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Procesos Estocásticos Unidad 1 Evidencia de Aprendizaje

CONS CO NSTR TRUC UCCI CI N DE PRO PROCE CESO SOSS ESTO ESTOC C ST STIC ICOS OS 30 de julio de 2015 Autor: Laura Pontón

Unidad 1 Evidencia de Aprendizaje

A través de esta actividad tendrás la capacidad de crear  un proceso estocástico tomando en consideración los conocimientos obtenidos durante la unidad.

Los procesos estocásticos básicamente representan sistemas en los que su estado cambia a lo largo del tiempo, tal que dichos cambios no necesariamente son completamente pronosticables, pero si es posible asociarlos a distribuciones de probabilidad, donde infinidad de fenómenos reales es posible modelarlos. Podemos definir a un proceso estocástico como un proceso de incrementos independientes tal que si   es estadísticamente independiente y no correlacionado, de tal manera que la distribución de probabilidad de los cambios en el proceso en cualquier intervalo temporal es independiente de cualquier otro intervalo, así entonces si la variable aleatoria X sigue este principio, donde sus variaciones   para el caso de cualesquier cualesquier pequeños intervalos de tiempo (  son independientes

  0,1…}

   

 ∆ 2 – 

,  ⟶

Como el proceso estocástico X(t) es un proceso estacionario de incrementos independientes, la varianza de los incrementos independientes , tal que  ,siendo proporcional a

 2 – –   < 2  }>    ,  –  ,    –  , …     1    2     <  < ⋯      2 – – , 2  , 0, X (t) está normalmente distribuida con media 0 y varianza

2

  

t .

La interpretación del Movimiento Browniano como el limite de caminatas al azar sugiere que X(t) debería ser una función continua de t. Como X(t) es normal con media 0 y varianza t, (Sheldon M. Ross Capítulo 10: Movimiento Browniano y Procesos Estacionarios “Introduction to Probability Models” )

 

Tal que para

Donde X es la posición del movimiento de la partícula y como es discreta tenemos que usar n por lo que la definimos como X n que indica la posición posición del movimiento de la partícula partícula al n-ésimo paso.

  …,,.,,,,… } ,,,...}

 que es el espacio de probabilidad

 números de movimientos de la partícula, que son números enteros, numerables, siendo a tiempo discreto

Tal que para



Donde Y son todos los eventos que pueden tener de

,} ,,,...}

   −

 sólo +1 o -1

que es el espacio de probabilidad siendo números enteros numerables, a tiempo discreto. discreto.

C AMINATA AL ALEATORIA EATORIA :

ℤ

UNA CAMINATA ALEATORIA SIMPLE SOBRE EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS  ES UN PROCESO ESTOCÁSTICO A TIEMPO DISCRETO COMO LA SIGUIENTE FIGURA :

 :,,,… }

 QUE EVOLUCIONA

TAL QUE, INICIANDO EN EL ESTADO 0, AL SIGUIENTE TIEMPO EL PROCESO PUEDE PASAR  AL ESTADO +1 CON PROBAB PROBAB ILIDAD P , O AL ESTADO -1 CON PROBABILIDAD Q , EN DONDE P + Q = 1. UTILIZANDO LA MISMA REGLA PARA LOS SIGUIENTES TIEMPOS , ES DECIR, PASA AL ESTADO DE LA DERECHA CON PROBAB PROBAB ILIDAD P , O AL ESTADO DE LA IZQUIERDA CON PROBABILIDAD Q . EL VAL OR DE  ES EL ESTADO DEL PROCESO AL TIEMPO .

 



ESTE PROCESO CAMBIA DE UN ESTADO A OTRO EN DOS TIEMPOS CONSECUTIVOS CONSECUTIVOS DE  ACUERDO CON LAS PROBAB PROB ABILIDA ILIDADES DES DE TRANSICIÓN QUE SE MUESTRAN EN LA FIGURA  ANTERIOR, SON VÁLIDAS PARA  Y PARA CUALESQU CUALESQUIERA IERA Y .

≥

  

   5    1    0    2    /    7    0    /    0    3    |    s    o    c    i    t    s    á    c    o    t    s    E    s    o    s    e    c    o    r    P

4

ESTA PROBABILIDAD SE PUEDE ESCRIBIR COMO :

            + |               }

COMO ESTAS PROBABILIDADES NO DEPENDEN DE , SE DICE QUE SON HOMOGÉNEAS EN EL TIEMPO, ES DECIR, SON LAS MISMAS PARA CUAL QUIER VALOR VALOR DE . (RINCÓN, 2015)

b)

Demuestra que

 es un proceso con incrementos independientes. independientes .

Tal que se trata de un proceso discreto a tiempo discreto.

 

En una caminata aleatoria o recorrido aleatorios se considera a   como la suma de variables independientes, donde   representa un proceso estocástico a tiempo discreto, y puede estar conformado de variables aleatorias independientes, lo cual significa que los desplazamientos que tiene el proceso en tales intervalos disjuntos de tiempo serán independientes unos de otros.

 

Considerando las variables de la caminata aleatoria tenemos:

   0      2 ⋯    +   0    −   0  

Recursivamente, la relación anterior se escribe como  

O bien,

0

Para

 

Por lo que, sabemos que:

Para

Para

 

Si se trata de un proceso a tiempo discreto, { }  tal que es un proceso con incrementos independientes si para cada entero positivo n se tiene que:

   5    1    0    2    /    7    0    /    0    3    |    s    o    c    i    t    s    á    c    o    t    s    E    s    o    s    e    c    o    r    P

5

       2    3  2 …   − Siendo variables aleatorias independientes, tal como se nos plantea en

   −  

 

Para

0

c)

Demuestre que {Yn} es un proceso independiente.

Ocurre cuando los intervalos son independientes estadísticamente hablando, eso significa que lo que haya sucedido en intervalos ajenos al observado en un momento determinado, no afecta la probabilidad de los eventos relacionados con el proceso en ese intervalo . Sea entonces que donde sólo

d)

 

   −  

Tal que la variable variable

 depende del estado anterior, tal que

Demuestra que

 }

 −

es idénticamente distribuida a todas las

lo que representa



 es un proceso de Markov.

     −   −2

De la forma recursiva para definir estado anterior, tal que Tal que la variable variable



   −     

tenemos que:

, donde sólo

 



 depende del

es idénticamente distribuida a todas las

Siendo que los estados anteriores a proceso de Markov.

no afectan a

, por lo que se deduce que se trata de un

Para una caminata aleatoria, y según la descripción del problema, las probabilidades, se pueden describir de la siguiente forma:

                       + |         Tales probabilidades no dependen de n por lo que son homogéneas o estacionarias en el tiempo, es decir que, son las mismas para cualquier valor que adquiera n. Tal que como el problema resalta el valor actual del estado, para llegar al siguiente, nos indica que se trata de un proceso de Markov.

 }

e) Demuestra que  es un proceso con incrementos estacionarios. De acuerdo al Programa Desarrollado pág. 18 " En particular, se dice que el proceso tiene incrementos estacionarios si para s < t y h > 0, las variables  X t   X s y X t  h  X s  h tienen la misma distribución de probabilidad, es decir, el incremento depende sólo de la longitud del intervalo de tiempo t –  s"

cuando la diferencia de todos los intervalos es constante

f) Si el siguiente elemento del espacio muestral representa una colección de valores tomados por las variables , dibuja la trayectoria muestral correspondiente:

 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1… ´   

   5    1    0    2    /    7    0    /    0    3    |    s    o    c    i    t    s    á    c    o    t    s    E    s    o    s    e    c    o    r    P

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g) Demuestra la esperanza y la varianza de cuando  y cuando .

 q, cuando p < q y cuando p = q.

 

Si : La caminata avanza hacia a la derecha con mayor probabilidad, entonces el estado promedio p romedio después de  pasos sería un número positivo, tal t al que, su comportamiento promedio es tender hacia la derecha.

   5    1    0    2    /    7    0    /    0    3    |    s    o    c    i    t    s    á    c    o    t    s    E    s    o    s    e    c    o    r    P

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