Naskah Buku Stat New.doc
November 15, 2017 | Author: Ezra Rheinsky Tiarsa | Category: N/A
Short Description
Download Naskah Buku Stat New.doc...
Description
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
I
1
Pendahuluan
1.1. Pengertian Statistik dan Statistika Statistik merupakan kumpulan angka yang bermakna. Statistika merupakan suatu
ilmu pengetahuan pembantu yang berhubungan dengan cara
pengumpulan data, penyajian data dan penganalisisan data, dan dari analisis tersebut dapat ditarik suatu kesimpulan dan dari kesimpulan dapat dibuat suatu keputusan,
yang mana
keputusan yang diambil sebenarnya dalam suasana ketidakpastian dan adanya variasi. 1.2. Data Data bentuk jamak dari datum yang berarti keterangan atau ilustrasi. Berdasarkan bentuknya data terdiri dari a. berupa angka/bilangan b. berupa simbul/lambang Berdasarkan sifatnya data terdiri a. data kualitatif yaitu berupa simbul atau lambang , misalnya Si A orangnya pintar. Si B orangnya cantik, dan sebagainya. b. data kuantitatif yaitu berupa angka atau bilangan, misalnya Si A nilai ujiannya 75, Si B tinggi badannya 167 cm, dan sebagainya. Data kuantitatif harganya berubah-ubah atau bersifat peubah (variable) Berdasarkan kejadiannya atau jenisnya data terdiri dari: a. Data diskrit yaitu data hasil perhitungan b. Data kontinu yaitu data hasil pengukuran Berdasarkan sumbernya data terdiri dari: a. data intern b. data ekstern
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
2
Untuk apa dan buat apa data tersebut ? Sesuai dengan pengertiannya yaitu keterangan atau ilustrasi maka data merupakan kumpulan angka/lambang yang bermakna. Selanjutnya mau diapakan data tersebut ? Karena merupakan angka/lambang yang bermakna, selanjutnya akan disajikan agar lebih jelas maknanya. Banyak cara, dalam menyajikan data yaitu: dengan 1. Tabel atau Daftar 2. Grafik atau Diagram. Macam-macam Tabel atau Daftar a. Daftar baris kolom b. Daftar kontingensi c. Daftar sebaran frekuensi Macam-macam Grafik atau Diagram a. Diagram Garis b. Diagram Batang c. Diagram Lambang atau Simbol d. Diagram Lingkaran atau Pastel e. Diagram Peta atau Kartogram f. Diagram Pencar atau Diagram Titik.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
3
Contoh Grafik atau Diagram Garis
Data dari ketiga mahasiswa ( A, B dan C ) Tentang Indeks Prestasi Semester 1 sampai dengan 6.
Eri Setiawan
Contoh Grafik atau Diagam Batang
Pengantar Statistika
4
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
5
Data Persentase Perolehan SMS dari Keempat Kontestan ( A, B, C dan D ) KDI Star Pada Minggu 1 s.d 4 Tahun 2010.Propinsi Lampung Lampung Timur Lamping Barat Lampung Utara Lampung Selatan
Minggu 1 24.5 30.4 28.7 16.4
No Jenis Kelamin 1 Laki-laki
Minggu 2 21.4 27.8 24.4 26.4
Frekuensi 332
Minggu 3 19.7 23.5 27.1 29.7
Minggu 4 18 25 30 27
Persentase ( % ) 68,60
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
2
Perempuan Total
152 484
6
31,40 100,00
Contoh: Grafik atau Diagram Lingkaran atau Pastel
Usia Responden
Sex Responden Category Perempuan Laki-laki
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
7
Usia Responden No
Usia
frek
%
1
16 – 20
28
8,54
2
21 – 30
72
21,95
3
31 – 40
112
34,15
4
41 – 60
109
33,23
5
> 60
7
2,13
Total
328
100,00
Usia Responden Category > 60 16 - 20 Tahun 41 - 60 21 - 30 31 - 40
Usia Responden ( Dalam Persen )
Jenis Pekerjaan Responden
Jenis Pekerjaan Utama Responden Jenis Pekerjaan No Utama
frek
%
Category Pensiunan Pelajar/mahasiswa Pekerja mandiri/sektor informal Tidak bekerja Lain-Lain Pegawai swasta Ibu rumah tangga Pegawai negeri/TNI/Polri Wiraswasta/Pengusaha Petani/peternak
Eri Setiawan
1 PNS/TNI/Polri 2 Pegawai swasta Wiraswasta/ 3 Pengusaha Pekerja mandiri/ 4 sektor informal 5 Petani/peternak 6 Pelajar/mahasiswa 7 Ibu rumah tangga 8 Pensiunan 9 Tidak bekerja 10 Lain-Lain Total
Pengantar Statistika
58 36
15,10 9,38
62
16,15
24 82 17 45 5 26 29 384
6,25 21,35 4,43 11,72 1,30 6,77 7,55 100,00
8
Jenis Pekerjaan Utama Responden
Hasil Kerja Kelompok A, B, C, D dan E Dari Tahun 1 sampai dengan 3.
Komposisi Mahasiswa Komputer pada Perguruan Tinggi di Kota Bandar Lampung Th. 2010
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
9
Komposisi Mahasiswa Kedokteran pada Perguruan Tinggi di Kota Bandar Lampung Th. 2010
Data Penjualan Sepeda Motor di Dealer ABC Selama 1 Tahun Bulan Januari Pebruari Maret April Mei Juni Juli Agustus Septembe
Motor 750 800 675 725 700 650 800 750
r Oktober November Desember
650 650 600 575
Grafik Penjualan Sepeda Motor di Dealer ABC Selama 1 Tahun
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
10
Trend Penjualan Motor
Banyaknya Motor
800
750
700
650
600
i i ar ar u u r n b Ja Pe
et ar M
ril Ap
M
ei
ni Ju
li Ju
r r r r s tu be be be be s o u t em em em Ag Ok pt ov es e N D S Bulan Penjualan
Moving Average Plot for Penjualan Motor Variable Actual Fits
Penjualan Motor
800
750
Moving Average Length 2
700
Accuracy Measures MAPE 3.93 MAD 27.27 MSD 1015.63
650
600
1
2
3
4
5
6 7 Bulan
8
9
10
11
12
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Contoh lain Pembuatan Histogram dan Poligon Kelas Interval 23 - 31 32 - 40 41 - 49 50 - 58 59 - 67 68 - 76 77 - 85 86 - 94 Jumlah
Xi 27 36 45 54 63 73 81 90 -
fi 4 9 15 22 19 16 10 5 100
11
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
12
Poligon 25
Frekuensi
20
15
10
5
0
22.5
31.5
40.5
49.5
58.5
67.5
76.5
85.5
Xi
1.3. Pengukuran Data Ada empat jenis pengukuran berdasarkan tingkat pengukuran ( level of measurement ) terhadap data. 1. Data Nominal Merupakan data kualitatif yang bersifat setara atau sama antar data yang satu dengan yang lain. Jadi hanya diberikan nama. Contoh : Jenis kelamin, dsb. 2.
Data Ordinal
Merupakan data kualitatif yang bersifat tidak setara setara atau tidak sama antar data yang satu dengan yang lain. Jadi diberikan nama dan urutan. Contoh.Sikap Seseorang, Jenjang Pendidikan, Rating acara Televisi, dsb. 3. Data Interval
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
13
Merupakan data kuantitatif yang mempunyai perbedaan antar data yang satu dengan yang lainnya dan perbedaannya jelas terukur. Jadi berikan nama
, urutan.dan jarak dan
tidak
mempunyai titik nol murni Contoh: Temperatur Suhu, dsb. 4.
Data Rasio
Merupakan data kuantitatif yang mempunyai perbedaan antar data yang satu dengan yang lainnya diukur dengan jelas dan mempunyai harga nol mutlak. Jadi berikan nama , urutan, jarak.dan perbandingan. Contoh : Berat Badan, Produksi. Secara garis besarnya Statistika dibagi menjadi dua bagian, yaitu Statistik Deskriptif dan Induktif. Statistik Deskriptif ( Eksplorasi ) merupakan penyajian dan analisis data, sedangkan Statistik Induktif atau Inferensial atau Konfirmasi merupakan penarikan kesimpulan dari hasil analisis data.
DATA
DATA KUALITATIF
DATA NOMINAL
DATA ORDINAL
DATA KUANTITATIF
DATA INTERVAL
DATA RASIO
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
14
DATA RASIO
DATA INTERVAL
DATA ORDINAL
DATA NOMINAL
DATA INPUT
Statistik Deskriptif Statistik Deskriptif
METODE STATISTIKA
Penyajian Data
DATA OUTPUT
Grafik
Tabel
Sari Numerik Data
Ukuran Pemusatan Data Ukuran Letak Data Ukuran Penyimpangan Data
Dimensi Waktu
Deret Waktu Angka Indeks
Eri Setiawan
Jenis Data
Pengantar Statistika
Data Kualitatif
15
Grafik Bar ( Batang ) Grafik Pie ( Lingkaran ) Tabel Kontingensi
Data Kuantitatif
Grafik Line (Garis ) Steam and Leaf Distribusi Frekuensi
Distribusi Frekuensi
Histogram Poligon Pareto
Ukuran Pemusatan Data
Rata-rata
Rata-rata Hitung
Rata-rata Ukur
Rata-rata Harmonik Modus
Ukuran Letak
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Ukuran Letak Data
16
Median Kuartil Desil Persentil
Ukuran Penyimpangan Data
Range ( Rank ) Variance ( Ragam )
Simpangan Baku
Koefisien Keragaman
Mengukur Angka Indeks Indeks
Tak Tertimbang
Sederhana
Agregatif Sederhana
Tertimbang
Relatif Sederhana Laspeyre s Paasche Drobisch Fisher Marshall-Edgeworth
Bentuk ( Shape ) Data
Rantai
Eri Setiawan
Bentuk Data
Pengantar Statistika
Kemiringan
Koefisien Pearson Momen Kemiringan
Keruncingan
Uji Bentuk Data
Momen Keruncingan
Boxplot Histogram
Data Deret Waktu
Trend
Free Hand Moving Average Least Square
Siklus Musim Irreguler
Indeks
Harga Kuantitas Nilai
17
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
18
1.4. Populasi dan Sampel Populasi merupakan kumpulan dari suatu obyek dengan ciri tertentu yang karakteristiknya akan diukur, atau populasi adalah totalitas semua nilai yang karakteristiknya akan diukur, sedangkan sampel merupakan bagian dari populasi.
POPULASI Berukuran N
Sampel n
1.5. Parameter dan Statistik Parameter adalah besaran-besaran atau ukuran dari populasi Statistk adalah besaran-besaran atau ukuran dari sampel. Dalam prakteknya ukuran atau besaran parameter dinotasikan atau dilambangkan dengan huruf Yunani, seperti , , , dan seterusnya, sedangkan ukuran atau besaran statistik dinotasikan dengan huruf Latin, seperti x, y, t, z dan seterusnya. Yang utama dalam mempelajari statistika adalah memahami dua besaran atau perumusan yang memegang peranan penting, yaitu Rata-rata dan Ragam atau Simpangan Baku, yaitu: Nama Besaran Rata-rata (Nilai Tengah) ( Mean = Average) Ragam (Variansi ) ( Variance ) Simpangan baku ( Standard Deviation )
Parameter
Statistik
N
n
Xi
x
i 1
N
Xi i 1
n
N
2
( X i )2 i 1
N
n
s 2
N
( X i )2 i 1
N
( X i X )2 i 1
n 1
n
s
( X i X )2 i 1
n 1
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
19
Contoh Misalkan diketahui data populasi sebagai berikut: N = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Hitung rata-rata dan simpangan baku. Jawab N
Rata-rata populasi
Xi = X1 X 2 X 3 X 4 X 5 = i 1 N
N
1 2 3 4 5 15 = =3 5 5
N
Simpangan baku populasi
N
2
( X i )2 = i 1 N
( X i ) 2 atau cari melalui ragam yaitu i 1 N
N
( X i )2
2 i 1
N
(1 4 0 4 1) (1 3) 2 ( 2 3) 2 (3 3) 2 (4 3) 2 (5 3) 2 = =2 5 5
Setelah ragam diperoleh tinggal diakarkan, maka diperoleh simpangan baku atau =
2 = 1,414
Ada cara lain dalam menghitung ragam populasi jika tidak mencari dulu rata-rata, yaitu
N ( X i ) ( X i ) 2 2
2
N2
Data ke1 2 3 4 5 Jumlah
X2 1 4 9 16 25 Xi 2= 55
X 1 2 3 4 5 Xi=15
N ( X i ) ( X i ) 2 2
2
N2
=
275 225 50 5(55) (15) 2 = = =2 2 25 25 5
Ternyata hasilnya sama, yaitu 2 = 2. Kalau diketahui data itu sampel, yakni n = { 1, 2, 3, 4, 5 } ditanyakan hitung rata-rata dan simpangan baku n
Rata-rata sampel
x
Xi = X1 X 2 X 3 X 4 X 5 = i 1 n
n
1 2 3 4 5 15 = =3 5 5
Eri Setiawan
Pengantar Statistika n
Simpangan baku sampel
n
s 2
( X i X )2 = i 1 n 1
s
20 n
( X i X ) 2 atau cari melalui ragam yaitu i 1 n 1
s2
( X i X )2 i 1
n 1
10 (1 3) 2 (2 3) 2 (3 3) 2 (4 3) 2 (5 3) 2 = = 2,5 4 5 1
Setelah ragam diperoleh tinggal diakarkan, maka s =
2,5
= 1,581
Ada cara lain dalam menghitung ragam sampel jika tidak mencari dulu rata-rata, yaitu
n( X i ) ( X i ) 2 2
s 2
n(n 1)
=
275 225 50 5(55) (15) 2 2,5 = = 20 20 5(5 1)
Ternyata hasilnya sama, yaitu s 2 = 2,5 Apabila dilihat hasil normalitas dengan bantuan paket diperoleh: Contoh lainnya C1 10 20 30 40 50
C2 1 2 3 4 5
C3 11 12 13 14 15
C4 101 102 103 104 105
Descriptive Statistics: C1, C2, C3, C4 Variable
N
Mean
St-Dev
C1
5
30.00
C2
5
3.00
1.581
2.50
C3
5
13.00
1.581
2.50
C4
5
103.00
1.581
2.50
15.81
Variance 250.00
s=
2,5
= 1,581
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
21
Empirical CDF of C1 Normal Mean 30 StDev 15.81 N 5
100
Percent
80
60 40
20
0 -10
0
10
20
30 C1
40
50
60
70
Empirical CDF of C2, C3 Normal Variable C2 C3
100
Mean StDev N 3 1.581 5 13 1.581 5
Percent
80
60 40
20
0 0
2
4
6
8 10 Data
II .
12
14
16
18
SARI NUMERIK DATA
Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak dan Ukuran Penyimpangan Data 2.1. Bagi data mentah atau data tidak berkelompok 2.1.1 Ukuran Pemusatan Data
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
22
2.1.1.1 Rata-rata Hitung Jika data populasi, misalkan N = {1, 2, 3, 4, 5}, maka N
Xi = i 1 N
1 2 3 4 5 3 5
Jika data sampel, misalkan n = {1, 2, 3, 4, 5}, maka n
X
Xi = i 1 n
1 2 3 4 5 3 5
2.1.1.2. Rata-rata Ukur ( Rata-rata Geometrik ) Digunakan untuk menghitung rata-rata laju kenaikan atau laju penurunan dari sekelompok data pada peridr tertentu, yang mempunyai perubahan angka secara mencolok. Dengan notasi sebagai G
n
X 1 . X 2 ....... X n
Contoh Tingkat penjualan motor PT Adira selama empat tahun terakhir adalah 1000, 3000, 5000, 9000 Jawab n
Kalau dengan rata-rata hitung adalah G
n
X
Xi = i 1 n
1000 3000 5000 9000 4500 4
X 1 . X 2 ....... X n
G 4 1000 x3000 x5000 x9000.
= 3408,66 atau 3409. Ditinjau dari trend penjualan sampai tahun ke empat.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
23
Trend Penjualan Motor dari Dealer Adira
Banyaknya Motor yang Terjual
9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 1
2
3
4
Tahun Penjualan
Ditinjau dari prakiraan penjualan sampai tahun ke sembilan. Plot Analisis Penjualan Motor
Banyaknya Motor yang Terjual
Linear Trend Model Yt = -2000 + 2600* t Variable Actual Fits Forecasts
20000
Accuracy Measures MAPE 17 MAD 500 MSD 300000
15000
10000
5000
0 1
2
3
4 5 6 Tahun Penjualan
7
8
9
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
24
Moving Average Motor yang terjual Variable Actual Fits
9000 8000
Moving Average Length 2
7000
Accuracy Measures MAPE 16 MAD 1333 MSD 4166667
c1
6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 1
2
3
4
Tahun Penjualan
Pareto Chart untuk Penjualan Motor 100 80
3
60 2 40 1
0 c1 Count Percent Cum %
20
1000 1 25.0 25.0
3000 1 25.0 50.0
Cara lainnya Gn
X X1 X 2 . ..... n X 0 X1 X n 1
=
n
Xn X0
5000 1 25.0 75.0
9000 1 25.0 100.0
0
Percent
Tahun Penjualan
4
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
25
dengan G = rata-rata geometrik X0 = Data awal Xn = Data yang ke-n n = banyaknya data Gn
G
4
X X1 X 2 . ..... n X 0 X1 X n 1
3000 5000 9000 . . = 1000 3000 5000
4
9000 = 1,73 1000
Berarti rata-rata laju kenaikan penjualan motor secara rasio adalah 1,73 dari tahun ke tahun. Rata-rata Geometrik ( Rasio 1,73 ) 1.000 x 1,73 = 1.730 1,730 x 1,73 = 2.993 2.993 x 1,73 = 5.178 5.178 x 1,73 = 8.958 Kalau diperhatikan hasil 8 958 hampir sama dengan 9 000 ( karena pembulatan hasil 1,73 )
2.1.1.3. Rata-rata Harmonik ( Harmonic Mean )
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
26
Dalam rata-rata hitung secara matematis merupakan sebuah rasio atau proses pembagian antara pembilang dengan penyebut, sedangkan dalam rata-rata harmonik akan digunakan bila
pembilang tetap sedangkan penyebut bervariasi. Dengan perumusan sebagai
H
n 1
X
i
dengan H = rata-rata harmonik Xi = data ke-i. n = banyaknya data Contoh: bila digunakan data di atas, maka : H
n
4 4 1 = 1 1 1 1 = 148 = 2857 ( Xi 90000 1000 3000 5000 9000
Bila diperhatikan contoh di atas antara rata-rata hitung, rata-rata geometrik dan rata-rata harmonik maka : hasilnya adalah 2857 < 3409 < 4500 atau H < G < X . n
H
w i 1 n
i
wi
X i 1
i
dengan H = rata-rata harmonik Xi = data ke-i. n = banyaknya data w = bobot dari data
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
27
Contoh Sebuah mobil menempuh perjalanan dari kota A ke kota B, C dan D. Jarak antar kota sebagai berikut: Kota A ke Kota B = 900 kilo meter Kota A ke Kota C = 800 kilo meter Kota A ke Kota D = 700 kilo meter Untuk menempuh kota tersebut digunakan mobil dengan tiga kecepatan yang berbeda, yaitu: Kota A ke Kota B dengan kecepatan 45 km perjam Kota A ke Kota C dengan kecepatan 50 km perjam Kota A ke Kota D dengan kecepatan 70 km perjam Berapakah rata-rata kecepatan mobil tersebut. Jawab n
Jika menggunakan rata-rata hitung, maka rata-rata kecepatan
X
Xi = i 1 n
45 50 70 55 3
n
H
w i 1 n
i
wi i 1 X i
=
H
900 800 700 900 800 700 = 52,174 ( ) 45 50 70
Berarti rata-rata kecepatan harmonik adalah 52,174 km perjam
2.1.2. Modus ( Mode = Mo ) Modus adalah suatu fenomena yang sering muncul, atau suatu kejadian yang sering terjadi. Contoh: misalkan datanya. 1, 3, 2, 4, 5, 3 Jawab: Urutkan datanya dari kecil ke besar,sehingga:
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
28
1, 2, 3, 3, 4, 5 Maka Mo = 3 2.2. Ukuran Letak Data 2.2.1. Median ( Me ) Median adalah membagi data menjadi dua bagian yang sama. Caranya: Untuk data ganjil: Misalnya: 2, 1, 3, 5, 6, 4, 2 1. Urutkan data tersebut dari kecil ke besar, sehingga: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6 2. Letak Median adalah data keempat 3. Nilai Mediannya adalah 3 atau Me = 3 Untuk data genap Misalnya: 2, 1, 3, 5, 5, 6, 4, 2 1. Urutkan data tersebut dari kecil ke besar, sehingga: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6 2. Tentukan Letak Median, yaitu :
( n 1) 2
Berhubung banyaknya data delapan,
( n 1) (8 1) = = 4,5 adalah data ke 4,5 ( empat koma 2 2
lima ) 3. Nilai Mediannya adalah Me = Data ke-4 + ½ (Data ke-5 – Data ke-4) = 3 + ½ (4 –3) = 3,5 Misalnya: 2, 5, 7, 6, 9, 7, 8, 4 Urutkan data tersebut dari kecil ke besar, sehingga: 2, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9 Letak Median adalah data keempat dan data kelima atau data ke 4,5 ( empat koma lima ) Nilai Mediannya adalah
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
29
Me = Data ke-4 + ½ (Data ke-5 – Data ke-4) = 6 + ½ ( 7 – 6 ) = 6,5
2.2.2. Kuartil ( Ki ) Kuartil adalah membagi data menjadi empat bagian yang sama. Jadi Ki , di mana i = 1, 2, 3. Caranya: 1.
Susun data tersebut dari kecil ke besar
2.
Tentukan letak Kuartil yang diinginkan, yaitu dengan K i
3.
Tentukan nilai Kuartil yang diinginkan.
i ( n 1) 4
Contoh: Data sebagai berikut: 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70 Setelah disusun menjadi: 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94 Maka letak untuk K1 =
1(12 1) 4
3 14
Jadi nilai K1 = Data ke-3 + ¼ ( Data ke-4 – Data ke-3 ) = 57 + ¼ ( 60 – 57 ) = 57 ¾ = 57,75 Untuk K3 =
3(12 1) 4
9 43
Jadi nilai K3 = Data ke-9 + ¾ ( Data ke-10 – Data ke-9 ) = 82 + ¾ ( 86 – 82 ) = 85 Untuk K2 = Me atau K2 =
2 (12 1) 4
= 6,5
Jadi nilai K2 = Data ke-6 + ½ ( Data ke-7 – Data ke-6 ) = 66 + ½ ( 70 – 66 ) = 68 K2 = Me, Jadi Median sama dengan nilai K2
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
30
2.2.3. Desil ( Di ) Desil adalah membagi data menjadi 10 bagian yang sama. Jadi, Di , di mana i = 1, 2, . . . , 9. Caranya: 1. Susun data tersebut dari kecil ke besar 2. Tentukan letak Desil yang diinginkan, yaitu dengan Di
i (n 1) 10
3. Tentukan nilai Di yang diinginkan. Contoh: Tentukan D3 ? dari data 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94 Letak D3 =
3(12 1) = 3,9 10
Nilai D3 = Data ke-3 + 0,9 (data ke-4 – data ke-3) = 57 + 0,9 (60 – 57) = 57 + 2,7 = 59,7
2.2.4. Persentil ( Pi ) Persentil adalah membagi data menjadi seratus bagian yang sama. Jadi, P i , di mana i = 1, 2, . . , 99 Caranya: 1. Susun data tersebut dari kecil ke besar 2. Tentukan letak Desil yang diinginkan, yaitu dengan Pi 3. Tentukan nilai Di yang diinginkan. Contoh:
i ( n 1) 100
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
31
Tentukan nilai P10 ? dari data 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94 Letak P10 adalah P10
10(12 1) = 1,3 100
= 52 + 0,3 (56 – 52) = 52 + 1,2 = 53,2 2.3.
Ukuran Penyimpangan Data
2.3.1. Simpangan Baku ( Standard Deviation ) n
Jika data sampel, maka
s
( X i X )2 i 1
n 1
Contoh Diketahui data sampel sebagai berikut : 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94 Dari data tersebut diperoleh harga-harga n = 12, Xi = 854, Xi2 = 63 086, K1 = 57,75 dan K3 = 85,0 X = 71,17
n( X i ) ( X i ) 2 2
2
S =
n(n 1)
=
12(63086) (854) 2 = 209,97 maka s = 14,49 12(12 1)
2.3.2. Rentang Antar Kuartil ( RAK ) RAK = K3 – K1 Untuk data tersebut di atas, maka RAK = 85,00 – 57,75 = 27,25
2.3.3. Koefisien Keragaman ( KK atau Coeffition of Variation ) KK =
s x 100 % x 14,49
Untuk data tersebut di atas, maka KK = 71,17 x100% = 20,36 Jika dihitung dengan paket program diperoleh: Descriptive Statistics: C1 Variable
N
Mean St-Dev
Variance Coef-Var
Q1
Q3
IQR
Eri Setiawan
C1
Pengantar Statistika
12 71,17 14,49
209,97
20,36
32
57,75 85,00
27,25
Contoh Latihan Diketahui data sampel mengenai nilai Quis dari 2 kelompok mahasiswa Unila, sebagai berikut: I 40 41 42 42 43 43 45 45 45 45 47 47 48 48 49 50 II 35 36 36 37 37 38 40 40 40 40 42 43 43 44 44 45 a. Hitung Rata-rata, Modus , Median, Kuartil 1 dan Kuartil 3 untuk Mahasiswa Kelompok I b. Hitung Rata-rata, Modus , Median, Kuartil 1 dan Kuartil 3 untuk Mahasiswa Kelompok II c. Hitung Ragam dan Simpangan baku untuk kelompok I dan II d. Hitung RAK dan KK untuk kelompok I dan II e. Buatlah Boxplot dari kedua kelompok mahasiswa tersebut? Jawab a. Untuk Data Kelompok I X
X
i
=
n
40 41 ...... 50 720 = = 45 , 16 16
Mo = 45 Letak Me =
( n 1) (16 1) = = 8,5 2 2
Nilai Me = Data ke-8 + 0,5 ( Data ke-9 – Data ke-8 ) = 45 + 0,5 ( 45 – 45 ) = 45 , Letak Ki atau Qi = Letak K1 =
i ( n 1) 4
1(16 1) = 4,25 4
Nilai K1 = Data ke-4 + 0,25 ( Data ke-5 – Data ke-4 ) = 42 + 0,25 ( 43 – 42 ) = 42, 25 atau Q1 = 42,25
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
33
3(16 1) 51 Letak K3 = = = 12,75 4 4
Nilai K3 = Data ke-12 + 0,75 ( Data ke-13 – Data ke-12 ) = 47 + 0,75 ( 48 – 47 ) = 47 + 0,75 = 47,75 atau Q 3 = 47,75 b. Untuk Data Kelompok II X
X
i
=
n
35 36 ...... 45 640 = = 40 , 16 16
Mo = 40 Letak Me =
( n 1) (16 1) = = 8,5 2 2
Nilai Me = Data ke-8 + 0,5 ( Data ke-9 – Data ke-8 ) = 40 + 0,5 ( 40 – 40 ) = 40 , Letak Ki atau Qi = Letak K1 =
i ( n 1) 4
1(16 1) = 4,25 4
Nilai K1 = Data ke-4 + 0,25 ( Data ke-5 – Data ke-4 ) = 37 + 0,25 ( 37 – 37 ) = 37 atau Q1 = 37 Letak K3 =
3(16 1) 51 = = 12,75 4 4
Nilai K3 = Data ke-12 + 0,75 ( Data ke-13 – Data ke-12 ) = 43 + 0,75 ( 43 – 43 ) = 43 + 0 = 43 atau Q3 = 43
n( X i ) ( X i ) 2 2
c. Ragam untuk Klp I adalah
2
s =
n(n 1)
simpangan baku untuk klp I adalah s =
S2
=
=
8,989
n( X i ) ( X i ) 2 2
2
Ragam untuk Klp II adalah s =
n(n 1)
simpangan baku untuk klp II adalah s =
S2
=
=
16(32534) (720) 2 = 8,933 16(16 1)
= 2,989 16( 25758) (640) 2 = 10,533 16(16 1)
10,533
= 3,246
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
34
d. RAK( IQR = Inter Quartile Range ) untuk KLP I = Q3 – Q1 = 47,75 – 42,25 = 5,5 RAK( IQR = Inter Quartile Range ) untuk KLP II = Q3 – Q1 = 43,0 – 37,0 = 6,0 KK ( CV = Coefficient of Variation ) untuk Klp I =
s 2,989 x 100 % = x 100 % = 6,64 % X 45
KK ( CV = Coefficient of Variation ) untuk Klp II =
s 3,246 x 100 % = x 100 % = 8,11 % X 40
e. Boxplot untuk Klp I dan II Boxplot of Klp I 50
48
Klp I
46
44
42
40
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
35
Boxplot of Klp II 45,0
Klp II
42,5
40,0
37,5
35,0
Boxplot of Klp I; Klp II 50,0 47,5
Data
45,0 42,5 40,0 37,5 35,0 Klp I
Klp II
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
36
Jika dikerjakan dengan paket program statistik, yaitu Minitab, diperoleh sebagai berikut Descriptive Statistics: Klp I; Klp II Variable N
Mean St-Dev
Variance
Coef-Var Q1
Median Q3
RAK=IQR
Mode Klp I
16 45,0
2,989
8,933
6,64
42,25
45,0
47,75
5,5
16 40,0
3,246
10,533
8,11
37,00
40,0
43,00
6,0
45 Klp II 40
Diagram Batang dan Daun Untuk Data Klp I dan II ( Stem-and-Leaf Display: Klp I; Klp II ) Stem-and-leaf of Klp I N = 16 Leaf Unit = 0,10 1 40 0 2 41 0 4 42 00 6 43 00 6 44 (4) 45 0000 6 46 6 47 00 4 48 00 2 49 0 1 50 0 Stem-and-leaf of Klp II N = 16 Leaf Unit = 0,10 1 35 0 3 36 00 5 37 00 6 38 0 6 39 (4) 40 0000 6 41 6 42 0 5 43 00 3 44 00 1 45 0
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
37
Dotplot Data Klp I dan II
Klp I
Klp II
36
38
40
42 Data
44
46
Each symbol represents up to 7 observations.
Individual Value Plot of Klp I; Klp II 50,0 47,5
Data
45,0 42,5 40,0 37,5 35,0 Klp I
Klp II
48
50
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
38
Boxplot Dari C1 C2 C3 50.0 47.5
Data
45.0 42.5 40.0 37.5 35.0 Kelompok I
Kelompok II
Probability Plot of Klp I Normal - 95% CI 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
35
40
45 Klp I
50
55
45 2,989 16 0,288 0,570
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
39
Probability Plot of Klp II Normal - 95% CI 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
40 3,246 16 0,422 0,283
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
30
35
40 Klp II
45
50
Trend Data Kelompok I dan II Variable Klp I Klp I I
50.0 47.5
Data
45.0 42.5 40.0 37.5 35.0 2
4
6
8 10 Banyaknya Data
12
14
16
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
40
b. Bagi Data Berkelompok Bagi data cukup banyak atau disebut data berkelompok sebaiknya dibuat dalam tabulasi. Membuat Tabulasi Data Tabulasi data dapat dikerjakan dengan menggunakan komputer, tabulasi data dengan komputer dapat menghemat waktu dan efisien. Membuat tabulasi termasuk dalam kerja memproses data. Membuat tabulasi data tidak lain dari memasukan data ke dalam tabel-tabel dan mengatur angka-angka, sehingga dapat dihitung jumlah kasus dalam berbagai kategori. Bagian dari Tabel Tabel terdiri dari baris dan kolom, tabel yang sederhana mempunyai 4 (empat) bagian penting, yaitu: 1. membuat nomor dan judul tabel , 2. stub (potongan) , 3. box head ( ) dan 4. body (badan) Tabel Judul Box head (Judul Kolom) Stub (Judul Baris) body ( badan )
Jenis-jenis Tabel Ada beberapa jenis tabel yang sering digunakan, antara lain: a. Tabel induk (master table) b. Tabel teks (text table) c. Tabel frekuensi (frequention table) Tabel Induk
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
41
Tabel induk adalah tabel yang berisi semua data yang tersedia secara terperinci. Tabel ini biasa dibuat untuk melihat kategori data secara keseluruhan. Tabel tersebut tidak pernah dimasukan ke dalam penjelasan keterangan, tetapi digunakan sebagai dasar tabel untuk membuat tabel lain yang lebih singkat. Jika sangat diperlukan, tabel ini diletakan pada apendiks. Tabel induk berisi semua informasi atau keterangan yang diperlukan. Tabel Teks Tabel teks adalah tabel yang telah diringkaskan untuk suatu keperluan tertentu. Tabel ini biasanya diletakan dalam teks keterangan yang dibuat. Tabel teks digunakan ketika membuat penafsiran. Tabel teks lebih pendek dan lebih padat serta tidak mengandung banyak baris dan kolom. Tabel Frekuensi Tabel frekuensi adalah tabel yang menyajikan berapa kali sesuatu hal terjadi. Kategori dinyatakan dalam kelas tertentu dan terdapat dalam stub. Kelas atau kelompok diletakan dalam kolom kedua dan jika diinginkan suatu persentase diletakan pada kolom ketiga. Tabel frekuensi yang menyatakan persentase dinamakan tabel frekuensi relatif, sedangkan jika angka angka kumulatif yang digunakan, maka tabel tersebut dinamakan tabel frekuensi kumulatif. Untuk data yang berukuran cukup banyak sebaiknya dibuat dalam bentuk kelompok sebut saja dibuat dalam bentuk sebaran (distribusi) frekuensi. Dari kelompok tersebut baru dianalisis secara deskripsi.
2.2.1. Sebaran (distribusi) Frekuensi Caranya? Dari kelompok data yang masih mentah tersebut, susun atau urutkan terlebih dahulu dari data terkecil ke data terbesar. 1. Tentukan Rank atau Range atau Rentang atau R, yaitu: R = Data terbesar – Data terkecil 2. Tentukan banyak kelas interval ( b ) dengan aturan Strugess, yaitu: b = 1 + 3,3 log n
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
42
n = banyaknya data. 3. Tentukan panjang kelas interval ( p ), yaitu: p =
R b
4. Tentukan nilai ujung kiri kelas interval pertama ( biasanya nilai data terkecil ). Contoh 1: Hasil ujian Statistika dari 100 mahasiswa Jurusan Manajemen , Jurusan Fakultas Ekonomi Universitas Ruwa Jurai, Bandar Lampung. Semerter Genap 2005/2006, sebagai berikut: 36 40 41 43 44 37 40 42 43 44 37 40 42 43 44 38 40 42 43 44 38 40 42 43 44 38 41 42 43 45 39 41 42 44 45 39 41 42 44 45 39 41 43 44 45 39 41 43 44 45 Histogram berdasarkan data
45 45 45 45 45 46 46 46 46 46
46 46 46 46 47 47 47 47 47 47
47 47 48 48 48 48 48 48 48 49
49 49 49 49 49 50 50 50 50 50
51 51 51 51 52 52 52 53 53 54
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
43
1. Tentukan rentang atau range/rank (R) ialah data terbesar, yaitu 95 dikurangi data terkecil, yaitu 34, maka R = 54 – 36 = 18 2. Tentukan banyak kelas interval (b) dengan aturan Strurgess, yaitu: b = 1 + (3,3) log n di mana n = banyaknya data = fi b = 1 + 3,3 log 100 = 1 + 3,3 (2) = 7,6 8 3. Tentukan panjang kelas interval (p), yaitu: p
R 18 = 3 b 8
4. Tentukan ujung kiri kelas interval pertama, biasanya diambil sama dengan data terkecil, yakni 36. Selanjutnya sajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut: NILAI UJIAN 36 38 39 41 42 44 45 47 48 50 51 53 54 56 JUMLAH
TABULASI IIIII I IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII II IIIII IIIII IIIII III IIII III I
FREKUENSI 6 15 24 27 18 9 1 100
Tabel Sebaran Frekuensi, sebagai berikut: NILAI UJIAN 36 38 39 41 42 44 45 47 48 50 51 53 54 56 JUMLAH Contoh 2.
NILAI TENGAH (XI) 37 40 43 46 49 51 54 -
FREKUENSI ( fi ) 6 15 24 27 18 9 1 100
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
44
Hasil ujian Statistika dari 80 mahasiswa Program Studi Biologi, Jurusan MIPA FKIP Universitas Ruwa Jurai, Bandar Lampung. Semerter Genap 2001/2002, sebagai berikut: 66. 41. 73. 57. 36. 65. 66. 81. 95. 37. 52. 73. 82. 61. 54. 63. Prosedurnya:
69. 53. 87. 48. 68. 80. 77. 85.
46. 65. 63. 64. 56. 74. 64. 59.
61. 74. 72. 45. 58. 67. 68. 75.
67. 34. 93. 74. 65. 56. 55. 62.
70. 79. 47. 67. 44. 51. 64. 71.
76. 55. 66. 60. 57. 49. 59. 50.
84. 62. 75. 54. 78. 86. 76. 55.
56. 43. 90. 64. 39. 47. 58. 72.
Urutkan data dari kecil ke besar, maka: 34 36 37 39 41 43 44 45 46 47 47 48 49 50 51 52 53 54 54 55 55 55 55 56 56 56 57 57 58 58 59 59 60 61 61 62 62 63 63 64 64 64 65 65 65 66 66 66 67 67 67 68 68 69 70 71 72 72 73 73 74 74 74 75 75 76 76 77 78 79 80 81 82 84 85 86 87 90 93 95 1. Tentukan rentang atau range/rank (R) ialah data terbesar, yaitu 95 dikurangi data terkecil, yaitu 34, maka R = 95 – 34 = 61 2. Tentukan banyak kelas interval (b) dengan aturan Strurgess, yaitu: b = 1 + (3,3) log n di mana n = banyaknya data = fi b = 1 + 3,3 log 80 = 1 + 3,3 (1,903) = 7,28 7 3. Tentukan panjang kelas interval (p), yaitu: p
R 61 = 9 b 7
4. Tentukan ujung kiri kelas interval pertama, biasanya diambil sama dengan data terkecil, yakni 34. Selanjutnya sajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
NILAI UJIAN 34 42 43 51 52 60 61 69 70 78
TABULASI IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII III IIIII IIIII IIIII IIIII I IIIII IIIII IIIII
FREKUENSI 5 10 18 21 15
Eri Setiawan
79 88 JUMLAH
Pengantar Statistika
87 96
IIII III III
45
8 3 80
Tabel Sebaran Frekuensi, sebagai berikut: NILAI UJIAN 34 - 42 43 - 51 52 - 60 61 - 69 70 - 78 79 - 87 88 - 96 JUMLAH
NILAI TENGAH (XI) 38 47 56 65 74 83 92 -
FREKUENSI ( fi ) 5 10 18 21 15 8 3 80
Histogram of Nilai Ujian 14 12
Frequency
10 8 6 4 2 0
40
50
60 70 Nilai Ujian
80
90
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
46
Nilai Ujian
Banyaknya Mahasiswa
4
3
2
1
0 34 36 37 39 41 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 84 85 86 87 90 93 95
Nilai Ujian
Individual Nilai Ujian
30
40
50
60 70 Nilai Ujian
80
90
100
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
47
Boxplot of Nilai Ujian 100 90
Nilai Ujian
80 70 60 50 40 30
Nilai UAS Mahasiswa Biologi FMIPA Unila 250
Frequency
200
150
100
50
0
40
48
56 64 72 Nilai Ujian Mahasiswa
80
88
96
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
48
Empirical CDF ( Cumulaive Density of Function ) Nilai Ujian Normal Mean StDev N
100
Persetase Nilai
80
60 40
20
0 30
40
50
60 70 Nilai Ujian
80
90
100
63.51 13.70 80
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
49
2.2.1.1. Rata-rata Hitung Bagaimana cara menghitung rata-rata untuk data dalam sebaran frekuensi ? Ada dua cara menghitung rata-rata untuk data dalam sebaran frekuensi, yaitu: Cara biasa adalah X
fX f i
i
i
Dengan fi = frekuensi kelas interval dan Xi = nilai tengah kelas interval Untuk contoh data tersebut di atas adalah Kelas Interval 34 - 42 43 - 51 52 - 60 61 - 69 70 - 78 79 - 87 88 - 96 JUMLAH Jadi, X fi = fiXi
Cara coding
Nilai tengah ( Xi ) 38 47 56 65 74 83 92
Frekuensi( fi ) 5 10 18 21 15 8 3 80
fiXi 190 470 1 008 1 365 1 110 664 276 5 083
5083 = 63,5375 80
fici X X 0 p fi
dengan X0 = rata-rata sementara di mana coding ditetapkan p = panjang kelas interval ci = coding ( pemberian kode ) fi = frekuensi kelas interval. Kelas Interval 34 - 42 43 - 51 52 - 60 61 - 69 70 - 78 79 - 87 88 - 96 JUMLAH
Nilai tengah ( Xi ) 38 47 56 65 74 83 92
Frekuensi ( fi ) Coding ( ci ) fici 5 -3 - 15 10 -2 - 20 18 -1 - 18 21 0 0 15 1 15 8 2 16 3 3 9 80 -13 fici ( 13 ) 117 X X 0 p fi = 65 + 9 = 65 = 65 – 1,4625 = 63,5375 80 80
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
50
Jika dihitung secara langsung tanpa dibuat sebaran frekuensi terlebih dulu dengan bantuan paket program diperoleh hasinya sebagai berikut: Descriptive Statistics: Nilai Variable N Nilai
Mean
StDev Variance
80 63,61 13,72
188,11
N for Q1 Median
Q3
Mode Mode
54,25 64,00
73,75
64; 65
4
Histogram of Nilai 18 16 14
Frequency
12 10 8 6 4 2 0
40
50
60
70 Nilai
80
90
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
51
Histogram (with Normal Curve) of Nilai 18
Mean 63,61 StDev 13,72 N 80
16 14
Frequency
12 10 8 6 4 2 0
40
50
60
70 Nilai
Boxplot of Nilai 100 90 80
Nilai
70 60 50 40 30
80
90
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
52
Jika dikerjakan dengan paket program SPSS Statistics 17.0 sebagai berikut:
Descriptives Descriptive Statistics N
Minimum
X
80
Valid N (listwise)
80
Frequencies Statistics X N
Valid Missing
80 0
34
Maximum 95
Mean 63.62
Std. Deviation 13.671
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
53
X Frequency Percent Valid
Valid Percent
Cumulative Percent
34
1
1.3
1.3
1.3
36
1
1.3
1.3
2.5
37
1
1.3
1.3
3.8
39
1
1.3
1.3
5.0
41
1
1.3
1.3
6.3
43
1
1.3
1.3
7.5
44
1
1.3
1.3
8.8
45
1
1.3
1.3
10.0
46
1
1.3
1.3
11.3
47
2
2.5
2.5
13.8
48
1
1.3
1.3
15.0
49
1
1.3
1.3
16.3
50
1
1.3
1.3
17.5
51
1
1.3
1.3
18.8
52
1
1.3
1.3
20.0
53
1
1.3
1.3
21.3
54
2
2.5
2.5
23.8
55
3
3.8
3.8
27.5
56
3
3.8
3.8
31.3
57
2
2.5
2.5
33.8
58
2
2.5
2.5
36.3
59
2
2.5
2.5
38.8
60
1
1.3
1.3
40.0
61
2
2.5
2.5
42.5
62
2
2.5
2.5
45.0
63
2
2.5
2.5
47.5
64
4
5.0
5.0
52.5
65
3
3.8
3.8
56.3
66
3
3.8
3.8
60.0
67
3
3.8
3.8
63.8
68
2
2.5
2.5
66.3
69
1
1.3
1.3
67.5
70
1
1.3
1.3
68.8
71
1
1.3
1.3
70.0
72
2
2.5
2.5
72.5
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
54
Explore Case Processing Summary Cases Valid N
Percent 80
X
100.0%
Missing N
Total
Percent 0
.0%
N
Percent 80
100.0%
Descriptives Statistic Std. Error X
Mean 95% Confidence Interval for Mean
63.63 Lower Bound
60.58
Upper Bound
66.67
5% Trimmed Mean
63.60
Median
64.00
Variance Std. Deviation
186.896 13.671
Minimum
34
Maximum
95
Range
61
Interquartile Range
19
Skewness Kurtosis
1.528
.027
.269
-.336
.532
Contoh lainnya Diketahui data hasil Quis Statistika pada 80 mahasiswa yang sudah disajikan dalam bentuk Sebaran atau distribusi frekuensi, namun sesuatu hal data tersebut hilang namun masih ingat “Nilai Tengah atau Tanda Kelas” ( Xi ) dan “Frekuensi” ( fi ) untuk masing-masing kelas interval sebagai berikut:
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
55
65 dan 21, 38 dan 5, 92 dan 3, 47 dan 10, 74 dan 15, 56 dan 18 serta 83 dan 8 Pertanyaannya Buatlah Tabel sebaran frekuensi Jawab Untuk mendapatkan kelas interval, maka urutkan atau susun nilai X i dan fi dari kecil ke besar. Selanjutnya lihat selisihnya berapa ? Dari 38 ke 47 selisihnya 9 dan dari 47 ke 56 juga 9, maka pamjang kelas (p) adalah 9. Selanjutnya cari lebar kelas ( jika panjang kelas interval 9, maka lebarnya adalah 8 ). Bila lebar dibagi dua atau 8 dibagi 2 adalah 4. Dari nilai tengah kelas interval pertama, yaitu 38 dikurangi 4, maka didapat ujung kiri kelas interval pertama yaitu 34. Dari nilai tengah kelas interval pertama, yaitu 38 ditambah 4, maka didapat ujung kanan kelas interval pertama yaitu 42. dan seterusnya, sehingga diperoleh sebaran frekuensi dan dihitung untuk keperluan lainnya sebagai berikut Kelas Interval 34 - 42 43 - 51 52 - 60 61 - 69 70 - 78 79 - 87 88 - 96 Jumlah
Xi 38 47 56 65 74 83 92
fi 5 10 18 21 15 8 3 80
f i Xi 190 470 1 008 1 365 1 110 664 276 5 083
ci -3 -2 -1 0 1 2 3
2.2.1.1. a. Rata-rata cara biasa, X fi = fiXi
f i ci -15 -20 -18 0 15 16 9 -13
fi Xi2 7 220 22 090 56 448 88 725 82 140 55 112 25 392 337 127
fi ci2 45 40 18 0 15 32 27 177
5083 = 63,5375 80
fici 2.2.1.1.b. Rata-rata cara coding, X X 0 p fi
13 80
= 65 + 9
= 65 – 1,4625 = 63,5375
hasilnya sama
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
2.2.1.2. Modus Bagaimana cara menghitung Modus ( Mo ) untuk data dalam sebaran frekuensi ? b1 Mo = b + p b b 1 2
dengan b = batas bawah dari kelas interval di mana Modus berada p = panjang kelas interval b1 = selisih frekuensi kelas Modus dengan sebelum kelas Modus b2 = selisih frekuensi kelas Modus dengan sesudah kelas Modus. b1 Jadi, Mo = b + p b1 b2
3 36
= 60,5 + 9
= 60,5 + 3 = 63,5
2.2.1.3. Median ( Me ) Bagaimana cara menghitung Median ( Me ) untuk data dalam sebaran frekuensi?
Me =
n F b p 2 f
dengan n = banyaknya data b = batas bawah dari kelas interval di mana Median berada p = panjang kelas interval F = jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas yang ada Median f = frekuensi yang ada Median
56
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
80 33 2 60 , 5 9 Jadi, Me = = 60,5 + 3 = 63,5 21
2.2.1.4. Kuartil ( Ki ) Bagaimana cara menghitung Kuartil (Ki ) untuk data dalam sebaran frekuensi? Ki = b + p
(
in F) 4 f
Contoh Hitung K1 80 15 4 K1 = 51,5 + 9 18
= 51,5 + 2,5 = 54,0 Hitung K3 240 54 4 K3 = 69,5 + 9 15
= 69,5 + 3,6 = 73,1
2.2.1.5. Desil ( Di ) in F 4 Di = b + p f 240 15 10 D3 = 51,5 + 9 18
= 51,5 + 4,5 = 56,00 560
D7 = 69,5 + 9
10 15
54
57
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
58
= 69,5 + 1,2 = 70,7
2.2.1.6. Persentil ( Pi ) in
Pi = b + p
100 f
F
800
P10 = 42,5 + 9
100 10
5
= 42,5 + 2,7 = 45,2 7200
P90 = 78,5 + 9
100 8
69
= 78,5 + 3,375 = 81,875
2.2.1.7. Ragam ( S2 ) dan Simpangan Baku ( S ) Untuk data dalam Sebaran Frekuensi
fi( fiXi ) ( fiXi) ( fi ) 2
cara biasa s2 =
2
2
2
2
cara coding s = p (
( fidi 2 )
fi
s2 = 177,0741
fidi fi
=
80(337127) (5083) 2 = 177,0736 6400
2
) = 92 (
177 13 80 80
s = 13,307
2
) = 81( 2,2125 – 0,0264)
s = 13,307
sama
Terlihat nilai rata-rata, yaitu 63,5375 adalah sama antara cara biasa dan cara coding, begitu juga nilai simpangan baku cara biasa dan cara coding adalah sama yaitu 13,307.
2.2.1.8. Ukuran Kemiringan Ukuran kemiringan merupakan ukuran yang menyatakan sebuah model sebaran atau distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Jika diketahui besarnya nilai ukuran kemiringan, maka
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
59
dapat diketahui bagaimana model distribusinya. Apakah distribusi tersebut simetris, positif atau negatif, dengan melihat nilai dari koefisien kemiringan. Ada empat jenis Koefisien Kemiringan, yaitu: ( x Mo) s 3( x Mo) 2. K untuk Pearson 2 adalah k s ( K 3 2 K 2 K1 ) 3. K untuk Kuartil adalah k = K 3 K1 ( P90 2 P50 P10 ) 4. K untuk Persentil adalah k = P90 P10
1. K untuk Pearson 1 adalah k
Ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data, yaitu: 1. Jika koefisien kemiringan lebih kecil dari nol, maka bentuk distribusinya negatif. 2. Jika koefisien kemiringan lebih besar dari nol, maka bentuk distribusinya positif. 3.
Jika koefisien kemiringan sama dengan nol, maka bentuk distribusinya simetris.
2.2.1.9. Kurtosis Kurtosis merupakan derajat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. Koefisien Kurtosis ( K ) dengan perumusan : K=
0,5( K 3 K 1 ) P90 P10
a. Suatu distribusi yang mempunyai puncak relatif tinggi dinamakan leptokurtik. b. Suatu distribusi yang mempunyai puncak relatif mendatar dinamakan platikurtik. c. Suatu distribusi yang mempunyai puncak tidak terlalu tinggi dan tidak terlalu mendatar dinamakan mesokurtik. Ada tiga kriteria untuk mengetahui derajat kepuncakan dari suatu distribusi, yaitu: Jika koefisien kurtosis kurang dari 0,263, maka distribusinya disebut
1. platikurtik.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
60
Jika koefisien kurtosis sama dengan 0,263, maka distribusinya disebut
2. mesokurtik.
Jika koefisien kurtosis lebih dari 0,263, maka distribusinya disebut
3. leptokurtik.
Distribution Plot Normal 0.09
Mean StDev 30 5 60 20
0.08
Fungsi Padat
0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
0
20
40
60 X
80
100
120
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
61
Distribution Plot Normal 0.09
Mean StDev 30 5 50 10
0.08
Fungsi Padat
0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
10
20
30
40
50
60
70
80
X
Untuk lebih jelasnya diberikan contoh data sebagai berikut: Diketahui data sebagai berikut: Kelas Interval 61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85 86 - 90 91 - 95 Jumlah
Xi 63 68 73 78 83 88 93
fi 4 9 11 2 4 7 3 40
fi Xi Xi2 fi Xi2 ci ci2 fi ci2 252 3 969 15 876 -3 -12 36 612 4 624 41 616 -2 -18 36 803 5 329 58 619 -1 -11 11 156 6 084 12 168 0 0 0 332 6 889 27 556 1 4 4 616 7 744 54 208 2 14 28 279 8 649 25 947 3 9 27 3 050 43 288 235 990 0 -14 142
Pertanyaannya a. Hitunglah rata-rata x ( baik cara biasa maupun cara coding ) b. Hitung Modus ( Mo ) dan Median ( Me ) c. Hitung Kuartil 1 ( K1 ) dan Kuartil 3 ( K3 )
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
d. Hitung Desil 3 ( D3 ) dan Desil 7 ( D7 ) e. Hitung Persentil 10 ( P10 ) dan Persentil 90 ( P90 ) f. Hitung simpangan baku ( s ) cara biasa maupun cara coding g. Hitung Koefisien Kemiringan ( k ) h. Hitung Koefisien Keruncingan K ( Kurtosis ) Jawab x
a. cara biasa
fiXi fi
=
3050 = 76,25 40
fici fi
cara coding x x0 p
14 = 78 – 1,75 = 76,25 40
= 78 + 5
b1 2 = 70,5 + 5 = 70,5 + 0,91 = 71,41 b. Mo = b + p 29 b1 b2
2 F
n
Me = b + p
f
in F 4 f
c. Ki = b + p
=
20 13 = 70,5 + 3,18 = 73,68 11
= 70,5 + 5
K1 = 65,5 + 5
K3 = 80,5 + 5
(10 4 = 65,5 + 3,33 = 68,83 9 30 28 = 80,5 + 2,5 = 83,00 4
d. Di = b + p
in F 10 f
=
30 28 = 65,5 + 2,5 = 68,00 4 28 26 = 80,5 + 5 = 85,50 D7 = 80,5 + 5 4
D3 = 65,5 + 5
e. Pi = b + p
in F 10 f
=
62
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
63
40 = 60,5 + 5 = 65,50 4 36 30 = 85,5 + 4,29 = 89,79 = 85,5 + 5 7
P10 = 60,5 + 5 P90
fi( fiXi ) ( fiXi) ( fi ) 2
f.
cara biasa s2 =
=
2
=
2
137100 = 85,6875 1600 2
2
cara coding s = p (
( fici 2 )
fi
9439600 9302500 40(235990) (3050) 2 = 1600 1600
s = 9,257
fici fi
= 25 (3,4275) = 85,6875
2
) = 52 (
142 14 40 40
2
)
s = 9,257
g. Koefisien Kemiringan (76,25 71,41) ( x Mo) = = 0,523 9,257 s 3(76,25 71,41) 3( x Mo) k untuk Pearson 2 adalah k = = 1,569 9,257 s
k untuk Pearson 1 adalah k
(K 3 2K 2 K1 ) [83,00 2(73,68) 68,83] = = 0,315 83,00 68,83 K 3 K1 ( P90 2 P50 P10 ) [89,79 2(73,68) 65,50] k untuk Persentil adalah k = = = 0,326 89,79 65,50 P90 P10
k untuk Kuartil adalah k =
Karena keempat nilai k 0, maka bentuk distribusinya adalah positif ( miring ke kanan ) h. Kurtosis K =
0,5( K 3 K 1 ) 0,5(83,00 68,83)) = = 0,338 89,79 65,50 P90 P10
Karena nilai K 0,263 , maka bentuk distribusinya adalah leptokurtik
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
64
Distribusi Normal Miring ke kanan ( Leptokurtik ) 0.08 0.07
Density
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
0
10
20 X
30
40
Contoh soal 1. Diketahui data sampel mengenai nilai Quis dari 2 kelompok mahasiswa, sebagai berikut: I II
60 55
61 57
62 57
62 58
63 58
63 59
65 60
65 60
65 60
65 60
67 61
67 62
68 62
68 63
69 63
70 65
a. Hitung Rata-rata, Modus , Median, Kuartil 1 dan Kuartil 3 untuk Mahasiswa Kelompok I b. Hitung Rata-rata, Modus , Median, Kuartil 1 dan Kuartil 3 untuk Mahasiswa Kelompok II c. Buatlah Boxplot dari kedua kelompok mahasiswa tersebut? d. Hitung Simpangan baku untuk kelompok II (sampai 3 desimal atau 3 angka dibelakang koma.). 2. Diketahui informasi mengenai Sebaran Frekuensi namun hanya “Nilai Tengah” dan “Frekuensi” untuk masing-masing kelas interval sebagai berikut: 60,0 dan 15; 65,3 dan 11; 54,7 dan 12;
70,6 dan 7
44,1 dan 3.
a. Lengkapilah tabel sebaran frekuensi.tersebut. b. Hitunglah rata-rata dengan cara biasa dan cara coding
49,4 dan 8;
75,9 dan 4;
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
65
c. Hitunglah Modus dan Median d. Hitunglah K1 dan K3 e. Buat Histogram dan Poligon Jawab 1. Descriptive Statistics: Klp I; Klp II Variable
Mean StDev Variance Q1
Median
Q3
Mode
Klp I
65,000 2,989
8,933 62,25 65,0 67,75
65
Klp II
60,000 3,246 10,533 57,00 60,0 63,00
60
n
1.a. X
Xi = i 1 n
n
1.b.
1040 = 65, Mo = 65 , Me = 65 , K1 = 62,25 , K3 = 67,75 16
Xi = i 1
X
n
960 = 60, Mo = 60 , Me = 60 , K1 = 57 , K3 = 63 16
1.c. BOXPLOT Klp I dan Klp II 70,0 67,5
Data
65,0 62,5 60,0 57,5 55,0 Klp I
n
1.d.
s
( X i X ) 2 = 2,989 i 1 n 1
Klp II
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
66
2.a Kelas Interval 41,5 - 46,7 46,8 - 51,1 51,2 - 57,3 57,4 - 62,6 62,7 - 67,9 68,0 - 73,2 73,3 - 78,5 Jumlah
Xi 44,1 49,4 54,7 60,0 65,3 70,6 75,9
2b. Rata-rata cara biasa,
fi 3 8 12 15 11 7 4 60
Xi2 1 944,81 2 440,36 2 992,09 3 600,00 4 264,09 4 984,36 5 760,81 25 986,52
f i Xi 132,3 395,2 656,4 900,0 718,3 494,2 303,6 3600,0
fi Xi2 5 834,43 19 522,88 35 905,08 54 000,00 46 904,99 34 890,52 23 043,24 220 101,14
fiXi 3600 X fi = = 60,0 60
fici Rata-rata cara coding, X X 0 p fi
0 = 60 60
= 60,0 + 5,3 b1 2.c. Mo = b + p b1 b2
3 3 4
= 57,35 + 5,3
= 57,35 + 2,27 = 59,62
Me =
n F b p 2 f
60 23 2 Me = 57,35 5,3 = 57,35 + 2,47 = 59,82 15
2d.
Ki = b + p
(
in F) 4 f
60 11 4 K1 = 51,15 + 5,3 = 51,15 + 1,77 = 52,92 12 60 38 4 K3 = 62,65 + 5,3 = 62,65 + 3,37 = 66,02 11
ci -3 -2 -1 0 1 2 3
fi ci -9 -16 -12 0 11 14 12 0
ci2 9 4 1 0 1 4 9
fi ci 2 27 32 12 0 11 28 36 146
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
67
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
68
Histogram 16 14
Frek ( fi )
12 10 8 6 4 2 0
44.1
49.4
54.7
60.0 Xi
65.3
70.6
75.9
70,6
75,9
Histogram dan Poligon 16 14
Frekuensi
12 10 8 6 4 2 0
44,1
49,4
54,7
60,0 Xi
65,3
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
69
III PENGANTAR TEORI PELUANG
3.1. Pendahuluan Dalam Teori Peluang kita sebenarnya ingin mengukur derajat ketidakpastian dari suatu kejadian, apalagi kejadian tersebut belum terjadi. Contoh: 1. Berapa peluang besok akan hujan? Jawabnya adalah
1 = 0,5 mengapa ? 2
Perhatikan kemungkinan terjadi kejadiannya (outcame) adalah hujan atau tidak hujan. Jadi hujan dan tidak hujan merupakan anggota dari ruang sampel (S) atau S = { hujan, tidak hujan } Anggota dari ruang sampel merupakan titik sampel. Jadi kalau ditanya berapa peluang besok akan hujan
adalah ada satu diantara dua atau satu per dua atau 0,5.
2. Pelantunan sebuah mata uang ( koin ) yang homogen, maka peluangnya adalah 0,5, karena kemungkinan hasil dari pelantunan mata uang adalah muncul H (huruf) atau G (Gambar) Jadi S = { H, G }. Peluang munculnya H pada pelantunan sebuah mata uang yang homogen adalah P(H) = 0,5 3. Pelantunan sebuah dadu yang homogen. Hasil dari pelantunan dadu adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika ditanya berapa peluang muncul mata dadu genap pada pelantunan tersebut? Jawabnya adalah 3 diantara 6 atau
3 = 0,5. 6
4. Pelantunan sebuah dadu yang homogen dan kejadian A adalah mata dadu kurang dari 3 dan kejadian B adalah mata dadu ganjil, ditanyakan berapa P(A) dan P(B)
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
70
Jawab Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2} B = {1, 3, 5}, maka P(A) = P(B) =
1 2 = dan 6 3
3 = 0,5. 6
Definisi: Peluang adalah banyaknya titik sampel dari suatu kejadian sebut saja n dibagi dengan
banyaknya titik sampel yang harus terjadi.sebut saja N, makapeluang kejadian adalah
n N
Jadi nilai peluang terletak antara 0 sampai dengan 1 atau 0 ≤ P( sesuatu kejadian ) ≤ 1 Berarti peluang suatu kejadian benar-benar tidak terjadi, maka peluangnya adalah 0 dan peluang suatu kejadian benar-benar terjadi sepenuhnya adalah 1. Jadi yang namanya peluang tidak mungkin kurang dari 0 atau negatif dan tidak mungkin lebih dari 1, karena n N dan n N. Selanjutnya untuk itu perlu diketahui istilah-istilah dan definisi dalam mempelajari peluang seperti: Ruang Sampel ( S ) adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Kejadian adalah suatu himpunan bagian (sub himpunan) dari ruang sampel. Kejadian sederhana adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel. Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai lebih dari satu titik sampel. Ruang nol (Ruang kosong) atau Ø adalah himpunan bagian (sub himpunan) dari ruang sampel yang tidak mengandung satupun titik sampel. 3.2. Pengolahan Terhadap Kejadian 3.2.1. Irisan Dua Kejadian Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A B adalah kejadian yang mengandung semua unsur unsur persekutuan kejadian A dan B. Contoh:
S
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
71
A
B
3.2.2. Gabungan (Paduan) Dua Kejadian Gabungan atau paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan A B, adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A atau anggota B atau keduanya. Contoh
S
B
A A
B
B B
A
3.2.3. Komplemen Suatu Kejadian Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S, adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A, dilambangkan dengan A = A ' Contoh
S
A
3.3. Kaidah Penjumlahan Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka
3.3.1. Kejadian Saling Terpisah Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah, bila A B = Ø Contoh
S A
B
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
72
Akibat dari definisi-definisi tersebut di atas diperoleh dalil sebagai berikut: 1. A = Ø 5. S = Ø
2. A Ø = A 6. Ø’ = S
3. 7.
A A =Ø
. 4. . A A = S
( A )’ = A
3.4. Mencacah Titik Sampel Dalam mencacah titik sampel ada 3 jenis, yaitu: Kaidah Penggandaan, Permutasi dan Kombinasi. 3.4.1. Kaidah Penggandaan Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n 1 cara, dan bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n1. n2 cara. 3.4.2. Permutasi Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda. 3.4.2.1. Permutasi Penuh Banyaknya permutasi n benda yang berbeda ada n! Ada enam orang duduk berbaris untuk difoto, ada berapa susunan mereka berbaris ? Jawab n ! = 6 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 3.4.2.2. Permutasi Sebagian Banyaknya permutasi akibat pengambilan r unsur dari n benda yang berbeda adalah: nPr=
n! (n r )!
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
73
contoh Diketahui data n = 1, 2, 3, 4, 5 diambil disusun r =2 , maka: 5P2=
5! 1x 2 x3 x 4 x5 = = 20 (5 2)! 1x 2 x3
3.4.2.3. Permutasi Melingkar Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah: (n – 1)! contoh Empat buah lilin yang berbeda warna sebut saja putih, kuning, merah dan hijau akan ditaruh di atas kue yang bentuk melingkar. Ada berapa susunan yang berbeda ? Jawab (n – 1)! = ( 4 – 1 )! = 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6
3.4.2.4.
Permutasi Bagian-Bagian
Banyaknya permutasi n benda yang berbeda dari n benda yang n 1 diantaranya berjenis pertama,
n2
diantaranya berjenis kedua,
n!
…. , nk berjenis ke-k adalah: n !n .!,...n ! 1 2 k
contoh Pelantunan sebuah dadu yang homogen sebanyak 12 kali dan muncul mata 1 sebanyak 2 kali, muncul mata 2 sebanyak 2 kali, muncul mata 3 sebanyak 2 kali, muncul mata 4 sebanyak 2 kali, muncul mata 5 sebanyak 2 kali, muncul mata 6 sebanyak 2 kali. Jawab 12 P ( 2.2.2.2.2.2 ) =
n! 12! = 2!!2!,2!.2!.2!.2! = 7.484.400 n1 ! n 2 .!,...n k !
3.4.3. Kombinasi
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Banyaknya kombinasi r unsur yang berbeda dari n benda adalah:
74
n n! r ( !rrn !)
contoh Kasus yang sama pada permutasi sebagian, yaitu n = 5 dan r =2 dengan cara kombinasi. Jawab
n n! r ( !rrn !)
=
5 5! 2 (52)!2
=
1x 2 X 3 x 4 x5 = 10 1x 2 x3 x1x1x 2
3.5. Peluang Suatu Kejadian Peluang suatu Kejadian A adalah jumlah semua titik sampel di A di bagi dengan semua titik sampel yang mesti terjadi di S. Dengan demikian 0 ≤ P( A ) ≤ 1,
P(Ø ) = 0,
P( S ) = 1
3.5.1. Kaidah Penjumlahan 3.5.1.1. Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Bukti Perhatikan Gambar sebagai berikut:
A
AB
B
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
I
II
75
III
P(A B) = I + II + III = AB + A saja + Bsaja = AB + A B – A B = AB + A( 1 – B ) + ( 1 – A)B = AB + A – AB + B – AB = A + B – AB = A + B – (A B), maka P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) terbukti. Contoh Suatu sampel acak berukuran 100 responden yang ditanya mengenai musik gemarannya dari hasil survei yang ditanya ternyata ada 70 responden senang musik pop ( P ) dan 65 responden senang musik dangdut ( D ). a. Buatlah permasalahan tersebut dalam bentuk diagram venn. b. Berapa peluang yang menyukai kedua jenis musik tersebut. c. Berapa peluang yang menyukai musik pop saja dan musik dangdut saja. Jawab a.
S
P
PD
D
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
76
b. P(P D) = P(P) + P(D) – P(P D) (P D) = P + D – (P D) (P D) = P + D – (P D) (P D) = 70 + 65 – 100 (P D) = 35, jadi P(P D) = c.
35 = 0,35 100
P( P D ) =
P( P ) – P(P D)
= P ( P D)
70 35 35 = = 0,35 100 100 100
= P( D ) – P(P D) =
65 35 30 – = = 0,30 100 100 100
3.5.1.2. Bila A dan B saling terpisah, maka P(A B) = P(A) + P(B) Bila A dan A adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya, maka P(A) +
P( A ) =
1
3.45.1.3. Bila A dan B dan C adalah tiga kejadian sembarang, maka: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C) Bukti (A B C) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 +7 5
Di mana
2 4
1 = ABC 2. ABC = AB( 1 – C ) = AB - ABC
6 1
3
7
3. A BC = ( 1 – A )BC = BC - ABC 4. AB C = A( 1 – B )C = (A – AB)C = AC - ABC 5. AB C = A( 1 – B )( 1 – C ) = (A – AB)(1 – C) = A –AC – AB + ABC 6. A BC = (1 – A )B(1 – C) = (B – AB)( 1 – C ) = B – BC –AB + ABC 7. A B C = (1 – A)(1 –B)C = (1 – B – A + AB)C = C –BC –AC + ABC (A B C) = ABC + AB – ABC + BC – ABC + AC – ABC + A –AC – AB + ABC + B – BC –AB + ABC + C –BC –AC + ABC = A = B + C – AB – AC – BC + ABC,
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
77
= A + B + C – ( A B ) – ( A C ) – ( B C ) + ( A B C ), maka P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C). Terbukti. Contoh Suatu sampel acak berukuran 200 responden yang ditanya mengenai produk telepon genggam ( hp, hand phone ) yang disukai, dari hasil survei yang ditanya ternyata ada 90 responden menyukai produk Nokia ( N ), ada 70 responden menyukai produk Samsung ( S ), ada 80 responden menyukai produk Sony Ericson ( SE ). Ada 35 responden menyukai produk Nokia dan Samsung , ada 30 responden menyukai produk Nokia dan Sony Ericson, ada 25 responden menyukai produk Samsung dan Sony Ericson , ada 10 responden menyukai produk Nokia dan Samsung dan Sony Ericson. a. Buatlah permasalahan tersebut dalam bentuk diagram venn. b. Berapa peluang yang tidak menyukai ketiga jenis hp tersebut. c. Berapa peluang yang menyukai Nokia dan Samsung saja, Nokia dan Sony Ericson saja dan Samsung dan Sony Ericson saja. d. Berapa peluang yang menyukai jenis Nokia saja, Samsung saja dan Sony Ericson saja. Jawab
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
78
ABC
ABC ABC
ABC
ABC
ABC
Diketahui N = 90, S = 70 dan SE =80, N S = 50
N SE = 45 S SE = 40 N S SE = 25
( N S SE ) = N + S + SE – ( N S ) – ( N SE ) – ( S SE ) + ( N S SE ) – ( N S SE ) = 90 + 70 + 80 – 50 – 45 – 40 + 25 ( N S SE ) = 130 ( N S SE )’ = 200 – 130 = 70, maka P( N S SE )’ =
70 = 0,35 200
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
79
P( N S SE ) = P( N S ) – P ( N S SE ) =
50 25 25 – = = 0,125 200 200 200
P( N S SE ) = P( N SE ) – P( N S SE ) =
45 25 20 – = = 0,100 200 200 200
P( N S SE ) = P( N SE ) – P( N S SE ) =
40 25 15 – = = 0,075 200 200 200
P( N S SE ) = P( N) – P( N S SE ) – P( N S SE ) – P( N S SE ) =
90 25 15 25 25 – – – = = 0,125 200 200 200 200 200
P( N S SE ) = P( S) – P( N S SE ) – P( S S SE ) – P( N S SE ) =
70 25 15 25 5 – – – = = 0,025 200 200 200 200 200
P( N S SE ) = P( SE ) – P( N S SE ) – P( S S SE ) – P( N S SE ) =
80 20 15 25 20 – – – = = 0,100 200 200 200 200 200
3.6. Peluang Bersyarat ( Conditional Probability ). Peluang bersyarat B, bila A diketahui dilambangkan dengan P(B!A) =
P( A B) , dimana P(A) > 0 P ( A)
Misalkan ruang sampel ( S ) terdiri atas populasi sarjana S-1 di suatu kota dan dikategorikan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan, sebagai berikut: Jenis Kelamin Laki-laki Perempuan Jumlah
Bekerja 30 20 50
Menganggur 10 40 50
Jumlah 40 60 100
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
80
Misalkan kita mengambil secara acak seorang diantara mereka untuk ditugaskan menjadi anggota KPU dikota tersebut. Perhatikan kejadian berikut ini: A = yang terpilih adalah perempuan B = yang terpilih sudah bekerja Berapa peluang terpilih adalah perempuan yang sudah bekerja. Jawab P( A! B ) =
P( A B) 20 = = 0,4 atau cara lain adalah P( B) 50
Diketahui P( B ) =
50 100
P( A B) P( A! B ) = = P( B)
P( A B ) =
20 50
100
100
=
20 100
20 = 0,4 50
IV. PEUBAH ACAK ( RANDOM VARIABLE ) 4.1. Pendahuluan Peubah Acak adalah pemetaan ( fungsi ) dari ruang sampel menjadi bilangan nyata ( real ). Sebagai ilustrasi perhatikan pelantunan dua mata uang yang homogen sekaligus. Ruang sampel yang mesti terjadi adalah: S = { HH, HG, GH, GG } Jika X menyatakan banyaknya huruf H yang muncul pada pelantunan dua buah mata uang tersebut, maka:
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
81
HH 2 HG 1 GH 0 GG
S
X
Peubah Acak terdiri dari Peubah Acak Diskrit dan Peubah Acak Kontinu Peubah Acak Diskrit adalah jika interval dari X terhingga atau takterhingga tetapi terbilang. Peubah Acak Kontinu adalah jika interval dari X terhingga atau takterhingga tetapi takterbilang. Untuk yang diskrit kaitannya dengan notasi dibaca sigma atau penjumlahan bilangan cacah sedangkan untuk yang kontinu kaitannya dengan notasi
dibaca integral atau notasi
penjumlahan titik (Reimann).
4.2.1. Peubah Acak Diskrit Syaratnya: 1. P( X = x ) ≥ 0, selalu ada 2.
P( X = x ) = 1
Di mana X adalah peubah acak, sedangkan x adalah nilai dari peubah acak.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
82
Contoh: Pelantunan tiga mata uang yang homogen sekaligus. Jika X menyatakan banyaknya huruf G yang muncul pada pelantunan tersebut ? Buatlah sebaran peluang untuk X Jawab Ruang sampel yang terjadi adalah: S = { HHH, HHG, HGH, GHH, HGG, GHG, GGH, GGG }. Jika X menyatakan banyaknya huruf G, maka X = 0, 1, 2, 3
HHH HHG HGH GHH HGG GHG GGH GGG
0 1 2 3
1 8 3 Jadi untuk X = 0 adalah ada 1 diantara 8 atau 8 3 Jadi untuk X = 0 adalah ada 1 diantara 8 atau 8 1 Jadi untuk X = 0 adalah ada 1 diantara 8 atau 8
Jadi untuk X = 0 adalah ada 1 diantara 8 atau
Jika dibuat tabel adalah X 0 P( X = x ) 1/8 Contoh lainnya
1 3/8
2 3/8
3 1/8
1
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
83
Sebuah kotak berisi 8 (delapan) kaset VCD lagu-lagu yang terdiri dari 5 lagu-lagu pop dan 3 lagulagu dangdut. Dari kotak tersebut diambil dua buah kaset VCD secara acak, jika yang terambil ada kaset VCD lagu dangdut kita sebut peubah acak X. Buatlah sebaran peluang untuk X tersebut. Jawab. Diketahui 8 VCD terdiri dari 5 VCD lagu pop dan 3 VCD lagu dangdut. Diambil 2 secara acak.
Ruang sampel yang mesti terjadi adalah kombinasi 8 dan 2 atau
8 2
Ruang sampel untuk X = VCD dangdut yang terambil adalah 0, 1, 2
Perumusan untuk masalah tersebut adalah: P( X = x ) =
3 5 x 2 x 8 2
=
8! = 28 (8 2)!2!
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Masukan untuk harga X tersebut, yaitu:
P( X = 0 ) =
P( X = 1 ) =
3 5 0 20 28 3 5 1 21 28
=
(1)(10) 10 = 28 28
=
(3)(5) 15 = 28 28
84
Eri Setiawan
P( X = 2 ) =
Pengantar Statistika
3 5 2 22 28
85
(3)(1) 3 = 28 28
X P( X = x)
0 10/28
1 2 15/28 3/28
1
4.2.1.2. Ekspekstasi dari Peubah Acak Diskrit
Ekspekstasi ( Nilai Harapan / Rata-rata ) dari Peubah Acak Diskrit E( X ) =
XP( X
x)
Untuk kasus VCD, maka E( X ) adalah: E( X ) = 0 (10/28) + 1(15/28) + 2(3/28) = 21/28 =
3 4
4.2.1.3. Variance ( Ragam ) dari Peubah Acak Diskrit
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
86
Var ( X ) = E( X2 ) – [E( X )]2 Untuk kasus VCD, maka E( X ) adalah: E( X2 ) =
X
2
3 sedangkan E( X2) adalah: 4
P ( X x)
E( X2 ) = 02 (10/28) + 12 (15/28) + 22 (3/28) = 27/28 Var ( X ) = E( X2 ) – [E( X )]2 = 27/28 – (
3 2 108 63 45 ) = 27/28 - 9/16 = = 4 112 112 112
Contoh Sebuah kotak berisi 10 spidol white board “Snowman “ terdiri dari 6 warna hitam dan 4 warna biru. Dari kotak tersebut diambil dua buah spidol secara acak, jika yang terambil ada warna biru kita sebut peubah acak X. a. Buatlah sebaran peluang untuk X. b. Hitung E( X ) dan Var ( X )
4.2.2.1. Peubah Acak Kontinu Syaratnya: 1. f(x) ≥ 0, selalu ada 2.
f ( x ) dx 1
Di mana
f ( x ) dx
merupakan fungsi padat atau fungsi kepekatan atau ”density of function”
Contoh 1. Diketahui f(x) = 1/3 ,
1 52,2 ) c. P ( 41,7 < X < 58,5 ) d. Nilai k yang memenuhi P ( X < k ) = 0,9332 e. Nilai k yang memenuhi P ( X > k ) = 0,3085
5.4.
Sebaran t Student
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
119
Sebaran t student atau sebaran t mempunyai fungsi densitas f ( x)
K t 2 1 / 2n (1 ) n 1
atau lebih sering digunakan dalam operasional t
(x ) s
atau
Bila x dan s2 masing-masing adalah nilai tengah dan ragam, suatu sampel acak berukuran n
yang diambil dari suatu populasi normal dengan nilai tengah dan ragam , maka 2
t
(x ) s n
merupakan sebuah nilai peubah acak T yang mempunyai sebaran t dengan derajat bebas v = n – 1
Distribution Plot T; df=30 0,4
Density
0,3
0,2
0,1
0,0
-4
-3
-2
-1
0 X
1
2
3
4
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
120
Plot Distribusi t T, df=15 0.4
Density
0.3
0.2
0.1
0.0
-4
-3
-2
-1
0 X
P ( t t ) = 0,9500 = - 1,753 Distribution Plot T; df=15 0,4
Density
0,3
0,2
0,1 0,05 0,0
-1,75
0 X
1
2
3
4
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
121
Diketahui n =16 = 5 % , maka t0,05 ( 15 ) = 1,753
Distribution Plot T; df=15 0,4
Density
0,3
0,2
0,1 0,05 0,0
0 X
1,75
Diketahui n =16 = 5 % , maka t0,025 ( 15 ) = 2,131 dan t0,975 ( 15 ) = - 2,131 Distribution Plot T; df=15 0,4
Density
0,3
0,2
0,1
0,025 0,0
0,025 -2,13
0 X
2,13
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
122
5.5. Sebaran Khi-Kuadrat ( ) 2
Sebaran Khi-Kuadrat mempunyai fungsi densitas: f (u ) K .u
1 / 2 ( v 1)
e
1 / 2 u
(n 1) S 2 atau sebih sering digunakan dalam operasional adalah 02 2
dan bergantung pada db = derajat bebas ( df = degree of freedom ) = n – 1. Plot Distribusi Chi-Kuadrat Chi-Square, df=15 0.08 0.07
Density
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
0
10
20 X
Diketahui n =16 = 5 % , maka 2 0,05 ( 15 ) = 24,996 = 25,0
30
40
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
123
Distribution Plot Chi-Square; df=15 0,08 0,07
Density
0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00
0,05 0
25,0
X
Diketahui n =16 = 5 % , maka menjadi
2
, sehingga 2 0,925 ( 15 ) = 6,262 dan 2 0,025 ( 15 ) =
27,488 Distribution Plot Chi-Square, df=15 0.08 0.07
Density
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
0,025 0
0,025 6,262
X
27,488
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
124
Contoh soal dan Jawabannya
SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2011/2012
IBI DARMA JAYA
MATA KULIAH : STATISTIKA Dosen : Drs. Eri Setiawan, M. Si. JURUSAN : Sistem Informasi Waktu : 80 Menit Kelas : P2, P3, P5 dan P6 Sifat : Open Table/Open Book Hari/Tanggal : Jumat/27 Januari 2012 Keterangan : Teori ========================================================================== Soal dikumpulkan / selipkan di lembar jawaban 1.
Waktu 90 Menit
1
Suatu studi dilakukan tehadap mahasiswa IBI Bandar Lampung yang menyukai Netbook merk Asus Eee PC 1215-P adalah 0,3 . Berapa peluang bahwa dari 13 yang terjual yang membelinya adalah mahasiswa IBI: a. Paling banyak 5 mahasiswa . b. Paling sedikit 4 mahasiswa. c. Antara 3 s.d 6 mahasiswa .
2. Peluang tersambung komunikasi dengan menggunakan jaringan GSM di handphone pada daerah terpencil adalah 0,005 jika dilakukan komunikasi pada jaringan tersebut sebanyak 500 kali, berapa peluang: a. Paling sedikit 5 tersambung komunikasi b. Paling banyak 4 tersambung komunikasi c. Antara 3 s,d 6 tersambung komunikasi 3. Hasil ujian Statistika mengikuti sebaran normal dengan rata-rata 41,0 dan ragam 29,16. Hasil tersebut akan disajikan dalam bentuk Penilaian Acuan Normal ( PAN ) dengan komposisi A = 15 %. B = 20 %, C = 30 %, D = 20 % dan E = 15 %. Buatlah kriteria nilai dari A s.d E ( hitungan sampai dua decimal ).
Jawaban 1. Diketahui n = 13 p = 0,3
X b( X; n,p)
Eri Setiawan
P( X =x ) =
Pengantar Statistika
n x xn p (1 p) x
, dengan x = 0, 1, 2,
125
.... , 13
5
a. P( X ≤ 5 ) = 1 -
b( X ;13;0,3)
= 0,8346
i 0 3
b. P( X ≥ 4 ) = 1 -
b( X ;13;0,3)
= 1 – 0,4206 = 0,5794
i 0 6
c. P( 3 ≤ X ≤ 6 ) =
2
b( X ;13;0,3) -
b( X ;13;0,4)
i 0
2. Diketahui p = 0,005 n = 500 P( X = x ) =
= 0,9376 – 0,2025 = 0,7351
i 0
p( X; µ )
X
e x , untuk x = 0, 1, ... , ∞. x!
µ = np = 500 ( 0,005 ) = 2,5
4
a. P( X ≥ 5 ) = 1 -
p( X ;2,5)
= 1 – 0,8912 = 0,1088
i 0
4
b. P( X ≤ 4 ) =
p( X ;2,5)
= 0,8912
i 0
6
c. P( 3 ≤ X ≤ 6 ) =
p( X ;3,0) i 0
2
p( X ;3,0)
= 0,9858 – 0,5438 = 0,4420
i 0
3. Diketahui rata-rata = 41,0 dan 2 = 28,16 X N( 0, 1 ), maka Z =
= 5,4
(X ) diinginkan nilai A = 15 %, B = 20 %, C = 30 %,
D = 20 % dan E =15 %, Cari nilai A minimum berapa ? Untuk mendapatkan nilai A minimum, berarti P( Z = Z=
(X )
Z=X-
X = 41,0 + ( 5,4 ) ( 1,04 )
) = 0,8500
X= + Z X = 41,0 + 5,62 = 46,62
Jadi A minimum adalah 46,62, maka B maksimum adalah 46,61 Cari nilai B minimum berapa ?
Z = 1,04
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
126
Untuk mendapatkan nilai B minimum, berarti P( Z = Z=
(X )
Z=X-
X = 41,0 + ( 5,4 ) ( 0,39 )
) = 0,6500
Z = 0,39
X=+ Z X = 41,0 + 2,11 = 43,11
Jadi B minimum adalah 43,11, maka C maksimum adalah 43,10 Cari nilai C minimum berapa ? Untuk mendapatkan nilai C minimum, berarti P( Z = Z=
(X )
Z=X-
X = 41,0 + ( 5,4 ) ( - 0,39 )
) = 0,3500
Z = - 0,39
X= + Z X = 41,0 – 2,11 = 38,89
Jadi C minimum adalah 38,89, maka D maksimum adalah 38,88 Cari nilai D minimum berapa Untuk mendapatkan nilai D minimum, berarti P( Z = Z=
(X )
Z=X-
X = 41,0 + ( 5,4 ) ( - 1,04 )
) = 0,1000
X= + Z X = 41,0 - 5,62 = 35,38
Jadi D minimum adalah 35,38, maka E maksimum adalah 35,37 Selanjutnya di tulis Kriteria Nilai A ≥ 46,62 43,11 ≤ B ≤ 46,61 38,89 ≤ C ≤ 43,10 35,38 ≤ D ≤ 38,88 E ≤ 35,37
Z = - 1,28
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
127
VI TEKNIK SAMPLING 6.1. Pendahuluan Teknik Sampling adalah suatu cara atau prosedur dalam pengambilan sampel. Dalam pengambilan sampel kita mengenal adanya sampling non peluang dan ada sampling peluang. Sampling non peluang yaitu suatu penarikan sampel yang tidak melibatkan kaidah peluang, sedangkan sampling peluang yaitu suatu penarikan sampel yang melibatkan kaidah peluang. Yang bagaimana sampling non peluang ? Berberapa jenis sampling non peluang yaitu: a. Sampling Seadanya ( accedental sampling ) artinya suatu pengambilan anggota sampel diambil seperlunya, misalnya kita ingin melihat pendapat umum atau opini masyarakat di sini ukuran sampelnya diambil seperlunya oleh yang bersangkutan. b. Sampling Pertimbangan ( purprosive sampling ) artinya suatu pengambilan anggota sampel atas pertimbangan tertentu atau pertimbangan kepakaran keilmuan tertentu, misalnya kuisioner.
6.2. Sampling Peluang Berberapa jenis sampling peluang yaitu: 6.2.1. Samping Acak Sederhana ( Simple Randomized Sampling ) artinya pengambilan anggota sampel dilakukan secara acak ( melalui tabel bilangan acak ) dari anggota populasi diasumsikan hampir sama atau homogen.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
128
6.2.2. Sampling Stratifikasi artinya populasi dibuat strata-strata ( lapisan ) dalam strata diharapkan homogen dan antar strata heterogen, lalu pengambilan sampel dilakukan secara acak dari masing-masing strata. 6.2.3. Sampling Klaster artinya populasi dibuat strata-strata ( lapisan ) dalam strata diharapkan heterogen dan antar strata homogen, lalu pengambilan sampel dilakukan secara acak dari masing-masing strata. 6.2.4. Sampling Proporsi artinya populasi dibuat strata-strata ( lapisan ) lalu pengambilan lapisan sampel dilakukan secara acak dari masing-masing strata yang banyaknyanya berbeda-beda setiap strata. 6.2.5. Sampling Sistimatik artinya pengambilan sampel pertama dilakukan secara acak selanjutnya anggota sampel berikutnya berdasarkan rasio dari N populasi dengan n sampel yang mau diambil. 6.2.6. Sampling Quota 6.2.7. Sampling Sekuensial 6.3. Cara Pengambilan Sampel Dalam hal ini di bahas bagaimana sampel itu terbentuk dari anggota populasi. Cara atau prosedur untuk mendapatkan sampel ada dua yaitu: pengambilan dengan cara dengan pengembalian atau pemulihan ( with replacement ) dan tanpa pengembalian atau pemulihan ( without replacement ). Perhatikan Gambar berikut ini: Populasi berukuran N
Sampel berukuran n
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
129
Yang dimaksud dengan pengembalian adalah anggota sampel pertama diambil dari anggota populasi lalu disimpan kembali dan anggota sampel yang kedua diambil dari angota populasi lalu disimpan kembali dan seterusnya sampai sebanyak anggota sampel yang diinginkan. Yang dimaksud tanpa pengembalian adalah anggota sampel pertama diambil dari anggota populasi lalu tidak disimpan kembali dan anggota sampel yang kedua diambil dari angota populasi lalu tidak disimpan kembali dan seterusnya sampai sebanyak anggota sampel yang diinginkan. Jika pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, maka akan terbentuk sebanyak Nn buah sampel yang akan terjadi, sedangkan jika pengambilan sampel dilakukan dengan
pengembalian, maka akan terbentuk sebanyak
N n
buah sampel yang akan terjadi.
Contoh Misalkan suatu populasi sebut saja N = { 1, 2, 3, 4, 5 }diambil sampel berukuran dua atau n = 2 satu persatu. Jika dengan pengembalian, maka akan terbentuk sebanyak N n = 52 = 25 buah sampel. Apa saja sampelnya? 1. ( 1, 1 )
6. ( 2, 1 )
11. ( 3, 1 )
16. ( 4, 1 )
21. ( 5, 1 )
2. ( 1, 1 )
7. ( 2, 1 )
12. ( 3, 1 )
17. ( 4, 1 )
22. ( 5, 1 )
3. ( 1, 1 )
8. ( 2, 1 )
13. ( 3, 1 )
18. ( 4, 1 )
23. ( 5, 1 )
4. ( 1, 1 )
9. ( 2, 1 )
14. ( 3, 1 )
19. ( 4, 1 )
24. ( 5, 1 )
5. ( 1, 1 )
10. ( 2, 1 )
15. ( 3, 1 )
20. ( 4, 1 )
25. ( 5, 1 )
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
130
Jika dengan pengembalian, maka akan terbentuk sebanyak
N n
=
5 2
= 10 buah sampel.
Apa saja sampelnya? 1. ( 1, 2 )
3. ( 1, 4 ) 5. ( 2, 3 )
7. ( 2, 5 ) 9. ( 3, 5 )
2. ( 1, 3 )
4. ( 1, 5)
8. ( 3, 4 ) 10. (4, 5 )
6. ( 2, 4 )
Misalkan perhatikan pengambilan sampel tanpa pengembalian dari populasi N = {1, 2, 3,4,5} diambil sampel berukuran n = 2 lalu kita hitung rata-rata sampel atau X dan ragamnya S2 diperoleh: No
Sampel Yang Terjadi
Rata-rata Sampel X
Ragam Sampel ( S2 )
Xi
(X
n
i 1
i 1
( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 4, 5 )
X
i
X )2
n 1
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
S2 =
1,5 2,0 2,5 3,0 2,5 3,0 3,5 3,5 4,0 4,5 i
0,5 2,0 4,5 8,0 0,5 2,0 4,5 0,5 2,0 0,5
30,0
Dari rata-rata sampel kita rata-ratakan lagi atau double mean ditulis X atau µ x = Dari populasi dihitung rata-rata ( µ ) dan ragam ( 2 ) diperoleh µ = 3 dan 2 = 2 Jadi µ x = µ. 6.4. Sebaran-sebaran Sampling .4.1. Sebaran Sampling Rata-rata ( S S Rata-rata ) a. S S Rata-rata mempunyai rata-rata µ x = µ.
30,0 3,0 10
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
131
dan simpangan baku ( galat baku ) σ x = n
Persamaan normalnya adalah:
n , jika < 5 % sehingga: N
X x Z= n
b. S S Rata-rata mempunyai rata-rata µ x = µ. dan simpangan baku ( galat baku ) σ x =
n
N n N 1
, jika
n ≥ 5 % sehingga: N
X x
Persamaan normalnya adalah:
Z=
N-n n N -1
Contoh Suatu penyebrangan ASDP ( angkutan sungai dan penyebrangan ) dari Bakauheni ke Merak atau sebaliknya menggunakan kapal cepat ( Jetfoil ) mengikuti sebaran normal dengan rata-rata 46 menit dan ragam 36. Pada suatu waktu tertentu diambil sampel secara acak berukuran 16 penyebrangan. Berapa peluang rata-rata penyebrangan: a. kurang dari 49,00 menit b. lebih dari 44,50 menit c. antara 43,00 s.d 47,50 menit Jawab Diketahui rata-rata µ = 46 ragam σ2 = 36 N = ∞ ( tidak diketahui ) X N(0,1 )
simpangan baku σ = 6 dan n = 16 Z=
(X )
Maka rata-rata µ x = µ. = 46 galat baku σ x =
n
=
6 16
= 1,50 sehingga
X x persamaan normalnya Z = n a. P( X < 49,0 menit ) = ? Z=
49,0 46,0 = 2,00 1,5
P( Z = 2,00 ) = 0,9772 Jadi P( X < 49,0 menit ) = 0,9772
X x menjadi Z = n
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
132
b. P( X > 44,5 menit ) = ? Z=
44,5 46,0 = - 1,00 1,5
P( Z = -1,00 ) = 0,1587 Jadi P( X > 44,5 menit ) = 1 – 0,1587 = 0,8413 c. P( 43,0 < X < 47,5 menit ) = ? Z1 =
43,0 46,0 = - 2,00 1,5
Z2 =
47,5 46,0 = 1,00 1,5
P( Z1 = - 2,00 ) = 0,0228 P( Z2 = 1,00 ) = 0,8413 Jadi P( 43,0 < X < 47,5 menit ) = 0,8413 – 0,0228 = 0,8185 Latihan Hasil penelitian pada 8000 ekor kambing di Bandar Lampung menghasilkan nilai tengah (ratarata) berat daging-tulang (karkas) sebesar 42,900 kg dengan ragam 12,96 kg 2. Pada suatu hari tertentu diambil sampel secara acak sebanyak 64 ekor kambing yang disembelih. Tentukan peluang memperoleh rata-rata berat kambing yang disembelih: a. paling sedikit 42,450 kg b. paling banyak 43,125 kg c. antara 42,450 s.d 43,125 kg
6.4.2. Sebaran Sampling Selisih atau Beda Dua Rata-rata Rata-ratanya µsr = µ x1 x 2 = µ1 - µ2 2
Galat baku σsr = σ x1 x 2 =
2
1 2 n1 n2
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
133
( x1 x 2 ) ( 1 2 )
1 2 n1 n2 2
Persamaan Normalnya Z =
2
Contoh Pada bula Januari dan Februari di Kota Bandar Lampung musim buah duku dan penjualan eceran buah duku mengikuti sebaran normal. Penjualan di Pasar Bawah laku secara rata-rata perhari 50 kg dengan simpangan baku 1,9 kg sedangkan penjualan di Pasar Tugu laku secara rata-rata perhari 45 kg dengan simpangan baku 1,6 kg. Suatu waktu diambil sampel secara acak dari penjualan kedua pasar tersebut masing-masing sebanyak 25 penjual. Berapa peluang selisih rata-rata kedua pasar tersebut: a. paling banyak 6,5 kg b. paling sedikit 2,0 kg c. antara 3,5 s.d 8,0 kg Jawab Diketahui rata-rata pasar Bawah µ 1 = 50 kg, σ1 = 1,9 rata-rata pasar Tugu µ2 = 45 kg, σ2 = 1,6
σ12 = 3,61, n1 = 25 σ22 = 2,56,
Rata-ratanya µsr = µ x1 x 2 = µ1 - µ2 = 50 – 45 = 5,0 2
2
1 2 = n1 n2
Galat baku σsr = σ x1 x 2 =
3,61 2,56 = 1,5 25 25
( x1 x 2 ) ( 1 2 ) Persamaan Normalnya Z =
1 2 n1 n2 2
2
a. P [( X 1 X 2 ) ≤ 6,5 kg ] = ? P [( X 1 X 2 ) ≤ 6,5 kg ] =
6,5 5.0 = 1,00 1,5
P ( Z = 1,00 ) = 0,8413 Jadi P [( X 1 X 2 ) ≤ 6,5 kg ] = 0,8413 b. P [( X 1 X 2 ) ≥ 2,0 kg ] = ? P [( X 1 X 2 ) ≥ 2,0 kg ] =
2,0 5.0 = - 2,00 1,5
P ( Z = - 2,00 ) = 0,0228 Jadi P [( X 1 X 2 ) ≥ 2,0 kg ] = 1 – 0,0228 = 0,9772 c. P [3,5 ≤ ( X 1 X 2 ) ≤ 8,0 kg ] = ?
n2 = 25
Eri Setiawan 3,5 5.0 Z1 = 1,5
Z2 =
Pengantar Statistika
134
= - 1,00
8,0 5.0 = 2,00 1,5
P ( Z = - 1,00 ) = 0,1587 P ( Z = 2,00 ) = 0,9772 Jadi P [3,5 ≤ ( X 1 X 2 ) ≤ 8,0 kg ] = 0,9772 – 0,1587 = 0, 8185 6.4.3. Sebaran Sampling Proporsi Proporsi = p =
x dan ingat Sebaran Binomial rata-rata µ = n p dan n
simpangan baku σ =
np (1 p )
.
X ~ b( X; n, p ) maka rata-rata µ = n p dan simpangan baku σ = x ~ b( X; n, p ) maka rata-rata µ = p dan simpangan baku σ = n
np (1 p )
maka
p (1 p ) jadi n
Rata-rata untuk sebaran sampling proporsi µp = p dan Galat baku untuk sebaran sampling proporsi σp =
Sehingga persamaan normalnya adalah
Z=
p (1 p ) n
x p n p (1 p ) n
Contoh Ada petunjuk kuat bahwa Calon A di daerah pemilihan I akan mendapat suara 10 %. Suatu sampel acak telah diambil berukuran n = 100 orang untuk diwawancaradari daerah pemilihan I. Berapa peluang a. paling banyak 13 dari 100 orang akan memilih calon A b. paling sedikit 4 dari 100 orang akan memilih calon A c. antara 7 s. d 16 orang dari 100 akan memilih calon A Jawab Diketahui p = 0,1 n = 100 µp = p = 0,1 , σp =
X N(0,1 ), maka
p (1 p ) = n
0,1(1 0,1) = 0,03 100
Eri Setiawan
135
x p n p (1 p ) n
Z=
a. P(
Pengantar Statistika
13 x ≤ )=? n 100
13 0,10 Z = 100 1,00 0,03
P( Z = 1,00 ) = 0,8413 Jadi P( b.
P(
x 7 ≤ ) = 0,1587 n 100
4 x ≥ )=? n 100
4 0,10 Z = 100 2,00 0,03
P( Z = - 2,00 ) = 0,0228 4 x ≥ ) = 1 - 0,0228 = 0,9772 n 100
Jadi P( c.
P(
7 x 16 ≤ ≤ )=? 100 n 100
7 0,10 Z1 = 100 1,00 0,03 16
Z2 = 100
0,10
0,03
2,00
P( Z1 = - 1,00 ) = 0,1587 P( Z2 = 2,00 ) = 0,9772 Jadi P(
7 16 x ≤ ≤ ) = 0,9772 – 0,1587 = 0,8185 100 n 100
Latihan . Sebuah perusahaan angkutan barang pecah belah (jenis gelas untuk minum) biasanya mengalami kerusakan 4 % dari barang-barang yang dikirim. Hitunglah peluang dari 600 barang yang diangkut perusahaan tersebut mengalami kerusakan: a. paling sedikit terdapat 0,060 yang rusak., b. paling banyak terdapat 0,032 yang rusak
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
136
c. antara 0,032 s.d 0,060 yang rusak. 6.4.4. Sebaran Sampling Selisih atau Beda Dua Proporsi Rata-rata untuk sebaran sampling selisih atau beda dua proporsi µ Galat baku untuk sebaran sampling proporsi σ sp =
( Sehingga persamaan normalnya adalah
Z=
sp
= p1 – p2 dan
p1 (1 p1 ) p 2 (1 p 2 ) n1 n2
x1 x 2 ) ( p1 p 2 ) n1 n 2
p1 (1 p1 ) p 2 (1 p 2 ) n1 n2
Contoh: Ada petunjuk kuat bahwa calon A mendapat suara 60 % dalam Pilkada. Dua buah sampel acak secara bebas telah diambil masing-masing terdiri dari 300 orang . tentukan peluang akan terjadi perbedaan persentase 10 % yang akan memilih calon A. Jawab Diketahui n1 = 300, n2 = 300 p1 = 0,60 p2 = 0,60 diminta p1 – p2 = 10 % atau - 0,10 p1 – p2 0,10 Diperoleh µ sp = p1 – p2 = 0,6 – 0,6 = 0 p1 (1 p1 ) p 2 (1 p 2 ) = n1 n2
σ sp =
0,6(1 0,6) 0,6(1 0,6) = 0,04 300 300
Selanjutnya p1 – p2 = - 0,10 dan p1 – p2 = 0,10
( Z1 =
x1 x 2 ) ( p1 p 2 ) n1 n2
p1 (1 p1 ) p 2 (1 p 2 ) n1 n2 (
Z2 =
x1 x 2 ) ( p1 p 2 ) n1 n2
p1 (1 p1 ) p 2 (1 p 2 ) n1 n2
=
0,10 0 = - 2,50 0,04
=
0,10 0 = 2,50 0,04
P( Z = - 2,50) = 0,0062 dan P(Z = 2,50) = 0,9938 maka peluang akan terjadi perbedaan persentase sebesar 10 % adalah 0,9938 – 0,0062 = 0,9876
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
137
6.3.5. Sebaran Sampling Simpangan Baku Rata-rata sebaran sampling simpangan baku adalah = Galat baku sebaran sampling simpangan baku adalah =
2n
s Sehingga persamaan normalnya adalah Z = 2n Contoh Ragam sebuah populasi yang berdistribusi normal sebesar 6,25 , diambil sampel berukuran 50. Tentukan peluang sampel tersebut akan mempunyai simpangan baku ( s ) a. Lebih dari 2,25 b. Kurang 3,0 c. Antara 2,00 s. d 2,75 Jawab Diketahui 2 = 6,25 maka = 2,5 n = 225 , maka = = 2,5
=
2n
=
2,5 = 2 x50
2,5 = 0,25 100
s Z= = 2n a. P( s 2,25 ) = ? Z=
2,25 2,50 = - 1,00 0,25
P( Z = - 1,00 ) = 0,1587 Jadi P( s 2,25 ) = 1 – 0,1587 = 0,8413 b. P( s 3,00 ) = ? Z=
3,00 2,50 = 2,00 0,25
P( Z = 2,00 ) = 0,9772 Jadi P( s 3,00 ) = 0,9772 c. P( 2,00 s 2,75 ) = ? Z1 =
2,00 2,50 = - 2,00 0,25
Eri Setiawan 2,75 2,50 Z2 = 0,25
Pengantar Statistika
138
= 1,00
P( Z = - 2,00 ) = 0,0228 P( Z = 1,00 ) = 0,8413 Jadi P( 2,00 s 2,75 ) = 0,8413 – 0,0228 = 0,8185
VII PENDUGAAN PARAMETER 7.1. Pendahuluan Parameter merupakan besaran-besaran yang diperoleh dari populasi, secara umum dinotasikan dengan , sedangkan statistik merupakan besaran-besaran yang diperoleh dari sampel, secara umum dinotasikan dengan ˆ . Selanjutnya parameter tersebut akan diduga oleh statistik, atau akan diduga oleh ˆ
Eri Setiawan Jadi merupakan
Pengantar Statistika
139
penduga ( estimator ) bagi .
Dengan demikian bisa berupa µ, 2, p dan ˆ
berupa x , S2,
x n
Parameter rata-rata (nilai tengah) adalah µ akan diduga (estimator) oleh statistik x Parameter ragam (variance) adalah 2 akan diduga (estimator) oleh statistik S2 Parameter proporsi adalah p akan diduga (estimator) oleh statistik
x n
Jadi x merupakan penduga rata-rata (nilai tengah) bagi µ , S 2 merupakan penduga ragam bagi 2 S merupakan penduga simpangan baku bagi dan
x merupakan penduga proporsi bagi p n
7.2. Jenis Pendugaan Penduga Titik ( Point Estimate ) hasil dugaan berupa satu nilai tertentu Penduga Selang ( Interval Estimate ) hasil dugaan berupa dua nilai diantara 7.3. Sifat-sifat Pendugaan a. Penduga harus bersifat tak bias artinya secara harapan penduga sama dengan yang
diduga.atau E( )= . b. Penduga harus mempunyai ragam minimum c. Penduga harus bersifat statistik cukup d. Penduga harus bersifat konsisten e. Penduga harus bersifat lengkap. Penduga yang baik adalah memenuhi dua sifat pendugaan yaitu: tak bias dan mempunyai ragam minimum. Penduga akan dikatakan lebih baik (terbaik), bila semua sifat pendugaan dipenuhi. Kita tidak akan membicarakan penduga titik, karena terlalu riskan untuk dibuat kesimpulan. Dalam
pendugaan titik bisa diperoleh hasil dugaan over estimate, karena hasil dari bisa terlalu tinggi atau terlalu rendah. Sehingga akan dibicarakan adalah penduga selang ( Interval Estimate ). Perhatikan Gambar berikut ini:
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
140
Distribution Plot Normal; Mean=0; StDev=1 0,4
Density
0,3
0,2
0,1 0,025
0,025
0,0
-1,96
0 X
1,96
7.4.1. . Menduga Rata-rata ( Nilai Tengah ) 7.4.1.a. Untuk diketahui maka P( Z/2 ≤ Z ≤ Z1 - /2 ) = 1 - Ingat sebaran sampling persamaan normal adalah : Z sehingga kalau Z kita ganti menjadi
P( Z /2 ≤
(X )
/ n
(X ) ≤ Z1 - /2 ) = 1 - / n
hasil manipulasi matematiknya menjadi: atau rumus yang akan digunakan adalah: P(
X
- Z/2
n ≤µ≤
X
+ Z/2
n )=1-
7.4.1.b. Untuk tidak diketahui maka P( t/2 ≤ t ≤ t1 - /2) = 1 - Ingat sebaran sampling t, yaitu t =
P( t/2
(X ) s sehingga kalau t kita ganti menjadi n
(X ) s ≤ ≤ t1 - /2) = 1 - n
hasil manipulasi matematiknya menjadi: atau rumus yang akan digunakan adalah P ( X - t/2
s ≤ µ ≤ X + t/2 n
s )=1- n
Bagaimana cara memandang persoalan ? Perhatikan contoh soal berikut ini:
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
141
1. Suatu sampel acak berukuran 36 mahasiswa tingkat akhir mempunyai nilai tengah dan simpangan baku IPK adalah 2,6 dan 0,3. Buatlah selang kepercayaan 95 % dan 99 % bagi nilai tengah IPK seluruh mahasiswa tingkat akhir. Jawab. 1. a. . Diketahui rata-rata ( nilai tengah ) X 2,6, simpangan baku 1 – α = 0,95
0,3, n =36,
Z = 1,96 0,3
P( 2,6 – 1,96
36
< µ < 2,6 + 1,96
0,3 36
) = 0,95
P(2,6 – 0,098 < µ < 2,6 + 0,098 ) = 0,95 P( 2,502 < < µ < 2,698 ) = 0,95 Jadi rata-rata atau nilai tengah IPK seluruh mahasiswa adalah antara 2,502 sampai dengan 2,698
dengan selang kepercayaan 95 %.
1.b. Diketahui rata-rata ( nilai tengah ) X 2,6, simpangan baku 1 – α = 0,99
0,3, n =36,
Z = 2,57
P( 2,6 – 2,57
0,3 0,3 < µ < 2,6 + 2,57 ) = 0,99 36 36
P(2,6 – 0,128 < µ < 2,6 + 0,128 ) = 0,99 P( 2,472 < µ < 2,728 ) = 0,99 2.
Isi 9 kaleng asam sulfat adalah 9,8 10,2 10,4 9,8 10,0 10,2 9,8 9.7 10,1 Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi nilai tengah isi semua kaleng. Jawab 9
Diketahui rata-rata
s
( Xi x ) n 1
X
9
2
Xi
11
i 1
n
dan simpangan bakunya, 90,0 10,0 9
( Xi 10,0) 2 9 1
0,240 , t0,025(8) = 2,306
Dikerjakan dengan paket program, hasilnya: Descriptive Statistics: Volume Kaleng Variable
Mean
SE Mean St-Dev Variance
Volume Kaleng 10.000 0.0799 P ( X - t/2
s n
P( 10,0 – 2,306
≤ µ ≤ X + t/2
0.240 s n
0.0575
)=1-
0,240 0,240 ≤ µ ≤ 10,0 + 2,306 ) = 0,95 9 9
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
142
P( 10,0 – 0,184 ≤ µ ≤ 10,0 + 0,184 ) = 0, 95 P( 9,816 ≤ µ ≤ 10,184 ) = 0,95 Jadi nilai tengah isi kaleng asam sulfat yang sebenarnya adalah antara 9,816 s.d 10,184 dengan selang kepercayaan 95 %. Atau bila dianalisis dengan paket program diperoleh: One-Sample T: Isi Variable N Isi
9
Mean
St-Dev SE Mean
10.0000 0.2398
0.0799
95% CI (9.8157, 10.1843)
7.4.2. Menduga Beda /Selisih Dua Rata-rata ( Nilai tengah ) Dalam Menduga Beda/Selisih Dua Rata-rata ( Nilai tengah ) ada 4 masalah, yaitu: 7.4.2.a. Jika 1 dan 2 diketahui, maka: 2
P[ ( X 1 - X 2 ) – Zα/2
2
2 2 1 2 1 2 < µ1- µ2 < ( X 1 - X 2 ) + Zα/2 ]=1-α n1 n2 n1 n2
Contoh Suatu ujian bahasa Inggris diberikan pada 75 mahasiswi dan 50 mahasiswi. Mahasiswa mempunyai rata-rata dan simpangan baku adalah 82 dan 8 sedangkan mahasiswi 76 dan 6. Tentukan selang kepercayaan 96 % bagi beda rata-rata ( nilai tengah ) nilai mahasiswa dan mahasiswi. Jawab Diketahui: X 1 82 dan s1 = 8
s12 = 64 X 2 76 dan s2 = 6
s22 = 36 dan 1 – α = 0,96 ,
maka harga Z = 2,05 2
P[ ( X 1 - X 2 ) – Zα/2 P[(82 – 76) – 2,05
2
2
2
1 2 1 2 < µ1- µ2 < ( X 1 - X 2 ) + Zα/2 ]=1–α n1 n2 n1 n2 64 36 < µ1- µ2 < [(82 – 76) + 2,05 75 50
64 36 ] = 0,96 75 50
P( 6 – 2,571 < µ1- µ2 < 6 + 2,571 ) = 0,96 P( 3,429 < µ1- µ2 < 8,571 ) = 0,96 Jadi beda rata-rata ( nilai tengah ) nilai mahasiswa dan mahasiswi adalah antara 3,429 s.d 8, 571 dengan selang kepercayaan 96 %.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
143
7.4.2.b. Jika 1 dan 2 tidak diketahui tapi diasumsikan 1 = 2 , maka: 1 1 < µ1- µ2 < ( X 1 X 2 ) + tα/2 Sp n1 n2
P[( X 1 X 2 ) - tα/2 Sp
2
(n 1) S1 (n2 1) S 2 Dengan S = 1 n1 n2 2
1 1 ]=1–α n1 n2
2
2 p
Sp =
Sp
2
Contoh Suatu program pengajaran matematika dengan Metode I diberikan kepada 12 siswa dan Metode II diberikan kepada 10 siswa. Selanjutnya diberi ujian dan hasilnya adalah Metode I mencapai rata-rata 85 dan simpangan bakunya 4, sedangkan Metode II mencapai rata-rata 81 dan simpangan bakunya 5. Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi selisih rata-rata, bila kedua simpangan baku populasi tidak diketahui dan diasumsikan sama. Jawab S12 = 16 n1 = 12
Diketahui X 1 = 85 S1 = 4 1 – α = 0,90
X 2 = 81 S1 = 5
S22 = 25 n2 = 10
tα/2 (n1 + n2 - 2 ) = t0,05 (20) = 1,725 2
(n 1) S1 (n2 1) S 2 S = 1 n1 n2 2 2 p
2
=
(12 1)16 (10 1)25 = 20,05 12 10 2
1 1 < µ1- µ2 < ( X 1 X 2 ) + tα/2 Sp n1 n2
P[( X 1 X 2 ) - tα/2 Sp
P[(85 – 81) – 1,725 (4,478)
P( 0,693 < µ1- µ2 < 7,307 ) = 0,90 Two-Sample T-Test and CI Sample N Mean StDev SE Mean 12 85.00 4.00
1.2
2
10 81.00 5.00
1.6
1 1 ]=1–α n1 n2
1 1 < µ1- µ2 < (85 – 81) – 1,725 (4,478) 12 10
P( 4 – 3,307 < µ1- µ2 < 4 + 3.307 ) = 0,90
1
Sp = 4.478
Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 4.00 90% CI for difference: (0.69, 7.31) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.09 P-Value = 0.050 DF = 20 Both use Pooled StDev = 4.4777
1 1 ] = 0,90 12 10
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
144
7.4.2.c. Jika 1 dan 2 tidak diketahui tapi diasumsikan 1 ≠ 2 , maka: 2
2
S1 S 2 < µ1- µ2 < ( X 1 X 2 ) + tα/2 n1 n2
P[( X 1 X 2 ) - tα/2
2
2
S1 S 2 ]=1–α n1 n2 2
Cari dulu derajat bebas dugaannya ( dbˆ ) =
S1 2 S 2 2 n n 2 1 2 2 2 2 S1 S 2 n1 n2 n1 1 n2 1
Contoh Jika kasus b) bila diasumsikan 1 ≠ 2 , maka harus menghitung dbˆ , yaitu: 2
dbˆ =
16 25 12 10 2 2 16 25 12 10 12 1 10 1
14,694
= 0,856 = 17,166 18
2
2
S1 S 2 < µ1- µ2 < ( X 1 X 2 ) + tα/2 n1 n2
P[( X 1 X 2 ) - tα/2
P[( 85 – 81 ) – 1,734
2
2
S1 S 2 ]=1–α n1 n2
16 25 < µ1- µ2 < ( 85 – 81 ) + 1,734 12 10
16 25 ] = 0,90 12 10
P( 4 – 3,395 < µ1- µ2 < 4 + 3,395 ) = 0,90 P( 0,605 < µ1- µ2 < 7,395 ) = 0,90
7.4.2.d.
Jika 1 dan 2 tidak diketahui dan diasumsikan data berpasangan, maka:
P( d t / 2
Sd n
< µd < d t / 2
Sd n
)=1–α
2
Dengan Sd2 =
n(d i ) (d i ) 2 dan Sd = n(n 1)
Sd
2
db = n -1 , n1 = n2 = n
Contoh: Diketahui data berpasangan sebagai berikut:
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
145
Sesudah 68 67 55 58 71 75 62 64 Sebelum 71 62 57 60 66 77 60 63 Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi selisih data berpasangan.
69 65
65 63
Jawab Sesudah Sebelum Di = selisih di2
68 71 -3 9
67 62 5 25
55 57 -2 4
58 60 -2 4
71 66 5 25
n1 = 10 n2 = 10 dan n = 10 1 – α = 0,95 d i 10 d 1,0 n 10
P( d t / 2
Sd n
Sd
n d i ( d i ) 2 n(n 1)
< µd < d t / 2
P( 1,0 – 2,262
3,091 10
Sd n
62 60 2 4
64 63 1 1
69 65 4 16
65 63 2 4
10 96
t0,025 (9) = 2,262
2
2
75 77 -2 4
=
10(96) (10) 2 860 9,556 10(10 1) 90
Sd =3,091
)=1–α
< µd < 1,0 – 2,262
3,091 10
) = 0,95
P( 1,0 – 2,211 < µd < 1,0 + 2,211 ) = 0,95 P( - 1,211 < µd < 3,211) = 0,95 Paired T-Test and CI: Sesudah, Sebelum Paired T for Sesudah - Sebelum N Mean StDev SE Mean Sesudah
10 65.40 5.99
1.89
Sebelum
10 64.40 5.85
1.85
Difference 10 1.000 3.091
0.978
95% CI for mean difference: (-1.211, 3.211) T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 1.02 P-Value = 0.333 7.4.3. Menduga Ragam ( Variance ) 2 (n 1) S 2 Dalam menduga ragam statistik yang digunakan adalah ( khi-kuadrat ) di mana 2 2
P(2/2 ≤ 2 ≤ 21 - /2 ) = 1 - (n 1) S 2 P( /2 ≤ ≤ 21 - /2 ) = 1 - 1 2
2
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
P(
146
(n 1) S ( n 1) S 2 2 ) 1 2 /2 1 / 2 2
2
Contoh Data berikut ini berupa volume (dalam desiliter ) dari 10 kaleng buah-buahan sebagai berikut: 46,4 46,1 45,8 47,0 46,1 45,9 45,8 46,9 45,2 dan 46,0. Buat selang kepercayaan 95 % bagi ragam volume kaleng buah-buahan hasil perusahaan tersebut. Jawab nXi 2 (Xi ) 2 Hitung dulu ragam sampelnya ( S ), yaitu: S = = 0,286 n(n 1) 2
2
(n 1) S 2 ( n 1) S 2 2 2 ) 1 P( 2 / 2 1 / 2 P(
(10 1)(0,286) (10 1)(0,286) ≤ 2 ≤ ) = 0,95 19,023 2,700
P( 0,135 ≤ 2 ≤ 0,953 ) = 0,95
2
1 7.4.4. Menduga Nisbah ( Rasio ) Ragam ( 2 ) 2 Untuk menduga rasio ( nisbah ) ragam statistik yang digunakan adalah statistik F, di mana
pendugaannya diperoleh sebagai berikut: F =
1
2
2
2
v1 v2
=
S1
2
S2
2
1
2
2
2
2 2 S1 2 = 2 2 1 S2
P( f/2 ≤ F ≤ f1 - /2 ) = 1 -
2 2 S1 2 ≤ 2 2 ≤ f1 - /2 ) = 1 - atau 1 S2
P( f/2
P[
S1
2
S2
2
1 ≤ f / 2 (v1 , v 2 )
2
2
1 S1 2 ≤ 2 f/2 ( v2, v1) ] = 1 - 2 S2
Contoh: Suatu program pengajaran matematika dengan Metode I diberikan kepada 16 siswa dan Metode II diberikan kepada 9 siswa. Selanjutnya diberi ujian dan hasilnya adalah Metode I mencapai rata-
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
147
rata 85 dan simpangan bakunya 4, sedangkan Metode II mencapai rata-rata 81 dan simpangan bakunya 5. Buatlah selang kepercayaan 90 % bagi rasio ragam. Jawab n2 = 9 S2 = 5 S22 = 25 1 - = 0,90
Diketahui n1 = 16 S1 = 4 S12 = 16 f 0,05 ( 15, 8 ) = 3,22
P[
S1
2
S2
2
1 ≤ f / 2 (v1 , v 2 )
1 16 P[ ≤ 25 (3,22)
1
f 0,05 ( 8, 15 ) = 2,64
f 0 , 05 (15,8)
1
= 3,22 = 0,311
1 S1 2 ≤ 2 f/2 ( v2, v1) ] = 1 - 2 S2 2
2
2
1 16 2 ≤ 25 ( 2,64 ) ] = 0,90 2
1 P( 0,174 ≤ 2 ≤ 1,478 ) = 0,90 2 2
Distribution Plot F; df1=8; df2=15 0,8 0,7
Density
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2
0,05
0,1 0,0
0,05 0 0,311
X
2,64
Contoh Latihan 1. Diketahui data sampel tentang besarnya cahaya pada bunga bagian atas dan bawah sebagai berikut: yang dikumpulkannya adalah: Bunga b. atas
39 52 54 42 47 39 41 46 45
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
148
Bunga b. bawah 41 37 47 38 36 43 45 40 42 a. Dugalah nilai tengah bunga bag. atas yang sesungguhnya dengan 1- = 0,95 b. Dugalah nilai tengah bunga bag. bawah yang sesungguhnya dengan 1- = 0,90 c. Dugalah beda nilai tengah bunga yang sesungguhnya dengan 1- = 0,90, jika diasumsikan Adan B tidak ketahui dan A = B. d. Dugalah ragam bunga bag. atas yang sesungguhnya dengan 1- = 0,90 e. Dugalah ragam bunga bag. bawah yang sesungguhnya dengan 1- = 0,95 f. Dugalah nisbah ( rasio ) ragam bunga yang sesungguhnya dengan 1- = 0,90 2. Data besarnya volume penjualan komodi di Pasar 1 dan Pasar 2 sebagai berikut Pasar 1
3,9 5,2 5,4 4,2 4,7 3,9 4,1 4,6 4,5
Pasar 2
4,1 3,7 4,7 3,8 3,6 4,3 4,5 4,0 4,2
a. Dugalah rata-rata atau nilai tengah volume penjualan komodi di Pasar 1 yang sesungguhnya dengan 1- = 0,90 b. Dugalah rata-rata atau nilai tengah volume penjualan komodi di Pasar 2 yang sesungguhnya dengan 1- = 0,90 c. Dugalah beda rata-rata atau nilai tengah bunga yang sesungguhnya dengan 1- = 0,95 3. Hitunglah: a. P(t < 2,365 ), bila v = 7 b. P( t > 1,318 ), bila v = 24 c. t 0,025 , bila v = 25 d
- t 0,025 , bila v = 15
e t 0,99 , bila v = 20 f. P( - t /2 t t/2 ) = 0,90 untuk n = 20 g. P ( 2 1 - /2 2 2/2 ) = 0,95 untuk n = 15 h. P( f /2 f f 1-/2 ) = 0,98 untuk n1 = 16 dan n2 = 25
VIII PENGUJIAN HIPOTESIS
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
149
8.1. Pendahuluan Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu: Hypo dan Titenai Hypo artinya di bawah Titenai artinya menempatkan. Jadi artinya menempatkan di bawah Secara umum hipotesis merupakan landasan berpijak bagi peneliti dalam melakukan penelitian. Jadi hipotesis merupakan asumsi atau perumusan sementara mengenai suatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal tersebut. Jika asumsi itu mengenai populasi, yaitu nilai-nilai parameter, maka disebut hipotesis statistik. Hipotesis bisa benar, bisa tidak benar sehingga diperlukan prosedur untuk menentukan diterima atau ditolak. Jadi pengujian hipotesis merupakan prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis. Hipotesis atau pernyataan tersebut biasanya dinotasikan dengan H 0 , sedangkan alternatif hipotesis atau versusnya dinotasikan dengan H 1. Jadi H0 : mengenai apa H1 : mengenai apa Menerima H0 berarti kesimpulannya adalah kalimat pada H0 dan menolak H0 berarti kesimpulannya adalah kalimat pada H1 sebagai alternatif H0. Meskipun kita akan sering menggunakan istilah menerima atau menolak tetapi bahwa penolakan suatu hipotesis berarti menyimpulkan bahwa hipotesis itu salah, sedangkan penerimaan suatu hipotesis semata-mata mengimplikasikan bahwa kita tidak cukup bukti untuk mempercayainya. Dengan pengertian tersebut maka statistikawan atau peneliti sering mengambil sebagai hipotesisnya suatu pernyataan yang diharapkan akan menolaknnya. Dalam melakukan pengujian hipotesis akan terdapat dua jenis kesalahan yang dapat terjadi, yaitu: Tipe Kesalahan Jenis I dan Tipe Kesalahan Jenis II. Pernyataan tersebut diperoleh dari
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Kesimpulan Menerima Hipotesis Menolak Hipotesis
Keadaan Hipotesis Benar Benar Kesalahan Tipe I ( )
150
Sebenarnya Hipotesis Salah Kesalahan Tipe II ( ) Benar
Tipe Kesalahan Jenis I = α = P ( menolak H0 padahal H0 benar ) Tipe Kesalahan Jenis II = β = P ( menerima H0 padahal H1 benar ) sedangkan 1 - β adalah kuasa uji ( power test ) di mana 1 - β = P ( menolak H0 padahal H1 benar ) Daerah kritis atau daerah penolakan hipotesis. Perhatikan Gambar berikut ini:
Pengujian Dua Pihak ( Dua arah ) Distribution Plot Normal; Mean=0; StDev=1 0,4
Density
0,3
0,2
0,1 0,025 0,0
0,025 -1,96
0 X
1,96
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
151
Pengujian Satu Pihak ( Satu Arah ) Untuk Arah Kanan Distribution Plot Normal; Mean=0; StDev=1 0,4
Density
0,3
0,2
0,1 0,05 0,0
0 X
Pengujian Satu Pihak ( Satu Arah ) Untuk Arah Kiri Distribution Plot Normal; Mean=0; StDev=1 0,4
Density
0,3
0,2
0,1 0,05 0,0
-1,64
0 X
1,64
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
152
Harga α digunakan untuk sebelah kiri atau kanan, jadi harga α tidak dibagi dua. a. Uji Dua Arah H0 : 0
b. Uji Satu Arah H0 : 0
H1: 0
H1: 0
c. Uji Satu Arah
H0 : 0 H1: 0
Uji dua arah artinya ada dua daerah penolakan pihak kiri dan kanan sehingga α menjadi
2
dan uji satu arah artinya ada satu daerah penolakan dikanan H 1: 0 dan dikiri H1: 0
8.2. Prosedur Pengujian Hipotesis a. Tentukan perumusan hipotesis sesuai dengan permasalahannya. H 0 : apa dan H1 apa. b. Tentukan taraf nyata ( α ) yang diinginkan c. Tentukan Statistik Uji yang digunakan, tentunya sesuai dengan permasalahan. d. Bandingkan antara statistik hitung dengan statistik tabel. e. Buat Kesimpulan. 8.3.1. Menguji Rata-rata ( Nilai Tengah ) No 1a
H0 H0 : = 0
H1 H0 : ≠ 0
1b
H0 : = 0
H0 : 0
1c
H0 : = 0
H0 : 0
2a
H0 : = 0
H0 : ≠ 0
2b
H0 : = 0
H0 : 0
2c
H0 : = 0
H0 : 0
Keterangan Informasi diketahui
Statistik Uji
Informasi diketahui Informasi diketahui Informasi tidak diket.
X Z= / n X Z= / n X t= S/ n
Informasi tidak diket. Informasi tidak diket.
X Z= / n
X S/ n X t= S/ n
t=
Daerah Kritis Zhitung Z/2 atau Zhitung - Z/2 Zhitung Z Zhitung - Z t hitung t /2 atau t hitung - t /2 t hitung t t hitung - t
Contoh 1. Sebuah perusahaan memproduksi lampu listrik yang umurnya mendekati sebaran normal dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Bila suatu sampel acak berukuran 30 menghasilkan nilai tengah 788 jam Ujilah hipotesis bahwa nilai tengah lampu listrik belum tentu 800 jam dengan taraf nyata 4 %.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
153
Jawab Diketahui µ = 800 jam, = 40
X = 788
n = 30 α = 4 %
H0 : µ = 800 H1 : µ ≠ 800 α = 4 % maka Z = - 2,05 dan Z = 2,05 Z=
788 800 12 X = = 7,303 = - 1,64 40 / 30 / n
Karena Z hitung > - Z tabel , maka H0 diterima. Kesimpulan : Kita tidak cukup alasan untuk mengatakan bahwa nilai tengah lampu listrik yang diproduksinya bukan 800 jam dengan selang kepercayaan 96 %. 2. Ujilah hipotesis bahwa rata-rata atau nilai tengah isi kaleng suatu jenis minyak pelumas lebih dari 10,0 liter. Bila suatu sampel acak berukuran 9 kaleng adalah: 10,3 9,8 10,2 10,4 9,9 10,1 10,5 10,4 dan 10,2 (dalam liter) dengan taraf nyata 1 %. Jawab Diketahui µ = 10,0 jam, X dan s di cari dulu dari data di atas, sehingga diperoleh X = 10,2 s = 0,234 n = 9 α = 1 %
H0 : µ = 10,0 H1 : µ > 10,0 α = 1 % , maka t 0,01 (8) = 2,896 t=
X S/
n
=
10,2 10,0
0,200
= 0,078 = 2,564 0, 234 / 9
Karena t hitung < t tabel , maka H0 diterima. Kesimpulan : Kita tidak cukup alasan untuk mengatakan bahwa nilai tengah isi kaleng pelumas bukan 10,0 liter dengan selang kepercayaan 99 %.
8.3.2. Menguji Selisih ( Beda ) Dua Rata-rata ( Nilai Tengah ) 1 - 2 No
H0
H1
Keterangan
Statistik Uji
Daerah Kritis
Eri Setiawan
1.a
H0 : 1 = 2
Pengantar Statistika
H1 : 1 ≠ 2
Informasi 1 dan 2 diketahui
1.b
H0 : 1 = 2
H1 : 1 2
H0 : 1 = 2
H1 : 1 2
H0 : 1 = 2
H1 : 1 ≠ 2
2;b
H0 : 1 = 2
H1 : 1 2
2.c
H0 : 1 = 2
H1 : 1 2
3.a
H0 : 1 = 2
H1 : 1 ≠ 2
3.b
H0 : 1 = 2
H1 : 1 2
3.c
H0 : 1 = 2
H1 : 1 2
4.a
H0 : d = d0
H1 : d ≠ d0
diasumsikan 1 ≠ 2 Informasi 1 dan 2 tidak diketahui dan
Sp
Sp
2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
t hitung t
t hitung - t
2
t hitung t /2 atau t hitung - t /2 t hitung t
2
S1 S 2 n1 n2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) 2
t=
t=
t hitung - t /2
1 1 n1 n 2
S1 S 2 n1 n2
t=
t hitung t /2 atau
1 1 n1 n 2
2
t=
diasumsikan 1 ≠ 2 Informasi 1 dan 2 tidak diketahui dan
1 1 n1 n 2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
diasumsikan 1 ≠ 2 Informasi 1 dan 2 tidak diketahui dan
Sp
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
t=
Zhitung - Z
2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
diasumsikan 1 = 2 Informasi 1 dan 2 tidak diketahui dan
2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
t=
Zhitung Z
1 2 n1 n2
Z=
t=
Zhitung - Z/2
2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
diasumsikan 1 = 2 Informasi 1 dan 2 tidak diketahui dan
2
Zhitung Z/2 ata
1 2 n1 n2
Z=
diasumsikan 1 = 2 Informasi 1 dan 2 tidak diketahui dan
2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
Informasi 1 dan 2 tidak diketahui dan
2
1 2 n1 n2
Z=
Informasi 1 dan 2 diketahui
2.a
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
Informasi 1 dan 2 diketahui
1c
154
t hitung - t
2
S1 S 2 n1 n2 d d0
t hitung t /2 atau
Sd / n
t hitung - t /2
d d0
t hitung t
diasumsikan data 4.b
H0 : d = d0
H1 : d d0
berpasangan Informasi 1 dan 2 tidak diketahui dan diasumsikan data berpasangan
t=
Sd / n
Eri Setiawan
4.c
Pengantar Statistika
H0 : d = d0
H1 : d d0
Informasi 1 dan 2 tidak diketahui dan
155
t=
t hitung - t
d d0 Sd / n
diasumsikan data berpasangan Contoh Sebuah perusahaan menyatakan bahwa kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi rata-rata tali B sebesar sekurang-kurangnya 12 kilogram. Untuk diuji pernyataan ini, 50 tali dari masingmasing jenis tersebut di uji di bawah kondisi yang sama. Hasil uji memperlihatkan tali A mempunyai kekuatan rentangan rata-rata 86,7 kg dengan simpangan baku 6,28 kg, sedangkan tali B mempunyai kekuatan rentangan rata-rata 77,8 kg dengan simpangan baku 5,61 kg. Ujilah pernyataan tersebut ? dengan taraf nyata 5 %. Jawab. Diketahui X 1 86,7 X 2 77,8
1 = 6,28
12 = 39,4384 n1 = 50
2 = 5,61
22 = 31,4721 n2 = 50
= 5 %.
H0 : A = B H1 : A < B = 5 %.
Z = - 1,96
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) Z=
2
2
1 2 n1 n2
(86,7 77,8) 0
=
39,4384 31,4721 = 50 50
8,9 12,0 = - 2,60 1,191
Karena Z hitung < - Z tabel maka H0 ditolak Kesimpulan : Kita tidak cukup alasan untuk menyatakan bahwa kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi rata-rata tali B sekurang-kurangnya 12 kilogram. Dari dua populasi normal yang bebas diambil sampel acak berkukuran n 1 = 11 dan n2 =14 yang menghasilkan rata-rata masing-masing adalah 75 dan 60 dan simpangan baku adalah 6,1 dan 5,3. a. Ujilah hipotesis 1 - 2 belum tentu sama pada taraf nyata 5 %, bila diasumsikan 1 = 2 b. Ujilah hipotesis 1 - 2 belum tentu sama pada taraf nyata 5 %, bila diasumsikan 1 ≠ 2 Jawab a. Diketahui X 1 75 S1 = 6,1 X 2 60
S2 = 5,3
S12 = 37,21 n1 = 11 S22 = 28,09 n2 = 14
= 5 %.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika 2
Sp2 =
(n1 1) S1 (n2 1) S 2 n1 n2 2
2
=
156
(11 1)37,21 (14 1) 28,09 = 32,055 11 14 2
Sp = 5,662
H0 : 1 = 2 H1 : 1 ≠ 2 = 5 %.
t0,025(23) = 2,069
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
t=
=
1 1 n1 n2
Sp
(75 60) 0
15
1 1 = = 6,576 2,281 5,662 11 14
Karena t hitung > t tabel maka H0 ditolak Kesimpulan Kita tidak cukup alasan untuk menyatakan bahwa 1 = 2 pada taraf nyata 5 %. b. H0 : 1 = 2 H1 : 1 ≠ 2 = 5 %.
t0,025(20) = 2,086 2
ˆ ( db ) =
S1 2 S 2 2 n n 2 1 2 2 2 2 S1 S 2 n1 n2 n1 1 n2 1
37,21 28,09 14 11
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) t=
2
2
2
28,09 14 13
(75 60)
=
S1 S 2 n1 n2
37,21 = 11 10
2
2
= 19, 9 20
15
37,21 28,09 = = 6,463 2,321 11 14
Karena t hitung > t tabel maka H0 ditolak Kesimpulan Kita tidak cukup alasan untuk menyatakan bahwa 1 = 2 pada taraf nyata 5 %. Untuk mengetahui apakah aktif di UKM mempunyai akibat baik atau buruk terhadap IPK yang dihasilkan. Data mengenai rata-rata IPK telah dikumpulkan selama periode 5 tahun: UKM Aktif Tidak Aktif
1 2 2,2
2 2 1,9
Tahun 3 2,3 2,5
4 2,1 2,3
5 2,4 2,4
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
157
Ujilah pada taraf nyata 5 % apakah aktif di UKM berakibat buruk pada IPK? Jawab. Diketahui Aktif Tidak Aktif di di2
d d n
i
2 2,2 - 0,2 0,04
0,5 0,1 = 5
2 1,9 0,1 0,01
2,3 2,5 - 0,2 0,04
2,1 2,3 - 0,2 0,04
n d i ( d i ) 2
2,4 2,4 0 0
2
2 d
S =
n( n 1)
=
- 0,5 0,13
5(0,13) ( 0,5) 2 = 0,02 5(5 1)
Sd = 0,1414
H0 : d = 0 H1 : d ≠ 0 = 5 %.
- t0,025(4) = - 2,776
0,1 0 t= = ,1414 = - 1,587 Sd / n 5
d d0
karena t hitung > - t tabel maka H0 diterima Kesimpulan Kita tidak cukup alasan untuk menyatakan bahwa aktif di UKM berakibat buruk pada IPK dengan taraf nyata 5 %. Jika dikerjakan dengan paket program, diperoleh Paired T-Test and CI: Aktif, Tdk Aktif Paired T for Aktif - Tdk Aktif N
Mean
St-Dev
SE Mean
Aktif
5
2.160
0.182
0.081
Tdk Aktif
5
2.260
0.230
0.103
0.1414
0.0632
Difference 5 -0.100
95% CI for mean difference: (-0.2756, 0.0756) T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = -1.58 P-Value = 0.189 8.3.3. Menguji Ragam ( 2 ) No
H0
H1
Statistik Uji
Daerah Kritis
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
A
H0 : = 0
B
H0 : 2 = 02
2
2
H0 : 2 = 02
C
H1 : ≠ 2
2 0
H1 : 2 > 02 H1 : 2 < 02
2 2
2
158
(n 1) S 02
2
tabel
atau
2
1 - /2
2
2 > 2tabel
(n 1) S 2
0
2 /2
2
Contoh Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki yang diproduksinya mempunyai simpangan baku populasi sebesar 0,9 tahun. Bila suatu sampel acak berukuran 10 buah aki telah diambil, ternyata simpangan bakunya adalah 1,2 tahun. Ujilah apakah menurut simpangan baku populasi sudah lebih dari 0,9 tahun ? dengan taraf nyata 5 %. Jawab Diketahui = 0,9
2 = 0,81 n = 10 S = 1,2
S2 = 1,44 = 0,05
H0 : 2 = 0,81 H1 : 2 > 0,81 = 0,05
2
20,05(9) = 16,919
(n 1) S 2
0
2
=
(10 1)1,44 = 16,000 0,81
Karena 2hitung < 2tabel maka H0 diterima Kesimpulan Kita tidak cukup alasan untuk mengatakan bahwa ragam umur aki yang diproduksi oleh perusahaan tersebut sudah berubah dari 0,9 tahun, dengan taraf nyata 5 %.
1 8.3.4.. Menguji Nisbah ( Perbandingan ) Ragam ( ) 22 2
N0 A
H0 H0 : 12 = 22
H1 H1 : 12 ≠ 22
Statistik Uji
f =
S1
2
S2
2
Daerah Kritis f hitung > f /2 ( v2, v1 ) 1
atau f hitung < f (v , v ) /2 2 1
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
H0 : = 2
B
2 1
2
H0 : 12 = 22
C
H1 : 1 > 2
2 2
f =
H1 : 12 < 22
f =
S1
2
S2
2
S1
2
S2
2
159
f hitung > f ( v2, v1 )
f hitung <
1 f (v 2 , v1 )
Contoh Dari dua populasi normal yang bebas diambil sampel acak berkukuran n 1 = 11 dan n2 =14 yang menghasilkan rata-rata masing-masing adalah 75 dan 60 dan simpangan baku masing-masing adalah 6,1 dan 5,3. Ujilah dengan taraf nyata 10 %, nisbah ragam tersebut apakah masih sama atau tidak? Jawab Diketahui X 1 75 S1 = 6,1 X 2 60
S2 = 5,3
= 10 %.
S12 = 37,21 n1 = 11 S22 = 28,09 n2 = 14
H0 : 12 = 22 H1 : 12 < 22 = 10 %.
f =
f /2 ( v2, v1 ) = f 0,05 (13 , 10 ) = 2,89 dan f 1 - /2 ( v1, v2 ) =
S1
2
S2
2
1 1 = 2,89 = 0,346 f / 2 (v1 , v 2 )
37,21
= 28,09 = 1,32
Karena f hitung < f tabel , maka H0 diterima Kesimpulan: Kita cukup alasan untuk mengatakan bahwa 12 = 22 dengan taraf nyata 10 %. Untuk = 10 % dan
1
1
2 sebelah kiri = f 0, 05(13,10 ) = 2,89 = 0,346
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
160
Distribution Plot F; df1=10; df2=13 0,8 0,7
Density
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2
0,05
0,1 0,0
0 0,346
X
Untuk = 5 % dan v1 = 10 dan v2 = 13 , maka
f 0 , 05 (10 ,13) = 2,67
Distribution Plot F; df1=10; df2=13 0,8 0,7
Density
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
0,05 0
X
2,67
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Untuk = 10 % maka
2 sebelah kiri =
1 f 0 , 05 (13,10 )
161
1
= 2,89 = 0,346 dan sebelah kanan f 0 , 05(10 ,13) =
2,67 Distribution Plot F; df1=10; df2=13 0,8 0,7
Density
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2
0,05
0,1 0,0
0,05 0 0,346
X
2,67
Soal Latihan 1. Seorang peneliti mempelajari pengaruh pencahayaan terhadap bunga Lucerne pada kondisi lingkungan yang berbeda. Ia mengambil sampel secara acak 9 dan 9 tanaman yang segar dengan bunga-bunga yang tersinari tanpa halangan di bagian atas dan bunga-bunga yang tersembunyi mungkin di bagian bawahnya. Kemudian ia menghitung banyak biji perdua polong pada setiap lokasi. Data yang dikumpulkannya adalah: Bunga b. atas
3,9 5,2 5,4 4,2 4,7 3,9 4,1 4,6 4,5
Bunga b. bawah 4,1 3,7 4,7 3,8 3,6 4,3 4,5 4,0 4,2 a. Ujilah nilai tengah bunga bag, atas yang sesungguhnya > 4,2 dengan taraf nyata 1 % b. Ujilah nilai tengah bunga bag, bawah yang sesungguhnya > 4,2 dengan taraf nyata 5 % c. Ujilah beda nilai tengah yang sesungguhnya belum tentu sama, dengan taraf nyata 10 %., jika diasumsikan Adan B tidak ketahui dan A = B. d. Uji ragam bunga bag. atas yang sesungguhnya < 0,200 dengan taraf nyata 1 %. e. Uji ragam bunga bag. bawah yang sesungguhnya < 0,200 dengan taraf nyata 5 %. f. Ujuilah nisbah ragam yang sesungguhnya denagn taraf nyata 10 %.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
162
2. Data besarnya volume penjualan komodi di Pasar 1 dan Pasar 2 sebagai berikut Pasar 1
3,9 5,2 5,4 4,2 4,7 3,9 4,1 4,6 4,5
Pasar 2
4,1 3,7 4,7 3,8 3,6 4,3 4,5 4,0 4,2
a. Ujilah rata –rata atau nilai tengah volume penjualan komodi di Pasar 1 yang sesungguhnya dengan alternatif 1 > 4,2 dengan taraf nyata 5 % b. Ujilah rata –rata atau nilai tengah volume penjualan komodi di Pasar 2 yang sesungguhnya dengan alternatif 2 > 4,2 dengan taraf nyata 5 % c. Ujilah beda rata-rata atau nilai tengah yang sesungguhnya dengan alternatif 1 2 , dengan taraf nyata 5 %., jika diasumsikan 1dan 2 tidak ketahui dan 1 = 2. d. Ujilah ragam volume penjualan komodi di Pasar 1 yang sesungguhnya dengan alternatif 12 > 0,25 dengan taraf nyata 1 % e. Ujilah ragam volume penjualan komodi di Pasar 2 yang sesungguhnya dengan alternatif 22 > 0,20 dengan taraf nyata 1 % f. Ujilah nisbah ragam volume penjualan komodi di Pasar 1 dan Pasar 2 yang sesungguhnya dengan alternatif belum tentu sama dengan taraf nyata 10 %
8.4. Menguji Homogenitas Ragam H0 : 12 = 22 = 32 =
= k2
H1 : H0 ditolak Statistik yang digunakan
2
dengan s =
Bartlett (ln10){B (ni 1)}log si } 2
2
(n 1)s (n 1) i
i
2 2 dan B = (log s ) (ni 1)
i
2 Bartlett (ln10){B (ni 1)}log si } 2
Contoh Perlak 1
Perlak 2
Perlak 3
Perlak 4
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
16 20 23 18 15
13 15 17 18 21
7 9 12 10 11
163
10 14 11 15 16
Descriptive Statistics: Respon
Variable Ragam N Mean StDev Respon
s1
2
Variance
5 18.40
3.210
10.300
s2
2
5 16.80
3.030
9.200
s3
2
5
1.924
3.700
2
s 4 s1 sp
2
2
9.80
5 13.20 20 14.55
Sampel Ke
db
1 db
1 2 3 4 Jumlah
4 4 4 4 16
0,25 0,25 0,25 0,25 -
2.590 2,734 Si2 10,300 9.200 3,700 6.700 -
6.700 7.475 log Si2 1,0128 0,9638 0,5682 0,8261 -
( db ) log Si2 0,2532 0,2409 0,1420 0,2065 0,8426
log Sp2 = log 7,475 = 0,8736 B = (log s p ) (ni 1) = 0,8736 ( 16) = 13,9776 2
Bartlett (ln10){B (ni 1)}log si } = 2,303 ( 13,9776 - 13, 4836 ) = 1,138 2
2
tabel 2 = 5 % = 2 0, 05( 3) 7,815
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
164
Distribution Plot Chi-Square, df=3 0.25
Density
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0.05 0
X
7.815
Kesimpulan: Karena 2hitung < 2tabel maka H0 diterima berarti Kita tidak cukup alasan untuk mengatakan bahwa keempat ragam tersebut berbeda. Hasil manual adalah 1,138 sedangkan hasil olahan paket program adalah 1,03 ( perbedaan antara 1,138 dan 1,03 disebabkan pembulatan dari perkalian saja ). Jika dengan paket program adalah Test for Equal Variances: Respon versus Ragam 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Ragam N
Lower
StDev
Upper
1
5
1.69426
3.20936
13.3149
2
5
1.60123
3.03315
12.5838
3
5
1.01546
1.92354
7.9803
4
5
1.36646
2.58844
10.7388
Bartlett's Test (Normal Distribution) Test statistic = 1.03, p-value = 0.794 Levene's Test (Any Continuous Distribution) Test statistic = 0.36, p-value = 0.781
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
165
Uji Homogenitas Ragam Bartlett's Test Test Statistic P-Value
Perlakuan 1
1.03 0.794
Ragam Perlakuan
Levene's Test Test Statistic P-Value
Perlakuan 2
0.36 0.781
Perlakuan 3
Perlakuan 4
0 2 4 6 8 10 12 14 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
8.5. Uji Kebaikan Suai atau Uji Kecocokan ( Goodness of fit test ) Uji Kebaikan Suai artinya ingin melihat sejauhmana antara frekuensi yang teramati (observasi) ( oi e i ) 2 dengan frekuensi harapan ( ekspekstasi ) didasarkan pada besaran: ei i 1 2
k
Prosedurnya a. Tentukan perumusan hipotesisnya sesuai dengan masalahnya, yaitu: H0 : Tidak ada masalah H1: H0 ditolak . b. Tentukan taraf nyata yang diinginkan c. Tentukan statistik ujinya, yaitu: d. Bandingkan antara statistik uji dengan statistik tabel. e. Buat Kesimpulan. Contoh Pelantunan sebuah dadu yang seimbang ( homogen ) sebanyak 120 kali.Hasil percobaan sebagai berikut: Permukaan dadu Hasil observasi
1 23
2 22
3 17
4 21
5 19
6 18
120
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
166
Ujilah dengan = 5 %, apakah dadu tersebut mempunyai permukaan yang sama (seimbang) atau tidak? Jawab. H0 : Pelantunan sebuah dadu sebanyak 120 masih seimbang H1: Pelantunan sebuah dadu sebanyak 120 sudah tidak seimbang atau H 0 ditolak =5%
20,05 ( 5 ) = 11,070 Distribution Plot Chi-Square, df=5
0.16 0.14
Density
0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.05 0.00
0
X
11.070
(oi ei ) 2 (23 20) 2 (22 20) 2 (17 20) (21 20) 2 (19 20) 2 (18 20) 2 = = 1,400 ei 20 20 20 20 20 20 i 1 2
k
Karena 2 hitung < 2 tabel , maka H0 diterima Kesimpulan: Kita cukup alasan untuk mengatakan bahwa pelantunan sebuah dadu sebanyak 120 masih seimbang dengan taraf nyata 5 %. 8.6
Uji Kebebasan ( Freedom of test )
Uji kebebasan artinya ingin melihat sejauhmana ada hubungan atau tidak antara faktor yang satu dengan faktor yang lainnya, secara umum disebut dengan Kontingensi dan hal tersebut ( oi e i ) 2 didasarkan pada besaran: ei i 1 2
k
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
167
Prosedurnya Tentukan perumusan hipotesisnya sesuai dengan masalahnya, yaitu: H0 : Apakah ada hubungan atau tidak antara ......... H1: H0 ditolak . a. Tentukan taraf nyata yang diinginkan b. Tentukan statistik ujinya, yaitu: c. Bandingkan antara statistik uji dengan statistik tabel. Buat Kesimpulan. Contoh Dalam suatu penelitian dikumpulkan data untuk menentukan apakah proporsi produk yang cacat oleh pekerja yang bertugas pagi, sore dan malam hari sama atau tidak. Data diperoleh sebagai berikut: Hasil Produk Cacat Tidak Cacat Jumlah
Pagi 50 750 800
Waktu Kerja Sore Malam 60 70 740 730 800 800
Jumlah 180 2220 2400
Ujilah dengan taraf nyata 5 %, apakah ada hubungan atau tidak antara hasil produk dengan waktu kerja. Jawab Cari nilai ekspeksi dulu untuk masing-masing sel, yaitu E(Cacat Pagi) =
(180 x800) = 60 2400
E( Tidak Cacat Pagi) =
(2220 x800) = 740 2400
E(Cacat Sore) =
(180 x800) = 60 2400
E(Tidak Cacat Sore) =
(2220 x800) = 740 2400
E(Cacat Malam) =
(180 x800) = 60 2400
E(Tidak Cacat Malam) =
H0 : Tidak ada hubungan antara hasil produk dengan waktu kerja. H1 : H0 ditolak =5%
20,05 ( 2 ) = 5,991
( 2220 x800) = 740 2400
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
168
Distribution Plot Chi-Square, df=2 0.5
Density
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
k
2 i 1
0.05 0
X
5.991
(oi ei ) 2 (50 60) 2 (60 60) 2 (70 60) 2 (750 740) 2 (740 740) 2 (730 740) 2 = ei 60 60 60 740 740 740
= 1,667 + 0 + 1,667 + 0,135 + 0,135 + 0,135 = 5,406 Karena 2 hitung < 2 tabel , 5,406 5,991, maka H0 diterima Kesimpulan: Kita cukup alasan untuk mengatakan bahwa tidak ada hubungan atau tidak pengaruh antara hasil produk dengan waktu kerja, berarti proporsi produk yang cacat oleh pekerja yang bertugas pagi, sore dan malam hari adalah sama dengan taraf nyata 5 %. Soal Latihan Suatu penelitian untuk melihat apakah ada hubungan antara kelas pasar kebiasaan belanja dan status ekonomi , diperoleh data sebagai berikut:
Pasar Tradisional Pasar Modern Jumlah
Ekonomi Ekonomi Ekonomi Jumlah Bawah Menengah Atas 90 70 40 200 30 70 100 200 120 140 140 400
Ujilah dengan taraf nyata = 5 %, apakah ada hubungan antara kelas pasar kebiasaan belanja dengan status ekonomi ?. IX ANALISIS RAGAM
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
169
9.1. Pendahuluan Teknik Analisis Ragam (Analysis of Variance) digunakan untuk menguji rata-rata (nilai tengah ) bila lebih dari dua atau untuk menguji beberapa rata-rata. Analisis ragam artinya suatu metode untuk menguraikan keragaman total menjadi komponenkomponen yang mengukur berbagai sumber keragaman.
9.2. Model Matematik Dalam Statistika, jika kita mengukur lebih dari satu kali maka diperoleh rata-rata data dan penyimpangan dari data itu sendiri. Hal tersebut dituangkan dalam bentuk persamaan matematiknya adalah : Yi = ± i Artinya Yi = hasil pengamatan atau pengukuran,ke-i, = rata-rata atau nilai tengah dan i = galat percobaan Model matematik tersebut dikenal dengan istilah Model Linear Aditif. Andaikan yang diukur itu adalah suatu perlakuan ( treatmen ), maka model linear aditifnya adalah Yij = + i + ij
di mana i = perlakuan ( treatmen ) dengan i = 1, 2, . . . , t dan j = ulangan ( replikasi ) dengan j = 1, 2,
. . . , r.
Yij = pengaruh yang akan kita ukur
= rata-rata atau nilai tengah i = pengaruh perlakuan ke-i
i j = galat percobaan yang mendapat perlakuan ke-i dan ulangan ke-j. Jadi Yij = + i + ij adalah
FK = Faktor Koreksi =
Y
ij
2
-
JKT = Jumlah Kuadrat Total =
JKP = Jumlah Kuadrat Perlakuan =
( Yij ) 2 tr
Y
2
ij
-
Yi. 2
( Yij ) 2 tr ( Yij ) 2
JKG = Jumlah Kuadrat Galat = JKT - JKP JKT
FK
JKP
JKG
tr
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
170
9.3. Klasifikasi Satu Arah Misalkan kita ingin menguji lebih dari dua rata-rata atau nilai tengah sebutlah uji beberapa ratarata, maka hipotesisnya H0 : 1 = 2 = 3 =
... = k
H1 : H0 ditolak atau sekurang-kurangnya dua rata-rata tidak sama. Identitas Jumlah Kuadrat Klasifikasi Satu Arah k
n
k k n 2 2 ( y y ..) n y y ) ij i. .. ( yij yi. ) 2 i 1 j 1
i 1
(y
ij
k
i 1 j 1
n
[( y
=
[( y
=
( y
i 1 j 1 k
n
k
di mana 2
n
i.
i.
y.. ) ( yij y i. )] 2 y..) 2 2( y i. y.. )( y ij y i. ) ( y ij y i. ) 2 ]
n ( y ij yi. ) = yij j 1
j 1
k
y.. ) 2 + 2
n
i 1 j 1
ny i .
n
n
i 1 j 1
k
i.
y.. ) 2 = n
k
(y i 1
n
( y i 1 j 1
ij
i.
y.. )( y ij y i. ) +
j 1
n
y
j 1
y ij n
y.. ) 2 = n
i.
ij
=0
n
( y
( y
y.. )( y ij y i. ) = 0
n
Jadi
n
i.
i 1 j 1
( y i 1 j 1
i.
i 1 j 1 k
k
y.. ) 2 =
y.. ) 2 k
(y i 1
i.
y.. ) 2 +
k
n
( y i 1 j 1 k
Dan diperoleh JKT = Jumlah Kuadrat Total = k
JKK = Jumlah Kuadrat Kolom = n
i 1
k
JKG = Jumlah Kuadrat Galat =
(y
i.
n
( y i 1 j 1
ij
ij
n
y i. ) 2
( y i 1 j 1
y.. ) 2 y i. ) 2
i.
y.. ) 2
k
n
( y i 1 j 1
ij
y i. ) 2
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
171
Dengan demikian identitas jumlah kuadrat dinotasikan sebagai persamaan JKT = JKK + JKG
Rumus Operasional JKT =
k
n
y i 1 j 1
k
Rumus Operasional JKK =
y i 1
2 ij
2 i.
-
( y ij ) 2 nk
( y ij ) 2
n
nk
Rumus Operasional JKG = JKT – JKK
Tabel Klasifikasi Satu Arah Perlakuan
Jumlah
Ulangan 1 2
1 Y11 Y21
2 Y12 Y22
t Y1t Y21
Y.j Y.j
r Jumlah
Yri Yi .
Yr2 Yi.
Yrt Yi.
Y.j Yij
Kolom dalam hal ini menyatakan banyaknya perlakuan atau banyaknya rata-rata yang akan diuji.
Selanjutnya dibuat dalam tabel analisis ragam, yaitu: Sumber Keragaman Perlakuan
Derajat Bebas t -1
Jumlah Kuadrat JKP
Galat
t(r–1)
JKG
Kuadrat Tengah JKP dbPerlakuan JKG dbGalat
F hitung KTP KTG
F tabel 0,05 0,01 ....... .......
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Total
tr – 1
JKT
172
JKT dbtotal
9.4. Kriteria Pengujian f hitung > f tabel , 5 % maupun 1 %, maka H0 sangat ditolak ( sangat berbeda/ higly significant ) f hitung > f tabel , 5 % tapi < 1 %, maka H0 ditolak ( berbeda/ significant ) f hitung < f tabel , 5 % maupun 1 %, maka H0 diterima ( tidak berbeda/ non significant )
Contoh Dari 5 ( lima ) tablet sakit kepala yang diberikan kepada 25 dicatat berapa lama tablet-tablet itu dapat mengurangi rasa sakit. Ke 25 orang itu dibagi secara acak ke dalam 5 jenis tablet sakit kepala sebut saja tablet merk A, B, C, D dan E yang masing-masing diberi satu. Hasilnya reaksi pengobatan dicantumkan dalam tabel sebagai berikut: Orang 1 2 3 4 5 Jumlah
A 4 5 8 6 3 26
Tablet B C 9 3 7 5 8 2 6 3 9 7 39 20
D 2 3 4 1 4 14
E 7 6 9 4 7 33
25 26 31 20 30 132
Apakah ada pengaruh yang berarti atau tidak dari kelima tablet sakit kepala tersebut? Jawab H0: Secara rata-rata kelima jenis tablet mempunyai reaksi yang sama dalam mengurangi rasa sakit kepala. H1: Secara rata-rata kelima jenis tablet belum tentu mempunyai reaksi yang sama dalam mengurangi rasa sakit kepala. Atau dengan bahasa statistiknya H0 : µA = µB = µC = µD = µE H1 : H0 ditolak ( artinya salah satu ada yang tidak sama )
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
173
Selanjutnya hitung 1. FK =
( Yij ) 2 tr
2. JKT =
Yij -
3. JKP =
Y
2
2
i.
r
17424 (132) 2 = = 696,96 25 5 x5
=
( Yij ) 2 tr
( Yij ) 2 tr
= [ 4 2 + 52 +
...
+ 72 ] – 696,96 = 834 - 696,96 = 137,04
(26) 2 (39) 2 (20) 2 (14) 2 (33) 2 =[ ] – 696,96 = 776,40 – 696,96 = 5
79,44 4. JKG = JKT – JKP = 137,04 – 79,44 = 57,60 Selanjutnya disajikan dalam tabel
Tabel Analisis ragam Sumber Keragaman Perlakuan Galat Total
Derajat Bebas
Jumlah
Kuadrat
5–1=4 5(5–1) =20 5x5– 1 = 24
Kuadrat 79,44 57,60 137,04
Tengah 19,86 2,88
f hitung 6,90
**
f tabel 0,05 2,87
0,01 4,43
Kesimpulan Karena f hitung > f tabel baik 5 % ataupun 1 %, maka H0 sangat ditolak, berarti kelima jenis tablet sakit kepala memberikan reaksi yang sangat berbeda.
Bila dihitung melalui paket program hasilnya adalah General Linear Model: Respons versus Perlakuan Factor
Type Levels Values
Perlakuan fixed
5 A, B, C, D, E
One-way ANOVA: Respon versus Perlakuan Analysis of Variance for Respon Source DF SS MS
F
P
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Perlakuan Error Total
4 20 24
79.44 57.60 137.04
174
19.86 2.88
6.90
0.001
Pooled St Dev = 1.697 Kesimpulan Karena f hitung > f tabel baik 5 % ataupun 1 %, maka H0 ditolak, berarti kelima jenis tablet sakit kepala memberikan reaksi yang sangat berbeda. Perhatikan Terlihat hasil perhitungan secara manual dan hasil melalui paket program di atas adalah sama pada tabel analisis ragam dan pada tabel Analysis of Variance . Selanjutnya dilihat hasil ploting data tersebut sebgai berikut. Residual Plots for Treatmen Normal Probability Plot
Versus Fits
99
3,0 Residual
Percent
90 50
0,0 -1,5
10 1
1,5
-3,0 -4
-2
0 Residual
2
4
4
Versus Order
4,8
3,0
3,6
1,5
Residual
Frequency
Histogram
2,4
0,0 -1,5
1,2 0,0
6 Fitted Value
-3,0 -2,4
-1,2
0,0 1,2 Residual
2,4
2
Contoh lainnya Orang 1 2 3 4 5 Jumlah
A 4 5 8 6 3 26
B 9 7 8 6 30
Tablet C 3 5 2
D 2 3
E 7 6 9
10
5
22
25 26 21 12 3 93
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 Observation Order
8
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
175
Hasil Analisis Sumber Keragaman Perlakuan Galat Total
Derajat Bebas 4 12 16
Jumlah Kuadrat 58,602 29,633 88,235
Kuadrat Tengah 14,650 2,469
f hitung 5,93 **
0,05 3,26
f tabel 0,01 5,41
Kesimpulan Karena f hitung > f tabel baik 5 % ataupun 1 %, maka H0 ditolak, berarti kelima jenis tablet sakit kepala memberikan reaksi yang sangat berbeda. One-way ANOVA: Respon versus Perlakuan Source
DF
SS
MS
F
Perlakuan 4
58.60
14.65
Error
12
29.64
2.47
Total
16
88.24
5.93
P 0.007
S = 1.571 R-Sq = 66.42% R-Sq(adj) = 55.22% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled St-Dev Level N Mean St-Dev +---------+---------+---------+--------A 5 5.200 1.924 (-----*-----) B 4 7.500 1.291 (------*------) C 3 3.333 1.528 (-------*-------) D 2 2.500 0.707 (---------*---------) E 3 7.333 1.528 (-------*-------) +---------+---------+---------+--------0.0 2.5 5.0 7.5 Pooled St-Dev = 1.571
Kesimpulan Karena f hitung > f tabel baik 5 % ataupun 1 %, maka H0 sangat ditolak, berarti kelima jenis tablet sakit kepala memberikan reaksi yang sangat berbeda. Perhatikan diperoleh data sampel mengenai nilai hasil dari peserta LUAN SMA 2009 sebagai berikut: Pelajaran
1
2
Siswa 3
4
5
Eri Setiawan
Matematika B Indonesia B Inggris IPA IPS Pertanyaannya
Pengantar Statistika
61 72 67 70 75
67 75 69 73 74
68 70 72 74 76
65 77 71 72 80
176
68 70 73 74 76
a. Apakah ada perbedaan kemampuan dari kelima siswa tersebut. b. Apakah ada perbedaan tingkat kesulitan dari kelima pelajaran tersebut Jawab Sebelum menjawab hal tersebut akan diuji terlebih dahulu asumsi normalitas data dan homogenitas ragam data a. Uji Normalitas Data sebagai berikut: H0 : Data kemampuan siswa 1 adalah normal H1 : data kemampuan siswa 1 tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,165 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti kemampuan siswa 1 adalah normal. H0 : Data kemampuan siswa 1 adalah normal H1 : data kemampuan siswa 1 tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,165 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti kemampuan siswa 1 adalah normal.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
177
Uji Normalitas Data Siswa 1 Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
5.2 1.924 5 0.166 0.871
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
0
2
4
6
8
10
1
H0 : Data kemampuan siswa 2 adalah normal H1 : data kemampuan siswa 2 tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,289 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti kemampuan siswa 2 adalah normal.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
178
Uji Normalitas Data Siswa 2 Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
7.8 1.304 5 0.289 0.454
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
4
5
6
7
8
9
10
11
2
H0 : Data kemampuan siswa 3 adalah normal H1 : data kemampuan siswa 3 tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,334 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti kemampuan siswa 3 adalah normal.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
179
Uji Normalitas Data Siswa 3 Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
4 2 5 0.334 0.336
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
0
2
4
6
8
10
3
H0 : Data kemampuan siswa 4 adalah normal H1 : data kemampuan siswa 4 tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,289 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti kemampuan siswa 4 adalah normal.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
180
Uji Normalitas Data Siswa 4 Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
2.8 1.304 5 0.289 0.454
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
0
1
2
3
4
5
6
4
H0 : Data kemampuan siswa 5 adalah normal H1 : data kemampuan siswa 5 tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,245 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti kemampuan siswa 5 adalah normal. Z
(X
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
181
Uji Normalitas Data Siswa 5 Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
6.6 1.817 5 0.245 0.570
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5
H0 : Data tingkat kesulitan mata pelajaran Matematika adalah normal H1 : Data tingkat kesulitan mata pelajaran Matematika tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,449 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti data tingkat kesulitan mata pelajaran Matematika adalah normal
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
182
Uji Normalitas Data Nilai Ujian Matematika Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
65.8 2.950 5 0.449 0.150
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
60
62
64
66 Math
68
70
72
74
H0 : Data tingkat kesulitan mata pelajaran Bahasa Indonesia adalah normal H1 : Data tingkat kesulitan mata pelajaran bahasa Indonesia tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,325 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti data tingkat kesulitan mata pelajaran Bahasa Indonesia adalah normal
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
183
Uji Normalitas Data Nilai Ujian Bahasa Indonesia Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
72.8 3.114 5 0.325 0.356
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
65.0
67.5
70.0
72.5 B Ind
75.0
77.5
80.0
H0 : Data tingkat kesulitan mata pelajaran Bahasa Inggris adalah normal H1 : Data tingkat kesulitan mata pelajaran Bahasa Inggris tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,203 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti data tingkat kesulitan mata pelajaran Bahasa Inggris adalah normal
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
184
Uji Normalitas Data Nilai Ujian Bahasa Inggris Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
70.4 2.408 5 0.203 0.740
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
65.0
67.5
70.0 B Ing
72.5
75.0
77.5
H0 : Data tingkat kesulitan mata pelajaran IPA adalah normal H1 : Data tingkat kesulitan mata pelajaran IPA tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,336 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti data tingkat kesulitan mata pelajaran IPA adalah normal
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
185
Uji Normalitas Data Nilai Ujian IPA Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
72.6 1.673 5 0.336 0.331
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
IPA
H0 : Data tingkat kesulitan mata pelajaran IPS adalah normal H1 : Data tingkat kesulitan mata pelajaran IPS tidak normal. Taraf Nyata ( ) = 5 %
Z tabel = 1,96
Z hitung menurut Anderson Darling ( AD ) = 0,444 Kesimpulan : Karena Z hitung < Z tabel , maka H0 : diterima, berarti data tingkat kesulitan mata pelajaran IPS adalah normal
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
186
Uji Normalitas Data Nilai Ujian IPS Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
70
72
74
76 IPS
78
80
b. Uji Homogenitas Ragam H0 : Ragam kemampuan kelima siswa adalah homogen H1 : Ragam kemampuan kelima siswa tidak homogen Taraf Nyata ( ) = 5 %
2 tabel = 20,05 ( 20 ) = 31,410
Descriptive Statistics: Math, B Ind, B Ing, IPA, IPS Variable N Mean StDev Variance Math
5 65.80 2.95
8.70
B Ind
5 72.80 3.11
9.70
B Ing
5 72.00 3.16
10.00
IPA
5 73.00 5.79
33.50
IPS
5 76.20 2.28
5.20
82
76.2 2.280 5 0.444 0.157
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
db 1 2 3 4 5
1 db
4 4 4 4 4 20
2
Sp
Si
2
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Log S i
8,70 9.70 10,00 33,50 5,20
187 2
(db) Log S i
0,939 0,987 1,000 1,525 0,716
2
3,756 3,948 4,000 6,100 2,864 20,668
4(8,7) 4(9,7) 4(10,0) 4(33,5) 4(5,2) 20 = 13,42
Log Sp 2 = Log 13,42 = 1,128 B = ( Log Sp 2) ( ni – 1) = ( 1,128 ) (20 ) = 22,56
Bartlett (ln 10){B (ni 1) log S p } = 2,3026{22,56 – 20,668}= 4,356 2
2
Kesimpulan Karena 2 hitung < 2 tabel, maka H0 diterima, berarti kelima ragam adalah homogen. H0 : Ragam kelima mata pelajaran adalah homogen H1 : Ragam kelima mata pelajaran tidak homogen Taraf Nyata ( ) = 5 %
2 tabel = 20,05 ( 20 ) = 31,410
Descriptive Statistics: Siswa 1, Siswa 2, Siswa 3, Siswa 4, Siswa 5 Variable N Mean StDev Variance Siswa 1 5 69.00 5.34
28.50
Siswa 2 5 71.60 3.44
11.80
Siswa 3 5 72.00 3.16
10.00
Siswa 4 5 73.00 5.79
33.50
Siswa 5 5 72.20 3.19
10.20
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
derajat bebas ( db ) 4 4 4 4 4 20
1 2 3 4 5
2
Sp
1 db
Si
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
28,50 11,80 10,00 33,50 10,20
2
Log S i
188 2
(db) Log S i
1,455 1,072 1,000 1,525 1,009
2
5,820 4,288 4,000 6,100 4,036 24,244
4( 28,5) 4(11,8) 4(10,0) 4(33,5) 4(10,2) 20 = 18,80
Log Sp 2 = Log 18,80 = 1,274 B = ( Log Sp 2) ( ni – 1) = ( 1,274 ) (20 ) = 25,48
Bartlett (ln 10){B (ni 1) log S p } = 2,3026{25,48 – 24,244}= 2,846 2
2
Kesimpulan Karena 2 hitung < 2 tabel, maka H0 diterima, berarti ragam kelima mata pelajaran adalah homogen. Selanjutnya di dihitung analisis ragam sebagai berikut: FK =
( Yij ) 2 tr
=
JK Total = JKT =
(1789) 2 = 128 020,84 25
Y
JK Siswa = JK S =
2
- FK = 128 443 – 128 020,84 = 442,16
ij
Y
JK Pelajaran = JK P =
i.
t
2
- FK = 128 067 – 128 020,84 = 46,16
Y
.j
r
2
- FK = 128 314,20 – 128 020,84 = 293,36
JK Galat = JKG = JKT – JKS –JKP = 442,16– 46,16 – 293,36 = 102,64
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
189
Tabel Analisis Ragam Sumber
Derajat
Jumlah
Kuadrat
f hitung
Keragaman Siswa Pelajaran Galat Total
Bebas 4 4 16 24
Kuadrat 46,16 293,36 82,64 442,16
Tengah 11,540 73,340 5,160
2,23 tn 14,21 *
F tabel 0,05 3,01 3,01
0,01 4,77 4,77
Bila dikerjakan dengan bantuan paket program diperoleh: General Linear Model: Nilai versus Siswa; Pelajaran Factor
Type
Levels
Values
Siswa
random
5
1; 2; 3; 4; 5
Pelajaran
fixed
5
B Indonesia; B Inggris; IPA; IPS; Matematika
Analysis of Variance for Nilai, using Adjusted SS for Tests Source
DF
Seq SS
Adj SS
Adj MS
F
P
Siswa
4
46,160
46,160
11,540
2,23
0,111
Pelajaran
4
293,360
293,360
73,340
14,20
0,000
Error
16
82,640
82,640
5,165
Total
24
422,160
S = 2,27266
R-Sq = 80,42%
R-Sq(adj) = 70,64%
Perhatikan Terlihat hasil secara manual dan hasil melalui paket program adalah sama pada tabel analisis ragam dan pada tabel Analysis of Variance dari paket program. Selanjutnya dilihat hasil ploting data tersebut sebgai berikut.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
190
Residual Plots for Nilai Versus Fits 4
90
2 Residual
Percent
Normal Probability Plot 99
50 10 1
0 -2 -4
-5,0
-2,5
0,0 Residual
2,5
5,0
65
70 Fitted Value
Histogram
Versus Order 4 2
3,6
Residual
Frequency
4,8
2,4 1,2 0,0
75
0 -2 -4
-4
-2 0 Residual
2
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 Observation Order
Test for Equal Variances: Respon versus Perlakuan 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Perlakuan
N
Lower
StDev
Upper
A
5
0.997970
1.92354
8.456
B
4
0.624071
1.29099
8.349
C
3
0.663620
1.52753
21.575
D
2
0.251905
0.70711
112.837
E
3
0.663620
1.52753
21.575
Bartlett's Test (Normal Distribution) Test statistic = 1.15, p-value = 0.887 Levene's Test (Any Continuous Distribution) Test statistic = 0.37, p-value = 0.829
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
191
Uji Homogenitas Ragam Bartlett's Test
A
Test Statistic P-Value
1.15 0.887
Levene's Test Test Statistic P-Value
Perlakuan
B
C
D
E 0
20 40 60 80 100 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
120
Kesimpulan : H0 diterima, berarti kelima ragam adalah homogen. Selanjutnya analisis ragam FK =
( Yij ) 2 tr
=
JK Total = JKT =
(1789) 2 = 128 020,84 25
Y
2
- FK = 128 443 – 128 020,84 = 442,16
ij
JK Siswa = JK S =
Y
JK Pelajaran = JK P =
i.
t
2
- FK = 128 067 – 128 020,84 = 46,16
Y
.j
r
2
- FK = 128 314,20 – 128 020,84 = 293,36
JK Galat = JKG = JKT – JKS –JKP = 442,16– 46,16 – 293,36 = 102,64 Sumber
Derajat
Jumlah
Keragaman Siswa Pelajaran Galat Total
Bebas
Kuadrat Tengah 46,16 11,540 2,23 tn 293,36 73,340 14,20 ** 82,64 5,160 442,16
Kesimpulan :
4 4 16 24
Kuadrat
f hitung
f tabel 0,05 3,01 3,01
0,01 4,77 4,77
0.37 0.829
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
192
a. Karena f hitung < f tabel , maka H0 diterima, berarti tidak terdapat perbedaan kemampuan yang berarti dari kelima siswa adalah sama. b.
Karena f hitung > f tabel , maka H0 ditolak, berarti terdapat perbedaan yang berarti tingkat kesulitan dari kelima mata pelajaran tersebut.
Bila dikerjakan dengan bantuan paket program diperoleh: General Linear Model: Nilai versus Siswa; Pelajaran Factor
Type
Levels
Values
Siswa
random
5
1; 2; 3; 4; 5
Pelajaran
fixed
5
B Indonesia; B Inggris; IPA; IPS; Matematika
Analysis of Variance for Nilai, using Adjusted SS for Tests Source
DF
Seq SS
Adj SS
Adj MS
F
P
Siswa
4
46,160
46,160
11,540
2,23
0,111
Pelajaran
4
293,360
293,360
73,340
14,20
0,000
Error
16
82,640
82,640
5,165
Total
24
422,160
S = 2,27266
R-Sq = 80,42%
R-Sq(adj) = 70,64%
Perhatikan Terlihat hasil secara manual dan hasil melalui paket program adalah sama pada tabel analisis ragam dan pada tabel Analysis of Variance dari paket program. Selanjutnya dilihat hasil ploting data tersebut sebgai berikut.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
193
Residual Plots for Nilai Versus Fits 4
90
2 Residual
Percent
Normal Probability Plot 99
50 10 1
0 -2 -4
-5,0
-2,5
0,0 Residual
2,5
5,0
65
70 Fitted Value
Histogram
Versus Order 4 2
3,6
Residual
Frequency
4,8
2,4 1,2 0,0
75
0 -2 -4
-4
-2 0 Residual
2
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 Observation Order
One-way ANOVA: Nilai versus Pelajaran Source
DF
SS
MS
F
P
4
293.36
73.34
11.39
0.000
Error
20
128.80
6.44
Total
24
422.16
Pelajaran
S = 2.538
R-Sq = 69.49%
R-Sq(adj) = 63.39%
Level
N
Mean
StDev
B Indonesia
5
72.800
3.114
B Inggris
5
70.400
2.408
IPA
5
72.600
1.673
IPS
5
76.200
2.280
Matematika
5
65.800
2.950
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
194
Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level
-+---------+---------+---------+--------
B Indonesia
(-----*-----)
B Inggris
(-----*-----)
IPA
(----*-----)
IPS
(-----*----)
Matematika
(----*-----) -+---------+---------+---------+-------64.0
68.0
72.0
76.0
Pooled StDev = 2.538 Hsu's MCB (Multiple Comparisons with the Best) Family error rate = 0.05 Critical value = 2.30 Intervals for level mean minus largest of other level means Level Lower
Center Upper
---+---------+---------+---------+------
B Indonesia -7.099
-3.400 0.299
(-----*-----)
B Inggris
-9.499
-5.800 0.000
(-----*---------)
IPA
-7.299
-3.600 0.099
(-----*-----)
IPS
-0.299
3.400 7.099
Matematika -14.099 -10.400
(-----*-----)
0.000
(-----*----------------)
---+---------+---------+---------+------12.0
-6.0
One-way ANOVA: Nilai versus Siswa Source
DF
SS
MS
F
P
Siswa
4
46.2
11.5
0.61
0.658
Error
20
376.0
18.8
Total
24
422.2
S = 4.336
R-Sq = 10.93%
R-Sq(adj) = 0.00%
0.0
6.0
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
195
Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level
N
Mean
StDev
----+---------+---------+---------+-----
1
5
69.000
5.339
(----------*-----------)
2
5
71.600
3.435
3
5
72.000
3.162
4
5
73.000
5.788
5
5
72.200
3.194
(-----------*----------) (-----------*----------) (-----------*----------) (----------*-----------) ----+---------+---------+---------+----66.5
70.0
73.5
77.0
Pooled StDev = 4.336 Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals All Pairwise Comparisons among Levels of Siswa Individual confidence level = 99.28% Siswa = 1 subtracted from: Siswa
Lower Center
Upper
------+---------+---------+---------+---
2
-5.602
2.600
10.802
(------------*-------------)
3
-5.202
3.000
11.202
(-------------*-------------)
4
-4.202
4.000
12.202
5
-5.002
3.200
11.402
(-------------*------------) (------------*-------------) ------+---------+---------+---------+---6.0
0.0
6.0
12.0
Siswa = 2 subtracted from: Siswa
Lower Center Upper
3
-7.802
0.400
8.602
4
-6.802
1.400
9.602
5
-7.602
0.600
8.802
------+---------+---------+---------+--(-------------*------------) (------------*-------------) (-------------*-------------) ------+---------+---------+---------+---6.0
0.0
6.0
12.0
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
196
Siswa = 3 subtracted from: Siswa
Lower Center Upper
4
-7.202
1.000
9.202
5
-8.002
0.200
8.402
------+---------+---------+---------+--(-------------*------------) (------------*-------------) ------+---------+---------+---------+---6.0
0.0
6.0
12.0
Siswa = 4 subtracted from: Siswa
Lower Center Upper
5
-9.002
-0.800
------+---------+---------+---------+---
7.402
(-------------*------------)
------+---------+---------+---------+---6.0
0.0
6.0
Residual Plots for Nilai Versus Fits 4
90
2 Residual
Percent
Normal Probability Plot 99
50 10 1
0 -2 -4
-5,0
-2,5
0,0 Residual
2,5
5,0
65
70 Fitted Value
Histogram
Versus Order 4 2
3,6
Residual
Frequency
4,8
2,4 1,2 0,0
75
0 -2 -4
-4
-2 0 Residual
2
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 Observation Order
12.0
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
197
X. Analisis Regresi dan Korelasi 10.1. Pendahuluan Analisis statistika bertujuan untuk mengetahui apakah ada hubungan antara dua atau lebih peubah. Bila hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matematik, maka akan dapat menggunakannya untuk keperluan peramalan. Regresi berasal dari kata regress artinya cenderung, pengertian regresi berarti kecenderungan mendekati. Jadi kecenderungan pola hubungan peubah secara fungsional merupakan suatu garis lurus atau tidak. Analisis Regresi merupakan hubungan fungsional antara dua atau lebih peubah sedangkan Analisis Korelasi merupakan hubungan keeratan antara dua atau lebih peubah. Suatu fungsi ditulis Y f ( X ) . Hubungan funsional tersebut ditulis Y X dalam hal ini Y merupakan peubah tak bebas ( terikat/dependent ) dan X merupakan peubah bebas ( independent ). Sehingga hubungan tersebut dapat ditulis menjadi Y X
10.2 Jenis Regresi Regresi terdiri dari regresi linear dan non linear. a.1. Regresi Linear berarti garisnya merupakan garis lurus. Regresi Linear terdiri dari Regresi Linear Sederhana artinya hubungan garis lurus dengan satu peubah bebas. a.2. Regresi Linear Berganda artinya hubungan garis lurus dengan lebih dari satu peubah bebas b. Regresi Non Linear berarti garisnya bukan merupakan garis lurus, mungkin b.1. Regresi Kuadratik Y a bX cX 2 b.2. Regresi Kubik Y a bX cX 2 + dX3 b.3. Regresi Geometrik Y aX b . b.4. Regresi Eksponensial Y ab x
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
b.5. Regresi Logistik Y =
198
1 ab x c
10.3. Regresi Linear Sederhana Persamaan garis
Y X
dalam operasionalnya diduga melalui sampel menjadi y a bx
dengan a = koefisien titik potong dan b = koefisien regresi. Selanjutnya dengan metode kuadrat terkecil ( Ordinary Least Squares ) diperoleh persamaan untu koefisien: b=
n X i Yi ( X i )( Yi ) n X i ( X i ) 2
2
dan
a = y bx dengan x
X n
i
dan y
Contoh 1. Perhatikan data sebagai berikut: X
1
2
3
4
5
6
Y
6
4
3
5
4
2
Buatlah persamaan garis regresi linear sederhana. Jawab X
Y
1 2 3 4 5 6 21
X x
6 8 9 20 20 12 75 i
n
n
x
21 3,5 6
Sx =
Sx
b
6 4 3 5 4 2 24
Y y
i
2
X2
XY
=
y
3,5
Y2 1 4 9 16 25 36 91
36 16 9 25 16 4 106
n X i ( X i ) 2 2
2
Sx =
24 4,0 6
Sx2 =
= 1,871
Sy =
n(n 1)
Sy =
6(91) ( 21) 2 = 3,5 6(6 1) Sy
2
=
2,0
= 1,414
6(75) ( 21)(24) 450 504 54 = = = - 0,514 6(91) ( 21) 2 546 441 105
a = 4.0 – ( - 0,514 ) ( 3,5 ) = 4 + 1,8 = 5,8
n Yi ( Yi ) 2 2
2
Sy2 =
n(n 1)
6(106) ( 24) 2 = 2,0 6(6 1)
Y
i
n
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Jadi persamaan garis regresi linear sederhana adalah
y 5,8
199
– 0,514 x
Jika dikerjakan dengan paket program hasilnya, sebagai berikut: Regression Analysis: Volume versus Harga The regression equation is Volume = 5.80 - 0.514 Harga Predictor Constant Harga
Coef 5.800 -0.514
S = 1.15882
SE Coef 1.079 0.277
R-Sq = 46.3%
T 5.38 -1.86
P 0.006 0.137
R-Sq(adj) = 32.9%
r = - 0,68
Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total
DF 1 4 5
SS 4.629 5.371 10.000
MS 4.629 1.343
F 3.45
P 0.137
Jika data tersebut kita plot, maka hasilnya sebagai berikut: Fitted Line Plot Y = 5,800 - 0,5143 X S R-Sq R-Sq(adj)
6
Y
5
4
3
2 1
2
3
4 X
5
6
1,15882 46,3% 32,9%
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
200
Normal Probability Plot (response is Y) 99
95 90
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
-3
-2
-1
0 Residual
1
2
3
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
201
Jadi persamaan garis regresi yang kita duga tidak pas dengan data yang kita punya, artinya ada penyimpangan atau keragaman dalam pembuatan garis regresi.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
202
10.3.1 Keragaman Sehubungan dengan Regresi Linear Sederhana 2 2 2 a. Ragam Galat ( atau y .x ) akan diduga melalui Se2 = S y .x =
b. Ragam Koefisien Regresi ( ) akan diduga melalui Sb2 = 2
S y.x
(X
i
( n 1) [ Sy2 – b2 Sx2 ] ( n 2)
2
X )2
2 2 c. Ragam Koefisien Titik Potong ( ) akan diduga melalui Sa2 = S y .x {
1 n
x2 } (X i X )2
Hasil perhitungan dengan data di atas diperoleh : 2 a. S y .x =
=
( n 1) [ Sy2 – b2 Sx2 ] ( n 2)
(6 1) 5 [ 2 – ( - 0,514)2 ( 3,5 ) ] = [ 2 – 0,925 ] = 1,343 ( 6 2) 4
Untuk menghitung b, cari dulu nilai Sx2 =
2
b. Sb =
(X
i
X )2
n 1
S y.x
2
(X
dan diperoleh
i
X ) 2 melalui rumus ragam lainnya, yaitu :
(X
i
X ) 2 = ( n – 1 ) Sx2 = ( 6 – 1 ) 3,5 = 17,5
1.343
= = 0,077 (X i X ) 17,5
2 c. Sa2 = S y .x {
kalau ditanya Sb =
2
1 n
kalau ditanya Sa =
0,077
= 0,277
x2 1 (3,5) 2 } = 1,343 { } = 1,343 ( 0,167 + 0,7 ) = 1,164 6 17,5 (X i X )2 1,164
= 1,079
10.3.2 Pendugaan Sehubungan dengan Regresi Linear Sederhana a. Menduga Ragam Galat ( ) dengan P[ 2
( n 2) S y . x
/ 2 2
2
2
( n 2) S y . x
1 / 2 2
2
]=1–α
2 b. Menduga Ragam Koefisien Regresi dengan P[ b – t α/2 Sb ≤ β ≤ b + t α/2 Sb ] = 1 - α
c. Menduga Ragam Koefisien Regresi dengan P[ a – t α/2 Sa ≤ α ≤ a + t α/2 Sa ] = 1 - α 2
Untuk soal di atas tadi dengan 1 – α = 0,95, maka
Eri Setiawan
a.
P[
P[
Pengantar Statistika
(n 2) S y. x
/ 2 2
2
y .x 2
(n 2) S y. x
203
2
1 / 2 2
]=1–α
(6 2)1,343 (6 2)1,343 2 ≤ y .x ≤ ] = 0,95 11,143 0,484
P( 0,482 ≤ ≤ 11,099 ) = 0,95 2
b. P[ b – t α/2 Sb ≤ β ≤ b + t α/2 Sb ] = 1 – α P[ - 0,514 – (2,776)(0,277) ≤ β ≤ - 0,514 + (2,776)(0,277) ] = 0,95 P( - 1,283 ≤ β ≤ 0,255 ) = 0,95 c. P[ a – t α/2 Sa ≤ α ≤ a + t α/2 Sa ] = 1 – α P[ 5,8 – (2,776)(1,079) ≤ α ≤ 5,8 + (2,776)(1,079) ] = 0,95 P( 2,805 ≤ α ≤ 8,795 ) = 0,95
10.3.3. Pengujian Hipotesis Sehubungan dengan Regresi Linear Sederhana H0 : Garis regresi linear sederhana H1 : Garis regresi tidak linear sederhana Prosedur Pengujian a. Hitung FK = b. Hitung JKT =
( Yi ) 2 n
Y
i
2
( Yi ) 2 n
c. Hitung JKR = Jumlah Kuadrat Regresi = b
d. Hitung JKG = JKT – JKR
Tabel Analisis Ragam
X Y i
i
( X i )( Yi ) n
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Sumber Keragama n
204
Derajat Jumlah
Kuadrat
Bebas
Tengah
Kuadrat
Regresi
Galat
n–2
Total
i
1
i
( X i )( Yi ) n
Sy.x2 =
(Yi Y ) 2
Y
2
i
n–1
0,05
S galat
X Y
f tabel
S regresi
B
f hitung
n2 ( Yi ) 2
JKR dbR
0,01
2
2
=
KTR KTG
JKG dbG
n
Untuk contoh soal di atas adalah: FK =
( Yi ) 2
JKT =
Y
=
n
i
JKR = b
2
( Yi ) 2
n
X Y i
( 24) 2 = 96 6
i
= 106 – 96 = 10
( X i )( Yi )
( 21)(24) = 4,626 = ( - 0,514 ) (75) 6
n
JKG = JKT – JKR = 10 – 4,626 = 5,374 Selanjutnya disajikan dalam Tabel Analisis Ragam Sumber Keragaman Regresi Galat Total
Derajat Bebas 1 6–2=4 6–1=5
Jumlah Kuadrat f hitung Kuadrat Tengah 4,626 4,626 3,45 tn 5,374 1,343 10,000
f table 0,05 0,01 7,71 21,20
Karena f hitung < f tabel , maka hipotesis diterima Kesimpulan : berarti garis regresi linear sederhana Perhatikan hasil perhitungan menggunakan alat bantu ( program komputer paket Minitab )
Regression Analysis: Y versus X
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
205
The regression equation is Y
= 5,80 - 0,514 X
Predictor
Coef
SE Coef
Constant
5,800
1,079
X
-0,5143
S = 1,15882
T
0,2770
R-Sq = 46,3%
P
5,38
0,006
-1,86
0,137
R-Sq(adj) = 32,9%
Analysis of Variance Source
DF
SS
MS
Regression
1
4,629
4,629
Residual Error
4
5,371
1,343
Total
5
10,000
F
P
3,45
0,137
Trend Analysis Plot for Y Linear Trend Model Yt = 5.80 - 0.514286* t Variable Actual Fits
6
Accuracy Measures MAPE 25.5397 MAD 0.9143 MSD 0.8952
Y
5
4
3
2 1
2
3
4 Index
5
6
Eri Setiawan
Data X 1 2 3 4 5 6
Data Y 6 4 3 5 4 3
206
Persamaan Regresi
Gambar
Y1 = 5.47 - 0.371 X1
b0 = + ( positif ) b1 = - ( negatif )
Fitted Line Plot Y1 = 5.467 - 0.3714 X1 S R-Sq R-Sq(adj)
6.0
1.05108 35.3% 19.2%
5.5 5.0 Y1
No 1
Pengantar Statistika
4.5 4.0 3.5 3.0 1
2
3
4
5
6
X1
1 2 3 4 5 6
4 4 5 6 7 7
Y2 = 3.00 + 0.714 X2
b0 = + ( positif ) b1 = + ( positif )
Fitted Line Plot Y2 = 3.000 + 0.7143 X2 7.5
S R-Sq R-Sq(adj)
7.0
0.377964 94.0% 92.5%
6.5 6.0 Y2
2
5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 1
2
3
4
5
6
X2
5
4.
1 2 3 4 5 6
4 7 5 3 6 5
1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 7 8
Y3 = 10.0 - 1.00 X3
b0 = + ( positif ) b1 = - ( negatif )
Fitted Line Plot Y3 = 10.00 - 1.000 X3 9
S R-Sq R-Sq(adj)
0 100.0% 100.0%
S R-Sq R-Sq(adj)
1.58114 0.0% 0.0%
8
7 Y3
9 8 7 6 5 4
6
5
4 1
2
3
4
5
6
X3
Fitted Line Plot Y4 = 5.000 + 0.0000 X4
Y4 = 5.00 + 0.000 X4
b0 = + ( positif ) b1 = 0
7
6
Y4
4
1 2 3 4 5 6
5
4
3 1
2
3
4
5
6
X4
Fitted Line Plot Y5 = 2.000 + 1.000 X5
Y5 = 2.00 + 1.00 X5
b0 = + ( positif ) b1 = + ( positif )
S R-Sq R-Sq(adj)
8
0 100.0% 100.0%
7 6 Y5
3
5 4 3 1
2
3
4
5
6
X5
Suatu penelitian ingin mengukur banyaknya volume penjualan ( dalam unit ) pada berbagai waktu jual ( dalam minggu ) , datanya sebagai berikut : Waktu Jual ( x ) Volume Penjualan ( y )
11 14
12 13 14 15 16 17 15 16 16 17 18 18
18 19 20 19 20 22
a. Tentukan persamaan garis regresi linear sederhana ? hitungan sampai 3 desimal 2 2 2 b. Hitunglah keragaman untuk S y .x , S b1 dan S b 0 c. Jika waktu jual pada minggu ke-25 , berapa prakiraan ( ramalan ) volume penjualan ( yˆ )
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
207
4. Diketahui data Y XY X2 14 154 121 15 180 144 16 208 169 16 224 196 17 255 225 18 288 256 18 306 289 19 342 324 20 380 361 22 440 400 175 2777 2485
X 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 155
X
i
Y
= 155
X x
Y y
i
Sx =
Sx
2
=
b1
i
2 x
S =
n
175 17,5 10
X Y
X
= 2777
i
2 i
n X i ( X i ) 2
= 2485
Y = 3115
2
i
n
y
= 175
i
Y2 196 225 256 256 289 324 324 361 400 484 3115
n(n 1)
2
i
n Yi ( Yi ) 2 2
2
Sy =
n(n 1)
x
155 15,5 10
10(92485) (155) 2 10(3115) (175) 2 2 S = = 9,167 Sy = = 5,833 10(10 1) 10(10 1) 2 x
9,167
= 3,028
Sy =
Sy
2
=
5,833
= 2,415
10( 2777) (155)(175) 27770 27125 645 = = = 0,782 10( 2485) (155) 2 24850 24025 825
b0 = 17,5 – ( 0,782 ) ( 15,5 ) = 17,5 - 12,121 = 5,379 a. Jadi persamaan garis regresi linear sederhana adalah y 5,379 + 0,782 X
2 b.1. S y .x =
( n 1) [ Sy2 – b2 Sx2 ] ( n 2)
(10 1) 9 [ 5,833 – ( 0,782)2 ( 9,167 ) ] = [ 5,833 – 5,606 ] = 0,227 (10 2) 8
=
Untuk menghitung b, cari dulu nilai Sx2 =
(X
b.2. S
i
X )2
n 1
2 b1
=
dan diperoleh
S y. x
2
(X
(X
0,277
i
i
X ) 2 melalui rumus ragam lainnya, yaitu :
X ) 2 = ( n – 1 ) Sx2 = ( 10 – 1 ) 9,167 = 82,503
= = 0,003 (X i X ) 82,503
2 b,3,. Sbo2 = S y .x {
kalau ditanya Sbo =
2
1 n
kalau ditanya Sb1 =
0,003
= 0,058
x2 1 (15,5) 2 } = 0,277 { } = 0,277 ( 0,1 + 2,912 ) = 0,834 10 82,503 ( X i X )2 0,834
= 0,913
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
208
10.4. Analisis Korelasi Analisis Korelasi merupakan hubungan keeratan antara dua atau lebih peubah, koefisien korelasi ditulis dengan notasi r dan persamaannya sebagai berikut:
n XiYi ( Xi)(Yi) r =
{n Xi ( X ) }{nY (Y ) } 2
2 2 2 i i
besarnya nilai r antara -1 ≤ r ≤ 1, sedangkan bila r dikuadratkan atau r 2 atau R2 merupakan koefisien determinasi yang berarti kemampuan mendeteksi Y ( peubah respon ) oleh X ( peubah bebas ) yang dinyatakan dalam persen. Hubungan antara Regresi dengan Korelasi dinyatakan dalam bentuk
r=
bS x dengan Sy
r = koefisien korelasi, b= koefisien regresi, Sx=simpangan baku data X dan Sy =simpangan baku data Y.atau dapat diturunkan dari JKG = Jumlah Kuadrat Galat = ( n – 1 ) ( s y2 – b2 sx2 ) , sehingga diperoleh r2 1
JKG 2 ( n 1) s y
Untuk contoh soal Diketahui data sebagai berikut: X
Y 1 2 3 4
6 4 3 5
XY 6 8 9 20
X2 1 4 9 16
Y2 36 16 9 25
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
5 6 21
4 2 24
209
20 25 16 12 36 4 75 91 106
n XiYi ( Xi)(Yi) r =
6(75) (21)(24)
=
{6(91) ( 21) 2 }{6(106) ( 24) 2 }
{n Xi ( X ) }{nY (Y ) } 2
= - 0,68
2 2 2 i i
bS x Sy
atau r =
Coba perhatikan hubungan r =
bS x Sy
- 0,68 =
0,514(1,871) benar adanya. 1,414
Apabila dihitung nilai r2 = ( - 0,68 )2 = 0,4623 R2 atau r2 disebut koefisien determinasi Dari mana nilai-nilai tersebut? Bila dengan paket program diperoleh hasil sebagai berikut: Descriptive Statistics: X; Y Variable N
Mean
St-Dev
Variance
X
6
3,500
1,871
3,500
Y
6
4,000
1,414
2,000
Regression Analysis: Y versus X The regression equation is Y = 5,80 - 0,514 X Descriptive Statistics: X; Y
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Variable
N
Mean
St Dev
Variance
X
6
3,500
1,871
3,500
Y
6
4,000
1,414
2,000
Constant
5,800
1,079
5,38
0,006
-0,5143 0,277
-1,86
0,137
X
S = 1,15882 R-Sq = 46,3% R-Sq(adj) = 32,9% r = - 0,6804
Analysis of Variance Source
DF
SS
MS
F
3,45 0,137
Regression
1
4,629
4,629
Residual Error
4
5,371
1,343
Total
5
10,000
Descriptive Statistics: X; Y Variable N
Mean
St Dev
Variance
X
6
3,500
1,871
3,500
Y
6
4,000
1,414
2,000
P
210
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
211
Eri Setiawan
X1 1 2 3 4 5 6
Pengantar Statistika
Y1 6 4 3 5 4 3
X2 1 2 3 4 5 6
Y2 4 4 5 6 7 7
X3 1 2 3 4 5 6
212
Y3 9 8 7 7 6 5
X4 1 2 3 4 5 6
Y4 4 7 5 3 6 5
S = 1.05108
R-Sq =
35.3%
R-Sq(adj) =
19.2%
S = 0.377964
R-Sq =
94.0%
R-Sq(adj) =
92.5%
S = 0
R-Sq = 100.0%
R-Sq(adj) = 100.0%
S = 1.58114
R-Sq =
R-Sq(adj) =
S = 0
R-Sq = 100.0%
No 1
Data X
1 2 3 4 5 6 2 1 2 3 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6 4 1 2 3 4 5 6 5 1 2 3 4 5 6 Contoh lainnya
Data Y 6 4 3 5 4 3 4 4 5 6 7 7 9 8 7 6 5 4 4 7 5 3 6 5 3 4 5 6 7 8
0.0%
Koefisien Korelasi r = – 0,594
r = 0,97
X5 1 2 3 4 5 6
Y5 3 4 5 6 7 8
0.0%
R-Sq(adj) = 100.0% Makna
Intepretasi
Hubungan kurang dan negatif
Jika X naik, maka Y menurun
Hubungan sangat kuat dan positif
Jika X naik, maka Y naik
r = - 1,00
Hubungan sangat kuat dan negatif
Jika X naik, maka Y menurun atau Jika X turun, maka Y naik.
r=0
Hubungan tidak ada
Tidak ada hubungan dengan X naik atau turun.
r = 1,00
Hubungan sangat kuat dan positif
Jika X naik, maka Y naik
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Data Skor tes intelegensia dan Nilai Quis Statistika Mahasiswa Skor Nilai 65
85
50
74
55
76
65
90
55
85
70
87
65
94
70
98
55
81
70
91
50
76
55
74
Correlations: X; Y Pearson correlation of X and Y = 0,862 P-Value = 0,000 r2 = 0,744
r = 0,862 Hasilnya analisisnya X 65 50 55 65 55 70 65 70 55 70 50 55 725
Y 85 74 76 90 85 87 94 98 81 91 76 74 1 011
XY 5 525 3 700 4 180 5 850 4 675 6 090 6 110 6 860 4 455 6 370 3 800 4 070 61 685
X2 4 225 2 500 3 025 4 225 3 025 4 900 4 225 4 900 3 025 4 900 2 500 3 025 44 475
Y2 7 225 5 476 5 776 8 100 7 225 7 569 8 836 9 604 6 561 8 281 5 776 5 476 85 905
213
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
n XiYi ( Xi)(Yi)
r=
=
{n Xi ( X ) }{nY (Y ) } 2
214
11(61685) (725)(1011) {11( 44475) (725) 2 }{11(85905) (1011) 2 }
2 2 2 i i
= 0,862 Selanjutnya r2 = ( 0,862 )2 = 0,744 Fitted Line Plot NILAI = 30.04 + 0.8972 SKOR 100
S R-Sq R-Sq(adj)
95
NILAI
90
85 80
75 50
55
60 SKOR
65
70
4.31923 74.4% 71.8%
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
215
Normal Probability Plot (response is NILAI) 99
95 90
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
-3
-2
-1 0 1 Standardized Residual
2
3
Versus Order (response is NILAI) 1.5
Standardized Residual
1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 1
2
3
4
5 6 7 8 Observation Order
9
10
11
12
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
216
Versus Fits (response is NILAI) 1.5
Standardized Residual
1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 75
80
85 Fitted Value
90
95
Dan analisis data diperoleh: Histogram of SKOR 4
Frequency
3
2
1
0
50
55
60 SKOR
65
70
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
217
Histogram of NILAI 4
Frequency
3
2
1
0
75
80
85
90
95
100
NILAI
Histogram (with Normal Curve) of SKOR Mean 60,42 StDev 7,821 N 12
4
Frequency
3
2
1
0
45
50
55
60 SKOR
65
70
75
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
218
Histogram (with Normal Curve) of NILAI Mean 84,25 StDev 8,137 N 12
4
Frequency
3
2
1
0
65
70
75
80
85 NILAI
90
Boxplot of SKOR 70
SKOR
65
60
55
50
95
100
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
219
Boxplot of NILAI 100
95
NILAI
90
85
80
75
Regression Analysis: Nilai versus Skor The regression equation is Nilai = 30,0 + 0,897 Skor Predictor
Coef
Constant
30,04
Skor
SE Coef 10,14
0,8972
S = 4,31923
T 2,96
0,014
5,39
0,000
0,1665
R-Sq = 74,4%
P
R-Sq(adj) = 71,8%
Analysis of Variance Source Regression
DF
SS
MS
1
541,69
541,69
Residual Error
10
186,56
18,66
Total
11
728,25
F 29,04
P 0,000
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
220
Gambar Persamaan Garis Regresi Fitted Line Plot NILAI = 30,04 + 0,8972 SKOR 100
S R-Sq R-Sq(adj)
4,31923 74,4% 71,8%
95
NILAI
90
85 80
75 50
55
60 SKOR
65
70
Residual Plots for Y Normal Probability Plot
Versus Fits
99 5,0 Residual
Percent
90 50 10 1
2,5 0,0 -2,5 -5,0
-10
-5
0 Residual
5
10
75
80
Histogram
90
95
Versus Order
3
5,0
2
Residual
Frequency
85 Fitted Value
1
2,5 0,0 -2,5 -5,0
0
-5,0
Soal Latihan
-2,5
0,0 Residual
2,5
5,0
1
2
3
4 5 6 7 8 9 Observation Order
10 11 12
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
221
1. Suatu penelitian ingin mengukur banyaknya gula yang terbentuk pada berbagai suhu, Suhu (x) Gula yang terbentuk (y)
7,0 7,1 8,1 8,3
7,2 8,5
7,3 8,6
7,4 8,8
7,5 8,9
7,6 9,0
7,7 9,2
7,8 9,3
7,9 9,4
8,0 9,5
a. Tentukan persamaan garis regresi linear sederhana ? b. Hitung ragam s2 y.x , sb2 , sa2 c. Hitung selang kepercayaan bagi α , β dan σε 2 dengan taraf nyata 1 % d. Ujilah apakah garis regresi linear atau tidak?
2. Suatu penelitian ingin mengukur apakah hasil penjualan dipengaruhi oleh besarnya modal yang digulirkan, datanya sebagai berikut: Modal (x) Hasil Penjualan (y)
80 61
81 63
82 65
83 66
84 68
85 69
86 70
87 72
88 73
a. Tentukan persamaan garis regresi linear sederhana ? b. Hitung ragam s2 y.x , sb2 , sa2 c. Hitung selang kepercayaan bagi α , β dan σε 2 dengan taraf nyata 5 %
Regression Analysis: Hasil Penjualan versus Modal The regression equation is Hasil Penjualan = - 1.491 + 1.382 Modal S = 0.0488246
R-Sq = 99.0%
R-Sq(adj) = 98.9%
Analysis of Variance Source Regression Error Total
DF 1 9 10
SS 2.10036 0.02145 2.12182
10.5. Jenis-jenis Korelasi
MS 2.10036 0.00238
F 881.08
P 0.000
89 74
90 75
Eri Setiawan
Jenis Data Nominal Ordinal
Interval Rasio
Pengantar Statistika
Nominal
Ordinal
a. Korelasi Phi ( ) Koefisien Kontingensi ( KK) b. Koefisien Kontingensi ( KK) Koefisien Kontingensi ( rs ) a. Korelasi Tetrachorik ( rtc ) b. Korelasi Kendall c. KorelasiSpearma n Korelasi Point Korelasi Serial Serial ( rps ) ( rps ) Korelasi Serial ( rs ) Korelasi Biserial ( rbs )
1.
Korelasi Spearman rs 1
6( d i )
n(n 2 1)
Keterangan di = selisih data berpasangan n = banyaknya berpasangan 2. Korelasi Serial rs
{(or ot )( )} {(or ot )} s p total
Keterangan or = ordinat rendah ot = ordinat tinggi = rata-rata s total = simpangan baku dari seluruh data p = proporsi 3. Korelasi Point Serial
222
Interval
Rasio
Korelasi Point Serial ( rps )
Korelasi Serial ( rs )
Korelasi Serial ( rs )
Korelasi Biserial ( rbs )
Korelasi Product Moment Korelasi Product Moment
Korelasi Product Moment Korelasi Product Moment
Eri Setiawan
rps
( 1 2 ) s total
Pengantar Statistika
p(1 p )
Keterangan or = ordinat rendah ot = ordinat tinggi 1 = rata-rata data kelompok 1 2 = rata-rata data kelompok 2 s total = simpangan baku dari seluruh data p = proporsi
4. Koefisien Kontingensi ( KK ) 2 2 n
KK = Keterangan
2 = Khi-Kuadrat ordinat rendah n = banyaknya data ( oi ei ) 2 = ei 2
KK maks =
n 1 n
Sehingga KK
rps
( 1 2 ) stotal
KK x100% KK maks
p (1 p ) =
(6,6 6,4)
223
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
224
Korelasi Spearman Diketahui data sebagai berikut: X 65 50 55 65 55 70 65 70 55 70 50 55 725
Y 85 74 76 90 85 87 94 98 81 91 76 74 1011
rs 1
Rank X 5 11.5 8.5 5 8.5 2 5 2 8.5 2 11.5 8.5 -
6( d i )
n(n 1) 2
Rank Y 6.5 11.5 9.5 4 6.5 5 2 1 8 3 9.5 11.5 -
=1-
di = (Rank X – Rank Y ) -1.5 0 -1 1 2 -3 3 1 0.5 -1 2 -3 0
6(41,5) 249 =1= 0,855 2 12(12 1) 1716
Correlations X Spearman's rho
X
Correlation Coefficient
Y
1.000
.849**
.
.000
12
12
**
1.000
.000
.
12
12
Sig. (1-tailed) N Y
Correlation Coefficient Sig. (1-tailed) N
**. Correlation is significant at the 0.01 level (1-tailed).
.849
di2 2.25 0 1 1 4 9 9 1 0.25 1 4 9 41,50
Eri Setiawan
Pengantar Statistika Correlations X
X
Y
Pearson Correlation
.862**
1
Sig. (1-tailed)
.000
N Y
225
Pearson Correlation
12
12
**
1
.862
Sig. (1-tailed)
.000
N
12
12
**. Correlation is significant at the 0.01 level (1-tailed).
Correlations: X, Y Pearson correlation of X and Y = 0.862 P-Value = 0.000
Korelasi Serial Diketahui data mengenai hubungan aktifitas dalam diskusi sebagai berikut: Keaktifan dalam diskusi Aktif Cukup Kurang 7.8 6.8 5.8 8,0 6.4 6,0 7.2 6,0 5.4 6.8 6.2 6,0 7.7 7,0 6.6 7,0 6,0 6.2 6,0 6.2 37.5 70.4 23.2 7.5 6.4 5.8 0.25 0,55 0.2
p
Variable N Mean StDev Variance S
20 6.555 0.716
Status
n
P
0.512
C
( or – ot )
(or ot ) 2 p
(or – ot )
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
226
0 Aktif
5
0,25
Cukup
11
0,55
- 0,31778
0,403936
7,5
2,38335
- 0,03782
0,002600
6,4
- 0,24205
- 0,27996
0,391898
5,8
1,62377
0,318 0,280 Kurang
4
0,20 1
rs
20
-
{(or ot )( )} {(or ot )} s p
-
=
total
-
0,798424
0,51753
0,51753 0,51753 = 0,57167 = 0,905 (0,716)(0,798424)
Korelasi Point Serial. Diketahui data prestasi belajar bidang IPS dengan jenis kelamin ( sex ) dari sampel berukuran 20. Rata-rata Nilai yang diperoleh pada UAS
Jumlah Rata-rata
Jenis Kelamin Wanita ( X1 ) Pria ( X 2) 6,1 5,4 6,1 5,8 6,2 6,0 6,3 6,1 6,4 6,3 6,6 6,4 6,7 6,5 6,9 7,0 7,2 7,1 7,5 7,4 66 64 6,6 6,4
Proporsi = p = 0,5 Variable N Mean StDev Variance c rps
20 6.500 0.550 ( 1 2 ) stotal
p (1 p ) =
0.302 (6,6 6,4) 0,55
10.6. Regresi Linear Berganda
(0,5)(0,5) = 0,182
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
227
Yn = 0 + 1 X1 + ... + 1 X1 + n diduga oleh: ˆ b0 + y
b1X1 + b2X2 + ... + bnXn
Untuk Peubah bebas dua yaitu X1 dan X2 , maka: ˆ b0 + y
b1X1 + b2X2
Selanjutnya dicari koefisien b0, b1 dan b2 melalui persamaan normalnya sebagai berikut: Yi = n b0 + b1 X1 + b2 X2 X1Y = b0 X1 + b1 X12 + b2 X1 X2 X2Y = b0 X2 + b1 X1 X2 + b2 X22 Berbagai cara untuk mendapatkan koefisien b0, b1 dan b2 , salah satu yang akan dibahas yaitu dengan Metode Cramer. Caranya adalah sebagai berikut: 1. Cari Nilai-nilai , b0 , b1 dan b2 X1
n =
X2
X1 X12
X1X2
X2 X1X2
X22
Y b0 =
X1
X1Y X12
X2 X1 X2
X2Y X1X2 X22
n b1 =
Y
X2
X1 X1Y
X1 X2
X2 X2Y
X22
n
X1
Y
Eri Setiawan
b2 =
Pengantar Statistika
X1
X
228
X1 Y
2 1
X2 X1X2
X2Y
Sehingga diperoleh koefisien=koefisien b 0, b1 dan b2 dengan cara b0 =
b0 ,
b1 =
b1
dan
b2 =
b2
Selanjutnya yˆ b0 b1 x1 b2 x 2 Contoh Diketahui data mengenai hasil survei sebagai berikut: apakah keputusan pembelian ( Y ) dipengaruhi oleh desain produk ( X1 ) dan mutu produk ( X2 ). X1 17 19 15 18 16 14 23 8 21 13 22 20 18 19 19 15 9 20 16 12 18 23 11 10 17 413
X2 19 22 18 17 27 23 30 17 26 24 26 23 24 29 26 21 18 26 24 22 25 26 20 19 26 578
Y 30 35 27 29 37 30 47 19 40 32 43 38 36 44 41 33 25 40 36 31 37 45 29 25 40 869
X12 X22 Y2 X1 Y X2 Y 289 361 900 510 570 361 484 1 225 665 770 225 324 729 405 486 324 289 841 522 493 256 729 1 369 592 999 196 529 900 420 690 529 900 2 209 1 081 1 410 64 289 361 152 323 441 676 1 600 840 1 040 169 576 1 024 416 768 484 676 1 849 946 1 118 400 529 1 444 760 874 324 576 1 296 648 864 361 841 1 936 836 1 276 361 676 1 681 779 1 066 225 441 1 089 495 693 81 324 625 225 450 400 676 1 600 800 1 040 256 576 1 296 576 864 144 484 961 372 682 324 625 1 369 666 925 529 676 2 025 1 035 1 170 121 400 841 319 580 100 361 625 250 475 289 676 1 600 680 1 040 7 253 13 694 31 395 14 990 20 666
X1 X 2 323 418 270 306 432 322 690 136 546 312 572 460 432 551 494 315 162 520 384 264 450 598 220 190 442 9 809
Selanjutnya akan dicari nilai-nilai untuk koefisien-koefisien b 0 , b1 dan b2.dengan cara:
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
X1
n
X2
= X1 X12
X1 X2
X2 X1X2
=
X22
X1
n
25
b 0 = X1 X12
9809
578
9809
13694
869 =
b1 =
X1
X1 X12
14990
X1
b2 = X1 X12
X2
25
X1 X2
=
X2 X1X2 X22
b0 =
b0 7561953 = = - 4,064 1860639
b1 =
b1 1499634 = = 0,806 1860639
b2 =
b2 2052933 = = 1,103 1860639
578
7253 9809
= - 7 561 953
869
578
413 14990
9809
= 1 499 634
578 20666 13694
X2 X1 X2
413
= 1 860 639
20666 9809 13694
X2 X1X2 X22 n
578
7253
X2 X1X2 X22
n
413
413
X2 X1 X2
229
25 =
413
869
413
7253 14990 = 2 052 933
578
9809 20666
Jadi Persamaan garis regresi linear berganda adalah yˆ 4,064 0,806 X 1 1,103 X 2
Pengujian Hipotesis Sehubungan dengan Regresi Linear Berganda
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
230
H0 : Garis regresi linear berganda H1 : Garis regresi belum tentu linear berganda Prosedur Pengujian a. Hitung FK =
( Yi ) 2
b. Hitung JKT =
Yi
=
n
(869) 2 = 30 206,44 25
( Yi ) 2
2
n
= 31 395 – 30 206,44 = 1 188,56
c. Hitung JKR = Jumlah Kuadrat Regresi = b
d. JKR = {[b1 ( X 1Y
( X 1 )( Y )
= 0,806 [14 990 -
n
X Y i
i
] [b2 ( X 2Y
( X i )( Yi ) n
( X 2 )( Y ) n
]}
( 413)(869) (578)(869) ] + 1,103 [ 20 666 ] = 1 145,20 25 25
e. Hitung JKG = JKT – JKR = 1 188,56 – 1 145,20 = 43,36
Tabel Analisis Ragam Sumber Keragaman Regresi Galat Total
Derajat bebas 2 22 24
Jumlah Kuadrat 1 145,20 43,36 1 188,56
Kuadrat Tengah 572,6 1,97
f hitung 290,55 **
f tabel 0,05 0,01 3,44 5,72
Kesimpulan Keputusan Pembelian sangat dipengaruhi oleh variabel Desain Produk dan Mutu Produk dengan persamaan garis sebagai berikut : yˆ - 4,064 + 0,806 desain produk + 1,103 mutu produk.
Perhitungan dengan paket program adalah Regression Analysis: Kpts P versus Desain P; Mutu P The regression equation is
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
231
Kpts P = - 4,064 + 0,806 Desain P + 1,103 Mutu P Predictor
Coef
Constant
-4,064
SE Coef 1,814
T
P
-2,24
0,035
Desain P
0,80598
0,09357
8,61
0,000
Mutu P
1,1033
0,1067
10,34
0,000
S = 1,40384
R-Sq = 96,4%
R-Sq(adj) = 96,0%
Analysis of Variance Source
DF
SS
MS
F
P
2
1145,20
572,60
290,55
0,000
Residual Error
22
43,36
1,97
Total
24
1188,56
Regression
Source
DF
Seq SS
Desain P
1
934,61
Mutu P
1
210,59
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
232
Normal Probability Plot of the Residuals (response is Kpts)
Standardized Residual
2
1
0
-1
-2 -2
-1
0
1
2
Normal Score
Residuals Versus the Fitted Values (response is Kpts)
Standardized Residual
2
1
0
-1
-2 20
30
40
Fitted Value
50
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
233
Residuals Versus the Order of the Data (response is Kpts)
Standardized Residual
2
1
0
-1
-2 5
10
15
20
25
Observation Order
Residual Plots for Kpts P Normal Probability Plot
Versus Fits Standardized Residual
99
Percent
90 50 10 1
-2
-1 0 1 Standardized Residual
2 1 0 -1 -2
2
20
30
Histogram Standardized Residual
Frequency
6 4 2
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 Standardized Residual
50
Versus Order
8
0
40 Fitted Value
1,5
2 1 0 -1 -2 2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 Observation Order
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
234
PLS Response Plot (response is Keputusan) 2 components 50
Calculated Response
45 40 35 30 25 20 20
25
30 35 Actual Response
40
45
50
PLS Coefficient Plot (response is Keputusan) 2 components 1.2
Coefficients
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1
2 Predictors
Data berikut ini menyatakan kemungkinan kepemilikan mobil per orang ( MO ), Produk Nasional Bruto, PNB ( dalam juta rupiah ) , Rata-rata Harga Mobil, RHM ( dalam juta rupiah ) dan Harga Bahan Bakar Minyak, HBBM ( dalam ribu rupiah ).
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
235
MO PNB RHM HBBM 0,22 18,3 82,2 4,5 0,24 23,8 88,9 4,5 0,27 31,9 106,9 4,5 0,35 40,8 146,3 4,5 0,54 54,0 241,4 4,5 0,64 67,6 244,0 4,5 0,65 78,5 243,0 4,5 0,69 94,4 263,1 7,0 0,88 103,6 315,5 7,0 0,95 117,1 335,0 7,0 0,52 48,3 232,2 4,5 0,57 53,8 272,9 7,0 0,55 51,9 266,9 7,0 0,45 40,8 226,3 4,5 0,52 49,0 211,4 4,5 0,74 97,6 315,0 7,0 0,78 98,5 333,0 7,0 0,62 84,4 263,1 7,0 0,75 99,0 315,5 7,0 0,85 107,1 320,0 7,0 Buatlah Persamaan garis regresi linear berganda Regression Analysis: RHM versus MO; PNB; HBBM Regression Variables Entered/Removedb Variables Model 1
Variables Entered HBBM, MO, PNB
Removed
Method
.
Enter
a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: RHM
Model Summaryb Model 1
R ,967
R Square a
,935
a. Predictors: (Constant), HBBM, MO, PNB b. Dependent Variable: RHM
Adjusted R
Std. Error of the
Square
Estimate ,922
22,0589
Durbin-Watson 1,211
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
236
b
ANOVA Model 1
Sum of Squares Regression
Mean Square
111482,502
3
37160,834
7785,500
16
486,594
119268,002
19
Residual Total
df
F
Sig. ,000a
76,369
a. Predictors: (Constant), HBBM, MO, PNB b. Dependent Variable: RHM
Coefficientsa Standardized Unstandardized Coefficients Model 1
B
Coefficients
Std. Error
Collinearity Statistics
Beta
(Constant)
-34,737
28,544
MO
504,699
91,474
PNB
-1,472
HBBM
13,692
t
Sig.
Tolerance
VIF
-1,217
,241
1,336
5,517
,000
,070
14,372
,668
-,566
-2,203
,043
,062
16,213
6,129
,222
2,234
,040
,414
2,413
a. Dependent Variable: RHM
Collinearity Diagnosticsa Variance Proportions Model
Dimension
Eigenvalue
Condition Index
(Constant)
MO
PNB
1
1
3,883
1,000
,00
,00
,00
,00
2
,099
6,260
,15
,01
,03
,01
3
,014
16,631
,45
,06
,00
,90
4
,004
30,539
,40
,93
,96
,09
a. Dependent Variable: RHM
Residuals Statisticsa Minimum Predicted Value
Maximum
Mean
Std. Deviation
N
110,972
368,193
241,130
76,5996
20
-37,2367
32,3687
,0000
20,2426
20
Std. Predicted Value
-1,699
1,659
,000
1,000
20
Std. Residual
-1,688
1,467
,000
,918
20
Residual
a. Dependent Variable: RHM
Regression Analysis: RHM versus MO; PNB; HBBM
HBBM
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
237
The regression equation is RHM = - 34,74 + 504,70 MO - 1,47 PNB + 13,69 HBBM Predictor Constant MO PNB HBBM
Coef -34,74 504,70 -1,4721 13,692
S = 22,06 PRESS = 11480,7
SE Coef 28,54 91,47 0,6683 6,129
T -1,22 5,52 -2,20 2,23
R-Sq = 93,5% R-Sq(pred) = 90,37%
P 0,241 0,000 0,043 0,040
VIF 14,4 16,2 2,4
R-Sq(adj) = 92,2%
Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total Source MO PNB HBBM
DF 1 1 1
DF 3 16 19
SS 111483 7786 119268
MS 37161 487
Seq SS 107909 1145 2428
Durbin-Watson statistic = 1,21 Jadi persamaan garisregresi linear berganda adalah ˆ y
= - 35,74 + 504,70 MO - 1,49 PNB + 13,69 HBBM
F 76,37
P 0,000
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
238
Residual Plots for RHM Normal Probability Plot
Versus Fits Standardized Residual
99
Percent
90 50 10 1
-2
-1 0 1 Standardized Residual
2
2 1 0 -1 -2 100
200 300 Fitted Value
Versus Order Standardized Residual
Histogram
Frequency
4,8 3,6 2,4 1,2 0,0
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 Standardized Residual
400
1,5
2 1 0 -1 -2
2
4
6
8 10 12 14 Observation Order
16
18
20
Pengujian Asumsi Klasik 10.7.1. Uji Multikolinearitas Multikolinearitas menunjukkan bahwa antar variabel independent mempunyai hubungan langsung (berkorelasi). Hipotesis multikolinearitas : Ho : Tidak ada Multikolinearitas H1 : Ada Multikolinearitas Keputusan : Jika Variance Inflation Factor > 10 maka Ho ditolak (ada multikolinearitas) Jika Variance Inflation Factor < 10 maka Ho diterima (tidak ada multikolinearitas) Hasil Uji Multikolinearitas Misalnya
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Variabel Independen Laba Akuntansi Total Arus Kas
VIF 2,068 2,068
239
Ho diterima diterima
Kesimpulan tidak ada multikolinearitas tidak ada multikolinearitas
Nilai VIF untuk variabel Laba Akuntansi dan Total Arus Kas kurang dari 10, sehingga tidak terdapat multikolinearitas.
10,7.2. Uji Heteroskedastisitas Heteroskedastisitas menunjukkan bahwa varians dari setiap error bersifat heterogen yang berarti melanggar asumsi klasik yang mensyaratkan bahwa varians dari error harus bersifat homogen. Metode yang digunakan adalah uji Glejser. Hipotesis heteroskedastisitas: Ho
: tidak ada heteroskedastisitas
Ha
: ada heteroskedastisitas
Keputusan : Jika signifikan < 0.05, maka Ho ditolak (ada heteroskedastisitas) Jika signifikan > 0.05, maka Ho diterima (tidak ada heteroskedastisitas) Hasil Uji Heteroskedastisitas Misalnya Variabel Laba Akuntansi Total Arus Kas
Sig. 0,958 0,809
Ho Diterima Diterima
Kesimpulan tidak ada heteroskedastisitas tidak ada heteroskedastisitas
Nilai signifikan dari variabel Laba Akuntansi dan Total Arus Kas lebih besar dari 0,05 sehingga tidak terdapat heteroskedastisitas.
10.7.3. Uji Autokorelasi Autokorelasi menunjukkan bahwa ada korelasi antara error dengan error periode sebelumnya dimana pada asumsi klasik hal ini tidak boleh terjadi. Uji autokorelasi dilakukan dengan menggunakan metode Durbin Watson.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
240
Hipotesis autokorelasi: Ho : tidak ada autokorelasi Ha : ada autokorelasi Keputusan : Hipotesa Nol (Ho) Tidak ada autokorelasi positif Tidak ada autokorelasi positif Tidak ada autokorelasi negatif Tidak ada autokorelasi negatif Tidak ada autokorelasi (positif atau negatif)
Keputusan H0 ditolak tidak ada keputusan
Kriteria 0 < d ttabel Kesimpulan: Karena Fhitung < Ftabel , yaitu: 1,949 < 1,960 , maka Ho diterima, berarti data hasil tes formatif kelas inquiri dan diskusi mempunyai ragam yang sama ( homogen ).
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
254
Uji Homogenitas Ragam ( Variance ) F-Test Test Statistic P-Value
I nquiri
0.93 0.810
Levene's Test Test Statistic P-Value
Diskusi
5.0
5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 95% Bonferroni Confidence I ntervals for StDevs
8.0
8.5
0.07 0.799
2. Uji Perbedaan Dua Rata-Rata Uji perbedaan dua rata-rata hasil belajar
I nquiri
siswa hipotesisnya
Diskusi
60
65
70
75 Data
80
85
90
adalah: H0 : Tidak ada
perbedaan antara rata-rata kelas inquiri dengan rata-rata kelas diskusi atau H 0 : µ1 = µ2 H1: Terdapat perbedaan antara rata-rata kelas inquiri dengan rata-rata kelas diskusi atau H 1: µ1 ≠ µ2 Taraf nyata ( ) = 5 % , dengan ttabel = t0,025 ( 78 ) = 1,96 Statistik Uji yang digunakan t hitung
2 ( 1 2 ) 1 1 S gab x n1 n2
1
(77,75 73,50)
=
6,1054
1 1 40 40
= 3,11
Kriteria uji : Terima H0 jika thitung < ttabel , Tolak H0 jika thitung > ttabel Kesimpulan:
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
255
Karena thitung > ttabel , yaitu: 3,11> 1,96 , maka Ho ditolak, berarti terdapat perbedaan antara ratarata kelas inquiri dengan kelas diskusi artinya kita tidak cukup alasan untuk mengatakan bahwa tidak terdapat perbedaan antara rata-rata kelas inquiri dengan kelas diskusi dalam hal prestasi belajar. Boxplot of Inquiri; Diskusi 100
Data
90
80
70
60 Inquiri
Diskusi
Time Series Plot of Inquiri, Diskusi 100
Variable I nquiri Diskusi
Data
90
80
70
60 4
8
12
16
20 24 Index
28
32
36
40
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
256
Trend Analysis Plot for Inquiri Linear Trend Model Yt = 77.10 + 0.117* t Variable Actual Fits
95 90
Accuracy Measures MAPE 7.4055 MAD 5.7531 MSD 50.4178
Inquiri
85 80 75 70 65 4
8
12
16
20 24 Index
28
32
36
40
Trend Analysis Plot for Diskusi Linear Trend Model Yt = 72.96 - 0.059099* t Variable Actual Fits
85
Diskusi
80
Accuracy Measures MAPE 11.4583 MAD 8.1097 MSD 76.4721
75 70 65 60 4
8
12
16
20 24 Index
28
32
36
40
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
257
Box-Cox Plot of Inquiri Lower CL
8.75
Lambda (using 95.0% confidence) Estimate
8.50
Lower CL Upper CL Rounded Value
StDev
8.25
8.00
1.39 -2.19 * 1.39
Limit
7.75
7.50 -5.0
-2.5
0.0 Lambda
2.5
5.0
Box-Cox Plot of Diskusi 11.00
Lower CL
Upper CL Lambda (using 95.0% confidence) Estimate
10.75
Lower CL Upper CL
StDev
Rounded Value
10.50 Limit 10.25
10.00
-5.0
-2.5
0.0 Lambda
2.5
5.0
0.21 -2.76 3.54 0.00
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
11.3. Contoh 3. Data hasil Penelitian sebagai berikut PreT PBI 70 80 80 87 80 73 76 73 80 67 63 83 67 76 78 87 66 66 73 70 86 80 73 70 73 80 70 73 70 80 73 80
Post TPBI 83 90 88 93 74 70 87 95 70 80 85 97 80 75 80 85 75 75 87 90 85 85 88 80 73 71 70 75 83 88 85 90
TS PBI 72 86 88 86 88 82 90 94 94 90 92 86 84 88 86 84 90 88 78 82 92 88 84 78 90 76 88 84 86 84 82 80
PreT NPBI 65 73 75 80 75 67 70 68 73 62 60 76 63 70 72 80 63 62 66 64 80 74 66 66 67 73 65 68 66 74 67 75
PostT NPBI 73 88 75 85 70 63 80 88 65 75 80 88 74 65 76 78 70 68 75 80 80 75 80 80 70 66 68 70 78 75 78 87
TS NPBI 68 80 82 78 82 76 82 86 82 78 82 80 76 76 80 80 84 78 70 76 78 82 78 72 86 70 80 84 80 76 74 72
258
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
259
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
260
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
261
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
262
Boxplot 100
Data
90
80
70
60 PreT PBI
Post TPBI
TS PBI
PreT NPBI
PostT NPBI
TS NPBI
Pie Chart of PreT PBI, Post TPBI, TS PBI, PreT NPBI, PostT NPBI, ... PreT PBI
Post TPBI
TS PBI
PreT NPBI
PostT NPBI
TS NPBI
Category 63 66 67 70 73 76 78 80 83 86 87 71 74 75 85 88 90 93 95 97 72 82 84 92 94 60 62 64 65
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
263
3 D Untuk PBI
90 TS PBI 80
100 90
70 60
Post TPBI
80 70
80
PreT PBI
70 90
3 D Untuk Non PBI
85
TS NPBI
80 75
90
70
80 70
60 70 PreT NPBI
80
60
PostT NPBI
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
264
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
265
RELIABILITY /VARIABLES=TSPBI TSNPBI /SCALE('Uji Reliabilitas dan Validitas Data') ALL /MODEL=SPLIT /SUMMARY=TOTAL. Reliability Scale: Uji Reliabilitas dan Validitas Data Case Processing Summary N Cases Valid Excludeda Total
% 32
100.0
0
.0
32
100.0
a. Listwise deletion based on all variables in the procedure. Reliability Statistics Cronbach's Alpha
Part 1 Value
1.000 1a
N of Items Part 2 Value
1.000 1b
N of Items Total N of Items
Spearman-Brown Coefficient
2
Correlation Between Forms
.842
Equal Length
.914
Unequal Length
.914
Guttman Split-Half Coefficient
.911
a. The items are: TSPBI b. The items are: TSNPBI Item-Total Statistics Scale Scale Mean if Variance if Item Deleted Item Deleted
Corrected Item-Total Correlation
Cronbach's Alpha if Item Deleted
TSPBI
85.63
21.016
.842
.a
TSNPBI
78.38
26.177
.842
.a
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
266
Case Processing Summary N Cases Valid
% 32
100.0
0
.0
32
100.0
Excludeda Total
a. Listwise deletion based on all variables in the procedure. Reliability Statistics Cronbach's Alpha
Part 1 Value
1.000 1a
N of Items Part 2 Value
1.000 1b
N of Items Total N of Items
Spearman-Brown Coefficient
2
Correlation Between Forms
.842
Equal Length
.914
Unequal Length
.914
Guttman Split-Half Coefficient
.911
a. The items are: TSPBI b. The items are: TSNPBI Item-Total Statistics Scale Scale Mean if Variance if Item Deleted Item Deleted
Corrected Item-Total Correlation
Cronbach's Alpha if Item Deleted
a. The value is negative due to a negative average covariance among items. This violates reliability model assumptions. You may want to check item codings. Kesimpulan Nilai korelasi Guttman Split-Half Coefficient = 0,9115 lebih besar dari r tabel product moment untuk = 5 % pada n = 16 di bagi dua dari n = 32 di bagi dua dari menjadi n = 16 , nilai r = 0,497.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
267
Dengan demikian data hasil tes formatif baik untuk model PBI maupun model Tanpa PBI dikatakan reliabel, sehingga alat ukur tersebut adalah valid..
b. Uji Normalitas Data Ho : Data penelitian untuk kelas dengan model PBI bersifat normal H1 : Data penelitian untuk kelas dengan model PBI belum tentu bersifat normal Taraf Nyata ( ) = 5 %
statistik tabelnya = 1,960
Hasilnya:
Uji Normalitas Untuk Data Metode PBI
Uji normalitas
Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
Percent
80 70
85.63 5.116 32 0.459 0,246
yang diberikan oleh A D ( Anderson Darling )
60 50 40
statistik
30 20
hitungnya
10
adalah 0,459
5
1
Kriteria uji : 70
75
80
85 TS PBI
thitung < ttabel dan Tolak H0 jika thitung > ttabel
90
95
100
Terima H0 jika
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
268
Kesimpulan: Karena thitung < ttabel , yaitu: 0,459 < 1,960 , maka Ho diterima, berarti data hasil penelitian untuk kelas dengan model PBI bersifat normal Ho : Data penelitian untuk kelas tanpa model PBI bersifat normal H1 : Data penelitian untuk kelas tanpa model PBI belum tentu bersifat normal Taraf Nyata ( ) = 5 %
statistik tabelnya = 1,960
Hasilnya:
Uji Normalitas Untuk DataTanpa Metode PBI Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
78,38 4,584 32 0,559 0,137
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
70
75
80 TS N PBI
85
90
Kesimpulan: Karena thitung < ttabel , yaitu: 0,559 < 1,960 , maka Ho diterima, berarti data hasil penelitian untuk kelas tanpa model PBI bersifat normal c. Uji Homogenitas Ragam Ho : Data penelitian mempunyai ragam yang sama ( homogen ) H1 : Data penelitian mempunyai ragam yang tidak sama ( tidak homogen )
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Taraf Nyata ( ) = 10 %
statistik tabelnya adalah f0,05 (31, 31) = 1,645
Statistik hitung yang diberikan oleh uji F adalah 0,95 Kriteria uji : Terima H0 jika Fhitung < Ftabel dan Tolak H0 jika Fhitung > ttabel
Hasil analisis: f=
S1
2
S2
2
=
26,1735 (5,116 ) 2 = 1,25 2 = 21,013 (4,584)
Kriteria uji : Terima H0 jika fhitung < ftabel dan Tolak H0 jika fhitung > ftabel Kesimpulan: Karena fhitung < f tabel, yaitu: 1,25 < 1,84 , maka Ho diterima, berarti data hasil tes H o : Data penelitian mempunyai ragam yang sama.
Test for Equal Variances: TS PBI; TS N PBI 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations N
Lower
StDev
Upper
32
3,97900
5,11639
7,10425
TS N PBI 32
3,56522
4,58434
6,36548
TS PBI
F-Test (Normal Distribution) Test statistic = 1,25; p-value = 0,545 Levene's Test (Any Continuous Distribution) Test statistic = 0,11; p-value = 0,745
269
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
270
Test for Equal Variances for TS PBI; TS N PBI F-Test Test Statistic P-Value
TS PBI
1,25 0,545
Levene's Test Test Statistic P-Value
TS N PBI
3,5
4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 95% Bonferroni Confidence I ntervals for StDevs
7,0
TS PBI
TS N PBI
70
75
80 Data
85
90
95
Two-Sample T-Test and CI: PBI; N PBI Two-sample T for PBI vs N PBI N
Mean
StDev
SE Mean
PBI
32
85,63
5,12
0,90
N PBI
32
78,37
4,58
0,81
Difference = mu (PBI) - mu (N PBI) Estimate for difference: 95% CI for difference:
7,25 (4,82; 9,68)
T-Test of difference = 0(vs not =):T-Value = 5,97 P-Value=0,000
DF=62
Both use Pooled StDev = 4,8577 Secara deskriptif diperoleh Descriptive Statistics: PreT PBI; PostT PBI Variable
Mean
SE Mean
StDev
Variance
PreT PBI
75,09
1,13
6,40
40,99
0,11 0,745
Eri Setiawan
PostT PBI
Pengantar Statistika
82,25
1,35
7,66
271
58,71
Histogram of PreT PBI 9 8 7
Frequency
6 5 4 3 2 1 0
66
72
78
84
PreT PBI
Histogram of PostT PBI 7 6
Frequency
5 4 3 2 1 0
72
76
80
84 PostT PBI
88
92
96
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
272
Histogram (with Normal Curve) of PreT PBI 9
Mean 75,09 StDev 6,402 N 32
8 7
Frequency
6 5 4 3 2 1 0
60
66
72
78
84
90
PreT PBI
Histogram (with Normal Curve) of PostT PBI Mean 82.25 StDev 7.662 N 32
7 6
Frequency
5 4 3 2 1 0
64
72
80 PostT PBI
88
96
Normalitas Data Ho : Data penelitian untuk kelas dengan model PBI bersifat normal H1 : Data penelitian untuk kelas dengan model PBI belum tentu bersifat normal
b. Uji
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
273
Taraf Nyata ( ) = 5 %
statistik tabelnya = 1,960
Hasilnya: Uji Normalitas Data Tes Sumatif PBI Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
85,63 5,116 32 0,459 0,246
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
70
75
80
85 TS PBI
90
95
100
Uji normalitas yang diberikan oleh A D ( Anderson Darling ) statistik hitungnya adalah 0,459 Kriteria uji : Terima H0 jika thitung < ttabel dan Tolak H0 jika thitung > ttabel Kesimpulan: Karena thitung < ttabel , yaitu: 0,459 < 1,960 , maka Ho diterima, berarti data hasil tes H o : Data penelitian untuk kelas dengan model PBI bersifat normal Ho : Data penelitian untuk kelas tanpa model PBI bersifat normal H1 : Data penelitian untuk kelas tanpa model PBI belum tentu bersifat normal Taraf Nyata ( ) = 5 % Hasilnya:
statistik tabelnya = 1,960
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
274
Uji Normalitas Data Tes Sumatif NPBI Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
78,38 4,584 32 0,559 0,137
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
70
75
80 TS NPBI
85
90
Uji normalitas yang diberikan oleh A D ( Anderson Darling ) statistik hitungnya adalah 0,559 Kriteria uji : Terima H0 jika thitung < ttabel dan Tolak H0 jika thitung > ttabel Kesimpulan: Karena thitung < ttabel , yaitu: 0,559 < 1,960 , maka Ho diterima, berarti data hasil tes H o : Data penelitian untuk kelas tanpa model PBI bersifat normal Uji Normalitas Data Pre Test PBI Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
60
65
70
75 PreT PBI
80
85
90
75,09 6,402 32 0,642 0,086
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
275
Uji Normalitas Data Post Test PBI Normal 99
95 90
Mean StDev N AD P-Value
82,25 7,662 32 0,543 0,150
Mean StDev N AD P-Value
69,53 5,617 32 0,577 0,123
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
60
70
80 PostT PBI
90
100
Uji Normalitas Data Pre Test NPBI Normal 99
95 90
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
55
60
65
70 PreT NPBI
75
80
85
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
276
Uji Normalitas Data Post Test NPBI Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
75,72 7,049 32 0,428 0,293
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
60
65
70
75 80 PostT NPBI
85
90
95
Uji Homogenitas Ragam Ho : Data penelitian mempunyai ragam yang sama ( homogen ) H1 : Data penelitian mempunyai ragam yang tidak sama ( tidak homogen ) Taraf Nyata ( ) = 10 %
statistik tabelnya adalah f0,05 (31, 31) = 1,645
Statistik hitung yang diberikan oleh uji F adalah 0,95 Kriteria uji : Terima H0 jika Fhitung < Ftabel dan Tolak H0 jika Fhitung > ttabel Hasil analisis: f=
S1
2
S2
2
26,1735 (5,116 ) 2 = = 1,25 2 = 21,013 (4,584)
Kriteria uji : Terima H0 jika fhitung < ftabel dan Tolak H0 jika fhitung > ftabel Kesimpulan: Karena fhitung < f tabel, yaitu: 1,25 < 1,84 , maka Ho diterima, berarti data penelitian mempunyai ragam yang sama.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
277
Test for Equal Variances: TS PBI; TS N PBI 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations N
Lower
StDev
Upper
32
3,97900
5,11639
7,10425
TS N PBI 32
3,56522
4,58434
6,36548
TS PBI
F-Test (Normal Distribution) Test statistic = 1,25; p-value = 0,545 Levene's Test (Any Continuous Distribution) Test statistic = 0,11; p-value = 0,745
Test for Equal Variances for TS PBI; TS N PBI F-Test Test Statistic P-Value
TS PBI
1,25 0,545
Levene's Test Test Statistic P-Value
TS N PBI
3,5
4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 95% Bonferroni Confidence I ntervals for StDevs
0,11 0,745
7,0
TS PBI
TS N PBI
70
75
80 Data
85
90
95
1. Uji Rata-rata H0 : Tidak ada pengaruh secara rata-rata nilai tes sumatif dengan model PBI atau PBI = 0 H1 : Ada pengaruh secara rata-rata nilai tes sumatif dengan model PBI atau PBI 0 Taraf nyata ( ) = 5 %
t0,025 ( 31 ) = 1,96
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
278
Uji Statistik yang digunakan t=
(x ) s n
(85,625 80,00) 5,625 t= = 0,904 = 6,22 5,116 32 Kesimpulan : Karena t hitung > t tabel , yaitu 6,22 > 1,96 , maka H0 ditolak, berarti Kita tidak cukup alasan untuk mengatakan tidak ada pengaruh secara rata-rata nilai tes sumatif dengan model PBI. 2. Uji Perbedaan Dua Rata-rata H0 : Tidak ada pengaruh secara rata-rata antara nilai tes sumatif dengan model PBI dengan model yang tidal menggunakan model PBI atau 1 = 2 . H1 : H0 ditolak atau 1 2 . Taraf nyata ( ) = 5 % 2
S
2
gab
(n 1) S1 (n2 1) S 2 1 n1 n2 2 =
t0,025 ( 76 ) = 1,96 2
(39 1)47,0596 (39 1)49,2804 = 48,212 39 39 2
Sgab = 6,9435
Uji Statistik yang digunakan t hitung
t hitung
1
2 ( 1 2 ) 1 1 S gab n1 n2
85,625 78,375 0 4,8577
1 1 32 32
= 5,97
Kesimpulan : Karena t hitung > t tabel , yaitu 5,97 > 1,96 , maka H0 ditolak, berarti kita tidak cukup alasan untuk mengatakan tidak ada pengaruh perbedaan dua rata-rata antara hasil belajar
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
279
Bila dengan paket program hasilnya: One-Sample T: TS PBI Test of mu = 80 vs not = 80 Variable N TS PBI
Mean
32 85,625
StDev SE Mean 5,116
0,904
95% CI (83,780; 87,470)
T 6,22
P 0,000
Individual Value Plot of TS PBI (with Ho and 95% t-confidence interval for the mean)
_ X Ho
70
75
80
85 TS PBI
90
95
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
280
Boxplot of TS PBI (with Ho and 95% t-confidence interval for the mean)
_ X Ho
70
75
80
85
90
95
TS PBI
Two-Sample T-Test and CI: TS PBI; TS N PBI Two-sample T for TS PBI vs TS N PBI N
Mean
StDev
SE Mean
TS PBI
32
85,63
5,12
0,90
TS N PBI
32
78,37
4,58
0,81
Difference = mu (TS PBI) - mu (TS N PBI) Estimate for difference: 7,25 95% CI for difference: (4,82; 9,68) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 5,97 P-Value = 0,000 DF = 62 Both use Pooled StDev = 4,8577
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
281
Individual Value Plot of TS PBI; TS N PBI 95
90
Data
85
80
75
70
TS PBI
TS N PBI
Boxplot of TS PBI; TS N PBI 95
90
Data
85
80
75
70
TS PBI
TS N PBI
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
282
3. Uji Kecocokan ( Goodness of fit test ) H0 : Ada pengaruh hubungan antara kelas dengan model PBI dengan kelas tanpa PBI terhadap prestasi belajar dalam tes sumatif. H1 : H0 ditolak Taraf nyata ( ) = 5 %
2 =
2 (2-1) = 20,05 ( 1 ) = 3,941
( oi e i ) 2 ei
(72 73,09) 2 (68 66,91) 2 + + ... 73,09 66,91
+
(72 72,64) 2 72,64
= 1,370 Kesimpulan: Karena 2hitung < 2 atau 1,370 < 3,941, maka H0 diterima, berarti kita tidak cukup alasan untuk mengatakan tidak ada pengaruh hubungan antara kelas dengan model PBI dengan kelas tanpa PBI terhadap prestasi belajar dalam tes sumatif. Bila dengan paket program diperoleh Chi-Square Test: TS PBI; TS N PBI Expected counts are printed below observed counts Chi-Square contributions are printed below expected counts
TS PBI TS N PBI Total 1 2 3 4
72 73,09 0,016 86 86,67 0,005 88 88,76 0,006 86 85,63
68 140 66,91 0,018 80 166 79,33 0,006 82 170 81,24 0,007 78 164 78,38
Eri Setiawan
5 6 7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
0,002 0,002 88 82 170 88,76 81,24 0,006 0,007 82 76 158 82,49 75,51 0,003 0,003 90 82 172 89,80 82,20 0,000 0,000 94 86 180 93,98 86,02 0,000 0,000 94 82 176 91,89 84,11 0,048 0,053 90 78 168 87,71 80,29 0,060 0,065 92 82 174 90,85 83,15 0,015 0,016 86 80 166 86,67 79,33 0,005 0,006 84 76 160 83,54 76,46 0,003 0,003 88 76 164 85,63 78,38 0,066 0,072 86 80 166 86,67 79,33 0,005 0,006 84 80 164 85,63 78,38 0,031 0,034 90 84 174 90,85 83,15 0,008 0,009 88 78 166 86,67 79,33 0,020 0,022 78 70 148 77,27 70,73 0,007 0,008 82 76 158 82,49 75,51 0,003 0,003
Pengantar Statistika
283
Eri Setiawan
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Total
Pengantar Statistika
92 78 170 88,76 81,24 0,118 0,129 88 82 170 88,76 81,24 0,006 0,007 84 78 162 84,58 77,42 0,004 0,004 78 72 150 78,32 71,68 0,001 0,001 90 86 176 91,89 84,11 0,039 0,042 76 70 146 76,23 69,77 0,001 0,001 88 80 168 87,71 80,29 0,001 0,001 84 84 168 87,71 80,29 0,157 0,172 86 80 166 86,67 79,33 0,005 0,006 84 76 160 83,54 76,46 0,003 0,003 82 74 156 81,45 74,55 0,004 0,004 80 72 152 79,36 72,64 0,005 0,006 2740
2508 5248
Chi-Sq = 1,370; DF = 31; P-Value = 1,000
284
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
285
Interval Plot of TS PBI, TS NPBI 95% CI for the Mean 88 86
Data
84 82 80 78 76 TS PBI
TS NPBI
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
286
11.4. Contoh 4. Data 1. Awal Mulai Berbunga Ulangan 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6
Perlakuan A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D
Respon 40 39 35 38 39 36 32 39 37 37 32 38 40 35 34 37 37 36 34 38 40 39 34 38
Descriptive Statistics: Respon
Variable Respon
Perlakuan A B C D
Uji Normalitas Data
N 6 6 6 6
Mean 38.833 37.333 34.67 37.67
StDev 1.472 2.251 2.66 3.01
Variance 2.167 5.067 7.07 9.07
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
287
Uji Normalitas Data Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
36.83 2.408 24 0.548 0.142
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
30
32
34
36 38 Respon
40
42
44
Uji Homogenitas Ragam Test for Equal Variances: Respon versus Perlakuan 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Perlakuan
N
Lower
StDev
Upper
A
6
0.817317
1.47196
4.89137
B
6
0.929123
1.67332
5.56050
C
6
0.680048
1.22474
4.06987
D
6
0.351176
0.63246
2.10167
Bartlett's Test (Normal Distribution) Test statistic = 4.01, p-value = 0.260 Levene's Test (Any Continuous Distribution) Test statistic = 1.43, p-value = 0.264
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
288
Uji Homogenitas Ragam Bartlett's Test Test Statistic P-Value
A
4.01 0.260
Perlakuan
Levene's Test Test Statistic P-Value
B
1.43 0.264
C
D
0
1 2 3 4 5 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
6
Analisis Ragam General Linear Model: Respon versus Ulangan, Perlakuan Factor
Type
Levels
Values
Ulangan
fixed
6
1, 2, 3, 4, 5, 6
Perlakuan
fixed
4
A, B, C, D
Analysis of Variance for Respon, using Adjusted SS for Tests Source
DF
Seq SS
Adj SS
Adj MS
F
P
Ulangan
5
13.833
13.833
2.767
2.02
0.133
Perlakuan
3
99.000
99.000
33.000
24.15
0.000
Error
15
20.500
20.500
1.367
Total
23
133.333
S = 1.16905
R-Sq = 84.63%
R-Sq(adj) = 76.43%
Sidak 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Respon All Pairwise Comparisons among Levels of Perlakuan
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Perlakuan = A Perlakuan
289
subtracted from:
Lower Center
Upper
B
-3.876 -1.833
0.209
C
-7.376 -5.333 -3.291
D
-2.876 -0.833
--------+---------+---------+-------(----*-----) (----*----)
1.209
(----*----) --------+---------+---------+--------4.0
Perlakuan = B Perlakuan
0.0
4.0
subtracted from:
Lower Center
Upper
C
-5.542 -3.500 -1.458
D
-1.042
--------+---------+---------+--------
1.000
(----*----)
3.042
(-----*----) --------+---------+---------+--------4.0
Perlakuan = C
4.0
subtracted from:
Perlakuan Lower Center Upper D
0.0
2.458
--------+---------+---------+--------
4.500 6.542
(----*----) --------+---------+---------+--------4.0
0.0
Sidak Simultaneous Tests Response Variable Respon All Pairwise Comparisons among Levels of Perlakuan Perlakuan = A
subtracted from:
Difference
SE of
of Means
Difference
T-Value
P-Value
B
-1.833
0.6749
-2.716
0.0919
C
-5.333
0.6749
-7.902
0.0000
D
-0.833
0.6749
-1.235
0.8011
Perlakuan = B
subtracted from:
Perlakuan
Adjusted
4.0
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
290
Difference
SE of
of Means
Difference
T-Value
P-Value
C
-3.500
0.6749
-5.186
0.0007
D
1.000
0.6749
1.482
0.6466
Perlakuan
Perlakuan = C
Adjusted
subtracted from:
Difference
SE of
of Means
Difference
T-Value
P-Value
4.500
0.6749
6.667
0.0000
Perlakuan D
Adjusted
Residual Plots for Respon Normal Probability Plot
Versus Fits
99 1 Residual
Percent
90 50 10 1
0 -1 -2
-2
-1
0 Residual
1
2
32
34
Histogram
36 Fitted Value
38
40
Versus Order
6.0 Residual
Frequency
1 4.5 3.0 1.5 0.0
0 -1 -2
-1.5
-1.0
-0.5 0.0 0.5 Residual
Data 2 Umur Bunga
1.0
1.5
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 Observation Order
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Ulangan
Perlakuan
Respon
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6
A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D
8 7 11 8 8 8 13 8 9 11 12 9 9 10 6 11 8 9 9 10 9 8 10 10
Uji Normalitas
291
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
292
Uji Normalitas Data Bunga Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
9,208 1,615 24 0,618 0,095
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
5
6
7
8
9 10 Respon
11
12
13
Uji Homogenitas Ragam Test for Equal Variances: Respon versus Perlakuan 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Perlakuan
N
Lower
StDev
Upper
A
6
0.304127
0.54772
1.82010
B
6
0.582359
1.04881
3.48523
C
6
0.573467
1.03280
3.43201
D
6
0.672450
1.21106
4.02439
Bartlett's Test (Normal Distribution) Test statistic = 2.74, p-value = 0.433 Levene's Test (Any Continuous Distribution) Test statistic = 0.90, p-value = 0.458
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
293
Uji Homogenitas Ragam Bartlett's Test Test Statistic P-Value
A
2.74 0.433
Perlakuan
Levene's Test Test Statistic P-Value
B
0.90 0.458
C
D
0
1 2 3 4 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
Analisis Ragam General Linear Model: Respon versus Ulangan, Perlakuan Factor
Type
Levels
Values
Ulangan
fixed
6
1, 2, 3, 4, 5, 6
Perlakuan
fixed
4
A, B, C, D
Analysis of Variance for Respon, using Adjusted SS for Tests Source
DF
Seq SS
Adj SS
Adj MS
F
P
Ulangan
5
7.8333
7.8333
1.5667
1.99
0.139
Perlakuan
3
13.6667
13.6667
4.5556
5.77
0.008
Error
15
11.8333
11.8333
0.7889
Total
23
33.3333
S = 0.888194
R-Sq = 64.50%
R-Sq(adj) = 45.57%
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
294
Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Respon All Pairwise Comparisons among Levels of Perlakuan Perlakuan = A Perlakuan
subtracted from:
Lower
Center Upper
B
-1.479 0.00000 1.479
C
0.354 1.83333 3.313
D
-0.646 0.83333 2.313
-----+---------+---------+---------+(--------*--------) (--------*---------) (--------*--------) -----+---------+---------+---------+-1.6
Perlakuan = B Perlakuan
0.0
1.6
3.2
subtracted from:
Lower Center Upper
-----+---------+---------+---------+-
C
0.3539 1.8333 3.313
(--------*---------)
D
-0.6461 0.8333 2.313
(--------*--------) -----+---------+---------+---------+-1.6
Perlakuan = C Perlakuan D
0.0
1.6
3.2
subtracted from:
Lower Center
Upper
-2.479 -1.000
-----+---------+---------+---------+-
0.4794
(--------*--------) -----+---------+---------+---------+-1.6
0.0
Tukey Simultaneous Tests Response Variable Respon All Pairwise Comparisons among Levels of Perlakuan Perlakuan = A
subtracted from:
Difference
SE of
of Means
Difference
T-Value
P-Value
B
0.00000
0.5128
0.00000
1.0000
C
1.83333
0.5128
3.57515
0.0131
D
0.83333
0.5128
1.62507
0.3950
Perlakuan
Adjusted
1.6
3.2
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Perlakuan = B
295
subtracted from:
Difference
SE of
of Means
Difference
T-Value
P-Value
C
1.8333
0.5128
3.575
0.0131
D
0.8333
0.5128
1.625
0.3950
Perlakuan = C
subtracted from:
Perlakuan
Adjusted
Difference
SE of
of Means
Difference
T-Value
P-Value
-1.000
0.5128
-1.950
0.2497
Perlakuan D
Adjusted
Residual Plots for Respon Normal Probability Plot
Versus Fits
99 1.0 Residual
Percent
90 50 10
0.5 0.0 -0.5 -1.0
1
-2
-1
0 Residual
1
2
8
9 10 Fitted Value
Histogram
Versus Order
4.8
1.0
3.6
Residual
Frequency
11
2.4 1.2
0.5 0.0 -0.5 -1.0
0.0
-1.2
-0.6
0.0 Residual
0.6
1.2
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 Observation Order
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Data 3. Diameter Buah Ulangan
Perlakuan
Respon
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6
A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D
3.68 3.88 4.00 4.16 2.91 3.32 3.67 4.26 4.15 3.82 3.95 3.32 3.99 3.00 2.72 4.09 4.28 4.23 3.83 3.54 4.10 2.85 4.19 3.88
Uji Normalitas
296
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
297
Uji Normalitas Data Diameter Buah Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
3,742 0,4800 24 1,054 0,007
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Respon
Uji Homogenitas Ragam Test for Equal Variances: Respon versus Perlakuan Uji Homogenitas Ragam Bartlett's Test Test Statistic P-Value
A
0,74 0,865
Perlakuan
Levene's Test Test Statistic P-Value
B
0,30 0,828
C
D
0,0
0,5 1,0 1,5 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
2,0
95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Perlakuan
N
Lower
StDev
Upper
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
298
A
6
0,279784
0,503882
1,67442
B
6
0,302392
0,544598
1,80972
C
6
0,290281
0,522787
1,73724
D
6
0,207156
0,373082
1,23976
Bartlett's Test (Normal Distribution) Test statistic = 0,74; p-value = 0,865 Levene's Test (Any Continuous Distribution) Test statistic = 0,30; p-value = 0,828 Analisis Ragam One-way ANOVA: Respon versus Perlakuan Source
DF
SS
MS
F
P
3
0,484
0,161
0,67
0,580
Error
20
4,815
0,241
Total
23
5,299
Perlakuan
S = 0,4907
R-Sq = 9,14%
R-Sq(adj) = 0,00%
Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level
N
Mean
StDev
-------+---------+---------+---------+--
A
6
3,8517
0,5039
(-------------*-------------)
B
6
3,5167
0,5446
C
6
3,7267
0,5228
D
6
3,8750
0,3731
(-------------*-------------) (-------------*-------------) (-------------*-------------) -------+---------+---------+---------+-3,30
Pooled StDev = 0,4907
Data 4. Jumlah Buah
3,60
3,90
4,20
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Ulangan
Perlakuan
Respon
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6
A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D
9 15 19 10 7 9 7 11 9 13 10 19 11 6 7 10 10 20 10 16 10 8 9 6
Uji Normalitas
299
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
300
Uji Normalitas Data J umlah Buah Normal 99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
10,88 4,079 24 1,378 0.150
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
85
90
95 Respon
100
105
Test for Equal Variances: Respon versus Perendaman, Konsentrasi 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Perendaman
Konsentrasi
N
Lower
StDev
Upper
P1
K1
3
0.91309
2.30940
56.5450
P1
K2
3
1.38853
3.51188
85.9874
P1
K3
3
0.91309
2.30940
56.5450
P2
K1
3
0.91309
2.30940
56.5450
P2
K2
3
0.60395
1.52753
37.4010
P2
K3
3
1.58152
4.00000
97.9387
P3
K1
3
0.91309
2.30940
56.5450
P3
K2
3
1.04608
2.64575
64.7804
P3
K3
3
0.68482
1.73205
42.4087
P4
K1
3
1.58152
4.00000
97.9387
P4
K2
3
0.91309
2.30940
56.5450
P4
K3
3
0.82305
2.08167
50.9689
P5
K1
3
0.99502
2.51661
61.6184
P5
K2
3
0.91309
2.30940
56.5450
P5
K3
3
0.60395
1.52753
37.4010
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
308
Bartlett's Test (Normal Distribution) Test statistic = 4.33, p-value = 0.993 Levene's Test (Any Continuous Distribution) Test statistic = 0.23, p-value = 0.997
Uji Homogenitas Ragam Perendaman
Konsentrasi
P1
K1
Bartlett's Test
K2 K3 P2
Test Statistic P-Value
Levene's Test
K1 K2 K3
P3
K1 K2 K3
P4
K1
4.33 0.993
Test Statistic P-Value
0.23 0.997
K2 K3 P5
K1 K2 K3
0 20 40 60 80 100 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
General Linear Model: Respon versus Perendaman, Konsentrasi Factor
Type
Levels
Values
Perendaman
random
5
P1, P2, P3, P4, P5
Konsentrasi
fixed
3
K1, K2, K3
Analysis of Variance for Respon, using Adjusted SS for Tests Source
DF
Seq SS
Adj SS
Adj MS
F
P
Perendaman
4
472.133
472.133
118.033
10.55
0.003
Konsentrasi
2
28.311
28.311
14.156
1.27
0.333
Perendaman*Konsentrasi
8
89.467
89.467
11.183
1.65
0.152
Error
30
203.333
203.333
6.778
Total
44
793.244
S = 2.60342
R-Sq = 74.37%
R-Sq(adj) = 62.40%
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
309
Residual Plots for Respon Versus Fits 5.0
90
2.5
Residual
Percent
Normal Probability Plot 99
50 10 1
-5.0
-2.5
0.0 Residual
2.5
0.0 -2.5 -5.0
5.0
85
90
Histogram
9
2.5
Residual
12 Frequency
100
Versus Order 5.0
6
0.0 -2.5
3 0
95 Fitted Value
-4
-2
0 Residual
2
4
-5.0
1
5
10
15 20 25 30 35 Observation Order
Main Effects Plot for Respon Main Effects Plot for Respon Data Means 96 95 94 Mean
93 92 91 90 89 88 P1
P2
P3 Perendaman
P4
P5
40
45
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
310
Scale: Uji Reliabilitas Data Case Processing Summary N Cases
Valid Excludeda Total
% 57
100.0
0
.0
57
100.0
a. Listwise deletion based on all variables in the procedure. Reliability Statistics Cronbach's Alpha
Part 1
Value N of Items
Part 2
Value N of Items Total N of Items
Spearman-Brown Coefficient
.791 21a .896 21b 42
Correlation Between Forms
.691
Equal Length
.817
Unequal Length
.817
Guttman Split-Half Coefficient
.804
a. The items are: X101, X102, X103, X104, X105, X106, X107, X108, X109, X110, X111, X112, X113, X114, X115, X116, X117, X118, X119, X120, X121. b. The items are: X122, X123, X124, X125, X126, X127, X128, X129, X130, X131, X132, X133, X134, X135, X136, X137, X138, X139, X140, X141, X142.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
311
Item-Total Statistics Scale Mean if Item
Scale Variance if Item Corrected Item-Total
Cronbach's Alpha if
Deleted
Deleted
Correlation
Item Deleted
X101
145.91
115.439
.261
.911
X102
145.75
115.617
.265
.911
X103
145.98
113.018
.447
.909
X104
145.65
115.232
.287
.910
X105
145.81
117.873
.047
.913
X106
145.89
115.739
.255
.911
X107
145.84
113.921
.376
.909
X108
145.74
115.697
.198
.912
X109
145.79
113.633
.385
.909
X110
145.91
111.653
.531
.907
X111
146.00
111.036
.433
.909
X112
145.65
116.446
.241
.911
X113
145.84
113.707
.351
.910
X114
145.89
113.489
.407
.909
X115
145.82
114.469
.384
.909
X116
145.82
113.969
.433
.909
X117
146.12
112.074
.394
.910
X118
145.74
114.876
.370
.909
X119
145.95
111.944
.458
.908
X120
145.75
114.046
.448
.909
X121
146.00
114.214
.401
.909
X122
145.79
113.955
.410
.909
X123
145.91
110.867
.565
.907
X124
145.93
111.031
.615
.906
X125
145.79
112.919
.506
.908
X126
145.93
112.745
.500
.908
X127
145.75
113.796
.473
.908
X128
145.96
111.820
.584
.907
X129
145.86
111.516
.547
.907
X130
145.79
113.812
.458
.909
X131
146.09
112.867
.477
.908
X132
145.82
113.862
.443
.909
X133
146.04
111.534
.494
.908
X134
145.88
111.538
.490
.908
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
r tabel = 0,433
312
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
313
Item-Total Statistics Scale Corrected Item- Cronbach's Scale Mean if Variance if Total Alpha if Item Item Deleted Item Deleted Correlation Deleted
Keputusan
X101
145.91
115.439
.261
.261
Tidak Valid
X102
145.75
115.617
.265
.265
Tidak Valid
X103
145.98
113.018
.447
.447
Valid
X104
145.65
115.232
.287
.287
Tidak Valid
X105
145.81
117.873
.047
.047
Tidak Valid
X106
145.89
115.739
.255
.255
Tidak Valid
X107
145.84
113.921
.376
.376
Tidak Valid
X108
145.74
115.697
.198
.198
Tidak Valid
X109
145.79
113.633
.385
.385
Tidak Valid
X110
145.91
111.653
.531
.531
Valid
X111
146.00
111.036
.433
.433
Valid
X112
145.65
116.446
.241
.241
Tidak Valid
X113
145.84
113.707
.351
.351
Tidak Valid
X114
145.89
113.489
.407
.407
Tidak Valid
X115
145.82
114.469
.384
.384
Tidak Valid
X116
145.82
113.969
.433
.433
Valid
X117
146.12
112.074
.394
.394
Tidak Valid
X118
145.74
114.876
.370
.370
Tidak Valid
X119
145.95
111.944
.458
.458
Valid
X120
145.75
114.046
.448
.448
Valid
X121
146.00
114.214
.401
.401
Tidak Valid
X122
145.79
113.955
.410
.410
Tidak Valid
X123
145.91
110.867
.565
.565
Valid
X124
145.93
111.031
.615
.615
Valid
X125
145.79
112.919
.506
.506
Valid
X126
145.93
112.745
.500
.500
Valid
X127
145.75
113.796
.473
.473
Valid
X128
145.96
111.820
.584
.584
Valid
X129
145.86
111.516
.547
.547
Valid
X130
145.79
113.812
.458
.458
Valid
X131
146.09
112.867
.477
.477
Valid
X132
145.82
113.862
.443
.443
Valid
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
314
BAHAN BACAAN
1. Anto Dayan, 1984, Pengantar Metode Statistik. Jilid I dan II, LP3ES, Jakarta. 2. Dudewicz, E.J. and Misra, S.N., 1988, Modern Mathematical Statistics, John Wiley & Sons Ltd Inc. 3. Husaini Usman dan Purnomo S A., 2008, Pengantar Staistika. Edisi Kedua, Bumi Aksara, Jakarta 4. Nar Herrhyanto dan HM Akib Hamid, 2007, Statistika Dasar, Universitas Terbuka, Jakarta.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
315
5. Program Paket Minitab 15 Statistical Software English dan Program Paket Minitab 11.12 32 Bit. 6. Program Paket SPSS Statistics 17.0 7. Riduwan. 2007. Pengantar Staistika untuk Penelitian Pendidikan, Sosial, Ekonomi, Komunikasi dan Bisnis. Alfabeta. Bandung. 8. Sidney Siegel, 1992, Statistik Nonparametrik: Untuk Ilmu-ilmu Sosial, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. 9. Singgih Santoso, 2003, Statistik Deskriptif: Konsep dan Aplikasi dengan Microsoft Excel dan Andi , Yogyakarta.
SPSS,
10. Steel, R., G., D., and Torrie, J.,H., 1980, Principles and Procedures of Statistics, Mc Graw Hill Kogakusha, Ltd., Tokyo. 11. Sudjana. 1996. Metode Statistika. Edisi Ke-6, Tarsito. Bandung. 12. Sugiyono. 2009. Metode Penelitian Pendidikan. Alfabeta. Bandung. 13. Walpole, R.E., 1997, Pengantar Staistika. Edisi ke-3 , Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. .
Lampiran-lampiran Gambar 1.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
316
Distribution Plot Binomial; n=5; p=0,5 0,35 0,30
Probability
0,25 0,20 0,15 0,10 0,05
0,0313
0,00
0
5
X
Gambar 2 Distribution Plot Binomial; n=20; p=0,5 0,20
Probability
0,15
0,10
0,05
0,00
0,0207 3
X
15
Untuk mendapatkan harga Tabel Binomial baik harga Probability Density Function maupun Cumulative Distribution Function. Caranya sebagai berikut: Dalam Program Minitab. Langkah-langkahnya
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
317
Isi Worksheet C1 misal judul Binom 5, lalu isi kolom tersebut dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5. Selanjutnya klik Calc pilih Probability Distributions pilih Binomial Pilih Probability isi Number of trials dengan angka 5 dan isi event probalility dengan angka 0,5 Input column dengan Binom 5 pindahkan ke kotak dialog caranya klik-klik OK maka diperoleh hasil sebagai berikut Probability Density Function Binomial with n = 5 and p = 0,5 x
P( X = x )
0
0,03125
1
0,15625
2
0,31250
3
0,31250
4
0,15625
5
0,03125
Dengan cara yang sama Langkah 1 dan 2 sama Pilih Cumulative Distribution OK Cumulative Distribution Function Binomial with n = 5 and p = 0,5 x
P( X 30
0,01 0,417 0,405 0,364 0,348 0,331 0,311 0,294 0,284 0,275 0,268 0,261 0,257 0,250 0,245 0,239 0,235 0,231 0,200 0,187 1,031
Taraf Nyata 0,05 0,381 0,337 0,319 0,300 0,285 0,271 0,258 0,249 0,242 0,234 0,227 0.220 0,213 0,206 0,200 0,195 0,19 0,173 0,161 0,886
0,10 0,352 0,315 0,294 0,276 0.261 0,249 0,239 0,230 0,223 0,214 0,207 0,201 0,195 0,189 0,184 0,179 0,174 0,158 0,144 0,805
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
Tabel 2. g Nilai kritis J untuk Uji Wilcoxon N 6 7 8 9 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Taraf Nyata 0,01 0,05 0 2 0 4 2 6 3 8 5 11 7 14 10 17 13 21 16 25 20 30 23 35 28 40 32 46 38 52 43 59 49 66 55 73 61 81 68 89 Tabel 2. h Batas Kritis untuk Uji Korelasi berdasarkan Koefisien Korelasi Rank
N
=1%
=5%
330
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
331
4 1,000 5 1,000 0,900 6 0,943 0,829 7 0,893 0,714 8 0,833 0,643 9 0,783 0,600 10 0,746 0,564 12 0,701 0,504 14 0,645 0,456 16 0,601 0,425 18 0,564 0,399 20 0,534 0,377 22 0,508 0,359 24 0,485 0,343 26 0,465 0,329 28 0,448 0,317 30 0,432 0,306 Tabel 2.i TABEL ORDINAT DARI KURVA NORMAL TABEL ORDINAT DARI KURVA NORMAL P
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25
(1-p)
0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,90 0,89 0,88 0,87 0,86 0,85 0,84 0,83 0,82 0,81 0,80 0,79 0,78 0,77 0,76 0,75
Y
0,027 0,048 0,068 0,086 0,103 0,119 0,134 0,149 0,162 0,176 0,188 0,200 0,212 0,223 0,233 0,243 0,253 0,262 0,271 0,280 0,288 0,296 0,304 0,311 0,318
P(1 - p)/Y
0,366667 0,408333 0,427941 0,446512 0,461165 0,473950 0,485821 0,493960 0,505556 0,511364 0,520745 0,528000 0,533491 0,539910 0,547210 0,553086 0,557708 0,563359 0,567897 0,571429 0,576042 0,579730 0,582566 0,586495 0,589623
P
0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50
(1-p)
0,74 0,73 0,72 0,71 0,70 0,69 0,68 0,67 0,66 0,65 0,64 0,63 0,62 0,61 0,60 0,59 0,58 0,57 0,56 0,55 0,54 0,53 0,52 0,51 0,50
Y
0,324 0,331 0,337 0,342 0,348 0,353 0,358 0,362 0,366 0,370 0,374 0,378 0,381 0,384 0,386 0,389 0,391 0,393 0,394 0,396 0,397 0,398 0,398 0,399 0,399
p(1-p)/Y
0,593827 0,595468 0,598220 0,602047 0,603448 0,605949 0,607821 0,610773 0,613115 0,614865 0,616043 0,616667 0,618373 0,619531 0,621762 0,621851 0,623018 0,623664 0,625381 0,625000 0,625693 0,625879 0,627136 0,626316 0,626566
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
332
Tabel 2.j Batas Kritis Untuk Runtun U Dengan Taraf Nyata 5 % 5
6
7
8
9
2
2 8 2
2 8 2 1 0 3 1 1 3 1 2 3 1 3
2 8 2 1 0 3 1 1 3 1 2 4 1 3 4 1 4
2 8 2 1 0 3 1 2 4 1 3 4 1 4 5 1 4 5 1 5
1 0
1 1
2 8 2 1 0 3 1 2 4 1 3 5 1 4 5 1 5 5 1 6 6 1 6
2 8 3 1 0 4 1 2 4 1 3 5 1 4 5 1 5 6 1 6 6 1 7 7
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9 2 1 0
9 3 1 0 3 1 1
1 2 2 6 2 8 3 1 0 4 1 2 4 1 3 5 1 4 6 1 6 6 1 6 7 1 7 7
1 3 2 6 2 8 3 1 0 4 1 2 5 1 4 5 1 5 6 1 6 6 1 7 7 1 8 7
1 4 2 6 2 8 3 1 0 4 1 2 5 1 4 5 1 5 6 1 6 7 1 7 7 1 8 8
1 5 2 6 3 8 3 1 0 4 1 2 5 1 4 6 1 5 6 1 7 7 1 8 7 1 8 8
1 6 2 6 3 8 4 1 0 4 1 2 5 1 4 6 1 6 6 1 7 7 1 8 8 1 9 8
1 7 2 6 3 8 4 1 0 4 1 2 5 1 4 6 1 6 7 1 7 7 1 8 8 1 9 9
1 8 2 6 3 8 4 1 0 5 1 2 5 1 4 6 1 6 7 1 7 8 1 8 8 1 9 9
1 9 2 6 3 8 4 1 0 5 1 2 6 1 4 6 1 6 7 1 7 8 1 8 8 2 0 9
2 0 2 6 3 8 4 1 0 5 1 2 6 1 4 6 1 6 7 1 7 8 1 8 9 2 0 1
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
1 7 12
333
1 8
1 9
1 9
1 9
2 0
2 0
2 0
7 1 9
8 1 9
8 2 0
8 2 0
9 2 1
8 2 0
9 2 0
9 2 1
9 2 1
9 2 2 1 0 2 2
9 2 1 1 0 2 2 1 0 2 3 1 1 2 3
9 2 1 1 0 2 2 1 0 2 3 1 1 2 3 1 1 2 4 1 1 2 5
9 2 1 1 0 2 2 1 0 2 3 1 1 2 4 1 1 2 5 1 2 2 5 1 2 2 6
13
14
15
16
17
18
19
20
Tabel k Batas Uji Durbin-Watson α = 5 % p1=1
p1= 2
p1=3
p1=4
p-1=5
2 1 1 0 2 2 1 0 2 3 1 1 2 3 1 1 2 4 1 2 2 5 1 2 2 6 1 3 2 7 1 3 2 7
0 2 1 1 0 2 2 1 1 2 3 1 1 2 4 1 2 2 4 1 2 2 5 1 3 2 6 1 3 2 7 1 3 2 7 1 4 2 8
Eri Setiawan
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
dL 1,08 1,10 1,13 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,27 1,29 1,30 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,43 1,44 1,48 1,50 1,53 1,55 1,57 1,58 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65
Pengantar Statistika
dU 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,45 1,46 1,47 1,48 1,48 1,49 1,50 1,50 1,51 1,51 1,52 1,52 1,53 1,54 1,54 1,54 1,57 1,59 1,60 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,69
dL 0,95 0,98 1,02 1,05 1,06 1,10 1,13 1,15 1,17 1,19 1,21 1,22 1,24 1,26 1,27 1,28 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,43 1,46 1,49 1,51 1,54 1,55 1,57 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63
dU 1,54 1,54 1,54 1,53 1,53 1,54 1,54 1,54 1,54 1,55 1,55 1,55 1,56 1,56 1,56 1,57 1,57 1,57 1,58 1,58 1,58 1,59 1,59 1,59 1,60 1,60 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,70 1,71 1,72
dL 0,82 0,86 0,90 0,93 0,97 1,00 1,03 1,05 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,21 1,23 1,24 1,26 1,27 1,28 1,29 1,31 1,32 1,33 1,34 1,38 1,42 1,45 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,57 1,59 1,60 1,61
dU 1,75 1,73 1,71 1,69 1,68 1,68 1,67 1,66 1,66 1,66 1,66 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66 1,66 1,67 1,67 1,68 1,69 1,70 1,70 1,71 1,72 1,72 1,73 1,73 1,74
dL 0,69 0,74 0,78 0,82 0,86 0,90 0,93 0,96 0,99 1,01 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,19 1,21 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,29 1,34 1,38 1,41 1,44 1,47 1,49 1,51 1,53 1,55 1,57 1,58 1,59
334
dU 1,97 1,93 1,90 1,87 1,85 1,83 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,76 1,76 1,75 1,74 1,74 1,74 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,73 1,73 1,74 1,74 1,74 1,75 1,75 1,75 1,76
Gambar 4.
dL 0,56 0,62 0,67 0,71 0,75 0,79 0,83 0,86 0,90 0.93 0.95 0,98 1,01 1,03 1,05 1,07 1,09 1,11 1,13 1,15 1,16 1,18 1,19 1,21 1,22 1,23 1,29 1,34 1,38 1,41 1,44 1,47 1,49 1,51 1,52 1,54 1,56 1,57
dU 2,21 2,15 2,10 2,06 2,02 1,96 1,94 1,92 1,90 1,89 1,88 1,86 1,85 1,84 1,83 1,83 1,82 1,81 1,81 1,80 1,80 1,80 1,79 1,79 1,79 1,78 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,78 1,78 1,78
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
335
Distribution Plot Poisson; Mean=3 0,25
Probability
0,20
0,15
0,10
0,05 0,0335 0,00
0
7
X
Gambar 5. Distribution Plot Poisson; Mean=15 0,10
Probability
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0
5
10
15 X
20
25
30
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
336
Tabel 3. Tabel Kumulatif Sebaran/Distribusi Poisson ( Jumlah Peluang Poisson X 0 1 2 3 4 5 6
0,1 0,9048 0,9953 0,9998 1,0000
0,2 0,8187 0,9825 0,9989 0,9999 1,0000
0,3 0,7408 0,9631 0,9964 0,9997 1,0000
0,4 0,6730 0,9384 0,9921 0,9992 0,9999 1,0000
0,5 0,6165 0,9098 0,9856 0,9982 0,9998 1,0000
0,6 0,5488 0,8781 0,9769 0,9966 0,9996 1,0000
Tabel Kumulatif Sebaran/Distribusi Poisson ( Jumlah Peluang Poisson
P( X ; ) x 0
0,7 0,4966 0,8442 0,9659 0,9942 0,9992 0,9999 1,0000
0,8 0,4493 0,8088 0,9526 0,9909 0,9986 0,9998 1,0000
P( X ; ) x 0
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1,0 0,3679 0,7358 0,9197 0,9810 0,9963 0,9994 0,9999 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1,5 0,2231 0,5578 0,8088 0,9344 0,9814 0,9955 0,9991 0,9998 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2,0 0,1353 0,4060 0,6767 0,8571 0,9473 0,9834 0,9955 0,9989 0,9998 1 1 1 1 1 1 1 1
2,5 0,0821 0,2873 0,5438 0,7576 0,8912 0,9580 0,9858 0,9958 0,9989 0,9997 0,9999 1 1 1 1 1 1
3,0 0,0498 0,1991 0,4232 0,6472 0,8153 0,9161 0,9665 0,9881 0,9962 0,9989 0,9997 0,9999 1 1 1 1 1
3,5 0,0302 0,1359 0,3208 0,5366 0,7254 0,8576 0,9347 0,9733 0,9901 0,9967 0,9990 0,9997 0,9999 1 1 1 1
4,0 0,0183 0,0916 0,2381 0,4335 0,6288 0,7851 0,8893 0,9489 0,9786 0,9919 0,9972 0,9991 0,9997 0,9999 1 1 1
Tabel Kumulatif Sebaran/Distribusi Poisson ( Jumlah Peluang Poisson
4,5 0,0111 0,0611 0,1736 0,3423 0,5321 0,7029 0,8311 0,9134 0,9597 0,9829 0,9933 0,9976 0,9992 0,9997 0,9999 1 1
5,0 0,0067 0,0404 0,1247 0,2650 0,4405 0,6160 0,7622 0,8666 0,9319 0,9682 0,9863 0,9945 0,9980 0,9993 0,9998 0,9999 1
P( X ; ) x 0
0,9 0,4066 0,7725 0,9371 0,9865 0,9977 0,9997 1,0000
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
337
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
5,5 0,0041 0,0266 0,0884 0,2017 0,3575 0,5289 0,6860 0,8944 0,9462 0,9747 0,9890 0,9955 0,9983 0,9994 0,9998 0,9999 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6,0 0,0025 0,0174 0,0620 0,1512 0,2851 0,4457 0,6063 0,8472 0,9161 0,9574 0,9799 0,9912 0,9964 0,9986 0,9995 0,9998 0,9999 1 1 1 1 1 1 1 1
6,5 0,0015 0,0113 0,0430 0,1118 0,2237 0,3690 0,5265 0,7916 0,8774 0,9332 0,9661 0,9840 0,9929 0,9970 0,9988 0,9996 0,9998 1 1 1 1 1 1 1 1
7,0 0,0009 0,0073 0,0296 0,0818 0,1730 0,3007 0,4497 0,7291 0,8305 0,9015 0,9467 0,9730 0,9872 0,9943 0,9976 0,9990 0,9996 1 1 1 1 1 1 1 1
7,5 0,0006 0,0047 0,0203 0,0591 0,1321 0,2414 0,3782 0,6620 0,7764 0,8622 0,9208 0,9573 0,9784 0,9897 0,9954 0,9980 0,9992 0,9999 1 1 1 1 1 1 1
8,0 0,0003 0,0030 0,0138 0,0424 0,0996 0,1912 0,3134 0,5925 0,7166 0,8159 0,8881 0,9362 0,9658 0,9827 0,9918 0,9963 0,9984 0,9997 0,9999 1 1 1 1 1 1
8,5 0,0002 0,0019 0,0093 0,0301 0,0744 0,1496 0,2562 0,5231 0,6530 0,7634 0,8487 0,9091 0,9486 0,9726 0,9862 0,9934 0,9970 0,9995 0,9998 0,9999 1 1 1 1 1
Tabel Kumulatif Sebaran/Distribusi Poisson ( Jumlah Peluang Poisson
9,0 0,0001 0,0012 0,0062 0,0212 0,0550 0,1157 0,2068 0,4557 0,5874 0,7060 0,8030 0,8758 0,9261 0,9585 0,9780 0,9889 0,9947 0,9989 0,9996 0,9998 0,9999 1 1 1 1
P( X ; ) x 0
9,5 0 0,0008 0,0042 0,0149 0,0403 0,0885 0,1649 0,3918 0,5218 0,6453 0,7520 0,8364 0,8981 0,9400 0,9665 0,9823 0,9911 0,9980 0,9991 0,9996 0,9999 0,9999 1 1 1
Eri Setiawan
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
10 0 0,0005 0,0028 0,0103 0,0293 0,0671 0,1301 0,2202 0,3328 0,4579 0,5830 0,6968 0,7916 0,8645 0,9165 0,9513 0,9730 0,9857 0,9928 0,9965 0,9984 0,9993 0,9997 0,9999 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Pengantar Statistika
11 0 0,0002 0,0012 0,0049 0,0151 0,0375 0,0786 0,1432 0,2320 0,3405 0,4599 0,5793 0,6887 0,7813 0,8540 0,9074 0,9441 0,9678 0,9823 0,9907 0,9953 0,9977 0,9990 0,9995 0,9998 0,9999 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 0 0 0,0005 0,0023 0,0076 0,0203 0,0458 0,0895 0,1550 0,2424 0,3472 0,4616 0,5760 0,6815 0,7720 0,8444 0,8987 0,9370 0,9626 0,9787 0,9884 0,9939 0,9970 0,9985 0,9993 0,9997 0,9999 0,9999 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
13 0 0 0,0002 0,0011 0,0037 0,0107 0,0259 0,0540 0,0998 0,1658 0,2517 0,3532 0,4631 0,5730 0,6751 0,7636 0,8355 0,8905 0,9302 0,9573 0,9750 0,9859 0,9924 0,9960 0,9980 0,9990 0,9995 0,9998 0,9999 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tabel 4.a. Tabel Z ( Normal Baku )
14 0 0 0 0,0005 0,0018 0,0055 0,0142 0,0316 0,0621 0,1094 0,1757 0,2600 0,3585 0,4644 0,5704 0,6694 0,7559 0,8272 0,8826 0,9235 0,9521 0,9712 0,9833 0,9907 0,9950 0,9974 0,9987 0,9994 0,9997 0,9999 0,9999 1 1 1 1 1 1 1
338
15 0 0 0 0,0002 0,0009 0,0028 0,0076 0,0180 0,0374 0,0699 0,1185 0,1848 0,2676 0,3632 0,4657 0,5681 0,6641 0,7489 0,8195 0,8752 0,9170 0,9469 0,9673 0,9805 0,9888 0,9938 0,9967 0,9983 0,9991 0,9996 0,9998 0,9999 1 1 1 1 1 1
16 0 0 0 0 0,0004 0,0014 0,0040 0,0100 0,0220 0,0433 0,0774 0,1270 0,1931 0,2745 0,3675 0,4667 0,5660 0,6593 0,7423 0,8122 0,8682 0,9108 0,9418 0,9633 0,9777 0,9869 0,9925 0,9959 0,9978 0,9989 0,9994 0,9997 0,9999 0,9999 1 1 1 1
17 0 0 0 0 0,0002 0,0007 0,0021 0,0054 0,0126 0,0261 0,0491 0,0847 0,1350 0,2009 0,2808 0,3715 0,4677 0,5640 0,6550 0,7363 0,8055 0,8615 0,9047 0,9367 0,9594 0,9748 0,9848 0,9912 0,9950 0,9973 0,9986 0,9993 0,9996 0,9998 0,9999 1 1 1
18 0 0 0 0 0 0,0003 0,0010 0,0029 0,0071 0,0154 0,0304 0,0549 0,0917 0,1426 0,2081 0,2867 0,3751 0,4686 0,5622 0,6509 0,7307 0,7991 0,8551 0,8989 0,9317 0,9554 0,9718 0,9827 0,9897 0,9941 0,9967 0,9982 0,9990 0,9995 0,9998 0,9999 0,9999 1
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
339 Distribution Plot Normal; Mean=0; StDev=1 0,4
Distribution Plot Normal; Mean=0; StDev=1 0,4
0,3 Density
Density
0,3
0,2
0,2
0,841
0,1 0,1
0,0
0,0 -3,5
0
1
-3
-2
-1
X
Z -3,4 -3,3 -3,2 -3,1 - 3,0 -2,9 -2,8 -2,7 -2,6 -2,5 -2,4 -2,3 -2,2 -2,1 -2,0 -1,9 -1,8 -1,7 -1,6 - 1,5 - 1,4 -1,3 -1,2 -1,1 -1,0 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1
0,00 0,0003 0,0005 0,0007 0,0010 0,0013 0,0019 0,0026 0,0015 0,0047 0,0062 0,0082 0,0107 0,0139 0,0179 0,0228 0,0287 0,0359 0,0446 0,0548 0,0668 0,0808 0,0968 0,1151 0,1357 0,1587 0,1841 0,2119 0,2420 0,2743 0,3085 0,3446 0,3821 0,4207 0,4602
0,01 0,0003 0,0005 0,0007 0,0008 0,0013 0,0018 0,0025 0,0034 0,0045 0,0060 0,0080 0,0104 0,0136 0,0174 0,0222 0,0281 0,0351 0,0434 0,0538 0,0655 0,0793 0,0951 0,1131 0,1335 0,1562 0,1814 0,2090 0,2389 0,2709 0,3050 0,3409 0,3821 0,4168 0,4562
0,03 0,0003 0,0005 0,0006 0,0009 0,0013 0,0017 0,0024 0,0033 0,0044 0,0059 0,0078 0,0102 0,0132 0,0170 0,0217 0,0274 0,0344 0,0427 0,0526 0,0643 0,0778 0,0934 0,1112 0,1314 0,1539 0,1788 0,2061` 0,2358 0,2676 0,3015 0,3372 0,3783 0,4129 0,4522
0,03 0,0003 0,0004 0,0006 0,0009 0,0012 0,0017 0,0023 0,0032 0,0043 0,0057 0,0075 0,0099 0,0129 0,0166 0,0212 0,0268 0,0336 0,0418 0,0516 0,0630 0,0764 0,0918 0,1093 0,1292 0,1515 0,1762 0,2033 0,2327 0,2643 0,2981 0,3336 0,3745 0,4090 0,4487
Tabel 4.b. Tabel Z ( Normal Baku )
0,04 0,0003 0,0004 0,0006 0,0008 0,0012 0,0016 0,0023 0,0031 0,0041 0,0055 0,0073 0,0096 0,0125 0,0162 0,0207 0,0262 0,0329 0,0409 0,0505 0,0618 0,0749 0,0901 0,1075 0,1271 0,1492 0,1736 0,2005 0,2296 0,2611 0,2946 0,3300 0,3707 0,4052 0,4443
0,05 0,0003 0,0004 0,0006 0,0008 0,0011 0,0016 0,0022 0,0030 0,0040 0,0054 0,0071 0,0094 0,0122 0,0158 0,0202 0,0256 0,0322 0,0401 0,0495 0,0606 0,0735 0,0885 0,1056 0,1251 0,1469 0,1711 0,1977 0,2266 0,2578 0,2912 0,3264 0,3669 0,4013 0,4404
0,06 0,0003 0,0004 0,0005 0,0008 0,0011 0,0015 0,0021 0,0029 0,0039 0,0052 0,0069 0,0091 0,0119 0,0152 0,0197 0,0250 0,0314 0,0392 0,0485 0,0594 0,0722 0,0869 0,1038 0,1230 0,1446 0,1685 0,1949 0,2236 0,2546 0,2877 0,3228 0,3632 0,3974 0,4364
0 X
1
0,07 0,0003 0,0004 0,0005 0,0008 0,0011 0,0015 0,0021 0,0028 0,0038 0,0051 0,0068 0,0089 0,0116 0,0150 0,0192 0,0244 0,0307 0,0384 0,0475 0,0582 0,0708 0,0853 0,1020 0,1210 0,1423 0,1660 0,1922 0,2206 0,2514 0,2843 0,3192 0,3594 0,3936 0,4325
2
3
0,08 0,0002 0,0004 0,0005 0,0007 0,0010 0,0014 0,0020 0,0027 0,0037 0,0049 0,0066 0,0087 0,0113 0,0146 0,0188 0,0239 0,0301 0,0375 0,0465 0,0571 0,0694 0,0838 0,1003 0,1190 0,1401 0,1635 0,1894 0,2177 0,2483 0,2810 0,3156 0,3520 0,3897 0,4286
0,09 0,0002 0,0004 0,0005 0,0007 0,0010 0,0014 0,0019 0,9974 0,0036 0,0048 0,0064 0,0084 0,0110 0,0143 0,0183 0,0233 0,0294 0,0367 0,0455 0,0559 0,0681 0,0823 0,0985 0,1170 0,1379 0,1611 0,1867 0,2148 0,2451 0,2776 0,3121 0,3483 0,3859 0,4247
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
340 Distribution Plot Normal; Mean=0; StDev=1
Distribution Plot Normal; Mean=0; StDev=1
0,4
0,4
0,3
0,2
Density
Density
0,3
0,841
0,2
0,1
0,1
0,0
0,0
-3,5
0
1
-3
-2
X
Z 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997
0,01 0,50 40 0,5438 0,5832 0,6179 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997
0,03
0,03
0,04
0,5080 0,5478 0,5871 0,6217 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997
0,5120 0,5517 0,5910 0,6255 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997
0,5160 0,5557 0,5948 0,6293 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997
Tabel 5. Tabel t ( t Student )
0,05 0,519 9 0,5596 0,5987 0,6331 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997
-1
0 X
1
2
3
0,06
0,07
0,08
0,09
0,5239 0,5636 0,6026 0,6368 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9278 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997
0,5279 0,5675 0,6064 0,6406 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997
0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997
0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9077 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
341
Distribution Plot T, df=15
Distribution Plot T; df=15
0.4 0,4
0.3
Density
Density
0,3
0.9 0.2
0.1
0,2
0,1 0,05
0.0
Nilai Kritis Sebaran t Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 Inf
0,100 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,300 1,300 1,290 1,280
0,050 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,700 1,680 1,670 1,660 1,645
0,025 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,040 2,020 2,000 1,980 1,960
0,010 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,460 2,420 2,390 2,360 2,330
0 X
0,005 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,700 2,660 2,620 2,580
0,200 1,376 1,061 0,978 0,941 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,885 0,863 0,862 0,861 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,851 0,848 0,845 0,842
0,0
1.34
0,250 1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,687 0,686 0,686 0,685 0,685 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,683 0,681 0,679 0,677 0,674
0,900 -3,078 -1,886 -1,638 -1,533 -1,476 -1,440 -1,415 -1,397 -1,383 -1,372 -1,363 -1,356 -1,350 -1,345 -1,341 -1,337 -1,333 -1,330 -1,328 -1,325 -1,323 -1,321 -1,319 -1,318 -1,316 -1,315 -1,314 -1,313 -1,311 -1,310 -1,300 -1,300 -1,290 -1,280
Chi-Square; df=15
Chi-Square, df=15
0.07
0,07
0.06
0,06
0.05
0,05
Density
Density
0,08
0.9
0.04
Tabel 6. Tabel ( Khi- Kuadrat )
0,04
0.03
0,03
0.02
0,02 0,01
0.01
2
0.00
0,975 -12,706 -4,303 -3,182 -2,776 -2,571 -2,447 -2,365 -2,306 -2,262 -2,228 -2,201 -2,179 -2,160 -2,145 -2,131 -2,120 -2,110 -2,101 -2,093 -2,086 -2,080 -2,074 -2,069 -2,064 -2,060 -2,056 -2,052 -2,048 -2,045 -2,040 -2,020 -2,000 -1,980 -1,960
Distribution Plot
Distribution Plot 0.08
0,950 -6,314 -2,920 -2,353 -2,132 -2,015 -1,943 -1,895 -1,860 -1,833 -1,812 -1,796 -1,782 -1,771 -1,761 -1,753 -1,746 -1,740 -1,734 -1,729 -1,725 -1,721 -1,717 -1,714 -1,711 -1,708 -1,706 -1,703 -1,701 -1,699 -1,700 -1,680 -1,670 -1,660 -1,645
0
22.3 X
0,00
0,05 0
X
25,0
0 X
1,75
0,990 -31,821 -6,965 -4,541 -3,747 -3,365 -3,143 -2,998 -2,896 -2,821 -2,764 -2,718 -2,681 -2,650 -2,624 -2,602 -2,583 -2,567 -2,552 -2,539 -2,528 -2,518 -2,508 -2,500 -2,492 -2,485 -2,479 -2,473 -2,467 -2,462 -2,460 -2,420 -2,390 -2,360 -2,330
Eri Setiawan Pengantar Statistika
342
V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0,995 0,000393 0,0100 0,0717 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787
0,990 0,00157 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,256 14,953
0,975 0,00982 0,0506 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791
0,950 0,0393 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493
0,050 3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,326 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773
0,025 5,024 7,378 9,348 11,143 12,832 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,194 44,461 45,722 46,979
0,010 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588 50,892
0,005 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 29,819 31,319 32,807 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,558 46,928 48,290 49,645 50,993 52,336 53,672 Distribution Plot
Distribution Plot
F; df1=25; df2=25
F, df1=8, df2=15 1,2
0.8 0.7
1,0
0.6
Tabel 7.a Tabel F 1 2 3 4 5 6 7
1 161,4 4052 18,51 98,49 10,13 34,12 7,71 21,20 6,61 16,26 5,99 13,74 5,59 12,25
2 199,5 4999 19,00 99,00 9,55 30,82 6,94 18,00 5,79 13,27 5,14 10,92 4,74 9,55
0.4 0.3
0,6 0,4
0.2
= 5 % dan 1 % 3 215,7 5403 19,16 99,17 9,55 29,46 6,94 16,69 5,79 12,06 5,14 9,78 4,74 8,45
0,8
0.5
D ensity
D ensity
f ( v1,v 2 )
0.9
4 224,6 5625 19,25 99,25 9,12 28,71 6,39 15,98 5,19 11,39 4,53 9,15 4,12 7,85
5 230,2 5764 19,30 99,30 9,01 28,24 6,26 15,52 5,05 10,97 4,39 8,75 3,97 7,46
0,2
0.1
0,05 0.0
0
6 234,0 5859 19,33 99,33 8,94 27,91 6,16 15,21 4,95 10,67 4,28 8,47 3,87 7,19
2.12
0,0
0
X
7 236,8 5928 19,35 99,36 8,89 27,67 6,09 14,98 4,88 10,46 4,21 8,26 3,79 6,99
1,96 X
8 238,9 5981 19,37 99,37 8,85 27,49 6,04 14,80 4,82 10,29 4,15 8,10 3,73 6,84
9 240,5 6022 19,38 99,39 8,81 27,35 6,00 14,66 4,77 10,16 4,10 7,98 3,68 6,72
10 241,9 6056 19,40 99,40 8,79 27,23 5,96 14,55 4,74 10,05 4,06 7,87 3,64 6,62
11 243 6082 19,40 99,41 8,76 27,13 5,93 14,45 4,70 9,96 4,03 7,79 3,60 6,54
12 243,9 6106 19,41 99,42 8,74 27,05 5,91 14,37 4,68 9,89 4,00 7,72 3,57 6,47
Eri Setiawan 8 5,32 11,26 9 5,12 10,56 10 4,96 10,01 11 4,81 9,65 12 4,75 9,33 13 4,67 9,07 14 4,60 8,86 15 4,54 8,68 16 4,49 8,53 17 4,45 8,40 18 4,41 8,28 19 4,38 8,18 20 4,35 8,10 21 4,32 8,02 22 4,30 7,94
4,46 8,65 4,26 8,02 4.10 7,56 3,98 7,21 3,89 6,93 3,81 6,70 3,74 6,51 3,68 6,36 3,63 6,23 3,59 6,11 3,55 6,01 3,52 5,93 3,49 5,85 3,47 5,78 3,44 5,72
4,46 7,59 4,26 6,99 4,10 6,55 3,98 6,22 3,89 5,95 3,81 5,74 3,74 5,56 3,68 5,42 3,63 5,29 3,59 5,18 3,55 5,09 3,52 5,01 3,49 4,94 3,47 4,87 3,44 4,82
Tabel 7.b. Tabel F
3,84 7,01 3,63 6,42 3,48 5,99 3,36 5,67 3,26 5,41 3,18 5,21 3,11 5,04 3,06 4,89 3,01 4,77 2,96 4,67 2,93 4,58 2,90 4,50 2,87 4,43 2,84 4,37 2,82 4,31
Pengantar Statistika 3,69 3,58 6,63 6,37 3,48 3,37 6,06 5,80 3,33 3,22 5,64 5,39 3,20 3,09 5,32 5,07 3,11 3,00 5,06 4,82 3,03 2,92 4,86 4,62 2,96 2,85 4,69 4,46 2,90 2,79 4,56 4,32 2,85 2,74 4,44 4,20 2,81 2,70 4,34 4,10 2,77 2,66 4,25 4,01 2,74 2,63 4,17 3,94 2,71 2,60 4,10 3,87 2,68 2,57 4,04 3,81 2,66 2,55 3,99 3,76
3,50 6,18 3,29 5,61 3,14 5,20 3,01 4,89 2,91 4,64 2,83 4,44 2,76 4,28 2,71 4,14 2,66 4,03 2,61 3,93 2,58 3,84 2,54 3,77 2,51 3,70 2,49 3,64 2,46 3,59
3,44 6,03 3,23 5,47 3,07 5,06 2,95 4,74 2,85 4,50 2,77 4,30 2,70 4,14 2,64 4,00 2,59 3,89 2,55 3,79 2,51 3,71 2,48 3,63 2,45 3,56 2,42 3,51 2,37 3,45
3,39 5,91 3,18 5,35 3,02 4,94 2,90 4,63 2,80 4,39 2,71 4,19 2,65 4,03 2,59 3,89 2,54 3,78 2,49 3,68 2,46 3,60 2,42 3,52 2,39 3,46 2,37 3,40 2,34 3,35
3,35 5,81 3,14 5,26 2,98 4,85 2,85 4,54 2,75 4,30 2,67 4,10 2,60 3,94 2,54 3,80 2,49 3,69 2,45 3,59 2,41 3,51 2,38 3,43 2,35 3,37 2,32 3,31 2,30 3,26
3,31 5,74 3,10 5,18 2,94 4,78 2,82 4,46 2,72 4,22 2,63 4,02 2,56 3,86 2,51 3,73 2,45 3,61 2,41 3,52 2,37 3,44 2,34 3,36 2,31 3,30 2,28 3,24 2,26 3,18
343 3,28 5,67 3,07 5,11 2,97 4,71 2,79 4,40 2,69 4,16 2,60 3,96 2,53 3,80 2,48 3,67 2,42 3,55 2,38 3,46 2,34 3,37 2,31 3,30 2,28 3,23 2,25 3,17 2,23 3,12
f ( v1,v 2 ) = 5 % dan 1 %
Distribution Plot
Distribution Plot
F, df1=8, df2=15
F; df1=25; df2=25
0.8
1,2
0.7 1,0
0.6
0.9 0,8 Density
Density
0.5 0.4 0.3
0,6 0,4
0.2 0,2
0.1 0.0
23 24 25 26
0
1 4,28 7,88 4,26 7,82 4,24 7,77 4,23 7,72
2.12
2 3,42 5,66 3,40 5,61 3,39 5,57 3,37 5,53
0,0
X
3 3,03 4,76 3,01 4,72 2,99 4,68 2,98 4,64
4 2,80 4,26 2,78 4,22 2,76 4,18 2,74 4,14
5 2,64 3,94 2,62 3,90 2,60 3,85 2,59 3,82
6 2,53 3,71 2,51 3,67 2,49 3,63 2,47 3,59
7 2,44 3,54 2,42 3,50 2,40 3,46 2,39 3,42
0,05 0
X
8 2,37 3,41 2,36 3,36 2,34 3,32 2,32 3,29
9 2,32 3,30 2,36 3,26 2,34 3,22 2,32 3,18
1,96
10 2,27 3,21 2,25 3,17 2,24 3,13 2,22 3,09
11 2,24 3,14 2,22 3,09 2,20 3,05 2,18 3,02
12 2,20 3,07 2,18 3,03 2,16 2,99 2,15 2,96
Eri Setiawan 27 4,21 7,68 28 4,20 7,64 29 4,18 7,60 30 4,17 7,56 32 4,15 7,50 34 4,13 7,44 40 4,08 7,31 50 4,03 7,17 60 4,00 7,08 100 3,91 6,90 120 3,92 6,85
3,84 6,63
3,35 5,49 3,34 5,45 3,33 5,42 3,32 5,39 3,30 5,34 3,28 5,29 3,23 5,18 3,18 5,06 3,15 4,98 3,09 4,82 3,07 4,79
2,96 4,60 2,95 4,57 2,93 4,54 2,92 4,51 4,51 4,46 2,88 4,42 2,84 4,31 2,79 4,20 2,76 4,13 2,70 3,98 2,61 3,95
2,73 4,11 2,71 4,07 2,70 4,04 2,69 4,02 2,67 3,97 2,65 3,93 2,61 3,83 2,56 3,72 2,53 3,65 2,46 3,51 2,45 3,48
Pengantar Statistika 2,57 2,46 2,37 3,78 3,56 3,39 2,56 2,45 2,36 3,75 3,53 3,36 2,55 2,43 2,35 3,73 3,50 3,33 2,53 2,42 2,33 3,70 3,47 3,30 2,51 2,40 2,32 3,66 3,42 3,25 2,49 2,38 2,30 3,61 3,38 3,21 2,45 2,34 2,25 3,51 3,29 3,12 2,40 2,29 2,20 3,41 3,18 3,02 2,37 2,25 2,17 3,34 3,12 2,95 2,30 2,19 2,10 3,20 2,99 2,82 2,29 2,17 2,09 3,17 2,96 2,79
2,31 3,26 2,29 3,23 2,28 3,20 2,27 3,17 2,25 3,12 2,23 3,08 2,18 2,99 2,43 2,88 2,10 2,82 2,03 2,69 2,02 2,66
2,31 3,15 2,29 3,12 2,28 3,09 2,27 3,07 2,19 3,01 2,17 2,97 2,18 2,89 2,07 2,78 2,10 2,72 1,97 2,59 2,02 2,56
2,20 3,06 2,19 3,03 2,18 3,00 2,16 2,98 2,14 2,94 2,12 2,89 2,08 2,80 2,02 2,70 1,99 2,63 1,92 2,31 1,91 2,47
2,16 2,98 2,15 2,95 2,14 2,92 2,12 2,90 2,10 2,86 2,08 2,82 2,04 2,73 1,98 2,62 1,95 2,56 1,88 2,13 1,86 2,40
344 2,13 2,93 2,12 2,90 2,10 2,87 2,09 2,84 2,07 2,80 2,05 2,76 2,00 2,66 1,95 2,56 1,92 2,50 1,85 2,36 1,83 2,34
3,00 4,61
2,60 3,78
2,37 3,32
2,21 3,02
1,94 2,51
1,88 2,41
1,83 2,32
1,79 2,21
1,75 2,18
2,10 2,80
2,01 2,64
Distribution Plot
Distribution Plot
F; df1=25; df2=25
F, df1=8, df2=15 1,2
0.8 0.7
1,0
0.6
0,8
0.5
D ensity
D ensity
f ( v1,v 2 )
0.9
0.4 0.3
0,6 0,4
0.2
Tabel 7.c.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabel F
14 245 6142 19,42 99,43 8,71 26,92 5,87 14,24 4,64 9,77 3,96 7,60 3,52 6,35 3,23 5,56 3,02 5,00 2,86
15 245,9 6157 19,43 99,43 8,70 26,87 5,86 14,20 4,62 9,72 3,94 7,56 3,51 6,31 3,22 5,52 3,01 4,96 2,91
= 5 % dan 1 % 16 246 6169 19,43 99,44 8,69 26,83 5,84 14,15 4,60 9,68 3,92 7,52 3,49 6,27 3,20 5,48 2,98 4,92 2,82
20 248,0 6209 19,45 99,45 8,66 26,69 5,80 14,02 4,56 9,55 3,87 7,40 3,44 6,16 3,15 5,36 2,94 4,81 2,77
24 249 6234 19,45 99,46 8,64 26,60 5,77 13,93 4,53 9,47 3,84 7,31 3,41 6,07 3,12 5,28 2,90 4,73 2,74
0,2
0.1
0,05 0.0
0
30 250,1 6261 19,46 99,47 8,62 26,60 5,75 13,84 4,50 9,38 3,81 7,23 3,38 5,99 3,08 5,20 2,86 4,65 2,70
2.12
0,0
0
X
40 251 6286 19,47 99,47 8,60 26,41 5,71 13,75 4,46 9,29 3,77 7,14 3,34 5,91 3,05 5,12 3,56 4,57 2,67
1,96 X
50 252 6302 19,47 99,48 8,58 26,30 5,70 13,69 4,44 9,24 3,75 7,09 3,32 5,85 3,02 5,06 2,80 4,51 2,64
60 252,2 6313 19,48 99,48 8,57 26,32 5,69 13,65 4,43 9,29 3,74 7,14 3,30 5,91 3,01 5,12 2,79 4,57 2,62
100 253 6334 19,49 99,49 8,56 26,23 5,66 13,57 4,40 9,13 3,71 6,99 3,28 5,75 2,98 4,96 2,76 4,41 2,59
120 253,3 6339 19,49 99,49 8,55 26,22 5,66 13,56 4,40 9,11 3,70 6,97 3,27 5,74 2,97 4,95 2,75 4,40 2,58
254,3 6366 19,50 99,50 8,53 26,13 5,63 13,46 4,36 9,02 3,67 6,88 3,23 5,65 2,93 4,86 2,71 4,31 2,54
Eri Setiawan 4,60 11 2,74 4,29 12 2,64 4,05 13 2,55 3,85 14 2,48 3,70 15 2,43 3,56 16 2,37 3,45 17 2,33 3,35 18 2,29 3,27 19 2,26 3,19 20 2,23 3,13 21 2,20 3,07 22 2,18 3,02
4,56 2,72 4,25 2,62 4,01 2,53 3,82 2,46 3,66 2,40 3,52 2,35 3,41 2,31 3,31 2,27 3,23 2,23 3,15 2,20 3,09 2,18 3,03 2,15 2,98
4,52 2,70 4,21 2,60 3,98 2,51 3,78 2,44 3,62 2,39 3,48 2,33 3,37 2,29 3,27 2,26 3,19 2,21 3,12 2,18 3,05 2,15 2,99 2,13 2,94
Tabel 7.d. Tabel F
4,41 2,65 4,10 2,54 3,86 2,46 3,66 2,39 3,51 2,33 3,37 2,28 3,26 2,23 3,16 2,19 3,08 2,16 3,00 2,12 2,94 2,10 2,88 2,07 2,83
Pengantar Statistika 4,33 4,25 2,61 2,57 4,02 3,94 2,51 2,47 3,78 3,70 2,42 2,38 3,59 3,51 2,35 2,31 3,43 3,35 2,29 2,25 3,29 3,21 2,24 2,19 3,18 3,10 2,19 2,15 3,08 3,00 2,15 2,11 3,00 2,92 2,11 2,07 2,92 2,84 2,08 2,04 2,86 2,78 2,05 2,01 2,80 2,72 2,03 1,98 2,75 2,67
4,17 2,53 3,86 2,42 3,62 2,34 3,43 2,27 3,27 2,21 3,13 2,16 3,02 2,11 2,92 2,07 2,84 2,02 2,76 1,99 2,69 1,96 2,64 1,93 2,58
4,12 2,50 3,80 2,40 3,56 2,32 3,37 2,24 3,21 2,18 3,07 2,13 2,96 2,08 2,86 2,04 2,78 2,00 2,70 1,96 2,63 1,93 2,58 1,91 2,53
4,17 2,49 3,86 2,38 3,62 2,30 3,43 2,22 3,27 2,16 3,13 2,11 3,02 2,06 2,92 2,02 2,84 1,98 2,76 1,95 2,69 1,92 2,64 1,89 2,58
4,01 2,45 3,70 2,35 3,46 2,26 3,27 2,19 3,11 2,12 2,97 2,07 2,86 2,02 2,76 1,98 2,68 1,94 2,60 1,90 2,53 1,87 2,47 1,84 2,42
4,00 2,45 3,69 2,34 3,45 2,25 3,25 2,18 3,09 2,11 2,96 2,06 2,84 2,01 2,75 1,97 2,66 1,93 2,58 1,90 2,52 1,87 2,46 1,84 2,40
345 3,91 2,40 3,60 2,30 3,36 2,21 3,17 2,13 3,00 2,07 2,87 2,01 2,75 1,96 2,65 1,92 2,57 1,88 2,49 1,84 2,42 1,81 2,36 1,78 2,31
f ( v1,v 2 ) = 5 % dan 1 %
Distribution Plot
Distribution Plot
F, df1=8, df2=15
F; df1=25; df2=25
0.8
1,2
0.7 1,0
0.6
0.9 0,8 Density
Density
0.5 0.4 0.3
0,6 0,4
0.2 0,2
0.1 0.0
23 24 25 26 27 28 29
0
14 2,14 2,97 2,13 2,93 2,11 2,89 2,10 2,86 2,08 2,83 2,06 2,80 2,05
2.12
15 2,13 2,93 2,11 2,89 2,09 2,85 2,07 2,81 2,06 2,78 2,04 2,75 2,03
0,0
X
16 2,10 2,89 2,09 2,85 2,06 2,81 2,05 2,77 2,03 2,74 2,02 2,71 2,00
20 2,05 2,78 2,03 2,74 2,01 2,70 1,99 2,66 1,97 2,63 1,96 2,60 1,94
24 2,01 2,70 1,98 2,66 1,96 2,62 1,95 2,58 1,93 2,55 1,91 2,52 1,90
30 2,62 1,96 2,58 1,94 2,54 1,92 2,50 1,90 2,47 1,88 2,44 1,87 2,41
40 1,91 2,54 1,89 2,49 1,87 2,45 1,85 2,42 1,84 2,38 1,82 2,35 1,81
0,05 0
X
50 1,88 2,48 1,86 2,44 1,84 2,40 1,82 2,36 1,80 2,33 1,78 2,30 1,77
60 1,86 2,45 1,84 2,40 1,82 2,36 1,80 2,33 1,79 2,29 1,77 2,26 1,75
1,96
100 1,82 2,37 1,80 2,33 1,77 2,29 1,76 2,25 1,74 2,21 1,72 2,18 1,71
120 1,81 2,35 1,79 2,31 1,77 2,27 1,75 2,23 1,73 2,20 1,71 2,17 1,70
1,76 2,26 1,73 2,21 1,71 2,17 1,69 2,13 1,67 2,10 1,65 2,08 1,64
Eri Setiawan 2,77 30 2,04 2,74 32 2,02 2,70 34 2,00 2,66 40 1,95 2,56 50 1,90 2,46 60 1,86 2,40 100 1,79 2,26 120 1,77 2,33
1,69 2,07
2,73 2,01 2,70 2,00 2,66 1,97 2,62 1,92 2,52 1,87 2,43 1,84 2,35 1,77 2,23 1,75 2,19
2,68 1,99 2,66 1,97 2,62 1,95 2,58 1,90 2,49 1,83 2,39 1,80 2,30 1,75 2,19 1,72 2,15
2,57 1,93 2,55 1,91 2,51 1,89 2,47 1,84 2,37 1,78 2,26 1,75 2,20 1,68 2,06 1,66 2,03
Pengantar Statistika 2,49 1,85 2.33 1,89 2,39 1,79 2,47 1,84 2,30 1,86 1,82 1,76 2,42 2,34 2,25 1,84 1,80 1,74 2,38 2,30 2,21 1,79 1,74 1,69 2,29 2,20 2,11 1,74 1,69 1,63 2,18 2,10 2,00 1,75 1,63 1,59 2,12 2,00 1,93 1,63 1,57 1,51 1,98 1,89 1,79 1,66 1,55 1,49 1,95 1,85 1,75
2,27 1,76 2,24 1,74 2,20 1,71 2,15 1,66 2,05 1,60 1,94 1,56 1,87 1,48 1,73 1,45 1,68
2,23 1,74 2,21 1,73 2,21 1,70 2,13 1,64 2,02 1,59 1,92 1,53 1,84 1,46 1,71 1,43 1,66
2,15 1,69 2,13 1,67 2,08 1,64 2,04 1,60 1,97 1,52 1,82 1,48 1,74 1,39 1,59 1,36 1,51
2,14 1,68 2,11 2,09 2,07 2,06 2,03 1,58 1,92 1,52 1,82 1,47 1,73 1,39 1,61 1,35 1,53
346 2,03 1,62 2,01 1,60 1,97 1,58 1,94 1,51 1,80 1,45 1,50 1,39 1,60 1,38 1,57 1,25 1,38
1,67 2,04
1,64 1,99
1,57 1,88
1,57 1,79
1,35 1,52
1,32 1,47
1,24 1,36
1,22 1,32
1,00 1,00
1,46 1,69
1,40 1,59
Gambar 6. Pendekatan Sebaran Binomial ke Normal Distribution Plot 0.09
Distribution n p Binomial 100 0,5
0.08
Distribution Mean StDev Normal 60 5
0.07
Density
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
30
40
50
60
70
80
X
Pendekatan Sebaran Khi-Kuadrat ke Normal
Gambar 7.
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
347
Distribution Plot 0,06
Distribution Mean StDev Normal 60 20 Distribution df Chi-Square 30
0,05
Density
0,04 0,03 0,02 0,01 0,00
0
20
40
60 X
80
Gambar 8.
100
120
Pendekatan Sebaran F ke Normal
Distribution Plot 1.0
Distribution Mean StDev Normal 0 1 Distribution df1 df2 F 15 24
Density
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
Gambar 9.
Pendekatan Sebaran Poisson ke Normal
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
348
Distribution Plot 0.12
Distribution Mean Poisson 12.5 Distribution Mean StDev Normal 45 4
0.10
Density
0.08 0.06 0.04 0.02 0.00
0
10
20
30 X
40
50
60
CURICULUM VITAE 1. Data Pribadi a. N a m a b. Tempat dan Tanggal lahir c. NIP d. Pekerjaan e. Pangkat / Golongan f. Jabatan Fungsional g. Alamat Rumah h. Alamat Kantor i. No. KTP i. NPWP j Telepon k. Handphone l. e-mail
: Drs. Eri Setiawan, M.Si. : Banjarsari, 01 November 1958 : 19581101 198803 1 002 : Staf. Pengajar Jurusan Matematika, FMIPA Unila. : Pembina / IV a : Lektor Kepala : Jl. Asoka B-60 Perumahan Bataranila, Hajimena, Natar, Lampung Selatan, 35144 : Jurusan Matematika, FMIPA Unila. Jl. Prof. Dr. Soemantri Brojonegoro No. 1 Bandar Lampung. : 18.01.04.2001/1077/01111958 : 78.362.742.325.000 : (0721) 781417 : 08127270312 / 08197991541 : erstatis @ ymail..com.
2. Pendidikan SD Negeri IV Kec. Banjarsari, Kab. Ciamis, Jawa Barat. Lulus Tahun 1971. SMP Negeri Kec. Banjarsari, Kab. Ciamis, Jawa Barat. Lulus Tahun 1974 SMA Negeri I Ciamis, Jawa Barat. Lulus Tahun 1977 S-1 Jurusan Statistika, FMIPA Universitas Padjadjaran, Bandung, Lulusan Tahun 1986 S-2 Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, Lulusan Tahun 2003
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
349
PELATIHAN PROFESIONAL Tahun Jenis Pelatihan 1993/1994 Pelatihan Pengajaran Statistika ( HED’S Project ) 1994/1995 Pelatihan Penelitian 2006 2006 2006 2007 2007
Lokakarya Peningkatan Kemampuan dan Pengabdian Kepada Masyarakat Pelatihan Tecnical Assistance Penelitian Bidang Matematika Pelatihan Tecnical Assistance Penelitian Bidang Statistika Pelatihan Tecnical Assistance Penelitian Bidang Komputer Pelatihan Tecnical Assistance Quality Assurance
Penyelenggara Jurusan Staistika IPB Bogor Jurusan Matematika ITB Bandung PHK A2 Jurusan Matematika
Jangka Waktu 3 Bulan (Des’03 s.d Peb’04) 3 Bulan (Des’04 s.d Peb’05) 1 Minggu (Juni 2006)
PHK A2 Jurusan Matematika PHK A2 Jurusan Matematika PHK A2 Jurusan Matematika PHK A2 Jurusan Matematika
1 Minggu (Juli 2006) 1 Minggu (Juli 2006) 1 Minggu (Sept’ 2007) 1 Minggu (Nov ’ 2007)
PENGALAMAN PENELITIAN Tahun
Judul Penelitian
1995
Analisis Regresi Berganda untuk Model Kombinasi yang Mungkin Robust Principal Component Analysis Anggota Using Minimum Covariance Determinant Estimator. Indeks Kecocokan Dari Beberapa Metode Mandiri Estimasi untuk Ukuran Sampel Tertentu Pada Model Persamaan Struktural Pengaruh Langsung dan Tak Langsung Mandiri dari Peubah Laten Pada Model Persamaan Struktural
2006 2007 2008
Ketua/ Anggota Tim Mandiri
KONFERENSI/SEMINAR/LOKAKARYA/SIMPOSIUM Tahun Judul Kegiatan Penyelenggara 2002 ( 28 Sept.) 2006 ( 9-11 Juli ) 2007 (15-23 Mei)
Seminar Nasional Statistika Seminar dan Rapat Tahunan (SEMIRATA) KE-19 BKS PTN Wilayah Barat Bidang MIPA Lokakarya: Peningkatan Efisiensi Pembimbingan Skripsi dan Akademik
Jurusan Statistika FMIPA IPB Bogor Universitas Andalas & Universitas Negeri Padang. PHK A2 Jurusan Biologi FMIPA Unila
Sumber Dana DIPA PNPB Unila PHK A2 PHK A2 DIPA PNPB Unila
Panitia/Peserta/ Pembicara Pembicara Peserta & Pembicara Pembicara
Eri Setiawan
Pengantar Statistika
2007 ( 9-11 Juli )
Seminar dan Rapat Tahunan (SEMIRATA) KE-20 BKS PTN Wilayah Barat Bidang MIPA
2011 ( 9-11 Mei )
Seminar dan Rapat Tahunan (SEMIRATA) KE-24 BKS PTN Wilayah Barat Bidang MIPA
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah, Jakarta. Universitas Lambung Mangkurat Banjarmasin
350
Peserta & Pembicara Peserta & Pembicara
KERJASAMA Tahun Judul Kegiatan 2006 Survey Kepuasan Masyarakat di Kabupaten Lampung Timur.(Awal) 2007 Survey Kepuasan Masyarakat di Kabupaten Lampung Utara.(Awal). 2009 Survey Kepuasan Masyarakat di Kabupaten Lampung Selatan.(Awal) 2009 Survey Kepuasan Masyarakat di Kabupaten Lampung Utara.(Akhir)
Penyelengara Proyek SCBD dan Pemda Lampung Timur Proyek SCBD dan Pemda Lampung Utara Proyek SCBD dan Pemda Lampung Selatan Proyek SCBD dan Pemda Lampung Utara
Gambar 10 Masalah Dalam Analisis Statistik Tentang Konseptual
Kedudukan Tenaga Akhli Statistik Tenaga Akhli Statistik Tenaga Akhli Statistik Tenaga Akhli Statistik
View more...
Comments
