Movimiento Curvilineo General

MOVIMIENTO CURVILÍNEO GENERAL

El movimiento curvilíneo ocurre cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva. Como esta trayectoria a menudo se describe en tres dimensiones, utilizaremos análisis vectorial para formular la posición, velocidad y aceleración de una partícula. En esta sección se analizan los aspectos generales del movimiento curvilíneo y en secciones subsiguientes consideraremos tres tipos de sistemas de coordenadas que se usan con frecuencia para analizar este movimiento.

Posición. Considere una partícula situada en un punto de una curva espacial definida por la función de trayectoria . El vector de posición designará la posición de la partícula, medida con respecto a un punto fijo . Observe que tanto la magnitud como la dirección de este vector cambiarán a medida que la partícula se mueve a lo largo de la curva.

Desplazamiento. Suponga que durante un breve intervalo la partícula se mueve una distancia a lo largo de la curva a una nueva posición, definida por . El desplazamiento representa el cambio de posición de la partícula y se determina mediante una resta vectorial, es decir

Velocidad. Durante el tiempo , la velocidad promedio de la partícula es La velocidad instantánea se determina con esta ecuación cuando , y por consiguiente la dirección de tiende a la tangente a la curva. Por consiguiente !omo ser" tangente a la curva, la dirección de tambi#n es tangente a la curva. La magnitud de , conocida como la rapidez, se obtiene al tener en cuenta que la longitud del segmento de línea recta tiende a la longitud del arco s a medida que , por lo que:

Aceleración. Si la velocidad de la partícula es en el instante y en el instante , entonces la aceleración  promedio de la partícula durante el intervalo es

Para estudiar la tasa de cambio en el tiempo, los dos vectores de velocidad se tra$an de modo que sus puntos de aplicación queden en el punto fi%o y sus puntas de flec&a toquen puntos situados en la curva. Esta curva se llama hodógrafa y cuando se construye, describe el lugar geom#trico de puntos para la punta de flec&a del vector de velocidad, del mismo modo en que la trayectoria s describe el lugar geom#trico de puntos para la punta de flec&a del vector de posición .

Para obtener la aceleración instantánea, &acemos que en la ecuación . En el límitetender" a la y tangente a la hodógrafa por lo tanto

MOVIMIENTO CURVILÍNEO: COMPONENTES RECTANGULARES De ve$ en cuando el movimiento de una partícula puede describirse me%or a lo largo de una trayectoria que pueda e'presarse en función de sus coordenadas . Posición. Si la partícula est" en el punto () de la trayectoria curva s mostrada en la figura, entonces el vector de posición define su posición.

!uando la partícula se mueve los componentes de ser"n funciones del tiempo, es decir, , , , de modo que

En cualquier instante la magnitud de se define como

* la dirección de se especifica por el vector unitario Velocidad. La primera derivada con respecto al tiempo de proporciona la velocidad de la partícula.

Si el sistema de referencia es fi%o en el tiempo, los vectores unitarios son constantes en el tiempo, por lo que Donde

La magnitud de la velocidad se determina como El vector unitario especifica su dirección, la cual siempre es tangente a la trayectoria.  Aceleración. La aceleración de la partícula se obtiene de la primera derivada con respecto al tiempo del vector de velocidad (o la segunda derivada con respecto al tiempo del vector de posición. Donde

La magnitud de la aceleración se determina como El vector unitario especifica su dirección, y en general no será tangente a la trayectoria.