MontañaRusa.pdf

Proyecto Calculo I, II Semestre 2015-2016

II Parte

Construcci´ on de una Monta˜ on na na Rusa Rusa

1

Suponga que se le solicita que dise˜ne ne el primer ascenso y descenso de una monta˜na na rusa nueva. Despu´ Desp u´es es de d e estud es tudiar iar fotogr fot ograf´ af´ıas ıas de sus s us monta m onta˜ n nas ˜as rusas predilectas, decide hacer la pendiente del ascenso 0.8 y la del descenso −1.6. Opta por conectar estos dos tramos rectos  y  =  L 1(x) y  y  =  L 2 (x) mediante parte de una par´abola abola  y  =  f (x) =  ax 2 + bx + c, donde  x  y  f (x) se miden en pies. Para que el trayecto sea uniforme no pueden existir cambios abruptos de direcci´on, on, por lo tanto desea que los segmentos lineales L1 y L2  sean tangentes a la par´abola abola en los puntos de transici´on on P  y Q. Para simplificar las ecuaciones decide situar el origen en P . Ver las siguiente figura

1. (a) Suponga Suponga que la distancia distancia horizon horizontal tal entre entre P  y Q  es 100 pies. pies. Escrib Escribaa ecuaci ecuacione oness en a, b y c que aseguren que el trayecto es suave en los puntos de transici´on. (b) Resuelv Resuelva a la ecuaci´ ecuaci´on on del inciso ( a) para a, b  y c  para hallar una f´ormula ormula para f (x). (c) Dibuje Dibuje L1 , f  y L2  para verificar que las transiciones son uniformes. (d) Encuentre Encuentre la diferencia diferencia en elevaci´ elevaci´ on on entre P  y Q. 2. La soluc soluci´ i´ on on del problema 1 quiz´a  parezca  suave, pero es posible que no  se sienta  suave   suave debido a que la pieza definida como funci´on on [consistente en L1 (x) para x <  0 , f (x) para 0 ≤ x ≤  100 y L2(x) para x >  100] no tiene una segunda derivada derivada continua. continua. Por consiguiente consiguiente decide decide mejorar el dise˜no no 2 aplicando una funci´on on cuadr´ atica atica q (x) = ax +  bx  +  c unicamente u ´ nicamente en el intervalo 10 ≤ x ≤ 90 y conect´ andolo con las funciones lineales por medio de dos funciones c´ubicas: andolo (a) Escrib Escribaa un sistema sistema de ecuacione ecuacioness con 11 incogn incognitas itas que aseguren aseguren que las funcione funcioness y sus dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transici´on. on. 1

Tomado de C´ alculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, James Stewart alculo

1

g (x) =  kx3 + lx 2 + mx + n h(x) =  px 3 + qx 2 + rx  +  s

0 ≤ x ≤ 10 90 ≤ x ≤ 100

(b) Resuelva las ecuaciones del inciso ( a) con un sistema de c´omputo algebr´ aico para encontrar las f´ ormulas para q (x), g(x) y h(x). (c) Dibuje L1 , g, q , h  y L2  y comp´arelos con las gr´aficas del problema 1 inciso (c). Instrucciones •  El

proyecto debe ser realizado en un grupo de no menos de dos y no m´as de tres estudiantes. El grupo completo es responsable del contenido y la presentaci´on del proyecto, de igual manera asume toda la responsabilidad del cumplimiento del c´ o digo de honor de la USFQ que ser´a estrictamente aplicado.

•   Debe

utilizarse un editor de texto cient´ıfico como Scientific Notebook, LyX o LATEX. LyX y LATEXson softwares libres y pueden bajarse de INTERNET totalmente gratis.

•   El

proyecto debe ser un trabajo lo m´as minucioso posible donde deben estar todos los procedmientos explicados como si fuera un texto, de forma tal que una presona que lo lea pueda entender todo el razonamiento.

•  Al

final deben haber citas bibliogr´aficas de todas las fuentes utilizadas.

•  El

encabezamiento debe incluir el nombre de todos los integrantes del grupo, la clase, el semestre, el profesor, la fecha de culminaci´on del proyecto y el editor de texto cient´ıfico utilizado.

•  El

proyecto debe ser entregado  impreso  seg´ un la fecha del calendario del D2L, al  inicio  de la clase que conste en ese calendario. Entregas posteriores tendr´ an multa. No se aceptan proyectos pasadas 24 horas de la fecha de entrega.

•  El

formato de impresi´on debe ser en hojas de papel bond a dos caras engrapadas (o enlazadas de alg´ un modo), no debe haber carpetas de ning´ un material, ni hojas totalmente en blanco.

as el proyecto debe ser cargado en un archivo PDF al D2L en las •   Adem´

correspondientes secciones habilitadas en la carpeta DEBERES hasta las 23h55m del d´ıa de entrega en clase.

•   Es

decisi´on del profesor llamar a los integrantes del grupo a una defensa oral en caso de ser necesario.

•  Recuerda

que este es un trabajo en equipo. Se requiere la participaci´on de todos sus integrantes (entre 2 y 3) y todos ser´an responsables de los resultados obtenidos. Se recomienda que todos lean y aprueben el trabajo final antes de entregarlo.

R´ ubrica

1a) 1

1b) 1

1c) 1

1d) 1

2a) 1

2b) 1

2c) 1

Formato 1

Total 8

2