MPCL-5

Capítulo

M OVI VIM M I ENT NTO O DE PRO PROYE YECTI CTILE LES S

5

M O V I M I E N TO TO B I D I M E N S I O N A L C O N A C E L E R A C I ÓN ÓN C O N S TA TA N TE   C onsi onsi deramos deramo s un movi mo vimi mi ento bidi mensio mensional nal durante el cual cual la acelerac aceleracii ón permanece constante. onstante. Es decir supóngase que la magnitud y la dirección de la aceleración permanecen invariables durante el movimiento.

El mo vimi ento bidi mensional que tiene aceleración aceleración constante es equivalente equivalente a   dos mo vimiento s independientes en en las dir ecciones x y y con aceleración constante  a x  y a  y .

M O V I M I E N TO TO D E P R O Y EC EC T I L E S   U n p r o y e c t i l   es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego, sigue una trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración l y la resistencia del air . U na bola golpeada, golpeada, un balón lanz lanzado un aceleración gravitacio na  air e  paquete soltado soltado de un avió av ió n y una bala d isparada por p or un rifle ri fle son son proyectiles. proyectiles. El E l cami no que sigue sigue un proye pro yec ctil ti l es su t r a y e c t o r i a .  Para analizar este tipo de movimiento, partiremos de un modelo idealizado que representa al proyectil como una partícula y reali zamos am os las si guientes guien tes supos upo si ciones cio nes:: * * *

El alc ance es es suficient emente pequeñ o co mo p ara despreci ar l a curvatur a de la tier ra. La alt ura es suficientemente p equeñ a como para despreci ar l a variación de la gravedad con la  altu ra. La part ícul a tiene una aceleraci aceleraci ón de la gravedad constante en magnit magnit ud y dir ección. (1 *)  La veloci dad ini cial tiene un valo r sufici entemente pequeñ o co mo para despr despr eciar la r esistencia  esistencia  del aire. (2*) 

Para Pa ra un proye pro yec ctil de largo alc a lcance ance,, tal como el mos mo strado en la fi gura, donde dond e todos los vectores vectoresy    señalan CUIDADO hacia el centro centro de d e la tierra ti erra y varí an con la altura. a ltura. L a trayectoria es en este cas caso, o, un arco arco de d e elipse, elipse, como om o se es estudiará tudia rá m ás adelante. L a trayect trayectori oria a de d e un proyec proyectil de largo alcance alcance no es una parábola, parábo la, si no un arco de elipse  . V'

g'

V" g"

Vo Tierra

g

V''' g'''

Si tenemo tenemos s en cuenta cuenta la resistenc istencia ia del d el aire, ai re, la trayec trayectoria toria deja d eja de ser parabóli ca, como om o se muestra en la figura y el alcance disminuye.

CUIDADO 

1

y(m) 100 Trayectoria parabólica en el vací o

50 Trayectoria real en el aire

1

100

200

x(m)

300

Efecto de la resistencia del aire en el movimiento de un proyectil. L a figura es una simulación por computado r de la trayectoria de una pelota con Vo= 50 m/s, o  53,1 , sin resistencia del aire y con una resistencia proporcional al cuadrado de la rapidez de la pelota. 1*

Esta aproximación es razonable siempre que el intervalo de movimi ento sea pequeño, comparado con el radio de la tierra (6,4.106  m) . En efecto, esta aproxi mación es equivalente a suponer que la tierra es plana a lo largo del intervalo del movimiento considerado. 2* Por lo general, esta aproxim ación no se justifica, en especial a altas velocidades. A demás, cualquier giro dado a un proyectil, lo que ocurre cuando un lanzador envía una bola curva, puede dar lugar a ciertos efectos muy interesantes asociados con fuerzas aerodi námicas. .

Con estas suposici ones, encontr amos que la curva que describe un p royectil  (part ícul a), que l lamaremo s su tr ayecto ri a, siemp re es una parábol a.

I N D E P EN D E N C I A D E L M O V I M I E N T O H O R I Z O N TA L Y VE R TI C A L L a bola azul se deja caer desde el reposo y la negra se proyecta hori zontalmente al mi smo tiempo. El esquema es tomado de las imágenes sucesivas de una fotografía estroboscópica, donde muestran estar separadas por intervalos de tiempo iguales. En un instante dado, ambas bolas tienen la misma posición y  , velocidad y  , y aceleración y  , a pesar de tener diferentes posición x   y velocidad x .

E s t r o b o s c o p i o : D ispositi vo óptico que permi te observar cuerpos dotados de elevada velocidad angular, como si estuvieran inmóviles o poseyendo un movimiento lento, mediante la iluminación con cortos destellos de frecuencia regulable.

A zul

N egra Vx

Vy 1

Vy 1

Vx g

g

Vy 2

Vy 3

2

Vx

Vy 2

Vy 3

Vx

 P RO P I E D A D E S B Á S I C A S :   1. 2.

L a componente horizontal de la velocidad permanece constante durante todo el movim iento. L a componente vertical de la velocidad varía por acción de la aceleración de la gravedad.

V

V

F V

r

g

H H

h

V i

H

max

 V

H

d

H

R * Para el m o v i m i e n t o h o r i z o n t al   :

*

dH  V H . t

Para el m o v i m i e n t o v er t i c al   :

V f   V i  g t V 2  V i2  2g h f  h  V i t  1 g t2 2 h  V f  V i t 2

F ó r m u l a s a u x i l i a r e s :  ts 

Vi g

H máx 

R  *

C onsidere (+ ) Sube (-) Baja

V2 i 2g

V o2Sen( 2) g

Para una rapidez fij a de lanzami ento, se logra máximo alcance horizontal cuando el ángulo de lanzami ento es de 45°.

V

V

 = 45°

V



Rmáx

*

A l di sparar un proyectil dos veces con la m isma rapidez, pero con ángulos de elevación complementarios, se logra igual alcance horizontal.

V

+  = 90°

V  

R

3

*

Podemos determinar   si conocemos la relación entre h , a y b .

V

Tan  h

h 

a

4

b

11 a

b

E J E RC I C I O S P R O P U E ST O S   01. C alcular la velocidad de lanzami ento V o   si la altura máxima de 45 m. (g= 10 m/s2)

05.

C alcular la velocidad de la esferita a los 4 s. (g= 10m/s2) . V x = 30m/s

Vo

45º

a) 40 m/s

b) 30 m/s

d) 20 m/s

e) 30 2 m / s

a) 40 m/s d) 60 m /s

c) 50 m/s

b) 30 m/s e) 20 m /s

c) 50 m/s

06. U n cuerpo se lanza con una velocidad horizontal de 15 m/s. H allar su rapidez luego de 2 s. ( g= 10 m/s2) .

02. C alcular la velocidad horizontal "V ". (g= 10 m/s2) V

V 1= 15 m/s

V2

80m

a) 25 m/s d) 45 m /s

80m a) 20 m/s d) 40 m /s

b) 10 m/s e) 16 m /s

c) 5 m/s

03. D eterminar la altura "H "; si V = 10 m/s (g= 10 m/s2).

b) 30 m/s e) 50 m /s

c) 40 m/s

07. C on una rapidez desconocida una partícula abandona la plataforma. ¿En cuánto tiempo tocará el piso? V0

V= 10 m/s 19,6 m

H

a) 0,5 s d) 3 s

50 m

a) 150 m d) 50 m

b) 125 m e) 45 m

c) 80 m

08.

b) 1 s e) 5 s

c) 2 s

Se lanza un proyectil en forma horizontal desde lo alto de un edificio con una rapidez de 40 m/s. D etermi ne cuánto tiempo duró todo el movimiento. V= 40 m/s

04. Encontrar "x" (g= 10 m/s2) , v x  20 m / s

Vx

180 m 160 m a) 2 s d) 7 s

x

a) 90 m d) 150 m

b) 60 m e) 180 m

b) 4 s e) 9 s

c) 6 s

c) 120 m

5

09.

U n cuerpo se lanza horizontalmente con una rapi dez de 10 m/s. C alcular "x" . (g= 10 m/s2) . V= 10 m/s

14. U n cuerpo se lanza horizontalmente con una velocidad de 30 m/s. ¿D eterminar su velocidad al cabo de 4 s y su altura descendida? (g= 10 m/s2).

V0 45 m

x a) 5 m d) 30 m

b) 15 m e) 50 m

c) 25 m

10. H allar H del gráfico, si la componente horizontal de la velocid ad, cuando el cuerpo llegó al suelo, es de 20 m/s. ( g= 10 m/s2) .

V

a) 40 m /s; 40 m c) 50 m/s; 80 m e) 50 m/s; 45 m

b) 30 m/s; 45 m d) 40 m /s; 125 m

15. U n cuerpo se lanza con velocidad V 0 de tal modo que la di stancia en el punto "O " sea igual que su altura ini cial. (g= 10 m/s2). H allar: V 0 V0

40 m

H

80 m

a) 50 m d) 70 m

b) 55 m e) 80 m

c) 65 m

11. D etermine el alcance. (g= 10

   V  =

m/s2).

  /  s   m   0  5

37º

a) 100 m d) 2000 m 12.

b) 140 m e) 240 m

b) 0,5 s e) 4 s

c) 2 s

13. En el problema anterior. D etermine el desplazami ento horizontal para dicho intervalo de tiempo. a) 15 m d) 45 m

b) 30 m e) 50 m

b) 10 2  m/sc) 20 2 m/s

d) 20 m /s

e) 40 m /s

16 . H a ll ar la ra p i d ez V o   con que debe lanzarse horizontalmente un proyectil de la posición A para que este impacte en forma perpendicular en el plano inclinado. (g= 10 m/s2). A Vo

170 m

c) 1800 m

D esde la superficie terrestre se lanza un proyectil con una velocidad de 50 m/s formando 53º con la horizontal. D espués de qué tiempo su velocidad estará formando 45º con la horizontal. ( g= 10 m/s2) . a) 1 s d) 2,5 s

a) 10 m/s

37°

a) 10 m/s d) 45 m /s

b) 15 m/s e) 60 m /s

c) 30 m/s

17. H alle el valor de la componente vertical de la velocidad de disparo en "A ". Si al impactar en "B" , horizontalmente, lo hace con V B = 16 m/s. (g= 10 m/s2) .

B

c) 0 m

Vo A

 12m

a) 6, 0 m/s b) 7, 5 m /s d) 10,0 m/s e) 16,0 m/s

6

c) 8, 0 m /s

VB

18.

a) 20 m d) 80 m

U n proyectil se lanza con una rapidez de 50 m/s. H allar la velocidad con que impactó en la pared.

b) 40 m e) 100 m

c) 60 m

23. El cuerpo "A " fue lanzado horizontalmente con una rapid ez "V " . ¿C on qué rapidez se debe lanzar horizontalmente un cuerpo "B " para que tenga el mi smo avance horizontal que "A " al llegar a tierra?

B

37°

h

200m b) 10 5 m/s

a) 10 m/s d) 20 5 m/s

V

A

c) 20 m/s

h

e) 40 m/s

19. Si un proyectil es lanzado de A y llega a B en 4 s,

determine el ángulo de lanzamiento  .

(g= 10 m/s2) .

B A



53°

100 m

24.

120 m a) 30° d) 53°

b) 37° e) 60°

c) 45°

20. D eterminar la rapidez V o para que el proyectil llegue al punto B , siendo el radi o de la superficie cilí ndrica 75 m. (g= 10 m/s2) .

a) V

b) V

d) 2V

e) V / 2

2

c) V

3

D os esferas salen rodando de la superficie horizontal de una mesa con rapidez de 3 y 8 m/s, cayendo al piso de tal manera que sus velocidades forman ángulos com plementario s con el piso. C alcular la altura de la mesa. ( g= 10 m/s2) . a) 0, 6 m d) 1,6 m

b) 1 m e) 2 m

c) 1,2 m

25. L a partícula se arroja horizontalmente en "A" con 20 m/s y cae a 20 m de la base del plano i nclinado.

37°

H alle "H ", en metros. ( g= 10 m/s2).

V

V 37° o

B

20m/s g

A H a) 10 m/s d) 40 m /s 21.

b) 20 m/s e) 50 m /s

45°

c) 25 m/s

20m

¿D esde qué altura se debe lanzar horizontalmente el cuerpo para que caiga a 30 m del pie del plano inclinado? (g= 10 m/s2) . 25 m/s

a) 5 m d) 20 m 26.

b) 10 m e) 25 m

c) 15 m

Se lanza un proyectil tal como muestra la figura. H allar el tiempo de permanencia en el ai re, si V = 100 m/s. (g= 10 m/s2) . V g

45° 37° a) 25 m d) 50 m

b) 35 m e) 75 m

c) 45 m

22. D esde un mi smo punto a 80 m de altura se lanzan horizontalmente dos proyectiles con rapideces de 20 m/s y 30 m/s. D eterminar la separació n entre los puntos de im pacto con el suelo, en metros. (g= 10 m/s2) .

a) 10 s

b) 20 s

d) 50 s

e) 60 s

c) 25 s

7

27. U n dardo es lanzado de "A " y se incrusta en "B " perpendicularmente a la pared inclinad a. C alcular el

31. U n proyectil es lanzado hori zontalmente con V o= 5 m/s. D etermine la distancia B C . ( g= 10 m/s2) .

tiempo que via ja el proyectil, si su rapid ez de

A

lanzamiento es V o= 10 m/s. (g= 10 m/s2).

Vo

10 m B

B Vo A

60°

C

45°

a) 0, 556 s b) 0, 366 s d) A bsurdo e) 0,350 s

45°

c) 0, 250 s

28. Se lanza un proyectil con rapidez ini cial d e 90 m/s, formando un ángulo de inclinación de 60° con la horizontal, contra una plataforma inclinada 30° con respecto a la horizontal. H allar el alcance PQ en metros. (g= 10 m/s2) .

a) 5 m

b) 5 2 m

d) 10 2 m

e) 20 m

c) 10m

32. U n cuerpo se lanza horizontalmente del punto A con una velocida d de 10 m /s e im pacta en el punto C . D etermi ne la máxi ma longitud de AB . (g= 10 m/s2).

Q

A Vo

Vo = 90m/s 30° 30°

P

53° B

C 5m

a) 390 d) 650 29.

b) 450 e) 440

c) 540

D esde una altura de 45 m sobre el suelo, dos proyectiles "A " y "B " se lanzan en dirección hori zontal tal que sus velocidades forman entre sí 90°; siendo la rapi dez de cada uno en el lanzamiento 8 m/s y 15 m/s respectivamente. H alle la distancia de separación entre los proyectiles en el mom ento que "A " llega a tierra. (g= 10 m/s2) . a) 65,9 m d) 51 m

b) 95,1 m e) 60 m

a) 10 m d) 40 m

c) 25 m

33. En la figura mostrada, determine la rapidez con la que se arroja la pelota en (A ) para lograr encestar en (B ) . (g= 10 m/s2).

Vo (A )

c) 77m

b) 20 m e) 50 m

37°

(B ) 2,5 m

1,5 m 30.

Por la cañería, sale agua que debe caer al tanque que tiene un ancho de 3 m. H allar la mí nima y máxi ma velocidad con la que debe salir el agua parar que ésta caiga dentro del tanque. ( g= 10 m/s2) .

8m a) 7, 5 m/s d) 15 m /s

Vo

b) 10 m/s e) 20 m /s

c) 12, 5 m/s

34. L a ecuación de la trayectoria que describe un proyectil

20m

2m

a) 2 y 2, 5 m /s c) 1 y 2, 5 m/s e) 1 y 3,5 m/s

8

Tanque 3m

b) 1 y 3, 0 m /s d) 2 y 3, 0 m /s

2 es: 4 y  4 3 x  5x   en unidades del S.I . H allar la

velocidad en el punto más alto de la trayectoria. (g= 10 m/s2). a) 1 m/s d) 5 m/s

b) 2 m/s e) 8 m/s

c) 4 m/s

35.

L a ecuación de la trayectoria que describe un proyectil es: Vo Vo

2 yx x 100

 

D etermi ne el ángulo de lanzamiento, si fue im pulsado del origen de coordenadas. a) 30° d) 53°

b) 37° e) 60°

x 2

2V a) x  g( T an T an )  

c) 45°

2

V b) x  gT an 

36. Si un proyectil es disparado desde O pasa por los puntos A ( 40;25) y B( 160;40). D etermine el ángulo de lanzami ento. (g= 10 m/s2) .

2

V c) x  gT an  2

V d) x  g( T an T an )  

y B

A

O a) 30° d) 53°

e) x  x

b) 37° e) 60°

40. U na partícula es lanzada tal como se muestra. D etermi ne el ángulo  .

c) 45°

Vo

37. Si el proyectil que es lanzado en O con V o= 10 2 m/s impacta en A. D etermi ne las coordenad as de dicho punto. (g= 10 m/s2) .

y

38.

a) Tan  = 1

b) Tan  = 2

c) Tan  = 2, 5

d) Tan  = 0, 25

e) Tan= 0,5 41.

x

O b) ( 10;5) e) ( 40; 80)

Se muestra la trayectoria parabóli ca de un proyectil. H allar:  . (g= 10 m/s2) .

g

c) ( 16;10)

Vo

10m



D e la boquilla de una manguera salen dos chorros de agua con igual rapidez V o 

30m

10m

35 m/s, con ángulos de

elevació n de 45° y 53°, los cuales se cruzan en " P ". H allar la distancia " x". ( g= 10 m/s2) .

P Vo

l

4l

A

45°

a) ( 8;4) d) ( 20; 20)

2l



x2= 20y V

V 2( T an T an) gTan T an

g

42.

a) 30°

b) 37°

d) 53°

e) 60°

c) 45°

U n proyectil se lanza desde el punto "A " tal como se muestra. El proyectil impacta elásticamente en los puntos "B " y "C ", retornando al punto " A ". D etermi ne

Vo

"  ".

53° 45°

x a) 1 m d) 4 m

b) 2 m e) 5 m

B c) 3 m

C

Vo



39. D e una manguera, brotan chorros de agua bajo los ángulos    y B respecto al ho rizonte, con la mi sma rapidez inicial V o. ¿A qué di stancia con respecto a la hori zontal los chorros se i ntersectan?

6m

A 6m a) 37°

b) 45°

d) 53°

e) 60°

12 m c) 30°

9

43. D eterminar el ángulo de lanzami ento de la esfera B para que choque con la esfera A justo sobre el techo, si ambos son puestos en movi mi ento simultáneam ente, el choque de B es elástico. r  = ( 2 i + 4 j ) ; | V | = 0 m/s A A

b) Tan  = 3T an 

c) Tan  = 6T an 

d) Tan  = 6T an 

e) Tan  = Tan  47. En el instante en que una piedra es soltada desde el punto A , un proyectil es lanzado del punto B con una velocidad inicial V o  que forma un ángulo "   " con la

r  = 2 i m; g = -10 j m/s2 B

horizontal. D etermi ne el valor de "   " para que el proyectil impacte a la piedra en el punto P.

A

y

a) Tan  = 3T an 

A

techo P

1000 m

Vo

B x



B

1000 m a) 60° d) 37°

b) 35° e) 53°

c) 45°

44. U na partícula es lanzada en el punto "P " en la forma que se muestra. D etermi ne "x " si todos los choques son elásti cos. (g= 10 m/s2) . x 5m/s (P )

a) 30° d) 60°

b) 37° e) 53°

c) 45°

48. H allar la distancia "X " de donde se debe lanzar el proyectil "B" de modo que impacten en la posición mostrada.

V

A

20 m

H /2

V B x

15 m

45.

a) 4 m

b) 5 m

d) 8 m

e) 10 m

c) 6 m

H 2

a) H

b)

d) N o chocan

e) 3H

c) 2H

En la figura, se muestra dos proyectiles lanzados desde "A " y "B" simultáneamente. D eterminar "  " para que choquen en "P ". ( g= 10 m/s2) .

P 20 m/s

A a) 35° d) 60° 46.

V

37° 16 m

 12 m

b) 45° e) 55°

49. E n el instante mostrado, tres esferas son puestas en movimiento. Si después de un segundo la esfera B equi di sta 10 m de cada esfera cuando la s tres se encuentran en la misma vertical, determine la relació n VC  si es mayor que 1. VA

B

V= 0 B

c) 18°

g

40 m

Si los proyectiles A y B son lanzados sim ultáneamente de las posiciones indi cadas chocan en el punto P. D etermi nar una relación entre los ángulos de

"A "

VC

VA 40 m

40 m

"C "

lanzamiento   y  .

P



a)

41 5

b)

d)

77 7

e)

 3L

10

H /2

L

5 41 37 5

c)

77 5

50. Si los proyectiles son lanzados sim ultáneamente y

55.

chocan en P, determine el ángulo  .



P

l

2° a) 37°/2 d) 15°

6l

3l

b) 45°/2 e) 30°

a) 30° d) 53°/2

c) 53°/2

56.

51. D os esferitas A y B i nician su movim iento sim ultáneamente. "A " es lanzada horizontalmente y "B" como se muestra. Si las esferas chocan en "P ", calcular: "x".

A

U n cuerpo que se encuentra a 40 m de la base de un edificio de 60 m de altura es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez de 40 m/s. A l cabo de 2 s otro cuerpo es lanzado desde el borde de la azotea con cierto ángulo de elevación. H alle dicho ángulo si se sabe que colisionan en sus alturas máximas. (g= 10 m/s2) . b) 37° e) 53°

c) 45°

D etermi ne la rapidez con que debe lanzarse un objeto desde "A " para que al caer en " P " llegue simultáneam ente con otro, lanzado 10 s después desde "B " con 48 m/s y horizontalmente. ( g= 10 m/s2) .

V A

V

o B 37°

4m P V

4m 53°

B

a) 6 m d) 12 m

b) 8 m e) 15 m

c) 10 m

52. U n avión vuela horizontalmente a 540 km /h, y a una altura de 98 m sobre un barco que se mueve a 72 km /h en la mi sma dirección. ¿A qué distancia del barco, el avió n debe soltar una bom ba para hundi r di cho barco? (distancia respecto a la horizontal).

a) 60 m /s b) 75 m/s d) 100 m/s e) 125 m/s

a) Si. b) No. c) N o se puede saber. d) D epende del peso del mono. e) N.A.

d) 262 5 m e) 260 5 m 53. D e lo alto de una torre de 16 m de altura, se lanza un "hueso" con una rapidez de 20 m/s formando un ángulo de 53° por encim a de la horizontal. D etermi nar la aceleración constante con que debe correr un perro, a partir del reposo y que se encuentra al pie de la torre, para que pueda alcanzar el "hueso" cuando esté a punto de tocar el suelo. ( g= 10 m/s2) . b) 3 m/s2 e) 6 m/s2

58.

D os proyectiles son lanzados sim ultáneamente. S i las celeridades de A y B, se di ferencian en 5 m/s. ¿Al cabo de qué ti empo di chos proyectiles estarán sobre una misma vertical?

c) 4 m/s2

60° 54.

D esde tierra, un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad de 20 m/s; en el mismo instante otro objeto separado horizontalmente 30 m del primero es lanzado de forma que impacta con éste en sus alturas máximas. ¿Bajo qué ángulo se lanzó el segundo objeto? (g= 10 m/s2) . a) 30° d) 53°

b) 37° e) 60°

c) 80 m/s

57. U n cazador di spara horizontalmente con una rapidez de 8 m/s una flecha a un mono que está a una distancia horizontal de 7 m del cazador, estando ambos a 5 m de altura con respecto del suelo. Si en el momento del disparo, el mono se suelta del árbol en el que está. ¿Se salva el mono?

a) 360 5 m b) 261 5 m c) 259 5 m

a) 2 m/s2 d) 5 m/s2

P

480 m

x

A

60° 10 m

a) 1 s

b) 2 s

d) 5 s

e) 8 s

B

c) 4 s

c) 45°

11

59. Si el proyectil B fue lanzado dos segundos después determine el valor de V o para que impacten en el aire. (g= 10 m/s2) .

A Vo

Vo

60. U n proyectil se lanza en forma oblicua, un segundo después es disparado hori zontalm ente otro proyectil, determine V o  para que los proyectiles choquen en el aire. ( g= 10 m/s2) .

Vo

B

37°

21°

16°

12

a) 10 m/s

b) 20 m/s

d) 40 m /s

e) 50 m /s

Vo

c) 25 m/s

a) 10 m/s

b) 15 m/s

d) 30 m /s

e) 45 m /s

c) 20 m/s

aves Clav es 01.

e 

31.

d 

02.

a 

32.

c 

03.

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33.

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04.

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34.

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05.

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35.

c 

06.

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07.

c 

37.

b 

08.

b 

38.

c 

09.

d 

39.

a 

10.

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40.

c 

11.

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42.

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43.

c 

14.

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44.

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45.

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16.

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46.

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17.

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48.

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19.

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49.

a 

20.

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50.

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21.

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51.

c 

22.

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52.

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23.

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53.

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54.

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c 

58.

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29.

d 

59.

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30.

c 

60.

b 

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