Naponi i Deformacije Pri Uvijanju Stefan Veljkovic

Otpornost materijala

Naponi i deformacije pri uvijanju

Profesor: Milos Ristic

Student: Stefan Veljkovic

Uvijanje - torzija Obrtni moment i moment uvijanja Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka Dimenzionisanje delova izloženih čistom uvijanju

Otpornost materijala

Uvijanje - torzija  Ako u preseku deluje samo moment torzije naprezanje je čisto uvijanje torzija

-F mt

A

mA

B

+F

Otpornost materijala

Definicija uvijanja  Uvijanje je naprezanje pri kome se u svakom poprečnom preseku štapa javlja samo moment koji obrće oko ose štapa – moment uvijanja ili moment torzije Mt

Otpornost materijala

Obrtni moment i moment uvijanja  Kod štapa koji je izložen uvijanju ili torziji deluje samo moment uvijanja dok ostale unutrašnje sile - aksijalna sila, transverzalna i moment savijanja ne postoje.  Uzročnici naprezanja su spoljašnji obrtni momenti koji deluju na štap u ravnima upravnim na njegovu osu

Otpornost materijala

Obrtni moment i moment uvijanja F

1

F

2

F

1

F1 d1 = F2 d2 = M

F

2

 Štap izložen dejstvu dva sprega  Da bi štap bio u ravnoteži momenti ovih spregova treba da budu međusobno jednaki po intenzitetu, a suprotnih smerova

Otpornost materijala

Obrtni moment i moment uvijanja  Da bi se odredio unutrašnji moment uvijanja iskorišćena je metoda preseka  Štap se preseca zamišljenom ravni R

M

M

z

Otpornost materijala

Obrtni moment i moment uvijanja

M

Mt

Mt Mt = M Mt = M

 Svaki od delova treba da bude u ravnoteži  To je moguće ako je unutrašnji moment u uočenom preseku jednak obrtnom momentu suprotnog smera M  Momenti se razlikuju samo po smeru saglasno zakonu akcije i reakcije

Otpornost materijala

Obrtni moment i moment uvijanja M

M

Mt M

+

M

 Moment uvijanja Mt, unutrašnji moment, z smatra se pozitivnim ako obrće u smeru kazaljke na časovniku posmatran iz vrha normale na ravan momenta  Dijagram momenta uvijanja analiziranog štapa

Otpornost materijala

Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka  Moment uvijanja Mt=MA deluje u ravni B A

B Mt b'

d'

θ c a

MA

C d

γ1

b

l

F

-F

 Nastaje deformacija – pa vlakno se ab na spoljašnjem omotaču UVIJA na ab’, a vlakno cd na cd’ za ugao γ  Istovremeno se u ravni B zakrene Cd na Cb’ za ugao θ

Otpornost materijala

Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka

A

B Mt b'

d'

θ c a

MA

C d

γ1

b

l

F

-F

 Iz trouglova ∆abb’ i ∆Cbb’ jednaki lukovi bb’  Lγ1=Rθ odnosno na nekom prečniku Lγ=rθ  Ugao naginjanja srazmeran je udaljenju od ose

γ = γ1

r za r = 0 ⇒ γ = 0 R

Otpornost materijala

Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka  Tangencijalni, smicajni napon po poprečnom preseku se menja po zakonu prave linije  Za vlakno koje se poklapa sa geometrijskom osom tangencijalni napon je jednak nuli

τ1 C

τ1

 Najveći je za r=R, τmax=τ1

τ=γ =r τ γ1 R

τ=τ

r 1R

Otpornost materijala

Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka  Između tangencijalnog napona i deformacije – klizanja postoji odnos b'

bb' = Rθ = lγ 1 R

d'

dd' = rθ = lγ

θ

b d

r

C

γ= γ

1

r R

τ=Gγ − Hukov zakon

Klizanje je srazmerno tangencijalnom naponu  G - modul klizanja  E – modul elastičnosti  Hukov zakon

σ=Eε

 Modul klizanja

G=

E 2(1+ µ )

Otpornost materijala

Najveći tangencijalni smicajni napon

τ max =τ 1= M t R = M t I0

MPa

W0

 τ1= τmax maksimalni tangencijalni napon, MPa

 I0 – polarni moment inercije, m4  W0 – polarni otporni moment W

0

=

I0 R

m3

Otpornost materijala

Ugao uvijanja u rad

τ θ = M t l = l max GI0

R G

rad

 τ1= τmax maksimalni tangencijalni napon, MPa

  

I0 – polarni moment inercije, m4 G – modul klizanja, MPa L - dužina, m

Otpornost materijala

Ugao uvijanja u stepenima

180 M t l 180 l τ max ⋅ = ⋅ ⋅ θ= π GI0 π R G

o

 τ1= τmax maksimalni tangencijalni napon, MPa

  

I0 – polarni moment inercije, m4 G – modul klizanja, MPa L - dužina, m

Otpornost materijala

Dimenzionisanje vratila i štapova pri uvijanju  Dimenzionisanje dela prema maksimalnom torzionom naponu - uslov čvrstoće  Dimenzionisanje prema dozvoljenom uglu uvijanja po jedinici dužine - uslov deformabilnosti

 ODABRATI NEPOVOLJNIJI KRITERIJUM – ODNOSNO VEĆE DIMENZIJE

Otpornost materijala

Dimenzionisanje prema najvećem torzionom naponu  Najveći napon pri uvijanju

τ max =τ 1= M t ≤ τ doz W0

 Dobija se poprečni presek  Za kružni poprečni presek

WO ≥

D≥3

Mt

τ doz

16M t

τ doz

Otpornost materijala

Dimenzionisanje prema dozvoljenoj deformabilnosti – dozvoljeni ugao uvijanja  Najveći ugao pri uvijanju  rad  ′  θdoz  m 

′ θ ′ = M t ≤ θ doz GI 0

 Dobija se poprečni presek

IO ≥

Mt ' Gθ doz

 Za kružni poprečni presek

D≥

3

32M t ′ πGθ doz

Otpornost materijala

Dimenzionisanje Nakon određivanja prethodne dve vrednosti dimenzija poprečnog preseka iz:  Uslova čvrstoće  Uslova deformabilnosti bira se računom dobijena veća vrednost

Otpornost materijala

Kod torzionog naprezanja postoje tri osnovna zadatka 1. Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije 2. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka 3. Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta

Otpornost materijala

1. Određivanje veličine napona i ugla deformacije Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije

τ=

Mt MPa W0

θ′ =

Mt rad GI 0

Otpornost materijala

2. Određivanje veličine poprečnog preseka Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka

WO ≥

IO ≥

Mt m3 τ doz

Mt m4 ' Gθ doz

 rad   m 

′  θdoz

Otpornost materijala

3. Određivanje veličine torzionog momenta koji deo sme da prenese Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta

M t ≤ W0 ⋅τ doz Nm M t ≤ I O ⋅ G ⋅θ

' doz

Mt ' Gθ doz

 rad   m 

′  θdoz

Kao merodavna uzima se manja vrednost

Otpornost materijala

Rezime  Moment uvijanja jednak je spoljašnjem obrtnom momentu suprotnog smera Mt=M  Kod uvijanja najviše se deformišu (uvijaju) spoljašnja vlakna, vlakna u osi se ne deformišu  Smicajni napon τmax najveći je na spoljašnjim vlaknima  G – modul klizanja  Hukov zakon: napon je proporcionalan proizvodu modula klizanja i ugla uvijanja  Maksimalni smičući napon je količnik momenta Mt torzije i W0 polarnog otpornog momenta  Maksimalni ugao uvijanja je količnik momenta torzije Mt i proizvoda modula klizanja i polarnog momenta inercije GI0