MTES3013 (Kerja Kursus)

APLIKASI NOMBOR BUKAN NISBAH DALAM KEHIDUPAN SEHARIAN

Menurut Groves (2006), nombor bukan nisbah merupakan satu bentuk nombor yang menjadi subset kepada nombor nyata. Dalam matematik, nombor bukan nisbah merujuk kepada sebarang nombor nyata yang tidak boleh dinyatakan sebagai satu nisbah integer dan bukannya nombor khayalan. Semua nombor bukan nisbah boleh dinyatakan dalam bentuk perpuluhan dan mempunyai digit perpuluhan yang infiniti iaitu tidak terhitung jumlahnya. Urutan digit-digit perpuluhan adalah tidak tetap, tidak seperti nombor nisbah yang mempunyai pola tertentu. Hal tersebut menyebabkan berlakunya kesukaran dalam meramal atau menjangkakan digit perpuluhan yang seterusnya tanpa menggunakan kaedah-kaedah tertentu. Konsep nombor bukan nisbah telah diperkenalkan oleh tokoh matematik terdahulu iaitu Pythagoras (569 SM- 475 SM) dan Euclid (325 SM- 265 SM) menerusi kajian mereka terhadap bidang matematik. Antara contoh nombor bukan nisbah yang wujud dalam matematik ialah pi ( π ), nombor euler (e), nisbah keemasan (φ) dan sebarang nombor punca kuasa dua yang tidak sempurna. Nombor bukan nisbah diaplikasikan dalam pelbagai bidang tertentu seperti sains dan teknologi, kejuruteraan, ekonomi dan perniagaan serta sebagainya. Penggunaan nombor bukan nisbah dalam pelbagai bidang adalah penting untuk menyelesaikan pelbagai masalah yang berkaitan dengan bidang tersebut. Terdapat pelbagai aplikasi nombor bukan nisbah dalam konteks kehidupan seharian manusia. Antara nombor bukan nisbah yang sering diaplikasikan dalam kehidupan seharian ialah pi ( π ). Simbol yang digunakan untuk mewakili nombor pi ialah π yang juga merupakan huruf Greek sejak pertengah abad ke-18 oleh William Jones. Berdasarkan takrifan yang diberikan oleh Terry Heard dan David Martin (2006),

π

merupakan pemalar matematik yang merujuk kepada nisbah bulatan dengan diameter. Nilai

π

diperolehi dengan membahagi lilitan sesebuah bulatan dengan

diameter bulatan tersebut iaitu

π=

C d . Sekiranya dinyatakan dalam bentuk

perpuluhan, anggaran nilai bagi nombor bukan nisbah

π

adalah 3.14159265359.

Pada sekitar tahun 200 SM, Archimedes telah mendapat anggaran nilai anggaran melalui teori pengiraan. Sebagai nombor bukan nisbah,

π

π

secara

tidak boleh

dinyatakan sebagai nisbah dua integer. Namun begitu, nombor pecahan seperti

22 7

π

kini digunakan secara meluas untuk mewakili nilai

nilai yang hampir dengan

kerana mempunyai

π . Menurut Brian dan Mark Gaulter (2001),

penggunaan nombor tersebut lebih memudahkan proses pengiraan yang melibatkan nombor

π . Nombor

π

digunakan dalam kebanyakan formula trigonometri dan

geometri khususnya yang berkaitan dengan bulatan (George, 1999). Hal tersebut menyebabkan nombor

π

banyak diaplikasikan dalam bidang kejuruteraan awam

khususnya dalam pembinaan bangunan. Sebagai contoh, jurutera yang mereka bangunan berbentuk silinder menggunakan nombor

π

untuk mengetahui luas

tapak bangunan tersebut bagi menentukan kuantiti bahan yang diperlukan untuk membina bangunan tersebut. Secara ringkas, nombor

π

memainkan peranan

penting dalam bidang kejuruteraan awam khususnya dalam pembinaan bangunan berbentuk silinder. Nombor Euler (e) juga merupakan salah satu nombor bukan nisbah yang banyak diaplikasikan dalam konteks kehidupan seharian. Sama seperti nombor π, nombor Euler juga tidak boleh diungkapkan sebagai nisbah di antara dua integer. Individu yang memperkenalkan nombor e mula diperkenalkan

dalam matematik

pada tahun 1618 menerusi lampiran karya John Napier yang berkaitan dengan logaritma. Nombor e digelar sebagai nombor Euler bersempena dengan nama ahli matematik Swiss iaitu Leonhard Euler. Beliau telah menggunakan simbol e bagi mewakili nombor Euler dalam manuskrip yang dikenali sebagai Euler's Mechanica pada tahun 1736. Ong Beng Sim (2003) mendefinisikan nombor Euler sebagai suatu nombor nyata di mana nilai bagi pembezaan fungsi ialah adalah bersamaan dengan satu. Fungsi

f ( x )=e x

f ( x )=e x

pada titik 0

dinamakan sebagai fungsi

eksponen, dan fungsi sonsangannya dinamakan logaritma asli atau logaritma asas e. David (2012) menyatakan bahawa Bilangan e adalah pemalar matematik yang

penting yang mana menjadi asas kepada logaritma asli. Anggaran nilai bagi nombor e sekiranya dinyatakan dalam bentuk nombor perpuluhan ialah 2.71828. Terdapat banyak kaedah untuk mengira nilai e, tetapi kaedah-kaedah tersebut tidak dapat memberikan jawapan yang tepat kerana e merupakan nombor bukan nisbah. Antara

formula yang digunakan untuk mengira nilai e ialah

1 n

n

( ) 1+

, yang mana n

mencapai infiniti. Nilai e juga sama dengan dengan (1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ...) .

Bidang ekonomi merupakan salah satu bidang yang

mengaplikasikan nombor e. Suzanne H. Chapin et al (2001) menyatakan bahawa nombor e memainkan peranan penting dalam bidang ekonomi untuk menentukan kadar faedah kompaun. Faedah kompaun merupakan keuntungan faedah ke atas pinjaman pokok dan faedah terkumpul dengan pengiraan secara tahunan, bulanan dan harian. Selain memberi pulangan pelaburan yang tinggi, faedah juga akan menyebabkan caj faedah kompaun yang lebih banyak jika berlaku kelewatan pembayaran semula pinjaman. Kaedah pengiraan faedah kompaun adalah menggunakan prinsip yang sama seperti nombor e. Nombor juga digunakan untuk menghuraikan proses pereputan karbon-14 untuk membantu para pengkaji sejarah mengetahui usia sesuatu artifak melalui proses pentarikhan karbon. Hal ini bermakna, nombor ini turut diaplikasikan dalam bidang arkeologi.

Deduksinya,

nombor Euler (e) digunakan dalam bidang ekonomi untuk menentukan kadar faedah kompaun yang diterima oleh seseorang individu yang membuat pelaburan terhadap sumber ekonomi ataupun individu yang membuat pinjaman dan juga turut diaplikasikan dalam kajian arkeologi untuk mengetahui usia artifak. Nombor bukan nisbah seterusnya yang turut diaplikasi dalam konteks kehidupan seharian ialah nisbah keemasan

(φ) . Sebutan lain yang digunakan

untuk nisbah keemasan adalah seksyen keemasan dan purata keemasan (Wikipedia, 2015). Alfred (2003) menyatakan bahawa dua kuantiti berada dalam nisbah keemasan sekiranya nisbah hasil tambah kuantiti-kuantiti itu kepada kuantiti yang lebih besar adalah setara dengan nisbah kuantiti yang lebih besar kepada kuantiti yang lebih kecil. Nilai perpuluhan bagi nisbah keemasan adalah lebih kurang 1.6180339887. Rumus yang digunakan untuk mencari nilai bagi nisbah keemasan

ialah

1+ √ 5 . Simbol yang digunakan untuk mewakili nisbah keemasan ialah huruf 2

kecil Yunani iaitu

(φ) . yang diperkenalkan oleh Mark Bar pada sekitar abad ke-

20. Menurut Mario Livio (2002), beberapa ahli matematik yang wujud bermula zaman Pythagoras dan Euclid iaitu zaman Yunani sehingga zaman Renaissance telah menghabiskan masa yang panjang untuk mengkaji sifat-sifat nisbah keemasan. Pengaplikasian nisbah keemasan yang paling ketara ialah dalam seni bina bangunan. Penggunaan nisbah keemasan dalam seni bina bangunan dapat dilihat menerusi seni bina pada Piramid di Mesir. Ukuran lebar bagi tapak Piramid tersebut ialah antara 755-756 kaki sementara tinggi strukturnya ialah 481.4 kaki. Menggunakan kaedah matematik, nisbah ketinggian condong struktur tersebut kepada separuh lebarnya ialah 1.619 iaitu hanya kurang satu peratus sahaja daripada nilai nisbah emas. Kewujudan nisbah keemasan dalam struktur bangunan lama juga dapat dilihat pada Masjid Kairouan yang terletak di Tunisia. Masjid tertua di Afrika Utara ini dibina oleh Uqba ibn Nafi pada tahun 670 Masihi. Dapatan kajian yang dijalankan oleh Boussora dan Mazouz telah membongkar penggunaan nisbah emas dalam senibina masjid ini yang sangat konsisten dan ketara. Menurut mereka, hampir keseluruhan dimensi dan corak seni bina bangunan ini menggunakan bentuk geometri bernisbah emas yang kebanyakannya dapat dilihat di ruang solat dan mimbar masjid tersebut. Konklusinya, nombor nisbah keemasan memainkan peranan yang penting dalam seni bina sesebuah bangunan. Seterusnya, nombor bukan nisbah yang turut diaplikasikan dalam kehidupan seharian ialah nombor punca kuasa dua bagi 3. Nombor tersebut diwakilan oleh simbol matematik iaitu (1997), nombor

√3

√3

. Berdasarkan takrifan yang diberikan oleh Wells

merupakan satu nombor nyata yang positif di mana sekiranya

didarabkan dengan dirinya sendiri akan menghasilkan nombor 3. Punca kuasa dua 3 adalah salah satu daripada nombor bukan nisbah yang dikenali sebagai pemalar Theodorus. Nama pemalar tersebut diambil bersempena dengan nama Theodorus, iaitu seorang ahli matematik dari Cyrene. Nombor

√3

.lebih tepat digelar sebagai

punca kuasa 3 utama untuk membezakannya dengan nombor negatif dengan sifat yang sama. Anggaran nilai bagi nombor

√3

sekiranya dinyatakan dalam bentuk

nombor perpuluhan ialah 1.7320508075.  Sehingga Disember 2013, nilai digit dalam perpuluhan telah dikira kepada sekurang-kurangnya sepuluh billion digit (Wikipedia, 2015). Nilai bulat bundar 1.732 adalah betul sebanyak 0.01% daripada nilai sebenar.

Satu nilai pecahan yang hampir dengan nilai

√3

ialah

dengan (1.732142857...) . Archimedes menyatakan bahawa

adalah tepat kepada

1 608400

97 56

(

iaitu bersamaan

2

1351 265 > 3> 780 153

(enam tempat perpuluhan) dan

2

) ( )

2 23409

(empat

tempat perpuluhan), yang mana boleh dinyatakan sebagai satu pecahan berlanjar [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, ...] berkembangan di sebelah kanan. Nombor

√3

memainkan

peranan yang penting dalam bidang kejuruteraan khususnya kejuruteraan elektrik dan elektronik. Dalam bidang kejuruteraan elektrik dan elektronik, voltan di antara dua fasa dalam sistem tiga fasa adalah sama dengan

√3

kali baris untuk voltan

neutral. Hal ini demikian kerana, mana-mana voltan di antara dua fasa adalah 120 darjah masing-masing, dan setiap dua titik di dalam bulatan 120 darjah telah dipisahkan kepada

√3

darab jejari. Deduksinya, nombor bukan nisbah

√3

memainkan peranan penting dalam bidang kejuruteraan elektrik dan elektronik dalam tenaga elektrik. Secara kesimpulan, terdapat banyak aplikasi nombor bukan nisbah seperti pi ( π ), nombor Euler (e) , nisbah keemasan (φ) dan punca kuasa dua bagi tiga (

√3

) dalam konteks kehidupan seharian manusia. Hal ini jelas membuktikan

bahawa nombor bukan nisbah mempunyai perkaitan yang rapat dengan kehidupan manusia. Nombor-nombor bukan nisbah tersebut mempunyai fungsi yang penting dalam pelbagai bidang seperti kejuruteraan, sains, ekonomi dan perniagaan, serta seni bina bangunan. Perkara tersebut jelas membuktikan bahawa nombor bukan nisbah merupakan satu entiti yang penting kepada manusia dalam menjalani kehidupan harian. Oleh itu, manusia pada masa ini seharusnya menghargai sumbangan ahli matematik seperti Archimedes, Pythagoras, Euclid, Euler dan sebagainya atas usaha mereka meneroka kewujudan nombor bukan nisbah yang mempunyai banyak kegunaan dalam kehidupan seharian manusia.

RUJUKAN

BUKU Brian dan Mark Gaulter. (2001). Futher Pure Mathematics. New York: Oxford University Press.

Catherine Berry et al. (2008). Formula One Maths. New York: Hodder Arnold H&S. G. A. How. (2004). Text Pra-U STPM Matriculation Pure Mathematics Syllabus T. Petaling Jaya: Pearson Malaysia Sendirian Berhad. George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy (1999). Special Functions. Cambridge University Press. p. 58. ISBN 0-521-78988-5. L. Bostock dan S. Chandler. (1979). Pure Mathematics 2. London: Oxford London and Northamton. Mario Livio. (2002). The Golden Ratio. St Porland: Broadway Books. Mark Patmore and Brian Seager.

(2002). GCSE Exam Secrets Mathematics.

London: British Library. Ong Beng Sim. (2003). Mathematics for STPM: Pure Mathematics. Shah Alam: Penerbit Fajar Bakti Sendirian Berhad. Sim Kwang Yam et al. (2006). Mathematics Form 5. Melaka: Pustaka Seri Kancil Sendirian Berhad. Suzanne H. Chapin et al. (2001). Middle Grades Math. New Jersey: Prentice-Hall. Terry Heard dan David Martin. (2002). Pure Mathematics 6. London: Typeset by Macmillan India.

INTERNET Tutor Circle. (2013). The Application of Irrational Numbers. Diakses pada 26 September

2015

daripada

http://math.tutorcircle.com/number-

sense/applications-of-irrational-numbers.html Wikipedia. (2015). e (mathematical constant). Diakses pada 21 September 2015 daripada https://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_constant%29 Wikipedia. (2015). Golden Ratio. Diakses pada 22 September 2015 daripada https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio Wikipedia. (2015). Pi. Diakses pada 20 September 2015 daripada https://en.wikipedia.org/wiki/Pi Wikipedia. (2015). Square Root of 3. Diakses pada 22 September 2015 daripada https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_3 LAMPIRAN