montev06

Simulaci´ on Monte Carlo: on Aplicaci´ on a la dos on dosim imet etr r´ıa de radiaciones Gustavo Castellano 

Facult Facu ltad ad de Ma Mate tem´ m´atic at ica, a, As Astr tron onom om´´ıa y F´ıs ısic icaa Universidad Nacional de C´ordoba ordoba - Argentina

Montevideo - Noviembre de 2006

Contenidos

•

Noc iones b´ Nociones asicas asicas para la simulaci´ simulac i´ on on Monte Carlo. Element Elementos os de teor´ teor´ıa de probabili probabilidad dades. es.

•   Simulaci´on on del transporte de radiaci´on. on. Programa PENELOPE.

Bibliograf´ıa: PENELOPE - A code system for Monte Carlo simulation.

F. Salvat, J. Fern´ Fern´andez-Varea, andez-Varea, E. Acosta y J. Sempau (2001). http://www.nea.fr/abs/html/nea-1525.html

Simulaci´ on Monte Carlo

 −→  “cascada”

Simulaci´ on Monte Carlo

 −→  “cascada”

Simulaci´ on Monte Carlo

 −→ N´umeros al azar   ←→  Probabilidad

Variables aleatorias

(expectativa  respecto del resultado de un experimento o evento)

n M   posibilidades, n   favorables : p(x) = M  x   continua

 → ∞)

(M 

 −→  densidad de probabilidad  p(x)  p(x) dx : probabilidad de observar resultados entre x y x + dx P (a

≤ x ≤ b) =

b a

 

dx p(x)

[ En realidad,  cualquier   variable aleatoria puede considerarse como  continua:  p(x) =



i pi

δ (x

−x ) ] i

Densidad de probabilidad

◦ ◦

p(x)

≥0

 

dx p(x) = 1

 

(normalizaci´ on)

  Cualquier funci´on que satisfaga estas condiciones puede interpretarse como distribuci´ on de probabilidad.

P (x)

x xm´ın

  ≡

dx  p(x ) 



probabilidad cumulativa

d (x) mon´otonamente creciente: p(x) = dx

P  ≥ 0

P (x

m´ ın

)=0 ;

P (x

max

)=1

n

x  =

 

dx xn p(x)   momento n-´esimo (algunos momentos podr´ıan no existir!)

x =

 

dx x p(x)

 −    

var (x) = (x σ=

→ f  =

 

2

x)

valor medio (esperado)

= x2

2

  − x

varianza

var (x)   desviaci´on est´andar

dx f (x) p(x)

y

var [f (x)] = f 2

 −  f 

2

(f   : variable aleatoria)

Varias variables

 p(x, y)

x, y

→

p(x, y)

probabilidad conjunta

q (x) = q (y) =

   

dy p(x, y) dx p(x, y)

f (x, y) =

  

 

   

≥0

dx dy p(x, y) = 1

probabilidades   marginales 

dx dy f (x, y) p(x, y)

Correlaci´ on entre variables aleatorias



cov (x, y)

=

cor(x, y)

=

xy − xy

 

covarianza

  cov(x, y) σx σy

correlaci´on   (adimensional)

−1 ≤ cor(x, y) ≤ 1 −

   cor(x, x) = 1;

x, y   independientes

cor (x, x) =

→

−1 ·

p(x, y) = px (x)  py (y)

y   cov (x, y) = 0

Generaci´ o n de n´ umeros al azar

ξ  distribuida uniformemente en (0,1)

algoritmos

→

n´ umeros  seudo aleatorios  (32 bits, per´ıodo 13 18 )

   ≡

x

M´etodo de la transformada inversa: ξ  =

π(ξ ) dξ  = p(x) dx

⇒

π(ξ ) = p(x)

P (x)

  dξ  dx



dx  p(x )

xm´ın

−1

=1







ξ   uniforme en (0,1)



M´ etodo de la transformada inversa

P (x)

 p(x) ξ 

x ξ   uniforme

→

x   seg´ un p(x) =

dξ dx

M´ etodos de rechazo de variables

A

Cπ (x)

 p(x)

1

r (x)

 p(x) = C π(x) r(x)

Muestreo de muchas variables

probabilidades marginales

probabilidades condicionales

−→ q (x) =

 

|

dy p(x, y)

p(x y) =

p(x, y) q (y)

↓ distribuci´ on de probabilidades muestreo de una  variable

−→

m´etodos de composici´on

Simulaci´ on del transporte de radiaci´ on

secci´ on eficaz diferencial

−→   modelos de dispersi´on →   distribuci´on de probabilidades

Ejemplo: dos mecanismos A y B con p´erdida de energ´ıa W   y deflexi´on θ d2 σA dW  dΩ

,

d2 σB dW  dΩ

normalizaci´ on  mediante secciones eficaces totales σA,B =

 pA,B =

 

d2 σA,B dW  dΩ

σA,B σA + σB

(s´ olo para medios amorfos, no se involucran efectos ‘coherentes’)

Generaci´ on de trayectorias aleatorias

Coordenadas polares

Generaci´ on de trayectorias aleatorias

Cantidad de inter´es: energ´ıa depositada, ionizaciones, retrodispersi´on, etc. ¿Estimaciones?

→   variable aleatoria

N 

Estimaci´ on:

q¯  =

1 q i N  i=1



→

   



dx q (x) p(x) = q  N 

var(q ) =

N 

q¯  =

1 q i2 N  i=1

1 = q  = q  N  i=1

N 

 

1 1 var(¯ q ) = var q i = 2 N  i=1 N 

σ(¯ q ) =

N 

σ(q ) N 

√ 



1 var (q ) =   var (q ) N  i=1



 → ∞)

(N 

N 

    1 q i N  i=1

2

− q¯ 



 → ∞)

(N 

N 

 

1 1 var(¯ q ) = var q i = 2 N  i=1 N 

N 

 i=1

var (q ) =

1   var (q ) N 

σ(q ) σ(¯ q ) = N 

√ 

σ/M 

2

⇒ N  ∗ M 

!!!

Reducci´ on de varianza: privilegiar algunas interacciones, descartando otras

(aprovechando tiempo de simulaci´on)

•   Splitting •   Russian roulette •   Interaction forcing • ...

Subrutinas   PENELOPE

•  PENetration and Energy LOss of Positrons and Electrons (luego se incorporan fotones)

•   fotones →   simulaci´on  detallada electrones-positrones →   simulaci´ on  mixta • part´ıculas secundarias (cronol´ogicamente) •  100 eV – 1 GeV •   cuatro bloques:    Inicializaci´ on - Entrada de datos    Simulaci´ on de interacciones  Rutinas num´ericas    Transporte de radiaci´on PENELOPE - A code system for Monte Carlo simulation . F. Salvat, J. Fern´ andez-Varea, E. Acosta y J. Sempau (2001). http://www.nea.fr/abs/html/nea-1525.html

Programa de simulaci´ on: Principal Subrutinas usuario Rutinas de simulación

Database

PENELOPE

PENGEOM

Material

Definición de geometría

PDCOMPOS.TAB

•   Composici´on, densidad, energ´ıa media de excitaci´on para 279 materiales

•  Primeros 98: materiales puros (n´umeros at´omicos) (PENELOPE  no funciona para Z > 92)

• 99 – 279: mezclas y compuestos, en orden alfab´etico •   Listados en  PDEFLIST.TAB Ejemplos: PENSLAB, PENCYL, PENDOSES

Interacciones de fotones

•   Coherent (Rayleigh) • Efecto fotoel´ectrico •   Dispersi´on Compton (inel´astica) •   Producci´on de pares electr´on-positr´on −→   Relajaci´on at´omica

Interacciones de electrones y positrones

• •

Colisiones el´asticas Colisiones inel´asticas colisiones inel´asticas “duras”

•

•   Emisi´on de Bremsstrahlung •   eventos radiativos “duros” •   Aniquilaci´on de positrones −→   Relajaci´on at´omica

Transporte de electrones/positrones

Esquema de simulaci´on “mixta”:

•

Teor´ıa de dispersi´ on m´ ultiple

• •

P´erdidas leves de energ´ıa

Multiple elastic scattering theory Colisiones inel´asticas “duras” Hard inelastic collisions

PENELOPE: Ejemplos PENSLAB

•  cascadas de electrones/fotones en una muestra plana

(geometr´ıa simple)

•   informaci´on sobre muchas cantidades de inter´es •   extensi´on lateral infinita, profundidad: 0...espesor • energ´ıa de part´ıculas incidentes E0 fuente puntual a ‘altura’ Z0 entre direcciones THETA1 y THETA2

PENSLAB

•   extensi´on lateral infinita, profundidad: 0...espesor • energ´ıa de part´ıculas incidentes E0 fuente puntual a ‘altura’ Z0

entre direcciones THETA1 y THETA2

PENCYL

PENCYL

•  cascadas de electrones/fotones en estructuras  multicapas • cada capa: cilindros conc´entricos homog´eneos perpendiculares al eje z, con centro seg´un X, Y

(composiciones y radios)

•  info sobre transporte y dep´osito de energ´ıa (simetr´ıa acimutal) • espectro de energ´ıa para part´ıculas incidentes fuente puntual o extensa (cil´ındrica) en SX0, SY0, SZ0 direcciones: cono de semiapertura SALPHA con eje central en STHETA, SPHI

→   GVIEWC

PENDOSES

• • •

estructuras geom´etricas complejas (superficies cu´adricas) fuente puntual monoenerg´etica en X0, Y0, Z0 direcciones: cono de semiapertura SALPHA (eje en STHETA, SPHI) energ´ıa media depositada en cada cuerpo