Murray R. Spiegel-Análise vetorial-Schaum Publishing Co. (1972).pdf

March 27, 2019 | Author: idelito | Category: Tensor, Euclidean Vector, Algebra, Space, Geometry
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MURRAY R. SPIEGEL Pb.

D., PROFESSOR DE MATEM!TICA DO INSTITUTO POLITECNICO RENSSELAER.

,

AN ALISE VETORIAL (COM INTRODU0

AXAB + AAX B +AA X AB Au AB

dB

AA

AA

XAB=AX =limAX XB+ + Au Au· Au du Au->0

+

dA du

XB.

Terceiro Metodo.

d d -(A XB) =du du Empregando

dB1 d·u

8.

dA 1

+

dBa

dB2

Se A

(A X

- t3k

dt

(a)

dt (A B)=A • dt

B),

(c)

d

e

d

(b)

dAa

dA AX dB + du du

du

com

XB.

Ba

d B =sent i-cos t j, achar (a) dt (A ·B),

dt (A · A). dB

·

=

d1h B2

B1

5t2i + tj

=

k

---;fu" �

du



j '--

Aa

A2

d

i

k

j

Ai

teorema para derivada de um determinante, fi c amo s

o

+

dA

dt ·B

=

(5t2i + tj - t3k) ·(cost i + sen t j) + +

(10 ti

+j

-

3t2k) · (sent i - cost j)

=5t2 cost + t sent + lOt sent - cos t=(5t2 - 1) c o s t+11 t sent.

Outro Metodo. d dt

- (A

• B)

=

d dt

-

A

·

B=5t2 sent - t cost.

(!it2 sen t

-

t cos t)

=

Entao

5t2 cos t + lOt sent + t sen t - cost

= (5t2

-

1) cost

+ llt sent

=-

DE VETORES

DIFERENCIAQAO

57

i k dB dA d tj -t3 + IOt (b)-(AXB)-AX - + -X B= 5t2 i dt dt dt cost sent 0 een t

I

- [t 3

een

t i - ea cos t j + (5t2 + [

sen t - cost)k]

-3t2 cos t i - 3t2 sent j

- (t1 een t ...., 3t2 cos t) i - (t1 cos t + 5t2

Terceiro A XB

I' �





- 3 t2 sent -cost 0

-

d

- (A dt



Logo,

sen t) k] -

+ 3t2 sent) j +

M�tod-0.

2

I

-t3 cost i-t3 sent j +(-5t2 cost -t een I) k.

=

(•' s e nt- 3t2cost) i - (t3 cos t

=

=A

A)

=

Quarto

+ (- IOt cost -

M�todo.

+ (5t2 sent

(c)

+

I

j1 -k3t2 -cOll t 0

sent - sent - litcost) k.

;t (A X B)

Entao

11

-

lit cost - seri

dA



-

dt

dA

dA

·

(5t2i + tj - t3k)

·

sen

t) j

+

t) k,

+ - A = 2A

dt

+ 3t2



-

dt

=

(lOt i + j - 3t2k) ... 100t1 + 21 + w•.

A A = (5t2)� + (t)2 + (-t3)2 = 25 t• + t2 + t'. •

! ( 5t 2

'

+t2 + t&) = 100t3 + 2t +

6t5•

9. Se A tern m6dulo constante mostrar que A e dA/dt silo perpendiculares, desde que I dA/dt I >'6 0. Como A tem m6dulo constante A A = constante. •

Logo,

d - (A

dt

Donde A

10. +



dA

A) =A



·

Provar

��



=0 dt d

e

+

dA dt

-

·

A = 2A

.

A c perpendicular

que du (A

B X

dt

-





B X

C) = A



B

a



dA

dt

-

� dt-

.., 0

desde

rlC X -;;:;;: + A



,�,

que -;ft

;;o! 0.

tlu X C +

dB •

C, onde A, B, C siio furn;0es diferenciiiveis de um escalar

u.

ANALISE VETORIAL

58

Peloe Pro ble ma s 7(a) e

d

-A . du

·

7(b), d

X C) =A

(B

=A

d

dt

Calcular

(

V

v

.

·

du

·

=A

11.

-

·

·

[B

(B

X

C) +

dC du

X-+

dC B X-

du

dV

dt

iFV X�

dA

-

du

dB du

-

·

XC

=

dA X Cl + du

dB +A · d·ii

)

B

B XC

·

dA

X C +du

·

B

-=

X C.



Pelo Problema 10,

(

d dl

v .

i12V dV dt .x di2

)

""

dV

dt

x

d3V

d(I

+v

dV iFV cPV dt2 x dt2 +dt

.

dV

.

dt

x

d2V dt2 -

12.

Uma partfcula move-se de modo a que seu vetor posii;ao seja dado por C11t i + senwt j onde "' e uma constante. Mostrar que (a) o vetor veloci­ dade v da pa rtfc ul a e perpendicular a r, (b) a acelerai;iio a e dirigida para a origem e tem um valor absoluto proporcional a distanc ia do ponto a origem, (c) r x v -

r

""

um

cos

vetor constante.

( ) a

v

...

Entiio

dr dt

. - "' senwti +"' cos C11t J. •

.,.

r · v.,.

[coswti+ senwtj] ·{-wsenwti+wcoswtj].,.

= ( cos C11t) (-w sen wt) + ( senwt) (w coBwt) = 0 logo,

e

r

(b)

v

sao perpendiculares.

A) az

� (ij>A)

=

- xy2

zi

j + yz2k, achar

(J3

( ij>A)

iJ.x2 iJz

=

=

- xy2 j + yz2 .x2y2z2 i - x2y4z j + :z:y3z3 � (:z:2y2z2 - x2y4z .xy3z3 k) 2.x2y2zi - x2y4 + 3zy3z2 az k)

� (2x2y2z i ax

x =

2, y ...

k

=

j +

i

( -1)2 (1) i - 2 ( -1)'j 17.

=x

(.xy2z) (xz i

Se fizermoe 4

xy2z e A

=

2 ( , -1, l).

,4'A

ax az

·

- x2y4 j

=

- 1, z

+ 3.xy3z2k)

=

j

=

1

a

=

4xy2z i - 2xy' j +3y3z2 k

expressao acima

se

Se F f'elr uma fun,.iio de x, y,

dt

iJF =

at

traneforma

em

4i -2j. z,

t, onde

:z:, ye z

siio fun,.0011 de t.

que: dF

k

+

iJF

dx

ax

dt

+

iJF (Jy

.!!:JL dt

+

iJF az

dz dt

Provar

VETORES

DIFERENCIAgAO DE

61

na hip6tese de serem derivii.veis as funi;0es. Suponhamos que F = 1 (x, y, z, t)i+ 2

F (x, y, z, t) j +Fa (x, y, z, t) k.

F

[ iJF2 dt at

+

iJF2 at

iJFa at

+

=

(

iJF1 at

i +

� dt

Donde



J

+

iJF at

=

+

iJF2 ax

dx +

dt +

)

k

dx

iJF ax

dt

iJF2 d oy

(

Y

+

i+

iJF1 az

+ iJF au

iJF2 dz az

dy dt

iJF2 ax

+



J

J

+

.

J

iJFa ax

+

Entiio

k

)

e cial ·escalar. ter V

V XV

ll.

=

chamado de Note-se

Campo Vetorial Conservativo

que,

reclprocamente,

0 (veja o Problema 27

Mostrar que

se

se

(a).

q, (x, y, z)

4>

q,.

Em

= Vq,.

Um

de modo a se

tP e = Ve/>,

e diz-Re QUe

tivermos V

Por hip6tese, q, satisfaz a equac;:ito de Laplace V2 Do Problems

34.

OS

poten�

teremos

e uma soluc;:ito da equar;ito de Laplace,

e um vetor que e ao mesmo tempo solenoidal e irrotacional. Logo vq, e solenoidal (veja

0

Problemas

21 e 22).

4>= 0,

isto e,

V

·

Ve/>.

(Vt/i)=O.

27 (a) temos: V X (Ve/>) =o donde Ve/> e tambem irrotacional.

Dar uma definic;:ito possfvel de grad ·B.

Fac;:amos grad B como:

B

= B1

i +

B2 j

+

Bak.

Convencionalmente

podemos

definir

GRADIENTE1 DIVERGbCIA

VB

ROTACIONAL

E

( ! i + :y j + :z k ) (Bi i + B2 j +Bak)

=

iJB1

iJBa '

iJB2 .

. -a-;- u + a;- lJ + Tx

=

••

+ iJBi ki

iJy

lk

103

=

+

+..ii!� kj + iJz

iJBa kk. + az

As grandezas ii, ij, etc., chamam-se diadas unitarias. (Note-se que ij, por exemplo, niio e a mesma coisa que ji).

auii + a12ij + a13ik

Uma grandeza da forma:

+ a21.ji + a22jj

.

+ aa1ki + aa2kj + aaakk

+ a2ajk

chama-se diddica e os coeficientes au, a12, .

. siio suas componentes.

Dispon­

do-se e�sas noves componentes da seguinte maneira:

au

(

aa1

temos uma matriz 3 por 3.

)

aas

Uma diatica � uma generalizac;iio de um vetor.

Uma generalizac;iio ainda mais ampla nos conduz as triddicas que siio grandezas corn 27 Mrmos da forma am iii

+ a211 jii + .

. . . 0 estudo da transformat;ao

dae componentes de uma diadica ou triadica de um sistema de coordenadas para outro e assunto da andlise tensorial de que trataremos no Capftulo 8. Sejam um vetor A, definido por: A

35.



=

=

A1i

+ A2j

·

dica , por:

+ Aak, e uma diii-

auii + a12ij + a13ik + a2di + a22jj + a2ajk + aa1ki + aa 2kj + aaakk.

Dar uma definic;iio poss(vel para A

·

.

Pelo metoao conveneional, fazendo a hip6tese de que a lei distributiva e vii­ lida, temos:

A

·



=

(A1i + A2j + Aak)



·

Como exemplo, consideremos i

·

A1i

=

·

+ A2j

·

+ Aak



.

Efetua-se este produto fazendo-se os

.

produtos escalares de i corn todos os termos de e somando-se os resultados, Siio exemplos tfpicos: i

·

auii,

,i

·

a12ij, i

·

a2di, i

·

aa2kj, etc. Escrevend9 eases

produtos de maneira mais conveniente, verificamos que:

i i i i

·

·





auii

=

au (i

·

i)i

=

aui

pois

i. i i. i

a12ij

=

a12 (i

·

i)j

=

a12j

pois

a21ji

=

a21 (i

·

j)i

=

0

pois

i. j

0

pois

i. k

as2kj

=

aa2 (i

·

k)j

=

=

1

=

1

=

0

=

0

ANALISE

104

VETORIAL

e chegaremos a conclusoes analogas para os termos de

A

If>

·

=

=

j

·

If> e kif>, logo:

+ A1 (aui +ad a 1ak) +A2 (a21i +ad +a2ak) + Aa (aaii +aa2j +aaak)



(A1a11 +A2a21 + Aaaa1) i + (A1a12 +A�22 + Aaaa2)j + + (A 1a13 + A2a23 + Aaaaa) k

que e um vetor.

36. de

(A

·

(a) Interpretar o sfmbolo A V. .(b) Dar uma significar;iio possfvel V) B. (c) lr: possfvel escrever-se a expressiio anterior assim A VB sem ·



causas ambigilidade?

(a)

Seja

A

= A1i +A2j + Aak.

Entao podemos, seguindo a marcha con­

vencional, escrever:

A

·

V

=

que e um operador.

( : : (A1i +A2j + A.a�):x i + y j + z k

)

Assim, por exemplo:

Note-se que essa expressiio e a mesma que

A

·

V.

(b) Da mesma forma, empregando o resultado de (a), substituindo-se q, por B =B1i +B2j + Bak, temos. a a a ) aB aB an (A· V)B = ( Ai- +A2- +Aa- B =Ai- +A2- +Aa-- . ax ay az ax ay az

(c) corn

=

A

Tomando a interpretar;iio de

VB dado no Problema 34, temos, de ac6rdo

o 8imbolismo estabelecido no Problema 35.

1

( aB1 i + aB2 j + asa k) + A2 ( as1 i + aB2 j + asa k ) + ax ax ax ay ay ay aB1 a as!} k) + Aa ( i + s2 j + az

az

az

GRADIENTE,

DIVERGENCIA E ROTACIONAL

105

cujo resultado e o mesmo do item (b). Por conseguinte (A V) B A VB sem ambigiiidade contanto que se introduzam os conceitos de diadicas adequa­ damente, conforme indicado. ·

37.

Sendo A

achar (a) (A

(a)

·

2yzi - x2yj +xz2k, B

=

(b) A

V) c/>,

(A • 'V)c/>

=

=

(c) (B

·

2x2yz3,

(e) A X Ve/>.

2yz

..E._ (2x2yz3)

ox

..E._ (2x2yz3)

- x2:y

+xz2

oy

..E._ (2x2yr1) oz

(2yz) (4xyz3) -(x2y) (2x2zS) + (xz2) (6x2yz2)

( ooxfjJ i +ooycjl j +oozf/> k )

(2yz i -x2y j +xz2 k)

(4xyz3 i +2x2z3 j + 6x2yz2 k)

·

=

=

=

(2yz i -x2yj +xz2 k).

=

8xy2z4 - 2x4yz3 +6x3yz4•

(B · V) A

=

=

=

=

[ (x2 i +yz j +xy k) ( �

o o o (x2 +yz - - xy - ) oy iJz ·

OX

(A X V),P

·

V)l/J

=

A

·

V,P.

! j ! k ) JA

i +

·

+

=

oA i>A oA x- - + yz - - xy OX oy dz •

A

=

x2 (-2xy j +z2 k) +yz (2z i + x2j) - xy (2y i + 2.rz k)

=

=

(2yz2 - 2xy2) i - (2x3y +x2yz) j + (x2z2 - 2x2yz) k.

Compare-se este resultado corn B

(d)

=

+

Comparando corn (a) verificamos a relai;ao (A

(c)

e c/>

(d) (A X V) t/J,

V) A,

·

=

=

V c/>,

x2i +yzj - xyk

[ (2yzi -x2yj +xz2k) ( :x i + :y j :z k ) J q,

=

=

(b) A·V,P

·

=

·

=

=

[ (2yz

·

VA, do Problema 36 (c).

i - x.2y j + xz2 k) X

( :x

j

k

2yz

- x2y

xz2

o

d

()

ox

i)y

oz

i +

"'

�1 j !z k) J 4> +

=

ANALISE

106

[ (

-x2y _i_ az

i

=

xz2 _i_ ay

) + j ( xz2 _i_ ax

( 2yz _i_ + x2y _i_ ) J ef> ax ay

+ k

-

-

VETORIAL

( x2y aazq, + xz2 ayaq, ) i + ( xz2 axaq, . aq, aq, ) ( 2yz-+x2y ay ax

+

(e) AX Vef>

=

k

(2yzi -x2yj + xz2k) X j

-

)+

2yz

_i_

aq, az

)j +

az

=

-

2yz

=

( �� + i �: j + �� k)

k xz2

aq, ( - x-., y 7h

+

=

-

2

xz

aq, 7fY

) . + ( xz- aq, ax •

l

aq, aq, ) ( 2yz+ x2yay ax ·

k

-

aq, 2yz -a;

).+ J

=

-(6x4y2z2 + 2x3z5) i + (4x2yz6 -12x2y2z3) j + (4x2yz4 + 4�3y2z3) k. Comparando corn

(d)

verificamos que:

(AXV)ef> = AXVef>.

Invariancia. 38. mesma

!

Dois sistemas de coordenadas retangulares origem giram um em relac;iio ao outro.

x, y,

z

e

' z ,

' y,

' z

tendo

a

Deduzir as equac;Cies de trans­

formac; o das coordenadas de um ponto nos dois sistemas. Sejam

r

e

r

'

os vetores posic;iio de um ponto qualquer P nos dois �istemas

(veja a figura da pagina

(1)

:r:

'

82.

Logo, como

i' + y' j' + z' k' = x i + y j + z k.

Ent.iio, para um vetor qualquer

A

-

' r = r .

A, temos (Problema 20, Capftulo 2).

(A· i')i' + (A· j')j' +(A· k')k'.

GRADIF.NTE, DIYERGENCIA E ROTACIONAL Logo, fa1,endo A = i,

lI

(2)

OR

= (i

j = (j

j, k, sucessivamente, temos:

i') i' + (i

·

.

107

j') j' + (i

·

i') i' + (j . j') j' + (j

.

k = (k · i') i' + (k

·

j')j' + (k

·

·

k') k' = Z11 i' + 121 j' + l;n k' k') k' = l12 i' + l2d' + /32 k'

k')k'

=

l 13 i' + l2a';' + l:ia k'.

Levando os valon's de i, j, k das cquai;6es (2) na equai;iio (1), cocficientes de i' j' e k' cncontramos:

(:J) que siio

y' = lzt.i; + l22Y + l2sz z',

x' = lnx + l12X + l13z,

c

igualando

= l:nX + /:12!/ + l33Z

as equai;0es de transformai;iio pedidas:

39.

i' = /11 i + 112 j + /13 k

Provar que:

j' = 121 i +l2d + /23 k k' = la1 i + la2 j + /33 k. Para um vetor qualquer A tcmos: A = (A

·

i) i +(A



j) j + (A

·

k) k.

Logo, fazendo A = i', j', k', s ucess i vamcnt e, temos:

i' = (i'

·

i) i + (i' · j) j + (i'

·

k) k = lu i +lid + /13 k

j' = (j' . i) i + (j' . j) j + (j' . k) k = l2 i i + bj + /23 k k' = (k'

·

i) i + (k'

·

j) j + (k'

·

k) k = lad +lad + la:i k

3

40.

Provar quc � IP1"/pn 1 se m= n, e 0 p=l assumir quaisquer dos valorcs 1, 2, 3. =

se m



n,

onde

m e n

podPm

Das equai;oes (2) do Problema 38, tcmos:

i

.

i = 1 = (/11 i' + b j' + la1 k') . (/11 i' + 121 j' + /31 k') = = Zi1 + 1�1 + 1�1

i j = 0 = (lu i' + /21 j' + /31 k') ·

·

= lul12 + l21l22 + /31la2

(112 i' + 122 j' + /32 k') =

i · k = 0 =Un i' + l2d' + l31k') · (l1:i i' + /23j' + laak') = = luli3 + bl2a + /31/ag memhro a membro chegaremos ao re su lta do deSE'jado para

Somando

mesma causa para j i, j · j, j k. k remos a igualdade para m = 2 e m= :J. Fazendo

a

Fazendo

·

·

Omn =

I

·

i, k

·

j,

e

k

·

m = 1. k, d c monstra ­

lsem=n a

igualdade pode ser escri ta da 3

Osem�n

forma:

� lpm lpn = Omn· p=l

seguinte

ANALISE

108

VETORIAL

0 �rmholo �inn e cham ado de simbolo de Kronecker.

41.

Sc

(x, 11, z)

e uma inva ria n te escalar sob uma rota�iio de eixos, provar a

qm· grad e um vetor invariante sob Por hip6te�e temos

dita transforma�iio.

' y , z').

(x, y, z) "" ' (x',

pedido dcvcmos provar que

aq, iJx

aq, .

i+

iJy J

+

�k

=

iJz

aq,' . iJx'

1

que

Para demonstrar o

, + iJ

X r, provar que div

v

=

0.

Vi/I -t- i/IV2tj>.

·

3x2y, V xz2 - 2y calcular grad [(grad U) · (gr a d V)] Resp. (6yz2 - 12x) i + 6xz2 j + 12xyz k.

=

=



V · (r3r). Resp. 6r3• V · [rV (1/r3)]. Resp. 3r-4• V2 [V (r/r2)] . Resp. 2r-4•

=

·

r/r, achar grad div A. Resp. -2r-3 r.

=

Provar que

0.

Resp.

j

V2 j (r)

(r)

=

Provar que o vetor A

85.

Mostrar que A

nao e solenoidal, m a s B

Achar

solenoidal.

a

=

=

Resp. j (r)

U

dj --;t;:·

2 + r

=

c

(b)

Achar

j (r)

tal que

H silo constantes arbitraciat1.

3y4z2 i + 4z3z2 j - ax2y2 k e solenoidal.

funi;iio diferenciavel mais geral

F az er o grafico e dar Se

d2j r-

d

.

(2x2 + 8xy2z) i + (::lx3y - axy) j - (4y2z2 + 2x3z) k xyz2 A o e.

=

a

j (r) de modo que j (r)

r

scja

C/r3 onde C e uma constante arbi traria .

Mostrar que o campo

e MOlenoidal.

=

A + B/r onde A

84.

88.

A,

6z + 24xy - 2z3 - 6y2z.

Calcular

(2, -1, 0).

te".



(2x2z i - xy2z j + 3yz2 k). 4xz - 2xyz + 6yz.

73.

87.

V

3x2z - y2z3 + 4x3y + 2x - 3y - 5, a ch ar V2 q,.

=

Resp.

86.

(a)

achar

(I/JA) , (d) V · (Vt/J), no ponto (1, -1, 1). Resp. (a) 4, (b) -15, (c) 1, ( d) 6. ·

71.

V2 J (r)

3x2 - yz,

=

111

vetorial V

-x i - yj =

V x2

in terpretai;iio ffsica.

+ Y2

e um "eampo de fon-

e V silo campos escalares diferenciaveis, provar qm· VU X VY

VETORIAL

AN.\.LJSE

112

Se A=2.i:z2 i-yzj+3xz3 k e cp=x2yz, achar (a) V_X A, (b) rot (cpA),

89.

(c) V X (VX A), (d) V[i\ Rup.

Se F =

90.

(b) V

·

·

rot A],

(e) rot grad (cpA) no ponto

(1, 1, 1).

(a) i + j, (b) 5i - 3j - 4k, (c) 5i + 3k, (d) - 2i + j + Sk,

x2yz, G = xy -:-- 3z2,

[(VF)X ('VG),

achar

(a) V[(VF)



(e) 0.

(VG)],

(c) V X [(VF)X (VG)].

(a) (2y2z + 3x2z - l2xyz) i + ( 4xyz - 6x2z) j + (2xy2 + x3 - 6x2y) k

Resp.

(b) 0 (c) (x2z - 24xyz) i - (l2x2z + 2xyz) j + (2xy2 + l2yz2 + x3) k. Calcular V X

91. 92.

(r/r2).

0.

&sp.

Achar o valor da constante

a

para a qua! o vetor

A = (axy - z3) i +

+ (a - 2) x2 j + (1 - a) xz2 k tern rotacional identicamente igual a zero.

a = 4.

Resp.

(cp grad cp) = 0.

93.

Provar que rot

94.

Fazer o grafico dos caropos vetoriais A

=xi + yj

e

B

=

y i- x j.

Calcular a divergencia e o rotacional de cada campo vetorial e explicar o signifi­

cado fisico dos resultados. Se A=x2z i + yz3 j - 3xy k, B =y2 i-yz j+2x k

95.

(a) A

·

(Vt/'), (b) (A

·

(a) 4x3z + yz4 - 3xy2, (b) 4x3z + yz4 - 3xy2

Resp.

cp=2x2+yz,

e

V ) q,, (c) (A· V)B, (d) B(A · V), (e) (V

·

achar

A) B.

(o mesmo que

(a)),

(c) 2y2z3 i + (3xy2 - yz4) j + 2x2z k, ( 0.

:Mostrar que E

q, (a) = 0

Achar

t/l

tal

que E

Resp.

q, = ln (a/r).

104.

Se A e B siio irrotacionais, provar que A X B e solenoidal.

105.

Se

106.

(b)

que

tal que

q, = 3x2y + xz� - yz +

Resp.

e

q,

rot V

J (r)

e diferenciavel provar que

Ha alguma func;ao vetorial =

2i + j + 3k?

J (r ) r

=

- Vt/l

e irrotacional.

diferenciavel V tal que

(a) rot V =

r.

Se houver, achar V.

(a) Nao, (b) V = 3x j + (2y - x) k + Vf/>, onde t/l e uma func;iio vezes diferenciavel.

Resp.

arbit ra ria duas

107.

::\fost rar que as soluc;Cies das equac;Cies de Maxwell

V XE =

....:

.

onde p e uma func;iio de

sao dad a s por:

x, y, z e

c

V

·

H

O,

=

V



E =

411'p

e a velnto

0

e j (r)

> 0. do�

pl:metas de nosso sistema solar.

(a)

tcremos

Multipliquemos ambos os membros tal que F

(a)

Trabalho feito

=

2

1:

=

1 P2 1

=

{ P2 F J

·

dr

=

P1

( ��

i +

�t

j +

{P2 Vcp. } pl

�� k ) -

pon tos P1 e P2. (b)

Naturalmente, isto s6 e verdadeiro

·

Seja F

=

F1 i + F2 j +Fa k.

se

=

Vr/>.

=

(dx i + dy j + dz k)

·

o (:c, y, z)

=

1"' "'l

do Problema 11

(2:cy1 + z13) d:c +

(b).

{" :c2 dy + �Ill

1• �

3xz2 dz =

ANALISE

130

VETORIAL

... :r2y1 + :rz13 - :r12:r1 - :r1z13 + x2y - :r2y1 + :rz3 - :rz18 ... x2y + :rz3 - :r12Y1 - :r1 z13

Terceiro Mttodo.

F

·

Entiio

e

q,

dr

=

V,P

d,P

=

F

·

·

=

dr

dr

=

z2y + :rz3 + constante.

=

aq, d:i: + aq, dy + a q, dz iJy

iJx

iJz

=

d,P.

... (2xy + z3) dx + x2 dy + 3xz2 dz =

(2xy d:c + x2 dy) + (z3 dx+3xz2 dz)

=

d (x2y) + d (xz3)

=



d (x2y +xz3)

x2y + :rz3 + constante.

=

Outro Mttodo.

Do

item

(b), q, (x, y, z)

Logo o trabalho 13.

pontos

=

Provar que se

;1

q,

=

i:2

e

a

·

=

202.

dr e independente a trajet6ria que liga dois

f

F



dr

=

0 para todos os trajetos

reclprocamente.

Seja P1AP2BP1 (veja a

pois,

F

e P2, numa dada regiao, entao

fechados da regiao,

a

x2y + xz1 + constante.

(3, 1, 4) - q, (1, -2, 1)

figura

abaixo) uma

curva fechada.

integral de P1 ate P2 ao longo do trajeto que passa em A e

fc i ta ao longo do trajeto que passa por B, por hip6tese.

Entao

a mesma

qu e

INTEGRAQAO

f

Reclprocamente, ee

F

DE

VETORES

131

dr = 0, entiio



logo,

14. (a) Mostrar que a condii;ii.o necessaria e suficiente para que F1 d:i: + + F2 dy + Fa dz seja uma diferencial exata e que V X F = 0 onde F

""

Fi i + F2 j + Fa k.

(b)

Mostrar que (y2za cos

(a)

Suponhamos que

i; -

4zaz) di; + 2zay sen z dy + (3y2z2 sen :i: -:i:4) dz

e uma diferencial exata de uma funi;ii.o q, e achar q,,

q,

q,

q,

a dy + az a d:i: + ay a dz, F1 d:i: + F2 dy + Fadz = dcp 7fX seja uma diferencial exata.

Portanto, como

x,

y e z sii.o variaveie independen­

'

q, Fa= a�

tee, temos

q,

Fi= a

o:i: ,



donde

F = F11 + F2) + F3k

Logo

VX F





Reclprocamente

F



dr = V_q,

·

=

F2

-

=

q,

a -:;;uy

q,

uz

q,

a l + ay} a a; ·

·

q,

a k + Tz

T"/,j. V'j'•

=

V X Vq, = O.

VX F

=

0 entii.o pelo Problema 11, F = Vcp e assim

dr= . dcp, isto e, F1dx+F2dy +Fadz=dcp, que e uma diferencial

exata.

(b)

F = (y2 za cos z

-

4zaz) i + 2z ay sen x j + (3y2z2 sen x

deve ser nulo, logo, pelo item

(y2za cos E,

por

q, = y2z3 een

x -

metodos

x4z + constante.

-

temos

4x3z) dz + 2z3y sen x d y + (3y2z2 sen x

qualquer dos x -

(a)

do

Problema

-

z4) dz

x1)

=

12 'achamos

k e V X F

dlf>.

ANALISE

132

Seja F um

15.

campo de f6rc;a

nhamos que uma par tic ula de

e

massa

VETORIAL on se rv tivo tal que

m constan te se

c

a

F= - Vq,.

move ncsse campo

B forem dois pontos quaisquer no espac;o, provar que t/>(:1) +

!mv�= tf>(B) + !rtw�

onde llA e llB siio os m6dulos d os

vetores velocidade (B) = !mv�

-18

- !mv�

.

I

B

= A

V't/>

A relac;iio estabelece que

(conservac;iio de energia).

16.

q, =

Sendo

•-t• de

t=O

(a)

ate

a

(b)

Ao

1 4t9 (2ti+ 2 j+ 3t2 k) dt

Logo

i

2t3 2t

e

C,

j 2

-1B

k

t4 3t2

dt/>=t/>(A)-t/>(B).

!mv!

e

a.

energia cin�tica

em

F= - Vq,.

k e C a curva x= t2, y= 2t,

1

t/>dr, (b)lF Xdr.

F = xy i

-

zj

e

=

{1St9dt+k

Jo

F X dr= (2t3i - t3 j -t3

dt

= (2ti + 2 j+3t2 k) dt.

t-o

longo de

2 dt

2

da qual tiramos a relac;iio pedida.

z j+ x2

f.

f1stt0dt + j

dr

( )

q, = 2xyz2= 2 (t2) (2t ) (t3)2 = 4t9, r = x i+ y j+ z k "" t2i + 2t j + t3 k,

dr

Jo

A e B res­

1 2 1 2 2mvB - 2mvA.

t=l, calcular as i ntegrais Ide linha (a)

Logo,

=i

d

m

empr�go do sinal menos em

o

F= xyi -

Ao longo de C tem os,

q, dr =

=

Se A

energia. total em A e igual a e nergia total em B

Note-se

2zyz2,

di2

dr =



t/>(A) e chamada. de energia potencial em A e A.

d2r

Supo­

.

+

f112111dt=.!i+i.j+k. 11 5

Jo

x2

k= 2t3i - t3 j + t' k.

+ t4 k) X (2ti + 2 j + 3t2 k) dt

dt= [( -3t6 - 2t') i + (2t6 - 6t6) j + (4t3 +2t') kl dt

133

la

F X

dr

i

=

-

11

_

10

.!i

( - 3t&

_

-

2t4) dt + j

3

5

.!j +1.k

11

( -416) dt + k

fo

1

(4ta+2t•) dt -



lntegrais de superfide. 17.

Da r

limite de

a

uma

1 fA ·n

definic;io de

aoma.

Dividamos a

lf.rea Sein M

elementos de 11rea

Tomemos qualquer ponto P,,, dentro de

Seja Ap - A (x,., y,., Zp).

c;amos

agora a

E eeja

aoma

np M

p•l 2;

onde

A

,



nente

ero. �te normal de

18.

a

Mp,

CD,

o unitd.rio



positivo normal a

(xp, y,,. • • •

/lSp em P.

,

M.

Zp).

Fa-

Em

eeguida

tomemoB o limite

a

cada Mp tenda

integral de superffcie

da

compo­

designada por

A

•ndS.

Supondo que a projec;io da superflcie Mostrar que

l!A·ndS s

1, 2, 3,



1!

17).

...

de modo que a maior dimensiio de

sObre S e

figura do Problema

llSp onde p

A11 n11Sp

limite, ee exiete chama-ee

A

uma euperffoie S, como o

cujas coordenadae eao

np �a componente normal de Ap em P,,.

desea 11oma quando M -

para

dS s6bre

=-

S sObre

o piano

fJA·n �. ln·kl Ja

xy

ja R (veja

ee

ANALISE

134 Pelo Problema

17,

VETORIAL

a integral de superffcie e o limite da soma

(1)

A proje�ao de llSp s6bre o piano xy e l(np/lSp). kl 1gual a LJ.XpLJ. Yp donde LJ.S p A



A

A

=

flxp flyp I np. k I

OU

lnp. klllSp que e

Logo, a soma (1) fica igual a

llxp llyp Ap·np-��� lnp·kl

(2)

Pelo teorema fundamental do ciUculo integral o limite dessa soma quando

M --+

co

de tal maneira que os maiores llxp e llyp tendam para zero e

C.Q.D.

A rigor, a igualdade llSp

-

I�: ��PI

e apenas

aproximada, mas pode­

mos mostrar que diferem, um do outro, por um infinitel:'imo rior

I\

de ordem supe­

llxpllyp, de modo que os limites de (1) e (2) podem ser confliderados iguais.

19. do piano

Calcular

11

A·ndS, onde A= 18zi-12j +.3yk

2x + 3y + 6z = 12

e

Se

a

parte

situada no primeiro octante.

A superffcie S e sua proje�iio R no piano xy cstiio indicadas na figura abaixo.

Do Problema 17, temos:

A. n

dxdy In· k 1 •

INTEGRAQAO Para

2:i:

+ 3y

obtermos

+ 6z

12

=

VETORES

DE

lembremos que um vetor

n

(2x

e dado por \7

+ 3y + 6z)

135

perpendicular A

2i + 3j

=

superffoie

+ 6 k (veja o Pro­

blema 5 do Capftulo 4). Logo, o unitario normal a S num ponto qualquer (veja figura da pli.gina anterior).

a

n""

Portanto,

dxdy ln·k I

n

7

- -

6



k

(

=

.! 7

i +

�j

12 j

+

+

7

7



k =

·



donde

7

da; dy.

E tambem A

}

�k

n

= {18z i 36z

-

3y k)

36

36 + 18y 7

-

(

.! i 7

-

7

12 - 2x 6

levando em conta que z =

·

-

3y

+

�j 7

+

�k 7

12x

da equa9iio de

.

}

S.

Logo,

Para calcularmos esta integral dupla ao longo de R, mantemos x constante e in­ tegramos em rela9iio a

y,

de y=O(Pnafigura da pagina anterior)ate

y

(Q figura da pagina anterior); em seguida intcgramos em rela9iio a

12

; 2x

de

x=O

=

x,

ate :i:=6. Desta mu.neira se cobre completamente a superffoie R. Ternos, entiio,

1.6 1.(12-:ZZ)/3

para a integral,

-o

- 2x) dy dx

(6

11-0

=

1.6 (

24 - 12x +

:i-o

Se tivessemos escolhido para positivo o unitario normal

ao da figura da pagina anterior, terfamos obtido -

20.

Calcular

ffoie do cilindro

1f

:z;2

+

y2

A

=



16

n

dS,

onde A

=

z

i +

24

:z;

n

4 2 T } dx

=



em sentido oposto

para resultado.

j - 3y? z k

situada no primeiro octante entre

e S e a su z

=

0

e z

Pr ojeternos S s6bre o piano xz, como na figura da pagina seguinte,

memos de R essa proje9iio.

24

e

i:e

...



5.

cha­

VETOBIAL

ANALISE

136

Note-se que, neste caeo, nii.o podemos empregar a proje1;ii.o de S stlbre

o

piano :r;y.

Temos entiio, It

Um vetor normal a z2 + y2=16 e v (z2 + y2)"' 2z i + 2 y j. Logo, 0 unitll.rio normal a S, como mostra a

figura ao lado, e

I .,. ... , ,. ., I 5 \,

n=

...

2z i + 2y j

+ (2y)2

v' (2z)2

visto como z2 + y2 = 16 em S.

A

Logo,

a



n



R

+

:t

j

- 3y2z k)

1. -1.5

xz + zy d:r;dz = Y

1f

Calcular

do Problema 20.



i

( z ! 7d ) ! (zz

de superffcie e igual

integral

1! 21.

(ad

a

5

{4 •-o lz-o

•-O

4' n dS

=

onde

(

xz

Vl6

(4z + S)ch 4'

=-

-

z2

+z

+ :r;y)

) dzdz""

- 90.

: zys

e,

S e

a

mesma

superffcie

Tem os

Empregnn do esta liltima

fj :

.JR

os

integral

-·1 dos re.wta

n

dat

=

z i + yj 4

,

n

: ·15 .lz-0 ( .. : 1.5 (

:ez (:e i + y j) dz dz -

'

1-0

•-o

'Y J - 4 •

·

(z2 z

i + zz

634 z i + 634 zj

)

do

problema 201

V'16

- x')dz d• -

dz - 100 i + 100 j



INTEGRA�O DE VETORES

22.

Se

F

=

- 2.cz)j -

y i + (:i;

S e a superffcie da esfera

:&2 + y2 +

=

a2

a

a

y Um vetor normal a

:&

:r;2

-

a

2.cz

+.y2 + z2

V (;i;2 + y2 + z2)

do piano .cy.

acima

ai

ay

d.C

(V X F)-n dS onde.

k

j VXF-

1f

:cy k, calcular

z2

137



=

,

=

:&

i + yj

- 2z

k

:r.y

a2 e

=-

2.c i + 2yj + 2z k

%

Logo,

pois

o

unitario normal

n

=-

iJ + y2 + z2

=

n

da

figura acima e dado por

2.c i + 2y j + 2z k + 4y2 + 4z2

x

.Y 4z2

i+yj+z k a

a2•

A proje9io de S s6bre o piano .cy e a i;2 + y2 .., a2, z O (veja a figurn acima).

regiao R limitada pela circunferencia

=

Logo,

=

fRJ } li

(.c i + y j

_

2, k) .

(

x

i + yj + t1

z

k '

)

d:& dy

z/a

=

138

z

onde substituimos fizermos

p

co8

q,,

a

ANALISE

y2•

0 calculo do integral

se

p sen q,

y por

dx

e

-

·

dy

2

2 a p dp df/J V a2 - p 2 3 p2

pcO

=

211' [

1

.p-o

=

[Sendo

F

2r

{ 14>-0 =

p dp

por

4xz i

=

x

(aB - a3) dtf>

2 - a2) + a p dp df/J V a2 - p2

3 (p2

.p �

=

a2

V a2

- I p2

a

-

p-o

J df/J

=

1 f dS S F·n

onde

e a· su­

perf!cie do cubo limitado por

x

=

c �-----""!1118

1, y

=

=

0, y

1,

z

n =

Face DEFG:

0,

=

i,

x

z =

x =

1.

Entiio

D 0

=

Face .ABCO:

n =

{ J

JABCO

Face ABEF:

{ J

}ABE�

F .

n

F

n



dS

n

.

x i=

0.

1 1

( { lo lo

y

=o

1.

dS

"'

i=

fo1 fo1

4zdydz

=

2.

�t.iio

=-

j,

=

i;

=

0.

yz k, calcular

"

por

E a integral se transformn em

12,,.o lp-oa

(a2 - p2)a/2

- y2 j +

df/J.



se

simplifica

transforma�iio para coordenadas polares, isto e, substituindo

1.p-o2..- la

23.

-

V a2 - x2

por

VETORIAL

(-

2 y

j

+ yz k)

( - i) dy dz =

·

Entao

dx dz 1111-dxdz-=-1. (l { 1 (4xz i lo lo

j

+

z

k)

·

j

=

0.

=

O,

1.

INTEGRAgAO Face OGDC:

= - j,

n

y

=

0.

Entiio

= 11 Jo{1 = { f n S 111·1 JBCDE .f

{ JoGDC

Face BCDE:

F

·

dS

n

VETORES

DE

(4.r.z i)

·

u

n

=

F

·

k,

I.

z

d

13{)

(- j) d.r. dz = O.

Entiio

=

o

(.i.c i -

O

y2 j + y k). k rlx dy =

n { JF·ndS= Jof1 Jof\-y�jl·(-k)dxdy=O, JAFGO

Face AFGO:

=

z

=

0.

Ent:io

1 f ·ndS = F

Somando vem

24.

k,

2 + 0 + ( - 1) + 0 +

!

+ 0

=

;.

Quando operamos corn integrais de superf!cie n6s nos restringimos

a�

superf!cies de duas faces. Dar um exemplo de uma superficie que n3o e de dua� faces. Tomemos uma tira de pnpel ABCD, como a da figura abaixo.

as

Liguemos

extremirlades, dando antes uma tor�iio,

de modo que A e B caiam s6bre D e C respectivarnente.

Ar--------------... c

Sen e 0 normal posi- B.._

que quando

n

JI)

_____________

AD

tivo no ponto P da superffcie, verificarnos der uma volta cornpleta

s6bre a superf!cie, chegara de volta o P corn o sentido

invertido. Se tentarmos

colorir somente a

face

intcrna

mente a externa, veremos que

ou so·

tllda.

a

tira fica colorida. Esta 8Uperffcie, cha­ mada tira de Moebius, e nm exemplo de uma superffcie de uma face.

As

vllzes chama-fle

superffcie niio orienlavel.

Ao

passo que uma superf!cie de duas faces e orientdvel.

Integrais de volume. 25.

Se

4x + 2y +

cf> -=

z-=

45x2y e V designar a reg1110 fechada lirnituda pelos pianos

8, x

=O, y = 0, = 0, z

(a)

exprimir

f!vf

mite de uma soma. (b) calcular a integral do item (a).

cf> dVcomo

o

Ji.

ANALISE VETORIAL

140

k

(a)

DiviO

J: f (n X A)- i dS 8-8------

outras semelhantee com a substitui9ii.o de

k

AV L.l

Do Problema 23, suhstituindo B por

Logo, como no item

e

LIcpn · kdS

(\7cp . j) j + (\7cp . k) k,

(veja o Problema 20, Capftulo (b)

AV

AV->O

Multiplicando (I), (2), (3) por

vq,

J:Jcpn·jdS

-8-----

AV

i

por

j

e k.

eomando, encontramos a expreasiio proeurada.

Multiplicando por i,

TEOREMAS : DIVERGtNCIA, STOKE E INTEGRAIS

171

Os results.dos obtidos podem ser tomados como ponto de partida para defi­ nicio de gre.diente e rota.cional.

Com essas definic6es. podemos estend�los

a

outros sistemas de coordenadas que nio o retangular.

25.

Esta.belecer a equival@ncia do operador

Ao onde

o

a

I

Air-+O A V

# dS

o

indica um produto qualquer, vetorial, escalar ou comum.

Para esta.belecer-se a equival�ncia, os results.dos das operac0ea num campo vetorial ou escalar devem ser coerentes corn as relac0es ja esta.belecidas. Sendo

o

A, ( fdSoA J um

um produto escalar, entio para

I Vo A= lim AV-+O AV

= lim -1AV-+oAV

temos

AS

OU

I div A= lim AV-+O A V

vetor

( fdS A

}As•



!A·ndS

( }As

estabelecida no Problema 19.

o

Analogamente, sendo

·

rot A

=

um produto vetorial, temos

V

X

A

I lim AV-+O AV

=

=

estabelecida no Problema 24

E tamb�m, sendo t.emoB Vo cf>

=

o

I lim AV-+O A V

26.

Sendo

S

I Im AV-+O AV

i

A

AS

·

(b).

uma multiplica o

ou

Vc/J

=

I lim AV-+O A V

cf>

f cf>dS

( }As

(a).

uma auperffoie feehada e

r

o vetor posi = uv

v2,

Doi s conj untos das superficies coordenadas sao obtidos

giran­

do-se as parab olas da Fig. 6 da pagina anterior em t 6rno do eixo dos x, que pa ssa agora a chamar- se eixo dos z.

jun to 5.

0 terceiro

con­

sao pianos que passam por �sse eixo.

Coordenadas

cil1ndricas

eliticas

(u, v, z).

Veja a

Fig. 7 abaixo. x = a cosh u cos v, on de u

y = a senh u.sen v,

0 � t• < 211',

� 0,

h.. = h. = a

V senh2 u

+ sen2 v ,

h.= 1

N

I:' 7 " "

,,,\'

. ,, 4

'" 0

v.

371/2

Fig. 7

Os tra9os das su perficies coordenadas no p la no xy sao as cur­ vas

da Fig. 7 acima.

Sao elipses e h i perboles do mesmo foco.

ANALISE

194

VETORIAL

Coordenadas esferoidais oblongas (�, 1],

6.

x =a senh � sen 1J

y=a senh � sen 1J sen

cos c/>,

cf>). z =a cosh � cos '1

c/>,

onde

c/>

0 ;£ h�

=

h11 = a

V senh2 �

+

sen21] ,

<

211"

hrf> = a

senh � sen 1J

Dois conjuntos dessas superficies coordenadas obtem-se giran· do-se as curvas da Fig. 7 em t6mo do eixo dos

0

x.

terceiro, sao

planos que passam pelo eixo dos z, que agora ocupa o lugar do

eixo dos x primitivo.

Coordenadas esferoidais achatadas (�, 1]1

7. x

=

a

y=a cosh � cos '17

cosh � cos '7 cos c/>,

sen c/>,

c/>).

z =a senh � sen 71

onde

-�< = a

cosh



cos

77

Obtem-se dois conjuntos das superffoies coordenadas girando-se curva s da Fig. 7, da pagina anterior, em tOmo do eixo dos y, que passa a se chamar eixo dos z. 0 terceiro conjunto sao planos que as

passam por esse eixo.

Coordenadas elipsoidais (A,µ, JI).

8.

:z;2 a2

.....

:z;I a2

+

µ.

---

• . x

a2

---

11

y2 b3

X

+

+

-

X

+

c2

z2 -

X

=

l,

y2 z2 = 1, + 2 b2 - µ c µ +

y2 b2

-

JI

c2

z2 -

11

=

1,

A< c2 < b2 < a1

c

2

< µ < b2 < a2

1 c <

b2 < 11 < a2

COORDENADAS CURVILfNEAS

hx =

_

h"' -

h" -

_

9.

_!__ 2



_!__ / �

2

(µ - X) (v - X) (a2 - X) (b2 - X) '(c2 - X) _

(v - µ) (X - µ)

1 (a2 - µ) (b2 - µ) (c2 - µ)

J_ J 2

(X - v) (µ - v)

1 (a2 - v) (b2 - v) (c2 - v)

Coordenadas bipolares :t� +

195

(u,

v,

)

z .

Veja a Fig. 8 abaixo.

(y - a cotg u)2 = a2 cosec2 u, (x - a cotgh v)2 + y2 = a2 cosech2 v,

z = z

'1

Fig. 8 OU a. senh v x = ------ ' cosh v - cos u

y=

a

sen

u

----cosh v - cos u '

on de

0 � u < 21r,

h.

=

h.

=

a

cosh v - cos u '

h, = I.

t: = z

ANALISE

196

VETORIAL

A Fig. 8 da pagina anterior mostra os tra�os das supcrffoies coordenadas no piano xy.

Girando-se as

curvas dessa

figura

em

Mmo do cixo dos y e chamando-o depois de eixo dos y teremos ·

sistema de coordenadas toroidais

o

PROBLEMAS RESOLVIDOS Deecrever as euperf!cies coordenadas e as curvae coordenadas para

1.

coordena�as cilfndricas, e

(a) p

=-

z

(a)

coordenadae eefericae.

As euperffoiee coordenadae eiio: cilindros co-axiaie tendo o eixo doe z como eixo comum (ou o eixo do�

c1

para e1

q,

(b)

...

i

O).

= C2 pianos que passam pelo eixo dos z. = ea

pianos perpendiculares ao eixo dos

t.

As curvas coordenadas si!.o:

tP

lnterse9i!.o de p = e1 e Intersecao de p = lnterse9i!.o de

(b) r

= c1

tP

e1

""

e2 (curva

e z = ea (curva

= e2 e

Z.

= ea

z)

que e Um& reta

,P)

que e uma circunfer�ncia (ou um ponto)

p)

(.curva

que 6_ Uma reta.

As superflcies coordenadas sii.o: esferas de centro na origem (ou a origem se e1

0 = e2

cones de vertice na origem (retas se .e2 =

t/>

pianos que passam pelo eixo dos

=

ea

0

ou

=

71'

0) e piano zy se

c2=7l'/2)

z.

As curvas coordenad:ls ei!.o� lnterse9§.o de r = e1 com (J

=

c2 (curva

t/>)

que 6 uma circunfer�ncia (ou um

ponto) Idem de

r

Idem de (J = e2 com

2.

q, = ea

= e1 com

q, = ea

0)

(curva

(curva

r)

que e uma semi-circunfer�ncia

:cc1

F

0).

que e uma reta.

Determinar as equa9oes de transforma9iio

d� coordenadas ciHndricae

para retangularee.

As equa9oee de transforma9iio de coordenadas retangulares para cilfndricas eiio:

(1)

z

=

p cos q,,

Elevando ao quadrado

p2

(2)

(1)

(cos2

e

q,

(2)

y =

p sen q,,

e BOmando vem

+ sen2

t/>)

=

z2

+

y2

OU

p

"'

..; z2 + y2' pois p e posltivo.

(3)

'

= '.

COORDENADAB CUBvn.fNEA.s (2) por (1)

Dividindo

11

-

-; Logo

temoe

p sen 4' "' p COB "' - tg

(4)

p

(5) 4'

v':c2 +y2,

...

Note-se que para pontos do eixo' dos

3.

sii.o

- arc

tg yfz.



1

(z

(6)

tg y/z,

arc

0

-

e y =-

• - ••

0) tP

e indeterminado.

chamados pontoa singularea da transformai;iio.

Provar que

0 V"etor

"'

OU

equat;(jee de traneforma9! procuradas, Bio:

as

Taie pontos

197

posic;ii.o r

sistema de coordenadas cilfndricas e ortogonal.

um

de

-

um

ponto qualquer em coordenado.s ciUndricas 6 dado por

:ci +

yj + zk

p cos q, i

..

Os vetores tangentes ls curvas

p, 4'

e



+p sen 4' j + z

k

Bio dados,,respectivamente por

iJr

iJr iJp'

iJr - e - o nde

iJz

tPP

iJr iJp

""• .. ooe'l'1

iJr

"" •

+ sen'I'

iJ4'

,,

""' "-']1 'I' I + p COS 'I'

- p sen

-

2!,._k iJz

E oa vetores unitl!.rios dessas direc;l>es eao, portanto,

"'

iJr'iJp

V

ea

iJr/iJz

I iJr/dz I



cos2

4'

4'

+ een2

cos

,,.. J "" i + een 'I' 'I'·

-psen4'i + pcoio4'j

iJr/iJ4'

--:�=::;:::= :: ========

I iJr/aq, I

ea""

"'j

COB i +een --:========- '"'

I iJrfiJp I

v' p2 sen2 4' +p! cos2 q,

=-

-



sen

q, i + cos q, j

""k

Logo,

entiio

q, i +scn t/>j)



ei

e1

·

ea ..

(cos q, i +sen q, j)

·

ea ..

(- sen

ei e,

=-(cos

e1

·

(

·

(k)

q, i +cos q, j)

-

·

sen •

(k)

q, i +cos t/>j).,, 0

0 ..

0

Bio perpendiculares entre si e o sistema de coordenadas 6 or­

e11 e2 e ea

togonal.

4.

Representar o vetor

determinando Ap

,

A = - sen!/> i + cos !/> j

(1) ep =cos!/> i + sen!/> j

(3) e,=k

Resolvendo o sistema de equai;aes (1) e (2), encontramos j = sen!/> ep+cos!/> ecf> Donde,

A = zi - 2xj +yk

= z (cos!/>ep - sen ecf>) - 2p cos!/> (sen q, ep +cos!/> Ccf>) + p sen!/>e. = (z cos q, - 2p cos q, sen)ep - (z sen q, +2p cos2 ) ecf> + p sen!/> e. e

Ap =z cos q, - 2p cos q, sen q,,

5. a

Provar

Acf> =- z sen q, - 2p cos2 q,,

A. =p sen q,.

d d . d"1cam .., ep onde os pontos m dtep = ecf>, dt ecf> =- l •

que

derivada em relai;iio ao tempo t. Temos, do problema 3,

ep

=

ecf>

cosi +senj,

=

-

seni +cos q, j

Logo,

d dt ep = - (sen) i +(cos) j =(- sen •

d

dt 6.





q>i +cos j)

� =e cf>











erp =- (cos) i - (sen ) j =- (cosi + sen j) q, =- q, ep Exprimir

a

velocidade

v

e

a acelerai;iio

a

de uma

parUcula

nadas cilindricas. 0 vetor posii;iio, em coordenadas retangubtes e

tores velocidade

v

e

r =

xi +yj

+

em

coorde­

zk e os ve­

acelerai;ao siio

dr =dt

.

..



Xl

. •

+ YJ

+

k

z .

.

e

a =

) +

+

(p sen) {sen q,ep+cos!/> erp)

:+- z e1 =

=pep+ze,

Logo, v

dr dp dep dz = dt = dtep+P di+dte,



=





pep+pq,erp + ze6

COORDENADAS CURVILfNEAS empregando os resultados do Problema 5.

a



p 4' e + p ep + p � ( -J, ep) + p cP e + p ef, e + (p

=

-

p

Essa exprcssiio tamhem pode ser tiracla diretamente da Fig.

(c)

Em coordenadas cillndricas

v u2

hi ...

1J2,

-t-

dV

=

hi

=

(:v' u.2

V u.2

+ vz)

+ 1J2, h3

(a) •

l: =

- a co sh

y

{b) do

u,

=

u2

=

= a

11,

=

ua ... z,

Logo ,

(u.2 + v2) du dv dz.

(b) o volume clementar

e

Problems 9.

(b) ) .

1 (vcja o Problema 8

(�) (1) du dv dz

acosh £cos f1 cos I/>,

u1

parab6licas -=

11. Achar (a} os faMres de e scala de coordenadas esferoidais achatadas.

dJ;

=

- r sen

cosh £cos f1 sen I/>,

z

dV

=

n

um sistcma

a scnh £ sen f1

£cos 'I sen 4> dlf>-acosh £ sen 'I cos 4> a.,, +a senh £cos 'I cos 4> d£

dy - a cosh £ cos 'I cos 4> di/> - acosh £ sen 'I sen 4> dfl + a senh £ cos 'I sen 4> df dz .,.

a

senh £ cos 'I dfl

Logo,

(ds)2

.,.

+ a cosh £ aen 'I d£

(dJ;)2 + (dy)2 + (dz)2

=-

a2 (senh2 £ + sen2 fl) (d£)2 +

+ a2 (senh2 £ + sen2 fl) (df1)2 + 2 + a2 cosh2 £ cos2 'I (dl/>)

e

h1

=

h�



a V senh2 £ + sen2 f1,

-acoshfcOBfl·

h.l

=

h9

=

a

v senh2 £

+

sen

2

'I ,

ha



h9

=

ANALISE

202 dV

(b)

(u Vs enh2 �+sen2 71)

=

=

Achar

12.

ortogonais.

VETORIAL

(o.Vsenh2

a3 (sen h2 � + sen2 71) cosh �cos 71 d� d71

I

e2

X

ea

I

=

dcf>.

expressoes dos elementos de area em coordenadas curvilfneas

as

Da Fig. 3, pag. 185, tiramos para

pois,

�+sen2 71) (a cosh � = - sen q, i + cos q, j

(b)

sen 8 cos q, er + cos 8 cos q, e() - sen q, et/> . j = sen (J sen q, er + cos (J sen q, e() + cos q, et/>

i

=

. k = COB 8 er - sen 8 e(). 43.

A = A.er + A()e() + Atf>eq, onde

2 r sen 2 (J sen q, cos q, -

r sen (J cos (J sen q, + 3r scn (J COB (J cos q, (J A9 = 2r 11en (J cos sen q, cos q, - r cos2 (J sen q, - 3r sen2 (J cos q,

Ar

=

A 4> = - 2r seu (J .sen2 q, 47.

v a

r

cos (J cos if>.

= vrer + v9e9 + vq, etf> onde v,.= r, VII= rO, vq, = r sen 8 ° = Ur er + U()e() + aq,etf> On de ar T - ;(J2 - T sen2 0 ef>2, =

a()

1

=

aq, = 48.

(a)

J,

d dt



- - - '(r28) - r r

scn

(J cos (J



q,2,

d " i.\ 1 . --- -- (r sen· (J 'f',·

r

�en 8 dt

ds2 = (u2 + v2) (du2 + dv2) + u2v2dcp2, h.,

=

h, =vu2 + v2, hq, = uv

(b) ds2 = a2 (senh2 u + sen2 v) (du2 + dv2) + dz2, hu = hv = a

(c)

ds2

=

h� 49.

V senh2 u + sen2 v ,

=

h.,, = a

V senh2 t + sen2 T) ,

(a) uv (u2 + v2) du dv de/>, (c)

hz = 1

a2 (se nh2 t + sen271) (dt2 + d712) + a2 cosh2t_cos2 'I def>2,

a2 du dv dz ( co�h " - 2).

a:x ax + jJL ay = au- av au av

(a) 750, 75;

a 21/; aq,2

a [ �,-,.- -� (r2 u) a,. ar J

a a9

78.

'227



a a 2 v)2 1w2_j_(u "" +112v_j_(v "")+(u+ au au av av

(b) av at

.

(x,

c

CURVILINEAS

g = 100.

+ 6 dua 2+ 6 du1 du2 -

6

du1 dua+

CAPfTm,o 8

ANALISE TENSORIAL

As leis fisicas, para serem validas, devem ser independente

dos sistemas de coordenadas usados para exprimf-las matematica­ mente.

E,

justamente, o estudo das conseqiiencias desse requisito

que nos leva a andlise tensorial, de grande emprego na teoria geral da relatividade, na geometria diferencial, na mecanica, elasticidade, hidrodinamica, teoria do eletromagnetismo e numerosos outros cam­ pos da ciencia

c

da engenharia.

Espa�os d e N dimensoes.

Num espai;o tridimensional um

ponto e representado por um conjunto de tres m1meros, chamados

coordenadas, determinados pela especificai;ao de um .dado sistema de coordenadas

ou

de

rcferencia.

Por

(x,

exemplo,

z), (p, , z),

y,

(r, (), ) sii.o as coordenadas de um ponto, respectivamente, num sis­ tema de coordenadas retangulares, cilindricas e esfericas.

Um ponto

num espa90 de N dimensoes e, por analogia, um conjunto de N nu­ meros designados por poentes

e

(x1, x2,







,

xN)

onde l, 2, .

.

., N

nii.o sao ex­

sim indices, nota9ao essa que se mostrara de grande utili­

dade.

0 fato de nao podermos visualizar um ponto de tres dimens0es :riada tern a ver,

em

espa9os de mais

naturalmente, corn a sua exis­

tencia. I! Transiorma�oes d e coord enadas. C

(X\ X2,







,

zN)

8" eJam (x t ,

x2 ,

. . . ,

x

N)

as coordenadas de um ponto e:rl\- dois diferentes

sistemas de referencia.

Suponhamos que existam N

rela9oes in­

dependentes entre as coordenadas dos dois sistemas, corn a seguiste

forma:

ANALISE

TENSORIAL

229

(1)

que

podt> m os indicar abreviadamente por

x1,;

(2)

=

x1,;(.r1,.r2, . . . ,xN)

k

=

1,2,

... ,N

ondc se supoe quc as furn;oes qne nelas aparecem sao univocas, con­ tinuas, e de derivadas continuas. Entao, reeiprocamente, a cada conjunto de coordenadas (x1, X2, . .. , xN) correspondera Um unieo conjunto (x1, x2, , xN) dado por •

(3)

x1,;





=

x1,;

(x1, x2,





., xs)

k

=

1, �'

.. ., N.

As rela9oes (2) ou (3) d efinem uma transforma (2 r sen 8 sen cp - r2 cos� 8) ().

oAp

+

cJ2xP

oxk ax;

oxq +

a�

axk

oxq

oAp +

axk

a�

Ap

=

cJ2 xP

oxk ax;

Ap

o2xP

Ap

oxk ax;

' segundo termo no mem b ro da d'1re 1"ta

grandeza adequadll. (Problema

8

245

Ap.

oxP

Como ha

4> cos I/>)

(r scn 8 cos) (2 r se n 8 sen q, -

que

riante de ordem 1.

NA L I S E

oAp oxq

==

niio

-�

se

tran ... orma

Mais adiante mostraremos que se somannos uma poderemos

t ransformar

0

resultado

num

tensor

52!.

Moetrar que a velocid11.de de um fluido num ponto qualquer e um tensot

contravariante de ��. (t) + E71(t), onde E e independente de t e uma curva vizinha, mcntar.

ANALISE Vl';TORIAL

270

. A n km) Provar que ( UJk

56 .

pois gjk,q

=

-

_

k gJ A n,m q

k

.



ik Uik, g

0 pelo Pi·ob. 54 (a). Na d c riva .,ii o covafrtnte

ser tratados como constantes.

e

oki po2



Derivadas intrinsecas. 62.

Cakular as de1ivadas intr(nsccas de cada

admitindo-os como fum;oos deriva.veis dr t:

(d)

A1�n· (a)

(b)

o

,.,

dxq

.¥-.

dt ot - • q -.

- -

llAi = ot

j d:rq A. q dt

=

=

=

(c)

llA{ ot

=

Ai

k. q

d:Ifl dt

o d:i!l

u.i;• ,,�

(oAi d:Ifl

dt

=

=

-td

qs

)

um

dos

seguintcs tcnsores,

in".'ariantc , (b)

Ai,

oA t_ ax'l

I

s kq s

kq

l f

(i; f>A.; ,,,

-

-

=

_

..

iJcI>

·

j a t 1 kq 5

-

k

8B r,/ Bk+ A; T

dA; (dt

( .

.

-

dA k +

dt

( dA;

dA1c dt

:Aa

j a t d:i;'l A 1kq5 . dt



flik '11.i

k ( iJA iJz'l

·

"·"dt

=

146.

iJcI>

e.

sit vctores unitarios no .eentido de crescimento de



(c)

cl>

e, + vz

(-eu + - e,) +-e. iJo iJz Vsenh2 U + sen2 II Ou.

respectivamente.

145.

cl>

. i.2

1

a



� � eu + � + ri- "" (11'

291

dt

_

-

-

j a t A 1 jq 5 . (it:

dz'l)

j k t 1qa5

' dzf A

j a t a A 1;q5

j a t A dz'l 1kq5 • dt

dt

)

dX'l.) dt

)

dxf

dt

_,

u,

t1 e z

ANALISE VETORIAL

292 153.

(a)

r, rB, rsen 8 �

(b)

r

-

rSi

-

rsen2 8

a

�';;:') . + ��

variantes da velocidade.

157.

(a)

(b)

-

r

sen 8 cos 8

J,t

· .

:; �� +



-

0 onde 119 siO OS componentes contra­

au a a d u11l, ap (u11l) + aq, (prr) + a; (uv8) + p + Te ..

.

a

or

I

d - (r2 sen2 8 ,P). dt

I

rsen8

--

156.

�2, _!..r .!!. . (r2B) dt

-

0

au . a a 2111 . . (u111) + a (u112) + aq, (ull3) + u (- - + 112 cotg 8) +at r o

..

o.

onde 111, 112 e 113 sao os componentes contravaria�tea da velocidade. il58.

rc ApdS"" th;P da J

=

-

fj s J

gente unitt\rio A. curva fechada C

S, cuja linha limftrofe � C.

e

EP'l"A1,,JJpdS onde

th;

P da

�ovetor�n-

pP � o nor�l unit4rio pollitivo a Guperffcie

1NDICE ALFAB:ETICO

A

c

Acelera'lllo, ao longo de uma eurva no esp�o, . . . . 48, 53, 54, 69, centripeta, . . . . ... . . . 59, 69,

Calculo das varia�oes, 78 73

73 de Cori6lis, , . . . . . . • � . . . • . . . de uma partieula, 144, 58, 59, 69, 72, 119, 274, 276

em coordenadas cilindricas, 194, 269 em

coordenadas

esf�ricas, 269, 270

em eoordenadas gerais, em coordenadas polares, relative.,

269, 270 79

• . . •

• • • • . • . • . . . . . . . • . . •

relativa a observadores fixos e m6veis, . . . . . . • . . • . . 72, . Adii;ii.o, de lei lei lei

de matrizes, • . . • . , . • • • . · 234 tensores, • . . . . . • . • • . . • • . 232 8 associativa para a • . • . 3, 7 comutativa para a . . . . 3, do paralelogra.mo para a 2, 6 6 lei ·do triangulo para a • • • .

Aerodinamica

. . •

• • • •

• .. . . • . •

• • •

116

.Algebra., de matrizes, • . . . • . • . . . 234 2 de vetores, • . . . . . . . • . • • 1, Analise tensorial, 103, 191, 218, 228 Angulo, de duas supei:ficies, . • • 88 de dois vetores, • . . • 27, 236, 258 Angulo s6lido,

. . . . . . . ..

. . . 172, 173

.Area., de uma elipse, • • • • . . . • . • • 158 de um paralelogramo, . . . 24, 33 de uma superficie, 146, 147, 222 de um trill.ngulo, . . . . . . . . . . • 34 limit'ada. por uma superficie fechada, . . . . . . . . . . ... . • .. 150 vetorial,

. . . • . • . • .

. . . . ..

35, 1 17

B Binormal . . . . . Brahe, Tycho,

. . . .

.

.

.

.

. .

51, 62,

65

. . . . . . . . . . . . . . . . 121

• .

. 238

especifico,

. . . . .. . . . ... .. • . .

175

·Campo conservativo; 102, 117, 127, 128, 132 movimento de uma particula num, . . . . . ... . . . . . . . . . . . . 132 Campo, de fonte, • . • . . • . . . . . • • • de po'lo, . . . . . . . . ... . . . . . . ..

72 73

. . . . . . •

Calor, . . • • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 corrente de, no estado de equilibrio, . . • . . . . • . • . . . • • 175

·

18 18

escalar, . . . . . . . . . . . . . 4, 17, 231 escalar estacionlirio, . . . . • . . 5 irrotacional, . . • ... . . • . . 101, 127 solenoidal, . .. . ... ... .. .. .. . 94 te'llSorial, . . . . . • . . . ... . . . . . • 231 turbilhonario, . . . . . . . . . . . . • • 100 vetorial, · • . • • . . . .. 5, 17, 18, 231 vetorial estacionario, . . . • . • • 5

Centro de gravidade , de um trilngulo1

• . . .. . . . • • •

• • • •

• • • •

21 45

Cl1ristoffel, simbolos de, 237, 260, 264, 283 leis de transforma'loes dos, 237, 261 Cicl6ide,

. . • • . . • • ... • • •

• . • • • • • • • • • . . . . •

Circula'lio,

• • • . • • .. • • . . •

Coeficientes ui�tricos, Cofator,

• . •

182

• . • •

52

• . • • . •

Ciilematica,

• • •

116, 181

• . . • • . • • • •

. . • . . .. . . • . .. • • . •



205

235, 255

Componentes, contravariantes, 189 216, 217, 231 covariantes, • . 189, 217, 218, de uma diadica, . . . . .... . .. de um tensor, • . • . . • • • • 217, de um vetor, 4, 189, 215, 217, 218, fisicos,

. • • . • •

231 103 231

230

237, 271, 276, 284

Comprimento de um arco, 51, 78, 189, 205

ANALISE VETORIAL

294 em

eoordenadas

curvilineas,

em eoordenadas eurvilineas ortogonais, 190 sobre uma superfieie, 78 • . • . . . . . •



• .. •



• . . . . •

Condutividade termiea, Coniea,

• . . •



• . • . • . . . •

• . . . . .. . . . . . . • .

Conservac;li.o de energia, Continuidade, equac;io de,

. •

• .

Contr&llio,



. .

175

• . . . . •

• . •

,





• . . . . •



232, 248, 249

Coordenadas, bipolare� 195, 221 eilindrieas (veja uoerdenadas eilindrieas) eurvilineas (vcja Coordenadas eurvilineas) elipsoidais, ........... 194, 221 esfericar; (veja esfericas)

esferoidais

Coordenadas

aehatados,

194, 201, 220, 221

ederoidais oblongos, .. 222, 221 linhas ou eurvas, . . . 187 polares, , ........... 138 .

. .

.

. . .

.

. . • . . . .

toroidais, .... 196 transformac;ao de, 82, 83, 106, . . . . •

• . . . . .

. • .

comprimento de arco em, 199 divergencia em, , ... 211, 271 elitieas, 193, 213, 220, 221, 284 •

. •



.

geodesica em, . . . . . ... . . .. . gradiente em, ...... ....... jaeobiano em, ............ laplaceano em, .... 211, 213, parab6licas, 192, 199, 201, .

.

• .

283 211 221 271

213, 220, 221, 222, 284

rotacional em, ............ 211 simbolos de Christoffel em, -

\

264, 284

tensor metrico em, ........ 254

tensor metrico conjugado em, .. .. .... 256 velocidade e acelerac;iio em, .

.

.

.

.

.

. ·. . .

.

.

.

198, 275, 276 200, 201

volume elementar em, Coordenadas ear;,

cilindricas 192,

199,

• .

parab6li201,

213,

220, 221, 222, 284 comprimento de arco em, .. 199 divergencia em, . . ......... 221 equac;iio de Schroedinger em, 222 gradiente em, ........ 221, 284. jaeobiano em, . .... 221 laplaceano em, ........ 213, 284 •

.

.

.

.

.

.

.

.

• .

221 284 201

189, 205

definic;ao de, .. gerais, . 205, 215, ortogonais, 67, superficie em, 66, 67, 78, volume elementar em, 189, . . . . . . . . . •

. . . . . . •

• .

• .

. . . . • ... . . • . .

. •



187 218 187 214

190, 219

Coordenadas

esfericas,

101, 191, . 192, 196, 203, 221

componentes covariantes em, comprimento de arco em, divergencia em, .. : ... 221, equac;!io da transmissiio de calor em, , . , , .... , ...... geodesica em, gradiente em, . jacobiano em, ............. laplaceano em, ....... 213, rotacional em, simbolos de Christoffel em, . •

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



• . .

.

.

.

.

.

.

.

.



. . •

.

.

.

. . .

.





.

244 .199 271, 222 283 221 221 271 212

264, 283

tensor mefrico em, tensor metrico conjugado em, velocidade, acelerac;lio em, . , volume elementar em, .. 200, . . . .

196, 197, 220, 221



.

187, 228

Coordenadas cilindricas, 191, 192,



.

Coordenadas curvilineas, . 187 a 227 acelerac;li.o em, .... 198, 275, 276 comprimimto de arco em, 78,

. . . •

.

. . •

. . . . . •

.... 122 .... 132

. 48,. 5-0 ..... . .... 94, 174

. . . . . . . . . . . •

rotaeional em, simbolo de Christoffel em, volume elementar em, •

78, 205

.

. . •

254 256 220 201

Coordenadas ortogonais, especiais, 191 a 196 bipolarefi, . . . . .. . .. . .. 195, 221 cilindricas, 191, 192 (vcja Co­ ordenadas cilindricas) cilindricas eliticas, 193, 213, .

220, 221

cilindricas parab6Iicas, 192 (veja coordenadas cilindricas parab61icas)

elipsoidal, , ... , , . , 194, L21 esfericas, 191, (veja Coorde­ nadas esfericas) esferoidais achatadas, 194, • . . .

201, 220, 221

esferoidais oblongos, 194, 222, 221 paraboloidais, 193, 221, 222, 284 toroidais, . . .... 196 .

. . . . . . .

..

. .

Correspondencia, ................ 222 Co-senos, diretores, ...... .. 16, .

lei dos, para triilngulos planor;, ................. lei dos, para triilngulos esfericos, ................... . .



.

82 28 45

fNDIOE

ALFABETIOO

295

. .. . .

76

Determina.ntes, multiplica!;lto de,

Curve. no esp&!;O, . .. aceler&!;iiO ao longo de uma, 48, 53, 69, binomial a. uma, . 51, 62,

47

Dia.das,

Cub.ice. reverse.;







, . .







• .

• . • . . . • . . . •

.

. .

79 65

Curve. no espQ!:o, comprimento de arco de uma, IS!, 78, 189, 205 eurvatura de uma, 51, 62, 64, 159 normal principal a. uma., 51, 62, 6•, 66, 68 raio de curvatura de um.a, 51, 62, 63, 68 raio de torsllo de uma, . 52, 62 t'angente a. uma, 51, 52, 54, 62, 64, 66, 68 .

Curve. simples fechada, . . 116, 149 superficie limitada por uma, 145 •

Curvatura, r&io de, tensor de •



.

51, 62, 64, 159 . . . . . . 51, 62, 63, 68

• . . .

• .



• . •

. . . •

.





.

.

. . . . •

.

. . 278

. . . .

Diadiea,

. . . . .

.

• ..

• . •

103

. . . . . . . . . . . . .

. . • . •

• . . . . • . •



• . •

Diferenfericas, .. 222 , , • , • , . .. . • • .

Equ�l'ies diferenciais, Equilibrante,

• •

,

. . • • ,

•. . . . . . . . .

...

751 145 ....

8

Escalar, 11 41 231 campo, , . , .. , , , , , 41 171 231 fun1t&o1 de posi4'io ou de ponto, 5 potencial, ·102, 113, 117, 129 produto, . 23, 25 a 30, 249 triplo produto, . 24 47 variavel • •. • • •• • • . • • .

. • . .

. . . .

·

• • . • . . . . , • . ... • . . . • • .

• • .• .

. .••. . • . • . . ,

. . .. . . • . . • . . . ... .. .

Espafto, de N dimensl'ies, 235 enclideano, .. 235 geod6sica em, riemanneano, 238, 265; 266 riemanneano, 2351 238 . .. .. •

. . . . . . . . . . . .• .

• • • • , . . . • .

Estado estacionario (ou de equi1!.brio), corrente de calor no, , 175 ,

Excentricidade,

• . .• , • • ,

........ 122

Extremidade de um vetor, Extremo,

•••• . . . . . .• • •• ,

.

.. . . .

1

, , , , . . , 265

F Fatores de proporcionalidade, Fluido incompressivel, Fluxo,

,

,



.

.

• • . • . .• .• . . . . . . . . • . .

Fonte, campo de, linear,

, • , •.•.. .

.

.

174 1 17, 167

, .... .. , , 18, 94, 167 18 ... . . 18 . .• • . . .

. . • .

. . . .• .• • . . . • • . . . . . . •

For1ta, central, . 120 de Cori6lis, ..... . ... ...... 73 de gravita1tiio universal, ... 121 momento de uma, , , . , . , 351 69 repulsiva, . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 sobre uma particula, .. 274, 276 . . . . •• • . . • .• . . •

.

For1tas,. fictfoias, reais, . . .. ...... resultante de varias, Forma, integral do operador . V

. . . . . . . •• • • . • •

• • .• . .• . .• .

• .•• .• •

73 73

16

151, 171 metrica, ................... 205 quadric& fundamental, , .. , , , 205

,

. .. . .

• •

• . .• • ,

5 5

5

5

G Gauss, lei de, . 186 teorema de, .. 172 teorema da divergencia de (veja Teorema da diver· gencia) • •• . . .. . . . . . . • . .

Geod6sica,

. . . .• . . • . . • .

• . • . • • • • • •

Geometria diferencial,

, . 238, 265, ·283

51, 47, 61 a 6$, 75 a 7 8, 286

Grad (veja Gradiente) Gradiente, 80, 84 a 89, . de um veior, defi11.i'ti.O integral de, ... em coordenadas cilindricas, em coordenadas cilindricas parab6lieas, 221, em coordenadas .curvilineas ortogonais, 187 , 205, em coordenadas esfericas, . forma. tensorial de, , .. 239, invariancia do, . • • . , , • • • •

. . . • • .• . . . . . • . , • .

. . . . . . .•

• .•• • •

.

• . • . • • • . • •.

244 102

171 71 1 284 206 221 270 108

Green, primeira identidade do teo­ Tema de, 150, 168 segunda identidade do teore· ma simetrico de, 150, 1 68 teorema. de, no espa'lo, 150 teorema de, no piano, 150, 151 a. 161 ,

, , . , . . . . .• .

·

• •• •

. . . . •

.. 188

94,

• • . •• .

. ·.

, . .• • • .•

13

Equ�i.o da transmis&ao de calor,

, , , , ,

Fun'i&o, escalar de ponto, escalar de posi'l&o, � vetorial de ponto, : vetorial de p06i1t&o,

H Hamilton-Cayley, .teorema de, Hamilton, principio de, Helice circular,

• .

• .•

282

...... 277 62

• .. . . . . . . . • . • •

.•

Hiperbole, .. .. ................. 122 Hiperesfera., Hiperplano,

, . . . • •• • • . . . , ,

Hipersuperficie, Hipocicl6ide,

• ,

. , •

• ..• . . . . . • •• • • • . . • . · . . • • . • . . . • ••• . . •

. . . . . . .

.

. ...

..

.

. . . ••

242

242 242 183

I Igua.ldade, de matrizes, de vetorea,

• ,

. . . . • •

. . . . • • • • • . . . . . . •

Independencia, da origem, do trajeto de integra1tio, 125, 126, 155,

. .• .

234 2

. . . 13

116, 129, 1 7 9

fNDICE ALFABETICO 1ndiee livre, mudo,

• •. . . . . . • • • • . . • . • • •

• • . • . • • . • . • . . . . . • ••• •

115, 122 a 133, 156, 160, ealeulo de.s, 122, 124, 125, eireulac;io em func;io de, 116, independentes do trajeto, 116, 126, 155, 160, teorema de Green e eRlculo dos, trabalho expresso eomo, 179, 116,

Integrais

de

linha, • •

. . •. . • • • . • . . •. • . . . . • •

299 229 179 156 181 179 '

157 124

Integrais de superficie, 117, 133 a 139 caleulo dos, . . . . . 118 eomo limite de uma soma, . 133

297

para matrizes, para produtos esealares, para produtos vetoriais,

• • • •. . • • . • • • •

23, 23, 31,



234 26 32

48, 69, 73 Lei de Newton, da gravitac;il.o universal, 121 forma tensorial da, 274 • • • • • . • • • •

• . •

• . • . . • •

Lei do quociente,

• • • • • • • . • •

Leis da algebra de vetores, Leis de Kepler,

233, 251 3,

• .

26

121, 122, 143

. .• . . . .

'

Leminiscata,

183

• . • • • • . • • • • , . • .. • . •

Loren tz, transformac;io de,

• • • • • •

286

Lorentz Fitzjerald, eontrac;io de, 286

• • • • • . . . ••

M



Integrais, teorema de.s, 150, 167, 168, 172, 173, 180 (veja tamblim Teorema de Stokes e Teorema da diver­ g@neiit). Integrais de volume, 118, 139 a 142, 140 definidas eomo o limite de uma soma, 139, 140 • • • • • • • • . .

Integral, de linha (veja inte­ grais de linha) de superficie (veja integrais de superficie) de vetores, . 115 a 148 de volume (veja integrais de volume) . .. . . . • . •

Invariii.:ri.cia, .... 82, 106 a 108, 113 Invariante,

. . • . . . • ••• .

. 83, 231, 258

Matriz, 103, 233 Matrizes)

(veja tamblim

coluna, . determinante de uma diagonal principal de uma, elementos de uma, 233, 234, 281, linha, nula1· . .. . . . ordem de uma, quadrada,. reciproca de uma singular, . transposta de uma, . . .. . . • • • • •

233 234 233

. •. . • . . • •

• •. . • •



282 233 233 233 233 234 234

• • • • • • • • • • • •. • • • • • . • •

.

.

. . .

.

.

. . . ... . . .

• • . .

.

. • • . • • •

. . • •. . • . • . . . •. . . •

• • . . • • •

Matrizes,

233, 252, 253

. •• • . . . . • . . • •

Matrizes, algebra das conformes igualdade de, operac;oes corn, soma de,

.. : ... . . 234 ll34 . . . . . . 234 234 234 •

. • . . . . . .

. • . . . • . . .

·

. . • . . • ••

. .. . . . . .. . . •

. . . •• . . . • . . .. . • • • •

J

Maxwell, equac;io de, forma tensorial da de,

101, 113 equac;ao 277

• • • . . .

Jacobiano, llO, 184, 202, 204, 220, . 221, 223, 241, 273

• . . • ••. . . . • • • • • . • • . . •

Meeii.nica, dos fluidos, qulntica, .

K

. . • . • •• • . . . . . . • •• .

.

.

.

.

.

.

• . . • • .

52, 78 .. . 116 222

. .. .. .. . • •. •• . • • • .

Kepler, leis de,

121,

Krone cker, delta de, &imbolo de,

·

.

.

•. • • . • .

'122,

143

231, 245, 246 .. . . 108, 280

Momento

.

. . . 266, 277

1 69

73 Movimento, absoluto, de um corpo rigido, 83 de um fluido, 93, 94, 100, 162, 163, 174 dos plan@tas, 120, 121, 122 .



. . . ••

• • •. • • • •. • . •• • • • • •

277

Multipl icac;ao, exterior, 232 interior, . .. . . .. . 233, 249 . . .. . . . • •

Laplace, equac;io de, 91, 172, 186 em coordenadas cilindricas parab6lica1>, . . . 213 . . • .

• •. . •.

N

• . . . • • •• • . • • •

• . .••. •

Lei distributive., para di6.dicaa,

. ••• . • .

• •• •• •

Lagrange, equac;io de,

Lei eomutativa,

. . •.

de uma for�a, 38, 35, . . • . . •• .

L

Lagrangeano,

Modulo de um vetor,

3, 7, 23,

• . • • . . . • • • • • • • •

• • . • • . . •• • .

24

3

. . 103

Nabla

(veja

Del)

Newton, lei de,

•. . . . • • • • .

52, 69,

73

ANALISE VETORl.AL

298

Normal, a uma superficie, 68, 78, 86 pO&itiva ou exterior, • • • • 68, 117 principal, • , • • 51, 61, 63, 65, 69

triplo, ............ 24, 36 a vetorial, ...... 23, 24, 30 a vetorial em ·forma de determinante, , , , ...... , , , . 24,

0

Projec,;iio, de unia superficie, 134, 135 de um vetor, • . • • • • . . . • 25, 28

Operai;oes com tensores, 232, 245

a. 251

Operador, das derivadas em rela· c,;iio ao tempo • • • • . . • • • • • • 70, • .. . • • . .. . • . . . • . • • . . • del, Operador I aplac ea no

(V2),

82,

71 80

90,

114, 270 em coordenadas esfericas, 212, 271 em coordenadas cilindricas, · 211, 212, 272

Operador laplaceano, em coorde· nadas cili ndrica s parabOlicas, 213, em coordenadas c urvilineas, 1 90 , forma tensorial do, . . • • 240, invariiincia do, . . . . . . . . . ... .

283 208 270

lU

Or dem, de uma matriz, • . . . . . . . 233 de um tensor, . • . . . • • • 229, 230 • . . . •

1

Ortocentro, ..... , , , , ... , , . , , , , ,

45

Origem de um vetor,

. .. . •

p Par abola,

. . . .. . .

. • .

... .... 122, 192

Periodo dos planetas,

. . . • • • .

PiU.go ras, teorema de,

... 143

. . . .

14

Piano, distancia da origem a um, equac,;iio do, . ........... 30, no rmal , . , , .... , ....... , 52, osc ulador, • . . . . . . . . . . . • 52, retificador, ........ , . . . . 52 , t·angente, ................. ,

30 38 66 66 66 68



• , • .

P oc,;o, ..... , , , . ......... 18, 94, 167 cam.po de, . . . . . . . . . . . . • • . .. 18 linear, . . . . . . . . . . . . . .... .... 18

Poisson, equac,;iio de,

.

. . . . . • .

. . . 186

Potencial, escalar, 102 , 113, 117, 129, 130 vetorial, , , , . , ........ , ... , , 113 de determinantes, ...... , , . , 21 7 de um vetor por um escalar, 2 de matrizes, . . . , . . . . . , . . • . 234

Produto, escalar, , , ,

, . 23, 25 a 30 exterior de tensores ....... , 2 32 exterior de· vetorcs, (veja Produto vetorial) inforio� de tensores, . . . . 233, 249 interior de vefore s , (veja Produto escalar) .

Projetil, movimento de,

, , , , , •

41 35 32

, , 143

Q Quantidade de movimento,

52

Quantidade de movimento angu· lar, . . . . • • . . . . . . . • . . . • 69, 70,

79

R Raio, de curvatu"ra, • 51, 62, 63, de torsio . . . . . . . . . . • • 52, vetor, • • , . . . • . . • • . . . . • . • • . . Raios luminosos, . . . . . • • • , . , • Reciproea de uma matriz,

• •

,



69 62 4 89 234

Regiii.o, simplesmente ligada, . . • 154 miituamente ligada, 154, 158, 160 Resultante de vetores, , 2, 6, 7, 81 14. Riemann-Christoffel, tensor de,



279

Rotac,;iio, de eixos, 83, 106, 107, 108 invariancia sob uma (veja Invarii\ncia) simples, • • • • • . . . . . • . . • • . . , . 83 Rotacional, . . . • . . . . . . . 81, 94 a 101 de.finic,;ii.o de, em integral, 171, · 209 a 2 1 1 do gradiente, . . . . • • 82, 97, 284 en:. coordenadas esfericas, . . 212 em coordenadas cilindricas, 211, 212 . em coordenadas cilindricas pa.· rab6licas, . . • . • • • . ... . • • . • 221 em coordenadas curvilineas ortogonais .......... 190, 208 forma. tensorial do, . • 239, 270 invariancia do, . . . . . . . . . . . . 114 significado fisico do, , . 100, l !il

s Schroedinger, equac,; ii.o de,

.

, , , . . ::22

Senos, lei dos, para triangulos es­ fe ric os, .................. 34, para tri angulo s pianos, ...

40 34

Sentido pos itivo, .. , . , , 125, 150, 158 Simbolos e tensores de permuta· c,;iio, . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239, 284 Sistema de coordenadas retangulares, . ..... . . . . . . . , . . . , . , , . • Sistema destro, .. , , . , . , .. , , , 3,

3

4

INDICE ALFABETICO Si5t1mias,

de

fixos e

vetores reciprocos, 25, 40, 41, 46, 67, 204 m6vei s, o b servadores

em, .............. 70, 72,

inertcs, ................. . . .

73

72

Soma de m atr i ze s , ............. 234
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