MUESTREO POR CONGLOMERADOS.docx

MUESTREO POR CONGLOMERADOS UNA ETAPA

Si una población se divide en grupo y se realiza una muestra, se dice que se ha realizado una muestra por conglomerados en una etapa, en la cual cada grupo sirve como unidad de muestreo. muestreo. Recordemos que los estratos se definen definen como grupos más o menos homogéneos en cuanto a su composición interna; en cambio, en los conglomerados, se espera que la composición interna sea lo más heterogénea posible, de tal forma que cada conglomerado represente en lo posible a la población. s muy com!n que estos conglomerados hagan referencia a superficies o áreas en que se ha dividido el terreno, por e"emplo, un barrio o una manzana que pueden considerarse como conglomerados; el primero como un grupo de manzan manzanas, as, el segund segundo o como como un grupo grupo de vivien viviendas das.. ste ste método método permit permite e reempl reemplaza azarr a las unida unidades des más peque peque#as #as $unida $unidades des de selec selecció ción% n% de las poblac poblacion iones es cuando cuando ellas ellas no pueda puedan n ser enumer enumerada adas, s, por unida unidades des más más grandes que las contienen, haciéndolas fáciles de listar y de mane"ar y desde luego resulta menos costoso que los métodos anteriormente presentados. Sin embargo, vale la pena se#alar que entre más peque#o sea el conglomerado, más e&acto será el estimador. 'on 'on frec frecue uenc ncia ia,, a los los cong conglo lome mera rado dos s se les les deno denomi mina na unid unidad ades es de muestreo primario. (ara este método se presentan varias formas de traba"o para para logr lograr ar que que el esti estima mado dorr del del pará paráme metr tro o sea sea lo más más repr repres esen enta tativ tivo, o, dependiendo de la caracter)stica en la población. a% n primer lugar lugar,, vimos vimos en el muestreo muestreo aleatorio aleatorio simple simple como una unidad unidad elemental elemental de selección selección,, familias, familias, en un momento momento dado se constitu)a constitu)a en conglomerado, al estar conformado por un grupo de personas; en ese caso, la proporción se estimaba mediante la fórmula*  p=

∑a ∑m

i

V [ P] = ^

i

[  ´ ][ 1− f 

nm

2

∑ a −2 p ∑ a m + p ∑ m 2

i

2

i

n −1

i

2

i

]

b% n segundo segundo lugar, lugar, el muestreo muestreo sistemático sistemático en algunos algunos casos casos se parece en su aplicación al muestreo por conglomerados, siendo equivalente la muestra Sistemática de un conglomerado, si se efect!a una selección aleatoria de los $+% conglomerados en que se ha dividido la población. Supongamos una selección sistemática de - familias de una población estratificada, para la cual hemos calculado en intervalo de selección.  I =

355 30

≅

12

Se podrá decir, que apro&imadamente se tienen / grupos o conglomerados de - unidades cada uno. 0ostraremos algunos de esos conglomerados, para que el estudiante se forme una idea de su conformación.

1bservemos al elaborar todos los conglomerados posibles, que en los 2 primeros cada uno tiene - unidades y los restantes 3, tan solo tienen /4 unidades, ya que la población es de 33 familias y no de 5-, para que tuviesen igual n!mero de elementos. 'ada conglomerado, será una peque#a réplica de la población. 6na vez establecidos los grupos o conglomerados, utilizamos la 7abla de n!meros aleatorios, con el fin de seleccionar un n!mero entre - y /. Supongamos que el resultado fue -, correspondiente al conglomerado seleccionado, que se constituye en una muestra de - elementos. c% n general, cuando una población se divide en grupos o conglomerados y se quiere realizar estimativos, se debe usar la siguiente simbolog)a* 8 9 8umero de conglomerados en la población n 9 8umero de conglomerados en la muestra  M i=¿

7ama#o de cada conglomerado $total de elementos en el grupo%

 M = m=

´=  M 

∑ M  =¿

7otal de elementos en la población de 8 conglomerados

i

∑ m =¿

7otal de elementos en la muestra de n conglomerados

i

 M   =¿  N 

$tama#o medio de los conglomerados%

 y ij =¿

:alor de la variable

 y i=¿

7otal del conglomerado en la muestra

m1

 y i=

 y ∑ ❑

ij

m1

 y´ i=

 y ∑ ❑ mi

ij

=

n

 y =

yi =¿ mi

n

mi

 y =∑ ∑  y ∑ ❑ ❑ ❑ i

´ =¿  y

ij

$7otal general de la muestra%

0edia general de la muestra Siendo

 y´ =¿  y´ =

$0edia del conglomerado%

 y´ =

y  y = mi m

∑

0edia de totales o total medio por conglomerado, en la muestra*

y m

s de anotar, que en el muestreo estratificado el estimador de una proporción, por conglomerados se debe calcular con la siguiente fórmula*  pst =

∑ M   p ∑m h

h

Siendo

h

 ph=

∑a ∑m

hi hi

y el error de estimación será igual a* V [ p ]= ^

st 

∑

[ ][ 1 − f  h

nh ´mh 2

∑a

2

hi

−2 p h ∑ mhi a hi+ p2h ∑ m2hi n h− 1

]

:eamos dos e"ercicios que nos permitan entender el significado y la aplicación con conglomerados iguales y desiguales, realizados en una etapa; y

al mismo tiempo, observar el proceso que se sigue para el cálculo del estimador, cuando se trata de una variable, ya que algunos de los e"emplos anteriores hacemos referencia al estimador de una proporción, pero es una forma de traba"ar con conglomerados un una etapa $ ver* 0S < 0%. n primer lugar, para el muestreo por conglomerados iguales, suponemos que la población de 33 familias se ha dividido en 2 conglomerados se encuentra conformado por 3 familias, as) que todos contienen el mismo n!mero de familias, as) que todos contienen el mismo n!mero de familias, por tal razón se les denomina conglomerados iguales. 'onsideremos ahora que la muestra está constituida por / conglomerados* $n 9 /%, que han sido seleccionados aleatoriamente, como se observa en la siguiente información*

8 9 2

n 9 /

'on los datos de la anterior muestra, calcularemos el promedio para cada conglomerado.

 x´ =

∑  x´ = 35,2 =2,93 i

n

2

≅

[  ][

∑ x´ − n x´

[

][

 N −n s ´3=  Nn 2

12

s x´ =

71 −12 71 ( 12)

2

i

n −1

2

3

] 2

105,76 − 12( 2,93) 12− 1

]

s x´ =( 0,0692 ) ( 0,2492 )= 0,017 2

l anterior resultado indica que en promedio

( x´ ) hay  personas por

familia. n el caso de muestreo por conglomerados desiguales con probabilidades iguales, supongamos que el barrio de 33 familias está compuesto por /3 manzanas y cada una de ellas se constituye en un conglomerado desigual con respecto al n!mero de viviendas. =e la población 8 9 /3 $conglomerados%, se e&tra"o una muestra de manzanas $n 9 -%, con la siguiente información*

∑ m =1.189 2

i

∑  y =15.631 2

i

∑ m =105 i

∑  y = 379 i

∑ m  y =4.182 i

i

n primer lugar identifiquemos los s)mbolos que se deben utilizar* 8 9 8!mero total de conglomerados en la población $8 9 /3% n 9 8!mero total de conglomerados en la muestra $n 9 -% 0 9 8!mero total de elementos en la población $0 9 - viviendas%  M i =¿  M =

∑ M  =¿ i

´ =¿  M   M =

8!mero de elementos en cada conglomerado poblacional. - viviendas

7ama#o medio de los conglomerados

=13,2 ∑ M  = 30 25 i

$(romedio de viviendas por conglomerado%

 y´ =

 y´ =

∑  y =¿ i

(romedio de personas por conglomerado de la muestra

n

379 10

 y´ =¿

 y´ =

=3,79

 N   ´y  y = ∑ ´n  M   M 14

i

´=  y

stimador de la media por elemento*

1

 ( 379 )=2,87

13,2 ( 10 )

l anterior estimador también se puede calcular de la siguiente forma*  y´ =

25 ( 37,9 ) 330

=2,87

(romedio de personas por vivienda

[ ´ ][ n M 

n−1

]

[ ´ ][

∑ y −n ´ y

2

]

[

V [ y´ ] = ^

330

2

V [ y´ ] = ^

947,5

∑ y −n ´ y

V [ y ] = ^

=

 1 −f 

2

i

2

 1 −f 

2

i

n−1

2

n M 

1−0,4 10 ( 3,2 )

2

]

  15.631− 10 ( 37,9 )

2

10 −1

 n 10 f  = = = 0,4  N  25

V [ y´ ] =( 0,00034 ) ( 140,7667 )= 0,048 ^

7ambién se puede calcular*

[

V [ ´ y ] = ^

][

1 N − n ´2  N n ( n−1 )  M 

∑  y − n  y´ 2

i

2

]

2

15.631 −10 ( 37,9 ) 1 ¿=0,048 ( 13,2 )2

[

V [ y´ ] = ^

25−10 25 ( 10 )( 9 )

]¿

=e otra manera se podrá hacer*

[( ) (

1  N  V [ y´ ] =(1− f  )  M  n ( n −1 ) ^

) ][ ∑

Reemplazando se tendrá que*

(∑  y ) y −

2

i

2

i

n

]

(

V [ y´ ] = 1 − ^

10 25

) [( ) ( 25

330

s^ [ y´ ] =√ 0,048= 0,22

2

1 10 ( 9 )

)] [

15.631 −

( 379 )2 10

]

≅

0,048

$rror estándar de -,// personas%

l error de estimación, también se puede calcular usando los estimadores de la razón, siendo*

[ ´ ][

V [ y´ ] = ^

[

V [ y´ ] = ^

 1 −f 

∑ y −2  y´ ∑ M   y + y´ ∑ M  2

i

i

n M 

10 25 2

10 ( 13,2)

][

2

i

n−1

2

1−

2

i

]

15.631−2 ( 2,87 ) ( 4,182 ) + 2,87 ( 1.189 ) 2

10 − 1

]=

0,054 ;

2

s y´ =0,23

BIBLIOGRAFÍA: •

'iro 0art)nez >encardino; $/-/%; stad)stica y muestreo; =écima tercera edición; >ogotá, =.'; pp. 222 ? 2@.