Movimiento Curvilíneo, componentes rectangulares.pdf

CURSO: DINAMICA

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SEMANA 4: EL MOVIMIENTO CURVILINEO: COMPONENTES RECTANGULARES

I.

INDICADOR .

Aplica las ecuaciones del movimiento curvilíneo en la solución de problemas, con el apoyo de las tic.

II. VECTOR DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y  ACELERACIÓN Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva diferente a una línea recta, se afirma que describe un movimiento curvilíneo. Para definir la posición P ocupada por la partícula en un tiempo determinado t, se elige un sistema de referencia fijo, tal como los ejes x, y , z que se muestran en la figura, y se dibuja el vector r  que  que une al origen O y al punto P.

z

Puesto que el vector de posición r depende del tiempo t, se conoce como una función vectorial de la variable escalar t y se denota mediante r(t), la velocidad v y la aceleración a son: son:

III. COMPONENTES RECTANGULARES RECTANGULARES VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

DE

LA

Cuando la posición de una partícula P se define en cualquier instante mediante sus coordenadas rectangulares rectangulares x, y y z, resulta conveniente descomponer descomponer la velocidad v y la aceleración a de la partícula en componentes rectangulares. Al descomponer el vector de posición r de la partícula en componentes rectangulares, se escribe

r = xi + yj + zk donde las coordenadas x, y, z son funciones de t. Al

z

diferenciar dos veces, se obtiene

donde x˙, y˙ , z˙ y x¨, ÿ , z¨ representan, respectivamente, la  primera y la segunda segunda derivadas derivadas de x, y y z con respecto a t. y que las componentes escalares de la velocidad y la aceleración

z

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son v x = x˙ v y

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= y˙

a x = ¨x a y=ÿ

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v z  = z˙ a z  =  z¨

Un valor positivo de v x indica que el componente vectorial v x está dirigido hacia la derecha, y un valor negativo, que se dirige hacia la izquierda. El sentido de cada uno de los otros componentes vectoriales  puede determinarse de manera similar a partir del signo de la componente escalar correspondiente.

En el caso del movimiento de un proyectil, por ejemplo, se demuestra que las componentes de la aceleración son ax = x¨ = 0 ay = ÿ = - g az = z¨ = 0 si se ignora la resistencia del aire. Al denotar mediante x0, y0 y z0 las coordenadas del cañón y por medio de (vx) 0, (vy)0 y (vz)0 las componentes de la velocidad inicial v0 del proyectil (una bala), se integra dos veces en t y se obtiene

vx = x˙ =(vx)0 x = x0 + (vx)0t

vy = y˙ = (vy)0 = - gt

vz = z˙ = (vz)0

y = y0 + (vy)0t - ½ gt²

z = z0 + (vz)0t

Si el proyectil se lanza en el plano xy desde el origen O, se tiene x 0 = y 0 = z0 = 0 y (vz)0 = 0, y las ecuaciones de movimiento se reducen a

vx = (vx)0

vy = (vy)0 = gt

vz = 0

x = (vx)0 t

y= (vy)0 t - ½ gt2

z=0

Estas ecuaciones muestran que el proyectil permanece en el plano xy, que su movimiento en la dirección horizontal es uniforme, y que su movimiento en la dirección vertical es uniformemente acelerado. El movimiento de un proyectil puede entonces sustituirse por dos movimientos rectilíneos independientes, los cuales se visualizan con facilidad si se supone que el proyectil se lanza verticalmente con una velocidad inicial (v y)0  desde una plataforma que se mueve con una velocidad horizontal constante (v x)0. La coordenada x del proyectil es igual en cualquier instante a la distancia recorrida por la plataforma, y es posible calcular su coordenada y como si el proyectil se moviera a lo largo de una línea vertical.

IV. EJERCICIOS, desarrollar y sustentar 1. El movimiento de una partícula se define mediante las ecuaciones  x  = 4t3  – 5t2  + 5t y y  = 5t2  –  15t, donde x y y se expresan en milímetros y t en segundos. Determine la velocidad y la aceleración cuando a) t = 1 s; b) t = 2 s 2. El movimiento de una partícula se define mediante las ecuaciones x = 2cost y y = 1  – 4 cos2t, donde x y y se expresan en metros y t en segundos. Muestre que la trayectoria de la partícula es parte de la parábola que se muestra en la figura y determine la velocidad y la aceleración cuando a) t = 0, b) t = 1.5 s.

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3. El movimiento de una partícula se define mediante las ecuaciones x = t 2 – 8t + 7 y y = 0.5t 2 + 2t 4, donde x y y se expresan en metros y t en segundos. Determine a) la magnitud de la velocidad mínima alcanzada por la partícula, b) el tiempo, la posición y la dirección correspondientes a dicha velocidad.

4. Mediante una banda transportadora se descarga arena en A y cae en la parte superior de un montículo en B. Si se sabe que la banda transportadora forma un ángulo α= 20° con la horizontal, determine

la velocidad v 0 de la banda.

5. Un trabajador utiliza agua a alta presión para limpiar el interior de un largo tubo de desagüe. Si el agua se descarga con una velocidad inicial v0 de 11.5 m/s, determine a) la distancia d hasta el punto B más lejano sobre la parte superior de la tubería que el agua puede limpiar desde la posición del trabajador en A, b) el ángulo correspondiente