Motori s Unutarnjim Izgaranjem -Dinamika i Oscilacije- Ivan Filipovic

MOTORI S UNUTARNJIM IZGARANJEM dinamika i oscilacije

Prof. dr. Ivan Filipović MOTORI S UNUTARNJIM IZGARANJEM Dinamika i oscilacije Recenzenti: Prof. dr. Vlatko Doleček, Prof. dr. Božidar Nikolić, akademik DANU Prof. dr. Avdo Voloder Izdavač: Mašinski fakultet Sarajevo Za izdavača: Prof. dr. Stjepan Marić Tiraž: 150 primjeraka Godina: 2007 Štampa: GARMOND d.o.o. Sarajevo Odlukom Senata Univerziteta u Sarajevu br. 01-I-1964/06 od 13.12.2006 god. data je suglasnost da se knjiga MOTORI S UNUTARNJIM IZGARANJEM – dinamika i oscilacije objavi kao univerzitetska knjiga.

CIP – Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo 621.43(075.8) 621.3.029(075.8) FILIPOVIĆ, Ivan Motori s unutarnjim izgaranjem : dinamika i oscilacije / Ivan Filipović. – Sarajevo : Mašinski fakultet, 2007. - 223 str. : ilustr. ; 25 cm Bibliografija: str. 218-223. ISBN 978-9958-601-14-9 COBISS.BH-ID 15492102

UNIVERZITETSKA KNJIGA

Ivan Filipović

MOTORI S UNUTARNJIM IZGARANJEM - dinamika i oscilacije -

Mašinski fakultet u Sarajevu, 2007.

I

PREDGOVOR Motori s unutarnjim izgaranjem su toplotni strojevi koji hemijski vezanu energiju u gorivu pretvaraju u mehanički rad u obliku obrtnog momenta na izlaznom djelu vratila motora. U želji da se zadrži konkurentnost i poboljša efikasnost, motori s unutarnjim izgaranjem su prošli, i još uvijek prolaze kroz vrlo buran i intentzivan razvoj. Tako već danas motori predstavljaju jedan vrlo složen mehatronički sistem gdje se većina procesa u motoru prati i kontroliše u cilju optimiranja odgovarajućih parametara motora. Jedan od sistema, koji ima vrlo bitnu ulogu u kreiranju parametara motora s unutarnjim izgaranjem je krivajni mehanizam motora, koji predstavlja grupu tzv. pokretnih djelova motora. Tu spadaju sljedeći sklopovi: - klipna grupa (klip, klipni prstenovi, osovinica i osigurači) - klipnjača sa kliznim ležajevima u maloj i velikoj pesnici klipnjače - radilica motora sa protutegovima, zamajcem i elementima koji služe za pogon opreme motora (pumpa za ulje, razvodni mehanizam, itd.). Svi nabrojani djelovi i sklopovi su , u radu motora , izloženi visokim mehaničkim i termičkim opterećenjima izrazito dinamičkog karaktera. Zbog toga je važno, za kontrolu procesa u motoru, poznavanje dinamičkih parametara krivajnog mehanizma motora, što se i razmatra u ovoj knjizi. Posebna pažnja je posvećena torzionim oscilacijama radilice motora s unutarnjim izgaranjem, koje sa jedne strane predstavljaju realnu opasnost koja može dovesti do zamora materijala i oštećenja djelova motora, a u novije vrijeme se fenomen torzionih oscilacija sve više koristi u procesima dijagnosticiranja parametara motora sa tzv. bezkontaktnim metodama. Knjiga je namjenjena studentima tehničkih fakulteta koji se bave izučavanjem motora i motornih vozila, studentima postdiplomskog studija i inženjerima, koji u svom radu rješavaju preoblematiku vezanu za motore i motorna vozila. Materija u knjizi je izložena u dvije cjeline: - Kinematika i dinamika krivajnog mehanizma motora i - Torzione oscilacije krivajnog mehanizma, gdje se prva cjelina sastoji od četiri poglavlja a druga cjelina ima pet poglavlja. Na kraju knjige dat je zajednički popis korištene literature u knjizi. U tekstu se nalazi i veći broj primjera proračuna dinamičkih parametara krivajnog mehanizma, gdje su svi primjeri uzeti za realne motore sa unutarnjim izgaranjem , koji se koriste u praksi. Pored računskih primjera u knjizi se nalazi niz podataka i preporuka za praktične proračune, koji su plod višegodišnjeg rada i iskustva autora na projektovanju i konstrukciji krivajnih mehanizama motora s unutarnjim izgaranjem.

II Rukopis ove knjige recenzirali su prof. Dr Vlatko Dolečekl, dipl. ing., Mašinski fakultet Sarajevo, prof. Dr Božidar Nikolić, dipl. ing., Mašinski fakultet Podgorica i prof. Dr Avdo Voloder, dipl. ing., Mašinski fakultet Sarajevo i dali mi korisne sugestije na čemu sam im veoma zahvalan. Takođe se zahvaljujem asistentima mr. Dževadu Bibić, dipl. ing. i Almiru Blaževiću, dipl. ing. i saradniku Tihomiru Sokoloviću za pomoć oko tehničke obrade knjige. Štampanje ove knjige podržali su: Sliško d.o.o., Žepče; Crotehna d.o.o., Ljubuški; Croatia osiguranje d.d., Ljubuški; JU Stručna organizacija Centar za vozila, Široki Brijeg i GMK d.d., Kakanj, na čemu im se i ovom prilikom najljepše zahvaljujem.

Sarajevo, januar, 2007 god.

Autor

III SADRŽAJ Spisak oznaka ......................................................................................

V

A.

Kinematika i dinamika krivajnog mehanizma motora.........................

1

1. 2. 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.3

Uvod .................................................................................................... Kinematika krivajnog mehanizma....................................................... Kinematske karakteristike prostog aksijalnog krivajnog mehanizma . Put klipa............................................................................................... Brzina klipa.......................................................................................... Ubrzanje klipa ..................................................................................... Kinematske karakteristike klipnjače.................................................... Kinematske karakteristike dezaksijalnog krivajnog mehanizma......... Kinematske karakteristike krivajnog mehanizma sa glavnom i većim brojem pomoćnih klipnjača ................................................................. Dinamika krivajnog mehanizma.......................................................... Jednocilindrični motor......................................................................... Sile od pritiska gasova......................................................................... Inercione sile i momenti ...................................................................... Glavni vektor inercionih sila ............................................................... Glavni moment inercionih sila jednocilindričnog motora ................... Uravnoteženje inercionih sila i odgovarajućih momenata jednocilindričnog motora..................................................................... Uravnoteženje inercionih sila .............................................................. Uravnoteženje glavnog momenta inercionih sila jednocilindričnih motora.................................................................................................. Jednocilindrični motor sa dezaksijalnim krivajnim mehanizmom ...... Dvocilindrični V motor sa dvije klipnjače na jednom koljenu............ Dvocilindrični V motor sa glavnom i pomoćnom klipnjačom ............ Višecilindrični motori.......................................................................... Proračun inercionih sila X i Y i momenta Mz ....................................... Proračun momenta Mx i My od inercionih sila višecilindričnih motora.................................................................................................. Uravnoteženje inercionih sila i odgovarajućih momenata kod višecilindričnih motora ........................................................................ Uloga i proračun zamajca .................................................................... Stvarni efektivni obrtni momenat motora............................................ Momenat M'................................................................................. Momenat M" ........................................................................................ Momenat M"' ....................................................................................... Momenat M"" ...................................................................................... Polarni diagrami opterećenja ............................................................... Sklop: velika pesnica klipnjače+leteći ležaj-leteći rukavac radilice ... Sklop: glavni rukavac-ležeći ležaj+blok motora .................................

1 1 2 3 5 7 8 10

3. 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.2.1 3.1.2.2 3.1.3 3.1.3.1 3.1.3.2 3.2 3.3 3.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 4. 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.5.1 4.1.5.2

13 16 16 16 18 21 26 28 28 32 33 34 37 39 43 47 51 55 56 56 59 62 64 74 74 77

IV 4.2

Izbor zamajca.......................................................................................

80

B.

Torzione oscilacije krivajnog mehanizma motora ..............................

86

5. 6. 6.1

Uvod .................................................................................................... Prevođenje realnog u tzv. ekvivalentni sistem oscilovanja ................. Uslovi prevođenja stvarnog na ekvivalentni torziono-oscilatorni sistem................................................................................................... Definisanje osnovnih parametara torziono–oscilatonog sistema......... Momenti inercije koncentrisanih masa................................................ Moment inercije krivajnog mehanizma ............................................... Redukcija momenta inercije razgranatih sistema na linijske............... Redukovane dužine i krutosti .............................................................. Eksperimentalno određivanje redukovane dužine i krutosti................ Računsko određivanje redukovane dužine i krutosti ........................... Prigušenja ............................................................................................ Vanjsko prigušenje .............................................................................. Unutrašnje prigušenje .......................................................................... Pobudni momenti................................................................................. Pobudni momenat od sile gasova ........................................................ Pobudni momenat od inercionih sila ................................................... Približne metode za određivanje amplituda pobude kod motora sui ... Analiza i proračun torzionih oscilacija ................................................ Slobodne oscilacije .............................................................................. Metod I (Holzetzer-ov približni metod) .............................................. Metod II (grafo-analitička metoda) ..................................................... Prinudne oscilacije............................................................................... Metod I ................................................................................................ Metod II ............................................................................................... Metod III.............................................................................................. Aksijalne i savojne oscilacije .............................................................. Aksijalne oscilacije razvodnog mehanizma......................................... Literatura .............................................................................................

86 87

7. 7.1 7.1.1 7.1.2 7.2 7.2.1 7.2.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 8. 8.1 8.1.1 8.1.2 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 9. 9.1 10.

92 93 93 94 103 105 105 106 113 114 116 138 139 140 144 151 155 156 160 180 181 193 204 209 209 218

V

SPISAK OZNAKA Ovdje su date samo oznake koje se najčešće koriste u knjizi, iako su sve oznake objašnjene u tekstu. A – amplituda ugla uvijanja oko ravnotežnog položaja Ar – rezonanatna amplituda uvijanja AR – relativna amplituda uvijanja između dva susjedna diska a – rastojanje između osa dva susjedna cilindra aj, bj, cj – koeficijenti Fourijeovog reda a1,a2, ..., an – rastojanje pojedinih cilindara od težišne ravni motora, relativne amplitude uvijanja pojedinih diskova oko ravnotežnog položaja u odnosu na amplitudu prvog cilindra, gdje je a1=1 bd – veličina dezaksijalnosti krivajnog mehanizma C – troziona krutost, savojna krutost, aksijalna krutost c – redukovana torziona krutost De – ekvivalentni prečnik Dk – prečnik klipa E – modul elastičnosti materijala Ek, Ep – kinetička i potencijalna energija Fi,i+1 – višak/manjak rada između motora sui i radne mašine za interval αi - αi+1 FTg – tangencijalna sila na radilici motora redukovana od sile gasova u cilindru Frin – radijalna sila na radilici motora od inercionih sila FTin – tangencijalna sila na radilici motora od inercionih sila f – frekvenca oscilovanja G – težina jednog koljena radilice motora, težina Gk – modul klizanja materijala G' – težina klipnjače G" – težina klipne grupe (klip+karike+osovinica+osigurači) g – ubrzanje zemljine teže I – moment inercije površine Io – polarni moment inercije površine I' – moment inercije mase klipnjače za težišnu osu klipnjače i – prenosni odnos J – momenat količine kretanja K – sila gasova na klipu k – poluprečnik inercije koljena radilice kA, kB – poluprečnik inercije za mase mA i mB kR – redukcioni koeficijenat l – dužina klipnjače le – ekvivalentna dužina

VI M Md Me Mj Mo Mr Mx , My Mz m mkl m' m" n nkr k Pe p, p(α) pi po r s s' T t V Vh W Wo X Xe o

oo

x, x , x o

x sr Y Z α αr o

oo

– momenat uvijanja – dinamički faktor pojačanja – elastični moment uvijanja – amplituda j-og reda pobude – srednja vrijednost momenta uvijanja – dinamički faktor pojačanja u rezonantnim uslovima – momenti od inercionih sila oko ose x i y – inercioni obrtni moment oko ose z – masa koljena radilice – masa klipa – masa klipnjače – masa klipne grupe (klip+karike+osovinica+osigurači) – broj obrtaja radilice motora sui – kritični (rezonantni) broj obrtaja za k-ti oblik osciovanja – efektivna snaga motora – pritisak gasa u cilindru motora – srednji indicirani pritisak u motoru – okolni pritisak – poluprečnik koljena radilice motora – hod klipa, položaj težišta koljena radilice – položaj težišta klipnjače – period oscilovanja – vrijeme – trenutna vrijednost zapremine u cilindru – hodna zapremina cilindra – rad – polarni otporni momenat površine – inerciona sila u pravcu ose x – amplituda elastičnog momenta uvijanja

– put, brzina i ubrzanje klipa – srednja brzina klipa – inerciona sila u pravcu ose y – inerciona sila u pravcu ose z – tekući ugao obrtanja radilice – ugaono rastojanje između dva cilindra kod kojih je uzastopno palenje

β , β , β – ugaoni put, ugaona brzina i ugaono ubrzanje klipnjače Δt – vremenski korak δ – ugao između osa cilindara u istoj ravni, ugao nagiba motora u odnosu na vertikalnu ravan – stepen neravnomjernosti obrtanja motora δω ε – koeficijent unutrašnjeg prigušenja φ – fazni ugao pomaka odziva i pobude

VII ϕ æ λ μο μr μR μ" v M Me MRM U ω ωo ωok θ

θz ϑ ρ τ ξ ζ ζk

– ugao osciolovanja (male oscilacije) – koeficijenat – konstruktivna karakteristika krivajnog mehanizma – koeficijent trenja između osovinice i ušica – koeficijent trenja između ležaja i letećeg rukavca – koeficijent trenja između ležaja i glavnog rukavca – koeficijent trenja između klipa i cilindarske košuljice – koeficijent spoljašnjeg prigušenja (koeficijent proporcionalnosti) – trenutna vrijednost obrtnog momenta – trenutni efektivni obrtni momenat – trenutna vrijednost obrtnog momenta radne mašine – višak/manjak momenta između motora i radne mašine – ugaona brzina radilice, kružna frekvenca oscilovanja – vlastita frekvenca oscilovanja – vlastita frekvenca za k-ti oblik oscilovanja – srednja vrijednost momenta inercije masa krivajnog mehanizma, momenat inercije mase – momenat inercije mase zamajca – ugao uvijanja (oscilovanja) oko ravnotežnog položaja – specifična gustina – napon na uvijanje – redukovani koeficijent prigušenja – redukovana frekvenca oscilovanja – redukovana valastita frekvenca oscilovanja za k-ti oblik osciovanja

Indeksi: i j k motor sui GMT (SMT) DMT (UMT)

– redni broj diska – red pobude – oblik oscilovanja – motor s unutarnjim izgaranjem – gornja mrtva tačka (spoljna mrtva tačka) – donja mrtva tačka (unutarnja mrtva tačka)

1

A. KINEMATIKA I DINAMIKA KRIVAJNOG MEHANIZMA MOTORA 1. Uvod U cilju provjere mehaničkih naprezanja elemenata motora sui, uravnoteženja motora, ravnomjernosti ugaone brzine, slike opterećenja ležajeva motora, torzionih oscilacija, itd., neophodno je izvršiti analizu sila koje se javljaju u krivajnom mehanizmu motora. Pri tome se mora razjasniti suština nastajanja svih sila, karakter njihove promjene u toku radnog ciklusa motora i način ispoljavanja njihovog dejstva pri radu motora. Na krivajnom mehanizmu motora sui javljaju se: - sile gasova, - inercione sile, - sile trenja pokretnih dijelova i - težine pojedinih dijelova krivajnog mehanizma. Sile gasova su unutarnje sile koje naprežu elemente motora, ali se drže u ravnoteži i ne prenose se na oslonce motora. Efektivni obrtni moment motora, koji je uglavnom posljedica djelovanja sila gasova i koji se predaje potrošaču (radnoj mašini), izaziva reaktivni moment suprotnog smjera koji se prenosi na oslonce motora, izazivajući oscilacije istog u ravni upravnoj na uzdužnu osu koljenastog vratila. Inercione sile i odgovarajući momenti, koji nastaju uslijed pravolinijskog, rotacionog i ravanskog kretanja pojedinih dijelova krivajnog mehanizma, ukoliko nisu međusobno uravnoteženi, prenose se preko ležajeva radilice motora i bloka motora na njegove oslonce izazivajući oscilacije motora. Uravnoteženi dio inercionih sila i odgovarajućih momenata, koji se ne prenose na oslonce motora, naprežu dijelove krivajnog mehanizma motora. Sile trenja i odgovarajući momenti su po svom intenzitetu daleko manji od prethodno pomenutih, pa sa stanovišta naprezanja pojedinih djedova krivajnog mehanizma nisu toliko interesantni. Njihova veličina i karakter su interesantni za funkcionalnost odgovarajućih sklopova, kao i pri konstruktivnom detaljiranju pojedinih elemenata (npr. izgled i karakteristike karika, buka od udaranja klipa o cilindarsku košuljicu, itd.). Kako je za izračunavanje pojedinih sila na krivajnom (motornom) mehanizmu potrebno poznavanje ubrzanja dijelova mehanizma, ovdje će se prvo izvršiti analiza kinematskih veličina krivajnog mehanizma. 2. Kinematika krivajnog mehanizma Krivajni mehanizam motora (klipni motorni mehanizam) ima osnovnu zadaću da izvrši pretvaranje pravolinijskog oscilatornog kretanja klipa u rotaciono kretanje radilice motora. Ovim je omogućeno da se rad dobiven oslobađanjem toplote iz

2 goriva u nadklipnom prostoru prenese u vidu obrtnog momenta na radilici motora sui. Najčešće susretani krivajni mehanizmi u praksi su tzv. prosti krivajni mehanizmi koji se sastoje od klipne grupe, klipnjače i koljenastog vratila (radilice) motora. Složeni krivajni mehanizmi koji u sebe uključuju više elemenata (npr. krivajni mehanizam sa ukrasnom glavom), ovdje neće biti posebno obrađivani. Obzirom da izvedbe krivajnih mehanizama mogu biti različite: - aksijalni i dezaksijalni prosti krivajni mehanizam kod linijskih motora, - različiti krivajni mehanizmi kod V, W, … motora - krivajni mehanizmi zvijezde motora, itd. ovdje će se vrlo detaljno obraditi kinematske veličine prostog aksijalnog krivajnog mehanizma (gdje osa cilindra leži u istoj ravni sa srednjom osom glavnog rukavca koljenastog vratila). Za dezaksijalne krivajne mehanizme (osa cilindra je postavljena ekscentrično u odnosu na srednju osu glavnog rukavca) i ostale varijante krivajnih mehanizama biće data kraća objašnjenja i konačni izrazi pojedinih kinematskih karakteristika. 2.1

Kinematske karakteristike prostog aksijalnog krivajnog mehanizma

Na sl. 1 data je skica aksijalnog krivajnog mehanizma sa označenim osnovnim konstruktivnim veličinama i smjerom okretanja koljenastog vratila mehanizma. x

Osnovne konstruktivne veličine sa sl. 1 su objašnjene u nastavku: r – poluprečnik koljena radilice, l – dužina klipnjače, r λ = – bezdimenziona konstruktivna l karakteristika krivajnog

B’ B

B“

x

β

2r

A

α 0

mehanizma i ne prelazi vrijednost 0,35 u praksi,

l

r

ω y

Sl. 1 Skica aksijalnog krivajnog mehanizma

s = 2·r – hod klipa, B' – gornja mrtva tačka (GMT) (često nosi naziv i spoljna mrtva tačka – SMT), " B – donja mrtva tačka (DMT) (često nosi naziv i unutarnja mrtva tačka – UMT), α – ugao okretanja radilice, x – put klipa, O – osa obrtanja radilice, A – osa letećeg rukavca radilice, B – osa osovinice klipne grupe ω – ugaona brzina radilice.

3 Za konkretnu analizu kinematskih karakteristika a poslije i dinamičkih karakteristika krivajnog mehanizma, vrlo važno je definisati koordinatni sistem za motor, odnosno krivajni mehanizam, kao i smjer obrtanja radilice motora. Na sl. 2 data je šema jednog linijskog motora gdje je definisan koordinatni sistem i smjer

Sl. 2 Označavanje smjera obrtanja i koordinatnog sistema 2.1.1

obrtanja. Smjer obrtanja radilice motora sa zamajcem, prikazan na sl. 2 je uobičajeni smjer obrtanja kod većine motora sui. Zove se desni smjer obrtanja, gledano sa strane slobodnog kraja radilice motora (pogled B) obrtanje se izvodi u desnu stranu (smjer kazaljke na satu). U nastavku izlaganja stalno će se koristiti ovako usvojeni smjer obrtanja sa koordinatnim sistemom x, y, z (sl. 2), vezanim za težišnu ravan "motora".

Put klipa

Put klipa se može odrediti prema sl. 1, kao:

x = OB = r ⋅ cos α + l ⋅ cos β

(1)

Ako se ugao nagiba klipnjače (β) izrazi preko jednačine:

sin β = λ ⋅ sin α

(2)

odnosno:

cos β = 1 − λ2 ⋅ sin 2 α

(3)

onda se izraz (1) može napisati kao:

x = r ⋅ cos α + l ⋅ 1 − λ2 sin 2 α

(4)

U izrazu (4) put klipa dat je kao funkcija ugla obrtanja radilice (α) i konstruktivnih karakteristika krivajnog mehanizma. Razvijajući izraz (3) prema binomnom teoremu kao:

1 2 1 ⋅ λ sin 2 α − ⋅ λ4 sin 4 α − 2 2⋅4 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 − ⋅ λ6 sin 6 α − ⋅ λ8 sin 8 α − K 2 ⋅ 4 ⋅6 2 ⋅4 ⋅6 ⋅8

cos β = ( 1 − λ 2 sin 2 α )1 / 2 = 1 −

(5)

4 izraz (4) se može pisati kao:

1 1 1 1⋅ 3 x = cos α + − ⋅ λ sin 2 α − ⋅ λ3 sin 4 α − ⋅ λ5 sin 6 α − K r λ 2 2⋅4 2 ⋅4 ⋅6

(6)

Kako se na osnovu poznatih relacija iz trigonometrije može napisati da je:

sin 2 k α =

1 2

2 k −1

⎡k ⋅ ⎢∑ ( −1 ) k −i ⎣ i =0

⎤ ⎛ 2k ⎞ 1 ⎛ 2k ⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ cos 2 (k − i )α ⎥ − 2 k ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ i ⎠ ⎦ 2 ⎝k ⎠

(7)

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(8)

odnosno:

1 ⋅ ( 1 − cos 2α ) 2 1 sin 4 α = ⋅ ( 3 − 4 cos 2α + cos 4α ) 8 1 sin 6 α = ⋅ ( 10 − 15 cos 2α + 6 cos 4α − cos 6α ) 32 sin 8 α = K sin 2 α =

izraz (6) se može napisati kao: x 1 1 1 = A0 + cos α + ⋅ A2 cos 2α − ⋅ A4 cos 4α + ⋅ A6 cos 6α − + K 4 16 36 r

(9)

gdje je: 1 3 3 5 ⋅λ − ⋅λ − ⋅ λ5 − K 64 256 λ 4 1 3 15 5 ⋅λ +K A2 = λ + ⋅ λ + 4 128 1 3 5 ⋅λ +K A4 = ⋅ λ3 + 16 4 9 ⋅ λ5 + K A6 = 128 M A0 =

1

−

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(10)

Izraz (10) se može pisati uopšteno kao: 2 k −1 ∞ ⎛ 1 / 2 ⎞ ⎛ 2k ⎞ ⎛ λ ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ A2 j = 4 ⋅ j 2 ⋅ ∑ ( −1 ) k −1 ⋅ ⎜⎜ k= j ⎝ k ⎠ ⎝k − j⎠ ⎝ 2 ⎠

Koeficijenti A2j koji se koriste u praktičnim proračunima dati su u tabeli 1. za

(11)

5 uobičajene vrijednosti veličine λ. Tabela 1: Koeficijenti A2j 1/λ 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

A0 2,3971 2,9166 3,4275 3,9368 4,4439 4,9496 5,4543 5,9581

A2 0,4173 0,3431 0,2918 0,2540 0,2250 0,2020 0,1833 0,1678

A4 0,0182 0,0101 0,0062 0,0041 0,0028 0,0021 0,0015 0,0012

A6 0,0009 0,0003 0,0001 0,0001 0,0000 -------

Za približan proračun puta klipa može se usvojiti da je:

A0 ≈

1

λ A2 ≈ λ

−

λ 4

⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭

(12)

na osnovu čega je dobijen približni izraz za proračun puta klipa:

λ ⎤ ⎡1 x ≈ r ⎢ + cos α − ( 1 − cos 2α )⎥ 4 ⎦ ⎣λ 2.1.2

(13)

Brzina klipa

Brzina klipa se dobija jednostavno iz izraza (9) kao: o

x=

dx 1 1 1 1 ⎡ ⎤ = r ⋅ ω ⎢− sin α − ⋅ A2 sin 2α + ⋅ A4 sin 4α − ⋅ A6 sin 6α + ⋅ A8 sin 8α − K⎥ dt 2 4 6 8 ⎣ ⎦

(14)

odnosno na osnovu izraza (13) kao: o λ ⎞ ⎛ x ≈ − rω ⎜ sin α + ⋅ sin 2α ⎟ 2 ⎠ ⎝

(15)

gdje je:

ω=

dα dt

Izrazi (14) i (15) predstavljaju trenutne vrijednosti brzine klipa u funkciji ugla

6 obrtanja radilice motor (α). Za razliku od trenutnih vrijednosti brzine u praksi se obavezno susreće i veličina srednje brzine klipa koja se računa kao:

15

srednja brzina x sr [m/s]

14

polje uobičajenih srednjih brzina klipa

13 12 11

o

x sr = 2 ⋅ B ' B" ⋅ n = = 2 ⋅ ( 2r ) ⋅ n = 2 ⋅ s ⋅ n

10 9 8 7 6 5 100

200

400

300

500

600

prečnik klipa DK [mm]

Sl. 3

Uobičajene vrijednosti srednje brzine klipa za dizel motore u funkciji prečnika klipa

(16)

gdje su korištene oznake sa sl. 1. Uobičajene vrijednosti srednje brzine klipa za dizel motore, u zavisnosti od prečnika klipa date su na sl. 3. Maksimalna vrijednost trenutne brzine klipa, kao i njen položaj može se dobiti pomoću izraza (15) kao:

o

dx = − rω (cos α + λ cos 2α ) = 0 dα

(17)

odakle je: αo

x max

2 ⎡ 1 1 ⎤⎥ ⎛ 1 ⎞ = arc cos ⎢ ⎜ ⎟ + − 2 4⋅λ⎥ ⎢ ⎝4⋅λ ⎠ ⎣ ⎦

(18)

Koristeći izraze (15) i (18) dobiju se vrijednosti položaja maksimalne ⎞ ⎛ xo max ⎛ ⎞ brzine ⎜ α o ⎟ i odnos maksimalne i srednje brzine klipa ⎜⎜ o ⎟⎟ , što je prikazano ⎝ x max ⎠ ⎜ x sr ⎟ ⎠ ⎝ u tabeli 2. Tabela 2. Vrijednosti α o

x max

1/λ

αo

x max

o

o

x max / x sr

o

o

i x max / x sr za razne vrijednosti λ

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

4,2

74° 28’

75° 10’

75° 50’

76° 26’

77° 0’

77° 32’

1,637

1,631

1,626

1,622

1,617

1,614

Koristeći tabelu 2., za uobičajene vrijednosti karakteristike λ za motore može se konstatovati da je za n = const. (konstantan broj obrtaja motora) odnos brzina: o

o

x max ≈ 1,625 ⋅ x sr = 1,625 ⋅ 4 ⋅ r ⋅ n

(19)

7 2.1.3 Ubrzanje klipa Ubrzanje klipa dobija se kao prvi izvod po vremenu jednačine (14) odnosno (15): oo

− x = rω 2 ⋅ (cos α + A2 cos 2α − A4 cos 4α + A6 cos 6α − K ) + o 1 1 1 + r ω ⋅ (sin α + ⋅ A2 sin 2α − A4 ⋅ sin 4α + ⋅ A6 sin 6α − K ) 2 4 6

(20)

Izraz (20) se sastoji od dva člana i to stacionarnog uz ω2 i nestacionarnog člana uz o

ω . Može se skraćeno napisati kao: j −1 ∞ oo ⎡ ⎤ − x = rω 2 ⋅ ⎢cos α + ∑ ( −1 ) ⋅ A2 j ⋅ cos( 2 jα )⎥ + j =1 ⎢⎣ ⎥⎦ j −1 ∞ o ⎡ ⎤ A2 j + r ω ⋅ ⎢ sin α + ∑ ( −1 ) ⋅ ⋅ sin( 2 jα )⎥ 2j j =1 ⎣⎢ ⎦⎥

(21)

Na osnovu izraza (15) dobija se uprošteni izraz za ubrzanje klipa: oo

o

x = −rω 2 ⋅ (cos α + λ cos 2α ) − r ω ⋅ (sin α +

λ

⋅ sin 2α )

2

(22)

Za slučaj konstantnog broja obrtaja (n = const.) dobija se približan izraz za ubrzanje klipa kao: oo

x = −rω 2 ⋅ (cos α + λ cos 2α )

(23)

oo

Ekstremne vrijednosti x su za:

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

oo

⎯→ x 0 = −rω 2 ⋅ ( 1 + λ ) α =0⎯ oo

⎯→ x π = − rω ⋅ ( −1 + λ ) α =π ⎯ x [mm] x [m/s] x [m/s2]

0°

GMT

2

x

x

x

360°

180°

DMT

[°KV]

GMT o

oo

Sl. 4 Diagram puta ( x ), brzine ( x ) i ubrzanja klipa ( x )

(24) Na sl. 4 dat je načelni tok puta, brzine i ubrzanja klipa u zavisnosti od ugla obrtanja radilice motora (α). Ove veličine se vrlo jednostavno računaju. Naravno uprošteni izrazi puta, brzine i ubrzanja ((13), (15) i (23))

8 pogodni su i za grafički metod prikazivanja. Obzirom da se ovaj put rjeđe koristi u praksi ovdje se neće posebno objašnjavati. Veličina puta je izražena preko

relativne vrijednosti kao x = x − ( l − r ) , u odnosu na usvojenu vrijednost x. 2.1.4

Kinematske karakteristike klipnjače

Klipnjača prikazana na sl. 1 linijom AB vrši ravno kretanje. Kinematika tačke A, koja vrši kružno kretanje, je vrlo jednostavna, a kinematika tačke B je definisana u o

prethodnim tačkama. Potrebno je još definisati ugaoni put (β), ugaonu brzinu ( β ) i oo

ugaono ubrzanje ( β ) da bi se potpuno definisale kinematske karakteristike klipnjače. Sa sl.1 je jasno da je:

β = arcsin( λ sin α )

(25)

gdje je, za uglove α = 90° i 270° maksimalna vrijednost ugla β:

β max = ± arcsin λ

(26)

Maksimalne vrijednosti ugla β kreću se kod motora sui u granicama βmax = 12° ÷ 18°. Ugaona brzina klipnjače se dobija kao: o

β=

dβ dβ dα dβ = ⋅ =ω ⋅ dt dα dt dα

(27)

Koristeći izraz (27), (25) i (3) dobija se: o

⎛ ⎝

β = ω ⋅ ⎜ λ cos α +

1 3 3 ⎞ ⋅ λ sin 2 α ⋅ cos α + ⋅ λ5 sin 4 α ⋅ cos α + K⎟ 2 8 ⎠

(28)

Uvrštavajući izraz (7) u prethodnu jednačinu dobija se:

⎡

o

β = λ ⋅ ω ⋅ ⎢C1 ⋅ cos α − ⎣

C3 C C ⎤ ⋅ cos 3α + 5 ⋅ cos 5α − 7 ⋅ cos 7α + K⎥ 3 5 7 ⎦

(29)

odnosno: o

∞

β = λ ⋅ ω ⋅ ∑ ( −1 ) j =1

j −1

C 2 j −1 2 j −1

cos[(2 j − 1)α ]

(30)

9 gdje je:

1 2 3 4 ⋅λ + ⋅λ +K 8 64 3 27 4 ⋅λ +K C 3 = ⋅ λ2 + 8 128 15 4 ⋅λ +K C5 = 128 M C1 = 1 +

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(31)

ili opšti izraz za konstante C se može napisati kao: 2

C 2 j −1 = ( 2 j − 1 ) ⋅

∞

∑

( −1 )

k = j −1

k +1

2k 2k − 1 ⎛ 1 / 2 ⎞ ⎛ 2k ⎞ ⎛ λ ⎞ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎜ k + 1 ⎜⎝ k ⎟⎠ ⎜⎝ k − j + 1⎟⎠ ⎝ 2 ⎠

(32)

Približan izraz za proračun ugaone brzine klipnjače može se napisati kao:

⎡⎛ ⎣⎝

o

β ≈ λ ⋅ ω ⋅ ⎢⎜ 1 +

⎤ 1 2⎞ 1 ⋅ λ ⎟ ⋅ cos α − ⋅ λ 2 cos 3α ⎥ 8 8 ⎠ ⎦

(33)

ili za najgrublje proračune koristi se izraz: o

β ≈ λ ⋅ ω ⋅ cos α

(34)

Iz izraza (34) može se odrediti max. vrijednost ugaone brzine za α = 0 i α = π, kao: o

β max ≈ ±ω ⋅ λ

(35)

Koeficijenti C2j-1, koji se koriste za praktične proračune, dati su u tabeli 3. Tabela 3.

Koeficijenti C2j-1

1/λ 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

C1 1,021 1,014 1,010 1,008 1,006 1,005 1,004 1,003

C2 0,066 0,044 0,032 0,024 0,019 0,015 0,013 0,011

C3 0,004 0,002 0,001 0,001 ---------

Ugaono ubrzanje klipnjače dobija se kao prvi izvod po vremenu izraza (29), odnosno izraza (30) kao:

10

oo

β = −λω 2 ⋅ [C1 sin α − C 3 sin 3α + C 5 sin 5α − K] + o

+ λ ω ⋅ ( C 1 cos α −

C C3 cos 3α + 5 cos 5α − K ) 5 3

(36)

odnosno: ∞

oo

β = −λ ⋅ ω 2 ⋅ ∑ ( −1 ) j −1 C 2 j −1 sin[( 2 j − 1 ) ⋅ α ] + j =1

o

∞

+ λ ⋅ ω ⋅ ∑ ( −1 ) j −1 j =1

C 2 j −1 2j −1

cos⋅ [( 2 j − 1 ) ⋅ α ]

(37)

Za slučaj konstantnog broja obrtanja motora (n = const.), približni izrazi za ugaono oo

ubrzanje klipnjače ( β ) su:

⎡⎛ ⎣⎝

oo

1 8

⎞ ⎠

3 8

⎤

β ≈ −λω 2 ⋅ ⎢⎜ 1 + λ2 ⎟ sin α − λ2 sin 3α ⎥ ⎦

(38)

odnosno, za grubi proračun: oo

β ≈ −λω 2 ⋅ sin α

(39)

Maksimalne vrijednosti ugaonog ubrzanja su za α = π/2 i α = 3π/2: oo

β max ≈ mω 2 ⋅ λ

(40)

Prethodno izvedeni izrazi važe za tzv. aksijalne krivajne mehanizme (centrične), dok su za dezaksijalne krivajne mehanizme (necentrične) ovi izrazi dosta komplikovaniji. U nastavku se daju osnovni izrazi koji definišu kinematske veličine dezaksijalnog krivajnog mehanizma. 2.2

Kinematske karakteristike dezaksijalnog krivajnog mehanizma

Izgled dezaksijalnog krivajnog mehanizma je dat na sl. 5. Vrijednost dezaksiranja krivajnog mehanizma je bd ili izraženo relativno χ = bd/l. Manje vrijednosti dezaksiranja (bd = (0,001÷0,003) ⋅ Dk ) koriste se zbog smanjenja buke motora, smanjenja temperature u zoni klipnih karika, a veće vrijednosti dezaksiranja koriste se zbog podešavanja položaja bregastog vratila razvoda (posebne konstrukcije), itd. Kinematske karakteristike dezaksijalnog krivajnog mehanizma dobivaju se na sličan način kako i karateristike aksijalnog krivajnog mehanizma.

11

Na osnovu sl. 5 može se napisati izraz za put klipa (x) kao:

x = r cos α + l cos β

(41)

odnosno:

[

1 x 2 = cos α + ⋅ 1 − (λ sin α − χ ) r λ

]

1/ 2

(42)

Ako se izraz (42) transformiše po istoj analogiji kao u tački 2.1.1, dobiva se konačno:

Sl. 5 Šema dezaksijalnog krivajnog mehanizma. x = r ⋅ ( A0' + cos α + A1' sin α +

+

1 ' 1 1 ⋅ A2 cos 2α − ⋅ A3' sin 3α − ⋅ A4' cos 4α + 4 9 16

1 1 ⋅ A5' sin 5α + ⋅ A6' cos 6α − − + + K ) 36 25

(43)

gdje je: A0' = A0 −

1 2 ⎛1 3 45 ⎞ 1 ⎛ 1 15 ⎞ 1 χ 6 χ ⋅ ⎜ + λ + λ3 ⎟ − χ 4 ⎜ + λ ⎟ − 2 64 ⎠ 8 ⎝ λ 4 ⎠ 16 λ ⎝λ 4

3 15 ⎞ 1 ⎛ 15 ⎞ 3 5 ⎛ A1' = χ ⋅ ⎜ 1 + λ2 + λ4 ⎟ + χ 3 ⎜ 1 + λ2 ⎟ + χ 8 64 ⎠ 2 ⎝ 8 ⎠ 18 ⎝ 3 5 ⎞ 15 ⎛ A2' = A2 + χ 2 λ ⋅ ⎜ 1 + λ2 ⎟ + χ 4 λ 2 4 ⎠ 8 ⎝ 9 15 ⎞ 45 ⎛ χ ⋅ λ2 ⋅ ⎜ 1 + λ2 ⎟ + χ 3λ2 8 16 ⎝ ⎠ 16 15 A4' = A4 + χ 2 λ3 8 75 ' A5 = χλ4 128 A6' ≈ A6

A3' =

Približan izraz za put klipa je:

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(44)

(

12

⎡1 x≈r⋅⎢ ⎣⎢ λ

⎤ ⎛ χ2 ⎞ λ ⎟ + cos α + χ ⋅ λ sin α − ⋅ (1 − cos 2α )⎥ ⋅ ⎜⎜ 1 + ⎟ 2 ⎠ 4 ⎝ ⎦⎥

(45)

Brzina klipa se dobiva iz izraza (43) kao: o

x = r ⋅ ω ⋅ ( − sin α + A1' cos α − +

1 1 1 ' ⋅ A2 sin 2α − ⋅ A3' cos 3α + ⋅ A4' sin 4α + 4 3 2

1 ' 1 ⋅ A5 cos 5α − ⋅ A6' sin 6α − + + − − K ) 5 6

(46)

Približan izraz za brzinu klipa pri n = const. je: o λ ⎡ ⎤ x ≈ − r ⋅ ω 2 ⋅ ⎢ sin α − χ ⋅ λ cos α + sin 2α ⎥ 2 ⎣ ⎦

(47)

Ubrzanje klipa kod dezaksijalnog (necentričnog) krivajnog mehanizma je: oo

−

x = ω 2 ⋅ (cos α + A1' sin α + A2' cos 2α − A3' sin 3α − A4' cos 4α + r + A5' sin 5α + A6' cos 6α − − + + K ) + o

+ ω⋅ (sin α − A1' cos α + −

1 ' 1 1 A2 sin 2α + A3' cos 3α − A4' sin 4α − 2 3 4

1 ' 1 A5 cos 5α + A6' sin 6α + − − + + K ) 6 5

(48)

Približan izraz za ubrzanje necentričnog krivajnog mehanizma pri n = const. je: oo

x ≈ −r ⋅ ω 2 ⋅ (cos α + χ ⋅ λ sin α + λ sin 2α )

(49)

Kinematske karakteristike klipnjače kod necentričnog mehanizma su: -

ugao:

β = arcsin(λ sin α − χ )

(50)

β max = arcsin(λ − χ )

(51)

gdje je:

-

ugaona brzina: o

⎛ ⎝

1 2

1 3

1 4

β = ω ⋅ λ ⋅ ⎜ C 1' cos α − C 2' sin 2α − C 3' cos 3α + C 4' sin 4α + 1 ⎞ + C 5' cos 5 − − + +...⎟ 5 ⎠

(52)

13 -

približan izraz za ugaonu brzinu:

⎡⎛ ⎤ 1 2⎞ 1 1 λ ⎟ ⋅ cos α − λ ⋅ χ sin 2α − λ2 cos 3α ⎥ (53) 8 ⎠ 2 8 ⎣⎝ ⎦ Ugaono ubrzanje klipnjače dobiva se diferenciranjem izraza (52), odnosno izraza (53) po vremenu: o

β ≈ λ ⋅ ω ⋅ ⎢⎜ 1 +

β = −ω 2 ⋅ λ ⋅ (C1' sin α + C2' cos 2α − C3' sin 3α − C4' cos 4α + C5' sin 5α + − − + + K) + oo

o ⎛ ⎞ C' C' C' 1 + ω ⋅ λ ⋅ ⎜⎜ C 1' cos α − 2 sin 2α − C 3' cos 3α + 4 sin 4α + 5 cos 5α − − + + K⎟⎟ (54) 2 3 4 5 ⎝ ⎠

-

približan izraz za ugaono ubrzanje, pri n = const, je:

⎡⎛ ⎣⎝

oo

β ≈ −ω 2 ⋅ λ ⋅ ⎢⎜ 1 +

⎤ 1 2⎞ 3 λ ⎟ ⋅ sin α + λ ⋅ χ cos 2α − λ2 sin 3α ⎥ 8 ⎠ 8 ⎦

gdje je:

1 2 ⎛ 9 ⎞ 3 χ ⋅ ⎜ 1 + λ2 ⎟ + χ 4 2 8 ⎠ 8 ⎝ 3 ⎞ 3 ⎛ = χ ⋅ λ ⋅ ⎜ 1 + λ2 ⎟ + χ 3 ⋅ λ 4 ⎠ 2 ⎝ 27 2 2 χ ⋅λ = C3 + 16 3 = χ ⋅ λ3 4 ≈ C5

C 1' = C 1 + C 2' C 3' C 4' C 5'

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(55)

(56)

Prethodni izrazi se mogu iskoristiti za proračun kinematskih parametara i kod V motora gdje su isti krivajni mehanizmi u paru, i to je čest slučaj. Na osnovu izraza datih u tački 2.1 i 2.2 mogu se dati neki opšti zaključci: - Prethodni izrazi predstavljaju sumu jednostavnih harmonijskih funkcija. - Kod centričnog mehanizma se javljaju samo istovrsne harmonijske funkcije (parne ili neparne). - Amplituda svakog harmonika (osim ubrzanja) zavisi kod konstantnog broja obrtaja, samo od dimenzija krivajnog mehanizma. -

2.3

o

Kod ubrzanja se javljaju nestacionarni članovi uz ω , koji postaju vrlo uticajni pri naglim promjenama brzinskog režima. Kinematske karakteristike krivajnog mehanizma sa glavnom i većim brojem pomoćnih klipnjača

Krivajni mehanizam sa glavnom i jednom ili većim brojem pomoćnih klipnjača,

14 koristi se kod V motora (sl. 6), W motora (sl. 7) i zvjezda motora (sl. 8). Ovi krivajni mehanizmi sa označenim konstruktivnim karakteristikama dati su za x

B

x

x2

x1

B

B2

B1

x1 B1 β1

β

l1

β2

l

l 2=l 1

A1 e1 δ1

A2

y1

A

y1

0

y

β1

A1

e2=e1

r

α

l1

e1 A

δ 2 =-δ1δ 1

y

0 y2

Sl. 6 Krivajni mehanizam sa jednom pomoćnom klipnjačom (i = 1) – V motor

Sl. 7 Krivajni mehanizam sa dvije pomoćne klipnjače (i = 2) – W motor

uobičajene primjere u praksi, na sl. 6, sl. 7 i sl. 8. x B

l x4

B4

A4

l4

e1

e4 A

β4

l1 β1

e3 A3

A1

B1

x1

e2 A2

r δ

l3

x3

B3

β3

0

β2

y

l2 B2 x2

Sl. 8 Krivajni mehanizam sa četiri pomoćne klipnjače (i = 4) – zvjezda motor petocilindrični

15 Realnija skica motora prikazanih na slikama sl. 6 i sl. 8 data je na sl. 9 i 10.

Sl. 9 Skica V motora

Sl. 10 Skica zvjezda motora

Ako se pored dosadašnjih oznaka uvedu za i- ti pomoćni cilindar i sljedeće oznake:

λi =

e r , εi = i li r

(57)

onda se mogu napisati približni izrazi za proračun kinematskih veličina i- tog dijela krivajnog mehanizma kao: put klipa “i”:

-

{

xi 1 2 = cos( α + δ i ) + 1 − [λi sin(α + δ i ) − ε i ⋅ λ ⋅ λi sin α ] r λi

}

1/ 2

+

+ ε i ( 1 − λ 2 sin 2 α )1 / 2

(58)

ubrzanje klipa “i” uz uslov konstantne ugaone brzine (ω = const.):

oo

[

(

)

x − i = ω 2⋅ ⋅ cos δ i cos α − sin δ i sin α + λi ⋅ cos 2δ i − 2ε i ⋅ λ ⋅ λi cos δ i + ε i ⋅ λ2 cos 2α − r − (λ i ⋅ sin 2δ i − 2ε i ⋅ λ ⋅ λ i sin δ i ) ⋅ sin 2α ]

-

ugaoni put klipnjače “i”:

β i = arcsin[λi sin(α + δ i ) − ε i ⋅ λ ⋅ λi sin α ]

-

(59)

(60)

ugaona brzina klipnjače "i" računa se kao: β i = ω ⋅ λ i ⋅ [cos(α + δ i ) − ε i ⋅ λ cos α ]⋅ o

1 cos β i

(61)

16 -

ugaono ubrzanje klipnjače “i”, za slučaj ω = const.: oo

βi = −ω 2 ⋅ [sin δ i cos α + (cos δ i − ε i ⋅ λ ) sin α ] λi

(62)

Za sve tipove krivajnih mehanizama sl. 6, 7 i 8, gdje postoji “glavna” i “pomoćne” klipnjače dati su opšti izrazi za proračun kinematskih parametara. U tački 2.1 i 2.2 pored opštih izraza za proračun kinematskih parametara uz pomoć računara, dati su i izrazi napisani u obliku redova. Ovakvo izražavanje kinematskih parametara nema nekog posebnog značaja i smisla, za njihovo izračunavanje, posebno u eri velike primjene računara. Ovakav prikaz kinematskih veličina krivajnog mehanizma ima više smisla kod izučavanja dinamike krivajnog mehanizma (sila inercije i momenata inercionih sila) u smislu pravilnijeg razumijevanja karaktera pojedinih sila i momenata, kao i kod izučavanja torzionih oscilacija krivajnog mehanizma. Kinematski parametri za prethodne krivajne mehanizme prvenstveno se koriste kod proračuna dinamičkih veličina mehanizama (sile inercije i njihovi momenti). 3.

Dinamika krivajnog mehanizma

Dinamika krivajnog mehanizma se bavi proračunavanjem sila koje se javljaju pri radu motora i načinom prenošenja ovih sila preko elementa mehanizma. Analiza sila motornog mehanizma pruža podatke za mehanički proračun elemenata, provjeru opterećenja ležajeva, proračun oscilacija, rješavanje problema uravnoteženja i ravnomjernosti rada motora. Prema suštini nastajanja, na krivajni mehanizam djeluje više vrsta sila: sile od pritiska gasova, inercione sile, sile trenja, sile teže i sile korisnog otpora, koji mehanizam savlađuje. Sile trenja je teško odrediti računskim putem, te se one pri analizi sila izražavaju preko normalnih sila i koeficijenata trenja. Sile teže na krivajnom mehanizmu su poznate i po intenzitetu su male u odnosu na sile gasova i inercione sile. Osnovne sile, koje se analiziraju kod krivajnog mehanizma, su: - sile od pritiska gasova – primarne sile - sile inercije pokretnih dijelova – sekundarne sile. Ove sile će se prvo analizirati kod jednocilindričnog motora. 3.1 Jednocilindrični motor 3.1.1 Sile od pritiska gasova Pritisak gasova u cilindru motora definisan je preko indikatorskog p-V diagrama (sl. 11) ili razvijenog p-α diagrama (sl. 12) gdje je: p – apsolutna vrijednost pritiska u natklipnom prostoru, po – pritisak u motorskoj kućici (približno isti kao

17 atmosferski pritisak), V– trenutna zapremina u cilindru motora i α – trenutni ugao obrtanja radilice krivajnog mehanizma. Sila gasova na krivajni mehanizam (K) se računa kao:

K = ( p − p0 ) ⋅

Dk2 π = f (α ) 4

(63)

p

p

p0

pritisak čiste kompresije

p0 VC

Vh

V

GMT

GMT

DMT

GMT

a [°KV] DMT

GMT

DMT

Sl. 11 p-V indikatorski diagram

Sl.12 Razvijeni p-α diagrama

gdje je: Dk – prečnik klipa. Sila K ima karakter kao pritisak (p) na sl. 12. x

Ova sila ima napadnu liniju u osi cilindra. Usvaja se da je pozitivna ako djeluje u pravcu radilice (suprotno smjeru ose x). Prenosi se preko osovinice klipa na klipnjaču, pa joj je i napadna tačka u presjeku ose cilindra i ose osovinice. Kod necentričnih mehanizama ova sila izaziva i momenat, koji je direktno proporcionalan veličini ekscentriciteta bd (sl. 5). Jednostavna analiza sile gasova i njena redukcija na radilicu motora vidi se na sl. 13.

K KN

β K

KK

l

α

α+β

Ng r

Tg KK

y

0

Sl. 13 Razlaganje sile gasova na krivajnom mehanizmu

18 Sila gasova K=K(α) se prenosi preko klipnjače u vidu sile KK i normalno na klip KN kao:

K cos β K = sin β

KK = KN

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

(64)

Sila KK preko klipnjače prenosi se na radilicu motora, gdje se razlaže u dva dijela i to na tangencijalnu silu na radilici (Tg) i normalnu silu na radilicu (Ng), odnosno u pravcu koljena radilice. Ove sile se računaju kao:

sin( α + β ) cos β cos( α + β ) N g = K K cos( α + β ) = K ⋅ sin β

T g = K K sin( α + β ) = K ⋅

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

(65)

Tangencijalna sila (Tg) od sile gasova stvara momenat uvijanja radilice (M’) koji se računa kao: M ' = Tg ⋅ r = K ⋅ r ⋅

D 2π sin( α + β ) sin( α + β ) = [ p( α ) − p0 ] ⋅ k ⋅ r ⋅ = Mg ( α ) cos β 4 cos β

(66)

Ovdje se neće detaljno analizirati uticaj sile gasova (K) na bilo koji element krivajnog mehanizma, nego će se na kraju dati detaljna analiza za sve sile koje djeluju zajedno na krivajni mehanizam. 3.1.2 Inercione sile i momenti Ubrzanja koja se javljaju kod pojedinih masa krivajnog mehanizma motora, bilo da je broj obrtaja n = const. ili n = var., proizvode inercione sile, koje u nekim slučajevima mogu biti vrlo opasne. Obzirom na činjenicu da je pri n = var., vrlo teško definisati ubrzanje pojedinih dijelova krivajnog mehanizma, u ovom poglavlju će se analizirati inercione sile koje nastaju pri n = const. Na sl. 14 data je šema krivajnog mehanizma sa ubrzanjima karakterističnih tačaka istog. Pravolinijski se kreću mase klipne grupe (m”) (klip, klipni prstenovi, osovina sa osiguračima) i njihovo težište se nalazi u tački S" i ove mase mogu da se zamjene koncentrisanom masom u tački S". Masa koljena radilice (m) koja vrši kružno kretanje (dio radilice) ima težište u tački S, može se zamijeniti sa koncentrisanom masom m (težinom G) u tački S. Položaj težišta S i težina G može se posmatrati samo preko neuravnoteženog dijela koljena radilice što je i najčešći slučaj, ili preko ukupne težine koljena i njemu odgovarajućeg težišta. Klipnjača mase m’

19

"detalj koljena radilice" Oznake na slici su: x1, y1 – težišna ravan motora, S" – težište masa klipne grupe, S' – težište klipnjače, S – težište masa koljena radilice koje vrše kružno kretanje, ak – odstojanje težišne ravni krivajnog mehanizma i težišne ravni motora.

Sl. 14 Šema krivajnog mehanizma sa ubrzanjima i težištima dijelova mehanizma (težine G’) vrši ravansko (složeno) kretanje pa zamjena mase klipnjače (m’) koncentrisanom masom u težištu S' nije realna. U želji da se uticaj klipnjače što jednostavnije izračuna u smislu proračuna inercionih sila, klipnjača se zamjenjuje sa određenim brojem masa. Za ovu zamjenu stvarne klipnjače u ekvivalentni sistem treba da su ispunjeni uslovi: - jednakosti masa, - jednakosti momenta, - jednakosti momenta inercije masa, - jednakosti ugaonih pomjeranja. Četvrti uslov je automatski ispunjen zato što se tačke A, S ' i B uvijek nalaze na jednom pravcu. Uz pretpostavku da je masa klipnjače reducirana u tri tačke A, S ' i B (sl. 14), kao

20 tri koncentrisane mase u tačkama m A , mS ' i m B , prva tri uslova mogu se napisati kao: ⎫ m A + m B + m S ' = m' ⎪⎪ (67) m A ⋅ s' = mB ⋅ ( l − s' ) ⎬ ⎪ m A ⋅ s' 2 + m B ⋅ ( l − s ' ) 2 = I ' ⎪⎭ gdje je I ' momenat inercije mase klipnjače oko težišne ose. Drugi pristup koji se češće koristi u praksi je redukcija mase klipnjače ( m ' ) na dvije mase m A i m B realnih dimenzija (imaju vlastite momente inercije). Za ovu varijantu mogu se napisati prethodni uslovi, odnosno jednačina (67) kao:

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

m A + m B = m' m A ⋅ s' = mB ⋅ ( l − s' ) 2

'

2

m A ⋅ s' + I A + m B ⋅ ( l − s ) + I B = I

'

(68)

gdje su IA i IB sopstveni momenti inercije masa mA i mB. Iz prva dva uslova jedačine (68) dobivaju se redukovane mase ( m A i m B ) odnosno težine (GA i GB) kao: mA =

G A G' = g g

⎛ s' ⎞ ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ l ⎠ ⎝

G G' s' mB = B = ⋅ g g l

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

(69)

Treći uslov u jednačini (68) može se pisati kao:

G A ' 2 G A 2 GB G G' ' 2 ⋅s + ⋅ kA + ⋅ ( l − s ' ) 2 + B ⋅ k B2 = ⋅k g g g g g

(70)

gdje su:

k ' – poluprečnik inercije mase klipnjače kA – poluprečnik inercije mase redukovane u tačku A kB – poluprečnik inercije mase redukovane u tačku B Iz jednačine (70) može se napisati jednačina oblika:

G A ⋅ k A2 + G B ⋅ k B2 G ' = g g

(

)

2 ⋅ ⎡k ' − s ' ⋅ l − s ' ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦

(71)

21 Izraz (71) daje vezu između sopstvenih momenata inercije redukovanih masa (mA) i (mB) sa momentom inercije mase klipnjače I'. U daljim analizama dinamike krivajnog mehanizma, težište klipne grupe (S") i osa osovinice klipa (B) se uzimaju kao jedna tačka, čime se ne pravi neka greška u oo

proračunu. Naime obe tačke imaju isto ubrzanje ( x ) i obje vrše pravolinijsko kretanje. 3.1.2.1 Glavni vektor inercionih sila Inercione sile, koje su posljedica ubrzanja pojedinih elemenata krivajnog mehanizma, prikazane su na sl. 15. x

X

l

X

B

s

I

GII

GB b

S

A

l

I

xS a s sw rw

2

yA

y

B

A

0 G GA

I

r w yS

sw

r 2

A

B

m (G )

xA

w

I

mA(GA)

Y ,,

mB(GB)

redukcija klipnjače na dvije mase

,,

Sl. 15 Krivajni mehanizam sa označenim dimenzijama, masama (težinama), ubrzanjima i inercionim silama Težine i težišta elemenata krivajnog mehanizma mogu se definisati vaganjem ili nekim približnim računskim putem. Međutim, ako se ima u vidu slučaj kada se vrši projektovanje motora, mase i težišta se moraju usvojiti na osnovu iskustvenih podataka, a nakon definisanja radioničkih crteža usvojene vrijednosti se mogu korigovati i po potrebi cio proračun ponoviti. Na osnovu statističkih podataka velikog broja različitih konstrukcija krivajnog mehanizma ustanovljeni su približni odnosi između masa pojedinih dijelova i prečnika klipa ili površine čela klipa za pojedine vrste i namjene motora. Ovi odnosi su dati u tabeli 4. za razne motore i vrste materijala.

22 Tabela 4. Relativna masa klipne grupe ( m" ) i klipnjače ( m' ) po jedinici površine čela klipa Vrsta motora

Putnička vozila

Oto motori

Teretna vozila Motocikli Avionski motori Putnička vozila

Dizel motori

Teretna vozila Traktori Stacionarni i brodski brzohodi motori Stacionarni i brodski sporohodi motori

m" Akl

m' Akl

Lake legure LG (liveno gvožđe) Lake legure LG (liveno gvožđe) Lake legure

⎡ g ⎤ ⋅⎢ 2 ⎥ ⎣ cm ⎦ 7-17 12-28 15-25 20-40 9-17

Lake legure

9-17

Lake legure

20-30

Lake legure LG (liveno gvožđe) Lake legure

20-40 25-55 25-35

LG (liveno gvožđe)

60-110

45-90

LG (liveno gvožđe)

150-300

130-300

Materijal klipa

⎡ g ⎤ ⋅⎢ 2 ⎥ ⎣ cm ⎦ 10-20 20-40 6-10 7-25 25-35 30-50 35-55

Napomena: Materijal klipnjače je čelik. Površina čela klipa je: Akl = Dk2 π / 4 Masa klipa u klipnoj grupi iznosi cca 76%. Za određivanje mase klipa mogu se koristiti i sljedeći orijentacioni odnosi: Motori za vozila:

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Stacionarni i brodski motori:

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

oto:

mkl = 0,7 (Dk – 0,053) za za mkl = Dk (Dk – 0,3)

dizel: mkl = 1,3 Dk3

mkl = 2 Dk3

Dk = 0,4÷0,8 dm Dk = 0,8÷1,5 dm Dk ≤ 3,5 dm

za o

za Al klipove, pri x sr > 5 m/s o

mkl = 3,6 Dk3 za klip od LG; x sr < 5 m/s

Mase klipnjače se mogu odrediti orjentaciono i prema sljedećim preporukama: Oto motori za vozila:

m' = Dk za Dk ≤ 0,75 dm ' 2 m = 1,3 D k za 0,75 ≤ Dk ≤ 1,5 dm

Dizel motori:

m ' = 3 D 3k

za

Dk ≤ 1,5 dm

23 gdje je Dk prečnik klipa u [dm], a mase se dobivaju u [kg]. Također su iskustveno preporučeni odnosi:

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

m A = ( 0 ,7 ÷ 0 ,8 ) ⋅ m' m B = ( 0 ,2 ÷ 0 ,3 ) ⋅ m

'

'

s = ( 0 ,2 ÷ 0 ,3 ) ⋅ l

(72)

Sa ovako usvojenim vrijednostima masa i težišta pojedinih elemenata krivajnog mehanizma mogu se proračunati inercione sile. Nakon završene konstrukcije krivajnog mehanizma izvrši se provjera usvojenih veličina. Ako je rasturanje veliko između stvarnih i usvojenih vrijednosti, proračun sila se ponavlja sa stvarnim vrijednostima masa i težišta, kao i sve druge dimenzione provjere (proračuni). Glavni vektor inercionih sila prema sl. 15, može se napisati uopšteno kao:

F = X ⋅ i +Y ⋅ j + Z ⋅k

(73)

Kako ne postoji kretanje krivajnog mehanizma u smjeru ose z, ne postoji ni inerciona sila Z, pa se izraz (73) može pisati konačno kao:

F = X ⋅ i +Y ⋅ j

(74)

Sa sl. 15 može se preko sume svih sila u pravcu ose x i y odrediti inerciona sila X i Y kao:

G oo ⎛ G G oo G " ⎞ oo ⎟⋅ x =0 ⋅ x S + A ⋅ x A + ⎜⎜ B + g g g ⎟⎠ ⎝ g G oo G oo Y + ⋅ yS + A ⋅ y A = 0 g g X+

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

(75)

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(76)

Ubrzanja u pravcu osa xA, xS, yA i yS se računaju kao: oo

o

oo

o

x S = − s ⋅ ω 2 cos α − s ⋅ ω sin α y S = − s ⋅ ω 2 sin α + s ⋅ ω cos α

oo

o

x A = − r ⋅ ω cos α − r ⋅ ω sin α

oo

2

o

y A = − r ⋅ ω 2 sin α + r ⋅ ω cos α

24

Uvrštavajući izraze (76) i (69) u izraz (75) dobivaju se izrazi za sile X i Y kao: ' o oo ⎛ 1⎡ s' ⎞ ' ⎤ ⎛ 2 " ⎞ ⎞ 1 ⎛s ' ⎢G ⋅ s + r ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⋅ G ⎥ ⋅ ⎜ ω cos α + ω sin α ⎟ − ⋅ ⎜⎜ G + G ⎟⎟ ⋅ x g⎣ l ⎠ ⎠ g ⎝ l ⎠ ⎝ ⎦ ⎝ ' o ⎤ ⎛ 1 ⎡ s ⎞ Y = ⋅ ⎢G ⋅ s + r ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⋅ G ' ⎥ ⋅ ⎛⎜ ω 2 sin α − ω cos α ⎞⎟ g ⎣ l ⎠ ⎠ ⎝ ⎦ ⎝

X =

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

(77)

Uvodeći skraćene oznake:

Q' =

1 g

r Q= g

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎡ ⎤ ⎛ s' ⎞ ⋅ ⎢G ⋅ s + r ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⋅ G ' ⎥ l ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝

⎛ s' ⎞ ⋅ ⎜⎜ G ' + G " ⎟⎟ ⎝ l ⎠

(78)

jednačine (77) se mogu pisati kao: oo

o ⎛ ⎞ x X = Q ⋅ ⎜ ω 2 cos α + ω sin α ⎟ − Q ⎝ ⎠ r '

⎛ ⎞ Y = Q ' ⋅ ⎜ ω 2 sin α − ω cos α ⎟ ⎝ ⎠ o

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

(79)

Ako se u jednačine (79) uvede izraz za ubrzanje klipa (20), dobiju se konačni izrazi za inercione sile X i Y krivajnog mehanizma jednocilindričnog motora kao: X = ω 2 ⋅ [(Q + Q ' ) cos α + Q ⋅ ( A2 cos 2α − A4 cos 4α + A6 cos 6α − K)] + o ⎡ 1 1 ⎛1 ⎞⎤ + ω ⋅ ⎢(Q + Q ' ) sin α + Q ⋅ ⎜ A2 sin 2α − A4 sin 4α + A6 sin 6α − K⎟⎥ 2 4 6 ⎝ ⎠⎦ ⎣ o

Y = ω 2 ⋅ Q ' sin α − ω ⋅ Q ' cos α

⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭⎪

(80)

Pomoću izraza (80) definisan je i glavni vektor inercionih sila ( F ) krivajnog mehanizma jednocilindričnog motora. Na osnovu izraza (80) može se zaključiti: - Obje inercione sile X i Y uključuju stacionarni dio (uz ω2) i nestacionarni dio o

-

(uz ω ). Poprečna sila Y ima samo članove prvog reda, a aksijalna sila X ima prvi i veće parne redove. Tako je npr.:

25 • sila X prvog reda, stacionarni dio: X stI = ω 2 ⋅ ( Q + Q' ) ⋅ cos α

• sila X drugog reda, stacionarni dio: X stII = ω 2 ⋅ Q ⋅ A2 ⋅ cos 2α o

-

ω ⋅ A4

⋅ Q ⋅ sin 4α , itd. 4 Stacionarni članovi inercionih sila rastu sa kvadratom broja obrtaja.

• sila X četvrtog reda, nestacionarni dio:

IV X nst

=−

Primjer proračuna inercionih sila X i Y dat je u nastavku na sl. 16 i 17, odakle se najbolje vidi karakter i intenzitet tih sila. Na sl. 16 data je sila X i Y za jedan krivajni mehanizam dizel motora sa prečnikom klipa Dk = 125 mm, poluprečnik koljena radilice r = 75 mm pri broju obrtaja n = 2200 °/min. Na sl. 17 date su inercione sile X i Y za jedan krivajni mehanizam oto motora, prečnika klipa Dk = 76 mm, poluprečnika koljena radilice r = 33 mm i broja obrtaja n = 5000 °/min. X 60 [kN] 45 30 15 0 0

80

160

240

320

400

480

560

640

720 α (°KV)

-15 -30 -45 -60

Y 45 [kN] 30 15 α (°KV) 0 0

80

160

240

320

400

480

560

640

720

-15 -30 -45

Sl. 16. Inercione sile X i Y dizel motora Na sl. 16 i 17 slikovito se vidi karakter i veličina inercionih sila jednog krivajnog mehanizma dizel i oto motora.

26 X 20 [kN] 15 10 5 0 0

80

160

240

320

400

480

560

640

720 α (°KV)

-5 -10 -15 -20 Y 15 [kN] 10 5

α (°KV) 0 0

80

160

240

320

400

480

560

640

720

-5 -10 -15

Sl. 17 Inerciona sila X i Y oto motora 3.1.2.2 Glavni moment inercionih sila jednocilindričnog motora Izraz za glavni moment inercionih sila, na osnovu sl. 14 i 15 može se napisati kao:

Mi = M x ⋅ i + M y ⋅ j + M z ⋅k

(81)

Uz prihvaćenu konvenciju da je neki moment usmjeren u suprotnom pravcu kretanja kazaljke na satu, gledano iz pravca vrha koordinatne osi prema čvorištu koordinatnih osa, pozitivan moment, mogu se napisati izrazi za momente kao:

M x = Y ⋅ ak M y = − X ⋅ ak

⎫ ⎬ ⎭

(82)

a k – odstojanje težišne ravni motora od težišne ravni krivajnog mehanizma (sl. 14).

27 Ako je težišna ravan motora i krivajnog mehanizma ista, što je najčešći slučaj kod jednocilindričnih motora, onda je Mx = My = 0. Momenat oko ose z – Mz - inercioni obrtni momenat dobija se kao izvod momenta količine kretanja (zamaha) po vremenu:

Mz = −

dJ dt

(83)

gdje je: o

J = − I 'A ⋅ β +

GA 2 ⋅ r ⋅ω + I ⋅ω g

(84)

odnosno: o

I 'A ⋅ β - momenat količine kretanja zbog njihanja klipnjače oko tačke B. GA 2 ⋅ r ⋅ ω - momenat količine kretanja mase mA zbog obrtanja oko tačke O. g I ⋅ ω - momenat količine kretanja mase koljena zbog obrtaja oko tačke O. Koristeći Štajenrovu teoremu, za osu kroz tačku B, može se napisati:

I 'A +

(

GA 2 G' ⋅l = I' + ⋅ l − s' g g

)

2

(85)

odakle je:

I 'A = I ' +

(

G' ⋅ l − s' g

)

2

−

G A 2 G' ⋅l = g g

(

)

2 ⋅ ⎡k ' − s ' ⋅ l − s ' ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦

(86)

Momenat inercije mase koljena radilice motora oko ose obrtanja z je:

I=

G 2 ⋅k g

(87)

Ako se jednačine (86) i (87) uvrste u jednačinu (84) dobije se: o

J = − β⋅

(

)

G G' ⎡ ' 2 G k − s ⋅' l − s ' ⎤ + A ⋅ r 2 ⋅ ω + ⋅ k 2 ⋅ ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ g g g

(88)

Sada se jednačina (83) može napisati kao:

Mz =

(

)

oo 1 ⎧ o ⋅ ⎨− ω ⋅ G A ⋅ r 2 + G ⋅ k 2 + β ⋅ G ' g ⎩

(

⋅ ⎡k ' − s ' ⋅ l − s ' ⎢⎣ 2

)⎤⎥⎦ ⎫⎬ ⎭

Ako se uvedu skraćenice (konstante-konstruktivne karakteristike) oblika:

(89)

28

R' =

1 ⎡ 1 ⋅ G A ⋅ r 2 + G ⋅ k 2 = ⋅ ⎢k 2 ⋅ G + r 2 g g ⎢⎣

(

)

(

)⎦

⎤ ⎛ s' ⎞ ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⋅ G ' ⎥ l ⎠ ⎥⎦ ⎝

(

2 λ λ R = − ⋅ ⎡k ' − s ' ⋅ l − s ' ⎤ ⋅ G ' = − ⋅ G A ⋅ k A2 + G B ⋅ k B2 ⎢ ⎥

g ⎣

g

)

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

(90)

gdje je u izrazu (90) za veličinu R korištena i jednačina (71). Konačno jednačina (89) se može pisati kao: oo

β M z = −R ⋅ ω − R ⋅ λ '

o

(91) oo

Koristeći izraz (36) za ugaono ubrzanje klipnjače ( β ), jednačina (91) konačno postaje:

M z = R ⋅ ω 2 (C 1 sin α − C 3 sin 3α + C 5 sin 5α − K) − o o 1 1 ⎛ ⎞ − R ⋅ ω⋅ ⎜ C 1 cos α − C 3 cos 3α + C 5 cos 5α − K⎟ − R ' ⋅ ω 3 5 ⎝ ⎠

(92)

Analizirajući izraz (92) može se zaključiti: Inercioni obrtni momenat Mz se sastoji od tri člana: stacionarnog o

-

3.1.3

o

(uz ω2), nestacionarnog (uz ω ) i nultog ( R' ω ), Stacionarni član momenta Mz raste sa kvadratom broja obrtaja, Stacionarni i nestacionarni član se sastoje od sume neparnih harmonika. Uravnoteženje inercionih sila i odgovarajućih momenata jednocilindričnog motora

Dok se sile od pritiska gasova u cilindru motora u svakom momentu nalaze u ravnoteži, sile inercije pokretnih dijelova, kako rotativnih tako i pravolinijskih oscilatornih masa, ostaju u okviru jednog cilindra neuravnotežene. Neuravnotežene inercijalne sile i momenti bi se prenosili na oslonce motora, što izaziva neželjeno opterećenje i oscilatorno dejstvo na okolinu motora. Zbog toga će se ovdje razmotriti mogućnost uravnoteženja inercionih sila jednocilindričnog motora. 3.1.3.1

Uravnoteženje inercionih sila

Za uravnoteženje inercionih sila X i Y kod jedocilindričnog motora bilo bi potrebno da su one u toku cijelog ciklusa motora ravne nuli. Obzirom na karakter ovih sila u izrazu (80) za očekivati je da će se to teško ostvariti. Zbog toga se u nastavku daje postupna i realna analiza uravnoteženja inercionih sila. Sila Y je jednaka nuli, kada je:

29

Q ' = 0 odnosno s ⋅ G + r ⋅ ( 1 −

s' ) ⋅ G' = 0 l

(93)

Obzirom da su realno veličine G, G ' , r i l veće od nule, to postoji samo mogućnost ⎛ s' ⎞ uravnoteženja, ako nisu istovremeno s > 0 i ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ > 0. l ⎠ ⎝

⎛ s' ⎞ a) Slučaj kada je ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ < 0 l ⎠ ⎝ U ovom slučaju je s ' > l. Ovakva varijanta se konstruktivno izvodi prema sl. 18. Sa slike se jasno vidi da je ovakvo rješenje samo “teoretsko” i da se u praksi ne može realizirati zbog nemogućnosti smještaja klipa. Dodatak mase na klipnjači (sl. 18) je realno moguć sa minimalnim vrijednostima, koje ne remete funkciju klipa, ali te vrijednosti dodane mase ne mogu da izvrše uravnoteženje sile Y.

Sl. 18 Skica rasporeda masa za uravnoteženje sile Y (slučaj a))

b) Slučaj kada je s < 0 (sl. 19) Za postizanje uslova s < 0 potrebno je obezbjediti kontrategove na radilici prema sl. 19. Kontrategovi se stavljaju na ramena radilice, bilo da se iskuju zajedno sa

30

Sl. 19 Skica rasporeda masa za uravnoteženje sile Y (slučaj b)) ramenima bilo da se montiraju na ramena pomoću zavrtnjeva (što je uobičajeniji slučaj). Ovaj slučaj uravnoteženja sile Y je jednostavan. Međutim na krivajni mehanizam djeluje istovremeno i sila X. Za uravnoteženje sile X potrebno je da su istovremeno:

Q = 0 i Q + Q' = 0

(94)

Koristeći izraze (78), jednačine (94) se mogu pisati kao:

s' ⋅ G' + l ⋅ G" = 0 s ⋅ G + r ⋅ ( G' + G" ) = 0

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

(95)

Za ostvarenje uslova (95) mora biti istovremeno:

s' < 0 i s < 0

(96)

Uslov (96) se može dobiti konstruktivno prema sl. 20 gdje je dodat protuteg na velikoj pesnici klipnjače i protutegovi na ramenima radilice. Rješenje dato na sl. 20 ne može zadovoljiti u potpunosti uravnoteženje krivajnog mehanizma iz dva razloga: - ne djeluje na krivajni mehanizam samo sila X, nego i sila Y, - dodaju se velike mase koje previše opterećuju vijke velike pesnice klipnjače, raste težina motora, smanjuje se vlastita frekvenca I oblika

31 oscilovanja radilice motora. x

B

l b l

s

I

s

a

A

I

y

s

S

I

A

B

0 I

S

S

Sl. 20 Skica rasporeda masa za uravnoteženje sila X Zbog ovoga se obično uzima kompromisno rješenje koje pretpostavlja sljedeću jednakost: æ ⋅ Q + Q' = 0

(97)

gdje za: - æ = 1 slijedi Q + Q ' = 0 odnosno XI = 0 -

æ = 0 slijedi Q ' =0 odnosno Y = 0

Uobičajeno se usvaja koeficijent æ = 03,÷0,5 čime se djelomično uravnotežuje sila Y i I red sile X. Sa usvojenom vrijednošću koeficijenta æ dobiva se težište koljena radilice kao:

⎡ s' ⎤ ' " ( ) − − æ ⋅ 1 1 ⎢ ⎥ ⋅G + æ⋅G l ⎦ s = −r ⋅ ⎣ G

(98)

Jednačina (98) predstavlja kompromisno rješenje gdje se pomoću kontrategova definiše težište s, tako da se dobije djelimično uravnoteženje sile Y i sile X prvog reda (XI). Prvi red sile X je mnogo veći od viših redova sile X pa se najčešće vrši uravnoteženje samo prvog reda sile X. Za uravnoteženje viših redova sile X

32 potrebno je to izvoditi sa rotacionim masama koje imaju dva puta i više brojeve okretaja od radilice motora. Obzirom da je to vrlo skup sistem, to se radi samo izuzetno kod tzv. prototipnih jednocilindričnih motora (monocilindara). Primjer potpunog uravnoteženja inercione sile (X) I i II reda je prikazan na sl. 21 gdje su x

ω

II

1 2 m“pto

ω

2ω

2ω

1 2 m“pto

II

X p/2

X p/2

1 2 m’pto

1 2 m’pto

I

I

X p/2

X p/2

m pt

upotrebljeni specijalni parovi obrtnih protutegova, koji proizvode sile protutegova Xp. Ovakav princip uravnoteženja može se načelno koristiti i kod višecilindričnih motora gdje uravnoteženje nije ostvareno prirodnim putem. Mase protutegova mpt i masa specijalnog obrtnog tega m 'pto , koji ima brzinu ω, tvore inercionu silu, koja je po intenzitetu i pravcu ista kao sila X stI , ali suprotnog smjera. Masa specijalnog obrtnog tega m "pto ,čija je obodna brzina 2ω,

Sl. 21 Šematski prikaz mogućnosti potpunog tvori inercionu silu istu po uravnoteženja inercionih sila X prvog i II drugog reda pomoću specijalnih parova intenzitetu i pravcu kao sila X st , ali suprotnog smjera. obrtnih protutegova Tako su ove dvije sile uvijek u potpunosti uravnotežene. 3.1.3.2

Uravnoteženje glavnog inercionog obrtnog momenta jednocilindričnih motora

Da bi izraz (92) bio ravan nuli (uravnotežen momenat Mz), tj. Mz = 0 moraju biti ispunjeni uslovi: R = 0 i R' = 0

(99)

iz uslova R = 0 slijedi: 2

k ' = s ' ( l − s' )

(100)

a iz uslova R ' = 0 slijedi: k 2 ⋅ G + r 2 ⋅ GA = 0

(101)

33 Uslov (101) ne može biti zadovoljen zbog toga što poluprečnik inercije ne može biti imaginaran broj. Ovo znači da nulti član izraza za Mz ne može biti uravnotežen. Na sreću ovaj član ima vrlo malu vrijednost pa nije toliko ni interesantan. Iz uslova (100) slijedi da je: 2

2

k ' + s' =l s'

(102)

Stacionarni i nestacionarni član momenta Mz je jednak nuli ako je zadovoljen uslov (102), odnosno ako je konstrukcija klipnjače takva da joj je težište u sredini dužine l, tj. s ' = l / 2 i poluprečnik inercije k ' = l / 2 . Obzirom na funkciju klipnjače i koncepciju krivajnog mehanizma teško je i govoriti o ispunjavanju prethodnih uslova. To znači da se stacionarni i nestacionarni dijelovi momenta Mz u principu ne uravnotežuju potpuno, nego samo djelomično uz pomoć oblikovanja klipnjače. 3.2 Jednocilindrični motor sa dezaksijalnim krivajnim mehanizmom

Obzirom da je kod realnih konstrukcija dezaksijalnog krivajnog mehanizma pomjeranje ose klipa u odnosu na osu radilice motora (osu x) vrlo malo, kompletna analiza sila gasova i inercionih sila neće se puno razlikovati od istih kod aksijalnog mehanizma. Zbog toga se često u literaturi daju samo analize sila za aksijalne krivajne mehanizme jednocilindričnih motora. Pristup analizi gasnih sila, inercionih sila i momenata od rotirajućih masa kod dezaksijalnog krivajnog mehanizma je isti kao i za aksijalni krivajni mehanizam. Zbog toga se ovdje neće iznositi principi analize pojedinih sila nego će biti dati samo konačni rezultati za one veličine koje su različite u odnosu na odgovarajuće kod aksijalnog krivajnog mehanizma. Inercione sile u pravcu ose x i y, za ovaj mehanizam su:

[(

)

(

X = ω 2 Q + Q' cos α + Q A1' sin α + A2' cos 2α − A3' sin 3α − A4' cos 4α +

)]

o

+ A5' sin 5α + A6' cos 6α − − + +... + ω [...] o

Y = ω 2 Q' sin α − ω [...]

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ (103) ⎪ ⎪ ⎭

Inercioni obrtni momenat od rotacionih masa (Mz) je: M z = ω 2 [− bd ⋅ Q cos α + (R ⋅ C1' − bd ⋅ Q ⋅ A1' ) ⋅ sin α + (R ⋅ C2' − bd ⋅ Q ⋅ A2' ) ⋅ cos 2α − − (R ⋅ C3' − bd ⋅ Q ⋅ A3' ) ⋅ sin 3α − (R ⋅ C4' − bd ⋅ Q ⋅ A4' ) ⋅ cos 4α +

+ (R ⋅ C 5' − bd ⋅ Q ⋅ A5' )⋅ sin 5α + − − +...] + ω [...] − ω ⋅ R ' o

o

(104)

Analiza uravnoteženja inercionih sila X i Y, ka i momenta Mz kod dezaksijalnog mehanizma, je principijelno ista kao i kod aksijalnog mehanizma. Čak su i pretpostavke za uravnoteženje sila X i Y iste, dok su uslovi za uravnoteženje momenta Mz drugačiji. Tako je npr. za stacionarni član momenta Mz uslov da je

34

"i" – ti red jednak nuli je:

Q=0 R ⋅ C i'

− bd ⋅ Q ⋅

Ai'

⎫ ⎬ ⎭

=0

(105)

Ovdje se nećemo upuštati u detaljniju analizu iz jednostavnog razloga što se za ovaj mehanizam u praksi mogu koristiti i rezultati od aksijalnog krivajnog mehanizma, sa dovoljno velikom tačnošću. 3.3 Dvocilindrični V motor sa dvije klipnjače na jednom koljenu

Sl. 22 Šema krivajnog mehanizma dvocilindričnog V motora

α1 = α − α2 =α +

δ 2

δ

2

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

Kao osnovna varijanta dvocilindričnog motora uzeće se motor sa dvije klipnjače na jednom letećem rukavcu koljena radilice. Izgled ovog motora šematski je dat na sl. 22. Koordinatni sisitem za pojedine cilindre je x1-y1 odnosno x2-y2. Proračun rezultirajućih sila vrši se prema koordinatnom sisitemu x-y. Sile od pritiska gasova neće se posebno obrađivati. Njihova rezultujuća sila dobiva se jednostavno sabiranjem vektora pojedinačnih sila gasova za svaki cilindar. Drugi pristup je da se od svakog cilindra definiše tangencijalna sila, od sila gasova, na radilici i jednostavnim sabiranjem dobiva se rezultujuća tangencijalna sila, koja proizvodi ukupni obrti moment od sile gasova (M'). U nastavku će biti detaljnije objašnjene inercione sile. Ako se uzmu oznake kao na sl. 22, tj.

(106)

35 gdje je δ ugao između dva cilindra u istoj ravni i predstavlja konstruktivnu veličinu, veličine inercionih sila X i Y, kao i momenat Mz mogu se izraziti preko ugla α. Veličine sila X1, X2, Y1 i Y2 su poznate iz prethodnog djela kao veličine za jednocilindrični motor. One se mogu pisati kao: X 1 = ω 2 ⋅ [(Q + Q " ) cos α 1 + Q ⋅ ( A2 cos 2α 1 − A4 cos 4α 1 + A6 cos 6α 1 − K)] + ⎡ A A ⎛A ⎞⎤ + ω ⋅ ⎢(Q + Q " ) sin α 1 + Q ⋅ ⎜ 2 sin 2α 1 − 4 sin 4α 1 + 6 sin 6α 1 − K⎟⎥ 2 4 6 ⎝ ⎠⎦ ⎣ o

o

Y1 = ω 2 ⋅ Q " sin α 1 − ω⋅ Q " cos α 1

X 2 = ω 2 ⋅ [(Q + Q " ) cos α 2 + Q ⋅ ( A2 cos 2α 2 − A4 cos 4α 2 + A6 cos 6α 2 − K)] + o ⎡ A A ⎛A ⎞⎤ + ω ⋅ ⎢(Q + Q " ) sin α 2 + Q ⋅ ⎜ 2 sin 2α 2 − 4 sin 4α 2 + 6 sin 6α 2 − K⎟⎥ 2 4 6 ⎝ ⎠⎦ ⎣ o

Y2 = ω 2 ⋅ Q " sin α 2 − ω⋅ Q " cos α 2

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(107)

gdje je umjesto Q' prisutna oznaka Q" iz razloga što na jedno koljeno radilice dolaze dvije klipnjače, tako da se sada veličina Q" računa kao: Q" =

1 g

⎡1 ⎤ ⎛ s' ⎞ ⋅ ⎢ ⋅ s ⋅ G + r ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⋅ G ' ⎥ l ⎠ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎝

(108)

Inercione sile X i Y za ose x, y određuju se jednostavnim sumiranjem sila po osama x i y kao: X = ( X 1 + X 2 ) ⋅ cos Y = ( X 1 − X 2 ) ⋅ sin

δ

δ

2

2

− ( Y1 − Y2 ) ⋅ sin

+ ( Y1 + Y2 ) ⋅ cos

δ 2

δ

2

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎭⎪

(109)

Uvrštavajući izraze (107) u jednačinu (109) dobija se opšti izraz za inercione sile X i Y dvocilindričnog V motora za koordinatni sistem x-y kao: δ ⎧ ⎫ X = ω 2 ⋅ ⎨[Q(1 + cos δ ) + 2Q" ]⋅ cos α + 2Q cos ( A2 cos δ cos 2α − A4 cos 2δ cos 4α + − K)⎬ + 2 ⎩ ⎭ o ⎧ ⎫ δ A A ⎛ ⎞ + ω⋅ ⎨[Q(1 + cos δ ) + 2Q" ]⋅ sin α + 2Q cos ⎜ 2 cos δ sin 2α − 4 cos 2δ sin 4α + − K⎟⎬ 2⎝ 2 4 ⎠⎭ ⎩ δ ⎧ ⎫ Y = ω 2 ⋅ ⎨[Q(1 − cos δ ) + 2Q" ]⋅ sin α + 2Q sin ( A2 sin δ cos 2α − A4 sin 2δ cos 4α + − K)⎬ + 2 ⎩ ⎭ o ⎧ δ ⎛ A2 A4 ⎞⎫ " + ω⋅ ⎨[Q(1 − cos δ ) + 2Q ]⋅ cos α + 2Q sin ⎜ sin δ sin 2α − sin 2δ sin 4α + − K⎟⎬ 2⎝ 2 4 ⎠⎭ ⎩

Na sličan način dobija se i glavni momenat inercionih sila kao:

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (110) ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

36

δ 3δ ⎞ ⎛ M z = 2ω 2 R ⋅ ⎜ C1 cos sin α − C 3 cos sin 3α + − K⎟ − 2 2 ⎝ ⎠ o C δ 3δ ⎞ ⎛ cos 3α + − K⎟ − − 2 ω R ⋅ ⎜ C1 cos cos α − 3 cos 2 3 2 ⎠ ⎝ o

− 2 ω R"

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(111)

gdje je: R" =

1 g

⎡1 ⋅ ⎢ k2 ⋅G + r2 ⎢⎣ 2

⎤ ⎛ s' ⎞ ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⋅ G ' ⎥ l ⎠ ⎥⎦ ⎝

(112)

iz istog razloga kao i izraz za Q" . Na osnovu izraza (110) može se zaključiti da predmetni V – dvocilindrični motor ima inercione sile X i Y prvog i svih viših parnih redova, za razliku od jednocilindričnog motora gdje sila Y postoji samo prvog reda. Uravnoteženje sila X i Y, kao i momenta Mz može se analizirati na isti način kao u tački 3.1.3. Ovdje se uobičajeno ide na uravnoteženje inercionih sila X i Y prvog reda. Za to moraju biti ispunjeni uslovi: Q ⋅ (1 + cos δ ) + 2Q " = 0 Q ⋅ (1 − cos δ ) + 2Q " = 0

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

(113)

Za slučaj da je δ = π / 2 , uslovi (113) prelaze u jednačinu: Q + 2Q" = 0

(114)

⎡⎛ ⎤ s' ⎞ s ⋅ G + r ⋅ ⎢⎜⎜ 2 − ⎟⎟ ⋅ G ' + G " ⎥ = 0 l ⎠ ⎣⎢⎝ ⎦⎥

(115)

odnosno:

odakle se može definisati položaj težišta s. Za ispunjenje slova (115) dobivaju se velike mase protutegova, koje pored uravnoteženja sila XI i YI imaju i negativnih uticaja, pa se zbog toga praktično ne ide na potpuno uravnoteženje ni sila XI i YI. Što se tiče uravnoteženja momenta Mz, važi sve isto kao i kod jednocilindričnog motora. Za W motore i zvjezda motore, gdje se na jednom koljenu (rukavcu koljena) nalazi tri i više klipnjača, postupak određivanja inercionih sila X i Y i inercionog obrtnog momenta Mz, je principijelno isti kao i za dvocilindrični motor (tačka 3.3).

37 3.4 Dvocilindrični V motor sa glavnom i pomoćnom klipnjačom

U ovom poglavlju su dati višecilindrični motori koji imaju jedan glavni mehanizam sa glavnom klipnjačom i jednim ili većim brojem mehanizama sa pomoćnim klipnjačama čija težišna ravan se nalazi u xo-yo ravni. x

(x 0) B0

xi Bi bi

b0 l 0

li

Ai ei di

a

A0

yi

r y

0

(y0)

Šematski izgled jednog krivajnog mehanizma dvocilindričnog V motora dat je na sl. 23 gdje je sa indeksom "i" označen dio mehanizma sa pomoćnom klipnjačom. Sa indeksom “0” označen je dio mehanizma kome pripada glavna klipnjača, a indeksom “i” označeni su parametri pomočne klipnjače. Broj pomoćnih klipnjača i = 1 (V motor) do i = n-1 (zvjezda motor) je proizvoljan broj, tako da će se i izrazi koji se dobiju biti opšti izrazi za proizvoljan broj “i”. Ukupan broj cilindara motora je n.

Sl. 23 Skica krivajnog mehanizma V motora sa glavnom i pomoćnom klipnjačom Opšti izrazi za inercione sile X i Y i momenat Mz može se napisati kao: n −1

n −1

X = X 0 + ∑ X i cos δ i + ∑ Yi sin δ i i =1

i =1

n −1

n −1

i =1

i =1

Y = Y0 − ∑ X i sin δ i + ∑ Yi cos δ i n −1

M z = M z 0 + ∑ M zi i =1

gdje je δ

δ=

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(116)

- ugaoni razmak između osa susjednih cilindara (za zvjezda motor je

2π 2π ), a ugao δ i = i ⋅ δ = i ⋅ n n

(i = 1,2 ,..., n − 1) .

38 Veličine X0, Y0 i Mz0 se računaju isto kao u izrazima (80) i (92), samo je uveden indeks “0” koji se odnosi na mehanizam sa glavnom klipnjačom. Ovdje je: X 0 = ω 2 ⋅ [(Q0 + Q0' ) cos α + Q0 ⋅ ( A2 cos 2α − A4 cos 4α + − K)] + ω⋅ ( o

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

)

o

Y0 = ω 2 ⋅ Q0' sin α − ω⋅ Q0' cos α

M z 0 = R0 ⋅ ω 2 ⋅ (C 1 sin α − C 3 sin 3α + C 5 sin 5α − + K)− o o C C ⎛ ⎞ − R0 ⋅ ω ⋅ ⎜⎜ C 1 cos α − 3 cos 3α + 5 cos 5α − + K⎟⎟ − R0' ⋅ ω 3 5 ⎝ ⎠

(117)

gdje je:

⎛ s' ⎞ ⋅ ⎜⎜ 0 ⋅ G0' + G0" ⎟⎟ ⎝ l0 ⎠ ⎛ s' 1 ⎡ Q0' = ⋅ ⎢ s ⋅ G + r ⋅ ⎜⎜ 1 − 0 g ⎣⎢ l0 ⎝ Q0 =

R0 =

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎪

r g

(

)

⎞ '⎤ ⎟ ⋅ G0 ⎥ ⎟ ⎠ ⎦⎥

2 λ0 ⎡ ' ⋅ s0 ⋅ l0 − s0' − k ' ⎤ ⋅ G0' ⎢ ⎥

g ⎣

⎦

⎤ ⎛ s' ⎞ 1 ⎡ 2 ⋅ ⎢k ⋅ G + r 2 ⎜⎜ 1 − 0 ⎟⎟ ⋅ G0' ⎥ g ⎣⎢ l0 ⎠ ⎝ ⎦⎥ r λ0 = l0 R0' =

(118)

Veličine inercionih sila Xi i Yi za i - ti cilindar sa pomoćnom klipnjačom, kao i odgovarajući inercioni obrtni momenat Mzi, dobiva se po istoj proceduri kao i kod jednocilindričnog motora, uz prihvatanje činjenice da su drugačiji konstruktivni parametri mehanizma sa glavnim i pomoćnim klipnjačama. Konačni izrazi za veličine Xi, Yi i Mzi za i = 1, 2, ..., n-1 i konstantnu ugaonu brzinu imaju izgled kao: X = ω 2 ⋅ ⎧⎨⎛⎜ Q + Q' ⎞⎟ ⋅ cos δ cos α + sin δ sin α + ε ⋅ λ2 cos 2α + i i i o i⎠ i ⎩⎝ i

[(

)

(

)

+ λ ⋅ Q cos 2δ − 2ε ⋅ λ cos δ ⋅ cos 2α − sin 2δ − 2ε ⋅ λ sin δ ⋅ sin 2α i i i i o i i i o i ⎛ ⎞ 2 ' Yi = ω ⋅ Q sin δ cos α + ⎜ cos δ − ε ⋅ λ ⎟ ⋅ sin α ] i i i i i o⎠ ⎝

[

[

(

) ]

M = ω 2 ⎛⎜ R + ε R* ⎞⎟ ⋅ sin δ ⋅ cos α + cos δ − ε λ sin α z i i ⎠ i i i o ⎝ i

gdje je:

]}

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(119)

39

Qi =

' ⎞ r ⎛⎜ s i ⋅ ⋅ Gi' + Gi" ⎟ ⎟ g ⎜⎝ l i ⎠

Qi' =

s' r ⎛⎜ ⋅ 1− i g ⎜⎝ li

Ri = Ri* =

λi g

λi g

[ (

⎞ ' ⎟ ⋅ Gi ⎟ ⎠

)

]

⋅ s 'i ⋅ l i − s 'i − k i' 2 ⋅ Gi'

(

)

⋅ r ⋅ l i − s 'i ⋅ Gi'

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(120)

Što se tiče uravnoteženja sila i momenta principijelno važi ista diskusija kao u tački 3.1.3. U sklopu tačaka 3.1, 3.2, 3.3 i 3.4 dat je postupak određivanja sila od pritiska gasova, inercionih sila i momenata inercionih sila od jednocilindričnog do višecilindričnih motora, čije se sve klipnjače kreću u istoj ravni. U sklopu ovoga dato je i uravnoteženje istih. Detaljnije je obrađen jednocilindrični motor, a ostale verzije su skraćeno objašnjene uz naznaku specifičnosti. Naprijed nabrojani mehanizmi, koji se mogu realno sresti u praksi su najčešće u kombinaciji većeg broja cilindara u liniji (tzv. linijski motori), izuzev varijante mehanizma sa glavnom klipnjačom i brojem pomoćnih klipnjača i > 2, koji se zovu zvjezda motori (primjena u zrakoplovstvu) čiji se svi cilindri nalaze u istoj ravni (x-y), koja je i težišna ravan motora. Sve varijante višecilindričnih linijskih motora (radni, V motor, W motor, itd.) mogu se sa reprezentativnim veličinama X, Y, Mz u ravni x-y dalje posmatrati kao redni motori. Na toj osnovi će se u nastavku provoditi kompletna analiza inercionih sila i odgovarajućih momenata. 3.5 Višecilindrični motori

Obzirom na konstruktivnu izvedbu višecilindrični motori mogu biti vrlo različiti. Na sl. 24 dati su primjeri nekih motora.

Sl. 24 Konstruktivne izvedbe linijskih motora.

Za izvedbe motora, date na sl. 24, kao i ostale moguće izvedbe motora, može se vršiti analiza inercionih sila i odgovarajućih momenata na identičan način, posmatrajući sve motore kao redne motore, gdje je ranije definisana sila X i Y, kao i momenat Mz za jednocilindrični motor

40 (jedan krivajni mehanizam u nizu). Za složenije varijante (V, W, Δ , … motori) važno je naći reprezetantne veličine X, Y i Mz za broj cilindara čije se klipnjače kreću u istoj ravni, a poslije se i oni posmatraju kao redni motori. Za većinu realnih varijanti krivajnih mehanizama, čije se klipnjače kreću u istoj ravni, u prethodnim tačkama su definisane reprezentativne veličine X, Y i Mz. Višecilindrični (redni) motor je sastavljen od većeg broja cilindara sa jednakim krivajnim mehanizmima, koji su međusobno ugaono pomjereni zavisno od: - koncepcije ( redni motor, V motor, ...) - broja cilindara, - taktnosti, - rasporeda palenja. Raspored palenja se definiše tako da se dobiju: - jednaki vremenski intervali zapalenja, - minimalni inercioni momenti, - torzione oscilacije malih amplituda, - razumna opterećenja ležajeva, - jednak volumentrijski stepen punjenja svih cilindara, - jednostavan mehanizam za pražnjenje i punjenje cilindara, - jednostavan uređaj za zapalenje i - jednostavna tehnologija izrade. U cilju lakšeg praćenja dinamike višecilindričnih motora, ovdje će se dati kratko objašnjenje označavanja redoslijeda cilindara i pojma "redoslijeda palenja". Uobičajen način označavanja cilindara prikazan je na sl. 25 gdje je pod a) dat jedan linijski motor sa pet cilindara i pod b) jedan V motor sa osam cilindara. Brojevi cilindara se uobičajeno označavaju sa arapskim brojevima sa lijeva na desno,

Sl. 25 Označavanje cilindara različitih konstrukcija motora odnosno od slobodnog kraja motora prema izlazu snage. Kod V motora sa L su označeni dodatno cilindri na lijevoj strani (gledano sa strane slobodnog dijela radilice) a sa D su označeni cilindri na desnoj strani. Tako su ovdje označavani cilindri sa 1L; 1D; 2L; ...; 4L; 4D. U sredini slike 25 b) označeni su arapskim brojevima reprezentanti cilidara čije se klipnjače nalaze na istom letećem rukavcu. Obzirom na dosadašnje znanje iz dinamike V motor sa osam cilindara, sa stanovišta proračuna inercionih sila i odgovarajućih momenata, ovaj slučaj se može

41 posmatrati kao motor linijske gradnje sa četiri cilindra, gdje se uzimaju reprezentantne sile X i Y za dva cilindra u istoj ravni. Redoslijed palenja mješavine gorivo-zrak u pojedinim cilindrima se također u praksi uobičajeno označava sa arapskim brojevima. Primjer redoslijeda palenja za slučaj motora na sl. 25 a) je: 1-2-4-5-3. Ovo znači da se proces palenja i sagorijevanja odvija po sljedećem redoslijedu: prvo se upalenje mješavine gorivozrak desi u prvom cilindru, zatim u drugom cilindru, zatim u četvrtom cilindru, zatim u petom cilindru i na kraju u trećem cilindru. Određeni broj literaturnih izvora, posebno onih koji detaljno obrađuju dinamiku krivajnog mehanizma, usvajaju drugačiji sistem označavanja cilindara i redoslijeda palenja, iz razloga pojednostavljenja proračuna. Drugi način podrazumijeva označavanje cilindara rimskim brojevima a arapskim brojevima je označen redoslijed palenja. Primjer ovakvog označavanja dat je na sl. 26, za motor sa sl. 25 a). Na ovoj slici dat je i raspored palenja čiji izgled je 1-2-5-3-4. Ovaj raspored je praktično isti kao i raspored palenja dat u prethodnom primjeru, samo ovdje arapski brojevi znače redoslijed kada dođe do zapalenja mješavine zrak-gorivo u nekom cilindru. Konkretno to ovdje znači gledano sl. 26 i oznaku redoslijeda palenja: u cilindru I imamo prvo upalenje mješavine, drugo upalenje po redu je u cilindru II, treće upalenje mješavine po redu je u cilindru IV, četvrto upalenje mješavine je u cilindru V i peto upalenje mješavine po redu je u cilindru III. Oznake redoslijeda palenja (upalenja mješavine u pojedinom cilindru) prema prvoj i drugoj metodi, označene arapskim brojevima, za jedan te isti motor, mogu biti iste

Sl. 26 Označavanje cilindara i rasporeda palenja kod 5 cilindričnog linijskog motora

ili različite. Treba imati u vidu da kod prvog načina objašnjenja, arapski brojevi označavaju cilindre, a kod drugog načina označavanja arapski brojevi znače redoslijed palenja, a rimski brojevi redoslijed cilindara (sl. 26).

U nastavku analize dinamičkih parametara višecilindričnih motora, iz praktičnih razloga usvojen je drugi metod označavanja redoslijeda palenja. Najbolje se vidi jednostavnost ovoga metoda označavanja na konkretnom primjeru jednog 4-cilindričnog dvotaktnog motora sa tri različita redoslijeda palenja i desnim smjerom okretanja radilice motora (uobičajeni smjer). Redoslijedi upalenja mješavine su: a) 1 – 2 – 3 – 4, b) 1 – 2 – 4 – 3, c) 1 – 3 – 2 – 4. Za ove slučajeve na sl. 27 date su šeme označavanja sa adekvatnim šemama rasporeda koljena na radilici motora. Ugao između pojedinih koljenja radilice

42

Sl. 27 Šema označavanja rasporeda palenja, rasporeda cilindara i rasporeda koljenja radilice motora za tri slučaja rasporeda palenja

2π = 90 ° KV . 4 Sa sl. 27 može se u potpunosti razumjeti usvojeni način označavanja rasporeda cilindara i redoslijeda palenja. Lijevi dio slike 27, prostorni izgled rasporeda koljena radilice motora, je ovdje pokazan samo radi razumijevanja sistema označavanja. Uobičajeno se u praksi crtaju samo desni dijelovi sl. 27 odnosno projekcije iz kojih se vidi raspored cilindara, redoslijed palenja i raspored koljena radilice, sa usvojenim koordinatnim sistemom x-y-z i odgovarajućim smjerom okretanja. Iz ovog dijela slike se da zaključiti sljedeće: - u ravni x-0-z vide se oznake cilindara (rimski brojevi poredani po veličini) i oznake redoslijeda palenja (arapski brojevi složeni po redu kako se zadaju), - u ravni x-0-y gdje se vidi raspored koljena radilice i smjera okretanja (ω), gledano iz suprotnog pravca koordinate z (pogled sa slobodne strane motora) označen je redoslijed palenja arapskim brojevima, a rimski brojevi, koji označavaju redoslijed cilindara su u zagradama. Oni se na ovoj projekciji često izostavljaju. Ovdje se, za sva tri slučaja, primjećuje da su arapski brojevi poredani po veličini u smjeru suprotnom od smjera obrtanja radilice. motora je α r =

Ova dva zaključka upućuju da se desni dio sl. 27 (projekcije) može nacrtati vrlo jednostavno, bez nekog posebnog razmišljanja, gdje se u ravni x-0-z označe brojevi cilindara rimskim brojevima rastući sa lijeva na desno, raspored palenja se preslika jednostavno kako je zadato (ispod rimskih brojeva), a u ravni x-0-y se redoslijed arapskih brojeva poreda rastućim tokom od 1 do 4 u smjeru suprotno od smjera okretanja radilice. U ovom se ogleda jednostavnost usvojenog načina označavanja

43 broja cilindara i raspored palenja. Veličina "a" na slici 27, data kao oznaka, predstavlja međusobno rastojanje između dva susjedna cilindra. Uobičajeno, ovo rastojanje je isto između svih susjednih cilindara na istom motoru. Izuzetak su specifične konstrukcije motora, gdje to treba posebno naglasiti. Obzirom da su ovdje dati primjeri za dvotaktne motore gdje je ugaono rastojanje 2π između koljena radilice α r = (n – broj cilindara), treba reći da je procedura n označavanja kod četvorotaktnih motora ista samo je ugaono rastojanje između 4π koljena radilice α r = . Kod dvotaktnih motora, u koordinatnom sistemu x-0-y, n su arapski brojevi koji označavaju raspored palenja, poredani po veličini na

punom krugu (2π) suprotno od smjera obrtanja radilice, dok su kod četvorotaktnih motora arapski brojevi poredani po veličini na dva kruga (4π) suprotno od smjera obrtanja radilice. Drugi detalji su isti kao i kod dvotaktnih motora. 3.5.1 Proračun inercionih sila X i Y i momenta Mz

Inercione sile X i Y i momenat Mz kod višecilindričnih rednih motora računaju se u opštem slučaju kao: n

X = ∑ Xk k =1 n

Y = ∑ Yk k =1

n

M z = ∑ M zk k =1

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(121)

Jednostavno sumiranje veličina Xk, Yk i Mzk (jednačina 121) je moguće zbog toga što vektori odgovarajućih veličina leže u istoj ravni. Ovo se najbolje može vidjeti na primjeru četverocilindričnog dvotaktnog motora sa rasporedom palenja 1 – 3 – 2 – 4 (datim ranije na sl. 27 c)). Jednostavnim slaganjem rasporeda koljena, na osnovu rasporeda palenja i ugaonog rastojanja između susjednih koljena može se dobiti skica radilice sa rasporedom koljena (sl. 28). Ugaono rastojanje dva susjedna koljena se za dvotaktni motor (jedan ciklus je 2π) i četiri cilindra (n = 4) računa kao:

αr =

2π 2π π = = n 4 2

Ugaono rastojanje između koljena prvog cilindra i bilo kog drugog gledano u odnosu na redoslijed palenja može se označiti kao αk, koji se lako određuje na osnovu vrijednosti αr i projekcije koljena dobiven prema redoslijedu palenja.

44 Koristeći ove podatke aksonometrijski izgled radilice se vidi na sl. 28, gdje su

Sl. 28 Raspored koljena na radilici motora označene i pojedine inercione sile. Rastojanje između susjednih cilindara je a, a težišna ravan motora je x-o-y. Posmatrajući radilicu na sl. 28 u pravcu osa z i y dobiju se projekcije kao na sl. 29, uz pretpostavku da je radilica iz položaja na sl. 28 pomjerena za proizvoljan ugao α u smjeru okretanja radilice. x

x I

II

cilindar

III

IV

2

α αr = π 2

1

ω y

z

(1)

(3) a

(2) a/2 a/2

(4) a

zamajac

4

3

a3 a2 a1

a4 a)

b)

Sl. 29 Projekcije radilice motora sa sl. 28 Sa sl. 29 b) definiše se trenutna vrijednost ugla pojedinih koljena radilice. Raspored palenja (arapski brojevi) su poredani u lijevom smjeru (smjer suprotan kazaljci na satu) po veličini što znači da ne treba posebno razmišljati o rasporedu koljena nego ih jednostavno na uglu 2π (dvotaktni motori) i na uglu 4π (četverotaktni motori)

45 poredati po veličini. Smjer okretanja motora je uobičajeni, odnosno “desni”, definisan na sl. 2. Za konkretan primjer sa sl. 28 mogu se napisati izrazi (121) kao: ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧⎪ ⎡ 3π ⎞⎤ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪ + Q ⋅ ⎨ A2 ⋅ ⎢cos 2α + cos 2⎜ α − ⎟ + cos 2(α − π ) + cos 2⎜ α − − ⎟⎥ ⎪ 2 2 ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎪ ⎪ ⎫⎪ ⎞ ⎡ 3π ⎞⎤ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪ − A4 ⋅ ⎢cos 4α + cos 4⎜ α − ⎟ + cos 4(α − π ) + cos 4⎜ α − ⎟⎥ + −K⎬ ⎟ + ⎪ 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎪⎭ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎣ ⎪ o ⎛ ⎪ ⎡ ⎤⎞ π ⎛ ⎞ ' + ω ⋅ ⎜⎜ (Q + Q ) ⋅ ⎢ sin α + sin⎜ α − ⎟ + K⎥ ⎟⎟ ⎪ 2⎠ ⎝ ⎪ ⎦⎠ ⎣ ⎝ ⎪ ⎡ 3π ⎞⎤ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪ Y = ω 2 ⋅ Q' ⋅ ⎢ sin α + sin⎜ α − ⎟ + sin(α − π ) + sin⎜ α − ⎟⎥ − ⎪ 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎪ o ⎪ 3π ⎞⎤ π⎞ ⎛ ⎛ ' ⎡ − ω ⋅ Q ⋅ ⎢cos α + cos⎜ α − ⎟ + cos(α − π ) + cos⎜ α − ⎟⎥ ⎬ 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎪ ⎪ ⎧ ⎡ ⎤ 3 π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ M z = R ⋅ ω 2 ⋅ ⎨C1 ⋅ ⎢ sin α + sin⎜ α − ⎟ + sin(α − π ) + sin⎜ α − ⎟⎥ − ⎪ 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎪⎩ ⎝ ⎝ ⎣ ⎪ ⎪ ⎫⎪ ⎡ 3π ⎞⎤ π⎞ ⎛ ⎛ − C3 ⋅ ⎢ sin 3α + sin 3⎜ α − ⎟ + sin 3(α − π ) + sin 3⎜ α − ⎟⎥ + −...⎬ − ⎪ 2 ⎠⎦ 2⎠ ⎪⎭ ⎝ ⎝ ⎣ ⎪ ⎪ o ⎧⎪ ⎡ 3π ⎞⎤ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪ − R ⋅ ω ⋅ ⋅⎨C1 ⋅ ⎢cos α + cos⎜ α − ⎟ + cos(α − π ) + cos⎜ α − ⎟⎥ − ⎪ 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎪⎩ ⎝ ⎝ ⎣ ⎪ ⎪ ⎫⎪ ⎡ 1 π⎞ 3π ⎞⎤ ⎛ ⎛ − C3 ⋅ ⎢cos 3α + cos 3⎜ α − ⎟ + cos 3(α − π ) + cos 3⎜ α − ⎟⎥ + −...⎬ − ⎪ 3 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎪ ⎝ ⎝ ⎣ ⎭⎪ ⎪ o ⎪ − R' ⋅ ω ⎪ ⎭ ⎛ ⎡ 3π ⎞⎤ π⎞ ⎛ ⎛ X = ω 2 ⋅ ⎜⎜ (Q + Q' ) ⋅ ⎢cos α + cos⎜ α − ⎟ + cos(α − π ) + cos⎜ α − ⎟⎥ + 2 2 ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣ ⎝

(122)

Izrazi (122) se mogu pojednostaviti uvođenjem smjene:

cos i( α − α k ) = x eki

(123)

gdje je:

e - jedinični vektor, i – red sile, k – broj koljena dobiven na osnovu redoslijeda palenja, a oznaka x sa lijeve strane znači projekcija vektora e na osu x. Oznaka y sa lijeve strane veličine e znači projekcija jediničnog vektora e na osu y. Na osnovu ovoga sada se mogu pisati jednačine (122), a za konkretan primjer, kao:

46 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎪

4 4 4 ⎧ ⎡ 4 ⎤⎫ X = ω 2 ⋅ ⎨(Q + Q' ) ⋅ ∑ x ek1 + Q ⋅ ⎢ A2 ∑ x ek2 − A4 ∑ x ek4 + A6 ∑ x ek6 − + K⎥ ⎬ + k =1 k =1 k =1 ⎣ k =1 ⎦⎭ ⎩ 4 o ⎧ ⎡A + ω ⋅ ⎨(Q + Q' ) ⋅ ∑ y ek1 + Q ⋅ ⎢ 2 k =1 ⎣2 ⎩ 4

o

4

4

∑ k =1

y

ek2 −

A4 4

4

∑ k =1

y

ek4 +

A6 6

4

∑ k =1

y

⎤⎫ ek6 − + K⎥ ⎬ ⎦⎭

Y = ω ⋅ Q ⋅ ∑ y e − ω⋅ Q ⋅ ∑ x e 2

'

1 k

k =1

'

k =1

1 k

4 4 ⎡ 4 ⎤ M z = ω 2 ⋅ R ⋅ ⎢C1 ∑ y ek1 − C3 ∑ y ek3 + C5 ∑ y ek5 − + K⎥ − k =1 k =1 ⎣ k =1 ⎦ 4 4 4 o o C C ⎡ ⎤ − ω ⋅ R ⋅ ⎢C1 ∑ x ek1 − 3 ∑ x ek3 + 5 ∑ x ek5 − + K⎥ − R' ⋅ ω 5 k =1 3 k =1 ⎣ k =1 ⎦

(124)

Ovi izrazi omogućavaju da se umjesto računanja trigonometrijskih funkcija nacrtaju kružni diagrami jediničnih vektora, odakle slijede njihove projekcije na ose. To se vidi na sljedećoj slici (sl. 30) za konkretan primjer ovdje uzet.

e

1 1

e e12

x

x

α

2 3

2α

e

I red

e e 43

4α

3α y

y

1 4

e e 42 e 2 2

e13

e 24 e14 e 44 e34

3 1

e12

y

x

x

y

3 2

e 33

II red

III red

IV red

Sl. 30 Jedinični vektori e za prva četiri reda, za konkretan primjer četverocilindričnog dvotaktnog motora Imajući u vidu jednačine (124) i sl. 30 dolazi se do slijedećih zaključaka: - sila Y = 0 - sila XI = 0, XII = 0 o A - sila XIV = − 4ω 2 ⋅ Q ⋅ A4 cos 4α − 4 ω ⋅ Q ⋅ 4 sin 4α 4 I III - momenat M zst = 0 , M zst = 0 (oznaka st – stacionarni član) Iz ovoga se vidi da inerciona sila X postoji tek četvrtog reda. Po istoj analogiji, naredna inerciona sila koja će se pojaviti je osmog reda i ona se računa kao: o

X VIII = −4ω 2 ⋅ Q ⋅ A8 cos 8α − 4 ω⋅ Q ⋅

A8 sin 8α 8

Moment Mz, koji se sastoji od neparnih redova, postoji samo nulti član tj.: o

M z = − R' ⋅ ω o

ako je prisutno ugaono ubrzanje ( ω ).

47 Imajući u vidu prethodnu diskusiju mogu se napisati opšti izrazi za sile X i Y, kao i momenat Mz, za proizvoljan broj cilindara motora n. Ti izrazi imaju izgled: n n n ⎡ ⎛ ⎞⎤ X = ω 2 ⋅ ⎢ Q + Q ' ⋅ ∑ x e k1 + Q ⋅ ⎜⎜ A2 ∑ x e k2 − A4 ∑ x e k4 + − K⎟⎟⎥ + k =1 i =1 ⎝ k =1 ⎠⎦ ⎣

(

)

n o ⎡ ⎛A + ω⋅ ⎢ Q + Q ' ⋅ ∑ y e k1 + Q ⋅ ⎜⎜ 2 i =1 ⎝ 2 ⎣

(

)

n

n

∑ y ek2 − k =1

A4 4

n

⎞⎤

k =1

⎠⎦

∑ y ek4 + − K⎟⎟⎥

n

o

Y = ω 2 ⋅ Q ' ⋅ ∑ y e k1 − ω ⋅ Q ' ⋅ ∑ x e k1 k =1

k =1

n n ⎡ ⎤ M z = ω 2 ⋅ R ⋅ ⎢C 1 ∑ y e k1 − C 3 ∑ y e k3 + C 5 ∑ y e k5 − + K⎥ − k =1 k =1 ⎣ k =1 ⎦ n n n o o C C ⎡ ⎤ − ω ⋅ R ⋅ ⎢C 1 ∑ x e k1 − 3 ∑ x e k3 + 5 ∑ x e k5 − + K⎥ − R ' ⋅ ω 3 k =1 5 k =1 ⎣ k =1 ⎦ n

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ (125) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Na osnovu izraza (125) mogu se odrediti sile X i Y, kao i momenat Mz za bilo koji tip motora (linijskog, V motora, …). Iako se vidjelo da su redovi sila X, Y i redovi momenta Mz, koji su po intenzitetu veći, uglavnom prividno uravnoteženi kod većine konstrukcija višecilindričnih motora, ipak sile X i Y od pojedinačnih cilindara izazivaju momente My i Mx, zbog različite udaljenosti od težišne ravni motora. 3.5.2 Proračun momenta Mx i My od inercionih sila višecilindričnih motora

Po analogiji sa izrazom (82), kod višecilindričnih motora mogu se pisati izrazi za proračun momenata od inercionih sila oko x i y ose, kao: n

M x = ∑ Yk ⋅ a k k =1

n

M y = −∑ X k ⋅ a k k =1

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

(126)

Pošto u izrazu za X k i Yk (jednačina 125) figuriše jedinični vektor eki , to se uvođenjem smjene: eki ⋅ a k = a ki

(127)

gdje je a k rastojanje k– tog cilindra od težišne ravni motora, mogu napisati opšte jednačine za proračun momenta Mx i My kao:

48

Mx =

n

∑ Yk

k =1

n

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

n

o

⋅ ak = ω 2 ⋅ Q' ⋅ ∑ y ak1 − ω ⋅ Q' ⋅ ∑ x ak1 k =1

k =1

(

)

n n n ⎡ ⎛ ⎞⎤ M y = − ∑ X k ⋅ ak = − ω 2 ⋅ ⎢ Q + Q' ⋅ ∑ x ak1 + Q ⋅ ⎜⎜ A2 ⋅ ∑ x ak2 − A4 ∑ x ak4 + − K⎟⎟⎥ + k =1 k =1 k =1 k =1 ⎝ ⎠⎦⎥ ⎣⎢ n

(

)

n o ⎡ ⎛A − ω ⋅ ⎢ Q + Q' ⋅ ∑ y ak1 + Q ⋅ ⎜⎜ 2 k =1 ⎝ 2 ⎣⎢

n

A4 n A ∑ y ak4 + 66 4 k =1

∑ y ak2 −

k =1

n

⎞⎤

k =1

⎠⎦⎥

∑ y ak6 − + K⎟⎟⎥

(128)

Zbog boljeg razumijevanja izraza (128) uzeće se isti primjeri kao u tački 3.5.1 (dvotaktni, četvorocilindrični motor sa rasporedom paljenja 1 – 3 – 2 – 4, sa rastojanjem između susjednih cilindara “a”) i za njega odrediti vrijednosti momenta M xI (prvi red) i momenata M yI i M yII (prvi i drugi red)). Skica mehanizma je data na sl. 31. x

x

I

III

II

IV

z

3

a3

a2

a1

w y

0

0 1

1(I)

a

2(III)

2

4 a4

a1 =

3 1 a ; a2= a 2 2

a3 =

1 3 a ; a4= a 2 2

4(IV) 3(II)

Sl. 31 Šema rasporeda koljena i cilindara četvorocilindričnog dvotaktnog motora Za prvi (1) red raspored jediničnih vektora može se nacrtati zbir vektora

4

∑ a k1

k =1 1

odakle se dobiva rezultujući vektor prvog reda kao a (sl. 32): x

x

e11

w

e

a1 = N1 a = 2 a g1 = 315° ili g1 = - 45°

1 2

a2

1

a

a

1 4

y

0 e4

a

a

1

a

a3

1

a1

1

1

g1

e3

1

Sl. 32 Jedinični vektori ek1 i zbir vektora a 1

y

49 Na osnovu skice (sl. 32) i jednačina (128) mogu se napisati izrazi: M XI = ω 2 ⋅ Q ' ⋅ a 2 ⋅ sin(α − 45°) − ω ⋅ Q ' ⋅ a 2 ⋅ cos(α − 45°) o

M YI = −ω 2 ⋅ (Q + Q ' ) ⋅ a 2 ⋅ cos(α − 45°) − ω ⋅ (Q + Q ' ) ⋅ a 2 ⋅ sin(α − 45°) o

⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭

(129)

Za drugi (II) red mogu se nacrtati diagrami (sl. 33) a = N2 a = 4 a g2 = 0° 2

x

x a4

2

e1 , e 3 2

w

2

a32

2a

a22 y

0

a2

a 2a

2 1

a

g2

y

e22, e42

Sl. 33 Jedinični vektori ek2 i zbir vektora a 2 Na osnovu sl. 33 i jednačine (128) može se napisati izraz za moment My drugog reda kao: o

M yII = −ω 2 ⋅ Q ⋅ A2 ⋅ 4 a ⋅ cos(2α + 0 ) − ω ⋅ Q

A2 ⋅ 4 a ⋅ sin(2α + 0 ) 2

(130)

U nastavku se daje primjer proračuna momenata od inercionih sila kod jednog petocilindričnog četvorotaktnog motora sa rasporedom paljenja 1 – 2 – 5 – 3 – 4 i rastojanjem između susjednih cilindara "a". Za ovaj primjer treba odrediti stacionarne momente M xI , M yI i M yII za opšti slučaj ugaone brzine ω. Ugaono rastojanje između koljena radilice, za cilindre čije je palenje jedno iza drugoga, može se sračunati kao:

αr =

4 ⋅π 4 ⋅π = = 144 ° n 5

Skica rasporeda cilindara i koljena radilice za ovaj primjer, prema usvojenom koordinatnom sistemu, data je na sl. 34.

50

Sl. 34 Šema rasporeda koljena i cilindara petocilindričnog četvorotaktnog motora Za prvi red rasporeda jediničnih vektora može se nacrtati zbir vektora

∑ a k1 ,

odakle se dobiva rezultujući vektor prvog reda kao a 1 (sl. 35). x

x

a = N1 a = 0,5 a g1 = 60° 1

e1

1

1

a

e4

1

a2

w

a3

1

e3

1

0

y

a

a

a4

a1

1

g1

1

y a1

e2

1

e5

1

Sl. 35 Jedinični vektori ek1 i zbir vektora a 1 Na osnovu sl. 35 i jednačina (128) mogu se napisati traženi izrazi za stacionarne članove momenata prvog reda kao:

M xIst = ω 2 ⋅ Q ' ⋅ 0 ,5 ⋅ a ⋅ sin(α + 60°)

(

)

M yI st = −ω 2 ⋅ Q + Q ' ⋅ 0 ,5 ⋅ a ⋅ cos(α + 60°)

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

Za drugi red mogu se nacrtati diagrami kao na sl. 36.

(131)

51 x

x

a4

2

a = N2 a = 4,98 a g1 = 18° 2

a3

2

a

e1

2

e5

2

2a

2

2

y

e

a

a1

w

0

2 2

2a a

e2

2

g2

y

2 4

e3

2

Sl. 36 Jedinični vektori ek2 i zbir vektora a 2 Prema rezultatima sa sl. 36, koristeći jednačinu (128) može se napisati izraz za stacionarni član momenta My kao:

M yIIst = −ω 2 ⋅ Q ⋅ 4 ,98 ⋅ a ⋅ cos(2α + 18 °)

(132)

Poštujući dobivena rješenja (129), (130), (131) i (132) za konkretne primjere, opšti izrazi za proračun momenta Mx i My prema (128), mogu se napisati kao: M x = ω 2 ⋅ Q ' ⋅ N 1 ⋅ a ⋅ sin(α + γ 1 ) − ω⋅ Q ' ⋅ N 1 ⋅ a ⋅ cos(α + γ 1 ) o

M y = −ω 2 ⋅ {(Q + Q1 ) ⋅ N 1 ⋅ a ⋅ cos(α + γ 1 ) + Q ⋅ [A2 ⋅ N 2 ⋅ a ⋅ cos(2α + γ 2 ) − − A4 ⋅ N 4 ⋅ a ⋅ cos(4α + γ 4 ) + A6 ⋅ N 6 ⋅ a ⋅ cos(6α + γ 6 ) − + K]} +

o ⎡A − ω ⋅ {(Q + Q1 ) ⋅ N 1 ⋅ a ⋅ sin(α + γ 1 ) + Q ⋅ ⎢ 2 ⋅ N 2 ⋅ a ⋅ sin(2α + γ 2 ) − ⎣ 2 A A ⎤⎫ − 4 ⋅ N 4 ⋅ a ⋅ sin(4α + γ 4 ) + 6 ⋅ N 6 ⋅ a ⋅ sin(6α + γ 6 ) − + K⎥ ⎬ 4 6 ⎦⎭

3.5.3

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(133)

Uravnoteženje inercionih sila i odgovarajućih momenata kod višecilindričnih motora

Inercione sile X i Y kao i inercioni obrtni momenat Mz (izraz 125) se kod višecilindričnih motora za neke redove međusobno uravnotežuju. To najbolje pokazuje primjer dat u tački 3.5.1. Na osnovu primjera datog u tački 3.5.1 i prirode izraza (125) može se izvući generalni pokazatelj (zaključak) o uravnoteženju veličina X, Y i Mz. Neuravnoteženi redovi sile X, obzirom da postoji sila Y samo prvog reda, i momenta Mz vide se najbolje u tabelama 5 i 6.

52 Tabela 5. Neuravnotežene sile X (●) i momenti Mz (○) kod dvotaktnih višecilindričnih linijskih motora red br. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

●○

● ●

○

● ●

○

● ● ●

○

● ●

○

● ●

○

● ● ● ●

cilindara

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

○

○

●

● ○

● ●

● ○ ● ○ ● ○ ●

Tabela 6. Neuravnotežene sile X (●) i momenti Mz (○) kod četvorotaktnih višecilindričnih linijskih motora red br. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

●○ ●○

● ●

○ ○ ○

● ●

○ ○

● ● ● ●

○ ○

● ●

○ ○ ○

● ●

○ ○

● ● ● ●

cilindara

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

●

●

●

● ●

○ ○

●

○

●

○ ●

●

● ○

○

● ○ ●

●

Momenti od inercionih sila X i Y (Mx i My) uobičajeno se računaju pomoću izraza (133). U tabeli 7 je dat određeni broj kombinacija četvorotaktnih linijskih motora od 2 do 12 cilindara sa različitim rasporedom palenja i proračunatim parametrima γ i i N i za i = 1, 2, 4 i 6 red., a u tabeli 8. je dat određeni broj kombinacija dvotaktnih linijskih motora od 2 do 12 cilindara sa različitim rasporedom palenja i proračunatim parametrima γ i i N i za i = 1, 2, 4 i 6 red.

53 Tabela 7. Potrebni parametri γ i i Ni za računanje momenata Mx i My (prvih šest redova) kod četvorotaktnih motora. Broj cilin.

Dijagrami rasporeda koljena

Dijagrami rasporeda paljenja I

II

4.

1

2

I

II

III

1 I

2 II

3 III

3(III)

2(II) 1(I)

3(II)

2(III)

1

3

2

I

II

III

IV

1(I),3(IV)

1 I

2 II

4 III

3 IV

2(II),4(III)

1 I

3 II

4 III

2 IV

3

5

4

2

I

II

III

IV

V

3 III

6 IV

2 V

1

3

5

6

4

I

II

III

IV

V

1 I

3 II

3(II)

2(V)

VI

5(III)

2(V),5(II)

4 VI

3(III),6(IV)

3(II),6(IV)

2(VI),5(III)

2 VI VII

1(I)

5(III)

4(VI)

5 III

7 IV

6 V

7(IV) 3(II)

6(V)

2 4 VI VII

1(I)

5(VII)

7

3

6

4

I

II

III

IV

V

VI VII VIII

1 I

6 II

2 III

5 IV

8 V

3 7 4 VI VII VIII

4(V)

2

5

7(II)

1,732 (30°)

1,732 (-30°)

1,732 (30°)

0 (0°)

1,732 (-30°)

1,732 (30°)

1,732 (-30°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

4 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

4,749 (40,4°)

1,561 (-27,8°)

4,749 (-40,4°)

4,749 (40,4°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

3 (60°)

3 (-60°)

3 (60°)

0 (0°)

2,850 (41,3°)

9,050 (-45,1°)

1,946 (21,8°)

2,850 (-41,3°)

5,910 (-266,2°)

4,547 (-7,1°)

6,515 (11,3°)

5,908 (86,1°)

11,31 (-45°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

2,828 (45°)

16 (0°)

0 (0°)

16 (0°)

2,949 (34,7°)

15,306 (47,8°)

2,396 (-17,7°)

4,582 (49,1°)

5,877 (-54°)

9,509 (-18°)

7,562 (39°)

5,877 (-54°)

3,274 (29,4°)

6,748 (54,2°)

4,223 (-43,1°)

2,866 (14,8°)

6 (-60°)

10,392 (-30°)

10,392 (30°)

0 (0°)

3(III)

6(IV)

1(I),5(IV) 4(VIII), 8(V)

2(III), 6(II)

3(VI),7(VII) 1(I),5(III) 2(VIII), 6(VI)

1

3

5

7

8

I

II

III

IV

V

6

4

4(VII), 8(V) 3(II),7(IV)

2

VI VII VIII IX

6(VII)

1(I)

5(III)

2(IX)

9. 1

3

5

7

9

I

II

III

IV

V

8

6

4

2

VI VII VIII IX

1

7

3

9

6

10

I

II

III

IV

V

VI VII VIII IX

4

8

2

X

7(II), 2(IX)

5

8(VIII) 3(II) 9(V)

3

5

7

9

11 10

6

4

2

I

II

III

IV

V

VI VII VIII IX

X

XI XII

12. 2

10

6

12

9

5

11

3

8(VI)

5(X), 10(VI) 4(VII), 9(IV)

7(IV) 1(I) 6(IX) 2(XI) 11(VI)

X XI

1

8

4(VIII)

1(I),6(V)

8(VIII), 3(III)

11. 8

9(V)

7(IV) 3(II)

10.

4

0 (0°)

1(I),4(V)

1

1

0 (0°)

1(I),4(VI)

2(VI)

8.

0 (0°)

1(I)

2(VII)

7.

0 (0°)

2(IV),4(III)

V

1

5 II

N6 (g6)

1(I),3(II)

4(IV)

1 I

N4 (g4)

1(I)

5.

6.

N2 (g2)

1(I),2(II)

2.

3.

N1 (g1)

7

5(III) 10(VII) 4(X)

1(I),7(XII) 2(IV), 6(VI), 8(III) 12(VII) 3(XI), 5(IX), 9(VIII) 11(X) 4(II),10(V)

54 Tabela 8. Potrebni parametri γ i i N i za računanje momenata Mx i My (prvih šest redova) kod dvotaktnih motora. Broj cilin.

Dijagrami rasporeda koljena

Dijagrami rasporeda paljenja I

II

N1 (g1)

N2 (g2)

N4 (g4)

N6 (g6)

1 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

1,732 (30°)

1,732 (-30°)

1,732 (30°)

0 (0°)

4(IV)

1,414 (-45°)

4 (0°)

0 (0°)

4 (0°)

4(IV)

2,828 (-45°)

2 (0°)

0 (0°)

2 (0°)

4(III)

3,162 (-18,4°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

0,449 (-54°)

4,980 (-18°)

0,449 (54°)

0,499 (-54°)

4,980 (-18°)

0,449 (-54°)

4,980 (18°)

4,980 (-18°)

0 (0°)

3,464 (-30°)

3,464 (30°)

0 (0°)

3,464 (30°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

0,076 (141,4°)

9,149 (12,9°)

3,781 (-64,3°)

0,076 (141,4°)

0,59 (-109,7°)

1,006 (-51,4°)

9,845 (12,8°)

0,267 (64,3°)

0,448 (-22,5°)

5,656 (-45°)

16 (0°)

0 (0°)

3,950 (-47,5°)

11,314 (-45°)

0 (0°)

11,314 (45°)

1,405 (17,1°)

0 (0°)

0 (0°)

0 (0°)

0,142 (-130,2°)

0,548 (-40°)

16,330 (-10°)

1,732 (60°)

0 (0°)

0,898 (-36°)

9,960 (-18°)

9,960 (18°)

0,153 (-73,6°)

0,382 (-57,3°)

2,636 (-24,5°)

24,436 (8,2°)

0 (0°)

6 (-60°)

3,464 (-30°)

36 (0°)

0,277 (-75°)

0 (0°)

0 (0°)

36 (0°)

1(I)

2. 2(II)

1

2

I

II

III

2

1

3

I

II

III

1(II)

3.

3(III)

2(I)

IV

1(I) 2(III)

1 I

3 II

2 III

3(II)

4 IV

1(I)

4.

2(II)

1 I

2 II

3 III

3(III)

4 IV

1(I) 2(II)

1

2

4

3

I

II

III

IV

3(IV)

V

1(I) 2(IV)

5.

1 I

4 II

3 III

2 IV

5(V) 4(II)

3(III)

5 V

1(I) 2(II)

1

2

5

3

4

I

II

III

IV

V

5(III) 4(V)

3(IV)

VI

1(I) 2(V)

6(VI)

3(III)

6.

1 I

5 II

3 III

4 IV

2 V

5(II) 4(IV)

6 VI

1(I) 2(V)

6(IV)

3(III)

5(II) 4(VI)

1

5

3

6

2

4

I

II

III

IV

V

VI VII

1(I)

2(VI)

7(IV)

3(V)

7.

1 I

5 II

4 III

7 IV

3 V

6(VII)

4(III)

2 6 VI VII

5(II) 1(I)

2(VI)

7(VII)

3(III)

1

6

3

4

5

I

II

III

IV

V

2

7

6(II) 5(V)

4(IV)

VI VII VIII

1(I)

2(VII)

8(VIII)

3(III)

1 I

7 II

3 III

5 IV

4 V

7(II)

4(V)

8 6 2 VI VII VIII

5(IV) 1(I)

2(III)

8.

8(VIII)

3(VII)

1 I

6 II

2 III

5 IV

4 V

7(VI)

4(V)

7 3 8 VI VII VIII

5(IV) 1(I)

2(VI)

1

4

6

7

3

I

II

III

IV

V

2

8

5

VI VII VIII IX

7(IV) 5(VIII)

8(VIII)

1(I)

3(III)

9. 8

3

6

5

4

I

II

III

IV

V

VI VII VIII IX

7

2

5(V)

9 X

10. 9

3

7

5

II

III

IV

V

6

4

8

2

VI VII VIII IX

5(V)

10 X XI

12.

4(VIII) 5(V) 6(VI)

1

10

3

8

5

6

9

2

11

I

II

III

IV

V

VI VII VIII IX

X

XI XII

4

1 I

9 II

5 III

7 IV

3 V

11 2 10 6 VI VII VIII IX

8 X

4 12 XI XII

1

11

3

9

5

7

10

2

6

8

4

8(VIII) 6(VI) 7(IV)

2(X) 1(I) 11(XI) 3(III) 10(II)

11. 7

7(VII) 6(IV)

9(II)

4(VII)

I

9(IX)

2(IX) 1(I) 10(X) 3(III)

1

6(III)

8(II)

4(VI)

1

6(II) 8(VII)

3(V) 4(II)

6(VI)

12

9(IX) 8(IV) 7(VII)

2(VII) 1(I) 12(XII) 3(V) 11(VI) 4(XI) 5(III) 6(IX)

10(VIII) 9(II) 7(IV) 8(X)

2(XI) 1(I) 12(XII) 3(III) 11(II) 4(IX) 10(X) 5(V) 9(IV) 6(VII) 7(VI) 8(VIII)

55 Iz prethodnih tabela se vidi koji redovi veličina X, Y, Mz, Mx i My su uravnoteženi za koje motore. Pored toga što su uglavnom svi “značajniji” redovi inercionih sila X, Y kod većeg broja višecilindričnih motora uravnoteženi, kod njih se skoro uvijek postavljaju kontrategovi. Razlog postavljanja kontrategova nije uravnoteženje sila nego rasterećenje ležajeva. Na osnovu svega do sada rečenog u oblasti dinamike motora, može se napraviti jedan zaključni komentar. Sve sile i momenti koji djeluju na motoru (izuzev sila trenja koje su ovdje izostavljene) mogu se prikazati na sl. 37. Sila gasova K je unutrašnja sila. Ona napreže elemente motora ali se u okviru motora drži u ravnoteži i ne prenosi se na oslonce motora. Inercione sile X, Y i njihovi momenti x

x

K

X Mx

0

z

B xB

My

B

x Mz

T Gm

Me A xA

Me

ω α

Pe

0

YAB A,B

y A

xA,B

CD

My

Y

y

YCD C,D

x CD

Sl. 37 Sile i momenti koji djeluju na motor

Mx, My i Mz ukoliko nisu uravnoteženi prenose se preko radilice motora na blok i oslonce motora. Također efektivni obrtni momenat (Me), koji se prenosi na radnu mašinu, stvara reaktivni momenat koji se prenosi na oslonce motora. Veličine X, Y, Mx, My, Mz i Me se mijenjaju sa vremenom kako po intenzitetu tako i smjeru, i one zajedno sa težinom cijelog motora (Gm), definišu u potpunosti reakcije na motoru, izražene preko veličina XA, YA, XB, YB, XC, YC, XD, YD (ako su četiri oslonca A, B, C, D). Ove veličine u svakom slučaju definišu dimenzije oslonca i njihove karakteristike elastičnosti (krutosti) sa ciljem minimizacije oscilacija motora. 4. Uloga i proračun zamajca Zamajac je rotirajuća masa odgovarajućeg momenta inercije, koja se postavlja na jednom ili (rjeđe) na oba kraja koljenastog vratila, sa osnovnom namjenom da se obezbjedi željena ravnomjernost obrtanja koljenastog vratila i pored postojanja promjenjivog obrtnog momenta na radilici motora. Za bilo kakvu analizu rada i proračun zamajca potrebno je poznavati trenutnu vrijednost obrtnog momenta, tzv. efektivni obrtni momenat (Me) motora na radilici.

56 U nastavku se iznosi postupak određivanja trenutne vrijednosti efektivnog obrtnog momenta motora. 4.1 Stvarni efektivni obrtni momenat motora Vrijednosti stvarnog efektivnog obrtnog momenta motora može se odrediti na osnovu zakona o održanje energije u jedinici vremena kao: o

Me ⋅ ω = K ⋅ x −

d ⋅ ( E k + E p ) − Ptr dt

(134)

gdje je: -

o

K ⋅ x - trenutna vrijednost snage na klipu motora (tzv. indicirana snaga), ( E k + E p ) - kinetička i potencijalna energije pokretnih dijelova krivajnog

mehanizma motora, Ptr - snaga potrebna za savladavanje trenja pokretnih dijelova motora. dα , izraz (134) se može napisati kao: Imajući u vidu da je ω = dt o

Me = K ⋅

dE p Ptr ⎞ ⎛ dE ⎟ − ⎜⎜ k + + ω ⎝ dα ω ⎟⎠ dα x

(135)

odnosno:

(

Me = M ' − M " + M "' + M ""

)

(136)

gdje je:

M' - trenutna vrijednost teoretskog (indiciranog) obrtnog momenta, M'' - trenutna vrijednost obrtnog momenta od kinetičke energije redukovana na osu obrtanja z,

M"' - trenutna vrijednost obrtnog momenta od potencijalne energije redukovana na osu

obrtanja z,

M'"" - trenutna vrijednost sumarnog momenta trenja redukovana na osu obrtanja z. Svaku od prethodno nabrojanih veličina treba definisati u funkciji ugla obrtanja koljenastog vratila, što je u nastavku i objašnjeno. 4.1.1 Momenat M' Koristeći izraz (135), trenutna vrijednost indiciranog obrtnog momenta za jedan cilindar, definisana je kao:

57 M-trenutni pol obrtanja klipnjače

x B

M

x

b b

l

A rw

a r

II

r

y

I

r 0

A

I

o

'

M =K⋅

x

(137)

ω

gdje je:

Dk2 ⋅ π - sila gasova. 4 p - apsolutni pritisak u cilindru motora, p o - pritisak u karteru motora, Dk – prečnik klipa. K = ( p − po ) ⋅

Koristeći šemu krivajnog mehanizma na sl. 38 i osnovne konstruktivne i kinematske parametre na njoj, može se napisati: o

o

x = MB ⋅ β Sl. 38 Šema krivajnog mehanizma sa osnovnim kinematskim veličinama

o

r ⋅ ω = MA ⋅ β

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(138)

odakle slijedi: o

x MB r ' = = r ⋅ ω MA r odnosno: o

x

= r'

ω

(139) o

Pozitivan smjer brzine x je uzet prema slici 38, suprotan je od usvojenog smjera brzine u knjizi i važi samo za proračun momenta M'. Također na osnovu slike 38, može se napisati: o

r ⋅ ω = MA ⋅ β odnosno: o

1 β = r ⋅ ω MA

(140)

Ako se izraz (140) pomnoži sa vrijednošću dužine klipnjače l onda taj izraz prelazi

58 o

β r" = λ ⋅ω r

(141)

Koristeći izraz (139) i izraz (137) izraz za trenutnu vrijednost indiciranog momenta može se napisati kao:

M ' = K ⋅ r' = K ⋅

r' ⋅ r = Tg ⋅ r r

(142)

r' . r Ovdje izraz (142) odgovara izrazu (66), a pokazuje da se momenta M ' može dobiti i grafičkim definisanjem veličine r' = f(α). Radi boljeg razumijevanja, u nastavku se daje nekoliko primjera toka momenta M ' za dvotaktne i četvorotaktne motore. Uporedo sa tokom momenta na ordinati je pokazana i tangencijalna sila Tg, koja je proporcionalna momentu M ' (izraz 142). gdje je tangencijalna sila na radilici od sile gasova T g = K ⋅

Sl. 39 Diagram toka momenta M ' jednocilindričnog dvotaktnog motora

Sl. 40 Diagram toka momenta M ' jednocilindričnog četvorotaktnog motora

59

Sl. 41 Diagram toka momenta M ' dvocilindričnog dvotaktnog motora Sl. 39, 40 i 41 pokazuju principijelno tok momenta (M '), odnosno tangencijalne sile (Tg) u funkciju ugla obrtanja (α) za slučaj jednocilindričnog i dvocilindričnog dvotaktnog, odnosno jednocilindričnog četvorotaktnog motora. Ovi diagrami jasno upućuju (posebno sl. 41) da se za bilo koji višecilindrični motor može jednostavnim sabiranjem pojedinih momenata dobiti tok ukupnog momenta M '. Ovaj momenat (M ') predstavlja ustvari pobudni momenat, posebno promjenjivi dio (oko srednje vrijednosti) koji se koristi kod analize torzionih oscilacija što će u okviru oscilacija, biti detaljno i obrađeno. U svakom slučaju, obzirom na karakter promjene ovog momenta, on se matematski najčešće predstavlja preko Fourijeovog reda kao: ∞

∞

j =1

j =1

M ' = M 0 + ∑ a j cos( jα ) + ∑ b j sin( jα )

(143)

gdje je j - red pobude i iznosi: j = 1; 2; 3; 4; … - za dvotaktne motore j = 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; … - za četvorotaktne motore M 0 - srednja vrijednost momenta Praktičan broj članova aproksimacije je prvih 12 redova, odnosno maksimalno 18 redova. 4.1.2 Momenat M" Kinetička energija masa krivajnog mehanizma može se uopšteno pisati kao: Ek =

⎤ ⎞ o2 ⎛ 1 1 ⎛ s' 1 1 ⎡ 2 s' ⎞ ⋅ ⋅ ⎢k ⋅ G + r 2 ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⋅ G ' ⎥ ⋅ ω 2 + ⋅ ⋅ ⎜⎜ ⋅ G ' + G " ⎟⎟ ⋅ x + 2 g l ⎠ 2 g l ⎦ 4 144⎣444442⎝4444 44 3 144⎝442444⎠43 (1)

o 2 1 1 + ⋅ ⋅ (k A2 ⋅ G A + k B2 ⋅ G B ) ⋅ β 2 g 1444442444443 (3)

(2)

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(144)

60 gdje su članovi: (1) – kinetička energija od rotacionog kretanja masa oko ose z odnosno tačke O (sl. 15), (2) – kinetička energija pravolinijskog kretanja masa, (3) – kinetička energija njihanja klipnjače oko tačke B. Ako se, zbog lakšeg pisanja, uvedu smjene:

R=

⎤ ⎛ 1 ⎡ 2 s' ⎞ ⋅ ⎢k ⋅ G + r 2 ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⋅ G ' ⎥ = R' g ⎢⎣ l ⎠ ⎥⎦ ⎝

(145)

gdje je R ' označeno ranije (izraz (90)) i

R' =

r2 g

⎛ s' ⎞ ⋅ ⎜⎜ ⋅ G ' + G " ⎟⎟ ⎝ l ⎠

(146)

Imajući u vidu da je prema izrazu (71),

k A2 ⋅ G A + k B2 ⋅ G B = ⎡k ' − s ' ⋅ ( l − s ' ⎢⎣ 2

)⎤ ⋅ G ' ⎥⎦

za član (3) u jednačini (144) se može uvesti skraćenica:

R" =

(

)

2 λ2 ⎡ ' ⋅ s ⋅ l − s' − k ' ⎤ ⋅ G' ⎥ ⎢

g ⎣

(147)

⎦

Uvrštavajući izraze (145), (146), i (147) u jednačinu (144) dobije se izraz za kinetičku energiju: o2

Ek =

1 1 x 1 R" o ⋅β R ⋅ ω 2 + R' 2 − 2 2 2 λ2 r

2

odnosno: 2 2 ⎡ ⎛ o ⎞ ⎛ o ⎞ ⎤ x β 1⎢ ⎥ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − R" ⎜ ⋅ω E k = ⎢ R + R' ⎜ ⎟ ⎟ rω ⎟ λω ⎟ ⎥ 2 ⎜ ⎜ ⎢ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣

(148)

(149)

gdje je: 2

⎛ o ⎞ ⎛ o ⎞ '⎜ x ⎟ "⎜ β ⎟ ψ =R+R ⎜ ⎟ −R ⎜ ⎟ ⎜ λω ⎟ ⎜ rω ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

2

(150)

61 ekvivalentni momenat inercije masa krivajnog mehanizma za jednocilindrični motor. Koristeći sl. 38 i izraze (139) i (141), jednačina (150) prelazi u formu:

⎛ r' ψ = R + R ⎜⎜ ⎝r '

2

⎞ ⎛ r" ⎟ − R" ⎜ ⎟ ⎜ r ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

(151)

Ovakav oblik izraza omogućava da se grafičkim putem odredi vrijednost momenta inercije ψ kao funkcija ugla obrtanja koljenastog vratila α. Obzirom da je izraz (150), odnosno (151) dosta komplikovan za proračun najčešće se umjesto njega koristi aproksimacioni Fram-ov obrazac oblika:

ψ = R+

1 ' R (1 − cos 2α ) ≈ ψ 2

(152)

Sl. 42 pokazuje tok krivih ψ i ψ kao i njihovih prvih izvoda, odakle se da zaključiti da se sa dosta tačnosti aproksimacija (152) može koristiti u praktične svrhe. ψ dψ [kgm 2 ] dα 2,5 2,0

ψ

ψ

1,5 1,0 0,5

dψ dα

0

dψ dα π 2

α [KV°] π

3π 2

2π

-0,5 -1,0

Sl. 42 Uporedni diagram veličina momenta inercije ψ i

ψ za jednocilindrični motor i njihovih izvoda Kod praktičnih proračuna često se ide na pojednostavljenje koje podrazumijeva samo srednje vrijednosti momenta inercije:

θ = R+

1 ' R 2

Momenat M " se dobiva prema izrazu (135) kao:

(153)

62

M" =

dE k d = dα dα

gdje je: 2ω ⋅

o 1 ⎛1 ⎞ 1 dψ ⋅⎜ ψ ⋅ω2 ⎟ = ⋅ ⋅ω 2 + ψ ⋅ 2ω 2 ⎝2 ⎠ 2 dα

(154)

o dω dω = 2⋅ = 2ω dα dt

Ako se u izraz (154) uvrsti izraz (152) dobiva se konačna forma izraza M " kao:

1 2

o

⎡ ⎣

1 2

⎤ ⎦

M " = ⋅ ω 2 ⋅ R' sin 2α + ω ⋅⎢ R + ⋅ R' (1 − cos 2α )⎥

(155)

gdje je stacionarni član ovog momenta:

MSt" =

1 2 ' ⋅ ω ⋅ R sin 2α 2

(156)

Integralna vrijednost izraza (148) za interval 2π je nula. 4.1.3 Momenat M"'

Momenat M " ' se može najlakše objasniti na primjeru jednocilindričnog motora postavljenog proizvoljno u odnosu na vertikalnu ravan pod uglom δ . Šema ovog motora data je na sl. 43. Na osnovu sl. 43 može se napisati izraz za potencijalnu energiju kao: Sl. 43 Skica krivajnog mehanizma jednocilindričnog motora pod proizvoljnim uglom δ

63

⎡ ⎤ ⎛ s' ⎞ E p = − ⎢G ⋅ s + r ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⋅ G ' ⎥ ⋅ [1 − cos(α − δ )] − l ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎛ s' ⎞ − ⎜⎜ ⋅ G ' + G " ⎟⎟ ⋅ (r ⋅ cos δ + l ⋅ cos β 0 − x ) ⋅ cos δ ⎝ l ⎠

(157)

Ako se uvedu skraćenice:

⎛ s' ⎞ Q ∗ = r ⋅ ⎜⎜ ⋅ G ' + G " ⎟⎟ ⎠ ⎝ l ⎛ s' ⎞ Q = s ⋅ G + r ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⋅ G ' l ⎠ ⎝ ∗'

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

(158)

onda se izraz (157) može napisati kao: ' ⎛ 1 x⎞ E p = −Q ∗ ⋅ [1 − cos(α − δ )] − Q ∗ ⋅ ⎜⎜ cos δ + cos β 0 − ⎟⎟ ⋅ cos δ λ r⎠ ⎝

(159)

Transformacijom jednačine (159) i korištenjem jednačine (9) za put klipa (x/r), može se izraz za momenat M"' napisati kao: M "' =

[(

dE p

)

]

= − Q ∗ + Q ∗ ⋅ sin α + Q ∗ ⋅ ( A2 sin 2α − A4 sin 4α + K) ⋅ cos δ +

dα

'

+ Q ∗ cos α ⋅ sin δ '

(160)

Imajući u vidu izraz za sile X i Y (izraz (80)) i to smo stacionarne dijelove Xst i Yst, kao i izraz (160) može se napisati:

M "' = −

α α ⎞ g ⎛⎜ ⋅ ⋅ + ⋅ cos δ X d α sin δ Yst ⋅ dα ⎟⎟ st ∫ ∫ 2 ⎜ ω ⎝ π/2 0 ⎠

(161)

Izraz (161) za različite vrijednosti ugla δ može se napisati kao: za δ = 0 α g M "' = − 2 ∫ X st ⋅ dα

-

ω

-

za δ =

M "' = −

(162)

0

π

g

ω2

2 α

∫ Yst ⋅ dα

π/2

(163)

(

64 za δ = π α g M "' = 2 ∫ X st ⋅ dα

-

ω

-

za δ = −

M "' =

g

ω2

(164)

0

π 2

α

∫ Yst ⋅ dα

(165)

π/2

4.1.4 Momenat M"" Za određivanje momenta M "" neophodno je definisati sile koje djeluju na pojedine elemente krivajnog mehanizma, koje su posljedica primarnih i sekundarnih sila. Pored definisanja trenutne vrijednosti momenta M "" ove sile se koriste i za proračun elemenata krivajnog mehanizma. Za njihovo definisanje krivajni mehanizam će se razdvojiti u tri podsistema: klipna grupa, klipnjača i radilica. Klipna grupa Klipna grupa data je na sl. 44 sa svim silama i momentima koji djeluju na ovaj podsistem. Na sl. 44 su dati:

Sl. 44 Sile i momenti na klipnoj grupi

K - sila gasova, K " - sila normalna na cilindarsku košuljicu (reakcija klip – cilindarska košuljica), ' K - sila trenja klipnih prstenova i cilindarske košuljice, " " μ K - sile trenja klipa i cilindarske košuljice, K 1 i K 2 - sile reakcije veze klipnjačaosovinica klipa, " G - težina klipne grupe, M 1 - momenat trenja u ležaju osovinice, δ - proizvoljan ugao nagiba krivajnog mehanizma.

Na osnovu sl. 44 može se postaviti suma svih sila za ose x i y kao:

65

∑F

=0:

x

∑ Fy = 0 :

⎛ oxo ⎞ K 1 cos β − K 2 sin β ± μ K − K ± K − G ⋅ ⎜ + cos δ ⎟ = 0 ⎜g ⎟ ⎝ ⎠ "

"

'

"

K 1 sin β + K 2 cos β − K " + G " ⋅ sin δ = 0

(166)

(167)

Klipnjača Skica klipnjače sa redukovanim masama u tački A i B, kao i svim silama i momentima, koji na nju djeluju, data je na sl. 45 Oznake na sl. 45 su: sile K 3 i K 4 i momenti M 2 i M 3 su reakcije krute veze klipnjače, gdje se uslov krute veze može pisati kao:

l ⋅ K4 − M 2 − M 3 = 0

(168)

M4 - momenat trenja u letećem ležaju radilice P1 i P2 - sile reakcije radilice motora i klipnjače

Sl. 45 Sile i momenti na klipnjači

∑MB = 0 : ∑F

xB

=0:

∑ FyB = 0 : ∑MA =0:

M1 + M 2 +

Za sistem na sl. 45 mogu se postaviti jednačine ravnoteže sila za ose x i y u tačkama A i B i momenata za tačke A i B, kako slijedi:

G B 2 oo ⋅ kB ⋅ β = 0 g

' (K 3 − K 1 ) cos β + (K 2 − K 4 ) sin β − s ⋅ G ' l

(169) ⎛ oxo ⎞ ⋅ ⎜ + cos δ ⎟ = 0 ⎜g ⎟ ⎝ ⎠

(K 1 − K 3 ) sin β + (K 2 − K 4 ) cos β − s

'

l

M3 +M4 +

G A 2 oo ⋅kA ⋅β = 0 g

⋅ G ' ⋅ sin δ = 0

(170)

(171) (172)

66

∑F

xA

=0:

⎛ s' P1 sin α + P2 cos α − K 3 cos β + K 4 sin β − ⎜⎜ 1 − l ⎝

∑F

YA

⎞ ' ⎟⎟ ⋅ G ⎠

oo ⎛ x A ⎞⎟ ⎜ ⋅ cos δ + =0 ⎜ g ⎟ ⎝ ⎠

(173)

=0:

⎛ s' − P1 cos α + P2 sin α + K 3 sin β + K 4 cos β − ⎜⎜ 1 − l ⎝

⎞ ' ⎟⎟ ⋅ G ⎠

⎛ oyo ⎞ ⋅ ⎜⎜ A + sin δ ⎟⎟ = 0 ⎜ g ⎟ ⎝ ⎠

(174)

Radilica Radilica je prikazana na sl. 46 sa silama i momentima koji je napadaju. Oznake na sl. 46 su: M 5 - momenat trenja u glavnim ležajima radilice, P3 i P4 - reakcijske sile od glavnih ležajeva na glavni rukavac, Me - efektivni obrtni momenat koji se prenosi preko radilice.

Sl. 46 Sile i momenti na radilici

∑M -

O

=0:

⎡k 2 o P1 ⋅ r − M 4 − M 5 − Me − G ⋅ ⎢ ⋅ ω − s ⋅ sin( α − δ ⎣g

⎤ )⎥ = 0 ⎦

(175)

suma sila u pravcu ose ramena radilice:

∑ Fr = 0 : -

Za podsistem na sl. 46 mogu se postaviti jednačine ravnoteže: - suma momenta oko tačke O:

⎡s ⋅ω2 P2 − P4 − G ⋅ ⎢ − cos( α − δ ⎣ g

⎤ )⎥ = 0 ⎦

(176)

suma sila normalnih na osu ramena radilice:

∑ Fn = 0 :

⎡ o s ⋅ω − sin( α − δ P1 − P3 − G ⋅ ⎢ ⎢ g ⎣

⎤ )⎥ = 0 ⎥ ⎦

(177)

67 U prethodnim jednačinama (166) do (177) uvode se približni izrazi kinematskih o

oo

o

oo

oo

oo

veličina x , x , β , β , x A , y A za stacionarne uslove rada motora ( ω = const . ): o oo λ ⎞ ⎛ x = −r ⋅ ω ⋅ ⎜ sin α + sin 2α ⎟ ; x = − r ⋅ ω 2 ⋅ (cos α + λ cos 2α ) 2 ⎠ ⎝ sin β = λ sin α ; cos β ≈ 1 o

β = λ ⋅ ω ⋅ cos α oo

x A = −r ⋅ ω 2 ⋅ cos α

; ;

oo

β = −λ ⋅ ω 2 ⋅ sin α oo

y A = −r ⋅ ω 2 ⋅ sin α

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(178)

Obzirom da sistem jednačina (166) do (177) ima dvanaest jednačina, a nepoznatih petnaest K " , K ' , K 1 , K 2 , K 3 , K 4 , P1 , P2 , P3 , P4 , M 1 , M 2 , M 3 , M 4 i M 5 , za prevazilaženje ovog problema uvode se pojednostavljenja, koja približno odgovaraju realnoj praksi:

(

K4 = 0

⎫ ⎬ M1 ≈ M4 = 0 ⎭

)

(179)

poslije čega gore pomenuti sistem jednačina postaje rješiv. U nastavku su data rješenja prethodnog sistema, i to samo sile, a momenti će se kasnije obrađivati: ⎡r ⋅ω2 ⎤ s' K 1 = K − G" ⋅ ⎢ ⋅ (cos α + λ cos 2α ) − cos δ ⎥ + ⋅ G ' ⋅ λ sin δ ⋅ sin α ⎣ g ⎦ l

K2 =

⎡ ⎛ r ⋅ω 2 ⎞⎤ s' ⋅ G ' ⋅ ⎢ sin δ − λ ⎜⎜ ⋅ sin 2α − cos δ ⋅ sin α ⎟⎟⎥ l ⎝ 2g ⎠⎦⎥ ⎣⎢

(180)

(181)

⎛ r ⋅ω 2 ⎞⎤ ⎛ s' ⎞ ⎡ K " = λ ⋅ K ⋅ sin α + ⎜⎜ ⋅ G ' + G " ⎟⎟ ⋅ ⎢ sin δ − λ ⋅ ⎜⎜ ⋅ sin 2α − cos δ ⋅ sin α ⎟⎟⎥ ⎝ l ⎠ ⎢⎣ ⎝ 2g ⎠⎥⎦

(182)

⎛ s' ⎞ ⎡r ⋅ω 2 ⎤ ⋅ (cos α + λ ⋅ cos 2α ) − cos δ ⎥ K 3 = K − ⎜⎜ ⋅ G ' + G " ⎟⎟ ⋅ ⎢ ⎝ l ⎠ ⎣ g ⎦

(183)

Veličina sile trenja K ' zavisi u velikoj mjeri od trenja između karika i cilindarske košuljice i može se uslovno izraziti preko jednačine (166), (180), (181) i (182) kao:

68 ± K' = K ⋅ (1 − cos β ) + G' ⋅

s' l

⎛ r ⋅ω 2 ⎡ ⋅ ⎢ sin δ ⋅ (sin β − λ ⋅ sin α ⋅ cos β ) − λ ⋅ ⎜⎜ ⋅ sin 2α − ⎣ ⎝ 2g oo

⎞ ⎤ ⎡ x r ⋅ω 2 − cos δ ⋅ sin α ⎟⎟ ⋅ sin β ⎥ + G" ⋅⎢ + ⋅ (cos α + λ ⋅ cos 2α ) ⋅ cos β + g ⎠ ⎦ ⎣ r ⎤ ⎧ ⎛ s' ⎞ ⎡ + (1 − cos β ) ⋅ cos δ ⎥ ± μ" ⋅ ⎨ λ ⋅ K ⋅ sin α + ⎜ ⋅ G' +G" ⎟ ⋅ ⎢ sin δ − l ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎩ ⎞⎤ ⎫⎪ ⎛ r ⋅ω 2 − λ ⋅ ⎜⎜ ⋅ sin 2α − cos δ ⋅ sin α ⎟⎟⎥ ⎬ ⎝ 2g ⎠⎥⎦ ⎪⎭

(184)

Za oznake sa dva znaka (± ) u jednačini (184) važi: - gornji znak važi za 0