Mur de Soutenement

ÉTUDES

TBÉ.O RIQUES ET PRA TI QUES SUR

LES

MURS DE SOUTENEMENT ET

PONTS

ET

LES

VIADUCS

EN MAÇONNERIE

Tous les exemplaires .

devront être 1'evêtus de la signature de l'auteu1'.

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t7

ÉTUDES THÉORIQUES ET PRATIQUES SUR

LES

MURS DE SOUTÈNEMENT ET LES

PONTS ET VIADUCS EN IIACONNERIE .

PAR

J.

DUBOSQUE

Sousolngémeur des Ponts et Chaussées, Ancien Chef de bureau des travaux neufs à la Compagnie du Nord. A L'USAGE DES INGÉNIEURS

ET CONDUCTEURS

DES PONTS

ET CHAUSSÉES,

DES OFFICIERS ET ADJOINTS DU GÉNIE, DES

CHEFS

DE SECTION DES CHEMIKS DES ARCHITECTES, DES

DE FER, DES AGENTS VOYER S, ENTREPRENEURS, ET DES JEUNES GENS QUI SE DESTINENT AUX TRA VAUX PUBLICS.

OUVRAGE

DES SOUSCRIPTIONS

HONORÉ

Des Ministères des Travaux publics,

CINQUIÈME R EV U E,

COR R 1GÉ E ET

AU GMEN T É E,

de la Guerre et de l'Intérieur.

ÉD ITI ON A VE C 15 PLA Ne If E SET

141

FI G UR E S

~8't

PARIS LIBRAIRIE

POLYTECHNIQUE,

MAISON

BAUDRY ET CIE, EDITEURS 15, RUE DES SAINTS-PÈRES, i5 A LIÈGE,

RUE

DE LA RÉGENCE,

Droits de traduction et de reproduction réservés.

21

AVANT-PROPOS

Très souvent, les jeunes gens qui embrassent la carrière des travaux publics éprouvent de sérieuses difficultés pour étudier les premiers ouvrages d'ad qui leur sont confiés; cela tient à ce qu'ils n'ont pas sous la main un guide résumant, d'une façon claire, simple, graduelle et méthodique, les procédés théoriques et pratiques employés par les constructeurs pour calculer les éléments de leurs projets. D'un autre cÔté, les praticiens ne se rappellent pas toujour.:; où ils peuvent trouver les renseignements dont ils ont besoin. Mes fonctions à la Compagnie du Nord m'ayant mis à même de connaître les questions qui causent ordinairement le plus d'embarras aux débutants et, en général, à toutes les personnes qui s'occupent de construction, j'ai cru me rendre utile en donnant et en réunissant les solutions élémentaires que j'avais pu trouver ou recueillir de ces diverses questions, pour les publier dans l'ordre où elles se présentent habituellement dans la pratique. Il en résulte que mon ouvrage se divise en deux grandes parties, savoir:

Première

partie:

Deuxième

partie:

fr/urs de soutènement et murs de revêtement; Ponts et viad~tcs en maçonne1"te.

La PREMIÈRE PARTIE contient: 10 Les démonstrations élémentaires des diverses formules algébriques qui servent à calculer les épaisseurs des murs de soutènement et de revêtement, y compris les murs en surplomb; 2° La discussion, par les mathématiques élémentaires, du maximum de la poussée des terres contre les massifs en maçonnerie; cette discv.s~ sion est, croyons-nous, la seule qui existe jusqu'à ce jour sans le secours du calcul différentiel; 3° Une méthode simple et expéditive du tracé de la courbe des pres-

sions dans les massifs en maçonnerie, méthode qui permet de vérifier rapidement les conditions de stabilité auxquelles ces massifs doivent satisfaire pour tous les cas de la pratique; 4° De nombreuses applications numériques qui facilitent l'intelligence de tout ce qui s'e rattache à la construction des murs de soutènement et de revêtement; DOLes formules qui donnent les épaisseurs des barrages en maçonnerie et des batardeaux en maçonnerie et en charpente ainsi que celles des murs de soutènement et perrés à pierres sèches. La DEUXIÈME PARTIE comprend: 1° Des considérations générales sur l'emplacement et la direction des ponts; sur la forme et la grandeur des arches et le classement de leurs ouvertures; 2° Le calcul du débouché des ouvrages d'art sur les rivières et à la traversée des vallées et celui des égout~ dans les villes; 3° Les formules empiriques qui sont le plus généralement employées pour déterminer les épaisseurs à la clef et aux reins des voûtes, ainsi que les dimensions de leurs piédroits; 4° Le tracé des courbes d'extrados circulaires et elliptiques, la théorie complète et élémentaire du rayon de courbure au sommet d'une ellipse et le tracé pratique des normales aux intrados elliptiques; 5° La vérification de la stabilité des oUvrages d'art au moyen de la courbe des pressions, tracée d'après la méthode de Méry; 6° La détermination graphique et la position pratique du joint de rupture des voûtes, et un aperçu de la méthode de Dupuit ; 7° Des applications numériques facilitant l'intelligence du tracé de la courbe des pressions pour les diverses hypothèses que l'on peut faire sur le travail des voûtes; 8° La vérification par le calcul des points de passage des courbes de pression dans les piédroits; 9° Le tracé et le calcul des dimensions des piles de ponts et de viaducs, d'après les poids qu'elles doivent supporter; 10° La tracé des voûtes en ogive et la vérification de leur stabilité; '11° Le calcul du refus des pilots en raison des charges qu'ils ont à supporter et la détermination des dimensio nsdes blocs destinés aux enrochements; 12° Le raccordement des talus des remblais avec les murs de têtes des ponts droits ou obliques; 13° Le cintrement et le décintrement des voûtes; 14° Le raccordement des ouvrages d'art avec leurs abords; 15° Enfin les proportions et dispositions architecturales des diverses parties des ponts et viaducs.

AVANT-PROPOS

III

Un dessin complet de ,pont dont toutes les dimensions ont été calculées d'après les données qui précèdent termine cette deuxièm e partie. De plus, à la fin du livre se trouvent, sous forme d'Appendice, des tableaux complets renseignant le lecteur sur le poids du mètre cube et la résistance à l'écrasement des matériaux de construction employés en France. En un mot, cet ouvrage, dont la présente édition renferme toutes les additions qui m'ont été demandées, est le-résumé des patientes recherches auxquelles je me suis livré, depuis que j'appartiens aux travaux publics; il tient le milieu entre les recueils de formules empiriques et les traités purement théoriques et comble, de ce chef, une lacune signalée depuis longtemps par les constructeurs. Mon travail continuera, je pense, à servir de guide aux débutants et d'aide-mémoire aux praticiens, puisqu'il réunit et condense en un seul volume tous les renseignements qu'il leur faudrait laborieusement chercher ailleurs, en dehors de ceux qu'aucun autre ouvrage ne contient.

ALPHABET

GREC

MAJUSCULES.

MINUSCULES.

KO~IS.

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alpha bêta gamma delta epsilon dzêta êta

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ph ch (aspiré) ps

oméga

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0/ VJ

ÉTUDES THÉORIQUES ET PRATIQUES SUR

LES

MURS DE SOUTÈNEMENT ET

PONTS

LES

ET VIADUCS EN l\IAÇONNERIE

PREMIÈRE

MURS

DE

PARTIE

SOUTÈNEMENT

CONSIDÉRATIONS

GÉJ\'ÉJlALES

Après l'exécution des terrassements proprement dits, vient un autre genre de travaux non moins importants: ce sont les murs de soutènement. Ils se présentent surtout au projet, lorsqu'on a de grands remblais à soutenir, soit en rase campagne au bord d'un cours d'eau, au passage d'une vallée, soit dans une ville, lorsque l'espace manque pour donner aux talus leur développemen t normal. Les terres soutenues par un mur exercent sur la face postérieure de ce mur une pression que la théorie de la poussée des terres a pour objet de déterminer en grandeur et direction; lorsque cette détermination est faite, en combinant la poussée que l'on connaît avec le poids du mur qu'il est facile de calculer, on trouvera la résultante totale des actions auxquelles le mur est soumis et on reconnaîtra: 10 si celle résultante passe à l'intérieur de la base du mur, c'est-à-dire si l'équilibre est possible; 2° et, dans le cas où cette première condition est réalisée, si la résultante ne passe pas trop près de l'arête de renversement, eu égard à la résistance propre du sol de fondalion sur lequel le mur est établi. t

2

Muns

DE SOUTÈNEMENT

Tout revient donc à déterminer la poussée des terres; maIS on conçoit immédiatement que celle détermination ne peut se faire d'une manière absolue et qu'elle °est essentiellement variable, non seule.ment avec la nature et la cohésion de chaque terre, mais encore avec les conditions physiques dans lesquelles cette terre se trouve placée. Quand on parcourt, au bout de quelques mois, des remblais récemment achevés et réglés, on est frappé du désordre qui s'est produit, de la déformation des profils et des érosions des talus résultant du tassement et des pluies. , D'après M. Carvallo qui a fait de nombreuses expériences à cet égard, le tassement des remblais ne suit de marche uniforme pour aucune espèce de terrain, aucune hauteur, ni aucun mode d'exécution. Les remblais de toule nature, après avoir tassé, foisonnent à deux époques distinctes de l'année: à l'époque des pluies d'automne et à celle des pluies du printemps. Ce n'est qu'après la troisième année qu'on peut considérer le tassement total :comme définitif. Ce foisonnement périodique des remblais récents explique les efforts exceptionnels de poussée latérale qui s'exercent contre les murs; ces efforts ont été signalés par les conslructeurs, sans que, pendant longtemps, ils aient pu leur assigner une cause précise; et c'est, croyons-nous, à cette circonstance que l'on doit bon nombre des accidents survenus dans les murs de soutènement et clans les murs de tête des ouvrages d'art. Les remblais qui foisonnent le plus sont ceux où domine l'argile; les débris de rochers, les graviers et les sables purs sont ceux qui foisonnent le moins; mais tous les remblais récents donnent lieu sans exception à un foisonnement plus ou moins dangereux pour la stabilité des murs destinés à les soutenir, et qu'il convient de prendre en considération pour éviter tout mécompte. Au point de vue pratique, et en présence des variations que la poussée des terres peut subir par des circonstances accidentelles, il faut se contenter de la méthode la plus simple avec laquelle on soit bien certain d'obtenir une solidité absolue des murs de soutènement et, pour cela, éliminer toutes les forces accessoires qui concourent à leur stabilité, telles que: la cohésion des terres, c'est-à-dire l'adhérence des molécules entre elles et leur frotte-

CONSIDÉRATIONS

3

GÉNÉRALES

ment sur les parois du mur qui les soutient et de ne considérer que la poussée due au poids des surcharges qui agissent sur elles. Ordinairement, on ne tient pas compte, non plus, de la cohésion des maçonneries, bien qu'elle exerce une certaine influence sur la résistance des murs au renversement; d'ailleurs, cette cohésion est un élément très aléatoire, qui varie considérablement avec le dosage des mortiers et surtout avec le soin apporté dans l'exécution des maçonneries; le degré d'efficacité de cette force est, par suite, bien difficile à évaluer et, pour cette raison, les constructeurs ont pensé qu'il était prudent de ne pas la faire concourir il la stabilité des ouvrages durables. C'est en parLant de ces données fondamentales que les ingénieurs ont éta1li les formules usuelles, qui servent à déterminer les épaisseurs des murs de soutènement et que nous allons entreprendre de démontrer. Le point de départ de nos calculs sera donc de déterminer expérimentalement la densité des terres et leur talus naturel, c'est-àdire le talus sous lequel elles se maintiennent d'elles-mêmes, sans mur de soutènement et sans aucun moyen artificiel. L'angle que ce talus' fait avec la verticale se désigne sous le nom d'angle de glissement. Densités et angles de glissement. - Les terres, eu égard à leur densité et à leur angle de glissement, peuvent être classées comme il suit, dans l'hypothèse qu'elles viennent d'être fraichement remuées:

DENSITÉS

NATURE DES TERRES

MOYENNES

Sable pur. .. """" Terre forte et argileuse légèrement humide. . . . . . . . . . . .

Sable terreux et humide.

. .

..

kg'. UJOO 1600 1 700

Terre végétale légère et légèrement

humide. . . . . . . . . . . . Terre glaise et argile compacte.

.

Vasefluide. . . . . . . . . . .

1400 j .1 900 16150

ANGLES

de

OBSERVATIONS

GLISSEMENT

60° tHo 46° à 47° 350 90°

Nota. En pratique on ramènera toujours à fun des cas cicontre les différentes natures de terrain dont l'anglA de glissement se rapprochera le plus de ceux: du tableau.

Muns DE SOUTÈNEMENT

4

Ponr les 5 premiers types' de terrain, qui sont ceux que l'on rencontre le plus souvent dans la pratique, les inclinaisons répondent respectivement à 1m,73, 1m,38, P\04 1m,07 et OID,70de base pour 1 mètre de hauteur. La base est infinie pour la vase fluide et l'eau. Inclinaisons les terres moyennes légère, on adopte 1 mètre de hase

plus usuelles admises en pratique. - Pour les telles que le sable terreux et la terre végétale généralement l'inclinaison de 4~O qui répond à pour 1 mètre de hauteur; et, pour les terres

argileuses, celle de 56° il 8' 30/1 qui répond à 1ID ,;'50de base pour 1 mètre de hauteur.

MURS

,A PAROIS RE~IBLAIS

Ç.;

f

a

01

/.

..;~ Z

c

- - -~-

- --?cl' ,,'l 'l~. ~ "'l/O "/0 '

SANS

VERTICALES SURCHARGES

~

~ ;;;

/ . 'ln 'l'luu//"~ë

d -

Fig. 1.

-l-é' JO

Jq

Poussé e des terres . abed à parois verticales,

Soit un mur accolé à un

massif de terre de même hauteur h .

que lui et pns tous d eux sur une tranche de 1 mètre d'épaisseur cc' pour sim plifier les calculs et les raisonnements (fig. 1). Supposons que les terres à soutenir aient b! pour talus naturel d'éboulement et que le prisme db! soit d'un seul morceau. Ce prisme se maintiendra en équilibre sans exercer aucune poussée

MURS A PAROIS

VERTICALES

;)

sur le mur 0bcd,. mais, si nous considérons un prisme dbe, il est évident qu'il exercera contre le mur une poussée due à son poids, diminuée par le froltement des terres sur le talus be et par la cohésion (celte cohésion peut être considérée comme nulle pOUl' les terres remuées, ainsi que le sont généralement celles que l'on rapporte derrière les murs de soutènement, et nous la supposerons telle dans tout ce qui suit); si, maintenant, nous considérons un autre prisme très mince dbg, placé le long du parement bd, il est certain qu'il exercera contre le mur une poussée moindre que celle du prisme dbe. Il existe donc entre le prisme qui s'applique sur le lalus bl et le prisme infiniment ,mince pris contre le parement bd, un prisme occupant une position intermédiaire enlre ces deux limites qui doit exercer une plus grande poussée que tous les autres; on conçoit, à priori, que ce prisme doit se trouver dans la région médiane de l'angle db/" et nous allons démontrer qu'il en est ainsi. La forme du prisme de poussée des terres contre les parois en maçonnerie a fait l'objet de nombreux mémoires théoriques, à la suile desquels il a été reconnu que les calculs basés sur l'hypothèse J'un prisme rectiligne pouvaient être tenus pour suffisamment vrais dans les applications. A cet égard, M. Boussinesq a émis l'opinion suivante: « Quelque peu exacte que soit, en général, l'hypothèse d'une rupture plane, il semble, à cause de la faible variation de la poussée aux environs du maximum, qu'elle doit fournir un résultat passablement approché de la réalité. » Nous avons donc adopté, dans tous les raisonnements qui vont suivre, la manière de voir de cet éminent professeur à la Faculté des sciences de Paris.

CALCUL

DE LA POUSSÉE

DES TERRES

10 Terrainsordinaires.- Soit ~ l'angle variable dbe des terres avec la verticale bd (fig. 2) ; crl'angle du talus naturel de ces terres

avec l'horizontale bt; et

rJ. l'angle

que fait ce même talus avec la

verticale bd,. h, la hauteur du mur.

6

MURS DE SOUTÈNEMENT

Le prisme de poussée dbe a pour expression de sa surface: S .::=

son poids, en appelant donné par la relation:

-12

bd

x

de

.::=

-h2

X de

8 le poids du mètre

cube des terres,

est

oh

P .::= --:;- X d e

mais de

=

'"'

h tg~; d'où: P

=

Oh2 "---9

tg~

'"'

Désignons

par Q, la poussée des terres contre

le parement

bd

~. %

. JTI.aCOJlI1.eJ.'l ~

;;

~

Fig.2.

et remarquons que nous aurons sa valeur dès que nous connaîtrons une force de direction opposée qui lui fera équilibre

(fig. 2). Le poids du prisme de poussée P qui tend à produire le mouvement du mur suivant ba se décompose en deux forces GR et GS, dont la première, dirigée parallèlement à be, agit seule pour provoquer le glissement; la seconde GS perpendiculaire à be se résout en un frottement.

MURS Ces deux composantes

A PAROIS

ont respectivement GR

= P cos ~

GS

= P sin ~

et

7

VERTICALES

pour valeur: (Force mouvante)

Nous ferons remarquer que le poids P étant appliqué au centre de gravité G du prisme dbe, la composante GR rencontre la paroi bd h. C'est en ce point en un point tel que l'on a bM = -} bd = que s'applique la poussée, comme nous le verrons tout à l'heure. Les forces qui font obstacle au glissement du mur se composent:

+

1° De la poussée du massif abcd, c'est-à-dire de la résistance horizontale Q qu'il oppose au renversement; 2° Des frottements.

La poussée horizontale Q 'peut se décomposer en deux forces dont l'une:

= Q sin ~

OM

(Force résistante)

agit suivant GR dans une direction opposée à celle qui produit le glissement et l'aulre :

= Q cos ~

MN

perpendiculaire à GR et, par conséquent, à be, ne fait qu'augmenter le frottement. Ce frottement est proportionnel à GS, c'est-àdire à la pression normale sur le talus be et au coefficient de frottement f de la terre sur elle-même, il est donc exprimé par: (Force résistante)

Pf. sin ~

Enfin l'intensité égale à :

du frottement

fQ. cos ~

Egalant la force mouvante drons l'équation d'équilibre:

dû à la composante

MN de Q est

(Force résistante)

aux forces résistantes,

P cos ~ = Q sin ~ + P! sin ~ + tQ cos ~

nous obtien-

8

DE SOUTÈNEMENT

MURS

On amène facilement

cette équation à la forme ci-après: Q

=P

C?S S111

~ - (sin ~ ~ + 1 cos ~

=

coso

et comme f

SIn 9 1

il vient: cos

Q

=P

.

sm

SIn

0

C?S

y

Sin

0

cos

0j

~ ---'-

~+

~

. sm ~ cos

.

~'

effectuons les calculs et simplifions, nous aurons: Q

ou

=P

cos ~ COS? -

~ sin

sin

sin ~ cos Cf + cos

Q

~ sin

= P cotang

9 - P cos (~ + cr) sin (~ + 9)

cr

(~ + 9)

mais si nous nous rappelons que P

= 2èh2

tg~

et que Cotang

(~+

0j

1

)

= tg (~+

9

)

nous obtiendrons, pour la valeur générale de Q, l'expression suivante: èh2 Q --x - 2

tg ~

tg (~+ cr)

Maximum de la poussée. - La poussée Q atteindra sa plus grande intensité lorsque tg (;g~ (,1)) aura la plus grande valeur possible; nous allons donc chercher le maximum de cette expresSIOn:

Remplaçons tg~ par sin ~ cos ~

et tg

( ) ~+

CD T

sin (~ + 9) par cus (~+ 9)

nous aurons: tq~ sinL. . sin (~ + 9) - sin ~ cos (~ + 9) ,. -- cos ~ cos (~ + 9) - cos ~ sin (~ + 9) tg (~+ cr)

MURS A P AnOIS

9

VERTICALES

multiplions et divisons par 2 le second terme de cette équation, elle deviendra: t,q~ 2 sin ~ cos (~ + 9) ., ( 1) tg \~ +?) ~ CO'3~ sin (~ + 9) Si nous connue:

a par (~ + cp) et b par ~ dans la formule

remplaçons

2 cos a sin b

= sin

(a

+ b)

- b)

sin (a

-

nous aurons par analogie: 2 cos (~ + 9) sin ~

= sin

[(~ + 9) + ~] -

sin

[ (~+

?)

-

]

~ -

sin (2 ~ + 9) - sin 9 Si nous faisons de même dans la formule suivante: 2 s~n a cos b

= sin

(a

+ b) +

sin (a - b)

nous obtiendrons: 2 sin (~ + 9) ~ cos

= sin [(~ + 9) + ~] + sin [ (~ + 9) sm (2

~ + 9) +

sin

]=

~

Cf

et l'équation (1) prend la forme ci-dessous: tg~ tg \~ + 9)

--

sin (2

~ -+ 9) - sin 9 sin (2 ~ -+ 9) + sin 9

le second membre de cetle équation peut s'écrire: sin (2

sin (:{ ~

+

~+

9) 9) + sin 9

ajoutons et retranchons .dente deviendra:

sin

sin (2

au numérateur

sin (2 ~ +-,-9L+ si~ sin (:! ~ + 9) + sin 9 -

(!)

.

1

~ + 9) +

sin

cr

'

sm cp, l'expression

2 sin cr siu (2 ~ + 9) + sin cr

et par suite: 2 sin 9 t.q~ . tg (~ + 9) = i -. sm (2 ~ + 9) + sm 9

précé-

10

MURS

DE SOUTÈNEMEKT

Cette dernière expression traire

sera maxima quand la quantité à sous2 sin 9

~+

sin (2

. + sin q;.

(,?)

sera minima, c'est-à-dire, puisque l'angle? aura: sin (2 ~ + 9) = 1 ou 2

~+

est constant, lorsqu'on

cr= 90°

ce qui donne

~=

90° -

(,?

~--!.

(J.

=

2

le maximum cherché est donc réalisé par la condition que la ligne be

soit bissectrice de l'angle

î).

formé par le parement vertical du mur

et le talus naturel des terres. Cette discussion du maximum de la poussée Qpar les mathématiques élémentaires est, croyons-nous, la seule qui existe jus,,-

.

qu a ce Jour. Prisme de plus grande poussée. - D'après ce qui vient d'être dit, le poids du prisme de plus grande poussée est exprimé par la relation suivante: P =-t

Oh2 "")

(J.

g

-'-) ....

ValeU?'algébrique de la poussée maxima des terres. - Le maxi.

mum de Q aura donc pour expreEsion: (J.

tg

Oh2 Q=-x

2

tg

or

; (; + et

cr

)

peut s'écrire:

(; +

." ,

cr) .

tg -

étant complémentaires,

tg (~~ (J.

(

90°

-

(J.

2

+

IX

tg -., ... tg

pUIsque

;2

tg -.) ex "2

)

cotang 2""

cotang-IX = - t 2 tg - a 2

ex

(J.

= tg2 2

cr

)

MURS A PAROIS

11

VERTICALES

et la valeur maxima de Q devient: Q- -

Oh2

2

('/.

tg 2 2

C'est le plus grand effort que puisse exercer horizontalement le massif abcd contre la paroi bd; c'est aussi la poussée maxima des terres qui lui fait équilibre. Comme on le voit, la poussée des terres s'obtient en multipliant le poids P du prisme de plus grande poussée par tg

~

.

Dans la pratique, il faut donc construire les murs de soutènement et calculer leur stabilité en vue du cas le plus défavorable que nous venons d'exposer. Remarque. - Quand la cohésion des terres n'est pas nulle, la valeur de la poussée horizontale devient: Q

=

~

oh tg2

; (h

h' étant la profondeur à laquelle les à pic, sans produire d'éboulement et été préalablement dressée suivant un Dans le cas où le frottement et la

- h')

terres peuvent être creusées leur surface supérieure ayant plan horizontal. cohésion sont tous deux nuls,

ce qui a lieu pour la vase fluide et l'eau, l'angle ri. devient droit et tg ~ = 1 ; par suite, la formule précédente se réduit à la forme '"' simplifiée:

Q-

Oh2 2

2° Terrains aJ'gilo-sableux. - Quand les terres à soutenir sont de nature argileuse et renferment de petits bancs de sable ou bancs de suintement, la glaise se détrempe sous l'action de l'humidité et le terrain glisse sur ces bancs, s'ils présentent une inclinaison vers le mur, telle que dl (fig. 3), parce que le froltement y est très faible. La plasticité de l'argile permet aux terres de céder à l'action de la pesanteur et de glisser sur la base inclinée dl, par suite de son contact immédiat avec la nappe d'eau. Le prisme de plus grande poussée est alors limité par ce plan

12

MURS DE SOUTÈNEMENT

de glissement et devient bd//\ par exemple, avec un volume considérable; une ])oursouflure se produit à la surface des terres contre

le mur et délermine

une fissure presque verticale

fi'

qui

termine ce prisme à une grande distance de la paroi verticale bel. O'

Fig. 3.

Le calcul, dans ce cas, ne pourrait être applicable que si l'on connaissait bdll' et l'on serait, dans tous les cas, conduit à donner au mur des dimensions considérables qui dépasseraient celles que l'on admet en pralique. La seule solulion admissible, en pareille circonstance, consisle à faire un assainissement énergique du massif à soutenir, au moyen d'un drainage suffisamment étendu et assez profond pour empêcher les terres de se détremper dans le voisinage du mur. Cet asséchement du massif diminuera convenablement les chances de glissement et ramènera le volume du prisme de plus grande poussée aux dimensions ordinaires.

Point d'application et direction de la poussée. - L'équation Q --

Oh2

2

tg 2

~

2

peut s'écrire: u h tg 2 -.)

Q = oh-

:2

---='-

<

MURS

A PAROIS

13

VERTICALES

Cette nouvelle forme fait voir que la poussée contre le parement bd s'obtient ~."--------c

aussi en multipliant le poids (3du mètre cube des terres par la surface d'un triangle rectangle dbe dont la hauteur est Il et dont la base be est: lL tg-')

CI.

2

terres

d

,1

-\

~

1 1 1 1 1

~

Q-+-'-:-'-0;:-' 1 1

(Fjg. 4)

.

Q des

,,

,.-.

1 1

:: :l ~co , . 1 :1

"

[~

t~ ,

el.ju~--\

\

,

~

\

~

a e CeLLe base représente la presFig.4. sion au pied du mur et les parallèles à cette hase, les pressions sur les divers points respectifs du parement 1]dJ. la résultante Q de toutes ces pressions élémentaires passe donc par le centre de gravité G du triangle, c'est-à-dire au 1/3 de la hauteur h, à partir du mur; de plus, la poussée Q s'exerce normalement au parement bd, puisqu'elle est parallèle à la base be. "

AIOlnent de la poussée.

donc

~

'

-

Le bras de levier de celte poussée est

et son moment que nous désignerons par MQ est égal à 1\l Q

1

= -2

à" 1~~ "

a t.g')~- X - hl" 2 ~

=

-

-

6

àh3

CI.

tg ')" -. 2

Quand on ne néglige pas la cohésion des terres, le point d'application de la poussée Q se trouve un peu plus bas que le 1/3 de la hauteur du mur; mais, en pratique, on le suppose toujours placé au 1/3 de ceLLe hauteur.

Aloment de ?'ésistance du mur. -

chée du mur,

~

Appelons x l'épaisseur cher-

le poids de la maçonnerie, par mètre cube, son

poids est égal à la surface du rectangle hx multipliée par le poids 7: de la maçonnerie,

c'est-à-dire

à :

P = ",hx, son bras de levier est ~ et son moment de résislance "" pelant MK : MK=TIh..cx

X

2 =-2-

Û1X2

est, en l'ap-

14

MURS DE 'SOUTÈNEMENT

Équilibre statique du mu)'. - Il Y aura équilibre statique quand le moment de la force Q, pris par rapport à l'arête extérieure du mur, sera égal au moment de résistance de ce mur, pris par rapport à cette arête, c'est-;-à-dire quand on aura: MR= MQ ou bien 7.hx2

--

2

= -16

~

0 /~3

tg~9 -a

2

.

-

Mais, si le mur est simplement en équilibre, il ne s'y maintiendra pas, parce que la résultante de toutes les pressions passera pal' l'arête de rotation et sortira de la base pour la moindre déformation. Si l'on veut assurer la stabilité, il faut donc multiplier le second membre de l'équation ci-dessus par un coefficient plus grand que l'unité; la pratique a enseigné qu'il convenait de prendre ce coefficient égal à 2 et l'on a alors pour déterminer x l'équation: Coefficient

de stabilité

X2

7th

-2

et équilibre

= -62

pratique

ex

àh3 tg2 2

=

1

~

du mu}'.

ex

àh3 192 3 2

.

Cependant quelques constructeurs adoptent des coefficients variant de 1,00 à 2, et pour l'hypothèse de .1,00, l'équation ci-dessus devient: . x2

Teh-

2

1,50

= -

6

à' 1~3 t g -2

ex.

-2

= -4

1.~

oh3

19 2-

ex.

2

.

Mais nous pensons que ce coefficient de 1,00 doit être sérieusement vérifié dans ses résultats, en faisant des expériences directes sur la cohésion des terres à soutenir, sur leur talus d'éboulement, et en traçant la courbe des pressions.

Valeur de x ou Épaissew' du mur. r.h -

x2

2

L'équation prétôédente

1

ex.

3

2 '

= - àh3 19 2 -

donne en chassant le dénominateur 2

de x2

Tehx2= - 6h3 tg23 ~ ' ex.

MURS A PAROIS

1t)

VERTICALES

puis, en divisant chaque membre de l'équation paf le coefficient 7'C

h de x~ : "'

\, .-:'..~

V

3

(Formule n° 1)

TC

SURCHARGES

Si le prisme de plus grande poussée était surmonté d'un cavalier ou d'une surcharge quelconque, il faudrait ajouter le poids de ce cavalier ou ,de cette surcharge à celui du prisme de plus grande. .poussée pour calculer l'épaisseur x du l1lur de soutènement. [Nous supposons toujours que les raisonnements portent sur une tranche de mur et de prisme de 1 mètre d'épaisseur (fig. 5).]

f

i 1 1

Q.

~:

~-'-'-'-l-f 1 1 1 1 1 ,..sI"" 1

:

~

y;;

L.'L- ç ,

.%% ,

tK

i .te ~.

Fig. 5.

Soien t : TC' le poids total du cavalier sur le prisme de plus grande poussée; p le poids de ce cavalier par mètre carré; Mo le moment de la poussée Q; K le poids du mur sur 1 mètre d'épaisseur; ~h le moment de résistance du mur.

16

MURS DE SOUTÈNEMENT

Le poids du prisllle de plus grande poussée est, nous le savons, égal à : p = -+ ~h tg , et la poussée à : Q

=

~h2 tg2

~

; ;.

Au poids du prisme de plus grande poussée P nous ajoutons le poids TC' du cavalier; mais ce poids 70/= P x be

or

.

be= bd tg

~

=

Il tg

~

7;'= ph tg

et alors:

;;

La valeur de la poussée Q, en tenant compte de la charge du cavalier, sera de :

Q= Remplaçons Q

P et

TC'

(p + 70')

tg

~

par leurs valeurs,

;

nous aurons:

= (,21 oh~ tg ~ + ph tg 2 ) tg 2 = (12 oft2 + ph)\ tg2"2 = h (2oh + P ) tg2:3; '

\'

IX

9

U

En multipliant devient:

IX

et divisant par 2 cette dernière

Q=

~

IX

IX

\'

(~h + 2p) tg2

expression,

elle

;

Le moment de cette poussée est: ~f Q

=

h

[

Le moment

2-

(

0\' 1~

+

2p

)

.

IX

h

]T =

tg:!.;z-

ex h2 2 (3 t'./ ~

du mur est exprimé par la relation x2

MK = 70h~

(

01' /L

+

2p

)

connue:

;

'"'

Il Y aura équilibre statique quand les deux moments MQ et MK seront égaux; mais pour la stabilité pratique, il faudra poser l'équation: MK = 2 MQ

MURS

En remplaçant vient:

A PAROIS

ces moments x2

7:k

2

=

2

d'où l'on tire: x2=-

h2

4 r-h

[

-tg2-:6

17

pal' leurs valeurs

h2

[G

tg2

(

0.:

oh " +2p

2

respectives,

il

)] ex

ex

2

(

àh+2p

)]

Divisons et multiplions lité : Ig2

x2 = ~

VERTICALES

2h

0.:

(

9

(

=- 3

~

"

par h2 le second membre

2oh2

h2

)

" =- 3 tg2" oh+2p TI '"'

ex 2 l2 ~

tg2:2

4.~h

+

h2

)

=~.

(

. 2oh2 " +4ph

) .

de cette éga-

ex 2 h2

3rc

4p

(20 + h )

Divisons et multiplions ensuite par 2 le dernier membre do l'équation, nous obtiendrons: x2

=.

tg2

~

J7t

2h 2

(

0+

~p'»

h

)

D'où l'on tire finalement la valeur de x : x

= htg -2 V -:-ii7t2 CI.

2p h

(0 +- ) "

(Formule n° 2.)

On arriverait encore au même résultat en supposant que la surcharge affectât la forme d'un parallélogramme dont l'un des côtés latéraux serait en prolongement de la bissectrice de, car ce parallélogramme est équivalent au rectangle TI'. Observation.

-

Au fur et à mesure que le poids du cavalier ou

de la surcharge TC'augmente,

le point d'application de la poussée change et remonte au-dessus du 1/3 de la ha.uteur du mur; qua.nt il la bissectrice, elle ne reste dans la même position qu'à la condition que la surcharge soit uniformément répartie sur le prisme de plus grande poussée; mais c'est le cas le plus ordinaire. Dans la pratique, on ne tient généralement pas compte des circonstances qui modifient le point d'application de la poussée et la position de la bissectrice de l'angle (l'; autrement, la question du soulènement des terres se compliquerait à l'infini, au lieu de ros2

18

MURS

DE SOUTÈNEMENT

ter soumise à des principes généraux, faciles à comprendre et à mettre en application. On n'a rien à craindre de ce fait puisque le moment du mur est pris égal au double du moment de la poussée. Du reste, la formule n° 2, basée sur ces hypothèses, est journellement employée par les constructeurs et on la trouve dans tous les ouvrages sur la matière. Cependant, si l'on voulait déterminer graphiquement le point d'application de la poussée, on chercherait le centre de gravité du prisme de plus grande poussée augmenté de sa surcharge et, par ce centre de gravité, on mènerait une parallèle à de; celte parallèle rencontrerait la paroibd au point cherché.

Formule de M. de Lagl'ené. mule suivante pour exprimer la cation de la poussée au-dessus surcharge uniformément répartie poussee: q

=

(h + +

IL (h

'3

NI. de Lagrené a donné la forhauteur exacte du point d'applidu point d, dans le cas d'une sur le prisme de plus grande 3 h')

2 h')

dans laquelle q déÛgne le point d'application cherché de la poussée; h la hauteur du mur; et h' le quotient de la surcharge p, sur un mètre carré, par le poids 8 du mètre cube de terres. On peut remarquer que le rapport ~ est égal à la hauteur de terre, de densité 8, qui représenterait la surcharge p.

MURS REMBLAIS

AVEC

FRUITS

SANS SURCHARGES

MURS AVECFRUITS EXTÉRIEURET INTÉRIEUr..- Soit un mur à section trapézoïdale abecl de largeur x au sommet, avec des fruits mesurés par ~et 1~ (fig. 7); Cherchons-en l'équation d'équilibre, en ne considérant que la tendance au _renverse111ent autour de l'arête c, car lorsque cette

MURS AVEC FRUITS

i9

tendance est suffisamment combattue, le glissement n'est pas à craindrf' . Du reste, il est toujours facile de vérifier si la poussée Q est inférieure au frottement du mur sur sa base, frottement auquel s'ajoute la cohésion, quand la fondation est en maçonnerIe. Dil'ection de la poussée. Nous avons dit précédemment que la poussée est normale ap. parement intérieur vertical bd quand les terres sont arasées horizontalement à la hauteur du mur (fig. 4) ; mais lorsque ce parement est incliné (fig. 6), on cherche la poussée sur le plan vertical dn passant par l'arête d du massif, puis on étudie les conditions de résistance du massif total abndc, composé d'un prisme de terre dbn et d'un prisme en maçonnerie abcd; le plus souvent, on néglige le prisme de terre pour simplifier la question : c'est même ici que les formules en usage ont été construites par les Ingénieurs. Quand les terres à soutenir sont limitées à leur partie supérieure par un plan bm faisant un angle

~avec

l'horizon,

la poussée

Q sur

le plan verlical dn est encore normale à ce plan (fig. 6), ainsi que l'a démontré M. l'ingénieur en chefGobin. Cela est, à plus forte raison, vrai quand le plan bm prend la position horizontale b'm, puisque, dans ce cas, le prisme de plus grande poussée reçoit une surcharge uniformément répartie sur le terre-plein qui limite sa face supérieure. . Les remarquables travaux de M. Gobin élucident enfin une question importante restée, jusqu'à ce jour, obscure et incertaine malgré les innombrables et savantes discussions dont elle avait

MURS DE SOUTÈNEMENT

20

été l'objet de la part des Ingénieurs de la France et de l'étranger; ils se traduisent par le théorème suivant: « La poussée des terres contre le parement vertical est toujours

horizontale et indépendante de la position du talus qui limite le « massif à la partie supérieure. )) «

D'un autre côté, M. Clavenad, ingénieur des ponts et chaussées, qui a fait une étude complète des massifs en maçonnerie, est arrivé à la conclusion suivante:

Pour des ouvrages durables, qui doivent être établis avec une « grande stabilité, nous pensons qu'il convient de calculer l'épais« seur des murs de soutènement dans l'hypothèse unique d'une « poussée horizontale et de manière à ce qu'il n'y ait tendance ni « au renversement, ni au glissement. )) Ainsi dans la pratique, quelle que soit la forme d'un mur et celle du massif qu'il soutient, la poussée des terres doit toujours être appliquée horizontalement, soit contre le parement bd (fig. 4}, soit contre le plan verlical dn (fig. 6) limitani le prisme de plus grande poussée. «

I~

Poussée des tel'l'es. La poussée des terres Q est toujours donnée par la formule:

~

Q = - I" oh2tg2 :2 2

%

, _4 - - - ~ - - -- - -

~ -1\

TG

! . 1

1

~~

Ci!

b-

l

i

'

Moment

de la pous-

sée. - Et son moment par rapport à l'arête (c) est: Fig. 7.

1 Ci! Mn = -() oh3tg2 2 '"

Moment de résistance du mur. - Pour évaluer le moment résistant du mur, nous le décomposerons en un rectangle flanqué de deux triangles, et nous chercherons les moments. de résistance des

21

FRUITS

MURS AVEC

figures partielles dont les centres de gravité sont respectivement en g, G et g' (fig. 7). Le poids du triangle ace est égal à r:

x ae x ce = TIh x 2 2

son bras de levier par rapport

ce==. TI

h

h

n;

x

2"

à l'arête c est

2

2h

;r x

ce == 3n

et son moment de résistance MT est h h -X-X-==.r:2 n

Mr=='TI

Le poids du rectangle

'2h 3n

h3 ::In2

abe( est 'Tt

= T':hx

x ae x e(

son bras de levier est e(

ce + et son moment

de résistance MR

=

h

x .

+ -2

'> - -n

'

MR est

(~n + ~2 ) = 'It ( 2

hX2

ÛLX

h2X

+

n'

).

Le poids du triangle b(d est égal à TI

~ 2" x (d

X

h

==. TI

2

x

(d

==.

h x h ; m

TI

2'"

son bras de levier est

ce + e( +

-3i

(d

= -nh

+

x

+ -3mh

et son moment de résistance MT' est

=

'.

MT'

7t

~ ~

h 2

h

x -

m

(-nh,

T

X

+ -3hm

);

effectuons les calculs; MT,

= 7t

( '

-

h3

2 mn

h2X

h3

+ '),..m + 6~m

)

En adoptant pour coefficient de stabilité le nombre 2 qui est indiqué par l'expérience, nous dèvrons, pour déterminer x, égaler

22

MURS

DE SOUTÈNE:MENT

la somme des moments résistants trouvés ci-dessus au double du moment de renversement et il en résultera l'équation fondamentale: 2 MQ

ou en remplaçant 1 "3

lUR

+

MT'

ces moments par leurs valeurs algébriques: c>:

oh3tg2

= MT +

2.

hX2

h2X

(

= 7t 2

h3

+n +

h3

3n2 + 2mn

mettons h et h3 en facteurs communs,

h2X

+

h3

+

';:,171

6m2 )

il vient:

X2 hx hi; 1 1 1 0: --:- + -2mn + -3 oh3tg2-2 = 7th -2 + -n + -2171 + 7th3 3n2

(

)

.

(

divisions par TIh les deux membres mettons x en facteur commun: h2"

otg2

37t

c>:

x2

"2 ="2

+

h

(n

h

+

de l'équation

) x + (-~ h2

2171

1

3n2

)

~6m2

précédente

+ ~2mn6m2' +~

et

).

faisons passer le dernier terme du second membre de l'équation dans le premier membre, nous obtiendrons en transposant: x2

+

-2

h -n

(

+

h -2171

)

h2

0:

--311"olr[)2 -2 -

x --

h2

(

fI

-3n~

+

1

-2mn

+

)

-6m~

multiplions par 2 tous les termes de l'égalité ci-dessus: x'

+2

(~~

+ ~~)

x == 2

[:~

6lg2

;

h2

-

(3:22

+

2:112

+

6:n~

)] ;

d'où l'on tire la valeur de x : x=-

1

(

1l -+n

1

1

)+V h" (-+-n

2171

-

')

1

2

) [3"

2m

+2

h2"

-otg

2

c>:

1l 2

--2

1

(3n2

effectuons les calculs sous le radical et transposons vient: :t V~~2 otg2

;+

h2

(~2

+ ~n +

4~2) - 2h2 (3~2

2

f

2mn

6m2

---:-+-+---:

)]

les termes,

+

21~n

+

il

61~22);

faisons sortir h2 du radical, nous aurons en supprimant la seconde parenthèse: + h ~/2"oC>: V 3" otg-"2 +

(

1

1

1

2

1

f

)

n2 + mn + 4m2 - 3n2 - mn - 3m2.'

23

MURS AYEC FRUITS

prenons 3n2 pour dénominateur commun des termes en n~ et '12m2 pour dénQminateur commun des termes en ln2 et faisons les calculs, nous obtiendrons après simplification: + h

V

2 ~

37t

.

C(

oteIJ - --.

2.

i + 3n2 -

-

1

12m2

et la valeur de x prend la forme suivante:

x= -

h

1 1 - )+ + 2111, n ( ~

h

V-

2".cx g

enfin, mettons lt en facteur commun,

x=

h

[- (~+ ~ ) n

2m

+

at - -

2

370'

/~ otg2.!- + 2 V 37t

~

-1 3n~

+

1 --- -12m2

et

~ 3n2

-

~12m2 J (Formule

n° 3.)

Les constructeurs ont, avons-nous dit, négligé le prisme de terre dbn compris entre la paroi interne du niur et le plan vertical mené par l'arête intérieure d, pour étaa .- - -

blir leurs formules; cette manière de faire ne présente guère d'inconvé-

nients, dans la pratique, car ce prisme: ajoute peu à la poussée et dès que le talus a une grande hauteur, la paroi interne du mur est ordinairement dis-

Î' 1 :

t

:

~;g 1

1 l

posée par assises en retraite, en sorte: que le prisme considéré ajoute à la stabilité .de l'ouvrage.

"-

1

1 1

a

M

l

1

MUR AVECFRUIT EXTÉRIEUR. -

~ -1L. -,! - -.x 11'

Quand

les murs de soutènement ne présentent qu'un fruit extérieur, comme ment,

~

= 0 et

laformule

tions qui résultent (fig. 8) : x

=h

(-

précédente,

,

:

1

1

-- - .J

Fig. 8.

cela

après

arflve

toutes

générale-

les simplifica-

de cette hypothèse, prend la forme suivante

~

n'

+

~

/~

V 37t

otg2

.!- + 2

~

3n2

) (Formule n° 4.)

24

:MURS DE SOUTÈNEMENT

Le type ci-contre est habituellement employé pour les murs de soutènement établis le long des routes et des quais.

-

Dans le cas où l'on aurait à construire un mur à paroi extérieure verticale et face intérieure avec fruit, la valeur de x serait donnée par la formule suivante,

MURs AVEC FRUIT INTÉRIEUR.

+ étant '"

x== h

égal à 0 (fig. 9) : 1

(--- +V 2m

2" ;--ol{r

9

31("

IX

212m2

1

)

;: (Form.

n° 5. )

1

Ce genre de murs se- rencontre parfois dans les ponts où les culées, au lieu d'être r 1 profilées verticalement du côté des terres 1(-- --~-- -À--_lL-,I '111. ou de présenter des retraites, ont un Fig. 9. fruit intérieur rachetant la différence de largeur au sommet et il la base. 0

d

0

l

1

'1 1

1

1

MURS AVEC RETRAITESINTÉRIEURES.- Les murs pleins ayec retraites intérieures peuvent être assimilés à des murs ayant un fruit intérieur dont la ligne fictive bd f a v/. >-.; passerait par le milieu de chaque retraite (fig. 10). Dès lors, ces murs se ---X---/. calculeront par la formule précédente, /. % bien que, dans ce cas, le poids des ; terres reposant sur chaque redan vienne s'ajouter au poids du mur pour en augmenter la stabilité. Il serait, d'ailleurs, facile de tenir compte du poids des terres en l'ajoutant au poids du c mur dans l'équation des moments de Fig. 10. résistance et de renversement, si le cube de terre équivalant au prisme bd( était assez important pour ne pas être négligé. Mais presque jamais, en pratique, on ne fait intervenir le poids de c~ prisme dans les calculs, afin de laisser

plus de sécurité au moment résistant du mur.

MURS

AVEC

Ces murs sont communément des voÙtes en maçonnerie. REMBLAIS

25

FRUITS

employés pour former les culées

AVEC SURCHARGES

MURS AVEC FRUITS INTÉRIEUR ET EXTÉRIEUR.

' Quand

le prisme

de

plus grande poussée est soumis à une surcharge quelconque, l'équation fondamentale qui sert à déterminer x prend la forme suivante: h2

a ;j t[r 2

=

()

oh + 2p

0

h:t2

TC

h2x

(

h3

2 + n + 3nô! +

h3

h2x

~mn

+

2m

+

h3 '

om'

)

Cette équation, après les simplifications dont elle est susceptible et qui sont analogues à celles de l'équation relative aux murs avec fruits sans surcharge, donne pour la valeur de x: x=:. h

l -: n

[ ( -

MURs

+ -2m1

)

IX 2 -;- tg " 3.. 2

V

2p

~

0

-

AVEC FRUIT EXTÉRIEUR.

1 3n2

1 12m2:- (Formule n° 6.)

]

( + ) + -:- -

q

+

~

h

.

Si le mur n'a qu'un fruit exté-

rieur i., n la quantité ~m devient égale à 0 et la formule prend la forme:

= h [-

Vi): tl

~

MURS AVEC FRUIT INTÉRIEUR.

-

x

~

+

(0

+ 2~)) +

3]~,2J

\Formule

générale

n° 7.)

Quand le mur a sa face extérieure

verticale, l' expression ~n est égale à 0 et la valeur de x est donnée par la formule: x

=h

[

1 ::!: '2m ,

- -

\;

/2

-

3..

. a

tg2 -

2

2P

(0 + - ) ~

h

1 :- (Formule 1'2m2

]

n° 8.)

'}

MURS AVECRETRAITESINTÉRIEURES.-

Ces murs

se calculent,

ainsi

que nous l'avons dit, au moyen de la formule précédente n° 8, en supposant ~une ligne de talus bd remplaçant les retraites et passant par le mi1ieu de chacune d'elles. REMARQUE. - Si dans la formule générale n° 6, on fait, à la fois,

~n = 0

et ~ m

= 0 la

valeur de x devient: x

= htg -2 V 3"-2 ( + -2Ph ) IX

~

0

26

:lUURS DE SOUTÈNEMENT

valeur que nous avons obtenue précédemment pour l'épaisseur murs à parements verticaux et qui se trouve ainsi vérifiée.

des

MURS JUMEAUX Lorsque le défaut d'espace ou d'autres considéralionsconduisent à supprimer les deux talus d'un remblai, on soutient le massif central bd bldl des terres an moyen de deux murs jumeaux, c'est0

b'

Fig. 11.

à-dire construits simultanément avec ou sans fruits; c'est le cas des murs en retour des ponts. Pour déterminer les conditions d'équilibre de ces murs on calcule celles de l'un d'eux comme il suit (fig. 11) : Soit le mur abcd; on prolonge la bisseçtrice de de l'angle ri. jusqu'à sa rencontre en e avec le parement inlérieur bldl du second mur; par ce point e on mène la ligne egn parallèle à la ligne ad qui limite la surface supérieure des terres à soutenir et l'on obtient ainsi le massif g661 e ou TC' qui surmonte le prisme de plus grande

poussée gde agissant sur la partie_correspondante cdng du mur considéré. Au poids de ce massif on ajoute celui résultant du stationnement des voitures dans la longueur des mun. de soutènement; on

MURS SOUTENANT

DES TERRES

EN TALUS

27

rentre alors dans le cas orJinaire d'un mur soutenant un remblai avec ses surcharges permanentes et accidentelles. Cette circonstance (que l'on ne rencontre pas toujours dans la pratique) n'est pas négligeable, car si la poussée des terres avait une intensité supérieure à la résistance des murs, elle en amènerait fatalement la ruine dans un avenir plus ou moins éloigné. C'est probablement à des appréciations .incomplètes de ces conditions d'équilibre des murs jumeaux que l'on doit les désordres que l'on constate dans certains ouvrages de ce genre. Observation. - Il est à remarquer que l'on pourrait calculer l'épaisseur de la partie supérieure abgn du mur abcd en la supposant soumise à l'action combinée du prisme partiel gbi et de sa surcharge accidentelle, puis déduire des résultats du calcul un profil moyeu de mur satisfaisant à la stabilité pratique, soit au moyen d'un fruit intérieur, soit au moyen de retraites convenablement disposées.

MURS SOUTENANT

DES TERRES

EN TALUS

~our calculer l'épaisseur des murs soutenant des terres en talus, on considère, en pratique, le prism~ de plus grande poussée comme limité horizontalement à la hauteur du mur suivant ne et comme supportant une surcharge neop (fig. 6); on rentre alors dans le cas ordinaire d'un remblai avec surcharge. Les formules générales nOS2 et 6 confirment d'ailleurs cette hypothèse. Ensuite on tracera, comme n@"Us l'expliquons plus loin, la courbe des pressions pour vérifier les résultats du calcul; cette courbeindiquera les modifications successives à introduire dans l'épaisseur du mur pour arriver à faire travailler convenablement la maçonnerie tout en assurant la stahilité de la construction. - Une maçonnerie travaille convenahlement lorsque la pression par centimètre carré sur un joint quelconque approche de la limite de la résistance prq.tique des matériaux à l'écrasement.

28

MURS DE SOUTÈNEMENT

MURS REMBLAIS

EN SURPLOMB SANS

SURCHARGES

On peut être amené par mesure d'économie à adopter un profil de mur en surplomb du côté des terres. Toutefois, ce surplomb ne doit pas être assez -fort pour que le mur ne puisse se tenir debout lui-même sans le secours de la poussée des terres; autrement les maçonneries se disloqueraient à la base et les conditions de stabilité ne seraient pas satisfaites, Il suffit pour parer à cet inconvénient que le centre de gravité

ri

,

Fig. 12.

0

du mur ne tombe pas à droite du point d (fig. 12) ; généralement, on s'arrange de façon que la verticale GP passant par le centre de gravité du massif de maçonnerie coupe la base entre les 0,66

partir du point c. à 0,70 de cette base, mesurés Les fruits le plus ordinairement employés dans les murs en surplomb sont les suivants: ~..

1/5 pour le parement 1/10 pour le parement

ils donnent

extérieur, intérieur;

un profil de mur tel que, quelle que soit sa hauteur,

MURS EN SURPLOMB

29

son centre de gravité satisfait à la condition ci-dessus énoncée (fig. 12). On voit les avantages que procurent les murs en surplomb: le prisme de plus grande poussée est notablement réduit, et les terres supprimées sont celles qui ont le plus de tendance à renverser le mur; la poussée diminue au fur et à mesure que le fruit du parement intérieur augmente, enfin la position ducentre de gravité fait que dans un mouvement de glissementle mur tendrait presque autant à s'appuyer sur les terres qu'à se déverser en dehors. Pour trouver la pousséé des terres sur un mur en surplomb abcd, M. Gobin remplace le parement intérieur bel par une série de redans et il mène par les angles saillants de ces redans des lignes parallèles au talus naturel des terres el! J' ces lignes déterminent dans le massif des tranches parallèles superposées dont chacune agit sur une partie seulement du parement vertical correspondant et y produit une poussée horizontale (fig. 13).

Fig. 13.

Ainsi le parement mp est pressé fortement dans la partie op par la tranche opgh et la partie mo l'est infiniment peu par rapport à op quand on remplit l'espace mno artificiellement par un ré galage soigné des terres; cette partie mo ne serait pas pressée si l'espace mno restait viùe. Le rapport de la partie pressée op à la longueur totale du parement partiel mp dépend de l'angle e que fait le parement en surplomb bel avec la verticale et de l'angle Cfdu talus naturel avec l'horizontale.

30

MURS En cherchant

DE SOUTÈNEMENT

ce rapport,

nous mn

mo -= mn

, , d ou : op Le rapport

cherché

=

19r;;

mp IgO ;

~ mp IgO tg? ;

mo = mp (1 -

mp sera

=

aurons:

tgO lorr) ;

donc: op mp

1-

=

tgO tgo. j

En supposant que le nombre des redans se multiplie à l'infini, la loi précédente ne cessera pas d'être vraie; à la limite, elle le sera encore et l'on peut dire que le parement incliné bd reçoit une poussée égale à celle que supporterait le parement vertical dg (fig. 12), multipliée .par le rapport: 1 -

IgO tgrp

En appelant Qs cette poussée sur un parement en surplomb, nous aurons: oh2tg2 (1 - IgO 19rr) Qs = Ü (1 - tgO tgrr) = ~

;

La démonstration précédente nous a conduit à chercher, comme il suit, une formule donnant directement l'épaisseur des murs en surplomb. Moment de la poussée. - Ce moment rapport à l'arête c est égal à : MQs

=~

8h3'u2

~

(i -

par

';0 tgrr)

Momentl'ésistant du mu]'. - Pour évaluer le moment résistant du mur, nous le décom poserons en un triangle ace et en un trapèze ab(e dont le moment est égal à celui. du rectangle abed diminué du moment du triangle b(d (fig. 14). Ainsi que nous l'avons vu précédemment, le moment MT du triangle ace est égal à : h3 ~h = 'TC ~.3n~

3i

MURS EN SURPLOMB

et le moment

MR du rectangle

abed à :

hX2 h2X = r; - 2 + - n

(

.!\IR

)

Le poids du triangle bfd est: bd

"x

2

= "h:2 x

x

fd

ce

+ ef + J2 rd

!!...

ln

=

"h2 2m

Son bras de levicr est: maIS

= ed -

ef

=x-

fd

h

-ln

d'oÙ: ce + ef

+

son moment de résistance

effectuons

(x -

+

~.

+

~~)

~

~

MT' est donc:

'Tih2

MT' =

=

fd

~

[~ + (

2m, n

les calculs et mettons

(

TC

h3

h

X -

2 h

) + 3 mJ

m

en facteur commun:

h2X

h3

2mn + 2m - 2m2

MT'="

2h3

)

+ 6m2

simplifions, il vient finalement: h2X h3 -h3 = r; -2m + -2mn - 6m2

Le moment vante:

)

(

MT'

MTR du trapèzc

abel est donné 'par

= MR -

l\hR

ou en remplaçant

les moments 2

hX

[(

h2;J.'

-+2

-

MTR-TC

n

.

la relation

SUI-

MT'

par leurs valeurs respectives: h2:/J

h3

h3

2m

2mn

6m2

) - (-+---

)]

effectuons les calculs, nous aurons: MTR

=

h;r;2

1t

(

-

:2

h2x

h2;r;

h3

h3

)

+ - n - -2m - -2mn + -6m2

En faisant la somme des moments du triangle aee et du trapèze abfe et en adoptant le coefficient de stabilité 2, nous aurons l'équation fondamentale ci-dessous:

~;3

M3t 9 2

~

'2

(

i -

)

t9 el 9rp

hx2 h2X h2X = 1': ~ 311,2+. 2 + n - 2m. - ~ 2mn

(

+ ~6m~

)

32

DE SOUTÈNEMENT

~IURS

1

en facteurs communs:

h3

mettons lt et

fi \ = Tc1L 1 - tgvtgr:;j

(

'l.

"3°h3tg2 " 2

,1:2

hx

ln;

.~

+ 1/:-

2m

(

divisons par ...h les deux membres mettons x en facteur commun: h2

ex

-Ol2-g 3n

2.

(

1-t

x2

)

j

h

'2

1

(

h

+

x

«~ - 2~)

;

otg2

=

~~~

'2m11,

1

i

311,2

2m11,

h2 --( 2m) +

(1 - tgelgr:;) - h2

1

)

+ 6m,2

précédente

faisons passer le dernier terme du second membre dans le premier membre et transposons: ~2

1

-

;~n2

de l'équation

(---n

g etg t:i =-+x

)

+ nh3

el

1

+ -6m2

)

de l'équation

(3:l2 - 2~n

+

6L2)

multiplions par 2 tous les .termes de l'égalité ci-dessus:

(

x-+'2x

h

h

--n

9

h2" olg 2 -cc

)

2m =2

[3n .

2

(

) (

1-.tiJetgtfi -h2 . ., .

+

Y

.

h2

(

{

--n

1

'2m

2

)

i

[ 3n

'2

i

( (1-

2h2

ex

(

.

1 n2

) + IL"(--2

.

)]

) ::t

)

h2.

tge tg C9 r .

{

l

(

--:-3n2

1 mn

1 + -4m2

)]

les termes, il

i Jn2

) -'2/r (--2

{

:::.mn +~ 6m2

effectuons les calculs sous le radical et transposons vient: 2- 1-1 g etgr:; --+-Y -at 3n g 2

i

6m2

:

r;-2rii

h2" ..L2 - otg2 -cc 1

1

'. --+-2mn 311,2 .

d'où l'on tire pour la valeur de x x=-h

{

1 2mn

+ 6m2

1

1

1 + -6m2

~

)

faisons sortir h2 du radical, nous aurons: '2"9CC +h-ot"Y~;)n g 2

(

l-t

) (

g etg t:i j

+

1

1

--n2

m11,

1\

+ 4m2. ) -2

(

1

--3n2

2mn

)

effectuons les calculs et supprimons la seconde parenthèse: +h -

2

" g Y. .31t-al"-

9 cc

2

(1-t

1 n2

) + (---

g et gr:;

prenons 3n2 pour dénominateur

1 mn

1

+ --4m2

2

1

+ --mn

311,2

1

)

3m2

commun des termes en n2 et 12 m2

33

MURS DE REVÊTEMENT

pour dénominateur commun des termes en m2 et faisons les calculs, nous obtiendrons après simplification: + h

otg2

V :,.

;

(1 -

+

tgO tg?)

3~~2

-

12~~

et la valeur de x prend la forme suivante: x

=-

h

~12

(

enfin mettons x

=h

-

~ 2m

)

+ h

Il en facteur

[ (~ - ~ ) -

\/~°" ôtg2 ~2 (1 -

12

"2m

+

tgOtg?

)

1

1

+ 3122- 12m2

commun.

/

V ~ otg

~

~

2

2

;)7t

('1

)+ ~ -

tgO tg':D 1

~

312"

12m-

(Formule

VÉRIFiCATION. - Si dans celte formule on suppose parement

db devient

vertical,

=

e

0; par suite

~~

=

tgO

J n° 9.)

= 0, le 0 et l'on

retrou ve : x

= h (-

2 orx. -121 + '.1 -3nolg"2

REMBLAIS

AVEC

+

1

)

----. 3n"

(Formule

nO 4.}

SURCHARGES

Quand le prisme de plus grande poussée reçoit une surcharge accidentelle ou permanente, la valeur de x prend la forme suivante: X=h

[-

+~ /,2 tg2~ 12 2m ) V 3" 2 (~-~

(

1-tgOtg(f)

1

)(o+2P ) +~ \

h

3n2

-~j 2m2 J

(Formule

nO 10.)

MURS DE REVÊTEMENT MURS A PAREMENTS

VERTiCAUX

Les murs de soutènement ne rachètent parfois qu'une partie des talus des remblais; dans ce cas, ils se distinguent des murs de soutènement proprement dits en ce que le terre-plein s'élève en cavalier au-dessus du mur qu'il recouvre en partie, comme l'indique la figure US ; ils prennent alors le nom de murs de revêtement. 3

34

MURS DE SOUTÈNEMENT

Connaissant

=

bd

la hauteur

Il du mur et la lar-

geur aq = y de l'espace '0.\ appelé berme compris en-') tre l'arête supérieure ex. \

.

'\ ' . .0\.

;,

";j

terne a du mur et le pied 9

du talus extérieur du cava-

lier, le problème consiste à déterminer l'épaisseur ab = cel = x que doit avoir le mur pour qu'il puisse résister à la poussée '. \ des terres, c'est-à-dire ne .'.: point être nmversé en ~/'- dehors, en tournant autour de l'arête projetée en c et ne pas glisser sur la bàse cd. La théorie de la poussée des terres permet ùe déterminer la poussée Q normale à la paroi verticale bd du mur; cette poussée, avons-nous vu, est égale, en tenant compte de la surcharge qui pèse sur le prism~ de plus grande poussée, à : ~

...

~ \3 r.::

~ 1

:\',

1

:

"\ ,p

\~

\ ~

:

1

.;:,

1 1 1 1



TC,

+ h)

AVEC

FRUIT

EXTÉRIEUR

Méthode statique de la transformation des profils. - Le cas où le revêtement a un talus extérieur se ramène au cas d'un revêtement vertical par une méthode due à Vauban' et qui porte le nom de : Méthode de la transformation des profils. Elle consiste à calculer

37

MURS DE REVÊTEMENT

d'abord l'épaisseur comme si le mur devait avoir ses deux parois verticales et à remplacer ensuite la paroi extérieure par une paroi inclinée sous le fruit ou M , , N 00 i rang 1e d onnea' l avance, .;-; ., ,

de manière que le moment du nouveau mur, par

rapport

extérieure

à

! 1 1 i 1 1 1 1 1 ,..di 1 1 1 1

l'arête %

de sa base,

soit égal au moment de l'ancien mur. Soit un mur vertical MNOP d'épaisseur uniforme E et d'une hauteur h, proposons-nous de le remplacer par un mur trapézoïdal ABRS

'

1

~

-'-" "Ep~~~~"-~ - --

. 1~ 0

J

l"'o////'/-0"h'?'/-"0'.-0"'//'l.W/-'h

P

-1 %

~

B, ;/'//////.//////ij//~: "

'

Fig. 16 bis.

Fig. 16.

de même hauteur h "et d'une épaisseur donnée en couronne b = AB ;

ils'agitdedéterminer son épaisseur à labase, B=SR (fig~16 et16 bis). Si dans le mur ABRS nous prolongeons l'horizontale AB et que nous menions la verlicale RT jusqu'à leur rencontre commune en T, le moment de stabilité du trapèze ABRS sera égal à la différence des moments de stabilité du rectangle ATRS et du triangle BRT. Le moment du triangle BRT est égal à BT TxhxT

BT

mais BT = B -

b,. si l'on remplace BT par cette valeur dans, l'équation précédente, on obtient pour le moment du triangle: B- b

--xhx--=--xh 2

B- b

b)2

(B 6

:1

Le moment du rectangle ATRS est égal à : B B x h x-=2

D'un autre côté, le moment

B2h ~

du mur vertical

E Ehx-=-'2

E2h 2'

MNOP est égal à

38

MURS

DE SOUTÈNEMENT

et comme le moment du trapèze doit être égal à celui du rectangle Eh, on aura l'égalité suivante: B2h

b)2

(D -

'2

ô

xh==-'

E2h

2 '

d'où l'on tire pour la valeur de B : .

b

B == - 2"

+

;;~ /--b2

\1'2

V

+

2E2

Lorsque la largeur en couronne doit être égale à E, on trouve aussi B = E et l'on retombe sur le mur vertical d'épaisseur uniforme. Le talus total de la face postérieure est B - b et a pour valeur algébrique: B - b == -

3 2

b

+ 2\1'3 ~V/ b2 + 2K2;

il devient nul quand b = E ; le parement postérieur est d'aplomb. Ce mode de transformation des profils permet de convertir les contreforts à section verticale rectangulaire en contreforts à section verticale trapézoïdale; cette obser,ration nous sera utile plus tard, lorsque nous nous occuperons des murs avec contreforts. Dans l'exécution, on terminera postérieurement le mur, non pas par le plan en talus BR, mais par une série de retraites rachetant le talus total B - b. Ainsi, la largeur du mur en couronne ne sera pas seulement égale à l'épaisseur b, mais à cette épaisseur accrue de celle d'une des retraites BI. Une pareille disposition ajoutera à la stabilité, mathémaliquement d'abord, parce que le poids du mur sera augmenté; puis physiquement, pour ainsi dire, parce que la pression des terres agira d'une façon plus efficace sur le parement postérieur. ExeJnplenunlérique. - Prenons comme exemple le mur à parois verticales de 5 mètres de hauteur (fig. 17) : ce mur a une épais-

seur uniforme de 1m ,35 et nous voulons le remplacer par un autre d'égale hauteur et dont l'épaisseur en couronne seulement. L'épaisseur à la base est donnée par la formule: B ==- ~ + \1'3 ~ / b2 T~ l ')E2., ~ 2 V

soit' de Offi,60

39

MURS DE REVÊTEMENT

remplaçons B

= -

les lettres par leur valeur, il vient: o~O ~

d'où B

\/ ;J 2

+ =

-

I

V

0,602+2

X

+ 0,866 x

0,30

1.352

-

0,30

+

v3 2

~

V14,01;

2,00 = im,43 soit im,1,5

Fruit du parernent postérieul'. im,45 -

=

Ce fruit est égal à

om,60 =

0111,85

soit Oro, f 7 par mètre de hauteur.

Ce fruit étant peu usité dans la pratique, on lui substituera généralement le fruit de om,20 par mètre, ce qui donnera pour l'épaisseur à la base: B=

0,60+ 0,20x 5 = {m,60

et fera pécher par excès. Si l'on remplace le fruit par des retraites dans le parement postérieur du mur, en les échelonnant de mètre en mètre, chacune de ces retraites aura om,20 de largeur et l'épaisseur b deviendra égale à b := 0,60

+ 0,20 = om,80

ainsi que nous l'avons vu plus haut. Procédé g}'aphique. -

La pratique a démontré que les murs de

revêtement à parements verticaux et ceux à parement intérieur vertical avec fruits exlérieurs variant de 0 à 1/6 ont à peu près la même épaisseur au 1/9 de leur hauteur au-dessus de la base. On a déduit de cette observation la règle suivante pour transformer un profil en un autre. Au 1/9 de la hauteur d'un mur vertical, à partir de sa base, on mène une horizontale égale à l'épaisseur de ce mur et par l'extrémité de cette horizontale qui se trouve dans le parement extérieur, on trace une ligne inclinée suivant le fruit que l'on veut adopter; on obtient ainsi le profil d'un nouveau mur ayant sensiblement la même stabilité que le premier.

40

MURS

DE 'SOUTÈNEMENT

APPLICATIONS DES FORMULES

MURS A PAROIS REMBLAIS

SANS

VERTICALE S SURCHARGES

Considérons d'abord un mur à parois verticales de 3 mètres de hauteur h, construit avec de la maçonnerie dont la densité T. = 2 300 kilogrammes et ~outenant une terre franche dont le

Fig. 17.

poids 0 = 1 600 kilogrammes; de plus, on sait que le talu8 d'éboulement des terres est de 45° (fig.17). Après avoir tracé la paroi verticale bd égale à 3 mètres, nous menons le talus à 45° hl et)a bisseclrice be de l'angle qu'il fait

avec la verticale bd J' il résulte de cette construction que: IX

CC'

"2 = 22°30'; tg 2

ou tg 22°30'

= Oro,414et tg2 2

IX

= 001,1714

Le prisme de plus grande poussée a pour section le triangle dbe, son poids P est égal à P

1 = -222 'Oh X

de

= -1

'Oh2t g

IX

-

APPLICATIONS

41

DES FORMULES

et la poussée Q est donnée par l'équation

suivante,

en multipliant

CI.

P par tq 2" : Q

--"2° 1.

g2

"'Mt

CI.

2

Remplaçons les lettres par leurs valeurs, dernière équation:

en commençant

par la

1 Q == -1600k X 2;)mx Om,17i4== 3428k 2

Cette poussée est appliquée au 1/3 de la hauteur bd = h, à partir du point b, c'est-à-dire que son bras de levier est égal à 1m,67; le moment de cette poussée ou de renversement du mur sera donc: MQ == 3 428k X 1m,67 == ;)72;)k

Appelons x l'épaisseur du mur; son poids est ~hx et son moment de résistance est égal à : l\JK == r..hx x -œ == r..h-'œ2 , ") ") ~ '"'

or

7th == 2 500k X ;) == 12500k

€t pour l'équilibre

pratigue,

nous poserons: MK == 2MQ

.ou x2 r..h = 5 725k X 2 == il 4;)Ok ')

d'où l'on tire: .et

'"'

-

12 500k X x2 == II 450k X 2 == 22 900k

22900k

X 2-

-

12500k

Ce qui donne pour la valeur de x:

-

:J; ==

V

-

229UO

--12600

V

==

~

i 83 == 1m.3;)

'

'

Vérifions ce résultat par le calcul direct de la formule n° 1 donnan t la valeur de x : œ ==

htg

(3

(et

1500k -:;- -- 250Uk -- Ok 54' "

V 0,426

Cl.

2

\

/2 ô ;

.2

3"

x

0,64 ;j

== 0,65 ;

--, 0 1.96 'ti-<

4~

DE SOUTÈNEMENT

MURS

lIig

0:

2

=;:>XO,414=2,07

et

x = 0,65 X 2,Oi = 1,3455 = 1ID,35

A vec des talus à 3 pour 2, l'épaisseur du mur eût été de 1ID,75,ce quifait voir

"

E!-,~

, ff?J

Jt

ri" l'

'f ,,' ~--

~ -- '~).;

-

::::'

K-~

""' = ~ 0"

= i GOUk;.. = '

2 5Ok0';

i i i n = 10 m ,;

i .

if

de plus, ce mur est soumis à l'action d'une surcharge résultant du slationnement d'une machine Engerlh (lype du Nord), pesant 67 tonnes environ (fig. 22). La hase e! du prisme de plus grande poussée est égale à : bc x tg

~

=5x

0,5352

=

2111,G'7;5

=

2111,68

et la distance d! est égale à : 0,83 T 2,68

= 3m,51. 4

50

MURS DE SOUTÈNEMENT

D'un autre côté, la distance réglementaire tacle le plus voisin, diminuée de la largeur of-00

«

.

351 :--~

(-

~1 - - - - -

t-

.

_ly;1,

de 4 mètres à l'obsde la demi-entrevoie, l'

----..

r--~-~

_3~OJ) -- - --

~

-- _1 &.,7- '1 - -:< -~ - -

0*81

1 1

~

<

I~ 1 1

;..o.5Q..:o.

-

-LEZ>. - - -*-.Q

l\Q..';

l

,

~ - --

- - ~ ~L

- - -

,.

- ->

Fig. 22.

est éga.le à 3 mètres, d'où il résulte que le prisme de plus grande poussée supporte les deux roues du train d'avant de la machine, soi l12 000 kilogrammes. Cette surcharge, répartie uniformément sur la base du prisme de plus grande poussée, donne, comme nous l'avons fait précédem-

ment, pour la valeur de p P Cela posé, x

=h

[

-

la formule

(~

+

2:n)

.'

=

12 000 k

générale +

= 4 48~?

:l Ui5

V 3:

n° G tg2

; (0 +

~~J

+

-

3:~2

-

121m2

J

donne en remplaçant les leltres par leurs valeurs et prenant le signe + :

APPLICATIONS

x={ -uO + l~) +V '5~0

~1

DES FORMULES

X 0,28M( 1000

X

+ H85:

2) + o~O- 4::2J

Simplifions: x

= 5 (-

+ V 0,000206,

~~.

= 1'",63

X 0,286. X 3 39\k +-101:00)

La largeur à la base est donc de : 1,G3 + 0,50 + 0,83 = .2111,96

et la largeur moyenne de : 1,G3+ 2,96 2

= 2m,30.

MURs AVEC FRUIT EXTÉRI~UR. -

avec fruit extérieur l'ale n° 7 :

du

même

mue

seulement est donnée par la formule géné-

= 1 [ - n1 -+" V/:237: '

x

L'épaisseur

~

tg-~

CI.

2

(

0"'

+ T2p +

)

'1

3n2J

;

en admettant, comme ci-dessus, que le prisme de plus grande poussée supporte une surcharge de 4 48;') kilogrammes par mètre ~arré (bien que cette supposition ne se réalise plus ici), pour pouvoir comparer entre elles les dimensions obtenues, la formule :levient en y remplaçant les leUres par leurs valeurs: x

= 5 [-

~+

VO,0002067

X 0,286.

(i 600 + . .8~X 2) +

3~0

Simplifions: x

= 5 (-

/0

+

VO,OOO2667

x

0,2864: X 3 39ik

D'où enfin x =

La largeur

2111,05.

à la base est donc de : 2,05

+ 0,50 = .2111,55

+ 0,00333

)

J

ti:2

1\1uns

et la largeur

moyenne

DE S 0 UTÈ"EME:è\T

de : 2,05

+

2.55

= 2m,30

:2

en tenant comp,te seulement de la surcharge réelle de 6 000 kilogrammes qui pèse sur le prisme de plus grande poussée, x = 1m,70 et la largeur moyenne du mur est de 2,20

+

1,70

Muns

-

AVEC FilUIT I~TÉ!\IEUR. 1

[

x=h

X=5[-

i m ,\b, U

La formule générale n° 8 : a

2

--+2m

donne en remplaçant

-.

--

2

V -xt"J7:

9" 2

(

'0"'

'2p

+

---ho

)

1 12m~

J

le~ lettres par leurs valeurs: xO,286j,x

1~ +V75~O

(1600k+

44855kX2)

-4~2J

Simplifions:

x=

5

( ~+ V ~

-

(0,0002667

X 0,2864

~ 3394k -

I.~T) 'h)~

1"",

/

D'où x =

2111,15.

La largeur à la base est donc de : 2,1::\ + 0,83

et la largeur moyenne

=

2111,98

de : 2.1;) + 2,\)8 =2111,57. ~

MURS EN SUHPLOMB nE~lI3LA]S

SA~S

SURCHARGES

Soit un mur en surplomb de 0 mètres de hauteur avec un fruit extérieur de 1/0 et un fruit inlérieur de 1/10 construit avec de la maçonnerie pesant 2200 kilogrammes et soutenant des terres

APPLICATIONS

tS3

DES FORMULES

dont la densité est de 1 600 kilogrammes, avec talus d'éboulement à 3 pour 2 (fig. 23). x

= h [- (~-

r a.

.

~

,,

,

';''\"

,

,

~ %

1 1

::~

[1

~ "JI/ ,

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I!\ [J~f;t:?:~y'//;

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::;.'>~'~'

': r,\;0'j'::;'o,,Q el à la limite: R=Q Celle manière de procéùer pour calculer la résistance R des murs au glissement sur leurs fonclations est générale et s'applique il tous les types cle murs avec ou sans fruits. On néglige avec inlention cle faire entrer dans la formule ci-dessus la cohésion des mortiers qui viendrait diminuer encore les chances de glissement, afin d'obtenir une certitude absolue de la stabilité des murs il construire. Ces considérations fondamentales posées, nous allons examiner successivement les murs à contreforts extérieurs et les murs à ,contreforts intérieurs.

MURS

A CONTREFORTS

Dans certains cas particuliers, nement au moyen de contreforts

EXTÉRIEURS

on consolide les murs de soutèplacés à l'extérieur. CeLLe dispo-

60

MURS DE SOUTÈNEMENT

sition, quand elle peut être adoptée, est très économique, car la masse principale du mur étant très éloignée de l'arête extérieure de la hase autour de laquelle le renversement tend à se produire, le hras de levier du mur par rapport à celte arête devient plus grand et, dès lors, sa section devient plus petite pour que son moment de stabilité demeure constant. Au point de vue pratique, ces contreforts sont très efficaces; aussi, dans ces sortes de murs, n'a-t-on plus à redouter que la courhure dans le sens horizontal que le masque tend à prendre extérieurement sous l'effort de la poussée. Le moyen le plus efficace pour éviter cette courbure est de ne pas trop les éloigner les uns des autres; un intervalle libre de

e 1

..,.n'

x=-

- ('~' -0,>0'

X

>h2)

Effectuong les calculs sous le radical: 16hZ

V

+ -

4h2 -

--ci

c2

/12h2+~),(Hh2c2

+t

V

qui peut s'écrire

0,4U2 X 4h2C2

c'

amSI : +

V (12h2 + O,64NC2) x

:2

~

faisons sortir c. du radical:

-ic

+

'/1'>fL2 V

+

U , 64h2C2.,

et la valeur x devient: x

=-

4;L

+

-1- Vh2

(12

+ Ü,64C2)

faisons sortir h2 du radical: x enfin,

mettons

par l'équation

-

h C

4h = -:- c:+

h

C Vi2

en facteur commun,

suivanle

x=

+

O,6ic2

et la valeur de x est donnée

: ~

(-4+V12-rU,64C2)

(Formule n° i 8.)

Celle équation monlre que si l'on fait croître c, ce qui revientà diminuer de plus en plus l'épaisseur du masque, la valeur de x ira en croissant, mais le cube du mur ira en diminuant; d'où l'on conclut que l'on réalisera la plus grande économie de maçonnerie possible en réduisant à la dernière limite praticable l'épaisseur du masque.

6f

Muns DE SOUTÈNEl\IENT

Cette limite d'épaisseur, au-dessous de laquelle on ne saurait descendre sans que le masque fléchit, ne peut se déterminer a

priori

elle dépend surtout de la qualilé de lü maçonnerie et de la liaison plus ou moins intime des matériaux. L'épaisseur du masque est donc surtout une question d'expérience; mais on s'éloignera peu d'une honne disposition en lui donnant le 1/3 ou le '1/6 de la hauteur du mur, c'est-à-dire en faisant J'

c MURS

DE CLOISON

DES

VOUTES

=

;')

ou

()

D'ÉVIDEl\IE;\,T

PO;\TS A CULÉES PERDUES EN HEl'IIDLAI.-

Les

DES

murs

TYl\IPANS

qui

DANS LES

cloisonnent

ces voûtes, du côté des terres, peu vent être assimilé~ à des murs de soutènement dont les murs de têtes de l'ouvrage et la pile centrale qui reçoit les deux yoÙtes de décharge forment autant de contreforts extérieurs. - Dès lors leur épaisseur serait COIlVCnable en leur donnant le 1/6 de la hauteur des terres à soulenir. 1

Ainsi un mur de cloison de 0 mètres de hauteur aurait om,80 d'épaisseur en nombre rond. Cependant, nous dirons, d'après ce que nous avons vu praliquel' à la Compagnie du Nord, qu'on peut sans danger admellre le 1/8 de la hauteur des terres à soutenir pour régler l'épaisseur du cloisonnement des voÙtes de décharge, quand lcs plans verlicaux menés par les milieux des intervalles voisins, c'est-à-dire par l'axe des voûtes d'évidement, ne sont pas éloignés de plus de 4 à 0 mètres.

Dans ce cas, l'épaisseur lt = 0 mètres, on a : 1 e

---':-.-

Talus

à MSo.

h h du masque c est "8 et si r on fait

~.

= ~ = .o,6~5 soit

-

t)

0,6;') en nombre rond.

Dans les cas où les lalus des terres ne prennent

pas plus de 43° d'inclinaison, la poussée des terres est moins grande et nous allons calculer x en prenant les données générales suivanles qui sonlles plus usuelles: a=45°;tgrx=t,OO;ll)

~

=0,U42Hilg2;

=O,1715i;o=iiOOket1t=2200k

MURS CONSOLIDÉS

65

PAR DES CONTREFORTS

La poussée

~

i700 X h2 X 0.t7taÎ = 146 h2; Q == 2

"ftloment de la poussée. - Son moment est: Mo

= t46 h2 X

h "'T

t46 h3

=~

-

Moment résistant du mu]'. égal à :

MK.

= 49 h3 en nombre

rond.

Le moment résistant du mur est x2

=

7th -' ')

,

""

en faisant x

=

0,30 h, valeur que nous avons trouvée précédem-

ment MK == 7t

!!2

X 0,302 X h2 = 2200k X h3 X

0,302 2

= 99 h3

Coefficient de stabilité. - Le coefficient de stabilité est égal au moment MK di visé par le moment Mo, c'est-à-dire à : 99

= senSl bl ement

')

'

49

"",

résultat èonforme aux données de l'expérience. D'après ce qui précède, l'équation fondamentale des moments de stabilité entre ce mur et le mur vertical type est: h3

h2x

hx2

-2c2 + - C + - 8

0 302

= .2--2

h3

Cette équation devient après simplification (voir plus haut) : x

+ C8h

œ

4h2 + 7 - 0,302X 4h2 = 0

(

)

d'où l'on tire pour la valeur de x : x

MASQUES CULÉES

DES

PERDUES

est construit

= ~ (- 4 +

VOUTES

D'ÉVIDEMENT

EN TRANCHÉE.

-

v' 12

+ 0,36 c2)

DES

TYMPANS

Lorsqu'un

pour livrer passage

(Formule

DANS LES

n° t9.)

PONTS

A

pont à culées perdues

au-dessus

d'une

tranchée, ;)

les

66

MURS DE SOUTÈNEMENT

terres qui s'appuient contre les murs de cloison des voûtes d'évidement, à l'exception toutefois des sables et argiles, ont généralement un talus d'éboulement de 40°, et la poussée des terres y devient moins intense que dans les remblais; c'est pourquoi les constructeurs ont adopté pour l'épaisseur du masque le 1/10 environ des terres à soutenir. Ainsi un mur de cloison de 0 mètres de hauteur n'aura plus que Offi,50J'épaisseur au lieu de Offi,60. REMARQUE. - Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que le prisme de plus grande poussée agissant contre les murs de cloison ou contre les masques se présentait sans surcharges dues à la circulation des trains; mais il n'en sera jamais ainsi, et il y aura lieu de convertir en une hauteur additionnelle de terre h' le poids de ces surcharges par mètre carré. Supposons que la surcharge par mètre carré sur le prisme de plus grande poussée soit de 1 000 kilogrammes, la hauteur h' de cette surcharge, convertie en terre, sera égale au quotient de 1 000 par 1 600 kilogrammes ou de 1 000 par 1 800 kilogrammes, selon la densité des terres applicable au cas dans lequel on se trouve, c'est-à-dire que: h1

l~OOk = 160Ôk =

Om9;)ou v

1500k T&JOk

= om,90 en nombre

On ajoutera la valeur de h' à la hauteur et l'on aura pour l'épaisseur du masque:

rond.

h des terres à soutenir,

h+ h' ~c

. MURS

A CONTREFORTS

INTÉRIEURS

Les murs avec contreforts intérieurs, ou placés du côté des terres, sont plus souvent employés que les murs avec contreforts extérieurs parce qu'ils ne détruisent pas la régularité du mur en élévation et n'empiètent pas sur la place utile. Quoique beaue.oup moins avantageux sous tous les rapports que les contreforts exté-

MURS CONSOLIDÉS

PAR DES CONTREFORTS

67

. fleur, S l' ls tendent cependant, pourvu qu'ils soient bien reliés au masque, à reculer le centre de gravité du mur et, partant, à lui donner plus de stabilité; ils rompent enfin le prisme de plus grande poussée qui n'exerce plus son effort que dans l'intervalle des contreforts. sont les plus usités et Les contreforts à base rectangulaire presque toujours les plus :convenables, mais on peut facilement les transformer en contreforts trapézoïdaux par la méthode de la transformation des profils. Les contreforts à base trapézoïdale, qui sont plus larges à la racine qu'à la queue, forment une construction plus solide au point de vue de la liaison des matériaux; mais on trouve par le calcul

Fig. 26.

qu'ils doivent opposer moins de résistance que les contreforts à base rectangulaire parce que le centre de gravité est plus près du point d'appui, Les contreforts à base rectangulaire reliés au masque par deux quarts de cercle forment une variante de la disposition précédente à base trapézoïdale et donnent lieu aux mêmes remarques. Quelle que soit la disposition que l'on adopte pour les contreforts intérieurs, il sera bon de lés relier au masque par des tirants en fer avec clefs: on ne saurait, en effet, apporter trop de soin pour établir une solidarité parfaite entre ces deux parties du mur, puisque les calculs de leurs dimensions reposent implicitement sur l'hypothèse de leur liaison intime. Ici, comme dans les murs à contreforts extérieurs, il faut également éviter la flexion du masque entre les contreforts, sous l'ac-

68

MURS DE SOUTÈNEMENT

tion de la poussée des terres; et le moyen le plus efficace pour éviler cette courbure consiste à ne pas tl'Op espacer ces derniers. Au chemin de fer de Lyon à Avignon, M. Talabot a adopté des contreforts de 1 mètre de largeur, espacés d'axe en axe de 4 mètres et laissant entre eux un inlervalle libre Coupe du mur SU1V!AB. de 3 mètres. Nous proposons donc de ne pas dépasser cet intervalle et ce sera celui que nous adopterons dans les calculs qui vont suivre. Nous calculerons les formules qui donnent les dimensions de ce système de murs pour le cas seulement de contreforts rectangulaires simplement reliés

au masque, car c'est la disposition la plus généralement adoptée dans les lravaux courants de soutènement des terres ainsi que nous l'avons dit plus haut.

. '.3J.(: 'C.\(

Fig. 26 bis.

Les données sont les suivantes (fig. 26 et 26 bis) Distance des contreforts, d'axe en axe. . . . . .

. . . . . . . . . . .

Largeur des contreforts.

Intervalle libre entre les contreforts. . . . c. . Hauteur du mur égale à celle des terres à soutenir. Épaisseur du masque supposé vertical. de l'expérience.

. . . .

:

= 4moo; 1moo;

= = 3moo; = h; -

h valeur déduite c

La seule inconnue à déterminer est la saillie x du contrefort sur le nu du mur. Admettons, comme dans les murs à contreforts extérieurs, que la partie du mur comprise entre les deux plans verticaux AB el CD, menés par les milieux de deux in,tervalles voisins, forme un massif bien homogène, un monolithe, pour ainsi dire, donl ,

c

toutes les parties résistent solidairement. Ce massif tendant à être renversé aulour de l'arête bd du masque, nous prendrons les moments par rapport à cetLe arête. Moment ?'ésistant du m'ut. - Pour évaluer le moment résistant du mur, nous chercherons, comme précédemment, le moment résistant du masque abcd compris entre les deux plans verticaux

.

u

MURS CONSOLIDÉS

PAR DES CONTREFORTS

69

AB et CD, espacés de 4 mètres, puis le moment résistant du contrefort e[gh. Le poids du masque abal, pour une h'anche de 4 mèlres de longueur est égal à : P

( ) abcd

.

411,

4,,11,2

--c x "h == -;c

==

h

son bras de leVIer es t 2c' et son moment:

(

MI{ abcd)

\ 1.

4rch2 == c

9;h

x

~c

Le poids du contrefort e!gh est égal à : P (e/gh) == "hx ; son bras de levier est

~

+

~ '

et son moment: MI{(e/yh) == "hx

+

(~

0~)

la somme des deux moments est donc pour une tranche de mur de 4 mètres de longueur: 4rch2

h

1

-X-+7tlX c 2c

h -+c

x 2

)

h

x 8

)

(

et pour une tranche de 1 mèlre : 7th2

h

(

-x-+1thx c 2c Mellons

TC

-+4c

en facleur commun et effectuons 10s calculs,

il

vien t : h3

7t

(

2c2

h2x

+

4c

X

h.T;2

8

)

Talus à 3 pOUl' 2. - Égalant ensuite les moments de stabilité (lu mur ci-dessus et du mur vertical-type, nous avons: h3

7!

(-

:2c2

h2x

hX2

+ -4c -L 1 - t;

0,402 2'

) ==" -

h3.

70

MURS

Supprimons

T: facteur

DE SOUTÈNEMENT

commun aux deux membres, il reste:

h3

h2X

2c2

+

4c

lur}

+ ~

T402 h3 ;

== °

Multiplions par ~ les deux membres de l'égalité, pour dégager x2, nous obtiendrons l'équation du second degré: 0

[Ir

+ -2h x + 4h2 -. -

;,

(

C

)

0 ,40- X 4h2

C'

== 0

D'oÙ l'on tire pour la valeur de x : x == -

h

C

,/ h V (C )

2

+

-

4h2

(C2 -

2

.

)

0,4U X 4h2

cette valeur, après toutes les simplifications analogues à celles que nous avons déjà faites pour résoudre l'équation des murs à contreforts extérieurs, devient: x ==

h

C

(-

1 -+-

10,64 V

c2

-

3

)

(Formule n° 20.)

On reconnaît, à l'inspection de celte formule, que, si l'on fait croître c, ou en d'autres termes, si l'on diminue l'épaisseur ~ c du masque, la saillie x du contrefort va en augmentant, mais le cuhe moyen du mur par mètre courant diminue. Ily a donc intérêt à diminuer, autant qu'on le peut, l'épaisseur du masque; mais il y a ici, comme pour les murs à contreforts extérieurs, une limite qu'il ne faut pas franchir: c'est l'épaisseur au-dessous de laquelle le masque serait exposé à prendre une courbure sous l'effet de la poussée. M. Talabot a fixé cette épaisseur du masque au 1/4 de la hauteur des terres; mais avec de bons matériaux, bien reliés ensemble, on pourrait peut-être prendre le 1/0 ou le 1/6 de celte hauteur.

Talus à 40°. - En conservant les mêmes données que dans le cas de murs à contreforts extérieurs, on a pour la valeur de x : x

=

~

(-

1 -+- VO,36 c2 -

3)

(Formule nO 21.)

MURS CONSOLIDÉS

P AR DES CONTREFORTS

71

Nous ne donnerons pas ici d'applications numériques par la raison que les formules auxquelles nous sommes arrivé sont d'une simplicité élémentaire et peu longues à calculer. Le lecteur est, d'ailleurs, familiarisé maintenant avec la résolution des équations de second degré. RK.\IARQUES SUR LA

CONSTRUCTION DES MURS DE

SOUTÈNEMENT.-

Dans les raisonnements que nous avons faits jusqu'à présent, nous n'avons pas tenu compte des fondations, car ces dernières étant supposées solidement établies, le calcul des dimensions des murs en est complètement indépendant; mais elles n'en jouent pas moins un rôle extrêmelllent important dans la stabilité des murs; elles en sont une des plus sérieuses garanties et, à ce point de vue, on ne saurait apporter trop de soin à leur bonne exécution. Tous les calculs des murs de soutènemept reposent, d'ailleurs, sur l'hypothèse que-les fondations sont incompre~sibles. Le moindre mouvement dans la fondation entraîne un mouvement correspondant du mur, mouvement qui sera d'autant plus sensible que le mur aura plus de hauteur. On a reconnu aussi maintes fois que des hors-d'aplomb dans les murs, faussement attribués à des dimensions insuffisantes, n'avaient pas d'autre cause qne des tassements inégaux dus au défaut de soin dans les fondations. Lorsque les murs ont une longueur un peu considérable, il est d'une bonne construction d'établir, de place en place, des chaînes verticales en pierre de taille qui ont l'avantage de donner à la maçonnerie plus de stabilité et de résistance aux points où elles se trouvent. Quand les terres sont aquifères, il faut avoir soin de donner un écoulement à l'eau qui s'accumule derrière le mur. On y parvient au moyen de barbacanes en fonte ou simplement en maçonnerie, plus ou moins multipliées, suivant l'abondance de l'eau à évacuer. Elles se placent à toutes les hauteurs dans le mur, mais de préférence à la partie inférieure; et, pour empêcher leur obstruction par les terres, on dispose autour d'elles, derrière le mur, un bourrelet à pierres sèches. Quelques constructeurs disent qu'il convient d'établir uqe barbacane pour chaque surface de 10 mètres carrés de mur.

i2

MURS DE SOUTÈNEMENT

.

TRACÉ nE LA COURBE DES PRESSIONS

DANS LES MURS

DE SOUTÈNEMENT

MURS

SOUMIS

A LA POUSSÉE

SEULE

DES

TERRES

Les murs de soutènement construits d'après les principes exposés précédemment seront stables; mais cela ne suffit pas: il faut encore que, dans chacune des assises de maçonnerie qui les composent, le renversement, le glissement et l'écrasement ne soient pas à craindre; l'étude de la courbe des pressions fait connaître si ces conditions se trou ven t :réalisées. On appelle courbe des pressions le lieu géométrique des résultantes des différents efforts qui agissent sur les joints réels ou fictifs d'un massif. Proposons-nous donc de tracer la courbe des pressions dans un mur de soutènement à parois verticales et prenons pour exemple un mur de 10 mètres de hauteur soutenant des terres dont le talus d'éboulement a une inclinaison de 3 pour 2 et dont le prisme de plus grande poussée supporte une surcharge de 12 000 kilogrammes (voir fig. 27). Les données du problème étant les suivantes: h ~

= iOm,OO;

-2 --

28°09'15/f. , tg

-2~ -, -

u

0 5352', tg2 - --)""0 9864', 2

7'C= 2 500k ; ;) :=: 1 600k ;

on trouve pour l'épaisseur du mur x :=: 3m,95. La surcharge de 12 000 kilogrammes étant supposée uniformément répartie sur la base du prisme de plus grande poussée

est égale à l~~~~k:=: 2 243 kilogrammes poussée

par mètre

carré,

et la

totale Q :=: 29 338k

Le cenlre de gravité G du mur se trouve au point d'intersection des deux diagonales AB et CD et la verticale GR passant par ce

TRACÉ DE,lACOURBE

DES PRESSIONS 5c~"----"'-- -- ~ - - __~-,-iLt3, ~- -- --'- -- - - 7t, ~~.L ~

~ FiS.27.

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1

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1

l '

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/

1 (!JI

"

t:':'

t;;ij

.

+ 98 750k = 140 150k

poids que l'on obliendrait graphiquement en menant par l'extrémité Z de la dernière résulLante l'horizontale TZ jusqu'au point T, où elle coupe la verticale GH des centres de gravité. Les 2/3 de 140 150 kilogrammes sont de 93433 kilogrammes; la surface correspondant au joint B contient 8 500 centimètres carrés; il en résulte que la pression agissant sur ce joint est égale à 93 433k . ~ 5uU

= 10k. ,99

. 1 L'k . Par cenllmetre carre.

SOIt

"

Cette pression, dépassant la limite 10 kilogrammes, de la résistance pratique des matériaux employés, indique que le mur ne présente pas une assez grande épaisseur à sa base et que le massif ne satisfera pas à toutes les conditions requises de stabilité. En pratique, et surtout lorsqu'on n'a pas d'expérience précise s ur la résistance des matériaux à employer, on ne les fait pas travailler à plus de 5 à 6 kilogrammes par centimètre carré; mettons-nous dans ce cas et cherchons la largeur additionnelle BB' de la base pour satisfaire à la condition que nous venons de nous imposer en prenant la lilnite de 6 kilogTammes. Cette largeur additionnelle s'obtient en faisant le raisonnement suivant: La pression à répartir est de 93 433 kilogrammes, si x est la longueur du joint YjB, un mètre de joint comprend x x 100 centimètres carrés et l'on a l'équation: 93 433k

100x

--

6k,

, d"ou x --

93 4~

- lm,56 60l> -

A partir du point ''1, on prend une longueur de 1m,56, ce qUI donne pour la longueur de la nouvelle base CB1 du mur: 3,95 -

0,815

+

1,56 - 4m,66

on élève par le point BI une perpendiculaire a la face postérieure verticale du mur.

B/D1 à la base et l'on

80

MURS DE SOUTÈNEMENT

On vérifie ensuite les nouvelles dimensions du mur en traçant une nouvelle courbe des pressions, car en modifiant le massif on en a augmenté le poids et, par suite, déplacé le centre de gravité. Si ce premier tâtonnement ne satisfait pas complètement aux conditions de la stabilité, on recommence le raisonnement ci-dessus jusqu'à ce que l'on trouve une surface de joint assez grande pour que la pression ne dépasse pas 6 kilogrammes par centimètre carré. CULÉESDESPONTSENMAÇONNERIE. -- Les culées des ponts en maçonnerie, abstraction faite des terres, peuvent être assimilées à des murs de soutènement soumis à l'action d'une force appliquée sur leur face supérieure; dans ce cas, la force R est l'effort transmis par la 1/2 voûte au joint des naissances AD.

~IURS SOUMIS A L'ACTION SUPÉRIEURE

D'UNE ET

FORCE

A LA

POUSSÉE

APPLIQUÉE DES

SUR

LEUR

FACE

TERRES

Reprenons encore le mur de soutènement des exemples précédents et soumettons-le à l'action combinée de la force R, égale à 45000 kilogrammes, faisant un angle de 67° avec sa face supérieure AD, appliquée au point a. situé à 1ffi,55 du point A et de la poussée de-s terres qui résulLe d'un angle de glissement de 56° 18' 30'1, Y compris la surchage de 12 000 kilogrammes sur le prisme de plus grande poussée. (Voir fig. 29.) Les autres données du problème restant les mêmes, c'est-àdire: IL

= 10 mètres;

a

a a a = 56°18'30'" , -.2 ~ 28°09'15'1. = 02864', , tl' tg -2 = 05352' ' :2 '

71; =

2 t)OOk ;

8 = i 600k;

l'épaisseur du mur est égale à 3m,95, dimension qu'il s'agit de vérifier. Nous combinons d'abord la force R avec le poids du massif ADKL ; puisque cette force est la première qui coupe la verlicale

TRACÉ DE lA COURBE DES PRÈSSION,S

Pl.2

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Paria, J. BAUDRY,

Editour

Imp. .iJ{unroCtf.Pari.B .

TRACÉ

81

DE LA COURBE DES PRESSIONS

des centres de gravité GH en F. Nous supposerons que 1 mèlre de longueur représente 5000 kilogrammes. A parlir du point F, nous prenons, dans le prolongement Je la force R, une longueur FI proportionnelle à l'intensité de cette force 45 000 kilogrammes et, sur la direction FH, une longueur F -1 proportionnelle au poids du massif ADKL, soit à 19 750 kilogrammes; puis, nous achevons le parallélogramme de ces deux forces; sa diagonale FI coupe au point a la direction de la force Q1' A partir de ce point a et sur la direction de la force Qp nous prenons une IOllgueur ab proportionnelle à l'intensité de cette force 2 200 kilogrammes, puis une longueur at égale à la résultante précédente FI et sur son prolongement; enfin, nous achevons le parallélogramme de ces deux forces; sa diagonale aa' coupe le

joint KL au point

~

qui appartient à la courbe des pressions.

Ensuite nous combinons la force R avec les poids cumulés des deux premières assises ADMN ; pour cela, à partir du point F, nous prenons sur la verlicale GH des centres de gravité une longueur F - 2 proportionnelle au poids 39 500 kilogrammes de ces deux assises et la longueur FI de la force R restant la même, nous achevons le parallélogramme de ces deux forces: sa diagonale Fe coupe au point c la direction

de la force

Q2'

A partir de ce point c, nous prenons sur la direction

Q2

une lon-

gueur cd proportionnelle à l'intensité 6 235 kilogrammes de celle force et, sur la direction ce prolongée, une longueur ce' égale à la résultanle précédenle Fe; puis, nous achevons le parallélogramme de ces deux forces; sa diagonale cc' coupe au point j le joint MN; ce point appartient à la courbe,des pressions. En continuant à combiner ainsi successivement la force R avec les poids cumulés des autres assises et les diverses valeurs de la poussée horizontale sur les massifs considérés, nous trouverions

les points 0,

ê

et

"!J

de la courbe des pressions.

Comme on le voit, en comparant cette courbe avec celle du cas précédent, la poussée des terres a eu pour effet de rejeter vers l'intérieur du mur le point '!J de la\courbe des pressions; par suite, le joint "!JBmesure 1m,50 de longueur au lieu de om,85 et la surface qui correspond à ce nouveau joint, pour une tranche du mur de .6

82

MURS

DE SOUTÈNEMENT

1 mètre d'épaisseur, contient HW X 100 = 15000 centimètres carrés; les 2/3 de la composante verticale de la force R et du poids du mur qui agissent sur la base CE étant de 93433 kilogrammes, il en résulte que la pression agissant sur le joint 'fiE se trouve réduite , 93 433k . r ', . e pUIsque a 15000 = 6k ,;)2 en nom ])re l'on. d C e resua lt t es.t a d mISSI bl '"

les matériaux sont supposés pouvoir supporter 10 kilogrammes par centimètre carré. Cet exemple démontre qu'en tenant compte de toutes les forces qui agissent sur le mur, pour tracer la courbe des pressions, on trou ve son épaisseur suffisante et que la formule générale, au moyen de laquelle on a calculé cette épaissèur, satisfait bien aux conditions de l'équilibre pratique. REMARQUE. -

Dans le cas où le mur, au lieu de se profiler ver-

ticalement, serait terminé postérieurement par un fruit ou par des retraites, il faudrait déterminer les centres de gravité des massifs partiels successivement considérés pour appliquer les poids sur la verticale de chacun d'eux, car, au fur et à mesure que les assises du mur se cumulent et s'élargissent, les centres de gravité se déplacent et ne se trouvent plus sur une seule et même verticale. CULÉES

DES POl'lTS EN JUAÇONNERIE.

-

Les culées des ponts en

maçonnerie ne sont pas autre chose que des murs de soutènement supportant sur leur face supérieure ou joint des naissanceR la réaction oblique d'une demi-voûte et contre leur paroi extérieure la poussée horizontale des terres formant le remblai des rampes d'accès à l'ouvrage. Cette considération nous servira plus tard lorsque nous nous occuperons du tracé de la courbe des pressions dans les ponts en maçonnerIe. Muns EN AILES.- Les murs en ailes présentent un cas particulier des murs de soutènement, en ce sens que, contre les culées, ils soutiennent la hauteur totale du remblai, tandis qu'à leur base ils n'éprouvent plus aucun effort de renversement; ils doivent donc avoir à leur origine, c'est-à:dire dans le plan des têtes,

TRACÉ

83

DE LA COURBE DES PRESSIONS

une épaisseur suffisante pour résister â la poussée des terres: généralement, on leur donne la même épaisseur qu'aux culées elles':mêmes et l'o'n pèche ainsi par excès; puis, cette épaisseur va en diminuant au fur et à mesure que décroît la hauteur des terres à soutenir. Mais, pour éviter que les murs en ailes se terminent en pointe au pied des talus de remblai, ce qui serait peu pratique et fort disgra~ieux, on les accompagne de dés ayant une certaine largeur à la base; il s'ensuit que l'épaisseur réelle des murs en ailes est déterminée par les dimensions des culées et des dés. MURS DE REVÊTEMENT

Soit un mur de revêtement" de 10 mètres de hauteur dont ln. partie supérieure présente unB berme de om,60 de largeur entre, le talus extérieur d'un cavalier, incliné à 3 pour 2, comme les terres du remblai et dont la plate-forme est arasée à 3 mètres au-dessus du sommet de ce mur (fig. ~O); et proposons-nous de tracer la courbe des pressions dans ce massif de maçonnerie en conservant

à

7t

sa valeur de 2 DOOkilogrammes et à 0 celle de 1 600 kilo-

grammes. L'épaisseur rIque :

du revêlement

x= remplaçons

est donnée

0,845 tg ~ (h

+ h)

par la formule

yi:

;

les lettres par leur3 valeurs connues,

x=

0,84:5

x

0,5352

(

10

+

) ,V2/t 600 500 =

3

Nous faisons ensuite; comme précédemment,

empi-

il vient: 4ffi,70.

les poids cumulés:

1° Des!) assises fictives qui cornposen t le mur de revêtemen t ; 2° Des!) prismes de plus grande poussée"qui agissent contre ce mur; 3° Des surcharges qui pèsent sur chacun de ces prismes.

Enfin, nous calculons le poids du cavalier proprement dit gDn qui repose sur le sommet du mur et nous déduisons des poids des prismes, augmentés des poids de leurs surcharges, les différentes

84

MURS DE SOUTÈNEMENT

valeurs des poussées qui actionnent la paroi intérieure revêtement; ces valeurs sont les suivantes: QI

=

Q2= Q3 Q4 Q5

6 189k X 0,5352

=

16463k X 0,5352 =

= 30 163k X

BD d

3309k

8811k

0,5352 = 16 H3k 41287k x 0,5352 = 25308k

= = 67907k

x 0,5352= 36314k

Nous appliquons ces différentes poussées au 1/3 de la hauteu des divers massifs partiels contre lesquels elles agissent, puis noUi déterminons les centres de gravité du mur ùe revêtement et dl cavalier G et G'. La verticale du poids P du mur passe par lt point d'intersection G des deux diagonales AB et CD ; la verticalt du poids P' du cavalier passe par le point G' déterminé par l'intersection des trois médianes des côtés du triangle gDn et coupe la base gD au point s silué aux 2/3 de gD à partir du point ,q. Nous cherchons ensuite la résultante R des deux forces P et pl parallèles et dirigées dans le même sens; cette résultante est égale à la somme P + P' des deux composantes et son point d'application (J.se trouve compris entre ces dernières à des distances inversement proportionnelles aux intensités de ces deux forces. C'est donc suivant la direction de cette résultante que se trouve

transportée l'action verticale des poids P

+ P' du

mur et du cava-

lier; ce sera donc aussi à partir des points d'intersection de celte résultante avec les poussées horizontales des terres que nous construirons les parallélogrammes des forces.

Nous obtiendrons ainsi la courbe des pressions le point 'fj se trouve à 1m,60 du point C appartenant extérieur

du mur; la surface de joint

C1)

(J.

~

1

(3

E 1)

dont

au parement mesure 16000 centimèlres

carrés; les 2/3 des poids P + P' sont de 126 52~k x 2 = 84 380k ; la press~on qui agit sur la surface du joint C'fj est de 5\27, soit 5\30 en nombre rond par centimètre acceptable 'pour la pratique.

-

carré;

cette pression

est donc

Quand les ponts sont construils sous grands remblais, leurs murs en retour, si l'on adopte cette disposition, se trouvent dans le cas des murs de revêtement et se calculent comme ces derniers. MURS EN RETOUR DES PONTS.

TRACÉ DE lA COURBE DES PRESSIONS ,~ ~__2~~ ~l

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Fig. 30

3.21

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