Movimiento Armonico Forzado

MOVIMIENTO ARMONICO FORZADO

NTRODUCCIÓN TEÓRICA Si un sistema oscilante se deja balancear libremente, en un momento dado deja de oscilar, a este movimiento se denomina amortiguado. Sin embargo, un sistema puede tener una fuerza exterior aplicada a él que tiene su propia frecuencia y entonces tenemos una oscilación forzada. Una manera de suministrar energía a un sistema formado por un objeto que cuelga de un muelle vertical es mover el punto del soporte hacia arriba y hacia abajo, con un movimiento armónico simple de frecuencia



.

Al principio el movimiento es complicado, debido a que la frecuencia exter na es diferente de la frecuencia natural del sistema que es la que tendría un oscilador si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor. Pero finalmente alcanzará un estado estacionario en el que el sistema oscila con la misma frecue ncia de la fuerza externa impulsora y con amplitud constante y, por tanto, con energ ía constante también. En el estado estacionario la energía introducida en el sistema por la fuerza impulsora durante un c iclo es igual a la disipada en un ciclo debido al amortiguamiento. La amplitud y, por tanto, la energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia. Si la frecuencia impulsora es igual (o aproximadamente igual) a la fre cuencia natural del sistema, éste oscilará con una amplitud mucho mayor que la propia amplitud de la fuerza impulsora. Este efecto se conoce como resonancia. Cuando la frecuencia impulsora es igual a la frecuencia natural del oscilador,la energía absorbida por éste es máxima. Por e llo, la frecuencia natural del sistema se denomina frecuencia de resonancia del mismo. Se denominan curvas de resonancia a la re presentación de la amplitud alcanzada por el oscilador en el estado estacionario en función de la fre cuencia a la que es activado. act ivado. Cuando el amortiguamiento es pequeño, el oscilador absorbe mucha más energía que la fuerza impulsora a la frecuencia de resonancia (o próxima a ella), lo cual no ocurre a cualquier otra frecuencia; en este caso, se dice que la resonancia es aguda, pues la curva de la anchura es estrecha. Cuando el amortiguamiento es grande, la curva de re sonancia es ancha.

1) Oscilación forzada amortiguada Ahora estudiaremos el movimiento de una particula de masa m suspendida en un resorte, las oscilaciones hemos de aplicar una fuerza oscilante al oscilador amortiguado. Tomaremos en cuenta el efecto del rozamiento y además consideraremos que sobre la particula actua una fuerza complementaria. Supongamos que esta fuerza complementaria F’’ varia con el tiempo según La Ley del coseno o del seno.

   

   



Dicha fuerza varia periódicamente con un periodo

  

 , y con una amplitud máxima





.

Por consiguiente la fuerza total actuante sobre la particula es: 

La fuerza que ejerce el muelle -k·x 



La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad  λv  y de sentido contrario a ésta



La fuerza oscilante F 0·cos(w  f  t ) de frecuencia angular w  f . Por lo que obtenemos:

∑    Realizando las sustituciones:

         Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial:

          Dividiendo todos los términos de la ecuación por la masa m:

Si hacemos:

                       ,

=

  donde

 viene a ser el valor de la frecuencia angular sin

amortiguamiento . Se obtiene:

           Es lógico suponer que la particula no oscilara con su frec uencia angular sin amortiguamiento ni con la frecuencia angular amortiguada

√  

oscilar con la frecuencia angular de la fuerza aplicada



,

en su lugar, la particula será forzada a

.

Por consiguiente supondremos como posible solución de la ecuación, una expresión de la forma:

 Verificamos si cumple: Hallando la primera y segunda derivada x respecto a t

   ( )         Y reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:

  ( ) ( )  ( )    Desarrollando las funciones trigonométricas:

 () ()  ()    (()  )(()  )   

Para que esta ecuación se cumpla e s necesario igualar los términos en ambos miembros por lo tanto:

()     ()       De la ecuación (1) se obtiene:

) (    Elevando al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y sumándolas obtenemos:

 ()    De donde:

        (  )  La amplitud de las oscilaciones forzadas A, tiene un valor máximo cuando el denominador sea minino y para obtener un mínimo igualamos a cero la derivada de dicho denominador :

 ()     ()()       Este máximo da lugar al llamado fenómeno de la resonancia. La frecuencia de la resonancia:

     Y la amplitud máxima:

Cuando la frecuencia



⁄    √   √ 

 de la fuerza aplicada es igual a

, se dice que hay resonancia en

la amplitud. Cuanto menor es el amortiguamiento mas pronunciada es la resonancia, y cuando es cero, la amplitud de resonancia es infinita y ocurre para

     



2. Oscilación forzada no amortiguada: Según la ley de Newton, la ecuación de movimiento es:

       Las fuerzas que actúan sobre el sistema son la fuerza restauradora del muelle, y la fuerza exterior de variación armónica. Introduciendo la frecuencia del sistema no perturbado,

    escribimos esta ecuación como un MAS:

         Solución de esta ecuación. 

En general, cuando el lado izquierdo depende de la variable x y el derecho no, la solución puede escribirse como la suma:

    

Siendo



 la solución general de la ecuación con el lado derecho igual a cero

     

y



una solución particular de la ecuación general

         En nuestro caso, sabemos que la solución general es :

  donde las constantes A,

 

 dependen de las condiciones iniciales del movimiento.

Para encontrar la solución particular, suponemos que la respuesta del sistema a la fuerza exterior es proporcional a ésta. Dicho de otra forma, esperamos que la respuesta del sistema sea lineal con la perturbación exterior que recibe. Con esto, la solución particular será de la forma:

  Introduciendo



en la ecuación del movimiento, se satisface:

  

Despejando la amplitud C ,

   que es la amplitud del movimiento forzado.



Por tanto, la masa m realiza el movimiento:

     

Es la composición de una oscilación libre (primer término) y una oscilación de arrastre debido a la fuerza exterior (segundo término).

Resonancia 

Fijándonos en la solución particular



vemos que si la frecuencia

       

exterior coincide con la frecuencia natural



de la fuerza

 del sistema, la amplitud de la

oscilación forzada tiende a infinito

Es el fenómeno de la resonancia. Físicamente expresa el hecho de que cuando

  

, toda la energía comunicada al sistema por la fuerza exterior es

almacenada por el sistema, con lo que la amplitud crece sin límite.



Cualquier sistema físico sufre algún tipo de amortiguamiento debido al rozamiento. En ese caso, se mantiene el fenómeno de la resonancia, pero la amplitud de la oscilación forzada no tiende a infinito, llega a ser muy grande, pero se mantiene finita.

Régimen transitorio y permanente 

En cualquier sistema real existen fuerzas de rozamiento que hacen que la energía se disipe, se transforme en otras formas de energía (calor). Como la fuerza exterior actúa indefinidamente, es la oscilación libre (primer término de la solución) la que pierde energía y tiende a remitir. Por tanto, en la etapa inicial, cuya duración depende de la intensidad de la amortiguación, los dos movimientos (libre y forzado) son importantes. Es el régimen transitorio. Después de un tiempo suficientemente largo, el único movimiento presente es la oscilación forzada de frecuencia W. Es el régimen permanente o estacionario.

Desfase respecto a la fuerza exterior En el régimen permanente,

      

y de aquí se observa que a) Si

  

la amplitud C del movimiento forzado es positiva. La partícula y la fuerza

 

la amplitud C del movimiento forzado es negativa. La partícula y la fuerza

exterior están en fase, y oscilan en el mismo sentido. b) Si

 >

exterior están en desfase, y oscilan en sentido contrario.