Movimiento Armonico Simple

 

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 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE  OBJETIVO: Verificar experimentalmente experimentalmente las leyes del movimiento armónico. simple  Determinar experimentalmente la constante de fuerza de un resorte.   Hallar el porcentaje de error entre los valores obtenidos y los valores teóricos.  f ísicas que intervienen en un MAS.     Definir e identificar las principales magnitudes físicas m ovimiento periódico, oscilatorio y vibratorio     Identificar el MAS como un movimiento

    

FUNDAMENTO O TEORICO: FUNDAMENT El movimiento armónico simple es un movimiento vibratorio en el que la posición, velocidad y aceleración se pueden describir mediante funciones senoidales o cosenoidales. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste. El movimiento armónico simple es unos de los movimientos que se da en la naturaleza que puede ser descrito matemáticamente. matemáticamente. Se sabe que un cuerpo que es sujetado a un resorte. Al estirarlo una longitud l y soltado en esa posición, y si consideramos despreciable los efectos de rozamiento. Este comenzara a oscilar teniendo como fuerza recuperadora la fuerza producida por el resorte. Para poder describir el movimiento armónico simple empleamos

F   m.a  … (1) 2

a  aceleración 

d   x 2

dt 

 

F   Fuerza aplicada por el resorte  kx  

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Remplazando estos valores en (1) obtenemos  k x  m.

d   x 2

dt 

Dando forma a la

expresión: 0

kx m



d  2 x 2

dt 

 

Esta expresión es una ecuación diferencial cuya solución es función de los operadores seno y coseno. La solución para la expresión sería .

 x   Aseno( wt    )   Donde: k  W  

m  …. (2) 

A = Amplitud o máxima elongación de del resorte. 2 

W= frecuencia angular del movimiento 

T 

 2 .. f   …. (3) 

T= periodo de oscilación. f= frecuencia de oscilación. De las ecuaciones 2 y 3 se obtiene la frecuencia

 f  

K    m

1 2 

Para dos masas suspendidas del mismo resorte se obtiene: 2

 f 1

2

 f 2



m2 m1

 

CALCULOS Y RESULTADOS: 1. Determine la constante del resorte promediando los resultados del paso 2.

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Determinaremos la constante promedio del resorte y la constante que se ajusta a la grafica a partir de la siguiente tabla. TABLA 1 Masa (kg)

0.5

0.75

1.01

1.26

1.51

1.76

Variación de X (cm.)

3.3

7.6

11.8

16.3

20.3

24.6

CONSTANTE DEL RESORTE PROMEDIO: Para hallar esta constante haremos uso de la siguiente ecuación ecuación::   Mg  K ( X ) K    Mg /( X )   g  980 cm s^ 2

  K1 = 0.50 X 980 / 3.30 =148.48 N/cm



  K2 = 0.75 X 980 / 7.6 0= 96.71 N/cm



  K3 = 1.01 X 980 / 11.8 = 83.88 N/cm



  K4 = 1.26 X 980 / 16.3 = 75.75 N/cm



  K5 = 1.51 X 980 / 20.3 = 72.90 N/cm



  K6 = 1.76 X 980 / 24.6 = 70.11 N/cm



KPROM = 91.31 N/cm CONSTANTE DEL RESORTE AJUSTANDO LA RECTA: Se hallara a partir de las siguientes ecuaciones: F = F0 + K (∆X) 

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

n

Fi = nF0 + K i 1



n

i 1

Xi  

Xi)  2   XiFi = F0 i 1 Xi + K i 1 (Xi) i 1



n

n

n

Operando:

KAJUSTE = 58.03 N/cm  Para los cálculos haremos uso de la constante hallada a partir del ajuste de la recta.  2. determine la frecuencia promedio con cada una de las masas y compare calculando el porcentaje porcentaje de diferencia diferencia entre estas estas razones Para calcular la frecuencia promedio, tendremos que calcular previo el periodo promedio, teniendo en cuenta que en el experimento fue 20 oscilaciones. En el experimento se midió el tiempo realizado por 20 oscilaciones para un mismo peso. Hallándose los tiempos: t1, t2, t3, por lo que la suma de estos tiempos (t) incluyen 60 oscilaciones para un mismo peso entonces:

Periodo. promedio  T  

t 1  t 2  t 3 60

 

Considerando esta relación para cada peso. Una vez obtenida el Periodo promedio T. la inversa de esta será la frecuencia promedio de las oscilaciones.

( Periodo. pr  prom omed edio io)

1

 T 1   f   promedi omedio o) ( pr

 f    f  fre recuen cuencia cia pro  promed medio io

Teniendo en cuenta esta relación realizamos la tabla 2.

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Masa (kg)

t1

t2

t3

t(PROMEDIO) (S)

Número de oscilaciones

Periodo T

Frecuencia promedio (Hz)

0.5

11.73

11.83

11.82

11.79

20

0.59

1.69

0.75

14.53

14.64

14.56

14.58

20

0.73

1.37

1.01

16.88

16.88

16.81

16.86

20

0.84

1.19

1.26

18.77

18.81

18.74

18.77

20

0.94

1.06

Masa del resorte

50.8 g

2

2

   f 1   1.69          1.52  1.37     f 2   m2



0.75

 1.50



 

m1 0.5 % .de.error   1.33% 2

……………Comparación ……………Compa ración entre m1 y m2 

2

   f 2    1.37        1.33  1.19     f 3   m3  



1.01



0.75

m2

 1.35 ...................Comparación entre m2 y m3 

%.error   1.48% 2

2

   f 1   1.69         2.02   1.19     f 3   m3  



m1



1.01 0.5

 2.02

…………..Comparación entre m1 y m3 

% .error   0.00%

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   f 1   1.69         2.54   1.06     f 4   m4  





1.26 0.5

m1

 2.52

………. …Comparación entre m1 y m4 

% .error   0.79%

2

2

   f 2    1.37        1.67  1.06     f 4   m4  





1.26 0.75

m2

 1.68 ……….. …Comparación entre m2 y m4 

%.error   0.60% 2

2

   f 3   1.19          1.26 1 . 06        f 4   m4  



m3



1.26 1.01

 1.25

……..........Comparación entre m3 y m4 

%error   0.8% 3. adicionando a cada masa masa un tercio de la m masa asa del resorte vue vuelva lva a comparar las razones

2

2

   f 1    1.69        1.52 1 . 37   f        2   m2   



m1 

1 3 1 3

mr   (mr  )



0.75  0.02 0.5  0.02

 1.48 ………….. Comparación entre m1 y m2 

%.error   2.70%

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2

   f 2    1.37       1.33 1 . 19   f        3   1      m3  mr   1.01  0.02 3   1.34 …………... Comparación entre m2 y m3     1  m  m  0.75  0.02  2 r   3    



%.error   0.75%

2

 



% .error  2

 



 

2.02 % 2

   f 1   1.69          2.54  f  1 . 06       4   1      m4  mr   1.26  0.02 3    2.46 …………… Comparación entre m1 y m4  1  m  m  0.5  0.02  1 r   3     % .error   3.25%

2



2

   f 1   1.69          2.02 1 . 19  f        3   1      m3  mr   1.01  0.02 3    1.98 …………… Comparación entre m1 y m3   m  1 m  0.5  0.02  1 r   3     

2

   f 2   1.37          1.67  f  1 . 06       4   1      m4  mr   1.26  0.02 3    1.66 …………. Comparación entre m y m   2 4 1  m  m  0.75  0.02   2 r  3     % .error   0.60.%

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2

   f 3    1.19        1.26 1 . 06   f        4   1      m4  mr   1.26  0.02 3   1.24 ……….. Comparación entre m3 y m4      m  1 m  1.01  0.02  3 r   3     %.error   1.61%



4. Calcule la frecuencia para cada masa utilizando la ecuación (18.6) compare el resultado con las frecuencias obtenidas en el paso 2.  f  

De la ecuación se calcula K

1

k 

2 

m

 

  F= 2.97 + 58.03 (∆X)

K = 58.03 N/m 

m1  0.5k g   f    



1

58.03

 1.71 Hz

2   0.5   f 1 ( pro  promed medio io)  1.69 Hz 1

 

%.error   1.17%

m2  0.75kg

 



  f 2 

1

58.03

2  

0.75

 1.40 Hz  

  f  2( pr  prome omedio dio)  1.37 Hz %.error   2.14%

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m3  1.01k g

 

  f 3 



1

58.03

2  

1.01

 1.21 Hz  

  f 3. (teórico)  1.19 Hz %.error   1.65%

m4  1.26k g  f 4   



1

58.03

2 

1.26

 1.08 Hz  

 f  ( promedio)  1.06 Hz 4

%.error .  1.85% NOTA: Con esto se busca demostrar experimentalmente que tanto el periodo como la frecuencia de un M.A.S no dependen de la amplitud

5. ¿Cómo reconocería si el movimiento movimiento de una masa que oscila, oscila, cumple un movimiento armónico simple?









Que la energía total del sistema permanezca constante. Cuando un cuerpo ejecuta ejecuta un movimiento periódico periódico es decir que el movimiento se repite a cada cierto tiempo, o cuando un cuerpo esta vibrando ese también es un movimiento armónico simple Otra condición que debe cumplir un cuerpo en movimiento es que debe oscilar pero respecto de un punto fijo, denominado posición de equilibrio. Matemáticamente se puede reconocer por la siguiente relación:

6. ¿Qué tan próximo es el movimiento estudiado aquí, aun movimiento armónico simple?

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Es muy cercano, el problema problema es que cuando cuando realizamos realizamos el experimento experimento el cuerpo oscilaba pero su amplitud de oscilación va disminuyendo debido a la fuerza de rozamiento con el aire, el cual es proporcional a la velocidad que presenta la masa.

7. Haga una grafica del periodo al cuadrado versus la masa. Utili Utilice ce los resultados del paso 2.

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CONCLUSIONES:





El movimiento armónico se alejaba de lo ideal, debido a la resistencia resiste ncia del aire. A mayor tiempo de oscilaciones, el movimiento del sistema resorte-masa se asemejaba más al de un movimiento oscilatorio amortiguado, y en esa clase de movimiento las ecuaciones de M.AS. no son válidas, por lo que se tendría que hallar una ecuación que describa la disminución de la amplitud.



A mayor deformación del resorte, la ley de Hoocke no cumple.



La frecuencia y el periodo no dependen de la masa



A diferentes masas. Diferentes periodos y frecuencias





La mala medición de los instrumentos del laboratorio pueden modificar los resultados, obteniendo resultados erróneos que se alejan de lo teórico. Uno de los factores para que exista un porcentaje de error, se debe a que el resorte no oscilaba en un mismo plano vertical.

SUGERENCIAS:







Medir con exactitud y precisión, los elementos a usar, ya que una mala medición de los instrumentos aumentaría el porcentaje de error.

Medir con exactitud las elongaciones del resorte, para obtener una constante del resorte, que se asemeje a lo teórico. Seguir correctamente las instrucciones del profesor.

BIBLIOGRAFÍA:

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

Física general - Zemansky, Sears, Young. /Pag 320



Física II / Piagot / Universidad Universidad Pontificia Católica ./ Pag152

  http://es.wikipedia.org/wiki/Mo http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm% vimiento_arm%C3%B3nico C3%B3nico_simple _simple  



  http://www.fisican http://www.fisicanet.com.ar/fisica/el et.com.ar/fisica/elasticidad/ap03 asticidad/ap03_ecuaciones_ _ecuaciones_del_movimi del_movimiento_ar ento_ar



monico_simple.php   monico_simple.php 

Programa para graficas DATA STUDIO V1.9.

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