Muto Yöntemi Örnek

ÖRNEK: Verilen çerçevenin yatay yüklere göre MUTO yöntemi ile çözümü 50 kN

K1

   0    3    /    5S1    2

25/50

K3

25/50

   0    3    /    0 S2    3

1.kat

30 kN

K2

85 cm    0    0    3    /    9 S3    5    2    2

50

25/50

K4

25/50

12

25    0    3    /    5S4    2

Z.kat

   0    3    /    0S5    3

   0    3S6    /    5    2

  m   c    0    9    2

350 cm

350 cm 25

30

30

30

1. Kat kesme kuvvetleri : 1.Katta V1 = 50 kN Z.Katta V2 = 80 kN (taban kesme kuvveti) 2. Rijitlikler:



Kirişler: = =



 

= =

.∗ .

Kolonlar

 

  

k1 = I/l

= 0.2 0.294  =

 

= 43.9 3.91 dm4  =

=

 

 ,

*S1, S3, S4, S6(25/30)  = *S2 ve S5 (30/30)

,

=

 = . ∗    ∗  

=

. 

 

= 0.24  Tablodan =24.2 ;

= .   (k1=k2=k3=k4)

 

= 5.6 5.625   =

= 6.75 6.75 

 =

.  . 

= .  

= .  

3. Kolon kesme kuvvetleri ve uç momentleri

Önce kolonların D değerleri belirlenir. Bu çerçevede kat yükseklikleri ve rijitlikleri eşit olduğundan; y 1 = y2 = y3 = 0 dolayısıyla da y = y0 ‘dır. 1.Katta:  + + + ∗. ̅ =     = = 6.47 :  = 0.45

1.255

 

   4    9    1  . S1-S3    0

=

1.255

̅  ̅ +

=

∗.

. (+.)

= 0.764

 =   = 0.764 ∗ 0.194 = .  1.255

1.255

   3    3    2  . S2    0

̅ =

∗. ∗.

= 10.77

 = 0.45

10.77

 = 210.77 = 0.849

 = 0.849 ∗ 0.233 = .  1.255

1.255

∑  = 2 ∗ 0.148  0.197 = . 

Z katta: 1.255    4    9    1  . S4-S6    0

1.255

1.255

   3    3S5    2  .    0

̅ =

. .

= 6.47

 = 0.55

=

0.506.47 2  6.47

= 0.823

 = 0.823 ∗ 0.194 = . 

̅ =

∗. .

= 10.77

 = 0.55

=

. + .  + .

= 0.883

 = 0.883 ∗ 0.233 = .  ∑  = 2 ∗ 0.160  0.206 = . 



Kolon kesme kuvvetleri  =



 ∑ 

1.Kat: .

*S1 - S3:

=

*S2:

=

.

∗ 50 = 15 

. .

∑  = 2 ∗ 15  20 = 50   (tamam)

∗ 50 = 20 

Z Kat:

*S4 - S6: *S5:



= =

. . . .

∗ 80 = 24.3  ∑  = 2 ∗ 24.3  31.3 = 80 

∗ 80 = 31.3 

Kolon uç momentleri ; ü = (1 − )ℎ

(tamam)

 =   ℎ

1. Kat:

*S1 - S3 :

ü = 1 5 ∗ (1 − 0.45) ∗ 2.90 = 24   = 15 ∗ 0.45 ∗ 2.90 = 19.6 

*S2 :

ü = 2 0 ∗ (1 − 0.45) ∗ 2.90 = 31.9   = 20 ∗ 0.45 ∗ 2.90 = 26.1 

Z kat:

*S4 - S6 :

ü = 24.3 ∗ (1 − 0.55) ∗ 2.90 = 31.7   = 24.3 ∗ 0.55 ∗ 2.90 = 38.8 

*S5 :

ü = 31.3 ∗ (1 − 0.55) ∗ 2.90 = 40.8   = 31.3 ∗ 0.55 ∗ 2.90 = 49.9 

Hesaplanan değerler tablo haline getirilebilir:

Kolon Kesme Kuvvetleri ve uç momentleri 

ℎ) 

k a o n o n a

o

kc a

n t

ol K

K

= D

∑D



∑

 ∑





 1(





c

=

= V



∑ 

i

ℎ 

−



y h (1-y)h

y



= 

= 



ü

S1

1

S2 S3 S4

Z

S5 S6

4-Kiriş uç momentleri :  =

  +

M3

K1

(  ü )

M1 M2

1.255

24 kNm

K2

 =

M3

  +

 =

1.255

24

31.9

(  ü )

1.255

 =   ü

(0  31.9) = 15.95

2 ∗ 1.255

 = 15.95 

 = 0  24 = 24 26.1

19.6 M3 1.255

M1 M2 1. 255

K3

31.7 kNm

19.6 M3

K4

40.8

 =  = 0.5 (26.1  40.8) = 33.5  = 19.6  31.7 = 51.3 

31.7 15.95 kNm

Hesaplanan kiriş uç

24

15.95 33.5

momentleri (Me) topluca; 51.3

24

33.5

51.3

5-Kiriş Kesme Kuvvetleri (Ve) :

M j

Mi

=

l

Vi

   

V j K1

K2

VK1 = (24+15.95)/3.5 = 11.41 kN

11.41 kN

VK2 = (15.95+24)/3.5 = 11.41 kN

K3

K4

VK3 = (51.3+33.5)/3.5 =24.23 kN

24.23 kN

VK4 = (33.5+51.3)/3.5 =24.23 kN

6-Kolon Normal Kuvvetleri 11.41 kN

11.41 11.41

11.41

 N0 Vsağ

S1

S2

Pozitif yön :

Vsol

S3

 N 24.23 kN S4

24.23 24.23

24.23

S5

 =     ğ

S6

11.41 kN

S1 = 0 + 0 - 11.41 = -11.41 kN

11.41 kN

S4 = -11.41 + 0 - 24.23 = 35.64 kN S2 = 0 + 11.41 - 11.41 = 0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S5 = 0 + 24.23 - 24.23 = 0 S3 = 0 + 11.41+ 0 = 11.41 kN S6 = 11.41 + 24.23 + 0 = 35.64 kN

35.64 kN

35.64 kN

Deprem her iki yönde de etkiyeceğinden, kolon normal kuvvet diyagramı işaretsiz olarak çizilebilir. Deprem etkisinin soldan sağa etkimesi halinde S1 ve S4 kolonları çekme, S3 ve S6 kolonları ise basınç altındadı r. Boyutlandırmalarda normal kuvvetin en elverişsiz durumu dikkate alınacaktır.

Proje Ödevi için Hesap Moment ve Hesap Kesme Kuvvertlerine karar verilmesi:

Proje ödevi için istenen yük kombinasyonları : 1.4G + 1.6Q ve G + Q ± E şeklindedir. Örneğin bir sürekli kirişte elverişsiz düşey yüklemeler sonucu belirlenen diyagramlar (M, V) ve hesaplanan eşdeğer deprem yükleri altında gerçekleştirilen Muto hesabı sonucu belirlenen diyagramlar (M e, Ve) aşağıdaki gibi belirlenmiş olsun:

K101

K102

K103

K104..

K105

M

(1.4 G+1.6Q)

65.5

95.2

74.9

66.9

95.6 kN

V

(1.4 G+1.6Q) 66.9

95.6

74.9

95.2

65.5

62.5 43.2

29.2

25.8

44.3 kNm

Me 25.8

44.3

29.2

43.2 62.5

17.1 24.8

17.2

Ve

17.1 24.8 kN

 

(Mesnetlerde, üç moment yöntemiyle birer moment, çerçeve çözümünde ikişer moment belirleniyor.) 1.4G+1.6Q

Kiriş  Kesit

M

Mesnet

E

G+Q

V

M

V

G+Q+E

M

V

M

-3.2 65.5 -2.1 43.7 62.5 24.8

V

G+Q-E M

60.4 68.5 -64.6



V



Md

Vd



kNm

kN

18.9 0.30 10.3

K101

 Açıklık

52.4

Mesnet Mesnet

-64.2 -59.8

K102  Açıklık

20.7

Mesnet

-46.4

66.9

-30.9 44.6 25.8 17.1 -5.1 61.7

Mesnet

-46.1

95.2

-30.7 63.5 29.2 17.2 -1.5 80.7 -59.9 46.3

K103  Açıklık

34.6

Azaltma değerleri :

 

=

50.1 -54.3 52.4

95.6 74.9

-42.8 63.7 44.3 24.8 -39.9 49.9 43.2 17.1

1.5 88.5 -87.1 38.9 16.7 0.35 13.1 3.3 67.0 -83.1 32.8

-70.4 -70.0

-70.4

20.7 -56.7

27.5

0.25

8.4

-48.3

11.9

-48.0

-48.3

34.6

.∗. 

= 10.3

 

Mesnet yüzündeki (azaltılmış) momentler:  =  −  =  −  =  −

=

     

.∗. 

= 16.7

 

=

.∗. 

= 8.4 

= 60.4 − 10.3 = 50.1  = −64.6  10.3 = −54.3  = −56.7  8.4 = −48.3 

Vd ise : her kiriş için sol ve sağ mesnetlerindeki kesme kuvvetlerinin en büyüğü esas alınarak mesnet yüzünden kadar gerideki değer olarak geometriyle belirlenir.









d 

G + Q yüklemesi ile elde edilecek moment ve kesme kuvveti değerleri için yeniden hesap gerekmez. 1.4G+1.6Q ile elde edilen değerleri 1.5‘e bölmek yeterlidir. E yüklemesi her iki yönden de olabileceği için moment ve kesme değerleri işaretsizdir. Kombinasyonda + ve – olarak etkitilir. K101 sol mesnet momenti işaret değiştiriyor. O nedenle mesnetin hem üstü, hem de altı için donatı hesaplanır. K101 -K102 mesnetinde de mesnetin hem solunda, hem de sağında işaret değiştirmekte (-87.1 ve +3.3 kNm) ancak değerlerden biri çok küçük olduğundan mevcut donatı ihtiyacı karşılamaktadır. mesnetinde işaret K102-K103 değiştirmediğinden en büyük olan momente göre donatı hesaplanır. Kolonların hesabında ise yine aynı yük kombinasyonları uygulanır. Elde edilen en büyük eksenel kuvvet, iki doğrultuda eğilme momentleri ve kesme kuvveti ile betonarme hesap yapılır. (Proje ödevinde sadece bir doğrultuda moment belirlendiği için bu moment kullanılacak)









G + Q yüklemesi ile elde edilecek moment ve kesme kuvveti değerleri için yeniden hesap gerekmez. 1.4G+1.6Q ile elde edilen değerleri 1.5‘e bölmek yeterlidir. E yüklemesi her iki yönden de olabileceği için moment ve kesme değerleri işaretsizdir. Kombinasyonda + ve – olarak etkitilir. K101 sol mesnet momenti işaret değiştiriyor. O nedenle mesnetin hem üstü, hem de altı için donatı hesaplanır. K101 -K102 mesnetinde de mesnetin hem solunda, hem de sağında işaret değiştirmekte (-87.1 ve +3.3 kNm) ancak değerlerden biri çok küçük olduğundan mevcut donatı ihtiyacı karşılamaktadır. mesnetinde işaret K102-K103 değiştirmediğinden en büyük olan momente göre donatı hesaplanır. Kolonların hesabında ise yine aynı yük kombinasyonları uygulanır. Elde edilen en büyük eksenel kuvvet, iki doğrultuda eğilme momentleri ve kesme kuvveti ile betonarme hesap yapılır. (Proje ödevinde sadece bir doğrultuda moment belirlendiği için bu moment kullanılacak)