Mundo Hiperbolico

´ EL MUNDO DE HIPERBOLICO Una Introducci´on on a la geometr´ geometr´ıa de Lobachevski. Juan Jua n Jos´ e Rivaud Ri vaud

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Presentaci´ on on

En 1999, la Sociedad Matem´ atica Mexicana me invit´ atica o a dar, en su congreso nacional, una conferencia plenaria sobre este tema, cuyo borrador es el origen origen del present presentee trabajo. Posteri Posteriormen ormente, te, dicho dicho escrito escrito aument´ aument´ o su tama˜ no considerablemente (todav no (to dav´´ıa no se si para bien o para mal) producto de impartir diversos cursillos sobre el mismo asunto; el ultimo, u´ltimo, en el 2001, en la Semana de las Matem´ aticas, que organiza el departamento de la U.A.M.aticas, Iztapalapa. Nuestra intenci´ on es que el lector tenga la sensaci´ on on on que la situaci´ on on geom´etrica etri ca con la l a que qu e est´ esta´ lidiando es “real”, que lo que se cuenta es algo que est´ a pasando, o pas´ o, en este mundo, o en uno muy parecido. Por supuesto, o, sin que deje de ser matem´aticas, aticas, m´ as as precis pr ecisame amente nte geome ge ometr tr´´ıa. En nuest nuestro ro tratam tratamien iento to no nos limita limitamos mos al uso de herram herramien ientas tas geom´ etricas, etricas, o de cualquier otra ´ındole, sino que, en cada momento, echamos mano de lo que nos permite seguir el camino m´ as simple y directo; aunque as hay que admitir un sesgo hacia la utilizaci´ on on del c´alculo alculo diferencial e integral, que, junto con algunos resultados geom´etricos etricos muy simples, constituyen constituyen los u unicos ´ nicos prerrequisitos (una buena referencia para los resultados de c´alculo alculo que se usan son los dos volumenes de la obra “Introducci´on on al C´ alculo alculo y al an´ alisis alisis matem´ atico” atico” de R. Courant y F. John, Limusa, 1971, pero tambi´ en en aparecen en cualquier otro texto sobre la materia). Los temas tratados fueron elegidos para que el lector que quiere asomarse al tema, sepa de qu´ e se trata y obtenga, obtenga, en pocas p´ aginas, una visi´ on o n de conjunto suficientemente amplia. Por supuesto, m´ odulo los gustos personales odulo del que escribe. A trav´ trav´ es es de diversa diversass lecturas lecturas ocasionales, ocasionales, que empezaron empezaron hace mucho mucho tiempo, y que, aunque parezca contradictorio, fueron cuidadosas, pero profundamen fundamente te desordena desordenadas, das, fui haciendo haciendo m´ıo el material material y elaborando elaborando mi propio acercamiento al tema, para al final darme cuenta que este punto de vista es compartido con muchos m´ as. as. Espero que estas p´aginas aginas hagan que este c´ırculo ırcu lo crezca. crez ca. Por ultimo u ´ ltimo,, expres expresoo mi agrade agradecim cimien iento to a los colega colegass y ami amigos gos Carlos Carlos 3

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´n Presentaci on o

 

Imaz, Gerardo Hern´andez, andez, Ana Irene Ram´ırez, ırez, Sonia Ursini y Laura Hidalgo, quienes, en distintas etapas de la elaboraci´ on del trabajo, lo leyeron, on se˜ nalaron errores e hicieron sugerencias y comentarios. nalaron Las lecturas arriba mencionadas corresponden a: Efimov, N.V.,  Higher Geometry . Mir Publishers Moscow. (hay versi´ on on

en espa˜ nol) nol) euclidean n Ge Geometr ometry  y . Ac Meschkow Meschkowski, ski, H.,   Non euclidea Acade ademic mic Press, Press, Ne New w

York and London 1964.  Acerca a de la Geometr´ Geometr´ıa de Lobachevsk Lobachevski  i , EditoSmogorzhevski, A.S.,  Acerc

rial MIR, Mosc´ u, u, 1978. ol. 1, Three Dimensional Geometry Geometry and Topology  opology , Vol. Thurston, Thurston, W.,   Three Princenton Mathematical Series 35, 1997. Stillwell, J.,  Geometry of Surfaces , Springer-Verlag, 1992.

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1. Introducci´ on Pensemos que el plano cartesiano es atravesado, a lo largo del eje x, por un ducto cuya temperatura es el cero absoluto y que, producto de esta peculiar situaci´ on, los seres y objetos que pueblan el semiplano superior (y > 0) se contraen o dilatan, seg´ un cambia su posici´ on, en raz´ on directa a su distancia al eje x. As´ı pues, una bicicleta situada a una distancia uno del eje x, cuando cambia su posici´ on a una distancia y 0 , nosotros la vemos, desde fuera del semiplano, como una reproducci´on a escala y 0  de si misma, sucediendo lo mismo con cualquier otro objeto o con el hombrecillo que la maneja (Figura 1).

Figura 1: 5

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´ lico Las rectas de Hiperb o

Sin embargo el hombrecillo, acostumbrado ya a los cambios de temperatura, no percibe ninguna diferencia. Tampoco deja de sorprendernos verlo trasladarse apuradamente en su bicicleta de un punto a otro a lo largo de una trayectoria que, para nuestros ojos, se aleja bastante de lo que es una recta; sin embargo ´el jura y vuelve a jurar que se movi´ o en l´ınea recta (v´ease la Figura 2). Antes de seguir adelante, perm´ıtanme decirles algo acerca de nuestro ´ acostumbra pasar muchas horas enfrente de su mesa llenando hombrecillo. El hoja tras hoja de n´ umeros y dibujos y s´olo sale en su bicicleta para comprar m´ a s papel y l´apices. Ello le ha creado fama de flojo entre sus vecinos. Su nombre o apodo es Hiperb´ olico. El entender c´ omo se mueve Hiperb´ olico y las razones de ello, es decir, la geometr´ıa de su mundo, es el prop´ osito de este trabajo. Con m´ as precisi´ on, los seres que habitan el semiplano superior, con estas peculiares condiciones, en forma similar a nosotros, perciben rectas, tri´ angulos, pol´ıgonos y toda clase de entes geom´etricos, pero estos objetos geom´etricos se comportan en forma muy distinta a como nos tiene acostumbrados la geometr´ıa euclidiana; nuestro problema es comprenderlo. Para ello contamos con nuestro conocimiento de la geometr´ıa euclidiana, que aplicamos a los fen´ omenos de ese mundo tal como los ven nuestros ojos, y con el hecho de que en el mundo de Hiperb´olico el tama˜ no de las cosas var´ıa proporcionalmente a la distancia al eje x.

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2. Las rectas de Hiperb´ olico Pensemos en Hiperb´olico montado en su bicicleta y pedaleando a ritmo constante, es decir, siempre el mismo n´ umero de pedalazos por unidad de tiempo. Tambi´en imaginemos que pedaleando a este ritmo y manteni´endose a distancia uno del eje x, en una unidad de tiempo, recorre una longitud que tanto ´el como nosotros estamos de acuerdo en tomar como unitaria. En este caso, para Hiperb´ o lico y para nosotros la velocidad a la que se mueve la bicicleta tambi´en ser´ a unitaria, y por lo tanto, la distancia recorrida coincidir´ a con el tiempo transcurrido; lo cual nos permite medir la distancia recorrida con un reloj.

Figura 2: 7

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´ lico Las rectas de Hiperb o

Pero Hiperb´olico puede realizar lo anterior para cualquier trayectoria, s´olo necesita mantener su ritmo de pedaleo. As´ı, para Hiperb´ olico, la longitud de la trayectoria ser´ a igual al tiempo utilizado en recorrerla con ese ritmo de pedaleo (Figura 2). Para nosotros, que lo observamos desde fuera, la situaci´ on nos parecer´ a muy distinta y lo veremos moverse m´as r´apidamente a medida que se aleja del eje x y m´ as despacio cuando se acerca a ´el. Pero cuando nos fijamos en el ritmo del pedaleo comprendemos su apreciaci´on. Dicho de otra manera, cuando Hiperb´ olico se mueve, a una distancia y del eje x, con una velocidad que ´el percibe como unitaria, para nosotros se estar´ a moviendo a una velocidad v¯, cuya magnitud v s´olo depende de la distancia al eje x y en ese caso es igual a y  (esto lo denotaremos como v(y) = y). A la magnitud de la velocidad se le llama rapidez, pero algunas veces, abusando del lenguaje, tambi´en le llamamos velocidad. La pregunta, nada trivial, que nos interesa contestar en este momento es: Dados dos puntos P  y Q, en el semiplano superior, ¿qu´ e trayectoria debemos seguir para, movi´endonos con rapidez v(y) = y, ir de P  a Q en el menor tiempo posible? (V´ ease la Figura 3).

Figura 3: Para Hiperb´ olico, esta trayectoria ser´ a el segmento de la recta de su mundo que une P  y Q  y su longitud estar´a dada por el tiempo utilizado en recorrerla. Nosotros, en general no veremos un segmento recto, ni el 8

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´ lico Las rectas de Hiperb o

tiempo usado en recorrer la curva coincidir´ a con su longitud, pero el an´ alisis realizado nos permitir´ a comprender a nuestro amigo. El argumento que presentamos a continuaci´ on es esencialmente el mismo que dio, en 1696, Johann Bermoulli, para el problema de la Braquist´ ocrona, el cual es una verdadera joya del pensamiento matem´ atico. Como paso previo recordemos que si tenemos dos medios

 ∈ R2 : y > 0



M 1  = (x, y)



,

y



 ∈ R2 : y ≤ 0

M 2 = (x, y)



en los que podemos desplazarnos con rapideces cons-tantes v 1 y v 2  respectivamente, y P 1  M 1  y P 2  M 2  son dos puntos dados, entonces la trayectoria para ir de P 1 a P 2  en el menor tiempo posible es la poligonal formada por dos segmentos, que une a P 1 y P 2 , teniendo su v´ ertice en el eje x y tal que los a´ngulos α1 y α2 , que forman los lados de la poligonal con la vertical en dicho v´ertice (Figura 4), satisfacen la siguiente condici´ on: sen α1 sen α2 = v1 v2

 ∈

 ∈

Figura 4: Esta cuesti´ on la plante´ o y resolvi´ o Fermat para justificar la ley de Snell, tomando como punto de partida el principio que dice que “la luz viaja de un punto a otro en el menor tiempo posible”. 9

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´ lico Las rectas de Hiperbo

Tradicionalmente ´este es uno de los primeros problemas de m´ aximos y m´ınimos que enfrentamos en un primer curso de c´alculo, por lo que omitimos su soluci´ on. De lo que acabamos de analizar se sigue claramente que si, en lugar de dos medios, tenemos n  medios M 1 , M 2 , M 3 , . . . , Mn  , limitados por rectas paralelas al eje x, y en ellos nos desplazamos con rapideces v 1 , v2 , . . . , vn , respectivamente, entonces la trayectoria para ir de P   M 1 a Q  M n , en el menor tiempo posible, es la poligonal descrita en la Figura 5 y que cumple con la condici´ on siguiente sobre sus ´angulos de incidencia:

 ∈

sen α1 sen α2 = = v1 v2

··· = senvnαn

o, en forma comprimida: sen αi = k, vi

i = 1, 2,

Figura 5: 10

·· · , n; k  constante

∈

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´ lico Las rectas de Hiperb o

Si ahora pensamos que los medios M i   tienen un grosor infinitesimal (Figura 6), entonces la rapidez es una funci´ o n de y   que llamamos v(y) y lo mismo el valor de ´angulo de incidencia α(y) que es el que forma la trayectoria con la vertical a la altura y. O dicho en otra forma, α(y) es el ´angulo que forma la tangente a la trayectoria con la vertical.

Figura 6: Y la condici´ on correspondiente, para la trayectoria que une P  y Q, toma la forma sen α(y) = k v(y) donde k  es una constante que s´ olo depende de P  y Q. ´ Esta es la condici´ on general que J. Bernoulli obtuvo con un argumento similar al que acabamos de dar, y que us´ o para encontrar en forma expl´ıcita las trayectorias, en el caso v(y) = gy (g es la aceleraci´ on producida por la gravedad), resolviendo as´ı el problema de la curva de descenso m´ as r´ apido (Braquist´ ocrona). Antes de seguir adelante, observemos que el a´ngulo que forma la normal a la trayectoria con el eje x es igual a α(y) (v´ease la Figura 7). Partiendo de lo anterior, nuestro caso es directo, pues como el lector

 √ 

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´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 7: recordar´ a  v (y) = y  lo cual hace que la condici´ on

sen α(y) v (y )

= k tome la forma:

sen α(y) = ky, que en el caso k = 0, recordando la definici´o n del seno de un a´ngulo y sustituyendo, nos da: y sen α(y) = = ky OP  o sea, 1 k = . OP 



Luego 0 < OP <  tiene longitud constante a lo largo de la trayectoria. Propiedad que caracteriza a las semicircunferencias con centro en el eje x. La Figura 8 nos muestra que las circunferencias satisfacen que la distancia OP   sea constante. Para demostrar que son las u ´nicas trayectorias con esta propiedad falta un peque˜ no argumento que invitamos al lector a proporcionar.

 ∞

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Figura 8: Si k   = 0, entonces α(y) = 0 y nuestra trayectoria es una semirrecta perpendicular al eje x. ¡Ya sabemos cu´ ales son las rectas de Hiperb´olico! Desde nuestro punto de vista son semirrectas perpendiculares al eje x y semicircunferencias con centro en el eje x  (V´ease la Figura 9).

Figura 9: Antes de seguir adelante, perm´ıtasenos convenir con el lector que, con objeto de que la presencia de Hiperb´olico no nos avasalle, cuando nos refiramos a su mundo, las rectas y circunferencias, o cualquier otro objeto en ´el, antes pondremos una h, por ejemplo en lugar de “la recta de Hiperb´ olico que pasa por p  y  q ” escribiremos “la h-recta que pasa por p y q .

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3. La longitud de una curva en el mundo de Hiperb´ olico Como es de esperar, las curvas tienen distinta longitud para nosotros y para Hiperb´ olico, lo cual nos sugiere preguntarnos como est´ an relacionadas estas dos longitudes. Para aclarar este punto, empecemos por ver qu´e sucede para un segmento infinitesimal de curva, que podemos tomar como un segmento infinitesimal de una de nuestras rectas. Sean A y B  los extremos de dicho segmento, que denotaremos por AB y llamemos dS  y dS h  a su longitud euclidiana y h-longitud respectivamente. Si el segmento infinitesimal se encuentra a una altura uno (y = 1) entonces dS  = dx2 + dy 2 y dS h  tienen el mismo valor, pues a esta altura nuestro metro y el metro de Hiperb´ olico miden esencialmente lo mismo. Pero a una altura dada y, para el hombrecillo su longitud y la de su metro se han alterado, creciendo o disminuyendo, en raz´ on inversamente proporcional a y (v´ease Figura 10) o sea dS  = ydS h . De donde dS h  = dS  y .

 

 → R 2+, γ (θ) = (x(θ), y(θ)),

De aqu´ı obtenemos que para una curva γ  : [a, b] su longitud entre a  y b, para Hiperb´ olico, es: b

S h (γ ) (a, b) =

  a

dS  dθ

y

dθ

donde

dS  =  

     dx dθ

2

+

dy dθ

2

dθ

Veamos qu´ e longitud tienen las curvas m´ as simples: los segmentos de recta del hombrecillo. Empecemos por considerar el caso en que esta recta es el semieje y y los extremos del segmento son a y b (a,b > 0). Para ello parametricemos el segmento por γ  : [a, b]  R 2+   donde γ (y) = (0, y). Su h-longitud est´ a dada por:

 →

b

S h (γ ) (a, b) =

  a

1 dy = ln b y 15

− ln a = ln ab  .

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´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 10: Notamos que esta recta se puede prolongar indefinidamente tanto en una direcci´ on como en la otra: a 0 o´ b . El caso de cualquier otra semirrecta perpendicular al eje x es exactamente igual, pudi´endose ver como una h-recta. Tales rectas tienen longitud S h  infinita y se pueden prolongar indefinidamente en ambas direcciones. Pensemos ahora en una circunferencia de radio r  con centro en el origen. Para ello la parametrizamos como se indica en la Figura 11. 2 O sea, γ (θ) es la funci´on γ  : [a, b] R+ definida por γ (θ) = (r cos θ,rsenθ), luego

 →

 → ∞

→

β 

S h γ (α, β ) =

  α

y(θ)

  √  β 

dS (θ) dθ

 dθ =

α

r sen2 θ + cos2 θ dθ = rsenθ

Pero

∫ 





dθ θ = ln tan  , sen θ 2

luego

S h γ (α, β ) = ln 16

 

tan β  2

tan α2

 

β 

  α

dθ . sen θ

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´ lico Las rectas de Hiperb o

Figura 11: Notemos que cuando β  π o´ α  0, la longitud S h γ (α, β ) tiende a infinito, es decir, tambi´en las h-rectas tienen longitud infinita, pudi´ endose prolongar en ambos lados. De lo que acabamos de ver, en los dos u ´ ltimos incisos, acerca de las h-rectas, podemos sacar algunas conclusiones. i). Las h-rectas son semirrectas perpendiculares al eje x  o semicircunferencias con centro en el eje x  (V´ease Figura 9).

 →

 →

ii). Para Hiperb´ olico sus “rectas”tienen longitud infinita y se pueden prolongar indefinidamente en una y otra direcci´ on. Como consecuencia, para ´el, el eje x  es inalcanzable y, por lo tanto, est´ a fuera de su mundo. iii). Dada una h-recta L y un punto P  exterior a L, existen una infinidad de h-rectas que pasan por P  y que no cortan a L (Figura 12), son las que pasan por P   y tienen su trazo en la parte gris de la ilustraci´ o n. A todas estas h-rectas las llamamos paralelas a L y las dos h-rectas que limitan la parte blanca, reciben el nombre de hiperparalelas a L. iv). Al igual que en el caso euclidiano las h-rectas dividen al plano en dos partes, cada una de ellas llamada lado de la recta (Figura 13). v). Existe una colecci´ on infinita de h-rectas L 1 , L2 , L3 , . . . , Ln , . . ., tales que no hay dos de ellas que se intersecten y situadas de tal forma que dada una recta Ln   todas las dem´ as est´ a n del mismo lado de L n   (Figura 17

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´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 12:

Figura 13: 14). Situaci´ on muy distinta a la euclidiana; el lector puede pensar en otras situaciones que tambi´en difieran dr´ asticamente de la Euclidiana.

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Figura 14: Sin duda, el lector tiene varias observaciones m´ as del mismo estilo. Nosotros preferimos seguir adelante discutiendo la idea de ´a ngulo y a´rea que tiene nuestro buen amigo.

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´ 4. Angulos en el plano de Hiperb´ olico La idea m´ as elemental de a´ngulo es la de la porci´ on de plano limitada por dos semirrectas con extremo com´ un. Un concepto de a´ngulo m´ as elaborado es el de giro en una direcci´ on de una semirrecta en torno a su extremo. Ambas ideas tambi´en son v´ alidas en la h-geometr´ıa, pero el hecho de que sus rectas y las nuestras no coincidan (Figura 15) nos plantea algunas dudas que tenemos que resolver.

Figura 15: La unidad angular  natural   es el ´angulo correspondiente a un giro (en el sentido opuesto a las manecillas del reloj) de una vuelta. Si pensamos en que este giro lo llevamos a cabo, tanto nosotros como Hiperb´ olico, sujetos a uno de los extremos de un cordel, que mantenemos tenso, y cuyo otro 21

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´ lico Las rectas de Hiperbo

extremo est´ a fijo en el centro de giro y que adem´ as la trayectoria del giro la recorremos con rapidez constante (Figura 16), entonces podemos comparar o hablar de igualdad entre ´angulos, as´ı como dividirlos en partes iguales, comparando los tiempos usados en llevar a cabo los giros en cuesti´ on.

Figura 16: Una pregunta que tiene sentido que nos hagamos es si, en el h-mundo, la relaci´ on que guardan dos a´ngulos no depende del radio tomado para realizar el giro. Efectivamente, esta relaci´ on es independiente de la longitud del cordel y es debido a que al mantener tenso ´este, todos los puntos del cordel giran, para Hiperb´ olico con la misma velocidad angular. Por diversas razones, para medir a´ngulos, adem´ as de la  vuelta , nosotros usamos otras unidades, principalmente grados y radianes. La manera de pasar de una unidad a otra es usando que una vuelta corresponde a 360 0 grados o 2π radianes. Hiperb´olico puede usar estas mismas relaciones y definir sus grados o sus radianes. Los a´ngulos en el h-mundo guardan una relaci´ on muy estrecha con los ´ ´angulos euclidianos. Esta es: El valor del ´angulo formado por dos semirrectas en el hmundo es el mismo que el del ´angulo euclidiano que forman las tangentes a sus lados en el v´ ertice del a´ngulo. (Figura 17) Para convencernos de ello pensemos que el cordel al cual estamos sujetos para efectuar nuestros giros tiene una longitud infinitesimal y entonces no 22

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´ lico Las rectas de Hiperb o

Figura 17: hay diferencia entre los segmentos de h-rectas y sus tangentes euclidianas y asimismo tampoco hay diferencia entre su circunferencia y la nuestra, como lo sugieren el peque˜ no c´ırculo y las h-rectas, dentro de ´este, que aparecen en la Figura 18.

Figura 18: Despu´es de esta discusi´on ya sabemos c´omo apreciar un a´ngulo de 30 0 grados o de cualquier otro valor en el h-mundo, as´ı como “ver” la perpendicularidad entre rectas o curvas. Al respecto analicemos la figura (Figura 19). En dicha figura aparecen dos semirrectas concurrentes en un punto sobre el eje x, una de ellas perpendicular a ´el y la otra formando un angulo ´ omo sabemos, la semirrecta perpendicular es una h-recta, al α con ´esta. C´ igual que para Hiperb´olico son segmentos de recta los arcos de circunferencia que abarcan el ´angulo α  y que aparecen en la figura. Estos arcos son perpendiculares a ambas semirrectas, tanto para nosotros, como para ´el. Usando ahora la f´ ormula para la longitud de dichos arcos o h-rectas (secci´ on longitud de una curva en el mundo de Hiperb´ olico), vemos que todas las h-longitudes son iguales a: 23

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´ lico Las rectas de Hiperb Hiperbolico o

Figura Figura 19:

ln

 

tan

1  ( π +α) 2

2

 

Y por lo tanto la semirrecta no perpendicular (que para Hiperb´ olico olico  no es una recta) equidista de la h-recta (semirrecta perpendicular). En resumen: la equi quidis distan tante te de una recta no es otra otra recta . ¡Gran diferencia con lo que sucede en geometr´ıa ıa euclidiana! euclidi ana!

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5. El mundo de Hiperb´ olico olico y las ´ areas Ya antes vimos c´ omo omo se relaciona relaciona la diferencia diferenciall de longitud longitud que nosotros nosotros percibimos con la que percibe Hiperb´ olico: olico: dS h  =

dS  y

El diferencial de area a´rea nosotros lo pensamos como el area a´rea de un “rect´ anguangulo” que tiene lados dx lados  dx y dy, dy, respectivamente; o sea: dA = dA = dxdy  dxdy Para Hiperb´ olico olico los lados del rect´ angulo, de acuerdo a la observaci´ angulo, on on hecha arri-ba, ser´ an dx/y an  dx/y y  dy/y,  dy/y , respectivamente, y por lo tanto su diferencial de ´area area es:  dxdy dAh = 2 y Lo que implica que el h-´ area area Ah (Ω), de una regi´ on on Ω contenida en el semiplano superior, viene dada por: Ah (Ω) =

   Ω

dxdy y2

Usaremos esta f´ ormula ormula m´ as adelante para calcular el h-´ as area area de algunas regiones.

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´ lico Las rectas de Hiperb Hiperbolico o

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6. Las transformaciones r´ıgida ıgidass en el mundo de Hiperb´ olico olico Una idea central en la geometr´ geometr´ıa euclidiana es la de transformaci´ on r´ıgiıg ida. El prop´ osito de este inciso es discutir c´omo osito omo son y se comportan tales transformaciones en el plano euclidiano, para despu´ es es ver qu´e pasa en el h-mundo.

Figura 20: Sea T  Sea  T  : R 2  R 2 uno a uno y sobre. Decimos que T  que  T  es  es una transformaci´ on on r´ıgida si, para toda pareja x ´e y , de puntos del plano, T   T   preserva su distancia euclidiana, es decir si:

→

d(x, y) = d(  d (T ( T (x), T ( T (y )) 27

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´ lico Las rectas de Hiperbo

donde d  es la funci´on distancia. Son transformaciones r´ıgidas las traslaciones, los giros y las reflexiones (Figura 20). Claramente, tanto la inversa de una transformaci´ on r´ıgida como la composici´on de dos transformaciones r´ıgidas son tambi´en transformaciones r´ıgidas. Las transformaciones r´ıgidas, preservan tri´ angulos, y como consecuencia tambi´en preservan a´ngulos. A continuaci´ on enunciamos dos resultados elementales sobre transformaciones r´ıgidas que son fundamentales para lo que sigue. i) Una transformaci´ on r´ıgida queda determinada por la imagen de tres puntos no alineados. ii) Una transformaci´ on r´ıgida siempre se puede expresar como la composici´on de, a lo m´ as, tres reflexiones.

Figura 21: Las demostraciones de estas afirmaciones quedan como un ejercicio para el lector. Claramente, lo dicho hasta aqu´ı tambi´ en tiene sentido en el h-plano: la definici´ on de transformaci´ on r´ıgida, el que la inversa y la composici´ on de transformaciones r´ıgidas sea tambi´en una transformaci´ on r´ıgida. Al igual tiene sentido lo que es una rotaci´ on. Pero, cuando no tenemos unicidad en las paralelas no es claro qu´e se entiende por una traslaci´ on, (usualmente definimos traslaci´ on mediante la suma de vectores); tampoco es claro qu´ e es una reflexi´on. 28

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´ lico Las rectas de Hiperb o

Aunque no es dif´ıcil hacerlo no aclararemos qu´ e es una traslaci´ on para Hiperb´olico, pero s´ı nos es imprescindible aclarar y estudiar las reflexiones en su mundo. ¯ es En el caso euclidiano, dada una recta L y un punto P , decimos que P  ¯ encuentra sobre la perpendicular a el reflejado de P  con respecto a L si P  se L que pasa por P , a la misma distancia de L que P , pero en el lado opuesto (Figura 21). Por la reflexi´on en L  entendemos la transformaci´ on R : R 2 R2 que ¯ manda cada punto en su reflejado, es decir R(P ) = P . Es inmediato que una reflexi´ on preserva distancias. En el h-mundo las reflexiones se definen exactamente de la misma manera, pero usando sus distancias y sus rectas. Para algunas rectas del h-mundo es directo ver las reflexiones, por ejemplo para el semieje y   (Figura 22). En este caso la reflexi´ on euclidiana y la de Hiperb´olico coinciden, aunque la distancia hiperb´ olica se mide sobre los arcos marcados con

→

 ||

Figura 22: Veamos qu´ e pasa con un punto del eje y   al reflejarlo sobre la h-recta dada por la semicircunferencia de radio uno con centro en O  (Figura 23). Si P  es el reflejado de P  en L, entonces dh (P, Q) = d h (Q, P ) o sea:

y 1

 1 y

ln  =  ln  ,

lo que implica y = y1  o, lo que es igual, y = y1 . 29

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´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 23: Lo anterior nos hace conjeturar que la transformaci´on geom´etrica definida arriba (que no es m´as que la inversi´on respecto a una circunferencia, con centro O  sobre el eje x), al restringirla al semiplano superior, corresponde en el h-plano a la reflexi´ on respecto a la “recta” del h-mundo determinada por la circunferencia en cuesti´on (Figura 24). (Recuerde que ya discutimos la reflexi´ on en el sentido euclidiano y, en el de Hiperb´olico, respecto a una semirrecta vertical).

Figura 24: N´ otese que el “cuadrado” de una inversi´ on es la identidad, o dicho de otra manera, una inversi´ on es su propia inversa.

30

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´ lico Las rectas de Hiperb o

Si tomamos el centro O   como el origen de coordenadas, entonces, en t´erminos de ´estas, la inversi´ on I   toma la forma: I (x, y) = (x, y); donde x(x, y) =

r2x ; x2 + y 2

y(x, y) =

r2y x2 + y 2

Para nuestro problema s´ olo nos interesa el semiplano superior, por lo que, aunque no lo digamos expl´ıcitamente, siempre sup ondremos que y > 0. A continuaci´ on vemos que la inversi´on I , en t´erminos de la h-geometr´ıa, satisface las propiedades de una reflexi´ on euclidiana. Para ello echaremos mano de los rudimentos del c´ alculo de varias variables. Primero calcularemos las diferenciales de x(x, y) e y(x, y), as´ı como la matriz jacobiana de I  y su determinante, que son los elementos necesarios para lo que sigue: dx(x, y) =

∂x ∂x r2 dx + dy = 2 ( (x2 2 2 ∂x ∂y (x + y )

dy(x, y) =

∂y  ∂ y r2 dx + dy = 2 ( 2xydx + (x2 2 2 ∂x ∂y (x + y )

− − y2)dx − 2xydy)

y

−

− y2)dy).

Adem´ as, si denotamos por J (I ) a la matriz jacobiana de I , ´esta tiene la forma: r2 (x2 y2 ) 2xy J (I )(x, y) = 2 2 2 2 2xy (x y2) (x + y ) y

−

det J (I )(x, y) =

−

−

−

−



−r4

(x2 + y 2 )2

El primer resultado que se sigue de estos c´ alculos es que I  no preserva la orientaci´on pues det J (I )(x, y) <  0 para todo (x, y) con y > 0. (Not´ese que esta idea de orientaci´ on coincide con la que se usa en geometr´ıa elemental utilizando la orientaci´ on de los ´angulos). El segundo resultado es que preserva la magnitud de los a´ngulos. Esto es consecuencia de que, infinitesimalmente, alrededor de un punto P   es el  jacobiano en P  el que nos dice c´omo se comportan los a´ngulos entre curvas que pasan por P. En nuestro caso, la forma que tiene el jacobiano es: 31

32

´ lico Las rectas de Hiperbo

J (I )(x, y) = k

2

−  1 0 0 1

cos θ

− sen θ

sen θ

cos θ



O sea, es la composici´ on de una rotaci´ on, una reflexi´on y una homotecia. Tanto la rotaci´ on como la homotecia preservan a´ngulos, mientras que la reflexi´ on preserva su magnitud, pero cambia su orientaci´ o n; por lo tanto J (I )(x, y) preserva la magnitud de los ´angulos. Como segundo resultado mostraremos que I (x, y) preserva las h-longitudes 2  cuyas coorde las curvas. Para ello consideremos una curva  γ  : [a, b]  R + denadas son x(t) e y (t). La h-longitud de γ , est´ a dada por:

 →

        dx 2 dt

b

S h (γ )(a, b) =

dy dt

+

y(t)

a

2

dt

Si llamamos γ˜  a la imagen de γ   bajo I  (˜ γ  = I  γ ) , tenemos que

 ◦

γ˜ (t) = (x(x(t), y(t)), y(x(t), y(t))), donde x(x, y) e y (x, y) son las componentes de la funci´on I , definida antes. Esta curva tiene h-longitud:

        dx 2 dt

b

S h (˜ γ )(a, b) =

y¯(t)

a

r

=

2

b (x2 +y2 )2

  a

 

(y 2

− x2 ) dxdt − 2xy dydt

2

 − +

dy dt

2

dt =

2 2xy dx dt + (x

r2 y(t) (x2 +y2 )

        b

=

+

a

dx 2 dt

+

dy dt

y(t)

− y2) dydt

2



dt =

2

dt = S h (γ )(a, b),

probando as´ı que las inversiones respecto a semicircunferencias que tienen su centro en el eje x preservan la h-longitud de las curvas. Como consecuencia, tales inversiones mandan segmentos de h-rectas en segmentos de h-rectas con la misma longitud. Lo anterior se debe a que si tenemos un h-segmento, con extremos a y  b, y bajo una de tales inversiones va a parar a una curva γ  con extremos a  , b , que no sea un h-segmento, el h-segmento que une a  con b  , tendr´ a longitud 32

33

´ lico Las rectas de Hiperb o

menor y su imagen bajo I   ser´a una curva uniendo a con b con h-longitud menor que el segmento que los une; lo que es imposible. El que las inversiones en cuesti´ on preserven las magnitudes de los ´angulos y manden h-segmentos en h-segmentos con la misma longitud, implica que, en la h-geometr´ıa, son reflexiones respecto a las h-rectas definidas por las semicircunferencias con centro en el eje x. Para darnos cuenta de ello consideremos un punto P , su imagen I (P ) y el segmento de h-recta que los une (v´ease Figura 25).

Figura 25: A este segmento, cuyos extremos son P  e I (P ), la inversi´ on le cambia la orien-taci´ on, pero lo transforma en s´ı mismo: P 

 →  I (P )

e I (P )

→ I  ◦ I (P ) = P 

Tomemos ahora el punto Q  en el que este segmento corta a la circunferencia de inversi´on. Claramente I (Q) = Q. Es directo que los h-segmentos P Q y QI (P ) tienen la misma h-longitud, pues I   transforma uno en el otro. Por u ´ ltimo, los a´ngulos ∠P QH , ∠I (P )QH  tienen la misma magnitud (aunque orientaciones opuestas) y entre ellos suman 1800 (que es lo que mide ∠P QI (P )), por lo tanto ambos miden 900 y las h-rectas P, I (P ) y QH  son perpendiculares; terminando as´ı nuestro argumento. Veamos otra propiedad de las inversiones que resulta importante en el marco de la h-geometr´ıa. Una reflexi´ on euclidiana cambia la orientaci´ on y preserva las ´areas (con m´ as precisi´ on, su valor absoluto). A continuaci´ on veremos que, en forma similar, una inversi´ on tambi´en cambia la orientaci´ on y preserva el valor absoluto de las h-´areas. Para ello recordemos la f´ormula para el cambio de variable en una integral m´ ultiple, que aprendimos en nuestros cursos de c´alculo avanzado, para el caso de dimensi´ on 2.

33

34

´ lico Las rectas de Hiperbo

34

8. Teorema del cambio de Variable Sea F (x, y) = (x, y) una transformaci´ on con derivada continua (e.i. con derivadas parciales de primer orden continuas) y 1 1 de una regi´ on cerrada Q del plano xy, en una regi´ on Q del plano xy. Si el determinante de la matriz  jacobiana de F  es positivo, para todo punto de Q, entonces, para cualquier funci´ on continua f  : Q  R, tenemos que:

−

→

 

f  (x, y) dxdy =

Q

 

f  (x (x, y) , y (x, y))det JF  (x, y) dxdy

Q

Si el determinante de la matriz jacobiana es negativo, entonces las integrales anteriores difieren u ´nicamente en el signo. Luego, en nuestro caso, el teorema nos da:

 

I (Q)

dxdy = y2

r4

   − Q

r2 y x +y 2 2

2

(x2 + y 2 )2

35

dxdy =

  −

Q

dxdy y2

36

´ lico Las rectas de Hiperbo

36

9. El comportamiento de rectas y circunferencias bajo inversiones La u ´ ltima propiedad de las inversiones que por el momento nos interesa es c´omo se transforman las circunferencias y rectas euclidianas: Una inversi´ on manda circunferencias en circunferencias o rectas. Asimismo, manda rectas en rectas o circunferencias. Una circunferencia que no pasa por el centro de inversi´o n va a parar a otra circunferencia que no pasa por el centro de inversi´on. Adem´ a s los centros de ambas circunferencias est´ an alineados con el centro de inversi´on. Una circunferencia que pasa por el centro de inversi´on tiene como imagen una recta que no pasa por el centro de inversi´ on. Una recta que no pasa por el centro de inversi´on tiene como imagen una circunferencia que pasa por el centro de inversi´on, las rectas que pasan por el centro de inversi´ on se transforman en s´ı mismas. La Figura 26 ilustra algunos de los casos. Como veremos a continuaci´ on estas afirmaciones se demuestran directamente, sustituyendo en las ecuaciones de las circunferencias y las rectas, en el lugar de las variables, las expresiones de sus transformados. Si llamamos S  a la circunferencia cuya ecuaci´on es x 2 +y 2 +ax+by+c = 0, al sustituir en ella las expresiones de las variables en funci´on de sus im´agenes: r2 x x = 2 x + y2

r2 y e y = 2+ 2 x y

obtenemos r 4 x2 r4 y 2 ar 2 x br2 y + + + + c = 0 (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 x2 + y2 x2 + y2 37

38

´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 26: o sea,

r4 ar 2 x br2 y + + + c = 0 x2 + y2 x2 + y2 x2 + y 2

y multiplicando por x 2 + y 2 , obtenemos r 4 + ar 2 x + br 2 y + c(x2 + y 2 ) = 0 que muestra que, si S  no pasa por el origen (c = 0), se transforma en otra circunferencia, que no pasa por el origen rc = 0 .

   4

Si S pasa por el origen (c   = 0), entonces su imagen es la recta r 4 + ar 2 x + br 2 y = 0, la cual tampoco pasa por el origen. El an´ alisis de c´ omo se transforma una recta se lo dejamos al lector. Dejemos aqu´ı el estudio de las inversiones y pasemos a ver las transformaciones r´ıgidas en la h-geometr´ıa.

38

10. Las transformaciones r´ıgidas en el mundo de Hiperb´ olico (Continuaci´ on) Como recordar´ a el lector, ya antes discutimos las transformaciones r´ıgidas para el caso de la geometr´ıa euclidiana, y dejamos al lector la prueba de dos resultados b´ asicos; ´estos son: Una transformaci´ on r´ıgida queda determinada por la imagen de tres puntos no alineados. Una transformaci´ on r´ıgida siempre se puede expresar como el producto de cuando m´ as tres reflexiones. Ahora nuestro conocimiento de las reflexiones en la h-geometr´ıa (inversiones euclidianas para nosotros) nos permite probar ambos resultados para el caso de Hiperb´ oli-co. Como antes, le dejamos al lector la prueba de ellos, pero para el segundo, le proporcionamos una sugerencia. 2   tres puntos a, b y c que, seg´ Consideremos en R+ un Hiperb´olico, no    2 est´en alineados; sean a , b , c  otros tres puntos en R + , tales que dh (a, b) = d h (a , b ),

dh (b, c) = d h (b , c ) y dh (c, a) = d h (c , a )

Entonces, a trav´es de la aplicaci´ on sucesiva de cuando mucho tres hreflexiones, podemos mandar a en a , b en b y c en c   (y por el primer resultado, habremos termin´ ado con esto la prueba del segundo) Como primer paso demuestre que hay una h-reflexi´ on (inversi´ on) que manda x  la h-recta determinada por a y b en la h-recta determinada por a y b   y que es tal que la imagen del segmento ab y el segmento a  b  tienen sentidos opuestos (Figura 27).

 | |

39

40

´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 27: Como segundo paso, mande, a trav´es de una inversi´ on que envie S (a  , b ) en s´ı misma, I (a) en a  e I (b) en b  . Como tercer y u ´ ltimo paso, vea de qu´ e lado de S (a  , b ) est´ an c y la imagen de c. Si est´ an del mismo lado tienen que coincidir, si no est´ an del   mismo lado invierta respecto a S (a , b ). Los resultados anteriores nos dicen que, en el h-mundo, los movimientos r´ıgidos preservan las longitudes de las curvas, las a´reas de las regiones y los ´angulos. Ello nos permite situar los objetos geom´etricos de ese mundo en la forma que nos resulte m´ as f´ acil su estudio. A continuaci´ on vemos algunos resultados cuyas demostraciones ejemplifican lo dicho.

40

11. El ´ angulo de paralelismo y la funci´ on π  de Lobachevski Como vimos antes, en el h-plano, dada una h-recta L   y un punto P  exterior a L  , existen una infinidad de h-rectas que pasan por P  y no intersectan a L  . Esta familia de rectas est´ a limitada por dos rectas que pasan por P  y que tampoco intersectan a L . Cada una de estas rectas forma un ´angulo menor de 90o con la perpendicular a L que pasa por P  ; como veremos ambos a´ngulos son iguales y est´ an en funci´ on de la distancia de P  a L. Y cada uno de ellos es llamado a´ngulo de paralelismo en P   relativo a L. Llamemos d a la h-distancia de P  a L, definimos la funci´ on π de Lobachevski por π(d) = α  donde α es el ´angulo de paralelismo; el problema consiste en dar una f´ ormula expl´ıcita para π(d). Para ello tomaremos como recta L el semic´ırculo euclidiano de radio 1 y centro el origen, y P  un punto en el eje y (Figura 29). Los resultados vistos previamente nos dicen que restringirnos a este caso no nos hace perder generalidad.

41

42

´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 28: Ahora es clara la igualdad entre los a´ngulos mencionados arriba. A continuaci´ on observemos que si llamamos y a la ordenada de P , de la f´ ormula y para la h-distancia, tenemos que ln 1 = d   o lo que es igual y = ed . Si denotamos por ( h, 0) al centro del semic´ırculo que pasa por P  y (1, 0), entonces el radio r  de dicho semic´ırculo satisface:



−

h2 + e2d = r 2

y

h + 1 = r

de donde (r

− 1)2 + e2d = r 2

que implica r =

e2d +1

2

y h =

e2d 1

−

2

De la figura, tenemos cos α  =

e2d 1 ed e−d = =  tan h(d) e2d + 1 ed + e−d

−

−

luego π(d) = α = cos −1 (tan h(d)). 42

43

´ lico Las rectas de Hiperb o

Figura 29: La relaci´ on entre el ´angulo α y d tambi´en se puede expresar como: d = α log tan 2 . El lector no tendr´ a dificultad en verificarlo usando la fig. 28 α y la f´ormula para tan 2 Analizando π (d) vemos que es una funci´on decreciente que tiende a 0, cuando d tiende a infinito y que tiende a π2 , cuando d tiende a cero. (Cosa que tambi´en podemos ver en la figura con nuestros ojos). Lo anterior nos dice, en un lenguaje poco preciso, que si el punto P  est´ a situado a mucha distancia de la recta L, entonces habr´ a muchas m´ as paralelas y que en  todas las h-rectas ser´an paralelas. Por el contrario, si P   es muy cercano a L, la regi´ on de las h-rectas paralelas a L estar´ a limitada por un a´ngulo muy peque˜ no y entonces “menos” paralelas a L atrav´es de P .

−





 ∞

43

44

´ lico Las rectas de Hiperbo

44

12. El ´ area de un tri´ angulo de Hiperb´ olico Una f´ormula que sin duda podemos calificar de bella es la que nos da el a´rea de un tri´angulo con a´ngulos α,β, γ   (medidos en radianes) en el h´ mundo. Esta es: Ah (T (α,β,γ )) = π (α + β  + γ ). A continuaci´ on damos su justificaci´ on. Para hacernos la vida un poco m´ as sencilla, basados en la propiedades de las transformaciones r´ıgidas, p odemos considerar que uno de los lados del tri´ angulo es un segmento del eje y (v´ease Figura 30).

 −

Figura 30: Para demostrar nuestra f´ormula consideraremos dos semirrectas verticales arbitrarias y una semicircunferencia que corte a ambas semirrectas y, tomaremos como origen de coordenadas el centro de dicha semicircunferencia, como lo ilustra la Figura 31. Demostraremos que el h-´area de la regi´ on gris, a la que denotamos por Ω, este dada por π  α  β   De aqu´ı, la f´ ormula del h-´ area es directa. El

 −  −

45

46

´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 31: h-´area de Ω est´ a dada por: Ah (Ω) =

  Ω

dxdy = y2

  rcosθ

 

rcos(π ω)

−

∞ dx √ 

 

r 2 x2

−

1 dy = y2

  rcosθ

 

rcos(π ω)

−

√ r2dx− x2

integral que con el cambio de variable x = rcosϕ se transforma en θ

 

π ω

−

−rsenϕdϕ = π − ω − θ . rsenϕ

Para obtener la f´ormula del h-´ area del tri´ angulo considere la Figura 32.

Figura 32: De la figura y el resultado previo, tenemos Ah (T (α,β,γ )) = A h (Ω2 ) 46

− Ah(Ω1) =

47

´ lico Las rectas de Hiperb o

= π

− (γ  + α + θ) − (π − (π − β  + θ)) = π − (α + β  + γ )

Como consecuencia de esta f´ ormula tenemos que en la h-geometr´ıa: i.) La suma de los a´ngulos de un tri´ angulo siempre es menor que π. ii.) El a´rea de un tri´ angulo es menor que π. iii.) Si dos tri´ angulos son semejantes, entonces tienen la misma a´rea (y se puede probar que en este caso con congruentes). Estos hechos son radicalmente distintos de lo que pasa en la geometr´ıa euclidiana. La Figura 33 muestra un tri´ angulo degenerado (tiene sus tres a´ngulos ´ iguales a cero y sus v´ ertices est´ an en el eje x) que tiene ´area π. Este es el caso l´ımite de ii).

Figura 33:

47

48

´ lico Las rectas de Hiperbo

48

13. Las circunferencias de Hiperb´ olico y haces de circunferencias Como ya hemos observado Hiperb´ olico puede moverse a lo largo de una curva manteni´endose a la misma h-distancia de un punto dado; nuestro problema es que no sabemos cu´ al es esa curva desde el punto de vista de nuestra geometr´ıa. En esta secci´ on abordamos este problema. Para ello consideremos los puntos (0, y0 ) y (0, y0 ) y todas las circunferencias euclidianas que pasan por ellos. Es inmediato que el centro de cada una de ellas se encuentra sobre el eje x. La Figura 34 muestra la situaci´ on.

−

Figura 34: N´ otese que la parte de cada una de estas circunferencias, que est´ a por 49

50

´ lico Las rectas de Hiperbo

encima del eje x es una h-recta. La ecuaci´ on de cada una de ellas es (x

− h)2 + y2 = h2 + y02 1

Remarcamos que el punto (h, 0) es su centro y que (h 2 +y02 )  es su radio. La primera pregunta que queremos contestar es: dada una circunferencia del haz y otra por encima del eje x y con centro en (0, k) y radio r, ¿para qu´e valor del radio r de esta segunda circunferencia las dos circunferencias son ortogonales? 2

Figura 35: De la Figura 35 vemos que: k2 + h2 = r 2 + h2 + y02 o sea r 2 = k 2

− y02

obteniendo as´ı el valor buscado del radio r, pero de paso hemos obtenido algo m´ as: ¡La circunferencia de centro (0, k) y radio r  = (k 2 y02 )  es ortogonal a todas las circunferencia del haz!

−

50

1 2

51

´ lico Las rectas de Hiperb o

Antes de seguir adelante damos la ecuaci´ on de esta circunferencia y hacemos algunos comentarios. Su ecuaci´ on es x2 + (y

− k)2 = r 2 = k 2 − y02

o sea x2 + y 2

− 2ky + y02 = 0

N´ otese que i) k > y 0  > 0. Es decir el centro de la circunferencia est´ a por encima del punto (0, y0 ). ii) Tales circunferencias est´ an contenidas ´ıntegramente en el semiplano superior, pues r < k Adem´ as se tiene que iii) Dos de tales circunferencias, si se cortan, coinciden y por lo tanto, si no se cortan, una contiene a la otra (a la que le corresponde mayor k es la que circunda a la otra). Afirmaci´ on que no es directa, pero que el lector no tendr´ a dificultad en probar. Volviendo a nuestro haz de circunferencias y a la circunferencia con centro en (0, k) y radio r = (k 2 y02 ) , ortogonal a las circunferencias del haz, lo primero que queremos observar es que esta propiedad hace pensar que se trata de una h-circunferencia que, desde ese punto de vista, tiene centro en el punto (0, y0 ), pues todas las circunferencias del haz son rectas de Hiperb´ olico y son perpendiculares a dicha circunferencia. Efectivamente ´este es el caso, ¡Se trata de una circunferencia de Hiperb´olico! y su centro es el punto (0, y 0 ).

−

1 2

 

r Adem´ as, como el lector puede ver, su h-radio es ρ = ln kk+ −r . (Para ello calcule la distancia de cualesquiera de los dos puntos de la circunferencia que se encuentran sobre el eje y  al punto (0, y 0 ) ). Pero veamos que se trata de una h-circunferencia, o lo que es lo mismo, que todos sus h-radios tienen la misma longitud. Para ello basta demostrar que dado un h-radio existe una h-reflexi´on (inversi´ on para nosotros) que lo manda en uno de los radios verticales. Dado un h-radio, la h-reflexi´ on buscada es la inversi´ o n respecto a la semicircunferencia que pasa por el punto (0, y 0 ) y tiene su centro en uno de los “extremos” de la recta que contiene el radio en cuesti´ on (v´ease la Figura 36). Esta h-reflexi´ on env´ıa el haz de h-rectas que pasa por el punto (0, y 0 ) en s´ı mismo, en particular manda la h-recta que contiene al radio en cuesti´ on, en la parte positiva del eje y; la circunferencia con h-centro en (0, y 0 ) queda invariante, pues es perpendicular a todas las h-rectas del haz, en particular a la usada para realizar la inversi´ on, de aqu´ı nuestra afirmaci´on es inmediata.

51

52

´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 36: Antes de seguir adelante notemos que el hecho de que la h-longitud del segmento que va del punto (0, y0 ) al eje x tenga longitud infinita implica que, con h-centro el punto (0, y0 ) podemos trazar h-circunferencias con h-radio tan grande como deseemos y, por supuesto, lo mismo sucede con cualquier otro punto del semiplano superior que tomemos.

52

14. C´ omo ve Hiperb´ olico las rectas y las circunferencias euclidianas En lo anterior vimos que las semirrectas perpendiculares al eje x corresponden a h-rectas infinitas en ambas direcciones, tambi´en vimos que una semirrecta inclinada equidista, en el sentido de Hiperb´ olico, de la h-recta dada por la perpendicular al eje x en el punto donde la semirrecta inclinada intersecta dicho eje, (Recuerde la Figura 19). Otra propiedad interesante de las semirrectas inclinadas es que son las u ´nicas curvas invariantes bajo todas las h-reflexiones con eje de reflexi´on una recta de Hiperb´olico asociada a una semicircunferencia con centro el origen de la semirrecta inclinada, (Figura 37).

Figura 37: Nos falta analizar: ¿c´ omo ve Hiperb´ olico una recta paralela al eje x?, ¿qu´e significado tiene para ´el? (Figura 38). Hay dos propiedades que satisfacen tales rectas que es conveniente destacar: 53

54

´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 38: i) En el sentido de Hiperb´olico son las u ´nicas curvas perpendiculares a todas las h-rectas dadas por semirrectas perpendiculares al eje x. ii) Son las u´nicas curvas que permanecen invariantes bajo hreflexiones con respecto a cualquier h-recta dada por una semirrecta perpendicular al eje x. En cierto sentido, corresponden a circunferencias de radio infinito, en donde todos los radios est´ an dados por semirrectas perpendiculares al eje x. Estas curvas son parte de una familia m´ as amplia a cuyos elementos llamamos  horociclos . Sin duda el lector ya pens´o c´ omo calcular la longitud de un segmento de ellas. En el caso de las circunferencias se da tambi´en una situaci´ on interesante: La parte superior de las circunferencias euclidianas que tienen su centro en el eje x corresponden a rectas de Hiperb´ olico, y como acabamos de ver las circunferencias euclidianas contenidas en la parte superior al eje x corresponden a circunferencias de Hiperb´olico. Pero ¿qu´e pasa cuando no tienen su centro sobre el eje x e intersectan dicho eje en dos puntos?, ¿qu´e pasa cuando es tangente al eje x? (Figura 39). En el primer caso consideremos la h-recta que corresponde a la semicircunferencia, con centro en el eje x y que intersecta al eje x  en los mismos puntos que la primera (Figura 40). La parte situada por encima del eje x  de la circunferencia en cuesti´on equidista de la recta asociada. Para darnos cuenta de ello basta reflejar la configuraci´ on respecto a una de las dos h-rectas que tiene su centro en uno de los extremos de la recta y pasa por el otro (Figura 41). 54

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´ lico Las rectas de Hiperb o

Figura 39:

Figura 40: Veamos el segundo caso: para ello consideremos la familia de h-rectas de Hiperb´olico que tengan uno de sus extremos en el punto de tangencia de la circunferencia en cuesti´on (Figura 42). Reflejando respecto a cualquier h-recta que corresponda a una semicircunferencia con centro en el punto de tangencia obtenemos la configuraci´ on de la Figura 38. Verificando as´ı que se trata de un horociclo. Note que, a diferencia de lo que pasa en el plano ecuclidiano, en el plano de Hiperb´ olico, tres puntos no h-alineados determinan una equidistante (a una h-recta), un horociclo o una circunferencia. Otra diferencia con el plano euclidiano nos la dan los horociclos interpretados como circunferencias de radio infinito. Con m´ as detalle consideremos un punto P 0   en la parte positiva del eje y. Tomemos ahora todas las h55

56

´ lico Las rectas de Hiperbo

Figura 41:

Figura 42: circunferencias que pasan por P 0  y tienen su centro en el eje y, y por debajo de P 0 , y asimismo, todas las h-circunferencias que pasan por P 0  y tienen su centro en el eje y, por encima de P 0  (Figura 43). Como se observa en la figura, cada una de estas familias est´a limitada por un horociclo, la primera por el dado por la circunferencia que pasa por P 0 , tangente al eje x y con centro en el eje y. Como ya dijimos, este horociclo es perpendicular a todas las h-rectas que parten del punto de tangencia. La segunda familia est´ a limitada por el horociclo dado por la paralela al eje x   que pasa por P 0 . Este horociclo es perpendicular a todas las hrectas dadas como semirrectas euclidianas paralelas al eje y. Notemos que una h-reflexi´on sobre la h-recta dada por la semicircunferencia con centro el origen y que pasa por P 0 , env´ıa una familia de circunferencias en la otra, un horociclo en el otro y la familia de perpendiculares a un horociclo, en la familia de perpendiculares al otro. 56

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´ lico Las rectas de Hiperb o

Figura 43: Por u ´ ltimo, n´ otese que en el caso del plano euclidiano, los dos “horociclos” coinciden y no existe la regi´ on que aparece en tono gris en la Figura 43.

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´ 15. Longitud y Area de las circunferencias en el plano de Hiperb´ olico Consideremos una circunferencia euclidiana con centro en (0, 1) y radio r  2)

que, como ya vimos, s´ olo la cumplen las siguientes cinco parejas (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3), es decir tres tri´ angulos en cada v´ ertice, tres cuadrados en cada v´ertice, etc. Esta informaci´ on le permiti´ o calcular el a´rea de los pol´ıgonos en cuesti´ on para cada recubrimiento y, as´ı ver en cada caso cu´ antos eran necesarios. Para ello primero hay que calcular la magnitud de los a´ngulos interiores de los pol´ıgonos, la cual es 2mπ  y teniendo en cuenta el n´ umero de lados tenemos que los pol´ıgonos de los recubrimientos posibles, de acuerdo con la f´ ormula, tienen a´rea P h (n,m,α) =

 2π n m

·

 − (n − 2) π

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

 Ah (ρ) = 4π

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Figura 57:

=

2n

− nm + 2m · A  (ρ) 4m

h

Que nos dice que como la h-esfera de radio ρ tiene el a´rea A h (ρ), entonces para el caso (3, 3) (tres tri´ angulos en cada v´ertice) hacen falta cuatro de tales pol´ıgonos, para la pareja (3, 4) el n´ umero requerido es ocho, para la (3, 5) veinte, para la (4, 3) seis y para la pareja (5, 3) doce. Sabiendo ya qu´e posibilidades hab´ıa para recubrir la h-esfera con pol´ıgonos regulares de ella y cuanto med´ıan sus a´ngulos interiores y el n´ umero de ellos que hac´ıa falta en cada caso pudo conseguir efectivamente cada uno de los recubrimientos; esta parte del trabajo de Hiperb´ olico nosotros la omitimos, pero dado que el argumento es id´ entico para los recubrimientos de una esfera euclidiana, estamos seguros que el lector podr´ a completar el argumento (este tema est´ a desarrollado con todo detalle en Rivaud, J.J., Quintero, R. “Como el a´rea de la esfera es 4πr 2 , entonces...”, Miscel´ anea Matem´ atica. No. 30 (pags. 1-15) 2000). Por supuesto que Hiperb´ olico estaba feliz de sus resultados y de haber podido ver a qu´ e correspond´ıan esas cinco parejas que le preocupaban desde que pens´o en el problema de tapizar el h-plano o la horoesfera, pero sigui´ o con sus sue˜ nos y tom´ o los h-poliedros regulares inscritos en la h-esfera 85

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de radio ρ y que tuviese por v´ ertices los de algunos de estos recubrimientos y vio que s´olo hab´ıa cinco, tres con caras triangulares (cuatro, ocho o veinte de ellas), uno con seis caras cuadradas y otro m´ as con doce caras pentagonales. Adem´ as eran los u ´nicos h-poliedros regulares posibles, pues si tenemos un h-poliedro regular lo podemos inscribir en una h-esfera y tomar sus v´ertices como v´ ertices de un recubrimiento de esta, y sabemos que s´ olo los cinco descritos anteriormente son posibles. Como el lector sin duda ya se habr´ a percatado, son los “mismos” poliedros regulares que existen en el espacio euclidiano y hay distintas maneras de ver la relaci´on que guardan entre s´ı o con los poliedros regulares de R3 ; pero este punto no lo tocaremos, baste decir que a medida que el tama˜ no de los poliedros del h-espacio se hace m´ as peque˜ no, ´estos se parecen m´ as a los euclidianos. Cuando variamos el radio ρ de la h-esfera en que esta inscrito un poliedro regular, el a´rea de las caras de ´este tambi´en var´ıa y esta variaci´ on se lleva a cabo entre 0 y (n 2)π  (donde n es el u ´ mero de lados de una cara). Lo anterior implica que el a´ngulo interior α del pol´ıgono que forma la cara varie 2 entre n− on muy distinta a la euclidiana que, como veremos n π   y 0; situaci´ en un instante, tiene interesantes repercusiones. El siguiente problema que Hiperb´olico se plante´ o fue “tapizar” con poliedros regulares el h-espacio. Lo primero que observ´ o es que si tomaba dodecaedros del tama˜ no adecuado para que los a´ngulos interiores de sus caras fuesen de 0 90 (Figura 58), entonces pod´ıa colocar ocho de ellos alrededor de un punto de tal manera que no dejen espacio vac´ıo ni se superpongan en la vecindad de dicho punto (v´ease Figura 59); de la misma manera que nosostros podemos colocar ocho cubos en R 3 . Luego, ¡con tales dodecaedros es posible recubrir el h-espacio! (Figura 59).

−

Figura 58:

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Figura 59: Sus pesquizas fueron m´a s lejos y vio que hay otras tres formas para recubrir su mundo con poliedros regulares, pero sin duda el lector quiere averiguarlo por s´ı mismo (sobre este tema J.J. Rivaud amenaza con someter  a Miscel´  anea Matem´  atica, para su publicaci´  on, un art´ıculo titulado “Tapizando el Espacio con Poliedros Regulares” ).

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