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Taller 1

Captulo 1 y 2 del libro Model Assisted Survey Sur vey Samp Sampling ling de Carl-Er Carl-Erik ik Sarnda Sarndal l

Daniela Giraldo Arcila  Veruzc eruzcka ka A. Per Perez  ez 

 

Punto 1.1 Considerar una encuesta de rendimiento agrcola destinada a obtener informacin sobre el rendimiento de diferentes cultivos (trigo, centeno, etc.) en un pas determinado y en un ao determinado. Especifique la definicin que ser apropiada encuesta de estedetipo paraInten conceptos comopodra poblacin, variables en variables de una estudio, parmetros inters. Intenta ta ser clave lo ms especfico posible en tus definiciones. Respuesta: •P oblacin oblacin :  agr  agricult icultores ores • V ariablesdeestudio  :  rendimientodeloscultivos • P armetrodeinters armetrodeinters : Punto 1.2 Para una encuesta del mecangrafo indicado en el Ejercicio 1.1, analice los posibles mtodos para la recoleccin precisa de datos, teniendo en cuenta la posibilidad de evitar el error de medicin. Respuesta: 1) Si la poblacin es heterogenea y se tiene un marco muetsral completo, es decir, se tiene la lista completa de todos los agricutores en el pas, podemos tomar una muestra aleaoria de ah. 2) Teniendo en cuenta el punto anterior, tambin se podra orgaizar de a grupos que contengan toda Punto 2.3 Considere una poblaci´oon n U compuesta de tres subpoblaciones disjuntas U1, U2 y U3, de tama˜ n nos os N1 = 600, N2 = 300 y N3 = 100 respectivamente. Por lo cual U es de tama˜n noo N = 1000. Pa Para ra cada el eleme emento nto k U, la inclusi´on on o no inclusin en la muestra, s, es determinada por un experimento Bernoulli el cual da a cada elemento k la probabilidad k de ser seleccionado. Los experimentos son independientes. a. Sea   πk = 0,1 0,1 pa para ra ttod odoo k U1 U1,,   πk = 0,2 0,2 pa para ra ttod odoo k U2 U2,, y   π k = 0,8 para todo k U3. Encu Encuent entre re el val valor or esperad esperadoo y la va varian rianza za del tamao de muestra n(s), ba bajo jo ´eeste ste dise˜n no. o. b. Suponga que  π k es constante constante para todo k U. Determi Determine ne esta constan constante te de tal manera que el valor esperado del tama˜n noo muestral coincida con el tama˜ n noo de muestra obtenido en la parte (a). Obtenga la varianza varianza del tama˜ n noo de muestra; compare con la varianza de la parte (a).

1

 

a.

 πk

=  E [n(s)] =

3 

πi N i   = (0.1)(600) + (0.2)(300) + (0.8)(100) = 200

i=1

b. V ar [n(s)] =





πk  − (

πkl )2 +

U 

 k

πkl

  (k   =  l )

l

Primero debemos hallar el valor de   πkl

delta kl kl   ∈  U 1   = 0.12 = 0.01 kl   ∈  U 2   = 0.22 = 0.04 kl   ∈  U 3   = 0.82 = 0.64 0.1)(0. )(0.2) 2) = 00.02 .02 Valor de   πkl   k  ∈  U 1   l  ∈  U 2   = ((0.1 0.1)(0.8 (0.8)) = 0.08 0.08 k  ∈  U 1   l  ∈  U 3   = ((0.1) 0.2)(0.8 (0.8)) = 0.16 0.16 k  ∈  U 2   l  ∈  U 3   = ((0.2) Total = 39918

N(N-1) 600(600-1)*0.01 = 3594 300(300-1)*0.04 = 3588 100(100-1)*0.64 = 6336 (600 (600)(30 )(300)*2 0)*2*0.0 *0.022 = 7200 (600 (600)(10 )(100)*2 0)*2*0.0 *0.088 = 9600 (300 (300)(10 )(100)*2 0)*2*0.1 *0.166 = 9600

Ahora podemos calcular la varianza ya que tenemos todos los datos necesarios V ar [n(s)] = 200 − 2002 + 39918 = 118

b. Tendremos en cuenta que la suma de los N es de 1000 y que  π k  es igual para todo   k  ∈  U  E [n(s)] =  π k  ∗

3 

N i  = 200

i=1

E [n(s)] =  π k  ∗ 1000 = 200 πk   = 0.2

Ahora que ya tenemos el valor de   πk   entonces lo usaremos para calcular el valor de la varianza teniento en cuenta que para el valor de  π kl , cuando  k  =  l

2

 

se toma como 0.2 y por otro lado cuando  k   =  l  entonces se tomar como 0.04, 2 quiere decir 0.2 . V ar [n(s)] =  N π  − (N π )2 + π (N (N   − 1)) k

k

kl

= 1000 ∗ 0.2 − (1000 ∗ 0.2)2 + 0.04(1000(1000 − 1)) = 160 Punto 2.5 Punto 2.5.. Cons Conside idere re una poblaci poblaci´´oon n N = 3, U = 1, 22,, 3. Sea Sea   s1  =1, 2, s2 =1,3,   s3 =2,3,   s4 =1, 2, 3, p(s1 ) = 0,4, p(s2 ) = 0,3, p(s3 ) = 0,2, y p(s4 ) = 0,1. a. Calcule todos los   πk  y todos los   πkl

π1   = 0.4 + 0 .3 + 0 .1 = 0.8 π2   = 0.4 + 0 .2 + 0 .1 = 0.7 π1   = 0.3 + 0 .2 + 0 .1 = 0.6 π12  = 0.4 + 0 .1 = 0.5 π13  = 0.4 + 0 .2 = 0.6 π23  = 0.2 + 0 .1 = 0.3

b. Encu Encuen entre tre el v valor alor de E(ns E(ns)) de dos formas formas:: (1) Po Porr c´aaclculo clculo directo, usando la definici´on on y (2) por la frmula que expresa E(ns) como una funcin de   πk 1. Calculo directo E [ns ] =

n 

xi  ∗ P (X   =  x i )

i=1

= 2(0.4) + 2(0.3) + 2(0.2) + 2(0.1) = 2.1 2. Formula en funci´oon n de   πk E [ns ] =



πk

U 

= 0.8 + 0 .7 + 0 .6 = 2.1 3

 

2.8 Considere un dise˜n noo MAS, con n elementos tomados de N. Entonc 2 ] E M AS [S ys Probar usando que



2 (yk  − yl )2 = 2n(n − 1)S ys

s

Asi que



2  = 2n(n − 1)S ys

2

S ys  =

=

(yk  − yl )2 2n(n − 1)

U  I k I l



 U  I k I l

y

y

2

k  −  l ) ) 2n(n (− 1)

(I k I l )(yk  − yl )2 2n(n − 1)

U  E 



n(n−1) U  N (N −1)

(yk  − yl )2

2n(n − 1)

= =

U 



2 ) =  E ( E (S ys

=

I k I l (yk  − yl )2





(yk  − yl )2 2N (N   − 1) U 

(yk  − yl )2 =

U 





= 2N (

(yk2 − 2yk yl  +  yl2 )

U 

 2 ) yk2 − N Y U 

U 

2 = 2N (N   − 1)S ys 2   2N (N   − 1)S ys E (S ys ys ) = 2N (N   − 1) 2 E (S ys ys ) =  S ys

2.9 Sea s una muestra seleccionada por el dise˜ n noo Bernoulli (BE) con  π k   =  π para todo k. Sea 2

S ys  =



s

(yk  − ys )2   ns  − 1 4

 ≥ 2)  2) si (ns  ≥

 

2 2  esta dado Mostrar rar que el sesg sesgoo rel relativ ativoo de   S ys  = 0 cuando   ns   ≥  1. Most Y si   S ys por: 2 2 E BE  BE (S ys  − S yU ) =  − P (ns   ≥  1) 2

S yU  =  −(1  − (1 − π )N −1 (1 + (N   − 1)π) 2 2 ) =  E (E (S ys |ns )) E (S ys

=

N  

2 S yU  P (ns   =  n )

n=2

2 (1 − P (ns   ≤)) =  S yU  2 2 (1 − π )N −1 (1 + (N   − − 1)π)   − S yU  S yU 

Asi que: 2 2 (1 − π)N −1 (1 + (N   − 1)π ) S yU    − S yU 

=  −  −(1 (1 − π)N −1 (1 + (N   − 1)π )

2U  S yyU 

=  − P (ns   ≤  1)

5