Movimiento Armonico Simple

MOVIM OVIMIE IENT NTO O ARMÓ ARMÓNI NICO CO

11

CAPÍTULO 11: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y RESORTES 113

SIMPLE Y RESORTES

EL PERIODO (T ) de un movimiento periódico de un sistema, uno que oscila o rota de manera repetitiva, es el tiempo que requiere el sistema para completar un ciclo completo. En el caso de la vibración, es el tiempo total para el movimiento combinado, atrás y adelante, del sistema. El periodo es el número de segundos por ciclo. LA FRECUENCIA  ( f ) es el número de vibraciones que se realizan en la unidad de tiempo o el número de ciclos  es el tiempo para un ciclo,  f  1T . La unidad de frecuencia es el hertz, donde un ciclo s es  por segundo. Como T  es un hertz (Hz). LA GRÁFICA DE UN MOVIMIENTO VIBRATORIO  se muestra en la figura 11-1. El movimiento que ahí se ilustra es el de ascenso y descenso de una masa sujeta en el extremo de un resorte. Un ciclo completo es desde a hasta b, o desde c hasta d , o desde e hasta  f . El tiempo que transcurre en un ciclo es T , o sea el periodo.

0

0

Figura 11-1

EL DESPLAZAMIENTO  ( x o  y) es la distancia del objeto que vibra desde su posición de equilibrio (posición normal de reposo), es decir, desde el centro de su trayectoria de vibración. Al desplazamiento máximo se le llama amplitud (vea la figura 11-1). UNA FUERZA RESTAURADORA  es aquella que se opone al desplazamiento del sistema; es necesaria para que ocurra una vibración. En otras palabras, es una fuerza cuya dirección siempre es tal que empuja o jala al sistema a su  posición de equilibrio (reposo normal). En el caso caso de una masa en el extremo extremo de un resorte, el resorte estirado estirado jala a la masa de vuelta a su posición de equilibrio, mientras que el resorte comprimido la empuja de vuelta a la posición de equilibrio. UN SISTEMA HOOKEANO (es decir, que obedece la ley de Hooke, como un resorte, un alambre, una varilla, etc.) es aquel que regresa a su con figuración original después de haberse deformado y luego liberado. Más aún, cuando dicho sistema se estira una distancia  x (para compresión, x es negativa), la fuerza restauradora restauradora ejercida por el resorte está dada por la ley de Hooke. F  k x

El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre tiene dirección opuesta al desplazamiento. La  constante  del resorte (o elástica) k  tiene  tiene unidades de N m y es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. La mayoría de los resortes obedecen la ley de Hooke si las deformaciones son pequeñas. 113

114

FÍSICA GENERAL

En algunas ocasiones es útil expresar la ley de Hooke en términos de la fuerza externa F ext necesaria para estirar el resorte una cierta cantidad  x. Esta fuerza es el negativo de la fuerza restauradora, y por tanto F ext  k x

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE  (MAS) es el movimiento vibratorio que experimenta un sistema que obedece la ley de Hooke. La figura 11-1 ilustra un movimiento armónico simple (MAS). Debido a la semejanza de su gráfica con las curvas de las funciones seno y coseno, el MAS se llama con frecuencia movimiento sinusoidal o  movimiento armónico. Una característica central del MAS es que el sistema oscila a una sola frecuencia constante. Eso es lo que lo hace armónico “simple”. LA ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA  (EPe ) almacenada en un resorte de Hooke que se deforma una distancia es Si la amplitud del movimiento es  x0 para una masa sujeta en el extremo de un resorte, entonces la energía del sistema en vibración es en todo momento. Sin embargo, esta energía se almacena por completo en el resorte sólo cuando x   x0, esto es, cuando la masa tiene su máximo desplazamiento. EL INTERCAMBIO DE ENERGÍA  entre energía cinética y potencial ocurre constantemente en un sistema que vibra. Cuando el sistema pasa por su posición de equilibrio, EC  máxima y EPe  0. Cuando el sistema tiene su máximo desplazamiento, entonces EC  0 y EPe  máxima. De la ley de conservación de la energía, en ausencia de  pérdidas por fricción EC  EPe  constante Para una masa m que se encuentra en el extremo de un resorte (cuya propia masa es despreciable), esto se convierte en

donde x0 es la amplitud del movimiento.

LA RAPIDEZ EN UN MAS  está dada por la ecuación anterior de la energía:

Recuerde que la rapidez siempre es una cantidad positiva.

LA ACELERACIÓN EN UN MAS  está dada por la ley de Hooke, F  kx y F  ma; una vez desplazado y liberado, la fuerza restauradora impulsa al sistema. Al igualar estas dos ecuaciones para F  se obtiene

El signo menos indica que la dirección de  presente que ni F ni a son constantes.

a (y F)

siempre es opuesta a la dirección del desplazamiento x. Tenga

alrededor de un CÍRCULO DE REFERENCIA:  Suponga que un punto P se mueve con rapidez constante círculo, como se muestra en la figura 11-2. Este círculo se llama círculo de referencia para el MAS. El punto  A es la  proyección del punto P sobre el eje  x, que coincide con el diámetro horizontal del círculo. El movimiento del punto  A de ida y vuelta en torno al punto O como centro es el MAS. La amplitud del movimiento es  x0, el radio del círculo. El tiempo que emplea P en dar una vuelta alrededor del círculo es el periodo T  del movimiento. La velocidad, v0, del  punto A tiene una componente escalar en  x de vx  ¼ jv0 j sen  

CAPÍTULO 11: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y RESORTES 115

Cuando esta cantidad es positiva,  x negativa.

v x apunta

en la dirección  x positiva; cuando es negativa, v apunta en la dirección  x

Una vuelta en un tiempo  T

Desplazamiento

Figura 11-2

PERIODO EN EL MAS: El periodo T  en un MAS es el tiempo que emplea el punto P en dar una vuelta al círculo de referencia en la figura 11-2. Por tanto,

Pero  x  0:

es la rapidez máxima del punto  A en la figura 11-2, es decir,

es el valor de

en el MAS cuando

da De donde se puede obtener el periodo del MAS

 para un sistema de resorte de Hooke.

ACELERACIÓN EN TÉRMINOS DE T : Al eliminar la cantidad k m entre las dos ecuaciones se encuentra

a

 

(k m) x y

EL PÉNDULO SIMPLE  describe de manera aproximada un MAS si el ángulo de oscilación no es muy grande. El periodo de oscilación de un péndulo de longitud  L en un lugar donde la aceleración de la gravedad es g, está dado por 

EL MAS se puede expresar analíticamente al tomar como referencia la figura 11-2, donde se ve que el desplazamiento horizontal del punto P está dado por  x  x0 cos . Como    t  2π f t , donde la frecuencia angular    2π f  es la velocidad angular del punto de referencia localizado en el círculo, se tiene  x  x0 cos 2π f t  x0 cos  t 

116

FÍSICA GENERAL

En forma similar, la componente vertical del movimiento del punto P está dada por   y  x0 sen 2 π f t  x0 sen  t 

PROBLEMAS RESUELTOS 11.1 [I]

Para el movimiento que se muestra en la figura 11-3, ¿cuál es la amplitud, el periodo y la frecuencia?

Figura 11-3

La amplitud es el desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio y es de 0.75 cm. El periodo es el tiempo empleado para completar un ciclo, por ejemplo, el tiempo desde A hasta B. En consecuencia, el  periodo es 0.20 s. La frecuencia es  cicloss  5.0 Hz

11.2 [I]

Un resorte realiza 12 vibraciones en 40 s. Calcule el periodo y la frecuencia de la vibración. T 

11.3 [I]

tiempo transcurrido vibraciones efectuadas



40 s 12



3. 3 s  f 

vibraciones efectuadas tiempo transcurrido



12 40 s



0. 30 Hz

Cuando una masa de 400 g cuelga en el extremo de un resorte vertical, el resorte se estira 35 cm. ¿Cuál es la constante del resorte, y cuánto más se estirará si de él se cuelga una masa adicional de 400 g? Se usa F ext  ky, donde F ext  mg  (0.400 kg)(9.81 m s2)  3.92 N

 para obtener  Con la carga adicional de 400 g, la fuerza total que estira al resorte es 7.84 N. Por consiguiente

A condición de que sea hookeano, cada carga de 400 g estira el resorte por la misma cantidad, ya sea que el resorte esté o no cargado.

11.4 [II] Una masa de 200 g oscila horizontalmente y sin fricción en el extremo de un resorte horizontal para el que k  7.0 Nm. La masa se desplaza 5.0 cm de su posición de equilibrio y luego se suelta. Encuentre

CAPÍTULO 11: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y RESORTES 117 a) su máxima rapidez y b) su rapidez cuando se encuentra a

3.0 cm de la posición de equilibrio. c) ¿Cuál

es su aceleración en cada uno de estos casos? Del principio de conservación de la energía

donde k  7.0 Nm, x0  0.050 m y m  0.200 kg. Para encontrar el valor de

a)

La rapidez es máxima cuando x  0; esto es, cuando la masa pasa por la posición de equilibrio:

b)

Cuando x  0.030 m,

c)

Al utilizar F  ma y F  kx, se obtiene

lo que produce a  0 cuando la masa está en x  0 y a  1.1 ms2 cuando x  0.030 m.

11.5 [II] Una masa de 50 g sujeta al extremo de un resorte oscila con MAS. La amplitud del movimiento es de 12 cm y el periodo es de 1.70 s. Calcule: a) la frecuencia, b) la constante del resorte, c) la máxima rapidez de la masa, d ) la aceleración máxima de la masa, e) la rapidez cuando el desplazamiento es de 6.0 cm y  f ) la aceleración cuando  x  6.0 cm. a) b)

Como

c)

d )

De la ecuación a  (k m) x se ve que a tiene magnitud máxima cuando  x tiene magnitud máxima; es decir, en los puntos extremos x   x0. De este modo,

e)

De la ecuación

 f )

118

FÍSICA GENERAL

11.6 [II] Una masa de 50 g cuelga del extremo de un resorte de Hooke. Cuando se añaden 20 g más al extremo del resorte, éste se estira 7.0 cm más. a) Encuentre la constante del resorte. b) Si la masa de 20 g se retira, ¿cuál será el periodo del movimiento? a)

Con el peso de la masa de 50 g, F ext 1  kx1, donde  x1 es el alargamiento original del resorte. Cuando se agregan 20 g, la fuerza se convierte en F ext 1  F ext 2  k ( x1  x2), donde F ext 2 es el peso de la masa de 20 g, y x2 es el alargamiento que ésta produce. Al restar las dos ecuaciones de fuerza se obtiene F ext 2  kx2

(Note que esto es lo mismo que F ext  kx, donde F ext es la fuerza de alargamiento adicional y x es la cantidad que se estira debida a ésta. Por esto se podría haber ignorado el hecho de que el resorte ya tenía colgada la masa de 50 g en su extremo.) Al resolver para k  se obtiene

b)

11.7 [II] Como se muestra en la figura 11-4, un resorte ligero y largo de acero está fi jo en su extremo inferior y en la parte superior tiene amarrada una pelota de 2.0 kg. Se requiere una fuerza de 8.0 N para desplazar la pelota 20 cm a un lado, como se muestra. Suponga que el sistema experimenta MAS cuando se libera. a) Calcule la constante de fuerza del resorte y b) el periodo con el que oscilará la pelota de ida y vuelta. a)

k 

fuerza externa F ext desplazamiento x

b)

Figura 11-4

11.8 [II] Cuando una masa m se cuelga de un resorte, éste se estira 6.0 cm. Determine el periodo de oscilación si se tira del resorte hacia abajo un poco y después se suelta. Como

se obtiene

11.9 [II] Dos resortes idénticos tienen k  = 20 Nm. Una masa de 0.30 kg se sujeta a ellos como se muestra en los incisos a) y b) de la figura 11-5. Encuentre el periodo de oscilación de cada sistema. Desprecie las fuerzas de fricción.

(a)

Figura 11-5

(b)

CAPÍTULO 11: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y RESORTES 119 a)

Considere qué pasa cuando a la masa se le da un desplazamiento x  0. Un resorte se alarga una distancia  x mientras el otro se comprime la misma distancia x. Cada uno de ellos ejercerá una fuerza de magnitud (20 Nm) x sobre la masa en dirección contraria al desplazamiento. Por ello la fuerza restauradora total será F  (20 Nm) x  (20 Nm) x  (40 Nm) x

Comparado con F  kx se puede ver que el sistema tiene una constante de resorte de k  40 Nm. Por lo mismo,

b)

Cuando la masa se desplaza una distancia y hacia abajo, cada resorte se estira una distancia y. La fuerza neta restauradora sobre la masa es entonces F  (20 Nm) y  (20 Nm) y  (40 Nm) y

La comparación con F  ky muestra que k  es 40 Nm, la misma que en a). Por consiguiente, el periodo en este caso también es 0.54 s.

11.10 [II] En cierto motor, un pistón experimenta MAS vertical con amplitud de 7.0 cm. Una arandela descansa en la parte superior del pistón. Conforme aumenta lentamente la rapidez del motor, ¿a qué frecuencia la arandela no estará en contacto con el pistón? La aceleración descendente máxima de la arandela será aquella en la cual se encuentre en caída libre, g. Si el pistón acelera hacia abajo más rápido que ésta, la arandela perderá el contacto. En un MAS, la aceleración está dada en términos del desplazamiento y del periodo

p  ffiffiffiffiffiffiffiffiffi  (Para ver esto, note que a   F m   kxm. Pero T  ¼  2 m=k, de donde k  ¼  42 m=T 2, que entonces  produce la expresión anterior para a.) Al tomar como positiva la dirección hacia arriba, la mayor aceleración hacia abajo (más negativa) ocurre cuando x   x0  0.070 m; esto es

La arandela se separará del pistón cuando a0 sea igual a g. Por esta razón, el periodo crítico para el MAS, T c , está dado por 

Éste corresponde a una frecuencia f c  1 T c  1.9 Hz. La arandela perderá contacto con el pistón si la frecuencia del pistón excede 1.9 cicloss.

11.11 [II] Un motor eléctrico de 20 kg se monta sobre cuatro resortes verticales, cada uno con una constante de resorte de 30 N cm. Calcule el periodo con el cual oscilará verticalmente. Al igual que en el problema 11.9, se pueden reemplazar los resortes con un solo resorte equivalente. En este caso la constante de fuerza será de 4(3 000 Nm) o 12 000 N m. Entonces

11.12 [II] Se vierte mercurio dentro de un tubo de vidrio en U. Normalmente el mercurio se encuentra a la misma altura en ambas columnas, pero, cuando se le perturba, oscila arriba y abajo de brazo a brazo (vea la fi-

120

FÍSICA GENERAL

gura 11-6). Un centímetro de la columna de mercurio tiene una masa de 15.0 g. Suponga que la columna se desplaza como se muestra, después se libera y oscila sin fricción. Calcule a) la constante efectiva del resorte en este movimiento y b) su periodo de oscilación. a)

Cuando el mercurio se desplaza x m de su posición de equilibrio como se muestra, la fuerza restauradora es igual al peso de la columna no balanceada de longitud 2 x. El mercurio tiene una masa de 1.50 kg  por metro. Por tanto, la masa de la columna es (2 x)(1.50 kg), y en consecuencia su peso es mg  (29.4 kg · ms2)( x). Por esto la fuerza restauradora es F  (29.4 Nm)( x)

que es de la forma F   kx con k   29.4 Nm. Ésta es la constante efectiva del resorte para este movimiento. b)

El periodo del movimiento es

 

donde  M   es la masa total de mercurio en el tubo en U, esto es, la masa total que se mueve debido a la fuerza restauradora.

Figura 11-6

Figura 11-7

11.13 [II] Calcule la aceleración de la gravedad en un lugar donde un péndulo simple de 150.3 cm de longitud efectúa 100.0 ciclos en 246.7 s. Se tiene Al elevar al cuadrado

y resolver para g se obtiene

11.14 [II] La masa de 200 g que se muestra en la figura 11-7 se empuja hacia la izquierda contra el resorte y lo comprime 15 cm desde su posición de equilibrio. Luego se libera el sistema y la masa sale disparada hacia la derecha. Si la fricción se puede despreciar, ¿qué tan rápido se moverá la masa conforme se aleja? Suponga que la masa del resorte es muy pequeña. Cuando el resorte se comprime, almacena energía en su interior. Dicha energía es , donde x0  0.15 m. Después de soltar el sistema, esta energía se le comunica a la masa en forma de energía cinética (EC). Cuando el resorte pasa por la posición de equilibrio, toda la EPe se convertirá en EC (como la masa del resorte es pequeña, su energía cinética se puede despreciar). Por esta razón,

CAPÍTULO 11: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y RESORTES 121

EPe original  EC final de la masa 1  ð400 2

1 kx20  ¼  12 mv2 2 2 N=mÞð0:15 mÞ ¼  12 ð0:200

kgÞv2

de donde y    6.7 ms.

11.15 [II] Suponga que, en la figura 11-7, la masa de 200 g inicialmente se mueve hacia la izquierda con una rapidez de 8.0 ms. Choca contra el resorte y queda sujeta a él. a) ¿Qué tanto se comprime el resorte? b) Si el sistema entra en oscilación, ¿cuál es su amplitud? Desprecie la fricción y la masa del resorte. a)

Ya que la masa del resorte es despreciable, toda la EC de la masa se utiliza para comprimir el resorte. Por esto se puede escribir  EC original de la masa  EPe final

 

donde y  0  8.0 ms y  x0 es la máxima compresión del resorte. Para m  0.200 kg y k   400 Nm, la relación anterior nos da x0  0.179 m  0.18 m

b)

El resorte se comprime 0.179 m desde su posición de equilibrio. En este punto toda la energía del sistema masa-resorte es EPe. Conforme el resorte empuja a la masa de vuelta hacia la derecha, la masa pasará por la posición de equilibrio. La masa se detendrá en un punto a la derecha de la posición de equilibrio donde la energía de nuevo es toda EPe. Como no existen pérdidas, la energía almacenada en el resorte estirado debe ser la misma que la almacenada en el resorte comprimido. Por esta razón, se estirará x0  0.18 m desde la posición de equilibrio. En consecuencia, la amplitud de la oscilación es 0.18 m.

11.16 [II] En la figura 11-8 la masa de 2.0 kg se suelta cuando el resorte no está estirado. Si se desprecian la inercia y la fricción de la polea, y las masas del resorte y la cuerda, encuentre a) la amplitud de la oscilación resultante y b) su centro o punto de equilibrio. a)

Suponga que la masa cae una distancia h antes de detenerse. En ese instante, la EPG perdida (mgh) estará almacenada en el resorte, de modo que

En su movimiento hacia arriba la masa se detiene cuando la energía del sistema se recobra toda como EPG. Por tanto, subirá 0.13 m arriba de su posición más baja. En consecuencia, la amplitud es 0.132 = 0.065 m. b)

Figura 11-8

El punto central del movimiento se localiza a una distancia de 0.065 m abajo del punto de donde la masa fue liberada, esto es, una distancia igual a la mitad de la recorrida debajo del punto más alto.

11.17 [II] Una partícula de 3.0 g sujeta al extremo de un resorte se mueve de acuerdo con la ecuación  y  0.75 sen 63t , donde  y está dada en cm y t  en segundos. Calcule la amplitud y la frecuencia de su movimiento, su  posición en t  0.020 s, y la constante del resorte. La ecuación de movimiento es y  y0 sen 2 ft.  Por comparación, se ve que la amplitud es y0  0.75 cm. Además,  f  10 Hz de donde 2 f   63 s 1 

(Note que el argumento de la función seno debe ser adimensional; como t  está en segundos, 2 f   debe tener la unidad 1s.)

122

FÍSICA GENERAL

Cuando t  0.020 s, se tiene  y  0.75 sen (1.26 rad)



 (0.75)(0.952)  0.71 cm

Observe que el argumento de la función seno está en radianes, no en grados. Para calcular la constante del resorte, se utiliza para obtener  k  42 f 2 m



 11.9 Nm  12 Nm

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 11.18 [I]

Una pequeña esfera metálica con peso de 10.0 N cuelga de un resorte vertical que llega al reposo después de Resp.  5.0  102 Nm. estirarse 2.0 cm. Determine la constante de resorte.

11.19 [I]

¿Cuánta energía se almacena en un resorte que tiene una constante elástica de 1 000 Nm cuando se comprime Resp. 5.0 J. 10 cm?

11.20 [I]

Un péndulo es cronometrado cuando oscila. El reloj se arranca cuando la lenteja está en el extremo izquierdo de su oscilación. Cuando la lenteja regresa al extremo izquierdo después de la vuelta 90, el reloj marca 60.0 s. Resp. 0.667 s, 1.50 Hz. ¿Cuál es el periodo de oscilación y cuál la frecuencia?

11.21 [II] Una masa de 300 g en el extremo de un resorte de Hooke oscila en dirección vertical de tal forma que se encuentra a 2.0 cm sobre la mesa en su punto más bajo y a 16 cm arriba en su punto más alto. Su periodo es de 4.0 s. Determine: a) la amplitud de vibración, b) la constante del resorte, c) la rapidez y la aceleración de la masa cuando está 9 cm arriba de la cubierta de la mesa, d ) la rapidez y la aceleración de la masa cuando se Resp. a) 7.0 cm; b) 0.74 Nm; c) 0.11 ms; cero; d ) 0.099 ms, encuentra a 12 cm arriba de la mesa. 2 0.074 ms . 11.22 [II] Un resorte de Hooke helicoidal se estira 10 cm cuando una masa de 1.5 kg cuelga de él. Suponga que una masa de 4.0 kg cuelga del resorte y entra en oscilación con una amplitud de 12 cm. Calcule a) la constante de fuerza del resorte, b) la fuerza restauradora máxima que actúa sobre el cuerpo que oscila, c) el periodo de oscilación, d ) la máxima rapidez y la máxima aceleración del cuerpo que oscila y e) la rapidez y aceleración Resp. a) 0.15 kNm; b) 18 N; c) 1.0 s; d ) 0.73 ms, 4.4 ms2; cuando el desplazamiento es de 9 cm. e) 0.48 ms, 3.3 ms2. 11.23 [II] Una masa de 2.5 kg experimenta MAS y efectúa exactamente 3 oscilaciones cada segundo. Calcule la aceleración y la fuerza restauradora que actúan sobre el cuerpo cuando se desplaza 5.0 cm de la posición de equilibrio.   Resp. 18 ms2, 44 N. 11.24 [II] Una masa de 300 g en el extremo de un resorte oscila con una amplitud de 7.0 cm y una frecuencia de 1.80 Hz. a) Calcule la rapidez y la aceleración máximas. b) ¿Cuál es su rapidez cuando se encuentra a 3.0 cm de Resp. a) 0.79 ms, 8.9 ms2; b) 0.72 ms. su posición de equilibrio? 11.25 [II] Un resorte de Hooke se estira 20 cm cuando una masa dada cuelga de él. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación Resp. 1.1 Hz. de la masa si se jala hacia abajo un poco y después se suelta? 11.26 [II] Una masa de 300 g en el extremo de un resorte ejecuta un MAS con un periodo de 2.4 s. Calcule el periodo de Resp. 1.6 s. oscilación cuando la masa de 300 g se sustituye por una masa de 133 g en el mismo resorte. 11.27 [II] Con una masa de 50 g en su extremo, un resorte experimenta MAS con una frecuencia de 0.70 Hz. ¿Cuánto trabajo se realiza al estirar el resorte 15 cm desde su longitud no elongada? ¿Cuánta energía se almacena enResp. 0.011 J, 0.011 J. tonces en el resorte?

CAPÍTULO 11: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y RESORTES 123

11.28 [II] En una situación similar a la que se muestra en la figura 11-7, una masa presiona contra un resorte de masa despreciable para el cual k   400 Nm. La masa comprime al resorte 8.0 cm y luego se suelta. Después de resbalar 55 cm sobre la mesa plana desde el punto de liberación, la masa llega al reposo. ¿Cuál es la magnitud Resp. 2.3 N. de la fuerza de fricción que se opone al movimiento? 11.29 [II] Una masa de 500 g está unida al extremo de un resorte vertical inicialmente sin alargar para el cualk   30  Nm. Después se suelta la masa, de modo que cae y alarga el resorte. ¿Cuánto caerá antes de detenerse? (Sugerencia: La EPG perdida por la masa debe aparecer como EPe.)   Resp. 33 cm. 11.30 [II] Una pistola de juguete utiliza un resorte para el cual k  20 N cm. Cuando está cargado, el resorte se comResp. 18 m.  prime 3.0 cm. ¿Qué altura alcanzará un proyectil de 5.0 g disparado con esta pistola? 11.31 [II] Un bloque cúbico oscila horizontalmente en MAS con una amplitud de 8.0 cm y una frecuencia de 1.50 Hz. Si un bloque más pequeño colocado sobre el primero no ha de resbalar, ¿cuál es el valor mínimo que puede Resp.  0.72. tener el coeficiente de fricción estática entre los dos bloques? 11.32 [II] Calcule la frecuencia de oscilación en Marte de un péndulo simple que tiene 50 cm de longitud. El peso de los Resp. 0.45 Hz. objetos en Marte es 0.40 veces el peso en la Tierra. 11.33 [II] Un “péndulo segundero” marca pulsaciones de segundo, esto es, tarda 1 s para completar medio ciclo. a) ¿Cuál es la longitud de un “péndulo segundero” simple en un lugar donde g  9.80 ms2? b) En ese lugar, Resp. a) 99.3 cm; b) 24.8 cm. ¿cuál es la longitud de un péndulo para el cual T  1.00 s? 11.34 [II] Demuestre que el periodo natural de oscilación vertical de una masa colgada en un resorte de Hooke es el mismo que el periodo de un péndulo simple cuya longitud es igual a la elongación que produce la masa cuando cuelga del resorte. 11.35 [II] Una partícula que está en el origen de coordenadas exactamente en t   0 oscila en torno al origen a lo largo del eje y con una frecuencia de 20 Hz y una amplitud de 3.0 cm. Escriba su ecuación de movimiento en centímetros.   Resp. y  3.0 sen 125.6t. 11.36 [II] Una partícula oscila de acuerdo con la ecuación x  20 cos 16t , donde x está en cm. Encuentre su amplitud, Resp. 20 cm, 2.6 Hz, x  20 cm. frecuencia y posición en exactamente t  0 s. 11.37 [II] Una partícula oscila de acuerdo con la ecuación y  5.0 cos 23t , donde y está en centímetros. Calcule su freResp. 3.7 Hz, 4.8 cm. cuencia de oscilación y su posición en t  0.15 s.