MPES_U1_EA

qwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzx Procesos estocásticos cvbnmqwertyuiopasdfghjkl Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos zxcvbnmqwertyuiopasdfghj Evidencia de aprendizaje. Construcción de procesos klzxcvbnmqwertyuiopasdfg estocásticos hjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopa sdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyu iopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwe rtyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzx

Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos INTRODUCCIÓN Un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar  una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, puede pueden n esta estarr corre correla laci cion onad adas as o no. no. Cada Cada vari variabl able e o conj conjun unto to de varia variabl bles es sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico. dentificar las propiedades que deben tener las variables aleatorias que forman un proceso estocástico para determinar si es de incrementos independientes, de !ar"ov y estacionario, es parte del aprendizaje de unidad.

Evidencia de aprendizae. Construcción de un proceso estocástico Educación Abierta y a Distancia  Ciencias E!actas" In#enier$as y %ecnolo#$as %ecnolo#$as         6

Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos Instrucciones Una part#cula se encuentra en un punto al que identificar identificaremos emos con el origen de la recta num$rica. Con probabilidad  p avanza una unidad %acia la derec%a y con probabilidad q = 1 - p  lo %ace %acia la izquierda. &ea  X n el punto donde se encuentra la part#cula despu$s de n pasos. 'ste proceso se conoce como ca!inata aleatoria o recorrido aleatorio. &e puede pensar a  X n como como una una suma suma de vari variab able less inde indepe pend ndie ient ntes es e id$nticamente distribuidas Y i i  que indican lo ocurrido en cada paso 1  si en el paso i hay un movimiento a la derecha −1  si en el paso i hay un movimiento a la izquierda

Y i = 

Con distribución de probabilidad comn dada por   P ( Yi = 1) = p, P ( Yi = −1) = 1 − p = q . Usando lo anterior, las variables de la caminata aleatoria son  X 0

=

0

 X n

=

Y1 + Y2 + ... + Yn para n > 0.

*ecursivamente, la relación anterior se escribe como  X 0 = 0

y

X n = X n −1 + Yn para n > 0,

 X 0 = 0 y

X n − X n −1 = Yn para n > 0.

+ bien,

{  X n } a" emuestra que

es un proceso con incrementos independientes.

&e dice que un proceso { Y t : t ≥ 0 }  tiene incrementos independientes si 0 ≤ t  < t  < … < t n para cualesquiera tiempos , las variables 1

Y t 1, Y t 2 −Y t 1, … Y tn−Y tn−1

2

 son independientes.

{  X n } #" emuestra que

es un proceso de !ar"ov.

ado que estas probabilidades no dependen de n, se dice que son %omog$neas en el tiempo, es decir, son las mismas para cualquier valor  de n. - partir de estas consideraciones, es intuitivamente claro que este

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos proceso cumple la propiedad de !ar"ov, es decir, el estado futuro del proceso depende nicamente del estado presente y no de los estados previamente visitados.  X n } { X  , escribimos la propiedad de

'n un proceso proceso a tiempo tiempo discret discreto o

!ar"ov de la siguiente forma  P ( X n= x n| X  = x , X  = x … X n − = xn− ) 0

0

1

1

 P ( X n = x n∨ X n−1= x n−1 )

1

1

 X n − xn −1= Y n

 P ( Y n= x n− x n−1|Y 1= x 1 , Y 1= x 1 , Y 2= x 2− x1 … Y n−1= x n−1− x n−2 )  P ( Y n= x n− xn−1 )

 P ( X n − x n−1 = x n− x n−1)

 P ( X n = x n−1 ∨ X n−1= x n−1)

{  X n } c" emuestra que

es un proceso con incrementos estacionarios.

&e dice que un proceso { X t : t ≥ 0 }  tiene incrementos estacionarios si h >0 para para cual cuales esqu quie iera ra tiem tiempos pos s < 0 , y para para cual cualqu quie ierr , las variables  X t +h− X s +h y X t − X s tiene ienen n la mis misma dist distri ribu bucción ión de probabilidad. 's decir, el incremento que sufre el proceso entre los tiempos s y t sólo depende de estos tiempos a trav$s de la diferencia t  s, y no de los valores espec#ficos de s y t.

d" &i el siguiente elemento del espacio muestral representa una colección de valores tomados por las variables variables Y´s, dibuja la trayectoria muestral correspondiente / 0 (12,12,2,12,2,2,2,2,12,3).

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

valor cuando p e" Calcula la esperanza y la varianza de  X n e interpreta su valor > q, cuando p < q y cuando p = q. Una caminata aleatoria puede tambi$n definirse de la forma siguiente &ea 42, 45, . Una sucesión de variables aleatorias independientes e id$nticamente distribuidas tales que 6(4 0 72) 0 p y 6(4 0 2) 0 q, en donde, como antes, p 7 q 0 2. 'ntonces para t 8 2 se define  X n = X 0 + ξ 1+ … + ξ n .

6ara cualquier entero n ≥ 0, 2.

E ( X n ) =n ( p−q ) . n

 E ( X n ) =

 E ( ξ )= nE ( ξ ) =n ( p −q ) ∑ = i

i 1

 E ( ξ )= p + q =1 y E ( ξ ) = p −q 2

5.

Var ( X n ) =4 npq

.

Var ( ξ ) =1−( p− q )

2

= 4 pq .

n

Var ( ξ ) =n ∑ =

Var ( X n ) =

i

i

1

Var ( ξ ) =4 npq

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos &i  p >q , 's dec decir, ir, si la cami camina natta toma toma pasos asos a la der derec%a ec%a con con may mayor  probabilidad, entonces el estado promedio despu$s de n pasos es un nmero positivo, es decir, su comportamiento promedio es tender %acia la derec%a, &i  p < q , 'ntonces el estado final promedio de la caminata despu$s de n pasos es un nmero negativo, es decir, en promedio la caminata tiende a moverse %acia la izquierda. 'n ambos casos la varianza crece conforme el nmero de pasos n crece &i

 p=q =

1 2

&e dice que la caminata es sim$trica, y en promedio el proceso se  X n ) =0 queda en su estado inicial pues  E ( X  , sin embargo para tal valor de p la varianza es Var ( X n ) =n .

C+9C:U&;9 :os elementos de un proceso estocástico, fueron parte de la actividad, as# como dos tipos de clasificaciones de los procesos estocásticos de acuerdo a su espacio de estados y su parámetro temporal, y de acuerdo a las caracter#sticas num$ricas de las variables aleatorias. 'sto me permitió identificar el tipo de proceso que puedes utilizar al modelar cierto tipo de situaciones y demostraciones. Educación Abierta y a Distancia  Ciencias E!actas" In#enier$as y %ecnolo#$as %ecnolo#$as         6

Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

acultad de Ciencias U9-!@ Circuito 'Aterior de CU@ BD2B !$Aico >.

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos Universidad -bierta y a istancia de !$Aico@ :icenciatura :icen ciatura en matemáticas@ EF cuatrimestre@ 6rocesos estocásticos@ Unidad 2. ntroducción a los procesos estocásticos

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