MOSE FLATO - Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Τίτλος πρωτοτύπου: Le pouvoir des Mathematiques Copyright © 1990, Hachette Copyright © για την ελληνική γλώσσα: Εκδόσεις ΚΑΤΟΠΤΡΟ — Αλ. Μάμαλης και Σία Ο.Ε. Πρώτη έκδοση: Ιούνιος 1993 ISBN: 960-7023-70-6 Μετάφραση και επιστημονική επιμέλεια: Τάσος Κυπριανίδης Γλωσσική επιμέλεια: Γιώργος Κυριακόπουλος Επιμέλεια έκδοσης: Αλέκος Μάμαλης Στοιχειοθεσία, σελιδοποίηση, φιλμ, μοντάζ: Ανάγραμμα Εκτύπωση: Τετραχρωμία Εκτύπωση εξωφύλλου: Χρήστος Κιουρτσόγλου Βιβλιοδεσία: Σπύρος Σγαρδέλης Κεντρική διάθεση: Εκδόσεις ΚΑΤΟΠΤΡΟ Ισαύρων 10 και Δαφνομήλη, 114 71 Αθήνα Τηλ.: 364.32.72, Fax: 364.18.64

Απαγορεύεται η ανατύπωση μέρους ή όλου του βιβλίου με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς την έγγραφη άδεια των εκδοτών.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή από τον Dominique Lecourt

9

I. Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πολιτισμικές και κοινωνικές επιρροές Επιστημολογικές αυταπάτες Η πραγματικότητα της έρευνας Η ενότητα της μαθηματικής επιστήμης Η πρόοδος στα μαθηματικά Φυσική και μαθηματικά

21 25 32 36 40 44

I I . ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Μαθηματικά και μαθηματική λογική Μαθηματικά και πληροφορική Από τη μαθηματική φυσική στη φυσική μαθηματική επιστήμη Μαθηματικά και βιολογία Μαθηματικά και οικονομία

55 61 66 73 76

I I I . ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

Η νεότητα των μαθηματικών Τα λάθη της σχολής Μπουρμπακί Μαθηματικά και πολιτισμικά στοιχεία Η πολιτική της έρευνας Η διδασκαλία των μαθηματικών: μοντέρνα μαθηματικά Καζίνο

Βιβλιογραφία Ευρετήριο όρων και ονομάτων

81 84 89 93 96 98

103 104

Αισθανόμαστε την υποχρέωση να εκφράσουμε από αυτήν τη θέση τις βαθύτατες ευχαριστίες μας στον κ. Γεώργιο Ευαγγελόπουλο για τις πολύτι­ μες υποδείξεις του που υπήρξαν βασικό στοιχείο της ποιότητας αυτού του βιβλίου. Εκδόσεις Κάτοπτρο

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Θα μπορούσε να εκθέσει κανείς με φυσική γλώσσα, με όρους βατούς για το μεγαλύτερο δυνατό αριθμό ανθρώ­ πων, το περιεχόμενο των μαθηματικών θεωριών και α­ ποδείξεων; Οι περισσότεροι μαθηματικοί θα απαντή­ σουν, καταρχήν, αρνητικά. Τα μαθηματικά είναι δυνατό να εκτεθούν μόνο με μαθηματικούς όρους: επειδή εργά­ ζονται ακατάπαυστα πάνω στο δικό τους σώμα, η γενική υφή των αφαιρέσεων τους έχει καταλήξει να είναι τέ­ τοια που αψηφά τις μη αναγώγιμες μεταφορές των φυσι­ κών γλωσσών. Μήπως θα έπρεπε λοιπόν, για αυτόν α­ κριβώς το λόγο, να παραιτηθεί κανείς από τη μελέτη των μαθηματικών στη σειρά «Ορίζοντες της Επιστή­ μης»; Θα επρόκειτο βέβαια για εξαιρετικά απρόσμενο παράδοξο, εφόσον γνωρίζουμε την επιρροή που έχουν αποκτήσει —χάρη στην αφαίρεση που τα διακρίνει— στις άλλες επιστήμες, αλλά και πέρα από αυτές σε ολό­ κληρη την κοινωνία. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το παρά­ δοξο και αυτήν την επιρροή, ο Moshe Flato δεν παρα­ πλανά τον αναγνώστη* αποφεύγει τις εύκολες λύσεις μιας εκλαΐκευσης συγκεκριμένου τύπου, που δημιουργεί την αυταπάτη της κατανόησης, και χαράσσει μια παρα-

10

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

καμπτήριο διαλογισμού για την «εξουσία» των μαθημα­ τικών, σε όλες τις μορφές της: τις αυθαίρετες, τις νομι­ μοποιημένες και τις πολλά υποσχόμενες. Διαβάζοντας το έργο, μπορεί ο καθένας να αποκτήσει μια εικόνα της δημιουργικής ισχύος και της επινοητικότητας των μα­ θηματικών. Η ιδέα ότι τα μαθηματικά είναι από μόνα τους φορείς μιας επιρροής χωρίς προηγούμενο είχε διαμορφωθεί πολύ πριν αρχίσει να επιβεβαιώνεται μια τέτοια ισχύς. Ας θυμηθούμε τους πρώτους έλληνες μαθηματικούς. Σ' αυτά αναγνώριζαν το κλειδί για την ερμηνεία του κό­ σμου. Έτσι, κατά τον 5ο π.Χ. αιώνα οι Πυθαγόρειοι, σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, ο οποίος τους αντιμετώπι­ ζε μειωτικά, «ανακάλυψαν ότι οι παραλλαγές και οι σχέ­ σεις των μουσικών κλιμάκων είναι δυνατό να εκφρα­ στούν αριθμητικά. Επίσης, επειδή όλα τα άλλα πράγμα­ τα φαίνονταν να ακολουθούν καθ* όλη τη φύση τους πρότυπα αριθμών, και επειδή οι αριθμοί εμφανίζονταν να είναι πρωταρχικές πραγματικότητες στο σύνολο της φύσης, υπέθεσαν ότι τα στοιχεία των αριθμών ήταν στοιχεία όλων των πραγμάτων, και ότι όλος ο ουρανός ήταν μια μουσική κλίμακα και ένας αριθμός». Πράγμα­ τι, τα διαστήματα της οκτάβας, της πέμπτης και της τε­ τάρτης είναι δυνατό να εκφραστούν με όρους απλών α­ ριθμητικών λόγων. Πρόκειται για εντυπωσιακό παρά­ δειγμα φαινομένου το οποίο, ενώ δεν είχε προφανή σχέ­ ση με τα μαθηματικά, ήταν δυνατό να διατυπωθεί με μαθηματικούς όρους. Έτσι απέκτησαν οι Πυθαγόρειοι το μεγαλειώδες όνειρο μιας φύσης δομημένης όπως η μουσική! Ενώ όμως αυτό το όνειρο τους οδήγησε σε

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

11

πολλές φαντασιώσεις, για τις οποίες σύντομα δέχτηκαν πολλές ειρωνείες, εντούτοις διέθετε το πλεονέκτημα ότι έστρεψε τα βλέμματα προς τον ουρανό. Πεπεισμένοι ότι «ο ουρανός όλος ήταν μια μουσική κλίμακα και ένας αριθμός», δεν αρκέστηκαν στο να αφουγκράζονται την άηχη μουσική των αόρατων ουρανίων σφαιρών, όπου υ­ ποτίθεται ότι ήταν στερεωμένα τα άστρα, αλλά διάνοι­ ξαν με θετικό τρόπο την οδό προς μια μαθηματική α­ στρονομία. Είναι επίσης πιθανό ότι ενθάρρυναν ταυτο­ χρόνως με αμοιβαίο τρόπο τη σπουδή της ακουστικής, εφόσον ένας απ' αυτούς, ο Αρχύτας ο Ταραντίνος, δια­ κρίθηκε, όπως λέγεται, σε αυτόν τον τομέα περί τα τέλη του 5ου αιώνα. Όσον αφορά όμως τα πραγματικά επιτεύγματα των Πυθαγορείων στα μαθηματικά, η ιστορική τεκμηρίωση που διαθέτουμε είναι τουλάχιστον ελλιπής και συχνά ύ­ ποπτη. Ξέρουμε εντούτοις πως αυτοί γνώριζαν —είτε με την αξιολόγηση των συνεπειών του περίφημου θεωρή­ ματος που φέρει το όνομα του Πυθαγόρα είτε με τη φι­ λοσοφική μελέτη της ιδέας τής επ' άπειρον διαιρετότη­ τας— ότι η διαγώνιος τους τετραγώνου είναι άρρητη. Γνωρίζουμε επίσης ότι ο Αρχύτας επέλυσε με θαυμαστό τρόπο το πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου, που απα­ σχολούσε επί μακρόν τους έλληνες μαθηματικούς. Ο Πλάτων συνηγορούσε υπέρ μιας ιδεαλιστικής ή μαθηματικής αστρονομίας εις βάρος της καθαρά παρατηρησιακής αστρονομίας που ασκούνταν κατά την επο­ χή του: «Χρησιμοποιώντας προβλήματα όπως αυτά που έχουμε στη γεωμετρία, μελετάμε την ίδια την αστρονο­ μία» γράφει στην Πολιτεία. Η μαθηματική ιδιοφυΐα του

12

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Εύδοξου (408-355 π.Χ.) εξερεύνησε επιτυχώς αυτήν την οδό. Η ίδια σύσταση γίνεται από τον Πλάτωνα και για το ζήτημα της ακουστικής. Επίσης, γνωρίζουμε ότι ο Τίμαιος προτείνει υπό μορφή μύθου μια κοσμολογία που οι βάσεις της είναι μαθηματικές* ενώ θεωρεί, όπως ο Εμ­ πεδοκλής (490^430 π.Χ.) ότι κάθε φυσική ουσία αποτε­ λείται από τέσσερα απλά σώματα ή στοιχεία (τη φωτιά, τον αέρα, το νερό και τη γη), καθένα από αυτά τα απλά σώματα ταυτίζεται στην πραγματικότητα με ένα κανονι­ κό στερεό: η φωτιά με το τετράεδρο, ο αέρας με το οκτάεδρο, το νερό με το εικοσάεδρο και η γη με τον κύβο. Βλέπουμε εδώ το πρώτο παράδειγμα γεωμετρικής θεω­ ρίας για τη μορφή των αρχέγονων σωμάτων, και την πρώτη απόπειρα αναγωγής σε μαθηματικούς τύπους των μεταβολών που πραγματοποιούνται ανάμεσα τους. Είναι όμως γνωστό ότι οι Έλληνες, οι οποίοι ήταν εξαιρετικά επινοητικοί ώστε να μαθηματικοποιήσουν την αστρονομία, ουδόλως προσέγγισαν την ιδέα της μηχανικής, γεγονός που προκάλεσε μια «τεχνολογική εμπλοκή», για τα αίτια της οποίας υπάρχει εδώ και αιώ­ νες διαμάχη μεταξύ των ιστορικών. Η κατάσταση αυτή οφείλεται, χωρίς αμφιβολία, στο ειδικό βάρος της σκέ­ ψης του Αριστοτέλη, που θεωρούσε τον «υποσελήνιο» κόσμο θέατρο της «γένεσης και της φθοράς» και επι­ φόρτιζε τη φυσική μόνο με το καθήκον να διασαφήσει τη σύνθεση των σωμάτων και τις μεταξύ τους σχέσεις. Με αυτόν τον τρόπο, τα μαθηματικά βρέθηκαν περιορι­ σμένα —κατ' ουσίαν— στην ερμηνεία των κυκλικών κι­ νήσεων των άστρων, κινήσεων τελείων, οι οποίες προ­ σιδίαζαν σε όντα που γίνονταν αντιληπτά ως έχοντα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

13

θεία φύση. Αντιθέτως, η κίνηση των σωμάτων πάνω στη Γη δεν φαινόταν να επιδέχεται μαθηματικοποίηση, διότι αντιμετωπιζόταν, στο πλαίσιο αυτής της κοσμολογίας και των μεταφυσικών προϋποθέσεων της, ως είδος αλ­ λαγής: ως ατελής, μεταβατική «κατάσταση» του σώμα­ τος, που κάτω από την ώθηση μιας εσωτερικής παρόρ­ μησης έτεινε να συναντήσει τη «φυσική θέση» του. Μια θέση «απόλυτη» όπου υποτίθεται ότι έβρισκε και πάλι την ηρεμία, σε αρμονία με την ουσία του (τα βαρέα σώ­ ματα «προς τα κάτω», τα ελαφρά σώματα «προς τα ά­ νω»). Χρειάστηκε το έργο του Γαλιλαίου, στη συνέχεια του Καρτέσιου και μερικών άλλων, για να εγκαταλειφθεί αυτή η ποιοτική «φυσική» και να ανοίξει ο δρόμος για τη μαθηματικοποίηση της κίνησης. Έκτοτε, τα μαθηματικά έμελλε να κατακτήσουν, μαζί με τη σύγχρονη φυσική, μια διαρκώς διευρυνόμενη ε­ πιρροή. Δεν θα πρέπει όμως να υποκύψουμε στην υπερ­ βολική ιδέα περί μιας ιστορικής ασυνέχειας: η επιστη­ μονική επανάσταση του 17ου αιώνα ευνοήθηκε στην πραγματικότητα από την εκ νέου ανακάλυψη του έργου του Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.), το οποίο, όντας φιλοσο­ φικά συγγενές με το έργο του Επίκουρου, σχημάτιζε α­ πό κοινού με αυτό «ένα ήδη μη αριστοτελικό σύμπαν» (Michel Serres), ουδόλως στερούμενο τεχνολογικού δυ­ ναμισμού, στην καρδιά του ελληνικού πολιτισμού. Το φαινόμενο Γαλιλαίος δεν έχει ακόμη αποκαλύψει όλα τα μυστικά του. Ένας ιστορικός της επιστήμης, ο Alexandre Koyre, του αφιέρωσε έναν τεράστιο όγκο ερ­ γασίας στην οποία προβάλλει μια ουσιαστική θέση: αυ-

14

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΉΚΩΝ

τό που προκάλεσε τη γέννηση της σύγχρονης επιστή­ μης δεν ήταν κάποια αιφνίδια προσχώρηση σε μια υπο­ τιθέμενη «πειραματική μέθοδο», αλλά μια φιλοσοφική επανάσταση. Αυτή επέτρεψε να σκεφτεί κανείς (εκ νέου) «το μεγάλο βιβλίο της φύσης», που έχει γραφεί με μα­ θηματικούς όρους. Κάτι τέτοιο προϋπέθετε μια συγκε­ κριμένη αντίληψη και πρακτική των μαθηματικών. Τούτο αποκαλύπτεται σαφέστατα όταν συγκρίνει κα­ νείς αυτά τα μαθηματικά με εκείνα που συνέχιζαν να δε­ σπόζουν στην Κίνα την ίδια εποχή και που την κράτη­ σαν μακριά από τη γέννηση της σύγχρονης επιστήμης, μολονότι οι Κινέζοι είχαν από πολλούς αιώνες αναπτύ­ ξει σε μεγάλο βαθμό τη μαθηματική έρευνα. Έχοντας δεσμούς με την πολιτική εξουσία, οι μαθηματικοί είχαν επιφορτισθεί από τους αυτοκράτορες με την επεξεργα­ σία και την αναμόρφωση του ημερολογίου. Όντας στην υπηρεσία της γραφειοκρατίας, ανέπτυξαν κυρίως ένα θαυμαστό σύνολο γνώσεων που χρησίμευαν στην πρα­ κτική των λογιστών, στην κατασκευή αποθηκών για τα δημητριακά, αναχωμάτων και καναλιών. Τα κινέζικα μαθηματικά, που άνθησαν ιδιαίτερα στις δυναστείες Χαν (206 π.Χ.-220 μ.Χ.) και Σογκ (960-1279 μ.Χ.), ήταν λοιπόν κατ' ουσίαν αριθμητική και άλγεβρα. Ο Joseph Needham έδειξε ότι οι κινέζοι αλγεβριστές βρέθηκαν κατά τον 13ο και 14ο αιώνα στην πρώτη γραμμή, όπως υπήρξαν κατά τους προηγούμενους αιώνες οι άραβες ο­ μόλογοι τους, αλλά και όπως συνέβη επίσης με τους ιν­ δούς μαθηματικούς, που είχαν επινοήσει την τριγωνομε­ τρία πριν από χίλια περίπου χρόνια. Αυτό που χωρίς αμφιβολία έλειψε από τους Κινέζους

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

15

ήταν μια φιλοσοφική ιδέα, η ιδέα ενός «νομοθέτη του σύμπαντος», και συνεπώς των «νόμων της φύσης», και ένας τρόπος μαθηματικής συλλογιστικής: η αφηρημένη και συστηματική παρουσίαση της ευκλείδειας γεωμε­ τρίας που «προσφέρθηκε» στη γαλιλαιική επεξεργασία, προτού μετατραπεί στη συνέχεια σε εμπόδιο για την πρόοδο των μαθηματικών και της φυσικής. Όπως κι αν έχει το πράγμα, από τη στιγμή που μια μηχανική ήρθε στο φως με τον Γαλιλαίο, η ισχύς των μαθηματικών δεν έπαυσε να σαγηνεύει. Τα εμπόδια πά­ νω στα οποία είχαν σκοντάψει οι μηχανικοί της Ανα­ γέννησης φάνηκαν να αίρονται: η ακρίβεια των υπολο­ γισμών άνοιγε τις πόρτες ενός τεχνολογικού σύμπαντος, που έφερε μαζί του μια χωρίς προηγούμενο πρακτική αποτελεσματικότητα και αντίστοιχη αφθονία αγαθών. Ήδη το 1648, ο Καρτέσιος διαμόρφωσε το σχέδιο επαγ­ γελματικών σχολών, όπου οι δάσκαλοι που γνώριζαν τα μαθηματικά και τη φυσική θα μπορούσαν να «δίνουν τα φώτα» τους στους τεχνίτες προκειμένου να παρέχουν ε­ ρεθίσματα και να τελειοποιούν τις επινοήσεις των τε­ λευταίων. Με τα Principia mathematica philosophiae naturalis

[Μαθηματικές αρχές της φυσικής φιλοσοφίας] (1687) του Ισαάκ Νεύτωνα, η ισχύς των μαθηματικών δεν τίθε­ ται πλέον ως ζήτημα προς συζήτηση, αλλά γίνεται α­ ντικείμενο εγκωμίων. Ανακαλύπτεται ότι ο ίδιος θεμε­ λιώδης νόμος έλξης συνδέει τα πιο μικρά και τα πιο μεγάλα σώματα —τα άτομα και τα άστρα— ενός άπει­ ρου σύμπαντος. Αυτός ο νόμος, όμως, κατέστη δυνατό να διατυπωθεί και να καθιερωθεί μόνο χάρη σε ένα με-

16

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

τασχηματισμό των ίδιων των μαθηματικών. Στην πραγ­ ματικότητα, το επίτευγμα που εξασφάλισε την αθανασία στον Νεύτωνα συνίστατο στο ότι έφερε τα μαθηματικά μεγέθη κοντά στη φυσική, τα υπέταξε στην κίνηση, μη θεωρώντας τα πλέον κατά το «είναι» τους, αλλά κατά το «γίγνεσθαι» ή τη «ροή» τους. Εν συντομία, ο Νεύτων κατόρθωσε να επινοήσει για τη φυσική τον διαφορικό λογισμό, ταυτόχρονα με τον μεγάλο αντίπαλο του, τον Leibniz. Οι καμπύλες και τα σχήματα δεν κατασκευάζο­ νταν στο εξής με βάση γεωμετρικά στοιχεία ούτε προέ­ κυπταν στο χώρο από τις τομές γεωμετρικών σωμάτων και επιπέδων, ούτε ακόμη συλλαμβάνονταν ως σχέσεις δομών εκφρασμένες με άμεσο τρόπο από αλγεβρικούς τύπους. Δημιουργούνταν ή περιγράφονταν από την κί­ νηση σημείων και γραμμών στο χώρο. Αυτή η κεφαλαιώδους σημασίας επιτυχία επέβαλε μια συγκεκριμένη ιδέα για τα μαθηματικά και τις σχέσεις τους με τη φυσική, η οποία διατηρήθηκε έως τις αρχές του αιώνα μας. Ένα έργο όπως εκείνο του Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) φανερώνει έναν τρόπο αποθέωσης αυτής της ιδέας. Ο Moshe Flato δείχνει με θαυμάσιο τρό­ πο πώς έχει σήμερα διαλυθεί αυτός ο «νευτωνισμός», πώς ανασυντέθηκε και ενισχύθηκε η ενότητα μαθηματι­ κών και φυσικής, πράγμα το οποίο επιτεύχθηκε όμως στη βάση μαθηματικών που με τη σειρά τους ενοποιή­ θηκαν και αυτά στη βάση «μη νευτώνειων» μελετών. Δείχνει επίσης πώς αυτή η αναθεώρηση διανοίγει νέες και ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες προοπτικές για τη μά­ θη ματικοποίη ση και άλλων επιστημών, όπως είναι η βιολογία ή, από τις κοινωνικές επιστήμες, η πολιτική

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

17

οικονομία. Το σχέδιο αυτό έχει οπωσδήποτε προηγού­ μενο. Όμως οι όροι υπό τους οποίους γίνεται αντιληπτό φαίνονται σχεδόν ολότελα πρωτότυποι. Ας πάρουμε για παράδειγμα τη βιολογία. Η νευτώνεια επιτυχία δεν παρέλειψε να δημιουργήσει άμιλλα στο ε­ σωτερικό αυτής της επιστήμης: ας αναλογιστούμε τον Buffon και τη ρητά νευτώνεια θεωρία του για τα «οργα­ νικά μόρια»! Πολύ σύντομα όμως προσέκρουσε στη δυσ­ κολία της «αυτοοργάνωσης» των έμβιων όντων. Μια δυσκολία που εκφράστηκε θεωρητικώς στο έργο Kritik der Urteilskraft [Κριτική της κριτικής δυνάμεως] (1790) από τον Καντ, ο οποίος είδε στη σύμφυτη τελεολογία του έμβιου όντος ένα εμπόδιο για κάθε «φυσική» αντιμε­ τώπιση του. Ο Auguste Comte και όλοι οι βιταλιστές βιολόγοι, έχοντας κατά νου τις πρωτότυπες σχέσεις που συνδέουν το όλον με τα μέρη του σε έναν ζωντανό ορ­ γανισμό, επέβαλαν τη χρήση των μαθηματικών σε αυ­ τήν την περιοχή. Λίγο αργότερα, όμως, η μοναχική ερ­ γασία του Γκρέγκορ Μέντελ (1822-1884) παρήγαγε την πρώτη επιτυχημένη μαθηματικοποίηση βιολογικού φαι­ νομένου, όχι μόνο διότι είχε την τόλμη να «εφαρμόσει» τη στατιστική στη μελέτη του διαχωρισμού χαρακτή­ ρων διαμέσου των γενεών μπιζελιών στα οποία εξέταζε την κληρονομικότητα, αλλά διότι με τον υπολογισμό αυτό ανέσυρε μια βιολογική δομή που είχε μείνει έως τότε απαρατήρητη. Αυτή η δομή θα αποδοθεί αργότερα συνοπτικά με τον όρο «ένα γονίδιο, ένας χαρακτήρας». Γνωρίζουμε ότι αυτή η παράτολμη στάση κόστισε στον Μέντελ την έλλειψη κατανόησης εκ μέρους των συγχρό­ νων του: χρειάστηκαν πενήντα χρόνια για να ανακαλυ-

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

18

φθούν ξανά οι νόμοι που αυτός είχε προσδιορίσει. Το γεγονός ότι χρησιμοποίησε τα μαθηματικά συνέβαλε, χωρίς αμφιβολία, σ' αυτήν την έλλειψη κατανόησης, αλλά, πάνω απ όλα, υπήρχε μια αμιγώς εννοιολογική δυσκολία. Ο ίδιος ο Δαρβίνος, τη στιγμή που αναστά­ τωνε τη βιολογία εισάγοντας την έννοια της «φυσικής επιλογής», κάλυψε με το κύρος του μια θεωρία της κλη­ ρονομικότητας προερχόμενη από τον 18ο αιώνα, η ο­ ποία δεν ξεχώριζε αυτό το ζήτημα από εκείνο της ανα­ παραγωγής και καθιστούσε τη «γενετική» δομή του Μέντελ κυριολεκτικά αδιανόητη! Πρόκειται άραγε να δούμε στα χρόνια που έρχονται νέους τομείς των επιστημών της ζωής να ανοίγονται στη μαθηματικοποίηση; Θα μπορούσαμε να το διανοηθούμε αν λάβουμε ειδικότερα υπόψη τη σημερινή συνέχιση των ερευνών για τη μορφολογία των ζώων οι οποίες εγ­ καινιάστηκαν από τον Arcy Thompson (1860-1948) στο εξαιρετικό βιβλίο του On Growth and Form [Για την ανά­ πτυξη και τη μορφή], που εκδόθηκε το 1917. Η ανακά­ λυψη των «γονιδίων της ανάπτυξης», που κατασκευά­ ζουν το «σχέδιο» του οργανισμού, κάλλιστα επιβεβαιώ­ νει τη διαίσθηση του Thompson για μια βιολογική δο­ μή η οποία θα συνέδεε την εξέλιξη με κάποιες μαθη­ ματικά μετρήσιμες μορφολογικές παραλλαγές... Εν πάσει περιπτώσει, ο αναγνώστης θα ανακαλύψει σε τούτο το βιβλίο ότι οι καλύτεροι μαθηματικοί προετοιμάζο­ νται από μόνοι τους να συμμετάσχουν σε αυτήν την πε­ ριπέτεια, έστω και αν, ή ιδίως αν αυτό θα συνεπαγόταν την ανατροπή των μαθηματικών προκειμένου να κατα­ νοηθούν αυτά τα νέα αντικείμενα. 9

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

19

Όσον αφορά δε την πολιτική οικονομία, εδώ και πά­ νω από ενάμιση αιώνα δεν κάνει τίποτε άλλο από το να ελπίζει ανοιχτά να μαθηματικοποιηθεί. Πράγματι, μια παρόμοια ιδέα διατυπώνεται γύρω στη δεκαετία του 1830. Ήδη το 1829, ο λογικολόγος William Whewell (1794-1866) προσπαθεί να μεταφράσει τις αρχές του Da­ vid Ricardo σε αλγεβρικά σύμβολα. Όμως, εκείνος που πρώτη φορά διατύπωσε ένα συστηματικό πρόγραμμα αυτού του εγχειρήματος είναι ο γάλλος απόφοιτος της Ecole Polytechnique και φιλόσοφος Antoine-Augustin Cournot (1801-1877) στο έργο του Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des richesses [Έρευ­

νες για τις μαθηματικές αρχές της θεωρίας του πλούτου] (1838). Απορρίπτοντας ως «μεταφυσικά» τα ερωτήματα που έθεσαν οι κλασικοί, Adam Smith και David Ricar­ do, σχετικά με την προέλευση της αξίας, και αντιστρέ­ φοντας τη συλλογιστική τους, ορίζει ως αντικείμενο την αγορά και μόνο, και επαφίεται στα μαθηματικά προκει­ μένου να δώσει στη μελέτη του το χαρακτήρα μιας επι­ στήμης. Ο Cournot δεν επιφέρει καινοτομίες στα μαθη­ ματικά, αλλά αρκείται στην εφαρμογή τους, όπως αυτός τα γνωρίζει (στατιστική και διαφορικός λογισμός), πά­ νω σε ένα αντικείμενο, την «αγορά», η οποία γίνεται α­ ντιληπτή με όρους της μηχανικής και με στόχο ρητά κανονιστικό, την εγκαθίδρυση ή την επαναφορά μιας ι­ δανικής «ισορροπίας». Η οικονομία, ως επιστήμη των ανταλλαγών (Leon Walras), ή επιστήμη των «συναλλα­ γών», έχει παραμείνει έως τις μέρες μας κατακυριευμένη από τον τρόπο σκέψης που αποτέλεσε το εργαλείο με το οποίο διαμορφώθηκαν τα πρώτα μοντέλα της. Ο Mosho

20

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Flato υποδεικνύει τους όρους με τους οποίους θα μπο­ ρούσε στο μέλλον να ανανεώσει την προβληματική της, καθώς και το ρόλο που θα μπορούσαν να διαδραματί­ σουν τα μαθηματικά σε αυτήν την περίπτωση. Θα αφήσω τώρα τον αναγνώστη να απολαύσει την α­ νάγνωση του βιβλίου ενός διακεκριμένου μαθηματικού που είναι με αποφασιστικότητα στραμμένος προς το μέλλον, και που μιλώντας για τα μαθηματικά εκφράζε­ ται για τον κόσμο μας με σαφείς, απλούς και δυναμικούς όρους. Είναι πιθανό ο αναγνώστης να εκπλαγεί επειδή θα χάσει τα οικεία σημεία αναφοράς του: αριθμητική, γεωμετρία, άλγεβρα, ανάλυση... Εν τοιαύτη περιπτώσει, όμως, εκείνο που τα εξαφανίζει τώρα, έπειτα από πολλές αποτυχημένες απόπειρες στην ιστορία τους, είναι τα ίδια τα μαθηματικά. Κλονίζονται οι αντιλήψεις σας; Μή­ πως αυτό δεν είναι το πιο φανερό σημάδι για τη συγγέ­ νεια ανάμεσα σε μαθηματικά και φιλοσοφία, που υπο­ δεικνύεται από τον Moshe Flato; Dominique LECOURT

I Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΕ! ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΡΡΟΕΣ Είτε την εκθειάζει κανείς είτε απλώς είναι ικανοποιημέ­ νος με αυτήν, είτε την οικτίρει είτε καταθέτει τα όπλα μπροστά της, η «εξουσία» των μαθηματικών είναι σήμε­ ρα μια αδιαμφισβήτητη, μαζική και πολύμορφη πραγ­ ματικότητα. Μιλάμε για την αποτελεσματικότητα τους, αλλά και για την επικράτεια των μαθηματικών, αν όχι για τον επεκτατισμό τους. Η στατιστική κυριαρχεί σε ολόκληρους τομείς της κοινωνικής ζωής: διαμέσου των δημοσκοπήσεων κατέκτησε τον πολιτικό κόσμο υπο­ δουλώνοντας τον, απειλώντας την ίδια την πολιτική σκέ­ ψη και απογυμνώνοντας τη δημοκρατική πρακτική των εκλογών. Πράγματι, ο ψηφοφόρος παρακινείται δολίως να ψηφίσει υπέρ εκείνου που προηγείται στις δημοσκο­ πήσεις, προκειμένου να βρεθεί με το μέρος του ισχυρό­ τερου, ακριβώς όπως παίζει στις ιπποδρομίες το φαβορί για να βρεθεί με το μέρος του καλύτερου, έστω και αν γνωρίζει ότι έτσι θα κερδίσει πολύ λιγότερα. Η στατι­ στική έχει καθιερωθεί εδώ και πολύ καιρό στον κόσμο των ασφαλίσεων, ενώ στοιχειώνε —και στοιχειώνει ακό­ μη— τα τραπέζια των τυχερών παιχνιδιών. Η πληροφο­ ρική, ιδεολογικά θριαμβεύον υποπροϊόν των μαθηματι-

22

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

κών του 20ού αιώνα, συνέβαλε στη γενική αναμόρφωση των πρακτικών διοικητικής διαχείρισης, δημόσιας και ιδιωτικής, καθώς και σε μια πραγματική επανάσταση στη βιομηχανική, ακόμη και στην καλλιτεχνική παρα­ γωγή. Αυτή η ισχύς προκαλεί έντονη έλξη και συχνά από­ γνωση. Έχει πράγματι διαδοθεί και επιβληθεί —όχι α­ δικαιολόγητα— η άποψη ότι το να κατέχει κανείς καλά τα μαθηματικά είναι κατά τρόπο αμετάκλητο το κλειδί, η μόνη αληθινή εγγύηση για την κοινωνική επιτυχία. Οι γονείς έχουν πειστεί για αυτό, και τα παιδιά είναι αναγκασμένα, θέλοντας και μη, να υποτάσσονται στις επιπτώσεις που συνεπάγεται αυτή η πεποίθηση. Είδαμε λοιπόν μέσα σε λίγα χρόνια να αναλαμβάνουν τα μαθη­ ματικά το ρόλο του σχεδόν αποκλειστικού κριτηρίου σχολικής επιλογής. Η διαδικασία αυτή είναι σήμερα αρκετά γνωστή, ώστε να μη χρειάζεται να επιμείνω σ' αυτό το θέμα. Θα πρέπει εντούτοις να σημειώσουμε ότι το φαινόμενο δεν περιορίζεται στη δευτεροβάθμια εκ­ παίδευση —την πιο εμφανή περίπτωση—, αλλά αγγίζει σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους τα πρώτα έτη των πανεπιστημιακών σπουδών, ακόμη και στον τομέα των κοινωνικών επιστημών. Στα οικονομικά, αλλά και στην κοινωνιολογία ή την ψυχολογία, οι φοιτητές οφείλουν να αφομοιώσουν μια σημαντική δόση μαθηματικών κα­ τά τα πρώτα έτη φοίτησης τους, χωρίς βεβαίως να μπο­ ρούν, τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή, να διακρίνουν καθαρά τη χρησιμότητα μιας τέτοιας μάθησης. Γι' αυτό εξάλλου είναι ακόμη λυπηρότερο το γεγονός ότι αρκετά συχνά αυτή η γνώση, που αποκτήθηκε με μεγάλο κόπο,

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

23

δεν αξιοποιείται στη συνέχεια των σπουδών τους, εν μέ­ ρει επειδή σ' αυτούς τους τομείς οι ίδιοι οι δάσκαλοι δεν την κατέχουν αρκετά. Θα πρέπει τέλος να προσθέσουμε ότι αυτή η κατά­ σταση είναι ιδιαίτερα οξυμένη στη Γαλλία, όπου μια υπερφορμαλιστική αντίληψη των μαθηματικών προσφέ­ ρεται ιδιαίτερα για αυτήν τη διεστραμμένη χρήση, μια αντίληψη κληρονομημένη από τη μεγάλη σχολή των δεκαετιών του 1940 και 1950 η οποία έχει προσλάβει συλλογικά το ψευδώνυμο «Μπουρμπακί». Ο όμιλος «Μπουρμπακί», που αρχικά ήταν μια φάρσα των απο­ φοίτων της Ecole Normale, είναι μια ένωση που την α­ ποτελούν ορισμένοι από τους καλύτερους αποφοίτους της φημισμένης Ecole Normale Superieure (η ηλικία τους δεν πρέπει να υπερβαίνει τα 50 έτη και η επιλογή τους γίνεται από αυτούς που είναι ήδη μέλη του ομί­ λου). Ο κύριος στόχος αυτής της ένωσης ήταν να ξανα­ γράψει όλη τη μαθηματική επιστήμη (ο ενικός είναι η­ θελημένος), ξεκινώντας από το γενικότερο και πηγαίνο­ ντας προς το ειδικότερο, σε μια γραμμική τάξη που είχε γίνει κάπως δενδροειδής από την ίδια τη δυναμική των πραγμάτων. Οι δημοσιεύσεις του μυθικού Νικολά Μπουρμπακί υποτίθεται ότι αρχικά προέρχονταν από το Πανεπιστήμιο του Νανκάγο, επειδή τα βασικά ιδρυτικά μέλη του ομίλου ήταν καθηγητές στο Νανσύ και το Σικά­ γο. Αυτές οι εργασίες είναι συλλογικές και συγκροτή­ θηκαν στη διάρκεια μιας πολύ μακράς διαδικασίας ωρί­ μανσης, στην οποία συμπεριλαμβάνονταν και εμβριθείς συζητήσεις που γίνονταν κατά τη διάρκεια «συναντή­ σεων απομόνωσης» στη γαλλική επαρχία Οβέρν. Μια

24

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

παρόμοια «εγκυκλοπαιδική» αντίληψη δεν στερείται κινδύνων για την έρευνα, ιδιαίτερα σε τομείς που τελούν υπό καθεστώς εξελισσόμενης ανάπτυξης. Ο όμιλος φαί­ νεται εξάλλου ότι αντιμετωπίζει ολοένα περισσότερες δυσκολίες στο να παρακολουθεί τον πλούτο της ανά­ πτυξης των μαθηματικών στη σύγχρονη εποχή, και σή­ μερα βρίσκεται μακρύτερα από το στόχο του από ό,τι στα πρώτα του βήματα. Εντούτοις, τα έργα του εξακο­ λουθούν να αποτελούν βιβλία αναφοράς, που συχνά εί­ ναι χρήσιμα, ενώ οι ενδιαφέρουσες συνοπτικές ιστορι­ κές σημειώσεις του είναι βατές και για τους μη ειδικούς. Ο πρώτος κίνδυνος που περιέχει μια τέτοια αντίληψη για τα μαθηματικά συνίσταται στο ότι ενδέχεται να μην επιτρέψει ποτέ σε έναν μεγάλο αριθμό μαθητών και φοι­ τητών να διαμορφώσει μια σωστή εικόνα για το τι μπο­ ρεί να είναι η θεωρητική δραστηριότητα στην έρευνα των μαθηματικών. Η εικόνα που αντικρίζουν είναι ά­ καμπτη και άκρως ελιτίστικη. Βεβαίως, η κατάσταση εμπεριέχει και έναν άλλο κίνδυνο: δεν είναι καθόλου σίγουρο ότι οι μαθητές που θεωρούνται «προικισμένοι στα μαθηματικά», είναι ακριβώς εκείνοι που εμφανίζουν τις μεγαλύτερες πραγματικές ικανότητες σ' αυτόν τον τομέα. Ο προσανατολισμός του γαλλικού εκπαιδευτικού συστήματος, από τον δεύτερο κύκλο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης έως τη φυσική απόληξη του, τα προπαρα­ σκευαστικά τμήματα για τις «grandes ecoles» [πανεπι­ στημιακές σχολές της Γαλλίας με αυστηρά κριτήρια ε­ πιλογής], αποτελεί χαρακτηριστικό δείγμα αυτής της τά­ σης που είναι θεμελιωμένη στην επιλογή με κριτήριο τα μαθηματικά, η οποία έχει προκαλέσει στη μεγάλη

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

25

πλειοψηφία των μαθητών την τόσο ενοχλητική για το δημιουργικό πνεύμα ανάπτυξη της ξηράς αποστήθισης και συσσώρευσης γνώσεων. Πόσα από αυτά τα παιδιά που θεωρούνται προικισμένα, και μάλιστα σε τέτοιο βαθμό ώστε η λαϊκή μυθολογία να τους αποδίδει το ση­ μάδι της μεγαλοφυίας, δεν είναι στην πραγματικότητα τίποτε άλλο από υπάκουα πνεύματα τα οποία εξασκούν σε ιδιαίτερα μεγάλο βαθμό την ικανότητα απομνημό­ νευσης που διαθέτουν (απομνημόνευσης τύπων και, στην καλύτερη περίπτωση, εννοιών)! Νά λοιπόν πού εν­ τοπίζεται το σοβαρό λάθος: δεν είναι μόνο ότι τρομο­ κρατούνται χωρίς λόγο αρκετά άτομα που θα είχαν, α­ ναμφίβολα, άλλα ταλέντα εξίσου αξιόλογα, αλλά στειρώνεται και η δημιουργικότητα πολλών από εκείνους που θα μπορούσαν να γίνουν πραγματικοί μαθηματικοί.

ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΈς ΑΥΤΑΠΆΤΕς

Όταν όμως αναφέρεται κανείς στην επιρροή των μαθη­ ματικών, δεν μιλά μόνο για κάποιο κοινωνικό και πολι­ τισμικό φαινόμενο, αλλά αναφέρεται και στην εκπλη­ κτική επιβολή των μαθηματικών πάνω στις άλλες επι­ στήμες, και πρωταρχικά στη φυσική. Μ' αυτήν την επι­ στήμη τα μαθηματικά διατηρούν από τον 17ο αιώνα μια σχέση τόσο μεγάλης συγγένειας, ώστε πολλοί επιστή­ μονες μέχρι τις αρχές του αιώνα μας ήταν, ταυτοχρόνως ή εναλλάξ, φυσικοί και μαθηματικοί. Η σαγήνευση από αυτήν την «εξουσία» είναι τόσο παλιά όσο και η σύγχρονη επιστήμη. Οι μεγαλύτεροι φιλόσοφοι, αρχής

26

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΉΚΩΝ

γενομένης από τον Καρτέσιο, αποπειράθηκαν να επιλύ­ σουν αυτό που ήδη από το έργο του Γαλιλαίου εμφανιζό­ ταν ως αδιανόητο αίνιγμα. Νομίζω πως η τρέχουσα εξέ­ λιξη των μαθηματικών απαιτεί να ξαναδούμε αυτό το ζή­ τημα με πνεύμα απροκατάληπτο. Δεν είναι παράλογο να ελπίζει κανείς ότι θα δει τα πράγματα πιο καθαρά. Εντούτοις, για να υποβληθεί κανείς σε αυτήν τη δια­ νοητική άσκηση, θα πρέπει να είναι πεπεισμένος ότι όντως υπάρχει μια ζωντανή έρευνα στα μαθηματικά, πράγμα που προφανώς διαφεύγει από τους αδαείς, οι ο­ ποίοι σε τούτο το σημείο γίνονται θύματα παραπλανη­ τικών ιδεών. Πράγματι, σε αντίθεση με άλλους επιστη­ μονικούς κλάδους, στους οποίους χαιρετίζονται με ζήλο οι πρόοδοι ή οι επαναστάσεις, (όπως π.χ. στις φυσικές επιστήμες ή στις επιστήμες της ζωής), έχει διαδοθεί και επιβληθεί η άποψη ότι τα μαθηματικά ζουν μια ήσυχη και σίγουρα συντηρητική ζωή. Ακόμη, πιστεύεται ότι οι στιγμές δημιουργικής αναταραχής ανήκουν οριστικά στο παρελθόν, και ότι δεν υπάρχουν πια «θεωρήματα προς ανακάλυψη». Πολλοί είναι οι λόγοι που συμβάλλουν στη συντή­ ρηση αυτής της χονδροειδούς πλάνης. Ο πρώτος συ­ ναρτάται με το γεγονός ότι σήμερα ταυτίζουμε την έ­ ρευνα με το έργο πολυάριθμων ομάδων, έργο που συντε­ λείται σε εργαστήρια εφοδιασμένα με βαρύ εξοπλισμό και απαιτεί πολυδάπανες επενδύσεις. Η εικόνα της «Big Science», της φυσικής των σωματιδίων, της πυρηνικής φυσικής ή της διαστημικής έρευνας δεσπόζει στο μυαλό μας. Όμως, τίποτα τέτοιο δεν υπάρχει στα μαθηματικά: οι άνθρωποι εργάζονται εκ παραδόσεως συχνά μόνοι

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

27

τους, σπανίως περισσότεροι από δύο, και εν γένει χωρίς να χρησιμοποιούν κατά την ερευνητική εργασία καθ' εαυτή κανένα άλλο εξοπλισμό εκτός από χαρτί, μολύβι και μια βιβλιοθήκη. Παρατηρούμε, για παράδειγμα, ότι η ύψιστη τιμή για τους άλλους επιστημονικούς κλάδους, το βραβείο Νό­ μπελ, απονέμεται κατά κανόνα σε περισσότερους του ε­ νός ερευνητές για μια κοινή εργασία, ή στους επικεφα­ λής των ομάδων. Στα μαθηματικά, αντιθέτως, τα μετάλ­ λια Φιλντς, που αντιπροσωπεύουν το ισοδύναμο του βραβείου Νόμπελ, έχουν στην πράξη πάντοτε δοθεί μό­ νο σε μεμονωμένα άτομα. Ακόμη όμως και στις πολύ σπάνιες εξαιρέσεις, δεν επιβραβεύτηκαν ομαδικές εργα­ σίες, αλλά μάλλον δύο ερευνητές που οι έρευνες τους έτυχε, σε μια δεδομένη στιγμή, να αφορούν το ίδιο α­ ντικείμενο. Μια άλλη εσφαλμένη εικόνα έρχεται να επιδεινώσει ακόμη περισσότερο την πλάνη. Συνήθως αντιλαμβανό­ μαστε τον μαθηματικό ως έναν απλό δεξιοτέχνη των υ­ πολογισμών: σύμφωνα με το σχολικό πρότυπο, φανταζό­ μαστε ότι είναι τόσο πιο «έξυπνος», όσο πιο γρήγορα υπολογίζει από μνήμης. Στην περίπτωση αυτή, δύσκολα αντιλαμβάνεται κανείς τι θα μπορούσε να είναι μια ε­ ρευνητική δραστηριότητα, εφόσον θα συσχετιζόταν α­ πλώς και μόνο με μια άσκηση διανοητικής ευστροφίας, την οποία οι σύγχρονοι υπολογιστές, αν χρησιμοποιού­ νταν με τον κατάλληλο τρόπο, θα μπορούσαν να επιτελέ­ σουν πολύ ταχύτερα και αποδοτικότερα. Όταν όμως ενδιαφερθεί κανείς για τη ζωντανή πρα­ κτική στην οποία εμπλέκονται οι μαθηματικοί σήμερα,

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

28

τότε διακρίνει σαφέστατα ότι αυτές οι δύο εικόνες είναι στην πραγματικότητα καρικατούρες χωρίς πραγματική βάση. Πρώτα απ όλα, διαπιστώνει ότι υπάρχουν ολοέ­ να περισσότερα προβλήματα που η αντιμετώπιση τους απαιτεί τη συνεργασία περισσοτέρων ειδικών. Η συνερ­ γασία αυτή είναι ενίοτε ηθελημένη, σκόπιμη και οργα­ νωμένη στο πλαίσιο της εργασίας μέσα σε ομάδα. Αρ­ κετά συχνά όμως, είναι αποτέλεσμα κάποιου τύπου σύγ­ κλισης, όπου ο καθένας φέρει την πέτρα του για το οικοδόμημα σε τομείς που μπορεί να είναι πολύ διαφο­ ρετικοί, έως ότου ένας πανέξυπνος αρχιτέκτων φτιάξει απ' αυτό το υλικό μια πρωτότυπη κατασκευή, όπως συνέ­ βη πρόσφατα με το παράδειγμα της εικασίας του ΜΟΓdell, που η απόδειξη της απέφερε το μετάλλιο Φιλντς στον Gerd Fallings το 1986. Αυτή η εικασία συνεπάγε­ ται μια ασθενέστερη μορφή του «θεωρήματος του Fermat», σύμφωνα με το οποίο η εξίσωση x +y - ζ δεν έχει λύσεις ακέραιους θετικούς αριθμούς για κάθε η ακέραιο και αυστηρά μεγαλύτερο του 2. (Στην ασθενέστερη μορφή του, ο αριθμός των λύσεων αυτού του τύπου είναι πεπερασμένος, ενώ για η = 2 υπάρχουν άπειρες λύσεις. Το «θεώρημα» έχει αποδειχθεί μόνο για συγκεκριμένες οικογένειες ακεραίων η.) Αξίζει πράγματι τον κόπο να σημειώσουμε ότι τα μα­ θηματικά υπέστησαν από την αρχή του αιώνα μας μια διαδικασία εσωτερικής εξειδίκευσης, που δεν υστερεί σε τίποτε έναντι εκείνης που επήλθε στις άλλες επιστήμες, και ειδικότερα στη φυσική. Αυτή η εξειδίκευση στα­ διακά άμβλυνε τις κλασικές διαιρέσεις που όλοι (ακόμη και τα μέλη της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών) γνω5

n

π

71

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

29

ρίζουν ανάμεσα σε άλγεβρα, ανάλυση, γεωμετρία και μηχανική. Εξυπακούεται ότι οι όροι αυτοί χρησιμο­ ποιούνται ακόμη από συνήθεια, αλλά πολλές ειδικότη­ τες που σήμερα έχουν αναγνωριστεί υπερπηδούν τις πα­ λιές διαχωριστικές γραμμές. Ας παραθέσουμε μόνο ένα παράδειγμα: υπάρχει σήμερα μια «αλγεβρική γεωμε­ τρία», η οποία έχει προκύψει από τις εργασίες του Ale­ xander Grothendieck, ενός από τους μεγαλύτερους μα­ θηματικούς του αιώνα που εργάστηκε στη Γαλλία. Θα μπορούσαμε όμως να αναφέρουμε και πολλούς άλλους τομείς που προήλθαν από την κατεδάφιση των παλιών φρουρίων. Ο Jean Dieudonne, ένα εγκυκλοπαιδικό πνεύ­ μα και ένας από τους πατέρες-θεμελιωτές του Μπουρμπακί, σε ένα αμφιλεγόμενο άρθρο του που δημοσιεύ­ τηκε πριν από μερικά χρόνια, έδωσε μια ταξινόμηση των διαφόρων κλάδων των σύγχρονων μαθηματικών, α­ ντάξια του σουηδού φυσιοδίφη Λινναίου, κατατάσσο­ ντας τους σε «κατηγορίες» φθίνουσας —κατά την άποψη του— αξίας. Παρόλο που αυτή η εξειδίκευση προήλθε από μια τέ­ τοια κατεδάφιση, είχε το συνηθισμένο σε τέτοιες κατα­ στάσεις μειονέκτημα να ξανακλείνει κάθε νέο τομέα στον εαυτό του και να καθιστά δυσχερή, αν όχι αδύνα­ τη, την επικοινωνία μεταξύ ερευνητών που δούλευαν προηγουμένως στους διάφορους τομείς. Βεβαίως, βλέ­ πουμε να ανακύπτουν, σε αύξοντα αριθμό, νέα προβλή­ ματα στο σημείο συνάντησης αυτών των τομέων, που μέχρι πριν από λίγο ήταν αυστηρά περιχαρακωμένοι. Έτσι, βλέπουμε να οργανώνεται σε κάποιο συγκεκριμέ­ νο σημείο η συνεργασία μεταξύ ενός ειδικού της άλγε-

30

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

βρας, ενός ειδικού της ανάλυσης και ενός ειδικού της τοπολογίας. Το αντικείμενο μιας τέτοιας συνεργασίας είναι συχνά πολύ σημαντικές μαθηματικές εικασίες, που βρίσκονται στον πυρήνα της προόδου των μαθηματι­ κών. Αν θέλει κανείς ένα καλό παράδειγμα, θα μπορού­ σαμε να επικαλεστούμε τις εργασίες σχετικά με τον «τύ­ πο του δείκτη» (index formula), ο οποίος ενώ είναι ση­ μαντικός στην ανάλυση βρίσκεται στην πραγματικότη­ τα τοποθετημένος στη συνοριακή περιοχή μεταξύ ανάλυσης και τοπολογίας. Η επιτυχία αυτών των εργα­ σιών οφείλεται στη συνεργασία πολλών ειδικών, στην ομαδική δουλειά. Έτσι λοιπόν, εδώ και σαράντα ή πενή­ ντα χρόνια συσσωρεύονται παραδείγματα τέτοιων συλ­ λογικών εργασιών, έστω και αν το ουσιώδες μέρος των μαθηματικών δραστηριοτήτων εξακολουθεί να αποτε­ λείται από έρευνες που γίνονται κατά μόνας. Ό σ ο για τους υπολογισμούς, θα πρέπει να είμαστε σαφείς. Βεβαίως, δεν μπορεί να είναι κανείς μαθηματικός χωρίς να κάνει υπολογισμούς. Ένας μαθηματικός, από τη φύση και τον προορισμό του, δεν είναι δυνατό να τους αποφύγει. Ας συμφωνήσουμε όμως για το ποια εί­ ναι η σημασία αυτής της λέξης: ο μαθηματικός δεν κά­ νει μόνο αριθμητικούς ή αλγεβρικούς υπολογισμούς και υπολογισμούς για την επίλυση εξισώσεων, εν συντομία δηλαδή υπολογισμούς παρόμοιους με αυτούς που πραγ­ ματοποιεί και ένας μηχανικός. Οι υπολογισμοί του α­ ναφέρονται σε αφηρημένα, γενικά αντικείμενα. Ακόμη, οι υπολογισμοί αυτοί γίνονται ολοένα περισσότερο α­ φηρημένοι και αναφέρονται σε αντικείμενα ολοένα πε­ ρισσότερο γενικά: λειτουργώντας αφαιρετικά σε σχέση

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

31

με τους κανόνες υπολογισμού και τα αντικείμενα από τα οποία τροφοδοτούνται οι συνήθεις αριθμητικοί υπολο­ γισμοί, επιτρέπουν την εγκαθίδρυση νέων σχέσεων ανά­ μεσα στα αντικείμενα υπό μορφή νέων θεωρημάτων (σε τούτο το στάδιο, οι υπολογισμοί δεν διαφοροποιούνται από μια διανοητική άσκηση). Θα δούμε στη συνέχεια ότι αυτή η αύξουσα αφαίρεση και γενίκευση σηματοδο­ τούν μια δυναμική κίνηση προς την ενοποίηση, τις φι­ λοσοφικές συνέπειες της οποίας οφείλουμε να σταθμί­ σουμε πολύ προσεκτικά. Ουδείς λόγος υπάρχει λοιπόν να αρνηθούμε την ύ­ παρξη μιας αυθεντικής έρευνας στα μαθηματικά, η ο­ ποία έχει τα δικά της χαρακτηριστικά και σήμερα είναι εξαιρετικά ακμαία. Όχι μόνο μπορούμε να δείξουμε ότι αυξάνεται με ιδιαίτερα χαρακτηριστικό τρόπο ο αριθμός των δημοσιεύσεων, αλλά μπορούμε να πούμε ότι τα μα­ θηματικά υφίστανται κατά βάθος σημαντικές ανατροπές. Η εμφάνιση αυτών ακριβώς των ανατροπών ήταν το κί­ νητρο για την αναμόρφωση, ήδη από τη δεκαετία του 1960, της διδασκαλίας των μαθηματικών στη δευτερο­ βάθμια και εν συνεχεία στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Αυτή η αναμόρφωση πήρε το όνομα «μοντέρνα μαθημα­ τικά» και πέρασε πολλές παιδικές ασθένειες (επ' αυτού θα επανέλθουμε παρακάτω). Κατέστη αναγκαίο να εξα­ σκηθεί το πνεύμα των μαθητών, ήδη από την πιο μικρή ηλικία, στη διανοητική γυμναστική που απαιτεί η έρευ­ να στα μαθηματικά και που είναι χρήσιμη σε πολλούς άλλους τομείς. Κάτι τέτοιο είναι δυνατό και υπογραμμί­ ζεται από το γεγονός ότι σε μερικές ξένες χώρες, όπου το εκπαιδευτικό σύστημα το επιτρέπει, εμφανίζονται ε-

32

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ξαιρετικοί μαθητές που ενίοτε αποκτούν το διδακτορικό τους πριν φτάσουν στη νόμιμη ηλικία: νά λοιπόν που το νεαρό της ηλικίας και η απουσία ωριμότητας δεν απο­ τελούν μειονεκτήματα για μια συγκεκριμένη μορφή μα­ θηματικής σκέψης.

Η ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Η μαθηματική έρευνα, αν θέλουμε να τη χαρακτηρίσου­ με με γενικούς όρους, συνίσταται αφενός στην προσ­ πάθεια να ανακαλυφθούν νέες σχέσεις ανάμεσα σε ήδη γνωστά μαθηματικά αντικείμενα και αφετέρου στην από­ πειρα να φανταστεί κανείς καταστάσεις ή προβληματι­ κές στις οποίες τα γνωστά αντικείμενα δεν επαρκούν για τη διατύπωση των προβλημάτων. Διακρίνουμε, βέβαια, ότι η πρώτη όψη μιας τέτοιας έρευνας αντιστοιχεί κατ' αρχάς σε μια εσωτερική εργασία των μαθηματικών πά­ νω στον εαυτό τους, η οποία παρακινείται από τις ίδιες δυσκολίες που τα εμποδίζουν να προχωρήσουν μπρο­ στά. Με πάρα πολλά παραδείγματα θα μπορούσαμε να δείξουμε ότι αυτή η όψη της μαθηματικής εργασίας έχει ύψιστη σημασία. Το πιο φημισμένο παράδειγμα είναι στις μέρες μας, χωρίς αμφιβολία, εκείνο που αφορά τη θεωρία συνόλων, και το οποίο έδωσε τη δυνατότητα να διατυπωθεί, και να επιλυθεί, το «παράδοξο του Russell» (βλ. παρακάτω) στο Principia mathematica [Μαθηματικές αρχές], ένα έργο του ίδιου του Bertrand Russell γραμμέ­ νο στις αρχές του αιώνα σε συνεργασία με τον Alfred North Whitehead. Εδώ, μια εσωτερική απαίτηση ακρι-

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

33

βείας αντιπροσωπεύει το θεμελιώδες κίνητρο της έρευ­ νας. Η έρευνα στα μαθηματικά, όμως, μπορεί να αναπτυ­ χθεί επίσης με την ώθηση που της δίνουν και άλλοι ε­ πιστημονικοί κλάδοι. Μπορούμε μάλιστα να πούμε ότι η φυσική διαδραμάτισε, και διαδραματίζει ακόμη, απο­ φασιστικό ρόλο για αυτήν την ανάπτυξη, μολονότι είναι δυνατό να σκεφτούμε και να ελπίσουμε ότι και άλλοι επιστημονικοί κλάδοι θα μπορέσουν να συμβάλουν προς αυτήν την κατεύθυνση στο άμεσο ή το απώτερο μέλλον. Ας αναλογιστούμε το μαθηματικό έργο του Νεύ­ τωνα: γνωρίζουμε ότι το αφετηριακό πρόβλημα δεν α­ ποτελούσε με κανέναν τρόπο ένα εσωτερικό ζήτημα στο πεδίο των μαθηματικών, αλλά ένα πρόβλημα της φυσι­ κής. Στην προσπάθεια του να διατυπώσει ορθά τους νό­ μους της φυσικής, ο Νεύτων αντιλήφθηκε ότι ήταν αδύ­ νατο να το κατορθώσει χωρίς ένα νέο μαθηματικό εργα­ λείο. Έτσι, αναγκάστηκε να επινοήσει τον διαφορικό λογισμό. Γενικότερα, η κλασική φυσική δημιούργησε την ανάγκη να διατυπωθούν πολυάριθμα μαθηματικά προβλήματα. Εξαιτίας της απουσίας ενός φορμαλισμού ικανού να επιλύσει το ένα ή το άλλο νέο πρόβλημα που ετίθετο στη φυσική, προέκυψε η ανάγκη να εμπλουτίζο­ νται και να αναπτύσσονται διαρκώς τα μαθηματικά. Εί­ ναι προφανές ότι τέτοιες περιπτώσεις προκύπτουν συ­ χνά, ακόμη και σήμερα. Εκείνο όμως που γνωρίζουμε λιγότερο είναι ότι εδώ και μερικά χρόνια —οκτώ ή δέκα το πολύ— εμφανί­ στηκε ένας νέος τρόπος μαθηματικής σκέψης, που αντι­ στρέφει κατά κάποιον τρόπο το εγχείρημα. Αυτός ο τρό-

34

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΏΚΩΝ

πος σκέψης δημιούργησε κάτι που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε —σε αντιδιαστολή με τον κλασικό όρο «μα­ θηματική φυσική»— «φυσική μαθηματική επιστήμη». Σύμφωνα με αυτόν τον τρόπο σκέψης, ο φορμαλισμός και οι μέθοδοι της φυσικής μάς βοηθούν να μελετήσου­ με προβλήματα και να διατυπώσουμε αμιγώς μαθηματι­ κές θεωρίες. Μπορούμε να πούμε ότι αυτή η καινοτομία έχει μέλλον και πρόκειται να συμβάλει στην κατάργηση των συνόρων ανάμεσα στη φυσική και τα μαθηματικά, που ήταν αρκετά σαφή από το τέλος του προηγούμενου αιώνα έως τις μέρες μας. Ήδη υπάρχουν πολλά παρα­ δείγματα που δείχνουν πώς μπορεί κανείς να πραγματευ­ τεί ένα μαθηματικό πρόβλημα με τη βοήθεια ενός φορ­ μαλισμού δανεισμένου από τη φυσική, ή ακόμη πώς χρησιμοποιούνται οι τύποι της φυσικής για να αποδει­ χθούν μαθηματικά θεωρήματα. Ας δούμε ένα τέτοιο πα­ ράδειγμα, χωρίς φυσικά να υπεισέλθουμε σε τεχνικές λεπτομέρειες: η θεωρία πεδίου, η οποία είναι τόσο ση­ μαντική για τη φυσική, εδραιώθηκε διά της προσφυγής στα μαθηματικά, γεγονός που επέτρεψε, για παράδειγμα, τον προσδιορισμό της κίνησης του ενός ή του άλλου σωματιδίου υπό δεδομένες συνθήκες, αλλά και πολλά άλλα πράγματα. Έχουμε εδώ να κάνουμε με την παρα­ δοσιακή διαδρομή η οποία, στη σύγχρονη επιστήμη, ο­ δηγεί από τη φυσική στη φυσική διαμέσου των μαθημα­ τικών. Νά όμως που σήμερα προσφεύγουμε στη θεωρία πε­ δίου προκειμένου να επιλύσουμε ορισμένα ζητήματα που προκύπτουν αποκλειστικά και μόνο από τα μαθημα­ τικά, όπως εκείνα της θεωρίας των κόμβων (τοπολογική

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

35

ταξινόμηση των κόμβων και αναλλοίωτα που συνδέο­ νται με αυτούς). Ακόμη, από τη θεωρία πεδίου αντλούμε έμπνευση προκειμένου να προαγάγουμε τις μαθηματικές θεωρίες, όπως εκείνη της άλγεβρας τελεστών. Επιλέγε­ ται λοιπόν ο αντίστροφος δρόμος: από τα μαθηματικά στα μαθηματικά περνώντας μέσα από τη φυσική, έστω και αν πρόκειται βεβαίως για μια εξαιρετικά μαθηματικοποιημένη φυσική. Τα τελευταία μετάλλια Φιλντς, αρ­ χής γενομένης από εκείνο του Alain Connes το 1982, εικονογραφούν πειστικά αυτήν τη νέα τάση. Ένας άλλος τρόπος παρουσίασης με απλούς όρους της ίδιας κατάστασης είναι ο ακόλουθος: θα μπορούσα­ με να πούμε ότι τα μαθηματικά υποδιαιρούνταν ανέκα­ θεν σε δύο πολύ διαφορετικούς τύπους, οι οποίοι στο εσωτερικό των μαθηματικών αντιστοιχούσαν σε δύο ξεχωριστούς τρόπους σκέψης. Ο πρώτος τύπος αντι­ στοιχεί σε μια αναλυτική σκέψη που αναφέρεται στο συνεχές και διατηρεί προνομιακή σχέση με τη μηχανι­ κή. Ας θεωρήσουμε ότι πρόκειται για κάποιον «νευτώνειο» μαθηματικό ο οποίος, ξεκινώντας από διαφορικές εξισώσεις, μπορεί πάντοτε να φανταστεί ένα μηχανικό μοντέλο που αποτελεί το υπόστρωμα της σκέψης του. Από την άλλη πλευρά, ο μαθηματικός του δεύτερου τύ­ που δεν ασχολείται με το συνεχές , αλλά με το διακριτό, όπως συμβαίνει κυρίως στη θεωρία αριθμών. Θα άρμοζε να τον ονομάσουμε «πυθαγόρειο»; Τη μέριμνα για τη σχετική απόφαση θα την αφήσω στους ιστορικούς των επιστημών και σε ορισμένους φιλοσόφους που ενδιαφέ­ ρονται για αυτά τα ζητήματα. Σε κάθε περίπτωση όμως, η σκέψη ενός τέτοιου μαθηματικού δεν βρίσκει υπο-

36

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

στηρίγματα σε ένα μηχανικό μοντέλο. Έτσι εμφανίζε­ ται «περισσότερο αφηρημένη» και απαιτεί νέες διαισθη­ τικές ικανότητες, όταν θέλει κανείς να αποκτήσει μια εικόνα των φυσικών μοντέλων που θα μπορούσαν να α­ νταποκρίνονται σε εννοιολογικές επεξεργασίες του. Βεβαίως, αυτοί οι δύο τρόποι σκέψης διατηρούσαν α­ νέκαθεν, ιστορικά, στενές σχέσεις. Δεν πρέπει να φα­ νταστούμε μια παράδοση διασπασμένη σε δύο εντελώς ξεχωριστές «πορείες», μια σύγχρονη εκδοχή της παρα­ δοσιακής διαίρεσης ανάμεσα σε άλγεβρα και ανάλυση, ή εκείνης (που ανάγεται στην αρχαιότητα) ανάμεσα σε αριθμητική και γεωμετρία. Εντούτοις, ο διαχωρισμός που προτείνω δεν μου φαίνεται να επιδέχεται αμφισβή­ τηση: πρόκειται για δύο βαθιές και επίμονες τάσεις της μαθηματικής σκέψης, και νομίζω ότι οι μαθηματικοί έ­ χουν επιδείξει στην ιστορία ιδιαίτερα χαρίσματα, είτε στην καταγραφή του συνεχούς, είτε στην καταγραφή του διακριτού. Σήμερα, όμως, βλέπουμε αυτούς τους δύο τρόπους σκέψης να προσεγγίζουν ολοένα περισσότερο ο ένας τον άλλο.

Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Είναι πιθανώς βολικό, για λόγους διδακτικούς, να υπο­ διαιρούνται τα μαθηματικά σε μείζονες περιοχές, οι ο­ ποίες στη συνέχεια υποδιαιρούνται και αυτές με τη σει­ ρά τους σε άλλες. Θα ήταν όμως λάθος να θεωρήσει κανείς τις διαχωριστικές γραμμές ανάμεσα τους σχεδόν απαραβίαστες, όπως ήταν τα σύνορα που χώριζαν τις

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

37

γερμανικές από τις ρωμαϊκές διαλέκτους στο κέντρο της Δυτικής Ευρώπης, σύνορα που έμειναν σχεδόν αμετά­ βλητα από τον καιρό του Καρλομάγνου. Αντιθέτως, η πλειονότητα των ιδεών που αποδεικνύονται πιο γόνιμες και φυσικές για την πρόοδο των μαθηματικών είναι σε αύξοντα βαθμό εκείνες που εδράζονται συγχρόνως σε διάφορες γνωστικές περιοχές. Εκεί απλώνουν τις ρίζες τους και από εκεί τρέφονται, ενώ ενσωματώνουν αυτές τις περιοχές σε ένα είδος πολυκλαδικότητας στο εσωτε­ ρικό των μαθηματικών, η οποία υπερβαίνει κατά πολύ τα αντίστοιχα φαινόμενα που συναντάμε σε άλλες επι­ στήμες, ακόμη και στις τέχνες. Η έννοια της ομάδας, με όλους τους μετασχηματι­ σμούς που γνώρισε και γνωρίζει ακόμη, είναι ένα χαρα­ κτηριστικό παράδειγμα της συμφιλίωσης των διαφόρων τρόπων σκέψης που αναφέραμε προηγουμένως. Ενώ προέρχεται από τη «διακριτή» σκέψη, εντούτοις η εσω­ τερική λογική εξέλιξης της μαθηματικής σκέψης την ανάγκασε να απλώσει ολοένα βαθύτερες ρίζες στα αρ­ χεία του συνεχούς, και στη συνέχεια να αναπτυχθεί ταυ­ τόχρονα και στα δύο επίπεδα, με το ένα να τροφοδοτεί το άλλο. Χωρίς να υπεισέλθουμε προς το παρόν σε λεπτομέ­ ρειες, αναφέρουμε ότι η γενική έννοια της ομάδας, όπως την αντιλαμβανόμαστε σήμερα, έχει τις ρίζες της στο θαυμάσιο έργο του Evariste Galois (1811-1832) —της τε­ λευταίας πρώιμης μαθηματικής ιδιοφυΐας της Γαλλίας—, το οποίο ήρθε στο φως το 1843 από τον Joseph Liouville (1809-1882). Ο Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) και ο Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) είχαν μελετήσει τις

38

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΏΚΩΝ

ομάδες μεταθέσεων, ενώ ο Camille Jordan (1838-1922) είχε δώσει τη μαθηματική διατύπωση της στο σημαντι­ κό έργο του Theorie des substitutions et des aquations alga-

briques [Θεωρία των αλγεβρικών εξισώσεων και αντικα­ ταστάσεων] (1870). Όμως, αποφασιστικό ρόλο έπαιξε, κατά τη γνώμη μου, η επεξεργασία της θεωρίας των συ­ νεχών ομάδων που την οφείλουμε στον νορβηγό μαθημα­ τικό Marius Sophus Lie (1842-1899). Έκτοτε, η θεωρία αυτή φέρει το όνομα του, και μιλάμε για ομάδες Lie. Μια ομάδα Lie είναι μια ομάδα μετασχηματισμών ε­ νός συγκεκριμένου χώρου, η οποία ως επί το πλείστον λαμβάνει τη μορφή ομάδας πινάκων, που τα στοιχεία της εξαρτώνται από πολλές παραμέτρους. Για αυτήν την ομάδα αποκτά νόημα μια απειροστική πράξη το όριο της οποίας ονομάζεται άλγεβρα του Lie. Η έννοια αυτή, μαζί με τις πολλαπλές γενικεύσεις της και τις μορφές (αναπαραστάσεις) των τελευταίων, είναι εγκατεστημένη σήμερα στον πυρήνα των μαθηματικών δραστηριοτήτων. Ενσωματώνει τη διαφορική γεωμε­ τρία, την άλγεβρα, την ανάλυση, τη θεωρία μέτρου, την αλγεβρική τοπολογία, την αριθμητική, κ.λπ., και απο­ τελεί μια από τις βάσεις της μαθηματικής φυσικής. Για να μη μακρηγορούμε, τείνει να ενοποιήσει περιοχές και υποπεριοχές που αναπτύχθηκαν ξεχωριστά με εκπλη­ κτικό τρόπο, εδώ και ενάμιση αιώνα. Βλέπουμε λοιπόν υπό ποια έννοια δεν είναι καθόλου άχρηστο να μιλάμε για πρόοδο της γνώσης στη σύγ­ χρονη μαθηματική έρευνα. Η πρόοδος αυτή, την οποία η απλή τυπολατρική, σχολαστική παρουσίαση των α­ ποτελεσμάτων και των τύπων συγκαλύπτει στα μάτια ό-

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

39

σων δεν συμμετέχουν σ' αυτήν, προβάλλει στην πραγ­ ματικότητα πολύ καθαρότερα και σε όλο το βάθος της στο εννοιολογικό επίπεδο. Η πρόοδος αυτή είναι μάλι­ στα πολύ πιο απτή από εκείνη των άλλων επιστημονι­ κών κλάδων, όπως της μοριακής βιολογίας λόγου χάρη, της οποίας τα επιτεύγματα όλοι ομοθύμως υμνούν, μο­ λονότι από τον καιρό που παρήλθε η ωραία εποχή των Monod, Jacob και Lwoff διέρχεται μια σχετική θεωρη­ τική στασιμότητα. Αυτή η ενοποίηση είναι τόσο ισχυρή, ώστε είναι δυ­ νατό να μιλάμε για τη «μαθηματική επιστήμη» (στον ενικό, όπως το έχω ήδη κάνει.) Αυτό εξάλλου υπαινισσό­ ταν και ο Μπουρμπακί όταν επέλεξε ως τίτλο της πραγ­ ματείας του το Elements de mathematique [Στοιχεία μα­ θηματικής επιστήμης], αλλά και ο τρόπος με τον οποίο είναι διατεταγμένο το έργο αυτό (γραμμικά, όπου κάθε τμήμα βασίζεται σε εκείνο που προηγείται), αυτό ακρι­ βώς υπογραμμίζει. Η ενότητα είναι μάλιστα ακόμη πε­ ρισσότερο συμπαγής απ' ό,τι υπαινίσσεται η προσέγγι­ ση τύπου Μπουρμπακί, διότι στη σημερινή μαθηματική επιστήμη οι σταυροειδείς δεσμοί ανάμεσα σε διάφορους τομείς αναπτύσσονται ακατάπαυστα, με πολλαπλασια­ στικό αποτέλεσμα πάνω στις προόδους που προκύπτουν. Είναι κάπως σαν τις σταυροειδείς επενδύσεις στον χρη­ ματοοικονομικό τομέα, οι οποίες συχνά αποβαίνουν πη­ γή οικονομικής προόδου.

40

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΠΡΟΟΔΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η πρόοδος στα μαθηματικά, όμως, εμφανίζεται κάτω από μια ιδιόμορφη οπτική, επειδή πραγματοποιείται με δύο αρκετά διαφορετικούς τρόπους. Ο πρώτος συνίστα­ ται στην επίλυση κλασικών προβλημάτων, ανεξάρτητα μάλιστα από το αν η προέλευση τους είναι «εσωτερική» ή «εξωτερική»: όταν ο μαθηματικός πατήσει το πόδι του στο έδαφος της μαθηματικής εργασίας, βρίσκει στην πραγματικότητα πάντοτε διάφορες εικασίες που έχουν προταθεί κατά το παρελθόν στη βάση μιας κλασικής θεωρίας, και οι οποίες περιμένουν ακόμη την επίλυση τους. Μπορεί να δοκιμάσει λοιπόν τις δυνάμεις του. Ό ­ λες αυτές οι εικασίες δεν παρουσιάζουν, βέβαια, το ίδιο ενδιαφέρον με το θεώρημα του Fermat, αλλά συχνά μπορεί κανείς να μάθει πολλά από τέτοιες απόπειρες. Αυτούς τους μαθηματικούς θα τους ονομάζαμε στα αγ­ γλικά problem-solvers, λύτες προβλημάτων: λύνουν προ­ βλήματα τα οποία έχουν διατυπωθεί στη βάση θεωριών θεμελιωμένων από άλλους, και που παραμένουν έως τότε ανεπίλυτα. Ουδείς λόγος υπάρχει να αγνοήσουμε ή να περιφρονή­ σουμε μια τέτοιου τύπου δραστηριότητα. Υπάρχει όμως και άλλος τρόπος για να προοδεύσουν τα μαθηματικά: συνίσταται στην κατασκευή νέων θεωριών (οπότε θα μι­ λήσουμε στα αγγλικά για theory-makers, δημιουργούς θεωρίας). Δεδομένου του κύρους που απολαμβάνει μια παρόμοια δραστηριότητα, θα πρέπει να είμαστε εξαιρε­ τικά προσεκτικοί στο σημείο αυτό, διότι έχουν προκύ­ ψει πολλά κάλπικα προϊόντα· έχει τεθεί σε κυκλοφορία

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

41

πολύ «πλαστό χρήμα»! Η συνήθης διαδικασία πλαστο­ γράφησης έχει ως εξής: παίρνουμε μια υπάρχουσα θεω­ ρία και την καθιστούμε ασθενέστερη, για παράδειγμα αφαιρώντας ένα αξίωμα. Είδαμε να προκύπτει κάτι τέ­ τοιο στη Γαλλία με την περίπτωση της θεωρίας ομάδων: υπήρξαν ερευνητές που υφάρπασαν εφήμερη δόξα, αρκούμενοι σε μια τέτοια εξασθένιση θεωριών δίκην και­ νοτομίας! Μια άλλη πολύ διαφορετική περίπτωση, που ούτε κι αυτή αντιπροσωπεύει μια γνήσια ανανέωση, βρίσκουμε αν εξετάσουμε τη θεωρία των κατηγοριών. Αυτή προσδίδει στα μαθηματικά μια πολύ ακριβή και αποτελεσματική γλώσσα, αλλά από μόνη της πολύ λίγα ενδιαφέροντα μαθηματικά αποτελέσματα παρήγαγε. Α­ ντιθέτως, βλέπουμε να σχηματίζονται νέες θεωρίες, οι οποίες δεν παρουσιάζονται ως αποδυναμωμένες εκδοχές ήδη υπαρχουσών θεωριών και αποκαλύπτονται ιδιαίτε­ ρα γόνιμες, αφού με το να εντρυφούν σε ορισμένα φαινό­ μενα μας συνιστούν τη μελέτη νέων, άγνωστων έως τότε δομών. Θα μπορούσαμε να αναφέρουμε ως πρόσφατο παρά­ δειγμα τη θεωρία των μικροσυναρτήσεων που μας έρχε­ ται από την ιαπωνική σχολή του Κυότο, η οποία διευθύ­ νεται από τον καθηγητή Sato. Το γνωστότερο και πα­ λαιότερο παράδειγμα της θεωρίας των κατανομών του Laurent Schwartz —που βρίσκεται στην ίδια τάξη ιδε­ ών— ίσως λέει κάτι περισσότερο στον αναγνώστη. Ό ­ ταν διατυπώθηκε, δεν ήταν ούτε τεχνητή, εκφυλιστική και περιττή εκλέπτυνση μιας προϋπάρχουσας θεωρίας, ούτε εργασία διασάφησης της μαθηματικής γλώσσας, αλλά ένας ορισμός δομών που εμπλούτιζαν τα μάθημα-

42

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

τικά και έδιναν τη δυνατότητα να σκεφτεί κανείς και να επιλύσει νέα προβλήματα. Ωστόσο, είναι δυνατό να βρεθεί αυτή η θεωρία σε λίγο-πολύ εμβρυϊκή μορφή σε θεωρητικούς φυσικούς όπως ο Paul Dirac, και σε ειδι­ κούς στις μερικώς παραγωγίσιμες εξισώσεις όπως ο Sobolev, ενώ τα σοβαρά τοπολογικά προβλήματα που ανα­ δεικνύει επιλύθηκαν από τον Alexander Grothendieck στη διδακτορική του διατριβή. Η ακραία περίπτωση αυτού που εγώ θα ονόμαζα theo­ ry-maker αντιπροσωπεύεται από τον Rene Thorn. Το γε­ γονός ότι προκαλεί τα πάθη της αντιπαράθεσης, δεν ο­ φείλεται μόνο στο ότι έχει το θάρρος να εκφράζει τις απόψεις του με ευθύτητα και δυναμισμό, ή στο ότι η γλώσσα που χρησιμοποιεί βρίθει γοητευτικών εκφρά­ σεων ποιητικής χροιάς (η πεταλούδα, η πτυχή, η μαγεία ή... η καταστροφή). Οφείλεται στο ότι είναι ένα είδος theory-prophet, ένας προφήτης της θεωρίας: είχε την ι­ διοφυΐα, όντας νέος μαθηματικός, να προβλέψει σε α­ δρές γραμμές την ανάπτυξη αυτού του πεδίου που ονομά­ ζεται «διαφορική τοπολογία», και να εγκαθιδρύσει τις μαθηματικές βάσεις της. (Πρόκειται για μια περιοχή που είναι αφιερωμένη στη ολική μελέτη των διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων, η οποία είναι απολύτως μη αναγώγιμη στην τοπική μελέτη που βρίσκεται στη βάση της διαφορικής γεωμετρίας.) Μπόρεσε να εγκαινιάσει μια ολόκληρη περιοχή των σύγχρονων μαθηματικών και να την καλύψει εξ ολοκλήρου με το έργο του. Η ιδιοφυΐα του, όμως, δεν καταπιανόταν με τη λύση κλα­ σικών προβλημάτων, και μάλιστα απεχθανόταν εξίσου την τεχνική επίλυση ακόμη και εκείνων των πρόβλημα-

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

43

των που αναδείκνυε για πρώτη φορά η ίδια η θεωρία του. Μπορεί να ενοχλείται κανείς από το γεγονός ότι η δημόσια αναγνώριση του, συνεπικουρούμενη από τα μέ­ σα μαζικής επικοινωνίας, ήλθε κατόπιν εορτής, πολύ μετά την εξαιρετικά παραγωγική περίοδο του κατά τη δεκαετία του 1950, και για λόγους που αφίστανται του μαθηματικού έργου του. Ο ίδιος ο Thorn το αναγνωρίζει χωρίς περιστροφές: η θεωρία των κασταστροφών δεν εί­ ναι μια μαθηματική θεωρία, ούτε βέβαια μια βιολογική ή οικονομική θεωρία, αλλά ένας αυθεντικά πρωτότυπος τρόπος σκέψης, για τον οποίο είναι πεπεισμένος ότι μπορεί να αποβεί γόνιμος σε διάφορους τομείς έρευνας, όπου ο περιρρέων θετικισμός συνέτριψε την επινοητικό­ τητα. Λέγοντας και αποδεχόμενοι κάτι τέτοιο με επιφύ­ λαξη, δεν πρέπει εντούτοις να λησμονούμε τη μείζονα σημασία του μαθηματικού έργου του Thorn. Όποτε προκύπτει μια αυθεντική πρόοδος στη μαθη­ ματική επιστήμη, αρχίζει στην πραγματικότητα ένας νέος τύπος σκέψης, ένας νέος τρόπος να βλέπουμε τα πράγματα. Από την άλλη πλευρά, μπορούμε να πούμε ότι εδώ και τριάντα χρόνια προέκυψαν τέτοιες γόνιμες ανακατατάξεις, και με αυτόν τον τρόπο δόθηκαν προς διερεύνηση μια σειρά καινοφανή προβλήματα. Ας αναλογιστούμε για παράδειγμα τις εργασίες του Alexander Grothendieck, που συνεχίστηκαν από τον Pierre Deligne, του Gerd Faltings, εκείνες του Alain Connes και του Vaughan Jones, ή τα αποτελέσματα που συνήγαγε ο Michel Freedman το 1982 και ο Simon Do­ naldson το 1983 (για τα οποία έλαβαν το μετάλλιο Φιλ-

44

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΉΚΩΝ

ντς το 1986) σχετικά με το χώρο τεσσάρων διαστάσεων, προϊόν νέων ιδεών που επεξεργάστηκαν από κοινού τοπολόγοι και φυσικοί. Η πλειονότητα αυτών των τελευταίων παραδειγμάτων εικονογραφεί βεβαίως ένα νέο φαινόμενο, που υπογραμ­ μίζει την ενότητα της επιστήμης των μαθηματικών: πώς, με την (κατά κανόνα μη ομολογούμενη και ατελή) υστε­ ροβουλία τού να είναι κανείς problem-solver (στην περί­ πτωση προβλήματος που η λύση του διέφυγε από γενιές μαθηματικών), καταλήγει αναπόφευκτα να γίνει theorymaker.

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χωρίς αμφιβολία, έχει κάποια χρησιμότητα να εξετά­ σουμε την πρόοδο που επιτελείται στη φυσική από κοι­ νού με εκείνη που γνωρίζουν τα μαθηματικά, προκειμέ­ νου να ρίξουμε άπλετο φως στην ιδιαιτερότητα του μα­ θηματικού εγχειρήματος αυτού καθ' εαυτό. Αν αναλογιστούμε πράγματι την πολύ θεαματική ανά­ πτυξη που γνώρισε η φυσική κατά τις αρχές του αιώνα μας, χωρίς να θέλουμε να υπεισέλθουμε σε ζητήματα ι­ στορικής προέλευσης των εννοιών και των θεωριών, δηλαδή στηριζόμενοι αποκλειστικά στα αποτελέσματα που προέκυψαν, τότε μπορούμε να πούμε ότι όταν περνά­ ει κανείς από την κλασική στην κβαντική μηχανική, προσθέτει μια παράμετρο (τη σταθερά του Planck Λ). Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι «παραμορφώνουμε» την κλασική μηχανική προσθέτοντας αυτήν την παρά-

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

45

μέτρο που όταν είναι διάφορη του μηδενός αποτελεί μια σταθερά. Εκείνο που μας μαθαίνει πώς να ορίσουμε την τιμή της είναι το πείραμα: τότε εισερχόμαστε στην πε­ ριοχή της κβαντικής μηχανικής. Αν, αντιθέτως, δώσου­ με σε αυτήν την παράμετρο την τιμή μηδέν, τότε επανα­ κτούμε την κλασική μηχανική. Βεβαίως, οι ίδιες παρα­ τηρήσεις είναι δυνατό να γίνουν και αναφορικά με την ειδική θεωρία της σχετικότητας: αν στην κλασική μη­ χανική προσθέσουμε την παράμετρο της ταχύτητας του φωτός c, τότε θα λάβουμε την ειδική θεωρία της σχετικό­ τητας. Εάν, με αφετηρία την τελευταία, πούμε ότι η τα­ χύτητα του φωτός είναι άπειρη, και άρα ότι το Ι/c ισού­ ται με το μηδέν, τότε βρίσκουμε ξανά την κλασική, μη σχετικιστική μηχανική. Από αυτά τα δύο σημαντικά παραδείγματα προκύπτει ότι είμαστε σε θέση να πούμε εκ των υστέρων πως ο παλιός φορμαλισμός αντιπροσώπευε στην πραγματικό­ τητα την προσέγγιση ενός νέου. Επομένως, ενώ ο νέος φορμαλισμός αποκαλύπτεται να έχει εφαρμογή σε ορι­ σμένες διαστάσεις (η κβαντική μηχανική για πολύ μι­ κρές αποστάσεις, η θεωρία της σχετικότητας για πολύ μεγάλες ταχύτητες), εντούτοις δεν ακυρώνει ολοκληρω­ τικά τον παλιό (όπως υπερβολικά συχνά και εσφαλμένα έχει υποστηριχθεί). Είναι πράγματι σαφές ότι οι παλιές θεωρίες διατηρούν εις το ακέραιο την ισχύ τους στις περιοχές διαστάσεων που τους προσιδιάζουν. Έτσι, κα­ ταλήγουμε να χρησιμοποιούμε σήμερα στη φυσική δύο τύπους θεωριών: αν, για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός δεδομένου συστήματος δεν είναι μεγάλη σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός, τότε μπορεί να εργαστεί κα-

46

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΉΚΩΝ

νείς με τους νόμους της κλασικής μηχανικής. Αν, αντι­ θέτως, πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός, τότε θα πρέ­ πει να γίνουν ορισμένες σχετικιστικές διορθώσεις. Ουδό­ λως μπορεί να ισχυριστεί κανείς ότι «εγκαταλείπει» την κλασική θεωρία, διότι απλώς προχωράει πέρα από αυ­ τήν. Τα πράγματα είναι κάπως διαφορετικά στα μαθηματι­ κά. Τα νέα αντικείμενα που πραγματεύεται κανείς φέρ­ νουν στο προσκήνιο νέες μαθηματικές ανάγκες. Και τα νέα θεωρήματα που αποδεικνύονται στη συνέχεια εμφα­ νίζονται συχνά πιο «ισχυρά», πιο παντοδύναμα, διότι γενικεύουν τα παλιά. Τα παλιά μοιάζουν τότε με ειδικές περιπτώσεις των νέων, όπως συμβαίνει και στη φυσική. Ας γίνουμε περισσότερο ακριβολόγοι: η μαθηματική πρόοδος είναι πρόοδος προς μια αύξουσα αφαίρεση και γενικότητα των θεωρημάτων. Σε αυτήν τη διαδικασία, βρίσκουμε αυτόματα το θεώρημα που γνωρίζαμε προη­ γουμένως με την προσθήκη μιας επιπλέον υπόθεσης. Θα μπορούσαμε σχεδόν να πούμε ότι η πορεία της προόδου είναι συμμετρική με εκείνη που μπορέσαμε να διαπι­ στώσουμε στη φυσική. Αυτή η γενίκευση μπορεί βεβαίως να διανοίξει ένα πεδίο αντικειμένων για το οποίο δεν υπάρχουν παλιά θεωρήματα (πράγμα που αποτελεί και την πλέον αναμ­ φισβήτητη ένδειξη γονιμότητας του), εκτός από τις πε­ ριπτώσεις για τις οποίες είναι δυνατό να επανέλθει κα­ νείς, με κάποιες επιπρόσθετες υποθέσεις σε ήδη αποδε­ δειγμένα θεωρήματα. Αλλά και εδώ ακόμη, δεν είναι δυ­ νατό να πει κανείς ότι εγκαταλείπει τα παλιά μαθηματικά προκειμένου να κατασκευάσει νέα, έστω και αν αυτό δεν

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

47

ευχαριστεί τους φιλοσόφους που κινήθηκαν σε αυτήν την περιοχή στα τυφλά. Θα πρέπει όμως να ολοκληρώσουμε αυτήν τη σύγκρι­ ση, αν θέλουμε να συλλάβουμε το νόημα των δυνατοτή­ των που προσφέρονται σήμερα στην έρευνα και στους δύο τομείς. Αφότου παρήλθε η χρυσή εποχή των αρχών του αιώνα, στην οποιά είδαν το φως διαδοχικά η ειδική και η γενική θεωρία της σχετικότητας, και, τέλος, η α­ κόμη πιο ανατρεπτική θεωρία της κβαντικής μηχανι­ κής, φαίνεται πως η φυσική δεν γνώρισε πλέον κάποια σημαντική θεωρητική επανάσταση. Υπήρξαν βεβαίως πολλές επιτυχείς απόπειρες που σκοπό είχαν να συνθέσουν αυτές τις θεωρίες στο εσωτε­ ρικό της περιοχής που ονομάζεται «κβαντική θεωρία πεδίου»· κυρίως, πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι τούτο ε­ πιτεύχθηκε ουσιαστικά στην περίπτωση της «κβαντικής ηλεκτροδυναμικής». Η θεωρία αυτή επιτυγχάνει μια πλή­ ρη σύνθεση ανάμεσα στην ειδική σχετικότητα και την κβαντική μηχανική, πραγματευόμενη (με την αυστηρό­ τητα του φυσικού) το θεμελιώδες πρόβλημα των αλλη­ λεπιδράσεων μεταξύ της μονάδας του φωτός (του φωτο­ νίου) και του ηλεκτρονίου. Αυτή η θεωρία απέφερε το βραβείο Νόμπελ του 1965 στον Julian Schwinger, τον Richard Feynman και τον Sin-itiro Tomonaga, που την είχαν αναπτύξει ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο (ο κα­ θένας με το δικό του στυλ) κατά τη δεκαετία του 1940. Θα πρέπει επίσης να μη λησμονούμε ότι, παρά την ε­ ξαιρετική ακρίβεια των προβλέψεων που γίνεται εφικτή με τούτη τη θεωρία, οι κανόνες υπολογισμών που εφαρ­ μόζονται δεν είναι απολύτως ικανοποιητικοί από μαθη-

48

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ματική άποψη. Και κυρίως, όσον αφορά την «κβάντωση των βαρυτικών πεδίων», αυτή η σύνθεση εξακολουθεί ακόμη να μην ευοδώνεται. Όλες οι ελπίδες έχουν μέχρι σήμερα διαψευσθεί, σε πείσμα των πολυειδών φορμαλι­ σμών που αναπτύχθηκαν προκειμένου να αντιμετωπιστεί αυτό το πρόβλημα. Μολονότι μπορεί να θεωρούμε λυπηρή αυτήν την κα­ τάσταση σχετικής στασιμότητας, δεν θα πρέπει εντού­ τοις να μας εκπλήσσει: αν αντικρίσουμε την ιστορία της φυσικής, θα αντιληφθούμε ότι οι πρόοδοι της είχαν πάντα σημαδευτεί από ισχυρές ασυνέχειες. Νομίζω πως αυτή η ασυνέχεια δεν είναι τυχαία, αλλά αντιθέτως συνδέεται με ένα ενδογενές χαρακτηριστικό της έρευνας σ' αυτόν τον τομέα. Πράγματι, η φυσική είναι μια επιστήμη που προοδεύει μόνο όταν συναντή­ σει κάποιο παράδοξο, όταν σκοντάψει σε ένα φαινόμενο που δεν μπορεί να το εξηγήσει με τις έννοιες και τις θεωρίες που διαθέτει τη στιγμή κατά την οποία το ανα­ καλύπτει. Ένα νέο, ανεξήγητο φαινόμενο διεγείρει τη σκέψη των φυσικών, προκαλώντας εν προκειμένω ένα κύμα πανικού στην κοινότητα, πράγμα που είδαμε να συμβαίνει πολλές φορές από τον προηγούμενο αιώνα. Τότε οι φυσικοί αναγκάζονται να αναμείνουν την επε­ ξεργασία ενός νέου θεωρητικού πλαισίου, προκειμένου να ερμηνεύσουν αυτό το φαινόμενο. Νά λοιπόν ποια εί­ ναι η χαρακτηριστική πορεία που χαράσσουν οι μεγά­ λες πρόοδοι στη φυσική. Η περίπτωση της κβαντικής μηχανικής είναι για μια ακόμη φορά πολύ διαφωτιστική. Οι φυσικοί αναγκά­ στηκαν να προχωρήσουν πιο πέρα, με αφετηρία το αί-

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

49

νιγμα που αποτέλεσε η ακτινοβολία του «μέλανος σώ­ ματος», η οποία ήταν απολύτως ανεξήγητη στο πλαίσιο της κλασικής φυσικής. Το μέλαν σώμα είναι ένα μοντέ­ λο το οποίο, στην κλασική φυσική, ακτινοβολεί άπειρη ενέργεια, διότι συντίθεται από άπειρους ταλαντωτές που ακτινοβολούν την ίδια ενέργεια. Για να γίνει πεπερασμέ­ νη η ποσότητα ενέργειας που ακτινοβολείται από αυτό το μοντέλο απαιτείται η εισαγωγή της σταθεράς του Planck (h). Γνωρίζουμε ότι ο Max Planck αποστρεφόταν με οδύνη αυτήν την αναγκαιότητα: με την ανακάλυψη του ήρθε στην ημερήσια διάταξη μια βαθιά επανάσταση στη σκέψη, η οποία στη συνέχεια αναπτύχθηκε με τις εργασίες του Louis de Broglie πάνω στην «κυματική» μηχανική, του Niels Bohr στο «πλανητικό» μοντέλο του ατόμου που είχε ήδη προταθεί από τον Ernest Rutherford, και κατέληξε στην καθαυτό κβαντική μηχανική στα έρ­ γα του Werner Heisenberg, του Erwin Schrodinger και στη συνέχεια του Paul Dirac προς το τέλος της δεκαε­ τίας του 1920. Από την άλλη πλευρά θα πρέπει να δεχτούμε το ακό­ λουθο γεγονός: σήμερα δεν είμαστε σε θέση να καταγρά­ ψουμε «παράδοξα» φαινόμενα τέτοιας εμβέλειας, ακόμη κι αν αυτά υπάρχουν. Είναι αλήθεια ότι συσσωρεύουμε πειραματικά αποτελέσματα, ανακαλύπτουμε ακατάπαυ­ στα νέα σωματίδια και προοδεύουμε στο φαινομενολο­ γικό επίπεδο, αλλά εξακολουθεί να μην υπάρχει μια στέ­ ρεα και πλήρης θεωρία που να ερμηνεύει και να συσχε­ τίζει όλα αυτά τα φαινόμενα. Για τις ισχυρές πυρηνικές αλληλεπιδράσεις, λόγου χάρη, δεν υπάρχει καμία συνε­ πής θεωρία. Σε μια τέτοια κατάσταση δεν υπάρχει στέ-

50

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ρεα βάση για την καταγραφή της παρουσίας ή της α­ πουσίας παραδόξου. Σε άλλους τομείς (π.χ. στη φυσική της στερεάς κατά­ στασης) υπάρχουν σίγουρα αξιοσημείωτες πειραματικές ανακαλύψεις για τις οποίες δεν διαθέτουμε ακόμη θεω­ ρητικό μοντέλο, όπως για παράδειγμα η υπεραγωγιμό­ τητα (σχεδόν μηδενική ηλεκτρική αντίσταση) «υψη­ λών» θερμοκρασιών (υψηλότερων από το σημείο τήξης του αζώτου), για την οποία το 1987 απονεμήθηκε το βρα­ βείο Νόμπελ σε δύο ερευνητές ενός μικρού εργαστηρίου της IBM στη Ζυρίχη. Το κλασικό μοντέλο της υπεραγω­ γιμότητας, που απέφερε το 1972 το βραβείο Νόμπελ στον John Bardeen, τον Leon Cooper και τον John Ro­ bert Schrieffer, ισχύει για θερμοκρασίες κοντά στο από­ λυτο μηδέν. Όμως, αυτές οι ανακαλύψεις δεν φαίνεται να θέτουν ζητήματα αρχής. Ομοίως, το θεωρητικό πρό­ βλημα της ψυχρής σύντηξης (μιας σύντηξης παρόμοιας με εκείνη που συντελείται στον Ήλιο, αλλά σε θερμο­ κρασία περιβάλλοντος, σύντηξης πυρήνων ελαφρού ή βαρέος υδρογόνου σε πλέγμα παλλαδίου), που η εξαιρε­ τικά αμφισβητούμενη πειραματική ανακάλυψη της κέρ­ δισε μερικά πρωτοσέλιδα εδώ και δύο χρόνια περίπου, μπορεί να αντιμετωπιστεί με μοντέλα βασισμένα στην κβαντική θεωρία, όπως έδειξε πρόσφατα σε ένα άρθρο του ο θεμελιωτής της κβαντικής ηλεκτροδυναμικής Ju­ lian Schwinger. Μπορεί να τίθενται εξόχως ενδιαφέροντα ζητήματα αναφορικά με την ενοποίηση των θεμελιωδών δυνάμεων, μπορεί να αναρωτιέται κανείς για φαινόμενα που δεν έ­ χουν ακόμη εξηγηθεί (όπως η γένεση των σωματιδίων ή

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

51

το ότι αδυνατούμε, να παρατηρήσουμε τα υποτιθέμενα συστατικά τους, που ονομάζονται κουαρκ), αλλά σε καμιά περίπτωση δεν αποτελεί αντικείμενο διαμάχης η ίδια η κβαντική θεωρία. Μάλιστα, επιβεβαιώνεται διαρ­ κώς από το πείραμα. Εντούτοις, θα το επαναλάβω άλλη μια φορά: αυτό που πρέπει να περιμένουμε για να μάθουμε σε ποια νέα κα­ τεύθυνση θα πρέπει να ψάξουμε στο μέλλον είναι μια τέτοια διαμάχη, κάποια αντίφαση. Ενόσω οι φυσικοί δεν βρίσκονται αντιμέτωποι με κάποιο παράδοξο, θα μπορούμε —πράγμα που κάνουμε και σήμερα— να πολ­ λαπλασιάζουμε τα πλέον εξεζητημένα μαθηματικά μο­ ντέλα, όπως συμβαίνει με τη θεωρία των «χορδών» και των «υπερχορδών» (που η σχέση τους με την πραγματι­ κότητα είναι τουλάχιστον αμφίβολη), αλλά θα μένουμε στο επίπεδο των εικοτολογικών ασκήσεων. Την ημέρα που θα εμφανιστεί η αντίφαση, θα γνωρίζουμε ότι οφεί­ λουμε να προβούμε σε μια γενίκευση, καθώς και προς ποια κατεύθυνση είναι προτιμότερο να το κάνουμε. Βε­ βαίως, η ανάπτυξη ορισμένων μαθηματικών μοντέλων είναι πιθανό να υποδείξει κάποιες ιδέες με τις οποίες μπορεί να προχωρήσουμε στη φυσική. Η κατεύθυνση της προόδου στα μαθηματικά είναι ολό­ τελα διαφορετική. Η πρόοδος αυτή εμφανίζεται στην πραγματικότητα πολύ πιο συνεχής, διότι δεν αναμένεται κάποιο παράδοξο για να κατευθύνει τη δραστηριότητα γενίκευσης. Αν δεχτούμε ότι η πρόοδος του συνόλου των επιστημών της φύσης ανταποκρίνεται εν δυνάμει, κατά το ουσιώδες μέρος της, στα χαρακτηριστικά που μόλις διατυπώσαμε αναφορικά με τη φυσική, τότε θα

52

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

μπορούσαμε να πούμε ότι τα μαθηματικά είναι μια «ξε­ χωριστή» επιστήμη. Πολλοί στοχαστές, μαθηματικοί, φιλόσοφοι ή επιστημολόγοι, προσπάθησαν να χαρακτη­ ρίσουν αυτήν την πρόδηλη ιδιαιτερότητα. Μου φαίνεται ότι θα μπορέσουμε να συλλάβουμε αυτήν την ιδιαιτε­ ρότητα με τον πλέον προσήκοντα τρόπο διαμέσου της συνέχειας που σημαδεύει την ανάπτυξη των μαθηματι­ κών. Η ιστορία της θεωρίας συνόλων αποκαλύπτεται εξαι­ ρετικά διδακτική σ' αυτό το σημείο. Φαίνεται να αντιφά­ σκει με τη θέση που υπερασπιστήκαμε εδώ, διότι βλέ­ πουμε να αναδύεται ένα πολύ φημισμένο παράδοξο, το παράδοξο του Russell, στο οποίο έχουμε ήδη αναφερθεί και το οποίο υποχρέωσε τους θεωρητικούς να θεμελιώ­ σουν αξιωματικά την έννοια του συνόλου και να γνωρί­ σουν τα όριά της: «το σύνολο όλων των συνόλων» είναι στην πραγματικότητα μια αντιφατική έννοια. Το παράδοξο όμως δεν επιφέρει εδώ κάποια αλλαγή στην πορεία ανάπτυξης της έρευνας. Είναι αληθές ότι χρειάστηκε να επινοηθεί ένα νέο αξιωματικό σχήμα προκειμένου να αποδειχθούν με αυστηρότερο τρόπο ο­ ρισμένα θεωρήματα. Όμως αυτό το όφελος σε αυστηρό­ τητα δεν άλλαξε κάτι το ουσιώδες, ούτε συνεισέφερε κά­ τι στο περιεχόμενο της εν λόγω θεωρίας συνόλων, την οποία συνεχίσαμε να χρησιμοποιούμε και να εμπλουτί­ ζουμε όπως πριν. Γενικότερα, ουδέποτε γνωρίσαμε στα μαθηματικά κά­ ποια εννοιολογική επανάσταση που να μας ανάγκασε, όπως στη φυσική, να θεωρήσουμε την παλιά θεωρητική κατάσταση πραγμάτων μιας περιοχής ως προσέγγιση

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

53

της νέας σκέψης. Εν συντομία λοιπόν, στα μαθηματικά γενικεύουμε και ανανεώνουμε ολοένα περισσότερο, ενώ στη φυσική αλλάζουμε την περιοχή εφαρμογής των εν­ νοιών «παραμορφώνοντας» προς την επιθυμητή κατεύ­ θυνση τις παλιές θεωρίες. Βιάζοντας λίγο τα πράγματα και με κίνδυνο να σκο­ ντάψω σε αρκετές προκαταλήψεις της μιας ή της άλλης πλευράς, θα έλεγα ότι η μαθηματική σκέψη, που, ας μην το λησμονούμε, υπήρχε πολύ πριν η φυσική καθιερωθεί ως επιστήμη με την τρέχουσα έννοια του όρου, μοιάζει να βρίσκεται πλησιέστερα στη φιλοσοφική σκέψη παρά στη σκέψη των επιστημών της φύσης. Και ακόμη, η διεργασία της μαθηματικής δημιουργίας εμφανίζει ο­ μοιότητες με εκείνη της καλλιτεχνικής δημιουργίας. Όμως, για να το κατανοήσουμε αυτό, πρέπει τώρα να εισέλθουμε αμεσότερα στο έδαφος όπου ευδοκιμεί ο δε­ σμός των μαθηματικών με τις άλλες επιστήμες.

II ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ 01 ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Η αδιαμφισβήτητη αφαίρεση που διακρίνει τα μαθημα­ τικά αντικείμενα πρέπει να εκτιμηθεί στην αυθεντική α­ ξία της: πρόκειται για μια ενεργό και γόνιμη αφαίρεση, η οποία είναι ενίοτε προικισμένη με αισθητικό χαρακτή­ ρα που μπροστά του ουδείς δύναται να παραμείνει ασυγ­ κίνητος. Η γονιμότητα αυτή, όμως, ουδέποτε είναι εγ­ γυημένη εκ των προτέρων, ενώ η συγκεκριμένη έκβαση μιας «καθαρής» μαθηματικής δημιουργίας μπορεί να αργήσει πολύ να προκύψει. Είναι επίσης δυνατό να γί­ νει απροσδόκητα, τότε που κανείς δεν την περιμένει, τό­ τε που δεν αναμένεται πλέον. Το πρώτο σφάλμα που πρέπει να αποφύγουμε αν θέ­ λουμε να συλλάβουμε αυτόν τον εσωτερικό δυναμισμό της μαθηματικής σκέψης, την τόλμη και την ομορφιά της, είναι η αντίληψη ότι τα μαθηματικά αντικείμενα αποτελούν μόνο καρπούς απλών λογικών διεργασιών. Πολλοί φιλόσοφοι και μερικοί ονομαστοί μαθηματικοί έχουν προκαλέσει σύγχυση σε αυτό το σημείο από τις αρχές του αιώνα. Ας είμαστε ειλικρινείς: υπήρξε μια φι­ λοσοφική λογική που στις αρχές της ήταν συνδεδεμένη με τη μεταφυσική του Αριστοτέλη, και στη συνέχεια

56

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΉΚΩΝ

υιοθετήθηκε και αναμορφώθηκε εκ βάθρων από μεγά­ λους στοχαστές όπως ο Καντ και ο Χέγκελ. Εγκαθιδρύ­ θηκε επίσης και στη συνέχεια αναπτύχθηκε μια μαθη­ ματική λογική που δεν μπορεί να ταυτιστεί με την πρώ­ τη. Η λογική αυτή αποτελεί κλάδο των μαθηματικών, και συνεπώς ουδεμία δυνατότητα ή αρμοδιότητα διαθέ­ τει για να παράσχει κάποιο υποτιθέμενο «θεμέλιο» στις μαθηματικές αφαιρέσεις, δεν διαδραματίζει το ρόλο λανθάνουσας κινητήριας δύναμης για την αλληλουχία τους. Είναι επίσης εξίσου μάταιο και χιμαιρικό να ανα­ ζητεί κανείς στη λογική κάποια a priori διασφάλιση για τη «δυνατότητα εφαρμογής» των μαθηματικών στον φυ­ σικό κόσμο. Αντιθέτως, ύψιστο ενδιαφέρον παρουσιάζει η διατύπωση ερωτημάτων αναφορικά με την καθαυτό πορεία ανάπτυξης της και σχετικά με τους δεσμούς που η λογική μπορεί να διατηρεί με τους άλλους κλάδους των μαθηματικών. Συνεπώς, είναι ενδιαφέρον να εκτιμή­ σει κανείς τα προβλήματα επαφής που αναδεικνύουν οι σχέσεις τις οποίες μπορεί να διατηρεί η λογική με τον υπόλοιπο χώρο των μαθηματικών. Το ζήτημα αυτό απο­ δεικνύεται ακόμη πιο λεπτό, επειδή η λογική καταλαμ­ βάνει μια ανακλαστική θέση αναφορικά με την ανάπτυ­ ξη των μαθηματικών: εμφανίζεται δεύτερη σε σχέση με τη δημιουργική αποδοτική εργασία τους που, κατ' ουσίαν, προπορεύεται πάντοτε της λογικής. Όσον αφορά την ανάπτυξη της, μπορούμε να πούμε ότι, αφού προέκυψε από τις εργασίες του Bertrand Rus­ sell, του Gottlob Frege, του Ludwig Wittgenstein και κάποιων άλλων, αποτέλεσε το στίβο δύο μεγάλων αλ­ ληλένδετων διανοητικών επαναστάσεων, οι οποίες ε-

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ AAA ΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

57

ξάλλου είναι συνδεδεμένες με τα ονόματα του Kurt Godel και του Paul Cohen. Ο 20ός αιώνας άνοιξε για τη μαθηματική επιστήμη με το πολύ φιλόδοξο πρόγραμμα που ανακοινώθηκε από τον μαθηματικό του Πανεπιστημίου του Γκέτιγκεν, Da­ vid Hubert (1862-1943), στους συναδέλφους του, κατά τη διάρκεια του Δεύτερου Διεθνούς Συνεδρίου των μαθημα­ τικών, που διεξήχθη στο Παρίσι το καλοκαίρι του 1900. Η ανακοίνωση του, γνωστή στη συνέχεια με το όνομα το «πρόγραμμα Hilbert», είχε τον τίτλο: «Σχετικά με τα μελλοντικά προβλήματα των μαθηματικών». Το πρό­ γραμμα του Hubert επηρέασε βαθύτατα την ανάπτυξη των μαθηματικών επί σειρά δεκαετιών. Συμπυκνώνοντας το ουσιώδες στοιχείο της έμπνευσης που περιείχε, θα πούμε ότι το πρόγραμμα αυτό φιλοδοξούσε ρητά να εκ­ φράσει όλα τα μαθηματικά σε μια τυπική γλώσσα. Σύμ­ φωνα με αυτήν την άποψη, τα μαθηματικά είναι μια αμι­ γώς τυπική δραστηριότητα, και από μόνα τους δεν έχουν περισσότερη σημασία από όση μια παρτίδα σκά­ κι. Όταν ένας μαθηματικός πραγματοποιεί μια απόδει­ ξη, χρησιμοποιεί τα αξιώματα και τη λογική. Ο Hubert πίστευε πως η απλή ενορατική πρακτική, με τη χρήση συμβόλων και κανόνων, ήταν εκτεθειμένη σε σοβαρές πλάνες. Ζητούσε λοιπόν να αναλυθούν οι αποδείξεις, να καταστεί αντικειμενικό το παιχνίδι των τύπων μέσα σ' αυτές, πραγματοποιώντας αφαίρεση από το καθαυτό μαθηματικό νόημα τους. Σε τούτο το στόχο των «μεταμαθηματικών» στρατεύθηκαν πολλοί με ενθου­ σιασμό. Το 1931, όμως, ο νεαρός αυστριακός μαθηματι­ κός Kurt Godel (1906-1978) έθεσε βάναυσα τέλος στο

58

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

όνειρο του Hubert. Απέδειξε σε ένα σύντομο άρθρο («Για τις τυπικά αναποκρίσιμες προτάσεις στο Principia mathematica και στα συναφή συστήματα I») ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί πως η αριθμητική είναι μη αντι­ φατική. Αυτό το αξιοθαύμαστο κείμενο, που έπεσε σαν κε­ ραυνός στον ουρανό των μαθηματικών, χρησιμοποιεί πολύ σύνθετες μαθηματικές τεχνικές, ώστε να μη μπο­ ρούμε να το παρουσιάσουμε εδώ. Ας κρατήσουμε μόνο το σημαντικότερο αποτέλεσμα του, για το οποίο χρησι­ μοποιούμε τον όρο «μη πληρότητα»: ο Godel απέδειξε με μαθηματικό τρόπο ότι κανένα σύστημα αξιωμάτων δεν είναι πλήρες, δηλαδή ότι σε κάθε σύστημα αξιωμά­ των μπορεί να προστεθεί ένα άλλο αξίωμα, ανεξάρτητο από εκείνα του συστήματος και μη αντιφατικό με αυτά. Όσο συγκλονιστική και αν είναι αυτή η απόδειξη, θα πρέπει να είμαστε συγκρατημένοι και να μην συναγά­ γουμε υπερβολικές προεκτάσεις αναφορικά με τα υποτι­ θέμενα όρια της «επιστημονικής γνώσης», ή τις ελλεί­ ψεις της σκέψης που δεν επιδέχονται θεραπεία. Πρόκει­ ται για ένα ανέξοδο φιλοσοφείν, και μάλιστα φιλοσο­ φείν με τον χείριστο δυνατό τρόπο. Η δεύτερη επανάσταση που γνώρισε η μαθηματική λογική έγινε πολύ αργότερα, το 1963, και αποτελεί έργο του Paul Cohen, καθηγητή μαθηματικών στο Πανεπιστή­ μιο του Στάνφορντ, ενός ειδικού της ανάλυσης που εν­ διαφερόταν για τη λογική και είχε περάσει πολλά χρό­ νια μαζί με τον Godel στο Πρίνστον. Ο Paul Cohen ανέσυρε ένα κλασικό πρόβλημα που είχε βασανίσει επί αιώνες εξέχουσες διάνοιες, όπως τον

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

59

Γαλιλαίο, τον Carl Friedrich Gauss και τον Bernhard Bolzano: υπάρχει πληθικός αριθμός αυστηρά μεγαλύτε­ ρος από την αριθμήσιμη απειρία άλεφ-μηδέν των ακε­ ραίων και αυστηρά μικρότερος από τον πληθικό της συνεχούς απειρίας των πραγματικών αριθμών (δύο εις την άλεφ-μηδέν ίσον άλεφ); Πράγματι, ο Georg Cantor (1845-1918), ο δημιουργός της θεωρίας συνόλων, είχε α­ ποδείξει ότι το άλεφ είναι αυστηρά μεγαλύτερο από το άλεφ-μηδέν. Όμως παρέμενε αιωρούμενο το ερώτημα αν υπήρχε ή όχι ένα ενδιάμεσο άπειρο μεταξύ των ακεραί­ ων και των πραγματικών. Η υπόθεση που είχε διατυπώ­ σει ο Cantor (χωρίς να την αποδείξει), και σύμφωνα με την οποία στο σύνολο των πραγματικών αριθμών κάθε άπειρο υποσύνολο είναι είτε αριθμήσιμο είτε ισοδύναμο με τους πραγματικούς, είχε ονομαστεί «υπόθεση του συ­ νεχούς». Κάθε απόπειρα που έγινε προκειμένου να επα­ ληθευθεί ή να διαψευσθεί αυτή η υπόθεση είχε αποτύ­ χει. Ωστόσο, ο Paul Cohen έδειξε ότι η υπόθεση του συ­ νεχούς είναι αναποκρίσιμη: όλα εξαρτώνται από το ποια εκδοχή αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων υιοθετείται. Αν, λόγου χάρη, αφετηρία είναι η συνήθης αριθμητική, που τα αξιώματα της τυποποιήθηκαν από τον μαθηματι­ κό του Πανεπιστημίου του Τορίνο Giuseppe Peano (1858-1932), τότε είναι δυνατό να συμπληρωθεί αυτό το ασθενές σύστημα με μια οικογένεια μη αντιφατικών και ανεξάρτητων αξιωμάτων, για τα οποία αποδεικνύεται η υπόθεση του συνεχούς. Είναι όμως επίσης δυνατό να συμπληρωθεί με αξιώματα για τα οποία η υπόθεση είναι εσφαλμένη.

60

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΏΚΩΝ

Πρόκειται για συνταρακτικά αποτελέσματα, από τα οποία δεν έχουν ακόμη συναχθεί όλες οι δυνατές φιλο­ σοφικές συνέπειες. Ποιες είναι όμως οι επιπτώσεις τους στη μαθηματική πρακτική καθ' εαυτή; Και γενικότερα, ποιος είναι ο αντίκτυπος των λογικών επεξεργασιών πά­ νω στους άλλους κλάδους των μαθηματικών; Δεν πρόκειται να υιοθετήσω εδώ την ωμή, ή και σεκταριστική, άποψη πολλών μαθηματικών που απαντούν πως η λογική δεν έχει καμιά χρησιμότητα γι αυτούς και πως καταλαμβάνει θέση εξωτερική ως προς τις πραγματικές προόδους των μαθηματικών. Αντιθέτως, δεν είναι αδιάφορο να γνωρίζει κανείς αν ένα θεώρημα πάνω στο οποίο έχει εργαστεί κοπιαστικά είναι αποκρίσιμο ή όχι! Θα πρέπει να προσθέσουμε ότι η λογική, εκτός από τη δυνατότητα που δίνει να αποσαφηνιστεί η μαθηματική γλώσσα, έχει επιπλέον αποφέρει πολλές νέες τεχνικές σε ορισμένους τομείς του αλγεβρικού λο­ γισμού. Για παράδειγμα, έχει ανοίξει το δρόμο για τη λεγόμενη μη καθιερωμένη ανάλυση (non standard ana­ lysis) —όπου οι απείρως μικρές ή μεγάλες ποσότητες και τα πεπερασμένα μεγέθη αντιμετωπίζονται σε ίση βά­ ση—, της οποίας όμως η θεωρητική σημασία δεν θα πρέ­ πει να υπερεκτιμηθεί, όπως πρόσφατα συνέβη στη Γαλ­ λία, χάρη σε ένα φαινόμενο μόδας που στη συνέχεια έ­ γινε σχολή. Απ' την άλλη μεριά, δεν μπορούμε να πούμε πως η λογική παρήγαγε ποτέ θεωρήματα που να συντάραξαν από τη βάση έως την κορυφή την ίδια τη μαθηματική δραστηριότητα. Είναι εξάλλου χαρακτηριστικό ότι το μετάλλιο Φιλντς ουδέποτε απενεμήθη σε έναν καθαρό 9

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

61

λογικολόγο (ο Paul Cohen το έλαβε βέβαια το 1966, αλ­ λά δεν ήταν καθαρός λογικολόγος). Τελικά, φαίνεται πως δεν πρέπει να εναποθέσουμε σε αυτήν πολλές ελπί­ δες για το μέλλον των μαθηματικών, διότι, για λόγους αρχής, είναι ξένο προς αυτήν κάτι που αυθόρμητα θα ονόμαζα «αίσθηση αντικειμένου», δηλαδή το εγχείρημα εμβάθυνσης στο αντικείμενο. Οι γενικεύσεις όμως στις οποίες προβαίνουν τα γόνι­ μα μαθηματικά καθοδηγούνται πάντοτε από τη μέριμνα να ανακαλυφθούν και να περιγραφούν νέες δομές που τί­ θενται στην υπηρεσία της έρευνας χάρη σε αυτήν την αί­ σθηση αντικειμένου, ενώ η λογική εξωτερικεύεται κατ' ουσίαν με μια συλλογιστική σχεδόν μηχανική, τυπο­ ποιημένη στο έπακρο, η οποία αναφέρεται σε αξιωματικώς θεμελιωμένα αντικείμενα με απόλυτα ορισμένους κανόνες λογισμού. Υπ' αυτήν την έννοια, είναι πρόγο­ νος της πληροφορικής και συνεχίζει να συμβάλλει στην ανάπτυξη της.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Μια άλλη συνθήκη που οφείλουμε να σεβαστούμε, αν θέλουμε να συλλάβουμε τη φύση της μαθηματικής α­ φαίρεσης, είναι να μη συγχέουμε καθόλου τη μαθηματι­ κή επιστήμη και την πληροφορική. Ωστόσο, η κοινω­ νική επιτυχία της πληροφορικής και το κύρος που απο­ λαμβάνουν στα μέσα ενημέρωσης μερικοί αρχιερείς της που την προβάλλουν, εξωθούν σε μια παρόμοια σύγχυ­ ση.

62

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Έτσι, λοιπόν, μολονότι η πληροφορική δεν ανήκει στον δικό μου τομέα έρευνας, πρέπει να πω δυο λόγια γι' αυτήν. Και εδώ είναι χρήσιμο να μην υποκύψουμε σε καμιά από τις συγκρουόμενες μανίες που έχουν διαιρέ­ σει τον κόσμο της διανόησης: δεν είναι σωστό ούτε να αρνείται κανείς περιφρονητικά οποιοδήποτε θεωρητικό ενδιαφέρον στις εργασίες των ειδικών της πληροφορι­ κής, ούτε βέβαια να τους απονέμει βιαστικά εύσημα ε­ πιστημονικής γονιμότητας. Για μια ακόμη φορά, αυτό που θέλουμε να κάνουμε είναι να εκτιμήσουμε τις επι­ πτώσεις των εργασιών αυτών στα μαθηματικά, εξετάζο­ ντας το σύνολο των επινοητικών όψεων τους και δια­ κριβώνοντας τη δική τους ιδιαίτερη ερευνητική συνεισ­ φορά. Πώς είναι δυνατό να αμφισβητήσει κανείς ότι μετά το 1976 η πληροφορική κατάφερε να έχει μια αποτελεσμα­ τική συμβολή στη λύση ανεπίλυτων μαθηματικών προ­ βλημάτων; Πράγματι, το 1976 είναι η χρονολογία κατά την οποία επιτέλους βρέθηκε ουσιαστικά η λύση ενός από τα πλέον απελπιστικά μαθηματικά προβλήματα, ε­ κείνου των τεσσάρων χρωμάτων. Και βέβαια θα πρέπει να παραδεχτούμε ότι μόνο η πληροφορική επέτρεψε να επιτευχθεί αυτός ο στόχος. Αυτό το πρόβλημα, που είναι εξαιρετικά απλό, είχε τεθεί στον διάσημο μαθηματικό Auguste de Morgan από ένα φοιτητή του το 1852: «Εί­ ναι δυνατό με μόνο τέσσερα (ή λιγότερα) χρώματα να χρωματιστεί ένας οποιοσδήποτε χάρτης, κατά τέτοιον τρόπο ώστε δύο περιοχές που συνορεύουν να μην έχουν ποτέ το ίδιο χρώμα;» Από τον William Rowan Hamilton έως τον Heinrich Heesch, αμέτρητοι εξέχοντες μάθημα-

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

63

τικοί έσπασαν το κεφάλι τους με κάτι που έμοιαζε με παιδικό παιχνίδι. Δεν πρόκειται να παραθέσω εδώ την ταραγμένη ιστο­ ρία των αποτυχιών που διαδέχονταν η μια την άλλη για περισσότερο από έναν αιώνα. Η ειρωνεία της τύχης ή­ ταν βέβαια ότι ο καθένας με τη σειρά του πίστεψε πως είχε βρει τη λύση, για να ανακαλύψει αμέσως ότι είχε απλώς προσθέσει ένα επιπλέον στοιχείο πολυπλοκότη­ τας στο πρόβλημα. Ήταν δε τόσο μεγάλη η πολυπλοκό­ τητα του προβλήματος, ώστε η απόδειξη που ολοκλη­ ρώθηκε σε έναν υπολογιστή IBM 360 στο Πανεπιστήμιο του Ιλλινόις, χάρη στην εργασία ενός ειδικού της πλη­ ροφορικής, του Jean Koch, στηρίζεται στην ανάλυση δύο χιλιάδων χαρτών και απαίτησε πολλές χιλιάδες ώρες υπολογισμών σ' αυτήν την πανίσχυρη μηχανή. Θα πρέπει εντούτοις να υπογραμμίσουμε ότι κατέστη δυνα­ τό να αναχθεί το πρόβλημα στη μελέτη ενός πεπερασμέ­ νου αριθμού περιπτώσεων χάρη σε έναν μαθηματικό συλλογισμό, και κατόπιν οι περιπτώσεις αυτές εξετά­ στηκαν από τον υπολογιστή. Αν έπρεπε να γραφτεί το κείμενο της απόδειξης, δεν θα αρκούσε μία ανθρώπινη ζωή για να το διαβάσουμε! Θα πει κανείς ότι η απόδειξη αυτή δεν άνοιξε νέα πεδία ερευνών στους μαθηματικούς, και ότι το περίφημο θεώρημα παραμένει —και θα παραμένει— ένα απλό α­ ξιοπερίεργο στο οικοδόμημα των μαθηματικών. Πιθα­ νόν. Αυτό δεν αλλάζει όμως το γεγονός ότι είναι πράγ­ ματι ένα πρόβλημα καθαρής μαθηματικής επιστήμης που λύθηκε κατ' αυτόν τον τρόπο. Υπάρχει και άλλη αξιοσημείωτη περίπτωση που α-

64

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ντιμετωπίστηκε εν μέρει με όμοιο τρόπο: πρόκειται για την ταξινόμηση των απλών πεπερασμένων ομάδων, που απαίτησε τη συνεργασία μιας εκατοντάδας ατόμων, και μπορεί να γίνει κατανοητή μόνο από έναν ειδικό υψη­ λού επιπέδου. Να προσθέσουμε ακόμη ότι η πληροφορική έχει προ­ φανώς πολλές ενδιαφέρουσες εφαρμογές και εγείρει συ­ ναρπαστικά ζητήματα, όπως εκείνο του ορίου υπολογισιμότητας των υπολογιστών ή το σχεδιασμό μοντέλων ρομποτικών μηχανών. Φωτίζει επίσης καθαρά φιλοσοφι­ κά ερωτήματα που είναι στο επίκεντρο ταραγμένων συζη­ τήσεων εδώ και σχεδόν πενήντα χρόνια: είναι καταρχήν δυνατό να κατασκευαστεί μια μηχανή εξίσου «νοήμων» με τον άνθρωπο; Τότε όμως πώς πρέπει να οριστεί η νοη­ μοσύνη; Και αν υποθέσουμε ότι είναι εφικτή η κατασκευή υπό οποιαδήποτε έννοια, είναι άραγε και επιθυμητή; Ένα άλλο ζήτημα, εξίσου σημαντικό στο πρακτικό επίπεδο, είναι εκείνο που σχετίζεται με την ίδια τη φύση της πλη­ ροφορικής. Πράγματι, οι μηχανές λειτουργούν στη βάση προγραμμάτων που βρίσκονται στο ένα ή το άλλο στάδιο, προγραμμάτων που έχουν γραφτεί από τον άνθρωπο, ο οποίος ελέγχει μόνο ατελώς τις βαθμίδες της υστερότερης χρησιμοποίησης τους. Όμως, ακόμη και ένα ελάχιστο λάθος δακτυλογράφησης, μπορεί να έχει απρόβλεπτες συνέπειες, ενώ το πλανάσθαι ανθρώπινον, για να μη μι­ λήσουμε για τους «ιούς», που μπορούν να δημιουργήσουν εμπλοκή στις μηχανές ή να σβήσουν τα δεδομένα στη μνήμη. Η επιστημονική φαντασία είχε προαγγείλει μη­ χανές που ο έλεγχος τους θα ξεφεύγει από τον άνθρωπο, αλλά το πρόβλημα αρχίζει να γίνεται πραγματικό.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

65

Το ερώτημα όμως που μας ενδιαφέρει προς το παρόν είναι το ακόλουθο: πρόκειται άραγε για μια επιστήμη στην οποία θα μπορούσε να δοθεί το ίδιο επιστημολο­ γικό κύρος με τα μαθηματικά; Ή μήπως, αντιθέτως, η ανάπτυξη της πληροφορικής οφείλεται αυστηρά στην ύπαρξη τεχνικών προβλημάτων; Μήπως είναι, όπως ε­ νίοτε ισχυρίζονται μερικοί, μια απλή τεχνική που έχει την τάση να υφαρπάζει τον τίτλο της επιστήμης; Πιστεύω ότι ουδείς δύναται να αμφισβητήσει την ύ­ παρξη μιας καθαυτό θεωρητικής πληροφορικής, έστω και αν αυτή η θεωρητική πρακτική δεν αποτελεί την πιο γνωστή ούτε και την πλέον διαδεδομένη όψη της εργασίας των ειδικών της πληροφορικής. Αυτή η θεω­ ρητική πληροφορική εγκαινιάστηκε από τον Alan Turing (1912-1954), ενώ δεν θα πρέπει να ξεχνάμε ποτέ ότι οι «μηχανές του Turing», που τώρα πια είναι πασί­ γνωστες και δικαίως παρουσιάζονται ως πρόγονοι των υπολογιστών μας, δεν είχαν τίποτε το συγκεκριμένο ως αφετηρία. Ήταν κατ' αρχάς ένα αμιγώς θεωρητικό προϊόν των ερωτημάτων που έθεσε στον εαυτό του ο ι­ διοφυής μαθηματικός λογικολόγος σχετικά με το πρό­ βλημα αποκρισιμότητας που είχε διατυπώσει ο Hubert. Είναι όμως αναμφίβολα πολύ νωρίς ακόμη για να απο­ φανθούμε σχετικά με την επιστημονική προοπτική αυ­ τής της θεωρητικής πληροφορικής. Αν σε μία δεκαετία από σήμερα δούμε να αναπτύσσο­ νται εξαιρετικές μηχανές πληροφορικής οι οποίες θα είναι σε θέση να επιλύουν έναν αύξοντα αριθμό προ­ βλημάτων που θα ανακύπτουν αλλά και θα έχουν γόνι­ μες ευρετικές επιπτώσεις στα μαθηματικά και τις άλλες

66

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

επιστήμες, τότε θα μπορούσαμε να δώσουμε θετική α­ πάντηση στο ερώτημα. Διότι τελικά δεν υπάρχει λόγος για να μην πιστέψουμε ότι υπό αυτές τις συνθήκες η πληροφορική θα γίνει κάποτε η μεγάλη αντίπαλος της βιολογίας στη σχέση της με τα μαθηματικά, τροφοδο­ τώντας τα με προβλήματα, παράλληλα βέβαια με τη φυ­ σική.

ΑΠΟ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Ας επανέλθουμε λοιπόν στις ίδιες τις μαθηματικές α­ φαιρέσεις και στις σχέσεις στενής συγγένειας, αλλά και πραγματικής διαφοράς που, όπως είδαμε, διατηρούν με τη σκέψη των φυσικών. Υπερβολικά συχνά αρκεστήκαμε στη διατύπωση ότι τα μαθηματικά αντιπροσωπεύουν τη «γλώσσα της φυσι­ κής». Τα μαθηματικά είναι, αναμφίβολα, υπό μια έννοια γλώσσα, αλλά καταρχήν είναι σκέψη, μια σκέψη από μόνη της επινοητική. Αποτελεί λοιπόν ακραία αναγωγιστική αντίληψη το να τη μετατρέπουμε σε απλή «έκ­ φραση», ή κάποιο λίγο-πολύ κομψό ένδυμα μιας σκέ­ ψης. Και μάλιστα μιας σκέψης που, αν ερμηνεύσουμε κυριολεκτικά αυτήν τη διατύπωση, προϋπήρχε αυτής και παραμένει εξωτερική προς αυτήν. Θα ήταν λοιπόν δικαιολογημένο να υποστηρίξει κανείς, για παράδειγμα, ότι το δυναμικό εγχείρημα μαθηματικής έμπνευσης που πραγματοποίησε ο Werner Heisenberg, προκειμένου να δώσει την πρώτη επιτυχημένη εκδοχή της κβαντικής

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

67

μηχανικής, συνοψίζεται σε μια εύστοχη διατύπωση; Ό χ ι βέβαια! Η μαθηματική σκέψη του Heisenberg είναι συνδεδεμένη με τη φυσική σκέψη του, σε σημείο που γίνονται «σάρκα μία». Εξίσου συχνά λέγεται ότι τα μαθηματικά δίνουν εν­ νοιολογικά «εργαλεία» στη φυσική, πράγμα που σχεδόν έχει γίνει στερεότυπη έκφραση. Πράγματι, συχνά συμ­ βαίνει οι φυσικοί να «εξυπηρετούνται» από τους μαθη­ ματικούς. Μπορεί επίσης να αποφανθεί κανείς ότι η α­ ποτελεσματικότητα αυτών των «εργαλείων», που έχουν σχηματιστεί χωρίς καμία προφανή σχέση με τη χρήση τους, είναι απολύτως αινιγματική, όπως έκανε ο κάτο­ χος του βραβείου Νόμπελ Eugene Wigner, ο οποίος το 1959 δεν δίστασε να μιλήσει για θαύμα σε μια διάσημη διατύπωση του («η παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες»). Νομίζω πως πριν επικαλεστούμε υποθετικές δωρεές εξ ουρανού, δεν στερείται χρησιμότητας να στραφούμε προς την ιστορία. Βεβαίως, όσο τετριμμένη και αν μπο­ ρεί να θεωρηθεί αυτή η άποψη, εντούτοις πιστεύω πως δεν είναι δυνατό να αμφισβητηθεί ότι οι αφηρημένες μαθηματικές εμπνεύσεις που δημιουργήθηκαν από τη φαντασία των μαθηματικών είχαν ως αφετηρία φυσικά πρότυπα, ενώ λίγο ενδιαφέρει αν οι απαρχές αυτής της διαδικασίας τοποθετηθούν στην Αίγυπτο ή την Ελλάδα. Σε κάθε περίπτωση, δεν θεωρώ απορίας άξιο το γεγονός ότι τα μαθηματικά «προσαρμόστηκαν» στην κλασική φυσική. Σήμερα, στο προσωρινό τέρμα αυτής της διαδικασίας, ξεκινάμε από μια προωθημένη μαθηματική επιστήμη με

68

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

υψηλό βαθμό αφαίρεσης, που διαμορφώθηκε, μεταδό­ θηκε και παγιώθηκε στην πορεία αύξουσας γενίκευσης, για την οποία ήδη μίλησα. Αυτές οι εκλεπτυσμένες μα­ θηματικές δομές, που σίγουρα μπορούν να χρησιμεύ­ σουν στους φυσικούς ως «εργαλεία», αποδεικνύονται κατάλληλες για να μας υποβάλουν θεμελιώδεις νέες ιδέ­ ες για τον συγκεκριμένο κόσμο που μας περιβάλλει, είτε πρόκειται για την κλασική είτε για τη μικροσκοπική φυσική. Πρέπει να μιλήσουμε για διαλεκτική; Υπάρχει πάντο­ τε μια συνολική διαδικασία δημιουργικότητας η οποία εμφανίζει ένα διαρκές «πηγαινέλα» που καμιά όψη του δεν πρέπει να αγνοηθεί: Οι φυσικοί της βασικής έρευνας ανακαλύπτουν ένα «φαινόμενο» στη βάση μιας προϋπάρ­ χουσας θεωρίας. Αυτό το πειραματικό αποτέλεσμα θα γίνει αντικείμενο της εργασίας ενός «φαινομενολόγου» φυσικού, που θα αναζητήσει απλούς κανόνες για να το εξηγήσει. Στη συνέχεια θα ακολουθήσουν οι θεωρητι­ κοί φυσικοί, που θα προσπαθήσουν να επεξεργαστούν ένα μηχανικό μοντέλο. Τέλος, αν είναι αναγκαίο, ένας μαθηματικός φυσικός θα αποφανθεί αν το μοντέλο είναι ή όχι συμβατό με τις απαιτήσεις της γενικής θεωρίας στην οποία αναφέρεται. Αν κριθεί απαραίτητο να κατασκευαστεί μαθηματικά μια νέα θεωρία, τότε με βάση τα κατ αυτόν τον τρόπο εμπλουτισμένα μαθηματικά είναι δυνατό να συναχθούν νέα συμπεράσματα μέσω υπολογισμών, τα οποία θα συ­ νιστούν πιθανώς τη διενέργεια νέων πειραμάτων. Και η διαδικασία θα αρχίσει πάλι από την αρχή, όταν ένα νέο πειραματικό δεδομένο θα απαιτήσει μια αναθεώρηση 9

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

69

της θεωρίας. Ένα θαυμάσιο σχετικό παράδειγμα βλέ­ πουμε στην ιστορία της διερεύνησης του ατόμου του υ­ δρογόνου: Όλα άρχισαν με την ανακάλυψη διακριτών φασματικών γραμμών αυτού του ατόμου, που προκάλε­ σαν μια «φαινομενολογική» μελέτη. Ύστερα ήρθε ο θε­ ωρητικός Niels Bohr, που επεξεργάστηκε το «κβαντισμένο» πρότυπο για τη δομή του ατόμου. Με τη συμβολή του Heisenberg παρακολουθούμε την παρέμβαση ενός μαθηματικού φυσικού που, χάρη στην ανάπτυξη του λο­ γισμού των πινάκων, θεμελιώνει πραγματικά την κβα­ ντική μηχανική, στο πλαίσιο της οποίας το έργο του Bohr βρίσκει οριστικά το νόημα του. Αν αγνοήσουμε αυτήν την κίνηση του «πηγαινέλα», αν λησμονήσουμε την ιστορία που προϊόν της είναι οι μαθηματικές αφαιρέσεις μας, τότε κινδυνεύουμε να εμ­ πλακούμε σε αρκετά παλαιά —ίσως απόλυτα σεβαστά, πλην όμως αναπάντητα φιλοσοφικά ζητήματα, του τύ­ που: οι «μαθηματικές ιδανικότητες» είναι άραγε κομμά­ τια ενός κόσμου που υπάρχει από μόνος του και που το πνεύμα τον ανακαλύπτει βήμα προς βήμα, όπως ο Πλά­ των περιγράφει τον κόσμο των Ιδεών; Ή μήπως οι ιδα­ νικότητες που παράγονται από τη δραστηριότητα των νευρώνων των μαθηματικών δεν είναι παρά οι εκφάνσεις της δομής του κεντρικού νευρικού συστήματος μας και ειδικότερα του εγκεφάλου μας; Τα ερωτήματα αυτά βρίσκονται στην ημερήσια διά­ ταξη για περισσότερο από δύο χιλιετίες, ενώ οι όροι με τους οποίους τίθενται δεν έχουν αλλάξει κατά βάση, παρά το γεγονός ότι οι πρόοδοι των μαθηματικών και της βιολογίας ανανεώνουν διαρκώς τον τρόπο διατύπω-

70

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

σής τους. Ένας διάλογος γύρω από αυτό το ζήτημα α­ ποτελεί το αντικείμενο ενός πρόσφατου βιβλίου του Je­ an-Pierre Changeux και του Alain Connes. Ενώ ο πρώτος συγγραφέας υπογραμμίζει ιδιαίτερα το φιλοσοφικό πλαίσιο που υποδείξαμε πιο πάνω, ο δεύτερος έχει μια ενδιαφέρουσα συνεισφορά στο πρόβλημα που μας απα­ σχολεί. Με αυτό θέλουμε να πούμε ότι το πιο εντυπωσιακό ενδογενές χαρακτηριστικό των μαθηματικών είναι η ε­ πινοητική ισχύς που διαθέτουν. Ας σκεφτούμε, για παρά­ δειγμα, τη θεωρία των πεπερασμένων σωμάτων: στην ε­ ξαιρετικά αφηρημένη βάση της μπορεί να αναπτυχθεί μια ολόκληρη γεωμετρία, η οποία προς το παρόν παρα­ μένει στο επίπεδο μιας καθαρής εικοτολογίας. Μολονό­ τι αυτό το παιχνίδι είναι συναρπαστικό, ουδεμία συγκε­ κριμένη εφαρμογή έχει βρει. Ωστόσο, ποιος μπορεί να πει ότι δεν πρόκειται να έχει κάποια εφαρμογή αύριο; Ας μη λησμονούμε ότι η ριμάνεια γεωμετρία —που επι­ νοήθηκε από τον καθηγητή του Πανεπιστημίου του Γκέτιγκεν Georg Friedrich Riemann (1826-1866)— βρισκό­ ταν για περισσότερο από μισό αιώνα σ' αυτήν την κατά­ σταση υψηλής και μη αποδίδουσας αφαίρεσης, έως ό­ του βρήκε τη συγκεκριμένη κατάληξη της στη φυσική , στη γενική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν! Από αυτήν την άποψη, τα μαθηματικά αναπτύσσονται από μόνα τους χάρη σε ελεύθερες κατασκευές, ανεξάρ­ τητες από κάθε φυσικό πρότυπο. Είναι λοιπόν ένας ι­ διαίτερος τρόπος σκέψης, ένα καθεστώς έντονης και ι­ διόμορφης διανοητικής δημιουργίας. Γι' αυτό ακριβώς, θα το πω άλλη μια φορά, μου φαίνεται εντελώς μειωτικό

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

71

και εσφαλμένο να τα θεωρεί κανείς απλό εργαλείο της φυσικής. Θα ρωτήσει όμως κάποιος: πού βρίσκεται τότε το «σύ­ νορο» ανάμεσα σε φυσική και μαθηματικά; Εγώ ο ίδιος είπα ότι τη σημερινή εποχή αυτό το σύνορο συγκαλύ­ πτεται από την εμφάνιση της «φυσικής μαθηματικής ε­ πιστήμης». Αληθεύει, βεβαίως, ότι σήμερα διάφοροι φυσικοί φορμαλισμοί παρεμβαίνουν στη μαθηματική σκέψη για να της υποδείξουν όχι μόνο ερωτήματα, αλλά και μεθόδους και λύσεις, επιλύοντας κατ' αυτόν τον τρό­ πο «αμιγώς» μαθηματικά προβλήματα. Πιστεύω όμως πως η έκφραση που αναφέρεται σε κάποιο «σύνορο» δεν είναι η πλέον προσήκουσα, διότι αναπόφευκτα παραπέ­ μπει στην ιδέα απολύτως οριοθετημένων επικρατειών πά­ νω στο χάρτη της γνώσης. Αν είμαστε όντως αναγκασμέ­ νοι να προβούμε σε διάκριση μεταξύ της σκέψης των φυσικών και εκείνης των μαθηματικών, τότε καλύτερα να επιχειρήσουμε αυτήν τη διάκριση με αναφορά στο στόχο, το τέλος, το σκοπό. Ένας ερευνητής που εργάζεται πάνω στις «θεωρίες βαθμίδας», είναι άραγε μαθηματικός ή φυσικός; Τα πάντα εξαρτώνται από το στόχο του. Ας θυμίσουμε ότι οι θεωρίες βαθμίδας είναι θεωρίες φυσικών πεδίων που έχουν πολύ μεγάλη συμμετρία, και εξαρτώνται από μία ή περισσότερες τυχαίες συναρτή­ σεις, γεγονός που οφείλεται, για παράδειγμα, στη δυνα­ τότητα που υπάρχει να τροποποιηθεί το δυναμικό ενός πεδίου με μια τυχαία συνάρτηση χωρίς να μεταβληθεί το δεδομένο ότι το πεδίο ικανοποιεί μια συγκεκριμένη εξίσωση. Τούτο συμβαίνει στην περίπτωση του ηλε-

72

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

κτρομαγνητικού πεδίου, λόγου χάρη. Μια παρόμοια θε­ ωρία βρίσκεται στη βάση του λεγόμενου «ηλεκτρασθενούς» μοντέλου, για το οποίο απονεμήθηκε, το 1979, το βραβείο Νόμπελ στον Steven Weinberg, τον Abdus Salam και τον Sheldon Glashow, ενώ πιστεύεται ότι όλα τα μοντέλα ενοποιημένων φυσικών πεδίων θα είναι αυτού του τύπου. Η μαθηματική διατύπωση αυτών των θεωρι­ ών επιστρατεύει έννοιες που τοποθετούνται στις περιο­ χές αιχμής της ανάπτυξης των μαθηματικών. Γι' αυτό ακριβώς, θεωρώ αναγκαίο στο σημείο που βρισκόμαστε να είναι ο καθένας «δίγλωσσος»: φυσικός και μαθηματικός, μαθηματικός και φυσικός. Δηλαδή, πρέπει τουλάχιστον να κατανοεί τις δύο γλώσσες, και στην καλύτερη περίπτωση, βέβαια, να τις μιλά. Η τρέ­ χουσα εξέλιξη της έρευνας καταδικάζει λίγο-πολύ μα­ κροπρόθεσμα σε στειρότητα εκείνους τους μαθηματι­ κούς που πιστεύουν ότι μπορούν να απομονωθούν στον υποτιθέμενο κλειστό τομέα των «καθαρών» μαθηματι­ κών, χωρίς να ενδιαφέρονται για ό,τι συμβαίνει στη φυ­ σική ή στις άλλες επιστήμες. Κανείς πια δεν μπορεί να αρκεστεί —όπως γινόταν έως πριν από λίγο— στο να λέει ότι τελικά αυτό που κάνει στα μαθηματικά θα απο­ κτήσει πιθανώς κάποτε τη χρησιμότητα του, όταν κά­ ποιος φυσικός το ανακαλύψει και το χρησιμοποιήσει με επιτυχία. Ίσως τα πράγματα να γίνουν έτσι στην πραγ­ ματικότητα, αλλά η σύζευξη μεταξύ των δύο κλάδων έ­ χει γίνει τόσο στενή, ώστε μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα αποκομίσουμε οφέλη από τη δουλειά των φυσικών, οφέλη που θα καταλήξουν στην ελεύθερη εργασία των καθαρών μαθηματικών.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΏΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

73

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΒΙΟΛΟΓΙΑ Μπορούμε άραγε να ελπίζουμε ότι και άλλες επιστήμες θα αποκτήσουν με τα μαθηματικά μια παρόμοια σχέση συγγένειας, αν όχι ενότητας; Τα μαθηματικά θα αυξή­ σουν και θα επεκτείνουν ακόμη περισσότερο την «εξου­ σία» τους; Φαίνεται πως αυτό είναι από πολύ καιρό το όνειρο πολλών επιστημονικών κλάδων. Ανάμεσα τους, η βιολογία είναι με βεβαιότητα εκείνος ο κλάδος που έχει προσεγγίσει περισσότερο απ' όλους την πραγματο­ ποίηση αυτού του ονείρου: η στατιστική εισήλθε δυνα­ μικά εδώ με τις φημισμένες εργασίες του Γκρέγκορ Μέντελ για την κατανομή και κληρονομική μετάδοση των χαρακτήρων, εκπλήσσοντας σε τέτοιο βαθμό τον επι­ στημονικό κόσμο της εποχής, ώστε ούτε τα πιο φωτεινά πνεύματα δεν κατόρθωσαν να συλλάβουν τη σπουδαιό­ τητα της. Με τη θεμελίωση και στη συνέχεια την ανά­ πτυξη της μοριακής βιολογίας, καθώς και με την ακρι­ βή γνώση που αποκτήθηκε σχετικά με τις κυτταρικές αλληλεπιδράσεις και τις δομές τους, έχει πραγματοποι­ ηθεί ένα νέο βήμα προς τα εμπρός. Δεν πρέπει όμως να ισοπεδώνουμε τα πράγματα: απέχουμε ακόμη πολύ από την κατάσταση που κυριαρχεί στη φυσική. Άλλωστε, τίποτα δεν θα κερδίσουμε από βιαστικές και πρόωρες μαθηματικοποιήσεις, δηλαδή από επιφανειακά εγχειρή­ ματα. Πράγματι, για όσο διάστημα οι βιολόγοι δεν θα μπορούν να ορίσουν επακριβώς αυτό που ονομάζουμε έμβιο σύστημα, μια τέτοια μαθηματικοποίηση, που θα παραμένει εξωτερική ως προς το αντικείμενο της, θα τείνει μάλλον προς τη μυθοποίηση.

74

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Αυτές οι παρατηρήσεις έχουν ακόμη μεγαλύτερη αξία για τα έμβια συστήματα που είναι εφοδιασμένα με εγκέ­ φαλο ικανό να λαμβάνει αποφάσεις. Ακόμη και αν δια­ τηρούμε την ελπίδα μιας παρόμοιας προσέγγισης ανά­ μεσα σε μαθηματικά και βιολογία, υπάρχει εντούτοις α­ κόμη λόγος να διακρίνουμε ανάμεσα σε επιστήμες του έμβιου και του μη έμβιου κόσμου. Σε τι συνίσταται αυτή η διάκριση; Είναι προφανές ότι ότι τα έμβια συστήματα είναι πολύ πιο πολύπλοκα από εκείνα του φυσικού κό­ σμου. Παρά τις τεράστιες προόδους που έχουν πραγμα­ τοποιηθεί, δεν έχουμε ακόμη μια αρκετά λεπτομερή γνώση αυτής της πολυπλοκότητας, ώστε τα μαθηματικά να μπορέσουν να αναλάβουν δράση και να κατορθώ­ σουν να γονιμοποιήσουν τη γνώση με κατάλληλους ε­ πινοητικούς φορμαλισμούς. Θα πρέπει όμως να υπογραμμίσουμε ήδη από τώρα ένα σημείο που αφορά έρευνες με εμφανές μέλλον. Πρό­ κειται για τις σχέσεις που πρέπει να δημιουργηθούν ανά­ μεσα σε βιολογία και κβαντική μηχανική. Πράγματι, δεν είναι δυνατό να φανταστούμε ότι οι κβαντικές ιδιό­ τητες της ατομικής ύλης δεν διαδραματίζουν κάποιο ρό­ λο στα βιολογικά συστήματα, διαμέσου των «δομικών λίθων» της ζωής, των μορίων του DNA και του RNA, (όπως άλλωστε συμβαίνει στη χημεία). Όσον αφορά τον εγκέφαλο, γνωρίζουμε ότι ένα ση­ μαντικό μαθηματικό μοντέλο (η διαφορική εξίσωση του νευρώνα) παρεμβάλλεται στις σύγχρονες έρευνες. Επι­ βάλλεται, λοιπόν, να χρησιμοποιήσουμε τις κβαντικές ιδιότητες της ύλης προκειμένου να κατανοήσουμε τις δομές των νευρωνικών κινήσεων και των αλληλεπιδρά-

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

75

σεών τους. Από την άλλη πλευρά όμως, για την ερμη­ νεία της κβαντικής μέτρησης εξωτερικών συστημάτων —μη έμβιας ύλης— ο Eugene Wigner είχε διατυπώσει τη θέση, ως προέκταση της φιλοσοφίας του Heisenberg, ότι αυτή η ερμηνεία είναι συνδεδεμένη με τις ιδιότητες του ανθρώπινου εγκεφάλου. Ένας ολόκληρος κλάδος της έρευνας στην τεχνητή νοημοσύνη συνίσταται, για παράδειγμα, στη δημιουργία νευρωνικών δικτύων, ικα­ νών να προβαίνουν σε αναγνώριση μορφών. Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο ο Leon Cooper (βραβείο Νόμπελ φυσικής το 1972 για τη θεωρία της υπεραγωγιμότητας) αντιμετώπισε επιτυχώς το ζήτημα της αναγνώρισης της γραφής. Άλλες κατευθύνσεις έρευνας, ακόμη πιο πρωτότυπες, εγκαινιάστηκαν από τον Stanislaw Ulam (1909-1984). Α­ πόφοιτος της πολωνικής μαθηματικής σχολής, που στη δεκαετία του 1930 ήταν συγκεντρωμένη γύρω από τον Banach στο Λβοφ, ο Ulam μετανάστευσε στις Ηνωμένες Πολιτείες κατά το τέλος του 1935 και συμμετείχε στο Manhattan Project στο Λος Άλαμος το 1943. Αυτό του έδωσε τη δυνατότητα να συνεργαστεί μεταξύ άλλων και με τον Enrico Fermi, να επινοήσει τη μέθοδο που ονό­ μασε Μόντε Κάρλο και να γίνει ο πραγματικός πατέρας της βόμβας υδρογόνου. Ο Ulam έθεσε το ακόλουθο ε­ ρώτημα: αντί να προσπαθεί κανείς να «εφαρμόσει» στη βιολογία υπάρχουσες μαθηματικές και φυσικές θεωρίες, δεν θα ήταν καλύτερο να επινοήσει νέα μαθηματικά μο­ ντέλα που θα μπορούσαν να προσαρμοστούν καλύτερα στις ειδικές ανάγκες της βιολογίας; Πρότεινε, λόγου χά­ ρη, να φανταστούμε νέους ορισμούς των μετρικών (των

76

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑ ΘΗΜΑ Ή ΚΩΝ

αποστάσεων), ώστε να λαμβάνονται υπόψη οι ιδιαίτερες ιδιότητες των βιολογικών μορίων. Πρόκειται για πολύ ενδιαφέρουσες έρευνες που μας επιτρέπουν να ελπίζουμε σε σημαντικές προόδους στα χρόνια που έρχονται.

ΜΑΘΗΜΑΉΚΑ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Όταν προσεγγίζει κανείς συλλογικά φαινόμενα, εκδη­ λώνεται εξίσου έντονα η ίδια ελπίδα, αλλά θα πρέπει να εκφράσουμε μια ακόμη πιο σταθερή επιφύλαξη. Το πιο διδακτικό παράδειγμα είναι σίγουρα εκείνο της οικονο­ μίας, διότι σε αυτόν τον τομέα έχουν πραγματοποιηθεί σοβαρές απόπειρες μαθηματικοποίησης, για τις οποίες μπορούμε να συζητήσουμε σε στέρεες βάσεις. Όμως, τι έχουν κάνει οι οικονομολόγοι; Σύμφωνα με τον Paul Samuelson, δανείστηκαν κατ' ουσίαν τους νόμους της θερμοδυναμικής που διέπουν την εξέλιξη των φυσικών συστημάτων, μεταφέροντας τους στα δικά τους αντικεί­ μενα. Αυτή η μεταφορά, που βαφτίστηκε «εφαρμογή», τους επέτρεψε να δώσουν ορισμούς της «συνάρτησης ωφελιμότητας», του «κεφαλαίου» κ.λπ. Έτσι, είδαμε να αναδύονται πολυάριθμα «μοντέλα» στη μικροοικονομία και στη μακροοικονομία. Οι απόπειρες αυτές προχώρη­ σαν πολύ περισσότερο απ' ό,τι συχνά πιστεύουμε σήμε­ ρα. Χρησιμοποιείται ευρύτατα η μηχανική του Lagran­ ge, δηλαδή η κλασική μηχανική στη συστηματοποιημέ­ νη μορφή της, και ο λογισμός των μεταβολών, σε μεγά­ λη έκταση. Ο γάλλος μαθηματικός Gerard Debreu του

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΑΑΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

77

Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας, στο Μπέρκλεϋ, κέρδι­ σε το βραβείο Νόμπελ για μια μαθηματική θεωρία της οικονομίας, ενώ ο ιταλός Franco Modigliani του MIT για την κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου των χρημα­ τοπιστωτικών αγορών. Έγινε επίσης απόπειρα να εφαρ­ μοστεί η θεωρία καταστροφών του Rene Thorn σε φαινόμενα «ιδιομορφιών» σε αυτήν την περιοχή. Όμως, το ζήτημα του κατά πόσο τα μοντέλα αυτά έχουν κάποια επαληθευμένη σχέση με την πραγματικότητα παραμένει τουλάχιστον ανοιχτό. Δεν είναι άραγε ακόμη πολύ πρω­ τόγονα; Πώς είναι δυνατό, για παράδειγμα, να μη σημειώσου­ με ότι ψυχολογικοί παράγοντες που συνδέονται με τη συμπεριφορά των οικονομικών «φορέων» κλονίζουν την καθαρότητα και την αποτελεσματικότητα αυτών των μοντέλων; Νά, λοιπόν, κάτι που σίγουρα δεν διέφυγε α­ πό τους ειδικούς που προσπάθησαν να εφαρμόσουν τη θεωρία παιγνίων σε αυτήν τη συμπεριφορά, προκειμέ­ νου να μειώσουν τα διαταρακτικά φαινόμενα που προ­ καλεί. Προφανώς όμως, η θεωρία παιγνίων, η οποία εί­ ναι μια πανέμορφη μαθηματική θεωρία που θεμελιώθηκε το 1944 από τον John von Neumann και τον Oskar Morgenstern, δεν αρκεί για να συλλάβει κανείς όλες τις πα­ ραμέτρους, διότι για λόγους αρχής οφείλει να υποθέσει πως το άτομο ακολουθεί κάθε στιγμή τη βέλτιστη στρα­ τηγική που υπαγορεύει το συμφέρον του. Πράγμα που εμφανώς δεν συμβαίνει! Η στατιστική μπορεί λοιπόν, χωρίς αμφιβολία, να διατηρήσει τη χρησιμότητα της ως μέσο επαλήθευσης ή επιβεβαίωσης ορισμένων υποθέσεων, είναι όμως ακό-

78

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΏΚΩΝ

μη πολύ νωρίς για να εγκατασταθεί στην οικονομική επιστήμη μια πραγματική «εξουσία» των μαθηματικών, με τον τρόπο που έχει γίνει στη φυσική. Η κατάσταση είναι εδώ συγκρίσιμη με εκείνη της βιολογίας: τα συστή­ ματα που επιθυμούμε να μαθηματικοποιήσουμε είναι υ­ περβολικά πολύπλοκα και εμπεριέχουν υπερβολικά πολλές παραμέτρους, ώστε δεν μπορούμε να τα κατανοή­ σουμε με ορθό τρόπο. Δεν αρκεί όμως να αποφανθεί κα­ νείς ότι φταίει ο περιορισμένος αριθμός των παραμέ­ τρων και να ξεκινήσει αμέσως το κυνήγι των «λανθανουσών παραμέτρων». Η κατάσταση είναι εδώ πολύ πιο σοβαρή: αφού έχουμε να κάνουμε με συστήματα όπου υπεισέρχονται όντα εφοδιασμένα με εγκέφαλο που μπο­ ρούν να έχουν πολλαπλότητα αποφάσεων, οι οποίες διαταράσσουν τον τρόπο λειτουργίας των συστημάτων, δεν γνωρίζουμε ακόμη πώς να τα αποδώσουμε εννοιολο­ γικά. Έτσι λοιπόν, επειδή ουσιαστικά η ίδια η οικονο­ μική θεωρία πάσχει από έλλειμμα εννοιολογικής από­ δοσης, η αποτελεσματικότητα των μαθηματικών είναι προς το παρόν πολύ περιορισμένη σ' αυτόν τον τομέα. Θα καλυφθεί άραγε στα χρόνια που έρχονται αυτό το εννοιολογικό έλλειμμα; Έχουμε κάθε λόγο να ελπίζου­ με. Τότε θα δούμε αν επαρκούν για το στόχο αυτό τα μαθηματικά όπως υπάρχουν σήμερα, ή αν χρειάζεται να αναπτυχθούν άλλοι τύποι μαθηματικών, άλλοι τρόποι σκέψης, προσαρμοσμένοι σε τούτες τις ειδικές μορφές αλληλεπίδρασης, οι οποίοι πιθανώς θα συμπληρώσουν και θα εμπλουτίσουν εκείνους που διαθέτουμε προς το παρόν. Όσα μόλις παραθέσαμε σχετικά με την οικονομία,

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΑΑΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

μπορεί να ισχύουν και αναφορικά με το σύνολο των κοινωνικών επιστημών που «αλληθωρίζουν» προς τα μαθηματικά. Τα ίδια βασικά επιχειρήματα θα έδειχναν ταυτόχρονα ότι οι ελπίδες τους είναι δικαιολογημένες, αλλά και ότι οι αλαλαγμοί νίκης που ακούγονται είναι ακόμη πρόωροι.

Ill 01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

Η ΝΕΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Για τους μαθηματικούς λέγεται ότι, περισσότερο ακόμη και από τους άλλους επιστήμονες, μπορούν να είναι δη­ μιουργικοί ως ερευνητές μόνο στην πρώτη νεότητα τους. Όπως είδαμε ακόμη και πρόσφατα, βρέθηκαν κά­ ποιοι βιολόγοι που προσπάθησαν να στηρίξουν αυτήν την τρέχουσα αντίληψη πάνω σε δεδομένα που προέρ­ χονται από την ανάπτυξη του κεντρικού νευρικού συστή­ ματος και σε όσα αρχίζουμε να γνωρίζουμε για τη γή­ ρανση του εγκεφάλου. Ωστόσο, παρά τις προόδους που επιτεύχθηκαν τα τελευταία χρόνια και τις προοπτικές που διανοίχθηκαν από τη νευροβιολογία της ανάπτυξης, οι γνώσεις αυτές παραμένουν ακόμη πολύ αποσπασμα­ τικές, και δεν μου φαίνεται ότι έχουν προσκομιστεί έως σήμερα αποδείξεις για συσχετισμούς ανάμεσα σε τούτο το κοινωνικό δεδομένο και σε κάποιο βιολογικό υπόβα­ θρο. Αναμφισβήτητα, η ιστορία των μαθηματικών είναι πλούσια σε πρώιμες ιδιοφυΐες. Ο Evariste Galois, που το θαυμάσιο έργο του (το οποίο συνιστά αποφασιστική καμπή για τα σύγχρονα μαθηματικά) διακόπηκε τραγικά και ανόητα σε ηλικία είκοσι ετών, αποτελεί σίγουρα το

82

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΉΚΩΝ

πιο εξέχον παράδειγμα. Όσο συναρπαστικές και αν φαίνονται όμως παρόμοιες περιπτώσεις, δεν θα πρέπει να μας κάνουν να λησμονούμε ότι υπάρχουν επίσης και αντίστροφα παραδείγματα. Έχουμε δει μαθηματικούς που η δημιουργικότητα τους αναπτύχθηκε με σχετική χρονική καθυστέρηση, ενώ σε άλλους η δημιουργικό­ τητα της νιότης τους προεκτάθηκε και στην ωριμότητα. Εντούτοις, ισχύει στατιστικά η παρατήρηση πως οι μεγάλες ανακαλύψεις επιτεύχθηκαν ή διαμορφώθηκαν ως επί το πλείστον προ της ηλικίας των τριάντα ετών. Η παρατήρηση ισχύει μάλιστα ακόμη περισσότερο για τη φυσική, σε αντίθεση με αυτό που πιστεύεται γενικώς. Εξάλλου, από καταστατική δέσμευση, το μετάλλιο Φιλντς μπορεί να δοθεί μόνο σε μαθηματικό ηλικίας κάτω των σαράντα ετών (ενώ απονέμονται μόνο δύο έως τέσ­ σερα σε κάθε Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών, που πραγματοποιείται κάθε τέσσερα χρόνια). Ωστόσο, αν και θεωρώ ότι τα βιολογικά αίτια αυτού του φαινομένου δεν έχουν ακόμη αποδειχθεί αρκετά πειστικά για να μπορώ να τα επικαλεστώ, αντιθέτως ου­ δεμία αμφιβολία υπάρχει πια για τη συμβολή διανοητι­ κών, θεσμικών και κοινωνικών παραγόντων. Αν η δη­ μιουργικότητα, ιδιαίτερα στα μαθηματικά, συνίσταται στο να φανταστεί κανείς νέους αφηρημένους τρόπους σκέψης, τότε προϋποθέτει πράγματι κάποια τόλμη και —ας το πούμε— ιδιαίτερη ασέβεια απέναντι στην παρά­ δοση* αυτά τα δύο χάνονται με την πάροδο της ηλικίας, δηλαδή εν προκειμένω όχι με κάποια προϊούσα νωθρό­ τητα των νευρώνων, αλλά με την άνοδο στη σταδιοδρο­ μία. Οι προϋποθέσεις μιας επινοητικότητας που απαιτεί

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

83

ένταση και ενάργεια πνευματική είναι το να μην υπο­ κλίνεται κανείς μπροστά στην αυθεντία, να μην κάμπτε­ ται κάτω από το βάρος μιας καθαγιασμένης γνώσης. Σε τούτο θα πρέπει να προσθέσουμε ότι η σύγχρονη οργάνωση της επιστήμης, ο θεσμικός και κοινωνικός τρόπος ύπαρξης της, σύντομα οδηγεί τους επιστήμονες σε ανάληψη διοικητικών ευθυνών και καθηκόντων δια­ χείρισης, ή ακόμη τους εξωθεί στο να χρησιμοποιούν ή τουλάχιστον να προάγουν τις έρευνες των άλλων παρά να συνεχίζουν τις δικές τους. Έτσι, πολλές ακαδημαϊ­ κές κορυφές ζουν από την εργασία των μαθητών τους και από τις διατριβές που επιβλέπουν. Κατ' αυτόν τον τρόπο οι ίδιοι είναι χαμένοι για την έρευνα. Πώς μπορούν λοιπόν να εκπαιδευτούν και να εκγυ­ μναστούν επινοητικοί νέοι μαθηματικοί; Το ερώτημα δεν είναι εύκολο, διότι, αν λάβουμε σοβαρά υπόψη τα όσα μόλις είπαμε, θα πρέπει ουσιαστικά να αφήσουμε να ανθήσει ένα πνεύμα εξέγερσης, να διατηρήσουμε κά­ ποια μορφή ευκινησίας, προσφέροντας του ταυτοχρό­ νως τα μέσα για να είναι δημιουργικό. Οι διεργασίες «εκπαίδευσης», όπως τις αντιλαμβανόμαστε και τις α­ σκούμε συνήθως, ουδόλως προσφέρονται —θα πρέπει να το παραδεχτούμε— για τέτοιους πειραματισμούς, ε­ πειδή ως επί το πλείστον επικεντρώνουν την προσοχή τους στη μετάδοση της αποκτηθείσας γνώσης και την εκγύμναση σε δοκιμασμένες μεθόδους. Όταν μάλιστα οι διεργασίες αυτές προσλαμβάνουν τη μορφή ενός α­ γώνα δρόμου μετ' εμποδίων όπου ο ανταγωνισμός γίνε­ ται όλο και πιο αμείλικτος, τότε κατανοούμε ότι έτσι δεν ενθαρρύνεται κανείς να απομακρυνθεί από την πε-

84

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΉΚΩΝ

πατημένη. Η πιο ακραία περίπτωση είναι χωρίς αμφι­ βολία εκείνη της σημερινής Ιαπωνίας: η ποιότητα της μαθηματικής σχολής της (ενώ είναι πολύ καλή) είναι εντελώς άσχετη με την εξαιρετική οικονομική ισχύ της και με τον πληθυσμό, πράγμα που οφείλεται εν μέρει στο υπερβολικά άκαμπτο εκπαιδευτικό σύστημα της.

ΤΑ ΛΑΘΗ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΜΠΟΥΡΜΠΑΚΙ Το ζήτημα είναι ακόμη πιο ακανθώδες επειδή αντιμετω­ πίστηκε για πολύ καιρό με εσφαλμένο τρόπο, υπό την επιρροή της γαλλικής σχολής των μαθηματικών, εκεί­ νης του Μπουρμπακί. Η σχολή αυτή, που το κύρος της ήταν τεράστιο σε όλο τον κόσμο, υπεραμυνόταν, όπως έχω πει, μιας φορμαλιστικής αντίληψης για την επιστή­ μη. Όπως ήταν αναμενόμενο, συνοδεύτηκε από παιδα­ γωγικές πρακτικές που αναντίρρητα είχαν καταστροφι­ κές συνέπειες σε πολλές γενιές σπουδαστών και ερευνη­ τών. Έχω υποδείξει παραπάνω ότι αυτές οι επιπτώσεις δεν έμειναν περιορισμένες στην ανώτατη παιδεία και την εκγύμναση των ερευνητών, αλλά άγγιξαν και τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, ευνοώντας την προβολή των μαθηματικών ως ενός μηχανισμού επιλογής, μιας επιλο­ γής αυθαίρετης και παράλογης. Ας μην ξεχνάμε άλλω­ στε ότι ο ίδιος ρόλος αποδίδεται στα μαθηματικά ακόμη και σήμερα. Κάτω από την επίδραση της σχολής Μπουρμπακί, ζητήθηκε —εσφαλμένα— από νέους ανθρώπους που εμ­ φάνιζαν κάποιο ιδιαίτερο ταλέντο στα μαθηματικά, να

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΉΚΟΙ

85

προσανατολίσουν κατ' αρχάς τις προσπάθειες τους στη διεύρυνση των γνώσεων τους. Τους ζητήθηκε να διαβά­ σουν τεράστιους όγκους βιβλιογραφίας, τους εξανάγκα­ σαν να αποκτήσουν τον αυστηρότερο δυνατό τρόπο διανοητικής προσέγγισης των προβλημάτων. Εκπλη­ κτικό παράδοξο, εφόσον πρόκειται για επιστημονική έ­ ρευνα: δεν τους αναγνωρίστηκε το δικαίωμα στο σφάλ­ μα, ούτε καν στην προσέγγιση της αλήθειας! Δεν μπο­ ρούμε βεβαίως να καταδικάσουμε την εκγύμναση στην επιστημονική αυστηρότητα. Όταν όμως η προσέγγιση που διδάσκει κανείς ακολουθεί ακλόνητα ένα σχήμα, τη μετάβαση από το γενικότερο στο ειδικό, όπως συνέβαι­ νε έως πριν από μία δεκαετία περίπου, τότε η μελέτη των μαθηματικών καταλήγει να γίνει μια καθαρά ταλμουδική άσκηση. Τότε στερεύει και η πιο ζωντανή φα­ ντασία. Αλλά εγώ θα το επαναλάβω: αυτό που μετράει για την πρόοδο των μαθηματικών, αυτό που αποτελεί το πιο πολύτιμο αγαθό, είναι η φαντασία. Η έρευνα άλλω­ στε πραγματοποιείται συνήθως από το ειδικό στο γενι­ κό. Η αποτυχία της ιδεολογίας του Μπουρμπακί, από αυ­ τήν την άποψη, έχει σήμερα αναγνωριστεί παγκοσμίως, ακόμη και στη Γαλλία. Στους νέους ερευνητές δεν επι­ βάλλεται πλέον η εγκυκλοπαιδική οδός, στην οποία επί μακρόν είχαν παραπλανητικά οδηγηθεί. Ποιες είναι λοιπόν οι φυσικές οδοί που θα πρέπει να τους ανοίξου­ με; Θα έλεγα χωρίς δισταγμό: η αντίθετη οδός, εκείνη που αποκαθιστά το ίδιο το εγχείρημα της δημιουργικό­ τητας στα μαθηματικά. Αντί να δίνεται στην αρχή μια γενική δομή, και τα παραδείγματα να εμφανίζονται μόνο

86

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ως ειδικές εφαρμογές αυτής της δομής, είναι χρήσιμο να ξεκινήσει κανείς από παραδείγματα, και στη συνέ­ χεια να εμβαθύνει σ' αυτά, πράγμα που ήδη από καιρό συμβαίνει στις Ηνωμένες Πολιτείες. Μόνο στη βάση της επεξεργασίας παραδειγμάτων μπορεί να επιχειρήσει κανείς να δει ποια γενική δομή είναι δυνατό να οικοδο­ μηθεί, ποια δομή θα τους ταίριαζε. Το πλεονέκτημα ενός τέτοιου «ανοιχτού» εγχειρήμα­ τος γίνεται αμέσως σαφές. Αντί να ευνοεί την επιλογή ταλέντων που είναι απλώς ικανά να αφομοιώνουν γνώ­ σεις, να τις συντονίζουν και να τις εφαρμόζουν, χωρίς όμως να διαθέτουν πραγματική δημιουργική ικανότητα, θα επιτρέψει να εκφραστούν τα διάφορα ταλέντα και να επιτύχουν στον τομέα που τους ταιριάζει καλύτερα. Οι παρατηρήσεις αυτές προβάλλονται από ένα σχετι­ κά απλό παράδειγμα. Υπάρχει ένας τομέας των μαθημα­ τικών που συγκροτείται από τη μελέτη αυτού που ονομά­ ζεται «διανυσματικοί τοπολογικοί χώροι». Η γαλλική μέ­ θοδος διδασκαλίας συνίστατο για πολύ καιρό στο να κά­ νει προκαταρκτικά μια πλήρη περιήγηση της γενικής θεωρίας του διανυσματικού τοπολογικού χώρου —η ο­ ποία είναι, από μαθηματική άποψη, μια αρκετά στεγνή θεωρία—, και κατόπιν να μελετά περιπτώσεις ολοένα ειδικότερες, εκείνες των χώρων Banach και στη συνέ­ χεια των χώρων Hubert. Το αντίστροφο εγχείρημα συ­ νίσταται στο να ξεκινήσει κανείς από αυτό που χαρα­ κτηρίζεται ως «χώρος του Hilbert», που, αν και είναι μια αρκετά ειδική περίπτωση, περιέχει μια σημαντική σει­ ρά ενδιαφερουσών ιδιοτήτων, για να περάσει κατόπιν στη γενική θεωρία. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΉΚΟΙ

87

χώρου Hubert είναι εκείνο όλων των συναρτήσεων που το τετράγωνο της απόλυτης τιμής τους έχει πεπερασμέ­ νο ολοκλήρωμα. Ο χώρος αυτός διαθέτει εσωτερικό γι­ νόμενο που ορίζεται από το ολοκλήρωμα του γινομένου δύο συναρτήσεων. Εδώ βρίσκονται αντιμέτωπες δύο αντίθετες αντιλή­ ψεις για τη μαθηματική πρακτική: η μια μαρτυρεί φετι­ χιστικό σεβασμό προς τις γενικές δομές και ευλάβεια μπροστά στην τυπική ομορφιά τους, και η άλλη διαπι­ στώνει ότι η ρώμη και ο πλούτος της μαθηματικής σκέ­ ψης εκδηλώνονται στις ειδικές περιπτώσεις, στις περι­ πτώσεις με τη μεγαλύτερη δυσκολία. Το δημιουργικό μαθηματικό εγχείρημα αρχίζει, είτε το θέλουμε είτε όχι, από παραδείγματα και προχωρά με προσπάθειες να δια­ τυπωθούν τα σχετικά θεωρήματα. Υπ' αυτές τις συνθήκες κατανοούμε ότι τα μαθηματι­ κά μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο πραγματικού πάθους από την πλευρά εκείνων που τους αφοσιώνονται. Το πάθος αυτό, που συχνά προκαλεί την απορία και ε­ νίοτε την ειρωνεία, αν όχι το σαρκασμό, των αμύητων, εξωτερικεύει χωρίς δισταγμό τα κίνητρα του με όρους αισθητικής: ποιος δεν έχει ακούσει κάποιο μαθηματικό να μιλά για ένα «ωραίο» θεώρημα ή για μια «κομψή» απόδειξη; Σε σχέση με αυτές τις εκφράσεις έχουν δια­ τυπωθεί αρκετές φιλοσοφικές εικοτολογίες, με καλή λίγο-πολύ προαίρεση. Όμως, ακόμη και όταν εγώ ο ίδιος τυχαίνει να χρησιμοποιήσω εν τη ρύμη του λόγου ένα τέτοιο λεξιλόγιο, δεν είμαι βέβαιος ότι είναι επιτυχής η εκλογή. Θα πρέπει να αναρωτηθεί κανείς σοβαρά για το τι είναι αυτό που ονομάζει «ωραίο» θεώρημα, πριν σπεύ-

88

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΉΚΩΝ

σει να κάνει παραλληλισμούς με την τέχνη ώστε να χαιρετίσει επιτέλους φιλοσοφικά την ένωση τους στο στοιχείο μιας ποιότητας («το Ωραίο») που αναγορεύεται παγκόσμιο, καθολικό! Θα μου επιτραπεί να επικαλεστώ ένα συμβάν από την προσωπική μου πείρα. Έτυχε να διδάξω επί ένα έτος στο Πανεπιστήμιο του Κυότο. Ποτέ όμως δεν άκουσα ιάπωνα μαθηματικό να χρησιμοποιεί λεξιλόγιο αισθη­ τικής, όπως συνηθίζεται μεταξύ μας. Αυτό το δευτε­ ρεύον συμβάν επιτρέπει, νομίζω, να διατυπώσω μια υπό­ θεση. Όποτε μιλάμε για ένα «ωραίο» θεώρημα, θέλουμε στην πραγματικότητα να πούμε ότι εγγράφεται αρμονι­ κά στην παράδοση της μαθηματικής σκέψης στην ο­ ποία αναφερόμαστε, ή, εν συντομία, ότι μας θυμίζει κάτι από αυτήν την παράδοση. Το γεγονός ότι χαρακτηρί­ ζουμε «ωραία» αυτήν την αρμονική υπόμνηση δεν οφεί­ λεται άραγε στη θεμελιακά ελληνική αντίληψη για την ομορφιά την οποία έχουμε κληρονομήσει; Υπό αυτές τις συνθήκες, δεν θα έπρεπε να υποπτευθούμε αυτό το λεξι­ λόγιο, που υπογραμμίζει την τυπική όψη της μαθηματι­ κής δημιουργίας, ως περισσότερο συντηρητικό απ' ό,τι θα άρμοζε σε έναν επιστημονικό κλάδο ο οποίος προο­ δεύει μόνο με ανατροπές των περιεχομένων του; Εντούτοις, αντίθετα με τα παραπάνω, οι μαθηματικοί όλου του κόσμου (πιθανώς κάτω από την επιρροή της γαλλικής μαθηματικής σχολής) μιλούν για ιδέες ή απο­ τελέσματα «τετριμμένα», προκειμένου να χαρακτηρί­ σουν δεδομένα που τους φαίνονται τόσο προφανή ώστε να γίνονται κοινότοπα. Βέβαια, αυτή η έκφραση, η ο­ ποία δεν έχει επ' ουδενί τη χονδροειδή σημασία που

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

89

συνήθως αποδίδεται στο τετριμμένο υπό τη φιλολογική έννοια, είναι ενίοτε δυσάρεστη για τους μη μαθηματι­ κούς: θα μπορούσε να τη χαρακτηρίσει κανείς σχεδόν έκφραση της «αργκό».

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Ό,τι και αν πιστεύει κανείς για τούτα τα ευαίσθητα ζητή­ ματα, θα πρέπει να υπογραμμίσουμε το δεσμό που σί­ γουρα υπάρχει ανάμεσα στην ύπαρξη μιας καθαυτό μα­ θηματικής έρευνας και ενός δεδομένου κοινωνικού και πολιτισμικού περιβάλλοντος. Εάν είναι σωστό να εξαί­ ρεται η σημασία της ελεύθερης δημιουργίας που πρω­ τοστατεί στην πρόοδο των μαθηματικών, δεν είναι εντού­ τοις ορθό να συμπεράνουμε πως αυτή η δραστηριότητα είναι ριζικά αποκομμένη από τον κόσμο στον οποίο εκ­ τυλίσσεται. Στην πραγματικότητα, από την αρχαιότητα η ιστορία αποδεικνύει πειστικά ότι η ανάδειξη μαθηματικών υψη­ λού επιπέδου δεν μπορεί να συμβεί οπουδήποτε και με οποιονδήποτε τρόπο. Προϋποθέτει μια εξαιρετική πολι­ τισμική προετοιμασία από την πλευρά μιας συγκεκριμέ­ νης κοινωνίας. Εδώ υπεισέρχεται μια ολόκληρη κοινω­ νιολογία, μια μεγάλη προσπάθεια που οφείλει να κινη­ τοποιήσει σημαντικές πνευματικές και υλικές δυνάμεις. Όποιος θυμάται δε ότι η μαθηματική δημιουργία είναι μια κατεξοχήν διανοητική δραστηριότητα, δεν πρόκει­ ται να εκπλαγεί διαπιστώνοντας ότι αναπτύσσεται σε κοινωνίες στις οποίες η καλλιτεχνική δημιουργία έχει

90

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΏΚΩΝ

φτάσει σε σημαντικό βαθμό εκλέπτυνσης. Οι «χρυσοί αιώνες» των μαθηματικών μέσα στην ιστορία προκύ­ πτουν κατά τη διάρκεια χρυσών αιώνων των πολιτισμών (ενώ το αντίθετο δεν αληθεύει πάντα). Κάτω από αυτές τις συνθήκες γίνεται κατανοητό το γιατί ενώ η μαθηματική δραστηριότητα δεν απαιτεί κά­ ποιο βαρύ εξοπλισμό ή κάποια ιδιαίτερα δαπανηρή ε­ πένδυση, εντούτοις οι χώρες του Τρίτου Κόσμου δεν παράγουν μεγάλους μαθηματικούς, εκτός από μερικές σπάνιες αξιοσημείωτες εξαιρέσεις, όπως είναι η Βραζι­ λία ή η Αργεντινή (οι οποίες όμως είναι χώρες μετανα­ στών). Τούτο ισχύει επίσης για τις αραβικές χώρες που είχαν δημιουργήσει την άλγεβρα, οι οποίες εντούτοις σήμερα διαθέτουν μόνο πολύ λίγους σημαντικούς μαθη­ ματικούς. Πράγματι, έως τον 19ο αιώνα, οι περισσότεροι μαθη­ ματικοί ήταν κυρίως Γάλλοι, Γερμανοί ή Ρώσοι (με με­ ρικές σημαντικές μεμονωμένες περιπτώσεις σε άλλες ευρωπαϊκές χώρες). Η Ιαπωνία κατόρθωσε να εγκαθιδρύ­ σει, με τη μίμηση ή με την εφαρμογή μεθόδων προσαρ­ μοσμένων στην περίπτωση της, συνθήκες κατάλληλες για τη δημιουργία μιας μαθηματικής σχολής καλού επι­ πέδου. Μάλιστα σήμερα υπάρχουν περίπου ένα εκατομ­ μύριο ερασιτέχνες μαθηματικοί στην Ιαπωνία (με πλη­ θυσμό διπλάσιο εκείνου της Γαλλίας και περίπου μισό από εκείνο των ΗΠΑ)! Οι επιφυλάξεις που διατυπώσαμε παραπάνω δεν είναι λιγότερο ανησυχητικές για τη μελ­ λοντική ανάπτυξη της ιαπωνικής μαθηματικής σχολής σε πολύ υψηλή στάθμη, εξαιτίας των καταστροφικών ε­ πιπτώσεων που έχει στο δημιουργικό πνεύμα η διαδικα-

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΉΚΟΙ

91

σία επιλογής η οποία έχει εξωθηθεί στα άκρα σε όλες τις βαθμίδες του εκπαιδευτικού συστήματος. Σε ό,τι αφορά τις Ηνωμένες Πολιτείες, αυτές μπόρε­ σαν να αναπτύξουν πραγματικά τη μαθηματική έρευνα τους μόνο μετά τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο, χάρη στη μαζική μετανάστευση ευρωπαίων και ενίοτε ασιατών μαθηματικών, και στη συνέχεια με τη βοήθεια μιας α­ ποφασιστικής πολιτικής «εισαγωγής» εγκεφάλων. Θα πρέπει εντούτοις να προσθέσουμε ότι τα κίνητρα τους ήταν αρχικά —και κατ' ουσίαν παραμένουν— κυρίως οικονομικά. Το ενδιαφέρον τους για τους μαθηματικούς είναι συνάρτηση του υπολογισμού που έχουν κάνει για την οικονομική σημασία των εργασιών τους. Γενικά, το γεγονός ότι ευνοούν την ανάπτυξη της έρευνας δεν οφείλεται στην αγάπη που τρέφουν για τους επιστήμο­ νες, αλλά στην προοπτική των τεχνολογικών επιτυχιών. Αυτό το είδαμε και πρόσφατα με τα εναλλασσόμενα ύψη των πιστώσεων που παρέχονται στους μαθηματικούς από το Εθνικό Ίδρυμα Επιστημών (National Science Foundation), το οποίο συγκεντρώνει το ουσιώδες μέρος των ομοσπονδιακών επιδοτήσεων στη μαθηματική έ­ ρευνα. Η κατάσταση αυτή δεν στερείται κινδύνων, αλλά ούτε και ζημιών για την κοινωνική θέση των ερευνητών, που στις ΗΠΑ τους υπολογίζουν απείρως λιγότερο από τους κάθε είδους διοικητικούς υπαλλήλους, ανώτερα στελέχη και μηχανικούς. Θα ήθελα να αναφερθώ σε ένα ζήτημα που θίγεται στις παραπάνω γραμμές και συχνά τίθεται με διάφορες, λιγότερο ή περισσότερο ομολογημένες προκαταλήψεις:

92

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΉΚΩΝ

γιατί υπάρχει μεγάλη περίσσεια εβραίων φυσικών και μαθηματικών; Αν θέλουμε να αποφύγουμε τις θεολογικο-πολιτικές αιτιολογήσεις, που οδηγούν στο φανατι­ σμό, και τις αντίστοιχες γενετικές, που έχουν ως από­ ληξη το ρατσισμό και στερούνται πραγματικού υποβά­ θρου, θα δούμε ότι αυτό το γεγονός μπορεί να επιβεβαι­ ώσει την πολιτισμική προσέγγιση της οποίας υπεραμύ­ νομαι. Πώς είναι πράγματι δυνατό να αγνοήσει κανείς την ύπαρξη μιας κουλτούρας της Βίβλου που ενσταλαζόταν επί αιώνες σε όλα τα παιδιά των Εβραίων, και μά­ λιστα με τρόπο που συμβάλλει στην ανάπτυξη της κρι­ τικής σκέψης και έρευνας, με την έλξη για καθετί που έχει σχέση με τη διανόηση, καθετί το γραπτό; Σε αυτά θα πρέπει να προσθέσουμε χωρίς αμφιβολία το «πνεύμα της μειονότητας» και το σύστημα εκπαιδευ­ τικών ποσοστώσεων numerus clausus, που λειτουργώντας ως κίνητρο οδήγησαν πολλούς Εβραίους της διασποράς προς τις πιο προωθημένες ανώτερες σπουδές, όπου εί­ χαν εξαιρετικές επιδόσεις μέσα στην προσπάθεια τους να καθησυχάσουν την αγωνία τους για κοινωνική προσ­ τασία και ανέλιξη. Η εκ του αντιθέτου απόδειξη αυτού του τελευταίου επιχειρήματος μπορεί να δοθεί από την ιστορία του κράτους του Ισραήλ, όπου δεν υπάρχει πια αυτό το πνεύμα της μειονότητας. Το Ισραήλ συγκε­ ντρώνει το 27% περίπου των απανταχού Εβραίων. Σχε­ δόν το ένα τρίτο από τα βραβεία Νόμπελ φυσικής που έχουν απονεμηθεί εδώ και μισό αιώνα, δόθηκε σε Ε­ βραίους. Ούτε ένα, όμως, δεν πήγε στο Ισραήλ! Κανένας ισραηλίτης μαθηματικός δεν κατάφερε να πάρει βραβείο Φιλντς!

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

93

Η ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Οι παρατηρήσεις αυτές είναι εντούτοις ανεπαρκείς, αν θέλουμε να κατανοήσουμε το κοινωνικό «είναι» του μα­ θηματικού. Θα πρέπει να τις συμπληρώσουμε με σκέ­ ψεις που άπτονται της πολιτικής της έρευνας και της πολιτικής «αυτής καθ' εαυτήν». Όσον αφορά την πολιτική της έρευνας, το ζήτημα οξύνεται κάπως εξαιτίας της ανόδου της πληροφορικής. Το φαινόμενο που παρατηρείται αυτήν την περίοδο, δη­ λαδή η μετατροπή της πληροφορικής σε μόδα, θέτει ζη­ τήματα που αφορούν εξίσου τους ειδικούς της πληρο­ φορικής και τους μαθηματικούς. Όπως έχω πει, υπάρχει μια θεωρητική πληροφορική, πάνω στην οποία μπορεί να βασιστεί κάποια ελπίδα για το μέλλον των μαθημα­ τικών εν γένει. Ενώ όμως αυτός ο τύπος έρευνας απαιτεί μόνο έναν περιορισμένο αριθμό ερευνητών, είμαστε μάρτυρες μιας πραγματικής άτακτης εισόδου μαθηματι­ κών, συχνά δεύτερης κατηγορίας, σ' αυτόν τον τομέα. Μολονότι η πληροφορική διαδραματίζει σημαντικό οι­ κονομικό και κοινωνικό ρόλο, θα πρέπει εντούτοις να αποτρέψουμε την παγίωση μιας κατάστασης ανισορρο­ πίας που γρήγορα θα αποδειχθεί αρνητική για την ίδια την πληροφορική. Τα μέσα ενημέρωσης και οι πολιτικοί πρέπει πολύ σύντομα να συνειδητοποιήσουν ότι εδώ υ­ πάρχει μια τεχνητή ανάπτυξη καρκινογενούς τύπου. Ει­ δικότερα, είναι δυνατό να αφήνουμε τους φοιτητές να συ­ νωστίζονται στις σπουδές πληροφορικής, ενώ γνωρίζου­ με με βεβαιότητα ότι η αγορά βρίσκεται καθ' οδόν προς τον κορεσμό, τουλάχιστον στο επίπεδο των τεχνικών;

94

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Είναι αληθές, και εδώ έχουμε να κάνουμε με τη γενι­ κή πολιτική, ότι αυτός ο συνωστισμός έχει επίσης οι­ κονομικά αίτια: ποιοι φοιτητές θα επιθυμούσαν να δια­ κινδυνεύσουν τη σταδιοδρομία τους σπουδάζοντας επί μεγάλο χρονικό διάστημα για να έχουν —σε περίπτωση επιτυχίας— την τύχη ενός καθηγητή πανεπιστημίου α­ φοσιωμένου στην έρευνα και την εκπαίδευση στο δικό μας επιστημονικό κλάδο, με μισθό πολύ κατώτερο εκεί­ νου που προσφέρει η βιομηχανία σε έναν καλό ειδικό της πληροφορικής; Γνωρίζουμε την κρίση στελέχωσης των πανεπιστημίων που ενδημεί στη Γαλλία. Είναι σο­ βαρότατη. Το φαινόμενο είναι, με διάφορες διαβαθμί­ σεις, διεθνές. Γι' αυτό και πρέπει επειγόντως να αναλά­ βουν τις ευθύνες τους οι πανεπιστημιακές αρχές και οι πολιτικοί αξιωματούχοι, ο καθένας για λογαριασμό του. Ας αντικρίσουμε το πρόβλημα από τη γενικότερη ό­ ψη του: σε όλες τις χώρες όπου η οργάνωση της έρευ­ νας και της ανώτατης εκπαίδευσης είναι συγκεντρωτική, συμβαίνει να αναπτύσσεται μια πολιτική αναγκών χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα διαθέσιμα μέσα. Όταν για ο­ ποιονδήποτε λόγο (π.χ. εξαιτίας του διεθνούς ανταγωνι­ σμού, της τεχνολογικής ανάπτυξης, ή λόγω της άγνοιας των αποτελεσμάτων ή της μη έγκαιρης πρόγνωση τους) εμφανίζεται αιφνιδίως μια ανάγκη (όπως στην πληρο­ φορική, την ηλεκτρονική ή τις τηλεπικοινωνίες), τότε βρίσκεται κανείς αντιμέτωπος με μια σχεδόν «κατα­ στροφική» κατάσταση υπό την έννοια που περιγράφεται στις εργασίες του Rene Thorn: η απόκριση σε μια «ά­ πειρη» ζήτηση είναι μια «μηδενική» προσφορά! Λόγω έλλειψης προετοιμασίας, πράγματι δεν υπάρχουν αρκε-

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

95

τά άτομα με τις απαραίτητες δεξιότητες για να προαγά­ γουν την έρευνα ή να ασχοληθούν με την εκπαίδευση στον τομέα που εφεξής ανακηρύσσεται ως έχων την από­ λυτη προτεραιότητα. Τι κάνουν τότε οι πολιτικοί, οι ανώτατοι δημόσιοι υ­ πάλληλοι και οι κυβερνητικοί παράγοντες που βρίσκο­ νται —και συχνά εναλλάσσονται— στις διάφορες θέ­ σεις λήψης αποφάσεων; Αυξάνουν τον αριθμό των θέ­ σεων στους εν λόγω τομείς με αλόγιστο τρόπο! Και τό­ τε, ξαφνικά, τα πανεπιστήμια καλούνται να πληρώσουν αυτές τις θέσεις το ταχύτερο δυνατόν. Τι κάνουν, λοι­ πόν, οι πανεπιστημιακοί; Φοβούμενοι μήπως χάσουν τις επιχορηγήσεις για τις θέσεις αυτές (μια κατάσταση ι­ διαίτερα γνωστή σε πανεπιστημιακούς κύκλους!), σπεύ­ δουν να τις στελεχώσουν με τους πρώτους τυχόντες, κα­ τεβάζοντας το επίπεδο των απαιτήσεων όσο χαμηλά χρειάζεται! Κατ' αυτόν τον τρόπο, νέοι άνθρωποι που συχνά είχαν λίγο-πολύ αποτύχει στον αρχικό τομέα τους, αλλά είχαν επαφή με τη νέα περιοχή, φράζουν το δρόμο για τους άξιους υποψηφίους που θα παρουσια­ στούν τα επόμενα τριάντα χρόνια. Για να συμπληρώσουμε την εικόνα, θα πρέπει να πού­ με ακόμη ότι σε μια τέτοια περίπτωση, επειδή η αγορά στελεχώνει και αυτή θέσεις την ίδια περίοδο και με ευ­ νοϊκότερες οικονομικές συνθήκες, οι πλέον καταρτισμέ­ νοι δεν θέτουν καν υποψηφιότητα για αυτές τις πανεπι­ στημιακές θέσεις. Αυτή η καταστροφική λογική πρέπει να αντικατα­ σταθεί με έναν άλλο τρόπο λειτουργίας, και τα πανεπι­ στήμια να τεθούν προ των ευθυνών τους: κάθε επιτυχία

96

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

στην πρόσληψη νέου προσωπικού πρέπει να ανταμείβε­ ται εκ των υστέρων από το κράτος, ενώ για κάθε αποτυ­ χία να υπάρχουν κυρώσεις μέσω της διακοπής ή της μείωσης της επιχορήγησης. Τούτο προϋποθέτει ότι θα τους δοθεί περισσότερη ελευθερία, ενώ θα πρέπει να ε­ φαρμοστεί ταυτόχρονα πολύ αυστηρός και προσεκτικός επιστημονικός έλεγχος. Τότε δεν πρόκειται να αρκείται κανείς, όπως σήμερα, στο να παρουσιάζει μια πολιτική που φαίνεται καλή στα χαρτιά, αλλά ικανοποιεί μόνο τους κυβερνητικούς υπαλλήλους. Και αυτοί, δυστυχώς, στη Γαλλία ουδεμία γνήσια επαφή έχουν με τις πραγμα­ τικότητες της έρευνας.

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ: ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Προς το τέλος της δεκαετίας του 1960, ο εξέχων μαθη­ ματικός Andre Lichnerowicz επιφορτίστηκε στη Γαλλία με την προεδρία μιας επιτροπής που καθήκον της είχε την προετοιμασία της μεταρρύθμισης των προγραμμά­ των μαθηματικών στα γυμνάσια και τα λύκεια. Στόχος ήταν να προσαρμοστεί η διδασκαλία των μαθηματικών στις απαιτήσεις του σύγχρονου κόσμου, να εναρμονιστεί με την έρευνα στα μαθηματικά, αλλά και με τα ζωντανά μαθηματικά που εφαρμόζονται στη φυσική και τις άλλες επιστήμες. Η προοπτική ήταν να εισαχθούν τα «μοντέρ­ να μαθηματικά» στα εκπαιδευτικά ιδρύματα! Λίγο αργό­ τερα εγκαινιάστηκε μια ανάλογη πρωτοβουλία στις Η­ νωμένες Πολιτείες κάτω από το λάβαρο «new math».

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

97

Η βασική ιδέα ήταν θαυμάσια, αλλά η πραγματοποί­ ηση της απέβη καταστροφική στη Γαλλία. Προέκυψε ένα είδος εθνικού ψυχοδράματος, για το οποίο είναι χρή­ σιμο να κάνουμε μερικές σκέψεις αναδρομικά, εφόσον θέλουμε να αποφύγουμε την επανάληψη παρόμοιων λα­ θών στο μέλλον. Το πρώτο λάθος που έγινε ήταν ότι τα μαθηματικά αποκόπηκαν από τις διαισθητικές βάσεις τους και έτσι έγιναν πιο αφηρημένα για παιδιά μιας τρυφερής ηλικίας. Αυτό το λάθος έγινε αμέσως αντικεί­ μενο κριτικής από πολλούς μαθηματικούς, και ειδικότε­ ρα από τον Jean Leray, έναν μεγάλο ειδικό των διαφο­ ρικών εξισώσεων. Αντί να αποκοπούν τα μαθηματικά α­ πό τις διαισθητικές βάσεις τους, εκείνο που έπρεπε να γίνει ήταν, παράλληλα με την πρόοδο στην αφαίρεση και την αξιωματική θεμελίωση, να εμπλουτιστούν αυτές οι βάσεις, να πολλαπλασιαστούν τα παραδείγματα με τα οποία οι μαθητές θα κατάφερναν να αποκτήσουν μια σχέση οικειότητας. Μολονότι ο Andre Lichnerowicz δεν ήταν ο ίδιος οπαδός του Μπουρμπακί, μπορούμε εντού­ τοις να πούμε ότι σε τούτη την περίπτωση, προς μεγάλη δυστυχία των μαθητών (και των καθηγητών), θριάμβευ­ σε ένα είδος «μπουρμπακισμού των λυκείων». Το δεύτερο λάθος μάς δίνει ένα γενικό μάθημα σχετι­ κά με τις μεταρρυθμίσεις που αποφασίζονται από την πολιτική εξουσία. Όταν λαμβάνεται μια τέτοια απόφα­ ση, θα πρέπει βεβαίως να γνωρίζει κανείς τι είναι επιθυ­ μητό, αλλά καλό είναι να λαμβάνει επίσης υπόψη του και τα διαθέσιμα μέσα. Στην προκειμένη περίπτωση, ό­ μως, τα μέσα αυτά δεν ήταν τίποτε άλλο παρά το σώμα των διδασκόντων, στην κατάσταση που βρισκόταν, δη-

98

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

λαδή με έλλειψη εκπαίδευσης στα «μοντέρνα μαθηματι­ κά»! Πολλοί καθηγητές δεν ήταν έτοιμοι να διδάξουν αυτά τα μαθηματικά, γιατί δεν κατανοούσαν τη βαθύτε­ ρη ουσία τους. Και επειδή δεν την κατανοούσαν, δεν μπορούσαν να δείξουν στους μαθητές πώς μια συγκε­ κριμένη αφαίρεση συνδεόταν με ζωντανά παραδείγματα. Αποτέλεσμα: αυτοί οι καθηγητές δίδαξαν την ύλη σαν ένα σύνολο αφηρημένων προτάσεων που οι μαθητές ό­ φειλαν να αποστηθίσουν επί λέξει, χωρίς να νοιάζονται για την ίδια τη σημασία των αποδείξεων και των θεω­ ρημάτων! Σε ορισμένες περιπτώσεις η αφαίρεση εξωθή­ θηκε σε τέτοιο σημείο, ώστε να χρησιμοποιείται μια ο­ ρολογία που ενοχλούσε ακόμη και τους επαγγελματίες μαθηματικούς. (Μερικοί από αυτούς πήραν μάλιστα και κακούς βαθμούς στις ασκήσεις των παιδιών τους, επειδή δεν χρησιμοποίησαν την ακριβή διατύπωση που επιθυ­ μούσαν οι επιθεωρητές σπουδών!) Χρειάστηκαν χρόνια για να διορθωθούν τελικά αυτά τα λάθη. Τώρα πια έχει ως επί το πλείστον κλείσει το θέμα, παρόλο που η διδασκαλία συχνά παραμένει ακόμη υπερβολικά αφηρημένη και υπογραμμίζει μονομερώς την αξιωματική προσέγγιση, και όχι τη γονιμότητα της διερεύνησης συγκεκριμένων παραδειγμάτων.

ΚΑΖΙΝΟ Θα μου επιτρέψετε να κλείσω αυτό το μικρό βιβλίο με κάπως πιο ανάλαφρο τόνο, χωρίς εντούτοις να εγκατα­ λείψω το πολύ σοβαρό ζήτημα της «εξουσίας» των μα-

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

99

θηματικών. Ας αποκαταστήσει ο αναγνώστης τη σύνδε­ ση των παρακάτω με όσα προηγήθηκαν στην τελευταία ενότητα. Οι μαθηματικοί διατηρούν από αιώνες στενές σχέσεις με τα τυχερά παιχνίδια. Ας θυμηθούμε μόνο τον Pascal! Ακόμη, δεν λείπουν και παίκτες, επαγγελματίες ή μη, που πιστεύουν ότι αυτή η επιστήμη μπορεί να δώσει την «καλή μέθοδο», αυτή που θα τους κάνει να κερδίσουν στο καζίνο, αφού πάντοτε έχουμε να κάνουμε με πιθανό­ τητες. Γιά να δούμε λοιπόν τι συμβαίνει εδώ. Θα ξεκινήσουμε από το πιο γνωστό πρόβλημα, εκείνο του διπλασιασμού του ποσού. Ας το ξεκαθαρίσουμε από την αρχή: από μαθηματική άποψη, η μέθοδος διπλασια­ σμού του ποσού δεν ευσταθεί. Επιπρόσθετα, είναι εξαι­ ρετικά επικίνδυνη στην πράξη. Ας δούμε λοιπόν μια κλασική περίπτωση στη ρουλέτα, που έχει 36 αριθμούς συν το μηδέν: ένας παίκτης ποντάρει σε κάποια από τις «απλές τύχες» (μαύρα/κόκκινα, ζυγά/μονά, μικρά/μεγά­ λα), που έχουν ίσες πιθανότητες, δηλαδή 18 αριθμούς, και κάθε φορά ανεβάζει το ποσό που παίζει: από x σε 2χ, 4χ, 8χ... Ας υποθέσουμε ότι την πρώτη φορά τοποθετεί χ και χάνει, αλλά κερδίζει την επόμενη φορά* τότε θα έχει κερδίσει συνολικά: 2χ- 1χ = χ. Αν τώρα χάσει χ, ύστερα 2χ και κερδίσει 4χ, θα έχει κερδίσει για άλλη μια φορά χ. Διατυπώνεται λοιπόν ο ισχυρισμός ότι υπάρχει εδώ μια αλάνθαστη μέθοδος για να κερδίζει κανείς. Ας υπο­ θέσουμε ότι το χ ισούται με 1.000 φράγκα. Λέγεται λοι­ πόν ότι αν ο παίκτης ρισκάρει αυτό το ποσό στο ξεκί­ νημα, τότε θα το διπλασιάσει οπωσδήποτε, όταν έπειτα από κάποια παιχνίδια η τύχη θα γυρίσει με το μέρος του.

100

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Θα πρέπει όμως να παρατηρήσουμε ότι η τύχη μπορεί να αργήσει να γυρίσει, και ότι, με αυτήν τη μέθοδο παι­ χνιδιού, θα πρέπει να διαθέτει κανείς υπέρογκο κεφά­ λαιο για να μπορεί να «περιμένει». Ας ξανακάνουμε τους υπολογισμούς με τα 1.000 φράγκα. Στην περίπτωση που ο παίκτης χάσει τέσσερις συνεχόμενες φορές, και κερ­ δίσει μόλις την πέμπτη, πράγμα που στο κάτω κάτω δεν αποτελεί σπάνια περίπτωση, θα χρειαζόταν να έχει του­ λάχιστον κεφάλαιο 31.000 φράγκων για να κερδίσει τε­ λικά 1.000 φράγκα. Αφήνω στη διάθεση του αναγνώστη τον υπολογισμό του ποσού που απαιτείται αν η ατυχία του διαρκούσε είκοσι γύρους! Τελειώνοντας, πρέπει να παρατηρήσουμε ότι αν δεν κερδίσει με την πέμπτη φορά, θα χρειαστεί να παίξει 32.000 φράγκα την επόμενη φορά, και το διπλάσιο σε κάθε συμπληρωματικό γύρο, πράγμα αδύνατο, διότι το ποσό που επιτρέπεται να παιχθεί έχει κάποιο ανώτατο όριο. Επειδή όλα τα καζίνα του κόσμου έχουν ορίσει ανώτατο ποσό, είναι μάλλον εξωραϊσμένο αυτό που εί­ πα, ότι δηλαδή η μέθοδος είναι επικίνδυνη. Για παρό­ μοιους λόγους, κανένα σύστημα διπλασιασμού του πο­ σού, όσο προσεγμένο και λεπτομερές και αν είναι, δεν μπορεί να θριαμβεύσει στο καζίνο. Η μόνη «μέθοδος» που αξίζει είναι εντελώς διαφορε­ τική. Στηρίζεται στο γεγονός ότι καμία ρουλέτα δεν εί­ ναι τέλεια, όπως άλλωστε και κανένας γκρουπιέρης (προφανώς δεν αναφέρομαι στην περίπτωση που ο γκρουπιέρης είναι ανέντιμος!). Εδώ η κατάσταση είναι πολύ διαφορετική από εκείνη του λόττο. Μπορεί λοιπόν να μελετήσει κανείς με το μάτι, εφόσον έχει την κατάλ-

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

ΙΟΙ

ληλη εκγύμναση, τις συσχετίσεις που προκύπτουν από το γεγονός ότι ο γκρουπιέρης κουράζεται και αρχίζει αναπόφευκτα, κάποια στιγμή, να ρίχνει τη μπίλια με κά­ ποια κανονικότητα. Θα πρέπει τότε να συνυπολογίσει και την ίδια τη ρουλέτα, που δεν μεταβάλλεται όταν αλ­ λάζει ο γκρουπιέρης, δηλαδή ότι εξαιτίας των ατελειών της ενισχύει ορισμένες πιθανότητες έναντι κάποιων άλ­ λων. Με αυτόν τον τρόπο μπορεί να ανακαλύψει κανείς συσχετίσεις ανάμεσα σε διάφορους αριθμούς: μπορεί να γνωρίζει, για παράδειγμα, ποια γειτονική περιοχή ευνο­ είται στην επόμενη κίνηση, αν τώρα έχει βγει το 6. Αν ανακαλύψω ότι μία φορά στις τρεις ευνοείται κάποιο έ­ κτο της ρουλέτας, τότε από τους τριάντα έξι αριθμούς —με γρήγορο υπολογισμό, διότι οι αριθμοί δεν διατάσ­ σονται στην τσόχα με τη σειρά που καταλαμβάνουν στη ρουλέτα— αρκεί να παίξω έξι ή επτά αριθμούς για να κερδίσω μία στις τρεις φορές, πράγμα που σε τελική α­ νάλυση κάνει το παιχνίδι κερδοφόρο. Δεν πρόκειται βέβαια εδώ για μέθοδο διπλασιασμού του ποσού ούτε για καθαρά μαθηματικά, αλλά για μελέ­ τη των ατελειών της ρουλέτας και του γκρουπιέρη, κα­ θώς και για υπολογισμό των συσχετίσεων. Πώς γίνεται λοιπόν να μη θεωρούμε τις επιτυχίες ο­ ρισμένων παικτών που τινάζουν την «μπάνκα» στον αέ­ ρα (συχνά και με χρήση υπολογιστών) ως περίτρανη εκδήλωση της «εξουσίας» των μαθηματικών; Εδώ θα α­ φήσω τον αναγνώστη να ονειρευτεί. Διότι τα μαθηματι­ κά, όταν τα αντιληφθεί κανείς κατ' αυτόν τον τρόπο, δίνουν επίσης τη δυνατότητα να ονειρεύεσαι.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ν., Elements de mathematique (ειδικότερα το βι­ βλίο, «Theorie des ensembles»), Hermann, Παρίσι.

BOURBAKI,

EINSTEIN, Α . , Relativity (The Special and General Theory),

Crown Publishers, Νέα Υόρκη, 1961. R., The Character of the Physical Law, 1967.

FEYNMAN,

MIT

Press,

GINDIKIN, S.G., Tales of Physicists and Mathematicians, Bir-

khauser, Βοστώνη, 1988. HADAMARD, J., The Psychology of Invention in the Mathema­

tical Field, Princeton University Press, 1945* Dover, Νέα

Υόρκη, 1954. HEISENBERG, W., Physics and Beyond, Harper and Row, Νέα

Υόρκη, 1971. PAIS, Α . , Inward Bound (Of Matter and Forces in the Physical

World), Oxford University Press, 1986. SHUBNIKOV, A . V . και KOPTSIK, V . A . , Symmetry in Science

and Art, Plenum Press, 1974. U L A M , S., Science, Computers and People (From the Tree of

Mathematics), Birkhauser, Βοστώνη, 1986 WINGER, E.P., Symmetries and Reflections (Scientific Essays),

MIT Press, 1967.

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ ΚΑΙ ΟΝΟΜΑΤΩΝ α Αϊνστάιν, 'Αλμπερτ, 70 άλγεβρα, 36, 38 τελεστών, 35 του Lie, 38 ανάλυση, 36, 38 αριθμητική, 36, 38 Αριστοτέλης, 10, 55 Αρχιμήδης, 13 Αρχύτας, 11

Cohen, Paul, 57, 58,61 Compte, Auguste, 17 Connes, Alain, 35, 43, 70 Cooper, Leon, 50, 75 Cournot, Antoine-Augustin, 19 Galois, Evariste, 37, 81 Gauss, Carl Friedrich, 59 Glashow, Sheldon, 72 Grothendieck, Alexander, 29,42, 43 S.d

βιολογία, 69, 73-76 βραβεία Νόμπελ, 27 Bardeen, John, 50 Big Science, 26 Bohr, Niels, 49, 69 Bolzano, Bernard, 59 Broglie, Louis de, 49

Δαρβίνος, 18 διαστημική έρευνα, 26 διαφορικός λογισμός, 33 Debreu, Gerard, 76 Deligne, Pierre, 43 Dieudonne, Jean, 29 Dirac, Paul, 42, 49 DNA, 74 Donaldson, Simon, 43

y. c,g

ε

Γαλιλαίος, 13, 15, 26, 59 γεωμετρία, 36 αλγεβρική, 29 διαφορική, 38, 42 ριμάνεια, 70 Cantor, Georg, 59 Cauchy, Augustin-Louis, 37 Changeux, Jean-Pierre, 70

εγκέφαλος, 74, 75 εικασία του Mordell, 28 ενοποίηση των θεμελιωδών δυ­ νάμεων, 50 Επίκουρος, 13 h

Hamilton, William Rowan, 62

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

106

Hubert, David, 57, 58

κβάντωση των βαρυτικών πε­ δίων, 48 κοινωνικές επιστήμες, 22 Koch, Jean, 63 Koyre, Alexandre, 13

θ

/

θεώρημα του Fermat, 28, 40 θεωρία αριθμών, 35 βαθμίδας, 71 καταστροφών, 43, 77 κόμβων, 34 μέτρου, 38 μικροσυναρτήσεων, 41 παιγνίων, 77 πεδίου, 34 πεδίου, κβαντική, 47 των πεπερασμένων σωμάτων, 70 συνεχών ομάδων, 38 συνόλων, 32, 52, 59 της σχετικότητας, γενική, 47, 70 της σχετικότητας, ειδική, 45

Lagrange, Joseph-Louis, 16, 37, 76 Leibniz, Gottfried Wilhelm, 16 Leray, Jean, 97 Lichnerowicz, Andre, 96, 97 Lie, Marius Sophus, 38 Liouville, Joseph, 37

Heesch, Heinrich, 62 Heisenberg, Werner, 49, 66, 67, 75

J

Jones, Vaughan, 43 Jordan, Camille, 38 K,k

Καντ, Ιμμάνουελ, 17, 56 Καρτέσιος, 13, 15, 26 κβαντική ηλεκτροδυναμική, 47, 50

μ, m

μαθηματική λογική, 55-61 μέθοδος Μόντε Κάρλο, 75 μέλαν σώμα, 49 Μέντελ, Γκρέγκορ, 17, 73 μετάλλια Φιλντς, 27, 92 μεταμαθηματικά, 57 μη πληρότητα, 58 μηχανές του Turing, 65 μηχανική κβαντική, 45, 47, 48, 49, 74 κλασική, 44, 45, 46 κυματική, 49 Manhattan Project, 75 Modigliani, Franco, 77 Morgan, Auguste de, 62 Morgenstern, Oskar, 77 ν, η

Νεύτων, Ισαάκ, 15, 16, 33

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ ΚΑΙ ΟΝΟΜΑΤΩΝ

Needham, Joseph, 14 Neumann, John von, 77 ο

οικονομία, 22, 76-79 ομάδες μεταθέσεων, 38 Lie, 38

107

Schrieffer, John Robert, 50 Schrodinger, Erwin, 49 Schwartz, Laurent, 41 Schwinger, Julian, 47, 50 Smith, Adam, 19 τ, /

παράδοξο του Russell, 32, 52 Πλάτων, 11,69 πληροφορική, 61-66 πρόβλημα των τεσσάρων χρω­ μάτων, 62 πρόγραμμα Hubert, 57 Πυθαγόρειοι, 10 Peano, Giuseppe, 59 Planck, Max, 49 problem-solver (λύτης προβλη­ μάτων), 40, 44

ταχύτητα του φωτός, 45 τοπολογία αλγεβρική, 38 διαφορική, 42 τύπος του δείκτη (index formu­ la), 30 theory-maker (δημιουργός θεω­ ρίας), 40, 42, 44 theory-prophet (προφήτης θεω­ ρίας), 42 Thorn, Rene, 42, 43, 77, 94 Tomonaga, Sin-itiro, 47 Thompson, Arcy, 18 Turing, Alan, 65

r

v, u

Ricardo, David, 19 Riemann, Georg Friedrich, 70 RNA, 74 Russell, Bertrand, 32, 56 Rutherford, Ernest, 49

υπεραγωγιμότητα, 50, 75 υπερχορδές, 51 υπολογιστής, 63, 64, 65 Ulam, Stanislaw, 75

η, ρ

9.f σ, s

σταθερά του Planck, 44, 49 στατιστική, 21, 77 Salam, Abdus, 72 Samuelson, Paul, 76

φυσική, 33 κλασική, 33, 49, 67 και μαθηματικά, 44-53 μαθηματική, 34, 66-72 πυρηνική, 26

108

στερεάς κατάστασης, 50 σωματιδίων, 26 φυσική μαθηματική επιστήμη, 34 Faltings, Gerd, 28, 43 Feynman, Richard, 47 Freedman, Michel, 43 Frege, Gottlob, 56

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

τεσσάρων διαστάσεων, 44 Banach, 86 Hubert, 86, 87 Ψ

ψυχολογία, 22 ψυχρή σύντηξη, 50 w

Χέγκελ, Γκεόργκ, 56 χορδές, 51 χώροι διανυσματικοί τοπολογικοί, 86

Weinberg, Steven, 72 Whewell, William, 19 Whitehead, Alfred North, 32 Wigner, Eugene, 67, 75 Wittgenstein, Ludwig, 56