MUESTREO CON Y SIN REEMPLAZO esta.

MUESTREO SIN REEMPLAZO Considere una población de N elementos x1, x2, …, xN a partir de la cual se seleccionan muestras de tamaño n. ¿Cuál es la media de las medias de las muestras, en términos de la media de la población; esto es, cómo se puede expresar µ x en términos de µx? Considere primero, el número de muestras de tamaño n que se forman a partir de la población de N elementos. Para una población de N elementos x1, x2, … , xN a partir de la cual se escogen muestras de tamaño n, la media de las medias de todas las muestras posibles de tamaño n es igual a la media de la población original. Esto es, µx = µx. Para la población de N elementos ..., a partir de la cual se seleccionan muestras de tamaño n, la relación entre la desviación estándar σx , de las medias de todas las muestras posibles de tamaño n y la desviación estándar, σx, de la población original es σx = σx 1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: 1. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? 2. ¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? 3. ¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? SOLUCIÓN: Seaδ i una variable aleatoria que representa el estado de una unidad terminada en la línea de ensamblaje en el momento i, siendo δ i= 1 si la unidad es defectuosa y δ =0 en caso contrario. La variable δ sigue una distribución Bernoulli con parámetro p=0’05, de acuerdo con el dato inicial del problema. Además, nótese que un conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, por lo que el número de unidades defectuosas de un total de n unidades terminadas (δ 1……….δ n), esto es, i n i n p Σ= = 1 , η δ , sigue una distribución

binomial de parámetros n y p=0,05. Hechas estas consideraciones iniciales, procedemos a resolver el problema: 1. Procedamos a calcular: * * 0,0476 2 10 ( 2) 0'05 (1 0,05)2 8 10,0'05 =        Pη==− 2. Se tiene que: * * 0,9984 10 ( 2) 0'05 (1 0,05)10 10,0'05 =        ≤ = − i −i i Pη 3. Por último: * * 1 0,5987 0,4013 0 10 ( 1) 1 ( 0) 1 0,05 (1 0,05) 0 10 0 10,0'005 10,0'05 = − =        ≥=−==−−−PηPη 2. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? SOLUCIÓN: Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir (δ = 0) o no (δ = 1) finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue

una distribución de Bernoulli de parámetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n reservas (δ 1….δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable aleatoria Yn =Σ= n i1 δ 1, con distribución binomial de parámetros n y p=0,2. En el caso particular del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se tiene que: *0,2 *(1 0,2) 0,5799 25 ( 20) 25 20 0 =−      ≤=− =Σ ii ii PY MUESTREO CON REEMPLAZO En muchos problemas de muestreo, el proceso tiene lugar como si una unidad fuera reemplazada una vez que se ha sacado. Por ejemplo, si un dado se tira, hay 6 resultados posibles (digamos 1, 2, 3, 4, 5 y 6). Si el dado se tira por segunda vez, hay también 6 resultados posibles. No se podría pensar en que si el resultado fue 1 la primera vez, es menos probable que aparezca la segunda. El mismo resultado se puede obtener si se sacaran bolas marcadas con los números del 1 al 6 de una bolsa y se reemplazaran antes de sacar otra. Supongamos que se desea hacer varias mediciones de la longitud de un tablero para tomar el promedio de ellas como una mejor estimación de la medida. Después que se obtuviera una medición 1.80 m, ¿se podría pensar que esto reduce la probabilidad de obtener 1.80 m en el segundo intento? Así, un muestreo de mediciones es una clase de muestreo con reemplazo. De estos ejemplos se puede ver que esta clase de muestreo se puede considerar cuando se trata de poblaciones indefinidamente grandes.

En el teorema 6-1 hemos demostrado que en el caso de muestras sin reemplazo, la media de las medias de todas las muestras posibles es igual a la media de la población original. Un resultado semejante se cumple para la muestras con reemplazo. Consideremos una población de N elementos x1, x2, …, xN a partir de la cual se seleccionan muestras de tamaño n, con la condición de que después de que cada elemento de la muestra se escoja, el elemento se reintegre a la población. De esta manera hay N posibilidades de escoger el primer elemento de la muestra, N para el segundo, y así sucesivamente, hasta que los n elementos se hayan seleccionado. Por tanto, cuando el remplazo es permitido, se pueden formar muestras diferentes de tamaño n a partir de una población de tamaño N. Ahora, vamos a deducir la relación entre la media de la población original, µx, y la media de las medias de las muestras, µx. Por definición,

En las n

diferentes muestras, cada elemento de la población original aparece veces.

Si se quiere un porcentaje de confianza del 95%, entonces hay que considerar la proporción correspondiente, que es 0.95. Lo que se buscaría en seguida es el valor Z para la variable aleatoria z tal que el área simétrica bajo la curva normal desde -Z hasta Z sea igual a 0.95, es decir, P(-Z