mp_1

1. Podstawowe własności fizyczne płynów. 1.1.

Masa, gęstość, ciśnienie.

Masa jest właściwością płynu charakteryzującą jego ilość. W układzie SI jednostką podstawową masy jest l kg. Oprócz jednostki podstawowej używa się jednostek krotnych: 1 g = 10-3 kg 1 Mg = 103 kg = 1t Gęstość ρ lub odwrotność objętości właściwej υ; w dowolnym punkcie płynu określa zależność 1 dm ρ= = , υ dV będąca stosunkiem elementarnej masy płynu dm do objętości dV w której jest ona zawarta. Dla płynu nieściśliwego: m ρ= , V Jednostką gęstości w układzie SI jest l kg/m3. Gęstość gazu wyznaczamy z równania stanu gazu (Clapeyrona): p ρ= RT gdzie: p - ciśnienie, T - temperatura (w skali bezwzględnej Kelwina), R - indywidualna stała gazowa;

Dla mieszaniny gazów stała gazowa wyrażona jest zależnością: m R + m 2 R2 + ... + m n Rn R= 1 1 m1 + m 2 + ... + m n gdzie mn - masa n-tego składnika mieszaniny. Podstawową jednostką ciśnienia w układzie SI jest l N/m2 = 1 Pa. Oprócz jednostki podstawowej używa się jednostek krotnych: l mN/m2 = 10-3 N/m2 l kN/m2 = 103 N/m2 l MN/m2 = 106 N/m2 Inne jednostki ciśnienia, nie należące do układu SI: atmosfera techniczna l at = 98066,5 N/m2 atmosfera fizyczna l atm = 101325 N/m2 bar l bar = 103 mbar = 105 N/m2 milimetr słupa wody l mm H2O = 9,80665 N/m2 = 10-4 at milimetr słupa rtęci l mmHg = 133,322 N/m2 tor 1 Tr = 1 mmHg = 133,322 N/m2

5

PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 1.1 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.1, str. 16) Obliczyć gęstość nafty wiedząc, że masa 4.25 kg zajmuje objętość 5 dm3.

Dane:

Wyznaczyć:

m = 4.25 kg V = 5 dm3 = 0.005 m3

ρ

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru definicyjnego na gęstość dla przypadku płynu nieściśliwego: m 4.25 ρ= = = 850 kg/m3 V 0.005 Zadanie 1.2 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.2, str. 16) Obliczyć gęstość mieszaniny cieczy składającej się z 30% nafty (ρn = 0.79 Mg/m3) i 70% mazutu (ρm = 0.89 Mg/m3). Udziały procentowe traktować jako udziały: a) masowe, b) objętościowe.

Dane:

Wyznaczyć:

ρn=0.79 Mg/m3 = 790 kg/m3

ρ

ρm=0.89 Mg/m3 = 890 kg/m3 Rozwiązanie: Gęstość płynu nieściśliwego:

ρ=

m V

Przypadek a) m = mn + mm ,

Masa mieszaniny:

V = Vn + Vm =

objętość mieszaniny:

ρ=

Więc:

mn

ρn

+

mm

ρm

mn + mm mn mm +

ρn

ρm

Ale ponieważ procentowe udziały są udziałami masowymi, więc: mn = 0.3m, mm = 0.7m ,

stąd:

ρ=

ρn ⋅ ρm 0.3m + 0.7m = 0.3m 0.7m 0.3ρ m + 0.7 ρ n + ρn

ρ=

ρm

790 ⋅ 890 = 857 kg/m3 0.3 ⋅ 890 + 0.7 ⋅ 790 6

Przypadek b) Masa mieszaniny: m = m n + m m = ρ n ⋅ Vn + ρ m ⋅ Vm ,

objętość mieszaniny: V = Vn + Vm ,

więc:

ρ=

ρ n ⋅Vn + ρ m ⋅Vm Vn + Vm

Ale ponieważ: Vn = 0.3 V , Vm = 0.7V ,

więc:

ρ=

ρ n ⋅ Vn + ρ m ⋅ Vm Vn + Vm

= 0 .3 ρ n + 0 .7 ρ m

ρ = 0.3 ⋅ 790 + 0.7 ⋅ 890 = 860 kg/m3 Zadanie 1.3 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.3, str. 16) Obliczyć gęstość ρ1 dwutlenku węgla w temperaturze T1 = 773 K i przy ciśnieniu 101325 N/m2 (1 atm), jeżeli przy tym samym ciśnieniu i w temperaturze T0 = 273 K gęstość jego wynosi ρ0 = 1.98 kg/m3.

Dane:

Wyznaczyć:

T1 = 773 K p1 = 101325 N/m2 T0 = 273 K ρ0 = 1.98 kg/m3

ρ1

Rozwiązanie: Korzystamy z równania stanu gazu doskonałego: p ρ= RT Gęstości w temperaturze T1 i T0 wynoszą: p ρ0 = 0 RT0

Stąd:

p1 RT1

p0 = p1 ,

Ponieważ: więc:

ρ1 =

ρ 0 RT0 = ρ1 RT1 ρ1 =

ρ1 =

ρ 0T0 T1

1.98 ⋅ 273 = 0.699 kg/m3 773 7

Zadanie 1.4 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.4, str. 16) Obliczyć masę powietrza wypełniającego zbiornik o objętości V = 10 m3. Powietrze o temperaturze T = 293 K znajduje się pod ciśnieniem bezwzględnym p = 500 kN/m2. Indywidualna stała gazowa dla powietrza R = 287 J/kg⋅K.

Dane:

Wyznaczyć:

V = 10 m3 T = 293 K p = 500 kN/m2 = 500000 N/m2 R = 287 J/kg⋅K

m

Rozwiązanie: p m = ρ ⋅V = ⋅V RT m=

500000 ⋅ 10 = 59.5 kg 287 ⋅ 293

Zadanie 1.5 (poz. bibl. [3], zad. 1.1.5, str. 16) Mieszanina gazów składa się z 0.4% wodoru (indywidualna stała gazowa R1 = 4121.73 J/ kg⋅K), 2% metanu (R2 = 518.77 J/ kg⋅K), 30% tlenku węgla (R3 = 296.95 J/ kg⋅K), 7.6% dwutlenku węgla (R4 = 188.78 J/ kg⋅K) i 60% azotu (R5 = 296.75 J/ kg⋅K). Obliczyć gęstość mieszaniny w temperaturze T = 273 K i przy ciśnieniu p = 100 kN/m2. Procenty odnoszą się do udziałów masowych.

Dane:

Wyznaczyć:

R1 = 4121.73 J/ kg⋅K, R2 = 518.77 J/ kg⋅K R3 = 296.95 J/ kg⋅K R4 = 188.78 J/ kg⋅K R5 = 296.75 J/ kg⋅K T = 273 K p = 100 kN/m2 = 100000 N/m2

ρ

Rozwiązanie: p ρ= RT Dla mieszaniny gazów stałą gazową obliczamy ze wzoru: R=

∑m R ∑m i

i

i

Więc:

ρ=

p ∑ mi

T ∑ mi Ri

=

p (m1 + m2 + m3 + m4 + m5 ) T (m1 R1 + m2 R2 + m3 R3 + m4 R4 + m5 R5 )

Ponieważ procentowe udziały są udziałami masowymi, więc: m1 = 0.004 m, m2 = 0.02 m, m3 = 0.3 m, m4 = 0.076 m, m5 = 0.6 m, stąd:

ρ=

p T ⋅ (0.004 ⋅ R1 + 0.02 ⋅ R2 + 0.3 ⋅ R3 + 0.076 ⋅ R4 + 0.6 ⋅ R5 )

8

ρ=

100000 273 ⋅ (0.004 ⋅ 4121.73 + 0.02 ⋅ 518.77 + 0.3 ⋅ 296.95 + 0.076 ⋅ 188.78 + 0.6 ⋅ 296.75)

ρ = 1.2 kg/m3

1.2.

Ściśliwość i rozszerzalność płynów.

Płyny charakteryzują się ściśliwością i rozszerzalnością. Jeżeli w zamkniętym naczyniu o objętości V znajduje się płyn, to zmiana jego objętości o dV spowoduje, przy zachowaniu stałej temperatury, zmianę ciśnienia o dp. Miarą ściśliwości płynu jest współczynnik ściśliwości definiowany jako: 1 dV β =− V dp lub, dla skończonych przyrostów, 1 V1 − V 2 β= . V1 p 2 − p1 Po przekształceniu otrzymamy: V 2 = V1 [1 − β ( p 2 − p1 )] Miarą rozszerzalności cieplnej płynów przy stałym ciśnieniu jest współczynnik rozszerzalności objętościowej definiowany jako: 1 dV α= V dT lub, dla skończonych przyrostów 1 V 2 − V1 α= . V1 T2 − T1 Po przekształceniu V 2 = V1 [1 + α (T2 − T1 )] . Dla gazów zmiany parametrów ujmuje równanie stanu gazu. Zmianom objętości cieczy towarzyszą zmiany gęstości określone odpowiednio wzorami:

ρ2 = ρ2 = Jednostki:

ρ1

1 − β ( p2 − p1 )

ρ1

1 + α (T2 − T1 )

współczynnik ściśliwości β współczynnik rozszerzalności objętościowej α

m2/N K-1

PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 1.6 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.1, str. 17) Ropę naftową poddano ściskaniu w grubościennym naczyniu cylindrycznym. Wyznaczyć współczynnik ściśliwości ropy naftowej, jeżeli przy wzroście ciśnienia w naczyniu od 0 do 2.5 MN/m2 tłok zamykający naczynie przesunął się o ∆h = 1.8 mm. Początkowa wysokość słupa ropy naftowej h = 1000 mm.

Dane:

Wyznaczyć: 9

∆p = 2.5 MN/m2 = 2.5⋅106 N/m2 ∆h = 1.8 mm = 0.0018 m

β

h = 1000 mm = 1 m

Rozwiązanie: Współczynnik ściśliwości:

β=

1 ∆V V ∆p

Zmiana objętości płynu wynosi: ∆V = ∆h ⋅

πD 2 4

Objętość początkowa płynu: V = h⋅

πD 2

4 ∆h 0.0018 β= = = 0.72⋅10-9 m2/N h ⋅ ∆p 1 ⋅ 2.5 ⋅ 10 6

Stąd:

Zadanie 1.7 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.2, str. 17) Do zbiornika ciśnieniowego o objętości 50 dm3 wpompowano 50.5 dm3 alkoholu metylowego o temperaturze 288 K. Pomijając odkształcenia zbiornika określić przyrost ciśnienia w nim. Współczynnik ściśliwości alkoholu metylowego β wynosi 0.122⋅10-8 m2/N.

Dane:

Wyznaczyć:

V1 = 50 dm3 = 0.05 m3 V2 = 50.5 dm3 = 0.0505 m3 T1 = 288 K β = 0.122⋅10-8 m2/N

∆p = p2 - p1

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru na współczynnik ściśliwości: 1 V1 − V 2 β= V1 p 2 − p1 Stąd: V − V2 ∆p = p 2 − p1 = 1 V1 ⋅ β ∆p = p 2 − p1 =

0.05 − 0.0505 = 8196721 N/m2 ≈ 8197 kN/m2 −8 0.05 ⋅ 0.122 ⋅10

Zadanie 1.8 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.6, str. 18) Nieodkształcalny zbiornik ciśnieniowy o objętości 0.10 m3 wypełniony całkowicie alkoholem metylowym podgrzano od temperatury 273 K do temperatury 323 K. Obliczyć przyrost ciśnienia w zbiorniku. Do obliczeń przyjąć β = 0.122⋅10-8 m2/N, α = 1.19⋅10-3 K-1.

Dane:

Wyznaczyć:

V1 = 0.10 m3 T1 = 273 K T2 = 323 K β = 0.122⋅10-8 m2/N

∆p

10

α = 1.19⋅10-3 K-1 Rozwiązanie: Proces przemiany płynu w zbiorniku rozpatrujemy w dwóch etapach: podgrzanie ze zmianą objętości i ściskanie do objętości początkowej. Współczynnik rozszerzalności objętościowej wynosi: 1 V2 − V1 α= V1 T2 − T1 Stąd po przekształceniu: V2 = V1[1 + α (T2 − T1 )] . Ale ponieważ zbiornik ciśnieniowy jest nieodkształcalny, więc objętość ściskamy do rozmiarów początkowych, co spowoduje przyrost ciśnienia w zbiorniku. Ze wzoru na współczynnik ściśliwości: 1 V1 − V2 β= V1 p2 − p1 wyznaczamy przyrost ciśnienia: V − V2 p 2 − p1 = 1 V1 ⋅ β Podstawiamy V2: p2 − p1 = p 2 − p1 =

1.3.

α (T2 − T1 ) β

1.19 ⋅10 −3 (323 − 273) ≈ 48.8 MN/m2 −8 0.122 ⋅10

Lepkość płynów

Lepkość jest charakterystyczną cechą płynów wyrażającą zdolność płynów do przenoszenia naprężeń stycznych. Miarą lepkości jest wartość współczynnika lepkości płynu. Współczynnik lepkości dynamicznej µ wiąże naprężenia styczne τ z gradientem prędkości: dU τ =µ dn Odnosząc współczynnik lepkości dynamicznej do gęstości płynu ρ otrzymamy współczynnik lepkości kinematycznej:

ν= Jednostki w układzie SI: współczynnik lepkości kinematycznej współczynnik lepkości dynamicznej

µ ρ 1 m2/s 1 Pa⋅s ≡ 1 kg/m⋅s

PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 1.9 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.1, str. 18) Współczynnik lepkości dynamicznej nafty w temperaturze T2 = 323 K równa się µ = 5.884⋅10-3 N⋅s/m2. Wyznaczyć lepkość kinematyczną nafty, jeżeli jej gęstość w temperaturze T1 = 293 K jest ρ1 = 800 kg/m3, a współczynnik rozszerzalności objętościowej α = 0.96⋅10-3 K-1.

Dane:

Wyznaczyć:

T2 = 323 K

ν 11

µ = 5.884⋅10-3 N⋅s/m2 T1 = 293 K ρ1 = 800 kg/m3 α = 0.96⋅10-3 K-1

Rozwiązanie:

µ ρ2

ν=

Znając współczynnik rozszerzalności objętościowej możemy wyliczyć gęstość ρ2:

ρ2 =

ρ1

1 + α (T2 − T1 )

Podstawiając do wzoru powyżej otrzymamy:

µ [1 + α (T2 − T1 )] ρ1

ν=

ν=

[

]

5.884 ⋅10 −3 ⋅ 1 + 0.96 ⋅10 −3 ⋅ (323 − 293) = 7.57⋅10-6 m2/s 800

Zadanie 1.10 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.2, str. 19) Kinematyczny współczynnik lepkości nafty w temperaturze T2 = 283 K równa się ν = 12⋅10-6 m2/s. Wyznaczyć lepkość dynamiczną nafty znając jej gęstość w temperaturze T1 = 293 K (ρ1 = 800 kg/m3). Współczynnik rozszerzalności objętościowej nafty przyjąć α = 0.96 ⋅ 10-3 K-1.

Dane:

Wyznaczyć:

T2 = 283 K ν = 12⋅10-6 m2/s T1 = 293 K ρ1 = 800 kg/m3

µ

Rozwiązanie:

µ ρ2

ν= Stąd:

µ = ν ⋅ ρ2

Zakładając, że znamy gęstość nafty ρ1 w temperaturze T1 i współczynnik rozszerzalności objętościowej α, możemy wyznaczyć gęstość ρ2:

ρ2 = Ostatecznie otrzymamy:

µ=

µ=

(

ρ1

1 + α T2 − T1 ν ⋅ ρ1

(

1 + α T2 − T1

12 ⋅10 −6 ⋅ 800 1 + 0.96 ⋅10

−3

⋅ (283 − 293) 12

)

)

= 0.97⋅10-2 N⋅s/m2

Zadanie 1.11 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.4, str. 19) Lepkość dynamiczną gazu jako funkcję temperatury można przedstawić w postaci zależności T +C  T    µ = µ0 0 T + C  T0 

32

;

µ0 oznacza tutaj lepkość w temperaturze T0, C jest stałym współczynnikiem zależnym od rodzaju gazu. Wyznaczyć wartość stałej C gazu, dla którego w temperaturze T0 = 273 K lepkość µ0 = 17.09⋅10-5 N⋅s/m2, a w temperaturze T1 = 313 K lepkość µ1 = 19.04⋅10-5 N⋅s/m2. Obliczyć także lepkość dynamiczną µ2 tego gazu w temperaturze T2 = 353 K. Dane:

Wyznaczyć:

T0 = 273 K µ0 = 17.09⋅10-5 N⋅s/m2 T1 = 313 K µ1 = 19.04⋅10-5 N⋅s/m2 T2 = 353 K

C, µ2

Rozwiązanie: T + C  T1    µ1 = µ 0 0 T1 + C  T0 

32

Wyznaczamy stałą C: 32

T  µ 0T0  1  − µ1T1  T0  C= 32  T1  µ1 − µ 0    T0   313  17.09 ⋅10 −5 ⋅ 273 ⋅    273  C=

32

− 19.04 ⋅10 −5 ⋅ 313

 313  19.04 ⋅10 −5 − 17.09 ⋅10 −5 ⋅    273 

32

= 119.5

Znając stałą C wyliczamy µ2: T + C  T2    µ2 = µ0 0 T2 + C  T0 

µ2 = 17.09 ⋅10

−5

273 + 119.5  353  ⋅   353 + 119.5  273 

32

32

= 20.87⋅10-5 N⋅s/m2

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA Zadanie 1.12 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.1, str. 9) Pięć litrów ropy naftowej waży G = 41.69 N. Obliczyć gęstość ρ ropy naftowej. Odpowiedź: ρ = 850 kg/m3

13

Zadanie 1.13 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.2, str. 9) Woda jest cięższa 1.3 raza od nafty. Obliczyć gęstość nafty w temperaturze T = 277 K (4oC). Odpowiedź: ρn = 769.2 kg/m3 Zadanie 1.14 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.5, str. 10) Wiedząc że stała gazowa powietrza wynosi R = 287.04 J/kg⋅K obliczyć objętość właściwą υ i gęstość ρ powietrza w temperaturze 288 K (15 oC) i ciśnieniu p = 101.325 kPa. Odpowiedź: υ = 0.816 m3/kg, ρ = 1.225 kg/m3 Zadanie 1.15 (poz. bibl. [5], zad. 1.1.6, str. 10) Obliczyć ciężar G powietrza zawarty w objętości V = 10 m3 przy ciśnieniu p = 490332.5 Pa i w temperaturze 293 K (20 oC). Odpowiedź: G = 572 N Zadanie 1.16 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.3, str. 17) Kulisty zbiornik ciśnieniowy o średnicy d = 1 m wypełniono alkoholem metylowym o temperaturze 288 K. Obliczyć objętość alkoholu, którym należy dodatkowo wypełnić zbiornik aby ciśnienie względne wzrosło w nim do 10 MN/m2. Odpowiedź: ∆V = 0.0064 m3 Zadanie 1.17 (poz. bibl. [5], zad. 1.3.2, str. 13) W autoklawie o objętości V0 = 50⋅10-3 m3 (50 litrów) znajduje się 50.5⋅10-3 m3 eteru. Obliczyć, przy pominięciu odkształceń autoklawu, przyrost w nim ciśnienia ∆p, jeśli współczynnik ściśliwości objętościowej eteru w temperaturze T = 293 K wynosi β = 19.45⋅10-10 m2/N. Odpowiedź: ∆p = 5.14⋅106 Pa Zadanie 1.18 (poz. bibl. [5], zad. 1.3.3, str. 13) Autoklaw, którego część cylindryczna ma średnicę d = 1 m i długość l = 2 m posiada dno i pokrywę w kształcie półkuli. Obliczyć objętość wody ∆V, jaką możemy dodatkowo wypełnić zbiornik by wzrosło w nim ciśnienie o ∆p = 89.0665⋅106 Pa, jeśli współczynnik ściśliwości objętościowej wody wynosi: β = 4.2⋅10-10 m2/N. Odkształcenie autoklawu pominąć. Odpowiedź: ∆V = 0.089 m3 Zadanie 1.19 (poz. bibl. [3], zad. 1.2.5, str. 17) Wyznaczyć względną zmianę gęstości gliceryny odpowiadającą zmianie temperatur od 293 K do 323 K. Do obliczeń przyjąć α = 0.59⋅10-3 K-1. Odpowiedź: ∆ρ/ρ1 = 0.0174 Zadanie 1.20 (poz. bibl. [3], zad. 1.3.1, str. 18) Dynamiczny współczynnik lepkości nafty w temperaturze T2 = 283 K wynosi µ = 0.97⋅10-2 kg/mּs. Wyznaczyć kinematyczny współczynnik lepkości w tej temperaturze, jeśli gęstość nafty w temperaturze T1 = 293 K wynosi ρ1 = 800 kg/m3 a współczynnik rozszerzalności objętościowej wynosi α = 0.96⋅10-3 K-1. Odpowiedź: ν = 12⋅10-6 m2/s

14