z ) , H x = H z = 0 2p 2p f k= == = 2p × l c0 × T c0

- valni broj

Osnovna svojstva hercijanskog vala Ø Prema Faraday-Maxwellovoj teoriji elektromagnetizma i vektoriziranim parcijalnim diferencijalnim jednadžbama dinamičkih EM polja u praznom prostoru postoje samo transverzalni valovi koje je u području UKV valova eksperimentalno dokazao 1888. godine VN oscilatorom mladi njemački fizičar Heinrich Rudolf Hertz, ali ih je držao beskorisnim – njihova primjena bila mu je upitna Ø Oni su izrazito disipativni jer im jakost opada obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti od izvora Ø Praznim prostorom rasprostiru se brzinom svjetlosti c0 koja se drži gornjom graničnom brzinom u svemiru Ø Mogu se prigušiti oklapanjem - Faradayevim kavezom

Je li za širenje EM valova neophodan medij? Michelson-Morleyevim pokusom izvedenim 1887. godine formalno je utvrđeno da ne postoji eter ̶ hipotetska savršeno fina fluidna elastična tvar koja bi služila kao nedisipativni medij za rasprostiranje EM valova. Oni se samostalno šire praznim prostorom brzinom svjetlosti c0 = 3·108 m/s transverzalnim (poprečnim) sinkronim titranjem ulančenih i uzajamno okomitih vrtložnih te bezizvornih E i H polja. Zbog nepostojanja etera, kao hipotetskog nosioca EM valova, otpala je mogućnost postojanja valova koji bi sadržavali longitudinalno (uzdužno) titranje E i/ili H polja za koje je, kako drže fizičari, neophodan elastičan medij.

Maxwellove jednadžbe EM polja

Maxwellove jednadžbe EM polja Škotski fizičar James Clerk Maxwell objavio je 1865. godine potpunu teoriju elektromagnetizma kojom je, u strogom matematičkom obliku, povezao i cjelovito objasnio sve električne i magnetske pojave. Njegove jednadžbe za dinamička EM polja mogu se sažeto objasniti u četiri rečenice: Ø vremenski promjenljivo magnetsko polje inducira oko sebe električno polje Ø vremenski promjenljivo električno polje inducira oko sebe magnetsko polje Ø silnice dinamičkog električnog polja daleko od emitera su zatvorene krivulje (bezizvorno polje) Ø silnice magnetskog polja uvijek su zatvorene krivulje jer nema magnetskih jednopola – postoje samo dipoli

Maxwell u jednadžbe EM polja uvodi kvaternione Maxwell je u svoj prvotni sustav od 20 diferencijalnih jednadžbi dinamičkih EM polja iz 1865. godine, iskazanih u skalarnom obliku, 1873. godine uveo, kao bitno unapređenje, kvaternione (hiperkompleksne brojeve) jer je držao da su njima iskazani verzori EM polja prikladniji za matematičku interpretaciju od vektora i skalara na kojima su kasnije insistirali O. Heaviside, W. Gibbs, H. Hertz i ostali. Sofisticiranim prikazom kvaternionima iskazivala se elegantno pozicija i rotacija verzora EM polja u prostoru, ali su oni, zbog svoje složene strukture, veoma otežavali rješavanje verzorskih diferencijalnih jednadžbi EM polja.

Nadomještavanje kvaterniona u jednadžbama EM polja vektorima Nadomještavanje sofisticiranih prikaza verzora EM polja kvaternionima matematički znatno jednostavnijim vektorima i skalarima načinio je, unatoč žestokom Maxwellovom protivljenju, britanski fizičar i samouki matematičar Oliver Heaviside kao nužno pragmatično pojednostavnjene prilagođeno inženjerskim potrebama. Tada, naime, još nisu bili razvijeni napredni numerički postupci rješavanja verzorskih diferencijalnim jednadžbi EM polja niti je bilo računala na kojima bi ih se moglo izvoditi. S tog aspekta je Heavisideovo pojednostavnjene Maxwellovih jednadžbi njihovom vektorizacijom tada bilo donekle opravdano i veoma prihvatljivo u inženjerstvu.

Diferencijalne jednadžbe dinamičkih EM polja u operatorskom obliku Heavisideovom intervencijom nadomješteni su u Maxwellovim diferencijalnim jednadžbama kvaternionski verzori E i H polja vektorima u 3D prostoru, koji su intuitivniji i znatno jednostavniji za računanje. Time je prvotni Maxwellov sustav od 20 teško preglednih skalarnih jednadžbi samovoljno transformiran u konceptualno degradiran, znatno pregledniji, lakše rješiv te danas posvuda prihvaćen sustav Heavisideovih jednadžbi koji sadrži samo četiri kratke te naizgled jednostavne parcijalne diferencijalne jednadžbe vektora EM polja iskazane u sažetom operatorskom obliku.

Diferencijalne jednadžbe E i H polja TEM vala u operatorskom obliku Vektorizirane Heavisideove parcijalne diferencijalne jednadžbe EM polja TEM vala u praznom prostoru jesu:

v v v v v ¶B ¶H rot E = = - m0 × , div B = div ( m0 × H ) = 0 ¶t ¶t

v v v ¶D v v ¶E rot H = = e0 × , div D = div ( e 0 × E ) = 0 ¶t ¶t Brzina rasprostiranja TEM vala u vakuumu iznosi

c0 = 1

e 0 × m0 B 3 ×10 m s 8

Doseg Maxwellovih jednadžbi Maxwell je jednadžbe EM polja postavio mnogo prije nego što je bilo eksperimentalno dokazano postojanje oku nevidljivih EM valova koji se zasnivaju na transverzalnom sinkronom titranju ulančenih EM polja koja se samostalno šire prostorom brzinom svjetlosti. Maxwellove jednadžbe podržavaju sva statička, kvazistatička i dinamička hercijanska EM polja. O postojanju nehercijanskih EM valova, kod kojih uzajamno ulančena E i H polja titraju oko valne zrake na znatno složeniji način, nije se tada još ništa znalo niti naslućivalo pa ih zato te jednadžbe ne podržavaju! Stoga one ne sadrže članove koji bi uvažavali dodatno titranje vektora polja nehercijanskog vala oko/duž valne zrake!

Torzijska polja i nehercijanski valovi

Torzijska polja – novi entitet koji već (pre)dugo kuca na vrata fizike! Prvo znanstveno istraživanje za koje se drži da je iznjedrilo otkriće torzije (uvijanja) kao mogućeg kandidata za hipotetsku petu silu u fizici načinio je krajem XIX. stoljeća ruski profesor fizike N. P. Miškin. Francuski matematičar Eli J. Cartan je tu novu hipotetsku silu 1913. godine prvi nazvao torzijom jer se uvija pri širenju tkivom prostorvremena. Ona se u njemu manifestira kao slabašna torzijska zakrivljenost. Njegovu je hipotezu prihvatio Einstein pa je, u okviru opće teorije relativnosti, iznijeta Cartan-Einsteinova hipoteza da je četverodimenzionalan prostorvrijeme i torzijski zakrivljen.

Torzijska polja – novi entitet koji već (pre)dugo kuca na vrata fizike!

„Kamen što ga graditelji odbaciše postade kamen zaglavni”

Ø Nakon Cartana postulirao ih je, istražujući složenu dinamiku energije zvijezda, poznati ruski astronom, astrofizičar i vizionar Nikolaj Aleksandrovič Kozirjev Ø Ona još nisu stekla "pravo građanstva" u akademskoj fizici koja ih već više od pola stoljeća uporno ignorira i osporava Ø Stoga su još nedovoljno teorijski obrađena i eksperimentalno su ostala gotovo neistražena

Osobine torzijskih polja Torzijska polja, unatoč njihove neprihvaćenosti u fizici, veoma su rasprostranjena u čitavom makro i mikro svijetu. Bez njih ne bi bilo moguće njihovo složeno i skladno funkcioniranje. Neka od njih mogu dulje vrijeme ili trajno mirovati u prostoru (globalne mreže u geobiologiji, usredotočeno polje u dielektričnim piramidama i stošcima) ili se mogu relativno sporo kretati – EM vrtlozi (kuglaste munje) Ekstremno brza torzijska polja mogu se, kao manje disipativni te mnogo prodorniji valovi od hercijanskih, nepojmljivo brzo rasprostirati na velike udaljenosti – u hiperprostoru nadsvjetlosnim brzinama i do 109 puta većim od (neprekoračive?!) vakuumske brzine svjetlosti!

Što je eksperimentalno dokazao akademik S. M. Korotaev? Ruski akademik S. M. Korotaev je svojim eksperimentima na makroskopskoj razini dokazao fenomen nelokalnosti u kojem se gotovo trenutni prijenos/razmjena informacija hiperdimenzionalnim torzijskim poljem zbiva kolosalnom brzinom neusporedivo većom od svjetlosne. Time je potvrdio od fizičara – pripadnika znanstvene središnjice – prijezirno odbačenu Kozirevljevu hipotezu da se informacije torzijskim poljima prenose/razmjenjuju fantastičnim brzinama koje mogu biti i do milijardu (109) puta veće od za fiziku neprekoračive vakuumske brzine svjetlosti 3∙108 m/s

Promašenost SETI programa Korotaevljevo otkriće da se hiperdimenzionalnim torzijskim poljima informacije mogu prenositi brzinama koje mogu biti i do milijardu puta veće od brzine svjetlosti i TEM valova rječito govori da je sredinom XX. stoljeća pokrenut radioastronomski program sustavnog traganja za TEM radiosignalima izvanzemaljskih civilizacija (SETI) koncepcijski promašen! Zbog kudikamo premalene brzine rasprostiranja TEM valova s obzirom na enormno velike svemirske udaljenosti napredne izvanzemaljske civilizacije za interstelarne komunikacije u realnom vremenu zasigurno koriste ekstremno brza torzijska polja koja radioastronomske antene ne hvataju!

Je li moguć i neki drugi tip EM vala? Unatoč nepostojanju etera, tijekom više od jednog stoljeća nije zamrla ideja da, uz transverzalno titrajući hercijanski TEM val, postoji i neka druga vrsta EM valova u kojima neraskidivo spregnuto dinamičko električno i magnetsko polje na neki način mogu titrati i uzdužno (longitudinalno), dakle duž valne zrake. Empirijska uporišta za takvu smionu vizionarsku pretpostavku bila su: Ø tajnovito polje sila koje se spontano uspostavlja unutar pravilno pozicioniranih dielektričnih piramida i stožaca, Ø telepatija i telekineza te Ø veoma prodorna stacionarna geopatogena polja koja neometano zadiru u naše životne i radne prostore. Ona se ne mogu prigušiti oklapanjem (Faradayev kavez)

Tesla otkriva geostacionarne (longitudinalne) EM valove! Tesla je svojim spektakularnim visokonaponskim istraživačkim eksperimentima u Coloradu Springsu 1899. godine otkrio postojanje dotad fizici nepoznatih geostacionarnih električnih valova koji su po svojoj naravi longitudinalni te su stoga nehercijanski. Njihova se svojstva bitno razlikuju od TEM valova jer se bez prigušenja mogu širiti na velike udaljenosti, a jakost im se čak i pojačava s udaljenošću od emitera! To fascinantno pojačanje bilo je Tesli posve logično. On je, naime, još je u djetinjstvu bio zadivljen ogromnom snagom velike kuglaste nakupine snijega koja se formira kotrljanjem nizbrdo bačene malene grude snijega.

Što o torzijskim poljima i valovima kaže sveznajuća Wikipedija?! (lipanj 2016.) Torsion field (pseudoscience) "A torsion field (also called axion field, spin field, spinor field and microlepton field) is a feature of a pseudoscientific theory of energy in which the quantum spin of particles can be used to cause emanations lacking mass and energy to carry information through vacuum orders of magnitude faster than the speed of light. This theory was a base of a number of various pseudoscientific claims and scams."

Je li to doista tako?!

Koliko zuba ima konj? "evergreen" u svijetu znanosti Prije nekoliko stoljeća u jednom samostanu je postavljeno pitanje o broju konjskih zuba. Žučna rasprava je trajala nekoliko dana, a onda je jedan mladi redovnik zatražio riječ te predložio da odu u staju, konju otvore usta i jednostavno mu prebroje zube. Učena braća redovnici, zgrožena tim krajnje neukim i primitivnim prijedlogom, napali su i premlatili bezbožnika i isključili su ga iz daljnje rasprave. U žestokim raspravama koplja su se lomila još nekoliko mjeseci. Na svjetlo dana bili su izvučeni svi sveti spisi iz bogate samostanske knjižnice. Budući da ni u jednom od njih nije ništa pisalo o broju konjskih zuba učena braća redovnici su napokon zaključila da će to teško pitanje ostati vječna tajna za ljudski rod.

Po čemu se nehercijanski val razlikuje od hercijanskog? Osnovna razlika između hercijanskog TEM vala i nehercijanskog vala je u tome da EM polje nehercijanskog vala titra na složeniji način. EM polje, uz jednostavno transverzalno titranje, može primjerice istovremeno i torzijski titrati oko valne zrake te stoga neminovno inducira i uzdužno titrajuće polje. Takvim složenim titranjem EM polja dobiva se transverzalno-torzijsko-longitudinalni val (TTLEM). Najjednostavniji predstavnik brojne porodice nehercijanskih valova je jednakofrekventni val čije EM polje istovremeno titra transverzalno, torzijski i longitudinalno jednakom frekvencijom f tor= f.

Matematički prikaz vektora EM polja hercijanskog TEM vala Za hercijanski val, čiji vektori EM polja titraju poprečno na valnu zraku, vrijedi izravna funkcijska ovisnost komponenti vektora polja o trima prostornim koordinatama x, y, z neovisnim o vremenu i vremenu t. Vektorsko hercijansko EM polje iskazuje se u pravokutnom sustavu, u općem obliku, preko triju komponenti:

v v v v E(x, y, z, t) = Ex (x, y, z, t) × i + Ey (x, y, z, t) × j + Ez (x, y, z, t) × k v v v v H(x, y, z, t) = Hx (x, y, z, t) × i + Hy (x, y, z, t) × j + Hz (x, y, z, t) × k

Matematički prikaz vektora EM polja općeg nehercijanskog vala Za opći nehercijanski val, čiji vektori EM polja dodatno titraju prema osima koordinatnog sustava, vektori polja općenito se predočuju funkcijama čije su prostorne koordinate x, y, z posredno ovisne o vremenu, a komponente vektora polja su izravno ovisne o vremenu t

v E éë x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , t ùû

,

v H éë x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , t ) ùû

Dinamičke koordinate     lokalnih vektora EM polja nehercijanskog vala su periodičke funkcije vremena i iskazuju dodatno titranje vektora polja promjenom njihova položaja obzirom na koordinatne osi.

Matematički prikaz nehercijanskog polja posredno ovisnog o vremenu Za nehercijansko polje, čije komponente vektora E i H polja nisu izravno ovisni o vremenu, one se općenito predočuju skalarnim funkcijama čije su prostorne koordinate x, y, z posredno ovisne o vremenu t. Stoga vrijedi:

v E éë x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ùû

,

v H éë x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ùû

Dinamičke koordinate     lokalnih vektora EM polja takvog nehercijanskog polja su periodičke funkcije vremena i iskazuju titranje vektora EM polja samo promjenom njihova položaja obzirom na koordinatne osi. U takvom tipu EM polja zbiva se samo kinetička indukcija!

Zoran pristup složenom funkcioniranju torzijskog vala Najlakši način da se zorno sagleda što je te kako načelno funkcionira najjednostavniji, ali funkcionalno veoma složen, nehercijanski torzijski val jest da se hercijanski harmonički ravni (TEM) val frekvencije f u mislima zarotira amo-tamo jednakom frekvencijom (ftor = f) oko valne zrake da bi se potaklo njegova transverzalno titrajuća E i H polja da duž nje istovremeno i torzijski zatitraju uz amplitudu τM [rad] Zatim se, prema zakonitostima elektrodinamike, proanalizira koje implikacije ima takvo složeno titranje EM polja te kako one utječu na funkcioniranje vala?

Pojednostavnjena interpretacija nehercijanskih torzijskih valova

Nehercijanski jednakofrekventni ravni torzijski val

Nastaje ako uzajamno okomiti poprečni vektori E i H polja ravnog TEM vala, koji titraju poprečno na z-os, zatitraju i torzijski oko nje jednakom frekvencijom ftor = f.

Torzijski val vlada se kao složen elementaran elektromagnetski stroj! Torzijski val, koji ima poprečno titrajuće te ujedno torzijski amo-tamo rotirajuće EM polje oko valne zrake, podsjeća na vrlo složen elementaran nematerijalan elektromagnetski stroj. Osobine torzijski rotirajućih vektora E i H njegovog magnetskog i električnog polja su slične ̶ oba ostavljaju trag zbog rotacije u prostoru u vidu kinetički induciranih uzdužnih vektora električnog polja Ez i vektora magnetskog polja Hz koji za ρ > 0 istovremeno i torzijski titraju (rotiraju amo-tamo) oko valne zrake.

Torzijski rotirajući vektori E i H polja i njima uzdužno inducirano Hz i Ez polje

Torzijski rotirajućim vektorima E i H polja kinetički se inducira uzdužno Hz i Ez polje.

Poprečni vektori E i H torzijskog vala Kod torzijskog vala uzajamno okomiti vektori E i H polja, koji sinkrono titraju poprečno na z-os, titraju i torzijski oko nje kružnom frekvencijom ωtor ≠ ω uz amplitudu τM v v Ex ( z, t ) = E ( z, t ) × cost E ( z , t ) H x ( z , t ) = H ( z , t ) × cost H ( z, t ) v v E y ( z , t ) = E ( z , t ) × sin t E ( z , t ) H y ( z , t ) = H ( z , t ) × sin t H ( z , t )

Trenutni lokalni polarizacijski kutovi E i H vektora torzijskog vala Za razliku od jednostavnog TEM vala, u kojem vektori E i H sinkrono titraju u međusobno okomitim polarizacijskim ravninama, kod torzijskog vala nema polarizacijskih ravnina – postoje samo dinamički prostorno-vremenski kontinuirano spiralno raspodijeljeni lokalni polarizacijski pravci poprečnih (radijalnih) komponenti polja Eρ i Hρ okomiti na valnu zraku. Duž nje se kutovi nagiba τE i τH polarizacijskih pravaca tijekom vremena kontinuirano mijenjaju prema izrazima:

t E ( z , t ) = t M × sin (wtor × t - ktor × z ) t H ( z, t ) = t E ( z, t ) + p 2 = t M × sin (wtor ×t - ktor × z ) + p 2

Torzijski val u zornoj interpretaciji inž. Gorana Marjanovića iz Beograda

Kako načelno funkcionira torzijski val? Torzijski titrajući poprečni vektor magnetske indukcije B = μ0·H ravnog TEM vala inducira za ρ > 0 u prostoru oko valne zrake uzdužno električno polje Ez čija vremenska promjena ε0·∂Ez/∂t čini elementarnu uzdužnu gustoću pomačne struje koja oko sebe formira tangencijalno titrajuće magnetsko polje Hφ koje daje povratni moment vektoru B. Ta uzdužna elementarna struja je, po Lenzovom zakonu, tako usmjerena da svojim magnetskim djelovanjem (povratnim momentom) nastoji spriječiti uzrok koji ga izaziva Þ torzijsku rotaciju vektora B.

Složeno titranje induciranih uzdužnih i tangencijalnih komponenti polja

Torzijska rotacija uzdužnog vektora Dz = ε0·Ez oko valne zrake inducira dodatnu radijalnu komponentu magnetskog polja Hρz koja se pribraja na prvotnu radijalnu komponentu magnetskog polja Hρ vektora H.

Kako načelno funkcionira torzijski val? Torzijski titrajući poprečni vektor električnog pomaka D = ε0·E ravnog TEM vala inducira za ρ > 0 u prostoru oko valne zrake uzdužno titrajuće magnetsko polje Hz čija vremenska promjena μ0·∂Hz/∂t inducira oko sebe tangencijalno titrajuće električno polje Eφ koje daje povratni moment vektoru D. Tangencijalno inducirano polje Eφ je tako usmjereno da svojim djelovanjem (povratnim momentom) nastoji spriječiti uzrok koji ga izaziva Þ torzijsku rotaciju poprečnog vektora električnog pomaka D.

Složeno titranje induciranih uzdužnih i tangencijalnih komponenti polja

Torzijska rotacija uzdužnog vektora Bz = μ0·Hz oko valne zrake inducira dodatnu radijalnu komponentu električnog polja Eρz koja se superponira na prvotnu radijalnu komponentu električnog polja Eρ vektora E.

Torzijski val ne proturječi fizici! Provedena razmatranja nedvosmisleno upućuju da je funkcionalno izuzetno složen torzijski val moguć jer se svojim načinom funkcioniranja ne protivi temeljnim zakonima elektrodinamike. Zbog potpune simetrije triju uzajamno spregnutih titranja (poprečnog, torzijskog i uzdužnog) vektora EM polja torzijskog vala nije potrebno jednopolno magnetsko polje. Za uzdužno titranje kinetički induciranih komponenti Ez i Hz polja nije potreban eter jer ih podržava torzijsko titranje poprečnih komponenti Eρ i Hρ te ∂Hφ/∂t i ∂Eφ/∂t.

Mogućnosti modulacije hercijanskog i torzijskog vala Hercijanski val

Torzijski val

Amplitudna

Amplitudna

Frekventna

Frekventna

–

Torzijska amplituda

–

Torzijska frekvencija

Očito je da torzijski valovi imaju daleko veće mogućnosti modulacije i primjene od hercijanskih!

Spiralna formacija EM polja torzijskog vala Zbog istovremenog poprečnog, torzijskog i uzdužnog titranja EM polja ravnog torzijskog vala i njegove propagacije duž valne zrake oba polja su spiralna (spinska). Stoga je za njihovu matematičku interpretaciju najprikladniji cilindrički koordinatni sustav ρ φ z.

Ravni torzijski val u cilindričnom koordinatnom sustavu Trenutni lokalni vektori E i H polja ravnog torzijskog vala, koji dodatno titra tangencijalno i uzdužno, iskazani komponentama u desnom cilindričkom koordinatnom sustavu ρ φ z, općenito uzevši jesu: v v v v E ëé r , j ( t ) , z ( t ) , t ûù = Er × er + Ej × ej + Ez × ez v v v v H éë r , j ( t ) , z ( t ) , t ùû = H r × er + H j × ej + H z × ez Lokalni polarizacijski kutovi radijalnih komponenti Eρ i Hρ EM polja ravnog torzijskog vala, uz ωtor ≠ ω, jesu:

t E ( z , t ) = t M × sin (wtor × t - ktor × z ) , ktor = 2p / ltor t H ( z , t ) = t E ( z , t ) + p 2 = t M × sin (wtor × t - ktor × z ) + p 2

Dogradnja Maxwellovih jednadžbi za nehercijanske valove

Ukupna brzina promjene u vremenu vektora E i H nehercijanskog vala Zbog poprečnog te istovremenog dodatnog torzijskog i uzdužnog titranja vektora E i H polja nehercijanskog vala treba pri računanju polja koja oni induciraju uvažiti ukupnu brzinu njihove promjene u vremenu. Nju čine: Ø vremenska promjena (∂/∂t) vektora polja E i H (poprečno, tangencijalno i uzdužno titranje) te Ø kontinuirana brza promjena položaja vektora E i H u prostoru zbog njihove kinetike. Ukupna brzina promjene u vremenu vektora E i H EM polja nehercijanskog vala jednaka je njihovoj ukupnoj derivaciji po vremenu i simbolički se označava operatorom d/dt.

Klasične i poopćene diferencijalne jednadžbe dinamičkih EM polja Iz prve i druge Maxwellove parcijalne diferencijalne jednadžbe hercijanskih valova i polja, napisanih u danas uobičajenom vektorskom operatorskom obliku, dolazi se do poopćenih jednadžbi za nehercijanske valove i polja tako da se na njihovoj desnoj (indukcijskoj) strani parcijalna derivacija po vremenu (∂/∂t) vektora B i D nadomjesti njihovom ukupnom derivacijom po vremenu (d/dt) u preferiranom koordinatnom sustavu: v v v v v v ¶B ¶H dB dH I. rot E = = - m0 × Þ rot E = = - m0 × dt dt ¶t ¶t v v v v v ¶D v dD ¶E dE II. rot H = = e0 × Þ rot H = = e0 × ¶t ¶t dt dt

Jednadžbe polja općenitog nehercijanskog vala u pravokutnom sustavu Za vektore polja nehercijanskog vala u praznom prostoru iskazane funkcijama posredno i izravno ovisnim o vremenu:

v v v v v D éë x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , t ùû = Dx × i + Dy × j + Dz × k , div D = 0 v v v v v B éë x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , t ùû = Bx × i + By × j + Bz × k , div B = 0

pripadne parcijalne diferencijalne jednadžbe E i H polja općenito jesu:

v v v v v v æ dx ¶H dy ¶H dz ¶H ö dB ¶H rot E = = - m0 × - m0 × ç × + × + × ÷ dt ¶t dt ¶ x dt ¶ y dt ¶ z è ø v v v v v v dD æ dx ¶E dy ¶E dz ¶E ö ¶E rot H = = e0 × + e0 ×ç × + × + × ÷ dt ¶t è dt ¶x dt ¶y dt ¶z ø

Jednadžbe općenitog nehercijanskog polja u pravokutnom sustavu Za vektore nehercijanskog polja u praznom prostoru iskazane funkcijama samo posredno ovisnim o vremenu:

v v v v v D éë x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ùû = Dx × i + Dy × j + Dz × k , div D = 0 v v v v v B éë x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ùû = Bx × i + By × j + Bz × k , div B = 0 pripadne parcijalne diferencijalne jednadžbe E i H polja općenito jesu:

v v v v v æ dx ¶H dy ¶H dz ¶H ö dB rot E = + × + × = - m0 × ç × ÷ dt è dt ¶x dt ¶y dt ¶z ø v v v v v dD æ dx ¶E dy ¶E dz ¶E ö rot H = = e0 × ç × + × + × ÷ dt è dt ¶x dt ¶y dt ¶z ø

Jednadžbe polja općenitog nehercijanskog vala u cilindričkom sustavu Za vektore polja nehercijanskog vala u praznom prostoru iskazane funkcijama posredno i izravno ovisnim o vremenu:

v v v v v D éë r ( t ) , j ( t ) , z ( t ) , t ùû = Dr × er + Dj × ej + Dz × ez , divc D = 0 v v v v v B éë r ( t ) , j ( t ) , z ( t ) , t ùû = Br × er + Bj × ej + Bz × ez , divc B = 0 pripadne parcijalne diferencijalne jednadžbe E i H polja općenito jesu:

v v v v v v æ d r ¶H dj ¶H dz ¶H ö dB ¶H rotc E = - m0 × ç × + × + × = - m0 × ÷ dt ¶t è dt ¶r dt ¶j dt ¶z ø v v v v v v dD æ d r ¶E dj ¶E dz ¶E ö ¶E rotc H = = e0 × + e0 × ç × + × + × ÷ dt ¶t è dt ¶r dt ¶j dt ¶z ø

Jednadžbe općenitog nehercijanskog polja u cilindričkom sustavu Za vektore nehercijanskog polja u praznom prostoru iskazane funkcijama samo posredno ovisnim o vremenu:

v v v v v D ëé r ( t ) , j ( t ) , z ( t ) ûù = Dr × er + Dj × ej + Dz × ez , divc D = 0 v v v v v B éë r ( t ) , j ( t ) , z ( t ) ùû = Br × er + Bj × ej + Bz × ez , divc B = 0 pripadne parcijalne diferencijalne jednadžbe E i H polja općenito jesu:

v v v v v æ d r ¶H dj ¶H dz ¶H ö dB rotc E = = - m0 × ç × + × + × ÷ dt è dt ¶r dt ¶j dt ¶z ø v v v v v dD æ d r ¶E dj ¶E dz ¶E ö rotc H = = e0 ×ç × + × + × ÷ dt è dt ¶r dt ¶j dt ¶z ø

Jednadžbe polja općenitog nehercijanskog vala u sfernom sustavu Za vektore polja nehercijanskog vala u praznom prostoru iskazane funkcijama posredno i izravno ovisnim o vremenu:

v v v v v D éë r ( t ) , J ( t ) , j ( t ) , t ùû = Dr × er + DJ × eJ + Dj × ej , divs D = 0 v v v v v B éë r ( t ) , J ( t ) , j ( t ) , t ùû = Br × er + BJ × eJ + Bj × ej , divs B = 0 pripadne parcijalne diferencijalne jednadžbe E i H polja općenito jesu:

v v v v v v æ dr ¶H dJ ¶H dj ¶H ö dB ¶H rots E = = - m0 × - m0 × ç × + × + × ÷ ¶t dt dt ¶ r dt ¶ J dt ¶ j è ø v v v v v v dD æ dr ¶E dJ ¶E dj ¶E ö ¶E = e0 × rots H = + e0 × ç × + × + × ÷ dt ¶t è dt ¶r dt ¶J dt ¶j ø

Jednadžbe općenitog nehercijanskog polja u sfernom sustavu Za vektore nehercijanskog polja u praznom prostoru iskazane funkcijama samo posredno ovisnim o vremenu:

v v v v v D éë r ( t ) , J ( t ) , j ( t ) ùû = Dr × er + DJ × eJ + Dj × ej , divs D = 0 v v v v v B éë r ( t ) , J ( t ) , j ( t ) ùû = Br × er + BJ × eJ + Bj × ej , divs B = 0 pripadne parcijalne diferencijalne jednadžbe E i H polja općenito jesu:

v v v v v æ dr ¶H dJ ¶H dj ¶H ö dB rots E = = - m0 × ç × + × + × ÷ dt dt ¶ r dt ¶ J dt ¶ j è ø v v v v v dD æ dr ¶E dJ ¶E dj ¶E ö rots H = = e0 × ç × + × + × ÷ dt è dt ¶r dt ¶J dt ¶j ø

Opće jednadžbe nehercijanskog vala/polja u izotropnom sredstvu Za vektore D i B nehercijanskog vala/polja u izotropnom neferoelektričnom i neferomagnetskom homogenom sredstvu električne vodljivosti ϰ parcijalne diferencijalne jednadžbe napisane u sažetom vektoriziranom operatorskom obliku, u preferiranom koordinatnom sustavu, općenito jesu:

v v v v v dB dH rot E = = - m0 × mr × , div B = div ( m0 × m r × H ) = 0 dt dt v v v v v v v D dD dE rot H = k × + = k × E + e0 ×er × , div D = div ( e 0 × e r × E ) = r e 0 dt dt

Doseg poopćenih jednadžbi EM polja Ukupnom derivacijom po vremenu poopćene diferencijalne jednadžbe EM polja pokrivaju sva hercijanska i nehercijanska polja u praznom prostoru te u izotropnim homogenim sredstvima. One upućuju da je hercijanski TEM val tek jedan od mogućih EM valova te da, osim njega, postoji još velika neistražena porodica nehercijanskih valova i polja vjerojatno daleko većih mogućnosti primjene. Hercijanski TEM val je granična verzija nehercijanskog vala bez torzije (τM = 0 rad). On je strukturno i funkcionalno najjednostavniji, ali ne i najbolji za prijenos signala u bežičnim telekomunikacijama. Zbog izrazite disipativnosti posebice nije pogodan za prijenos energije na iole veće udaljenosti.

Prostorna gustoća energije EM polja nehercijanskog vala Ukupna trenutna lokalna prostorna gustoća pohranjene energije EM polja nehercijanskog vala u praznom prostoru, koji je općenito uzevši polifrekventan, iznosi:

wEM

e0 m0 2 2 2 2 2 2 = × å Er + Ej + Ez + × å H r + H j + H z i 2 i 2 i

(

)

(

)

i

Članovi u zagradama su trenutne vrijednosti lokalnih komponenti pojedinih harmonika E i H polja na promatranoj poziciji. Valja uočiti da u nehercijanskom valu, za razliku od TEM vala, postoji i znatna dodatna akumulacija energije u tangencijalnim (φ) i uzdužnim (z) komponentama oba polja.

Poyntingov vektor nehercijanskog vala Budući da je nehercijanski val, općenito uzevši, poliili multifrekventan fenomen njegov rezultantni trenutni → lokalni Poyntingov vektor S jednak je vektorskom produktu zbroja trenutnih lokalnih vektora svih harmonika E i H polja: v v v er ej ez v v v æ ö æ ö S ( r , j , z , t ) = ç å Ei ( t ) ÷ ´ ç å H i ( t ) ÷ = å Eri å Eji å Ezi = è i ø è i ø å H ri å Hji å H zi v v v = S r ( r , j , z , t ) × er + Sj ( r , j , z , t ) × ef + S z ( r , j , z , t ) × ez

Ostaje otvoreno pitanje kako nehercijanski val, koji ima sve tri komponente Poyntingova vektora, prenosi energiju duž valne zrake, kolika je njezina disipacija i što ju određuje?

Maxwellova elektrodinamika još nije dovršena zgrada! Neupitno postojanje i velika rasprostranjenost nehercijanskih polja i valova posvuda oko nas nalaže neodložno kritičko preispitivanje i nadogradnju vektorizacijom degradirane klasične elektrodinamike na mnogo općenitiju i dalekosežniju verzorsku elektrodinamiku baziranu na kvaternionima (dugo očekivani "povratak kući"), koja bi, uz hercijanska polja i valove, obuhvaćala strukturno i funkcionalno znatno složenija nehercijanska polja i valove. Elektrodinamika nehercijanskih polja i valova je veoma perspektivno područje istraživanja koje predstoji u fizici i teoretskoj elektrotehnici. Ono u početnoj fazi ne iziskuje gotovo nikakva novčana ni materijalna sredstva.

Istraživanje svojstava i rješenja dopunjenih Maxwellovih jednadžbi Budući da prva i druga dopunjena Maxwellova parcijalna diferencijalna jednadžba za nehercijanske valove i polja na desnoj (indukcijskoj) strani sadrže znatno više članova nego naizgled jednostavne izvorne jednadžbe to dramatično otežava njihovo rješavanje. Stoga valja s matematičkog aspekta pobliže ispitati temeljna svojstva dopunjenih Maxwellovih jednadžbi te iznaći koje klase funkcija ih zadovoljavaju kao rješenja za nehercijanske valove i polja. Posebno bi bilo zanimljivo iznaći valne jednadžbe električnog i magnetskog polja nehercijanskih valova i polja u kojima se, kao koeficijent, krije brzina njihovog širenja.

Matematičko modeliranje nehercijanskih valova i polja Budući da su nehercijanski valovi i polja po svojem ustrojstvu i načinu funkcioniranja vrlo složen fizikalan fenomen bilo bi ih korisno matematički modelirati u sofisticiranim analitičkim alatima s moćnim računalnim i grafičkim mogućnostima poput MathCAD-a, MATLAB-a itd. te na taj način preliminarno ispitati njihovo vladanje. Posebno važno bilo bi određivanje njihove brzine širenja praznim prostorom te provjera je li, i uz koje uvjete, moguć stabilan dvofrekventan nehercijanski val kod kojeg se frekvencija torzijskog titranja vektora EM polja razlikuje od frekvencije njihovog poprečnog titranja (ftor ≠ f).

Mogućnosti pridobivanja nehercijanskih valova te mjerenje njihove jakosti polja, torzijske amplitude i frekvencije Budući da su nehercijanski valovi i polja osebujan te znanstveno još neistraženi fizikalni entiteti potrebno je iznaći načine njihova pridobivanja, emitiranja i prijema. (skalarna elektronika i pripadne primopredajne antene). Za mjerenje jakosti njihovog složenog električnog i magnetskog polja, a posebice za veoma zahtjevno mjerenje frekvencije ftor i amplitude τM torzijskog titranja vektora EM polja, treba iznaći i razraditi odgovarajuće metode mjerenja te za to razviti prikladnu mjernu opremu.

Nehercijanski valovi i polja u kvantnoj elektrodinamici Makroskopske kontinuirane nehercijanske valove i polja bilo bi veoma zanimljivo "spustiti" na razinu kvantne (stohastičke) elektrodinamike i odgovarajuće ju razraditi (kvantiziranost i nasumičnost torzije) da bi se i s tog aspekta sagledalo moguće implikacije na postojeći koncept temeljne dinamike kvantnog vakuuma. Također bi trebalo istražiti kako izgleda kvant nehercijanskog vala?

Dodatak - Matematički dio

Kvaternioni – hiperkompleksni brojevi Kvaternioni su hiperkompleksni brojevi koji uz realni dio (skalar) sadrže i trostruki imaginarni dio (3D vektor). Opći oblik kvaterniona je: q = a + b·i + c·j + d·k U njemu su a, b, c, d realni brojevi, a i, j, k su međusobno okomiti Hamiltonovi jedinični vektori triju imaginarnih jedinica dobivenih iz -1. U unaprijeđenim jednadžbama dinamičkih EM polja iz 1873. godine Maxwell je definirao sve verzore polja kao kvaternione bez realnog dijela (a = 0, b·i + c·j + d·k ≠ 0), a skalarne veličine (naboje, potencijale) kvaternionima bez imaginarnog dijela (a ≠ 0, b = c = d = 0).

Prednosti kvaternionske algebre Kvaternionska algebra, u odnosu na znatno jednostavniju vektorsku algebru, ima sljedeće prednosti: Ø lakše se izvodi množenje i rotacija verzora u prostoru jer se te računske operacije zasnivaju na Eulerovoj formuli eiφ = cosφ + i∙sinφ (množenje modula i zbrajanje argumenata) Ø definiran je inverzni kvaternion što omogućuje dijeljenje kvaterniona p i q (lijevi ili desni produkt kvaterniona p s inverznim kvaternionom q-1 → q-1·p ili p·q-1) Suvremena računalna tehnika i napredni algoritmi omogućuju lako i brzo računanje s kvaternionima pa bi stog aspekta valjalo ispitati opravdanost na njihov povratak u Maxwellove jednadžbe – posebice u teorijskoj fizici.

Koordinate i jedinični vektori desnog pravokutnog sustava

x – apscisa y – ordinata z – aplikata r – radijvektor →

→

→

→

r = x·i + y·j + z·k

Diferenciranje po vremenu triju tipova funkcija vektorskih polja Ukupna derivacija po vremenu za tri osnovna tipa vektorskih polja određuje se po pravilima diferenciranja funkcija više varijabli, ovisno o strukturi funkcija kojom se iskazuju njihove komponente Fx, Fy, Fz

v d v ¶F × F ( x, y , z , t ) = ® hercijansko polje dt ¶t v v v v d v ¶F dx ¶F dy ¶F dz ¶F × F [ x(t ), y (t ), z (t ), t ] = × + × + × + dt ¶x dt ¶y dt ¶z dt ¶t v v v d v ¶F dx ¶F dy ¶F dz × F [ x(t ), y (t ), z (t ) ] = × + × + × dt ¶x dt ¶y dt ¶z dt

Ukupna derivacija vektorskog polja po vremenu u pravokutnom sustavu →

→

Neka je V[r(t), t] = V[x(t), y(t), z(t), t] vektorsko polje definirano u desnom pravokutnom koordinatnom sustavu x y z skalarnim komponentama Vx,Vy,Vz čije su koordinate x(t), y(t), z(t), kao i komponente polja, ovisne o vremenu t. Za tako definirano vektorsko polje →

→

→

→

V(x,y,z,t) = Vx(x,y,z,t)·i + Vy(x,y,z,t)·j + Vz(x,y,z,t)·k ukupna derivacija po vremenu određena je složenim diferencijalnim izrazom napisanim u operatorskom obliku

v v v v v dV ¶V dx ¶V dy ¶V dz ¶V = + × + × + × dt ¶t dt ¶x dt ¶y dt ¶z

Ukupna derivacija po vremenu vektora E i H nehercijanskog vala Sukladno tome ukupna derivacija po vremenu vektora E i H nehercijanskog vala u desnom pravokutnom koordinatnom sustavu x y z određena je vektorskim diferencijalnim izrazima u općem obliku:

v v v v v dE ¶E dx ¶E dy ¶E dz ¶E = + × + × + × dt ¶t dt ¶x dt ¶y dt ¶z v v v v v dH ¶H dx ¶H dy ¶H dz ¶H = + × + × + × dt ¶t dt ¶x dt ¶y dt ¶z

Koordinate i jedinični vektori cilindričkog sustava ρ – radijalna udaljenost točke T od z-osi φ – polarni kut z – aplikata v v v er (j ) = cos j × i + sin j × j v v v ej (j ) = - sin j × i + co s j × j v v v i = cos j × er - sin j × ej v v v j = sin j × er + cos j × ej

Ukupna derivacija vektorskog polja po vremenu u cilindričkom sustavu →

Neka je V[ρ(t), φ(t), z(t), t] vektorsko polje definirano u desnom cilindričkom koordinatnom sustavu ρ φ z skalarnim komponentama Vρ,Vφ,Vz čije su koordinate ρ(t), φ(t), z(t), kao i komponente polja, ovisne o vremenu t. Za tako definirano vektorsko polje →

→ → → V(ρ,φ,z,t) = Vρ(ρ,φ,z,t)·eρ + Vφ(ρ,φ,z,t)·eφ + Vz(ρ,φ,z,t)·k

ukupna derivacija po vremenu određena je složenim diferencijalnim izrazom napisanim u operatorskom obliku

v v v v v dV ¶V d r ¶V dj ¶V dz ¶V = + × + × + × dt ¶t dt ¶r dt ¶j dt ¶z

Ukupna derivacija po vremenu vektora E i H nehercijanskog vala Sukladno tome ukupna derivacija po vremenu vektora E i H nehercijanskog vala u desnom cilindričkom koordinatnom sustavu ρ φ z određena je vektorskim diferencijalnim izrazima u općem obliku:

v v v v v dE ¶E d r ¶E dj ¶E dz ¶E = + × + × + × dt ¶t dt ¶r dt ¶j dt ¶z v v v v v dH ¶H d r ¶H dj ¶H dz ¶H = + × + × + × dt ¶t dt ¶r dt ¶j dt ¶z

Ukupna derivacija vektorskog polja po vremenu u sfernom sustavu →

Neka je V[r(t), ϑ(t), φ(t), t] vektorsko polje definirano u sfernom koordinatnom sustavu r ϑ φ komponentama Vr,Vϑ,Vφ čije su koordinate, kao i komponente polja, ovisne o vremenu t. Za tako definirano vektorsko polje →

→

→

→

V(r,ϑ,φ,t) = Vr(r,ϑ,φ,t)·er + Vϑ(r,ϑ,φ,t)·eϑ + Vφ(r,ϑ,φ,t)·eφ ukupna derivacija po vremenu određena je složenim diferencijalnim izrazom napisanim u operatorskom obliku

v v v v v dV ¶V dr ¶V dJ ¶V dj ¶V = + × + × + × dt ¶t dt ¶r dt ¶J dt ¶j

Ukupna derivacija po vremenu vektora E i H nehercijanskog vala Sukladno tome ukupna derivacija po vremenu vektora E i H nehercijanskog vala u desnom sfernom koordinatnom sustavu r ϑ φ određena je vektorskim diferencijalnim izrazima u općem obliku:

v v v v v dE ¶E dr ¶E dJ ¶E dj ¶E = + × + × + × dt ¶t dt ¶r dt ¶J dt ¶j

v v v v v dH ¶H dr ¶H dJ ¶H dj ¶H = + × + × + × dt ¶t dt ¶r dt ¶J dt ¶j

Osobine jediničnih vektora cilindričkog i sfernog koordinatnog sustava Pri diferenciranju vektora E i H nehercijanskog vala ili polja po dinamičkoj koordinati φ cilindričkog koordinatnog sustava treba uvažiti da pri prijelazu iz jedne → → točke u drugu lokalni jedinični vektori eρ i eφ, za razliku od → → fiksnog osnog jediničnog vektora ez = k, neprestance mijenjaju smjer zbog torzijskog titranja vektora polja, ali pri tom svi uvijek ostaju međusobno okomiti. → → → Isto vrijedi i za lokalne jedinične vektore er, eϑ i eφ sfernog koordinatnog sustava koji, zbog torzijskog i uzdužnog titranja vektora EM polja, imaju parcijalne derivacije po kutnim koordinatama ϑ i φ.

Derivacije lokalnih jediničnih vektora cilindričkog koordinatnog sustava → → → Lokalne jedinične vektore eρ, eφ, ez cilindričkog i → → → fiksne jedinične vektore i, j, k pravokutnog koordinatnog sustava x y z povezuju vektorski izrazi:

v v v v v v v v er (j ) = cos j × i + sin j × j , ej (j ) = - sin j × i + co s j × j , ez = k v v v d v × er (j ) = - sin j × i + cos j × j = ej dj v v d v v × ej (j ) = - cos j × i - sin j × j = -er dj → vektora eρ

→ i eφ po

Derivacije jediničnih koordinatama ρ i z , kao i derivacije fiksnog jediničnog osnog vektora → → ez = k po koordinatama ρ, z i φ, su nulvektori!

Parcijalna derivacija vektorskog polja u cilindričkom sustavu po kutu φ →

Za vektorsko polje V(ρ,φ,z) definirano u cilindričkom koordinatnom sustavu skalarnim komponentama Vρ,Vφ,Vz →

→

→

→

V(ρ,φ,z) = Vρ(ρ,φ,z)·eρ + Vφ(ρ,φ,z)·eφ + Vz(ρ,φ,z)·ez parcijalna derivacija po polarnom kutu φ određuje se ovako: v ¶Vz v ¶V ¶ ¶ v v = Vr × er ) + Vj × ej ) + × ez = ( ( ¶j ¶j ¶j ¶j v v ¶Vr v ¶er ¶Vj v ¶ej ¶Vz v = × er + Vr × + × ej + Vj × + × ez = ¶j ¶j ¶j ¶j ¶j { { v ej

¶Vj æ ¶Vr ö v æ =ç - Vj ÷ × er + ç Vr + ¶j è ¶j ø è

v - er

ö v ¶Vz v × ez ÷ × ej + ¶j ø

Lokalni jedinični vektori sfernog koordinatnog sustava Varijabilne lokalne jedinične vektore → er, → eφ, → eϑ →→ → sfernog i fiksne jedinične vektore i, j, k pravokutnog koordinatnog sustava x y z povezuju vektorski izrazi: v v v v er (j , J ) = cos j × sin J × i + sin j × sin J × j + cos J × k v v v v eJ (j , J ) = cos j × cos J × i + sin j × cos J × j - sin J × k v v v ej (j ) = - sin j × i + co s j × j v v v v i = cos j × sin J × er - sin j × ej + cos j × cos J × eJ v v v v j = sin j × sin J × er + cos j × ej + sin j × cos J × eJ v v v k = cos J × er - sin J × eJ

Derivacije

→ → → er, eϑ, eφ

po sfernim kutnim koordinatama ϑ i φ jesu:

Derivacije lokalnih jediničnih vektora sfernog koordinatnog sustava po ϑ i φ v v ¶ v v × er (j ,J ) = - sin j × sin J × i + cos j × sin J × j = sin J × ej ¶j v v ¶ v v × eJ (j , J ) = - sin j × cos J × i + cos j × cos J × j = cos J × ej ¶j v v ¶ v v v × ej (j ) = - cos j × i - sin j × j = - sin J × er - cos J × eJ ¶j v v v v ¶ v × er (j ,J ) = cos j × cos J × i + sin j × cos J × j - sin J × k = eJ ¶J v v v ¶ v v × eJ (j ,J ) = - cos j × sin J × i - sin j × sin J × j - cos J × k = -er ¶J v v ¶ev v v ¶ e ¶ v ¶er j J × ej (j ) = 0 , = = =0 ¶J ¶r ¶r ¶r

Parcijalna derivacija vektorskog polja u sfernom sustavu po koordinati r →

Za vektorsko polje V(r,ϑ,φ) definirano u sfernom koordinatnom sustavu skalarnim komponentama Vr,Vϑ,Vφ →

→

→

→

V(r,ϑ,φ) = Vr(r,ϑ,φ)·er + Vϑ(r,ϑ,φ)·eϑ + Vφ(r,ϑ,φ)·eφ parcijalna derivacija po koordinati r određuje se ovako:

v ¶V ¶ ¶ ¶ v v v = (Vr × er ) + (VJ × eJ ) + (Vj × ej ) = ¶r ¶r ¶r ¶r v v ¶V v ¶ej ¶eJ ¶Vr v ¶er ¶VJ v j v = × er + Vr × + × eJ + VJ × + × ej + Vj × = ¶r ¶r ¶r ¶r ¶r ¶r { { { 0

¶Vr v ¶VJ v ¶Vj v = × er + × eJ + × ej ¶r ¶r ¶r

0

0

Parcijalna derivacija vektorskog polja u sfernom sustavu po azimutu ϑ →

Za vektorsko polje V(r,ϑ,φ) definirano skalarnim komponentama Vr,Vϑ,Vφ u sfernom koordinatnom sustavu →

→

→

→

V(r,ϑ,φ) = Vr(r,ϑ,φ)·er + Vϑ(r,ϑ,φ)·eϑ + Vφ(r,ϑ,φ)·eφ parcijalna derivacija po azimutu ϑ određuje se ovako:

v ¶V ¶ ¶ ¶ v v v = (Vr × er ) + (VJ × eJ ) + (Vj × ej ) = ¶J ¶J ¶J ¶J v v ¶V v ¶ e ¶eJ ¶Vr v ¶er ¶VJ v v = × er + Vr × + × eJ + VJ × + j × ej + Vj × j = ¶J ¶J ¶J ¶J ¶J ¶J { { { v eJ

v - er

ö v ¶Vj v æ ¶Vr ö v æ ¶VJ =ç - VJ ÷ × er + ç + Vr ÷ × eJ + × ej ¶J è ¶J ø è ¶J ø

0

Parcijalna derivacija vektorskog polja u sfernom sustavu po kutu φ →

Za vektorsko polje V(r,ϑ,φ) definirano u sfernom koordinatnom sustavu skalarnim komponentama Vr,Vϑ,Vφ →

→

→

V(r,ϑ,φ) = Vr(r,ϑ,φ)·er + Vϑ(r,ϑ,φ)·eϑ + Vφ(r,ϑ,φ)·e→φ parcijalna derivacija po polarnom kutu φ određuje se ovako:

v ¶V ¶ ¶ ¶ v v = (Vr × er ) + (VJ × eJ ) + (Vj × evj ) = ¶j ¶j ¶j ¶j v v ¶Vj v ¶ V ¶ e ¶Vr v ¶er J v J = × er + Vr × + × eJ + VJ × + × ej + Vj × ¶j ¶j ¶j ¶j ¶j { { v v sin J ×ej

cosJ ×ej

v ¶ej ¶j { v

=

v - sin J ×er - cosJ ×eJ

ö v æ ¶Vr ö v æ ¶VJ ö v æ ¶Vj =ç - sin J ×Vj ÷ × er + ç - cos J ×Vj ÷ × eJ + ç + sin J ×Vr + cos J ×VJ ÷ × ej è ¶j ø è ¶j ø è ¶j ø

Parcijalne derivacije po vremenu vektora E i H nehercijanskog vala Parcijalne derivacije po vremenu za vektore E i H EM polja općeg nehercijanskog vala, iskazane komponentama u cilindričkim koordinatama, općenito jesu:

v ¶E ¶Er v ¶Ej v ¶Ez v = × er + × ej + × ez ¶t ¶t ¶t ¶t v ¶H ¶H r v ¶Hj v ¶H z v = × er + × ej + × ez ¶t ¶t ¶t ¶t

Divergencija vektora D i B polja nehercijanskog vala u cilindričkom sustavu Budući da su električno i magnetsko polje ravnog nehercijanskog vala u praznom prostoru podalje od emitera (z > 5∙λ) bezizvorna polja za njih, uz ρ > 0, vrijedi: v v 1 é ¶ ¶Dj ù ¶Dz div D = Ñ c × D = × ê ( r × Dr ) + + =0 ú r ë ¶r ¶j û ¶z v v 1 é ¶ ¶Bj ù ¶Bz div B = Ñ c × B = × ê ( r × Br ) + + m0 × =0 ú r ë ¶r ¶j û ¶z

1 ¶Dj ¶Dz + + × + =0 r ¶r r ¶j ¶z

Dr

¶ Dr

1 ¶Bj ¶Bz + + × + =0 r ¶r r ¶j ¶z

Br

¶Br

Parcijalne derivacije vektora E neherc. vala po koordinatama ρ, φ i z v ¶E ¶Er v ¶Ej v ¶Ez v = × er + × ej + × ez ¶r ¶r ¶r ¶r

v ¶Ez v ¶E ¶ ¶ v v = Er × er ) + Ej × ej ) + × ez = ( ( ¶j ¶j ¶j ¶j æ ¶Er ö v æ ¶Ej ö v ¶Ez v =ç - Ej ÷ × er + ç + Er ÷ × ej + × ez ¶j è ¶j ø è ¶j ø v ¶E ¶Er v ¶Ej v ¶Ez v = × er + × ej + × ez ¶z ¶z ¶z ¶z

Parcijalne derivacije vektora H neherc. vala po koordinatama ρ, φ i z v ¶H ¶H r v ¶Hj v ¶H z v = × er + × ej + × ez ¶r ¶r ¶r ¶r

v ¶H z v ¶H ¶ ¶ v v = × ez = H r × er ) + Hj × ej ) + ( ( ¶j ¶j ¶j ¶j æ ¶H r ö v æ ¶H j ö v ¶H z v =ç - H j ÷ × er + ç + H r ÷ × ej + × ez ¶j è ¶j ø è ¶j ø v ¶H ¶H r v ¶Hj v ¶H z v = × er + × ej + × ez ¶z ¶z ¶z ¶z

Rotacija vektorskog polja u cilindričkim koordinatama →

Za vektorsko polje V(ρ, φ, z) iskazano trima komponentama u cilindričkom koordinatnom sustavu → → njegova rotacija rotc V = Ñc×V određuje se prema izrazu v er v 1 ¶ Ñc ´V = × r ¶r Vr

v r × ej ¶ ¶j r ×Vj

v ez ¶ v er ¶ = × ¶j ¶z r r × Vj Vz

¶ ¶ ¶z + evj × ¶z Vz Vz

¶ v ¶ e ¶r + z × ¶r r Vr Vr

v æ 1 ¶Vz ¶Vj ö v ¶Vr æ ¶Vr ¶Vz ö v é 1 æ Ñc ´V = ç × ÷ × er + × ç ÷ × ej + ê × ç Vj ¶z ø ¶r ø ¶j è r ¶j è ¶z ër è

¶ ¶j r × Vj

ö ¶Vj ù v ú × ez ÷+ ø ¶r û

Rotacija vektora E nehercijanskog vala/polja u cilindričkom sustavu v v v v v v v v rot E = Ñ ´ E = ( rot E ) × e + ( rot E ) × e + ( rot E ) × e c

c

c

r

r

c

j

j

c

z

z

Komponente rotacije vektora E jakosti električnog polja u smjeru lokalnih jediničnih vektora → eρ, → eφ, → ez jesu:

v 1 ¶Ez ¶Ej ( rotc E )r = r × ¶j - ¶z v ¶Er ¶Ez ( rotc E )j = ¶z - ¶r v ¶Er ù 1 æ ¶Er 1 é ¶ ( rotc E ) z = r × ê ¶r × ( r × Ej ) - ¶j ú = r × ç Ej - ¶j ë û è

ö ¶Ej ÷+ ø ¶r

Rotacija vektora H nehercijanskog vala/polja u cilindričkom sustavu v v v v v v v v rot H = Ñ ´ H = ( rot H ) × e + ( rot H ) × e + ( rot H ) × e c

c

c

r

r

c

j

j

c

z

z

Komponente rotacije vektora H jakosti magnetskog → → polja u smjeru lokalnih jediničnih vektora → eρ, eφ, ez jesu:

v 1 ¶H z ¶H j ( rotc H )r = r × ¶j - ¶z v ¶H r ¶H z ( rotc H )j = ¶z - ¶r v ¶H r ù 1 æ ¶H r 1 é ¶ ( rotc H )z = r × ê ¶r × ( r × Hj ) - ¶j ú = r × ç Hj - ¶j ë û è

ö ¶H j ÷+ ø ¶r

U pogledu postojanja nehercijanskih geostacionarnih električnih valova Tesla je očito bio u pravu!