Nacrtna geometrija - Predavanja 2

MAŠINSKI FAKULTET BANJA LUKA

Naziv predmeta:

NACRTNA GEOMETRIJA I semestar Dr Živko Babić

predavanja / vježbe 2+2 (5 ECTS)

II DIO MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODOR PRAVE KROZ POVRŠINU Određuje se tako da postavimo kroz pravu p pomoćnu ravan Τ tako da siječe površinu na što jednostavniji način. PRODOR PRAVE KROZ KUPU

Prava p i vrh V određuju pomoćnu ravan Τ koja siječe kupu po izvodnicama 1V i 2V. Da bi odredili trag ravni t1 kroz vrh V i proizvoljnu tačku T provučemo pravu m. Trag t1 određen je prodorima Tp i Tm. Trag t1 siječe bazu kupe u tačkama 1 i 2, a ravan T kupu u izvodnicama 1V i 2V.

Zadatak: Naći prodor prave p [A(30,45,45), B(90,35,10)] kroz kupu sa centrom baze S(60,30,0) i r=25 mm i visinom v=60mm. [O(40,70)] MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

Tačke prodora (probodišta I i II) su na prednjoj polovini kupe pa su obe vidljive i u tlocrtu i u nacrtu, a ne vidi se dio prave između prodora.

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODOR PRAVE KROZ VALJAK Postavimo ravan okomito na Π1,, pa je t1=p'.

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODORI TIJELA Prodor dva tijela može biti: • potpun (kriva na ulazu i kriva na izlazu jednog tijela iz drugog) i • nepotpun (kada jedno tijelo zadire u drugo). Prodor površina dva tijela je prostorna kriva linija, dvodjelna ili jednodjelna. Tačke prodora pripadaju i jednom i drugom tijelu. Red prostorne krive je mogući broj prodora krive kroz ravan.

Red ravanske krive je broj presjeka sa pravom (elipsa, kružnica, parabola,... su drugog reda). Red prodorna krive je R=mxn (gdje su m i n redovi oblih površina. Npr. prodor dva valjka je kriva 4-tog reda. Metode određivanja prodorne linije su: 1. Pomoću ravni 2. Pomoću koncentričnih kugli 3. Pomoću kliznih kugli MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRIMJERI PRIMJENE PRODORA

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODORI ROGLJASTIH TIJELA Kada rogljasta tijela prodiru jedno u drugo njihove strane se međusobno sijeku po izlomljenim ivicama prodora. PRODOR DVIJE PRIZME

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

Odrediti prodor dvije kose prizme čije su baze u ravni Π1. Četverostrana kosa prizma je određena vrhovima [A(35,20,0), B(20,17,0), C(10,5,0), D(47,15,0), A1(80,10,45)], a trostrana kosa prizma vrhovima [E(90,25,0), F(100,14,0), G(60,9,0), E1(40,12,45)]

Da odredimo prodor neke ivice četverostrane prizme kroz stranicu trostrane treba kroz ivicu četverostrane prizme postaviti ravan paralelnu sa ivicama trostrane prizme. Analogno važi za određivanje probodišta ivice trostrane prizme kroz stranicu četverostrane. Znači, pomoćne ravni su paralelne sa ivicama jedne i druge prizme (Iz neke tačke T položimo u //AA1, v//EE1). Tada je u’//AA1’ i v’//EE1’. Sa u i v je određena neka ravan čiji prvi trag je s1. Pomoćna ravan kroz A imaće trag a1//s1 i izvodnice iz presjeka sa bazom sijeku ivicu AA1 u tačkama 1 i 2. Analogno dobijemo 3 i 4, te 5 i 6, dok ravan kroz CC1 ne siječe bazu. Odredimo da li se probodišta vide-vide se sva 1,2,3,4,5,6. Banja Luka PomoćuMF ravni e, f, g odredimo probodišta Dr 7,8 i 9,10 (EE1 ne probada) od kojih su 7 i 9 nevidljiva. Živko Babić, NG-2007/08 21.1.2008 Spojimo 1,3,10,8,4,2,6,7,9,5,1.

PRODOR DVIJE PIRAMIDE Sve ravni sječenja treba da prolaze kroz vrhove obe piramide V1 i V2.

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODORI ROTACIONIH POVRŠINA Postupak određivanja prodora: Oba tijela se presijeku pomoćnom površinom (ravan ili kugla) i to tako da je projekcija presjeka dužina ili kružnica. Ravni se obično biraju paralelne sa Π1 ili sa Π2.

Izbor metode

valjak i kupa

2 valjka

ravni // Π1

ravni // Π2

valjak i torus

kupa i kugla

MF Banja Luka 21.1.2008

ravni // Π1

ravni // Π2 Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODOR DVA VALJKA

Pomoćne ravni trebaju biti // sa obe ose valjka (ovdje su one // Π2). MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODORNE KRIVE DVA VALJAKA

ZADOR jednodijelna kriva 4. reda

MF Banja Luka 21.1.2008

POTPUNI PRODOR dvodijelna kriva 4. reda

Dr Živko Babić, NG-2007/08

ZAJEDNIČKA DODIRNA RAVAN kriva 4. reda sa jednom dvostrukom tačkom

MF Banja Luka 21.1.2008

ZAJEDNIČKE DVIJE DODIRNE RAVNI kriva 4. reda se raspada na dvije krive 2. reda (elipse)

Dr Živko Babić, NG-2007/08

Simetralna ravan Σ (trag s1) siječe valjak A u izvodnicama a i b, a valjak B u izvodnicama c i d. Presjek ovih izvodnica daje 4 tačke prodorne krive (1 do 4).

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

Pomoćna ravan Τ paralelna sa Π2 (trag t1) siječe valjak A po izvodnicama o i p, a valjak B po izvodnicama i i l čiji presjeci daju tačke (5 do 8). Za određivanje položaja izvodnice u drugoj projekciji zaokrenemo bazu valjka u horizontalni položaj oko njenog horizontalnog prečnika (polukružnica k0) i prenesemo u nacrt udaljenost u.

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODOR VALJKA I KONUSA

Pomoćne ravni paralelne sa Π1 (tragovi a2, b2). (Postoji i ovdje zajednička ravan simetrije za oba tijela paralelna sa Π2 u kojoj su tačke 1,2,3,4.) U trećoj projekciji sve izvodnice valjka, pa i prodorne tačke padaju na kružnicu. MF Banja Luka Ako nema treće projekcije, za određivanjeDrpoložaja izvodnice u prvoj projekciji zaokrenemo bazu Živko Babić, NG-2007/08 21.1.2008 valjka u paralelan položaj sa Π2 i prenesemo u tlocrtu udaljenost u.

Kupu i valjak siječemo ravnima koje prolaze vrhom kupe, a paralelne su sa osom valjka MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

POTPUNI PRODOR dvodijelna prostorna kriva 4. reda

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

ZADOR jednodijelna prostorna kriva 4. reda

MF Banja Luka 21.1.2008

ZAJEDNIČKA JEDNA DODIRNA RAVAN prostorna kriva 4. reda s jednom dvostrukom tačkom

Dr Živko Babić, NG-2007/08

ZAJEDNIČKE DVIJE DODIRNE RAVNI prostorna kriva 4. reda raspada se na dvije krive 2. reda (elipse)

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODOR DVA KONUSA

Postoji i ovdje zajednička ravan simetrije za oba tijela paralelna sa Π2 u kojoj su tačke 1,2,3,4. Pomoćne kugle se postavljaju sa centrom u presjeku osa tijela. Na presjeku prodornih kružnica jednog i drugog tijela su tačke prodora.

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODORNE KRIVE DVIJE KUPE

Kupe siječemo ravnima koje sadrže njihove vrhove. ZADOR jednodijelna kriva 4. reda

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

POTPUNI PRODOR dvodijelna kriva 4. reda

MF Banja Luka 21.1.2008

ZAJEDNIČKA JEDNA DODIRNA RAVAN kriva 4. reda s jednom dvostrukom tačkom

Dr Živko Babić, NG-2007/08

ZAJEDNIČKE DVIJE DODIRNE RAVNI kriva 4. reda raspada se na dvije krive 2. reda (elipse) MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODOR DVA KONUSA (druga varijanta)

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODOR KONUSA i TORUSA

Pošto se ose tijela ne sijeku primjenjuje se metoda kliznih kugli. Treba naći centar i prečnik kugli tako da presjek sa zadanim tijelima bude ili duž ili kružnica.

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODOR KONUSA (KUPE) I VALJKA

Odrediti prodor konusa i valjka. Konus: centar baze C(40,50,0), r =40, visina v=70 Valjak: osa valjka S1S2: S1(90,50,50), S2(40,50,10), r1=27,5 Valjak postoji od baze S1 do prodora sa konusom. O(30,80)

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

Metoda pomoćnih koncentričnih kugli sa centrom u presjeku osa valjka i konusa (tačka S2). Presjek kugle i konusa je kružnica kk1, a kugle i valjka kružnica kv1. Presjek ove dvije kružnice su tačke 1 i 2.

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

Položaj najmanje kugle (tangira konus sa unutrašnje strane)

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

Kugla siječe konus po dvije kružnice k1 i k2 pa će biti 4 prodorne tačke.

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

PRODOR KUGLE I VALJKA

ZADOR jednodijelna kriva 4. reda

MF Banja Luka 21.1.2008

POTPUNI PRODOR dvodijelna kriva 4. reda

Dr Živko Babić, NG-2007/08

ZAJEDNIČKA DODIRNA RAVAN kriva 4. reda s jednom dvostrukom tačkom

MF Banja Luka 21.1.2008

ZAJEDNIČKA OSA kriva 4. reda raspada se na dvije kružnice

Dr Živko Babić, NG-2007/08

ZAVOJNICA I ZAVOJNA POVRŠINA (HELIKOIDA) Zavojnicu opisuje tačka koja se kreće duž prave jednolikom brzinom, pri čemu prava rotira oko paralelne ose konstantnom ugaonom brzinom.

r osa

Put koji pređe tačka dok se okrene oko ose za 3600 zove se "jedan hod" zavojne krive, a put u pravcu ose je korak. Zavojnica na razvijenoj površini omotača valjka predstavlja pravu liniju, čiji je nagibni ugao tgα=h/2rπ.

T

h α 2rπ

MF Banja Luka 21.1.2008

Ako neka prava kreće po zavojnoj liniji i pri tome ispunjava neki drugi uslov nastaje zavojna (helikoidna) površina. Primjena: vijak, puž, zupčanik, burgija, glodalo, razvrtač, rotor kompresora i turbine)

Dr Živko Babić, NG-2007/08

KONSTRUKCIJA ZAVOJNICE Zadatak: Nacrtati projekciju cilindrične zavojnice koju opisuje početna tačka T(5,25,0). Osa zavojnice prolazi kroz tačku O(25,25,0) i okomita je na Π1. Poluprečnik zavojnice je r=20 mm, korak h=60 mm, smjer desni. Tlocrt zavojnice se poklapa sa bazom valjka na kome je zavojnica. Podijelimo kružnicu i visinu na isti broj dijelova. Nakon rotacije tačke T za 1/12 kružnice, ona pređe 1/12 visine zavoja. Svaka tangenta na zavojnu liniju zaklapa isti ugao sa bazom. Sve tangente su paralelne sa izvodnicama rotacionog konusa koji se naziva direkcioni konus. Direkcioni konus ima bazu jednaku prvoj projekciji zavojnice, a visinu k=r/tgα=h/2π.

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

KOSA PROJEKCIJA. AKSONOMETRIJA

Kod ortogonalnog projiciranja gubi se predstava prostornog oblika jer se jedna dimenzija prikazuje kao tačka, pa se ravan projicira u duž. ORTOGONALNA PROJEKCIJA

ORTOGONALNA AKSONOMETRIJA PARALELNI PROJEKCIJSKI ZRACI OKOMITI NA RAVAN SLIKE

IJA LIN LEDA POG

ČU TRA NOSTI A M Č POS KONA S BE

MF Banja Luka 21.1.2008

RA VA NS LIK E

nijedna ivica kocke nije paralelna sa projekcijskom ravni, pa su sve ivice različito skraćene

Dr Živko Babić, NG-2007/08

KOSA PROJEKCIJA -poseban slučaj kose aksonometrije PARALELNI PROJEKCIJSKI ZRACI KOSI NA RAVAN SLIKE

-biramo kosi projekcijski zrak da dvije ivice nemaju skraćenje, nego samo jedna

LINIJA POGLEDA

Koordinatni sistem x,y,z postavimo tako da ose x i z budu paralelne sa ravni crtanja i ugao između x i z je 900 Osa y je obično pod uglom 300, 450, 600 i skraćenje 1/2, 2/3, 3/4.

POSMATRAČ U BESKONAČNOSTI

RA VA NS LIK E

z

0 y

MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

α x

KOSA PROJEKCIJA KOCKE

Nacrtati kocku u kosoj projekciji ako je α=300, a skraćenje 3/4. z

x 0

α=30

0 y

30 20 10

a 10 20

30

a MF Banja Luka 21.1.2008

Dr Živko Babić, NG-2007/08

40

x