Movimiento Amortiguado

ÍNDICE 1. CARATULA 2. INTRODUCCIÓN 3. MOVIMIENTO U OSCILACIONES AMORTIGUADAS 3.1.

3.2.

Análisis De Oscilación Amortiguada: Péndulo Y Sensor  Método Experimental:  Análisis De Cálculos  Datos Obtenidos  Acotación Análisis De Movimiento Amortiguado En Un Edificio Simple

4. CONCLUSIONES 5. BILIOGRAFIA

INTRODUCCIÓN

Se puede describir el movimiento de un cuerpo que se puede predecir si se conocen las condiciones iniciales del movimiento y las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Si una fuerza cambia en el tiempo, la velocidad y la aceleración del cuerpo también cambiarán en el tiempo. Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerza que es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición, por eso a estas fuerzas se les da el nombre de fuerzas de restitución, porque tratan siempre de restituir o llevar al cuerpo a su posición original de equilibrio. El movimiento que se produce es un ejemplo de lo que se llama movimiento periódico u oscilatorio. Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada a un resorte, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical, la rotación de la Tierra, las ondas electromagnéticas tales como ondas de luz y de radio, la corriente eléctrica en los circuitos de corriente alterna y muchísimos otros más. Un tipo particular es el movimiento armónico simple. En este tipo de movimiento, un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales sin perder energía mecánica. Pero en los sistemas mecánicos reales, siempre se encuentran presente fuerzas de rozamiento, que disminuyen la energía mecánica a medida que transcurre el tiempo, en este caso las oscilaciones se llaman amortiguadas. Si se agrega una fuerza externa impulsora de tal manera que la pérdida de energía se equilibre con la energía de entrada, el movimiento se llama oscilación forzada.

Fig. 01. Modelos de sistemas amortiguados

MOVIMIENTO U OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Los movimientos oscilatorios considerados se refieren a sistemas ideales, que oscilan indefinidamente por la acción de una fuerza lineal de restitución, de la forma F = -kx. Pero en los sistemas reales están presentes fuerzas disipativas, como la fricción, las cuales retardan el movimiento del sistema. Por lo tanto, la energía mecánica del sistema se va perdiendo conforme transcurre el tiempo, lo que hace que la amplitud del sistema disminuya con el tiempo, y se dice que el movimiento es amortiguado. Un tipo común de fuerza de fricción es proporcional a la rapidez y actúa en dirección opuesta al movimiento. Estas fuerzas se producen frecuentemente en los fluidos, principalmente en líquidos y gases, aquí se llaman fuerzas de viscosidad, donde actúan cuando un cuerpo se mueve, por ejemplo, en el agua o en el aire. Se expresan en la forma F = - bv, donde b es una constante que mide el grado de viscosidad del fluido. Aplicando la segunda ley de Newton a un sistema amortiguado, donde sobre el cuerpo en movimiento oscilatorio actúan las fuerzas de restitución y de amortiguamiento o de viscosidad, se obtiene:

…(I)

…(II)

Donde la frecuencia del movimiento es:

…(III)

 A: Amplitud; ω: Frecuencia Angular; δ: Constante de Fase En la figura 02 se grafica la posición ´´x´´ en función del tiempo ´´t´´ para este movimiento amortiguado. Se observa que cuando la fuerza disipativa es pequeña comparada con la fuerza de restitución, el carácter oscilatorio del movimiento se mantiene, pero la amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo, hasta que finalmente el movimiento se amortigua y detiene. La línea de trazos en la figura 2 que es la envolvente de la curva de oscilación, representa el factor exponencial en la ecuación (II), corresponde a la amplitud decreciente en el tiempo.

Fig. 02. Gráfico posición tiempo en las oscilaciones amortiguadas.

De la ecuación de la frecuencia se observa que si b = 0, se tiene la frecuencia natural de vibración del oscilador no amortiguado, ω ₒⁿ=k/m. Cuando la magnitud de la fuerza de fricción se aproxima más a la magnitud de la fuerza de restitución, las oscilaciones se amortiguan más rápidamente. Cuando ´´b´´ alcanza un valor crítico tal que b/2m = ωₒ, el sistema no oscila y se dice que está críticamente amortiguado, por lo que el sistema regresa al equilibrio en forma exponencial con el tiempo. Si el medio es tan viscoso que la fuerza de fricción es mayor que la de restitución, con lo cual b/2m > ω ₒ, el sistema está sobreamortiguado. En este caso tampoco oscila, sino que simplemente regresa a su posición de equilibrio. En todos los casos, cuando hay fricción presente, la energía del oscilador disminuye hasta cero; la energía mecánica que se pierde se transforma en el medio en energía térmica.

Fig. 03. Masa sujeta a resorte.

1. ANÁLISIS DE OSCILACIÓN AMORTIGUADA: PÉNDULO Y SENSOR:

Fig. 04. Idealización del sistema péndulo y sensor.

La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene. Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F = -kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad F' = -ðv, donde ð es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta. La ecuación del movimiento se escribe, expresando en la ecuación del* movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la segunda derivada de la posición ´´x´´, y la velocidad es la primera derivada de ´´x´´. La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión Siendo:    

X(t) = Posición A = Amplitud (Xmáx.) --------- = Coef. Amortiguamiento (Pendiente Graf. Nº 3) --------- = Frecuencia Angular

La característica esencial de la oscilación amortiguada es que la amplitud de la oscilación disminuye exponencialmente con el tiempo. Por tanto, la energía del oscilador también disminuye. Estas pérdidas de energía son debidas al trabajo de la fuerza F' de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad. En el gráfico Nº 1 (v-x), vemos que el móvil describe una espiral que converge hacia el origen. Si el amortiguamiento es grande, γ puede ser mayor que ð0, y ð puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobreamortiguadas). En ambos casos no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía perdida por la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea.

- MÉTODO EXPERIMENTAL:



Medimos la distancia de referencia desde el sensor hasta el péndulo. Esta distancia fue tomada mediante el mismo sensor y con el péndulo sin oscilar.



Graficamos los datos obtenidos por el computador, obteniendo una dispersión de puntos que como modelo matemático representaba una recta con pendiente cercana a cero, su intercepto nos señaló el punto de referencia que buscábamos para cumplir el objetivo.



Realizamos una nueva toma de datos, pero esta vez hicimos oscilar el péndulo (con t seg.), con lo cual el sensor registraba datos, transformándolos al Gráfico N°1 en el cual la amplitud disminuía a medida que el tiempo transcurría.



Graficamos los datos obtenidos de esta última parte (Gráfico N°2), y completamos la tabla N°1, solo utilizamos los puntos más bajos de la gráfica (ya que estos tienen una mejor dispersión que la parte superior).



Los datos seleccionados fueron recorregidos, descontándole la referencia (80.11 cm) calculada con anterioridad (Tabla N°2), obteniendo así el Gráfico N°3.



Al eje de las ordenadas del Gráfico N°3 se le aplico logaritmo, con el fin de linealizar la gráfica. De esta recorrección del gráfico obtuvimos los datos necesarios para encontrar la ecuación del movimiento amortiguado (gráfico Nº 4).

- ANÁLISIS DE CALCULOS: Gráfico Nº1: Este primer gráfico, nos representa una emulación del péndulo experimentado por nosotros. El gráfico x v/s t representa nuestra experiencia realizada en el laboratorio, viendo a simple vista su disminución en la amplitud con el transcurso del tiempo; anexamos los siguientes gráficos que representan el mismo movimiento, pero en funciones distintas (V v/s X y E v/s t).

Tablas Nº1 y Nº2: Elegimos los 5 primeros datos, con el fin de obtener una recta más representativa del movimiento, ya que comprobadamente, esta experiencia no puede tener resultados más óptimos de los que hemos obtenido.

Gráfico Nº 2 y Nº3: A este gráfico corregido, le aplicamos ´´Ln´´ al eje de las ordenadas, con la finalidad de linealizar el gráfico, para así obtener los parámetros requeridos para el desarrollo de la ecuación del movimiento amortiguado.

Gráfico Nº 4: De este último gráfico, apreciamos que la pendiente es nuestro coeficiente de amortiguamiento, y que el antilogaritmo del intercepto, equivale a la amplitud de nuestro movimiento.

- DATOS OBTENIDOS: B = 2.4418 eb = 11.494 = A m = -0.131 Para obtener el periodo de oscilación (T), promediamos los tiempos de los 5 primeros datos de la tabla Nº2, esto nos dio un valor de: t = T = 1.794 seg.

; por lo tantoo sabemos el valor de ω.

para obtener el valor de la fase inicial, hicimos t = 0, con lo que obtenemos finalmente hemos encontrado nuestro objetivo, la ecuación del movimiento amortiguado, la cual queda de la siguiente manera:

ACOTACIÓN La ecuación obtenida, representa efectivamente el movimiento amortiguado, ya que a medida que transcurre el tiempo, el péndulo cada vez oscila, se acerca más a la posición de equilibrio (0 " 15º a f = 0). Esta ecuación difiere del resultado teórico, ya que el valor de la amplitud no es el exacto, siendo la amplitud teórica At = 11.714 (cm), y la experimental Ae = 11.494 (cm), por lo tanto, el error de la amplitud es:

El error arrojado, está dentro de los límites de la física, ya que este acepta un error de 15%, por lo que podemos afirmar que nuestra experiencia fue satisfactoria. Este error no se puede disminuir más, ya que el experimento se trata de oscilaciones muy sensibles (al sensor). El error más probable, se debe la oscilación del péndulo, el cual pudo haber sido puesto en movimiento con un > 15º o haberlo soltado desde el reposo (sin tiritar).

2. ANÁLISIS DE MOVIMIENTO AMORTIGUADO EN UN EDIFICIO SIMPLE: Para evaluar la variación del desplazamiento o movimiento en el tiempo se necesitan plantear una serie de hipótesis simplificatorias. La estructura se representa como un modelo ideal, cuyas propiedades pueden estudiarse y manipularse matemáticamente.

Fig. 05. Ejemplo de edificio simple

En primer lugar, se asume que la base de la estructura es fija y que la losa es indeformable. Se considera que la losa sólo puede desplazarse horizontalmente, por lo tanto, basta con conocer el desplazamiento de uno de sus puntos para determinar la configuración deformada de la estructura. En este caso, se dice que el sistema tiene un grado de libertad.

Se examinan las distintas fuerzas que actúan sobre la losa de la estructura, y se considera que su movimiento es originado por una fuerza externa P(t) variable en el tiempo. La principal diferencia entre el análisis estático y el dinámico, es la intervención en el segundo caso de la fuerza de inercia. Esta fuerza actúa en sentido opuesto a la aceleración de la masa del sistema. Se asume que toda la masa de la estructura se encuentra concentrada en la losa. Se considera que la estructura presenta un comportamiento elástico, es decir, si se le impone un desplazamiento lateral, se generan fuerzas de restitución o restitutivas proporcionales al desplazamiento, pero de sentido contrario. La constante de proporcionalidad entre la fuerza de restitución elástica y el desplazamiento lateral, se denomina rigidez lateral de la estructura k. Para completar el proceso de idealización de la estructura, se considera los mecanismos de disipación de energía. Si la estructura se encuentra en movimiento bajo la acción de algún agente externo que deje de actuar, el sistema continuará en movimiento durante algún tiempo con oscilaciones de amplitud decreciente, hasta llegar al reposo. En este caso, se dice que el movimiento es amortiguado. Uno de los casos de vibraciones amortiguadas más sencillos de estudiar es el del amortiguamiento viscoso, caracterizado por fuerzas amortiguadoras proporcionales, pero de sentido opuesto a la velocidad del sistema. La figura 06 muestra la idealización de la estructura, y los parámetros más importantes desde el punto de vista dinámico: masa, rigidez, amortiguamiento y la fuerza externa P(t).

Fig. 06. Estructura idealizada, de 1 g.d.l.

CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA

1. - Clough, R., Penzien, J., 1993. “Dynamics of Structures”, McGraw-Hill, New York. 2. - Chopra, A. K., 1995. “Dynamics of Stru ctu re s : Theory and A p pl i ca ti on s to Earthquake Engineering”, Prentice-Hall, Berkeley, California. 3.- Chopra, A. K., 1980. “Dynamics of Structures, a Primer”, Earthquake Engineering Research Institute, Berkeley, California. 4.- García R., L., 1998. “Dinámica Estructural a p l i c a d a Diseño Sísmico”, Universidad de Los Andes, Bogotá, Colombia.

al

5. - Inman, D., 1996. “Engineering Vibration”, Prentice-Hall, New Jersey. 6.- Maestría en Ingeniería Civil, 2002. “Apuntes de clase del curso Dinámica de Estructuras”, Pontifica Universidad Católica del Perú, Lima, Perú.