Monte Carlo Ejercicios

Ejemplo 1 Supongamos que tenemos un sat´ elite, elite, que para su funcionamiento depende de que al menos 2 panel paneles es solares solares de los 5 que tiene disponibles est´een n en funcionamiento, y queremos calcular  calcular   φ  la vida ´util util esperada esp erada del sat´eelite lite (el tiempo promedio de funcionamiento hasta que falla, usualmente conocido en la literatura como MTTF - Mean Time To Failure). Supongamos que cada panel solar tiene una vida ´util util que es aleatoria, y est´ a uniformemente distribu´ distribu´ıda en el rango [1000 hs, 5000 hs] (valor promedio: 3000 hs). Para estimar por Monte Carlo el valor de  de   φ, haremos  haremos   n  experimentos, cada uno de los cuales consistir´ consistir´ a en so sortea rtearr el tiempo de falla de cada uno de los paneles solares del sat´ elite, elite, y observar cual es el momento en el cu´ aall han fallado 4 de los mismos, esta es la variable aleatoria cuya esperanza es el tiempoo prome tiemp promedio dio de funcionamiento funcion amiento del sat´eelite. lite . El valor promedio de las  las   n  observaciones nos proporciona una estimaci´ oon n de   φ. de Curso “M´eetodos todos de Monte Carlo” - Facultad de Ingeni Ingenier er´´ıa, Universida Universidad d de la Rep´ublica (Uruguay)

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Exper. nro. 1 2 3 4

Panel 1 3027 4162 3655 2573

Panel 2 1738 4029 2896 2649

56 Prom.

23977576 -

24712940 -

Tiempo hasta falla de Panel 3 Panel 4 Panel 5 2376 4685 4546 4615 3455 3372 1378 4010 4144 2117 3956 1281 11375459 -

23236988 -

sat´elite,   X (i) 4546 4162 4010 2649

32256821 23977576 -   S n/n /n =  = 3683

Table 1: Una simulaci´on on detallada con  con   n  = 6  experimentos. De esta simulaci´oon, n, tenemos un valor estimado para la vida ´util util esperada dell sat´ de sat´elit elitee de de 3683  3683.. Un indicador del error que podemos estar cometiendo es la varianza o equivalentemente la desviaci´on on est´ es t´aandar ndar de  de   S n, que en este caso es (haciendo los c´alculos)  alculos)   297 297..

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Seudoc´ o odigo di go b´ a asico si co de un M´ etodo eto do Mon Monte te Carlo Supongamos que deseo calcular un cierto valor   φ, y conozco una variable aleatoria   X  con aleatoria X  con distribuci´ on  on   F X  tal que  que   φ  =  E (X ).  = E Procedimiento Estimaci´oonMonteCarlo nMonteCarlo (integer (integer   n, real X ), ), real V    tama˜  no de la muestra 

Par´ametro ame me tros tro sde en da:   n,,  estimador   de Par´ aametro deentra salida saltrada: ida: : X  de   φ; V , V ,   estimador  de   de Var X 

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1. X   = 0. /* Inicializaci´oon n */ 2. V V     = 0. 3. For  For   i  = 1, . . . , n  n   do 3.1 Sortear un valor de la variable  variable   X (i) con distribuci´ oon  n   F X X  + 3.2 X   = X  + X (i) /* Acumular*/ V   + ((X  X (i))2 /* Acumular*/ 3.3 V V     = V   4. X   = X /n 5. V  V    = V /(n ∗ (n  (n − 1))   − X 2/(n − 1)

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Para la implementaci´oon n computacional de Monte Carlo, se supone siempre posible el conseguir muestras de variables aleatorias uniformes entre 0 y 1 (U  U (0 ), y el generar muestras de otras distribuciones a partir de la (0,, 1) 1)), transformaci´ on on de las variables uniformes. En la unidad 4 se discuti discutir´ r´a m´ as as a fondo este tema, esencial en la pr´ aactica. ctica. Para dar los elementos necesarios para poder programar implementaciones, se adelantan los siguientes conceptos: •

 Bibliotecas para generar n´u umeros meros seudo-aleatorios: conjunto de funciones que permiten generar secuencias de n´u umeros meros que se comportan de forma razonablemente similar a una secuencia de variables aleatorias independientes con distribuci´on on uniforme entre 0 y 1. –  Semilla: valor dado para inicializar la secuencia, semillas distintas

resultan en secuencias distintas. on on de inicializaci´ on: on: inicializa la secuencia con una semilla. –   Funci´ on on de sorteo: proporciona el pr´ooximo ximo n´umero umero aleatorio dentro –   Funci´ de la secuencia. Curso “M´eetodos todos de Monte Carlo” - Facultad de Ingeni Ingenier er´´ıa, Universida Universidad d de la Rep´ublica (Uruguay)

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•

  Generaci´ on on de una v.a.   X   =  U   U ((a, b)  a partir de una v.a.   U   =  U   U (0 (0,, 1) 1):: se sortea el valor de  de   U  U ,, y se calcula  calcula   X   =  a + (b U .. (b − a)U 

•

  Generaci´ on on de una v.a.   X   =  E (λ)  a partir de una v.a.   U   =  U   U (0 (0,, 1) 1):: se sortea el valor de  de   U  U ,, y se calcula  calcula   X   =   −ln ln((U  U ))/λ /λ..

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