MOVIMIENTO PARABÓLICO DE UN PROYECTIL

MOVIMIENTO PARABÓLICO DE UN PROYECTIL

I.

OBEJETIVOS

II.

 Comprobar las ecuaciones correspondientes al movimiento de un proyectil  Determinar entre ángulo de disparo y alcance máximo  Determinar la velocidad de lanzamiento  Verificar las ecuaciones de caída libre (opcional). FUNDAMENTO TEÓRICO Como la única fuerza que sobre el proyectil es su propio peso, la segunda ley de newton en forma de componentes rectangulares indica que la componente horizontal De la aceleración es nula y la vertical es dirigida hacia abajo y es igual a la caída libre, entonces:

Ax= ∑ Fx ∕m = 0

; ay=∑ Fy=-mg∕g=-g………. (1)

En virtud de la ecuación (1), se concluye que el movimiento puede definirse como una combinación de movimiento horizontal a velocidad constante y movimiento vertical uniforme acelerado.

2.1. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

En este caso se lanza un objeto con cierto ángulo de elevación respecto a un plano horizontal de referencia, tal como se ven en la figura (1). La velocidad en el punto origen o donde indica su recorrido este representa el vector V0 (velocidad inicial), en este punto hacemos por conveniencia T=0 , luego designamos el “ángulo de tiro ”como Ө0, de modo que se puede descomponer la velocidad inicial de un componente horizontal V 0 cos Ө0. Y una componente, Vosen Ө.

Puesto que la aceleración horizontal ax es nula tal como se ve en la ecuación (1), la componente horizontal Vx de la velocidad permanece constante durante el movimiento, para cualquier instante posterior t>0. VX = VOsen Өo………………………… (2) Como la aceleración vertical a, es igual a –g .La velocidad vertical Vx para todo instante de tiempo será: Vy=Vosen Ө-gt…………………………. (3)

Figura (1).trayectoria de un proyectil , lanzado con un ángulo de elevación Ө y con velocidad inicial V0. El vector velocidad v es tangente en todo instante a la trayectoria. Luego como Vx es constante, la abscisa x (alcance) en un instante cualquiera es: X= (V0 cos Ө0)E………..(3) Y la ordenada y vale: Y=(Vosen Ө0)t-1\2gt2……………(4) Y la ordenada que vale: Tmax= Vosen Ө0/g……………….(5)

La “altura máxima” se obtiene sustituyendo (5) en la ecuación (4), lo cual da como resultado lo siguiente:

Hmax= Vosen Ө0/2g……………………….. (6)

El tiempo necesario para que el proyectil retorne de referencia de lanzamiento se denomina “tiempo de vuelo ”, yes el doble del valor dado por la ecuación (5), reemplazando este valor en la ecuación (4), puede calcularse el “alcance máximo ”, es decir la distancia horizontal cubierta , esto es :

R= Vosen (2Ө0)/g……………………. (7) La ecuación de la trayectoria se obtiene despejando t en la ecuación (3) y reemplazando este valor en la ecuación (4) , la cual es la ecuación de un parábola. Y= X tan Ө0 –g/ 2v2cos2 Ө0 X2……………. (8)

2.2 CAIDA LIBRE. Todos los cuerpos independientemente de su tamaño o peso caen con la misma aceleración en un mismo lugar de la superficie terrestre; si la distancia recorrida no es demasiado en un mismo; La aceleración en un mismo lugar de la superficie terrestre; si la distancia recorrida no es demasiado grande, la aceleración permanece constante durante la caída. A este movimiento idealizado se le llama caída libre, aunque la expresión se aplica tanto en caída cuerpos que ascienden como a los que caen. La aceleración de un cuerpo en caída libre se denomina aceleración terrestre o acerca de ella a nivel del mar es aproximadamente: G=9.8m/s2 o 32pies/s2……………(9)

Galileo fue el primero en determinar esto asegurado que la distancia recorrida en la caída de un objeto es proporcional al cuadradado del tiempo empleado. D=αt2…………………… (10) Donde α , constante de proporcionalidad al cuadrado del tiempo empleado. Y=y0 + v0t+αt2………. (11)

Dónde: y0, posición inicial (donde se libera el cuerpo ) v0, velocidad inicial de caída. α, es la aceleración de la gravedad. T, es el tiempo total de caída.

Asumiendo las condiciones iniciales para un movimiento de caída libre se tiene: G=2y/t2……….(12) La ecuación (12) nos permitirá encontrar el valor experimental de la gravedad, al determinar el tiempo total del recorrido. III.

EQUIPOS Y MATERIALES  Computadora personal interface

       

Programa data studio instalado Interface science workshop 750 Sistema lanzador de proyectiles (ME-6831) Accesorio para tiempo de vuelo (ME-6810) Adaptador para foto puerta (ME-6821) Equipo de caída libre (ME-9829) Esferas de acero o plástico Papel carbón ,papel bond soporte con pinzas ,cinta 2.0m

IV.

PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimientos para configuración de equipos y accesorios 4.1. Movimiento parabólico a. Verificar la conexión e instalación de la interface b. Ingresar al programa Data Studio y seleccionar crear experimento c. Seleccionar el accesorio para tiempo de vuelo y foto puerta, de la lista de sensores y efectuar la conexión usando los cables para transmisión de datos, de acuerdo a lo indicado por Data Studio. d. Efectuar la configuración del temporizador, para la foto puerta y el accesorio para tiempo de vuelo , tal como se aprecia en la figura (2). e. Adicione un medidor digital a los datos recogidos por el temporizador, en el se registrara el tiempo de vuelo. f. Coloque la foto puerta en el adaptador y luego en la boca del lanzador de proyectiles. g. Efectué el montaje del dispositivo y accesorios tal como se muestra en la figura (3)

Segunda actividad (determinaciones de la velocidad inicial) a. Verifique la elevación angular del tubo lanzador b. Inserte con ayuda del tubo atacador la esfera de plástico o acero , en la primera posición de comprensión del resorte según sea el caso c. Verificar la puntería, esta debe coincidir con la dirección del accesorio para tiempo de vuelo pulsar el botón inicio. d. Tirar suavemente del cable que activa el disparador. e. Verificar el punto de alcance máximo correspondiente de ser necesaria ajuste la distancia de ubicación del accesorio para tiempo de vuelo. f. Anote el valor en la tabla (1) del alcancé máximo (foto puerta al punto de impacto en el plano ),en el tiempo de vuelo , el ángulo empleado y la velocidad inicial ;realice esta operación tres veces y tome el promedio . g. Varié la posición angular aumentado desde (a) hasta (g) , para las medidas angulares mostradas en las tablas usando las esferas de acero y la esfera de plástico. h. *usando data studio con la actividad introducir datos, realice una gráfica enlace máximo (m) vs. Angulo de tiro (rad) determine la velocidad inicial empleando la ecuación (7) y el valor de gravedad.

Tabla (1): datos registrados para alcance máximo y ángulo de tiro ,usando la esfera de plástico Angulo de tiro (rad ) 0.087 0.175 0.262 0.349 0,436 0,524 0,611 0,698 0,785 0,873

Alcance máximo promedio (m) 41.6 60.1 89.5 120 137 156.5 167 180 180,5 178,5

Tiempo de vuelo promedio (s) 0,1070 0,1534 0,2205 0,3100 0,3666 0,4305 0,4840 0,5445 0,6008 0,6484

Velocidad inicial (m/s)

8,97 9,09 13,16 9,62 8,64 10,42 10,42 8,93 11,90 11,36

4.2 CAIDA LIBRE (OPCIONAL)

POR FALTA DE TIEMPO Y POR FALTA DE EQUIPO PARA EL DESARROLLO DE ESTA PARTE NO SE PUEDE DESARROLLAR LAS PREGUNTAS CORRESPONDIENTES. V.CUESTIONARIO 5.1 MOVIMIENTO PARABÓLICO 1. Señalar y clasificar las fuentes de error en este experimento. Los errores serian la poca imprecisión que se presenta a la hora de hallar los valores de demostración de la práctica del laboratorio.  Precisión  Fuentes obvias de error  Errores resultantes de la variación natural de datos

ERROR DE PARALAJE (EP), este error tiene que ver con la postura que toma el operador para la lectura de la medición. ERROR DE LECTURA MINIMA (ELM), Cuando la expresión numérica de la medición resulta estar entre dos marcas de la escala de la lectura del instrumento. La incerteza del valor se corrige tomando la mitad de la lectura mínima del instrumento. Ejemplo: lectura mínima de 1/25 mm Elm = ½ (1/25mm)= 0,02 mm I.

Precisión en el contenido.

II.

Fuentes de variación de los datos Errores originados durante los procesos Errores numéricos

2. ¿Se cumple el principio de independencia de movimiento, para las esferas lanzadas?

El movimiento compuesto también se presenta el el lanzamiento de proyectiles. La trayectoria descrita por un proyectil es una curva específica llamada parábola. El tiro parabólico se puede estudiar como resultado de la composición de dos movimientos: ..............Vy ................↑.....☻→..... ..........↑...☻→..........☻→...↑ ....↑...☻→.................↓......☻→ ↑.☻→.................................↓… ☻→___________________↓_☻→Vx .↑....................................… ..I-------------------e---------------… a) b)

Un Un

movimiento vertical, movimiento

rectilíneo horizontal,

uniformemente rectilíneo

acelerado uniforme.

Estos dos movimientos tienen en común EL TIEMPO : - El tiempo que tarda el móvil en recorrer la trayectoria parabólica mostrada, es el mismo tiempo que tardaría en recorrer horizontalmente la distancia "e" Por lo tanto si cumple el principio 3. Comparar los resultados del alcance máximo de movimiento obtenidos en la tabla (1) con los datos de v0 y Ө encontramos utilizando la ecuación (7).

Angulo de tiro (rad) 5° 10° 15° 20° 25° 30°

Dato

1 2 3 4 5 6

Tiempo de vuelo promedio (s) 0.0871 0.1616 0.2351 0.3233 0.382 0.4573

Velocidad inicial (m/s) 3.93 4.36 4.71 3.81 3.87 4.07

0.000131338 0.000895463 0.002765521 0.006717547 0.01117219 0.018118993

35° 40° 45° 50°

7 8 9 10

0.53 0.5816 0.6290 0.6728

4.53 4.07 4.07 3.93

0.026398554 0.033310417 0.039564087 0.04457301

4. Demostrar que un ángulo de 45° da el máximo alcance horizontal.

De la ecuación

realizamos una derivada

con respecto al ángulo y lo igualamos a 0 para asi poder obtener el valor de en el cual R se obtiene el máximo valor posible:

6. Encontrar el ángulo de disparo para el cual, el alcance horizontal es igual a la máxima altura del proyectil. Realizamos

las

comparaciones

y

de

las

ecuaciones

de donde obtendremos

el ángulo: = = =

7¿Cuál es la máxima altura obtenida del proyectil?, y con que ángulo empleado se obtuvo?

1. Fuerza por la cual el cuerpo se mueve 2. Fuerza de resistencia del aire 3. Fuerza de Interacción gravitatoria

8. ¿cuáles son la fuerzas que actúan sobre el proyectil después de haber sido lanzado ,muestre su respuesta en un diagrama.

9. ¿Cómo se determinaría la velocidad inicial de una bala si solo se dispone de una cinta métrica? Para determinar la velocidad utilizaremos la siguiente formula: E: espacio V: velocidad T: tiempo 10. ¿Qué es una curva balística? Explique detalladamente Movimiento balístico con fricción Rozamiento : trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal , , y para una altur a La presencia en el medio de un fluido, como el aire, ejerce una fuerza de rozamiento que depende del módulo de la velocidad y es de sentido opuesto a esta. En esas condiciones, el movimiento de una partícula en un campo gravitatorio uniforme no sigue estrictamente un Movimiento a baja velocidad Para un fluido en reposo y un cuerpo moviéndose a muy baja velocidad, el flujo alrededor del cuerpo puede considerarse laminar y, en ese caso, el rozamiento es proporcional a la velocidad. La ecuación de la trayectoria resulta ser:

donde: es la altura inicial desde la que cae el cuerpo.

son dos parámetros que definen el problema en términos de las magnitudes del problema. son la masa del cuerpo que cae, la aceleración de la gravedad, el coeficiente de rozamiento y la velocidad horizontal inicial. Para alturas suficientemente grandes el rozamiento del aire hace que el cuerpo caiga según una trayectoria cuyo último tramo es prácticamente vertical, al ser frenada casi completamente la velocidad horizontal inicial.

Movimiento a velocidad moderada o grande A velocidades moderadamente grandes o grandes, o cuando el fluido está en movimiento, el flujo alrededor del cuerpo es turbulento y se producen remolinos y presiones que generan una fuerza de frenado proporcional al cuadrado de la velocidad. En lugar de las ecuaciones anteriores, más difíciles de integrar, se puede usar en forma aproximada las siguientes ecuaciones:

Para esas ecuaciones la trayectoria viene dada por:

Donde es la altura inicial desde la que cae el cuerpo.

son dos parámetros que definen el problema en términos de las magntiudes del problema. son la aceleración de la gravedad, el coeficiente de rozamiento y la velocidad horizontal inicial.

11. ¿A que se denomina visual de puntería?. Hacer un esquema explicativo de como apuntar con un arma de fuego para batir el blanco Estadísticamente, podemos decir que los errores de ejecución de los disparos están compuestos de la siguiente manera:-Un 40% errores de puntería-Otro40% errores al pulsar el disparador, fundamentalmente por la inmovilidad de la muñeca-El 20% restante se debe a todo lo demás: postura incorrecta, empuñe defectuoso o mala respiración. En general, quienes tiramos con miras abiertas (esto es, alza y guión) sabemos que debemos tener alineadas y quietas las miras antes de comenzar a oprimir el disparador, pero no siempre conocemos exactamente por qué debe ser así. A continuación, intentaremos aportarlos fundamentos y la técnica apropiada. La puntería es un complejo mecanismo visualmotriz que exige no solo la correcta alineación de la mira, sino también la colocación y “parada” del arma en la ubicación correcta por medio de los músculos del brazo y la mano. El cristalino del ojo es una lente biconvexa que regula la adaptación del ojo mediante la variación de su curvatura por medio del músculo ciliar que lo controla. Este músculo es el responsable de la agudeza visual y del enfoque, imprescindibles para una buena puesta de miras. Durante el proceso de puntería, el ojo percibe con agudeza la imagen de miras durante un corto espacio de tiempo que los expertos sitúan en el orden de los 12 ó 14 segundos, luego de los cuales se va perdiendo la agudeza por cansancio muscular, y por ello no son recomendables las punterías largas. Además, se debe ser consciente de que en las sesiones de disparos largas y de esfuerzo continuo, la retina va perdiendo sensibilidad y por ello disminuye la calidad de la puntería. En este aspecto, también es importante la respiración, ya que si no respiramos correctamente nuestros músculos no se oxigenan y se cansan más rápidamente.

12. ¿A que denominamos parábola de seguridad?

Supongamos un objeto en movimiento, si en el instante inicial se encuentra en P1, su posición queda determinada por el vector de posición r1 y si en un instante posterior (t) ha llegado a P2siguiendo la trayectoria T, su posición vendrá dada por r2 y el desplazamiento experimentado por el objeto será el vector Δr=r2-r1 .

En el caso particular que trayectoria (s) coincida desplazamiento (Δr) el La velocidad media en el

el espacio recorrido sobre la con el módulo del vector movimiento será rectilíneo. trayecto entre P1 y P2 habrá

sido, mientras que la velocidad instantánea en cualquier punto de la trayectoria se obtendrá mediante

La expresión de la velocidad instantánea nos permite deducir que es un vector tangente a la trayectoria en cada punto dr/dt. En el caso particular que en todo el intervalo vm=v el movimiento habrá sido uniforme. Si la velocidad no es constante, se define la aceleración

media ; la aceleración instantánea se obtendrá a partir de . En el caso particular, que en todo el intervalo de tiempo considerado, am=a hablamos de un movimiento uniformemente acelerado. Movimiento uniforme Como en este caso v=constante el movimiento es necesariamente rectilíneo (dada la condición vectorial de la velocidad), por tanto podemos hablar de movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

Se puede obtener el espacio recorrido por el móvil calculando el área del gráfico v vs. t. La representación del espacio recorrido frente al tiempo será una recta.

Movimiento uniformemente acelerado En este caso a=constante y el movimiento es necesariamente rectilíneo (dada la condición vectorial de la aceleración), por tanto podemos hablar de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). En este caso como a=Δv/Δt}=(v-v0)/t ,obtenemos la siguiente expresión

para

la

velocidad:

v=v0+at.

El área del gráfico v vs.t también nos proporciona el espacio recorrido por el móvil: (suponiendo que inicialmente el móvil se encontrase en el origen). El gráfico e vs. t en el MRUA es una parábola.

Combinando las ecuaciones de la velocidad y del espacio obtenemos v2=v02+2ae El movimiento de caída libre en el campo gravitatorio terrestre (para pequeñas alturas) se puede considerar un MRUA con aceleración g=9.8 m/s2. Movimiento

circular

En este movimiento el móvil describe una trayectoria circular, por tanto el vector velocidad, que en cada punto es tangente a la trayectoria, cambia continuamente de dirección. El cambio de dirección de la velocidad hace que este movimiento sea siempre acelerado, aunque se

mantenga constante el módulo de la velocidad. Si v=constante , pero vno lo es y definimos un vector unitario en la dirección del vector velocidad en un instante dado(u):

u es perpendicular a du/dt, y consecuentemente el vector dv/dt es perpendicular a v, por tanto la aceleración debida al cambio de dirección del vector velocidad en un movimiento circular es perpendicular a la velocidad, esta aceleración se llama centrípeta (ac) y siempre está dirigida hacia el centro de la trayectoria, su módulo (v2/R) se puede encontrar aplicando algunas consideraciones geométricas.

Si en un movimiento circular se produce un cambio en el módulo del vector velocidad el móvil estará afectado por dos aceleraciones, una llamada tangencial - porque tiene la misma dirección que el vector velocidad en cada puntoy la aceleración centrípeta.

En un movimiento circular también se puede definir la velocidad angular (ω ) cuyo módulo es ω=dθ/dt, que está relacionada con la velocidad (v) y el vector de posición del móvil(r) por la expresión v= ω x r. Si el módulo de la velocidad angular no es constante se define la aceleración angular α =dω/dt.

Algunas expresiones útiles en la resolución de problemas de movimientos circulares son:

Movimiento

de

proyectiles

Un proyectil lanzado con una velocidad inicial v0 , que forma un ángulo θ con la horizontal, experimentará dos movimientos simultáneos, uno horizontal, que será el responsable de que avance, y otro vertical, que será el responsable de la variación de altura que experimentará. Si suponemos despreciable la fricción con el aire: movimiento vertical:

horizontal: movimiento

si aislamos t en la ecuación del movimiento horizontal y sustituimos su valor en la del vertical, obtendremos la ecuación de la trayectoria del movimiento:

La ecuación de la trayectoria corresponde a una parábola en el plano XY

cuando el proyectil alcance la altura máxima se cumplirá

que vy=0: sustituyendo este tiempo en la ecuación del movimiento vertical obtendremos la altura máxima alcanzada:

como el movimiento vertical es simétrico, dado que durante todo el trayecto actúa sobre el proyectil una aceleración -g, los tiempos de subida y bajada, hasta el nivel del lanzamiento, serán los mismos, por lo cual el tiempo total de vuelo será el doble del que ha invertido en alcanzar la altura máxima, y durante este tiempo el proyectil habrá avanzado horizontalmente, con lo cual la máxima distancia horizontal será:

De la expresión anterior podemos deducir que, para una velocidad inicial del proyectil dada el máximo alcance se obtendrá para un ángulo de 45º. Si tenemos en cuenta la relación entre el coseno y la tangente de un ángulo, podemos obtener, a partir de la ecuación de la trayectoria:

Para una velocidad de lanzamiento (v0) dada, usando la expresión anterior, podemos obtener, el o, los ángulos que alcanzarán un determinado objetivo ( x,y) . Para que tan θ tenga solución real el discriminante ( Δ) , de la ecuación de segundo grado, debe ser igual o mayor a 0:

En el caso que Δ=0 se obtendrá una solución única para tan θ, mientras que si Δ>0 será posible alcanzar el objetivo disparando con dos ángulos distintos.

esta última expresión se conoce como parábola de seguridad.

La parábola de seguridad delimita dos zonas, la batida en la cual cualquier objetivo puede ser alcanzado con dos ángulos de tiro, de la no batida (Δ