Movimiento Satelital Perturbado y Órbitas Satelitales - LRomeroZ

MOVIMIENTO SATELITAL PERTURBADO DETERMINACIÓN DETERMINACIÓN DE ÓRBITAS

GEODESIA SATELITAL

LUIS ROMERO ZÚÑIGA

19 DE JUNIO DE 2015

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ÍNDICE

Introducción .

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Resumen

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Movimiento de planetas y satélites

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Órbitas satelitales .

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Perturbaciones

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Marco Teórico

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Desarrollo del Tema Movimiento satelital perturbado

Movimiento perturbado debido al campo de gravedad anómalo de la tierra Perturbaciones

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Otras perturbaciones

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Determinación de Órbitas .

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Integración de la órbita sin perturbación .

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Conclusiones

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Referencias bibliográficas

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INTRODUCCIÓN Los satélites artificiales, con sus utilidades asociadas de investigación y comunicación, son posibles gracias a nuestro conocimiento de las leyes de la gravitación. La fuerza de la gravedad es la que los mantiene en las órbitas previamente calculadas, sin embargo frecuentemente sufren distintos tipos de perturbaciones. Una perturbación es la modificación que experimenta el movimiento de un astro a lo largo de su órbita como consecuencia de la atracción ejercida por los astros próximos. Ejemplo de ello corresponde a las variaciones continuas que experimenta el nivel medio del mar, el cual no es otra cosa que el efecto de la perturbación de éste por efecto de la atracción ejercida por la luna y el sol. Los astros como los planetas, cometas y satélites no describen, en torno del astro central, la elipse regular prevista por las leyes de Kepler y Newton, sino una elipse que es deformada por la atracción de cada uno de los astros más próximos o de mayor masa.

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RESUMEN

La determinación de la posición de un satélite artificial alrededor de la tierra no es tarea sencilla. Y más si se pretende conocerla con un alto grado de exactitud. Por un lado son varias las fuerzas que afectan el movimiento: la atracción gravitacional generada por la tierra, el sol, la luna y los planetas, el rozamiento con la atmósfera, la presión de radiación, el campo magnético terrestre y otros factores más. Por otro lado, al resolver las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento, se encuentra con el inconveniente de que éstas no se pueden integrar de forma completamente general. Esto deja sólo dos opciones: la primera es recurrir a métodos aproximados de integración de ecuaciones diferenciales, usualmente por expansión de series de potencias; y la segunda consiste en la integración numérica directa de las ecuaciones.

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MARCO TEÓRICO MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES De entre los tipos de fuerza existentes en la naturaleza, la fuerza gravitatoria es una de las de menor intensidad, pero sin embargo es fundamental en la evolución de nuestro universo: si no fuera por ella no existirían ni estrellas ni planetas, y consecuentemente tampoco podría existir la vida tal y como la conocemos. La Teoría de Gravitación Universal de Newton surgió como modelo teórico que permitía estudiar, predecir y comprender el movimiento de los cuerpos celestes. Esta teoría fue enunciada por Newton en 1687, y para demostrar su validez debía  justificare cómo una fuerza entre masas validaba las leyes enunciadas por Kepler casi 100 años antes que describían el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Estas leyes han tenido un significado especial en el estudio de los astros, ya que permitieron describir su movimiento; fueron deducidas empíricamente por Johannes Kepler (1571-1630) a partir del estudio del movimiento de los planetas, para lo cual se sirvió de las precisas observaciones realizadas por Tycho Brahe (1546-1601). Sólo tiempo después, ya con el aporte de Isaac Newton (1642-1727), fue posible advertir que estas leyes son una consecuencia de la llamada Ley de Gravitación Universal. La primera de estas leyes puede enunciarse de la siguiente manera: Los planetas en su desplazamiento alrededor del Sol describen elipses, con el Sol ubicado en uno de sus focos.

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Fig. 1

r 1  es la distancia más cercana al foco (cuando θ  = 0) y r 2  es la distancia más alejada del foco (cuando θ = π).

Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características: -

Semieje mayor a=(r 2+r 1)/2

-

Semieje menor b

-

Semidistancia focal c=(r 2-r 1)/2

-

La relación entre los semiejes es a2=b2+c2

-

La excentricidad se define como el cociente e=c/a=(r 2-r 1)/(r 2+r 1)

Debe tenerse en cuenta que las elipses planetarias son muy poco excéntricas (es decir, la figura se aparta poco de la circunferencia) y la diferencia entre las posiciones extremas de un planeta son mínimas (a la máxima distancia de un planeta al Sol se denomina afelio y la mínima perihelio). La Tierra, por ejemplo, en su mínima distancia al Sol se halla a 147 millones de km, mientras que en su máxima lejanía no supera los 152 millones de km. La segunda ley, puede expresarse como: Las áreas barridas por el segmento que une al Sol con el planeta (radio vector) son proporcionales a los tiempos empleados para describirlas.

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Fig 2

La línea que une al planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. En la siguiente figura, las dos áreas sombreadas son iguales, así que el planeta tarda lo mismo en ir de A a B que en ir de C a D.

Esta ley implica que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales; esto indica que la velocidad orbital es variable a lo largo de la trayectoria del astro siendo máxima en el perihelio y mínima en el afelio (la velocidad del astro sería constante si la órbita fuera un círculo perfecto). Por ejemplo, la Tierra viaja a 30,75 km/seg en el perihelio y "rebaja" a 28,76 en el afelio. La tercera ley, finalmente, dice que: El cuadrado del período de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. La tercera ley permite deducir que los planetas más lejanos al Sol orbitan a menor velocidad que los cercanos; dice que el período de revolución depende de la distancia al Sol. Pero esto sólo es válido si la masa de cada uno de los planetas es despreciable en comparación al Sol. Si se quisiera calcular el período de revolución de astros de otro sistema planetario, se debería aplicar otra expresión comúnmente denominada tercera ley de Kepler generalizada. Esta ley generalizada tiene en cuenta la masa del planeta y extiende la tercera ley clásica a los sistemas planetarios con una estrella central de masa diferente a la del Sol.

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ÓRBITAS SATELITALES Un satélite puede permanecer en la misma órbita durante un largo periodo de tiempo ya que la atracción gravitatoria de la Tierra contrarresta a la fuerza centrífuga. Como los satélites tienen su órbita fuera de la atmósfera, no les afecta la resistencia del aire, por lo que, de acuerdo con la ley de la inercia, la velocidad del satélite es constante. De esta manera pueden girar alrededor de la Tierra durante muchos años. La atracción gravitatoria disminuye al alejarnos de la Tierra, mientras que la fuerza centrífuga aumenta al incrementarse la velocidad orbital. Por lo tanto, un satélite en una órbita baja, típicamente de unos 800 km de la Tierra se expone a una inmensa tracción gravitacional y debe moverse a una velocidad considerable para generar una fuerza centrífuga correspondiente. Existe una conexión directa entre la distancia a la Tierra y la velocidad orbital del satélite. A una distancia de 36000 km, el tiempo que se tarda en realizar una órbita es de 24 horas, lo que corresponde al tiempo de rotación de la Tierra. A esta distancia, un satélite sobre el ecuador está estacionario con respecto a la Tierra. La órbita geoestacionaria Las órbitas geoestacionarias a 36 000 km del ecuador de la Tierra son las que mejor se conocen por muchos satélites empleados en diversos tipos de telecomunicaciones, incluida la televisión. Las señales de estos satélites pueden enviarse a todo el mundo. Las señales de telecomunicaciones se desplazan en línea recta, por lo que es necesario que los satélites queden estacionarios en las mismas posiciones relativas a la superficie de la Tierra. Un satélite estacionario aporta a la teledetección la ventaja de que siempre ve la Tierra desde la misma perspectiva, lo que significa que puede registrar la misma imagen a breves intervalos. Esto es particularmente útil para observar las condiciones meteorológicas.

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Un inconveniente de las órbitas geoestacionarias es la gran distancia a la Tierra, que reduce la resolución espacial que se puede lograr. Existen varios satélites meteorológicos distribuidos regularmente sobre la órbita geoestacionaria, cubriendo todo el mundo y proporcionando una visión global. Órbitas heliosincrónicas Muchos satélites que giran alrededor de la Tierra están equipados con sistemas de sensores pasivos que dependen de la iluminación solar. Al ir midiendo la reflexión de la luz solar procedente de la Tierra se deben ajustar sus órbitas al ritmo del día y de la noche. Esto es importante para poder comparar imágenes registradas a lo largo de un periodo de tiempo. Si se van a utilizar para realizar comparaciones, las condiciones de luz deben ser idénticas. Los registros deben tener lugar a la misma hora local del día para que la altitud del Sol sobre el horizonte sea la misma, y el plano de la órbita del satélite debe permanecer a un ángulo constante a la luz del Sol. Estos prerrequisitos pueden cumplirse situando el satélite en una órbita polar.  Al girar el satélite en su órbita, la Tierra gira sobre su eje. Cada vez que el satélite completa una vuelta se escanea una nueva franja de la superficie de la Tierra y, pasado un cierto número de vueltas, se habrá obtenido toda la superficie de la Tierra. Algunos satélites escanean una franja ancha cada vez y pueden de este modo cubrir la totalidad de la superficie de la Tierra en unas pocas vueltas. Por contra, los satélites de alta resolución que escanean sólo tiras finas tardan varios días en completar la cobertura de la Tierra. PERTURBACIONES Rigurosamente, las masas de los planetas no son despreciables, por lo tanto, no es cierto que exista una proporcionalidad exacta tal como lo enuncia la tercera ley de Kepler.

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Las otras dos leyes tampoco son rigurosamente válidas cuando se trata de más de dos cuerpos. Al respecto, deben tenerse en cuenta las atracciones mutuas entre los planetas de nuestro Sistema Solar, que se denominan perturbaciones. De esta manera, las leyes de Kepler definen la solución al problema del movimiento de dos cuerpos aislados y sujetos únicamente a su atracción gravitatoria mutua; esta situación se denomina problema de los dos cuerpos. Cuando se considera más de dos cuerpos, no existen fórmulas matemáticas rigurosas que permitan resolver el problema de determinar sus posiciones y su movimiento en general en forma exacta. A esta situación se denomina "problema de los N cuerpos". Este se estudia con métodos de aproximaciones sucesivas, es decir: dadas en cierto instante las masas y velocidades de N cuerpos (con N>2), se busca calcular sus posiciones y velocidades en cualquier instante futuro o pasado.

DESARROLLO DEL TEMA MOVIMIENTO SATELITAL PERTURBADO La órbita Kepleriana es una órbita teórica. Supone una Tierra esférica cuya masa se acumula en un punto, un sistema en el que no actúa más fuerza que la de atracción entre dos masas y que no existe atmósfera. Sin embargo esto no es real. Las fuerzas o aceleraciones perturbadoras son factores que generan una desviación del satélite en su órbita kepleriana teórica. La ecuación del movimiento perturbado será la del movimiento kepleriano más la acción de las aceleraciones perturbadoras.

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Fig 3

Ecuación del Movimiento Perturbado

Las fuerzas perturbadoras son particularmente responsables de: -

Las aceleraciones debido al achatamiento terrestre y la distribución no homogénea de la masa terrestre.

-

Las aceleraciones debido a los cuerpos celestes como el Sol, la luna y los planetas.

-

Las aceleraciones debidas a las mareas.

-

Las aceleraciones debidas a la presión de la radiación solar reflejada directamente en la tierra.

Las tres primeras fuerzas son gravitacionales, las otras fuerzas son no gravitacionales.

Fig 4

Fuerzas perturbadoras que actúan en un satélite.

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MOVIMIENTO PERTURBADO DEBIDO AL CAMPO DE GRAVEDAD ANÓMALO DE LA TIERRA El dominio, por mucho, de las fuerzas perturbadoras de las órbitas de los satélites artificiales se debe al achatamiento de la tierra, como lo demuestra la figura 5. El diámetro terrestre medido en el plano ecuatorial es de 42,72 Kms más que el diámetro medido en el eje terrestre. Esta diferencia provoca una leve fuerza de torsión en los satélites y genera una rotación de la órbita satelital en el plano ecuatorial. Dando como resultado un efecto similar a la Precesión de la tierra en el eje terrestre.

FIG 5

La Precesión es causada principalmente por el Achatamiento Terrestre.

PERTURBACIONES Las fuerzas perturbadoras que afectan a un satélite en su movimiento alrededor de la Tierra podemos dividirlas en dos grandes grupos: -

Gravitacionales

o

No esfericidad de la Tierra

o

Atracción de mareas (efecto directo e indirecto)

o

Irregularidades y variaciones del campo gravitatorio terrestre

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-

No gravitacionales

o

Presión por radiación solar

o

Rozamiento atmosférico

o

Efectos relativistas

o

Viento solar, campo magnético, etc...

En los satélites GNSS, las principales perturbaciones son: -

No esfericidad de la Tierra

-

Mareas producidas por el Sol y la Luna

-

Presión por radiación solar.

OTRAS PERTURBACIONES Los satélites no describen en su movimiento alrededor de la Tierra órbitas perfectas. Esto se debe a la influencia de diferentes efectos, que por orden de importancia son: -

La masa de la Luna.

-

La masa del Sol.

-

La no excentricidad de la Tierra.

-

La radiación del Sol.

PERTURBACIONES DEBIDAS AL SOL El mayor efecto del Sol se produce sobre el mantenimiento del satélite en una órbita alrededor de éste (como el movimiento de traslación de la Tierra).

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Un satélite en órbita geoestacionaria recorre en un día en su movimiento alrededor del Sol diez veces la distancia que recorre en su movimiento alrededor de la Tierra (esta última es de 260000 km). Dependiendo de si el satélite está más o menos lejos del Sol que la Tierra, la aceleración que recibirá será menor o mayor que la recibida por la Tierra, pues la atracción gravitacional es mayor cuanto menor es la distancia que los separa (estos efectos también se producen sobre la Luna). Las perturbaciones debidas al Sol se traducen en dos efectos: -

Distorsión de la curvatura de la órbita elíptica, acortándola a través del eje Tierra-Sol.

-

Distorsión de la curvatura de la órbita producida por un giro del momento angular o de la normal de la órbita. Esto supone un incremento de 0.9º en una órbita que comienza con inclinación cero. La corrección de este efecto supon a menudo el consumo de gran cantidad de combustible por parte del satélite.

Como puede observarse en la figura 6, la desviación de la normal a la órbita varía en forma de arcos, correspondiendo cada uno a un recorrido de seis meses. La desviación es mayor en el punto medio, cuando la declinación del Sol es máxima, y disminuye hasta valores cercanos a cero al final del arco, donde la declinación es mínima.

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Fig 6

Efecto de desviación.

PERTURBACIONES DEBIDAS A LA LUNA La atracción gravitatoria debida a la Luna también crea un campo gradiente gravitacional y una desviación de la normal a la órbita del satélite, siendo este efecto mayor que el producido por el Sol. Su estudio es mucho más complejo, ya que en este caso la normal de la órbita de la Luna cambia con el tiempo (en el Sol permanece fija). La normal de la órbita lunar rota alrededor del polo eclíptico cada 18.6 años. Esta variación se debe a que el campo gradiente gravitacional produce un giro en el

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momento angular orbital de la Luna. La normal de la órbita del satélite varía por término medio entre 0.75º y 0.9º en un año. Comienzo del año

 Ascensión recta (grados)

Declinación (grados)

Comienzo del  Ascensión año recta (grados)

Declinación (grados)

1985

279.43

63.30

1998

274.53

71.45

1986

276.47

62.23

1999

279.01

70.53

1987

273.07

61.59

2000

281.88

69.11

1988

269.47

61.42

2001

283.00

67.43

1989

265.89

61.73

2002

282.57

65.72

1990

262.60

62.51

2003

280.91

64.14

1991

259.82

63.69

2004

278.36

62.85

1992

257.84

65.19

2005

275.19

61.93

1993

256.98

66.88

2006

271.68

61.47

1994

257.58

68.60

2007

268.07

61.49

1995

259.88

70.12

2008

264.58

61.98

1996

263.90

71.22

2009

261.44

62.93

1997

269.13

71.70

2010

258.94

62.24

Tabla 1

Coordenadas normales de la órbita lunar

En la tabla se muestra la localización de la normal de la órbita lunar al comienzo de cada año. Se observa cómo el ángulo entre la normal de la órbita lunar y el Polo Norte alcanzó un máximo en Noviembre de 1987 de 23.45º + 5.15º ( un total de 28.6º ). Los 5.15º corresponden al ángulo entre la normal de la órbita lunar y el polo eclíptico. Un mínimo aparecerá en Febrero de 1997, por lo que queda constatado el periodo de 18.6 años. El aumento de estos ángulos supone un aporte adicional de combustible que habrá de considerar.

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PERTURBACIONES DEBIDAS AL SOL Y LA LUNA En la figura 7 se observa el efecto combinado de la Luna y el Sol.

FIG 7 El estudio comienza en Noviembre de 1980 y se plotea semanalmente. A lo largo de 1986 la inclinación aumentó 0.93º y el satélite tuvo oscilaciones

diarias

Norte-Sur

de

esta

magnitud.

PERTURBACIONES DEBIDAS A LA NO ESFERICIDAD DE LA TIERRA Se distinguen varios efectos producidos por la no esfericidad de la Tierra: -

El achatamiento de los polos afecta a la normal de la órbita.

-

Este achatamiento también cambia ligeramente la trayectoria de la órbita geoestacionaria.

-

La no circularidad del Ecuador causa una variación en la longitud del satélite.

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Efecto en la normal al satélite: La Tierra está achatada por los polos y abombada en el Ecuador. El radio polar (6356.77 km) tiene 22 km menos que el radio ecuatorial (6378.14 km). Un satélite en el espacio experimenta una atracción extra hacia el abombamiento del ecuador. Por ello, en general, como puede observarse en la figura 8, la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra no va dirigida exactamente hacia su centro.

FIGURA 8

Esta fuerza se puede expresar como una suma de armónicos: o

El primer término, correspondiente al 1, se trata de la ley principal gravitatoria.

o

El siguiente término, con el coeficiente J2, pone de manifiesto el achatamiento de la Tierra, es decir, la no esfericidad de la misma. El valor del coeficiente J2 es de 1082.63*10^-6.

El achatamiento de la Tierra tiene dos efectos sobre la órbita geoestacionaria: -

La aceleración gravitatoria en la órbita geoestacionaria se incrementa, por lo que para el periodo orbital igual a un día sideral, el radio de la órbita deberá incrementarse ligeramente.

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-

Si la órbita tiene alguna inclinación, el satélite experimentará una fuerza hacia el plano ecuatorial que causará una variación en la normal de la órbita, siendo ésta mayor a medida que aumenta la inclinación.

Efectos sobre la longitud del satélite. Observando una sección de la Tierra vemos que ésta tiene forma de elipsoide triaxial. Esto causa que la fuerza de atracción gravitatoria no se produzca exactamente hacia el centro de la Tierra. Además se crea una componente de fuerza que puede actuar a favor o en contra de la velocidad del satélite, como se puede observar en la figura 9.

FIG 9

Cuando la aceleración es positiva, la longitud se incrementa y el satélite se mueve a derechas. Se observan dos puntos de aceleración nula. Éstos son los puntos estables (los satélites permanecen estacionados). El resto de los puntos son inestables, ya que poseen ciertas aceleraciones. Son longitudes donde el Ecuador es más ancho, por lo que los satélites en esas longitudes se verán acelerados lejos de esos puntos.

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Para la mayoría de los satélites, el efecto debido a las irregularidades en la distribución de la masa de la Tierra y su no esfericidad no tiene importancia, pero un satélite geoestacionario mantiene una relación constante con la asimetría de la masa, y el efecto se acumula en un periodo de días o semanas. MANTENIMIENTO EN LA ÓRBITA GEOESTACIONARIA Una verdadera órbita geoestacionaria debería tener inclinación y excentricidad nulas. Además el satélite debería estar fijado a una longitud y no moverse con respecto a la Tierra. El elemento orbital que cuesta más controlar es la inclinación. La cantidad de combustible requerido para el mantenimiento Norte-Sur es normalmente un orden de magnitud mayor que el usado para solventar el resto de efectos. El elemento más importante a controlar es la longitud, ya que un error en su control puede ocasionar grandes desviaciones del satélite con respecto a la estación terrena. El elemento más fácil de controlar es la excentricidad, puesto que no existen perturbaciones que produzcan incrementos regulares en la excentricidad (para periodos de un año o más largos). El control de la excentricidad se combina normalmente con el mantenimiento Este-Oeste, con un incremento de combustible adicional. Los cambios de velocidad requeridos para el mantenimiento en órbita se obtienen con varios tipos de propulsores. Si un propulsor expulsa una cierta masa de combustible (dm) con una velocidad efectiva (ve), la velocidad del cohete experimenta un cambio adicional (dv) que viene dado por: M*dv = -ve*dm ; conservación del momento lineal.

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Mantenimiento Norte-Sur: Inclinación: Los propulsores contenidos en el satélite sirven para conseguir periódicamente las desviaciones de la órbita, con el consiguiente gasto de combustible, que supone un acortamiento de la vida útil del satélite. Siempre se buscan dos objetivos: minimizar el consumo total de combustible y maximizar el tiempo entre maniobras (correcciones). Las perturbaciones solares y lunares tienden a desplazar la normal de la órbita hacia Aries (alpha = 0). Por lo tanto, las maniobras de inclinación moverán la normal de la órbita en la dirección opuesta. Para minimizar el efecto de fluctuaciones diarias en la posición normal de la órbita, la inclinación instantánea se puede promediar alrededor de un día solar medio. Esta inclinación media puede entonces ser controlada antes que una inclinación instantánea. La normal de la órbita es perpendicular al vector de velocidad y de radio simultáneamente. Se produce una maniobra de inclinación cuando el vector del radio es perpendicular a la antigua y a la nueva normal de la órbita (esto ocurre cuando el satélite está cerca del plano ecuatorial). Una típica corrección Norte-Sur sucede en un nodo descendente alrededor de alpha=270º. Un propulsor produce una velocidad en dirección Norte sobre la parte Sur del satélite. Esto se puede observar en la figura 10.

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FIG 10

Mantenimiento Este-Oeste: La longitud del satélite se debe mantener dentro de ciertos límites fijados para evitar que interfiera con los satélites vecinos. Un propulsor se puede usar para cambiar la velocidad e invertir la tasa de impulsos; entonces el satélite retrocederá y alcanzará la posición inicial.

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DETERMINACIÓN DE ÓRBITAS La tarea básica en la determinación de una órbita es derivar los elementos para la descripción de órbitas desde las observaciones o desde información aproximada. En la mecánica celeste clásica, en beneficio de simplificar los cálculos, la tarea de la determinación de la órbita fue, en general, dividida en: -

Determinación inicial de la órbita.

-

La determinación de la órbita mejorada usando las observaciones disponibles.

Con la determinación inicial de la órbita, una órbita preliminarmente es usualmente derivada desde 3 sets de observaciones a épocas diferentes, despreciando todas las perturbaciones. Hoy, con todas las facilidades electrónicas de computación a la mano. INTEGRACIÓN DE LA ÓRBITA SIN PERTURBACIÓN Distinguimos entre el problema del valor inicial, conectado con Laplace y el problema de los valores límites, después llamado Gauss. En el valor inicial del problema, los elementos de la órbita del satélite son determinados desde la posición y el vector de velocidad del satélite a una época dada. Éstos pueden ser conocidos desde la posición inicial y la velocidad de lanzamiento del satélite.

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CONCLUSIONES El presente trabajo ha presentado algunos inconvenientes de investigación que sin duda, no han permitido desarrollar los temas propuestos de manera abierta. Esto debido a que la mayoría de los elementos a investigar se encuentran en inglés, haciendo más lento el proceso investigativo para quienes no dominamos el idioma. Sin embargo, se ha podido plantear el movimiento de los satélites artificiales, las leyes que fundamentan su funcionamiento, ya sea éste estacionario o en movimiento.  Además se ha presentado ejemplos de aquellas principales perturbaciones que afectan el normal movimiento en la órbita de un satélite, rescatando con todo esto que, el trabajo de las estaciones de control de los satélites que se encuentran distribuidas en la tierra es fundamental para el normal funcionamiento de cada satélite en el espacio.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS -

Satellite Geodesy  – Günter Seeber  – 2nd completely revised and extended edition. Walter de Gruyter  – Berlin  – New York 2003.

-

Astronomía esférica y mecánica celeste  – Juan José de Orús Navarro  – Publicación y Edición Universidad de Barcelona.

-

www.jfvc.wordpress.com  – Página web del Ing. José Francisco Valverde Calderón.

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