navegación astronómica - luis mederos

Introducción a la Navegación Astronómica

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Cómo utilizar este documento 1. Navegando a través del documento. La pantalla aparece dividida en cuatro zonas (frames). La de la izquierda muestra el Indice. Pinchando sobre caulquiera de sus apartados irás directamente a la sección elegida que aparecerá en el frame principal (este que estás leyendo). En la parte superior se encuentra un frame con botones para ir hacia adelante, atrás o arriba. Si pulsas sobre la palabra Expandir que se encuentra a la derecha ocultarás el índice, dejando más espacio al frame principal. Podrás recuperar el índice pulsando el botón correspondiente. Finalmente, el frame de la parte inferior mostrará las notas a pie de página. Cuando en el texto principal aparezca una de estas notas no tienes más que pinchar sobre ella para leer su contenido en el frame inferior. 2. Figuras. El documento contiene bastantes figuras. A menudo es necesario referirse a una figura que se encuentra lejos de la zona de texto que se está leyendo en ese momento. En estos casos se hace referencia a ella en el texto con un botón así . Pinchando sobre él obtendrás una nueva ventana con la figura correspondiente, sin perder el texto que se está leyendo (seguirá mostrado en el frame principal). Esta ventana se cerrará automáticamente en cuanto pulses con el ratón en cualquier lugar de la pantalla. De esta forma pudes ver las figuras en el momento necesario sin que se te llene la pantalla de ventanas y sin perder de vista lo que estás leyendo. Haz una prueba pinchando en el botón anterior. el curso contiene páginas interactivas que facilitan 3. Zonas Interactivas. Señalizadas con una considerablemente el estudio de los distintos conceptos. Cada una de estas zonas cuenta con sus propias instrucciones de utilización. 4. Material necesario. El curso contiene numerosos EJEMPLOS repartidos por sus capítulos e indicados en color rojo. Muchos de ellos necesitan datos del Almanaque Náutico de diferentes años. Se han incluido figuras con las páginas necesarias de esta publicación. Puedes bajarte esas figuras e imprimirlas, o puedes tomar los datos de la pantalla. En cualquier caso, el Almanaque Náutico es la publicación básica para la práctica de la Navegación Astronómica, de forma que debes adquirirlo si esta es tu afición. Otro material necesario será: Lápiz, goma, transportador, regla, compás de dibujo, papel cuadriculado (o papel milimetrado) y calculadora con funciones trigonométricas básicas.

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© L. Mederos.

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Ultima actualización: 9 de Enero de 2006.

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09/01/2006

Contenido

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Contenido Contenido Introducción Trigonometría Trigonometría plana. Trigonometría esférica. Esfera Celeste Esfera Celeste: Líneas y puntos principales. Líneas respecto a un astro. Coordenadas celestes de los astros Coordenadas horizontales o azimutales. Coordenadas horarias. Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco. Coordenadas uranográficas ecuatoriales. Relación entre las distintas coordenadas que se miden en el Ecuador. Órbita que describe la Tierra alrededor del Sol. Zonas. Climas. Estaciones. Triángulo de posición Triángulo de posición: Sus elementos. Resolución analítica del triángulo de posición. Conocida la latitud del observador y el horario y declinación del astro, hallar su altura y azimut. Conocida la latitud del observador y la altura y azimut del astro, hallar su horario y declinación y reconocer el astro. Caso particular: Astro en el meridiano del observador. Medida del tiempo. Almanaque Náutico. Sextante La medida del tiempo. El Almanaque Náutico. Cálculo del horario en Greenwich y la declinación del Sol, la Luna, Aries y los planetas en un instante de TU dado. Cálculo del horario en Greenwich y la declinación de las estrellas en un instante de TU dado. Cálculo de la hora de paso de los astros por el meridiano de un lugar. Cálculo de la hora de salida y puesta del Sol y la Luna. Crepúsculos. El sextante. Correcciones a aplicar a las alturas observadas. Correcciones a aplicar a la altura observada de un astro. Tablas de correcciones de alturas del Almanaque Náutico. Cómo efectuar correctamente la medición de la altura con el sextante. Rectas de altura y navegación astronómica Círculo de alturas iguales. Recta de altura. Cartas Mercátor en blanco. Cómo fabricarse una carta. Un ejemplo práctico. Situación por rectas de altura. Rectas de altura no simultáneas. Bisectriz de altura. Situación por bisectrices de altura. Cálculo de la situación mediante observaciones del Sol. Caso particular: Situación por altura meridiana del Sol. Caso particular: Latitud por altura de la Polar. Apéndice I. La Luna Movimientos propios de la Luna. Periodo sidéreo. Fases de la Luna. Periodo sinódico. Edad de la Luna. Apéndice II. Estrellas Magnitud estelar. Constelaciones. Apéndice III. Cartas Mercátor. Cálculos de estima Cartas Mercátor. Cálculos de estima. Apéndice IV. Cinemática Apéndice V. Coeficiente pagel

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Introducción

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Introducción La Navegación Astronómica es un arte que, lamentablemente, se está perdiendo a manos de las técnicas modernas de Navegación Electrónica. Las cartas electrónicas, el plotter, el piloto automático conectado al GPS que es capaz de pilotar el barco entre dos puntos cualquiera sin intervención humana, etc. han conseguido que un sextante parezca un instrumento antediluviano y, lo que es peor, ¡es bastante más caro que un GPS! Para agravar aún más las cosas, practicar la Navegación Astronómica con garantías requiere estudiar (aunque no demasiado) para sólo conseguir con ella corregir nuestra situación de estima. Por el contrario, un GPS que aprendemos a manejar en media hora nos dirá, con una precisión digna de cirujano, nuestra situación en cualquier momento (y muchas más cosas) con solo apretar un botón. ¿Para qué, entonces, molestarse en aprender Navegación Astronómica?. Pues están todas esas razones que aducen los libros serios sobre esta materia: Como seguridad adicional porque te puede sacar de un apuro si te falla el GPS, porque, con un poco de habilidad y conocimientos, puedes utilizarla incluso en situaciones tan desesperadas como la de supervivencia en una balsa salvavidadas, porque es la asignatura más difícil para obtener el título de Capitán de Yate, etc., etc. Sin embargo, yo prefiero otra razón. Al menos, es la que me ha empujado a dedicarle últimamente cierto tiempo (bastante) a este tema y me ha animado a escribir estas notas: La Navegación Astronómica es, sobre todo, divertida. No esperes encontrar aquí recetas rápidas del estilo cómo hacerlo sin saber lo que hago. Mi todavía modesta experiencia en este campo es, sin embargo, suficiente para poder afirmar que esa manera de aprender esta materia (y, en mi opinión, cualquier otra) no conduce a nada positivo: Unos pocos meses después de finalizado el curso, el flamante Capitán de Yate no recuerda cuál es el tipeo necesario para resolver el problema de determinar su latitud por la altura meridiana del Sol. Yo prefiero ir mucho más despacio y aprender el por qué de cada cosa. Al fin y al cabo, puesto que se trata de una diversión, mejor cuanto más dure, ¿no?. Así que ya sabes: Si esperas aprender a utilizar un sextante en una tarde dedicada a leer estas páginas, mejor cómprate un GPS. Es mucho más fácil y más barato, pero también es infinitamente aburrido. No quiero terminar esta especie de prólogo sin dedicar este modesto trabajo a mis chicas, Maicu y Sara, que han sabido entender y han fomentado mi pasión por la Navegación. Y también al otro chico de la casa, Toky, que tiene una pasión por los tubos del riego comparable a la mía por la Navegación. Y es que cuando a uno le entra la pasión... Aviso legal: © Este trabajo es propiedad del autor. Ninguna parte de él puede ser reproducida sin su previa autorización por escrito. Luis Mederos Capitán de Yate Doctor en Física

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Trigonometría

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Trigonometría Subsecciones z z

Trigonometría plana. Trigonometría esférica.

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Trigonometría plana.

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Trigonometría plana Los ángulos se miden sobre una circunferencia de radio R (cuyo valor se toma muchas veces igual a 1 para simplificar) centrada en el origen de coordenadas. Sobre el eje horizontal, o eje de las abscisas, mediremos la coordenada X y sobre el eje vertical, o eje de las ordenadas, mediremos la coordenada Y. X es positiva cuando está a la derecha del origen y negativa cuando lo está a la izquierda. La coordenada Y es positiva cuando está hacia arriba del origen y es negativa cuando lo está hacia abajo. Un ángulo comienza a medirse siempre en el eje X positivo y se cuenta en sentido contrario a las agujas del reloj:

Figura 1. Definición de las funciones trigonométricas básicas.

Las funciones trigonométricas básicas de un ángulo son tres: El seno, el coseno y la tangente y se representan por sin , cos y tg , respectivamente. Se definen como los siguientes números:

tg

sin

=

cos

=

=

=

Fíjate en la figura 1 que la forma geométrica que define las funciones trigonométricas de un ángulo es un triángulo rectángulo. R es la hipotenusa del triángulo mientras que y es el cateto opuesto al ángulo en cuestión y x es el cateto contiguo. Por tanto, conocido un ángulo (que no sea el recto) y uno cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo podemos obtener todos los demás sin más que despejar en las ecuaciones anteriores. Esta es la base de todos los cálculos de estima en navegación cuando se sigue un rumbo loxodrómico; es decir, un rumbo constante sobre una carta Mercátor (las habituales). Existen más funciones trigonométricas que se obtienen como inversas de las básicas. Como aparecen en los libros de navegación astronómica vamos a citarlas aquí. Son: cosecante, secante y cotangente y son las inversas del seno, el coseno y la tangente, respectivamente. Es decir: http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node4_ct.html

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Trigonometría plana.

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sec

cotg

=

=

=

=

=

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=

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Trigonometría esférica.

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Trigonometría esférica Un triángulo esférico es la parte de la superficie de una esfera limitada por tres círculos máximos que se cortan entre si. Los lados del triángulo son, por tanto, arcos (trozos) de círculo máximo y, como tales, los mediremos en grados, igual que medimos en grados la diferencia de longitud entre dos puntos de la Tierra que es el arco de Ecuador (un círculo máximo) comprendido entre los meridianos de ambos lugares. Evidentemente, también mediremos en grados los ángulos del triángulo esférico (al igual que hacíamos en la trigonometría plana):

Triángulo esférico. Nótese que todos los puntos del triángulo están, por tanto, a la misma distancia del centro de la esfera (igual al radio). Esto nos permite obtener la medida en distancia (en millas en nuestro caso) correspondiente a cada lado pues, como sabemos, el arco sustentado por un determinado ángulo es igual al producto del ángulo (en radianes) por el radio. Recuerda que 180o = radianes. Como en navegación la esfera en cuestión es nuestro Planeta , el radio del que estamos hablando es el de la Tierra. La conversión de un lado a distancia es entonces mucho más sencilla pues para eso hemos definido la milla náutica: Multiplicamos los grados por 60 con lo que hemos obtenido minutos de grado sobre un círculo máximo que, como sabemos, son millas náuticas. En cualquier triángulo esférico se cumple que cualquiera de los lados o de los ángulos es menor o igual que 180o pues, de lo contrario, los círculos máximos no se cortarían formando un triángulo. Siguiendo la costumbre, representaremos con letras minúsculas a los lados y con la misma letra pero mayúscula al correspondiente ángulo opuesto:

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Trigonometría esférica.

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Figura 1.

Nomenclatura.

Aunque son muchos los teoremas de la trigonometría esférica, sólo dos de ellos son necesarios para resolver todos los problemas de navegación astronómica: 1. Ley de los cosenos: Podemos expresar el coseno de un lado en función de los otros dos lados y el ángulo opuesto: cosa = cosb cosc + sinb sinc cosA. y similares expresiones utilizando los otros lados y ángulos. 2. Ley de las cotangentes: La cotangente de un lado por el seno de otro es igual al coseno de este último lado por el coseno del ángulo comprendido más el seno de éste último ángulo por la cotangente del ángulo opuesto al primer lado. Por ejemplo, cotga sinb = cosb cosC + sinC cotgA, y similares expresiones utilizando los otros lados y ángulos. EJEMPLO 1: Supongamos que en el triángulo esférico de la figura 1 se tiene: A = 35o, b = 50o, c = 62o . Queremos saber los valores del resto de lados y ángulos a, B y C. Empecemos por calcular a. Puesto que conocemos los otros dos lados del triángulo y también el ángulo opuesto A, es evidente que lo mejor es utilizar la ley de los cosenos: cosa = cos62 cos50 + sin62 sin50 cos35 cosa = 0.855826

a = 31.149o = 31o8.9'

Conocidos los tres lados podemos calcular los dos ángulos que nos faltan utilizando la misma ley de los cosenos o, también, la de las cotangentes. El resultado es, evidentemente, el mismo. Por ejemplo, para el ángulo C, utilizando la ley de las cotangentes: cotg62 sin50 = cos50 cos35 + sin35 cotgC cotgC =

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Trigonometría esférica.

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cotgC = - 0.207867

tgC = -

= - 4.8107637

C = - 78.26o

Ahora ATENCIÓN: No tiene sentido un ángulo negativo en este contexto. ¿Qué es lo que está mal entonces?. Pues nada: la ley de la cotangente nos ha dado un resultado negativo para cotgC y, por tanto, para tgC. Pero fíjate en la figura 2 : Las coordenadas x e y de un ángulo a y las del ángulo a + 180o son iguales y cambiadas de signo. El cambio de signo no importa pues al dividir ambas para obtener la tangente o la cotangente los signos menos desaparecen. O sea, que se cumple siempre que: tga = tg(a + 180o) y, tambi n, cotga = cotg(a + 180o)

Sin embargo, el seno y el coseno de ambos ángulos son iguales en valor pero de signo contrario. Puedes ayudarte de esta para terminar de verlo, eligiendo un ángulo cualquiera y ese mismo ángulo más 180o.Fíjate en el valor de las funciones trigonométricas de esos dos ángulos.

Figura 2.

funciones trigonométricas de los ángulos a y a + 180o.

Por tanto, cuando como resultado de hallar un arcotangente o un arcocotangente obtengamos un ángulo negativo, lo único que hemos de hacer es sumarle 180o . Así, la respuesta correcta para el ángulo C es: C = - 78.26o + 180o = 101.74o Si hubiésemos utilizado la ley de los cosenos: cos62 = cos31.149 cos50 + sin31.149 sin50 cosC cosC =

cosC = - 0.2035142

C = 101.74o

que, por supuesto, da el mismo resultado. Dejo para el lector el cálculo del ángulo B a la vez que le recomiendo que lo obtenga mediante las dos vías de forma que adquiera práctica en ambas. Téngase en cuenta que en los problemas prácticos de navegación astronómica no será en general posible utilizar ambas rutas. Por el contrario, dependiendo de los datos disponibles, será necesario utilizar una u otra, así que es necesario tener suficiente práctica con ambas. EJEMPLO 2: Ahora un ejemplo relacionado con la navegación, para ir haciendo boca. Normalmente navegamos siguiendo un rumbo dado que mantenemos fijo. Sin embargo, esta manera de navegar, que se llama loxodrómica, no es la óptima para navegar entre dos puntos distantes, pues sobre una esfera la distancia mínima entre dos puntos es el arco de círculo máximo que pasa por esos dos puntos y no el rumbo directo. Navegar siguiendo el círculo máximo que une el punto de partida y el de llegada se llama navegación ortodrómica. Los cálculos necesarios para realizar una navegación ortodrómica son una aplicación directa de las leyes de la trigonometría esférica, como es evidente observando la figura 3 . http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node5_ct.html

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Trigonometría esférica.

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Figura 3.

Navegación ortodrómica.

La distancia navegada para ir desde A hasta B según la ortodrómica es D0, el ángulo opuesto al lado D0 es la

diferencia de longitud L entre el punto de salida y el de destino y los otros dos lados del triángulo esféricos son los complementarios de las latitudes inicial y final. El rumbo ortodrómico R0 y la distancia navegada D0 se obtienen resolviendo el triángulo esférico utilizando las dos leyes que acabamos de estudiar. Veamos un caso práctico: Supongamos que nuestro yate se encuentra en l = 28o9'N, L = 15o25'W y deseamos ir a un lugar situado en l = 42o21'N, L = 71o03'W . Queremos saber el rumbo ortodrómico que debemos seguir inicialmente y la distancia ortodrómica entre los dos puntos. L = - 71o03' - (- 15o25') = - 55o38' = 55.6333oW ATENCIÓN: Longitudes W son negativas y longitudes E son positivas. Este es el convenido de signos seguido por el Almanaque Náutico así que será el que sigamos aquí. l = 42o21' - 28o9' = 14o12' = 14.2oN Convenio de signos habitual para las latitudes: Positivas si son N y negativas si son S. 90o - lA = 61.85o 90o - lB = 47.65o Aplicamos la ley de las cotangentes empezando con el lado 90o - lB: cotg(47.65) sin(61.85) = cos(61.85) cos(55.6333) + sin(55.6333) cotgR0 cotg(R0) = 0.65104 R0 = N56.9oW Nótese que la resolución del triángulo esférico nos dice que el ángulo R0 es de 56.9o. Hemos de fijarnos en que

l

es norte y L es oeste para establecer correctamente el rumbo. Esto estará muy claro, espero, para aquellos lectores que hayan estudiado y resuelto problemas de estima inversa en el curso de Patrón de Yate. Utilizando la ley de los cosenos: http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node5_ct.html

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Trigonometría esférica.

Página 5 de 5 cos(D0) = cos(61.85) cos(47.65) + sin(61.85) sin(47.65) cos(55.6333) cos(D0) = 0.68565

D0 = 46.71o

Este arco D0 de 46.71o es un trozo de círculo máximo de la Tierra. Por tanto, en millas náuticas medirá 46.71ox 60' = 2802.8 millas.

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Esfera Celeste

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Esfera Celeste Subsecciones z z

Esfera Celeste: Líneas y puntos principales. Líneas respecto a un astro.

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Esfera Celeste: Líneas y puntos principales.

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Esfera Celeste: Líneas y puntos principales Mirando al cielo el firmamento parece una esfera de gran radio, concéntrica con la Tierra, en cuya superficie interior (la que nosotros vemos) se encuentran proyectados todos los astros, independientemente de cual sea su distancia real a la Tierra. Esta es la esfera celeste.

Figura 1.

Esfera Celeste

El punto más alto de la semiesfera celeste que vemos desde nuestra situación sobre la superficie terrestre, situado directamente sobre nuestra cabeza y obtenido al prolongar el radio terrestre correspondiente a nuestra posición hasta cortar a la esfera celeste, se llama cenit. El punto diametralmente opuesto es el nadir y es, evidentemente, invisible para cualquier observador.

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Esfera Celeste: Líneas y puntos principales.

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Esfera Celeste y algunos de sus elementos más importantes. Arriba se muestra una representación tridimensional. La parte de abajo corresponde a un corte de la esfera por el plano del meridiano del observador de forma que estamos mirando desde el oeste hacia el este a lo largo de la línea oeste-este.

Figura 2.

El eje del mundo o línea de los polos es la prolongación del eje Norte-Sur de la Tierra (su eje de rotación, señalado con un flecha blanca en esta figura 1 ) hasta cortar a la esfera celeste en los polos celestes (norte y sur, indicados en la figura 2 por PN y PS y por puntos rojos en la figura 1 ). El polo celeste correspondiente a la latitud del observador (el polo norte en el caso de la figura 2 ) se llama polo elevado, mientras que el opuesto es el polo depreso. Vertical es la línea que une el cenit con el nadir. Evidentemente, pasa por el observador y por el centro de la Tierra y es la vertical en el sentido habitual. Por extensión, se llama también vertical a todo plano que contenga a esta línea. En particular, el plano que contiene a los polos celestes y al cenit y el nadir es un vertical y su intersección con la esfera celeste define el meridiano celeste del lugar (o del observador). El primer vertical (o vertical primario) es el plano vertical que es perpendicular al vertical que contiene al meridiano del lugar. El ecuador celeste es el círculo máximo de la esfera celeste obtenido al proyectar sobre ella el ecuador terrestre (círculos blancos en esta figura 1 ). De la misma manera se obtienen meridianos y paralelos celestes:

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Esfera Celeste: Líneas y puntos principales.

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Meridianos y paralelos celestes En particular, el meridiano celeste del observador es el círculo máximo de la esfera celeste obtenido de proyectar el meridiano terrestre del observador y pasa, por tanto, por los polos celestes, el cenit y el nadir. El semicírculo que contiene al cenit se llama meridiano superior mientras que el que contiene al nadir se llama meridiano inferior. Al igual que ocurre con los meridianos terrestres, hemos de definir un meridiano 0 o primer meridiano que sirva de origen. La elección natural es utilizar el meridiano celeste de Greenwich que será, evidentemente, el círculo máximo de la esfera celeste que pasa por los polos celestes y por la proyección de Greenwich.

Clases de horizontes. El horizonte astronómico (overdadero o racional) es el círculo máximo de la esfera celeste formado por la intersección de ésta con un plano perpendicular a la línea cenit-nadir (o sea a la vertical del observador) que pasa por el centro. Por su parte, el horizonte aparente odel observador es el círculo menor de la esfera celeste formado por la intersección de ésta con un plano tangente a la superficie terrestre en el punto del observador (y, por tanto, perpendicular también a la vertical del observador y paralelo al horizonte astronómico). El horizonte de la mar es el círculo menor sobre la superficie terrestre obtenido mediante las visuales desde el observador. Este es el horizonte en el sentido habitual del término y define el límite de la parte de la superficie terrestre que podemos ver desde una posición dada. Por esta razón es llamado también en ocasiones horizonte verdadero, pero esto es confuso pues el término verdadero se aplica también al horizonte astronómico. Un almicantarat es un círculo menor de la esfera celeste que es paralelo al horizonte astronómico. En particular, el horizonte aparente es un almicantarat. Los puntos cardinales norte ysur (N y S en las figuras) se encuentran en las intersecciones del horizonte astronómico con el meridiano del lugar. El más cercano al polo norte es el punto cardinal norte y el más cercano al polo sur es el punto cardinal sur. Por su parte, el horizonte astronómico, el ecuador celeste y el primer vertical, todos ellos círculos máximos de la esfera celeste, se cortan en dos puntos que son los puntos cardinales este (E) y oeste (W). El este es el que queda a la derecha cuando desde el cenit miramos al polo norte.

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Líneas respecto a un astro.

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Líneas respecto a un astro Hasta aquí hemos definido los elementos más importantes de la esfera celeste con respecto a un observador situado sobre la superficie de la Tierra. Ahora vamos a introducir las líneas más relevantes referidas a un astro fijo en la esfera celeste. El círculo horario del astro es el meridiano celeste que pasa por el astro. Es decir, es el círculo máximo de la esfera celeste que pasa por los polos celestes y por el astro en cuestión. Por consiguiente, es perpendicular al ecuador celeste. El paralelo de declinación oparalelo diario es el paralelo celeste del astro. Es decir, es el círculo menor de la esfera celeste que pasa por el astro y es paralelo al ecuador celeste. El movimiento aparente de un astro en la bóveda celeste es tal que recorre un paralelo de declinación por día, de ahí el segundo nombre. El círculo vertical del astro (o, simplemente, vertical del astro) es el vertical que contiene al astro. O sea, es el círculo máximo de la esfera celeste que pasa por el astro, el cenit y el nadir y es perpendicular al horizonte astronómico.

Líneas de la esfera celeste referidas a un astro.

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Líneas respecto a un astro.

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Figura 1.

Nótese que en la figura 1 el ángulo

Versión simplificada de la figura anterior. , o sea, la altura del polo celeste elevado sobre el horizonte, coincide

con la latitud del observador. Esto es evidente a partir de la parte de abajo de la figura 2 examinando la relación existente entre los diferentes ángulos que resultan de la intersección de dos conjuntos de perpendiculares: Por un lado, el eje del mundo-ecuador celeste y, por otro, el horizonte-vertical del observador. Si quieres verlo aun más sencillamente puedes utilizar esta

Figura 2.

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Coordenadas celestes de los astros

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Coordenadas celestes de los astros En navegación astronómica obtenemos la posición del barco a partir de la situación de un astro en la esfera celeste y esta última se determina mediante sus coordenadas celestes. Existen diferentes conjuntos de coordenadas celestes que se obtienen utilizando diferentes sistemas de referencia, o sea diferentes ejes y planos básicos, para su definición.

Subsecciones z z z z z z

Coordenadas horizontales o azimutales. Coordenadas horarias. Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco. Coordenadas uranográficas ecuatoriales. Relación entre las distintas coordenadas que se miden en el Ecuador. Órbita que describe la Tierra alrededor del Sol. Zonas. Climas. Estaciones.

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Coordenadas horizontales o azimutales.

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Coordenadas horizontales o azimutales El eje básico en la definición de estas coordenadas es la vertical del observador (el eje cenit-nadir) y el plano básico de referencia es el horizonte astronómico. Así que es evidente entonces que las coordenadas azimutales de un astro concreto dependen de la posición del observador, pues lo hace su vertical y su horizonte. La figura 1 muestra la definición de las coordenadas azimutales de un astro.

Figura 1.

Definición de las coordenadas azimutales de un astro.

Altura del astro, a, es el ángulo correspondiente al arco de círculo vertical del astro contado desde el horizonte astronómico hasta el almicantarat que pasa por el astro. En la figura 1 es el ángulo y su valor va de 0oa 90o grados. Cuando el astro se encuentra bajo el horizonte la altura es negativa (y se suele llamar depresión). El ángulo 90 - a, se llama distancia cenital. complementario de la altura, Ca Azimut del astro, , es el ángulo correspondiente al arco de horizonte astronómico comprendido entre la vertical del astro (punto M en la figura 1 ) y un origen que es arbitrario: distintos orígenes utilizados para contar el azimut definen diferentes azimut: El azimut náutico o circular se mide desde el punto cardinal N todo seguido hacia el E de 0oa 360o. El azimut cuadrantal se mide desde el N o S hacia el E o W. Es decir, el azimut náutico (o circular) y el azimut cuadrantal se definen y relacionan entre si igual que los rumbos circular y cuadrantal. El azimut astronómico se mide desde el punto cardinal correspondiente al polo celeste elevado (o sea, el correspondiente a la latitud del observador) de 0oa 180o hacia el E o el W. El ángulo complementario del azimut cuadrantal se llama amplitud. Por tanto, la amplitud se mide desde el E o el W (según sea el azimut cuadrantal), de 0oa 90o grados, hasta el pie de la vertical del astro (M). EJEMPLO: Supongamos que en el caso de la figura 1 el ángulo http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node10_ct.html

= 120o. Entonces el azimut náutico (o 10/01/2006

Coordenadas horizontales o azimutales.

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circular) es 120o. El azimut cuadrantal es S 60oE y el azimut astronómico es 120o al E desde el N. La amplitud es de 30o.

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Coordenadas horarias.

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Coordenadas horarias El eje básico en este caso es el eje del mundo (o eje de los polos), el plano de referencia es el ecuador celeste y los círculos que se utilizan son el círculo horario del astro (que es el meridiano celeste del astro) y el paralelo de declinación (o paralelo diario, que es el paralelo celeste del astro). Estas coordenadas dependen del observador porque, como veremos seguidamente, lo hace el origen que se utiliza para medir los ángulos que vamos a definir.

Coordenadas horarias de un astro. Horario (del astro) en el lugar, horario local o, simplemente, horario del astro ( hl ) es el ángulo correspondiente al arco de ecuador celeste que va desde el meridiano superior del observador, todo seguido hacia el W de 0oa 360o, hasta el círculo horario (meridiano celeste) del astro. De nuevo, al igual que ocurría en el caso del azimut, diferentes maneras de contar el arco de ecuador celeste conducen a diferentes horarios. Así, el horario astronómico o ángulo en el polo ( ) es el mismo ángulo que acabamos de definir pero contado desde el meridiano superior del observador hasta el círculo horario del astro hacia el E o el W de forma que sea menor de 180o. Esta es una magnitud muy importante porque se utiliza directamente en la resolución de problemas de navegación astronómica. Cuando el horario astronómico (siempre < 180o) es hacia el W se llama horario occidental (hw) y cuando ha de contarse hacia el E, porque el horario occidental sería hw > 180o, se llama horario oriental (he). Obsérvese que el horario de un astro depende de la posición del observador, pues lo hace el meridiano superior del observador desde el que lo medimos. Se define el horario en Greenwich del astro ( hG ), que no depende de la posición del observador, exactamente igual que el horario local pero contando el arco de ecuador celeste desde el meridiano celeste de Greenwich. O sea, que hG es el arco de ecuador celeste que va desde el meridiano celeste de Greenwich, todo seguido hacia el W de 0oa 360o, hasta el círculo horario del astro. Su relación con el horario local hl se establece, evidentemente, a través de la longitud L del observador (ATENCIÓN: Utilizaremos SIEMPRE el

convenio de signos aceptado por la Unión Astronómica puesto que es el que utiliza el Almanaque Náutico: L es positiva cuando es E y negativa cuando es W):

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Coordenadas horarias.

Página 2 de 2 hl = hG + L.

El horario en Greenwich es una magnitud importante porque el Almanaque Náutico da el hG (para cada día y hora medida en tiempo universal) del Sol, la Luna y los planetas. Declinación es el ángulo correspondiente al arco de círculo horario (meridiano celeste) del astro contado desde el ecuador celeste hasta el astro, de 0oa 90o, con signo + cuando es hacia el norte y con signo - cuando es hacia el sur. En otras palabras, la declinación de un astro no es más que su latitud celeste. La codeclinación o distancia polar del astro es el ángulo complementario de la declinación, pero teniendo en cuenta que se define siempre como la distancia angular sobre el círculo horario del astro desde el astro hasta el polo celeste elevado (o sea, el polo de igual latitud que la del observador). Por consiguiente, si la declinación del astro y la latitud l del observador son del = 90o - mientras que, en caso contrario, la codeclinación es = 90o + . mismo signo la codeclinación será

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Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco.

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Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco El Sol, como todas las estrellas, se puede considerar, a efectos de navegación astronómica, fijo en el espacio. Alrededor del Sol giran la Tierra y los demás planetas describiendo órbitas elípticas con el Sol colocado en uno de los focos. El plano de la órbita terrestre forma un ángulo de 23o 27' ( 23.5o ) con el ecuador terrestre. Este plano se llama la eclíptica.

Figura 1.

Orbita de la Tierra alrededor del Sol. El plano que contiene a la órbita (amarillo) se llama eclíptica. El eje de rotación (señalado en rojo) está inclinado 23.5o con respecto a la eclíptica.

Es evidente, entonces, que en junio la declinación δ del Sol es norte (positiva) y alcanza un máximo de 23.5o, en diciembre es sur (negativa) alcanzando el valor -23.5o y en marzo y septiembre la declinación del Sol es muy pequeña cambiando de signo y pasando por el valor 0o:

Declinación δ del Sol a lo largo de un año. Además de este movimiento de traslación (en sentido oeste-este) alrededor del Sol, la Tierra rota sobre si misma dando una vuelta (también de oeste a este) cada día, como se muestra en esta figura 1 . Estos movimientos de traslación y rotación de la Tierra y los planetas son movimientos propios, es decir, reales, así como lo es también el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node12_ct.html

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Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco.

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Los movimientos de rotación y traslación pasan, sin embargo, desapercibidos para un observador terrestre quien, por el contrario, apreciará que la esfera celeste (y con ella todos los astros que están fijos en ella) se mueve aparentemente en el tiempo en sentido contrario.

Movimiento aparente diario de la esfera celeste según es apreciado por un observador terrestre situado en latitudes norte medias. Se muestra el recorrido diario de un astro (cuya declinación es negativa) a lo largo de su paralelo de declinación. Sólo cuando la declinación del astro es cero éste tiene su orto exactamente en el E y su ocaso exactamente en el W pues su paralelo diario coincide en ese caso con el ecuador celeste.

Figura 2.

El movimiento aparente más directamente apreciable es el debido a la rotación terrestre: La Tierra completa una vuelta, en sentido oeste-este, en un día lo que se traduce en un giro aparente de la bóveda celeste en sentido contrario, de este a oeste, en el mismo tiempo alrededor del eje del mundo (así que los polos celestes permanecen fijos). Por tanto, una estrella dada da aparentemente una vuelta completa al cabo de un día siguiendo su paralelo diario (de ahí el nombre) o paralelo de declinación. Este movimiento aparente (ver las figuras 2 y 3 ) se aprecia de distinta manera dependiendo de las coordenadas geográficas del observador sobre la Tierra (pues la orientación del eje del mundo con respecto al observador cambia cuando éste varía su posición, como has estudiado en esta ). Para fijar ideas pongamos el caso de latitudes norte medias (por ejemplo, un observador situado en Madrid que está a unos 40o N). En este caso, tendremos el polo norte celeste a una altura de 40o sobre el horizonte cuando miramos hacia el norte. El polo norte celeste permanece fijo durante el movimiento aparente diario de la esfera celeste. A su alrededor veremos al cielo girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj (o sea, de este a oeste). De esta forma, la región celeste próxima al polo norte celeste resulta visible permanentemente. Esta región se llama casquete circumpolar y las estrellas dentro de esta región son las estrellas circumpolares. Está formada, evidentemente, por todas las estrellas cuya distancia angular al polo norte celeste es menor que la altura de éste sobre el horizonte (unos 40o en el ejemplo de un observador situado en Madrid). La estrella polar se encuentra aproximadamente a 1o del polo norte celeste por lo que en su movimiento diario aparente describe un círculo tan pequeño que no se aprecia a simple vista y, en consecuencia, la consideramos fija en el polo norte celeste. Todo esto lo puedes observar en la siguiente animación que muestra el aspecto del cielo a lo largo de un día completo en 24 imágenes consecutivas (una por hora). La imagen corresponde al 21 de Marzo en una latitud de 40o N:

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Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco.

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Rotación aparente de la esfera celeste debida al movimiento de rotación de la Tierra. La posición en el cielo de los distintos cuerpos celestes mostrada en esta animación es bastante exacta. Como es obvio, las imágenes se han obtenido mediante un programa informático. A lo largo de un día completo, como el mostrado en la animación, hay muchas horas de luz en las que las estrellas no son visibles. Como puede observarse, la estrella Polar está situada prácticamente en el Polo Norte Celeste que es el punto alrededor del cual gira toda la bóveda celeste. En sus proximidades son fácilmente reconocibles algunas constelaciones como la Osa Mayor o Casiopea. Están tan cerca del Polo que permanecen las 24 horas sobre el horizonte, formando parte del casquete circumpolar. Otros astros, como la estrella Fomalhaut, son visibles sólo durante unas horas, presentando sus correspondientes orto y ocaso. El casquete alrededor del polo depreso, delimitado por el paralelo diario que no llega a estar por encima del horizonte, se llama casquete anticircumpolar y las estrellas dentro de él son las estrellas anticircumpolares que, evidentemente, nunca son visibles para el observador.

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Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco. Figura 3.

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Movimiento diario de la esfera celeste según se aprecia por un observador situado en el polo norte terrestre (arriba) y en el ecuador terrestre (abajo).

Por el este (más precisamente, por la mitad NES del horizonte) tiene lugar el orto (salida) de los astros. Mirando hacia el sur veremos como los astros van ganando altura de izquierda a derecha (o sea, de E a W) hasta que al atravesar el meridiano celeste superior del lugar alcanzan su máxima altura sobre el horizonte (esta es la culminación del astro) para después descender hacia el oeste y ocultarse finalmente a lo largo de la mitad SWN del horizonte en lo que se llama el ocaso (puesta) del astro. El arco de paralelo diario comprendido entre el orto y el ocaso en el que el astro está sobre el horizonte y es, por tanto, visible se llama arco diurno mientras que el resto del paralelo en el que el astro está bajo el horizonte es el arco nocturno. Hasta aquí hemos descrito el movimiento de rotación aparente diario de la esfera celeste tal como lo vería un observador terrestre desde latitudes norte. Para un observador en el hemisferio sur todo sería igual excepto que vería el paso de los astros por el meridiano del lugar en sentido derecha-izquierda cuando se encuentra mirando al norte. Sin embargo, los astros poseen también sus movimientos propios (reales) que provocan que, con el paso del tiempo, se desplacen unos respecto a otros. Nuestros vecinos los planetas del Sistema Solar son, debido a su proximidad, los que más ostensiblemente muestran su cambio de posición en la esfera celeste. Además, teniendo en cuenta el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol, resulta que para un observador terrestre los cuerpos del Sistema Solar describen trayectorias aparentes sobre la esfera celeste (cada astro la suya) que se superponen a la rotación aparente diaria de la bóveda. De todos modos, como ésta última es tan rápida comparada con los primeros, sólo transcurridos varios días o semanas podemos apreciar los cambios relativos de posición de unos astros respecto a otros sobre la bóveda celeste cuando miramos a ésta en el mismo instante del día.

Figura 4.

Movimiento anual aparente del Sol sobre la esfera celeste debido a la traslación de la Tierra.

Analicemos ahora el movimiento aparente del Sol sobre la esfera celeste debido a la traslación de la Tierra alrededor de él. La figura 4 nos ayudará a ello. Cuando la Tierra se encuentra en la posición 1 de su órbita, un observador terrestre ve la imagen del Sol proyectada en el punto 1' sobre la esfera celeste y cuando la Tierra está en 2 verá la imagen del Sol en 2'. Por tanto, la trayectoria aparente del Sol sobre la esfera celeste debida a la traslación propia de la Tierra es un círculo máximo (la eclíptica) que se completa en un año; es decir, aproximadamente a razón de 1o diario. Para un observador terrestre fijo el movimiento aparente será de 1o diario hacia el este (o sea, en sentido contrario a la rotación aparente diaria de la esfera celeste):

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Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco.

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Esta animación muestra el recorrido anual aparente del Sol a lo largo de la eclíptica (el círculo máximo amarillo), completando una vuelta con respecto a las estrellas (que, por su lejanía, pueden considerarse fijas) en un año. O sea, que el Sol huye hacia el E a lo largo de la eclíptica a razón de 360o (una vuelta completa) en un año o, aproximadamente, 1o por día. Se ha representado también el ecuador celeste (círculo máximo blanco). Ambos círculos forman un ángulo de 23.5o y se cortan en dos puntos, quedando la eclíptica repartida en dos mitades situadas en hemisferios celestes diferentes. ¿Cómo se manifiesta este movimiento aparente para un observador terrestre?. En otras palabras, puesto que este movimiento es mucho más lento que la rotación aparente diaria (365 veces más lento), ¿cómo puede ser apreciado por un observador situado sobre la superficie de la Tierra?. Pues de manera sencilla: Cuando la Tierra termina de completar una vuelta sobre si misma con respecto a las estrellas fijas de forma que el observador las ve en la misma posición que el día anterior (el tiempo que tarda en hacerlo se llama día sidéreo), el Sol habrá huido 1o hacia el E y, por tanto, en hora solar (la que utilizamos en nuestra vida diaria) encontraremos a las estrellas en la misma posición unos 4 minutos solares antes que el día anterior (4 minutos es lo que tarda la bóveda celeste en rotar 1o pues da una vuelta completa por día). O sea, que si miramos al cielo cada día a la misma hora resulta que cada jornada encontraremos a una estrella dada (cualquierea de ellas) 1o más hacia el oeste o, alternativamente, si queremos encontrarla en el mismo sitio del día anterior tendremos que mirar cuatro 4minutos). Transcurrido un mes serán necesarios 30×4 = 120minutos, o sea, dos minutos antes (pues 1o horas de antelación para encontrar a la estrella en el mismo punto de la bóveda celeste en el que estaba al comienzo del mes y es posible entonces que no haya siquiera anochecido. Así que en cada época del año las noches están presididas por regiones del cielo distintas y para un hemisferio terrestre dado se podrá hablar de constelaciones típicas de verano, de invierno, etc. Los puntos de corte de la eclíptica con el ecuador celeste se llaman equinoccios. El equinoccio que es atravesado por el Sol entre el 20 y 21 de marzo, abandonando la mitad de la eclíptica perteneciente al hemisferio sur para pasar a la mitad norte (es decir, cuando la declinación del Sol pasa de negativa a positiva), es el equinoccio de primavera y se llama también punto vernal (o primer punto de Aries) . En la animación anterior es el punto de corte situado en la parte frontal. El movimiento del Sol sobre la eclíptica origina el paso de las distintas estaciones porque produce la progresiva variación de su separación del ecuador celeste (es decir, la variación de su declinación) y, por tanto, la progresiva variación a lo largo del año del paralelo de declinación que recorre aparentemente cada día y, consecuentemente, el cambio de la altura que alcanza el Sol al mediodía y, en definitiva, las horas diarias que está sobre el horizonte en un determinado lugar de la Tierra. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node12_ct.html

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Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco.

Figura 5.

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Trayectorias aparentes diarias del Sol, tal como las aprecia un observador situado en Madrid, en distintos días del año (durante los solsticios de verano e invierno y los equinoccios de primavera y otoño).

Consideremos de nuevo el ejemplo de un observador en Madrid (figura 5 ). El 21 de marzo el Sol se encuentra en el ecuador celeste así que el movimiento diario de la bóveda celeste hace que el Sol asome exactamente por el E y se oculte exactamente por el W transcurridas 12 horas, alcanzando su máxima altura sobre el horizonte a mediodía ( 50o sobre el S porque la latitud de Madrid es de 40oN). El nombre de equinoccio recuerda la igual duración del día y la noche. Al cabo de 3 meses, el 21 de junio, el Sol ha recorrido la cuarta parte de la eclíptica y se encuentra a 23.5o al norte del ecuador. Este es el solsticio de verano, comenzando para nosotros el verano. Ese día el Sol recorre un arco muy amplio, saliendo cerca del NE y poniéndose por el NW, permaneciendo muchas horas visible por encima del horizonte. Su altura de paso por el meridiano del lugar (altura de culminación) es de 50o + 23.5o = 73.5o sobre el S. Cuando el Sol alcanza de nuevo el ecuador, el 23 de septiembre (equinoccio de otoño) comienza el otoño y la trayectoria diaria del Sol ese día es igual a la de 6 meses antes durante el equinoccio de primavera el 21 de marzo. El 21 de diciembre (solsticio de invierno) el Sol se sitúa en su máxima declinación sur, 23.5o por debajo del horizonte. El orto ocurre por el SE y el ocaso por el SW. AL mediodía el Sol culmina con una altura de tan solo 50o - 23.5o = 26.5o, con lo que está visible pocas horas sobre el horizonte.

Figura 6.

Zodiaco y signos del zodiaco.

Como ya hemos comentado más arriba, el plano de la órbita terrestre alrededor del Sol está inclinado con respecto al ecuador terrestre un ángulo de unos 23.5o. Por tanto, el plano de la eclíptica forma exactamente el mismo ángulo http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node12_ct.html

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Movimiento propio de los astros. Movimiento aparente del Sol. Eclíptica. Zodiaco.

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con el ecuador celeste. Este ángulo, que se llama oblicuidad de la eclíptica es el mismo que forma el eje de los polos de la Tierra con el plano de su órbita alrededor del Sol. La Luna se mueve alrededor de la Tierra, y los demás planetas alrededor del Sol (todos ellos movimientos propios, reales), siguiendo órbitas que guardan cierta inclinación con respecto a la órbita de la Tierra. Sin embargo, esta inclinación no sobrepasa en ningún caso (salvo Plutón) los 8o. Esto se traduce para un observador terrestre en que la Luna y los planetas nunca se van a alejar más de 8o de la eclíptica y, por consiguiente, van a ocupar una franja del cielo, a uno y otro lado de la eclíptica, llamada zodiaco. Si dividimos esta franja en 12 partes iguales obtenemos los 12 signos del zodiaco, cada uno de los cuales es atravesado por el Sol en su movimiento anual aparente en 1 mes (figura 6 ). El hecho de que la Luna y los planetas posean movimientos propios, al contrario que el Sol y las estrellas que consideramos fijas en el espacio, significa que estos astros no describen en su movimiento diario aparente un paralelo de declinación sino que su movimiento aparente es más complicado pues es el resultado de la combinación de la rotación aparente esfera celeste con el movimiento real del astro en cuestión.

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Coordenadas uranográficas ecuatoriales.

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Coordenadas uranográficas ecuatoriales Este sistema de coordenadas no depende del observador. El plano fundamental para su definición es el ecuador celeste y el eje de referencia es el eje del mundo. Los círculos de referencia son los paralelos de declinación (paralelos celestes) y los máximos de ascensión (que no son otra cosa que los círculos horarios o meridianos celestes de los astros). En realidad, como vamos a ver inmediatamente, las coordenadas uranográficas ecuatoriales son las mismas que las coordenadas horarias pero, con el fin de hacerlas independientes del observador, tomando el origen para medir los ángulos en el punto vernal en lugar de en el meridiano del observador. La ascensión recta es el arco de ecuador celeste (medido en horas) contado desde el punto vernal, en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde el PN, hasta el pie del máximo de ascensión (o círculo horario o meridiano celeste) del astro. La ascensión recta no se utiliza en navegación y, en su lugar, se utiliza el ángulo sidéreo AS que es arco de ecuador celeste (medido en grados), de 0o a 360o, contado desde el punto vernal hacia el W (como el horario) hasta el máximo de ascensión del astro. La declinación se define exactamente igual que en el caso de las coordenadas horarias. Es decir, la declinación es el ángulo correspondiente al arco de círculo horario del astro (o máximo de ascensión) medido desde el ecuador celeste hasta el astro, de 0o a 90o, siendo positiva cuando es hacia el N y negativa cuando es hacia el S. Obsérvese que las coordenadas uranográficas ecuatoriales no son más que, como se ha comentado más arriba, las coordenadas horarias pero refiriendo el horario del astro al primer punto de Aries o punto vernal en lugar de al meridiano celeste del observador (como hacíamos para definir el horario del astro en el lugar). De esta forma se consigue que las coordenadas del astro no dependan del observador (nótese que el horario local de un astro varía de 0o a 360o al cabo de un día para un astro dado y un observador fijo sobre la superficie terrestre). Es ahora el momento adecuado, antes de continuar con nuevos conceptos, de utilizar esta claramente todas las ideas expuestas hasta aquí.

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para terminar de fijar

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Relación entre las distintas coordenadas que se miden en el Ecuador.

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Relación entre las distintas coordenadas que se miden en el Ecuador El horario de un astro y su ángulo sidéreo están relacionados. Para encontrar esa relación definimos el horario de Aries en el lugar (u horario local de Aries), hl , y el horario de Aries en Greenwich hG que serán, lógicamente, el ángulo correspondiente al arco de ecuador celeste, de 0o a 360o hacia el W, hasta el primer punto de Aries contado desde el meridiano superior del observador el primero de ellos y desde el meridiano celeste de Greenwich el segundo.

Figura 1.

Diferentes ángulos que se definen sobre el ecuador celeste.

La figura 1 , que representa al Ecuador celeste mirado desde el polo norte celeste, muestra estos conceptos de manera gráfica y permite obtener de manera evidente, teniendo en cuenta que la longitud L del observador es positiva cuando es E y negativa cuando es W, una serie de relaciones entre las distintas coordenadas que se definen como arcos de ecuador celeste:

hl = hl hG = hG

+ AS + AS

hl = hG + L hl El horario de Aries en Greenwich, hG

= hG

+L

, lo facilita directamente el Almanaque Náutico (para cada día y hora en

Tiempo Universal (TU) pues nótese que hG

varía a medida que la esfera celeste describe su rotación diaria

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Relación entre las distintas coordenadas que se miden en el Ecuador.

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aparente). El ángulo sidéreo AS de la estrella en cuestión también se obtiene del Almanaque. Así que, utilizando las ecuaciones anteriores, obtendremos el horario del astro en Greenwich hG (ese día y a esa hora) sin más que sumar ambas cantidades.

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Órbita que describe la Tierra alrededor del Sol. Zonas. Climas. Estaciones.

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Órbita que describe la Tierra alrededor del Sol. Zonas. Climas. Estaciones Ya hemos discutido cómo el movimiento aparente anual del Sol a lo largo de la eclíptica explica la existencia de las distintas estaciones. Para un observador situado en Madrid ( 40o de latitud N) el Sol alcanza su altura máxima sobre el S ( 73.5o) al mediodía del 21 de junio (solsticio de verano). Si ese mismo día observamos el Sol desde un punto situado más al sur, o sea, viajamos hacia el ecuador terrestre, es evidente que la altura máxima del Sol sobre el S ese día aumenta tantos grados como grados hayamos disminuido nuestra latitud. En particular, si el 21 de junio nos colocamos en el paralelo terrestre de latitud 23.5o N, el Sol alcanzará al mediodía (sólo el 21 de junio) el cenit, o sea los 90o de altura sobre el S. Gráficamente es claro utilizando la figura 1 : Movernos hacia el S significa disminuir nuestra latitud de modo que los planos que contienen las órbitas aparentes del Sol estarán cada vez más verticales. La órbita correspondiente al 21 de junio pasará por el cenit cuando nuestra latitud inicial de 40o N haya disminuido en 16.5o, encontrándonos entonces en los mencionados 23.5o N que corresponden al paralelo terrestre conocido como trópico de Cáncer. Nuestro viaje hacia el sur nos llevará posteriormente al Ecuador terrestre. En esta situación (véase la parte de abajo de la figura 2 ) el Ecuador celeste y el primer vertical coinciden. El Sol también alcanzará el cenit visto desde esta posición, pero lo hará dos veces al año (en los equinoccios) en lugar de una sola. En los solsticios el Sol alcanzará, visto desde el ecuador terrestre, su menor altura sobre el horizonte al mediodía ( 66.5o sobre el N en el solsticio de junio y 66.5o sobre el S en el solsticio de diciembre). Nótese que en el caso de un observador en el ecuador terrestre hablamos de solsticios de junio y diciembre en lugar de verano e invierno ya que no tiene sentido aquí la distinción entre estas estaciones: El Sol alcanza grandes alturas sobre el horizonte (siempre mayor de 66.5o) durante todo el año. Si seguimos nuestro viaje hacia el sur llegamos al trópico de Capricornio que es el paralelo terrestre correspondiente a los 23.5o de latitud S. Se repite aquí lo mismo que ocurría en el trópico de Cáncer pero, evidentemente, 6 meses después: El Sol alcanza el cenit sólo un día al año, durante el solsticio del 21 de diciembre que en esa latitud es el solsticio de verano. Finalmente, los paralelos que distan 23.5o de los polos se llaman círculos polares. En ellos hay un día al año (en el solsticio de junio para el del hemisferio norte y en el de diciembre para el del sur) en el que el Sol no llega a ocultarse aunque llega a rozar el horizonte a medianoche (por el S en el círculo polar antártico del hemisferio sur y por el N en el círculo polar ártico del hemisferio norte). Este fenómeno es lo que se llama el Sol de medianoche. Seis meses después, en el solsticio opuesto, el Sol no llega a salir aunque asoma justo por el S en el hemisferio norte (y por el N en el hemisferio sur). De nuevo esto se puede ver fácilmente imaginándonos cómo evoluciona la figura 3.6 cuando ahora aumentamos la latitud del observador hasta los 90o - 23.5o = 66.5oN correspondientes al círculo polar ártico, los planos de las órbitas diarias del Sol serán más horizontales. El correspondiente al solsticio de diciembre será tal que el Sol culmina ese día exactamente en el horizonte S. La situación extrema sucede en los polos: El Sol está presente a lo largo de 6 meses (durante la primavera y verano) y se ausenta desde el comienzo del otoño hasta el final del invierno. Todo lo anterior se traduce en que la Tierra de divide zonas climáticas bien diferenciadas, como se representa esquemáticamente en la figura 3 .

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Órbita que describe la Tierra alrededor del Sol. Zonas. Climas. Estaciones.

Figura 3.

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Zonas climáticas de la Tierra.

Las zonas glaciales se caracterizan por noches y días de gran duración. El Sol alcanza muy poca altura sobre el horizonte y, como consecuencia, las temperaturas son muy bajas. En las zonas templadas la duración de noches y días se distribuye proporcionalmente a lo largo de las distintas estaciones del año. El Sol alcanza alturas medias sobre el horizonte y el clima es, por tanto, benigno. En la zona tórrida el Sol alcanza grandes alturas sobre el horizonte durante todo el año provocando temperaturas muy elevadas continuamente. No se distinguen las estaciones.

Figura 1.

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Figura 2.

Triángulo de posición.

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Triángulo de posición Subsecciones z z

Triángulo de posición: Sus elementos. Resolución analítica del triángulo de posición. { Conocida la latitud del observador y el horario y declinación del astro, hallar su altura y azimut. { Conocida la latitud del observador y la altura y azimut del astro, hallar su horario y declinación y reconocer el astro. { Caso particular: Astro en el meridiano del observador.

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Triángulo de posición: Sus elementos.

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Triángulo de posición: Sus elementos La intersección, sobre la esfera celeste, del meridiano superior celeste del observador, el círculo horario (meridiano celeste) del astro y el círculo vertical del astro define un triángulo esférico cuyos vértices son el polo celeste elevado, el cenit y el astro (figuras 1 y 2 ). Este es el triángulo de posición. Más precisamente, el triángulo de posición es su proyección sobre la superficie de la Tierra, con el polo terrestre, el observador y la proyección del astro como vértices. Sin embargo, ambos triángulos esféricos tienen las mismas magnitudes angulares por lo que llamaremos triángulo de posición a cualquiera de los dos indistintamente.

Figura 1.

Triángulo de posición.

Como se observa en las figuras 1 y 2 , los lados del triángulo de posición son la codeclinación , la distancia 90o - l del observador. Sus vértices son el ángulo en polo cenital Ca del astro y la colatitud Cl (que, como hemos visto, es el horario astronómico occidental u oriental, hw o he), el ángulo en el cenit

(que coincide con el

azimut astronómico) y el ángulo en el astro entre sus círculos horario y vertical (ángulo paraláctico). Conocidas algunas de estas magnitudes se pueden determinar las otras ya sea utilizando las Tablas Náuticas o bien analíticamente (utilizando los teoremas de la trigonometría esférica). Por consiguiente, el triángulo de posición es un nexo de unión entre las coordenadas horizontales y las ecuatoriales locales (horarias) y determina la relación existente entre la posición del observador sobre la Tierra (o sea, la situación de nuestro barco) y la posición de un astro en la esfera celeste.

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Triángulo de posición: Sus elementos.

Figura 2.

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Detalle del triángulo de posición.

Puedes utilizar ahora esta para familiarizarte con este concepto fundamental. Elige una situación del observador y unas cooerdenadas uranográficas del astro (que, recuerda, no dependen de la situación del observador). Elige Triángulo de Posición en el campo Resaltar y observa como cambian los elementos del triángulo cuando, para un astro dado, varias la situación del observador o, por el contrario, para un observador dado varias el astro (o sea, sus coordenadas uranográficas) o, incluso, para un observador y astro dados pasa el tiempo de modo que varían las coordenadas del astro relativas al observador (horario local, etc). Antes de pasar a la resolución analítica del triángulo de posición conviene mostrar algunos ejemplos en los que obtendremos el triángulo de posición de manera gráfica dados un astro y un observador. EJEMPLO 1: Obtener de manera gráfica el triángulo de posición correspondiente a un astro cuya declinación es 40oN y su horario es de 30o con respecto a un observador situado en los 30o de latitud S. Puesto que la latitud del observador es S, el polo celeste elevado será el polo celeste sur. Por otro lado, como la = 90o + = 90o + declinación del astro es N, de signo contrario a la latitud del observador, la codeclinación es 40o = 130o. El horario local del astro hl es menor de 180o (recuérdese que se mide desde el meridiano superior = hacia el W) así que el horario astronómico (o ángulo en el polo) coincide con el horario local y es, por tanto, o 30 hacia el W (o sea, horario occidental). El ángulo del triángulo de posición en el cenit es, como sabemos, el azimut astronómico que se mide desde el punto cardinal correspondiente al polo elevado (o sea, desde el S en nuestro caso) hasta el pie del círculo vertical del astro de forma que sea menor de 180o, como se ha representado en la figura 3 que muestra la resolución gráfica de este ejemplo. También se muestra en la figura el azimut cuadrantal que se expresará como N W (con en grados). Con los datos que proporciona el problema podemos obtener, entonces, el valor de dos de los lados (la colatitud y la codeclinación) y el valor de uno de los ángulos de los vértices (el ángulo en el polo). Para resolver totalmente el triángulo y conocer el resto de las variables (distancia cenital del astro, azimut astronómico y ángulo paraláctico) tendríamos que utilizar los teoremas de la trigonometría esférica (o las Tablas Náuticas).

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Triángulo de posición: Sus elementos.

Figura 3.

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Resolución gráfica del EJEMPLO 1.

EJEMPLO 2: Un observador situado en un punto de latitud 20oS observa en un instante dado un astro que se encuentra a 20o de altura sobre el horizonte. La declinación del astro en el momento de la observación es de 30oN. Dibujar el triángulo de posición y hallar gráficamente (aproximadamente) el horario y azimut astronómico del astro. La figura 4 muestra la resolución gráfica de este problema. Una vez situado el cenit a partir de la latitud del observador determinamos su horizonte astronómico y la situación de los cuatro puntos cardinales. Como conocemos la altura y la declinación del astro podemos determinar su posición. Para ello no tenemos más que dibujar su paralelo diario (a 30o al N del ecuador) y el almicantarat (a 20o por encima del horizonte). El punto de corte de ambos círculos determina la posición del astro en el momento de la observación. Como existen dos posibilidades de corte, una al W del observador y otra al E, el problema tal y como está planteado tiene dos posibles soluciones. La primera de ellas, considerando el astro al W del observador, se representa en la parte de arriba de la figura 4 y el caso en el que el astro esté al E del observador se representa en la parte de abajo de la figura.

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Triángulo de posición: Sus elementos.

Figura 4.

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Resolución gráfica del EJEMPLO 2.

El azimut astronómico será, en el primer caso, el ángulo correspondiente al arco de horizonte desde el S (punto cardinal que corresponde al polo elevado) hasta el punto azul (hacia el W para que sea menor de 180o). Si suponemos que desde el W hasta el punto azul hay unos 30o (pues está aproximadamente a un tercio del cuadrante WN), resulta un azimut astronómico de 120o. El correspondiente azimut cuadrantal será N 60oW y el azimut náutico (o circular) es 300o. El horario astronómico es el arco de ecuador desde el meridiano superior del observador (es decir, el origen es el punto negro en la figura) hasta círculo horario del astro (hasta el punto rosa en la figura). En nuestro caso digamos que unos 70o hacia el W (horario occidental). En este caso el horario local coincide con el astronómico (como sucede siempre que este último sea occidental, evidentemente). En el caso de que el astro esté al E del observador, como se representa en la parte de abajo de la figura 4 , el azimut astronómico es el arco de horizonte desde el S hasta el punto azul (por el E en este caso). Supongamos que éste último está a medio camino entre el E y el N. Entonces el azimut astronómico es de 135o. El correspondiente azimut cuadrantal es N 45oE y el azimut náutico es 45o. El horario astronómico es ahora oriental (desde el meridiano superior, indicado por el punto negro, hasta el círculo horario del astro, indicado por el punto rosa), pero se deja al lector que estime su valor en grados a partir de la figura y que obtenga, también una estimación del horario local del astro en este caso.

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Resolución analítica del triángulo de posición.

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Resolución analítica del triángulo de posición Todo se reduce a utilizar la trigonometría esférica para obtener, a partir de los datos que se conozcan, aquellos que necesitamos para obtener la posición de nuestro barco. Nos limitaremos a dos casos prácticos cuyo conocimiento basta para resolver cualquier problema de navegación astronómica:

Subsecciones z z z

Conocida la latitud del observador y el horario y declinación del astro, hallar su altura y azimut. Conocida la latitud del observador y la altura y azimut del astro, hallar su horario y declinación y reconocer el astro. Caso particular: Astro en el meridiano del observador.

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Conocida la latitud del observador y el horario y declinación del astro, hallar su altura y azimut.

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Conocida la latitud del observador y el horario y declinación del astro, hallar su altura y azimut Como recomendación general, debemos dibujar siempre el triángulo y escribir sobre él los valores conocidos así como las variables a calcular. Una ojeada a esta figura debería bastarnos entonces para decidir cual de las leyes de la trigonometría esférica es la que debemos utilizar para obtener cada una de las variables desconocidas. La altura del astro obtenida de esta manera se llama altura estimada (en algunos manuales se llaman tabién altura calculada), pues es la que tendría el astro si verdaderamente estuviésemos en la situación de estima. La altura verdadera del astro es la que medimos con el sextante (corregida como trataremos en el capítulo siguiente) y, en general, no coincidirá con la altura estimada pues tendremos un error en la situación estimada. Esta diferencia de alturas es la base de la navegación astronómica. EJEMPLO 1: Nos encontramos en una situación de estima l = 46o30'N, L = 175o30'W y, para el instante de la observación, el Almanaque Náutico nos dice que el horario del Sol en Greenwich es 116o36.3' y su declinación = + 2o58.1'. Queremos saber la altura estimada y el azimut del Sol en el momento de la observación. Lo primero será obtener el horario del Sol en el lugar para saber cuál es el ángulo en el Polo: hl = hG + L

hl = 116o36.3' + (- 175o30') = - 58o53.7' = - 58.895o

Puesto que el horario en el lugar se mide desde el meridiano del observador hacia el W, el signo menos quiere decir que el astro está hacia el este. O sea, el horario del Sol en el lugar es: hl = 360o - 58.895o = 301.105o Y el horario astronómico (o sea, el ángulo en el polo) es P = 58.895o (E) que, como se trata del Sol y el horario astronómico es oriental, quiere decir que el momento de la observación es anterior al mediodía verdadero del lugar. Puesto que estamos en latitud norte, esto quiere decir que el azimut del Sol que obtengamos debe estar entre el E y el S. = 90o - 2o58.1' = 87.0316667o. La Como la declinación es positiva, igual que la latitud, la codeclinación es colatitud es Cl = 90o - 46o30' = 43.5o. Con esto ya tenemos todos los datos para dibujar y resolver nuestro triángulo de posición:

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Conocida la latitud del observador y el horario y declinación del astro, hallar su altura y azimut.

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Triángulo de posición correspondiente al EJEMPLO 1. Cálculo de la altura estimada: Evidentemente utilizamos la ley de los cosenos empezando por el complementario de la altura, Ca: cosCa = cos(87.0316667) cos(43.5) + sin(87.0316667) sin(43.5) cos(58.895) = 0.392695 Ca = 66.878o

aest = 90o - Ca = 23.122o = 23o7.3'

Cálculo del azimut: Utilizamos la ley de las cotangentes empezando por el lado opuesto al azimut para que éste sólo aparezca una vez y podamos despejar fácilmente: cotg(87.0316667) sin(43.5) = cos(43.5) cos(58.895) + sin(58.895)cotg(Z) cotgZ = - 0.395972

Z = - 68.397o

Z = - 68.397o + 180o = 111.603o

ATENCIÓN: La resolución del triángulo de posición nos ha dado el azimut astronómico Z que, recordemos, se mide desde el Polo elevado (el Norte en este ejemplo) hacia el E o el W. ¿Cómo se sabe si es hacia el E o es hacia el W?. Pues, evidentemente, fijándose en el ángulo en el polo P: El azimut será hacia donde mismo lo sea P. En nuestro ejemplo, hacia el E, así que Z = 111.6o = S68.4oE que, como debe ser, corresponde a un azimut del Sol antes del mediodía del lugar. Una vez que hemos calculado primero la altura y sabemos, por tanto, que Ca = 66.878o, podemos también resolver el cálculo del azimut utilizando la ley de los cosenos empezando por el lado opuesto. Se recomienda al lector que haga el cálculo de esta manera y compruebe que se obtiene el mismo resultado. EJEMPLO 2: El 15 de septiembre de 1999 nos encontrábamos en situación de estima l = 40oS, L = 72oE (ya nos hubiese gustado, ya). Cuando la hora civil del lugar era 22h45m13s observamos la estrella Nunki para la que el Almanaque Náutico nos da un ángulo sidéreo AS = 76o11.4' y una declinación = - 26o17.8'. Con ayuda del AN hemos calculado el horario en Greenwich de Aries en el momento de la observación que resultó ser hG

=

263o33.4'. Obtener el azimut cuadrantal de Nunki en el momento de la observación. Respuesta: Z = N88o35'W.

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Conocida la latitud del observador y la altura y azimut del astro, hallar su horario y declinación y re... Página 1 de 2

Conocida la latitud del observador y la altura y azimut del astro, hallar su horario y declinación y reconocer el astro Este es un caso práctico frecuente cuando se navega utilizando las estrellas: A la hora del crepúsculo (que es cuando único podemos utilizar las estrellas para navegar pues vemos tanto la estrella como el horizonte y podemos medir alturas) observamos un astro desconocido del cual medimos su altura con el sextante y su azimut con el compás del barco. Para poder utilizar esos datos para situarnos, lo primero es reconocer el astro y, una vez identificado, utilizar el Almanaque para obtener su declinación y ángulo sidéreo. Resuelto este primer paso nos encontramos en el caso anterior. Como siempre, la recomendación es dibujar el triángulo de posición correspondiente, indicando valores de lados y ángulos conocidos así como incógnitas. Un vistazo a este dibujo nos dirá inmediatamente cual de las leyes de la trigonometría nos conviene utilizar. EJEMPLO: El día 15 de septiembre de 1999, encontrándonos en situación estimada l = 25o00'N, L = 40o00'W, al ser la hora del crepúsculo civil matutino (momento para el que, según el AN, el horario en Greenwich de Aries era hG = 114o35.7'), observamos la altura verdadera de un astro desconocido que resultó ser aV = 55o00' mientras que su azimut verdadero es Z = 240o. Obtener el ángulo sidéreo y la declinación de la estrella e identificarla. Primero vemos que elementos del triángulo de posición conocemos y cuales no. El azimut que nos dan es náutico. Para el triángulo de posición necesitamos el astronómico que hemos de contar desde el N pues esa es nuestra latitud estimada. Así que Z = 120oW desde el N. La colatitud es Cl = 65o y la distancia cenital (el complementario de la altura) es Ca = 35o. Así que nuestro triángulo es:

Triángulo de posición del EJEMPLO 1. Cálculo de la codeclinación: Evidentemente utilizamos la ley de los cosenos: cos

= cos35 cos65 + sin35 sin65 cos120 = 0.0862

< 90o es que la declinación y la latitud son del mismo signo. O sea, que Como = + 4o56.9'. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node20_ct.html

= 85.051o es N (positiva) e igual a 90o 10/01/2006

Conocida la latitud del observador y la altura y azimut del astro, hallar su horario y declinación y re... Página 2 de 2 Cálculo del ángulo en el polo: Puedo utilizar cualquiera de las leyes con tal que P aparezca sólo una vez y pueda despejar fácilmente: cotg35 sin65 = cos65 cos120 + sin120 cotgP

cotgP = 1.73857

P = 29o54.4'

Y, como el azimut astronómico es hacia el W, también lo será P. Por tanto, el horario astronómico coincide con P: hl? = 29o54.4' Ahora ya estamos en condiciones de identificar la estrella: Conocido su horario en el lugar y conocida nuestra longitud estimada obtenemos el horario de la estrella en Greenwich y con este dato y el hG correspondiente al momento de la observación (y que previamente hemos calculado utilizando el AN) obtenemos el ángulo sidéreo de la estrella desconocida: hG? = hl? - L = 29o54.4' - (- 40o00') = 69o54.4' AS = hG? - hG

= 69o54.4' - 114o35.7' = - 44o41.3'

El ángulo sidéreo es siempre positivo y se mide hacia el W. El signo - de arriba quiere decir entonces que la estrella está al E del punto . Así que el ángulo sidéreo de la estrella desconocida es: AS = 360o - 44o41.3' = 315o18.7' Con este dato vamos al AN y vemos qué estrella tiene en septiembre de 1999 un AS próximo a 315o18.7'. La que más se acerca es Acamar, pero su declinación es de -40o mientras que nuestra estrella misteriosa tiene una declinación, según hemos calculado, de +4o56.9'. Esto nos permite descartar a Acamar y estar seguros de que nuestra estrella desconocida es Menkar que en septiembre de 1999 tenía, según el Almanaque, AS = 314o26.1',

=

+ 4o5.3'. Las diferencias entre estos verdaderos valores y los que nosotros hemos calculado a partir de la altura observada de la estrella se deben, evidentemente, a que nuestra posición estimada no es la posición verdadera. Ahora, con los datos verdaderos de la estrella, repetiríamos el cálculo en la otra dirección, como en la sección anterior, calculando la altura estimada de la estrella. A partir de la diferencia entre la altura estimada que calculemos y la altura verdadera que hemos observado seremos capaces de corregir nuestra situación estimada. ¿Cómo?. Paciencia: en los capítulos siguientes. Pero no olvides que todo cálculo de navegación astronómica se reduce a las dos secciones anteriores que son, por tanto, la clave de la cuestión.

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Caso particular: Astro en el meridiano del observador.

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Caso particular: Astro en el meridiano del observador Un caso particular de las secciones anteriores es aquél en el que el astro en cuestión se encuentra en el meridiano del observador. La altura del astro medida en ese momento se llama altura meridiana. En este caso particular se simplifica notablemente el cálculo. Cuando el astro se encuentra en el meridiano superior del observador (por ejemplo, el Sol al mediodía verdadero del observador) el horario del astro en el lugar es hl = 0o y el azimut astronómico es Z = 0o si vemos al astro mirando hacia el punto cardinal de igual nombre que nuestra latitud o Z = 180o si lo vemos mirando hacia el punto cardinal de nombre opuesto a nuestra latitud. Por ejemplo, si estamos en Madrid, al mediodía verdadero tenemos al Sol en nuestro meridiano (horario cero) y lo vemos mirando al Sur (azimut 180o). Gráficamente es muy fácil de ver dibujando un corte de la esfera celeste por el plano del meridiano del observador. En el caso de la figura 1 se ha representado un observador en el hemisferio norte y un astro en el meridiano superior (así que P = 0o ) y con declinación también norte pero menor que la latitud del observador. Como consecuencia de esto último, el azimut astronómico es Z = 180o. Por contra, para el mismo observador (o sea, la misma latitud), si el astro tiene declinación norte pero con > l, entonces el azimut astronómico sería cero.

Figura 1.

Astro en el meridiano superior del observador.

Si el astro está en el meridiano inferior del observador ( P = 180o, Z = 0o) es claro de la figura anterior que para que sea observable (o sea, para que no esté por debajo del horizonte) ha de tener una declinación del mismo signo que la latitud y, además, una altura menor que la latitud (pues de lo contrario estaría en el meridiano superior). En resumidas cuentas, el triángulo de posición ha dejado de ser un triángulo para convertirse en un segmento de arco y de la figura es evidente que, para el caso representado, l=

+ Ca

Así que podemos obtener directamente la latitud sin más que medir la altura del astro cuando está en el meridiano superior. En la práctica de la navegación astronómica esto se realiza utilizando el Sol al mediodía verdadero: Medimos la altura, hallamos su complementario y, con el AN, calculamos la declinación del Sol a esa hora. Sumando ambas cosas tenemos nuestra latitud observada. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node21_ct.html

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Caso particular: Astro en el meridiano del observador.

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Dejo para el lector, a modo de ejercicio, obtener la ecuación que tendría que aplicar un observador que, por estar situado cerca del Ecuador, tenga una latitud menor que la declinación del Sol (respuesta: l = - Ca). También es ilustrativo obtener la ecuación a aplicar si el astro está en el meridiano inferior y, por supuesto, repetir todo esto para un observador en el hemisferio Sur. Como es obvio, lo que uno debe hacer es entender el proceso y no intentar aprender las fórmulas de todos los casos de memoria. Llegado el momento, navegando, no tenemos más que hacer un pequeño dibujo para saber que ecuación hemos de aplicar.

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Medida del tiempo. Almanaque Náutico. Sextante

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Medida del tiempo. Almanaque Náutico. Sextante Los primeros pasos a dar cuando se pretende utilizar la navegación astronómica con el fin de determinar la posición del barco son medir con el sextante la altura sobre el horizonte de la mar de los astros a utilizar y anotar el instante de tiempo de estas observaciones. Ambos pasos han de darse con la suficiente precisión si queremos que el resultado sea aceptable. Un error de pocos segundos en la medida del tiempo o de décimas de minuto en la medida de la altura de un astro producen errores de varias millas en la situación calculada final, invalidando todo el proceso como un método de navegación segura. La precisión en la medida de la altura de los astros depende de la calidad del sextante y de la pericia del usuario en su manejo. El segundo aspecto no es preocupante pues basta poner un poco de cuidado y tener un poco de práctica para que cualquier navegante utilice el sextante adecuadamente. La calidad del instrumento, sin embargo, es otra cuestión. Lamentablemente, un buen sextante es muy caro, tanto que podríamos comprar varios GPS con el importe de un solo sextante. Esto significa que la mayoría de nosotros nos veremos obligados a la utilización de aparatos de más baja calidad (de plástico, ¡más caros aún que un GPS portátil!) sujetos, por tanto, a mayores errores sistemáticos (error de índice, inherente al sextante por defectos de fabricación o mal ajuste) y menos estables (es decir, necesitados de ajustes muy frecuentes). En consecuencia, aprenderemos en este capítulo cómo se ajustan los espejos del sextante de forma que se disminuya (o, incluso, se haga desaparecer) el error de índice y aprenderemos, también, qué correcciones han de aplicarse a la altura de un astro observada con el sextante (medida, por tanto, sobre el horizonte de la mar) para transformarla en la altura que verdaderamente tiene ese astro sobre el horizonte astronómico (esta es la variable que entra en el triángulo de posición). En cuanto a la medición precisa del tiempo, el resultado de nuestros cálculos será aceptable si ésta se hace con una precisión del segundo. Esto, hoy día, no representa ningún problema. Un reloj digital, muy barato, es capaz de mantener la hora dentro de esa precisión durante meses. Sin embargo, si que es necesario explicar con claridad los conceptos de tiempo universal, hora civil del lugar, hora legal, etc. de forma que podamos utilizar el Almanaque Náutico (AN) correctamente. Un error en la traducción de la hora exacta de nuestra observación al correspondiente tiempo universal nos haría utilizar datos equivocados del AN (que proporciona los datos astronómicos -como el horario en Greenwich, la declinación, etc.- de los astros en función del tiempo universal), dando lugar a una situación del barco completamente equivocada.

Subsecciones z z

z

La medida del tiempo. El Almanaque Náutico. { Cálculo del horario en Greenwich y la declinación del Sol, la Luna, Aries y los planetas en un instante de TU dado. { Cálculo del horario en Greenwich y la declinación de las estrellas en un instante de TU dado. { Cálculo de la hora de paso de los astros por el meridiano de un lugar. { Cálculo de la hora de salida y puesta del Sol y la Luna. Crepúsculos. El sextante. Correcciones a aplicar a las alturas observadas. { Correcciones a aplicar a la altura observada de un astro. { Tablas de correcciones de alturas del Almanaque Náutico. { Cómo efectuar correctamente la medición de la altura con el sextante.

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La medida del tiempo.

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La medida del tiempo Es evidente para todos que el intervalo de tiempo que llamamos día está relacionado con el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa sobre su eje. Un año está relacionado con el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa alrededor del Sol y, finalmente, un mes se relaciona con el tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta alrededor de la Tierra. Pero, como es obvio, si nuestra medición del tiempo ha de hacerse con una precisión del segundo, esos conceptos han de precisarse un poco más y esto, como vamos a ver, no es tan trivial como parece. Día sidéreo. Una condición evidente que ha de cumplir cualquier unidad de tiempo (por ejemplo, un día, una hora,...) que pretendamos utilizar para construir calendarios que tengan que ser precisos (como, por ejemplo, el Almanaque Náutico) es que sean siempre iguales. Es decir, necesitamos una patrón (una unidad) de tiempo constante. Esto lo conseguiremos si para definir el día utilizamos algún punto fijo (como una estrella lejana o, mejor, el primer punto Aries ) de la esfera celeste5.1. Así definimos el día sidéreo que es el tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del punto por el meridiano del observador. Este intervalo de tiempo lo dividimos en 24 horas sidéreas, cada una de las cuales se compone de 60 minutos sidéreos y, finalmente, cada uno de éstos tiene 60 segundos sidéreos. Se toma como inicio del día sidéreo (y, obviamente, como final del día anterior) en un lugar dado el instante en que el punto pasa por el meridiano de ese lugar (es decir, para un observador en el hemisferio norte el instante en el que Aries está exactamente sobre el Sur). Como la esfera celeste gira aparentemente hacia el W de forma que cualquier punto fijo de ella gira 360o en un día sidéreo completo, las 1 : 00 horas sidéreas corresponden al instante en que se ha desplazado 15o hacia el W del meridiano del lugar, las 2 : 00 horas sidéreas cuando esté 30o al W del meridiano, etc. El día sidéreo es una medida apropiada del tiempo especialmente cuando se trata de tabular efemérides astronómicas, pues todos los cuerpos celestes que podemos considerar fijos a efectos prácticos (como las estrellas, las galaxias, etc) aparecerán exactamente en la misma posición respecto a un observador terrestre cada día sidéreo a la misma hora sidérea del día anterior. Por tanto, esta manera de medir el tiempo es muy apropiada para planificar observaciones astronómicas y sería, por la misma razón, también idónea para construir el AN. Sin embargo, el uso del tiempo sidéreo en la vida diaria representaría un serio problema pues nuestra vida cotidiana, nuestros periodos de actividad y descanso, se rigen por los periodos diarios de luz y oscuridad, es decir, por la posición del Sol respecto al observador, y no por la posición de que, en lo que a la vida cotidiana se refiere, pasa totalmente inadvertido. Y el problema es que el Sol y coinciden sólo una vez al año, el 21 de Marzo durante el equinoccio de primavera cuando el Sol tiene declinación cero y está precisamente en el punto de corte de la eclíptica con el ecuador celeste (o sea, está en ). Así que el 21 de Marzo el mediodía (o sea, el instante en el que el Sol pasa por el meridiano del lugar -sobre el S para un observador en latitudes norte medias-) tiene lugar a las 0 : 00 horas sidéreas, pues ese día el Sol y están juntos y pasan, por tanto, a la vez por el meridiano del observador. Pero a medida que pasan los días el Sol se desplaza aparentemente sobre la eclíptica, hacia el E, a razón de una vuelta completa al año (por tanto, a razón de 360o/365 = 0.9863o por día). Así que cuando han transcurrido 3 meses, el 21 de junio durante el solsticio de verano, el Sol ha huido 90o hacia el E de . Ese día, cuando son las 0 : 00 horas sidéreas y tenemos a sobre nuestro meridiano, el Sol aún está 90o más al E de forma que, para tenerlo en el meridiano y llegar al mediodía, la esfera celeste aún ha de rotar esos 90o y esto significan 6 horas sidéreas más (si en 24 horas rota 360o en una hora rota 15o y en 6 horas lo hace 90o). Es decir, el 21 de junio el mediodía tiene lugar a las 6 : 00 horas sidéreas. Y así sucesivamente a lo largo del año: La hora sidérea de entrar al trabajo, por ejemplo, recorre las 24 horas del día a lo largo del año, y lo mismo sucede con la hora sidérea a la que realizamos cualquiera de nuestras actividades rutinarias. Esto hace que el uso del tiempo sidéreo sea inviable para regir nuestra vida. La solución evidente al problema anterior es utilizar dos pasos consecutivos del Sol por el meridiano del observador, en lugar de dos pasos de , para definir el concepto de día, aunque, como veremos pronto, tendremos que pagar un precio por ello. Así, un día solar verdadero es el tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del Sol por el http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node23_ct.html

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La medida del tiempo.

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meridiano del lugar. Con el fin de que el final de un día y el comienzo del siguiente (es decir, el cambio de fecha en el lugar) interfiera lo menos posible con nuestra vida cotidiana, se toma el origen del día solar (o sea, las 0 : 00 horas) en un lugar dado como el instante en el que el Sol pasa sobre el meridiano inferior del lugar (y tiene, por tanto, un horario en el lugar hl = 180o ). ¿Tienen la misma duración un día solar y un día sidéreo?. Pues la respuesta es no. Acabamos de ver más arriba que el Sol huye hacia el E, a lo largo de la eclíptica, a razón de 0.9863o diarios. Por consiguiente, si partimos del mediodía, con el Sol sobre nuestro meridiano superior, un día sidéreo exacto después resulta que el Sol aún no está sobre nuestro meridiano sino que, por contra, la esfera celeste ha de seguir rotando los 0.9863o que ha huido el Sol para volver a tenerlo sobre el meridiano y completar así un día solar. Es decir, un día solar es más largo que un día sidéreo. Si en rotar 360o la esfera celeste tarda 24 horas sidéreas, en rotar estos 0.9863o tarda 3.94 minutos sidéreos. Así que 1 día solar = 24h3.94m = 24.06567h sidéreas. O, lo que es lo mismo, 1 día sidéreo = 23h56m solares. Pero las cosas no terminan aquí. Resulta que la velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol (y es este movimiento el que da lugar, como vimos en capítulos anteriores, a la huida aparente del Sol hacia el W a lo largo de la eclíptica) no es contante a lo largo del año. La órbita de la Tierra es una elipse con el Sol en uno de los focos, de forma que hay épocas a lo largo del año en las que la Tierra está más próxima al Sol que en otras. Sin embargo, las Leyes de Keppler obligan a que las áreas barridas por la recta que une el centro de ambos astros durante dos intervalos de tiempo iguales sean iguales5.2. Por tanto, cuando la Tierra está más cerca del Sol ha de trasladarse más deprisa que cuando está más lejos. Eso quiere decir que la huida aparente del Sol a lo largo de la eclíptica no ocurre a la misma velocidad de 0.9863opor día durante todo el año. Durante ciertas épocas será mayor y en otras será menor, compensándose para dar una media de 0.9863o diarios. Así que la equivalencia entre un día sidéreo y un día solar verdadero que hemos establecido arriba es verdad solamente en promedio. Resultado: el día solar verdadero no es un patrón constante para medir el tiempo y, por tanto, no es útil para construir calendarios o, en nuestro caso, el Almanaque Náutico. Sin embargo, la solución al problema anterior es fácil. Basta con definir un Sol medio imaginario que recorre la eclíptica a velocidad constante de 0.9863o por día. Definimos entonces el día solar medio (también llamado día civil o, simplemente, día medio) como el tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos de este Sol medio por el meridiano del lugar, con origen en el instante en que está en el meridiano inferior. Este si que es, por definición, un patrón de tiempo constante y guarda permanentemente con el día sidéreo la relación de arriba. Habrá épocas a lo largo del año en las que el Sol medio va por delante del Sol verdadero y viceversa. Esto implica que cuando son las 12 : 00 horas solares medias (el mediodía en el sentido cotidiano) habrá veces que el Sol aún no ha llegado al meridiano del lugar y habrá otros momentos del año en que a esa hora el Sol ya habrá pasado por el meridiano. En otras palabras, el mediodía verdadero no coincide con el mediodía en el sentido habitual. La diferencia máxima entre ambos Soles (y, por tanto, entre ambos mediodías) a lo largo de un año es de unos 15 minutos lo cual no representa ningún problema en la vida cotidiana. La representación de esta diferencia en función del día del año a lo largo de todo un año es lo que se llama en astronomía la ecuación del tiempo. En realidad hay más efectos que contribuyen a la ecuación del tiempo, como el hecho de que la eclíptica está inclinada un ángulo de 23.5o respecto al ecuador. Todos estos efectos deben tenerse en cuenta en ciertas aplicaciones como, por ejemplo, la construcción de un reloj de Sol. Sin embargo, a los efectos prácticos de la navegación astronómica lo explicado hasta aquí es más que suficiente. El día solar medio, dividido en 24 horas de 60 minutos, cada uno de ellos de 60 segundos, es el patrón utilizado para construir el Almanaque Náutico y, en general, el utilizado para medir el paso del tiempo. Utilizando esta unidad de tiempo definimos ahora una serie de conceptos básicos para la práctica de la navegación astronómica. Hora civil del lugar Hcl: Tiempo transcurrido desde el paso del Sol medio por el meridiano inferior del lugar. Es evidente entonces que, en un mismo instante dado, dos puntos de la Tierra situados en dos meridianos diferentes (es decir, con distinta longitud) tienen distinta hora civil. Obviamente, la diferencia entre ambas horas civiles coincide con la diferencia en longitud expresada en tiempo. Tiempo universal TU : Es la hora civil del meridiano de Greenwich. Es decir, el tiempo medido mediante los pasos del Sol medio por el meridiano de Greenwich. Por esta razón se le da también el nombre de hora GMT (del inglés, Greenwich mean time). La idea es clara: Puesto que la hora civil depende del lugar, necesitamos, con el fin de confeccionar un Almanaque Náutico que valga para todos los lugares, referir los datos de los astros (ángulos http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node23_ct.html

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sidéreos, declinaciones, etc) a instantes de tiempo que sean los mismos para todo el mundo y, puesto que ya medimos longitudes respecto al meridiano de Greenwich, parece lógico referir los datos que dependen del tiempo al tiempo universal (que es único pues existe un solo meridiano de Greenwich). Cuando, situados en un meridiano diferente, queremos utilizar el AN para obtener algún dato lo único que hemos de hacer es calcular el TU que le corresponde a nuestra Hcl de la observación y, obviamente, la diferencia entre TU y Hcl es la longitud del lugar expresada en tiempo: Hcl = TU + L donde, como siempre, utilizamos el criterio de signos astronómico para las longitudes: Positivas si son E y negativas cuando son W. De esta forma, la ecuación anterior da, para un instante de tiempo dado, una Hcl menor que TU cuando el observador está al W de Greenwich y mayor cuando está al E, como debe ser. Pero, de nuevo, tenemos problemas prácticos muy serios haciendo las cosas de esta manera tan lógica: Si queremos utilizar la hora civil para regir nuestras vidas, resulta que cada vez que nos desplacemos en cualquier dirección que no sea estrictamente N o S (es decir, cada vez que cambiemos de meridiano) tenemos que cambiar la hora de nuestro reloj. Esto es inviable en la práctica. Para evitar este problema se introdujeron los husos horarios y la hora legal. Husos horarios: Se divide la Tierra en 24 sectores circulares (por tanto, de 15o cada uno), centrados en el meridiano de Greenwich (huso z = 0) y en los meridianos de longitudes L = 15oE, 30oE, 45oE,..., 180o (husos z = + 1, + 2, + 3, ..., + 12 ) y L = 15oW, 30oW, 45oW,..., 180o (husos z = - 1, - 2, - 3, ..., - 12 ). Los 15o asignados a cada huso se reparten 7.5o a cada lado del meridiano central del huso. En la figura 1 se muestra una representación vista desde el Polo Norte. Se han representado con líneas a trazos los meridianos centrales de los husos y con líneas continuas los bordes. Ahora se asigna a cualquier punto de un huso dado la misma hora legal Hz, que se define como la hora civil correspondiente al meridiano central del huso. Por tanto, todos los puntos de un huso tienen la misma hora legal y, puesto que la máxima diferencia de longitud entre dos puntos cualquiera de un huso es de 15o = 1hora, la máxima diferencia de hora civil entre dos puntos del mismo huso es de una hora, así que ajustando nuestros relojes a la hora legal no observaremos cambios importantes que entorpezcan seriamente nuestra vida cotidiana en fenómenos como, por ejemplo, la salida y puesta del Sol o el mediodía verdadero (que, como debe ser ya obvio, se rigen por la hora civil y no por la legal). La hora legal del huso z = 0 coincide, evidentemente, con el tiempo universal. La relación entre la hora legal en cualquier punto y el TU es evidente: No tenemos más que hallar, a partir del valor de la longitud, el z que le corresponde al lugar en cuestión y, con el criterio de signos que hemos establecido arriba para las z, Hz = TU + z La conversión entre hora civil del lugar Hcl y hora legal Hz (o viceversa) correspondientes a un instante dado debe

realizarse, con el fin de evitar errores, calculando primero, por medio de las ecuaciones de arriba, el TU correspondiente al instante en cuestión. Conocido éste, y conocida nuestra longitud (y, por tanto, nuestro huso z) podemos hallar Hcl o Hz, según sea el caso.

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Figura 1.

Husos horarios.

EJEMPLO: Hallar la hora civil en un lugar situado en longitud 80o30'W cuando la hora legal es Hz = 0h15m del día 25 de septiembre. Un punto de tal longitud corresponde al huso z = - 5h. Por tanto, de la ecuación Hz = TU + z obtenemos que TU = Hz - z = 0h15m - (- 5h) = 5h15m (dia 25). Ahora, L = 80o30'W = - 5h22m. Por tanto, Hcl = TU + L = 5h15m + (- 5h22m) = 23h53m (dia 24). Observemos ahora con cuidado la figura 1 . Está claro que el huso centrado en el meridiano de longitud L = 180o es peculiar: A su mitad W le corresponde z = - 12 mientras que a la mitad E le corresponde z = + 12. ¿Qué quiere decir esto?. Imaginemos dos puntos muy próximos al centro del huso pero uno a cada lado del mismo. Por ejemplo, el punto P1 de longitud 179oE y el punto P2 de longitud 179oW . Supongamos un instante de tiempo dado, o sea, un valor de TU conocido. Por ejemplo, TU = 16h del 4 de Agosto. ¿Qué hora legal es en cada uno de los dos puntos anteriores?. Pues la respuesta debería ser inmediata: La misma puesto que hemos dicho que todos los puntos de un huso tienen la misma hora legal en un instante dado. Comprobemos que es así: En P1: Hz1 = 16h + 12h = 4h (dia 5 Agosto) En P2: Hz2 = 16h - 12h = 4h (dia 4 Agosto) De modo que, efectivamente, ambos lados del huso tienen la misma hora legal en un momento dado pero en la mitad W es un día antes. El meridiano de los 180o es la línea internacional de cambio de fecha. Cuando, navegando, atravesemos ese meridiano no hemos de modificar nuestro reloj pero hemos de variar la fecha en una unidad: Si atravesamos el meridiano 180o navegando hacia el W hemos de añadir un día más a la fecha y si lo atravesamos navegando hacia el E hemos de restarle un día a la fecha. Es muy importante tener esto en cuenta pues de lo contrario nos llevaría a consultar el día erróneo en el Almanaque Náutico, con el consiguiente error en la situación calculada. La figura 2 muestra una secuencia cronológica que ayudará a comprender, si aún queda alguna duda, este asunto. Se representa la Tierra vista desde el Polo Norte y, con distintos sombreados, las zonas del planeta según la fecha que se tiene en ese instante en cada zona. El meridiano superior de Greenwich se representa con una http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node23_ct.html

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G. Existe un instante, al mediodía en Greenwich (tercera viñeta), en el que todo el planeta tiene la misma fecha, el día D. Pero un instante después los habitantes situados en longitudes E próximas a los 180o se encuentran ya en el día D+1 y 6 horas más tarde (cuarta viñeta) todo un cuarto del planeta se encuentra ya en el día D+1. Obsérvese como a un lado y otro del meridiano de los 180o hay siempre un día de diferencia. En la práctica, la línea internacional de cambio de fecha no coincide exactamente con el meridiano de los 180o, pues esto supondría que algunos países tendrían zonas con fechas diferentes, con el consiguiente trastorno. Así que la línea de cambio de fecha que se utiliza en la práctica sufre algunos desvíos, más o menos grandes, para evitar este problema.

El cambio de fecha. Hora oficial Ho: Por razones de índole práctica o económica (por ejemplo, ahorro de energía), algunos países introducen un adelanto o atraso a la hora legal que les corresponde en atención al huso en el que se hallan, obteniéndose así la hora oficial. Este adelanto o atraso puede variar a lo largo del año, como de hecho sucede cuando se introduce el horario de verano con el fin de ahorrar energía. Este es el caso de España que pertenece al huso z = 0. Debería, por tanto, utilizar una hora legal que coincide con el tiempo universal. Sin embargo, nuestro país adoptó, al igual que otros países europeos, por razones prácticas, como hora oficial la hora legal correspondiente al huso z = + 1 (european central time, ECT), que es la que corresponde a los países de Europa central. Así que en invierno y otoño nuestra hora oficial tiene un adelanto de una hora con respecto a nuestra hora legal. Desde comienzos de primavera hasta el final del verano añadimos, al igual que la mayoría de los países, una http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node23_ct.html

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hora extra de adelanto con el fin de ahorrar energía, con lo cual la hora oficial en verano y otoño es TU + 2h. Hora del reloj de bitácora HRB: Es la hora que marca el reloj de a bordo y gobierna la vida en el barco. Cuando se realiza una navegación oceánica, en la que se cruzan diferentes husos, lo más conveniente es establecer como HRB la hora legal correspondiente al huso en el que se encuentra el barco en cada momento. De esta forma, ajustaríamos nuestro reloj sólo cuando atravesamos de un huso a otro. Cuando la navegación es restringida a un único huso, en aguas territoriales de un país, es frecuente utilizar como HRB la hora oficial vigente en la zona. En cualquier caso, si se pretende practicar la navegación astronómica, lo importante es tener claro en todo momento cuál ha de ser la conversión que hemos de aplicar a la HRB que estemos usando para obtener el correspondiente TU de forma que no cometamos un error al consultar el Almanaque Náutico. Puesto que los relojes digitales hoy día son sumamente baratos, lo más recomendable es llevar dos relojes, uno indicando la HRB y el otro marcando permanentemente TU. De esta manera descartamos cualquier posibilidad de confusión en este punto. Tiempo universal coordinado TUC: Aunque, a los efectos prácticos de la navegación astronómica, este es un concepto del que podemos prescindir, no deja de tener su curiosidad. Como he comentado en un pie de página anterior, nuestro patrón temporal, el día solar medio, es constante sólo si la velocidad de rotación de la Tierra es estrictamente constante. Pero resulta que esto no es así. Por el contrario, debido a fenómenos bastante complicados asociados a la atracción gravitatoria de la Luna, la Tierra pierde gradualmente energía que se transfiere a la Luna y, consecuentemente, disminuye continua y gradualmente su velocidad de rotación (a la vez que la Luna, al ganar energía, se aleja de la Tierra y aumenta su periodo se traslación). Existe otro fenómeno, incluso más complicado, desconocido e impredecible que el anterior, que contribuye a que la velocidad de rotación de la Tierra no sea estrictamente constante: Se han observado fluctuaciones en la rotación de la Tierra que pueden durar varias décadas (es decir, periodos de tiempo en los que la Tierra rota más lentamente seguidos de otros en los que lo hace más rápido, etc). Se cree hoy día que estas fluctuaciones pueden deberse a movimientos del núcleo fluido del planeta que interaccionan y perturban la rotación del manto. Sin embargo, cambios climáticos y variaciones en el nivel del mar (mucho de lo cual es debido a la irresponsabilidad del ser humano) pueden jugar un papel muy importante en todo este asunto pues, por ejemplo, una variación del nivel del mar produce una variación del momento de inercia de la Tierra. En cualquier caso, sea cual sea el mecanismo de estas fluctuaciones, está claro que no se pueden hacer predicciones sobre el fenómeno con los conocimientos actuales. En resumen, el día solar medio no es constante sino que aumenta lentamente a medida que pasa el tiempo. Con los conocimientos actuales que se tienen sobre este asunto, se estima que el día solar medio aumenta, más o menos, unos 0.001 segundos por siglo. Esta cantidad puede parecer ridícula, pero tiene efectos acumulativos importantes: en un siglo la Tierra ha perdido unos 45 segundos y en un milenio acumula un retraso de una hora y cuarto. Estas diferencias de tiempo son despreciables en la práctica de la navegación astronómica, pero han de tenerse en cuenta en otras aplicaciones hoy día fundamentales como, por ejemplo, el sistema GPS de navegación cuya precisión depende de diferencias de tiempo incluso más pequeñas entre señales electromagnéticas, pero esta es otra historia. La solución actual a este problema ha llegado con la invención, en 1948, del primer reloj atómico que utilizaba la duración de las vibraciones de moléculas de amoniaco como patrón para medir el tiempo. El error entre un par de estos relojes atómicos; es decir, la diferencia entre los tiempos indicados por cada uno de ellos si ambos fueron iniciados simultáneamente y comparados posteriormente, era típicamente de 1 segundo cada 3000 años. En 1955 se construyo el primer reloj atómico basado en cesio. Son estos los más precisos utilizados hoy día, estimándose que adelantan o atrasan menos de un segundo en tres millones de años. Así que lo que se hace actualmente es que muchos países mantienen relojes atómicos en sus laboratorios de referencia, oficialmente encargados de esta misión (en España, el Observatorio de la Armada en San Fernando, Cádiz). El tiempo indicado por estos relojes es promediado para producir un patrón estándar internacional (el mismo para todo el mundo) que se llama tiempo atómico internacional TAI. Los laboratorios de referencia en los distintos países emiten señales de onda corta muy precisas e, incluso, hoy día se emiten utilizando satélites, garantizando una cobertura global. Estas señales se utilizan para, por ejemplo, el seguimiento de naves espaciales, satélites y, como no, el GPS. Y este es el final de la historia: Actualmente se ha adoptado como patrón de tiempo el segundo atómico, obtenido utilizando un reloj atómico. Este es un patrón rigurosamente constante. Así que, a partir de ahora, cuando hablamos de segundos nos referimos a segundos atómicos. La escala de tiempo universal (o sea, de hora civil en Greenwich) que utiliza como patrón el segundo atómico, en lugar del segundo solar medio, se llama tiempo universal coordinado TUC y fue adoptada en 1964. Ahora bien, si un reloj que marque el TU y otro que marque el TUC (un reloj atómico) son iniciados simultáneamente nos encontraremos, pasado un tiempo, conque ambos están desfasados, pues un segundo medio es más largo que un segundo atómico. Para que tal desfase no se produzca lo http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node23_ct.html

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que se hace es alargar artificialmente el segundo atómico añadiendo para ello, cuando es necesario y por consenso internacional5.3, un segundo atómico extra a la escala TUC de modo que la diferencia entre ambas escalas sea siempre menor de un segundo. En la práctica esto se consigue haciendo que el último minuto de Diciembre tenga, cuando es necesario, 61 segundos atómicos en lugar de 60. Este segundo extra se conoce como segundo bisiesto. Como es obvio, todo esto no nos afecta en la práctica de la navegación astronómica (pero es crucial para el sistema GPS). Las señales horarias emitidas por las emisoras, mediante las cuales sincronizamos nuestro reloj de bitácora, indican directamente TUC y esta es la escala utilizada en la confección del Almanaque Náutico. Por tanto, sólo hemos de limitarnos a mantener nuestro reloj sincronizado con las señales horarias.

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El Almanaque Náutico El Almanaque Náutico es la publicación esencial para la práctica de la navegación astronómica. Contiene toda la información referente a las efemérides astronómicas relevantes para la navegación. Cada pais tiene un organismo oficial encargado de su confección y publicación anual. En España este organismo es el Real Instituto y Observatorio de la Armada situado en San Fernando (Cádiz).

Almanaque Náutico español. En su parte principal el Almanaque presenta, para cada día del año y cada hora de tiempo universal (una página por día), los datos para el Sol, la Luna, Aries y los cuatro planetas que se utilizan en navegación astronómica (Venus, Marte, Júpiter y Saturno). La figura 1 muestra una de estas páginas. La mitad superior está formada por cuatro columnas principales (además de la primera que contiene horas de TU y la que contiene diferentes latitudes para presentar datos de efemérides que, como la puesta del Sol, dependen de la latitud del observador). En estas cuatro columnas se presentan todos los datos relativos al Sol y a la Luna. La mitad inferior de cada página contiene los datos, para cada hora de tiempo universal, relativos a Aries y los cuatro planetas.

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Figura 1.

Página diaria del Almanaque Náutico.

En todos los encabezamientos, debajo del nombre del astro, figuran los siguientes datos: PMG : Hora, en tiempo universal, de paso del astro por el meridiano superior de Greenwich. Por tanto, en el caso del Sol, PMG es la hora civil del mediodía verdadero en el meridiano de Greenwich. SD: Semidiámetro, en minutos de arco, con el que vemos el astro ese día. Evidentemente, esta dato sólo aparece en los casos del Sol y la Luna. Para la Luna se dan otros datos adicionales: Edad (tiempo transcurrido desde la última Luna nueva) en días. PHE , paralaje horizontal ecuatorial, que es un dato (su significado lo veremos más adelante en este capítulo) necesario para corregir las alturas de este astro observadas con el sextante. Se tabula este dato, en minutos de arco, para tres horas de TU a lo largo del día en cuestión. El dato Ro, en minutos, es el retardo, para el día de la fecha, en el paso de la Luna por el meridiano de Greenwich (veremos también su significado más adelante). Para los planetas se incluye también Mag, magnitud, que es una medida del brillo con el que vemos al planeta ese día. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node24_ct.html

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El cuerpo principal de datos que se proporcionan en cada página diaria está constituido por el horario en Greenwich, hG, y la declinación, , de los astros en cuestión para cada hora de TU. Esta es la información básica para la práctica de la navegación astronómica pues, como hemos visto en capítulos anteriores, son datos que entran en el triángulo de posición. La columna titulada Dif, en el caso de la Luna, y la fila con el mismo título al final de la página, son datos que se utilizan para facilitar la interpolación necesaria para obtener horarios y declinaciones en instantes de TU intermedios entre dos horas de las tabuladas (lo cual es lo más frecuente en a práctica). Finalmente, en las columnas superiores de la derecha, se muestran datos relativos al Sol y la Luna. En concreto, se dan, para días alternos (debido a su poca variación), las horas de TU correspondientes a la salida y la puesta del Sol y la Luna, todo ello para diferentes latitudes a lo largo del meridiano de Greenwich (pues estas efemérides dependen de la latitud del observador). Para el caso de la Luna se proporcionan también los correspondientes retardos diarios en estos fenómenos. Se incluyen también las horas TU correspondientes a los crepúsculos civil y náutico5.4, matutino o vespertino en días alternos, con el fin de ayudar en la planificación de las observaciones. Téngase en cuenta que es sólo durante el crepúsculo que podemos utilizar las estrellas pues es cuando único son observables, simultáneamente, las estrellas y el horizonte de la mar. Pasado el crepúsculo vespertino vemos las estrellas pero no el horizonte y pasado el matutino vemos el horizonte pero no las estrellas. En cualquier caso, fuera del crepúsculo no podemos medir la altura de las estrellas. Estos datos se dan en días alternos porque varían lentamente. Cuando, por ejemplo, necesitamos la hora de salida del Sol en un día en que el AN proporciona la puesta lo que hacemos es promediar los datos correspondientes los días anterior y siguiente.

Almanaque Náutico. Tablas de interpolación.

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Subsecciones z z z z

Cálculo del horario en Greenwich y la declinación del Sol, la Luna, Aries y los planetas en un instante de TU dado. Cálculo del horario en Greenwich y la declinación de las estrellas en un instante de TU dado. Cálculo de la hora de paso de los astros por el meridiano de un lugar. Cálculo de la hora de salida y puesta del Sol y la Luna. Crepúsculos.

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Cálculo del horario en Greenwich y declinación del Sol, Luna, Aries y planetas en un instante de T...

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Cálculo del horario en Geenwich y la declinación del Sol, Luna, Aries y planetas en un instante de TU dado Cálculo del horario en Greenwich en un instante de TU. El Almanaque está construido de forma que para obtener el horario en Greenwich o la declinación de un astro en un instante TU intermedio entre dos de los tabulados podemos utilizar una simple interpolación lineal; es decir, una regla de tres. Si queremos evitarnos éstas utilizamos las tablas de interpolación que incluye el propio Almanaque. Lo mejor es verlo con ejemplos. EJEMPLO: Obtener los horarios en Greenwich del Sol, la Luna y Marte cuando son las 15 : 45 : 25 TU del día 13 de Abril de 2001. Resolvamos el problema primero mediante una simple interpolación. Para evitar errores en los cálculos, es conveniente pasar todos los ángulos a grados y los tiempos a horas. Una vez obtenido el resultado final podemos volver a expresar los ángulos en grados y minutos. Pasamos el tiempo a horas: 15 : 45 : 25 = 15.75695 horas. Ahora tomamos del AN (figura 1 ) los horarios en Greenwich a las 15 horas (segunda fila de la tabla) y a las 16 horas (tercera fila). La diferencia de la tercera y segunda fila nos da la variación del horario en una hora de TU (cuarta fila de la tabla). Nótese que, al tratarse del horario, esta diferencia ha de ser siempre positiva pues la esfera celeste rota hacia el W y los horarios se miden también hacia el W. Por tanto, un astro está cada vez más hacia el W del observador (o sea, su horario es cada vez mayor) a medida que pasa el tiempo. Evidentemente, no ocurre lo mismo con la declinación, como veremos pronto. Una simple regla de tres nos permite ahora obtener la quinta fila de la tabla donde se consignan la variación de los horarios en el intervalo de tiempo de 0.75695 horas que van desde las 15 h hasta el instante que nos interesa. Finalmente, sumando los horarios a las 15 h (segunda fila) con esta variación obtenemos el resultado final deseado (sexta fila de la tabla). Sol Horario a las 15 h

Luna

Marte

44o53.3' = 44.8883o 155o23.3' = 155.3883o 162o33.1' = 162.5517o

Horario a las 16 h

59o53.4' = 59.89o

169o52.4' = 169.8733o

177o34.8' = 177.58o

Variación en 1 h

+15.0017o

+14.485o

+15.0283o

Variación en 0.75694 h

11.3554o

+10.9643o

+11.3755o

Horario a las 15.75694 56.247o = 56o14.6' 166.3526o = 166o21.1' 173.9272o = 173o55.6'

Resolvamos ahora el problema por medio de las tablas de interpolación del Almanaque. Estas tablas aparecen al final, en páginas numeradas del 1* al 30*, bajo el título de CORRECCIONES. En la figura 2 se reproduce una de ellas. Su utilización en el cálculo del horario es muy sencilla: De la página diaria correspondiente del AN obtenemos el hG correspondiente a la hora entera de TU anterior al instante deseado (segunda fila de la tabla) y, para aquellos

astros que lo requieran, el valor de la correspondiente Dif (entre paréntesis en la segunda fila, al lado del horario). Buscamos seguidamente en las tablas de interpolación la que corresponde a los minutos de TU del instante deseado. En este ejemplo, 45 minutos, página 23* (la representada en la figura 2 ). Buscamos ahora en la columna de los segundos el correspondiente a nuestro instante deseado y leemos, en la columna correspondiente al astro en cuestión, la corrección necesaria a aplicar por la fracción de hora que tenemos (tercera fila en la tabla). Finalmente, en la columna Correc. obtenemos, entrando con el correspondiente Dif, la corrección por diferencia (que tendrá el http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node25_ct.html

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Cálculo del horario en Greenwich y declinación del Sol, Luna, Aries y planetas en un instante de T...

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mismo signo que Dif) para aquellos astros que la requieran (cuarta fila). La suma de todas estas contribuciones da el resultado final deseado. Sol Horario a las 15 h Correc. por 45m25s

Luna

Marte

44o53.3' 155o23.3' (+101) 162o33.1' (+17) 11o21.3'

10o50.2'

11o21.3'

+7.6'

+1.2'

166o21.1'

173o55.6'

Correc. por Dif. Horario a las 15:45:25 56o14.6'

Se preguntará algún lector, ¿para qué meterse en líos de interpolaciones, como en la primera forma de resolver el ejercicio, si es mucho más fácil y rápido utilizar las tablas del AN?. Pues porque el Almanaque español que estamos manejando no es ni mucho menos el único que existe y que, en su momento, puede caer en nuestras manos. Y cada uno tiene sus propias tablas de interpolación, diferentes, pero las mismas páginas diarias. Así que procediendo de la primera manera sabemos manejar cualquier Almanaque5.5. Para terminar, recordemos que en nuestros cálculos necesitaremos el horario del astro en el lugar. Para obtenerlo basta sumar, como ya hemos visto, a hG la longitud L del observador (siempre con el signo adecuado según el convenio astronómico). Cálculo de la declinación en un instante de TU . De nuevo tenemos los dos mismos procedimientos. La interpolación lineal a mano no la voy a repetir pues, como toda interpolación lineal, es exactamente igual que antes. Téngase en cuenta solamente el hecho de que la declinación de los astros puede tener cualquier signo y, en un momento dado, puede estar aumentando o disminuyendo (no como el horario que siempre es positivo y siempre aumenta). Por tanto, al hallar las diferencias para obtener las variaciones hay que tener cuidado con el signo. Para utilizar las tablas de interpolación del AN en el cálculo de la declinación no hay más que entrar con el valor de Dif correspondiente al astro en cuestión (obtenido en la página diaria para la Luna y los planetas) en la página de CORRECCIONES adecuada a los minutos de TU del instante de interés. Leemos entonces la corrección correspondiente y le asignamos el signo adecuado a lo que esté haciendo la declinación del astro en ese momento. En el caso del Sol, el valor de Dif, a los efectos de interpolar la declinación, es Dif = 10( - ), donde y son las declinaciones del Sol en la hora entera posterior y anterior al instante que nos interesa, respectivamente. EJEMPLO: Calcular las declinaciones de los mismos astros y en el mismo instante que en el ejemplo anterior. Sol Dec. a 15 h

Luna

Marte

+9o12.9'( Dif = 10(9o12.9' - 9o13.8') = + 9) -22o43.2'(-24) -23o22.9'(-1)

Correc. por Dif.

+0.7'

-1.8'

-0.1'

Dec. a 15 : 45 : 25

+9o13.6'

-22o45.0'

-23o23.0'

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Cálculo del horario en Greenwich y declinación del Sol, Luna, Aries y planetas en un instante de T...

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Tabla de ángulos sidéreo de las estrellas.

Tabla de declinación de las estrellas.

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Figura 1

Figura 2

Cálculo del horario en Greenwich y la declinación de las estrellas en un instante de TU dado.

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Cálculo del horario en Geenwich y la declinación de las estrellas en un instante de TU dado El caso de las estrellas es bastante más sencillo que los anteriores pues son puntos prácticamente fijos en la esfera celeste. Por esta razón, el AN proporciona, en las páginas 376 a 379, las coordenadas (ángulo sidéreo As y declinación ) de las 99 estrellas utilizadas en navegación únicamente para el día 15 de cada mes. Nosotros suponemos en nuestros cálculos que esos mismos datos valen para cualquier día del mes. Para facilitar el uso de la tabla en el reconocimiento de los astros, como se ha explicado en capítulos anteriores, las estrellas aparecen en orden decreciente de ángulo sidéreo. En las figuras 1 y 2 se muestra (sólo en parte) esta tabla. En consecuencia, en el caso de las estrellas no es necesaria ninguna interpolación. Leemos directamente del AN el ángulo sidéreo y la declinación correspondiente al TU de nuestra observación sin más que tener en cuenta el mes de la observación. Para obtener el horario en Greenwich de la estrella, hG , (y, de él el horario en el lugar sumándole la longitud) hemos de aplicar la ecuación que ya conocemos: hG = As + hG , dónde hG , el horario en Greenwich de igual que si fuese el Sol).

, se calcula como hemos explicado en la sección anterior (exactamente

EJEMPLO: Calcular el horario en el lugar y la declinación de Capella a las 15 : 45 : 25 TU del 13 de Abril de 2001 en un lugar de longitud L = 25o37.2' E. Del AN (figura 1 ) obtenemos directamente para Capella en Abril de 2001: As = 280o48.9', Ahora calculamos el horario en Greenwich de (figuras 3 y 4 ): hG

= + 46o0.0'

utilizando las páginas diaria y de CORRECCIONES adecuadas

a 15h 66o51.7'

Correc. por 45m25s 11o23.1' hG a 15 : 45 : 25 78o14.8' hG = As + hG = 280o48.9' + 78o14.8' = 359o3.7' hl = hG + L = 359o3.7' + 25o37.2' = 24o40.9'

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Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Cálculo de la hora de paso de los astros por el meridiano de un lugar.

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Cálculo de la hora de paso de los astros por el meridiano de un lugar El problema que nos planteamos es muy simple: Hemos visto que el AN proporciona el TU de paso de los astros por el meridiano de Greenwich para cada día del año (para las estrellas se consigna este dato , en las páginas 380 y 381 sólo para el primer día de cada mes, de nuevo debido a su escasa variación). Ahora queremos obtener la hora de paso por el meridiano de un observador cualquiera, situado en una determinada longitud. Este cálculo, muy útil en navegación pues hemos visto lo fácil que resulta obtener la latitud a partir de la altura meridiana de un astro, tiene distinta solución según el astro del que se trate, como vamos a ver seguidamente. Sol y planetas. Puesto que el TU es la hora civil de Greenwich (medida, recordemos, con respecto al Sol medio) y el Sol medio se mueve uniformemente, el TU de paso del Sol verdadero por el meridiano de Greenwich, consignado en el AN como PMG, puede considerarse también como la hora civil del lugar de paso del Sol por el meridiano de ese lugar, Hcl po

m/s L. Es decir, Hcl po

m/s L = PMG.

Lo mismo puede aplicarse, dentro de la precisión necesaria para el navegante, a los planetas. Conocida la hora civil en nuestro lugar a la que ocurre un fenómeno (por ejemplo, el paso del Sol por nuestro meridiano), y conocida nuestra longitud, podemos, como hemos visto anteriormente, calcular el TU correspondiente a ese fenómeno (recuerda que Hcl = TU + L) y, a partir de TU y nuestro huso z podemos obtener la hora legal a la que sucede el fenómeno ( Hz = TU + z ). EJEMPLO: Calcular las horas civil, TU y legal de paso del Sol y Júpiter por el meridiano de 15o37.2' E el día 13 de Abril de 2001. Pasamos la longitud a horas: L = 15o37.2' E = 1h 2.5m E (positiva). Tenemos en cuenta que L = 15o37.2' E corresponde al huso z = + 1. La hora civil en el lugar del paso es directamente PMG que obtenemos de la página diaria. El TU correspondiente se obtiene de la ecuación Hcl = TU + L. Finalmente, la hora legal la obtenemos mediante Hz = TU + z. Los resultados se resumen en la tabla siguiente. Hcl po

m/s L TU = Hcl - L Hz = TU + z

Sol

12h 0.5m

10h 58.0m

11h 58.0m

Júpiter

15h 6m

14h 3.5m

15h 3.5m

Estrellas. El caso de las estrellas es ligeramente más complicado que el del Sol y los planetas. El AN proporciona (páginas 380 y 381, parte de ellas en la figura 1 ) las horas TU de paso de las estrellas por el meridiano de Greenwich el primer día de cada mes. Ahora bien, cualquier punto fijo de la esfera celeste (por ejemplo, una estrella) que esté en este instante en una posición dada (por ejemplo, en nuestro meridiano) ,volverá a encontrarse en esa posición un día http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node27_ct.html

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sidéreo después (esa era, precisamente, la definición de día sidéreo) y no un día solar medio después. Como ya hemos visto, un día sidéreo dura 23h56m solares medios (de los medidos en horas TU ). Por tanto, si ahora mismo tengo una estrella en mi meridiano, esa estrella pasará mañana por mi meridiano 4 minutos de TU antes. Este desfase de 4 minutos diarios, que en su momento llamamos huida del Sol hacia el E a lo largo de la eclíptica, se conoce en realidad como aceleración de las fijas (el origen del nombre es evidente: Las estrellas fijas están aceleradas, de forma que cada día llegan 4 minutos antes a la misma cita del día anterior).

Figura 1.

Horas TU de paso de las estrellas por el meridiano de Greenwich en primer día de cada mes.

La hora TU de paso de la estrella por el meridiano de Greenwich un día cualquiera, TU po m/s G, será, entonces, la tabulada en el AN para el primer día menos 4 minutos por los días transcurridos desde el primero hasta el día de interés. En realidad, los 4 minutos no son exactos, como es obvio, así que el AN contiene, en la misma página http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node27_ct.html

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(figura 1 ), una tabla, titulada 1ª CORRECCIÓN, con la corrección a aplicar (siempre restando). Fíjate que son casi siempre 4 minutos diarios. Cuando estamos próximos al final del mes la corrección llega a ser de casi 2 horas y es posible entonces que llegue a ser mayor que la TU de paso el primer día para algunas estrellas. En este caso lo que hemos de hacer es sumar al minuendo un día sidéreo ( 23h56m) antes de hacer la resta. Así que: TU po m/s G = PMGdia 1 - 1aCorrec. Conocida la hora TU de paso de la estrella por el meridiano de Greenwich el día de interés, queremos ahora obtener la hora civil de paso de la estrella por nuestro meridiano, Hcl po m/s L. Ahora no podemos suponer, como en el caso del Sol y los planetas, que esta hora será la misma que hemos calculado para el meridiano de Greenwich. La razón es que los 4 minutos de adelanto en 24 horas empiezan a contar cuando la estrella está pasando por el meridiano de Greenwich. Por tanto, hemos de añadir (con el signo adecuado) a TU po m/s G la parte proporcional a nuestra longitud (expresada en horas) de esos 4 minutos ( Lhorasx4minutos/24horas = 2aCorrec.minutos) con el fin de obtener Hcl po m/s L. De nuevo, como los 4 minutos no son exactos, el AN trae una tabla con esta 2ª CORRECCIÓN, en función de la longitud del observador, que debemos añadir (con su signo). Así, finalmente, Hcl po m/s L = PMGdia 1 - 1aCorrec. + 2aCorrec. Veamos, para terminar, cual es el signo adecuado de esta 2ª corrección. Si el observador está al E de Greenwich la estrella pasa por su meridiano antes que por el de Greenwich. Por consiguiente, no debemos tener en cuenta completamente los 4 minutos de adelanto correspondientes al día de interés y, sin embargo, lo hemos hecho en la 1ª Corrc. (así que hemos restado más de la cuenta). Corregimos entonces sumando la parte proporcional de los 4 minutos que corresponde al tramo que va desde el observador hasta Greenwich (es decir, la longitud). Esto es lo que hemos llamado 2ª Corrección. En resumen, si L es E la 2ª Corrección es positiva. Evidentemente, será negativa para longitudes W. Conocido la hora civil del lugar del fenómeno, Hcl po m/s L, obtenemos el TU y la hora legal correspondientes como siempre. EJEMPLO: Calcular la hora civil, TU y legal de paso de Canopus por el meridiano de los 55o37.2' E el día 15 de Septiembre de 2001. Del PMGdia 1y las correspondientes correcciones que tomamos del AN (figura 1 ) obtenemos, utilizando la ecuación anterior, la hora civil de paso de Canopus por el meridiano de interés: Hcl po m/s L = 7h42m - 55m + 1m = 6h48m Ahora ya podemos calcular todo lo demás. La longitud en horas es L = + 3h42.5my el huso es el z = + 4. Por tanto: TU = Hcl po m/s L - L = 6h48m - 3h42.5m = 3h5.5m Hz = TU + z = 3h5.5m + 4h = 7h5.5m. La Luna. El caso de la Luna es, en cierta manera, similar al de las estrellas, pero aún un poco más complicado. Fíjate que la complicación en el caso de las estrellas viene de que la posición relativa sobre la esfera celeste entre una estrella dada y el Sol medio (que es nuestro patrón para medir el tiempo) cambia (4m diarios, la aceleración de las fijas). Este cambio lo hemos de tener en cuenta cuando nos preguntamos por la hora a la que queremos encontrar una la estrella en la misma posición que el día antes. En el caso de las estrellas, este cambio de posición relativa no http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node27_ct.html

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proviene de las estrellas (que con muy buena aproximación podemos considerar fijas en la esfera celeste), sino del Sol medio que no está fijo sobre la esfera celeste sino que recorre la eclíptica dando una vuelta por año (en terminología astronómica, presenta una variación en ascensión recta de unos cuatro minutos diarios). La similitud que mencionaba arriba entre los casos de las estrellas y la Luna se refiere a que con esta última ocurre los mismo: La distancia relativa entre la Luna y el Sol medio sobre la esfera celeste no es constante sino que cambia. Este cambio habrá que tenerlo en cuenta a la hora de calcular la hora a la que la Luna se encuentra en una posición dada (sobre nuestro meridiano en este caso) o, también, en el cálculo de las horas de su salida y puesta. El problema es ahora un poco más complicado, simplemente porque el cambio de posición relativa entre el Sol y la Luna no es constante sino que, debido a que la Luna tiene también su movimiento propio, son ahora ambos astros, la Luna y el Sol medio, los que se desplazan sobre la esfera celeste. La combinación de ambos movimientos propios se traduce en que la Luna presenta un Retardo (con respecto al Sol medio, o sea, en tiempo TU) entre dos pasos consecutivos por el meridiano de Greenwich. Evidentemente, toda efeméride relativa a la Luna está afectada de su correspondiente retardo que, como hemos visto con anterioridad, viene tabulado en el AN. Veamos un poco más detenidamente el origen del Retardo en el paso por el meridiano de Greenwich: Imaginemos un instante dado en el que el Sol, la Luna y una estrella fija se encuentran sobre el meridiano de Greenwich (secuencia 1 de la izquierda en la figura 2 , visto desde el Polo Norte. G representa el meridiano de Greenwich). Pasado un día sidéreo la estrella vuelve a estar frente a Greenwich, pero el Sol medio aún no ha llegado pues, como discutimos en su momento, huye por la eclíptica (hacia el E) a razón de, aproximadamente, 1o (4 minutos) diario. Este ángulo, que se ha representado por f en la figura, es la aceleración de las fijas. La Luna da vueltas alrededor de la Tierra de forma que tarda 27.3 días en una vuelta completa (este tiempo se conoce como periodo sidéreo de la Luna). Así que la Luna también huye aparentemente por la esfera celeste (en la misma dirección que el Sol, hacia el E). Pero huye mucho más rápido pues lo hace a razón de 360o/27.3 = 13.2o = 52 minutos diarios (ángulo b en la figura). Así que, pasado un día sidéreo a la Luna aún le faltan 13.2o para llegar a Greenwich . Es evidente que, puesto que medimos el tiempo respecto al Sol medio y no a las estrellas, la situación es la representada en la parte de la derecha de la figura: Pasado un día solar medio (un día TU), la estrella se ha adelantado unos 4 minutos y la Luna se ha retrasado 13.2o - 1o = 12.2o = 48.8 minutos. Este es el Retardo que figura en el AN. Si te fijas en la figura 2 comprenderás, además, que el horario en Greenwich del Sol un día dado a una hora TU dada debe ser muy parecido al del día anterior a la misma hora. Sin embargo, si hacemos la misma comparación con la Luna, el horario en Greenwich de la Luna a una hora TU dada debe haber disminuido con respecto al del día anterior a la misma hora en 12.2o, y este es el comportamiento que puedes observar en el AN5.6.

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Retardo de la Luna y aceleración de las fijas. Pasemos, pues, a ver como se tiene en cuenta el retardo de la Luna en el cálculo de su hora de paso por el meridiano de un lugar determinado, de longitud L. Si hemos entendido el apartado anterior, referido a las estrellas, este no nos puede presentar ningún problema: Solo tendremos que tener en cuenta el equivalente a la 2ª Correc. (debida, recordemos, a que no estamos en Greenwich sino en una longitud L) pues el AN nos da la hora TU de paso de la Luna por Greenwich para cada día y no sólo para el primer día de cada mes. Así que para obtener la hora civil de paso de la Luna por el meridiano del lugar, Hcl po

m/s L, tomamos la hora TU de paso por Greenwich del AN

y le aplicamos la Corrección por retardo y longitud, CRL, que será la parte proporcional del Retardo R (del AN para el día en cuestión) a la longitud (en horas). O sea, como en el caso de las estrellas pero sustituyendo los 4 minutos de adelanto de éstas por el retardo R CRL(minutos) =

,

con dos salvedades: z

z

Puesto que se trata de un retardo en lugar de una aceleración, su signo será el contrario al caso de las estrellas: CRL es negativa si la longitud es E y positiva si la longitud es W (regla nemotécnica: criterio contrario al de siempre para las longitudes). Puesto que el retardo se mide desde que la Luna está en Greenwich, para longitudes W debe utilizarse el retardo del día de la fecha mientras que para longitudes E debe utilizarse el retardo del día anterior (nada similar a este detalle era necesario en el caso de las estrellas pues el adelanto de éstas es prácticamente fijo e igual 4 minutos). En realidad, puesto que el retardo varía muy poco de un día a otro, este detalle de tomar, para longitudes E, el retardo del día anterior al deseado es prácticamente irrelevante pues las CRL calculadas con uno y otro son iguales.

El AN nos facilita la labor incluyendo, en la página 386, una tabla, CORRECCIÓN POR RETARDO Y LONGITUD, en la que entrando con el retardo y la longitud obtenemos la corrección. Esa página del AN no es más que la ecuación http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node27_ct.html

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de arriba tabulada. Así que, Hcl po Conocida Hcl po

m/s L = PMG + CRL.

m/s L, calculamos el correspondiente TU y Hz como siempre.

Pero no se acaban aquí nuestros problemas con la Luna. La existencia de un retardo diario tan grande da lugar a dos tipos de casos particulares: Caso particular 1. Puesto que cada día solar medio la Luna se retrasa considerablemente en pasar por el meridiano de Greenwich, ocurre que en cada lunación5.7 hay un día en el que la Luna no pasa por el meridiano de Greenwich. Este hecho está indicado en el AN con ** en el PMG y R correspondientes a ese día. Sin embargo, ese mismo día la Luna si puede pasar por nuestro meridiano de longitud L. ¿Cómo se procede en este caso para el cálculo de la hora de paso por nuestro meridiano?. Pues depende de nuestra longitud: - Longitud W. Tomamos el PMG y R del día anterior. Este PMG será próximo a las 24h (de forma que al día siguiente la Luna ya no llega a pasar por Greenwich debido al retardo). Tendremos paso por nuestro meridiano dependiendo de lo lejos hacia el W que estemos de Greenwich. Si L es suficientemente grande, al calcular la corrección por retardo y longitud, CRL, nos saldrá un número suficientemente grande (positivo pues L es W) que sumado al PMG del día anterior nos dará un resultado mayor de 24h. Lo que sobrepase a 24h será la Hcl po m/s L. Sin embargo, si L no es suficientemente grande, el resultado será menor de 24h indicando que tampoco hay paso de la Luna por el meridiano del lugar el día deseado (y el resultado menor de 24h es la Hcl po anterior).

m/s L el día

-Longitud E. Procedemos de igual manera pero utilizando el PMG y R del día siguiente. Ahora el PMG será próximo a las 0h y la corrección por retardo y longitud es negativa. Si al añadirla al PMG el resultado es negativo lo que estamos obteniendo es la Hcl po

m/s L el día deseado (evidentemente, convirtiendo el resultado en

positivo sumando para ello 24h: La -1 : 30 de hoy son en realidad las -1 : 30 + 24 : 00 = 22 : 30 de ayer ). Si, por contra, el resultado sigue siendo positivo es que no estamos suficientemente alejados hacia el E de Greenwich y tampoco tenemos paso de la Luna por nuestro meridiano ese día. Caso particular 2. Existiendo paso de la Luna por Greenwich un día dado, puede suceder que no haya paso por nuestro meridiano ese mismo día. ¿Cómo lo sabremos?. Pues, de nuevo, depende de la longitud: -Longitud W. Podrá suceder en días en los que PMG es próximo a 24h. Al añadirle CRL (positiva) para obtener la hora civil de paso por nuestro meridiano podemos obtener un resultado mayor de 24h, indicando que no hay paso por nuestro meridiano. Lo que sobrepasa a 24h es en este caso la Hcl po deseada.

m/s L el día siguiente a la fecha

-Longitud E. Podrá suceder en días en los que PMG es próximo a las 0h. Al añadir la correspondiente CRL (negativa) podemos obtener un resultado negativo que nos indica que no hay paso de la Luna por nuestro meridiano. El resultado negativo es, después de sumarle 24h, la Hcl po

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m/s L el día anterior a la fecha deseada.

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Cálculo de la hora de salida y puesta del Sol y la Luna. Crepúsculos.

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Cálculo de la hora de salida y puesta del Sol y la Luna. Crepúsculos Un astro se encuentra en su orto u ocaso aparentes cuando aparece o desparece (respectivamente) en el horizonte de la mar. De ahí el calificativo de aparente pues en sentido astronómico correspondería a la aparición o desaparición del astro por el horizonte astronómico. Para el caso del Sol y la Luna, el fenómeno puede referirse a su limbo superior o a su limbo inferior. El AN presenta el TU correspondiente al orto y al ocaso aparentes del Sol y la Luna, para diferentes latitudes a lo largo del meridiano de Greenwich y en días alternos, correspondientes al limbo superior (salida y puesta del astro, respectivamente). Son estos los ortos y ocasos que interesan al navegante pues corresponden al instante en que el astro se hace visible o desaparece para el observador en la mar. La salida y puesta de un astro son efemérides que, obviamente, dependen de la latitud del observador Horas de salida y puesta del Sol. Crepúsculos. El AN proporciona las horas TU de salida y puesta del Sol para distintas latitudes a lo largo del meridiano de Greenwich, TUs/p G. Puesto que estas horas varían muy poco de un día a otro, se presentan en días alternos. Para

obtener la TU correspondiente a la puesta o salida un día en que no está tabulada procederemos, simplemente, a tomar la media de las horas TU correspondientes a los días anterior y siguiente. De nuevo, por tratarse del Sol, esta TUs/p G puede considerarse también, con muy buena aproximación, como la hora civil del fenómeno en otro

meridiano cualquiera, Hcls/p L: Hcls/p L = TUs/p G. A partir de la hora civil en el lugar calculamos como siempre la hora TU y la hora legal a la que tiene lugar la salida o puesta en nuestra posición, sin más que tener en cuenta nuestra longitud (en horas) y nuestro huso. En cuanto a los crepúsculos, se aplica exactamente lo mismo. En los días que el AN trae la hora de salida del Sol nos da también las horas TU de comienzo de los crepúsculos náutico y civil matutinos para las distintas latitudes del meridiano de Greenwich. En los días que se tabula la hora de la puesta se incluyen también las horas TU correspondientes al final de los crepúsculos civil y náutico. Estas horas son también las horas civiles a las que ocurren los mismos fenómenos en cualquier meridiano a la misma latitud. Estos datos son útiles en navegación con el fin de planificar la observación de estrellas pues, como ya se ha comentado en alguna ocasión, es sólo durante los crepúsculos cuando podemos observar simultáneamente las estrellas y el horizonte pudiendo medir, solo entonces, su altura. En cuanto a la duración de los crepúsculos, ésta depende del ángulo que forma el paralelo de declinación (o sea, el paralelo celeste) del Sol ese día con el horizonte. Este ángulo depende de la latitud del observador (pues al variarla variamos el horizonte) y de la declinación del Sol. Así resulta que se dan crepúsculos más largos a medida que aumenta la latitud y la declinación (por tanto, más largos, en una latitud dada, en los solsticios que en los equinoccios). Puesto que hemos aprendido a calcular las horas de comienzo y final (puesta o salida), no tenemos más que restar ambas para obtener la duración del crepúsculo. Como se puede ver, este problema es exactamente igual que el cálculo de la hora de paso por nuestro meridiano. Cuando se trata del Sol, el tiempo TU de cualquier efeméride en el meridiano de Greenwich es también la hora civil de esa efeméride en cualquier otro meridiano. Horas de salida y puesta de la Luna. No me parece necesario seguir insistiendo: Este problema es idéntico al cálculo de la hora de paso de la Luna por el meridiano de un lugar con la salvedad, claro está, que la hora TU de la efeméride en Greenwich y el correspondiente retardo son las indicadas en el AN para ellas. Todo lo demás (cálculo de la corrección por retardo y longitud, casos particulares y como proceder en ellos, etc) es, como es lógico, exactamente lo mismo. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node28_ct.html

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El sextante. Correcciones a aplicar a las alturas observadas.

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El sextante. Correcciones a aplicar a las alturas observadas El cálculo de la situación del barco utilizando las técnicas de la navegación astronómica se basa en una única idea: Por un lado, elegido el astro que vamos a utilizar, obtenemos sus datos astronómicos del Almanaque náutico. Utilizando entonces como situación del barco la de estima, resolvemos el triángulo de posición para calcular la altura del astro. Esta será la altura estimada pues está basada en la suposición de que nuestra situación es la de estima. Por otro lado, medimos la altura de ese astro utilizando el sextante. Esta será la altura verdadera, como es obvio. Si nuestra situación estimada fuese correcta, ambas alturas coincidirían. En general esto no ocurrirá y lo que aprenderemos en el capítulo siguiente es a corregir nuestra situación estimada utilizando la diferencia entre altura verdadera y altura estimada. La primera parte de este procedimiento (el cálculo de la altura estimada) ya lo hemos estudiado pues sabemos manejar el AN y sabemos resolver el triángulo de posición. La segunda parte depende de nuestro conocimiento del manejo práctico del sextante que es un instrumento óptico utilizado para medir ángulos con precisión. Su utilización a bordo no está limitada al posicionamiento del barco por medio de la navegación astronómica sino que, por ejemplo, puede utilizarse, en navegación costera, en el posicionamiento mediante ángulos horizontales. El conocimiento del sextante ha de comenzar por lo más elemental: describir sus partes principales y su utilización.

Figura 1.

Partes principales de un sextante.

Un sextante marino consiste, esencialmente, en dos espejos y un anteojo montados sobre una armadura (figura 1 ). El espejo horizonte (o espejo pequeño) está fijo en posición perpendicular a la armadura. Se trata de un espejo semitransparente, o sea, que refleja la luz que incide sobre él pero, a la vez, deja ver a través de él. Por contra, el espejo índice (o espejo grande) está sujeto, también perpendicularmente, a la alidada de forma que el espejo gira en torno a su eje perpendicular al plano del sextante cuando la alidada es desplazada a lo largo del limbo. Su funcionamiento esquemático está representado en la figura 2 : Al mover la alidada a lo largo del limbo hacemos rotar el espejo índice alrededor de su eje (en el sentido indicado por las flechas). Cuando la posición de la alidada es la correcta, la imagen reflejada del astro (que vemos en el anteojo merced a la doble reflexión en ambos espejos de la luz proveniente de él) coincide con la imagen directa del horizonte (que vemos a través del espejo semitransparente de horizonte). En esa situación, la escala graduada del limbo nos permite leer la altura del astro sobre el horizonte. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node29_ct.html

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El sextante. Correcciones a aplicar a las alturas observadas.

Figura 2.

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Esquema del funcionamiento de un sextante.

Lectura de la escala del sextante. Una vez que coinciden las imágenes reflejada del astro y real del horizonte, procedemos a la lectura de la altura. En la escala graduada a lo largo del limbo leemos los grados. En el tambor y el nonius leeremos los minutos y décimas. La lectura de los grados no presenta problema alguno. En la alidada existe una marca que nos indica los grados en la escala dibujada en el limbo. En general, esta marca caerá entre medio de dos marcas del limbo correspondiendo, como es obvio, el número de grados a la menor de ellas. La fracción de grado restante se lee entonces en minutos y décimas utilizando la escala del tambor (minutos) y la del nonius (décimas de minuto). Para utilizar estas dos escalas empezamos por localizar la marca del cero en la escala del nonius (la escala pequeña y fija). Esta marca caerá en general entre dos marcas de la escala de minutos del tambor. La más pequeña nos indica los minutos. Finalmente, las décimas de minutos (o segundos de grado, dependiendo de la graduación que tenga la escala del nonius de nuestro sextante) se leen en la escala del nonius buscando cuál de sus marcas coincide (está alineada con) una de las marcas del tambor. Un ejemplo terminará por aclarar el asunto. La figura 3 muestra las posiciones de todas las escalas de un sextante después de alineadas las imágenes. La lectura de la altura en este caso es de 29o42.5'. En el caso de la figura, la escala del nonius (que indica fracciones de minutos) tiene 10 divisiones. Cada una corresponde, por tanto, a una décima de minuto (o sea, 6 segundos de arco). Esta es la precisión de este sextante o, en otras palabras, el ángulo más pequeño que podemos medir con él. En otros casos, como los sextantes de plástico más económicos, la escala del nonius tiene sólo 5 divisiones, así que a la hora de leer la fracción de minutos hemos de tener en cuenta que cada una de ellas corresponderá a 0.2'.

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El sextante. Correcciones a aplicar a las alturas observadas. Figura 3.

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Lectura de la altura medida con el sextante.

Error de índice. Su determinación. Corrección de la altura instrumental. El sextante, como cualquier instrumento de medida, está sujeto a errores sistemáticos, debidos a deficiente construcción o a un pobre ajuste, que introducen un error en el valor medido de la altura de un astro. Este error, que se debe fundamentalmente a la falta de perpendicularidad de los espejos con el plano del limbo, se llama error de índice, Ei . Es importante aprender a determinar el error de índice que afecta a nuestro sextante, de modo que podamos introducir la corrección correspondiente a las alturas que medimos con él. Con un poco de práctica se aprende también a ajustar los espejos de modo que Ei se hace muy pequeño e, incluso, se consigue eliminar. No obstante esto último, nunca hemos de tomar una altura con el sextante sin antes determinar el correspondiente error de índice, que anotaremos al lado de la lectura de la altura con el fin de corregir ésta adecuadamente. Esto es especialmente necesario cuando se utilizan sextantes de plástico en lugar de los metálicos de alta calidad (y mucho más alto precio) pues los primeros se ven mucho más afectados por las dilataciones y contracciones que provocan los cambios de temperatura (especialmente en medidas de la altura meridiana del Sol a mediodía). Estas dilataciones, por pequeñas que sean, modifican lo suficiente la perpendicularidad de los espejos como para introducir un Ei apreciable en un sextante que hubiésemos ajustado apropiadamente solo unas horas antes. Si el error de índice fuese cero, cuando colocamos el sextante en una lectura de 0o0' y miramos a través del anteojo veríamos coincidir las imágenes real y reflejada del horizonte, es decir, tendríamos el caso de la derecha de la figura 4.

F

Figura 4.

Determinación del error de índice de un sextante de espejo de horizonte semipermeable. En el caso de la izquierda no coinciden las imágenes real y reflejada del horizonte. A la derecha, ambas imágenes perfectamente alineadas.

Sin embargo, la situación habitual es encontrarnos el caso de la izquierda aún cuando la lectura del sextante indica 0o0'. Para determinar el error de índice procederemos entonces a mover lenta y suavemente la alidada, utilizando para ello el tambor, a la vez que permanecemos mirando a través del anteojo, hasta conseguir la alineación perfecta de ambas imágenes. La lectura del sextante habrá variado y nos estará indicando el error de índice. ¿Cuál es el signo de Ei?. Pues esto es sencillo. La posición de la marca de la alidada, una vez alineadas las imágenes, ya no coincidirá con los 0o del limbo sino que nos estará indicando dónde deberían estar situados esos 0o de la escala del limbo. Si la marca está a la derecha del 0o del limbo entonces las lecturas hechas en la escala del sextante serán menores que lo que deberían ser y, por tanto, para corregir hemos de tomar Ei positivo. Por contra, cuando la marca de la alidada está a la izquierda del cero del limbo, las lecturas que hagamos en la escala del limbo son mayores de lo que deberían ser y, por consiguiente, la corrección Ei debe ser negativa. De esta forma, distinguimos entre la altura instrumental, ai, de un astro, que es la altura tal cual la leemos del sextante sin corregir, y la altura observada, ao, que es la altura instrumental corregida por el error de índice: http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node29_ct.html

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El sextante. Correcciones a aplicar a las alturas observadas.

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ao = ai + Ei Nuestros cálculos de navegación astronómica harán uso, como es obvio, de la altura observada ao. Por tanto, es importante en la práctica conocer cómo determinar Ei (cosa que acabamos de explicar) y, también, como podemos ajustar nuestro sextante de forma que consigamos que este error sea muy pequeño o, incluso, desaparezca. Con sextantes de plástico esto es incluso más importante porque son mucho menos estables, es decir, que hemos de comprobar muy frecuentemente su ajuste pues de lo contrario el error de índice puede llegar a ser demasiado grande. Ajuste del sextante. Como ya hemos comentado, la causa principal del error de índice es la falta de perpendicularidad de los espejos con respecto al plano del limbo. El ajuste del sextante ha de hacerse siguiendo un orden establecido. Estos son los pasos necesarios: 1. Ajuste del espejo índice (o espejo grande). Movemos la alidada hasta que la lectura sea aproximadamente unos 50o (para desplazar rápidamente la alidada a lo largo del limbo presionamos la pinza para liberarla y la desplazamos. El tambor se utiliza para ajustes finos). Entonces tomamos el sextante en posición horizontal (figura 5 ) y lo orientamos de modo que veamos simultáneamente el limbo y su imagen reflejada en el espejo índice.

Figura 5.

Ajuste del espejo índice.

El espejo índice está correctamente ajustado, perpendicular al plano del limbo, cuando vemos el limbo y, a continuación, su imagen reflejada en el espejo sin ningún salto entre ellas (la imagen reflejada continua al limbo real sin que notemos la diferencia). Si esto no es así hemos de modificar la posición del espejo. Para ello moveremos muy lenta y suavemente el tornillo de la parte posterior del espejo, a un lado u otro, hasta conseguir el ajuste deseado. 2. Ajuste del espejo horizonte (o espejo pequeño). Primero aseguramos su perpendicularidad. Para ello miramos al horizonte o, en tierra, a cualquier línea recta horizontal suficientemente distante como, por ejemplo, el borde horizontal de un edificio. Movemos la alidada hasta que, al estar próxima a cero la lectura, veamos en el anteojo la imagen real del horizonte y su reflejada. Utilizando el tornillo micrométrico del tambor, hacia un lado o el otro, ajustaremos perfectamente ambas imágenes (como el caso de la derecha de la figura 6 ). Seguidamente, sin modificar la posición de la alidada, miramos a través del anteojo a cualquier línea vertical (el borde vertical de un edificio, el palo de una bandera, etc). En general, cuando el espejo horizonte no está ajustado, veremos una imagen doble de esta línea vertical (una real y otra reflejada). Haremos coincidir ambas imágenes perfectamente apretando o aflojando muy suave y lentamente el tornillo más cercano a la armadura de los dos que se encuentran en la parte trasera del espejo horizonte.

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El sextante. Correcciones a aplicar a las alturas observadas.

Figura 6.

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Ajuste del espejo horizonte.

3. Eliminación del error de índice. Volvemos a mover la alidada hasta que la lectura del sextante sea exactamente 0o0'. Esto provocará que, mirando al horizonte, las dos imágenes que habíamos hecho coincidir previamente vuelvan a encontrarse ligeramente separadas. Movemos entonces muy suavemente el tornillo más alejado de la armadura de los dos que están en la parte posterior del espejo horizonte hasta conseguir de nuevo la alineación perfecta de ambas imágenes. 4. Comprobación del ajuste. Para estar seguros de que nuestro sextante ha quedado completamente ajustado, con un Ei = 0, nos aseguraremos de que la lectura sigue siendo 0o0' y que las dos imágenes del horizonte siguen perfectamente superpuestas cuando muy lentamente balanceamos o inclinamos el sextante a un lado y otro (figura 7 ). Si es necesario haremos ajustes finales a ambos tornillos. Estos ajustes finales deben ser muy pequeños si todo el procedimiento se ha seguido con sumo cuidado y en el orden adecuado según se acaba de explicar.

Figura 7.

Comprobación final del ajuste.

Es fundamental mantener una comprobación muy frecuente del ajuste de nuestro sextante. Si bien no es necesario eliminar completamente el error de índice (los manuales de navegación astronómica dicen que un Ei de hasta 6' es aceptable), si que es preciso conocer en todo momento cuál es su valor de forma que podamos corregir, como se ha explicado más arriba, las alturas instrumentales para convertirlas en alturas observadas a partir de las cuales comenzar nuestros cálculos.

Subsecciones z z z

Correcciones a aplicar a la altura observada de un astro. Tablas de correcciones de alturas del Almanaque Náutico. Cómo efectuar correctamente la medición de la altura con el sextante.

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Correcciones a aplicar a la altura observada de un astro.

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Correcciones a aplicar a la altura observada de un astro Acabamos de aprender a utilizar el sextante para determinar la altura observada ao de un astro sobre el horizonte de la mar. Pero a estas alturas ya debemos tener claro que en el triángulo de posición lo que aparece es la altura (su complementaria) del astro sobre el horizonte astronómico o altura verdadera av. Es claro, entonces, que antes de dar el salto final de este curso introductorio y pasar a estudiar las rectas de altura y los cálculos de la situación del barco, hemos de hacer un último esfuerzo para aprender cómo se obtiene la altura verdadera av a partir de la altura observada ao. Esto se hace mediante la aplicación a ao de diferentes correcciones. 1. Corrección por depresión del horizonte. Supongamos que queremos medir la altura verdadera (es decir, con respecto al horizonte astronómico) de una estrella lejana. Dada la enorme distancia a las estrellas, los rayos de luz procedentes de la estrella que llegan al observador se pueden considerar paralelos a los que llegarían al centro de la Tierra (ya veremos después como se corrige esto cuando el astro en cuestión está mucho más próximo, como el Sol o la Luna, y esta afirmación deja de ser cierta).

Figura 1.

Medida de la altura de un astro.

Por tanto, examinando la figura 1 , es claro que el valor a de la altura se puede medir tanto en el centro de la Tierra, con respecto al horizonte astronómico, como en la posición del observador, con respecto al horizonte aparente. El resultado es el mismo. Pero cuando medimos la altura de la estrella con el sextante lo hacemos con respecto al horizonte de la mar y no con respecto al horizonte aparente. La situación se representa en la figura 2 .

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Correcciones a aplicar a la altura observada de un astro.

Figura 2.

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Corrección por depresión del horizonte.

La altura a deseada se obtendrá entonces a partir de la altura observada con el sextante ao aplicándole la corrección por depresión del horizonte, siempre negativa, Dp: a = ao - Dp. Es evidente que la corrección Dp depende de la elevación, e, del observador sobre la superficie del mar. ¿Cómo obtenemos Dp?. Pues en principio parece un problema geométrico bastante sencillo que podríamos resolver a partir

del valor del radio de la Tierra y de la elevación, e, del observador sobre la superficie del mar. Esto sería así si la Tierra no tuviese atmósfera. Entonces la luz viajaría en línea recta (como se ha representado en las figuras) y el problema de calcular Dp sería puramente geométrico (y bastante sencillo). Sin embargo, cuando la luz viaja a través de la atmósfera su trayectoria se curva hacia la superficie del planeta. Esto es una consecuencia del hecho de que al variar (disminuir) la densidad del aire a medida que nos elevamos, varía el índice de refracción y, como es sabido, cuando la luz pasa de un medio a otro con distinto índice de refracción su trayectoria se desvía5.8. Para agravar aún más las cosas, esta variación depende de factores como la temperatura y la presión atmosférica, que son bastante variables. El problema se convierte así en uno bastante complicado y fuera del alcance de este curso. Se suponen unas condiciones atmosféricas (presión y temperatura) medias y se resuelve el problema, llegándose a la siguiente solución: Dp(' de arco) = 1.7757

con la elevación e en metros. En la práctica, como observaremos siempre desde la misma elevación, podemos calcular, como parte de nuestros preparativos igual que determinamos el error de índice del sextante, la corrección por depresión Dp que tendremos que aplicar a todas nuestras alturas. Sin embargo, tampoco esto es necesario pues el Almanaque Náutico proporciona una tabla en su página 387 (obtenida a partir de la ecuación de arriba) con los valores de la corrección en función de la elevación. Como existen otras correcciones que habremos de aplicar sistemáticamente, también tabuladas en la misma página del AN, lo que finalmente hacemos en la práctica es medir la altura y aplicar todas las correcciones, obtenidas del AN, de un tirón. Una vez explicadas todas las correcciones necesarias haremos algún ejemplo que mostrará lo sencillo que es el procedimiento de obtener la altura verdadera de un astro a partir de la altura instrumental leída en el sextante. Aprovecharemos ese momento para explicar el uso de las tablas de correcciones del AN. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node30_ct.html

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Correcciones a aplicar a la altura observada de un astro.

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2. Corrección por refracción. La refracción de la luz procedente de un astro al atravesar la atmósfera provoca que la trayectoria de la luz se desvíe, curvándose hacia la superficie de la Tierra. El resultado es que al mirar al astro lo vemos en una posición aparente, a mayor altura sobre el horizonte, en lugar de verlo en su posición real (figura 3 ).

Figura 3.

Efecto de la refracción de la luz sobre la altura de un astro.

Para corregir este efecto tendremos que restar el ángulo R a la altura observada. Como se ha explicado más arriba, el efecto de la refracción es difícil de calcular porque depende de variables meteorológicas poco controlables. Existen ecuaciones empíricas para R pero nosotros nos limitaremos a utilizar la tabla de la página 387 del AN. 3. Corrección por paralaje. Para astros que no están tan lejos como las estrellas (la Luna, el Sol) no es cierta la suposición de arriba (figura 1 ) de que es equivalente medir la altura del astro en la posición del observador (con respecto al horizonte aparente) a medirla en el centro de la Tierra. Por contra, la situación es la representada en la figura 4 .

Figura 4.

Paralaje.

El ángulo Pa se llama paralaje del astro. Es evidente de la figura que la altura verdadera está relacionada con la observada a2 por medio del paralaje: av = a2 + Pa. Por consiguiente, la corrección por paralaje es siempre positiva. Si te imaginas ahora que alejas progresivamente el Sol de la Tierra, te darás cuenta de que el ángulo de paralaje Pa sería cada vez más pequeño y a2 y av son cada vez más parecidas. Para las estrellas la distancia es tan grande que la corrección por paralaje es nula. Queda claro entonces que el paralaje es función de la distancia del astro en cuestión a la Tierra. También puedes comprobar, reproduciendo la figura 4 y dibujando el astro en dos posiciones a la misma distancia pero con alturas verdaderas diferentes, que el ángulo de paralaje Pa depende también de la altura verdadera av del astro. Cálculos precisos del paralaje son complicados porque ha de tenerse en cuenta además el achatamiento de la Tierra por los Polos. La página 387 del AN incluye las correcciones por paralaje para aquellos astros a los que le afecta. 4. Corrección por semidiámetro. La altura verdadera que hemos de utilizar en los cálculos de navegación ha de medirse con respecto al centro del astro. Sin embargo, cuando observamos el Sol o la Luna, que vemos con tamaño apreciable, no podemos apreciar el http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node30_ct.html

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Correcciones a aplicar a la altura observada de un astro.

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centro del astro con suficiente precisión. Medimos entonces con el sextante su altura con respecto uno de sus limbos. Por tanto, para estos dos astros es necesaria una corrección adicional por semidiámetro que transforme alturas medidas con respecto al limbo en alturas respecto al centro. Será positiva si medimos la altura del limbo inferior y negativa si lo hacemos del limbo superior.

Corrección por semidiámetro.

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Tablas de correcciones de alturas del Almanaque Náutico.

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Tablas de correcciones de alturas del Almanaque Náutico La página 387 del AN contiene las tablas (TABLA A, TABLA B y TABLA C) necesarias para corregir las alturas observadas del Sol (limbo inferior), planetas y estrellas (figura 1 ). Las tablas para la corrección de las alturas de la Luna están contenidas en las páginas 388 y 389 (parcialmente en las figuras 2 y 3 ).

Figura 1.

Tablas de corrección de alturas del Almanaque Náutico.

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Tablas de correcciones de alturas del Almanaque Náutico.

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Sol (limbo inferior) y planetas.

A todos los astros hemos de aplicarle la corrección por depresión del horizonte (TABLA A). Para el Sol, las correcciones por refracción, paralaje y semidiámetro (limbo inferior) se tabulan, sumadas entre si en un solo número, en la TABLA B. Para corregir una altura del limbo superior de Sol lo único que tendremos que hacer es restar el diámetro aparente del Sol y aplicar entonces las correcciones correspondientes al limbo inferior. O sea, restaremos 2xSD, donde SD es el semidiámetro que obtenemos de la página diaria del AN para el día de la observación Para los planetas el semidiámetro es despreciable y la refracción se obtiene de la parte izquierda de la TABLA C. Para Venus y Marte es necesario añadir además la corrección por paralaje que se obtiene de la parte derecha de la TABLA C.

Estrellas.

Sólo se aplicarán las correcciones por depresión (TABLA A) y por refracción (TABLA C).

Luna.

La Luna, como de costumbre, es un poco especial. La altura observada de un astro (lectura del sextante más corrección de índice) corregida por depresión del horizonte se llama altura aparente (pues es la altura medida con respecto al horizonte aparente). En el caso de la Luna lo primero que hemos de hacer es obtener su altura aparente a partir de la altura observada aplicando la corrección por depresión de la TABLA A. Con la altura aparente aa así

calculada y el paralaje horizontal ecuatorial PHE (que obtenemos de la página diaria correspondiente a la fecha y hora TU de la observación) acudimos a las tablas de las páginas 388 y 389. En la fila correspondiente a los grados de altura aparente y en la columna de los minutos de PHE encontramos la corrección por refracción, paralaje y semidiámetro correspondiente a los grados de altura y minutos de paralaje exactos. Para obtener la corrección por los minutos de altura aparente y por las décimas de minuto de PHE utilizamos la tabla de PARTES PROPORCIONALES del final de la página 389. Para utilizar esta tabla habremos anotado la diferencia tabular por grado de altura, da, y la diferencia tabular por minuto de paralaje, dp. La primera no es más que lo que varía la

corrección entre el grado de altura que tenemos y el siguiente (en la columna de los minutos de PHE). La segunda es lo que varía la corrección entre el minuto de PHE que tenemos y el siguiente (en la fila de los grados de altura aparente que tenemos). Entramos ahora dos ves en la tabla de PARTES PROPORCIONALES: Una con los minutos de altura y da (la corrección así obtenida es negativa) y otra con las décimas de PHE y dp (corrección positiva). La suma de estas tres contribuciones con la altura aparente nos da finalmente la altura verdadera de la Luna.

Figura 2.

Tabla de correcciones para la altura de la Luna. Página 388 del AN.

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Tablas de correcciones de alturas del Almanaque Náutico.

Figura 3.

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Tabla de correcciones para la altura de la Luna (continuación). Página 389 del Almanaque Náutico.

EJEMPLO: Corregir las siguientes alturas observadas (o sea, ya han sido corregidas por error de índice), correspondientes a observaciones hechas el día 13 de Abril de 2001, a las 4h25m TU desde una elevación de 12 metros sobre el nivel del mar. De la página diaria (figura 4 ) obtenemos SD = 16.0' para el Sol y PHE = 55.6' para la Luna. La corrección por depresión del horizonte (tercera fila de la tabla) se aplica a todos los astros y es la misma para todos ellos, obteniéndose de la TABLA A de la página 387 (figura 1 ). Con esto ya podemos obtener la altura aparente de la Luna. Para el resto de los astros la altura aparente es irrelevante. Las corrección por refracción, semidiámetro y paralaje del Sol (quinta fila) se obtiene de la TABLA B con su CORREC. ADICIONAL. Para el Sol limbo superior restamos además dos veces el semidiámetro (sexta fila). La corrección por refracción, semidiámetro y paralaje de la Luna, para el grado de altura aparente y el minuto de paralaje exactos, se obtiene de la página 388 de donde obtenemos también las diferencias tabulares (fila siete). Estas diferencias tabulares las utilizamos junto con los minutos de altura aparente y las décimas de minuto de paralaje para obtener las partes proporcionales correspondientes (fila ocho). Finalmente, para Venus y la Polar sólo es necesaria añadir a la corrección por depresión la corrección por refracción y, en el caso del planeta, por tratarse de Venus, el paralaje. Sumando obtenemos finalmente las alturas verdaderas.

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Tablas de correcciones de alturas del Almanaque Náutico.

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Sol limbo inferior

Sol limbo superior

Luna limbo inferior

Venus

Polar

Altura observada

40o25.5'

40o12.8'

25o11.7'

41o13.6'

15o49.3'

Dp (TABLA A)

-6.2'

-6.2'

-6.2'

-6.2'

-6.2'

-1.2' + 0.4'

-3.3'

41o6.6'

15o39.8'

Altura aparente R, SD, Pa Sol (TABLA B)

25o5.5' 15.0' 0.0'

- 2 x SD

15.0' 0.0' -32.0'

Tabla página 388

1o2.9' (da = 0.4' dp =

PARTES PROP. pág. 389

-0.1' + 0.7'

1.1')

TABLA C Altura verdadera

40o34.3'

39o49.6'

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26o9.0'

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Figura 4

Cómo efectuar correctamente la medición de la altura con el sextante.

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Cómo efectuar correctamente la medición de la altura con el sextante Para una precisa observación es conveniente la concurrencia de dos tripulantes, uno maneja el sextante y el otro lee la hora de la observación. Una serie de trucos que aprenderemos en esta sección nos facilitarán el uso del sextante a la vez que nos permitirán obtener observaciones más precisas de los astros, clave para un buen resultado en la situación calculada del barco. Medida de la altura del Sol. Atención con las observaciones del Sol:

Jamás observar el Sol sin colocar antes los filtros adecuados. Pueden producirse lesiones irreversibles en los ojos. Para medir la altura de Sol se coloca la alidada a cero y se colocan los filtros en el espejo grande. Lo más conveniente es colocar todos los filtros y, después, si no somos capaces de ver al Sol, retirar uno a uno hasta quedarnos con la mayor protección posible que nos permita ver la imagen del disco solar claramente. Los filtros del espejo de horizonte se utilizan para evitar el daño debido al reflejo de la luz solar en el mar. Procederemos de la misma manera que con el espejo índice para encontrar el filtro adecuado. Sólo entonces dirigiremos el anteojo hacia el horizonte en la vertical del Sol, moviendo la alidada hacia adelante hasta hasta que aparezca la imagen del disco del Sol. Si apareciera el resplandor del Sol pero no su imagen, moveremos lateralmente el sextante (es decir, miramos en otra dirección próxima) hasta encontrar el disco solar. Moviendo lentamente el tambor llevamos la imagen del Sol a tangentear, con su limbo inferior, al horizonte. Si la observación se está haciendo por la mañana, cuando el Sol está subiendo, conviene dejar el limbo inferior ligeramente sumergido en el horizonte. Indicamos entonces al tripulante encargado de leer la hora, con la voz listo, que estamos preparados para la observación. Nuestro ayudante deberá responder con la misma voz para indicarnos que se ha enterado y está preparado para leer la hora. Entonces movemos lentamente el tambor hasta colocar el limbo inferior tangente al horizonte. Nos aseguraremos de que estamos observando con el sextante perpendicular a la superficie del mar balanceándolo ligeramente a un lado y a otro y observando cómo la imagen del Sol describe un pequeño arco de forma que nunca se hunde bajo el horizonte (figura 1 ). Durante este proceso mantenemos la mano sobre el tambor y, con sumo cuidado, modificamos su posición si fuese necesario hasta conseguir una imagen perfectamente tangente.

Figura 1.

Tangenteo del Sol sobre el horizonte.

Cuando estamos seguros, mediante este procedimiento, de que el Sol está perfectamente tangente sobre el horizonte damos la voz de top. Esto indica a nuestro ayudante que debe inmediatamente leer y anotar la hora, empezando siempre por los segundos, seguido de minutos y hora. Por nuestra parte, leemos en voz alta la altura instrumental de forma que nuestro ayudante la anote al lado de la hora de la observación. Nos aseguraremos de que ha habido un entendimiento completo entre ambos tripulantes haciendo que el anotador nos repita la altura instrumental que le hemos leído. Si no tenemos mucha práctica o la mar está picada y el barco se balancea fuertemente conviene repetir la medición de la altura varias veces, anotando los tiempos correspondientes. Obtenemos así una serie de alturas. Después las representamos gráficamente en función de la hora para decidir cuál de ellas es la mejor, descartando las que se http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node32_ct.html

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Cómo efectuar correctamente la medición de la altura con el sextante.

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salgan de una línea bien definida. De esta manera reducimos los errores accidentales. Medida de la altura de estrellas y planetas. Las estrellas y planetas se observan durante el crepúsculo. Como es evidente, es bastante más difícil localizar su imagen que en el caso del Sol. Para facilitar las cosas es conveniente calcular antes el azimut y la altura estimada que tendrá el astro en el momento de la observación. De esta forma, con el azimut, conocemos la posición del vertical del astro; es decir, sabremos hacia que punto del horizonte debemos apuntar el anteojo. En este caso es más sencillo apuntar el anteojo directamente al astro (evidentemente, sin filtros) con la alidada colocada en el cero. Al tener localizada la imagen de la estrella en el anteojo movemos la alidada lentamente hacia adelante y, simultáneamente, bajamos el sextante hasta que aparezca también el horizonte, cuidando de no perder de vista a la estrella por el camino. Si perdemos la imagen del astro conviene comenzar el proceso desde el principio. Una vez que tenemos el horizonte y la estrella simultáneamente en la imagen procedemos al tangenteo utilizando el tambor y balanceando el sextante hacia los lados como se ha explicado en el caso del Sol.

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Rectas de altura y navegación astronómica

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Rectas de altura y navegación astronómica Ha llegado ya el momento de dar el último paso que nos permitirá, por fin, utilizar nuestro sextante para hallar la posición del barco. No olvidemos, sin embargo, el fundamento principal de esta técnica, que ya hemos mencionado en el capítulo anterior: Con las técnicas de navegación astronómica seremos capaces de corregir nuestra situación estimada (y no determinar la situación sin una buena estima previa) basándonos en la diferencia que existe entre como veo un astro (con qué altura) y como lo vería si de verdad estuviese en la situación de estima. El éxito de este proceso; es decir, la precisión de la situación final calculada y, por tanto, la seguridad de la navegación basada en esta técnica, depende, en gran medida, de que la situación de estima no sea demasiado mala. Es muy importante, por tanto, en la práctica de la navegación llevar siempre una estima lo más precisa posible. Este es un principio aplicable a cualquier tipo de navegación, no sólo a la realizada por medio de la astronomía. El Patrón debe, por razones obvias de seguridad, tener en todo momento una estima lo más ajustada posible de la situación del barco, de forma que pueda reaccionar con prontitud y acierto ante cualquier imprevisto como, por ejemplo, un fallo eléctrico que deje fuera de servicio todas las ayudas a la navegación del barco (¡incluido el GPS!).

Subsecciones z z z z z z z z

Círculo de alturas iguales. Recta de altura. Cartas Mercátor en blanco. Cómo fabricarse una carta. Un ejemplo práctico. Situación por rectas de altura. Rectas de altura no simultáneas. Bisectriz de altura. Situación por bisectrices de altura. Cálculo de la situación mediante observaciones del Sol. Caso particular: Situación por altura meridiana del Sol. Caso particular: Latitud por altura de la Polar.

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Círculo de alturas iguales. Recta de altura.

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Círculo de alturas iguales. Recta de altura El nexo de unión entre los astros y la situación del barco es el triángulo de posición. Si proyectamos este triángulo sobre la superficie de la Tierra obtenemos un triángulo esférico (que también podemos llamar triángulo de posición) cuyos vértices son el Polo terrestre del mismo nombre que la latitud del observador (y que podemos seguir llamando polo elevado), el observador O y la proyección del astro sobre la superficie terrestre (polo de iluminación, PA), figura 1 . Es fundamental darse cuenta de que los elementos (lados y ángulos) de este triángulo son los mismos que los del triángulo de posición puesto que todos ellos son ángulos y no arcos de circunferencia. Al proyectar disminuye el radio de los círculos máximos que definen el triángulo esférico y la longitud de los arcos de circunferencia, pero no las aberturas (los ángulos) que conforman el triángulo.

Figura 1.

Proyección del triángulo de posición sobre la superficie terrestre.

Por tanto, la distancia angular entre el observador O y el polo de iluminación PA es la distancia cenital Ca = 90o a. Tracemos ahora un círculo sobre la superficie de la Tierra, con centro en PA y de radio Ca. El observador O es

un punto de este círculo. Pero si O mide, en un instante dado, una altura a para el astro en cuestión, cualquier otro observador O situado sobre este círculo obtendrá el mismo resultado para la altura del astro en ese instante. Esto es evidente sin más que pensar cómo sería el triángulo de posición de este segundo observador: Puesto que su triángulo de posición tendría el mismo lado Ca, la altura observada sería también a. Por esta razón este círculo se llama

círculo de alturas iguales (figura 2 ).

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Círculo de alturas iguales. Recta de altura.

Figura 2.

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Círculo de alturas iguales.

Esta idea es muy interesante pues nos permite diseñar una manera de situarnos: Navegando, sin siquiera tener una situación de estima (en contra de lo que hemos dicho antes), observamos la altura a de un astro conocido con el sextante y, por tanto, conocemos Ca = 90o - a. Por medio de los datos que nos proporciona el Almanaque Náutico

para ese astro en el momento de la observación somos capaces de situar el polo de iluminación PA. Por ejemplo, mediante su declinación y horario en Greenwich hG, como se indica en la figura 2 . No podemos utilizar ninguna coordenada que dependa de nuestra posición pues estamos suponiendo que no la conocemos. El único requisito necesario sería tener a bordo un reloj que indique permanentemente la hora y fecha TU directamente pues, al no conocer nuestra longitud, no podemos obtenerlas a partir de la HRB. Esto, sin embargo, no es ningún problema hoy día. Situado PA sobre una reproducción de la esfera terrestre que, a tal efecto, llevaremos a bordo, trazamos el círculo de alturas iguales, con centro en PA y radio Ca. Nuestro barco se encuentra en algún punto de este círculo. Es decir, hemos encontrado una línea de posición (LDP), equivalente, por ejemplo, a una demora a un faro en navegación costera. Si este proceso lo realizamos tomando simultáneamente la altura a dos astros conocidos diferentes obtenemos dos LDP. Sus puntos de corte (dos) nos indican las posibles situaciones del barco. Para discernir entre ambas necesitamos algún dato adicional, como una tercera LDP simultánea o, lo que ocurriría en la práctica, nuestra situación de estima que, por supuesto, si que mantendríamos continuamente actualizada.

Líneas de posición basadas en círculos de alturas iguales simultáneos. Aparentemente, hemos resuelto el problema básico de la navegación astronómica: Encontrar la situación de nuestro barco a partir de medir la altura de los astros. Necesitamos solamente un reloj, un sextante, el Almanaque Náutico y un globo terráqueo de tamaño adecuado. ¿Cuál es ese tamaño?. Pues vamos a encargarlo del menor tamaño posible pero que sea capaz de representar la superficie de la Tierra con la suficiente precisión como para que nuestra navegación sea segura. Digamos que queremos un globo en el que una milla náutica venga representada por un milímetro (quizás necesitaríamos uno algo más grande para obtener suficiente precisión). Como un círculo máximo http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node34_ct.html

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Círculo de alturas iguales. Recta de altura.

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de la Tierra mide 21600 millas ( 360ox 60' = 21600'), nuestra esfera ha de tener un perímetro máximo de 21600 7 metros de diámetro. Un milímetros. Eso significaría llevar a bordo una esfera de 21600/ = 6875.5 mm poco grande para llevar en la mesa de cartas, ¿no?. Bueno, puesto que manejar tal esfera es inviable en la práctica, podemos recurrir a dibujar el círculo de alturas iguales sobre una carta. Esto parece mucho más sencillo. Sin embargo, tampoco es la solución pues, como acabamos de ver, la dimensión angular del radio de ese círculo es Ca = 90o - a. Puesto que el arco correspondiente es un círculo máximo de la esfera terrestre, la longitud de este radio en millas náuticas será Ca expresado en minutos de grado. Así que si utilizamos un astro cuya altura es de, digamos, a = 46o, nos resultará un círculo sobre la carta de un radio r = 60 x (90o - 46o) = 2640 millas!6.1 Por tanto, sólo podríamos utilizar cartas de punto menor, que cubran prácticamente todo el globo. Estas cartas en realidad no son útiles puesto que con ellas el navegante no puede determinar la situación del barco con la suficiente precisión como para garantizar la seguridad. Si queremos utilizar este método con cartas de punto mayor, que cubren regiones mucho más pequeñas y proporcionan suficiente precisión, hemos de utilizar astros que den lugar a círculos de altura mucho menores. Esto nos limita a astros con alturas muy grandes (alturas por encima de unos 85o), lo cual invalida este procedimiento en la práctica pues no tenemos astros suficientes en esa región del cielo.

Figura 3.

Círculo de alturas iguales sobre una carta Mercátor.

Así que nuestra idea inicial, teóricamente impecable, de utilizar los círculos de alturas iguales como líneas de posición para situar el barco no es viable en la práctica. Sin embargo, la clave para la solución del problema está en este círculo. Sólo tenemos que utilizar la idea de manera un poco más inteligente: Puesto que, en realidad, llevaremos una estima aceptable, el círculo de alturas iguales pasará suficientemente cerca de nuestra situación de estima (pasando exactamente por ella si la estima fuese perfecta). Por tanto, no necesitamos todo el círculo, sino la pequeña porción de él más cercana a nuestra situación de estima. Más aún, puesto que el círculo de alturas iguales es http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node34_ct.html

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Círculo de alturas iguales. Recta de altura.

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enorme, la pequeña zona de él cercana a nuestra situación estimada se puede considerar, con muy buena aproximación, como una recta (igual que la superficie de la Tierra, que es esférica, la vemos a nuestro alrededor como un plano pues solo vemos una porción muy pequeña de ella). Este trozo de círculo de alturas iguales, próximo a nuestra situación estimada, aproximado por una recta, es lo que se llama una recta de altura. Veamos, entonces, como trazar la recta de altura sobre la carta. Recta de altura. El truco es hacer el proceso al revés. En lugar de tratar de encontrar nuestra situación, 0, a partir de localizar primero la posición del astro (su polo de iluminación) PA, utilizamos como punto de partida nuestra situación de estima Se. Ahora bien, si te fijas en la figura 3 te darás cuenta de que desde nuestra situación de estima somos capaces de determinar sobre la carta la dirección en la que se encuentra el astro, pues esta no es otra que el azimut, que habremos observado (en cuyo caso tendremos que conocer la corrección total del compás para poder deducir el azimut verdadero) u obtenido de la resolución del triángulo de posición. Por tanto, si nuestra situación estimada fuese correcta, sabríamos dibujar PA sobre la carta: No tenemos más que trazar una línea que, partiendo de Se, se dirija en la dirección Z. A una distancia Cesta (la obtenida de resolver el triángulo de posición construido a partir de la Se y expresada en minutos de arco para que sean millas) estará localizado el PA. Pero nuestra situación estimada no será la correcta, de lo cual nos daremos cuenta porque la Cverda = 90o - av, obtenida a partir de la altura verdadera av observada con el sextante, es diferente de Cesta. Así que centrándonos en el PA que acabamos de obtener a partir de Se, Z y Cesta podemos dibujar el círculo de altura verdadera (figura 4 ) que cortará a la línea que

hemos dibujado según el azimut en el punto M. De nuevo, fíjate que si nuestra estima fuese correcta, los puntos M y Se coincidirían. No lo hacen porque la altura estimada y la verdadera son diferentes. Pero, en realidad, la figura 4 no está dibujada a escala. En realidad Cesta y Cverase diferenciarán en sólo unos pocos minutos de arco (digamos menos de 10', de lo contrario es que nuestra estima es desastrosa). Así que, sobre la carta, la distancia de Se a M es, en la práctica, de sólo unas pocas millas (compáralo con el radio del círculo de alturas iguales que era de miles de millas). Por tanto, el trozo de círculo de altura próximo a M (unas pocas millas a ambos lados) lo puedo aproximar por su recta tangente en M, que será perpendicular a la línea inicial determinada por el azimut pues, como sabrás, la tangente a una circunferencia en un punto es siempre perpendicular al radio en ese punto. Este tramo de círculo de alturas iguales, aproximado por su recta tangente en el punto M, se llama RECTA DE ALTURA. Y, puesto que la recta de altura es un tramo del círculo de alturas iguales basado en la altura verdadera (la observada con el sextante), deducimos que el barco, en lugar de estar en Se, está en realidad sobre algún punto de la recta de altura.

De hecho, si pudiésemos asegurar que nuestro valor para el azimut Z es exacto, podríamos afirmar que el barco está en el punto M. Por esta razón, el punto M se llama punto aproximado (o determinante de la recta de altura). En la práctica siempre tenemos un pequeño error en el azimut, tanto si lo hemos medido en el barco como si lo hemos obtenido del triángulo de posición. En el primer caso porque es imposible medirlo con la precisión con la que medimos la altura del astro (errores en la corrección total, el compás, etc). En el segundo caso tendremos un error (pequeño) con total seguridad, pues determinamos el azimut resolviendo en triángulo de posición que está construido a partir de nuestra Se que no es exacta. Un pequeño error en Z significa que el barco no estará en M, sino en algún punto próximo a él sobre la recta de altura.

Para terminar, ahora que, espero, hemos entendido lo que es una recta de altura, sólo nos falta un pequeño detalle que nos ayudará a trazarla sobre la carta, pues, evidentemente, no lo haremos trazando primero el círculo de alturas iguales (era eso lo que queríamos evitar). Solo nos falta determinar cuanto vale a (figura 4 ) para poder dibujar la recta de altura partiendo de Se sin necesidad de preocuparnos de localizar PA ni dibujar el círculo de altura. Pero a es, según vemos en la figura 4 ,

a = Cesta - Cverda = 90o - ae - (90o - av) = av - ae, o sea,

a es, simplemente, la diferencia entre la altura verdadera y la estimada.

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Círculo de alturas iguales. Recta de altura.

Figura 4.

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Recta de altura.

Pueden suceder dos casos: 1. av > ae. Por tanto,

a > 0. Este es el caso representado en la figura 4 . En este caso será Cverda < Cesta y el

punto aproximado M está situado polo de iluminación PA). 2. av < ae. Por tanto,

a millas desde Se a lo largo de la línea del azimut y en dirección al astro (a su

a < 0. En este caso se tiene Cverda > Cesta así que el punto aproximado M estará situado

a millas desde Se a lo largo de la línea del azimut y en dirección opuesta al astro (figura 5 ).

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Círculo de alturas iguales. Recta de altura.

Figura 5.

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Recta de altura en el caso av < ae.

En cualquiera de los dos casos, como somos buenos Patrones (y mejores Capitanes6.2), nuestra estima será muy buena. Por tanto, av y ae serán muy parecidas y a será pequeña (se acepta en la práctica como razonable una diferencia de alturas de hasta 12 minutos de arco, es decir, 12 millas sobre la carta). Así que la carta necesaria para dibujar una recta de altura no necesita abarcar grandes superficies como ocurría con los círculos de alturas iguales. Lo hemos conseguido porque hemos logrado prescindir del polo de iluminación del astro, reduciendo todo el problema a la idea que ya hemos comentado con anterioridad: Corrigimos nuestra situación de estima utilizando la diferencia de altura que existe entre como vemos de verdad el astro (sextante) y como lo veríamos si estuviésemos donde creemos estar(altura estimada a partir del triángulo de posición basado en Se). En resumen, para dibujar una recta de altura estos son los pasos a seguir: 1. Observamos el astro elegido. Medimos su altura instrumental ai (lectura directa del sextante) y anotamos la hora TU de la observación.

2. Aplicamos todas las correcciones necesarias a ai, según hemos explicado, y obtenemos la altura verdadera av Este es nuestro primer dato fundamental. 3. Obtenemos del Almanaque Náutico las coordenadas celestes del astro (declinación y horario en Greenwich) correspondientes al instante de la observación. Utilizando nuestra situación de estima: - obtenemos el horario del astro en el lugar y determinamos el horario astronómico (ángulo en el Polo), anotando si es W o E . - comprobamos si la declinación es del mismo signo o del contrario que la latitud de estima para determinar la codeclinación . - obtenemos la colatitud Cl = 90o - l. - dibujamos el triángulo de posición, anotando explícitamente la dirección W o E del ángulo en el Polo y N o S de la colatitud con el fin de no confundirnos al interpretar correctamente el azimut astronómico que resulte de los cálculos. - resolvemos, por medio de las leyes de la trigonometría esférica, el triángulo de posición y obtenemos el azimut Z http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node34_ct.html

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Círculo de alturas iguales. Recta de altura.

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(segundo dato fundamental) y Cesta. Obtenemos la altura estimada ae = 90o - Cesta. 4. Obtenemos a = av - ae, anotando explícitamente su signo para evitar confusiones al dibujar sobre la carta (tercer, y último, dato fundamental). El resultado serán unos pocos minutos de arco. 5. Dibujamos nuestra Se sobre la carta. Partiendo de Se dibujamos una línea recta en la dirección determinada por Z indicando, por medio de una flecha en su extremo, la dirección hacia el astro. 6. A una distancia

a millas desde Se, en la dirección de la flecha (si

a es positiva) o en la dirección opuesta a la

flecha (si a es negativa), dibujamos una perpendicular que es la recta de altura deseada. Nuestro barco se encuentra (se encontraba en el momento de la observación) en algún punto de esta recta. Repitiendo todo el proceso utilizando los datos correspondientes a otro astro observado simultáneamente6.3 obtenemos una segunda recta de altura a partir de la misma situación de estima. El punto de corte de ambas determina la posición del barco.

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Cartas Mercátor en blanco. Cómo fabricarse una carta.

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Cartas Mercátor en blanco. Cómo fabricarse una carta Se supone que utilizamos la navegación astronómica cuando no podemos utilizar las técnicas de la navegación costera (demoras, enfilaciones, etc) por encontrarnos en medio del océano, a miles de millas de cualquier costa. En tal situación navegar sólo por estima puede conducir a enormes errores pues pasarían muchos días hasta que la estima pueda ser corregida con observaciones de referencias en tierra. Utilizamos entonces las técnicas de la navegación astronómica para, precisamente, hacer la corrección de la estima. Para dibujar nuestras posiciones, rectas de altura, etc. necesitamos la carta de la zona en la que navegamos. Pero una carta de punto suficientemente grueso como para que sea precisa (o sea, una carta que cubra sólo unas cuantas millas alrededor de nuestra Se) de una zona en medio del océano es, cuando menos, muy aburrida: No aparecerá tierra por ningún lado, sólo océano, será una carta en blanco, con una escala de longitudes y otra de latitudes. Estas últimas deformadas (aumentadas) más o menos según cómo de lejos nos encontremos del Ecuador. Como he comentado en un pie de página anterior (ver también Apéndice) esta deformación es inevitable y es necesaria para que un rumbo entre dos puntos medido sobre la esfera terrestre coincida con el rumbo entre esos dos puntos medido sobre la carta Mercátor. Esta es una condición esencial para que la carta pueda ser utilizada en navegación. Estas cartas en blanco se venden en las tiendas especializadas. Se llaman cartas en blanco porque valen para cualquier zona de la Tierra de latitudes las cubiertas por la carta. La única diferencia entre una carta en blanco y otra es el rango de latitudes que cubre, y según sea éste, así será la deformación vertical que tenga. Cuanto mayor es la latitud, mayor es la separación en centímetros sobre la carta entre dos puntos de la misma longitud y con una diferencia de latitud entre ellos fija (o sea, dos puntos sobre un meridiano, colocados cerca del Ecuador o lejos de él), aunque la distancia real en millas entre ellos es, obviamente, la misma. No es necesario, sin embargo, recurrir a la compra de cartas en blanco que cubran todas las posibles latitudes que, aunque desgraciadamente no parece que vayamos a navegar por todas ellas, necesitaremos para poder hacer los variados ejercicios necesarios para obtener la soltura suficiente con esta técnica de navegación. Es muy sencillo fabricarse una carta en blanco apropiada para la zona de nuestra situación de estima utilizando para ello las propiedades de una carta Mercátor (ver apéndice). Veamos cómo: Lo único que hemos de saber hacer es dibujar los paralelos y los meridianos alrededor de la situación de estima como lo estarían en una carta Mercátor de esa zona. Como se explica en el Capítulo Apéndice III, dos meridianos separados por una diferencia de longitud L vienen representados en la carta por dos rectas verticales separados L (en minutos) millas. Si ahora consideramos el paralelo de latitud l y un segundo paralelo en sus proximidades, separado del primero por una diferencia de latitud l, sobre la carta Mercátor esos dos paralelos vienen representados por dos rectas horizontales separados una distancia l /cos(l ). En otras palabras, en el entorno de un punto de latitud l la separación entre paralelos ha de crecer como 1/cos(l ). Esto lo podemos conseguir gráficamente de manera muy sencilla (figura 1 ):

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Figura 1.

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Carta Mercátor en blanco para el entorno del paralelo de latitud l.

Sobre una hoja de papel en blanco (una hoja a cuadros o de papel milimetrado nos facilitará considerablemente las cosas) dibujamos, cerca de una esquina para no entorpecer su posterior utilización, una recta horizontal sobre la que colocamos las separaciones correspondientes a los minutos de longitud. El tamaño de las divisiones dependerá de la escala que deseemos para nuestra carta en blanco. Hemos construido así el eje horizontal para medir longitudes. Ahora, de acuerdo con el párrafo anterior, la distancia sobre la carta correspondiente a la separación de 1 minuto de latitud debe ser 1/cos(l ). Si dibujamos una recta que forme un ángulo l con la línea horizontal que habíamos dibujado antes y proyectamos sobre ella las divisiones que contiene la recta horizontal (figura 1 ) habremos conseguido divisiones sobre esta recta oblicua separadas entre si precisamente 1/cos(l ). Así que esa recta oblicua con sus divisiones (más largas que las de la recta horizontal) debe tomarse como eje para medir latitudes (y, por tanto, distancias sobre la Tierra). Acabamos de construir una carta Mercátor apropiada para las proximidades del paralelo de latitud l. En nuestros cálculos de navegación astronómica lo que haremos es construir una carta en blanco utilizando como latitud la correspondiente a la situación de estima. Alternativamente, podemos establecer primero arbitrariamente la escala de latitudes sobre una línea vertical. Después dibujamos las divisiones correspondientes a la escala de longitudes, sobre una recta horizontal, de forma que sean menores en un factor cos(l ) que las de latitudes. Esto se puede conseguir utilizando la misma construcción gráfica que antes: Dibujamos dos ejes perpendiculares, vertical y horizontal, y la línea oblicua separada un ángulo l del eje horizontal. Elegimos ahora las divisiones sobre el eje vertical del tamaño deseado. Trazamos líneas horizontales que, pasando por estas divisiones, corten a la línea oblicua. Por estos cortes trazamos líneas verticales hasta el eje horizontal con lo que queda definida la escala de longitudes guardando la relación necesaria con la de latitudes. Para simplificar este trabajo podemos utilizar las plotting sheets Americanas (figura 2 ). Estas hojas traen dibujada una rosa con el fin de evitar el uso del transportador. Además, traen dibujada una escala vertical de latitudes que cubre 1o de latitud a cada lado del paralelo central. Para obtener la división correspondiente a 1o de longitud trazaremos una línea vertical que corte a la rosa donde lo haría la línea oblicua dibujada formando un ángulo l con la horizontal (y que, utilizando la rosa, ya no es necesario dibujar). En el caso de la figura 2 , se ha preparado la hoja para una latitud l = 50o . Para obtener ahora la escala de minutos de longitud (sin tener que dibujarla nosotros dividiendo el intervalo correspondiente a 1o con una regla en, por ejemplo, 6 partes iguales de 10' cada una) tenemos la ayuda del ábaco en la esquina derecha. Basta dibujar una recta horizontal a la altura correspondiente a la latitud. El corte de esta línea con las líneas curvas verticales nos da las divisiones correspondientes a los minutos de longitud. Como es obvio (y puedes comprobar utilizando un compás), la longitud total de esta línea horizontal (que corresponde a 60' de longitud) coincide con la división correspondiente a 1o de longitud que habíamos determinado antes.

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Figura 2.

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Plotting sheet americana.

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Un ejemplo práctico.

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Un ejemplo práctico El día 15 de Septiembre de 1999, encontrándonos en la situación de estima le = 40o00'N, Le = 20o30'W, se observó, al ser HRB = 08 : 40 : 33, la altura instrumental del Sol (limbo inferior) que resultó ser ai = 28o43.7'. La elevación del observador es e = 4m y el error de índice del sextante es Ei = + 1'. Hallar la posición del punto aproximado y dibujar la recta de altura correspondiente. La página diaria del AN necesaria se incluye en la figura 1.

Figura 1.

Página del Almanaque Náutico para el 15 de Septiembre de 1999.

Resolvamos el ejercicio siguiendo la secuencia que hemos explicado: 1. Altura instrumental y tiempo universal de la observación. ai = 28o43.7'. La HRB = 08 : 40 : 33 es la hora legal correspondiente al instante de la observación. Dada la longitud de estima http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node36_ct.html

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Un ejemplo práctico.

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Le = 20o30'W, deducimos que nos encontramos en el huso z = - 1h. Por tanto, puesto que Hz = TU + z, el tiempo universal correspondiente al instante de la observación es TU = Hz - z = 8h40m33s - (- 1h)

TU =

9h40m33s. 2. Altura verdadera a partir de la altura instrumental. ai

28o43.7'

Ei

+1'

Dp

-3.6'

R, SD, Pa

+14.3'

Corr. Adic.

-0.1'

Altura verdadera av

28o55.3'

Nótese que hemos obtenido las correcciones necesarias utilizando las tablas del AN correspondiente al 2001 (ver figuras del Capítulo anterior) en lugar de las de 1999. Las correcciones de las alturas del Sol no cambian de un año a otro.

Figura 2.

Tabla de interpolación del AN.

3. Triángulo de posición.Obtenemos primero los elementos del triángulo de posición y, después, lo resolvemos. De la página diaria del AN (figura 1 ) y de la página de CORRECCIONES correspondientes a 40m (figura 2 ) tomamos los datos necesarios para obtener el horario en Greenwich y la declinación del Sol en el instante de la http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node36_ct.html

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Un ejemplo práctico.

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observación: hG

hG

15 Sep a TU = 9h

316o9.1'

+3o8.4' (Dif = - 10)

Con por 40m33s

10o8.3'

-0.7'

326o17.4'

+3o7.7'

,   a TU = 9h40m33s

Calculamos el horario del Sol en el lugar: hl

= hG

+ L = 326o17.4' + (- 20o30')

hl

= 305o47.4'

Como el horario en el lugar es mayor de 180o (o sea, el Sol está hacia el E de nuestro meridiano, como corresponde a la hora de la observación) el horario astronómico (el ángulo en el Polo) es oriental: P = 360o - 305o47.4' = 54o12.6' (E) = 54.21o (E). = 90o - = 90o - 3o7.7' = Puesto que la latitud y la declinación son del mismo nombre, la codeclinación es: 86o52.3' = 86.871667o. La colatitud es Cl = 90o - l = 90o - 40o00' = 50o (N). Ya estamos en condiciones de dibujar y resolver el triángulo de posición, obteniendo el azimut Z y el complementario Cesta de la altura estimada.

Triángulo de posición. Ley de los cosenos: cos(Cesta) = cos(86.871667)cos(50) + sin(86.871667)sin(50)cos(54.21) = 0.482406 Por tanto, la altura estimada es: ae = 90o - Cesta

Cesta = 61.157o

ae = 28.843o = 28o50.6'

a = + 4.7' La diferencia de alturas es: a = av - ae = 28o55.3' - 28o50.6' Ley de las cotangentes: cotg(86.871667)sin(50) = cos(50)cos(54.21) + sin(54.21)cotg(Z) cotg(Z) = - 0.41181 o o Z = arcotg(- 0.41181) = - 67.618 Como es negativo sumamos 180 y asignamos dirección teniendo en cuenta que P es oriental y CL es N: Z = N112.4oE = S67.6E Como debe ser, el resultado para el azimut del Sol en torno a las 9 de la mañana es SE, más cerca del E que del S, pues esa hora es anterior al mediodía verdadero del lugar (momento en el que el azimut del Sol es exactamente S). http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node36_ct.html

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Un ejemplo práctico.

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Ya tenemos todos los ingredientes necesarios para dibujar la recta de altura y obtener la situación del punto aproximado M. La figura 3 muestra la recta de altura. Sobre la figura, utilizando las escalas de longitudes y latitudes, medimos las diferencias de latitud y de longitud desde la situación de estima Se al punto aproximado M. Resultan ser l = 1.9'S y L = 5.6'E. Sumando (con los signos adecuados, obviamente) esas diferencias a la situación estimada obtenemos la posición del punto aproximado M: Situaci n punto aproximado =

Figura 3.

Recta de altura.

Alternativamente, podemos obtener la situación del punto aproximado M mediante un cálculo de estima (ver Apéndice). Bastará para ello considerar Se como punto de partida y considerar una navegación al rumbo Z con

distancia navegada a. La situación de M coincide con la posición del punto de llegada de esta navegación ficticia. Recomiendo al lector que resuelva el problema de esta manera y compare con el resultado gráfico de arriba. Las diferencias (que deben ser muy pequeñas, alguna décima de minuto a lo sumo) se deben a la falta de precisión inherente al método gráfico.

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Situación por rectas de altura. Rectas de altura no simultáneas.

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Situación por rectas de altura. Rectas de altura no simultáneas Una recta de altura es una línea de posición (LDP) de nuestro barco. Es decir, nuestro barco se encontraba en algún punto de la recta de altura en el instante de la observación del astro. Si observamos dos astros simultáneamente (en la práctica, dos observaciones se pueden considerar simultáneas si tienen lugar una a continuación de la otra, en un intervalo de dos o tres minutos) obtendremos dos líneas de posición de modo que la situación observada del barco corresponde al punto de corte de ambas líneas. Si, por el contrario, disponemos de dos observaciones no simultáneas (del mismo o diferente astro), obtendremos dos rectas de altura no simultáneas. Para situarnos utilizando estas dos LDP bastará con trasladar la primera recta de altura al instante de la segunda observación y determinar el punto de corte de la primera recta de altura trasladada con la segunda recta de altura. Esto es lo mismo que hacemos en navegación costera cuando disponemos de demoras no simultáneas a puntos en tierra. Para trasladar una recta de altura bastará trasladar la situación de estima Se correspondiente a la primera observación al instante de la segunda observación (gráficamente si la distancia es suficientemente pequeña, analíticamente, mediante cálculos de estima, si no es así). Como es obvio, este traslado de Se ha de hacerse teniendo en cuenta el abatimiento y la deriva si los hubiese. Obtenida la situación de estima S'e correspondiente al instante de la segunda observación dibujamos a partir de ella la primera recta de altura (utilizando sus determinantes que habíamos calculado) obteniendo así la primera LDP trasladada. Puesto que S'e es la situación de estima correspondiente al instante de la segunda observación, trabajamos y dibujamos a partir de ella la segunda recta de altura. El punto de corte de ambas es la situación del barco en el instante de la segunda observación. Sin embargo, podemos hacer algo mejor, más preciso, que lo que acabamos de ver en el párrafo anterior en el caso de tener dos rectas de altura no simultáneas. Una vez trabajada la primera recta de altura y averiguada la situación de su punto aproximado M es razonable considerar este M como nuestra situación de estima, en lugar de Se, correspondiente al instante de la observación. Haciendo ésto mejoramos, en cualquier caso, la posición estimada. Así que en lugar de trasladar Se al instante de la segunda observación trasladaremos M, que pasará a M'. La primera recta de altura trasladada se dibujará ahora a través de M' , paralela a la recta sin trasladar. Trabajaremos y dibujaremos ahora la segunda recta de altura a partir de la situación estimada S'e = M'.

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Bisectriz de altura. Situación por bisectrices de altura.

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Bisectriz de altura. Situación por bisectrices de altura Supongamos dos rectas de altura, trabajadas a partir de una situación de estima Se, que se cortan determinando la situación observada del barco So. Imaginemos ahora que esas rectas de altura se han obtenido a partir de observaciones de astros afectadas de errores sistemáticos, es decir, errores que son siempre los mismos en cualquier observación. Estos errores se pueden deber, por ejemplo, a un error en la corrección Dp por depresión del horizonte debido a tener mal estimada la altura del observador con respecto al nivel del mar o, también, una mala estimación del error de índice Ei que afecta al sextante con el que medimos las alturas, etc. El hecho es que los errores sistemáticos en las medidas existen y son frecuentes. La existencia de tal error, no tenido en cuenta en los cálculos, significa que la verdadera recta de altura correspondiente a una determinada observación (la que obtendríamos si el error sistemático no existiese) estará desplazada una distancia es con respecto a la que nosotros hemos calculado y dibujado. Dado que el error sistemático es el mismo para todas las observaciones, se sigue que este desplazamiento será el mismo para todas las rectas de altura (figura 1 ).

Figura 1.

Bisectriz de altura.

Así que la verdadera situación del barco es Sv, punto en el que se cortarían las rectas de altura de no estar afectadas por el error sistemático, en lugar de la situación observada So. Existe una construcción gráfica (figura 1 ) que nos permitirá eliminar el efecto de los errores sistemáticos cuando utilizamos tres rectas de altura para establecer la situación del barco. Se trata de la bisectriz de altura: http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node38_ct.html

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Bisectriz de altura. Situación por bisectrices de altura.

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En el punto de corte de las dos rectas de altura trazamos paralelas a los azimut Z1y Z2 (líneas a trazos en la figura ). La bisectriz del ángulo así formado es la bisectriz de altura y tiene la importante propiedad de que la situación verdadera Sv se encuentra sobre ella. 1

La propiedad anterior permite eliminar el efecto de los errores sistemáticos para lo que obtenemos nuestra situación por bisectrices de altura. La situación es la siguiente: Supongamos que disponemos de tres rectas de altura (simultáneas o trasladadas) para determinar nuestra posición. En general, esas tres LDP se cortarán formando un triángulo (figura 2 ). Si este triángulo es suficientemente pequeño (digamos menor de 1 milla de lado), puede tomarse su centro como situación del barco. Si este triángulo tiene un tamaño apreciable, considerar su centro como situación del barco puede dar lugar a un error apreciable en la situación calculada. Para evitarlo se trabaja la posición por bisectrices de altura (figura 2 ).

Figura 2.

Situación por bisectrices de altura.

Este método consiste en construir las tres bisectrices de altura, tal como se ha explicado. El punto de corte de las bisectrices se toma entonces como la situación verdadera del barco. Como se observa en la figura 2 , este punto puede estar fuera del triángulo definido por las tres rectas de altura.

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Cálculo de la situación mediante observaciones del Sol.

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Cálculo de la situación mediante observaciones el Sol El Sol es el astro más fácilmente observable puesto que puede observarse todo el día, desde su salida hasta su puesta. Por esta razón el cálculo de la situación del barco mediante observaciones del Sol es el más frecuentemente, especialmente cuando el navegante se inicia en las técnicas de la navegación astronómica. Por esta razón, en esta sección vamos a exponer algunas cuestiones que deben tenerse en cuenta con el fin de que la situación obtenida sea lo más exacta posible. Para determinar la situación del barco debe observarse el Sol dos veces en el transcurso de un intervalo de tiempo suficientemente largo (un mínimo de 2.5 horas) con el fin de que el azimut haya cambiado lo suficiente como para que las rectas de altura obtenidas a partir de esas dos observaciones se corten bajo un ángulo apreciable, condición indispensable, como sabemos, para que la situación obtenida a partir del corte de dos líneas de posición no esté afectada de un gran error. Como es evidente, se trata de un problema de rectas de altura no simultáneas por lo que habrá que trasladar la primera de ellas al momento de la segunda observación. Las mejores condiciones para realizar la primera observación se dan cuando el Sol se encuentra a unos 45o al E del meridiano del barco. Bajo estas condiciones, el Sol está ya suficientemente alto sobre el horizonte como para que su azimut cambie con rapidez y, además, evitamos medir alturas demasiado pequeñas que están afectadas de mayor error debido a la refracción de la luz por la atmósfera. La segunda observación la haremos cuando el Sol se encuentra a unos 45o del meridiano del barco. El azimut habrá cambiado así unos noventa grados con lo que obtendremos dos rectas de altura que se cruzarán casi perpendicularmente. Es frecuente hacer una observación adicional del Sol cuando se encuentra sobre el meridiano del barco; es decir, al mediodía verdadero. Esta observación permite obtener la latitud del barco al mediodía con bastante precisión y de manera sencilla siendo, sin embargo, el cálculo de la longitud en la meridiana bastante memos exacto. Por esta razón, no es frecuente preocuparse del cálculo de la longitud al mediodía, limitándonos a obtener una línea de latitud del barco cuyo corte con la recta de altura de la mañana (trasladada) proporciona la situación del barco al mediodía. El caso particular del Sol en la meridiana se estudia en la sección siguiente. En casos en los que la altura del Sol llega a ser grande han de tenerse en cuenta cuidados especiales. Si la declinación del Sol es muy parecida a la latitud del barco6.4 el Sol alcanzará alturas muy grandes al mediodía (si l y son iguales, el Sol alcanzará el cenit, o sea, a = 90o). Bajo estas circunstancias, la utilización de las rectas de altura de la mañana y la tarde para determinar la posición del barco no es posible porque los azimuts correspondientes son casi opuestos entre si dando lugar a dos rectas de altura casi paralelas6.5. En estas circunstancias no queda más remedio que utilizar la observación al mediodía para determinar la situación del barco. Sin embargo, la altura meridiana no será fácil de medir en este caso, como comprenderás si te imaginas intentando utilizar el sextante para medir la altura de un astro que tienes directamente sobre tu cabeza. En este caso no es fácil determinar en qué momento el sextante está perpendicular a la superficie del mar ya que el arco descrito por el Sol en la imagen del sextante cuando éste es balanceado ligeramente a uno y otro lado (ver sección ) será casi paralelo al horizonte. En la práctica este problema ocurre cuando se miden alturas por encima de unos 80o. Existe, además, otro problema adicional en la utilización de astros que se encuentran a gran altura sobre el horizonte, por encima de unos 87o. En este caso, la distancia cenital (el ángulo complementario de la altura), Ca, es muy pequeño. En consecuencia, el círculo de alturas iguales (cuyo radio en millas es Ca en minutos de arco) es pequeño y no puede aproximarse por una recta tangente (la recta de altura) en la zona de interés próxima a su intersección con la línea dibujada desde la situación estimada en la dirección indicada por el azimut del astro. En otras palabras, no podemos utilizar el método de las rectas de altura para calcular la situación verdadera del barco. Bajo estas circunstancias, no queda más remedio que dibujar sobre la carta el círculo de alturas iguales y utilizarlo directamente como línea de posición. Recuerda que, según hemos estudiados en las secciones anteriores, el centro http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node39_ct.html

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Cálculo de la situación mediante observaciones del Sol.

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del círculo de alturas iguales es le polo de iluminación PA del astro, cuyas coordenadas sobre la carta son la declinación (latitud) y el horario en Greenwich (longitud) en el momento de la observación. En la práctica la utilización de este método se reduce al Sol en la situación descrita de encontrarnos en una latitud muy próxima a a su declinación. En este caso se toman dos alturas en un intervalo breve de tiempo (unos 10 minutos) pudiéndose considerar ambas observaciones como simultáneas. La declinación del Sol habrá variado muy poco durante este intervalo de tiempo así que los respectivos polos de iluminación estarán situados en la carta sobre una recta prácticamente horizontal. Por contra, el hG varía a razón de una vuelta ( 360o) cada 24 horas o 15 minutos de arco cada minuto. Así que en los 10 minutos entre las observaciones el polo de iluminación se habrá desplazado unas 150 millas hacia el W. Por otro lado, una altura de 87o corresponde a una distancia cenital Ca = 3o = 180', siendo entonces el radio del círculo de altura de unas 180 millas. Esto nos da una idea de la carta que tendremos que utilizar para aplicar este método. Los dos círculos de alturas iguales se cortarán en dos puntos, correspondiendo el más cercano de ellos a nuestra situación de estima a la posición observada del barco.

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Caso particular: Situación por altura meridiana del Sol.

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Caso particular: Situación por altura meridiana del Sol Hemos visto con anterioridad que cuando un astro se encuentra en el meridiano del observador los cálculos se simplifican considerablemente porque el triángulo de posición deja de ser tal triángulo para convertirse en un arco de círculo máximo. Esto, que es cierto con cualquier astro, en la práctica habitual de la navegación astronómica se utiliza únicamente con el Sol. Al paso del Sol por el meridiano superior del observador (mediodía verdadero) se mide su altura (altura meridiana) y se anota la hora precisa a la que tiene lugar el tránsito. Ambos datos permiten obtener fácilmente la latitud y la longitud en ese instante. Cálculo de la latitud por altura meridiana. La figura 1 muestra las distintas posibilidades que se pueden dar al paso del Sol (en realidad, de cualquier astro) por el meridiano superior de un observador situado en una latitud l.

Figura 1.

El Sol en el meridiano superior del observador.

Los tres esquemas superiores corresponden a un observador con latitud N y los tres inferiores a latitud S. En cualquiera de los casos, dependiendo de que la declinación del Sol sea N o S y del valor de la latitud l del observador, el azimut Z del Sol al paso por el meridiano superior es o bien N o bien S; es decir, existen dos casos posibles: Vemos culminar al Sol mirando al N o lo vemos culminar mirando al S. En cualquier punto de la Península Ibérica la latitud es siempre mayor que la declinación del Sol. Veremos siempre, por tanto, culminar el Sol mirando al Sur. Sin embargo, si viajamos hacia el sur, acercándonos al Ecuador, al estar a latitudes menores de 23.5o (que es la máxima declinación del Sol), existirán momentos del año (cerca del solsticio de verano cuando es máxima) en los que se da la situación representada en el esquema superior derecho de la figura 1 . En esa situación veremos culminar al Sol mirando hacia el N, aún cuando nuestra latitud es también N. Analizando cuidadosamente todos los casos de la figura 1 se extrae la siguiente conclusión: Utilizando el convenio http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node40_ct.html

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de signos habitual (declinaciones y latitudes son positivas si son N y negativas si son S), vemos que se cumple siempre que: Culminación mirando al N :

l=

- Ca (6.1)

Culminación mirando al S :

l=

+ Ca

estas ecuaciones resuelven el problema del cálculo de la latitud mediante la altura meridiana de un astro (en la práctica el Sol) en cualquier caso. Evidentemente, la declinación del Sol en el momento su tránsito por nuestro meridiano se obtiene con el Almanaque Náutico. ¿Cómo sé, en la práctica, en qué instante está el Sol en el meridiano? (y, por tanto, ¿en qué momento debo medir su altura y qué instante de tiempo debo considerar como el del tránsito por el meridiano para hacer el cálculo de la declinación?). Responder a esta cuestión equivale a establecer el procedimiento práctico necesario que ha de seguirse para obtener la altura meridiana del Sol y determinar el instante TU del tránsito a partir del cual, mediante el AN, calcular la declinación y, finalmente, mediante las ecuaciones anteriores, obtener la latitud del barco en ese momento. Si supiésemos con exactitud nuestra longitud en el instante del paso por el meridiano (por ejemplo, situados en tierra en un lugar de situación conocida) el problema tendría una solución trivial pues la hora civil de paso por nuestro meridiano es, como hemos visto en el capítulo anterior, igual a la hora TU de paso por Greenwich (dato PMG de la página diaria del AN). Obtener, entonces, el TU de paso por nuestro meridiano se reduce a aplicar a PMG la longitud expresada en horas. Pero este no es, en general, nuestro caso pues nosotros queremos utilizar la navegación astronómica precisamente para corregir una situación estimada que sabemos no es exacta. ¿Cómo lo hacemos entonces? Se trata de un método simple que permite determinar la latitud con bastante precisión sin necesidad de una medida muy precisa del tiempo. Para ello hacemos uso del hecho de que la altura del Sol pasa por un máximo bastante plano aproximadamente en el momento de su tránsito por el meridiano (figura 2 ). Ya veremos después por qué aproximadamente y no exactamente, se trata de un matiz que ha de tenerse en cuenta en el cálculo de la longitud a mediodía (si se requiere un resultado preciso) pero no es importante en el cálculo de la latitud que ahora nos ocupa.

Figura 2.

Paso del Sol por el meridiano del barco.

Esto de un máximo bastante plano quiere decir lo siguiente: Si empezamos a observar el Sol unos quince minutos antes de la hora de tránsito, midiendo su altura cada cierto tiempo (digamos cada dos minutos), veremos que la altura del Sol al principio aumenta rápidamente. A medida que nos aproximamos al instante del tránsito, la altura aumenta cada vez más despacio hasta que el Sol parece quedar colgado durante un cierto tiempo en su máxima altura para, después, comenzar a descender. La impresión es que el Sol pasa cierto tiempo en el máximo, sin variación apreciable de su altura durante un cierto intervalo de tiempo en torno al mediodía verdadero. Por esta razón es muy fácil determinar con precisión el valor de la altura máxima (altura meridiana) pero no es posible determinar el instante del tránsito a partir de buscar el momento en el que el Sol tiene altura máxima. Lo que se hace http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node40_ct.html

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en la práctica es medir la altura del Sol en un instante T1, anterior al tránsito, cuando la altura del Sol aún está claramente aumentando. Se anota la altura obtenida, a1, y la hora T1. A continuación seguimos observando el Sol anotando la altura meridiana am durante el intervalo en el que el Sol cuelga en el máximo. Seguidamente seguimos observando el Sol pero ajustando previamente el sextante en el valor a1 que habíamos obtenido inicialmente. Observaremos el Sol de esta manera hasta que se encuentre de nuevo, en su camino de descenso, a una altura a1, instante T2 que anotaremos. La hora de tránsito Ttransito que tendremos que considerar para el cálculo de la declinación es entonces Ttransito =

Cálculo de la longitud por la meridiana. La idea básica es muy simple: Con nuestro reloj de tiempo universal que llevamos a bordo registramos la hora TU de paso del Sol por nuestro meridiano. El Almanaque Náutico proporciona la hora TU de paso por el meridiano de Greenwich. La diferencia entre ambos tiempos TU es, evidentemente, igual a la longitud del observador expresada en horas. Alternativamente, puesto que al mediodía verdadero el Sol está sobre nuestro meridiano, el horario en Greenwich del Sol, hG , en el instante TU de paso coincide con nuestra longitud si ésta es W (pues recuerda que el horario de un astro se mide hacia el W). Si nuestra longitud es E coincidirá con 360o - hG

(y nos habremos

dado cuenta de que nuestra longitud es E porque el horario en Greenwich será mayor de 180o). Así que el cálculo de la longitud por la meridiana se reduce a determinar con exactitud la hora de paso del Sol por nuestro meridiano. Pero es aquí donde empiezan los problemas porque, como acabamos de ver en el párrafo anterior, es fácil determinar la altura meridiana, pero es difícil medir con precisión el instante de paso porque el Sol parece colgar durante un cierto tiempo en su altura máxima. ¿No es suficiente, nos preguntamos entonces, con el truco de medir alturas iguales antes y después del tránsito y hallar la media, según acabamos de explicar?. Pues veamos qué error introduciría en la longitud calculada un error pequeño de, por ejemplo, 1 segundo en Ttransito. Ese error será igual a lo que varía hG durante un segundo. Como hG

varía 360o en 24 horas, en un segundo habrá cambiado en 0.25'. Con cuatro segundos de error en la

medida de la hora tendríamos un error de 1' en la longitud; o sea, más o menos un error de una milla (más o menos porque un minuto de longitud no es necesariamente una milla, recuerda el concepto de apartamiento). Sin embargo, si consultas el AN te darás cuenta de que la declinación del Sol varía como mucho 1' durante una hora en el equinoccio (que es cuando más rápidamente varía a lo largo del año). Así que el error cometido en la latitud obtenida por la meridiana es despreciable, pero el error en la longitud puede ser grande. Y la razón es que el Ttransito obtenido mediante el truco de las alturas iguales antes y después del tránsito y la utilización de la ecuación anterior contiene, necesariamente, un error que, para agravar aún más las cosas, es difícil de controlar. Y es que hay dos motivos por los que la curva de alturas en función del tiempo representada en la figura 2 no es simétrica (como está dibujada) con respecto al máximo o, en otras palabras el verdadero tránsito no ocurre cuando la altura es máxima. Por esta razón se mencionó antes que al mediodía verdadero el Sol alcanza aproximadamente su altura máxima.Para que la curva fuese simétrica sería necesario que i) la declinación del astro no varíe entre T1 y T2 y ii) la posición del meridiano tampoco lo haga; es decir, el observador ha de estar en reposo. Ninguna de estas condiciones se cumple en un barco en navegación, siendo especialmente grave la segunda en el caso de barcos rápidos. Existen métodos para corregir este problema y obtener la longitud al mediodía con precisión. Sin embargo, esos métodos requieren un conocimiento de matemáticas más allá de los que se le suponen al lector para seguir este curso introductorio. En resumen, nos limitaremos a tomar como buena la longitud obtenida del HG en Ttransito, calculando éste mediante el método de las alturas iguales de arriba. Cálculo de la hora de paso de un astro por el meridiano del barco en movimiento. Estima previa. Como acabamos de ver, para obtener la latitud mediante la altura meridiana es necesario saber con antelación la hora TU aproximada de paso del Sol por el meridiano del barco, de forma que podamos planificar la observación y http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node40_ct.html

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determinar en qué momento hemos de comenzar el seguimiento del Sol en su camino ascendente hacia su culminación. Recuerda, una vez más, que la hora civil de paso del Sol por cualquier meridiano es Hcl = PMG. Por tanto la hora TU de tránsito será TU = PMG - Le, donde Le es la longitud estimada en el momento del tránsito. Pero, dado que nuestro barco está en movimiento, debemos hacer una estima previa para determinar la situación estimada que tendremos en el momento de la culminación y poder determinar, con suficiente antelación, una hora TU aproximada de tránsito. Una mañana de navegación astronómica por medio del Sol debe comenzar con una observación del Sol cuando se encuentra a unos 45o al E de nuestro barco (ver el apartado siguiente), anotando la altura observada y el instante TU1 de la observación. A partir de la situación estimada en ese momento obtendremos los determinantes de una primera recta de altura que después, al mediodía, nos servirá para comprobar la longitud obtenida a partir de la meridiana. La estima previa se hace entonces por aproximaciones sucesivas, de la siguiente manera: Ahora son las TU1 y nos encontramos en la longitud de estima Le1. Del Almanaque tomamos el PMG. Si nuestro barco no estuviese en movimiento la hora TU del paso por nuestro meridiano sería TUtransito 1 = PMG - Le1.

Suponemos entonces, como primera aproximación, que esa será también la hora TU de paso aún cuando nuestro barco está en movimiento. Entonces el intervalo de tiempo t1 navegado hasta el tránsito será t1 = TUtransito 1 TU1. Con este dato, conocida la velocidad y el rumbo de nuestro buque, hacemos una estima previa de la situación estimada al tránsito Se tran 1. Por supuesto, en este cálculo de estima tendremos en cuenta corrientes y abatimiento si los hubiese. Ahora podemos repetir el proceso: Con PMG y Le tran 1 obtenemos una segunda estimación de la hora TU del tránsito, TUtransito 2 = PMG - Le tran 1. Comparamos entonces TUtransito 2 con TUtransito 1. Si la diferencia entre ambos es pequeña (menor de unos 4 ó 5 minutos) podemos considerar la estima como fiable y anotar TUtransito 2 como el instante de tiempo universal en el que el Sol pasará por el meridiano del barco en movimiento y Se tran 1 como la situación estimada en ese momento. Ya podemos hacer una programación fiable de la observación del Sol en la meridiana. Si, por el contrario, la diferencia es mayor volvemos a repetir el cálculo de estima con un nuevo intervalo de tiempo navegado t2 = TUtransito 2 - TU1, obteniendo una nueva aproximación para la hora TU de paso y para la situación estimada en ese momento. Repetimos la comparación y continuamos con el proceso hasta que el nuevo instante de paso estimado y el anterior difieran en menos de unos cinco minutos. En la práctica se obtiene una estima fiable después de tan sólo uno o dos cálculos de estima.

La estima previa es sencilla pero tediosa. Existe una manera de determinar directamente el intervalo de tiempo hasta el paso del Sol por el meridiano del barco en movimiento. Veamos cómo: En el instante TU1de la primera observación de la mañana el Sol se encuentra aún al E de nuestro meridiano. Por tanto, en ese momento su horario en el lugar es oriental (horario astronómico oriental), he. Esa es la distancia angular entre el Sol y nuestro meridiano en ese momento. El Sol se desplaza hacia el W a razón de 15o cada hora. Así que si nuestro barco estuviese parado el intervalo, I, (en horas) que tardaría el Sol en llegar a nuestro meridiano sería, simplemente, I=

con he en grados. Pero nuestro barco se mueve.

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Figura 3.

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Paso del Sol por el meridiano del barco en movimiento.

En la figura 3 se representa la situación sobre una carta Mercátor en el caso de rumbo R con componente E (izquierda) o con componente W (derecha). Con líneas continuas se han dibujado los meridianos iniciales (en el instante TU1) del barco y del Sol. Están separados una distancia angular he. Con una línea discontinua se representa la situación en el momento del tránsito TUtransito. En el intervalo t = TUtransito - TU1 el Sol se ha

h mientras que el barco se ha desplazado en ese mismo tiempo una L contraído en su navegación al rumbo R y con velocidad vb

desplazado hacia el W una distancia angular distancia angular igual al cambio de longitud

durante el tiempo t. Este cambio de longitud ha de calcularse con cuidado utilizando el concepto de apartamiento A (ver apéndice sobre cartas Mercátor y cálculos de estima): L=

=

donde lm es la latitud media del barco entre sus posiciones en TU1 y TUtransito. Nótese que hemos utilizado la conocida relación para el apartamiento A = D sin(R). En esta ecuación D es la distancia navegada ( D = vb t millas). El Apartamiento así calculado está en millas y, consecuentemente, el cambio de longitud estaría en minutos de arco. Por tanto, dividimos por 60 con el fin de obtener L en grados y poder comparar directamente con h y he. El desplazamiento angular

h (grados) del Sol en el intervalo t es trivial: h = 15 t

Ahora, utilizando la figura 3 , es evidente que: 1. Rumbo de componente E: he =

h+

L

he = 15 t +

y, despejando, obtenemos la expresión que permite calcular el intervalo de tiempo t que falta hasta el paso del Sol por el meridiano de nuestro barco en movimiento: t=

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Para conocer la latitud media lm tendríamos que saber nuestra situación estimada en el tránsito. Esto requeriría hacer las estimas previas sucesivas que hemos explicado arriba y que es precisamente lo que queremos evitar. Sin embargo, en la práctica el barco se habrá desplazado una distancia pequeña entre la primera observación del Sol y el mediodía, así que aproximaremos la latitud media por la latitud de estima en el momento de esta primera observación lm = le 1. 2. Rumbo de componente W: he =

h-

L

he = 15 t -

con lo que: t=

Estas ecuaciones nos evitan la serie sucesiva de estimas. Realizada la primera observación de la mañana, calculamos el intervalo de tiempo t que falta hasta el mediodía verdadero. Conocido t realizamos una única estima para obtener la situación estimada a mediodía. EJEMPLO: El día 10 de Agosto de 1999, encontrándonos en la situación de estima le = 40o20'N Le = 26o45'W, por la mañana, al ser HRB = 08 : 35 : 41 , se midió la altura instrumental del Sol, limbo inferior, que resultó ser ai = 40o47'. Acto seguido nos ponemos a navegar al rumbo verdadero R = 238o con velocidad de máquina de 15 nudos. El error de índice del sextante es Ei = + 1' y la elevación del observador sobre el nivel del mar es e = 4 metros. Hallar la situación del punto aproximado a HRB = 08 : 35 : 41, la situación de estima del barco al mediodía verdadero y la hora aproximada de paso del Sol por el meridiano del barco en movimiento.

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Figuras 4 y 5. Datos

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del AN necesarios para este ejemplo.

La longitud de estima Le = 26o45'W corresponde al huso z = - 2h. Por tanto, la hora TU de la primera medida de la altura del Sol es: TU = 8h35m41s + 2h = 10h35m41s (10 Agosto). Utilizando el AN (figuras 4 y 5 ) obtenemos los datos del Sol en ese momento. Los resultados son: hG = 337o34.1' y = + 15o37.6'. Calculamos ahora los datos del Sol referidos al barco utilizando para ello la situación de estima. Obtenemos los elementos del triángulo de posición. Los resultados son: hl = 310o49.1' P = 49o10.9'(E) = 49.181667o(E). El ángulo en el polo es oriental como corresponde a la hora. Como declinación y latitud son del mismo signo, la codeclinación es: La colatitud es: Cl = 90o - l = 49.66667o(N).

= 90o -

= 74.37333o.

Resolvemos el triángulo de posición para obtener el azimut Z y la distancia cenital estimada Cesta de la que obtenemos la altura estimada ae. Los resultados son: Z = N105.5oE = S74.5oE. Como corresponde a la latitud y la hora, el Sol se encuentra hacia el SE, más cerca del E. ae = 40o51.6' Corregimos la altura instrumental para obtener la verdadera y hallamos la diferencia de alturas. El resultado es:   a = 40o59.2' - 40o51.6' = + 7.6' av = 40o59.2'   Ya tenemos todos los datos referentes a la recta de altura: Z = 105.5o,   a = + 7.6'. Ahora obtenemos la situación del punto aproximado M. Esto podemos hacerlo gráficamente, dibujando la recta de altura en una carta en blanco preparada al efecto, o analíticamente mediante un cálculo de estima partiendo de Se y considerando una distancia navegada

a al rumbo Z. Seguiremos en esta ocasión el segundo procedimiento:

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  l = 7.6 cos(105.5) = - 2'. El signo (-) indica que el cambio de latitud es hacia el S. l = D cos(R)   = 2'S. La latitud del punto aproximado es entonces: lM = 40o20' - 2' = 40o18'N

l

La latitud media es: lm = 40o19'N

El apartamiento es: A = D sin(R) = 7.6 sin(105.5) = 7.3 millas hacia el E. El cambio de longitud: L = A/cos(lm) = 9.6'E. La longitud del punto aproximado es, por tanto, LM = 26o45' - 9.6' = 26o35.4'W. En resumen, la situación del punto aproximado M, que tomamos como situación de estima en el instante TU = 10h35m41s (10 Agosto), es:

Situacion punto aproximado M =

La recta de altura se trazaría por este punto M y perpendicular a la línea de los 105.5o. Estima previa para determinar la hora de paso del Sol por nuestro barco y situación estimada en ese momento: De la página diaria del AN, obtenemos que PMG = 12h5.4m. Esta es la hora civil de paso por nuestro meridiano. Nuestra longitud de estima expresada en horas es LM = 1h46.4mW. Por tanto, si el barco estuviese parado, la hora TU de paso por el meridiano del barco sería: TUtransito 1 = 12h5.4m + 1h46.4m = 13h51.8m. Comenzamos la estima previa tomando esta TUtransito 1 como primera aproximación a la TUtransito por el barco en movimiento: Intervalo de tiempo navegado: t1 = 13h51.8m - 10h35m41s = 3.269 horas. Distancia navegada: D = vb t1 = 15 x 3.269 = 49 millas.

l = 49 cos(238) = - 26' = 26'S. Cambio de latitud: l = D cos(R) Apartamiento: A = D sin(R) = 49 sin(238) = - 41.6 millas = 41.6 millas hacia el W. Latitud estimada al mediodía: le = 40o18.0' - 26' = 39o52'N Latitud media: lm = 40o5.0'N = 40.08333oN, Cambio de longitud:

L = A/cos(lm) = 54.4'W

Longitud estimada al mediodía: Le = 26o35.4' + 54.4' = 27o29.8'W = 1h50mW. Con esta longitud de estima obtenemos una nueva aproximación para TUtransito con la que decidir la validez de la estima previa: TUtransito 2 = 12h5.4m + 1h50m = 13h54.4m. Esto nos da una nueva aproximación para el intervalo de tiempo hasta el mediodía: t2 = 13h54.4m - 10h35m41s = 3.31 horas. Comparando TUtransito 2 con TUtransito 1 vemos que existe una diferencia de sólo 2.6 minutos entre ellas. Decidimos entonces que nuestra estima previa inicial es buena, tomando estos datos como hora estimada de tránsito y situación estimada del barco en ese momento:

TUesttransito = 13h54.4m

Sesttransito =

¿Cómo haríamos la estimación de TUtransito utilizando las ecuaciones de este apartado en lugar de la estima previa?. Puesto que hemos corregido la longitud de estima tomando la del punto aproximado, recalculamos el http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node40_ct.html

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horario del Sol en el lugar en el instante de la primera observación: hl = 337o34.1' + (- 26o35.4') = 310o58.7'. El horario astronómico es, entonces, he = 360o - (310o58.7') = 49o1.3' = 49.0216667o. Puesto que el rumbo R = 238o nos hace ir hacia el W, tendremos que utilizar la segunda de las ecuaciones con R = 360o - 238o = 122o, como indica la figura 3 . Así, el intervalo de tiempo t hasta el paso del Sol por el meridiano del barco es: t=

=

= 3.33 horas

que coincide muy bien con el resultado t2 = 3.31 horas obtenido de la estima previa. El acuerdo entre ambos cálculos mejoraría incluso más si no diésemos por buena la estima con un único cálculo y repitiésemos el proceso. Evidentemente, esto no es necesario con las diferencias que estamos obteniendo porque, en cualquier caso, lo que haremos finalmente es corregir la estima mediante la observación del tránsito del Sol para obtener la situación verdadera. Si este ejemplo fuese un caso real de navegación astronómica utilizando el Sol, lo que procedería ahora es planificar la observación de su paso por el meridiano. Sabemos que disponemos de más de tres horas hasta que esto ocurra y sabemos el tiempo TU aproximado del tránsito así como la situación de estima que tendrá el barco entonces. Esto nos permite saber cuándo debemos iniciar la observación del Sol en el tránsito para medir su altura meridiana y determinar, con el método de las alturas iguales antes y después, la hora TUtransito, datos que nos permitirán obtener la situación observada del barco al mediodía verdadero. Finalmente, como tendríamos dudas sobre la fiabilidad de la longitud observada, procederíamos a comprobarla por medio de la recta de altura de la mañana, trasladada al momento Ttransito observado, y la latitud observada al mediodía que si es fiable (ver apartado siguiente). Una mañana de navegación astronómica con el Sol. A modo de resumen, vamos a terminar esta sección incluyendo este apartado donde se expondrá, paso a paso, la secuencia de actuaciones prácticas que deberíamos seguir a lo largo de una mañana entera de navegación astronómica utilizando únicamente el Sol, comenzando con la primera observación del Sol a media mañana y terminando con la observación de su tránsito. Supondremos que nos encontramos navegando de largo, es decir, que nuestro barco navega a un rumbo efectivo R y a una velocidad vb conocidos que no vamos a cambiar en toda la práctica. Una travesía ideal para realizar esta experiencia sería, por ejemplo, la que va de Alicante a Formentera, partiendo a la salida del Sol. 1. Preparativos. Antes de salir, comprobamos la perpendicularidad de los espejos del sextante y determinamos o eliminamos el error de índice. Preparamos plantillas para anotar los datos de las observaciones (debe figurar en ellas TU de la observación, Ei en esa medida y altura instrumental leída en el sextante). Elegimos al tripulante que ha de ayudarnos en la anotación de las horas de las observaciones y le explicamos su cometido (anotar primero los segundos, etc). Comprobamos que tenemos todo el material: Sextante, Almanaque, calculadora, compás de dibujo, transportador, regla, lápiz, goma y papel a cuadros. Opcionalmente podemos llevar plotting sheets americanas para facilitar la construcción de una carta en blanco. 2. Comenzamos nuestra travesía, nada más abandonar nuestro puerto de partida, navegando por estima. Anotaremos cuidadosamente tiempos TU (llevaremos un reloj marcando directamente tiempo universal, con precisión del segundo) y situaciones estimadas. 3. Por la mañana, cuando el Sol está a unos 45o al E de nuestro barco (es decir, cuando ya tiene una altura apreciable pero aún está lejos de nuestro meridiano), medimos la altura del Sol, anotamos el instante de tiempo universal TU1 de la observación y calculamos la situación estimada Se. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node40_ct.html

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4. Con los datos anteriores y los obtenidos del AN para el Sol en TU1 resolvemos el triángulo de posición y calculamos y anotamos los determinantes de nuestra primera recta de altura, Zv y

a. Obtenemos la situación del

punto aproximado M. Puesto que, en cualquier caso, M es una mejor aproximación para la situación del barco que Se, corregimos en este momento la situación de estima tomando como tal el punto aproximado M. 5. Hacemos la estima previa (mediante estimas sucesivas o mediante las ecuaciones anteriores para el intervalo t hasta el tránsito del Sol), anotando la hora estimada de paso del Sol por el meridiano, TUtransito, y la situación estimada que tendremos en ese momento, Se transito. Tal y como hemos planificado las cosas, deben faltar unas 2 ó 3 para el tránsito. 6. Elegimos dos, o mejor tres, alturas redondas a1, a2 y a3; es decir fáciles leer en el sextante (por ejemplo, que sean un número exacto de grados). Con ellas haremos una plantilla para facilitarnos la aplicación del método de alturas iguales antes y después del tránsito. Utilizando este método con dos o tres alturas, en lugar de con una sola, y hallando el promedio de los TU de tránsito obtenidos con cada una de ellas disminuimos considerablemente el error cometido: Alturas TU1 (antes tránsito) TU2 (después tránsito) TUtransito = a1

T1

a2

T2

a3

T3 TUtransito =

Puesto que de estas alturas sólo nos interesan los instantes TU en los que el Sol se encuentra en ellas, no será necesario aplicarles ningún tipo de corrección. 7. Mientras esperamos la hora del tránsito fijamos el valor elegido a1 en el sextante y comprobamos de tanto en tanto, sin alterar la lectura del sextante, la altura del Sol. El Sol debe encontrarse a la primera altura a1 aproximadamente entre veinte minutos y la media hora antes del paso por el meridiano. Si vemos que el Sol se aproxima a la altura a1 cuando aún falta demasiado para el tránsito, significará que hemos elegido mal el valor de a1. Procederemos en este caso a cambiar los valores elegidos para a1, a2 y a3 aumentándolos según convenga. Cuando el Sol se encuentra en a1 anotamos en la plantilla anterior el instante TU y cambiamos la lectura del sextante a a2, continuando de esta manera hasta completar la parte de la tablilla correspondiente al ascenso del Sol. A partir de este momento tendremos que observar el Sol muy frecuentemente, siguiendo cuidadosamente su camino ascendente y manteniendo su imagen tangente al horizonte moviendo cuidadosamente el tambor del sextante. Notaremos que, a medida que se aproxima al máximo de altura, el Sol sube cada vez más despacio hasta parecer detenido por un momento. Cuando el Sol parece no subir más dejamos de mover el tambor y seguimos observando continuamente al Sol (no tenemos que preocuparnos por la hora puesto que la vamos a determinar posteriormente con los datos de la plantilla de arriba) hasta estar seguros de que, efectivamente, no sube más y comienza a descender. La lectura del sextante en ese momento es la altura meridiana instrumental del Sol, am, que anotaremos. Fijamos entonces la altura a3 en el sextante y observamos, sin modificar esta lectura, hasta que el Sol, en su camino de descenso, se encuentra en ella, anotando en la tablilla de arriba el instante TU en el que ello ocurre y, de esta forma, terminamos de rellenar la plantilla. 8. Con los datos de la tablilla calculamos TUtransito. Con este dato y el AN obtenemos la declinación horario en Greenwich hG

y el

del Sol. Aplicamos a am todas las correcciones necesarias y obtenemos la altura

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meridiana verdadera amv. Calculamos la correspondiente distancia cenital Ca = 90o - amv. Finalmente, calculamos nuestra situación al mediodía verdadero: Lo =

lo =

9. Nuestra latitud observada lo será, con toda probabilidad, muy fiable. La longitud observada Lo puede, sin embargo, contener un error apreciable, según hemos discutido. Realizamos entonces una comprobación final: Trasladamos la recta de altura de la mañana al instante TUtransito. El corte de esta recta trasladada con el paralelo de latitud lo debe coincidir bastante bien con la situación observada por la meridiana (lo, Lo) si todo ha ido como esperamos. 10. Procedemos a la preparación y degustación de un suculento aperitivo para celebrar lo bien que lo hemos hecho.

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Caso particular: Latitud por altura de la Polar.

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Caso particular: Latitud por altura de la Polar La utilización de la estrella Polar para encontrar la latitud del barco (obviamente cuando se navega en el hemisferio norte) es posiblemente una de las técnicas de navegación astronómica más antigua. Como hemos visto en los capítulos 2, un observador situado en latitud l ve el polo norte celeste a una altura verdadera igual a l (obviamente, con azimut N). Por tanto, si suponemos a la estrella Polar colocada exactamente el el polo norte celeste, su altura verdadera coincide con la latitud del observador. Sin embargo, la estrella Polar no se halla exactamente en el polo norte sino que, dependiendo de la hora de la observación, puede tener un azimut de casi 2o. Será necesario entonces aplicar una corrección a la altura verdadera de la Polar para obtener la latitud del observador. Veamos como se puede calcular esa corrección a partir del triángulo de posición correspondiente a la Polar. La situación está representada en la figura 1 .

Figura 1.

Cálculo de la latitud por altura de la Polar.

De la figura es evidente que: l = NPN = NH + HPN con la latitud l medida en minutos de arco pues estamos escribiendo relaciones entre segmentos de círculo máximo (distancias en millas) y no entre distancias angulares. Queda claro también en la figura que el segmento NH es igual a la altura verdadera av (medida, por la misma razón, en minutos de arco). El segmento HPN restante puede calcularse fácilmente: Teniendo en cuenta que la Polar está siempre muy cerca del polo, el triángulo HPN puede aproximarse por un triángulo rectángulo plano en el que podemos aplicar la trigonometría plana. Entonces obtenemos que: HPN =

pues dado cualquier ángulo

cos(180o - P) = -

se cumple que cos(180o -

cos(P)

) = - cos( ). En la ecuación anterior la codeclinación de

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Caso particular: Latitud por altura de la Polar.

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la Polar en el momento de la observación, , ha de expresarse también en minutos de arco para que corresponda a la distancia entre la estrella y el polo norte (nótese que se trata de un arco de círculo máximo). P es el ángulo en el polo (el horario astronómico) en el momento de la observación. Si sustituimos ahora los valores de NH y HPN en la ecuación de anterior para la latitud, encontramos: l = av -

cos(P)

con l, av y en minutos de arco. Si dividimos toda la ecuación por 60 encontramos la misma relación pero con esas magnitudes expresadas en grados. Por tanto, ya sabemos como calcular la latitud a partir de una observación de la altura de la Polar: 1. Medimos la altura instrumental de la Polar con el sextante y anotamos la hora TU de la observación. 2. Aplicamos las correcciones pertinentes a la altura instrumental y obtenemos la altura verdadera av.

3. Con la hora TU de la observación y el AN obtenemos la declinación y horario en Greenwich de la Polar (lo que necesitará calcular el horario en Greenwich de Aries, hG , por tratarse de una estrella) en el momento de la observación. Obtenemos la codeclinación

y, aplicando la longitud de nuestra situación de estima, Le, obtenemos

el horario en el lugar de la Polar y, finalmente, el ángulo en el polo P. Calculamos entonces la latitud mediante la cos(P). ecuación anterior: l = av -

Sin embargo, en la práctica el cálculo de la latitud a partir de la altura verdadera de la Polar se hace de manera más simple utilizando las tablas de correcciones que a tal efecto contiene el Almanaque en sus páginas 382, 383 y 384 (parcialmente en figuras 2 y 3 ). Los únicos ingredientes necesarios son la altura verdadera av y el horario de Aries en el lugar hl . Con ellos se obtienen tres correcciones, C1, C2 y C3, cada una con su signo según indica el AN. La latitud es simplemente l = av + C1 + C2 + C3.

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Caso particular: Latitud por altura de la Polar.

Figura 2.

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Tablas de correcciones a aplicar a la altura verdadera de la Polar para obtener la latitud del observador.

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Caso particular: Latitud por altura de la Polar.

Figura 3.

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Tablas de correcciones a aplicar a la altura verdadera de la Polar para obtener la latitud del observador (continuación).

EJEMPLO: El 15 de Septiembre de 1999, al ser HRB = 20h00m, encontrándonos en un punto de longitud L = 30o20'W, se obtuvo la altura instrumental de la estrella Polar que resultó ser ai = 37o12'. El error de índice del sextante es Ei = - 2' y la elevación del observador sobre el nivel del mar es e = 4 metros. Calcular la latitud. (El AN de 1999 proporciona los siguientes datos para la estrella Polar en Septiembre: Ángulo sidéreo AS = 321o49.8', declinación = + 89o15.4'. La página diaria del AN para el 15 de Septiembre de 1999 se encuentra en la figura 4 y la tabla de correcciones a aplicar a las alturas instrumentales para convertirlas en verdaderas está en la figura 5 ). Resolvamos el problema primero utilizando el primer método explicado. Necesitamos el ángulo en el Polo y la codeclinación de la Polar en el momento de la observación. La longitud L = 30o20'W indica que nos encontramos en el huso z = 2W. El tiempo universal en el momento de la observación es, entonces: TU = 20h00m + 2h = 22h00m (15 Septiembre). De la página diaria obtenemos el horario en Greenwich de Aries a TU = 22h00m: hG = 324o25.1'. El horario en Greenwich de la Polar será entonces: hG = AS + hG = 321o49.8' + 324o25.1' = 286o14.9'. El horario de la Polar en el lugar es: hl = hG + L = 286o14.9' + (- 30o20') = 255o54.9'. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node41_ct.html

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Caso particular: Latitud por altura de la Polar.

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El ángulo en el polo (horario astronómico) es: P = 360o - 255o54.9' = 104o5.1' (E) = 104.085o (E). = 90o - = 90o - 89o15.4' = 44.6'. La codeclinación es : Corregimos la altura instrumental para obtener la verdadera: Ei = - 2', Dp = - 3.6', R = - 1.3'. El total de las correcciones es -6.9'. La altura verdadera es entonces: av = 37o12' - 6.9' = 37o5.1'. Por tanto, la latitud es: l = av cos(P) = 37o5.1' - 44.6' cos(104.085) = 37o5.1' + 10.9' = 37o16'. Resolvamos ahora el problema utilizando las tablas del AN: Necesitamos la altura verdadera, que hemos calculado arriba, av = 37o5.1', y el horario de Aries en el lugar que obtenemos a partir del horario de Aries en Greenwich aplicándole la longitud: hl = hG + L = 324o25.1' + (- 30o20') = 294o5.1' Con estos datos vamos a las tablas del AN (figuras y ) y obtenemos las siguientes correcciones: C1 = + 10.6', C2 = + 0.2', C3 = + 0.2'. La latitud es entonces: l = av + C1 + C2 + C3 = 37o5.1' + 10.6' + 0.2' + 0.2' = 37o16.1' que, como vemos, coincide bastante bien con el cálculo anterior. En la práctica utilizaremos este segundo método por ser más rápido.

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Figura 4

Figura 5

Apéndice I. La Luna

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Apéndice I. La Luna Subsecciones z z z

Movimientos propios de la Luna. Periodo sidéreo. Fases de la Luna. Periodo sinódico. Edad de la Luna.

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Movimientos propios de la Luna. Periodo sidéreo.

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Movimientos propios de la Luna. Periodo sidéreo La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita elíptica (a una distancia media de unos 60 radios terrestres y con una excentricidad comprendida entre 55 y 66 radios terrestres) que recorre en un periodo de 27 días 7 horas 43 minutos (27.321 días) llamado periodo sidéreo. Este tiempo coincide con el que tarda en girar sobre si misma, motivo por el cual presenta siempre la misma cara a un observador situado sobre la Tierra. Este es, evidentemente, el tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta aparente a la esfera celeste. La órbita de la Luna forma un ángulo de 5o con respecto a la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Consecuentemente, el círculo que dibuja sobre la esfera celeste está inclinado esos 5o con respecto a la eclíptica cortándola en dos puntos que se llaman nodos.

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Fases de la Luna. Periodo sinódico.

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Fases de la Luna. Periodo sinódico A medida que la Luna se va moviendo en su órbita en las proximidades de la eclíptica su posición relativa a la Tierra y al Sol va variando. Con ello varía la porción de la cara visible de la Luna que es iluminada por el Sol dando lugar a lo que llamamos fases de la Luna (figura 1 ).

Figura 1.

Fases de la Luna. En la parte de abajo se representa la imagen que ve un observador terrestre en cada una de las posiciones.

Cuando la Luna y el Sol ocupan posiciones opuestas en el cielo con respecto a la Tierra (posición 1 en la figura 1 ) podemos ver la totalidad de la cara visible de la Luna iluminada por el Sol durante toda esa noche (Luna Llena). La imagen que ve un observador terrestre se muestra en la parte de abajo de la figura 1 . Aproximadamente una semana después la Luna se coloca en la posición 3 mostrándonos media cara brillante y la otra media oscura en lo que llamamos Cuarto Menguante que, dado el sentido de rotación de la Tierra, veremos por la mañana. Posteriormente, en la posición 5, la cara visible de la Luna está completamente oscura con lo cual no es visible (Luna Nueva). A medida que sigue pasando el tiempo la Luna llega a la posición 7 en la que de nuevo media cara visible está iluminada y la otra mitad oscura (sólo que las mitades oscura y visible son las contrarias vistas desde la Tierra a las correspondientes al Cuarto Menguante) dando lugar al Cuarto Creciente. Puedes utilizar esta

para verlo de forma dinámica.

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Fases de la Luna. Periodo sinódico.

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Hemos de tener en cuenta que mientras la Luna da una vuelta completa alrededor de la Tierra (una vuelta completa en su órbita aparente sobre la esfera celeste), la Tierra ha continuado su traslación alrededor del Sol recorriendo unos 30o. Por tanto, para que el sistema Sol-Tierra-Luna se encuentre en la misma posición de partida y se repita la fase de la Luna esta última ha de recorrer esos 30o más en lo que invierte unos 2 días. Por consiguiente, el periodo de repetición de la fase lunar es de 29 días, 12 horas y 44 minutos (29.53 días) y es lo que se llama periodo sinódico o mes lunar. Aquí tienes un completo calendario lunar:

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Edad de la Luna.

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Edad de la Luna Se llama edad de la Luna al número de días (o fracción) transcurridos desde la última Luna Nueva. Puede variar, evidentemente, desde 0 hasta 29.5 días (correspondientes al periodo sinódico). De este modo, la Luna Llena se produce un poco antes de que cumpla 15 días. La edad de la Luna se puede encontrar, para cada día, en el Almanaque Náutico.

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Apéndice II. Estrellas

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Apéndice II. Estrellas Las estrellas son astros que emiten luz propia (y otras formas de radiación) y se encuentran distribuidas por todo el universo a enormes distancias de la Tierra. Además del movimiento aparente de las estrellas, debido a la rotación y a la traslación terrestres, las estrellas poseen un movimiento real (propio) a lo largo de diferentes direcciones del espacio. Sin embargo, debido a las enormes distancias que nos separan de ellas, el observador terrestre tiene la impresión de que las estrellas no se mueven o de que lo hacen extremadamente despacio. Por esta razón recibieron en el pasado el desafortunado nombre de estrellas fijas. En realidad, debe transcurrir un enorme lapso de tiempo para que las estrellas modifiquen sus posiciones relativas de manera sustancial, motivo por el cual en navegación astronómica es frecuente no considerar este movimiento propio.

Subsecciones z z

Magnitud estelar. Constelaciones.

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Contents of Magnitud estelar.

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Magnitud estelar La magnitud de una estrella es una medida de su brillo relativo que depende, obviamente, de su luminosidad intrínseca y de la distancia a la que se encuentra de nosotros. La escala de magnitudes fue inventada por el astrónomo griego Hiparco alrededor del año 150 AC. Clasificó las estrellas que podía ver en 6 categorías, asignando la primera magnitud a la más brillante y la sexta magnitud a las más débiles visibles a simple vista. Los modernos aparatos de observación, capaces de medir cuantitativamente el brillo, permitieron establecer que el ojo humano aprecia el brillo logarítmicamente. Esto quiere decir que un aumento de 1 punto en la escala de magnitudes de Hiparco corresponde en realidad a una disminución en brillo en un factor mayor que 1. Basados en esta idea, hoy día se establece una escala que permite comparar numéricamente el brillo de dos estrellas. Para ello se utiliza la siguiente ecuación que relaciona la diferencia de magnitudes entre dos estrellas, m1 - m2, con el cociente entre sus intensidades luminosas, l1/l2: m1 - m2 = - 2.5 log(l1/l2). Nótese que si m1 - m2 = 1 entonces la ecuación anterior conduce a que l2/l1 = 101/2.5

2.5. Es decir, una

estrella de magnitud 1 es aproximadamente 2.5 veces más brillante que una de magnitud 2. Ahora bien, este procedimiento establece la magnitud relativa de una estrella respecto a otra. Para poder asignar valores a la magnitud de una estrella es necesario tomar un origen. Tomando la magnitud de Sirio, que es la estrella más brillante del firmamento nocturno, como m1 = - 1.6, la ecuación de arriba nos permite asignar valores absolutos a la magnitud de otras estrellas. Por ejemplo, la Estrella Polar tiene una magnitud de 2.15, la Luna Llena se aproxima a 12 y el astro más brillante (el Sol) -27. Ahora podemos redefinir las magnitudes estelares utilizando intervalos de magnitud. Así, aplicamos la siguiente clasificación: 1ª Magnitud: desde magnitud -1.6 hasta magnitud +1.5 2ª Magnitud: desde magnitud +1.6 hasta magnitud +2.5 3ª Magnitud: desde magnitud +2.6 hasta magnitud +3.5 etc. Las estrellas de 4ª magnitud no son útiles en navegación astronómica (son inobservables en las condiciones normales de ésta). En condiciones normales se pueden apreciar unas 20 estrellas de 1ª magnitud, unas 60 de 2ª y aproximadamente 200 de 3ª magnitud.

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Constelaciones.

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Constelaciones Desde la Tierra percibimos a las estrellas proyectadas sobre la esfera celeste de modo que las estrellas próximas entre si forman ciertas configuraciones que llamamos constelaciones. Evidentemente, la proximidad entre las estrellas que forman una constelación dada es sólo aparente, resultado de verlas proyectadas sobre la esfera celeste, pues dentro de una misma constelación cada estrella se halla a una distancia diferente de nosotros y, por tanto, las estrellas de una misma constelación pueden estar muy distantes unas de otras. Los astrónomos definen las constelaciones como regiones de la esfera celeste (88 en total que la cubren totalmente) separadas entre si por límites arbitrarios. En otras palabras, son al mapa del cielo lo que los países a un mapa de la Tierra (figura 1 ).

Figura 1.

Constelaciones.

Sin embargo, a efectos de orientación (con el fin de reconocer las principales estrellas del cielo), debemos considerar las constelaciones como simples figuras que dibujan sus estrellas principales cuando son unidas mediante líneas rectas imaginarias. Muchas cartas celestes incluyen estas figuras imaginarias con el fin de facilitar el reconocimiento de las estrellas. En la figura 1 se han incluido tanto los límites de las constelaciones (las fronteras de estos paises celestes), representadas por líneas verdes, como sus figuras características (líneas blancas). Por http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node48_ct.html

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Constelaciones.

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ejemplo, en el cielo del hemisferio norte es reconocida por todo el mundo la constelación de la Osa Mayor, también llamada el Carro porque la figura imaginaria que se forma uniendo sus estrellas recuerda a un carro. El reconocimiento de las principales constelaciones ayuda considerablemente a localizar estrellas individuales. Por ejemplo, los navegantes saben que la estrella Polar (fundamental para ellos) se encuentra prolongando unas cinco veces la línea recta que une la parte trasera del Carro (la opuesta a la pértiga del carro). A su vez, la estrella Polar forma parte de la constelación de la Osa Menor, cuya figura característica es bastante similar a la del Carro. Sin embargo, mientras que esta última es muy fácilmente reconocible en el cielo, la Osa Menor está formada por estrellas bastante más débiles y resulta más difícil encontrarla, especialmente cuando miramos al cielo en zonas en las que, debido a la actividad humana, existe demasiada luz ambiental durante la noche . Hemos estudiado anteriormente el movimiento aparente de la bóveda celeste según lo aprecia un observador situado en un punto de latitud l sobre la superficie de la Tierra. Recordemos que el cambio de posición aparente de los astros en el cielo es debido a dos causas: i) la rotación aparente diaria, reflejo de la rotación de la Tierra, ii) el movimiento propio de los astros que hace que se desplacen por la esfera celeste con un movimiento superpuesto a la rotación diaria aparente. Las estrellas se encuentran tan lejos de nosotros que su movimiento propio no se aprecia prácticamente en escalas de tiempo humanas. Por consiguiente, el desplazamiento de las estrellas sobre la bóveda celeste consiste exclusivamente en su rotación aparente diaria. Así que si miramos el cielo en un momento dado y lo miramos pasado un día sidéreo completo nos encontraremos a las estrellas en la misma situación que el día anterior. Sin embargo, nuestra vida, y en particular, los momentos en que es de día y de noche, se rige por el Sol. Con respecto al Sol medio, que es nuestro patrón para medir el tiempo, las estrellas están afectadas de lo que llamamos la aceleración de las fijas: Una estrella particular que vemos hoy en una determinada posición a una hora solar media (hora TU) determinada estará mañana en la misma posición unos 4 minutos antes (ver capítulos anteriores). A final de mes tendríamos que mirar entonces unas 2 horas antes para encontrar a la estrella en la misma posición en la que estaba a comienzos de mes. Pero dos horas antes puede incluso ser de día aún. En consecuencia, en cada época del año, en cada mes o en cada estación si se quiere, el aspecto del cielo a una hora dada es diferente. Existen entonces estrellas, constelaciones, típicas de verano, de primavera, etc. Una excepción son las estrellas y constelaciones próximas al polo elevado correspondiente al observador. Hemos visto en el Capítulo 3 que un observador situado en latitud l verá al polo elevado levantarse una altura l sobre el horizonte mirando hacia el punto cardinal de igual nombre que su latitud. A su alrededor el cielo rota en sentido este-oeste. Por tanto, las constelaciones y estrellas que estén suficientemente próximas al polo elevado describirán un círculo aparente a lo largo de un día cuyo radio es menor cuanto más cerca de polo se encuentres. Dependiendo del valor de l existirán entonces una serie de constelaciones que no llegan a ocultarse bajo es horizonte, siendo visibles permanentemente. Se trata de las estrellas y constelaciones circumpolares.

Figura 2.

Región circumpolar en las cercanías del Polo Norte celeste. (Imagen cortesía de Procivel S.L.)

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Constelaciones.

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La figura 2 representa la región circumpolar del hemisferio norte para un observador situado en latitudes medias (por ejemplo, en la Península Ibérica). La Osa Mayor y la Osa Menor son constelaciones circumpolares para este observador. Están presentes en el cielo cualquier noche del año, aunque la Osa Mayor está en el límite del casquete circumpolar: Un observador en el centro de la Península llega a ver cómo la pértiga del carro se sumerge ligeramente bajo el horizonte. Otra constelación próxima al polo norte es Casiopea, reconocible fácilmente por su característica forma de W y utilizada también como referencia para localizar a la estrella Polar que se encuentra en el punto de corte de las bisectrices de las dos V que forman la W. Entre las constelaciones de la Osa Mayor y la Osa Menor se cuelan las estrellas que forman la cola de la constelación del Dragón, que recuerda más a una cometa en vuelo que a un dragón. La última estrella de la cola del dragón se encuentra casi sobre la enfilación que une la parte posterior del Carro con la estrella Polar. La estrella más brillante en la cabeza del dragón (la cometa) es Eltanin, otra de las estrellas utilizadas en navegación astronómica. A medida que nos alejamos de la estrella Polar encontramos más constelaciones que serán visibles dependiendo de la época del año. Una descripción detallada del cielo nos llevaría demasiado tiempo y espacio, más allá de la finalidad de este apéndice. Es la práctica reiterada de la observación, en distintas épocas del año, la que hará que, poco a poco, nos familiaricemos con el aspecto del cielo en cualquier momento y sepamos reconocer en él las constelaciones y encontrar las estrellas que utilizamos en navegación astronómica. Con este fin son de gran ayuda los mapas o cartas del cielo. Evidentemente, según lo que acabamos de aprender, para que nos sea de utilidad, la carta del cielo que utilizamos tiene que ser la correspondiente a nuestra latitud y hora de la observación (aproximadas ambas). Existen publicaciones que nos proporcionan mapas del cielo para una determinada zona y para un año completo8.1. También podemos utilizar planisferios, artilugios construidos de forma que pueden representar el cielo, correspondiente a un determinado lugar, en cualquier momento8.2. En cualquier caso, no olvidemos que, ante la duda de haber reconocido correctamente un astro que queremos utilizar para situarnos, siempre podemos comprobar la identificación a partir de su altura medida con el sextante, su azimut medido con el compás del barco, la hora TU de la observación y nuestra situación de estima, como se ha explicado en el Capítulo 4.

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Apéndice III. Cartas Mercátor. Cálculos de estima

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Apéndice III. Cartas Mercátor. Cálculos de estima La representación de la superficie esférica de la Tierra sobre un plano no es un problema trivial porque una esfera no es un cuerpo geométrico desarrollable. No es difícil hacer tal representación de manera aproximada, cualitativa, de forma que nos hagamos una idea aproximada de la distribución de los diferentes continentes y demás elementos de interés. Pero construir una representación sobre la que podamos medir distancias, áreas y ángulos (y, por tanto, rumbos) es otra cuestión. Si la Tierra fuese, por ejemplo, un cubo el problema sería trivial. Bastaría construir un cubo del tamaño que deseemos (dependiendo de la escala a la que queramos la representación), y dibujar sobre sus caras una reproducción exacta, sin ninguna deformación, de las caras del cubo terrestre. Después, para obtener cartas (mapas) perfectas, no tenemos más que cortar nuestra reproducción por las aristas (o sea, desarrollar el cubo) y obtenemos representaciones exactas del cubo inicial a la escala que habíamos elegido. Sin embargo, es obvio que este procedimiento no es aplicable si el cuerpo geométrico es, como le pasa a nuestro planeta, una esfera, porque no existe una manera de cortarla para que se transforme en un plano (no se puede desarrollar), así que se hace necesario, además de cortarla, plancharla de alguna manera. Este proceso de planchado introduce, necesariamente, una deformación en la imagen plana resultante. La deformación será diferente, y la imagen plana será por tanto distinta, según cómo hagamos el planchado. Este proceso que, coloquialmente, hemos llamado planchado no se realiza en realidad, como habrás podido imaginar, de la manera pedestre que acabo de contar. La técnica de construir cartas; es decir, representaciones planas de la superficie esférica de la Tierra, se basa en la geometría proyectiva, una rama completa y nada trivial (lamentablemente) de las matemáticas. En dos palabras, lo que se hace, en lugar de planchar la esfera, es proyectarla sobre un plano. Distintas posiciones del plano con respecto a la esfera y distintas posiciones del punto desde el que se proyecta dan lugar a representaciones planas diferentes de la misma zona de la esfera. Así existen cartas Mercátor, gnomónicas, etc. Todas ellas sujetas a deformaciones de la imagen final y cada tipo construido con una finalidad específica, que es necesario conocer si queremos utilizarlas correctamente. Atendiendo a las propiedades que cumple la representación de la superficie terrestre finalmente conseguida, las proyecciones se clasifican en dos tipos: 1. Proyecciones equivalentes (o equiáreas o autálicas). Son proyecciones diseñadas de modo que la representación final mantiene la misma escala para las superficies en toda la carta. Esto quiere decir lo siguiente: Supón que colocas una moneda (por ejemplo) sobre una determinada zona de la carta y miras el área a que corresponde sobre la superficie de la Tierra la zona cubierta por la moneda, digamos S kilómetros cuadrados. La carta es equivalente si al mover esa moneda a cualquier otra parte de ella el área cubierta por la moneda sigue correspondiendo a S kilómetros cuadrados. Este tipo de proyecciones requieren un cálculo matemático muy complejo y el resultado final es que presentan una gran distorsión angular. Esto quiere decir que a un determinado ángulo medido sobre la esfera terrestre le corresponde un ángulo diferente sobre la carta. Estas cartas son, por tanto, inútiles para la navegación, pues no podemos establecer con su ayuda el rumbo necesario para llegar de un punto a otro. No olvides que nuestro barco se desplaza sobre la esfera terrestre y no sobre la carta. 2. Proyecciones conformes (o ertomorfas o isogónicas). Se diseñan de forma que la representación conseguida mantiene los ángulos. Es decir, al contrario que las anteriores. Si, sobre la superficie terrestre, unimos tres puntos de forma que definan un ángulo, la unión de las representaciones de esos puntos sobre la carta define exactamente el mismo ángulo. Las cartas náuticas han de ser, por tanto, conformes. No existe la carta perfecta. Es decir, no existe ninguna representación que sea equivalente y conforme a la vez. Esta es la manera un poco más técnica de decir que para representar una esfera sobre un plano hemos de plancharla de alguna forma. Prácticamente todas las proyecciones utilizadas en la marina están basadas en la proyección de la esfera sobre un cilindro (que posteriormente es desarrollado sin producir deformaciones extra) o un plano. La proyección puede hacerse desde el centro de la esfera (centrográfica), un punto de la superficie de la esfera (estereográfica), el infinito (ortográfica) o desde un punto situado a una distancia finita de la superficie (escenográfica). La diferencia principal entre ellas es la forma en que finalmente quedan representados los http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node49_ct.html

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Apéndice III. Cartas Mercátor. Cálculos de estima

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meridianos y paralelos y, también, la deformación que se produce que afecta a la manera en que hemos de medir distancias sobre la carta. Para satisfacer las necesidades de los navegantes se utilizan principalmente dos proyecciones: La Mercátor y la Gnomónica. En este apéndice nos centraremos en la primera por ser la utilizada normalmente (excepto en navegación polar o a muy alta latitud).

Subsecciones z z

Cartas Mercátor. Cálculos de estima.

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Cartas Mercátor.

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Cartas Mercátor Ha debido quedar claro ya que, puesto que la esfera no es un cuerpo geométrico desarrollable, no se puede representar de forma exacta una gran extensión de la superficie de la Tierra sobre un plano o carta . Así que al tratar de representar una gran extensión tendremos que seguir procedimientos (proyecciones) distintas según el fin que se persiga. ¿Cuál es el fin que persigue un navegante?. Pues conducir su barco de un lugar a otro (por tanto, tiene que poder representar su posición sobre la carta) siguiendo una derrota determinada que también ha de poder dibujar sobre la carta. Pero, prescindiendo de modernos aparatos electrónicos, la única herramienta a su disposición para saber el rumbo que lleva el barco es el compás que le indica el ángulo que forma la línea de crujía del barco con los meridianos que va atravesando en su navegación. Así que el navegante se ve forzado a seguir una derrota entre sus puntos de salida y destino que corte a los meridianos que atraviesa (infinitos de ellos) siempre con el mismo ángulo. Es decir, se ve obligado a seguir la indicación del compás. Esta derrota se llama loxodrómica. En principio, no es la derrota más inteligente a seguir para navegar entre dos puntos pues la distancia más corta entre ellos, sobre la superficie esférica de la Tierra, es el arco de círculo máximo que pasa por los dos puntos o derrota ortodrómica (ver EJEMPLO 2 en el Capítulo 1). Sin embargo, salvo los casos particulares de navegar a lo largo de un meridiano o el Ecuador que son, evidentemente, los únicos círculos máximos que, a la vez, son loxodrómicas, la derrota ortodrómica entre dos puntos irá cortando a los meridianos que atraviesa con un ángulo que cambia continuamente. Así que si pretendemos seguir la derrota ortodrómica entre dos puntos tendremos que ir cambiando de rumbo continuamente y esto no es viable en la práctica9.1. Puesto que estamos obligados a navegar siguiendo la loxodrómica, única línea que podemos seguir utilizando el compás, parece natural exigir que la representación de la Tierra sobre la carta (la proyección) se haga de tal manera que una loxodrómica venga representada por una línea recta sobre la misma, pues de esta forma será muy fácil llevar adecuadamente la derrota sobre la carta. La otra condición fundamental para su utilidad en navegación es, como ya hemos comentado, que sea conforme: No basta con que la loxodrómica sea una recta, además el rumbo loxodrómico medido sobre la superficie de la Tierra (es decir, el ángulo que forma la derrota para ir de A a B con los meridianos que atraviesa medido sobre la esfera terrestre) ha de ser el mismo que el ángulo que forma la línea recta (loxodrómica) dibujada sobre la carta uniendo la representación de A con la de B con la representación de los meridianos. De lo contrario, utilizando una carta que no cumpla esta condición, acabaremos perdidos. La proyección que cumple estas dos condiciones es la proyección Mercátor, ideada a mediados del siglo XVI por el geógrafo alemán del mismo nombre. Se trata de una proyección centrográfica cilíndrica modificada para conseguir que sea conforme. El significado de semejante afirmación quedará claro a medida que progresemos en la explicación. Antes de la brillante idea de Mercátor, la proyección utilizada era la cilíndrica centrográfica. Como hemos explicado en la introducción de este apéndice, centrográfica quiere decir que el punto desde el que se proyecta (desde el que se trazan las visuales a la superficie terrestre) está en el centro de la Tierra. Se llama cilíndrica porque se proyecta sobre un cilindro que, después, es desarrollado para obtener la carta, figura 1 .

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Figura 1.

Proyección cilíndrica centrográfica.

Es evidente que en esta proyección los meridianos vendrán representados por rectas verticales y los paralelos por rectas horizontales, cortándose ambas perpendicularmente. ¿Cómo son las deformaciones que se producen en una carta cilíndrica?. Pues la principal de ellas tiene lugar a lo largo de la vertical: Supón un punto sobre la superficie de la Tierra a una latitud l (grados) dada. Su distancia real, DR, (sobre la Tierra) al Ecuador es DR = l x 60 millas. Sin embargo, la distancia sobre la carta desde la representación de este punto a la representación del Ecuador, h, es de h = RT tg(l ), donde RT es el radio de la Tierra y, como es obvio de la figura 1 , DR y h no son iguales sino que, por el contrario, h > DR. Y a medida que el punto sobre la superficie de la Tierra se aleja del Ecuador (o sea, aumenta su latitud), la diferencia entre DR y h aumenta cada vez más. En el Polo la diferencia es infinita (en el Polo l = 90o y tg(90o) = ), razón por la cual los Polos no tienen representación en una carta cilíndrica. En resumen, esta carta tiene una enorme distorsión en sentido vertical, como muestra la figura 2 .

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Página 3 de 8 Figura:2 Carta cilíndrica.

La proyección cilíndrica también tiene deformación a lo largo de la dirección horizontal. Para estudiarla consideraremos ahora un punto situado sobre la superficie de la Tierra en un paralelo cualquiera (digamos el paralelo de latitud l) y con longitud L (grados). Sobre la carta cilíndrica la distancia horizontal entre el meridiano de Greenwich y el meridiano del lugar es 60 L millas, independientemente de la latitud l del punto considerado pues sobre esta carta los meridianos vienen representados por rectas verticales paralelas entre si. Sin embargo, sobre la superficie de la Tierra, dos meridianos separados por una longitud L están a una distancia real (sobre la Tierra) de 60 L millas sólo a la altura del Ecuador (o sea, para latitud l = 0o). A medida que aumenta la latitud la distancia horizontal real entre los meridianos disminuye, haciéndose cero en los Polos donde todos los meridianos confluyen. La distancia horizontal real (sobre la superficie de la Tierra), medida en millas, entre dos meridianos separados por una diferencia de longitud L es lo que se llama en navegación apartamiento. En la figura 3 se representa claramente este concepto: La diferencia de longitud entre los puntos EF es la misma que entre AD y la misma que entre CB. En todos los casos esa diferencia de longitud es L. Pero la distancia real entre esos puntos, o sea, la longitud en millas de los arcos de circunferencia que los unen (el apartamiento), disminuye a medida que aumenta la latitud. Sólo para l = 0o el arco correspondiente, EF, es un arco de círculo máximo (el Ecuador) y, por tanto, el apartamiento es A = 60 L millas. Pero, en general, a una latitud como la lB, el arco correspondiente, CB, es un arco de círculo menor cuyo radio es r = RT cos(lB), como es evidente a partir del triángulo rectángulo OBO'.

Figura 3.

El concepto de apartamiento.

Puesto que la longitud de un arco de circunferencia es el producto del ángulo sustentado (medido en radianes9.2) por el radio del círculo, resulta que la longitud del arco CB; es decir, el apartamiento correspondiente a una diferencia de longitud L cuando la latitud es lB, es CB = RT

L cos(lB),

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Cartas Mercátor. con

Página 4 de 8 L es el arco EF de Ecuador entre

L medido en radianes. Pero, puesto que RT es el radio de la Tierra, RT

los dos meridianos en cuestión y su longitud en millas es igual entonces a L expresado en minutos de arco. Por tanto, en resumen , para una diferencia de longitud L dada, el apartamiento correspondiente a una latitud l es A=

con la diferencia de longitud

L cos(l )

(9.1)

L medida en minutos de arco y el apartamiento A en millas.

Este análisis que acabamos de hacer nos permite deducir rápidamente que una carta cilíndrica también tiene deformación horizontal puesto que a una distancia real sobre la Tierra igual al apartamiento A en la carta le corresponde una distancia de 60 L y, como acabamos de ver, ambas cosas sólo coinciden sobre el Ecuador. La deformación horizontal es entonces nula en el Ecuador y aumenta a medida que nos desplazamos hacia los Polos. Puesto que la distancia real A es menor que 60 L, deducimos que la carta cilíndrica produce un estiramiento en la dirección horizontal que aumenta a medida que nos alejamos del Ecuador. Con todo, el hecho de que los continentes aparezcan deformados o no sobre la carta no es la cuestión importante para un navegante. Como hemos discutido con anterioridad, lo que necesitamos para navegar es una carta en la que la derrota loxodrómica se dibuje como una línea recta (esto lo cumple evidentemente la proyección cilíndrica) y, además, la condición fundamental es poder medir rumbos sobre la carta que coincidan con los rumbos reales sobre la Tierra. Esta condición, que hemos expresado diciendo que la proyección ha de ser conforme, no la cumple la proyección cilíndrica centrográfica. Esto es fácil de ver utilizando de nuevo la figura 3 . Imagina que queremos navegar desde el punto A al punto B. El rumbo necesario es R. ¿Cuánto vale R?. Pues supongamos que la distancia entre A y B es pequeña comparada con el tamaño de la Tierra (lo cual es cierto en casi todas nuestras navegaciones). Entonces el triángulo curvo ABC sobre la superficie de la Tierra (que no es un triángulo esférico porque algunos de sus lados no son arcos de círculo máximo) lo puedo considerar plano. Se trata entonces de un triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa la distancia navegada de A hasta B y de catetos el apartamiento A = CB y el arco de meridiano AC cuya longitud (en millas) es AC = l (minutos de arco), siendo l es la diferencia de latitud entre el punto de llegada B y el de salida. Por tanto, la trigonometría plana que repasamos en el Capítulo 1 nos dice que tg(R) =

=

,

con L y l en minutos de arco. Y, sin embargo, si calculamos el rumbo sobre la carta cilíndrica obtendremos el resultado erróneo tg(R) =

con

=

,

L en minutos de arco y RT en millas. En consecuencia, la proyección cilíndrica es inútil para la navegación.

El problema lo resolvió Mercátor a mediados del siglo XVI mediante una ingeniosa modificación de la proyección cilíndrica para transformarla en conforme. El resultado es la proyección (y las cartas) Mercátor que son las que seguimos utilizando hoy día. Veamos primero que condición tendría que cumplir una proyección cilíndrica para ser conforme para, después, ver como se puede modificar para que la cumpla. Volvamos, entonces, al problema de cuál es el rumbo R para ir de un punto A sobre la superficie de la Tierra a otro punto B próximo al primero. Acabamos de ver que sobre la superficie de la Tierra ese rumbo viene dado por tg(R) = L cos(l )/ l, donde l (medido en minutos) es la distancia vertical (a lo largo de un meridiano) que separa a A y B. Puesto que en la proyección cilíndrica la separación horizontal es L (en lugar del apartamiento A), lo que habremos de hacer es modificar la proyección de modo que a una distancia vertical real l le corresponda una http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node50_ct.html

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distancia vertical sobre la carta v tal que, al aplicar la trigonometría, nos salga el mismo ángulo R (modificamos el estiramiento vertical de la carta).

Cómo se consigue una carta conforme. Igualando las expresiones para la tg(R) obtenidas sobre la esfera terrestre y sobre la carta obtenemos el valor que ha de tener v para que la carta sea conforme: =

donde

Ly

,

l han de medirse en minutos de arco. Despejando en esta ecuación obtenemos: v=

.

(9.2)

En otras palabras, para que la carta sea conforme y podamos medir rumbos sobre ella, a una distancia real sobre la Tierra a lo largo de un meridiano de 60 l millas en las cercanías9.3 de un punto de latitud l le ha de corresponder sobre la carta una distancia mayor en un factor 1/cos(l ) (mayor porque este factor es mayor que uno). Así que la carta conforme también estará deformada (estirada) verticalmente pero de manera distinta que la carta cilíndrica. Pasemos ahora a la segunda parte de la historia: ¿Cómo se puede idear una modificación de la proyección cilíndrica centrográfica de modo que, en el entorno de un punto de latitud l, a una distancia vertical real l le corresponda una distancia v = l /cos(l ) en la proyección?. Pues esta fue la brillante idea de Mercátor: En lugar de utilizar un único cilindro tangente a la Tierra a lo largo del Ecuador, como hacíamos en la proyección cilíndrica, en la proyección Mercátor dividimos el meridiano en un número infinito de partes infinitesimales, cada una correspondiente a una diferencia de latitud infinitesimal dl (figura 4 ), a cada una de las cuales le hacemos corresponder un cilindro sobre el que proyectamos desde el centro de la Tierra. Después, cuando cada uno de estos cilindros infinitesimales tiene ya proyectados sobre él las diferentes partes de la Tierra, se considera otro cilindro que, al igual que en el caso de la proyección cilíndrica, rodea a la Tierra tangente al Ecuador. Se proyectan ahora los cilindros pequeños sobre este último horizontalmente (no produciéndose, por tanto, deformación adicional alguna). Finalmente, cortando este cilindro por su generatriz y desarrollándolo obtenemos una carta Mercátor que, como vamos a ver seguidamente, verifica la condición exigida para ser conforme.

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Cartas Mercátor.

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Figura 4.

Proyección Mercátor.

La distancia AB vertical (sobre el meridiano) real es ahora d = RT dl (con dl en radianes) o, lo que es lo mismo, d = dl con dl en minutos de arco (que son millas pues el meridiano es un círculo máximo de la Tierra). Sobre la proyección Mercátor es v. Ahora bien, puesto que dl es infinitamente pequeña, ABC puede considerarse como un triángulo rectángulo en el que se tiene, aplicando la trigonometría plana que vimos en el primer capítulo, cos(l )=

=

v=

que era, precisamente, la condición necesaria para que rumbos medidos sobre la superficie de la Tierra coincidan con rumbos medidos sobre la carta. Así que la proyección Mercátor es conforme y para ello hemos modificado la proyección cilíndrica consiguiendo que la separación entre dos paralelos dados aumente, cuando son representados sobre la carta, como 1/cos(l ) en lugar de aumentar como tg(l ) como sucedía en la proyección cilíndrica. El resultado final es una carta Mercátor (figura 5 ) en la que existe la misma deformación horizontal que en la carta cilíndrica pero en la que la deformación vertical es diferente (y menor) y es la necesaria para que la carta sea conforme.

Figura 5.

Carta Mercátor.

Latitudes aumentadas. Dado un punto sobre la superficie Terrestre de latitud l sabemos que su distancia real al Ecuador, en millas, es l expresada en minutos de arco. Se llama latitud aumentada, la, correspondiente a esta l, a la distancia (en millas) que hay sobre una carta Mercátor desde la representación de este punto a la representación del Ecuador. Según lo que acabamos de ver, como la carta está estirada verticalmente, la será mayor que l. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node50_ct.html

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Para obtener el valor de la en función de l utilizamos lo que acabamos de estudiar en el párrafo anterior. Así, la será

el resultado de sumar las alturas v de todos los cilindros infinitesimales que van desde el Ecuador hasta el cilindro que corresponde al punto de latitud l en cuestión. Esta suma de contribuciones infinitesimales es lo que en matemáticas se llama una integral definida. Se incluye seguidamente el desarrollo para aquellos lectores que conozcan estos conceptos matemáticos. Aquellos lectores que, desgraciadamente, no tengan los necesarios conocimientos matemáticos tendrán que contentarse con anotar el resultado final pues, en cualquier caso, el concepto de latitud aumentada en fundamental en los cálculos de estima. la =

dx = RTln

= RTln tg

45o +

Si utilizamos logaritmos decimales en lugar de neperianos tendremos que dividir por log e: la =

log tg

45o +

Para expresar la en millas bastará evaluar el radio de la Tierra RT en millas: RT =

= 3437.746 millas.

Dividiendo por log e obtenemos la expresión de la en millas: la = 7915.7 log tg

45o +

Finalmente, para obtener una expresión más exacta debemos tener en cuenta que la Tierra no es exactamente una esfera sino que está achatada por los Polos. No vamos a demostrar aquí cómo se obtiene la corrección necesaria (23sin(l )). Así que la expresión final que nos da la latitud aumentada la, en millas, correspondiente a un punto de latitud l es

la = 7915.7 log tg

45o +

- 23sin(l )

(9.3)

que, recuerda, es la distancia en millas sobre una carta Mercátor desde la representación del Ecuador hasta la representación del punto de latitud l. Los valores de la en función de l obtenidos de la ecuación anterior se encuentran tabulados en muchos libros de tablas náuticas. Por ejemplo, en el libro de Graiño aparece, bajo el título de PARTES MERIDIONALES, en la Tabla XLI. El concepto de latitud aumentada es fundamental en los cálculos de estima cuando la distancia navegada es grande. Nota final sobre la lectura de una carta Mercátor. Como acabamos de ver, el paralelo de latitud l está dibujado sobre la carta Mercátor a una distancia de la millas del Ecuador. Por supuesto, la carta que manejamos en la práctica es una reproducción a escala de la carta de tamaño natural que se obtendría de desarrollar el cilindro sobre el que finalmente proyectamos la secuencia de infinitos cilindros infinitesimales. Así que sobre la carta una milla corresponderá a un determinado número de centímetros (según su escala) y el paralelo de latitud l estará dibujado finalmente a una distancia en centímetros del Ecuador que será el producto de la por los centímetros que representen a una milla. Cuando miramos a los bordes vertical y horizontal de la carta nos encontramos escalas de latitudes y longitudes, respectivamente, y no de distancias la y L (en minutos). Evidentemente, lo que se hace al construir la carta es incluir en ella, en las escalas vertical y horizontal, las latitudes y longitudes que corresponden sobre la Tierra a los http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node50_ct.html

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Cartas Mercátor.

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puntos representados en la carta (en lugar de las distancias la y L -en minutos-), de forma que podamos leer directamente nuestra situación en la carta. Además, puesto que hemos conseguido que la carta sea conforme, podemos utilizar el transportador directamente sobre ella para medir rumbos. Finalmente, recuerda que la distancia real sobre la superficie de la Tierra, en millas, entre dos puntos representados en la carta se obtiene utilizando el compás para obtener la abertura entre esos puntos sobre la carta llevando después esa abertura sobre la escala de latitudes (nunca la de longitudes). Los minutos de latitud corresponden sobre la Tierra a millas (pues los meridianos son círculos máximos) así que podemos leer también distancias directamente.

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Cálculos de estima.

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Cálculos de estima La navegación por estima consiste en lo siguiente: Dado un punto de salida, de situación (latitud l1 y longitud L1)

conocida, y dados un rumbo loxodrómico, R, y una distancia, D, navegada a ese rumbo (o varios rumbos loxodrómicos con sus respectivas distancias navegadas si entre la salida y la llegada hemos cambiado el rumbo), obtener analíticamente (es decir, por medio de cálculos, sin dibujar sobre la carta) la situación (l2 y L2) del punto de llegada. Este problema se conoce como estima directa. En el problema de estima inversa conocemos tanto la situación del punto de salida como la del punto de destino y queremos obtener el rumbo loxodrómico a seguir y la distancia a navegar para ir del uno al otro. En uno u otro caso, el cálculo es trivial a partir de lo que hemos aprendido en la sección anterior. Empecemos por obtener una expresión para la distancia navegada D en función de las situaciones de salida y llegada. La situación es la representada en la figura 1 .

Figura 1.

Cálculo de la distancia navegada.

Puesto que la derrota loxodrómica corta a todos los meridianos con el mismo ángulo (el rumbo R), el triángulo curvo (que no esférico) ABC puede descomponerse en una serie de triángulos más pequeños utilizando para ello los meridianos y paralelos que vamos atravesando en nuestra derrota desde A hasta B. Puesto que existen tantos meridianos y paralelos como queramos dibujar, el número de triángulos en los que puedo descomponer ABC puede ser tan grande como quiera (en la figura 1 se han dibujado solo 3 de ellos para no complicar la figura) y, por tanto, estos triángulos pueden ser tan pequeños como se quiera. Si son suficientemente pequeños los podemos considerar planos y, entonces, podemos utilizar la trigonometría plana. Como son triángulos rectángulos (los meridianos y paralelos se cortan en ángulo recto), es evidente que, en el primero de ellos, cos(R) =

l1 = d1cos(R)

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Cálculos de estima. donde

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l1 ha de medirse en minutos de arco y d1 en millas (puesto que estamos utilizando una relación de la

trigonometría plana9.4). La misma expresión es válida en cada uno de los triángulos sustituyendo correspondientes al triángulo en cuestión. Si sumamos todas esas expresiones obtenemos: l1 +

l1 y d1 por los

l2 + ..... = (d1 + d2 + ....)cos(R)

O sea, la relación entre la distancia navegada D, el rumbo loxodrómica seguido R y la diferencia de latitud entre el punto de salida y el de llegada l, es l = D cos(R)

(9.4)

con D en millas y l en minutos de arco. Esta es una de las ecuaciones básicas de los cálculos de estima: Nos permite obtener el cambio de latitud l producido (y, por tanto, la latitud del punto de llegada conocida la del punto de salida) después de navegar una distancia D al rumbo loxodrómico R. Para poder completar un cálculo de estima necesitamos otra ecuación que nos permita obtener el cambio de longitud L producido en esa navegación de forma que podamos determinar completamente la situación del punto de llegada. Es aquí donde comienzan nuestros problemas puesto que un argumento parecido al anterior, basado en aproximar la superficie curva de la Tierra por muchos pedazos planos para poder aplicar trigonometría plana, ya no es tan fácil de hacer cuando lo que queremos calcular es el cambio de longitud. ¿Cuál es la razón?. Pues, de nuevo, el hecho de que a una misma L le corresponden distancias horizontales (apartamientos) diferentes según la latitud o, en otras palabras, que dos meridianos dados ( L fijo, o sea, distancia angular horizontal fija) no están a una distancia (millas, la que tenemos que usar en cálculos trigonométricos) fija, sino que el apartamiento disminuye cuando la latitud aumenta. Si la distancia navegada es pequeña comparada con el tamaño de la Tierra (en la práctica esto significa distancias navegadas menores de unas 300 millas), podemos hacer una aproximación que nos resolverá el problema con suficiente precisión para el navegante: Puesto que l será pequeña podemos despreciar la disminución de apartamiento que tiene lugar desde A hasta B considerando ambos meridianos como paralelos en ese entorno. Para disminuir el error en lo posible, la distancia horizontal que consideramos entre ambos meridianos tomados paralelos es el apartamiento A correspondiente a la latitud media lm entre A y B. Según hemos visto con anterioridad, esta distancia (millas) será A=

Lcos(lm)

(9.5)

con L medido en minutos de arco. Con esta aproximación ya podemos resolver el problema completamente porque el triángulo curvo ABC lo podemos considerar como un triángulo rectángulo plano cuyo cateto opuesto al ángulo R es el apartamiento A y cuya hipotenusa es la distancia navegada D. La trigonometría plana nos dice entonces que tg(R) =

(

(9.6)

l en minutos) y, también, que A = D sin(R)

(9.7)

Así que, si la distancia navegada es pequeña, ya tenemos resuelto los problemas directo e inverso de estima:

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Cálculos de estima.

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En el problema directo conocemos D y R (además del punto de salida). Por tanto obtenemos inmediatamente partir de la ecuación (9.4) y el apartamiento A utilizando la ecuación (9.7). Conocida la latitud de salida lA obtenemos la de llegada lB = lA +

la

l. Calculamos ahora la latitud media lm = (lA + lB)/2 y, utilizando la ecuación

(9.5), obtenemos el cambio de longitud

L mediante el que obtenemos la longitud del punto de llegada LB = LA +

L. Esto resuelve completamente el problema de estima directo.

En el caso del problema de estima inverso, con distancias navegadas pequeñas, empezamos por obtener l y L a partir de las situaciones (conocidas) de salida y llegada. Calculamos también lm y el apartamiento A mediante la

ecuación (9.5). La ecuación (9.6) nos permite calcular el rumbo R a seguir y la ecuación (9.4) o la (9.7) la distancia D a navegar. EJEMPLO 1: Estima directa. Nos encontramos, a HRB = 11 : 00, en l = 36o00'N, L = 07o00'W. Comenzamos a navegar afectados de una corriente de dirección S45oE e intensidad horaria de 2 nudos y de un viento del N. En tales circunstancias, y con una velocidad de máquina de 10 nudos y una declinación magnética en la zona de dm = 7oNW, ponemos, a las horas indicadas, los siguientes rumbos de aguja Ra (con los correspondientes desvíos de la aguja

y abatimientos

Ab):

Ra

Ab

11 : 00 S50oW 2oNW

3o

12 : 30 N20oW 1oNE

2o

15 : 30 S70oW 1oNW

2o

18 : 30

3o

HRB

300o

1oNE

¿Cuál será la situación estimada a HRB = 20 : 00?. Para resolver este problema lo que haremos es aplicar lo que acabamos de estudiar a cada uno de los tramos. La corriente puede tratarse de dos maneras: i) Cada rumbo de aguja es transformado en rumbo verdadero (que, además corregiremos con el abatimiento) mediante la corrección total correspondiente y, después, ese rumbo verdadero (corregido por abatimiento) es convertido en rumbo efectivo (suma vectorial de rumbo verdadero y corriente) que, puesto que es el que seguirá el barco, es el que habrá que considerar como rumbo R en los cálculos. ii) Es más sencillo considerar la corriente como un tramo más de la navegación. Es decir, navegar bajo el efecto de la corriente es lo mismo que navegar sin corriente pero añadir un tramo de navegación que se haga al mismo rumbo que la corriente y con una distancia navegada igual al desplazamiento total producido por la corriente durante todo el tiempo que ha estado actuando. Este segundo procedimiento es más sencillo (evitamos tener que hacer sumas vectoriales) y será, por tanto, el que sigamos siempre. Veamos cada tramo por separado: Tramo 1. Tiempo navegado: t1 = 1.5 horas

distancia navegada D1 = 1.5 x 10 = 15 millas.

Corrección total: Ct = - 7o - 2o = - 9o Rumbo verdadero: Rv = Ra + Ct

Rv = 230o - 9o = 221o

Navegando al 221o un viento del N nos abate a babor. El rumbo corregido por abatimiento es entonces: Rumbo efectivo: R1 = 221o - 3o = 218o http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node51_ct.html

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Tramo 2. Tiempo navegado: t2 = 3 horas

distancia navegada D2 = 3 x 10 = 30 millas.

Corrección total: Ct = - 7o + 1o = - 6o Rumbo verdadero: Rv = Ra + Ct

Rv = 340o - 6o = 334o

Navegando al 334o un viento del N nos abate a babor. El rumbo corregido por abatimiento es entonces: Rumbo efectivo: R2 = 334o - 2o = 332o Tramo 3. Tiempo navegado: t3 = 3 horas

distancia navegada D3 = 3 x 10 = 30 millas.

Corrección total: Ct = - 7o - 1o = - 8o Rumbo verdadero: Rv = Ra + Ct

Rv = 250o - 8o = 242o

Navegando al 242o un viento del N nos abate a babor. El rumbo corregido por abatimiento es entonces: Rumbo efectivo: R3 = 242o - 2o = 240o Tramo 4. Tiempo navegado: t4 = 1.5 horas

distancia navegada D4 = 1.5 x 10 = 15 millas.

Corrección total: Ct = - 7o + 1o = - 6o Rumbo verdadero: Rv = Ra + Ct

Rv = 300o - 6o = 294o

Navegando al 294o un viento del N nos abate a babor. El rumbo corregido por abatimiento es entonces: Rumbo efectivo: R4 = 294o - 3o = 291o Corriente. Tiempo que ha actuado: tc = 9 horas

desplazamiento producido Dc = 9 x 2 = 18 millas.

Rumbo corriente: Rc = S45oE = 135o Evidentemente, el desplazamiento producido por la corriente es en su dirección que no se ve afectada por abatimiento. El rumbo a considerar en el cálculo es, entonces, directamente el rumbo de la corriente, sin ninguna corrección. Ahora estamos en condiciones que rellenar la siguiente tabla, para lo que utilizamos las ecuaciones (9.4) y (9.7) que acabamos de estudiar (obviamente, cada rumbo nos indica la dirección N o S del cambio de latitud y W o E del apartamiento contraídos): Rumbo Distancia

l(N)

l (S) A (E)

A (W)

218o

15'

-

11.8'

-

9.2'

332o

30'

26.5'

-

-

14.1'

240o

30'

-

15.0'

-

26.0'

291o

15'

5.4'

-

-

14.0'

135o

18'

-

12.7'

12.7'

-

Totales:

31.9'

39.5'

12.7'

63.3'

Por tanto, globalmente tenemos: l = 39.5' - 31.9' = 7.6'S http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node51_ct.html

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A = 63.3' - 12.7' = 50.6'W La latitud del punto de llegada será: l2 = l1 +

l

l2 = 36o00' - 7.6' = 35o52.4'N

La latitud media es: lm = (36o00' + 35o52.4')/2 = 35o56.2' = 35.9366o De la ecuación (9.5) obtenemos ahora:

= 62.5'W = 1o2.5'W

L=

La longitud del punto de llegada es entonces: L2 = L1 +

L

L2 = 7o00' + 1o2.5' = 8o2.5'W

En resumen, la situación estimada a HRB = 20 : 00 es: l = 35o52.4'N, L = 8o2.5'W. EJEMPLO 2: Estima inversa. El día 2 de Abril salimos de un punto de situación l1 = 28o57'N, L1 = 13o33'W dando rumbo a un punto P cuya situación es l2 = 26o35'N, L2 = 12o57'W, reinando un viento del NE que nos abate 4o. Nuestra velocidad de máquina es de 10 nudos. La variación magnética en la zona es 12oNW y el desvío al rumbo necesario para ir a P es de -1o. Alcanzado el punto P cesa el viento y metemos 45o a estribor de la aguja (desvío al nuevo rumbo -2o). Se desea saber: i) Rumbo directo y distancia a P, ii)Rumbos de aguja y rumbos verdaderos hasta P y después de alcanzado P. i) Empezamos por obtener las diferencias de latitud y longitud entre el punto de partida y el de llegada P: l = 28o57' - 26o35' = 2o22'S = 142'S L = 13o33' - 12o57' = 36'E La latitud media es: lm = 27o46'N = 27.7666oN El apartamiento será: A =

cos(lm) = 31.8'E

El rumbo directo se obtiene entonces de la ecuación (9.6): tg(R) =

=

R = arctg(0.22394) = 12.6o.

Este rumbo es siempre cuadrantal porque ha de ser tal que l sea S y A sea E. En otras palabras, el cambio de latitud y el apartamiento nos indican desde donde y hacia donde (respectivamente) hemos de medir el ángulo R obtenido por medio de la trigonometría. En nuestro caso resulta, entonces, que el rumbo directo desde nuestra situación inicial al punto P es: R = S12.6oE = 167.4o Este es el rumbo que ha de seguir el barco si queremos llegar desde nuestra situación hasta P. Puesto que existe viento, el rumbo verdadero hemos de establecerlo de forma que una vez corregido por abatimiento obtengamos estos 167.4o. Navegando al rumbo 167.4o un viento del NE nos abate a estribor, haciendo que el rumbo que de verdad seguiríamos sea mayor. Por tanto, el rumbo verdadero que hemos de poner para llegar a P será: Rv = 167.4o - 4o = 163.4o

Finalmente, hasta llegar a P la corrección total es Ct = - 12o - 1o = - 12o. Por tanto, el rumbo de aguja que hemos de indicar al timonel con el fin de llegar a P teniendo en cuenta el abatimiento producido por el viento será: Rv = Ra + Ct

Ra = Rv - Ct

Ra = 163.4o - (- 13o) = 176.4o.

La distancia navegada hasta P es: D = A/sin(R) = 31.8/sin(167.4) = 145.8 millas. Nótese que el rumbo a considerar es, como es obvio, el rumbo efectivo que de verdad sigue el barco, y no el rumbo verdadero o el de aguja.

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ii) Alcanzado el punto P, al que hemos llegado navegando al rumbo de aguja Ra = 176.4o, metemos 45o de aguja a estribor. Por tanto, el nuevo rumbo de aguja es: Ra = 176.4o + 45o = 221.4o

La nueva corrección total es: Ct = - 12o - 2o = - 14o. Por tanto, el nuevo rumbo verdadero será: Rv = Ra + Ct = 221.4o - 14o = 207.4o.

Cálculos de estima cuando la distancia navegada es grande. Aunque la distancia navegada no sea pequeña (menor de unas 300 millas), es evidente que podemos seguir relacionando el cambio de latitud l, el rumbo loxodrómico R y la distancia navegada D por medio de la ecuación (9.4): l = D cos(R) pues el argumento utilizado en su deducción no depende de que D sea pequeña o no. Si la distancia es grande lo único que tendremos que hacer es añadir más triángulos intermedios pero, al sumar, volvemos a este mismo resultado. Sin embargo, si D es grande ya no podemos aproximar el triángulo ABC de la figura 1 por un triángulo rectángulo plano en el que aplicar trigonometría plana. Por consiguiente, las ecuaciones (9.5), (9.6) y (9.7) dejan de ser válidas. Es más, como a lo largo de la derrota seguida el apartamiento habrá cambiado mucho, el mismo concepto de apartamiento deja de tener utilidad en este caso. ¿Cómo encontramos, entonces, la ecuación que nos falta?. Pues observa, primero, que la dificultad ahora aparece porque no hay manera de aproximar el triángulo curvo ABC por un triángulo plano en el que aplicar trigonometría. Pero tenemos la carta Mercátor que si es plana y sobre la que podemos medir rumbos. El triángulo ABC vendrá representado sobre la carta Mercátor por un triángulo rectángulo cuyo ángulo R es el mismo que sobre la Tierra. El cateto AC mide (o sea, estamos hablando de distancias puesto que vamos a aplicar trigonometría) sobre la carta lBa - l Aa

la, donde lAa es la latitud aumentada correspondiente a la latitud del punto de partida A y lBa es la

latitud aumentada correspondiente a la latitud del punto de llegada B. Esto es evidente porque lAa es la distancia sobre la carta desde el paralelo de A al Ecuador y lBa es la distancia desde el paralelo de B al Ecuador. La diferencia es, entonces, la distancia entre ambos paralelos. Por otro lado, hemos visto que dos meridianos están separados sobre la carta Mercátor por una distancia de L (en minutos) millas. Por tanto, el cateto CB tiene sobre la carta una medida de L (en minutos) millas. Y puesto que sobre la carta el triángulo es plano, podemos aplicar la trigonometría plana para obtener tg(R) =

(9.8)

donde L se mide en minutos de arco y la en millas. Esta es la ecuación que nos faltaba y se llama en navegación ecuación de la loxodrómica. Las ecuaciones (9.4) y (9.8) permiten resolver cualquier problema de estima, directa o inversa, para valores cualquiera de la distancia navegada. De nuevo, el rumbo R obtenido a partir de (9.8) es siempre cuadrantal, permitiéndonos el sentido de la y L establecerlo sin equívocos. EJEMPLO: Retomemos el EJEMPLO 2 del Capítulo 1. Queremos saber ahora el rumbo y la distancia http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node51_ct.html

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loxodrómicos para navegar entre los dos puntos de ese ejemplo. Calculamos primero las latitudes aumentadas correspondientes a los puntos de salida y llegada. Utilizamos para ello la ecuación (9.3) o las Tablas Náuticas de Graiño: lAa = 1750.5 millas (N) lBa = 2794.6 millas (N) Por tanto: la = 2794.6 - 1750.5 = 1044.1 millas (N). Calculamos las diferencias de longitud y de latitud entre ambos puntos y las expresamos en minutos de arco: L = 71o03' - 15o25' = 55o38'W = 3338'W l = 42o21' - 28o09' = 14o12'N = 852'N R = N72.6W Utilizando (9.8): tg(R) = Utilizando (9.4): D =

=

= 2849.1 millas.

Ahora puedes comparar estos resultados con los obtenidos en el Capítulo 1 para la navegación ortodrómica entre estos mismos puntos: Los rumbos son, obviamente, diferentes. La distancia ortodrómica es, como debe ser, menor. La diferencia entre ambas distancias se llama ganancia y representa el ahorro en millas navegadas como consecuencia de seguir la derrota ortodrómica en lugar de la loxodrómica entre los puntos de partida y llegada. En este ejemplo la ganancia resulta ser de 40.3 millas. Como se ha repetido ya en varias ocasiones, la representación sobre una carta Mercátor de la derrota loxodrómica entre dos puntos es una línea recta. La representación de la derrota ortodrómica es una curva. Sólo cuando la navegación tiene lugar a lo largo de un meridiano cualquiera (o sea, con rumbo norte o sur) o del Ecuador (el único paralelo que es un círculo máximo) ambas derrotas coinciden. Gráficamente está representado en esta figura 2 .

Figura 2.

Derrotas loxodrómica y ortodrómica entre dos puntos

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Apéndice IV. Cinemática Aunque no se trata de un tema propio de Navegación Astronómica, la Cinemática, es decir, el estudio del movimiento relativo de un barco respecto a otro, es parte del programa para la obtención del Título de Capitán de Yate y una o varias preguntas de cinemática son seguras en los exámenes correspondientes. Por este motivo, con el fin de que sirva de ayuda a los sufridos estudiantes de Capitán de Yate, se incluye este Apéndice en este Curso. En cinemática naval nos preocupamos de calcular el movimiento relativo de un barco B respecto a nuestro barco A cuando conocemos los rumbos y velocidades de ambos. En otras palabras, nos interesa saber cuál es el movimiento de B respecto a nosotros, llamado movimiento aparente, como resultado combinado de los movimientos absolutos (o sea, respecto al fondo del mar) de ambos barcos. Evidentemente es el movimiento aparente (o movimiento relativo) del barco B el que determinará si existe riesgo de colisión con él y, por tanto, si hemos de efectuar alguna maniobra de evasión. Tres suposiciones básicas se admiten como válidas en los estudios de cinemática naval: i) Los barcos se mueven siguiendo derrotas rectas y a velocidad uniforme. Despreciamos así cambios de rumbo o guiñadas y frenazos o acelerones debidos por ejemplo a las olas. ii) Cuando un barco cambia el rumbo este cambio tiene lugar instantáneamente y ocurre sobre el centro de gravedad del barco. Es decir, despreciamos la existencia de la curva de evolución en el giro del barco. iii) Los cambios de velocidad son instantáneos. Admitiendo estos tres puntos, cualquier cálculo de cinemática se reduce a un problema de suma y resta de vectores, como no puede ser de otra manera porque la velocidad de un barco es una magnitud vectorial. En otras palabras, si queremos determinar completamente el movimiento de un barco necesitamos saber no sólo cuantos nudos está haciendo (el módulo de la velocidad) sino, también, cuál es su rumbo, o sea, la derrota que sigue y, sobre esa dirección representada en una carta por una línea recta, en que sentido se mueve (hacia un extremo de la recta o hacia el otro). El conjunto de las tres cosas (módulo, dirección y sentido) definen completamente a la magnitud vectorial que es la velocidad del barco. El estudio de la cinemática naval requiere un mínimo conocimiento de las matemáticas de los vectores, concretamente del concepto de vector opuesto a uno dado y la suma y resta de vectores. Si tus conocimientos de vectores son limitados o los tienes un poco oxidados, entonces es el momento de que utilices esta Zona Interactiva para que te pongas al día antes de continuar con este tema. Supongamos, entonces, que nuestro barco A se mueve con velocidad absoluta (respecto al fondo) α (utilizaremos el convenio de representar los vectores por letras griegas de este color para distinguirlos de las magnitudes que no son vectoriales como, por ejemplo, la mínima distancia D a la que un barco B pasará de nuestro barco A en una situación de vuelta encontrada). En nuestras inmediaciones se encuentra un barco B que se mueve con velocidad absoluta β. Por si todavía te queda alguna duda, piensa que α y β son las velocidades con las que el farero cerca de cuyo faro nos encontramos ve moverse a ambos barcos. La pregunta básica es entonces: ¿Cuál es la velocidad Vβα con la que el barco B se mueve respecto del barco A?. O sea, ¿Con qué velocidad vemos nosotros moverse al barco B?. Es esta velocidad relativa de B respecto a A (repito que considerada vectorialmente) la que describe el movimiento aparente de B respecto a nosotros y es, por tanto, la que nos indicará, por ejemplo, si vamos a colisionar http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node52_ct.html

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o no. ¿Cómo se calcula el vector Vβα?. Pues es muy sencillo utilizando un pequeño truco: El movimiento relativo de un barco con respecto a otro no cambia si ambos se ven sometidos a un mismo movimiento común debido, por ejemplo, a la existencia de una corriente en la zona (así que las corrientes no se tienen en cuenta en el estudio del movimiento relativo, pero si hay que considerarlas en el estudio del movimiento absoluto). Supongamos, entonces, que en nuestra zona de navegación existe una corriente de intensidad horaria igual al módulo de nuestra velocidad y de rumbo el opuesto a nuestro rumbo. Esa corriente quedará representada entonces por el vector −α. En esa hipotética situación, la velocidad absoluta de A sería cero (no nos moveríamos respecto al fondo del mar), mientras que la velocidad absoluta de B sería β − α. Así que β − α es la velocidad con la que vemos moverse a B desde A y es, por tanto, la respuesta a la pregunta de arriba:

La velocidad Vβα con la que el barco B se mueve respecto a nuestro barco A es: Vβα = β − α

(1)

La dirección definida por el vector Vβα se llama derrota relativa o indicatriz del movimiento. Evidentemente, el módulo del vector Vβα es la velocidad en nudos con la que el barco B se mueve con respecto a nosotros (alargando o acortando la distancia que nos separa de él). En otras palabras, hemos reducido el problema de dos barcos moviéndose con respecto al fondo con velocidades α y β a otro problema en el que nuestro barco A no se mueve y el barco B se mueve respecto a nosotros con velocidad Vβα. Como recordarás de tus estudios de vectores, o habrás repasado en la Zona Interactiva anterior, la suma y resta de vectores involucra siempre la construcción de un triángulo dos de cuyos lados se obtienen a partir de los vectores α y β iniciales y el tercero es la suma o diferencia de ambos (según como se haya construido el triángulo). Por esta razón, a tal triángulo se le da el nombre en cinemática naval de triángulo de velocidades. Finalmente, cualquier problema de cinemática naval se reduce a obtener uno de los lados de este triángulo cuando conocemos los otros dos. ejemplo 1:El rumbo de nuestro barco es 60º y nuestra velocidad 6 nudos. A HRB = 12:40 observamos en el radar el eco de un buque B que nos demora por los 100º encontrándose a una distancia de 12 millas. Puestos al habla con B mediante el VHF, nos comunica que su rumbo es 345º y su velocidad 8 nudos. Queremos saber cuál es la velocidad relativa de B respecto a nosotros, si existe riesgo de colisión y a qué distancia mínima pasaremos de él en caso de mantener ambos barcos sus rumbos y velocidades actuales. Para resolver este problema utilizamos, con el fin de facilitar el dibujo, una hoja de papel cuadriculado (más adelante, cuando estemos más familiarizados con el manejo de vectores, aprenderemos a utilizar una rosa de maniobra). Cerca del centro de la hoja dibujamos el punto A que representa a nuestro barco. A la distancia y en la dirección adecuadas dibujamos el punto B que representa al barco B. Para ello habremos elegido, utilizando la cuadrícula del papel, la escala necesaria para medir distancias. Ahora, con origen en el punto B, dibujamos el vector β (velocidad del barco B) y con origen en el extremo de β dibujamos el vector −α (vector opuesto a la velocidad de nuestro barco). Si unimos ahora el origen de β (o sea, el punto B) con el extremo de −α habremos obtenido el vector β+(−α) = β−α, o sea el vector que habíamos llamado Vβα que no es otro que la velocidad relativa de B respecto a A. Utilizando el compás y la escala que hemos elegido medimos el módulo de Vβα para saber a qué velocidad (nudos) se mueve el barco B respecto o nosotros. Con el transportador podemos medir el rumbo relativo de B respecto a nosotros (el ángulo desde el norte al vector Vβα). Utilizando una regla prolongamos el vector Vβα y sabremos la derrota relativa (o indicatriz del movimiento). Si esta derrota pasa sobre el punto A es claro que estamos en rumbo de colisión con el barco B. De lo contrario, trazando una perpendicular a la derrota relativa que pase por nuestro barco podemos medir, utilizando de nuevo el compás y la escala, la mínima distancia a la que pasaremos del barco B:

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Construcción del triángulo de velocidades para la resolución del ejemplo 1. La figura nos muestra entonces que el barco B pasará, de mantener ambos barcos velocidades y rumbos, por nuestra proa (pues nuestro rumbo es 60º) a una mínima distancia de 4.9 millas. Utilizando el compás y la escala obtenemos que la velocidad relativa de B con respecto a nosotros es de 8.6 nudos (ese es el módulo del vector Vβα) mientras que la distancia relativa a navegar hasta el paso de B a la mínima distancia es de 11.3 millas. Por tanto, el tiempo que transcurrirá desde el momento actual (HRB = 12:40) en que hemos observado el eco del buque B hasta que éste se encuentre a la mínima distancia de nosotros es de t = 11.3 / 8.6 = 1 hora 18.8 minutos. El barco B se encontrará por tanto a la mínima distancia de nosotros cuando sean HRB = 13 :58.8. Si el problema nos hubiese proporcionado nuestra situación a HRB = 12:40, cuando detectamos el eco de B, ahora podríamos hacer un simple cálculo de estima, tal como hemos estudiado en el Apéndice anterior, para saber cuál será nuestra situación en el momento de encontrarnos a la mínima distancia de B. Sería entonces un cálculo muy sencillo pues se trataría de calcular la situación final después de navegar a rumbo 60º y 6 nudos durante 1 hora y 18.8 minutos. En caso de estar sometidos a corriente, la tendríamos en cuenta, de la forma habitual, en este cálculo de estima. Fíjate que, sin embargo, una posible corriente en la zona no afecta al movimiento relativo de B respecto a A y, por tanto, no la tenemos en cuenta en la construcción gráfica de la figura anterior. Estudio del movimiento relativo de otro buque. En realidad es lo que hemos empezado a hacer en el apartado anterior y, más concretamente, en el ejemplo. Sin embargo, algunos otros casos particulares, que paso a describir brevemente, son interesantes en navegación: 1. Hallar el rumbo y velocidad de otro buque conociendo su movimiento relativo. Este es el caso típico de cinemática utilizando la información que proporciona el radar. Por esta razón este caso se conoce frecuentemente como cinemática radar. La situación es la siguiente: Navegando detectamos, en un instante dado, el eco de un buque B en una determinada posición respecto a nosotros (o sea, con el radar medimos la demora y distancia a la que se encuentra el eco). Pasado un cierto tiempo observamos que el eco de B en otra situación respecto a nosotros. La pregunta que nos hacemos entonces es: ¿Cuál es la velocidad absoluta (rumbo y módulo) β del barco B?. Evidentemente, suponemos conocido nuestra velocidad α. Dibujando los ecos de B, llamémosles B1 y B2, y uniéndolos por una recta determinamos inmediatamente la dirección y sentido de Vβα. Para saber su módulo no tenemos más que dividir la distancia entre B1 y B2 entre el tiempo transcurrido desde la observación del eco en B1 y la observación B2. Así que ya conocemos el vector Vβα. Conocemos también el lado −α del triángulo de velocidades (pues conocemos nuestra velocidad α), así que el lado restante es la solución del problema, la velocidad absoluta β del barco B. ejemplo 2: Navegando al rumbo verdadero 30º y a 12 nudos detectamos en la pantalla del radar, a HRB = 01:00, el eco de un buque B que nos demora por los 350º a 9 millas. A HRB = 01:10 el eco se encuentra a 6.5 millas por los http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node52_ct.html

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357º. Hallar el rumbo y la velocidad del buque B, distancia mínima a la que pasará de nosotros y hora de reloj de bitácora a la que ésto sucederá.

Construcción del triángulo de velocidades para la resolución del ejemplo 2. Observa que empezamos, de nuevo, dibujando la información que tenemos: El punto A que representa a nuestro barco y los puntos B1 y B2 que son las dos situaciones conocidas del barco B, separadas entre si por 10 minutos. Como son situaciones medidas desde nuestro barco, la recta que une B1 con B2 nos dará directamente la indicatriz del movimiento o derrota relativa. El vector velocidad relativa de B respecto a A, Vβα, se construirá entonces con origen en B1y en la dirección hacia B2. Para saber su módulo (su longitud) solo hemos de tener en cuenta que B1 y B2 están separados por 2.75 millas (esto lo medimos directamente sobre la figura utilizando el compás y la escala) que han sido recorridas en 10 minutos. En una hora se habrán recorrido entonces 16.5 millas y ésta (16.5 nudos) ha de ser la longitud del vector Vβα. Calculemos ahora la velocidad absoluta β del barco B. Para ello no tenemos más que utilizar la relación fundamental (1) que hemos deducido más arriba y, despejando, obtenemos: β = Vβα + α Puesto que hemos aprendido a sumar vectores, el problema es ahora muy fácil: A continuación del Vβα que acabamos de dibujar colocamos el vector α. La velocidad absoluta β del barco B será entonces el vector que va desde el origen de Vβα (o sea, el punto B1) hasta el extremo de α. Utilizando el transportador, compás y la escala determinamos entonces los siguientes datos para el movimiento absoluto del buque B: Rumbo de B = 107º Velocidad (absoluta) de B = 14.3 nudos Resuelta esta parte el resto del problema es igual al caso del ejemplo anterior. La mínima distancia a la que pasaremos de B será la perpendicular a la indicatriz que pasa por A. El resultado es 2.8 millas. La distancia relativa a navegar desde B1 hasta la situación de mínima distancia es de 8.6 millas. Puesto que la velocidad relativa es de 16.5 nudos, tendrán que pasar t = 8.6 / 16.5 = 0.5212 horas = 31.3 minutos desde que el eco estaba en B1 (HRB = http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node52_ct.html

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01:00) hasta encontrarnos a la mínima distancia del buque B. Así que la mínima distancia entre ambos barcos tiene lugar a HRB = 01:31.3. 2. Cálculo del momento en que el buque B se encontrará a una distancia d de nosotros. En este supuesto conocemos tanto nuestra velocidad α como la velocidad β del barco B así como la situación inicial de B respecto a nosotros. Queremos saber entonces cuanto tiempo ha de transcurrir desde la situación actual hasta que el barco B se encuentre a una distancia d de nosotros. Empezaremos, evidentemente, por situar los puntos A y B y construir el triángulo de velocidades para obtener la velocidad relativa de B respecto a nosotros, Vβα, y, prolongando este vector, dibujar la indicatriz del movimiento:

Momento en que el buque B se encontrará distancia d de nosotros.

Cualquiera de los puntos del círculo de radio d centrado en A se encuentra, obviamente, a la distancia deseada d de nosotros. Por tanto, la condición pedida se cumplirá cuando B se encuentre, en su movimiento relativo respecto a nosotros a lo largo de la indicatriz y a velocidad Vβα, en el punto C o en el punto C'. Sobre el dibujo anterior medimos, utilizando la escala y el compás, el módulo de Vβα y las distancias de BC y BC' con lo que podemos calcular los tiempos t y t' que han de transcurrir desde el momento actual representado hasta que B se encuentre en C o en C', respectivamente. De manera igualmente sencilla podemos calcular el momento en que el buque B se encontrará exactamente por nuestra proa (o popa, según pase la derrota relativa respecto a nosotros), o cuando tendremos a B por el través, o cuando la marcación B será una dada. Para ello no tenemos más que dibujar, partiendo de A, la dirección requerida y encontrar el punto C de corte de esa dirección con la indicatriz del movimiento que previamente habíamos dibujado como siempre. Por ejemplo, si nos planteamos hallar el momento en que B estará por nuestra proa, dibujaremos partiendo de A la dirección de nuestra proa, o sea, nuestro rumbo que vendrá indicado por nuestro http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node52_ct.html

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vector velocidad α:

Momento en que el buque B nos pasa por la proa. 3. Dar alcance a un buque en el menor tiempo posible. En este caso tenemos como datos la situación del buque B en un momento dado, su rumbo y velocidad β y el módulo de nuestra velocidad ( o sea, sabemos cuántos nudos es capaz de dar nuestra máquina). El problema consiste en calcular nuestro rumbo para dar alcance al buque B en el menor tiempo posible. Para dar alcance a B en el menor tiempo posible, sin variar nuestra velocidad de máquina, lo que hemos de hacer es poner rumbo de colisión con B, o sea, mantener la marcación de B constante. Eso significa, simplemente, que la derrota relativa pase exactamente por nosotros (punto A). Por tanto, para resolver el problema representaremos los puntos A y B y trazamos la derrota relativa uniendo los puntos B y A. Con esa derrota relativa mantenemos rumbo de colisión. Ahora, como siempre, con origen en B trazamos el vector β. Desde el extremo de β trazaríamos el vector −α para construir el triángulo de velocidades, pero sólo conocemos la longitud de -α (nuestra velocidad de máquina), no su dirección. Trazamos, entonces, un círculo de centro el extremo de β y radio nuestra velocidad de máquina. Evidentemente la dirección de −α ha de ser tal que del triángulo de velocidades resultante salga una velocidad relativa Vβα sobre la indicatriz del movimiento que habíamos dibujado (la que pasa por A):

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Dar alcance al buque B en el menor tiempo posible. Una vez fijados el rumbo y velocidad del buque B y nuestra velocidad de máquina, el problema puede no tener solución o, incluso, dos posibles soluciones matemáticas, dependiendo de los cortes del círculo de radio igual a nuestra velocidad de máquina con la derrota relativa que pasa por nuestro barco A:

Dar alcance al buque B en el menor tiempo posible.

Evidentemente, en el caso de esta figura la solución deseada es la que da lugar a una mayor velocidad relativa de B http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node52_ct.html

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respecto A, pues de esta forma alcanzaremos antes al buque B. Si analizas con cuidado la figura anterior llegarás fácilmente a las conclusiones siguientes: i) Si nuestra velocidad de máquina es mayor que la velocidad de máquina del buque a alcanzar (en nuestra terminología vectorial, si módulo de α > módulo de β), el problema tendrá siempre solución, independientemente del rumbo de B, pues el círculo dibujado en el extremo de β siempre cortará a la derrota relativa. ii) Si ambas velocidades de máquina son iguales (módulo de α = módulo de β) el problema tendrá solución y podremos alcanzar al buque B solo si el ángulo S < 90º pues de lo contrario el círculo no corta a la indicatriz del movimiento. iii) Si nuestra velocidad de máquina es menor que la velocidad de máquina de B (módulo de α < módulo de β) el problema tiene solución sólo si siendo S < 90º se cumple, además, que módulo de α > h. 4. Dar alcance a un buque sin variar nuestro rumbo. Este es el caso contrario al de antes: La velocidad y rumbo de B están, como antes, fijadas (así que el vector β está fijado), pero ahora es nuestro rumbo el que está fijo. Se trata entonces de calcular la velocidad de máquina que hemos de dar para alcanzar al buque B. Para resolver el problema hemos de tener en cuenta de nuevo que la condición necesaria es que la velocidad de máquina que pongamos sea tal que la derrota relativa pase por A, o sea, que llevemos rumbo de colisión. Así que dibujamos A, B, la derrota relativa pasando por A y, con origen en B, el vector β. Por el extremo de B dibujamos una recta en la dirección del vector −α (sólo conocemos, de momento, su dirección, determinada por nuestro rumbo, y no su módulo). Nuestra velocidad de máquina quedará inmediatamente fijada por el corte de esta recta con la derrota relativa:

Dar alcance al buque B sin variar nuestro rumbo.

Es evidente, además, que prolongando el vector β y trazando por A una recta en la dirección de nuestro rumbo, ambas rectas se cortarán en el punto de encuentro de ambos barcos si no existe corriente en la zona. Si existe una corriente, el punto de encuentro se habrá desplazado en la dirección de la misma una distancia igual al producto de su intensidad horaria por el tiempo t que tarda en producirse el encuentro. Ese tiempo (que será igual a la distancia BA dividida por el módulo de la velocidad relativa Vβα) no se ve afectado por la existencia de la corriente porque, como he comentado más arriba, la corriente afecta por igual a ambos barcos, así que es como si el dibujo entero se estuviese desplazando, sin deformarse, en la dirección de la corriente y a su misma velocidad. De este modo t es el mismo, haya o no corriente, pero la situación (con respecto al fondo del mar) de los barcos transcurrido ese tiempo t no es la misma si hay corriente que si no la hay, está claro, ¿no?. De todas formas, conocida nuestra situación en el momento inicial de detectar el eco de B, calculamos el tiempo t hasta el encuentro como acabo de explicar http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node52_ct.html

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(olvidándonos de la corriente). Entonces podemos hacer un simple cálculo de estima (como se ha explicado en el Apéndice anterior) para saber donde estará nuestro barco en el momento de encontrarse con el buque B. En esa estima tendremos en cuenta la corriente de la forma habitual. 5. Dar alcance a un buque en un tiempo determinado. El barco B, que en un determinado momento se encuentra en una situación conocida respecto a nosotros, navega con velocidad dada β. El problema que nos planteamos ahora es ¿Cuál ha de ser nuestro rumbo y velocidad de máquina (es decir, α) para dar alcance a B en un tiempo determinado t. De nuevo la derrota relativa es la línea que une los puntos B y A. Esa distancia relativa ha de recorrerse en el tiempo t. Esa condición fija inmediatamente el módulo de la velocidad relativa (su dirección es, obviamente, la de la derrota relativa de B hacia A) sin más que dividir la distancia BA entre t. Así que ya podemos dibujar, con origen en B, los vectores Vβα y β. Cerrando el triángulo de velocidades encontramos el vector −α del que obtenemos, por medio del transportador, el compás y la escala, nuestro rumbo y velocidad de máquina. Conocidos α y β podemos dibujarlos, cada uno centrado en el buque correspondiente, y prolongarlos para obtener el punto E de encuentro. Como es natural, se aplica en este caso exactamente la misma discusión del apartado anterior con respecto a si E es el punto de encuentro o no en caso de existir o no una corriente afectando al movimiento de ambos barcos. Esa corriente, de existir, no se tiene en cuenta, sin embargo, en el cálculo de nuestra velocidad de máquina y rumbo por los motivos ya discutidos y que, a estas alturas, deben estar ya muy claros. 6. Dar rumbo para pasar a una distancia determinada de otro buque. El planteamiento del problema es el siguiente: El barco B navega con velocidad conocida β y se encuentra en una situación conocida respecto a nosotros. Nuestra velocidad de máquina (el módulo de α) es conocida. Queremos saber qué rumbo hemos de poner para pasar a una cierta distancia d del buque B. Como debe estar ya claro, el movimiento relativo de ambos barcos lo estudiamos siempre desde el punto de vista de nuestro barco. O sea que A permanece en reposo y es B quien se mueve con velocidad Vβα (por supuesto, esto es en lo que hace referencia a la situación relativa de un barco respecto del otro. La situación de cada barco respecto al fondo varía porque respecto a él ambos barcos se mueven). Así que el problema que nos planteamos en este apartado, pasar a una distancia dada del otro buque, lo resolveremos buscando las condiciones que se tienen que dar para que B pase, en su movimiento relativo, a una distancia d de nosotros. Dibujamos, como siempre, A y B. Con centro en A dibujamos un círculo de radio d y dibujamos la indicatriz del movimiento que será la recta que, partiendo de B, tangentea a este círculo. Tendremos dos posibilidades de dibujar esta recta que corresponderán a que B pase a una distancia d de nuestra proa o de nuestra popa:

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Dar rumbo a pasar a una distancia d del buque B.

Con origen en B dibujamos la velocidad β del buque B. Con centro en el extremo de β trazamos un círculo de radio igual a nuestra velocidad de máquina (que será el módulo de nuestra velocidad). Uniendo el extremo de β con los puntos de corte de este círculo y las derrotas relativas que habíamos trazado obtenemos las dos posibilidades para el vector α de donde obtenemos con el transportador las dos soluciones para nuestro rumbo. La rosa de maniobra. Como hemos visto en el apartado anterior, todo lo que se necesita para realizar los cálculos de cinemática es papel cuadriculado, compás, regla y transportador. Con el fin de facilitar (y, por tanto, acelerar) los cálculos se publicaba por el Instituto Hidrográfico la rosa de maniobra, una hoja de papel con una rosa (de 0º a 360º) y diferentes escalas (para poder elegir la más conveniente según las distancias y velocidades a representar) dibujadas:

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Rosa de maniobra.

En realidad, con esta plantilla lo que conseguimos es solamente ahorrarnos el uso del transportador y tener que fabricarnos la escala nosotros mismos, por lo demás todas las construcciones gráficas que hemos explicado son, evidentemente, las mismas. Dibujamos en cada caso nuestro barco A en el centro. Elegimos la escala más adecuada para representar las longitudes y velocidades involucradas en el problema. Para evitar confusiones, marcamos claramente la escala que vamos a utilizar. Para medir rumbos (o cualquier ángulo) trazamos una paralela a la dirección en cuestión por el centro de la rosa y leemos directamente el ángulo en la escala de la rosa.

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Apéndice V. Coeficiente pagel 1. Introducción. Hemos estudiado con cuidado el caso particular de una mañana de navegación astronómica utilizando el Sol, desde la medición de su altura por la mañana temprano, cuando se encuentra a unos 20º sobre el horizonte, hasta la observación del paso del Sol por el meridiano del barco en movimiento. Esta es, posiblemente, una de las prácticas más comunes en navegación astronómica. En resumen, esto es, como hemos explicado ya en su momento, lo que hacemos: 1. A partir de la observación de la mañana calculamos los determinantes de la recta de altura. 2. Corregimos la estima que tenemos en ese momento (y que hemos utilizado en el cálculo de los determinantes) pasando a considerar como situación de estima en el momento de la observación la situación del punto aproximado que acabamos de calcular. 3. Hacemos una estima próxima y obtenemos la situación de estima que tendrá el barco al paso del Sol por su meridiano, así como una estimación de la hora TU a la que ésto ocurrirá. 4. Con suficiente antelación preparamos la observación del paso del Sol por el meridiano, preparando una plantilla para aplicar el método de las alturas iguales antes y después del tránsito para medir la hora TU de paso del Sol por el meridiano. 5. Con la altura meridiana medida y la declinación del Sol en el TU del tránsito obtenido de la plantilla anterior calculamos la latitud del barco. La longitud se calcula entonces trasladando la recta de altura de la mañana al instante TU del tránsito y buscando su corte con el paralelo de latitud la que acabamos de calcular.

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Página 2 de 7 Figura 1. Situación al mediodía por Marq y meridiana.

Gráficamente este proceso se ha representado en la Figura 1. Fíjate que si trasladamos hacia atrás en el tiempo (siguiendo la navegación inversa a la realizada, indicada por la flecha a trazos marrón en la figura) hasta el instante TU de la observación e la mañana, habremos obtenido la situación verdadera que tenía el barco en ese instante y que no habíamos podido determinar pues sólo disponíamos en ese momento de una única línea de posición. Esto no debe sorprender en absoluto al lector pues es exactamente lo mismo que ocurre cuando, en navegación costera, tomamos dos demoras no simultáneas a un punto de la costa con el fin de situarnos: No es hasta el instante de la segunda demora que podemos calcular la situación que tiene el barco en ese momento y la que tenía en el instante de tomar la primera demora. Con vistas a entender posteriormente cómo se puede utilizar el coeficiente en la práctica, conviene ahora fijarse también en que los pequeños triángulos rectángulos de lados l, L y la recta que une la situación de estima y la observada son iguales, tanto a la hora TU de la meridiana como a la hora de la observación de la mañana.

2. Coeficiente pagel. El coeficiente pagel no representa en realidad nada nuevo con respecto a lo que acabo de resumir en la sección anterior. Se trata solamente de un procedimiento analítico (o sea, por medio de ecuaciones) muy rápido para realizar el proceso resumido en la Introducción sin necesidad de recurrir a la representación gráfica y traslado de las rectas de altura como se ha esquematizado en la Figura 1. Veamos en qué consiste y cómo se utiliza. Del proceso que acabamos de esquematizar se extrae la importante conclusión siguiente: La altura meridiana medida es, en general, muy precisa puesto que el Sol parece colgar del cielo, manteniendo su altura constante, durante dos o tres minutos a su paso por el meridiano. Por esta misma razón, es muy difícil medir con precisión el instante TU del tránsito, así que, en general, tendremos bastante incertidumbre en la determinación del TU del paso por el meridiano. Estas dos cosas tomadas conjuntamente significan que la latitud obtenida a partir de la altura meridiana será muy precisa puesto que sólo depende de la altura y la declinación (que será precisa a pesar del probable error en TU pues la declinación del Sol varía lentamente). Por tanto, una vez hecha la traslación hacia atrás en el tiempo, tendremos un muy buen resultado para la latitud que tenía el barco en el momento de la observación de la mañana. En otras palabras, la diferencia l en latitud entre el punto aproximado y la situación verdadera puede considerarse exacta. Puesto que la situación del punto aproximado trasladada al mediodía se ha calculado analíticamente (mediante la estima próxima) y la latitud por altura meridiana se ha calculado también analíticamente mediante las tablas del Almanaque Náutico, resulta que conocemos l sin más que restar ambas y sin tener que recurrir a ninguna representación gráfica. El problema restante es determinar L para poder calcular la longitud del barco al mediodía. Fíjate que si el l de la Figura 1 resultara cero, entonces L también sería cero. En otras palabras, la situación de estima al mediodía coincidiría con la observada y, trasladando hacia atrás en el tiempo, lo mismo ocurriría con el punto aproximado y la situación verdadera en el 0. ¿Qué implica ese error en la momento de la observación de la mañana. Pero en general obtendremos un l latitud?. Pues imagina el instante TU de la observación de la mañana: No tenemos incertidumbre en él, porque no está relacionado con ningún evento (como el paso del Sol por el meridiano) difícil de precisar. Por el contrario, leemos TU en nuestro reloj que suponemos exacto. Por tanto, obtenemos del Almanaque Náutico el correspondiente valor exacto para . Por supuesto, aplicadas todas las correcciones a la altura observada con el sextante, obtenemos el valor exacto para la distancia cenital Ca. Si

l fuese cero, entonces Cl también sería exacto y podríamos calcular la longitud calculando primero el ángulo

en el Polo por medio de la resolución del correspondiente triángulo de posición en el que todos los lados serían exactos (Figura 2).

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Figura 2. Cálculo del ángulo en el Polo. La ecuación conveniente se obtiene utilizando el teorema de los cosenos: cos Ca = cos

cos Cl + sin

sin Clcos

(1)

Resuelta esta ecuación tendríamos un valor exacto para el ángulo en el Polo, ya que estaría obtenido a partir de valores exactos de las otras variables, y, por tanto, tenemos el valor exacto del horario en el lugar hL. La longitud del barco, que es lo que nos interesa, se obtendría, obviamente, a partir de L = hL - hG

(2)

donde hG es el horario en Greenwich del Sol en el momento de la observación obtenido a partir del Almanaque.

Pero

l

0. Eso significa que en el triángulo de posición anterior el lado Cl deja de ser exacto mientras que los

otros dos lados lo siguen siendo. Pero un Cl con error significa, una vez utilizado en la ecuación (1), un

(y, por

tanto, un hL) con error y, entonces, la ecuación (2) significa un error en la longitud L (igual al error inducido por el error en la latitud) porque el horario en Greenwich (que solo depende de TU) sigue siendo exacto. Por tanto, si supiéramos calcular cuánto varía el horario en el lugar (o sea, el ángulo en el Polo) debido a una variación de un minuto de arco en la latitud (con las demás variables exactas), no tendríamos más que multiplicar ese valor(que llamaremos Q) por l (en minutos de arco) para obtener el correspondiente L (también en minutos de arco).

El coeficiente pagel Q es el error en el horario en el lugar (o sea, en el ángulo en el Polo) calculado resolviendo el triángulo de posición causado por un minuto de arco de error en la latitud cuando el resto de variables es exacto.

O sea: L=Q

l

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Así que, calculado Q con los datos del Sol durante la observación de la mañana y obtenido el l a partir de la diferencia de latitudes entre la latitud observada por altura meridiana y la latitud de la situación de estima al mediodía (de la estima próxima), podemos calcular L que nos permite corregir la longitud de estima al mediodía. ¿Cómo se calcula el coeficiente pagel Q?. Pues ese es un cálculo matemático sencillo utilizando el concepto de diferencial de una función. Aquellos lectores que carezcan de estos conocimientos matemáticos tendrán necesariamente que hacer un acto de fe en este punto: En la ecuación (1) sólo varían la latitud y el ángulo en el Polo (las demás variables son exactas). Así que diferenciando ambos miembros de esa ecuación obtenemos fácilmente: dP =

-

dl

Por tanto, el coeficiente pagel es Q=

-

(4)

Ahora es fácil explicar el motivo por el que retrocedemos en el tiempo hasta la hora TU de la observación de la mañana para calcular Q: El coeficiente pagel depende de P. Pero, puesto que tenemos una indeterminación no controlada en la hora TU del paso del Sol por el meridiano, el ángulo en el Polo durante la meridiana no lo conocemos con precisión, cosa que, como he comentado más arriba, no ocurre en la observación de la mañana. Recuerda que, como queda claro de la Figura 1, L es el mismo al mediodía que por la mañana, así que no hay ningún problema en calcularlo utilizando el Q obtenido por la mañana. Obviamente, hemos de esperar al tránsito del Sol para, una vez conocida la latitud al mediodía a partir de la altura meridiana, poder calcular l y aplicar la ecuación (3).

3. Criterio de signos. Calculado Q con los datos del Sol correspondientes a la observación de la mañana y obtenida l una vez medida la altura meridiana del Sol, calculamos L mediante la ecuación (3). Falta solamente determinar si esa diferencia de longitud es E o W para obtener la longitud al mediodía. Un análisis gráfico de todas las situaciones posibles, algunas de ellas (no todas) representadas en la Figura 3, nos permite fácilmente llegar al siguiente criterio de signos que tenemos que aplicar:

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Figura 3. Criterio de signos para aplicar el coeficiente pagel. Expresamos el azimut del Sol en el momento de la observación de la mañana de forma cuadrantal, escribiendo en una línea los puntos cardinales que lo definen y, debajo, los puntos cardinales opuestos. Por ejemplo, en el caso (a) de la Figura 3 el azimut cuadrantal es S Z E (el valor concreto de Z no nos interesa). Por tanto, el diagrama sería: S E N W Observa que en la línea superior colocamos las letras correspondientes al azimut cuadrantal aunque, como en el caso representado en (d), la diferencia de alturas sea negativa y, consecuentemente, la recta de altura correspondiente se dibuje en la dirección contraria al astro. Así, en el caso (d) el azimut cuadrantal es S Z W y entonces el diagrama es: S W N E Construido este diagrama, trazamos la diagonal que empieza en la letra correspondiente a l. El final de esa diagonal nos indica la letra correspondiente a L. Puedes comprobar en la Figura 3 (y dibujando los casos que no he representado en ella) que de esta manera se obtiene siempre el resultado correcto. Por ejemplo, en el caso con l Norte correspondiente a (d), tendríamos: S

W

N

E

que indica el resultado correcto, evidente de la Figura 3, de que en este caso

L es Oeste.

4. Resumen. http://www.rodamedia.com/navastro/curso_ddd/node53_ct.html

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Reescribamos el esquema del principio de este Apéndice que describe una mañana de navegación astronómica con el Sol si pretendemos utilizar el coeficiente pagel en lugar de la representación gráfica para calcular la longitud al mediodía: 1. A partir de la observación de la mañana calculamos los determinantes de la recta de altura Zv y a. Con los mismos datos que hemos resuelto el triángulo de posición para obtener los determinantes, calculamos el coeficiente pagel Q utilizando la ecuación (4). El signo que obtengamos es irrelevante pues utilizaremos posteriormente el criterio que hemos explicado. 2. Corregimos la estima que tenemos en ese momento (y que hemos utilizado en el cálculo de los determinantes y del coeficiente pagel) pasando a considerar como situación de estima en el momento de la observación la situación del punto aproximado que acabamos de calcular. 3. Hacemos una estima próxima y obtenemos la situación de estima que tendrá el barco al paso del Sol por su meridiano, lme Lme, así como una estimación de la hora TU a la que ésto ocurrirá, TUm. 4. Con suficiente antelación preparamos la observación del paso del Sol por el meridiano, preparando un plantilla para aplicar el método de las alturas iguales antes y después del tránsito para medir la hora TU de paso del Sol por el meridiano. 5. Con la altura meridiana medida y la declinación del Sol en el TU del tránsito obtenido de la plantilla anterior calculamos la latitud observada lo del barco. lo - lme y anotamos si es Norte o Sur. Calculamos L = Q l y le asignamos dirección 6. Obtenemos l E o W utilizando el criterio explicado. Calculamos, finalmente, la longitud observada al mediodía, Lo, corrigiendo Lme con L. El resultado obtenido es el mismo que el que se obtendría gráficamente trasladando la recta de altura de la mañana (salvando las pequeñas diferencias que pueden aparecer debidas a la imprecisión inherente a cualquier método gráfico).

Ejemplo. Este ejemplo es parte del examen propuesto por la Dirección General de la Marina Mercante en el segundo día de cálculos para Capitán de Yate en diciembre de 2001: El 22 de octubre de 2001, siendo HRB = 07h 30m, en situación de estima, latitud 26º 30' S y longitud 086º 10' W, tomamos altura instrumental del Sol limbo inferior 31º 55' y seguimos navegando al rumbo verdadero 130º con velocidad de 10 nudos hasta la hora de paso del Sol por el meridiano en que tomamos altura instrumental meridiana del Sol, limbo inferior, 74º 15'. Elevación del observador 9.5 metros, corrección de índice 1.5' (-). Calcular la situación al mediodía por Marq y meridiana, utilizando el coeficiente de pagel. Hora legal y fecha. Mostraré la resolución por pasos esquemáticamente pues, a estas alturas del curso, no deben ser necesarios demasiados detalles: 1. Calculamos la hora TU de la observación a partir de la longitud de estima y la HRB de la misma. El resultado es TU = 13:30 (22 Octubre). 2 Corregimos la altura instrumental del Sol y obtenemos su altura verdadera. El resultado es av = 32º 02.6'. 3. Utilizando el Almanaque Náutico calculamos el horario en Greenwich y la declinación del Sol en este momento. = - 11º 11.7' (si no dispones del AN de 2001 puedes utilizar los programas El resultado es hG = 26º 23.1', on-line para obtener estos datos). Como la declinación es Sur, igual que la latitud de estima, obtenemos que 78.805º. 4. Obtenemos el horario en el lugar y de él el ángulo en el Polo. El resultado es

=

= 59.78333º (E).

5. La colatitud es Cl = 63.5 S.

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6. Resolvemos el triángulo de posición para calcular el azimut verdadero y la altura estimada que nos permitirá obtener la diferencia de alturas. El resultado es Zv = 86.9º, a = + 8.5'. = 59.78333º (E), = 78.805º y la latitud de estima l = 26.5º, calculamos el coeficiente 7. Con esta misma pagel utilizando la ecuación (4). El resultado es Q = - 0.061. El signo negativo es irrelevante. 8. Corregimos nuestra situación de estima en este momento tomando como nueva situación de estima la del punto aproximado de la recta de altura que acabamos de calcular. Puesto que estamos resolviendo el problema analíticamente, sin recurrir a gráficos, calcularemos la situación del punto aproximado mediante un simple cálculo de estima directa: El punto aproximado será el punto de llegada después de navegar, partiendo de la situación de estima, una distancia a a lo largo del rumbo Zv. El resultado es lpa = 26º 29.5' S, L = 86º 0.6' W. Esta es nuestra nueva latitud de estima a TU = 13:30 (22 Octubre). 9. Obtenemos del Almanaque que PMG = 11h 44.5m. Hacemos una estima próxima, con tantas iteraciones como sean necesarias, para determinar la situación de estima al paso del Sol por el meridiano y la hora TU estimada a la que ésto ocurrirá. El resultado es lme = 26º 54.9' S, Lme = 85º 26.7' W y TUm = 17 : 26 : 54. 10. Corregimos la altura instrumental meridiana para hallar la altura meridiana verdadera y calculamos la declinación del Sol en el instante TUm. Con estos datos obtenemos la latitud observada por altura meridiana. EL resultado es lo = 26º 51.4' S. 11. Calculamos entonces

l = lo - lme = 3.5' N. Como el azimut cuadrantal en la observación de la mañana era N

Z E resulta, aplicando el criterio de signos, que L es W. Su valor es L = Q l = 0.061x3.5 = 0.2' W. Por tanto, la longitud observada al mediodía es Lo = 85º 26.9' W. Esta longitud corresponde al huso 6 W. Por tanto, la hora legal es Hz = 11 : 26 : 54 y la fecha es el 22 de Octubre. En resumen: la solución es: Situación observada al mediodía, lo = 26º 51.4' S, Lo = 85º 26.9' W. Hora legal Hz = 11 :

26 : 54 (22 de Octubre).

Dejo en manos el lector resolver el problema sin utilizar el coeficiente pagel, trasladando la recta de altura de la mañana, para comprobar que se obtiene el mismo resultado.

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