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Procesos Estocásticos Unidad 1 Actividad 4

APLI AP LICA CACI CI N DE DE PRO PROCE CESO SOSS EST ESTOC OC ST STIC ICOS OS 27 de julio de 2015 Autor: Laura Pontón

Unidad 1 Actividad 4

Instrucciones: Elige la respuesta que corresponde a la pregunta planteada. Y justifica tu respuesta el porqué de tu respuesta 1.

Un proceso estocástico a tiempo discreto es estacionario si cumple que: a) Para las variables  X0 , X1  X 0 , X 2  X1, , X n  X n 1 son independientes. 

b) La distribución conjunta de  X n y X n 1  es igual a la distribución conjunta de 

 para un entero positivo k. c) Tiene un espacio de estados numerable. d) Es desmemoriado.  X n



k

y X n



k 1 

 Justificación

De acuerdo al Programa Desarrollado de la Unidad 1 pág.18

Como estamos hablando de un proceso a tiempo discreto y estacionario, sabemos que un proceso se denomina estacionario si éste tiene un comportamiento compo rtamiento constante a lo largo del tiempo, si es estacionario discreto significa que las características que se aplican a las diferentes variables aleatorias deberán permanecer iguales, tal que se mantienen las medidas de dispersión (varianza, desviación estándar y covarianza) por ello la distribución de probabilidad conjunta es la misma.    5    1    0    2    /    7    0    /    7    2    |    s    o    c    i    t    s    á    c    o    t    s    E    s    o    s    e    c    o    r    P

1

2.

Supongamos que {X n} es un proceso con incrementos independientes. Entonces P Xn



j X0





P  Xn  Xn





P  Xn  X n





P  Xn



x0 , X1  x1, ..., X n

1





i

1



j i X0

1



j  i  por laind aindependencia delo elosinc sincrementos

j Xn

1







x0 , X 1  X 0  x1  x 0, ...X n

1





Xn



2



i  xn



2



i

Diga cuál de las siguientes afirmaciones acerca del desarrollo anterior es correcta:

a) Se demuestra que todo proceso discreto que sea s ea de Markov, tiene incrementos independientes. b) Se demuestra que todo proceso discreto estacionario es de Markov. c) Se demuestra que todo proceso discreto con incrementos independientes, es de Markov. d) Se demuestra que todo proceso discreto con incrementos independientes es estacionario.  Justificación: De acuerdo al Programa Desarrollado pág. 8 " para determinar la probabilidad de transitar a un estado en el futuro solo importa el estado en que se encuentra el sistema en el momento de observación y no lo que haya ocurrido antes, es decir, la historia previa no influye en la probabilidad de transición. Este tipo de procesos se conocen como Cadenas de Markov" Lo que implica el principio de independencia entre el futuro y el pasado cuando ya se ha conocido el presente, tal que se le pueda generalizar en probabilidad, como la base de los procesos de Markov, ahora nos hablan del análisis de un proceso estocástico discret o con incrementos independientes, tal que: X n−1 hasta Xn (Evidentemente no dependiente de la historia del proceso hasta antes del estado

X n)

Entonces para la expresión citada, se obtiene la probabilidad d e que la variable aleatoria al momento n tome el valor j y esto única y exclusivamente dependerá del valor anterior, por lo que se trata trata de un proceso de Markov con incrementos independientes.

3.

Un lector visita una biblioteca regularmente el mismo día cada semana. Si ha terminado de leer el libro que solicitó la semana anterior, lo cambia. De lo contrario, vuelve a pedirlo. Sea Z n el número de renovaciones del libro que tiene en sus manos el lector al salir de la biblioteca la n-ésima semana. I. II. III.

El espacio de estados es S = {0, 1, 2, …} . Es un proceso a tiempo continuo y las únicas transiciones posibles son de j a 0 o de j a  j+1, para cualquier j ϵ  S  S. El proceso no es de Markov y no tiene incrementos independientes.

Diga cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) b) c) d)

Sólo II  y  y III  son  son correctas. Sólo III  es  es correcta. Sólo I  y  y II son correctas. Las tres afirmaciones son correctas.  Justificación Efectivamente el espacio de estados es S = {0, 1, 2, …} dado que se lleva los libros por unidades no por fracciones, lo cual implica que es discreto a tiempo CONTINUO, pero que se transforma a tiempo discreto por las transiciones posibles, teniendo incrementos independientes. El inciso III es falso dado que sí se trata de un proceso de Markov, puesto que si ya terminó de leer un libro, sólo entonces escoge uno nuevo o renueva el mismo, por lo que el estado actual depende del estado pasado, porque sólo importa el estado en que se encuentra el sistema en el momento de observación y eso es que lo terminó de leer o no.

   5    1    0    2    /    7    0    /    7    2    |    s    o    c    i    t    s    á    c    o    t    s    E    s    o    s    e    c    o    r    P

2

4.

En la siguiente elabora la tabla: Explica en tus propias palabras los procesos y elige de los siguientes ejemplos en la tercera columna: a) b) c) d) e)

Xn: Duración del foco n Xn: Número de turistas en el mes n Xt: Número de personas en la fila en el momento t Xt: Número de autos que llegan a un caseta en el momento t. Xn: Marca de jabón que se usa en el mes n Concepto

Proceso con incrementos independientes

Proceso independiente

Procesos de Markov

   5    1    0    2    /    7    0    /    7    2    |    s    o    c    i    t    s    á    c    o    t    s    E    s    o    s    e    c    o    r    P

3

Explicación en tus propias palabras

Elige el ejemplo y justifica tu respuesta.

Implica que lo que haya sucedido en los intervalos ajenos al observado en un momento determinado, no produce afectación a la probabilidad de los eventos relacionados con el proceso durante ese intervalo, ya que los autos, en este caso, que llegan en un intervalo de tiempo no tienen por qué influir en los que llegan en otro intervalo de tiempo que sea disjunto con él.

a) Xt: Número de autos que llegan a un caseta en el momento t.  Justificación:

Ocurre cuando los intervalos son independientes estadísticamente hablando, eso significa que lo que haya sucedido en intervalos ajenos al observado en un momento determinado, no afecta la probabilidad de los eventos relacionados con el proceso en ese intervalo.

a) Xn: Marca de jabón que se usa en el mes n  Justificación:

Hay un principio de independencia entre el futuro y el pasado si y sólo si se ha conocido el presente, donde sólo importa el estado en que se encuentra el sistema en el momento de observación

a) Xn: Número de turistas en el mes n  Justificación: Porque no

Debido a que los autos que llegan en un intervalo de tiempo no tienen por qué influir en los que llegan en otro intervalo de tiempo que sea disjunto con él.

Dado que la marca de jabón que se utiliza en un intervalo de tiempo no implica que ese mismo haya sucedido en otros meses, es decir en intervalos ajenos al observado.

existe dependencia en el proceso, es decir, el número de turistas en un mes determinado no guarda relación con el número de turistas de meses anteriores, no guarda dependencia entre el futuro y el pasado.

Procesos Estacionarios

Ocurre si tiene un comportamiento constante a lo largo del tiempo

a) Xn: Duración del foco n  Justificación: Porque el número de horas que dure el foco depende del intervalo de tiempo y no de si se considera una hora u otra, siempre suponiendo, que las condiciones de los focos sean parecidas.

Proceso de Poisson

Son variables aleatorias independientes y que se encuentran idénticamente distribuidas que indican el tiempo que ha transcurrido dentro del proceso en el que ocurren eventos sucesivos

a) Xt: Número de personas en la fila en el momento t  Justificación: Porque los clientes llegan de forma aleatoria, no puede predecirse con anterioridad, es decir, que tiene incrementos independientes, la función de probabilidad y describe el número de llegadas en un lapso de tiempo específico. Sabiendo que las personas llegan en un tiempo t, que por ejemplo pudiera ser entre las 9:00 y 10:00 de la mañana, al ser un proceso de poisson, se puede calcular la hora de llegada de las personas.

Referencias:

http://www.matematicas.unam.mx/lars/Publicaciones/procesos2012.pdf  http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/PEst/tema2pe.pdf     5    1    0    2    /    7    0    /    7    2    |    s    o    c    i    t    s    á    c    o    t    s    E    s    o    s    e    c    o    r    P

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