Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (Aceleración constante, velocidad variable) Ecuaciones de Movimiento:

x  x0  v 0 t  x  x0 

1 2 at 2

1 (v  v 0 )t 2

v  v 0  at

v 2  v 02  2a ( x  x 0 ) Donde: x

es la posición final del cuerpo.

x0

es la posición inicial.

v0

es la velocidad inicial.

v

es la velocidad final.

a

es la aceleración.

t

es el tiempo que duró moviéndose el cuerpo.

x - x0

es el cambio de posición o desplazamiento.

x  x 0 (es el valor absoluto del desplazamiento) es la distancia recorrida por el cuerpo.

1.- Un automóvil que se mueve con una velocidad inicial de 100 Km/h frena completamente en 15s a) ¿Cuál es su aceleración? b) ¿Qué distancia recorre? c) ¿Cuáles son sus ecuaciones de movimiento? (con valores numéricos). d) Grafique las ecuaciones de movimiento. e) Encuentre nuevamente la distancia que recorre encontrando el área bajo la curva en una gráfica de v vs. t a) Primeramente planteamos el problema, haciendo un dibujo del movimiento del cuerpo. En dicho dibujo, elegimos nuestro origen en el momento en que empezamos a observar el cuerpo, esto es cuando su velocidad es de 100 km/hr. Nuestras unidades deben de ser compatibles, o trabajamos en hr o en segundos. Si elegimos estas últimas unidades, la velocidad la tenemos que convertir, convirtiendo de igual forma los kilómetros en metros (generalmente se trabaja en m/s a menos que se indique lo contrario). Para convertir realizamos las siguientes operaciones (multiplicamos por 1000 metros y dividimos entre un kilómetro; multiplicamos por una hora y dividimos entre 3600 s. Esto con la finalidad de cancelar los kilómetros y la hora).

100

km  1000m   1hr  m      27.77 hr  1km   3600 s  s l x0 = 0 t 0= 0 s v0 = 100 Km/hr = 27.77 m/s

l x=? t = 15 s v = 0 m/s

Elegimos de entre las ecuaciones de movimiento, aquélla que contenga aceleración, así como alguna o algunas de las condiciones contenidas en el planteamiento. Dicha ecuación es:

v  v 0  at Despejando y sustituyendo valores:

a

v  v0  t

m s  1.85 m 15s s2

0  27.77

Para encontrar la distancia ( x  x 0 ) recorrida por el cuerpo, traducimos a símbolos la expresión verbal, recordando que x es la posición final. x=?

cuando

x0 = 0 v0 = 27.77 m/s v=0 t = 15 s a = -1.85 m/s2

Aplicamos la ecuación:

x  x0  v0 t 

1 at 2

m 1 m  2 x  0  27.77 15s     1.85 2  15s s 2 s  x  416.55m  208.125m . x  208.425m c) Las ecuaciones de movimiento con sus valores numéricos son:

x  27.77t  0.925t 2

v  27.77  1.85t a  1.85  ctte d) Las gráficas correspondientes a las ecuaciones de movimiento son:

200

x (m)

180 160 140 120 100 8 0 60 4 0 20

3 0 2 5 2 0

+

l

l

l

3

6

9

l

l

12

15

t (s)

v (m/s) + +

1 5

+

1 0

+

5 l

0

l

l

3

+ 15

l

9

6

12

t (s)

a (m/s 2 ) 2 1 -1 -2

-

l

l

l

l

l

3

6

9

12

15

l

t (s)

Análisis de las gráficas En la gráfica de x vs. t observamos que en el instante de tiempo t = 0 s el cuerpo se encuentra en el origen, en dicho instante la pendiente a la curva es positiva (el cuerpo se mueve hacia la derecha), posteriormente, en los subsecuentes instantes de tiempo, la pendiente (tangente a la curva en cualquier punto) sigue siendo positiva, pero van disminuyendo, todo esto nos indica que el cuerpo se sigue moviendo hacia la derecha, pero con velocidades decrecientes, lo que significa que la velocidad no es constante, es decir, que no es un movimiento rectilíneo uniforme. En el instante de tiempo t = 15 s el cuerpo se encuentra en la posición x = 208.425 m. En 15 s recorrió una distancia d  x  x 0  208.425m Además, en dicho instante la pendiente es tangente al eje horizontal (la velocidad del cuerpo es cero), deteniéndose en dicha posición. En la gráfica de v vs. t, se obtienen una serie de puntos que se encuentran alineados sobre una línea recta, por lo que los cambios de velocidad son uniformes. Como la velocidad va diminuyendo con el transcurso del tiempo, vemos que la pendiente de la recta es negativa, el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado (desacelerado).

El área bajo la curva está conformada por el triángulo rectángulo que se forma entre los ejes y la recta, el área de dicho triángulo viene expresado por:

A

bh tv (t  t 0 )(v  v0 )  v 0 t  27.77(15)      208.425 2 2 2 2 2

Analice el signo del resultado obtenido, así como las unidades y proporcione una explicación adecuada. La aceleración se obtiene a partir de la pendiente de la recta en la gráfica, dicha pendiente es negativa y tiene un valor constante de 1.85 m/s2. 2. Un automóvil que se mueve a 60 ft/s llega al reposo con desaceleración constante en una distancia de 240 ft. a) ¿Cuál es su aceleración? (desaceleración). b) ¿Cuánto tiempo tardó en parar?

l

l x = 240 ft/s t=? v=0

x 0 = 0 ft t 0= 0 s v 0 = 60 ft/s

Datos

a) Ecuación

b) Ecuación

x0 = 0 ft

v 2  v 02  2a ( x  x 0 )

v  v 0  at

Despejando a

Despejando t

v 2  v02 a 2( x  x 0 )

t

Sustituyendo valores

Sustituyendo valores

x = 240 ft t0 = 0 s v0 = 60 ft/s v = 0 ft/s



ft  0   60  s  a ft   2 240  s 

2

 7.5

ft s2

v  v0 a

ft s  8s t ft  7.5 s 0  0.6

3.- Un trineo tiene una aceleración constante de 2 m/s 2 y parte del reposo. a) ¿Qué velocidad tendrá a los 5 s? b) ¿Qué distancia habrá recorrido al termino de los 5 s? c) ¿Cuál es su velocidad media? d) ¿Qué distancia recorrerá hasta el instante en que alcanza una velocidad de 40 m/s?

x0 = 0 m t 0= 0 s v 0 = 0 m/s

x=? t=5s v=? a = 2 m/s 2

En problemas de movimiento rectilíneo, debemos observar los parámetros o variables que se manejan, éstos son: posición, tiempo, velocidad y aceleración. Tanto en condiciones iniciales como en finales. Para responder las preguntas, se recomienda expresar en símbolos las expresiones verbales, por ejemplo: en el inciso a) v=?

cuando

t = 5 s.

Adicionalmente a esto, se deben tener presente las condiciones iniciales tales como: v=?

cuando

t=5s x0 = 0 m v0 = 0 m/s a = 2 m/s2

Expresada la pregunta de esta forma, es más fácil resolverla, puesto que si el problema es directo, únicamente tenemos que buscar de entre nuestras ecuaciones de movimiento aquélla que contenga las variables. Dicha ecuación es: v = v0 + a t Sustituyendo los valores: v = 0 + 2m/s2 ( 5s ) v = 10 m/s b) Datos x =?

Ecuación Cuando v = 10 m/s t=5s v0 = 0 m/s x0 = 0 m a = 2 m/s2

x  x0  v0 t 

at 2 2

m  5s  2 2 x  0  0 5s   s 2 2

x

2 25 2

x = 25 m c) Datos v ?

Ecuación Cuando x0 = 0 x = 25 m t0 = 0 t=5s v0 = 0 m/s

vm 

x x  x0  t t  t0

vm 

25m 5s

vm  5

a = 2 m/s2 d) Datos

Ecuación

m s

x ?

Cuando x0 = 0 v = 40 m/s v0 =0 m/s a = 2 m/s2 t=?

v 2  v 2 0  2a  x  x 0  v 2  v 20 x  x0  2a m2 m (40 ) 2  0 1600 2 s s x  x0   m m 2(2 ) 4 2 s s x  x0  400 m

4. Un coche que inicialmente se mueve con una velocidad constante, acelera a razón de 1 m/s 2 durante 12 s. Si el coche recorrió en estos 12 m una distancia de 190 m a) ¿Cuál era la velocidad del coche cuando empezó a acelerar? Datos

v0  ?

Ecuación Cuando a = 1 m/s2

x  x0  v o t 

t = 12 s x - x0 = 190 m

v0 

at 2 2

 x  x0   at

2

2

t

m (12s ) 2 2 190m  s 2 v0  12 s 1

v0 

190m  72m 118 m  12 s 12 s

v 0  9.83

m s

5. Una partícula en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado tiene una velocidad de v 1 = 10 m/s en el instante t1 = 2 s y una velocidad v2 = 30 m/s en el instante t2 = 7 s. a) ¿Cuál es la aceleración de la partícula? b) ¿Cuál será su velocidad en t = 10 s? c) ¿Cuál es la distancia que recorre desde el instante t 0 =0 hasta el instante t = 10 s? d) ¿Cuál es la velocidad de la partícula después de haber recorrido una distancia de 4 m a partir del instante de tiempo t = 0 s? En este problema (en ningún momento se nos indica que el cuerpo parta del reposo) se debe de tener atención especial, para ello, es indispensable elaborar un esquema de lo que está sucediendo, utilizando subíndices para identificar las diferentes posiciones del cuerpo.

. .

t0 = 0 x0 = 0 v0 = ?

t1 = 2 s v1 = 10m/s x1 = ?

t2 = 7 s v2 = 30 m/s x2 = ?

t 3 = 10 s v3 = ? x3 = ? .

Para calcular la aceleración tomamos las posiciones intermedias, que es donde nos dan las velocidades y tiempos. De esta forma podemos aplicar la definición de aceleración.

v v v a  2 1  t t2  t1

 30  10  m s  7  2 s



20 m 4 5 s

b) Para calcular la velocidad en t = 10 s, tomamos como velocidad inicial a 30 m/s, debiendo tener mucho cuidado con el tiempo, ya que éste será un intervalo de tiempo de t2 a t3. Aplicamos la ecuación:

v  v 0  at Pero con los siguientes subíndices:

v3  v 2  a t 3  t 2  Sustituimos los valores

v3  30

m m  4 10 s  7 s  s s

v3  30  4 3  30  12  42

m s

c) Para determinar la distancia, expresemos la pregunta en simbología matemática, recabando toda la información conocida. x - x0 = ?

cuando

t0 = 0 s. x0 = 0 m t = 10 s a = 4 m/s2 v = 42 m/s.

Como se podrá observar, no pusimos la velocidad inicial v0, generalmente en todos los problemas dicha velocidad es cero en t0=0 s pero aquí no es el caso. Además, si revisamos todas las ecuaciones que contengan x - x0, éstas involucran tal velocidad inicial, por lo que primeramente nos abocaremos a encontrarla. El problema ahora es encontrar tal velocidad inicial, es decir: v0 = ?

cuando

v1 = 10 m/s

Ecuación

t0 = 0 s

v = v0 + a t

t1 = 2 s

despejando v0

a = 4 m/s2

v0 = v - a t v0 = 10 m/s - (4 m/s2)(2 s) v0 = 2 m/s

Una vez encontrada, regresamos a la pregunta original, esto es: x - x0 = ?

cuando

t0 = 0 s.

Ecuación

x0 = 0 m

v2 - v20 = 2 a ( x - x0 )

t = 10 s a = 4 m/s

despejando x - x0 2

v = 42 m/s

x  x0 

v 2  v02 2a

sustituyendo



2

m  m  42    2  s  s x  x0    m 2 4 2   s 

2

m2 m2 1764 2  4 2 s s x  x0  m 8 2 s x - x0 = 220 m d) Para encontrar la velocidad desde t0 = 0 s hasta que recorrió una distancia de cuatro metros, aplicamos la ecuación:

v 2  v 2 0  2a  x  x 0  Despejando

v 2  2a  x  x 0   v 2 0 Sustituyendo

 m  m v 2  2 4 2   4m    2   s   s

2

Resolviendo

v 2  32

m2 m 4 2 2 s s

v  36

m2 m 6 2 s s

6. Un automóvil que lleva aceleración constante recorre en 6 s la distancia de 54.8 m que separa a dos puntos. Su velocidad en el momento en que pasa por el segundo punto es de 13.7 m/s.

a) ¿Cuál es su velocidad en el primer punto? b) ¿Cuál es su aceleración? c) ¿A qué distancia anterior al primer punto estaba el automóvil en reposo?

x1 = ? t1 = ? v1 = ?

x0 = 0 t0 = 0 v0 = 0

x2 = ? t2 = ? v2 = 13.7 m/s

Como se puede observar en la ilustración anterior, aparentemente no existen datos, sin embargo, debe considerarse que las incógnitas que ahí aparecen son posiciones, velocidades y tiempos finales. Nosotros podemos considerar intervalos utilizando los subíndices adecuados, como por ejemplo: x2 - x1 = 54.8 m t2 - t1 = 6 s. Con los datos expresados de esta forma, podemos adecuar nuestras ecuaciones de movimiento, así por ejemplo, la ecuación:

x  x0 

1  v  v0  t 2

Se convierte en:

x 2  x1 

1  v 2  v1  t 2  t1  2

Debe de notarse como se manejan los subíndices. Cuando el cuerpo está en la posición x 1 se le asocia un tiempo t 1 y una velocidad v 1 (condiciones iniciales). Cuando está en la posición x2 se le asocia un tiempo t2 y una velocidad v2 (condiciones finales). Despejando la velocidad v1 encontramos que:

v1 

2 x 2  x1   v2 t 2  t1

Sustituyendo datos: EMBED Equation.3

v1 

2 54.8m  m  13.7 6s s

Resolviendo v1 = 4.56 m/s b) Traducimos a símbolos la expresión verbal: a=?

cuando

v1 = 4.56 m/s v2 = 13.7 m/s t2 - t1 = 6 s.

Aplicamos la definición de aceleración:

v v2  v1 a   t t 2  t1

13.7  4.56 m

s  1.52 m s

6s

c) Traducida a símbolos: x1 - x0 = ?

cuando

v0 = 0 v1 = 4.56 m/s a = 1.52 m/s2

Aplicamos la ecuación:

v12  v02  2a ( x1  x0 ) Despejando y sustituyendo valores:

m 2 ) 0 v v s x1  x0    6.84m m 2 2a 2(1.52 ) s 2 1

2 0

(4.56

7. En el instante en que se enciende la luz verde en un crucero, un automóvil arranca con una aceleración constante de 1.83 m/s2. En el mismo instante, un camión que lleva una velocidad constante de 9.14 m/s. alcanza al automóvil y lo pasa. a) ¿A qué distancia del semáforo alcanzará el automóvil al camión? b) ¿Qué velocidad llevará el automóvil en ese momento? Cuando se tienen dos o más cuerpos moviéndose simultáneamente, es necesario identificar cada uno de esos cuerpos, para ello, se utilizan los subíndices. Además, a cada cuerpo le corresponde su propia ecuación de movimiento, teniendo tantas ecuaciones como cuerpos tengamos.

En la figura anterior se ilustra el problema; al inicio, ambos cuerpos se encuentran uno al lado del otro estando el auto en reposo y alcanzando el camión al auto justo en el instante en que se enciende el semáforo. Como el camión ya venía con una cierta velocidad, dicha condición hace que el camión se adelante al auto, ya que éste apenas va a empezar a moverse, posteriormente, como el auto va acelerando, llegará un momento en que alcance al camión. Como se podrá observar en el dibujo, las posiciones y tiempos iniciales de ambos cuerpos son iguales; lo mismo ocurre con las finales. Esto lo traducimos a símbolos de la siguiente forma: x0c =x0a = 0

xc = xa

t0c = t0a = 0

tc = ta

Escritas de esta forma, es más sencillo resolver el problema ya que, el mismo planteamiento nos lleva a conocer qué es lo que vamos a hacer, esto es, que las posiciones finales de ambos cuerpos son las mismas, por lo tanto, podemos igualar miembro a miembro las ecuaciones de movimiento de cada uno de ellos. Auto

x A  x0 A  v 0 A t A 

Camión

1 a A t A2 2

xC  x 0 C  v 0 C t C 

1 aC t C2 2

x A  xC Sustituyendo

x0 A  v 0 A t A 

1 1 a A t A2  x 0C  v0C t C  aC t C2 2 2

Como tA = tC podemos quitar el subíndice quedándonos únicamente t, siendo éste el tiempo que tardan los cuerpos en estar nuevamente uno al lado del otro.

x0 A  v0 A t 

1 1 a A t 2  x0 C  v 0C t  aC t 2 2 2

Sustituyendo los valores conocidos, la igualdad anterior se nos reduce a:

1 a A t 2  v 0C t 2 Como se podrá observar, la ecuación nos queda únicamente en términos de t, la cual podemos despejar, para esto, la t que se encuentra multiplicando en el miembro de la derecha la pasamos dividiendo al miembro de la izquierda y después la cancelamos con una de las de arriba.



 1.83

1 2

m  s2 

t

t 2  9.14

m s

1 m m  1.83 2  t  9.14 2 s s  Despejando a t:

m ) s t m 1.83 2 s 2(9.14

Resolviendo: t = 9.98 s. Como nos piden la distancia, este tiempo se sustituye en cualquiera de las ecuaciones de movimiento

xC  x0C  (9.14

m 1 )(9.98s )  (0)(9.98s ) 2 s 2

Resolviendo

xC  x 0 C  91.21m

Si sustituimos el tiempo en la ecuación para el auto, se encuentra el mismo valor. Para determinar la velocidad del automóvil en ese momento, sustituimos el valor encontrado para el tiempo en la ecuación:

v A  v0 A  a A t A Encontrando:

v A  0  (1.83

m m )(9.98s )  18.27 2 s s

8. Un automovilista que va a una velocidad constante de 72 km/hr, pasa frente a un agente de tránsito que empieza a seguirlo en su autopatrulla. El agente inicia la persecución 4 s después de que pasó el auto, partiendo del reposo y continuando con aceleración constante. Alcanza al auto a 3.6 Km del lugar de donde partió. a) ¿Durante cuánto tiempo se movió el auto desde el instante en que pasó frente al policía hasta que fue alcanzado? b) ¿Cuánto tiempo usó el policía en la persecución? c) ¿Cuál fue la aceleración del autopatrulla? d) ¿Cuál era la velocidad de la patrulla cuando alcanzó al auto?

.

x0P = 0 t =0 0P v =0

vP =? a =? P

0P

X 0A = 0 t 0A = 0 v = 72km/hr

X A = X P = 3.6 km.

t A = t P+ 4 s

0A

Datos:

v A = 72km/hr Auto

Patrulla

x0A= 0 m

x0P= 0

xA = 3600 m

xP = 3600 m

t0A = 0 s.

t0P = 4 s.

tA = ?

tP = tA - 4 s. = ?

v0A = 72 K/hr = 20 m/s

v0P = 0 m/s

vA = 20 m/s

vP = ?

2

aP = ?

aA = 0 m/s

Para determinar el tiempo del auto, aplicamos la ecuación:

x A  x0 A  v 0 A t A 

1 a A t A2 2

Sustituyendo valores:

3600m  0  20

m 1 t A  (0)t A2 s 2

Despejando tA

tA 

3600m  180 s m . 20 s

b) Para determinar el tiempo de la patrulla, recordemos que ésta tardó 4 segundos en reaccionar e iniciar la persecución, es decir, su tiempo es 4 s menor que el del auto, esto es: tP = 180 s - 4 s = 176 s Para determinar la aceleración de la patrulla, aplicamos la ecuación de movimiento:

x P  x0 P  v0 P t P 

1 a P t P2 2

sustituyendo valores para reducir la ecuación y facilitar el despeje de la aceleración:

xP 

1 a P t P2 2

despejando y sustituyendo valores:

xP 

1 2(3600m) m a P t P2   0.232 2 2 176 s s

La velocidad se determina a partir de la ecuación de movimiento:

v P  v0 P  a P t P  0  (0.232

m m )(176 s )  40.83 2 s s

9. Dos autos viajan inicialmente con la misma velocidad sobre una carretera recta. El primero lleva una delantera de 100 m al segundo auto. Este segundo auto desarrolla una aceleración constante de 2.4 m/s2, y la aceleración del primero es de 1.8 m/s 2. a) Determine el tiempo necesario para que el segundo auto alcance al primero. b) Calcular la diferencia de velocidades entre el segundo auto y el primero, cuando se efectúa el rebase Auto 2

Auto 1

x 02 = 0 m t 02 = 0 s v 02= ? a 02 = 2.4 m/s2

x 01 = 100 m t 01 = 0 s v 01 = ? a 01 = 1.8 m/s2

v =v 02

x 1= x 2 =? t 1= t 2 = ? v 1= ? v2 = ?

01

Ecuaciones de movimiento para los autos Auto 1

Auto 2

x1  x01  v 01t1 

1 a1t12 2

x 2  x 02  v02 t 2 

1 a 2 t 22 2

Como las posiciones finales son iguales, igualamos las ecuaciones (x1 = x2). Además como los tiempos son también iguales, les quitamos el subíndice (t1 = t2 = t ); lo mismo sucede con las velocidades iniciales (v01 = v02 = v0).

x01  v0 t 

1 2 1 a1t  x 02  v 0 t  a 2 t 2 2 2

Reorganizando términos:

1 1 a1t 2  a 2 t 2  x 02  x 01  v 0 t  v 0 t 2 2 Factorizando en el miembro de la izquierda y eliminando términos semejantes en el de la derecha:

1 1 t 2 ( a1  a 2 )  x02  x01 2 2 Despejando y sustituyendo valores:

t2 

x02  x01 2(0  100m)   350.87 s 2  18.73s a1  a 2 m (1.83  2.4) 2 s 2

b) La diferencia de velocidades se determina a partir de las ecuaciones de movimiento para ambos cuerpos: Auto 1 v1  v 01  a1t Auto 2 v 2  v02  a 2 t Si analizamos las ecuaciones anteriores, veremos que no conocemos ninguna de las velocidades finales, ni las velocidades iniciales; para resolver el problema lo que tenemos que hacer es restar las dos ecuaciones lineales miembro a miembro para obtener v2 -v1. Para ello se toma en consideración que v01 =v02 y puesto que la aceleración del auto dos es mayor que la del auto uno, lógicamente su velocidad también lo es por lo que la sustracción de las ecuaciones se realiza como se plantea y no como v1 -v2 ya que de esta forma el resultado saldría negativo. Hagamos la sustracción de las ecuaciones: v2 = v02 + a2 t

-

v1 = v01 + a1 t v2 - v1 = v0 - v0+ a2 t - a1 t Eliminando términos semejantes, factorizando y sustituyendo valores:

v 2  v1  (2.4  1.83)

m m (18.73s )  10.67 2 s s

11. Un trineo parte del reposo de la cima de una colina y se desliza hacia abajo con aceleración constante. El trineo se encuentra a 140 ft de la cima 2 segundos después de pasar por un punto

que está situado a 92 ft de la misma. Cuatro segundos después de pasar por este punto se encuentra a 198 ft de la cima y 6 s después está a 266 ft. a) ¿Cuál es la velocidad media del trineo durante cada uno de los intervalos de 2 s? b) ¿Cuál es la aceleración del trineo? c) ¿Qué velocidad tenía el trineo al pasar por el punto situado a 92 ft? d) ¿Cuánto tiempo tardó en ir desde la cima al punto situado a 92 ft? e) ¿Qué distancia recorrió el trineo durante el primer segundo después de pasar por dicho punto? f) ¿Cuánto tiempo tardó en ir desde el punto situado a 92 ft, hasta el punto medio situado entre éste y la señal de 140 ft? Para resolver este problema, es indispensable hacer una buena interpretación de las expresiones verbales y llevarlas a un dibujo que nos muestre lo que está ocurriendo, sobre todo la interpretación adecuada que debemos hacer de la expresión: "El trineo se encuentra a 140 ft de la cima 2 segundos después de pasar por un punto que está situado a 92 ft de la misma". Sin dicha interpretación correcta, difícilmente se puede resolver satisfactoriamente el problema. En la elaboración del dibujo debemos de marcar las posiciones de del cuerpo con subíndices y considerar ecuaciones de movimiento por intervalos de posición, como de tiempo.

l

x =0 0

v0 = 0

2s

x1 = 92 v =? 1

2s

x2 = 140 v 2= ?

2s

x3 = 198 v3= ?

x4 = 266 v4 = ?

Para determinar la velocidad media en cada uno de los intervalos, aplicamos la definición de la misma, esto es:

v

Pos. final  Pos. anterior x x  x0   t t  t0 tiempo final tiempo anterior

v

140 ft  92 ft ft  24 2s s

v

198 ft  140 ft ft  29 2s s

v

266 ft  198 ft ft  34 2s s

Si se analizan los datos que proporciona el problema, veremos que éstos son dados por intervalos, esto nos servirá para resolver el inciso siguiente. Ecuaciones de movimiento para el mismo cuerpo, pero por intervalos:

x 2  x1  v1  t 2  t1  

1 2 a  t 2  t1  2

x3  x 2  v 2  t 3  t 2  

1 2 a t 3  t 2  2

x 4  x3  v3  t 4  t 3  

1 2 a t 4  t 3  2

En esta parte, debemos razonar lo que tenemos que hacer "dada la deficiencia de datos" que se nos presenta. Para ello debemos observar que tenemos dos ecuaciones (las dos primeras) con tres incógnitas que son velocidades (v1 y v2) y aceleración (a). Sustituyendo datos en esas dos primeras ecuaciones nos queda:

140 ft  92 ft  (2 s )v1  ( 2 s 2 )a

198 ft  140 ft  (2 s )v 2  (2 s 2 )a simplificando:

48 ft  2 s v1  a ( s) 

58 ft  2 s  v 2  a ( s )  despejando las velocidades:

v1  24

ft  a( s) s

v 2  29

ft  a( s) s

multiplicando la primera por -1

 v1  24

ft  a( s) s

despejando la aceleración:

a ( s )  24

ft  v1 s

sustituyendo en la expresión de v2

v 2  29

ft ft  (24  v1 ) s s

simplificando

v 2  29

ft ft  24  v1 s s

tomando la diferencia de velocidades:

v 2  v1  5

ft . s

Siendo este resultado el incremento o cambio de velocidades, entre las posiciones 1 y 2, tardando el cuerpo en estar en dichas posiciones y con ciertas velocidades un tiempo de 2 s.

Aplicando la definición de aceleración:

ft v v 2  v1 ft a   s  2.5 2 . t t 2  t1 2s s 5

Una vez determinada la aceleración, el problema se simplifica, para conocer la velocidad en el punto situado a 92 ft, aplicamos la ecuación:

v12  v02  2a ( x1  x 0 ) despejando y sustituyendo valores:

v1  2(2.5

ft ft 2 ft )( 92 ft )  460  21.44 . 2 2 s s s

Para conocer el tiempo que invirtió el trineo en llegar al primer punto, empleamos la ecuación:

x1  x 0  v0  t1  t 0  

1 2 a  t1  t 0  2

sustituyendo valores

92 ft  0  0(t ) 

1 ft (2.5 2 )t 2 2 s

resolviendo para el tiempo:

t

ft ) s  73.5s 2  8.58s . ft 2.5 2 s

2(92

Un segundo después de pasar por este punto, el trineo se encuentra en la posición:

x  x1  v1t 

1 2 at 2

x  x1  21.44

ft 1 ft (1s )  (2.5 2 )(1s ) 2 s 2 s

x  x1  22.69 ft . O bien, medida a partir del origen se puede determinar a partir de la ecuación:

x  x0  v 0 t 

1 2 at . 2

Siendo el tiempo 9.58 s

x

1 ft  2  2.5 2   9.58 s  2 s 

x  114 .72 ft

medida a partir del origen. Medida a partir del punto situado a 92 ft:

x  x1  114 .72 ft  92 ft  22.72 ft

donde la pequeña diferencia se debió al redondeo en las operaciones. Para determinar este inciso, precisamos localizar el punto medio entre 92 ft y 140 ft. Esto lo hacemos de la siguiente manera:

140 ft  92 ft  24 ft 2 Lo cual representa la distancia recorrida después de pasar por el punto situado a 92 ft Correspondiéndole una posición medida a partir del origen de 92 ft + 24 ft = 116 ft. El tiempo se determina a partir de:

x  x1  v1t 

1 2 at 2

sustituyendo datos encontramos:

116  92  21.44t  1.25t 2 24  21.44t  1.25t 2 reorganizando términos:

1.25t 2  21.44t  24  0 . Que representa a una ecuación cuadrática que se resuelve por medio de la fórmula general, cuya expresión es: t

b

b 2  4ac 2a

Donde: a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término lineal y, c es el término libre. Sustituyendo dichos coeficientes en la fórmula general:

 21.44 

t

t

 21.44 

( 21.44) 2  4(1.25)(24) 2(1.25)

459.67  120  21.44  579.61  21.44  24.07   2.25 2.25 2.25

obteniéndose las dos raíces o soluciones a la ecuación cuadrática:

t1 

 21.44  24.07 2.636   1.05 s 2.5 2.5

t2 

 21.44  24.07  45.51   18.20 s 2. 5 2.5

Siendo la solución a nuestro problema la raíz positiva. En el caso de la negativa, recordemos que no existen tiempos negativos. Es simplemente la otra solución a la ecuación. 12. Un automóvil que viaja con una velocidad inicial de 30 m/s en una carretera con neblina, ve repentinamente un camión a 50 m delante de él, viajando en la misma dirección y a la velocidad constante de 12 m/s. El conductor pierde 0.6 s mientras reacciona y aplica los frenos. Al hacerlo, el auto sufre una desaceleración constante de 4.0 m/s 2.

a) Determinar si el auto choca contra el camión suponiendo que ninguno de los dos se esquiva. Si ocurre el choque calcule: b) El momento del choque. c) El punto donde ocurre. d) La velocidad relativa de los vehículos al ocurrir el impacto. e) La desaceleración mínima que tendría que haber tenido el auto en estas condiciones para evitar el impacto. En el caso del camión, tenemos un movimiento rectilíneo uniforme, ya que éste se mueve con una velocidad constante de 12 m/s. 50 m.

0

l 10

l 20

l 30

l 40

x0A = 0 t 0A = 0 v 0A = 30 m/s l 10

l 60

l 50

l 60

x0 C = 50 m t0 C = 0 v 0 C= 12 m/s

x (m)

39.2 m

18 m.

0

l 50

l 20

l 30

l 40

x1A = 18 m t 1A = 0.6 s v1A = 30 m/s

x 1 C = 57.2 m t 1 C = 0.6 s v 1 C = 12 m/s

x (m)

En el caso del automóvil, tenemos los dos tipos de movimiento, el uniforme y el uniformemente acelerado. En los 0.6 s que el conductor del auto tarda en reaccionar, el camión avanza hasta una posición:

xC  x 0C  v 0C t  50 m  12

m  0.6s   57.2m s

En el caso del automóvil, en esos 0.6 s se sigue moviendo con la misma velocidad constante, avanzando hasta una posición:

x A  x0 A  v0 A t  0m  30

m (0.6 s )  18m s

A partir de esta posición, el auto empieza a desacelerar, cambiando a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, modificándose su ecuación de movimiento, siendo ésta:

x A  x0 A  v0 A t 

1 a At 2 2

Para simplificar las operaciones (pero teniendo en cuenta que ya transcurrieron 0.6 s y que los cuerpos ya avanzaron una cierta distancia), desplazaremos nuestro origen 18 m que representa la distancia recorrida por el auto. Bajo esta consideración, las posiciones de los cuerpos se representan en el siguiente dibujo:

l 0

l 20

l 40

l

l

l

l

x 0 C= 39.2 m t0 C = 0 v 0 C= 12 m/s

x0A = 0 t 0A = 0 v 0A = 30 m/s

choque xA = x C tA = t C

x (m)

Para determinar si los cuerpos chocan, una condición para que esto ocurra es que los dos cuerpos deberían de ocupar la misma posición al mismo tiempo, es decir:

x A  xc en t A  t c donde las ecuaciones de movimiento son:

x A  x0 A  v0 A t 

1 a At 2 2

para el auto y:

xc  x0c  vc t para el camión. Igualando las dos ecuaciones:

x0 A  v0 At 

1 a A t 2  x0 c  vc t 2

sustituyendo valores:

30t 

1   4 t 2  39.2  12t 2

efectuando operaciones y pasando todo de un solo lado:

 2t 2  18t  39.2  0 dividiendo entre -2

t 2  9t  19.6  0 . Es una ecuación cuadrática que se resuelve mediante la fórmula general. Su solución es:

t

 ( 9) 

( 9) 2  4(1)(19.6) 9  81  78.4 9  2.6 9  1.61    2(1) 2 2 2

Cuyas soluciones son:

t

9  1.61  5.30 s 2

y

t

9  1.61  3.69 s 2

En este caso, ambas raíces son positivas, elegiremos el tiempo menor como la solución a nuestro problema, y posteriormente, daremos una explicación de la otra solución.

Entonces el choque ocurre 3.69 s después de que el conductor del auto pisó el freno y 3.74 s (3.69s + 0.6s), después de que vio por primera vez al camión. Para localizar el punto donde ocurre, sustituimos el tiempo encontrado (3.69 s) en la ecuación de movimiento para el auto, cuando empezó a frenar.

x A  x0 A  v0 A t 

1 1 a A t 2  0  30(3.69)  ( 4)(3.69) 2 2 2

x A  83.46m o bien en la ecuación de movimiento para el camión

x c = x 0 c + v c t = 39.2 + 12( 3.69) xc  83.48m . Para determinar la velocidad del auto al momento del choque, utilizamos la ecuación:

v A  v 0 A  a A t  30  ( 4)(3.69)  15.24

m s

siendo esta velocidad todavía mayor que la del camión. Debido a esto, en caso de que el auto esquivara al camión, rebasándolo por el otro carril, el auto adelantaría al camión y, en caso de que el auto continuase disminuyendo su velocidad, el camión que viaja a velocidad uniforme, nuevamente alcanzaría al auto. Esto ocurre en un tiempo de 5.3 s, que es la otra solución a la ecuación cuadrática, las posiciones en este tiempo son:

x A  x0 A  v0 A t 

1 1 a A t 2  0  30(5.3)  ( 4)(5.3) 2 2 2

x A  102.82m . Para el camión:

x c  x 0 c  vc t  39.2  12 5.3 xc  102.8m teniendo en ese momento el auto una velocidad de:

v A  v0 A  a a t  30    4 5.3  8.8

m . s

Que es menor que la del camión, por lo que éste nuevamente adelantaría al auto.

160 140 120 100 80 60 40 20